автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические вопросы моделирования оптимального подвижного управления процессами, описываемыми многомерными нелинейными параболическими уравнениями

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ РАН

На правах рукописи УДК 519.6

"ГБ ОД

САРНЕЦКА ВИОЛЕТТА ЮЗЕФОВНА

; мл

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ОПТИМАЛЬНОГО ПОДВИЖНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССАМИ, ОПИСЫВАЕМЫМИ МНОГОМЕРНЫМИ НЕЛИНЕЙНЫМИ ПАРАБОЛИЧЕСКИМИ УРАВНЕНИЯМИ

Специальность 05. 13. 18 — Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1999

Работа выполнена на кафедре высшей математики Радомского политехнического института Министерства народного образования Польши.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Гживачевски Марек

Научный консультант: доктор технических наук, профессор Горбатков Станислав Анатольевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.В. Дикусар, кандидат физико-математических наук, Старший научный сотрудник В.А. Бойков

Ведущая организация: Институт системного анализа РАН

Защита диссертации состоится "в * часов на

заседании диссертационного совета К.003.91.01 при Институте математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская площадь, 4 а

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математического моделирования РАН

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук Похилко В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи оптимального подвижного управления процессами, которые описываются параболическими уравнениями, возникают в самых различных областях экспериментальной физики, электротехнологии и радиотехники. Это процессы взаимодействия твердых тел с концентрированными энергетическими потоками, технологический нагрев токопроводящих тел (металлических, композиционных, порошковых) в высокочастотном (ВЧ) электромагнитном поле, процессы нагрева элементов объемных интегральных схем (ОИС) СВЧ и КВЧ и др. Далее будем называть такие объекты моделирования и управления "системами с распределенными параметрами" (СРП). Предметом диссертации является исследование математических вопросов, связанных с моделированием задач оптимального подвижного управления в указанных СРП, причем управление тепловым полем рассматривается в его взаимосвязи с электромагнитным полем и полем термонапряжений. Исследуются достаточно общие и информативные модели электротеплового поля, способные охватить широкий круг моделируемых проблем в СРП. Учитываются:

• пространственная многомерность СРП (3 пространственных измерения моделируемого электротеплового поля для тел простой формы (шестигранников Ламе));

• нелинейности заданных функций в исходном описании начально-краевой задачи (коэффициентов, правых частей уравнений, функции, описывающих теплообмен на граничных поверхностях), причем эти нелинейности сохраняются до конца решения задачи (в алгоритме решения преобразуется лишь вид нелинейностей);

• оптимизация не только функции интенсивности (средней по объему нагреваемого тела мощности внутренних источников тепла), но и пространственной формы этих источников и, соответственно, нелинейность оператора, с которым входят искомые подвижные управления в модель оптимизации;

• многокритериальное™ постановки задачи оптимального подвижного управления и нелинейность фазовых ограничений;

• неполнота знания входных данных о процессе.

Теория рассматриваемого класса задач оптимального подвижного (пространственно-временного) управления СРП, состояние которых описывается нелинейными многомерными параболическими уравнениями, уравнениями Максвелла, определяющими внутреннее тепловы-

деление, а также уравнениями термонапряжений Дюамеля-Неймана, определяющими фазовые ограничения, относятся к классу обратных краевых задач оптимизации. Поэтому исследуемые вопросы примыкают к теории обратных задач математической физики. Рассматриваемый в диссертации класс задач оптимизации можно отнести с позиций управления к классу систем управления с распределенными параметрами (СРП). Основы теории оптимизации СРП заложены в работах Алексеева В.М., Алифанова О.М., Андреева Ю.Н., Арсенина В.Я., Беллмана Р., Бутковского А.Г., Васильева Ф.П., Гласко В.Б., Дегтярева Г.Л., Дикусара В.В., Диличенского В.Н., Дубовицкого А.Я., Егорова А.И., Егорова Ю.В., Кирина Н.Е., Красовского H.H., Лаврентьева М.М., Лионса Ж.-Л., Ли Э., Лурье К.А., Малого С.А., Маслова В.П., Милютина A.A., Морозова В.А., Маркуса Л., Моисеева H.H., Орлова Ю.В., Пшеничного Б.Н., Первозванского A.A., Пустыльникова Л.М., Поляка Б.Т., Тихомирова В.И., Тихонова А.Н., Темкина А.Г., Уткина В.И., Федоренко Р.П., Чубарова Е.П., Яго-ла А.Г., Takamatsu, Root W., Woods I., Kurzhnskii A.B. и др.

Здесь следует отметить, что для СРП уже достаточно развит научный инструментарий: сделаны обобщения основных методов оптимизации динамических систем, разработанных первоначально для систем с сосредоточенными параметрами, моделями которых являются обыкновенные дифференциальные уравнения — метода моментов, принципа максимума Понтрягина, метода динамического программирования, методов Ляпунова для анализа устойчивости, методы регуляризации обратных задач. Однако основные результаты здесь апробированы для достаточно простых модельных линейных одномерных задач. Перенос результатов на нелинейные многомерные задачи требует дополнительных обоснований и исследований. Например, при подвижном воздействии даже на линейную тепловую систему проблема моментов получается нелинейной. СРП с подвижным воздействием при многомерной постановке задачи практически не исследованы.

Работы, в которых одновременно учитываются все три части исследуемой проблемы — тепловая, электромагнитная и оптимизационная — носят редкий, фрагментарный характер. К теме диссертации непосредственно из круга таких работ примыкают исследования Бутковского А.Г. и Пустыльникова Л.М. [1], Сиразетдинова Т.К. [2,3], Тихонова А.Н., Кальнера В.Д. и Гласко В.Б. [4], Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. [5], Рапопорта Э.Я. [6], Чубарова Е.П. [7], Коломейце-

вой М.Б. [8], Немкова B.C. и Демидовича В.Б. [9], Морозкина Н.Д. [10], Голичева И.И. [11], и др. Однако ни в одной из этих работ, а также в исследованиях учеников указанных руководителей научных школ применительно СРП не рассмотрена проблема целиком, т.е. с охватом тепловых, электромагнитных и оптимизационных аспектов проблемы для достаточно общих моделей (с учетом оговоренных выше факторов сложности). Подробный обзор состояния этого вопроса приведен в разделе 1.2 диссертации. Исключение составляют работы М. Гживачевски и С.Л. Горбаткова и их учеников [12, 131. Диссертация автора является логическим продолжением и развитием работ М. Гживачевски и С. А. Горбаткова.

Таким образом, уровень проработки исследуемой проблемы не соответствует ее теоретической и прикладной значимости. Цель диссертационной работы: разработать теоретические основы и конструктивные приближенные алгоритмы оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах при неполном знании входных данных. Достижение этой цели связано с решением задач:

1. Выявить специфику исследуемой проблемы для СРП и на ее основе разработать принципы и методологию построения эффективных в вычислительном отношении моделей и приближенных алгоритмов оптимизации.

2. Разработать и обосновать теоретически декомпозиционный алгоритм оптимизации взаимосвязанного электромагнитного и теплового поля и провести его апробацию.

Научные положения, полученные лично автором и выносимые на защиту

1. Предложены принципы построения модели оптимизации для класса задач оптимального подвижного управления полями, описываемыми нелинейными многомерными параболическими уравнениями:

• Использование в модели оптимизации таких приближенных методов решения краевых задач, которые осуществляют сглаживание локальных возмущений управляемого поля. Именно таким методом является АМИЛ, где исходное описание поля в виде дифференциальных уравнений в частных производных трансформируется далее к интегральному представлению решения по схеме метода конечных интегральных преобразований (КИП).

• Адаптация приближенного аппроксимативного метода итерационной линеаризации (АМИЛ) к задачам оптимального подвижного

управления, которая позволяет решать вопросы построения оптимальных управлений иояг(/) в пространстве коэффициентов КИП, а также обеспечивает необходимые свойства решения в пространстве кЛа').

• Декомпозиционный принцип построения алгоритма оптимизации на основе принципа вложенных математических моделей (ВММ).

