автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оптимальное управление распределенными системами с подвижными источниками энергии

Г Г с ОД

з 1 щ ш

На правах рукописи

БАДАМШИН РУСТАМ АХМАРОВИЧ

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ СИСТЕМАМИ С ПОДВИЖНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ЭНЕРГИИ (НА ПРИМЕРЕ ЭЛЕКТРОТЕПЛОВЫХ СИСТЕМ)

Специальность 05Л3.01 - управление в технических системах

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степей» доктора технических наук

Уфа 1999

Работа выполнена в техническом университете

Уфимском государственном авиационном

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор Дегтярев Г.Л.

доктор технических наук, профессор Степанявц Г.А.

доктор физико-математических наук, профессор Голичев И.И.

Ведущая организация - Институт механики Уфимского

научного центра РАН

Защита состоится « 6 » марта 2000 г. на заседании диссертационного совета ДР-063.17.34 Уфимского государственного авиационного технического университета по адресу: 450000, г. Уфа, ул. К. Маркса, 12.

С диссертацией мижно ознакомиться 5 бибдиспеке унй»срситс.|3

Автореферат разослан «__» декабря 1999 г.

Ученый секретарь диссертационного совета 'В. МИРОНОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Во многих технических приложениях суть объектов управления такова, что их описание небольшим конечным набором сосредоточенных переменных неадекватно существу процессов и той цели управления, которая поставлена применительно к объекту. Это можно отнести, в частности, к тем технологическим процессам, где процессы тепломассопереноса, диффузионные, колебательные являются доминирующими на всех стадиях преобразования материальных потоков и их взаимодействия с окружающей средой. Состояние таких объектов (систем с распределенными параметрами или распределенных систем) должно задаваться не только в каждый момент времени t, но и в каждой точке той геометрической области пространства, кот9рую занимает данный объект. Их поведение описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, интегральными уравнениями и другими функциональными соотношениями.

Широкое применение в технологических процессах подвижных источников энергии (электронно-лучевые, лазерные; плазменный поток, сфокусированное электромагнитное излучение, электрическая дуга, вихревые токи, химические н ядерные реакции и многое другое) стимулировали развитие нового класса распределенных систем - объектов с подвижным воздействием.

Развитие ведущих отраслей промышленности ^машиностроения, \J металлургии, электротехнической, Нефтеперерабатывающей) неразрывно связано с возрастающим применением электротепловых процессов и установок, в том числе, с разработкой и промышленным внедрением высокопроизводительных и энергоемких нагревательных установок с подвижными источниками энергии, обеспечивающих жесткие требования к качеству нагрева, высокий уровень автоматизации и механизации технологических процессов, а также высокую экономическую эффективность производственных процессов за счет максимального использования внутренних резервов. В этой связи большое значение приобретает задача достижения предельных качественных показателей процессов нагрева путем оптимизации режимов работы и конструктивных характеристик нагревательных установок по соответствующим критериям, которая может быть решена на базе современной теории и техники оптимального управления.

Теория оптимального управления распределенными системами нашла достаточное развитие в трудах отечественных и зарубежных ученых: Алифапова О.М., Андреева Ю.Н., Арсенина В.В., Ваковского А.Г., Голичева И.И., Горбаткова С.А., Дегтярева Г.Л., Дилигенского Н.В., Егорова А.И.,

Егорова Ю.В., Коломейцевой МБ., Красовского H.H., Лионса Ж.Л., Лурье К.А., Первозванского A.A., Понтрягина Л.С., Пустыльникова Л.М., Рапопорта Э.Я., Рыкалина И.Н., Сиразетдинова Т.К., Тихонова А.Н., Чубарова Е.П., Bellman R., Kalaba R., Wang P.K.C., Tung F. и др. В рамках линейного одномерного приближения для модели в виде системы дифференциальных уравнений эта теория приобрела характер классической завершенности.

Уникальность и высокая стоимость проектируемого оборудования и их систем управления в большинстве случаев исключают возможность проведения натурных экспериментов и значительных схемных и конструктивных изменений на этапе его доводки. Поэтому при проведении оптимизации режимов нагрева требуется учитывать реальные условия функционирования объекта: нелинейность среды и граничных условий, ограничения на функцию состояния объекта и управление.

В свете этого актуальной научно-технической проблемой является разработка методов решения задач оптимального управления распределенными системами с подвижными источниками энергии (ПГО), описываемыми нелинейными многомерными моделями, включая модели, представимые в интегральной форме (интегральные уравнения, линейные по управлениям; метод конечных интегральных преобразований по пространственным переменным и др.) с целью их последующего использования при создании сложных электротепловых систем.

Интегральные представления модели более удобны для решения задач оптимизации, ибо позволяют использовать в пространстве коэффициентов преобразования математический аппарат оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений (принцип максимума, метод моментов, метод динамического программирования) как составную часть алгоритма. Это направление теории оптимального управления распределенными системами было исследовано ранее лишь фрагментарно.

Второй малоисследованный аспект теории оптимального управления распределенными системами - это неполнота информации об управляемом объекте. При построении обратной связи используется конечное число измерительных датчиков, показания которых зашумлены. Поэтому необходимым элементом системы автоматического управления является оценка состояния объекта и определение воздействия как функции оценки состояния. Кроме того, неполнота информации проявляется также в неопределенности входных данных (о тепло - и электрофизических параметрах нагреваемых тел, геометрии электротепловой системы и др.), фактически необходимо управлять ансамблем оптимальных траекторий электротеплового объекта. Таким образом, с точки зрения теории систем имеем случай

управления динамическими системами с распределенными параметрами з условиях неопределенности.

Третий аспект проблемы является специфическим для рассматриваемого класса задач оптимального управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, где кроме оптимального временного закона изменения интенсивности подвижного источника воздействия игюг (?) синтезируется также оптимальная функция пространственной формы у/\х, Х0 этого источника, центр распределения которого х0(/) перемещается относительно нагреваемого объекта (непрерывно или дискретно). В этих условиях даже для исходной линейной модели искомое управление (//[х,/,х0(Л] входит в интегральное представление модели нелинейно, поэтому широко используемый в распределенных системах

тр»атту 11п1#атт'ту^'п РТРППТЛГГ^1! ттлттл^ту атттт»»^ ТТдл^уАдуп#л

ограничивать также поиск оптимальных подвижных управлений иог1т (?), у4х,г,х0(/)] в классе технически реализуемых.

Другой важной и актуальной проблемой является практическая реализация оптимальных режимов в СРП. Она может быть эффективно решена на основе разработки и применения специальных конструкций и систем управления, например, злектрстеплсвыми установками. Оптимальные алгоритмы пространственного распределения управляющих воздействий могут осуществляться, в ряде случаев, путем надлежащего конструктивного исполнения электротепловых установок. Реализация оптимальных режимов в электротепловых системах заданной конструкции состоит в построении автоматических систем программного управления с изменением по заданной программе во времени управляющего воздействия либо замкнутой системы автоматического управления с обратными связями, в которой оптимальное управление формируется в зависимости от текущего состояния процесса.

Вышеизложенное, а также то, что «Проблемы управления и автоматизации», «Математические методы исследования нелинейных управляющих систем и процессов», «Математическое моделирование и методы прикладной математики» отнесены к числу приоритетных направлений фундаментальных исследований", подтверждает актуальность рассматриваемой в диссертации научно-технической проблемы.

Исследования по теме диссертации проводились в рамках Федеральной целевой программы «Государственная поддержка интеграции высшего

* Приоритетные направления развития науки и техники, утвержденные Председателем Правительственной комиссии по научно-технической политике В.С.Черномырдиным 21.07.1996 г., №2727п-П8.

образования и фундаментальной науки на 1997 - 2000 годы» (проекты «Развитие научно-учебного комплекса по фундаментальным проблемам математики и теории управления», контракт № 2.1-76, «Центр развития фундаментальной пауки и высшего образования «Ресурсы, технологии, системы» УГАТУ и институтов РАН», контракт № А0004), план-нарядов Я0177169823, Я0179121803, Я0182079833 (головной исполнитель -Всесоюзный научно-исследовательский и проектно- конструкторский институт электротермического оборудования (ВНИИЭТО, ныне - АО ВНИИЭТО), исполнитель - Уфимский авиационный институт (ныне - Уфимский государственный авиационный технический университет)). Часть исследований по теме диссертации проведена в рамках выполнения хоздоговорных исследований и тематического плана госбюджетных НИР Уфимского государственного авиационного технического университета. Теоретическая часть исследований по управлению тепловым полем кольцевых заготовок деталей газотурбинных авиадвигателей в процессе их термомеханической обработки выполнена при поддержке гранта Минобразования России.

Автор выражает искреннюю благодарность научному консультанту профессору, доктору технических наук Горбаткову Станиславу Анатольевичу.

Делью диссертационной работы является разработка теоретических основ оптимального управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, описываемыми параболическими уравнениями, с учетом нелинейности модели, ее многомерности, наличия неполной информации об управляемом объекте на базе методов итерационной линеаризации, синтез оптимальных управлений (пространственно-временного распределения подвижных источников тепла) для класса систем индукционного нагрева токощэовоаящщс^ тел, их Техническая реализация и внедрение в промышленности.

Для достижения этой цели в работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка методологии решения задач оптимального управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, описываемыми параболическими уравнениями, с учетом нелинейности модели, ее многомерности, наличия неполной информации об управляемом объекте.

2. Разработка и исследование итерационных методов решения сложных нелинейных многомерных краевых задач для параболических уравнений как основы для оценки состояния объектов управления, исследования устойчивости и управляемости электротешговых систем с распределенными параметрами, анализа основных закономерностей управления

распределенной системами с подвижными кстотзпкакн зперпга.

3. Разработка итерационных методов решения задач оптимального управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, описываемыми нелинейными параболическими уравнениями.

4. Разработка математического обеспечения анализа и синтеза оптимальных управлений (пространственно-временного распределения подвижных источников тепла) для класса систем индукционного нагрева токопроводящих тел; принципов и технических решений, направленных на создание класса управляемых систем индукционного нагрева токопроводящих тел с подвижными источниками тепла.

5. Экспериментальные и теоретические исследования влияния пространственно-временного распределения подвижных источников энергии на процессы термомеханической обработки кольцевых деталей газотурбинных авиадвигателей. Разработка способов повышения качества термомеханической обработки заготовок, основанных на управлении тепловым полем. Внедрение результатов исследований в промышленности.

Методы исследования. Поставленные в диссертационной работе задачи решались с использованием методов системного и функционального анализа, теории управления, оптимизации, теории электромагнитного поля, математической физики, теории теплопроводности, планирования эксперимента, теории подобия.

В диссертации изложение ведется на примере систем с распределенными параметрами (СРП) для нагрева токопроводящих тел (металлических, композиционных, порошковых) в электромагнитном поле. Однако полученные результаты, очевидно, могут быть использованы и для более широкого спектра СРП, описываемых параболическими уравнениями.

Научная иовизна результатов работы заключается в следующем:

1. Предложен принцип вложенных математических моделей, дающий методологию решения нелинейных задач оптимального управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, которая позволяет осуществить декомпозицию исходной задачи по физическим процессам с учетом взаимосвязи полей различной физической природы; организовать декомпозицию исходной нелинейной задачи на линейные подзадачи; построить декомпозицию в поисковых процедурах с учетом некорректности класса обратных задач при оптимизации функции пространственной формы подвижных источников энергии.

2. Разработана и исследована в деталях новая модификация аппроксимативного метода итерационной линеаризации (АМИЛ) для решения сложных нелинейных многомерных краевых задач для параболических

уравнений как основа для оценки состояния объектов управления, исследования устойчивости и управляемости электротепловых систем с распределенными параметрами, анализа основных закономерностей управления распределенными системами с подвижными источниками энергии.

3. Разработан многоуровневый декомпозиционный итерационный метод решения задач оптимального управления электротепловыми распределенными системами с ПИЭ, учитывающий нелинейность модели, ее многомерность, наличие неполной информации об управляемом объекте. Предложены концептуальные и методологические принципы регуляризации и повышения эффективности решения задач оптимального управления нелинейными электротепловыми распределенными системами с ПИЭ в условиях неопределённости на основе нейросетевых моделей.

4. На основе нелинейных многомерных математических моделей оптимального пространственно-временного управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, построенных на базе АМИЛ, исследовано влияние на управляемость электротепловых систем с распределенными параметрами пространственных электротепловых краевых эффектов и нелинейных ограничений. Выявлены параметры, позволяющие управлять электротепловыми системами с распределенными параметрами. Принципиальной новизной в исследовании вопроса управляемости является учет зависимости ограничения (допустимых термонапряжений) от функции состояния (температуры).

Практическая ценность результатов работы:

На основе предложенных в работе теоретических подходов разработаны и внедрены в практику проектирования методы, алгоритмы и программное обеспечение анализа и синтеза оптимального управления электротепловыми распределенными системами ' с ПИЭ, описываемыми параболическими уравнениями, адекватно учитывающие реальные условия функционирования управляемых объектов (продольно-поперечные многомерные краевые эффекты, нелинейности, переменные ограничения на функцию состояния объекта и управление, подвижный характер распределенных воздействий, управление ансамблем траекторий в условиях неопределенности), принципы и технические решения по их реализации, что позволило повысить производительность проектируемого оборудования, уменьшить его весогабаритные показатели, сократить расходы на крупномасштабные эксперименты и доводку дорогостоящего оборудования для реализации наукоемких технологий.

На защиту выносятся:

1. Методология решения нелинейных задач оптимального управления

распределенными системами с подвижными источниками энергии, которая позволяет осуществить декомпозицию исходной задачи по физическим процессам с учетом взаимосвязи полей различной физической природы; организовать декомпозицию исходной нелинейной задачи на линейные подзадачи; построить декомпозицию в поисковых процедурах с учетом некорректности класса обратных задач при оптимизации функции пространственной формы подвижных источников энергии.

2. Новая модификация аппроксимативного метода итерационной линеаризации (АМИЛ) для решения сложных нелинейных многомерных краевых задач, описываемых параболическими уравнениями, как основа для оценки состояния объектов управления, исследования устойчивости и управляемости электротепловых систем с распределенными параметрами, анализа основных закономерностей управления распределенными системами с подвижными источниками энергии.

3. Многоуровневый декомпозиционный итерационный метод решения задач оптимального управления электротепловыми распределенными системами с ПИЭ, учитывающий нелинейность модели, ее многомерность, наличие неполной информации об управляемом объекте. Концептуальные и методологические принципы регуляризации и повышения эффективности решения задач оптимального управления нелинейными злектротепловыми распределенными системами с 1ШЭ в условиях неопределённости па основе нейросетевых моделей.

4. Математическое обеспечение анализа и синтеза оптимальных управлений для класса систем индукционного нагрева токопроводящих тел.

5. Принципы и технические решения, направленные на создание класса управляемых систем индукционного нагрева токопроводящих тел с подвижными источниками тепла.

Внедрение результатов работы.

