автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Реализация и анализ вычислительных схем МКЭ при моделировании электромагнитных полей в сложных областях

На правах рукописи

Рояк Михаил Эммануилович

РЕАЛИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СХЕМ МКЭ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В СЛОЖНЫХ ОБЛАСТЯХ

05Л3.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (технические науки)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Новосибирск - 2007

003065003

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет»

Научный консультант доктор технических наук, профессор

Соловейчик Юрий Григорьевич

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор Ильин Валерий Павлович

доктор технических наук, профессор Солоненко Олег Павлович

доктор технических наук, профессор Фроловский Владимир Дмитриевич

Ведущая организация: Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера

СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится "03" октября 2007 года в 14ой часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.06 при Новосибирском государственном техническом университете (630092, Новосибирск-92, пр.К.Маркса 20)

С докладом можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета

Автореферат разослан "й?" о 2007

Ученый секретарь

диссертационного совета_Дй/Ь-_ Чубич В.М.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для развития многих современных технологий очень важным является детальный анализ различных физических процессов, описываемых сложными математическими моделями. Изучение этих процессов невозможно без использования высокоточных методов численного моделирования. Для решения такого рода проблем к настоящему времени разработан большой объём программно-математического обеспечения, реализованного в широко известных многофункциональных программных комплексах, таких как ANSYS, NASTRAN, COSMOS, FLUX3D, OPERA3D, FEMLAB и т.д. Успешность этих комплексов определяется, в основном, тем, что в качестве базового метода моделирования в них используется метод конечных элементов (МКЭ). Тем не менее, на сегодняшний день и с помощью этих комплексов не удаётся получать результаты требуемого качества при решении многих очень важных практических задач.

К таким задачам можно отнести задачи моделирования трёхмерных электромагнитных полей в различных технических устройствах (установках индукционного нагрева и закаливания изделий, электролитических установках, электродвигателях и генераторах, ускорителях элементарных частиц и т.д.), а также задачи восстановления свойств объектов по данным электромагнитных зондирований (задачи дефектоскопии, задачи геоэлектроразведки и т.д.). Действительно, в указанных программных комплексах для моделирования трёхмерных полей заложены, в основном, достаточно простые модели (например, задачи электростатики, описываемые эллиптическим уравнением) и вычислительные схемы. Использование же таких программных комплексов для решения достаточно сложных трёхмерных задач, требующих разработки специализированных вычислительных схем, сторонним пользователем (т.е. без обращения к разработчикам) практически невозможно.

Например, в задачах геоэлектроразведки для восстановления проводимости среды по измеренным характеристикам электромагнитного поля необходимо получать решение соответствующих нестационарных трёхмерных задач моделирования электромагнитного поля с погрешностью до нескольких процентов в широком диапазоне времён во всех точках измерения, что не может быть обеспечено ни одним из перечисленных выше программных комплексов, использующих стандартные вычислительные схемы. Для решения таких задач необходимы специальные методы, позволяющие выделять поля влияния трёхмерных неоднородностей, и реализующие эти методы вычислительные схемы.

Большую сложность для моделирования представляют также трёхмерные задачи, в которых необходимо достаточно точно учитывать влияние вихревых токов на изучаемый физический процесс (например, индукционный нагрев или паразитные токи в электромеханических устройствах). Предлагаемые в настоящее время для решения таких задач подходы с использованием элементов векторного типа хотя и существенно расширяют класс решаемых задач, но имеют серьёзные проблемы при наличии в трёхмерной расчётной области непроводящих подобластей.