• Насыщение алгоритма оптимизации аналитическими операциями (аналитическое представление решения использовано как способ плотной "упаковки" информации о тонкой структуре управляемого поля.)

2. На основе интегрального представления решения по АМИЛ предложен многоуровневый декомпозиционный алгоритм оптимального подвижного пространственно-временного управления СРП, описываемых многомерными параболическими уравнениями, взаимосвязанными с уравнениями электромагнитного поля, определяющими внутреннее тепловыделение. Впервые в данном классе моделей оптимизации учтены три пространственных измерения в условиях нелинейности заданных функций в описании краевой задачи. Впервые при оптимизации учтен реальный характер источников тепла (расчет источников тепла на ЭВМ выполнен Мельниковым В.Н. [14]), а также выполнена совместная оптимизация функции формы источников тепла и функции их интенсивности.

3. Детально исследована подзадача С1/()) синтеза оптимального

временного закона управления функцией интенсивности й(/). Доказана теорема 1 о релейном характере этой функции всюду, за исключением особых участков движения СРП по фазовым ограничениям. При доказательстве использовано аналитическое интегральное представление решения на основе АМИЛ и математический аппарат принципа максимума Л.С. Понтрягина для СРП.

4. Доказаны теоремы 2, Зи 4 о непрерывной зависимости коэффициентов КИП и решения нелинейной задачи теплопроводности от параметра е достижимой степени равномерного приближения к требуемому конечному состоянию <2'(х), а также непрерывной зависимости от числа интервалов управления функции ¡7,(г). Здесь также активно "эксплуатируется" интегральная форма представления решения и математический аппарат метода моментов. Теоремы 2, 3 и 4 служат основанием для декомпонирующих итераций расщепления общей задачи оптимизации на подзадачи С,, и С . ,,.

- 5. Доказаны теоремьГ5 и 6 об устойчивости решения параболического уравнения, получаемого по АМИЛ, при возмущении начального состояния. Здесь также используется интегральное представление решения, которое позволило построить интегральные квадратичные формы и применить метод Ляпунова для СРП.

6. Исследована управляемость СРП с использованием интегрального представления решения по АМИЛ и метода моментов при трехмерной постановке задачи.

Новизна указанных положений обоснована тем, что до исследований автора трехмерная нелинейная задача оптимального управления тепловыми полями для подвижных источников воздействия не была решена. Не были разработаны и соответствующие математические вопросы алгоритма решения данной задачи оптимизации.

Достоверность положений обоснована корректным математическим анализом, а также цифровыми экспериментами при численной реализации модели оптимизации.

Теоретическая ценность положений состоит в том, что указан путь к построению эффективных в вычислительном отношении достаточно общих моделей оптимального подвижного управления.

Научная новизна работы в целом

На основе интегральной формы представления решения начально-краевой задачи, описываемой трехмерным нелинейным параболическим уравнением, на базе АМИЛ с аппроксимацией нелинейного решения рядами по собственным функциям специально построенного линейного самосопряженного оператора предложен, обоснован математически и апробирован новый декомпозиционный алгоритм решения задачи оптимального подвижного пространственно-временного управления.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре Института математического моделирования РАН (г. Москва), семинаре Радомского политехнического института (г. Радом, Польша) и на заседании научно-технического общества радиотехники, электроники и связи им. A.C. Попова (г. Москва). Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ. Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Работа содержит 170 страниц сквозной нумерации, из

которых 140 страниц основного текста, 30 страниц рисунков, таблиц, библиографии и оглавления. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении приведено обоснование актуальности решаемой научной задачи, сформулирована цель работы и решаемые при ее реализации подзадачи, сформулирована и обоснована новизна работы в целом, а также новизна, достоверность и теоретическая ценность научных положений, полученных лично авторов и выносимых на защиту.

В главе 1 в краткой форме обозначены основные предложения автора по построению модели оптимизации и алгоритму решения задачи оптимального управления. В разделе 1.1 указаны факторы общности рассматриваемой модели оптимизации: многомерность и нелинейность краевой задачи, нелинейность модели по искомым пространственно-временным подвижным управлениям, многокритериальный (векторный) характер рассматриваемой задачи оптимизации, учет фактора неполноты знания входных данных на всех этапах построения модели и решения задачи оптимизации. Отмечается, что учет в модели оптимизации указанных факторов общности обеспечивает широту охвата различных прикладных проблем управления нагревом металла в электромагнитном поле.

В разделе 1.2 приведен обзор по теме исследования. Отмечено, что АМИЛ, в отличие от известных работ, позволяет получить интегральную форму представления решения нелинейной задачи для параболического уравнения и тем самым создать предпосылки использования хорошо разработанного математического аппарата теории управления.

В разделе КЗ кратко сформулированы новые идеи и принципы повышения вычислительной эффективности модели оптимизации (см. положения, выносимые на защиту).

В главе 2 приведено исходное математическое описание подвижных управлений и модели оптимизации в виде нелинейных уравнений в частных производных для полей теплового, электромагнитного и термонапряжений, а также даны классификации постановок задач подвижного управления.

Используется следующее описание подвижных пространственно-временных управлений [1]:

N , . "

Hv, <)=S «; ('V, [-V, л- - ew, /<0, i, l (e)], ( 1 )

где /= 1, A' — номер временного интервала управления; u(t) — функция интенсивности источников подвижного воздействия; у/Д-] — функция пространственной формы источников на j-м интервале управления; в(/) — вектор параметров, задающих закон вращательного движения источников; p(t) — вектор параметров формы источников, которыми конструктор может распорядиться при проектировании СРП, т.е. вектор "активных" управляющих параметров; |у(Q) — вектор "пассивных" параметров, влияющих на форму за счет температурной зависимости электрофизических параметров нагреваемого тела и, следовательно, изменения глубины проникновения тока.

Модель взаимосвязанного электромагнитного и теплового полей задается уравнениями Максвелла и Фурье:

roi Я s = Ss + pç' Ёст j ; roi Ës = --—\ div В = 0; iliv D = рэ ; 5S = p £s,

ot

| (c, (e) ■■ pt [q)■ q)=d-,v [a(e)ve]+^ u 0;

л- = {x,,Л',,.\j)eQc£'; /е[о,/']; П'=fix[o,/'],

где Q — объем нагреваемого тела; S — плотность электрического тока; рт— плотность тела; р— удельное электросопротивление; F(.v, г)

— удельная объемная плотность джоулева тепла (функция вида (1)); 5

— номер подобластей кусочной среды; индекс "ст" означает стороннее заданное возбуждающее поле; рэ — объемная плотность электрических зарядов; CP(Q), А(0 — нелинейные функции удельной теплоемкости при постоянном давлении и коэффициент теплопроводности; £,Й — напряженности электрического и магнитного полей.

Использованы стандартные граничные условия для уравнений Максвелла [11]. Граничные условия для уравнений Фурье учитывают нелинейный теплообмен теплопроводностью, конвекцией и лучеиспусканием:

lT=-*s{QpQJbir, =4Q){Qs-Qc) + £jT)a(Q,s-Q,c\ xery (4)

где qT — тепловой поток; a(Q) — коэффициент теплообмена теплопроводностью и конвекцией; Qc — температура окружающей среды, К; Qn

(2) (3)

— температура поверхности, воспринимающей лучистый поток, К; £«j [Q) = ei(Q)£j(Q)<Py — коэффициент взаимной облученности; ст = 5,76-Ю"8 вт/м1 - к* .

Математическая модель термонапряжений заимствована из [10] в

виде:

I I

(1-4)в(1,т)-(<?+1 + ЗГ(9-1)){ t)d£, + 6Г(<7-1){т)rf| < с,;

о о

I I

о о

a'(e) = c,+i/,e, a;=c2+d2Q. (5)

Здесь обозначено: r = r/R; & = {Q{r,t)-Q6)fi; т = д//лг; a], = (l-v)of/E; а'с =(l-v)ac/E\ ст*г =(l-v)ct0j/£; Qf—базисная температура; а'с, а'Р — пределы прочности на сжатие и растяжение; Г = 0 для жесткого защемления краев нагреваемой пластины; Г = 1 для свободных от поворота краев; q = 1 для цилиндра; q- 0 — для пластины; Е— модуль Юнга; v — число Пуассона; а — коэффициент температуропроводности; /3 — коэффициент линейного расширения.