Математическое и программное обеспечение анализа и синтеза оптимальных управлений для класса систем индукционного нагрева токопроводящих тел, принципы и технические решения, направленные на создание класса систем индукционного нагрева токопроводящих тел с подвижными источниками тепла, использованы при разработке управляемых индукционных нагревательных систем для новых высокоинтенсивных процессов, внедренных на ряде предприятий авиационной промышленности, машиностроения, электротехнической, нефтеперерабатывающей

промышленности, а также в учебном процессе.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях,

симпозиумах и семинарах: Ш Всесоюзном симпозиуме «Теория информационных систем и систем управления с распределенными параметрами (Уфа, 1976 г.), Всесоюзной межвузовской научно-технической конференции «Математическое, алгоритмическое и техническое обеспечение АСУ ТП» (Ташкент, 1980 г.), 9-й Всесоюзной научно-технической конференции «Применение токов высокой частоты в электротермии» (Ленинград, 1981 г.), межотраслевой научно-технической конференции по автоматизации стендовых испытаний (г.Москва, ЦИАМ, 1988), Второй Всесоюзной конференции «Системы автоматического управления летательными аппаратами» (Москва, МАИ, 1988), Международных конференциях по электромеханике и электротехнологии (г.Суздаль, 1994; г.Клязьма, 1998), V Всероссийской научно-технической конференции «Математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах (ОИС) СВЧ и КВЧ (г.Сергиев Посад, 1995), Минском международном форуме по тепломассообмену (г.Минск, 1996г), Первой международной научно-практической конференции "Дифференциальные уравнения и их применение" (г. С.-Петербург, 1996), Международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (г.Красноярск, 1997), научных межвузовских конференциях «Математическое моделирование и краевые задачи» (г.Самара, 1997, 1998, 1999), II международной научно-технической конференции «Моделирование и исследование сложных систем» (г.Москва, 1998), Всероссийской научно-технической конференции «Технологические проблемы производства элементов и узлов изделий авиакосмической техники» (г.Казань, 1998), 40. Internationales Wissenschaftlihes Kolloquium (Ilmenau, FRG, 1995), VIII th International Schol-Seminar "Electrodynamics and Technique of Microwave an EHF" (Okhotino, Russia, 1996), 2 nd Asian Control Conference (Seoul, Korea, 1997), The Third International Symposium «Application of the Conversion Research Results for International Cooperation» (Sibconvers'99) (Tomsk, Russia, 1999) и др.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 47 печатных трудах, из них одна монография (в соавторстве), 27 статей в научных журналах, сборниках и трудах конференций, 4 авторских свидетельства и патента, 1 зарегистрированная в РОСПАТЕНТе программа для ЭВМ, 14 - тезисы докладов на научно-технических конференциях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, и заключения, изложенных на 315 листах машинописного текста, включая 47 рисунков и 13 таблиц, списка использованных источников из 179 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе дана общая постановка задачи управления распределенными системами с подвижными источниками энергии.

Пусть Q(x,t) - функция состояния СРП, где х - вектор пространственных переменных из n-мерного евклидова пространства En; t - время; xefic£",/€[Qi"];t'- время наблюдения процесса. СРП должна быть переведена из некоторого начального состояния Q(x,0) = Q0(x) в заданное конечное состояние Q(x,t*) = Q'(x) либо в некоторую Е-окрестность последнего. Для перевода системы из одного состояния в другое используется управляющее воздействие (управление), которое входит в соотношения, описывающие СРП. В рассматриваемых задачах управления электротепловыми системами управление F(x,t) - это функция джоулевы^ (внутренних) источников тепла либо функция теплового потока на границе области объекта нагрева Q.

Приведено математическое описание подвижных источников энергии, в котором явно выделены все технически реализуемые управляющие параметры:

где j=l,N - номер временного интервала управления; Uj(t) - скалярная функция интенсивности источника энергии; vj/jf • ] - функция пространственной формы источников на j-м интервале управления; S(t), 8(4) - векторы параметров, задающих законы поступательного и вращательного движения источников; p(t), ^(Q) - векторы «активных» (которыми конструктор может распорядиться при проектировании СРП) и «пассивных» управляющих параметров, влияющих на форму vy[-].

Постановка задачи оптимального управления целиком определяется особенностями рассматриваемого объекта и требованиями технологии. В частности, при индукционном нагреве токопроводящих тел основной особенностью является ограниченная управляемость в смысле точности Ei попадания в заданное конечное состояние Q*(x) в задачах перевода: Ф,(F(x,t)) = maxjQ(x,t*)-Q*(x)|<sb si >0. (2)

Вторая особенность, важная для задач управления распределенными системами с ПИЭ вида (1), - это невозможность формирования требуемой функции формы \|/[x,t] пространственной локализации источников тепла, если наложены ограничения по частотному параметру £,j(Q):

(3)

Естественным ограничением является также ограничение на ресурс по

функции интенсивности uj(t) в (1). При использовании тиристорното преобразователя частоты - это максимальная выходная мощность инвертора UjO^mmax; (4)

На движение системы действуют и другие ограничения, выражающиеся

заданными функциями состояния fi(Q(x,t)), i = l,L и управления F(x,t): на

максимальную температуру нагрева QmaxO) ~ maxQ(x, t) г На максимальные

ft

термонапряжения <Tmax(t), на скорость нагрева vH. В свете этого задача перевода состоит в отыскании допустимого управления F(x,t)eFfl0m под действием которого совершается допустимый переход Q(x,t)eQq0n-

Рассмотрены общие теоретические особенности нахождения оптимальных управлений распределешшми системами с ПИЭ. Обсуждены вопросы выбора критериев оптимизации управления Ф (F(x,t)), на которые также накладываются ограничения:

Ф,№/))^Ф>=1А^ (5)

что, в свою очередь, ограничивает поиск в пространстве частных критериев качества {Фу} при многокритериальной постановке задачи. Здесь {Фу*} образует множество допустимых критериев качества.

Отмечается, что управления (1) имеют большее число степеней свободы ->->-» __

за счет векторов Pj(x), б j(x), ^j(Q(x,t)), j = l,N, чем неподвижное N -

интервальное управление. Естественно ожидать превращения СРП из неуправляемой в управляемую при выходе в класс систем с ПИЭ.

Расширение резервов СРП при переходе от СРП с неподвижными источниками энергии к распределенным системам с ПИЭ приводит к утрате линейности основных математических связей. Так, известная проблема моментов становится нелинейной даже при линейном исходном уравнении, описывающем процесс. Следовательно, утрачивается возможность применения к ней (проблеме моментов) классического аппарата Маркова-Крейна или распределенного метода моментов. Одна из причин этого - нелинейное

вхождение параметров p(t) в функцию формы ■ ] в (1).

В задачах оптимального управления электротепловыми СРП положение усугубляется необходимостью управления нелинейно взаимосвязанными через физические параметры полями различной физической природы - тепловым и электромагнитным. В этом случае оператор связи между функцией состояния системы Q(x,t) и любым управляющим параметром s(t), p(t), формирующим функцию формы >(/[ • ], является нелинейным при любом виде

оператора (линейке:.: или нелинейном), описывающего СРП.

Приведен анализ современного состояния проблемы управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, который показал, что уровень развития методов решения нелинейных задач управления распределенными системами с ПИЭ не всегда соответствует запросам практики. Обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы основные задачи исследований.

Вторая и третья главы диссертации являются центральными - здесь разработаны теоретические основы оптимального управления распределенными системами с ПИЭ, описываемыми параболическими уравнениями, с учетом нелинейности модели, ее многомерности, подвижного характера пространственно - временных управлений, наличия неполной информации об управляемом объекте (

По второй гляке развивается подход к построению математических моделей объектов оптимизации, основанный на математическом описании динамических процессов в системах с распределенными параметрами в виде краевых задач для уравнений в частных производных.

ОT/T^Ofanf r.Tiт та г»т»-<^тча1 itt л ТТТ^'^ Г>ч потлтлп лттлто! клп traiTTrriisiiiTtTv 1 VllJlVJOIMls W1V-1WU.D1 V.» i J_i iJ V/Iiri^OliKXhJ i. V/l ViiWi VÎVHJtl llV^ixtltvirill£>l/V

параболических уравнений теплопроводности Фурье и электромагнитного поля в ферромагнитной среде. В случае квазистационарного приближения последнее заменяется уравнением Гельмгольца для комплексного векторного магнитного потенциала. Модель дополняется уравнениями Дюамеля - Неймана дня описания ограничений оптимального процесса по термонапряжениям. Задача расчета термонапряжений в квазистатическом приближении может быть отделена от взаимосвязанной электротепловой системы уравнений Фурье-Максвелла, то есть может решаться независимо после того, как определена функция состояния Q(x,t).

В работе предложен принцип вложенных математических моделей (ВММ), представляющий собой развитие известного принципа декомпозиции и позволяющий: 1) осуществить декомпозицию исходной задачи по физическим процессам с учетом взаимосвязи полей различной физической природы, причем с учетом распределенных в объеме тела подвижных управлений; 2)организовать декомпозицию исходной нелинейной задачи на линейные подзадачи; 3)построить декомпозицию в поисковых процедурах с учетом некорректности класса обратных задач при оптимизации функции пространственной формы ПИЭ ч'[хД]. Таким образом, принцип ВММ дает методологию постановки задач и, главное, выбора эффективного математического инструментария их решения. Все основные идеи ВММ апробированы путем математического и физического моделирования в главах

2-6, т.е. имеют характер рекомендаций по вычислительным технологиям расчета сложных задач оптимизации для систем с распределенными параметрами.

Основной отличительной особенностью развиваемого принципа ВММ является то, что его основу составляют различные итеро-аппроксимативные процедуры в алгоритмах, где на приближенные нелинейные функции действуют сжимающие (или нерастягивающие) интегральные операторы. Вторая отличительная особенность принципа ВММ - это использование в схеме декомпозиции исходной задачи его «несимметрии» по отношению к функции чувствительности по мерам для различных входных параметров (факторов) при оптимизации подвижных распределенных управлений. Третья особенность - это обеспечение в схемах декомпозиции регуляризации вычислительной схемы прямых краевых задач на основе использования априорной физической информации (интегральных законов сохранения), а также регуляризация поисковых процедур.

Разработана и детально исследована новая модификация аппроксимативного метода итерационной линеаризации (АМИЛ) решения нелинейных многомерных краевых задач, описываемых параболическими уравнениями. Идея АМИЛ в краткой операторной форме состоит в следующем.

Нелинейное уравнение {), х, /] - ^(х, /) запишем в виде

Ь,Щ-Щ = ф1(д) + ?{х,\ие{О,П. хеП; Ъ0>0; (6)

от

где из исходного нелинейного оператора Ад = С(С>)р(())(<1/Л)( •) - (•)]

выделены линейная Ь0 (¿/Л) - Ь и нелинейная ф]( • ) части, Ь - линейный дифференциальный оператор второго порядка по х. В отношении Цх,!) считаем, что Р(х,1)б1^(С), где в = {(х,1;): хеО, 1е(0,1*)}. Будем также считать, что существует решение уравнения в обобщенном смысле, т.е. функция

состояния СКх,0е У^'0 (в).

Нелинейные условия однозначности имеют вид <3(х,0) = (Мх); _ (7)

/Лв,в:,х,Шв)1, = 0,5 = 1,к,хеШ5, (8)

где ф2(0)- линейная функция; ^ ■ ) - нелинейный оператор граничных условий на поверхности в частности Г5( •) описывает условия теплообмена конвекцией, теплопроводностью, лучеиспусканием; <3х=3(5/3х.

Пусть существует обратный ограниченный оператор Вд такой, что

Q<x,l) = Bq [F(x,tj, qvj (QJ) ]. (9)

В линейной постановке, т.е. при заданных F(x,t) и cpi(Q) = <p(x,t), краевая задача однозначно разрешима, a Bq1 является вполне непрерывным (компактным) оператором. В работе показано, что нелинейные задачи (6) - (8) трансформируются к сходящейся последовательности линейных задач вида

Q<n>(x,t) = В^хДср^"-1^))],, n = 0,1,2,3,..., (10)

где проявлялись бы сглаживающие свойства оператора Bq1 по отношению к

приближаемым с помощью итеро-аппроксимативных процедур нелинейным функциям Ф] (Q(x,t)) в уравнении (6), а также функциям

fs{Q{x,t),Qx{x,t),x,ttp2{0)), s=l,k в граничных условиях (8).

t

iipH ЭТОМ На СОБОКуПКОС ГЬ ОИОПаТОрОЗ ЗЙДаЧИ 0'')~( ^) ИР-КЯадЫВйЮТСЯ

довольно необременительные условия, обычно выполняемые на практике: 1)оператор Bq1 должен быть вполне непрерывным (компактным) и содержать операции интегрирования по объему Q приближаемых нелинейных функций

<pi(Q). Л(е,е'.*,о; 2)<pi(Q), Q(x,t), <p2(Q) е vf (G).

Эта совокупность требований дает путь к построению приближенных итеро-аппроксимативных методов с довольно высокой скоростью сходимости (в пределах 5... 10 шагов).

Алгоритм аппроксимативного метода итерационной линеаризации:

1. Запись исходной нелинейной краевой задачи.

2. Выделение нелинейной части в уравнениях (например, в виде (6)).

3. Задание начального приближения. В частности, можно положить Q" (x,t)~ const.

4. Аппроксимация нелинейных функций cpf(Q(x,t)) в уравнении и fs(Q(x,t),OJx,t),x,t<p2(Q)) в граничных условиях гладкими аналитическими функциями координат и времени.

5. Решение полученной линейной краевой задачи известными методами. Определение Q"\x,t).

6. Проверка ma*\&'\x,t)-Q[""\x,t)\<s.

7. Если выполняется условие б, то 8, иначе 4.

8. Конец алгоритма.

Алгоритм АМИЛ подробно рассмотрен на конкретном примере решения нелинейной трехмерной электротепловой задачи, описывающей процесс

индукционного нагрева алюминиевых слябов в индукторе сложной формы. Взаимосвязь теплового и электромагнитного полей учитывалась применением аппроксимативного приема блочных итераций (организуются «внешние», в отличие от «внутренних» в алгоритме АМИЛ, итерации, в которых осуществляется уточнение функции источников тепла, определяемой из решения уравнений электромагнитного поля и аппроксимируемой также гладкими аналитическими функциями координат и времени). Для выделения линейной части параболического оператора и нелинейной поправки к ней использовано преобразование Кирхгофа. Линеаризованная задача теплопроводности решена методом конечных интегральных преобразований.

Рис. 1. К оценке погрешностей АМИЛ: а -зависимость невязки^ = тах |ем(*.О-6("",>(*.О|/0")(*> О

ОТ числа членов ряда к для 1 = 0,2884 (1) и I = 0,5769 (2); б-зависимостьневязки 8т = тах |е1")(*»0-й(,"')(*.0|/б(,',(*»0 от

номера итераций п

Всесторонне исследована адекватность полученной математической модели: путем математического моделирования на ЭВМ изучалась редукция тройных рядов в решении уравнения теплопроводности и сходимость итераций по АМИЛ (рис.1); результаты математического моделирования сравнивались с экспериментом. Нелинейное решение по АМИЛ дает погрешность и 2,8% с экспериментом и уточняет линейное решение на 15,4% по температуре и 32,5% по перепаду температуры по ширине сляба. АМИЛ сходится за семь шагов с невязкой 5„ » 1%. При невязке 5к » 0,1% в решении достаточно удерживать семь членов рядов по каждой координате.

АМИЛ (аналитическая форма решения в виде рядов по собственным

функциям линейного оператора) представляет собой удобный инструмент исследования нелинейных задач управления. С применением АМИЛ и метода функций Ляпунова - построения интегральных квадратичных форм и исследования их на знакоопределенность, который развит для СРП Т.К.Сиразетдиновым, исследована устойчивость решения трехмерных нелинейных задач теплопроводности по возмущениям начального состояния СРП. Показано, что решение асимптотически устойчиво, что важно для управления ансамблем нагреваемых слитков (с разными начальными распределениями (20(х,у,2)).