Необходимо отметить, что в России моделированию трёхмерных электромагнитных полей в сложных областях уделяется явно недостаточное внимание. Большинство современных работ в области численного моделирования электромагнитных полей направлено на решение либо одно- и двумерных задач (например, работы М.И.Эпова, В.С.Могилатова, Ю.А.Дашевского и др. ), либо достаточно простых трёхмерных задач (например, работы М.И.Эпова, Соловьёва С.А., Вабшцевича П.Н., В.И.Дмитриева, М.Н. Бердичевского). При этом для решения некоторых (достаточно узких) классов трёхмерных задач разрабатываются быстрые вычислительные схемы, позволяющие приближать решение трёхмерной задачи решениями серии одно- или двумерных задач (например, работы М.И.Эпова, Ю.А.Дашевского). Программных же комплексов конечно-элементного моделирования электромагнитных полей, разработанных в России, вообще очень мало. Примерами могут служить программа ELCUT, разработанная в НПО ТОР (Санкт-Петербург) и предназначенный для решения двумерных нестационарных задач, а также программа MERMAID, разработанная А.Дубровиным в ИЯФ СО РАН и предназначенная для решения двумерных и трёхмерных задач магнитостатики на регулярных сетках. Эти пакеты являются достаточно узконаправленными, реализованные в этих пакетах вычислительные схемы не позволяют, например, моделировать трёхмерные нестационарные электромагнитные поля.

Таким образом, проблема построения эффективных вычислительных схем конечноэлементного моделирования, позволяющих получать численные решения задач моделирования электромагнитных полей в областях со сложной геометрией, и их гибкой настройки на особенности решаемой задачи до сих пор вызывает большой интерес у очень многих исследователей, занимающихся как вопросами разработки вычислительных методов, так и использующих эти методы при решении конкретных практических задач. Этим и определяется акту. альность данной диссертационной работы.

Одной из важнейших при решении различных задач с использованием МКЭ является проблема построения конечноэлементных сеток. Значительное внимание, уделяемое исследователями этой проблеме, объясняется тем, что очень часто от того, насколько эффективно удается выполнить дискретизацию расчетной области, зависит сама возможность решения конкретной практической задачи с нужной точностью. Поэтому столь велик интерес исследователей к различным процедурам построения двумерных и трехмерных сеток. Этот интерес связан с тем, что именно использование неравномерных неструктурированных сеток часто позволяет при фиксированном числе узлов существенно уменьшить ошибку аппроксимации по сравнению с различными структурированными (например, квазипараллелепипеидальными) сетками. Повышение же точности численного расчета за счет уменьшения ошибок аппроксимации, связанных с дискретизацией исходной задачи, и минимизация вычислительных затрат за счет уменьшения размерности системы аппроксимирующих уравнений (а в МКЭ размерность этой системы напрямую зависит от числа узлов в конечноэлементной сетке) являются важнейшими проблемами при проведении ■любого численного исследования. Поэтому актуальной является разработка

вычислительных схем и алгоритмов, позволяющих использовать и строить как согласованные, так и несогласованные нерегулярные сетки, содержащие как однотипные, так и разнотипные элементы. Кроме того, при замене типа конечных элементов сама вычислительная схема практически не меняется, и поэтому желательно иметь программные инструменты, позволяющие достаточно гибко настраивать программный комплекс как на использование другой вычислительной схемы без изменения типа конечных элементов, так и на работу той же самой вычислительной схемы с другим типом элементов. Достаточно удобным для этих целей является применение объектно-ориентированного подхода при проектировании программного комплекса.

Развитие объектно-ориентированного программирования и появление достаточно надёжных и мощных компиляторов С++ закономерно привело к появлению объектно-ориентированных программных комплексов конечноэлемент-ного моделирования как в России, так и за её пределами. Однако, указывая очевидные преимущества объектно-ориентированных программных комплексов, такие как упрощение отладки и простота расширения пакета открытой структуры, большинство разработчиков решают, в основном, актуальную в задачах прочности проблему совместного использования разнотипных элементов, используя, фактически, одну вычислительную схему. При решении же трёхмерных задач электромагнетизма часто требуется одновременное использование нескольких вычислительных схем и вариационных постановок (например, при решении задач с выделением нормального поля одновременно решаются как минимум две связанные задачи: задача расчёта нормального поля и задача расчёта аномального поля, и для решения каждой из этих задач используется свой ' метод построения конечноэлементной аппроксимации).

В диссертационной работе много внимания уделено построению структур данных и алгоритмов, используемых при построении вычислительных схем ко-нечноэлементного моделирования электромагнитных полей, и анализу их эффективности при решении задач различных типов. Эффективность разработанных схем и их программной реализации будет продемонстрирована на примере решения сложных практических задач из различных областей науки и техники.