Задача оптимального управления ставится следующим образом: найти оптимальные управления Fornix, t) для СРП, описываемой (1) — (5), чтобы перевести систему из заданного начального состояния Q(x, 0) = Qo(x) в некоторую е-окрестность заданного конечного состояния Q'(x):

(6)

по экстремальной траектории так, чтобы доставлялся минимум обобщенному функционалу цели

ф = ф[ф„( F(x, <)), Q{x, i), e(x) ] -»min Ф, (7)

при ограничениях на управления

о < f(x, t)< fmk (8)

на частные критерии оптимизации

-0v<4>l\ v = l;K,

(9)

а также при нелинейных фазовых ограничениях:

(Ю)

T^{t)ZTaon, (11)

где Т„1ах, Тдоп — максимальная и допустимая температуры; а„ш и аДОп — максимальные и допустимые термонапряжения. Данную задачу оптимального управления будем называть задачей перевода типа I. Теория, развиваемая в работе, позволяет решать также задачи типа II (финитные) и задачи III оптимального слежения.

В главе 3 описан основной аналитический инструмент получения интегрального представления решения — АМИЛ, идея которого основана на теории возмущения операторов, а также сглаживающих свойствах оператора обращения линеаризованных краевых задач по отношению к приближаемым нелинейным функциям. Исходный нелинейный параболический оператор AQ(x, /) представляется через специально построенный линейный оператор BQ и его возмущения RQ:

A Q(x, t) = BQ(x, l) + RQ(x,t) = F(x, t);

BQ = bu[dQ{x,l)/d:]-L{Q{x,l)\ L = b„> 0. (12)

Организуется итерационный процесс линеаризации уравнения и граничных условий:

G'-'U,»)« в-'[«(Q"-1'/=■(*,»)]. " = 0, 1, ... (13)

с аппроксимацией решения нелинейной задачи собственными функциями линейного оператора L. Приведем конечный результат относительно переменной преобразования Кирхгофа

а

Qo

<%\x.y,z.T) = j = IN.

где ф\"){рк, т) — коэффициенты КИП; [рк ) —собственные числа; К(рк, х) — собственные функции оператора L.

(14)

(15)

На рис. 2 и 3 приведены в качестве примера числовые оценки по проверке адекватности модели (15) для случая индукционного нагрева прямоугольного парамагнитного тела (рис. 1). Исходные данные соответствуют [11]. Трехмерная функция источников тепла взята из [12].

Рис. 1. Расчетная схема индукционной системы: 1 -магнитопровод; 2 -

Рис. 2. К оценке погрешностей АМИЛ: а - зависимость невязки

8к = гоах |[ о(4) (х, у, г,г) - - 2"*" (х, у, г,г)] / <2т (х, у, г,г) от числа членов ряда к для т=0,2884 (1) и 0,5769 (2) и при усечении рядов в решении;

б - зависимость невязки 5n = max ^QM(x,y,:,T)-

(x,y,z)e£l,tE[0,T*]

- Q"""(x,y,:,T)]IQ""(x,y,z,т)для АМИЛ от номера итераций п

и.

Рис. 3. Сравнение нелинейного (1) и линейного (2) решений с экспериментальным распределением температуры (3)

Приведенные данные свидетельствуют об информативности модели электротеплового поля для целей оптимизации.

Глава 4 является в работе центральной. Здесь предложен новый декомпозиционный алгоритм решения описанных в главе 2 задач оптимального подвижного управления типа I, II и III. Для этого задача расщепляется на две подзадачи С„(п и Cilw] соответственно оптимизации функций интенсивности u(t) и пространственной формы ^Н в (1). Решения обеих подзадач сшиваются итерационно. Для решения подзадачи С,,(„ использована интегральная форма представления

решения (15) и математический аппарат принципа максимума [4] в пространстве коэффициентов КИП {Ф{"]{рк,т)}. Подзадача

ставится как параметрическая многокритериальная и решается численно с помощью модифицированного метода Л77г -поиска И.М. Соболя — Р.Б. Статникова. Идея модификации, предложенная автором, состоит в двухэтапном алгоритме дальнего и ближнего поиска. При дальнем поиске используется "грубая" субмодель в виде уравнений регрессии либо нейросетевая модель, аппроксимирующие связи в СРП между функционалами качества [Фу] и функциями ограничений 7, 0^(0, Tmax(r), с одной стороны, и вектором управляющих параметров Üv =(p(t),Zj(Q,<o)) с другой стороны. ЛП% -поиск по

субмодели обеспечивает быстрое попадание в некоторую окрестность глобального оптимума даже в условиях овражной поисковой ситуации.

В процедуре ближнего поиска используется "точная" модель (6) — (15) не подвергнутая операции аппроксимации. Здесь использован численный метод поиска (чистый ЛПХ -поиск).

Сходимость решение подзадач С„(1) и имеет прозрачный

физический смысл: каждое очередное получаемое решение подзадач делает систему более управляемой и, соответственно, углубляет экстремум.

В качестве математического обоснования отдельных процедур алгоритма оптимизации доказаны следующие теоремы:

Теорема 1. Пусть в пространственно-временной области 12' = йх[о,/'] задана многомерная нелинейная краевая задача (3), (4) и нелинейные заданные функции (коэффициенты) уравнения {д„,(2)}еСг(2), ()е1 =[йтп,()„„], которые за пределами интервала I продолжены с помощью оператора срезки [9]; граничная функция /3{0)=(д()/дп)|Г1 — ограниченная непрерывная вместе со своими

вторыми производными функция своих аргументов, а правая часть уравнения (3) Лл г) — измеримая функция из имеющая конечное число разрывов первого рода в а'. Пусть существует обобщенное решение начально-краевой задачи (3), (4) в пространстве ,

получаемое по АМИЛ, для которого решается подзадача С„(1) оптимального быстродействия 1'0ПТ = тш 1'(е" ,и{1)) с ограничениями (6), (8), (9) — (11) при фиксированной функции источников ц/[] в (1), причем нелинейные фазовые ограничения (10) и (11) активизируются по очереди.

Тогда оптимальное управление йопт(1) на участках, свободных от всех фазовых ограничений, есть релейная функция вида

+ Я,У51.')} (16)

где н; — переключающая функция (часть понтрягиана, не зависящая от фазовых координат); 5 — номер момента переключения.

Теорема позволяет параметризировать подзадачу быстродействия и обобщает известную теорему из [4] на случай нелинейной многомерной краевой задачи, решаемой по АМИЛ. Доказательство теоремы 1 сделано на основе принципа максимума.

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1 и на каждом шаге итераций по АМИЛ в (15) — коэффициенты разложения

решения по схеме КИП и г,„„, (г) е ¿2 (й) с нормой ЦгЦ^ =

У -2

/ - ~ кит

к.,.......

Пусть

в рассматриваемой задаче оптимального быстродействия существует оптимальное управление ц0ПТ($: £ = £<>, где е0 — допустимая погрешность равномерного приближения к заданному конечному состоянию Ф (х). Тогда пересечение с(е0)пф(^|п(е)) содержит единственную оптимальную точку 20(е0) = Топт, где С(£0) — множество допустимых состояний с погрешностью е0, а ,ф(С,„(£)) — множество конечных состояний, достижимых за время при переводе СРП из фиксированной начальной точки Ф0(*)зО в заданное состояние Ф (х).

Теорема 3. Пусть выполнены условия теорем 1 и 2, а погрешность приближения к требуемому состоянию Ф (х) удовлетворяет условию |е-е0|<5е, <5£ >0 и расстояние между соответствующими элементами ри(2{е)-га)< п, 1>0. Тогда имеет место непрерывная зависимость

коэффициентов разложения г*„„,(г), к, п, т = 1, 2, ... от параметра е, при котором оптимально управление йопт0) существует.