Использование АМИЛ позволило сформулировать проблему моментов для исходной нелинейной задачи и провести по ней качественный анализ управляемости объекта в смысле достижения заданного конечного состояния С>*(х). Получено необходимое условие управляемости СРП, описываемых тшрабо.'шческкми уравнениями:

откуда легко вытекает оценка минимального (предельно достижимого) времени переходного процесса в параболической системе

Отметим важную особенность оценок (11) и (12) - они записаны в области изображений (конечных интегральных преобразований). АМИЛ дает возможность анализа управляемости объекта в области изображений, без использования формул обращения, что является одним из его достоинств.

Получены количественные оценки управляемости для конкретных объектов.

В третьей главе разработаны теоретические положения и алгоритмы решения задач оптимального управления распределенными системами с ПИЭ. В соответствии с разработанным на основе принципа ВММ и АМИЛ декомпозиционным итерационным алгоритмом осуществляется декомпозиция исходной задачи оптимального управления на подзадачу Суда оптимизации функции интенсивности ПИЭ иф и подзадачу С^од оптимизации функции пространственной формы распределения ПИЭ ¥[хД] в нагреваемом теле О. Предложены взаимосвязанные критерии оптимизации для указанных подзадач. Показано, что принцип декомпозиции задач управления (рис. 2) по виду функции (1) не только удобен, но и имеет содержательную физическую и

(П)

. _1„ о .. .

тк.пип - ™ах

пах——— 1п 1

(12)

вычислительную основу.

Уровень декомпозиции П: | расщеплете задачи расчета

электротеплового поля | (индекс Э)

—— ;

б.Решение тепловой задачи на каждом и заданных {У®, С/® и нахождение функции качества и ограничений ,ъ-\,М

Конец итераций по S. Конец алгоритма

Рис. 2. Схема многоуровневой итерационной декомпозиции

Физический аспект принципа декомпозиции состоит в характере влияния функций и(1) и 1{/[хД] на условие управляемости СРП:

_L_._

5. Решение электромагнитных задач для данных ps(x), ц s(x), teAts и фиксированное значение исправление функции!

Здесь inf означает точную нижнюю границу значений погрешности (неравномерности) нагрева s на множестве значений Uj(t) в классе N -интервальных управлений.

Показано, что при увеличении числа интервалов управления N уменьшается предельная погрешность достижения заданного конечного состояния Q*(x). Отсюда вытекает и состоятельность задачи быстродействия, т.е. оптимизации u,(t)-управления: при заданной погрешности е в (13) и увеличении числа интервалов управления N обеспечивается все большая управляемость СРП С другой стороны, оптимизация функции формы ПИЭ ш[х-s(t),(t),£ j(c¡>)] также улучшает управляемость СРП. Таким образом, организация итераций по определению оптимальных значений функции интенсивности |аД/)| = и функции формы (//„,„|х-s(t),p(t),^(o))j, позволяет в итоге

реализовать экстремальные свойства СРП по ту-управлениям в выбранном классе технически реализуемых управлений.

Алгоритм итерационного процесса многоуровневой декомпозиции решения нелинейной задачи управления распределенными системами с ПИЭ (vj/u - управления):

1. Выбор из априорных физических соображений технически реализуемого класса управляющих параметров для функции формы \|/[ • ] и начальных значений этих параметров:

Um( = (s'0> (t ),рт (/), <f0), (ft>)) 61]фт. (14)

2. Решение уравнений электромагнитного поля для парамагнитного или ферромагнитного тела, определение удельной объемной джоулевой мощности, аппроксимация последней гладкой аналитической функцией координат и времени. После этих операций становится известным начальное значение функции формы ц/1? [х, /] в (1).

3. Выбор простейшего класса цО:)-управлений в подзадаче Сцщ: одноинтервального ограниченного управления, решение задачи быстродействия для краевой задачи теплопроводности при заданных ограничениях на качество нагрева и координаты системы:

01(í/) = í-(í/J-^minr(C/J = C- (I5)

В итоге решения этой подзадачи С„(,) становится известным функционал быстродействия в классе управлений (и(0), у(0)).

4. Переход к следующему шагу декомпозирующих итераций (к=1), на котором фиксируется уже найденная интенсивность [uj(t)]<0) и решается

параметрическая нелинейная подзадача по оптимизации формы у(1)[х,1].

Эта подзадача является наиболее сложной и интересной, ибо достаточно подробно изучены только ее простейшие варианты в линейной одномерной постановке. После решения данной подзадачи оптимизации формы у становится известным вектор С/,*!' I .

I т \ опт

5. Возврат к пункту 3 и оптимизация интенсивности [и/1)](1) для выбранного класса N - интервальных управлений, т.е. нахождение вектора и[2\ затем повторение пункта 4 и т.д.

6. Критерием остановки декомпонирующих итераций служит условие стабилизации времени быстродействия с назначенной точностью 61:

J =

[Ф.^-ИадГ]

<¿„5,^0, (16)

к = 0,1,2,...

Условие (16) может наступить либо вследствие того, что уже достигнута нижняя граница по в (13) в выбранном классе М-интервальных

управлений, либо вследствие того, что функционалы 1*(ии) а Ф^Ц^) теряют чувствительность по аргументам при выбранных шагах дискретизации Ц,, Ц, в поисковых численных процедурах. В обоих случаях квазиоптимальное подвижное ^-управление можно считать полученным.

7. После достижения условия стабилизации декомпонирующих итераций (16) фиксируют найденные оптимальные управления и

совершают блочные итерации второго уровня (рис. 2). Схема этих итераций известна. Оригинальность предлагаемого алгоритма определения электротеплового поля заключается в совмещения блочных итераций (нижний индекс Б) с декомпонирующими итерациями ^-управления (верхний индекс К).

Блочные итерации заканчивают при соблюдении условия стабилизации для оптимального процесса по конечному состоянию

а™, с. *)-е,*,('".*)

У, = тах

1 хеО

07)

8. После достижения условия (17) следует проверить сохранение условия (16), так как оно могло измениться за счет влияния аргумента СЬ(х) на функцию формы ГШЭ.

На этом процесс оптимизации ПИЭ можно считать законченным. Алгоритм решения подзадачи Сцщ предполагает реализацию задачи

быстродействия при ограничениях на термонапряжения (amax(t) S aJon(Q)) и температуру (QmM(t) < 0д0П) на основе метода параметризации, разработанного Рапопортом ЭЛ. для разрешения условий оптимальности применительно к линейной задаче теплопроводности. Здесь метод применен для нелинейной электротепловой задачи, что стало возможньм благодаря использованию АМИЛ. В результате решения задачи параметризации управлений определяется класс оптимальных управлений с точностью до набора компонент вектора управления U„(t) в подзадаче С^,), Количественные значения параметров вектора управления определяются методом ЛПт-поиска.

Подзадача оптимизации С^ ставится как параметрическая и формулируется следующим образом: для модели (6), где оператор Aq задается уравнением теплопроводности, а подвижные источники F(x,t) находятся из решения уравнений Максвелла, найти такое значение вектора U ^, которое

доставляет минимум энергетическому функционалу

Ф(и^\и1п) = (т}и ■ costpu)~' при выполнении ограничений на погрешность достижения заданного конечного состояния, на максимальные температуру, термонапряжения и управления:

U4, е UVJ!cn; t" < t"; 0(UV, U„) min ®(U,,„ U„) < Ф". (18)

Компонентами вектора управляющих параметров V в общем случае

служат параметры формы, входящие в формулу ПИЭ (1).

Для решения параметрической задачи большой размерности с учетом длительного времени расчета краевой электротепловой задачи для одного варианта используется модифицированный на основе принципа ВММ метод ЛПт-поиска. Идея модификации состоит в том, что весь процесс поиска вектора U разбивается на 2 этапа: дальний и ближний поиск. На первом

этапе используется приближенная субмодель, а на втором, завершающем -исходная точная модель СРП. Субмодель получается методом планирования цифровых экспериментов для точной модели на небольшом числе узлов аппроксимации и имеет вид степенных полиномов, связывающих величины Ф, Tmax, t* с компонентами вектора Üv. Дальний поиск условного экстремума функции многих переменных производится с помощью зондирования пространства поиска точками равномерно распределенных ЛПт-последователыюстей. В ближнем поиске, после локализации экстремума, используется также ЛПт - поиск либо один из градиентных методов.

Таким образом, алгоритм решения подзадачи С^[хД] оптимизации

функции пространственной формы источников энергии будет следующим.

1) Нормировка управляющих параметров а( (чтобы они изменялись в пределах от 0 до 1, что удобно для генерации точек .ЛПт-последовательностей): а, х, = (аг - а,-.пшУ(а,. ш - а,- [г!с)еК={0< х, < 1}.

м I

2) В допустимой области поиска и е Б выбирается множество узлов аппроксимации {хш} или план цифрового эксперимента Т)х> где г - номер фактора (параметра), и - номер уровня, который он принимает в ш - м цифровом эксперименте. В каждой ш-й точке плана решается прямая краевая электротепловая задача по алгоритмам, изложенным в главе 2.

По результатам решения прямой задачи в каждой ш-й точке плана вычисляются все интересующие исследователя выходные величины модели: критерии Фуф'ш), (V = 1, 2,..., к); функциональные ограничения Ь([7Л), (I= 1, 2, ..., Ь), (: = 1, 2, ..., Ы), функции состояния (^(¿У )> которые заносятся в матрицу планирования. Обрабатывая матрицу планирования по метод)' наименьших квадратов (МНК), находят оценки коэффициентов в уравнениях n

У ш = ^ (Х1 х2. ХП) = Е ьтл Ф;(и);

¡=1

(Уш} = ФV(0(0)) , ^(^(0)). V = 2,..., к; /= 1,2,..., Ь, (19)

где {{р|(Ъ')} - система априорно выбираемых в соответствии с характером задачи координатных функций, в частности степенных.

Уравнения (19) - это аналитическая модель объекта оптимизации («уравнения проектирования»). Эти достаточно гладкие зависимости обеспечивают устойчивость по входным данным, естественно, ценой введения погрешности за счет аппроксимации (ут еС2(Т>), где С2 - класс непрерывных функций вместе со своими первыми и вторыми производными внутри области О).

3. Проверка адекватности модели (19) по абсолютному либо среднеквадратическому отклонению. Если модель адекватна, то процесс построения уравнений проектирования как базы для дальнего поиска считается законченным. В противном случае следует улучшить адекватность известными приемами.

4. Далее на 1 этапе "дальнего" поиска по модели (19) составляются так называемые таблицы испытаний. Этот этап выполняется ЭВМ без вмешательства человека. По алгоритму генерирования ЛПт-последовательностей выбираются точки в пространстве управлений 0 еК, равномерно расположенные в гиперкубе К. Причем ЭВМ сразу проверяет

ограничение G's < f, (U) < G", т.е. попадание пробных точек P„ в G с К. В отобранных по этому ограничению точках ЭВМ составляет по каждому критерию Фу(0г1)> (v=l, 2,..., к) таблицу испытаний в порядке возрастания Ф„. Каждый столбец таблицы - это вариационный ряд вида ФД^^ФД^Фда^ФД^). (20)

Здесь первый индекс j - это номер точки в ЛПт-последовательности, а второй индекс (1,2,3,.,.,N) - номер члена вариационного ряда, который образует столбец таблицы испытаний. Имеется строгое доказательство того, что равномерный способ зондирования пространства поиска G обеспечивает условие: при N—> да наименьшее значение Фу(0^) стремится к mjnФу(0),

VU б G, а наибольшее ФУ(и^,) стремится к max Фу (0), V U е G. Это очень

важное свойство алгоритма, обеспечивающее далее нахождение глобального экстремума при весьма слабых ограничениях: требуется обеспечить только непрерывность функционалов ФУ(и)> ™ гарантируется моделью оптимизации (19) и свойством положительности объема G в пространстве управления.

5. На 2 этане дальнего поиска производится назначение критериальных ограничений Фу(0)<Ф,,, (v " 1, 2, ..., к), то есть сужение области D до D. Данный этап предполагает вмешательство специалиста. Просматривая поочередно каждую из таблиц для критерия Фу(0р> v = const, он должен

л**

назначить ограничение Фу .

6. Третий этап дальнего поиска - проверка непустоты области поиска выполняется автоматически на ЭВМ, которая просматривает все столбцы и строки таблицы и выдает точки, где выполняются все ограничения:

D = {Ujs :ФУ(Q(U)) S Ф*', V v = ПК; S = 1,2,..., N}, где N - число пробных точек.

Если Ш0, то есть хотя бы одна точка Ujs eD, то задача параметрического многокритериального синтеза разрешима при любом выборе обобщенного критерия Ф = Ф[ФУ(О(0))], v = 1,К.

В противном случае надо вернуться к 2 этапу дальнего поиска и

**

потребовать от конструктора уступок при назначении Фу . Если такие уступки невозможны, то надо вернуться к 1 этапу и увеличить число пробных точек в ЛПт-последовательности либо вернуться к процедуре получения модели оптимизации (19) с целью ее уточнения.

На этом процедура «дальнего» поиска заканчивается. Она обеспечивает приближенное, но быстрое попадание в окрестность решений задач простого параметрического синтеза.

7. Выбирается обобщенный критерий оптимизации, вбирающий в себя все частные критерии Ф„(0), (у=1,2,...,к). Ищется квазиглобальный минимум. Для этого из каждой точки 8)е0> выявленной в процедуре «дальнего» поиска, как го центра Р8, организуется локальный поиск. Поскольку в уравнениях проектирования все функционалы ФУ(Ц), й(0) непрерывно зависят от аргументов, включая первые и вторые производные, в принципе могут быть использованы аналитические градиентные методы.

8. Наилучшее значение Ф при поиске из разных точек запоминается

ЭВМ.

9. Наконец, чтобы «очистить» решение от погрешностей, привнесенных процедурой аппроксимации (п.п. 1-3 данного алгоритма), вводится процедура

поправки. Для этого из точки квазиглобального оптимума 0 е в организуется «ближний» поиск по точной базовой модели электротепловой задачи (реализация принципа ВММ). В уточненной точке оптимума 0 проверяются все ограничения, т.е. условия 0* е Э. В прикладных задачах процедура поправки использовалась один раз. Но теоретически может быть реализован итерационный цикл (внешний по отношению к АМИЛ) процедуры поправки квазиглобального оптимума.

Предложены концептуальные и методологические принципы регуляризации и повышения эффективности решения задач оптимального управления распределенными системами с ПИЭ в условиях неопределённости с использованием АМИЛ, ВММ и нейросетевых моделей, обладающих несоизмеримо большей аппроксимационной "мощью", нежели уравнения регрессии.

В четвертой главе рассмотрен ряд прикладных задач оптимального управления системами индукционного нагрева токопроводящих тел, постановка которых была вызвана необходимостью создания уникальных с точки зрения обеспечения требуемого качества нагрева устройств. Помимо решения чисто практических задач целью иссследований были: апробация разработанных в диссертации методов, оценка адекватности получаемых математических моделей оптимизации в реальных условиях проектирования систем управления для индукционных установок. Отбор последних был продиктован стремлением апробации методов в различных условиях: для различных постановок задач оптимального управления распределенными

системами с 1ШЭ (задачи быстродействия и финитного управления), а также для различных электротепловых моделей по свойствам нагреваемых тел (пара-и ферромагнитные тела) и различным классам временной программы управления и пространственного управления ^.