Таким образом, основной научной проблемой, пути решения которой рассматриваются в предлагаемой диссертационной работе, является проблема разработки и исследования эффективности методов конечноэлементного моделирования электромагнитных полей в сложных трехмерных областях.

Цель исследования состоит в разработке новых и повышении эффективности наиболее часто используемых перспективных методов численного моделирования трёхмерных электромагнитных процессов в сложных трёхмерных областях и программных средств, реализующих эти методы.

На защиту выносятся: 1) Методы конечноэлементного моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей с выделением главной части поля с использованием узловых и векторных конечных элементов, а также при совместном их использовании при исследовании электромагнитных процессов в

устройствах, состоящих из проводящих и непроводящих электрический ток конструктивных элементов.

2) Методы и средства описания двумерных и трёхмерных расчетных областей со сложными границами и алгоритмы построения двумерных и трёхмерных конечноэлементных сеток, реализованные в препроцессоре комплекса ТЕЬМА.

3) Методы конечноэлементного моделирования нелинейных магнитных полей в ускорителях заряженных частиц, использующие технологию поэтапного выделения главной части поля

4) Методы совместного решения нескольких взаимозависимых нелинейных задач электромагнетизма и теплообмена.

5) Объектно-ориентированная реализация библиотеки классов конечноэлементного моделирования в программном комплексе ТЕЬМА.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1) Предложена конечноэлементная постановка с совместным использованием скалярных и векторных конечных элементов, основанная на вариационной постановке с использованием векторного потенциала в проводящих и скалярного в непроводящих подобластях. В отличие от постановок на основе только векторных конечных элементов, предложенная постановка при решении трёхмерных задач моделирования нестационарного электромагнитного поля без учёта токов смещения позволяет получать невырожденную систему линейных алгебраических уравнений даже при наличии в расчётной области непроводящих подобластей.

2) Разработаны новые средства описания сложной трехмерной геометрии и построения тетраэдральной конечноэлементной сетки с возможностями сгущения и разрежения её узлов. Эти средства позволяют при моделировании электромагнитных полей в наиболее высокотехнологичных ускорителях заряженных частиц максимально точно учитывать конфигурацию фасок и шимм тем самым существенно улучшить качество получаемых результатов.

3) На основе конечноэлементных постановок с использованием векторных конечных элементов разработаны и реализованы вычислительные схемы с выделением главной части поля, позволяющие существенно повысить эффективность численного моделирования нестационарных электромагнитных полей в технических устройствах.

4) Впервые предложен и обоснован метод конечноэлементного моделирования нелинейных магнитных полей с выделением главной части поля. На его основе предложены и реализованы вычислительные схемы с поэтапным выделением главной части поля, позволяющие на порядок и более повысить точность численного моделирования нелинейных магнитных полей в ускорителях заряженных частиц.

5) Предложена и реализована объектно-ориентированная технология разработки программного комплекса конечноэлементного моделирования электромагнитных полей, обеспечивающая гибкость его настройки на используемые математические модели и вычислительные схемы с учётом особенностей решаемой задачи. На основе этой технологии были, например, решены

взаимозависимые нелинейные задачи электромагнетизма и теплообмена при моделировании электроконтактного нагрева криволинейного цилиндрического трубчатого изделия.

Практическая ценность работы и реализация результатов. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в программном комплексе ТЕЬМА и широко применялись для решения многих сложных практических задач из различных областей прикладных исследований: теплофизики, геофизики, электро-• физики, а также при разработке и оптимизации различных электротехнических устройств. В диссертационной работе приводятся несколько примеров решения практических задач:

• моделирование гармонического электромагнитного поля кабеля с корродирующей оболочкой;

• расчёт характеристик процесса диссоциации двух зарядов с использованием комбинированной сетки;

• анализ электромагнитного поля в согласованных плёночных СВЧ резисторах;

• моделирование становления поля от вертикальной электрической линии в слоистых средах с трёхмерными объектами;

• моделирование становления поля от петлевого источника в слоистых средах с трёхмерными объектами с учётом рельефа местности;

• высокоточное моделирование магнитного поля в циклотроне

• моделирование электроконтактного нагрева криволинейного цилиндрического трубчатого изделия.