Теорема 4. Пусть выполнены все условия теорем 1, 2, 3 и в области £>' с Е' решение начально-краевой задачи представлено разложением (15) причем в формуле подвижного управления (1) функция интенсивности |»(/)| е [0;1], V/е [о,/" ], а нормированная функция

формы ^[х.р,,^] — дважды непрерывно дифференцируемая по своим

аргументам функция на интервалах своей непрерывности в О.'. Тогда справедливо утверждение: погрешность приближения к требуемому температурному распределению ц не может быть меньше некоторых констант (предельных погрешностей) е!"/, зависящих от количества интервалов N непрерывности функции й(<):

£0 > £%> = ¡пГ тах |ф(.у, /') - Ф' (л:)| > 0;

(17)

Теоремы 2, 3 и 4 служат теоретическим основанием невозрастания погрешности £о при итерировании подзадач Ст и и,

следовательно, состоятельности общей задачи оптимального управления в совокупности с очевидным физическим свойством СРП — невозрастанием погрешности ео при оптимизации функции пространственной формы уг[-]. Последняя увеличивает управляемость СРП.

Теоремы 2, 3 и 4 доказаны с использованием математического аппарата метода моментов [1,4].

Теорема 5. Пусть в У2'а(П') решение нелинейной многомерной начально-краевой задачи (3), (4) представлено разложением (15), получаемым по АМИЛ. Пусть возмущено начальное состояние процесса Ф0(х), а возмущение коэффициентов, правых части и граничных условий отсутствует. Пусть все собственные значения спектральной задачи Штурма-Лиувилля для оператора Ь в (12) являются вещественными положительными числами и удовлетворяют условию р4>е>0. Тогда решение возмущенного уравнения теплопроводности <р

(х, 0 асимптотически устойчиво по мере р = р(т) = {¡р2(х,т))с/П ;

и

р = РМ|,.г„.

Теорема 6. Пусть выполнены условия теоремы 5 и дополнительно принято, что функция правой части уравнения теплопроводности, аппроксимированная по схеме АМИЛ, возмущена: Ат]("~"(х,1)*0, где г7("_,! (лг, г) — ограниченная непрерывная в £2' и далее продолженная в виде оператора срезки функция. Тогда нелинейный возмущенный процесс <р(х, асимптотически устойчив по мере р.

Теоремы 5 и 6 отражают концепцию неполноты знания входных данных. Теоремы доказаны с использованием математического аппарата функций Ляпунова [2].

С использованием метода моментов и решения по АМИЛ в условиях теоремы 1 получено также утверждение об управляемости СРП по критерию равномерного приближения к заданному температурному конечному состоянию О (х, (). Показано, что рассматриваемая СРП имеет ограниченную управляемость.

В главе 5 в качестве примера приведены результаты апробации предложенного декомпозиционного метода оптимизации для индукционной системы рис. 1. Оптимизировались параметры функции интенсивности йу(0: уровни мощности, моменты переключения Ц} и

длительности интервалов управления {Дг,}, j = \,N, а также параметры экспоненциальных функций на участках движения системы по ограничениям <тт„(/)<<тлоп(е) и Гт„(;)< Гда„(б). Взаимосвязанно с ¡7(0 оптимизировалась функция формы по пяти управляющим

параметрам (см.рис.1):

=('ослМ ={!>отг/Ьл)\ X, = {ьл/Ь\ *«=(/„/а) х5=(2//£„) х„ =(ЛЬ0ТГ¡Ьл).

Все эти параметры формируют степень ослабления поля в зоне перегрева тела (зона трехгранного угла).

В подзадаче с,,(„ принято в качестве критерия оптимизации

N

общее время нагрева ¡' = , а в подзадаче Cw(lil| в качестве функции цели принята линейная свертка частных критериев оптимизации

з 3

ф = =1; С,. >0;

Ф|=1/г)э; Ф2=(1-соз Ф, =

де™, = тах je(x,r-)-ö44 (18>

Здесь Ф/ = т)э — электрический КПД индукционной системы; cos q)„ — естественный коэффициент мощности;

¿т

— допустимая

погрешность равномерного приближения к требуемому состоянию ß*(.t) (в примере Q*(x) = const = 580° С; ¿N> = 40° С); Uma = 2,5 МВт. Приняты следующие ограничения на критерии оптимизации: т]э > 0,46; cos (р„ > 0,11; I ДТ - 40° ¿1 < 3° С. Фазовые ограничения: Ттах < 600° С; Vie lo.r'j Е = 1%.

При решении подзадачи оптимизации функции формы с (;) по

"уравнениям проектирования" генерировалось достаточно большое число пробных точек равномерно распределенных 5-мерных ЛПт последовательностей (2000 точек). В области D, где выполняются все эти ограничения, оказалось 16 точек. Из этих точек, как из локальных центров, организовывался градиентный поиск квазиглобального экстремума, который был проверен и уточнен возвратом от приближенных уравнений проектирования к "точной" модели.

Результаты оптимизации: t! = 6 мин; ¡7, = = l; t2 = 10 мин; и2 = 0; = 20 мин; ¡7, = 1; /,=/'= 62 мин; ¡74 =0,24 + 3,282-с"0т';¡7= ри//>„„; ртп =2,5 МВт; i'T = 73,3 мин; йг = 0,05; (/0<г.7 /а) = 0,08715; ) = 6,4;

{Ъл /Ъ) = 0,2286; (/„ ¡а) = 0,79; {ll/Lt) = 0,913; (дЬогг /Ьл) = 0,32.

Значение критериев качества и параметров состояния в точке оптимума: ДТ,.т„ =20° С; cos <р„ =0,13;Г)Э =0,51;Тт„ =580° Си' = 73,3 МИН.

Распределение температуры вдоль узкой грани в оптимальном режиме в конце нагрева показано на рис. 4.

Таким образом, данные цифровых экспериментов подтвердили эффективность предложенного алгоритма оптимизации.

e(N)

504,5

Рис.4. Расчетные эпюры температуры по широкой грани (у-1) (вариант 1*=75мин)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложены принципы построения эффективных в вычислительном аспекте математических моделей оптимального управления электротепловыми полями для достаточно общей постановки задачи: учет нелинейности заданных функций в описании начально-краевой задачи, три пространственных измерения, взаимосвязи теплового и электромагнитного полей, трехмерного характера источников тепла, подвижного характера пространственно-временных управлений.

2. Сформулировано исходное математическое описание полей теплового, электромагнитного и термонаряжений как базы модели оптимизации.

3. Дана классификация постановок задач оптимального управления для рассматриваемого класса управлений.

4. Разработана адаптация схемы АМИЛ для решения задач оптимального управления: возможность оптимизации функции м(/)

интенсивности источников, а также анализа управляемости в пространстве изображений КИП, т.е. без перехода к оригиналу.

5. Предложен декомпозиционный алгоритм решения задач оптимального управления для многомерных нелинейных параболических уравнений, опирающийся на аналитическое интегральное представление решения по АМИЛ и принцип вложенных математических моделей (ВММ).

6. Для подзадачи См оптимизации функции интенсивности

подвижных управлений доказана теорема 1 о релейном виде управлений при отсутствии фазовых ограничений.

7. Для подзадачи С:М доказаны теоремы 2 и 3, 4 о непрерывной

зависимости решения оптимальной задачи от допустимой погрешности £(л,) приближения к требуемому конечному состоянию О. (х), а также от числа N интервалов управления в классе релейных управлений.

8. Доказаны теоремы 4 и 5 об устойчивости решения по АМИЛ при возмущении начального состояния на основе функций Ляпунова.

9. Исследована управляемость СРП на основе методов моментов для интегрального представления решения согласно АМИЛ.

10. Для подзадачи с^,, оптимизации функции пространственной

формы предложен на основе принципа ВММ двухэтапный алгоритм поиска с использованием пробных точек равномерно-

распределенных ЛПТ — последовательностей И.М. Соболя — Р.Б. Статникова.