Решены задачи: 1)оптимального дискретного пространственно-временного управления (ПВУ) нагревателем алюминиевых слитков под прессование кабельных оболочек; 2)оптимального управления нагревом излучателя из тугоплавкого парамагнитного металла для спекания порошковых изделий; 3)ПВУ процессом термообработки крупногабаритной стальной оболочки оборудования электростанции при «неподвижных» источниках тепла; 4)оптимального программного управления нагревом ферромагнитной оболочки химического реактора.

Непосредственному решению задач оптимизации предшествовало исследование управляемости объекта и чувствительности функционалов качества к управляющим воздействиям. Например, для индукционной системы (ИС) градиентного нагрева алюминиевых слитков было установлено:

1. В классе неподвижных управлений без оптимизации пространственного распределения источников тепла ИС неуправляема по совокупности заданных критериев при высокой интенсивности процесса р* < 130с).

2. ИС становится управляемой при выходе в класс 3-интервальных подвижных управлений (основной нагрев - градимшгый нагрев - охлаждение при транспортировке, рис. 3).

3. Вариацией заглублений заготовки в индукторе и дискретным изменением распределения источников тепла по длине заготовки (переключением обмоток индуктора) можно получить температурные кривые, приближающиеся к заданному распределению, т.е. КС чувствительна к этим управлениям.

4. Возможности управления расширяются при несимметричном заглублении. За счет этого сокращается до г*=118 с общее время цикла при хорошем качестве нагрева: /,=53,5°С (отклонение конечного температурного состояния от заданного), 3^ = 30°С (перепад температур по радиусу слитка), Ттах = 530°С.

5. Электрический КПД и удельный расход энергии меняются на разных стадиях нагрева, что свидетельствует о значимости фактора взаимосвязи теплового и электромагнитного полей.

6. Необходимого приближения к заданному распределению температур (/3<

50°С) можно достичь также за счет изменения распределения источников тепла по длине заготовки (настила индуктирующего тока, рис. 4). Однако при этом не удовлетворяется критерий равномерности нагрева по радиусу (/4=80°С).

Следовательно, и в этом случае необходимо дополнительно ввести б число управляющих параметров интенсивность источников тепла

-- расчет; """"....... - эксперимент

Рис. 3. Распределение удельной джоулевой мощности ту и температуры Т на

поверхности нагреваемого цилиндра: 1,2- распределение Т в момент окончания этапа основного (ОН) и градиентного (ГН) нагрева соответственно;

3,4- распределение ту в конце этапов ОН и ГН

Произведена оценка адекватности решений рассмотренных прикладных задач сравнением с экспернме5гтом, получены числовые результаты, которые использованы при проектировании управляемых ИС. В частности, синтезированные оптимальные управления для ИС градиентного нагрева сокращают время цикла до 111 с при /.= 30°С, /4=28°С, Ттах = 508°С.

Апробация электротепловых моделей, АМИЛ, принципа ВММ и декомпозиционного итерационного алгоритма решения задач оптимального пространственно-временного управления СРП с ПИЭ показала их работоспособность в условиях сложных реальных задач и достаточно высокую вычислительную эффективность.

Пятая глава посвящена вопросам практической реализации оптимальных режимов индукционного нагрева токопроводящих тел. Оптимальные алгоритмы пространственного распределения управляющих воздействий осуществляются, как правило, путем надлежащего

конструктивного исполнения электротепловых установок. Реализация оптимальных режимов в электротепловых распределенных системах заданной конструкции состоит в построении автоматических систем программного управления либо замкнутой системы автоматического управления с обратными связями, в которой оптимальное управление формируется в зависимости от текущего состояния процесса.

1-//ЗОА со)

со? ¥-0/75 Зфа-¿аМгЗ

Рис. 4. Распределение температуры на поверхности слитка при изменении формы настила индуктирующего тока

В работе описаны конструктивные решения устройств индукционного градиентного нагрева алюминиевых слитков под прессование кабельных оболочек и косвенного индукционного нагрева порошковых изделий, реализующие пространственное распределение управляющих воздействий (внутренних источников тепла). В частности, предлагается обмотку индуктора выполнять многосекционной (рис. 4) и для переключения секций индуктора использовать резонансные свойства колебательных контуров, образованных секциями индуктора и компенсирующими реактивную мощность индуктора конденсаторами. Требуемого распределения источников тепла по объему нагреваемого тела добиваются поочерёдной подстройкой частоты частотно -регулируемого источника в резонанс с каждой нагрузкой.

Предложены принципы построения САУ процессами индукционного

иагрсза с пространственно-временным распределением ПйЭ, в том числе с использованием динамической нейросетевой модели-идентификатора, для случая питания нескольких нагрузочных контуров от одного источника (рис.5).

Рис. 5. Функциональная схема микропроцессорной системы управления с нейросетевым идентификатором (НСИ): И-индикатор, ЗЦЦ-знакоцифровой дисплей, ФУС - формирователь управляющих импульсов, ДШ - дешифратор, ППА - программируемый параллельный адаптер, ПЗГ - программируемый задающий генератор импульсов, ТК - тиристорные ключи, БУЗ - блок управления и защиты инвертора; остальные обозначения общепринятые

Предложены принципы построения стенда для полунатурных испытаний и контроля САУ устройствами индукционного нагрева, схемные решения имитаторов первичных преобразователей информации.

В шестой главе решается задача управления тепловым полем кольцевых заготовок деталей газотурбинных авиадвигателей в процессе их

термомеханической обработки с местным индукционным нагревом.

Здесь применен комбинированный метод исследования, включающий натурные эксперименты на опытной установке и математическое моделирование на ЭВМ. При этом трехмерное пространственное распределение джоулевых источников тепла в системе «обрабатываемая заготовка - оправка давильного станка - индуктор» (электромагнитная подзадача, получаемая после декомпозиции электротепловой задачи) определялось экспериментально.

Решение задачи управления тепловым полем кольцевых заготовок осуществлено на основе нелинейной трехмерной модели теплового поля кольцевой заготовки (тепловая подзадача) с использованием результатов экспериментальных исследований электромагнитного поля.

Теоретические и экспериментальные исследования закономерностей электромагнитных, тепловых и механических явлений, сопутствующих процессу термомеханической обработки кольцевых изделий, выявили существенное влияние на качество обработки пространственно-временного распределения ПИЭ. Например, анализ температурного поля кольцевых заготовок показал, что участки заготовки, находящиеся под индуктирующим проводом, перегреты. Для уменьшения температуры этих участков было предложено изменить пространственное распределение ГТиЭ (источников тепла) за счет изменения профиля индуктирующего провода.

Как было замечено в процессе наблюдения за формовкой, температура массивной стальной оправки практически не меняется и остается равной температуре предварительного прогрева оснастки. Расположение между заготовкой и оправкой промежуточного кольца из материала заготовки и слоя теплоизоляции под ним позволяет уменьшить тепловой поток (изменить пространственное распределение стока энергии) из заготовки в оправку и повысить коэффициент полезного действия установки и качество формовки.

Таким образом, требуемое пространственно-временное распределение теплового поля кольцевых заготовок в процессе их термомеханической обработки обеспечивается формированием соответствующего пространственного управления (пространственного распределения ПИЭ), реализуемого на этапе проектирования установки, и временного управления (изменения интенсивности ПИЭ - мощности индуктора - во времени), реализуемого в системе автоматического регулирования (САР) температуры заготовок.

Сформулированы требования к САР температуры заготовок. Для выполнения этих требований решают задачу синтеза управления. В число управляющих параметров входят расстояние от выходного конца индуктора до

давильного ролика /р, частота вращения заготовки п, мощность индуктора Р,

длина индуктора, ширина индуктирующего провода или его профиль.

Рекомендации по режимам нагрева, управлению тепловым полем кольцевых заготовок в процессе их термомеханической обработки с использованием пространственного распределения подвижных источников (стоков) энергии были внедрены на двух предприятиях авиационной промышленности. САР температуры кольцевых заготовок прошла опытно-промышленные испытания и используется на установке для термомеханической обработки кольцевых изделий. Все это позволило повысить качество формовки кольцевых изделий, существенно снизить брак, повысить коэффициент использования материала с 0,245 до 0,35.

В заключении приводятся основные результаты и выводы по диссертационной работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Предложен принцип вложенных математических моделей, дающий методологию решения нелинейных задач оптимального управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, которая позволяет осуществить декомпозицию исходной задачи по физическим процессам с учетом взаимосвязи полей различной физической природы; организовать декомпозицию исходной нелинейной задачи на линейные подзадачи; построить декомпозицию в поисковых процедурах с учетом некорректности класса обратных задач при оптимизации функции пространственной формы подвижных источников энергии.

2. Разработана и исследована в деталях новая модификация оригинатьного аппроксимативного метода итерационной линеаризации (АМШ1) для решения сложных нелинейных многомерных краевых задач для параболических уравнений как основа для оценки состояния объектов управления, исследования устойчивости и управляемости электротепловых у систем с распределенными параметрами, анализа основных закономерностей управления распределенными системами с подвижными источниками энергии. Сделаны оценки скорости сходимости, дающие практическое правило остановки итераций по заданной норме погрешности решения. Доказана устойчивость решений уравнений электротеплового поля по возмущению начальных условий. Доказательство проведено с использованием аналитической формы решения задачи теплопроводности по АМИЛ с привлечением математического аппарата интегральных квадратичных форм (функций Ляпунова). АМИЛ апробирован и проверен экспериментально на

^ ряде краевых задач индукционного нагрева.

3. Разработан многоуровневый декомпозиционный итерационный метод решения задач оптимального управления электротепловыми распределенными -системами с подвижными источниками энергии (ПИЭ), учитывающий нелинейность модели, ее многомерность, наличие неполной информации об управляемом объекте. На основе нейросетевых моделей предложены концептуальные и методологические принципы регуляризации и повышения эффективности решения нелинейных задач оптимального управления электротепловыми распределенными системами с ПИЭ в условиях неопределённости. Принцип ВММ и итерационный декомпозиционный метод решения задач оптимального пространственно-временного управления электротепловыми распределенными системами с подвижными источниками энергии апробирован и экспериментально подтвержден на широком круге прикладных задач.

4. На основе нелинейных многомерных математических моделей оптимального пространственно-временного управления распределетшми системами с подвижными источниками энергии, построенных на базе АМИЯ, исследовано влияние на управляемость электротепловых систем с распределенными параметрами пространственных электротепловых краевых эффектов и нелинейных ограничений. Выявлены параметры, позволяющие управлять электротеплозмми системами с распределенными параметрами. Принципиальной новизной в исследовании вопроса управляемости является учет зависимости ограничения (допустимых термонапряжений) от функции состояния (температуры). Результаты исследования теоретически обосновывают необходимость дополнения управления интенсивностью ПИЭ м™»(0 управлением формой ПИЭ если нельзя сделать уступок по точности достижения конечного состояния Т*(х) и времени процесса I*, т.е. выхода в класс ПВУ ПИЭ.

5. Предложены принципы построения замкнутых систем автоматического управления устройствами индукционного нагрева на основе рассчитанных оптимальных управлений, в том числе с использованием динамической кейросетевой модели-идентификатора. Разработан принцип реализации одновременного управления интенсивностью и формой подвижных источников энергии в многозонных термических объектах, питающихся от одного тиристорного преобразователя, на основе бесконтактного переключения частотным способом дополнительных секций индуктора, ответственных за формирование пространственной формы источников. Этот принцип положен в основу системы автоматического управления (САУ) режимами индукционного нагрева с управляющей ЭВМ. В САУ осуществляется подстройка коэффициентов дискретно распределенных по

объекту обратных связей в реальном масштабе времени.

Предложены принципы ■ построения стенда для полунатурных испытаний и контроля систем автоматического управления устройствами индукционного нагрева. Предложены принципы построения и разработаны схемы имитаторов первичных преобразователей информации.

6. Теоретические и экспериментальные исследования закономерностей электромагнитных, тепловых и механических явлений, сопутствующих процессу термомеханической обработки кольцевых изделий, выявили существенное влияние на качество обработки пространственно-временного распределения ПИЭ. Построена математическая модель электротешговых процессов, решена задача управления тепловым полем кольцевых заготовок с использованием ПИЭ. Рекомендации по улучшению существующих способов формовки за счет оптимизации пространственного распределения ПИЭ позволили повысить качество формовки кольцевых изделий, существенно снизить брак, повысить коэффициент использования материала с 0,245 до 0,35.

7. На основе предложенных в работе теоретических подходов разработаны и внедрены в практику проектирования методы, алгоритмы и программное обеспечение анализа и синтеза оптимального управления электротепловыми распределенными системами с подвижными источниками энергни, описываемыми параболическими уравнениями, адекватно учитывающие реальные условия функционирования управляемых объектов (продольно-поперечные многомерные краевые эффекты, нелинейности, ограничения на функцию состояния и управление, подвижный характер распределенных воздействий, управление ансамблем траекторий в условиях неопределенности), принципы и технические решения по их реализации, что позволило повысить производительность проектируемого оборудования, уменьшить его весогабаритные показатели, сократить расходы на крупномасштабные эксперименты и доводку дорогостоящего оборудования для реализации наукоемких технологий. Результаты работы внедрены в ВНИЮТО (г. Москва), ОАО НИИТ, ГУП НКТБ «Искра» (г. Уфа), ОАО «ИНМАШ» (г. Стерлитамак), а также в учебном процессе в Уфимском государственном авиационном техническом университете.

Основные результаты диссертации опубликоваиы в следующих работах;

1.А.С. № 475189 (СССР). Способ формовки цилиндрических заготовок/ С.АГорбатков, Н.Ф.Чуйкин, В.С.Самохвалов, В.Н.Чернышева, К.М.Спирин, Р.А.Бадамшин - Опубл. в Б.И., 1973, № 24.

2. Горбатков СЛ., Бадамшин P.A. Физическое моделирование электромагнитного поля примыкающего индуктора// Электромеханика: Труды УАИ, вып.79,1974 г. - С.240-246.

3. Горбатков С.А., Бадамшин P.A. Определение выходной характеристики САР температуры заготовок на давильных индукционных установках// Элементы информационно-измерительной и вычислительной техники: Труды УАИ, вып.85,1974 г.-С.161-169.

4. Горбатков С.А., Зивас И.И., Бадамшин P.A. Расчет системы индукционного нагрева с учетом нелинейности среды// Тезисы Пятой Всесоюзной межвузовской конференции по теории и методам расчета нелинейных цепей и систем (Ташкент, 22-24 октября 1975 г.), часть 1, Ташкент, 1975. - С. 138-139.

5. Маркин П.М., Горбатков С.А., Бадамшин P.A. Решение пространственной нелинейной задачи теплопроводности при нагреве секторным индуктором// Электромеханика: Труды УАИ, 1975. - С.81-84.

6. Маркин П.М., Горбатков С.А., Бадамшин P.A. Тепловой расчет индукционной установки для формовки крупногабаритных колец из титановых сплавов// Авиационная промышленность, 1976, N9. - С. 23-25 (ДСП).

7. Бадамшин P.A. Решение трехмерной нелинейной тепловой задачи зонного индукционного нагрева// Теория информационных систем и систем управления с распределенными параметрами: Тезисы докладов III Всесоюзного симпозиума (Уфа, 29 июня-1 июля 1976 г.), ч.1, секция 2, Уфа, 1976. - С.20-21.