Результаты диссертационной работы использовались при выполнении более чем 20 научно-исследовательских работ (как госбюджетных, так и хоздоговорных), из них в последние годы при выполнении тематических планов НИР НГТУ:

• НГТУ. 1.4.99 «Исследование волновых моделей диагностики мест нарушения однородности в кабельных сетях среднего и высокого напряжения», 19992001;

• НГТУ. 1.2.04 «Математическое моделирование электромагнитных процессов», 2004-2005;

а также хоздоговорных работ (за последние пять лет):

• х/д ПМт-2-00 «Конечноэлементное моделирование геоэлектрических объектов» (2000г., ГФУП СНИИГГиМС);

• хУд ПМт-3-00 «Расчёты электромагнитных полей при гальваническом возбуждении для сложных геоэлектрических условий Сибири» (2000г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-1-01 «Решение прямой и обратной задачи геотермии в условиях седиментации» (2001г., ГП Дальинформгеоцентр);

х/д ПМт-2-01 «Конечноэлементные расчёты трёхмерных магнитных полей» (2001г., НИУ ИЯФ СО РАН);

• х/д ПМт-5-01 «Реализация учёта изменения палеоплотности и мощности слоёв во времени при решении задачи геотермии в условиях седиментации» (2001г., ГП Дальинформгеоцентр);

• х/д ПМт-2-03 «Оценка глубинности и оптимизация основных параметров моноимпульсного электромагнитного зонда» (2003г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-2-04 «Разработка и исследование технологии широкополосного импульсного зондирования» (2004г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-2-05 «Проведение трехмерного конечноэлементного моделирования для технологии поиска золотосодержащих кварцевых жил методом вызванной поляризации» (2005г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-3-05 «Расчёт параметров датчика ускорения» (2005г., ООО «Сенсор Текнолоджис»);

• х/д ПМт-5-05 «Математическое моделирование электромагнитных полей при проведении аэроназемных поисково-оценочных исследований в условиях Восточной Сибири и Якутии» (2005г., ГФУП СНИИГГиМС);

х/д ПМт-6-05 «Проведение региональных геофизических работ в зоне сочленения Сибирской платформы, Западно-Сибирской плиты и Енисей-Хатангского прогиба с целью подготовки новых зон нефтегазонакопления» (2005г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-14-06 «конечноэлементные исследования трёхмерных магнитных полей дипольных магнитов» (2006г., ИЯФ СО РАН);

Кроме того, исследования были частично поддержаны грантами РФФИ:

• 01-02-16932-а «Новый механизм поверхностной проводимости и появления зарядов в жидких диэлектриках»

• 03-02-16214-а «Экспериментальные исследования нового механизма появления зарядов на границе жидкого и твердого диэлектриков»

Достоверность результатов подтверждается как решением модельных задач и сравнением результатов решения некоторых частных задач с результатами других авторов, так и сравнением результатов численного моделирования с экспериментальными данными.

Личный вклад. Автором предложена и обоснована конечноэлементная постановка с совместным использованием узловых и векторных конечных элементов для модели электромагнитного поля с использованием разрывного векторного потенциала в проводящих и скалярного магнитного потенциала в непроводящих электрический ток конструктивных элементах, и на основе этой постановки разработана вычислительная схема с выделением главной части поля, описываемого двумерной (осесимметричной) задачей.

Автором предложены и реализованы в препроцессоре комплекса ТЕЬМА методы и средства описания двумерных и трёхмерных расчетных областей со сложными границами и алгоритмы построения двумерных и трёхмерных ко-нечноэлементных сеток

Автором разработаны и реализованы вычислительные схемы для решения задачи моделирования электромагнитных процессов в кабеле с корродирующей оболочкой и задачи моделирования процесса диссоциации для двух зарядов.