И. В качестве апробации предложенного декомпозиционного алгоритма оптимизации решена трехмерная нелинейная краевая задача оптимального подвижного управления при индукционном нагреве парамагнитного прямоугольного параллелепипеда.

Цитируемая в автореферате литература

1. Бутковский А.Г., Пустыльников Л.М. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука. Физматлит, 1980. — 284 с.

2. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. — Новосибирск: Наука. Сибирское отд-ние, 1987. — 231 с.

3. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. — М.: Машиностроение, 1990. — 264 с.

4. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. — М.: Металлургия, 1993. — 279 с.

5. Чубаров Е.П. Управление системами с подвижными источниками воздействия. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 288 с.

6. Коломейцева М.Б. Решение задачи оптимального управления индукционным нагревом подвижных объектов // Управление распределенными системами с подвижным воздействием. — М.: Наука, 1979. —с. 99—106.

7. Немков B.C., Демидович В.Б. Теория и расчет устройств индукционного нагрева. — Л.: Энергоатомиздат, 1988. — 280 с.

8. Морозкин Н.Д. Оптимальное управление процессами нагрева с учетом фазовых ограничений. — Уфа: Башкирский госуд. ун-т, 1997. — 114с.

9. Голичев И.И. Решение некоторых задач для параболических уравнений методом последовательных приближений. — Уфа. Башкирский научный центр Уральского отделения АН СССР, 1979. — 172 с.

10. Горбатков С.А., Гживачевски М. К анализу итеро-аппроксимативного метода для трехмерных нелинейных задач теплопроводности // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1988, №2, с. 101 — 111.

11. Бадамшин Р.А., Горбатков С.А., Клестов Е.А. Оптимальное терминальное управление системами с распределенными параметрами при неполном измерении их состояния. — Уфа: Уфимск. гос. авиац. технич. ун-т, 1997. — 313 с.

12. Бахарев Б.А., Гживачевски М., Горбатков С.А., Мельников В.И. Разработка разностных схем для расчета двух- и трехмерных электромагнитных полей // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. Теория, математическое моделирование и САПР ОИС СВЧ: Межвуз. сб. научн. трудов. — М.: Институт автоматизации проектирования АН СССР, 1991, с. 53 — 65.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ

РАБОТЫ:

1. Сарнецка В. Исследование управляемости электротепловой СВЧ-системы с распределенными параметрами на основе аппроксимативного метода итерационной линеаризации // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, № 1, с. 77 — 89.

2. Сарнецка В. Исследование устойчивости решения параболического уравнения по возмущению начального состояния методом функций Ляпунова // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, № 1, с. 90— 101.

3. Gorbatkov S.A., Nikitin A.V., Sarnecka W. Constructive methods of optimal control of non-linear heating processes of ferro- and paramagnetic bodies in elektromagnetic field // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999,

h 1, с. 22 — 31.

4. Сарнецка В. Теоремы о непрерывной зависимости решения нелинейной задачи теплопроводности на базе итеро-аппроксимативного метода от параметров управления // Труды Радомского политехнического института. Серия "Математика",

1999, №

5. Гживачевски М., Сарнецка В., Вуйтович М. Декомпозиционный метод решения начально-краевой нелинейной многомерной задачи оптимального управления электротепловым полем // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, № 4.

стр

Введение 1

Глава Принципы построения математических моделей опти- мального управления многомерными полями различной физической природы

1.1 Факторы сложности (общности) рассматриваемых мо- делей, вытекающие из обеспечения их информативности для целей оптимального управления

1.2 Обзор состояния проблемы решения задач подвижного управления для электротепловых систем

1.3 Принципы построения эффективных в вычислительном аспекте математических моделей оптимального управления электротепловыми полями

Глава Исходное математическое описание моделей оптими- зации в виде нелинейных уравнений в частных производных. Постановки задач оптимального подвижного управления

2.1. Исходное математическое описание подвижных управ- лений. Общая постановка задачи управления электротепловой системой

2.2. Математическая модель тепловых и электромагнитных полей в задачах управления нагревом токопроводящих тел в электромагнитном поле

2.3 Математическая модель термонапряжений при нагреве металлов в электромагнитном поле

2.4 Классификация постановок задач управления для нели- нейных электротепловых систем с распределенными параметрами, рассмотренных в работе

Глава Метод интегрального представления нелинейного ре- шения многомерной краевой задачи теплопроводности в модели оптимизации

3.1 Алгоритм приближенного аппроксимативного метода итерационной линеаризации (АМИЛ)

3.2 Анализ адекватности математической модели. 75

3.3 Алгоритмы расчета электромагнитных полей при ин- дукционном нагреве

Глава Декомпозиционный итерационный алгоритм решения задач оптимального подвижного управления для систем, описываемых уравнениями в частных производных

4.1 Алгоритм декомпозиционного итерационного метода решения задач оптимального подвижного управления

4.2 Алгоритм решения подзадачи Си(1) оптимизации функ- 95

В работе исследуются математические вопросы, связанные с решением задач оптимального подвижного управления системами с распределенными параметрами (СРП), которые описываются нелинейными параболическими уравнениями. Рассматриваемые модели охватывают широкий круг прикладных задач и, в частности, задач нагрева токопроводящих тел (металлических, порошковых, композиционных) в высокочастотном электромагнитном поле. Важным приложением является, например, расчет теплового режима электронных элементов — объемных интегральных схем (ОИС) СВЧ и КВЧ [6].

Особенность развиваемого подхода к исследованию состоит в том, что для достаточно общей модели оптимизации (учет нелинейности заданных функций в описании начально-краевой задачи теплопроводности, нелинейные взаимосвязи теплового и электромагнитного полей, трех пространственных измерений, учет нелинейных фазовых ограничений, в рамках многокритериальной постановки) решена задача подвижных управлений со взаимосвязанной оптимизацией функции интенсивности источников тепла и функции их пространственной формы. Как будет показано ниже, реализация столь сложной модели стала возможной благодаря использованию интегрального представления решения нелинейной многомерной задачи теплопроводности на базе аппроксимативного метода итерационной линеаризации (АМИЛ) и новому декомпозиционному алгоритму решения задачи оптимального управления.

Системы, где имеют место взаимосвязанные электромагнитно-теплофизические процессы будем далее называть «электротепловыми системами с распределенными параметрами (СРП)».

Актуальность темы диссертации обосновывается следующими соображениями.

Теория рассматриваемого класса задач оптимального подвижного (пространственно-временного) управления СРП, состояния которых описывается нелинейными многомерными параболическими уравнениями, уравнениями Максвелла, определяющими внутреннее тепловыделение, а также уравнениями термонапряжений Дюамеля-Неймана, определяющими фазовые ограничения, относятся к классу обратных краевых задач оптимизации. Поэтому исследуемые вопросы примыкают к теории обратных задач математической физики. Рассматриваемый в диссертации класс задач оптимизации можно отнести с позиций управления к классу систем управления с распределенными параметрами (СРП). Основы теории оптимизации СРП заложены в работах Алексеева В.М., Алифанова О.М., Андреева Ю.Н., Арсенина В.Я., Беллмана Р., Бутковского

A.Г., Васильева Ф.П., Гласко В.Б., Дегтярева Г.Л., Дикусара В.В., Диличенского

B.Н., Дубовицкого А.Я., Егорова А.И., Егорова Ю.В., Кирина Н.Е., Красовского H.H., Лаврентьева М.М., Лионса Ж.-Л., Ли Э., Лурье К.А., Малого С.А., Масло-ва В.П., Милютина A.A., Морозова В.А., Маркуса Л., Моисеева H.H., Орлова Ю.В., Пшеничного Б.Н., Первозванского A.A., Пустыльникова Л.М., Поляка Б.Т., Тихомирова В.П.,Тихонова А.Н., Темкина А.Г., Уткина В.И., Федоренко Р.П., Чубарова Е.П., Ягола А.Г., Takamatsu, Root W., Woods I., Kurzhnskii A.B. и др.