8. Бадамшин P.A. Оптимальное управление мощностью в индукционных системах для нагрева прямоугольных алюминиевых слитков// Теория информационных систем и систем управления с распределенными параметрами: Тезисы докладов III Всесоюзного симпозиума (Уфа, 29 июня- 1 июля 1976 г.), ч.1, секция 1. Уфа, 1976. - С.53-54.

9. Заригюв М.Ф., Горбатков СЛ., Бадамшин P.A. Расчет нелинейных взаимосвязанных тепловых и электромагнитных полей при индукционном нагреве прямоугольных парамагнитных тел// Теория информационных систем и систем управления с распределенными параметрами. М., «Наука», 1978. -С.54-58.

Ю.Горбатков С.А., Аитов И.Л., Бадамшин P.A. Автоматическое регулирование режима индукционного нагрева//Промышленная энергетика, 1978, N2.-C.41-44.

11. Горбатков СЛ., Бадамшин P.A. Оптимальное управление мощностью в нелинейных индукционных системах для нагрева парамагнитных слябов// Управление распределенными системами с подвижным воздействием. М., «Наука», 1979. - С.122-130.

12. Бадамшин P.A., Горбатков С.А. Синтез индукционных проходных систем для нагрева прямоугольных алюминиевых слябов// В кн.: М.Ф.Зарипов,

С.А.Гербатков «Элементы теории нелинейных электромагнитных спетом с распределенными параметрами». М., «Наука», 1979. - С.143-154.

13. Бадампшн P.A., Горбатков С.А. Расчет нелинейной трехмерной задачи при зонном последовательно-непрерывном индукционном нагреве кольцевых заготовок// В кн.: М.Ф.Зарипов, САГорбатков «Элементы теории нелинейных электромагнитных систем с распределенными параметрами». М., «Наука», 1979, - СЛ54-165.

14. Горбатков С.А., Бадамшин P.A. Решение трехмерной нелинейной задачи нестационарной теплопроводности с внутренними источниками тепла// Редкол. »Инж.-физ.ж.» АН БССР. Минск, 1980. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 13 июня 1980 г, №2382-80 Деп.) -12 с.

15. Горбатков С.А., Бадамшин P.A., Фомин Н.И., Жуковский В.Б., Мельников В.И., Ефимовских Н.А, Энзель В.Ш. Математическое моделирование электротепловых полей при проектировании индукционных элементов АСУ ТП// Математическое, алгоритмическое и техническое обеспечение АСУ ТП: Тезисы П Всесоюзной межвузовской научно-технической конференции, секция 2, (Ташкент, 24-26 сентября 1980 г.). - С.47-48.

16. Горбатков С.А., Бадамшин P.A., Мельников В.И., Энзель В.Ш. Параметрическое управление формой источников тепла при индукционном нагреве слябов// Применение токов высокой частоты в электротермии: Тезисы докладов 9-й Всесоюзной научно-технической конференции (Ленинград, 25-27 марта 1981 г.) ГВЧ-81. - С.123-124.

17. Горбатков С.А., Бадамшин P.A., Мельников В.И., Усманов А.Ф. Теоретические и прикладные проблемы при управлении формой источников тепла для высокопроизводительных установок индукционного нагрева слябов// Теория и проектирование систем автоматического управления и их элементов: Межвуз.науч.сб./ Уфимский ордена Ленина авиац. ин-т, 1984. - С.92-96.

18. Бадамшин P.A. Автоматизация процесса нагрева заготовок перед прокаткой// Автоматизация и механизация трудоемких производственных процессов на предприятиях республики: Тезисы докладов республиканской межотраслевой научно-практической конференции (Уфа, 1984). -С.21-22.

19. Бадамшин P.A. Математическая модель процесса индукционного нагрева полых цилиндров// Теория и проектирование систем автоматического управления и их элементов: Межвуз. науч. сб./Уфимск. ордена Ленина авиац. ин-т, 1985. - С.176-180.

20. Бадампшн P.A.. Бакиров A.A., Пальмбах Т.А., Климин A.B. Имитатор термопары// Теория и проектирование САУ и их элементов: Межвузовский научный сборник. Уфа: изд. Уфимского ордена Ленина авиационного института им. С.Орджоникидзе, 1987. - С.55-59.

21. Бадамшин P.A., Бакиров A.A., Пальмбах Т.А. Комплекс имитаторов первичных преобразователей информации// Тезисы докладов Второй Всесоюзной конференции «Системы автоматического управления летательными аппаратами»: М.: МАИ, 1988. - С.98-99. (ДСП).

22. A.C. № 1470098 (СССР). Устройство для моделирования оптического датчика температуры газотурбинного двигателя/ Петров Р.В., Файрузов P.M., Бадамшин P.A., Бакиров A.A. - Зарегистрировано в государственном реестре изобретений СССР 1 декабря 1988 г. (ДСП).

23. A.C. № 1494769 (СССР). Имитатор сигнала оптического датчика температуры газотурбинного двигателя/ Бадамшин P.A., Бакиров A.A., Пальмбах Т.А., Петров Р.В., Файрузов P.M., Шаймарданов Ф.А. -Зарегистрировано в государственном реестре изобретений СССР 15.03.1989г. (ДСП).

24. Бадамгпин P.A., Горбатков С.А. Оптимальное управление в проходных индукционных нагревательных установках// Тезисы докладов I Международной конференции по электромеханике и электротехнологии (МКЭЭ-94), часть 1, г.Суздаль, 1994. - С.142.

25. Бадамшин P.A., Горбатков С.А. Об использовании сглаживающих свойств операторов для построения приближенных методов решения краевых задач электротеплового ноля// V Всесоюзная научно-техническая конференция «Математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах (ОИС) СВЧ и КВЧ: Тезисы докладов, Сергиев Посад, 1995г. - С.53-54.

26. Badamshin R.A., Gorbatkov S.A., Melnikov V.l. Numerical Methods of Optimizing the Distribution of 2- and 3- dimensional Electromagnetic and Heat FieIds//40. Itóeraatíonaíe^Wissenschañlihes Kolloquium (18-21.09.1995, Ilmenau. FRG): Vortrages/ Band 2.- Ilmenau: Technische Universität Ilmenau, 1995.- P.3I8-323.

27. Горбатков C.A., Бадамшин P.A., Гживачевски M. Проблема повышения эффективности вычислительного эксперимента в нелинейных задачах оптимального управления нагревом на основе вложенных моделей и сглаживающих свойств операторов// Минский международный форум по тепломассообмену (18-23 мая 1996г., Минск, Белоруссия): Доклады. Т.9, 4.1. Вычислительный эксперимент в задачах тепломассообмена и теплопередачи. -Минск: АО «Институт тепломассообмена им. AB .Лыкова», 1996. - С. 224-228.

28. Бадамшин P.A., Горбатков С.А., Мельников В.И. Новые численные методы оптимизации распределения многомерных электромагнитных и тепловых полей// Теория и проектирование систем автоматического управления и их элементов: Межв^онскнн нал;чный сборник. У^а. 1996. - С.172-178.

29. Б ад ам шли Р.А., Горбатков С.А. Итерационные методы решения нелинейных параболических и эллиптических уравнений и обратных задач проектирования, основанные на аппроксимации решения собственными функциями линейного оператора// Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. -1996. -T.4.N3 -С.121-129.

30. Бадамшин Р.А., Горбатков С.А. Конструктивный -конечномерный итерационный метод решения нелинейных параболических и эллиптических уравнений при моделировании и оптимальном управлении электротепловыми системами// Первая международная научно-практическая конференция "Дифференциальные уравнения и их применение" (3-5 декабря 1996 г., С.Петербург): Тезисы докладов. С.Петербургский государственный технический университет, 1996. - С. 20.

31. Badamshin R.A., Gorbatkov S.A. Iteration Methods for Solving Non-Linear

Т)пмкл|»л nn H U iliта! Uniiitmnr r»n/l InvAwe F\aci(tm«rT Toplrp РлраН nn 1 WU^OUV ШШ i^iliyuvui ил^ииишш Ш1и AiiVviOW Uwoigilliig A UOXWj Uupvu Oil

Approximation by Eigen Functions of the Linear Operator// VIII th International Schol-Seminar "Electrodynamics and Technique of Microwave and EHF": Theses of Reports.- Okhotino: Academy of Engineering Sciences, V.4, № 2(14),1996.-P.35-36.

32. Gorbatkov S., Morozkin N., Badamshin R. Finite dimensional approximations and constructive methods of optimal control of non-linear heating processes with phase restrictions// 2 nd Asian Control Conference (July 22-25,1997, Seoul, Korea): Proceedings. V.IL 1997. - P.895-898.

33. Badamshin R.A., Gorbatkov S.A. Finite-Dimensional Approximation and Constructive Methods for Solving Non-Linear Parabolic and Elliptycal Equations in the Electromagnetic Processes Optimization// Electrodynamics and Technique of Microwave and EHF, V. 5. №2(18), 1997. - P.71 - 80.

34. Бадамшин P.A., Горбатков C.A., Морозкин Н.Д. Конечномерная аппроксимация и конструктивные методы оптимального управления нелинейными процессами нагрева с фазовыми ограничениями// Международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 25-30 августа 1997): ' Тезисы докладов. Красноярский государственный университет, 1997. - С.21.

35. Бадамшин Р.А., Горбатков С.А., Клестов Е.А. Оптимальное терминальное управление системами с распределенными параметрами при неполном измерении их состояния. - Уфа: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т, 1997. - 313 с.

36. Горбатков СЛ., Бадамшин Р.А., Ганиев Ф.Б. и др. Об одном итерационном методе декомпозиции задачи оптимального подвижного управления для электротепловых систем с распределенными параметрами// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды седьмой научной межвузовской конференции. 28-30 мая 1997 г. Часть 2. Секция «Моделирование и

оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами». Самара: Самарский государственный технический университет, 1997. С. 23-25.

37. Горбатков С.А., Бадамшин P.A., Никитин A.B. Исследование устойчивости решения параболического дифференциального уравнения по возмущению начального состояния методом функций Ляпунова// Проблемы математики и теории управления - Уфа: Изд-во УГАТУ, 1997. - С.217-227.

38. .Горбатков С.А., Бадамшин P.A., Лушников Е.А. Об оценке сходимости итеро-аппроксимативного метода расчета взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей// Управляемые электрические цепи и электромагнитные поля: Межвузовский научный сборник №3/ Уфимский государственный авиационный технический университет / Уфа, 1997. - С.24 - 29.

39. Патент № 2113939 (РФ). Устройство косвенного индукционного нагрева порошковых изделий. Горбатков С.А., Бадамшин P.A., Лушников Е.Л., Магадеева А.Р., Шуфенгауер О.Э. - Опубл. БИ, 1998, №18.

40. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 990048. Программа расчета полей электромагнитного и теплового, термонапряжений и интегральных параметров индуктора при индукционном нагреве токопроводящих тел «Поле». Горбатков С.А., Бадамшин P.A., Магадеева А.Р., Лушников Е.Л. - Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ, г.Мсскза, 09 февраля 1998 г.

41. Горбатков С.А., Бадамшин P.A., Никитин A.B., Лушников Е.Л., Невоструев Г.С. Нелинейные задачи финитного управления для электротепловых систем индукционной термообработки деталей узлов электростанций// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды восьмой научной межвузовской конференции. 26-28 мая 1998 г. Часть 2. Секция «Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами». СамГГУ, Самара, 1998. - С.30-32.

42. Горбатков С.А., Бадамшин P.A., Невоструев Г.С. Системы автоматической оптимизации многозонных электротермических объектов// Доклады II международной научно-технической конференции «Моделирование и исследование сложных систем». Часть 3. Исследование сложных физико-технических систем./Под общей ред. Михайлова Б.М., Зуева В.В., Хныкина А.П. - М.: МГАПИ, 1998. С.354-362.

43. Горбатксз С.А., Бадамшин P.A., Лушников Е.Л. Об оценке сходимости итеро-аппроксимативного метода при расчете теплоэлектродинамических процессов// Физика волновых процессов и радиотехнические системы. Периодический теоретический и научно-практический журнал. Том I, №1, 1998. - С.18-21.

44. Горбатков CA., Бадамшин P.A., Лушников Е.Л., Никитин A.B., Невоструев

Г.С. Принципы синтеза оптимальных подвижных управлений электротешгавыми процессами на примере индукционного нагрева заготовок под прессование кабельных оболочек// Ш Международная конференция «Электромеханика и электротехнологии» (14-18 сентября 1998 г., Россия, Клязьма): Тезисы докладов. - С.375-376.

45. Горбатков С.А., Бадамшин Р.А. Научные основы высокоэффективных методов формообразования кольцевых деталей авиадвигателей ротационной формовкой с местным индукционным нагревом// Всероссийская научно-техническая конференция, 17 декабря 1998 г. Тезисы докладов. г.Казань, Казанский государственный технический университет им. А.Н. Туполева. -С.17-18.

46. Горбатков С.А., Бадамшин Р.А., Никитин А.В., Невоструев Г.С., Хасанов У.Ф. Математическое моделирование и оптимизация процессов индукционного нагрева металлов с применением яейроеетей// Математическое моделирование и краевые задачи. Труды девятой научной межвузовской конференции. 25-27 мая 1999 г. Часть 2. Секция «Моделирование и оптимизация динамических систем и систем с распределенными параметрами». СамГТУ, Самара, 1999. -С.26-30.

47. Badamshin R.A., Bublik N.D., Gorbatkov S.A., Nevostruev G.S., Nikitin A.V., Parfenov E.Y. Mathematical modeling of know-how technologies of metal processing in the electromagnetic field and concentrate energy beams// The Third International Symposium «Application of the Conversion Research Results for International Cooperation» (Sibconvers'99) (May 18-20, 1999, Tomsk, Russia): Proceedings. Volume 2. - Tomsk State University of Control Systems and Radioelectronics, 1999. - P. 494-496.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ СИСТЕМАМИ С ПОДВИЖНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ЭНЕРГИИ. ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЙ.

1.1. Общая постановка задачи управления распределенными системами с подвижными источниками энергии.

1.2. Математическое описание подвижных источников энергии.

1.3. Современное состояние проблемы управления распределенными системами с подвижными источниками энергии

1.4. Классификация задач управления распределенными системами с подвижными источниками энергии.

1.5. Актуальность темы диссертации. Постановка основных задач. 50 Выводы и результаты.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ЭЛЕКТРОТЕПЛОВЫХ СИСТЕМ С ПОДВИЖНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ЭНЕРГИИ.

2.1. Математическое описание электротепловых систем в виде нелинейных уравнений в частных производных.

2.2. Принцип вложенных математических моделей в задачах оптимизации распределенных систем с подвижными источниками энергии.

2.3. Алгоритм приближенного аппроксимативного метода итерационной линеаризации.

2.4. Исследование устойчивости и управляемости электротепловых систем с распределенными параметрами.

2.5. Алгоритмы расчета электромагнитных полей при индукционном нагреве.

Выводы и результаты.

ГЛАВА 3. ИТЕРАЦИОННЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ С ПОДВИЖНЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ЭНЕРГИИ, ОПИСЫВАЕМЫМИ УРАВНЕНИЯМИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ.

3.1. Алгоритм декомпозиционного итерационного метода решения задач оптимального управления системами с подвижными источниками энергии.

3.2. Алгоритм решения подзадачи CU(t) оптимизации функции интенсивности источников энергии.

3.3. Алгоритм решения подзадачи C^q оптимизации функции пространственной формы источников энергии.