Автором предложены и разработаны методы конечноэлементного моделирования нелинейных магнитных полей в ускорителях заряженных, использующие технологию поэтапного выделения главной части поля

Автором разработаны и реализованы вычислительные схемы совместного решения нескольких взаимозависимых нелинейных задач электромагнетизма и теплообмена.

Автором выполнено численное моделирование трёхмерных нелинейных 'магнитных полей для циклотрона AIC-144, нестационарных электромагнитных полей с учётом рельефа местности при обработке данных зондирований на хребте «Безымянный», нестационарного трёхмерного электромагнитного поля согласованного плёночного СВЧ-резистора, электромагнитных и тепловых полей при решении задачи электроконтактного нагрева криволинейного цилиндрического трубчатого изделия.

Автором предложена объектно-ориентированная технология разработки программного комплекса конечноэлементного моделирования электромагнитных полей и реализована в виде библиотеки классов конечноэлементного моделирования в программном комплексе TELMA.

Автором выполнены все реализации рассмотренных в работе вычислительных схем и алгоритмов. Все исследования эффективности вычислительных схем и их реализаций, результаты которых приведены в диссертационной работе, также выполнены лично автором.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и докладывались на: Всесоюзной конференции по методам численного решения многомерных нестационарных задач математической физики (Арзамас-16, 1991); Международной геофизической конференции и выставке по разведочной геофизике SEG-EAGO (Москва, 1993); Международном совещании-семинаре по механике реагирующих сред и экологии (Томск, 1994); First Asian Computational Fluid Dinamics Conference (Hong Kong, 1995); Particle Accelerator Conference and International Conference on High-Energy Accelerators (Dalias,1995); Международной конференции PaCT-95 (Санкт-Петербург, 1995); Международной геофизической конференции и выставке Санкт-Петербург'95; Международной конференции "неклассическая геоэлектрика" (Саратов, 1995); Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1996); Научно-техническом совещании "Геофизические методы при разведке недр и экологических исследованиях" (Томск, 1996); Международной геофизической конференции "Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками" (С.-Петербург, 1996); Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С.Л.Соболева, 1998г; Международной геофизической конференции «300 лет горно-геологической службе России», Санкт-Петербург, ,2000г.; 63 и 65 Международной конференции EAGE Conference & Technical Exhibition, (Amsterdam, 11-15 June 2001, Stavanger, Norway, 2-5 June 2003); международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004; Шестой международной конференции «On UNCONVENTIONAL ELECTROMECHANICAL AND ELECTRIACAL SYSTEMS», 2004г.; Международной конференции

«International Symposium On Heating by Electromagnetic Sources», Padua, June 2225, 2004г.; Третьей, четвёртой, седьмой и восьмой международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения" АПЭП-96, АПЭП-98, АПЭП-2004, АПЭП-2006; Третьей и восьмой Российско-Корейской международной конференции (KORUS'99, KORUS-2004); а также на семинарах ВЦ СО РАН, МВТ СО РАН, ИТПМ СО РАН, ИЯФ СО РАН, ИВМиМГ СО РАН (г.Новосибирск), ОИЯИ (г.Дубна). Результаты автора включались в отчеты по НИР НГТУ, заключительные отчеты СНИИГ-

ГиМС.

Публикации. Результаты исследований изложены в 56 печатных работах (32 статьях и 24 трудах российских и международных конференций), среди которых 20 статей опубликованы в изданиях, включенных в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора наук.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения, списка использованных источников (269 наименований) и приложения. Работа изложена на 319 страницах, включая 47 рисунков и 5 таблиц.

Глава 1. Вычислительные схемы моделирования двумерных электромагнитных полей. Построение двумерных конечноэлементных сеток. Двумерный препроцессор

В первой главе рассматриваются вычислительные схемы, которые используются для моделирования двумерных электромагнитных полей, а также методы описания двумерных расчётных областей и построения в них конечноэлементных сеток. Эти методы реализованы в двумерном препроцессоре программного комплекса ТЕЬМА, их эффективность подтверждена решением значительного числа практических задач.