Здесь следует отметить, что для СРП достаточно уже развит научный инструментарий: сделаны обобщения основных методов оптимизации динамических систем, разработанных первоначально для систем с сосредоточенными параметрами, моделями которых являются обыкновенные дифференциальные уравнения — метода моментов, принципа максимума Понтрягина, метода динамического программирования, методов Ляпунова для анализа устойчивости, методы регуляризации обратных задач [14-21,98]. Однако основные результаты здесь апробированы для достаточно простых модельных линейных одномерных задач. Перенос результатов на нелинейные многомерные задачи требует дополнительных обоснований и исследований. Например, при подвижном воздействии даже на линейную тепловую систему проблема моментов получается нелинейной [113]. СРП и подвижным воздействием при многомерной постановке задачи практически не исследованы.

Работы, в которых одновременно учитываются все три части исследуемой проблемы — тепловая, электромагнитная и оптимизационная — носят редкий, фрагментарный характер. К теме диссертации непосредственно из круга таких работ примыкают исследования Когана М.Г., Демидовича В.Б. и Немкова B.C., Коломейцевой М.Б., Рапопорта Э.Я., Морозкина Н.Д., Голичева И.И. Однако ни в одной из этих работ, а также в исследованиях учеников указанных руководителей научных школ применительно СРП не рассмотрена проблема целиком, т.е. с охватом тепловых, электромагнитных и оптимизационных аспектов для достаточно общих моделей (с учетом оговоренных выше факторов сложности). Подробный обзор состояния этого вопроса приведен в разделе 1.2. Исключение составляют работы М. Гживачевски и С.А. Горбаткова [5,33,119] и их учеников. Диссертация автора является логическим продолжением и развитием работ М. Гживачевски и С.А. Горбаткова.

Таким образом, уровень проработки исследуемой проблемы не соответствует ее теоретической и прикладной значимости. Учитывая изложенное, цель диссертационной работы формулируется так: разработать теоретические основы и конструктивные приближенные алгоритмы оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах при неполном знании входных данных. Достижение этой цели связано с решением ряда задач:

1. Выявить специфику исследуемой проблемы для СРП и на ее основе разработать принципы и методологию построения эффективных в вычислительном отношении приближенных алгоритмов оптимизации.

2. Разработать и обосновать теоретически декомпозиционный алгоритм оптимизации взаимосвязанного электромагнитного и теплового поля и провести его апробацию.

Научная новизна работы в целом

На основе интегрального представления решения нелинейной многомерной задачи теплопроводности на базе АМИЛ с аппроксимацией нелинейного решения рядами по собственным функциям специально построенного линейного самосопряженного оператора предложен, обоснован математически и апробирован новый декомпозиционный алгоритм решения задачи оптимального подвижного постранственно-временного управления.

Научные положения, полученные лично автором и выносимые на защиту

1. Предложены принципы построения модели оптимизации для класса задач оптимального подвижного управления полями, описываемыми нелинейными многомерными параболическими уравнениями:

• Использование в модели оптимизации таких приближенных методов решения краевых задач, которые осуществляют сглаживание локальных возмущений управляемого поля. Именно таким методом является АМИЛ, где исходное описание поля в виде дифференциальных уравнений в частных производных трансформируется к интегральному представлению решения по схеме метода конечных интегральных преобразований.

• Адаптация приближенного аппроксимативного метода итерационной линеаризации (АМИЛ) к задачам оптимального подвижного управления, которая позволяет решать вопросы построения оптимальных управлений и011Г{{) в пространстве коэффициентов КИП, а также обеспечивает необходимые свойства решения в пространстве К,1'0 (£2')

• Декомпозиционный принцип построения алгоритма оптимизации.

• Принцип вложенных математических моделей (ВММ).

• Насыщение алгоритма оптимизации аналитическими операциями (аналитическое представление решения использовано как способ плотной «упаковки» информации о тонкой структуре управляемого поля.)

2. На основе интегрального представления решения по АМИЛ предложен многоуровневый декомпозиционный алгоритм оптимального подвижного пространственно-временного управления СРП, описываемых многомерными параболическими уравнениями, взаимосвязанными с уравнениями электромагнитного поля, определяющими внутреннее тепловыделение. Впервые в данном классе моделей оптимизации учтены три пространственных измерения в условиях нелинейности заданных функций в описании краевой задачи. Впервые при оптимизации учтен реальный характер источников тепла (расчет источников тепла на ЭВМ выполнен Мельниковым В.Н. [6]).

3. Детально исследована подзадача Си{1) синтеза оптимального временного закона управления функцией интенсивности й(/). Доказана теорема 1 о релейном характере этой функции всюду, за исключением особых участков движения СРП по фазовым ограничениям. При доказательстве использовано аналитическое интегральное представление решения на основе АМИЛ и математический аппарат принципа максимума Л.С. Понтрягина для СРП.

4. Доказаны теоремы 2 и 3 непрерывной зависимости коэффициентов КИП и решения от параметра 8 достижимой степени равномерного приближения к требуемому конечному состоянию (У {х), а также непрерывной зависимости от числа интервалов функции ы1 (/). Здесь также активно «эксплуатируется» интегральная форма представления решения и математический аппарат метода моментов. Теоремы 2 и 3 служат основанием для декомпонирующих итераций расщепления общей задачи оптимизации на подзадачи Си(() и С¥[х ^.

5. Доказаны теоремы 4 и 5 об устойчивости решения параболического уравнения, получаемого по АМИЛ, при возмущении начального состояния. Здесь также используется интегральное представление решения, которое позволило построить интегральные квадратичные формы и применить метод Ляпунова для СРП (данное положение разработано совместно с Вуйтовичем).

6. Исследована управляемость СРП с использованием интегрального представления решения по АМИЛ и метода моментов при трехмерной постановке задачи.

Новизна указанных положений обоснована тем, что до исследований автора трехмерная нелинейная задача оптимального управления тепловыми полями для подвижных источников воздействия не была решена. Не были разработаны и математические вопросы алгоритма решения данной задачи оптимизации.

Достоверность положений обоснована корректным математическим анализом, а также цифровыми экспериментами при численной реализации модели оптимизации.

Теоретическая ценность положений состоит в том, что указан путь к построению эффективных в вычислительном отношении сложных моделей оптимального подвижного управления. Структура и содержание работы

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Работа содержит . страниц сквозной нумерации, из которых . страниц основного текста, . страниц рисунков, таблиц, библиографии и оглавления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложены принципы построения эффективных в вычислительном аспекте математических моделей оптимального управления электротепловыми полями для достаточно постановки задачи: учет нелинейности заданных функций в описании начально-краевой задачи, три пространственных измерения, взаимосвязи теплового и электромагнитного полей, трехмерного характера источников тепла, подвижного характера пространственно-временных управлений.

2. Сформулировано исходное математическое описание полей теплового, электромагнитного и термонаряжений как базы модели оптимизации.

3. Дана классификация постановок задач оптимального управления для рассматриваемого класса управлений.

4. Разработана адаптация схемы АМИЛ для решения задач оптимального управления: возможность оптимизации функции м(г) интенсивности источников, а также анализа управляемости в пространстве изображений КИП, т.е. без перехода к оригиналу.

5. Предложен декомпозиционный алгоритм решения задач оптимального управления для многомерных нелинейных параболических уравнений, опирающийся на аналитическое интегральное представление решения по АМИЛ и принцип вложенных математических моделей (ВММ).

6. Для подзадачи Си{1) оптимизации функции интенсивности подвижных управлений доказана теорема 1 о релейном виде управлений при отсутствии фазовых ограничений.

7. Для подзадачи сц(() доказаны теоремы 2 и 3 о непрерывной зависимости решения оптимальной задачи от допустимой погрешности е(л,) приближения к требуемому конечному состоянию <2 (х), а также от числа N интервалов управления в классе релейных управлений.

8. Доказаны теоремы 4 и 5 об устойчивости решения по АМИЛ при возмущении начального состояния на основе функций Ляпунова.