3.4. Использование нейросетевых моделей для регуляризации задач оптимального управления системами с подвижными источниками энергии.

Выводы и результаты.

ГЛАВА 4. РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ СИСТЕМАМИ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА ТОКОПРОВОДЯЩИХ ТЕЛ. I

4.1. Оптимальное дискретное управление многозонным термическим объектом при индукционном градиентном нагреве алюминиевых слитков под прессование кабельных оболочек.

4.2. Решение задачи оптимизации пространственной формы источников тепла для индукционной печи косвенного нагрева порошковых изделий.

4.3. Оптимизация режима индукционного нагрева стальной оболочки при термообработке.

Выводы и результаты.

ГЛАВА 5. АВТОМАТИЧЕСКОЕ УПРАВЛЕНИЕ В СИСТЕМАХ

ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА ТОКОПРОВОДЯЩИХ

5.1. Конструктивные параметры устройств индукционного нагрева токопроводящих тел как параметры вектора управления.

5.2 Общие принципы построения структуры замкнутых систем автоматического управления с задержанными обратными связями.

5.3. Пример построения САУ на основе ТПЧ с частотным управлением мощностью.

5.4. Синтез систем автоматического управления в условиях неопределенности на основе нейросетей.

5.5. Контроль и испытания систем автоматического управления устройствами индукционного нагрева.

Выводы и результаты.

ГЛАВА 6. УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫМ ПОЛЕМ КОЛЬЦЕВЫХ ЗАГОТОВОК ДЕТАЛЕЙ ГАЗОТУРБИННЫХ АВИАДВИГАТЕЛЕЙ В ПРОЦЕССЕ ИХ

ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ.

6.1. Экспериментальные исследования термомеханических и электромагнитных процессов.

6.2. Физическое моделирование электромагнитного поля индукционной системы.

6.3. Математическое моделирование теплового поля кольцевой заготовки.

6.4. Управление тепловым полем кольцевых заготовок в процессе их термомеханической обработки.

Выводы и результаты.

Актуальность работы. Во многих технических приложениях суть объектов управления такова, что их описание небольшим конечным набором сосредоточенных переменных неадекватно существу процессов и той цели управления, которая поставлена применительно к объекту. Состояние таких объектов должно задаваться не только в каждый момент времени t, но и в каждой точке той геометрической области пространства, которую занимает данный объект. Это можно отнести к технологическим процессам авиационной, энергетической, металлургической, нефтехимической и многих других отраслей промышленности, где процессы тепломассопереноса, диффузионные, колебательные являются доминирующими на всех стадиях преобразования материальных потоков и их взаимодействия с окружающей средой. Такие объекты (так называемые системы с распределенными параметрами или распределенные системы) имеют распределенные в пространстве параметры, и их состояние описывается бесконечным множеством переменных или функций в координатном пространстве. Поведение таких объектов описывается дифференциальными уравнениями в частных производных, интегральными уравнениями и другими функциональными уравнениями.

Как отмечается в [29], "разработка теории и техники автоматического управления для объектов с распределенными параметрами является значительно более сложной проблемой, нежели аналогичная проблема для объектов с сосредоточенными параметрами". Причинами этого, наряду с уже отмеченной сложностью описания поведения таких объектов, являются [29]:

1. Многообразие управляющих воздействий на объект с распределенными параметрами, которые в общем случае могут быть распределены как внутри области задания объекта, так и на границе.

2. Наличие дополнительных ограничивающих условий на управляющие воздействия и функции состояния объекта в виде равенств или неравенств более разнообразного характера, чем для систем с сосредоточенными параметрами.

3. Сложность технической реализации управляющих систем, которая в большинстве случаев может быть осуществлена лишь на основе разработки и применения специальных конструкций датчиков состояния объекта, регуляторов, исполнительных устройств.

Теория оптимального управления распределенными системами нашла достаточное развитие в трудах отечественных и зарубежных ученых: Алифанова О.М., Андреева Ю.Н., Арсенина В.В., Бутковского А.Г., Голичева И.И., Горбаткова С.А., Дегтярева Г.Л., Дилигенского Н.В., Егорова А.И., Егорова Ю.В., Коломейцевой М.Б., Красовского Н.Н., Лионса Ж.Л., Лурье К.А., Первозванского А.А., Понтрягина Л.С., Пустыльникова Л.М., Рапопорта Э.Я., Рыкалина И.Н., Сиразетдинова Т.К., Тихонова А.Н., Чубарова Е.П., Bellman R., Kalaba R., Wang P.K.C., Tung F. и др. В рамках линейного одномерного приближения для модели в виде системы дифференциальных уравнений эта теория приобрела характер классической завершенности.

Широкое применение в последние десятилетия в технологических процессах подвижных источников энергии (электронно-лучевые, лазерные; пучки ионов, протонов; плазменный поток, сфокусированное электромагнитное излучение, электрическая дуга, вихревые токи, химические и ядерные реакции и многое другое) стимулировали развитие систем с подвижным воздействием [34]. Под системами с подвижным воздействием [35,151] подразумеваются системы с распределенными параметрами, состояние которых определяется управляющими или возмущающими параметрами источника подвижного воздействия. Источники являются подвижными, если они характеризуются операторами смещения центра распределения по пространственным переменным (одной или более). Наиболее распространенными процессами, в которых применяются эти источники, являются процессы плавки в металлургии, сварка и термообработка в машиностроении, процессы нагрева металлов под пластическую деформацию в машиностроении и прокатном производстве.

В этих процессах для получения требуемого качества нагрева (например, требуемого распределения температурного поля по объему тела) в определенном временном интервале необходимо управлять распределением источников энергии как во времени, так и в пространстве. При этом на процессы нагрева и управления накладываются различного рода ограничения: на мощность источника энергии, на максимальные температуру, термонапряжения, скорость нагрева.

Например, при индукционном градиентном нагреве алюминиевых слитков под прессование кабельных оболочек (см. главу 4) требуемое конечное состояние нагретого слитка определяется параметрами: средней по объему температурой слитка = 490°С; продольной неравномерностью средней по радиальным сечениям температуры или поверхностной температуры = 100°С; максимально допустимой температурой (= 580°С); требуемым временем нагрева (по производительности пресса) = 30 пар слитков в час, что соответствует времени нагрева t* s (100. 120) с. Допустимое абсолютное уклонение от заданного температурного состояния по критерию наиточнейшего нагрева составляет (30.50)°С. При столь высокой интенсификации процесса и жестких условиях на требуемое конечное температурное состояние нагреваемого объекта процесс не удается реализовать в классе управлений с неподвижными источниками тепла. Потребовался выход в класс пространственно-временных управлений (ПВУ) с подвижными источниками энергии (ПИЭ).

Развитие ведущих отраслей промышленности (машиностроения, металлургии, электротехнической, нефтеперерабатывающей, нефтехимической) неразрывно связано с возрастающим применением электротепловых процессов и установок, в том числе, с разработкой и промышленным внедрением высокопроизводительных и энергоемких нагревательных установок с подвижными источниками энергии, обеспечивающих жесткие требования к качеству нагрева, высокий уровень автоматизации и механизации технологических процессов, а также высокую экономическую эффективность производственных процессов за счет максимального использования внутренних резервов. В этой связи большое значение приобретает задача достижения предельных качественных показателей процессов нагрева путем оптимизации режимов работы и конструктивных характеристик нагревательных установок по соответствующим критериям [133]. Указанная задача может быть решена на базе современной теории и техники оптимального управления.

Уникальность и высокая стоимость проектируемого оборудования и их систем управления в большинстве случаев исключают возможность проведения натурных экспериментов и значительных схемных и конструктивных изменений на этапе его доводки. Поэтому при проведении оптимизации режимов нагрева требуется учитывать реальные условия функционирования объекта: нелинейность среды и граничных условий, ограничения на функцию состояния объекта и управления.

В свете этого актуальной научно-технической проблемой является разработка методов решения задач оптимального управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, описываемыми нелинейными многомерными моделями, включая модели, представимые в интегральной форме (интегральные уравнения, линейные по управлениям, метод конечных интегральных преобразований по пространственным переменным и др.) с целью их последующего использования при создании сложных электротепловых систем.

Интегральные представления модели более удобны для решения задач оптимизации, ибо позволяют использовать в пространстве коэффициентов преобразования математический аппарат оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений (принцип максимума, метод моментов, метод динамического программирования) как составную часть алгоритма. Это направление теории оптимального управления распределенными системами было исследовано ранее лишь фрагментарно*.

Второй малоисследованный аспект теории оптимального управления распределенными системами - это неполнота информации об управляемом объекте. При построении обратной связи используется конечное число измерительных датчиков, показания которых зашумлены. Поэтому необходимым элементом системы автоматического управления является оценка состояния объекта и определение воздействия как функции оценки состояния. Кроме того, неполнота информации проявляется также в неопределенности входных данных (о тепло - и электрофизических параметрах нагреваемых тел, геометрии электротепловой системы и др.), фактически необходимо управлять ансамблем оптимальных траекторий электротеплового объекта. Таким образом, с точки зрения теории систем имеем случай управления динамическими системами с распределенными параметрами в условиях неопределенности.

Третий аспект проблемы является специфическим для рассматриваемого класса задач оптимального управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, где кроме оптимального временного закона изменения интенсивности подвижного источника воздействия uonm(t) синтезируется также оптимальная функция пространственной формы y/[x,t,x0 (/)] этого источника, центр распределения которого х0 (t)

Состояние проблемы оптимального управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, а также обзор по конкретным задачам диссертации приведен в главах 1-6. перемещается относительно нагреваемого объекта (непрерывно или дискретно). В этих условиях даже для исходной линейной модели искомое управление ii/[xj,x^(t)~\ входит в интегральное представление модели нелинейно, поэтому широко используемый в распределенных системах линейный метод моментов становится неприменимым. Необходимо ограничивать также поиск оптимальных подвижных управлений uonm(t), y/[x,t,xa(t)\ в классе технически реализуемых при использовании, например, в качестве источников питания тиристорных преобразователей частоты.

Другой важной и актуальной проблемой является практическая реализация оптимальных режимов в СРП. Она может быть эффективно решена на основе разработки и применения специальных конструкций и систем управления, например, электротепловыми установками. Оптимальные алгоритмы пространственного распределения управляющих воздействий могут осуществляться, в ряде случаев, путем надлежащего конструктивного исполнения электротепловых установок. Реализация оптимальных режимов в электротепловых системах заданной конструкции состоит в построении автоматических систем программного управления с изменением по заданной программе во времени управляющего воздействия либо замкнутой системы автоматического управления с обратными связями, в которой оптимальное управление формируется в зависимости от текущего состояния процесса.

Вышеизложенное, а также то, что "Проблемы управления и автоматизации", "Математические методы исследования нелинейных управляющих систем и процессов", "Математическое моделирование и методы прикладной математики" отнесены к числу приоритетных направлений фундаментальных исследований*, подтверждает актуальность рассматриваемой гв диссертации научно-технической проблемы.

Приоритетные направления развития науки и техники, утвержденные Председателем Правительственной комиссии по научно-технической политике В.С.Черномырдиным 21.07.1996 г., №2727п-П8.

Целью диссертационной работы является разработка теоретических основ оптимального управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, описываемыми параболическими уравнениями, с учетом нелинейности модели, ее многомерности, наличия неполной информации об управляемом объекте на базе методов итерационной линеаризации, синтез оптимальных управлений (пространственно-временного распределения подвижных источников тепла) для класса систем индукционного нагрева токопроводящих тел, их техническая реализация и внедрение в промышленности.

Для достижения этой цели в работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка методологии решения задач оптимального управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, описываемыми параболическими уравнениями, с учетом нелинейности модели, ее многомерности, наличия неполной информации об управляемом объекте.

2. Разработка и исследование итерационных методов решения сложных нелинейных многомерных краевых задач для параболических уравнений как основы для оценки состояния объектов управления, исследования устойчивости и управляемости электротепловых систем с распределенными параметрами, анализа основных закономерностей управления распределенными системами с подвижными источниками энергии.

3. Разработка итерационных методов решения задач оптимального управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, описываемыми нелинейными параболическими уравнениями.

4. Разработка математического обеспечения анализа и синтеза оптимальных управлений (пространственно-временного распределения подвижных источников тепла) для класса систем индукционного нагрева токопроводящих тел; принципов и технических решений, направленных на создание класса управляемых систем индукционного нагрева токопроводящих тел с подвижными источниками тепла.

5. Экспериментальные и теоретические исследования влияния пространственно-временного распределения подвижных источников энергии на процессы термомеханической обработки кольцевых деталей газотурбинных авиадвигателей. Разработка способов повышения качества термомеханической обработки заготовок, основанных на управлении тепловым полем. Внедрение результатов исследований в промышленности.

Методы исследования. Поставленные в диссертационной работе задачи решались с использованием методов системного анализа, теории управления, функционального анализа, теории электромагнитного поля, теории теплопроводности, математической физики, теории подобия, оптимизации, планирования эксперимента.

Проблема решалась при системном подходе к исследованию в смысле использования декомпозиционных принципов, а также комплексного охвата всех подсистем - учета их нелинейных перекрестных связей. В алгоритмах оптимизации нигде не использовались допущения о слабости этих связей (теплового и электромагнитного блоков, подсистем пространственного и временного управления и др.), ибо реально они не являются слабыми.

Системный подход позволил охватить разработанными моделями широкий круг прикладных задач оптимального управления электротепловыми распределенными системами с подвижными источниками энергии.

Исследования по теме диссертации проводились в рамках Федеральной целевой программы "Государственная поддержка интеграции высшего образования и фундаментальной науки на 1997 - 2000 годы" (проекты "Развитие научно-учебного комплекса по фундаментальным проблемам математики и теории управления", контракт № 2.1-76, "Центр развития фундаментальной науки и высшего образования "Ресурсы, технологии, системы" УГАТУ и институтов РАН", контракт № А0004), план-нарядов

ЯО177169823, Я0179121803, Я0182079833 (головной исполнитель -Всесоюзный научно-исследовательский и проектно- конструкторский институт электротермического оборудования (ВНИИЭТО, ныне - АО ВНИИЭТО), исполнитель - Уфимский авиационный институт (ныне - Уфимский государственный авиационный технический университет)). Часть исследований по теме диссертации проведена в рамках выполнения хоздоговорных исследований и тематического плана госбюджетных НИР Уфимского государственного авиационного технического университета. Теоретическая часть исследований по управлению тепловым полем кольцевых заготовок деталей газотурбинных авиадвигателей в процессе их термомеханической обработки выполнена при поддержке гранта Минобразования России.

Научная новизна результатов, полученных в работе, заключается в следующем:

1. Предложен принцип вложенных математических моделей, дающий методологию решения нелинейных задач оптимального управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, которая позволяет осуществить декомпозицию исходной задачи по физическим процессам с учетом взаимосвязи полей различной физической природы; организовать декомпозицию исходной нелинейной задачи на линейные подзадачи; построить декомпозицию в поисковых процедурах с учетом некорректности класса обратных задач при оптимизации функции пространственной формы подвижных источников энергии.

2. Разработана и исследована в деталях новая модификация аппроксимативного метода итерационной линеаризации (АМИЛ) для решения сложных нелинейных многомерных краевых задач для параболических уравнений как основа для оценки состояния объектов управления, исследования устойчивости и управляемости электротепловых систем с распределенными параметрами, анализа основных закономерностей управления распределенными системами с подвижными источниками энергии.