Фундаментальной математической моделью, применяемой для описания всех макроскопических электромагнитных явлений, является система уравнений Максвелла, устанавливающая связь между компонентами электрического и магнитного полей, параметрами среды (электропроводностью, магнитной и диэлектрической проницаемостью) и сторонними источниками электромагнитного поля в форме системы векторных дифференциальных уравнений. В диссертационной работе система уравнений Максвелла используется в виде:

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

(1)

(2) (3)

divB = О,

СНуеЕ = р,

(4)

где Н - напряженность магнитного поля, .1СТ - вектор плотностей сторонних токов (возбуждающих электромагнитное поле), Е - напряженность электрического поля, а - проводимость среды, е - диэлектрическая проницаемость среды, р - удельная плотность электрического заряда, В - индукция магнитного поля (связанная с напряженностью Н соотношением В = р,Н, где ц -коэффициент магнитной проницаемости).

В п. 1.1. описываются двумерные математические модели на основе системы уравнений Максвелла (1)-(4). В п.1.1.1 рассматриваются наиболее распространённые модели двумерных нестационарных электромагнитных процессов, а в п. 1.1.2 описана модель двумерных гармонических электромагнитных процессов.

Заметим, что для большинства реальных задач моделирования электромагнитных процессов универсальная технология решения краевых задач для двумерных уравнений не является самоцелью, а служит только частью общей вычислительной схемы решения поставленной задачи, что требует достаточной гибкости разрабатываемых универсальных алгоритмов. Примером такой задачи -является рассмотренная в п. 1.2 задача моделирования электромагнитного поля с целью разработки методики определения волнового сопротивления участка кабельной линии при коррозии металлической оболочки [11], которая была решена с использованием разработанных автором вычислительных схем.

В п. 1.2.1 рассматривается математическая модель, использованная для описания электромагнитных процессов в кабеле с корродирующей оболочкой при допущении об однородности зоны корродирования по всей длине повреждённого участка. В п. 1.2.2 строится вычислительная схема , позволяющая вычислять компоненты вектор-потенциала в том случае, когда в жиле и оболочке кабеля неизвестны сторонние токи, а известно только приложенное напряжение. В п. 1.2.3 проводится сопоставление результатов расчёта относительной индуктивности электромагнитного поля кабеля с коррордирующей оболочкой с аналитическим решением для частного случая, когда тока по поверхностям жилы и оболочки распределён равномерно. Показано, что различия в значениях индуктивности, вычисленных по численному и аналитическому решениям, не превосходят 0.1%. В п.1.2.4 приведены результаты численного моделирования относительной индуктивность кабеля при условии, что реальные токи, наводимые в жиле и оболочке, могут быть распределены неравномерно по поверхностям жилы и оболочки.

В п. 1.3 приводится пример решения задачи с использованием комбинированной сетки из треугольников и прямоугольников. Существуют задачи, в ко-■торых треугольные элементы по своим аппроксимационным свойствам заметно уступают прямоугольникам в тех подобластях расчётной области, где нет криволинейных внутренних границ. Если при этом расчётная область содержит криволинейные границы, то достаточно эффективным может оказаться вариант решения задачи, в котором вблизи криволинейных границ и для разряжения

сетки используются треугольные элементы, а в остальных местах - прямоугольные. Примером такой задачи является моделирование процесса диссоциации для двух зарядов при наличии плоскости, разделяющей два полупространства с различными диэлектрическими проницаемостями. В. п. 1.3.1 описывается математическая модель процесса диссоциации двух зарядов, а в п. 1.3.2 рассматривается вариационная постановка и конечноэлементная аппроксимация, используемая для решения задачи, и приводятся результаты численного моделирования.

В п. 1.4. рассматривается одна из важнейших частей конечноэлементного программного комплекса — двумерный препроцессор, т.е. подсистема описания геометрии расчётной области и построения конечноэлементной сетки. Основное внимание уделено разработке методов описания двумерной геометрии и построения триангуляций. Предложены алгоритмы автоматизации описания расчетной области с удобными возможностями задания геометрии и распределения узлов сетки, позволяющие исследователю строить эффективные сетки для расчетов методом конечных элементов двумерных электромагнитных или тепловых полей любого уровня сложности.