9. Исследована управляемость СРП на основе методов моментов для интегрального представления решения согласно АМИЛ.

10. Для подзадачи С¥[х1] оптимизации функции пространственной формы предложен на основе принципа ВММ двухэтапный алгоритм поиска с использованием пробных точек равномерно-распределенных ЛПТ — последовательностей И.М. Соболя — Р.Б. Статникова.

11. В качестве апробации предложенного декомпозиционного алгоритма оптимизации решена трехмерная нелинейная краевая задача оптимального подвижного управления при индукционном нагреве парамагнитного прямоугольного параллелепипеда.

1. Айвазян С.А., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 1022 с.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.Н., Фомин C.B. Оптимальное управление.1. М.: Наука, 1979. — 430 с.

3. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1979. — 216 с.

4. Андреев Ю.Н., Огульник М.Т. Оптимальный по быстродействию нагрев пластины при ограниченных температурных напряжениях // Кибернетика и управление. — М.: Наука, 1967, с. 43 — 52.

5. Бадамшин P.A., Горбатков С.А., Клестов Е.А. Оптимальное терминальное управление системами с распределенными параметрами при неполном измерении их состояния. — Уфа: Уфимск. гос. авиац. технич. ун-т, 1997, —313 с.

6. Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления. — М.: Наука, 1989. — 224 с.

7. Беллман Р. Динамическое программирование. — М.: Иностранная литература, 1960. — 400 с.

8. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи.1. М.: Мир, 1968, — 164 с.

9. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1982. — 304 с.

10. Болотов A.B., Шепель Г.А. Электротехнологические установки: Учебн. для вузов. — М.: Высшая школа, 1988. — 336 с.

11. Болтнянский В.Г. Математические методы оптимального управления.

12. М.: Наука. Физмалит, 1969. — 408 с.

13. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука. Физмалит, 1965. — 474 с.

14. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1979. — 224 с.

15. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1975. — 568 с.

16. Бутковский А.Г., Малый С.А., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металла. — М.: Металлургиздат, 1972. — 440 с.

17. Бутковский А.Г., Пустыльников JI.M. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука. Физматлит, 1980. — 284 с.

18. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука. Физматлит, 1988. — 552 с.

19. Васильев О.В. Методы оптимизации в конечномерных пространствах.

20. Иркутск: Изд-во Иркутского ун-та, 1979. — 132 с.

21. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. — М.: МГУ, 1989. — 142 с.

22. Вигак В.М. Оптимальное управление нестационарными температурными режимами. — Киев: Наукова думка, 1979. — 360 с.

23. Ворович И.И., Красовский Ю.П. О методе упругих решений // Докл. АН СССР, 1959. Т. 126, № 4, с. 740 — 743.

24. Вуйтович М.Е. Математическое обоснование итеро-аппроксимативного метода решения нелинейных многомерных задач электротеплового поля // Электродинамика СВЧ и КВЧ, 1999, Т. 7, № 1. —с. 6 — 17.

25. Вольдек А.И., Данилевич Я.Б., Косачевский В.И. и др. Электромагнитные процессы в торцевых частях электрических машин. — JI.: Энерго-атомиздат, Ленингр. отд-ние, 1983. — 216 с.

26. Гживачевски М., Сарнецка В., Вуйтович М. Декомпозиционный метод решения начально-краевых нелинейных многомерных задач оптимального управления электротепловым полем // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, №4, с.

27. Голичев И.И. Решение некоторых задач для параболических уравнений методом последовательных приближений. — Уфа. Башкирский научный центр Уральского отделения АН СССР, 1979. — 172 с.

28. Голичев И.И. Аппроксимация решения некоторых краевых и смешанных задач // Доклады АН СССР. Серия «Математика». — 1980. — Т. 215, № 8. — с. 535 — 539.

29. Голубь H.H. Оптимальное управление симметричным нагревом массивных тел при различных фазовых ограничениях // Автоматика и телемеханика, 1967, № 4, с. 38 — 57.

30. Горбатков С.А., Гживачевски М. К анализу итеро-аппроксимативного метода для трехмерных нелинейных задач теплопроводности // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1988, № 2, с. 101 — 111.

31. Горбатков С.А., Кувалдин А.Б., Минеев В.Е. и др. Химические аппараты с индукционным обогревом. — М.: Химия, 1974. — 175 с.

32. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. — М.— Л.: Изд. АН СССР, 1948. — 748 с.

33. Демирчян К.С. Моделирование магнитных полей. — Л.: Энергия, 1974. — 288 с.

34. Демирчян К.С., Чечурин В.Л. Расчет вихревых магнитных полей на основе использования скалярного магнитного потенциала // Электричество, 1982, № 1.

35. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. — М.: Издательство Московск. госуд. ун-та, 1994. — 208 с.

36. Канторович Л.В. Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Наука. Физматлит, 1977. — 742 с.

37. Дикусар В.В., Милютин A.A. Качественные и численные методы в принципе максимума. — М.: Наука, 1989. — 114 с.

38. Егоров Ю.В. Некоторые задачи теории оптимального управления // ЖВМ и МФ, 1963, Т. 3, № 5, с. 887 — 904.

39. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. — М.: Наука, 1978. — 464 с.

40. Зарипов М.Ф., Горбатков С.А. Элементы теории нелинейных электромагнитных систем с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1979.225 с.

41. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 328 с.

42. Кантрович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // Успехи мат. наук. 1948, Т.З, № 6, с. 89 — 185.

43. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. — М.: Высшая школа, 1985. — 280 с.

44. Кирин Н.Е. Вычислительные методы теории оптимального управления.

45. Л.: Изд-во ЛГУ, 1968. — 144 с.

46. Кирин Н.Е., Морозкин Н.Д. Численные приближения экстремалей управляемых динамических систем: Учебн. пособия для вузов. — Уфа: Башкирский госуд. ун-т, 1989. — 89 с.

47. Клестов Е.А., Сиразетдинов Т.К. Метод распределенных моментов в задачах оптимального быстродействия // Сб. научн. трудов Казанского ин-та. — Казань: Изд. КАИ, 1971, вып. 130, с.98 — 103.

48. Коган М.Г. Поверхночстный эффект в неравномерно нагретом ферромагнитном цилиндре // Электричество, 1967, № 8, с. 72 — 81.

49. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. — М.: Наука, 1975, —225 с.

50. Колмогоров А.Н., фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976. — 544 с.

51. Колмоновский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы систем с последствием. — М.: Наука. — 448 с.

52. Коломейцева М.Б. Решение задачи оптимального управления индукционным нагревом подвижных объектов // Управление распределенными системами с подвижным воздействием. — М.: Наука, 1979. — с. 99 — 106.

53. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977. — 832 с.

54. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. — М.: Мир, 1972. — 276 с.

55. Кравченко А.Н. Краевые характеристики в задачах электродинамики.

56. Киев: Наукова думка, 1989. — 224 с.

57. Кравченко А.Н., Березовский A.A. О нелинейных краевых задачах электромагнитного поля. — Киев: Изд. АН УССР, 1963. — 76 с.

58. Красовский H.H. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968. — 476 с.

59. Красовский H.H. Управление динамической системой: Задача о минимуме гарантированного результата. — М.: Наука, 1985. — 518 с.

60. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука. Физматлит, 1967. — 736 с.

61. Леонтович М.А. о приближенных граничных условиях для электромагнитного поля на поверхности хорошо проводящих тел // Исследования по распределению радиоволн. — 1948. — Сб. II, с. 5 — 12.

62. Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. — М.: Наука, 1972.

63. Лионе Ж. — Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972. — 416 с.

64. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики.1. М.: Наука, 1975, —478 с.

65. Лыков A.B. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967. — 600 с.

66. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1980.535 с.

67. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука. Физмалит, 1970. — 512 с.

68. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. — М.: Госуд. изд. физико-матем. лит., 1959. — 232 с.

69. Моисеев H.H. Элементы теории оптимальных систем. — М.: Наука, 1975. — 526 с.