3. Разработан многоуровневый декомпозиционный итерационный метод решения задач оптимального управления электротепловыми распределенными системами с ПИЭ, учитывающий нелинейность модели, ее многомерность, наличие неполной информации об управляемом объекте. Предложены концептуальные и методологические принципы регуляризации и повышения эффективности решения задач оптимального управления нелинейными электротепловыми распределенными системами с ПИЭ в условиях неопределённости на основе нейросетевых моделей.

4. На основе нелинейных многомерных математических моделей оптимального пространственно-временного управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, построенных на базе АМИЛ, исследовано влияние на управляемость электротепловых систем с распределенными параметрами пространственных электротепловых краевых эффектов и нелинейных ограничений. Выявлены параметры, позволяющие управлять электротепловыми системами с распределенными параметрами. Принципиальной новизной в исследовании вопроса управляемости является учет зависимости ограничения (допустимых термонапряжений) от функции состояния (температуры).

Практическая ценность результатов работы:

На основе предложенных в работе теоретических подходов разработаны и внедрены в практику проектирования методы и алгоритмы анализа и синтеза оптимального управления электротепловыми распределенными системами с подвижными источниками энергии, описываемыми параболическими уравнениями, адекватно учитывающие реальные условия функционирования управляемых объектов (продольно-поперечные многомерные краевые эффекты, нелинейности, ограничения на функцию состояния и управление, подвижный характер распределенных воздействий, управление ансамблем траекторий в условиях неопределенности), принципы и технические решения по их реализации, что позволило повысить производительность проектируемого оборудования, уменьшить его весогабаритные показатели, сократить расходы на крупномасштабные эксперименты и доводку дорогостоящего оборудования для реализации наукоемких технологий.

На защиту выносятся:

1. Методология решения нелинейных задач оптимального управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, которая позволяет осуществить декомпозицию исходной задачи по физическим процессам с учетом взаимосвязи полей различной физической природы; организовать декомпозицию исходной нелинейной задачи на линейные подзадачи; построить декомпозицию в поисковых процедурах с учетом некорректности класса обратных задач при оптимизации функции пространственной формы подвижных источников энергии.

2. Новая модификация аппроксимативного метода итерационной линеаризации (АМИЛ) для решения сложных нелинейных многомерных краевых задач, описываемых параболическими уравнениями, как основа для оценки состояния объектов управления, исследования устойчивости и управляемости электротепловых систем с распределенными параметрами, анализа основных закономерностей управления распределенными системами с подвижными источниками энергии.

3. Многоуровневый декомпозиционный итерационный метод решения задач оптимального управления электротепловыми распределенными системами с ПИЭ, учитывающий нелинейность модели, ее многомерность, наличие неполной информации об управляемом объекте. Концептуальные и методологические принципы регуляризации и повышения эффективности решения задач оптимального управления нелинейными электротепловыми распределенными системами с ПИЭ в условиях неопределённости на основе нейросетевых моделей.

4. Математическое обеспечение анализа и синтеза оптимальных управлений для класса систем индукционного нагрева токопроводящих тел.

5. Принципы и технические решения, направленные на создание класса управляемых систем индукционного нагрева токопроводящих тел с подвижными источниками тепла.

Внедрение результатов работы.

Математическое и программное обеспечение синтеза оптимальных управлений (пространственно-временного распределения подвижных источников тепла) для класса систем индукционного нагрева токопроводящих тел, принципы и технические решения, направленные на создание класса систем индукционного нагрева токопроводящих тел с подвижными источниками тепла, использованы при разработке управляемых индукционных нагревательных систем для новых высокоинтенсивных процессов, внедренных на ряде предприятий авиационной промышленности, машиностроения, электротехнической, нефтеперерабатывающей промышленности: ВНИИЭТО (г.Москва), ОАО НИИТ, ГУП НКТБ "Искра" (г.Уфа), ОАО "ИНМАШ" (г.Стерлитамак), а также в учебном процессе в Уфимском государственном авиационном техническом университете.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на научно-технических конференциях, симпозиумах и семинарах: Пятой Всесоюзной межвузовской конференции по теории и методам расчета нелинейных цепей и систем (г.Ташкент, 1975 г.), III Всесоюзном симпозиуме "Теория информационных систем и систем управления с распределенными параметрами (Уфа, 1976 г.), Всесоюзной межвузовской научно-технической конференции "Математическое, алгоритмическое и техническое обеспечение АСУ ТП" (Ташкент, 1980 г.), 9-й Всесоюзной научно-технической конференции "Применение токов высокой частоты в электротермии" (Ленинград, 1981 г.), республиканской межотраслевой научно-практической конференции "Автоматизация и механизация трудоемких производственных процессов на предприятиях республики" (Уфа, 1984), V отраслевой научно-технической конференции "Автоматизированное проектирование авиационных двигателей" (г.Москва, ЦИАМ, 1986), межотраслевой научно-технической конференции по автоматизации стендовых испытаний (г.Москва, ЦИАМ, 1988), Второй Всесоюзной конференции "Системы автоматического управления летательными аппаратами" (Москва, МАИ, 1988), I Международной конференции по электромеханике и электротехнологии (г.Суздаль, 1994), V Всероссийской научно-технической конференции "Математическое моделирование и САПР систем сверхбыстрой обработки информации на объемных интегральных схемах (ОИС) СВЧ и КВЧ (г.Сергиев Посад, 1995), Минском международном форуме по тепломассообмену (г.Минск, 1996г), Первой международной научно-практической конференции

Дифференциальные уравнения и их применение" (г. С.-Петербург, 1996), Международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (г.Красноярск, 1997), II международной научно-технической конференции "Моделирование и исследование сложных систем" (г.Москва, 1998), III Международной конференции "Электромеханика и электротехнологии" (г.Клязьма, Россия, 1998), Всероссийской научно-технической конференции "Технологические проблемы производства элементов и узлов изделий авиакосмической техники" (г.Казань, 1998), научных межвузовских конференциях "Математическое моделирование и краевые задачи" (г.Самара, 1997, 1998, 1999), 40. Internationales Wissenschaftlihes Kolloquium (Ilmenau, FRG, 1995), VIII th International Schol-Seminar "Electrodynamics and Technique of Microwave an EHF" (Okhotino, Russia, 1996), 2 nd Asian Control Conference (Seoul, Korea, 1997), The Third International Symposium "Application of the Conversion Research Results for International Cooperation" (Sibconvers'99) (Tomsk, Russia, 1999).

Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 47 печатных трудах, из них одна монография (в соавторстве), 27 статей в научных журналах, сборниках и трудах конференций, 4 авторских свидетельства и патента, 1 зарегистрированная в РОСПАТЕНТе программа для ЭВМ, 14 - тезисы докладов на научно-технических конференциях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения, изложенных на 315 страницах машинописного текста, включая 47 рисунков и 13 таблиц, списка использованных источников из 179 наименований.

Основные выводы и результаты:

1. Предложен принцип вложенных математических моделей, дающий методологию решения нелинейных задач оптимального управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, которая позволяет осуществить декомпозицию исходной задачи по физическим процессам с учетом взаимосвязи полей различной физической природы; организовать декомпозицию исходной нелинейной задачи на линейные подзадачи; построить декомпозицию в поисковых процедурах с учетом некорректности класса обратных задач при оптимизации функции пространственной формы подвижных источников энергии.

2. Разработана и исследована в деталях новая модификация оригинального аппроксимативного метода итерационной линеаризации (АМИЛ) для решения сложных нелинейных многомерных краевых задач для параболических уравнений как основа для оценки состояния объектов управления, исследования устойчивости и управляемости электротепловых систем с распределенными параметрами, анализа основных закономерностей управления распределенными системами с подвижными источниками энергии. Сделаны оценки скорости сходимости, дающие практическое правило остановки итераций по заданной норме погрешности решения. Доказана устойчивость решений уравнений электротеплового поля по возмущению начальных условий. Доказательство проведено с использованием аналитической формы решения задачи теплопроводности по АМИЛ с привлечением математического аппарата интегральных квадратичных форм (функций Ляпунова). АМИЛ апробирован и проверен экспериментально на ряде краевых задач индукционного нагрева.

3. Разработан многоуровневый декомпозиционный итерационный метод решения задач оптимального управления электротепловыми распределенными системами с подвижными источниками энергии (ПИЭ), учитывающий нелинейность модели, ее многомерность, наличие неполной информации об управляемом объекте. На основе нейросетевых моделей предложены концептуальные и методологические принципы регуляризации и повышения эффективности решения нелинейных задач оптимального управления электротепловыми распределенными системами с ПИЭ в условиях неопределённости. Принцип ВММ и итерационный декомпозиционный метод решения задач оптимального пространственно-временного управления электротепловыми распределенными системами с подвижными источниками энергии апробирован и экспериментально подтвержден на широком круге прикладных задач.

4. На основе нелинейных многомерных математических моделей оптимального пространственно-временного управления распределенными системами с подвижными источниками энергии, построенных на базе АМИЛ, исследовано влияние на управляемость электротепловых систем с распределенными параметрами пространственных электротепловых краевых эффектов и нелинейных ограничений. Выявлены параметры, позволяющие управлять электротепловыми системами с распределенными параметрами. Принципиальной новизной в исследовании вопроса управляемости является учет зависимости ограничения (допустимых термонапряжений) от функции состояния (температуры). Результаты исследования теоретически обосновывают необходимость дополнения управления интенсивностью ПИЭ uonm(t) управлением формой ПИЭ y/[x.t,xQ{t)], если нельзя сделать уступок по точности достижения конечного состояния Т*(х) и времени процесса t*, т.е. выхода в класс ПВУ ПИЭ.

5. Предложены принципы построения замкнутых систем автоматического управления устройствами индукционного нагрева на основе рассчитанных оптимальных управлений. Разработан принцип реализации одновременного управления интенсивностью и формой подвижных источников энергии в многозонных термических объектах, питающихся от одного тиристорного преобразователя, на основе бесконтактного переключения частотным способом дополнительных секций индуктора, ответственных за формирование пространственной формы источников. Этот принцип положен в основу системы автоматического управления (САУ) режимами индукционного нагрева с управляющей ЭВМ. В САУ осуществляется подстройка коэффициентов дискретно распределенных по объекту обратных связей в реальном масштабе времени.

Предложены принципы построения стенда для полунатурных испытаний и контроля систем автоматического управления устройствами индукционного нагрева.

6. Теоретические и экспериментальные исследования закономерностей электромагнитных, тепловых и механических явлений, сопутствующих процессу термомеханической обработки кольцевых изделий, выявили существенное влияние на качество обработки пространственно-временного распределения ПИЭ. Построена математическая модель электротепловых процессов, решена задача управления тепловым полем кольцевых заготовок с использованием ПИЭ. Рекомендации по улучшению существующих способов формовки за счет оптимизации пространственного распределения ПИЭ позволили повысить качество формовки кольцевых изделий, существенно снизить брак, повысить коэффициент использования материала с 0,245 до 0,35.

7. На основе предложенных в работе теоретических подходов разработаны и внедрены в практику проектирования методы, алгоритмы и программное обеспечение анализа и синтеза оптимального управления электротепловыми распределенными системами с подвижными источниками энергии, описываемыми параболическими уравнениями, адекватно учитывающие реальные условия функционирования управляемых объектов (продольно-поперечные многомерные краевые эффекты, нелинейности, ограничения на функцию состояния и управление, подвижный характер

293 распределенных воздействий, управление ансамблем траекторий в условиях неопределенности), принципы и технические решения по их реализации, что позволило повысить производительность проектируемого оборудования, уменьшить его весогабаритные показатели, сократить расходы на крупномасштабные эксперименты и доводку дорогостоящего оборудования для реализации наукоемких технологий. Результаты работы внедрены в ВНИИЭТО (г. Москва), ОАО НИИТ, ГУП НКТБ «Искра» (г. Уфа), ОАО «ИНМАШ» (г. Стерлитамак), а также в учебном процессе в Уфимском государственном авиационном техническом университете.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1.Ажогин В.В., Згуровский М.З., Корбич Ю.С. Методы фильтрации и управления стохастическими процессами с распределенными параметрами. -Киев: Выща школа, 1988. - 368 с.

2. Бадамшин Р.А., Горбатков С.А., Клестов Е.А. Оптимальное терминальное управление системами с распределенными параметрами при неполном измерении их состояния. Уфа: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т, 1997. - 313 с.

3. Бали Б., Уэйнер Дж. Теория термоупругих напряжений. М.: Мир, 1964. -517с.

4. Баранов Б.А., Самойленко А.К., Штейнберг А.В. и др. Причины и пути устранения прострелов в прессованной алюминиевой оболочке// Кабельная техника. 1978. - Вып.1(155). - С.9-11.

5. М.: Институт автоматизации проектирования АН СССР, 1991. С.53-65.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.-600 с.

7. Бек В.В., Вишняков Ю.С., Махлин А.Р. Интегрированные системы терминального управления. М.: Наука, 1989. - 224 с.

8. Белкин А.К., Горбатков С.А., Магадеева А.Р. Математическая модель при воздействии высокочастотного электромагнитного поля на порошковые металлические материалы// Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1993. -N4. - С.26-37.

9. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960. - 400с.

10. Белкин А.Г., Горбатков С.А., Гусев Ю.М. и др. Разработка и проектирование тиристорных источников питания. М.: Энергоатомиздат, 1994.-272 с.

11. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высшая школа, 1978. - 328 с.

12. Биргер И.А., Мавлютов P.P. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986. -560 с.

13. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом. -М.: Наука, 1987.-232 с.

14. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975. - 568 с.

15. Бутковский А,Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1979. 224 с.

16. Бутковский А.Г. Управление системами с распределенными параметрами (обзор)// Автоматика и телемеханика. -1979.- №11.- С. 16-65.

17. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. М.: Наука, Физматлит, 1977. - 320 с.

18. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами.- М.: Наука, Физматлит, 1965. 474 с.

19. Бутковский А.Г., Пустыльников JI.M. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами.- М.: Физматлит, 1980. 284 с.

20. Бутковский А.Г., Чубаров Е.П. Системы с подвижным воздействием -новый класс систем управления с распределенными параметрами// Управление распределенными системами с подвижным воздействием, М., "Наука", 1979. -С.3-8.

21. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972. - 416 с.

22. Васильев Ф.П., Ишмухаметов А.З., Потапов М.М. Обобщенный метод моментов в задачах оптимального управления. М.: МГУ, 1989. - 142 с.

23. Васильев В.И., Ильясов Б.Г., Валеев С.В. и др. Интеллектуальные системы управления с использованием нейронных сетей// Учебное пособие. Уфа: Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т, 1997. - 92 с.

24. Введение в аэроупругость// С.М.Белоцерковский, Ю.А.Кочетков, А.А.Красовский и др. М.: Наука, 1980. -384 с.

25. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы: Справочное пособие. Киев: Наукова думка, 1986. 544 с.

26. Вигак В.М. Управление температурными напряжениями и перемещениями. Киев: Наукова думка, 1988.- 313 с.

27. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. -512с.

28. Вольдек А.И., Данилевич Я.Б., Косачевский В.И. и др. Электромагнитные процессы в торцевых частях электрических машин. JL: Энергоатомиздат, Ленигр. отд-ние, 1983. - 216 с.

29. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: Физматгиз, 1961.-228 с.

30. Гживачевски М., Горбатков С.А., Никитин А.В. Локальный принцип максимума в задачах нагрева токопроводящих тел в электромагнитном поле (на английском языке)// Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1997. - Т.5, N2. -С.138-149.