70. Морозкин Н.Д. Оптимальное управление процессами нагрева с учетом фазовых ограничений. — Уфа: Башкирский госуд. ун-т, 1997. — 114 с.

71. Морозкин Н.Д. Оптимальный по быстродействию нагрев массивных тел с учетом фазовых ограничений // Математическое моделирование, 1995, Т. 7, №5, с. 86 — 96.

72. Морозкин Н.Д. О сходимости конечномерных приближений в задаче оптимального одномерного нагрева с учетом фазовых ограничений // ЖВМ и МФ, 1996, № 10, с. 12 — 22.

73. Нейман Л.Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. — Л.: Гостехиздат, 1949. — 190 с.

74. Немков B.C., Демидович В.Б. Теория и расчет устройств индукционного нагрева. — Л.: Энергоатомиздат, 1988. — 280 с.

75. Никольский В.В., Никольский Т.И. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. — М.: Наука, 1983. — 304 с.

76. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1969. — 480 с.

77. Орлов Ю.В. Теория оптимальных систем с обобщенными управлениями. — М.: Наука, 1988. — 192 с.

78. Ортега Дж., Рейнболдт. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. — М.: Мир, 1975. — 560 с.

79. Понтрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1976. — 332 с.

80. Павлов H.A. Инженерные тепловые расчеты индукционных нагревателей. — Л.: Энергия. Ленингр. отд-ние, 1978. — 120 с.

81. Павловский Ю.Н. Проблема декомпозиции в математическом моделировании // Математическое моделирование, 1991, Т. 3, № 4, с. 93 — 122.

82. Первозванский A.A., Гайцгорн В.Г. Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. — М.: Наука, 1979. — 344 с.

83. Плотников В.Н. Необходимые и достаточные условия оптимизации и условия единственности оптимизируемых функций для управляемых систем общего вида // Известия АН СССР. Серия «Математика», 1972, Т. 36, № 6, с. 652 — 679.

84. Подстригач Я.С., Бурак Я.Н., Гачкевич А.Р., Чернявская Л.В. Термоупругость электропроводных тел. — Киев: Наукова думка, 1977. — 247 с.

85. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. — М.: Наука, 1980. —320 с.

86. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. — М.: Металлургия, 1993. — 279 с.

87. Рапопорт Э.Я. Задача равномерного приближения при оптимизации распределенной системы, описываемой уравнениями параболического типа // Сибирский математический журнал. — 1982. — Т. 23, № 5. — с. 168 — 191.

88. Рапопорт Э.Я. Подвижное управление в задачах оптимизации индукционного нагрева металла // Управление распределенными системами с подвижным воздействием. — М.: Наука, 1979. — с. 82 — 92.

89. Рыкалин H.H., Зуев И.В., Углов A.A. Основы электронно-лучевой обработки материалов. — М.: Машиностроение, 1978. — 240 с.

90. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции — диффузии. — М.: Эдиториал УССР, 1999. — 248 с.

91. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978, —591 с.

92. Сарнецка В. Исследование управляемости электротепловой СВЧ-системы с распределенными параметрами на основе аппроксимативногометода итерационной линеаризации // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, № 1, с. 77 — 89.

93. Сарнецка В. Исследование устойчивости решения параболического уравнения по возмущению начального состояния методом функций Ляпунова // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, № 1, с. 90 — 101.

94. Свенчанский А.Д. Электрические промышленные печи. — М.: Энергия, 1976. —384 с.

95. Свешников А.Г. Прямые и обратные задачи электродинамики // Проблемы математической физики и вычислительной математики. — М.: Наука, 1977, с. 287 — 298.

96. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. — Новосибирск: Наука. Сибирское отд-ние, 1987. — 231 с.

97. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1977. — 480 с.

98. Слухоцкий А.Е., Рыскин С.Е. Индукторы для индукционного нагрева. — JL: Энергия. Ленингр. отделение, 1974. — 264 с.

99. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров задаче со многими критериями. — М.: Наука. 1981. — 110 с.

100. Соловьев В.Н. О численном решении некоторых задач индукционного нагрева цилиндрических образцов токами высокой частоты // Вестник Московского госуд. ун-та, Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика, 1993, № 3, с. 40 — 46.

101. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач: Учебн. пособия для вузов. — М.: Наука. Физмалит, 1979. — 285 с.

102. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласко В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. — М.: Машиностроение, 1990. — 264 с.

103. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорретные задачи. — М.: Наука. Физмалит, 1995. — 312 с.

104. Тозони O.B. Метод вторичных источников в электротехнике. — М.: Энергия, 1975. — 296 с.

105. Управление динамическими системами в условиях неопределенности / С.Т. Кусимов, Б.Г. Ильясов, В.И. Васильев и др. — М.: Наука, 1988. — 452 с.

106. Установки индукционного нагрева: Учебное пособие для вузов / А.Е. Слухоцкий, B.C. Немков, H.A. Павлов, A.B. Бамунэр. — JL: Энерго-атомиздат, Ленингр. отд-ние, 1981. — 328 с.

107. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику: Учебн. пособие для вузов. — М.: Изд-во Моск. физ. — техн. ин-та, 1994. — 528 с.

108. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. — М.: Наука, 1979. — 488 с.

109. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. — М.: Мир, 1986. — 442 с.

110. Черноусько Ф.Л., Баничук В.П. Вариационные методы механики и управления. — М.: Наука, 1973.

111. Чубаров Е.П. Управление системами с подвижными источниками воздействия. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 288 с.

112. Breinmaker Professional. Neural Network Simulation software. User Guide Reference Manual. — Nevada City: California scientific Software, 1995.

113. Chandrashekhara K.A. A note on the analysis of finite solid cilinder // AIAA Joutnal, 1969. V. 7, № 6, p. 1161 — 1163.

114. Gorbatkov S.A., Nikitin A.V., Sarnecka W. Constructive methods of optimal control of non-linear heating processes of ferro- and paramagnetic bodies in elek-tromagnetic field // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, № 1, с. 22 — 31.

115. Grzywaczewski М., Gorbatkov S.A., Nikitin A.V. Local principe of a maximum in problem of conducting body heating in an elektromagnetic field // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1997, Т. V, вып. 2 (18), с. 138 — 151.

116. Grzywaczewski М., Gorbatkov S.A. Optimal Control in the Process of Induction Heating // Simposium «System — Modelling — Control» (April — May 1998, Zakopane, Poland): Prosidings, p.

117. Grzywaczewski M., Gorbatkov S.A.Nieregularne punkty fazowe przy optymal-nym sterowaniu procesem nagrzewania indukcijnego // XII Krajowa Konferencja Automatiki (Gdynia, 6 — 8 wrzesnia 1994, Poland). — Gdynia: Wyzsza Skola Morska, 1994. — P. 596 — 602.

118. Pachpatte b.G. Monotonne method for noulinear system of equation arising in reactor dynamics // Math. Semin. Notes. Kobe Univ. 1982. 10, N 2/2. P. 721 — 732.

119. Reichert K.A. Numerical Methods to Calculate Induction Heating Installations // Electrowarme INT. — 1968. — V. 26, p. 113 — 123.

120. Sattinger D.H. A monotonne method for noulinear elliptic and parabolic problems // Indiana Univ. Math. I. 1972. V. 21. P. 979 — 1000.

121. Schulze D. Modellierung und Steurerung induktiver Erwärmungsprozesse, 1984, 256 s. — Ilmenau: Technische Hochschule, Diss. В.

122. Handbook of Intelligent Control: Neural, Fuzzy and Adaptive Approaches / (Ed/: David A — Write. Donald a — Sofge): Van Nostrand Reinbrold, № 4, 1992. — 558 p.

123. Hageman L.A., Young D.M. Applied Iterative Methods. — New York: Akademie Press, 1981.

124. Hitzschke R.-P., Schulze D. Berechnung van Zeitplansteurungen für induktive Erwärmungs — sprozesse // Elektrowärme international, 48 (1990). B4, p. 192 — 198.