31. Голичев И.И. Аппроксимация решения некоторых краевых и смешанных задач// Доклады АН СССР. Серия "Математика". 1980. - Том 215, N8. - С.535-539.

32. Горбатков С.А., Бадамшин Р.А Физическое моделирование электромагнитного поля примыкающего индуктора// Электромеханика: Труды У АН, вып.79, 1974 г. С.240-246.

33. Горбатков С.А., Бадамшин Р.А. Определение выходной характеристики САР температуры заготовок на давильных индукционных установка// Элементы информационно-измерительной и вычислительной техники: Труды У АН, вып.85, 1974 г. С.161-169.

34. Горбатков С.А., Аитов И.Л., Бадамшин Р.А. Автоматическое регулирование режима индукционного нагрева// Промышленная энергетика, 1978, N2. С.41-44.

35. Горбатков С.А., Бадамшин Р.А. Оптимальное управление мощностью в нелинейных индукционных системах для нагрева парамагнитных слябов// Управление распределенными системами с подвижным воздействием, М., "Наука", 1979.-С.122-130.

36. Горбатков С.А., Бадамшин Р.А. Решение трехмерной нелинейной задачи нестационарной тепдопроводности с внутренними источниками тепла// Редкол. "Инж.-физ.ж." АН БССР. Минск, 1980. (Рукопись деп. в ВИНИТИ 13 июня 1980 г., №2382-80 Деп.) 12 с.

37. Горбатков С.А., Бадамшин Р.А., Лушников Е.Л. Об оценке сходимости итеро-аппроксимативного метода при расчете теплоэлектродинамических процессов// Физика волновых процессов и радиотехнические системы.

38. Периодический теоретический и научно-практический журнал. Том I, №1, 1998.-С.18-21.

39. Горбатков С.А., Гживачевски М. К анализу итеро-аппроксимативного метода для трехмерных нелинейных задач теплопроводности // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1988. - N2. - С. 101-111.

40. Горбатков C.A., Зарипов P.A., Смоленков В.Ф. и др. Расчет режимов индукционного нагрева штампов гибкими водоохлаждаемыми индукторами с гофрированной металлической оболочкой// Изв. вузов. Электромеханика. -1990.-N1.-С. 91-101.

41. Горбатков С.А., Кувалдин А.Б. и др. Химические аппараты с индукционным обогревов. М.: Химия, 1985. - 174 с.

42. Горбатков С.А., Нефедов Е.И. К проблеме анализа теплоэлектродинамических процессов в объемных интегральных схемах СВЧ и КВЧ// Доклады Академии наук России. Серия "Техническая физика". 1995. -Т.340, N3. - С.325-328.

43. Грач И.М. Расчет нестационарных электромагнитных полей в проводящихтелах путем сведения уравнения поля к упрощенному операторному уравнению// Изв. Вузов. Энергетика, 1981, №9. С.23-29.

44. Гринберт Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.: Изд. АН СССР, 1948. - 726 с.

45. Гутин Л.И. Исследование трансформаторного способа подключения нагрузки к тиристорному инвертору // Труды УАИ, вып.39. Уфа, 1972. - С.80-91.

46. Девятов Б.Н., Демиденко Н.Д. Теория и методы анализа управляемых распределенных процессов. Новосибирск: Наука, 1983. 272 с.

47. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Синтез оптимального управления в системах с распределенными параметрами при неполном измерении состояний (обзор) // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. - №2. - С. 123 - 136.

48. Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами. М.: Машиностроение, 1986. -216 с.

49. Демидович В.Б., Немков B.C. Расчет цилиндрического индуктора с немагнитной загрузкой на ЭВМ// Применение токов высокой частоты. Л.: Машиностроение. Ленинградское отделение, 1975. - С.38-45.

50. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. 464 с.

51. Зарипов М.Ф., Горбатков С.А. Элементы теории нелинейных электромагнитных систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1979. -225 с.

52. Зориктуев В.Ц. Идентификация и автоматическое управлениетехнологическими процессами в станочных системах. Уфа: Уфимский авиац. ин-т, 1992. - 118 с.

53. Иванов-Смоленский А.В. Электромагнитные поля и процессы в электрических машинах и их физическое моделирование. М.: энергия, 1969. -С. 118-147.

54. Ивоботенко В.А., Ильинский Н.Ф., Копылов И.П. Планирование эксперимента в электромеханике. М.: Энергия, 1975. - 184 с.

55. Интегральные уравнения // Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А. и др. М.: Наука, 1968. - 448с.

56. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1977. -744с.

57. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: Физматгиз, 1958.-568 с.

58. Кацнельсон С.М., Гутин Л.И., Охотников В.А. Применение метода геометрических мест при анализе работы преобразователя частоты с автотрансформаторным включением нагрузки // Труды УАИ, вып. 39. Уфа, 1972.-С.92-101.

59. Клестов Е.А. Метод распределенных моментов в задачах оптимального быстродействия // Сб. научных трудов КАИ. Казань: Изд. КАИ, 1968, вып. 107. - С.20 - 21.

60. Клестов Е.А. Оптимальное терминальное управление распределенными объектами при неполном измерении состояния // Актуальные проблемы математического моделирования и автоматизированного проектирования в машиностроении. Казань, 1995. - С.31 - 34.

61. Клестов Е.А., Сиразетдинов Т.К. К задаче оптимального быстродействия в распределенных системах со случайными свойствами // Автоматика и телемеханика. 1972. - № 3. - С.35 - 42.

62. Клестов Е.А., Сиразетдинов Т.К. К задаче оптимального быстродействия в системах со случайными свойствами // Изв. АН СССР. Сер. Техническаякибернетика. 1969. - № 3. - С. 10 - 16.

63. Коваленко А.Д. Основы термоупругости.- Киев: Наукова думка, 1970 306 с.

64. Коган М.Г. Расчет индукторов для нагрева тел вращения. М.: Всесоюзный научно-исследовательский институт электромеханики, 1966. - 56 с.

65. Коздоба JI.A., Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Наука, 1975. - 225 с.

66. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.М.: Наука, 1968. 496 с.

67. Коломейцева М.Б. Решение задачи оптимального управления индукционным нагревом подвижным объектом// Управление распределенными системами с подвижным воздействием, М., "Наука", 1979. С.99-106.

68. Коломейцева М.Б., Чугуев И.В. Получение оптимального температурного распределения в раскатываемых кольцах с помощью индукционного подогрева// Электричество. 1991, №10. - С.74-76.

69. Кравченко. Краевые электродинамические задачи для неоднородных сред. Киев: Наукова думка, 1993. - 347 с.

70. Краснов M.J1. Интегральные уравнения.(Введение в теорию).- М.: Наука,1975. 303 с.

71. Красовский А.А., Буков В.Н., Щендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными процессами. М.: Наука, 1977. - 272 с.

72. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. - 476 с.

73. Крутько П.Д., Максимов А.И., Скворцов JI.M. Алгоритмы и программы проектирования автоматических систем. М.: Радио и связь, 1988. - 306 с.

74. Кручинин A.M., Махмудов К.М., Миронов Ю.М. Автоматическое управление электротермическими установками: Учебник для вузов. М.: Энергоатомиздат,1990. - 416 с.

75. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.-408 с.

76. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. - 360 с.

77. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. - 520 с.

78. Маркин П.М., Горбатков С.А., Бадамшин Р.А. Решение пространственной нелинейной задачи теплопроводности при нагреве секторным индуктором// Электромеханика: Труды УАИ, 1975 г., с.81-84.

79. Маркин П.М., Горбатков С.А., Бадамшин Р.А. Тепловой расчет индукционной установки для формовки крупногабаритных колец из титановых сплавов// Авиационная промышленность, 1976, N9. С. 23-25. ДСП.

80. Маслов В.П., Авдошин С.М., Белов В.В., Данилов В.Г. Математические проблемы САПР// Математическое моделирование в САПР: Сб. научных трудов. М.: Московск. ин-т электронного машиностроения, 1990. - СЗ-8.

81. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. М.: Физматгиз, 1959. - 232 с.

82. Месарович М., Мако Д., Такахаре И. Теория иерархических многоуровневых систем. М.: Мир, 1973. - 344 с.

83. Морозкин Н.Д. Оптимизация высокотемпературного нагрева сплошногоцилиндра с учетом ограничений на термонапряжения // Электричество. 1995. -N5. - С. 56-60.

84. Морозкин Н.Д. Оптимальное управление одномерным нагревом с учетом фазовых ограничений // Математическое моделирование. 1996. - Т.8, №3. -С.92-110.

85. Морозкин Н.Д. Оптимальное управление процессами нагрева с учетом фазовых ограничений: Учебн. пособие. Уфа: Башкирский госуд. ун-т, 1997. -144 с.

86. Орлов Ю.В. Теория оптимальных систем с обобщенными управлениями. -М.: Наука, 1988.- 192 с.

87. Павлов Н.А. Инженерные тепловые расчеты индукционных нагревателей. Л.: Энергия, Ленингр. отд-ние, 1978. - 120 с.

88. Петров Б.Н., Андриенко А .Я., Иванов В.П. и др. Вопросы теории терминальных систем управления: (обзор) // Автоматика и телемеханика. -1974.-№5.-С.44-60.

89. Петров Б.Н, Портнов Соколов Ю.П., Андриенко А .Я. и др. Бортовые терминальные системы управления. - М.: Машиностроение, 1983. - 200 с.

90. Подстригач Я.С., Бурак Я.И., Гачкевич А.Р. и др. Термоупругость электропроводных тел. Киев: Наукова думка, 1977. - 247 с.

91. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979. - 496 с.

92. Рапопорт Э.Я. Задача равномерного приближения при оптимизации распределенной системы, описываемой уравнениями параболического типа// Сибирский математический журнал. 1982. - Т.23, N5. - С. 168-191.

93. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. -М.: Металлургия, 1993. 279 с.

94. Рвачев В.Л., Слесаренко А.П. Алгебро логические и проекционные методы в задачах теплообмена. - Киев: Наукова думка, 1978. - 140 с.

95. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. - 470 с.

96. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами.- Новосибирск: Наука, 1987. 232 с.

97. Свенчанский А.Д. Электрические промышленные печи. М.: Энергия, 1976.-384 с.

98. Сиразетдинов Т.К. Оптимизация систем с распределенными параметрами.- М.: Наука, 1977. 479 с.

99. Слухоцкий А.Е., Рыскин С.Е. Индукторы для индукционного нагрева. Л.: Энергия. Ленингр. отделение, 1974. - 264 с.

100. Справочник по теории автоматического управления /Под ред. А.А.Красовского. М.: Наука, 1987. - 712 с.

101. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задаче со многими критериями. М.: Наука, 1981. - 110 с.

102. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я.Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1986. - 288 с.

103. Тозони О.В., Майергойз Н.Д. Расчет трехмерных электротепловых полей. -Киев: Техника, 1974. 352 с.

104. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Глиско В.В. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. М.: Машиностроение, 1990. - 264 с.

105. Филоненко-Бородич М.И. Механические теории прочности. М.: Московск. гос. ун-т, 1961. - 92 с.

106. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.З.М.: Гос. изд. физматлит., 1963. 656 с.

107. Функциональный анализ (Серия "Справочная математическаябиблиотека") Под общ. ред. С.Г.Крейна. М.: Наука, 1972. - 544 с.

108. Хромченко Ф.А. Термическая обработка сварных соединений труб электростанций. М.: Энергия, 1972. - 224 с.

109. Хромченко Ф.А., Корольков П.М. Технология и оборудование для термической обработки сварных соединений. М.: Энергоатомиздат, 1987. -200 с.

110. Чубаров Е.П. Управление системами с подвижными источниками воздействия. М.: Энергоатомиздат, 1985. - 288 с.

111. Шапиро С.В., Зинин Ю.М., Иванов А.В. Системы управления с тиристорными преобразователями частоты для электротехнологии. М.: Энергоатомиздат, 1989. - 186 с.

112. Яненко Н.Н., Рычков А.Д. Модульная структура алгоритмов и программ в задачах механики сплошной среды и структура ЭВМ// Актуальные проблемы прикладной математики и математического моделирования. Новосибирск: Наука. Сибирское отд-ние, 1982. - С.20-26.

113. Яруллин Ч.А., Клестов Е.А. Численное моделирование одноканальной системы угловой стабилизации вращающегося осесимметричного объекта // Управление сложными техническими системами: Межвуз. науч.сб., № 1 / Уфимск. авиац. ин-т. Уфа, 1977. - С.79 - 86.

114. Gorbatkov S.A., Grzywaczewski M., Lushnikov E.L. Enclosed Non-Linear Models of Optimization of Electrothermal Processes// 40. Internationales

115. Wissenschaftiches Kolloquium (18.-21.09.1995, Ilmenau, FRG): Vortage. Band 4.-Ilmenau: Technische Universitat Ilmenau, 1995. P. 164-170.

116. Grzywaczewsky M., Gorbatkov S.A. Nieregularne punkty fazowe przy optymalnym sterowaniu procesem nagrzewania indukcijnego// XII Kajowa Konferencja Automatii (Gdynia, 6-8 wrzesnia 1994).- Gdynia: Wyzsza Szkola Morska, 1994. P.596-602.

117. Grzywaczewski M., Gorbatkov S.A., Nikitin A.V. Local principle of a maximum in Problem of Conducting Body Heating in an electromagnetic Field// Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ. 1997. - Выпуск З.С. 138 - 151.

118. Hanbook of intelligent control: Neural, Fuzzy and Adaptive Approaches / (ED: David A Write. Donald a - Sofge): Van Nostrand Rainbrold, N.4., 1992.-558p.

119. Hitzschke R.- P., Schulze D. Berechnung von Zeitplansteuerungen fur induktive Erwarmungsprozesse // Elektrowarme international. 1990. - B.4, N48. - P. 192 -198.

120. Reichert K.A. Numerical Methods to Calculate Induction Meating Installations // Electrowarme Int. 1968. - V.26. - P. 113-123.

121. A.C. № 397250 (СССР). Способ формовки цилиндрических заготовок с местным индукционным нагревом/ С.А.Горбатков, М.В.Рапоткин,

122. B.С.Самохвалов и др. Опубл. в Б.И., 1973, № 7.

123. А.С. № 475189 (СССР). Способ формовки цилиндрических заготовок/

124. C.А.Горбатков, В.С.Самохвалов, В.Н.Чернышева и др. Опубл. в Б.И., 1973, № 24.

125. А.С. № 1390821 (СССР). Индукционная печь для нагрева плоских слитков / С.А.Горбатков, А.Э.Эрман, А.А.Аноприков. Опубл. в БИ, 1988, N15.-3 с.

126. А.С. № 1470098 (СССР). Устройство для моделирования оптического датчика температуры газотурбинного двигателя/ Петров Р.В., Файрузов P.M., Бадамшин Р.А., Бакиров А.А. Зарегистрировано в государственном реестре изобретений СССР 1 декабря 1988 г. ДСП.

127. А.С. № 1679656 (СССР). Устройство индукционного нагрева слябов/ С.А.Горбатков, А.Ф.Усманов, В.Н.Голубев, М.М.Копылева, И.Ф.Пауков, А.А. Аноприков. Опубл. в БИ, 1991, N35, - 4 с.

128. Патент №2113939 (РФ). Устройство косвенного индукционного нагрева порошковых изделий. Горбатков С.А., Бадамшин Р.А., Лушников Е.Л., Магадеева А.Р., Шуфенгауер О.Э. Опубл. БИ, 1998, №18.