В п. 1.4.1 рассматривается вариант распространенного подхода к описанию расчетной области, называемого в научных публикациях методом описания границ. В этом подходе геометрия расчетной области описывается границами ее подобластей. Главным его достоинством является не только возможность визуализации исходных данных на любом этапе задания расчетной области, но и возможность высокой степени стандартизации всех процедур задания границ подобластей расчетной области и конечноэлементных сеток, что позволяет создавать эффективные интерактивные графические системы для решения задач с геометрией практически любой сложности. В этом же пункте рассмотрены структуры данных и алгоритмы, разработанные автором для описания границ подобластей в двумерном препроцессоре, а также обсуждаются некоторые проблемы создания интерактивной системы описания двумерной геометрии, связанные с обнаружением и обработкой ошибок ввода этой геометрии и некоторые способы и средства автоматической коррекции ошибок, таких, например, как обработка пересечения элементов границы.

В п.1.4.2 и 1.4.3 обсуждается проблема автоматизации выделения макроэлементов и разработанный автором на основе фронтального метода алгоритм построения сетки на макроэлементе. Макроэлементом называется подобласть, ограниченная замкнутой последовательностью граничных элементов различного типа и не содержащая внутри других граничных элементов. Вершины макроэлемента - граничные узлы, а стороны - граничные элементы. Учитывая, что каждый элемент границы при построении сетки аппроксимируется ломаной линией, можно считать, что каждый макроэлемент является некоторым многоугольником (возможно, невыпуклым), причем вершинами этого многоугольника являются не только граничные узлы, но и внутренние узлы элементов границы. Сами макроэлементы в дальнейшем используются для автоматического построения сетки. В двумерном препроцессоре комплекса ТЕЬМА сетка строится через отображение эталонного единичного квадрата или треугольника на мак-

роэлемент. Для такого отображения необходимо задать опорные точки - узлы на границе макроэлемента, на которые отображаются вершины квадрата или треугольника.

Глава 2. Вычислительные схемы моделирования трехмерных нестационарных

электромагнитных полей с использованием еосе-элемеитов

Во второй главе рассматриваются вычислительные схемы моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей с использованием конечных элементов с разрывными векторными базисными функциями. В п. 2.1 анализируются модели нестационарного электромагнитного поля в виде одного векторного уравнения. Наиболее универсальной является модель с вектор-потенциалом А:

гс*

1 г -101А

дА д А 7ст ...

+ + = 3 ' (5)

где А - вектор-потенциал, определяемый соотношениями В = кнА,

дг

Обратим внимание на то, что вектор-потенциал А, удовлетворяющий уравнению (5), может быть разрывен (например, на границах разрыва коэффициента а или е , то есть на границах сред с различной проводимостью или ди-• электрической проницаемостью).

Отметим также, что с помощью уравнения (5) в принципе можно описывать и стационарные (не изменяющиеся во времени) поля. Однако в этом случае это уравнение имеет не единственное решение, то есть вектор А определяется с точностью до градиента некоторой скалярной функции. Это может создавать дополнительные трудности при использовании модели (5) для расчёта электромагнитных полей, выходящих на стационарный режим. Похожая ситуация возникает и в случае, когда в нестационарном электромагнитном поле токи смещения являются пренебрежимо малыми. Тогда уравнение (5) принимает вид

гог

— г« А

(М-

дА

Как правило, проводимость а не во всей расчётной области отлична от нуля (например, в большинстве практических задачах а = 0 в воздухе и любых других изоляторах). Тогда в этих подобластях (с ст = 0) потенциал А также не может быть однозначно определён, что создаёт дополнительные трудности при применении МКЭ.

В п.2.2 и 2.3 приводится вариационная и конечноэлементная постановка для модели с разрывным векторным потенциалом. Аппроксимация по времени уравнения (5) приводит к векторному уравнению вида

rot

-rot A

+ ^A = F,

(7)

где коэффициент и вектор-функция Р определяются разностной схемой аппроксимации по времени.

Будем считать, что на границе 5 = и 52 расчётной области Г2 могут

быть заданы краевые условия двух типов:

[Axnj

= А",

— rot А х и

0.

(8) (9)

Нетрудно убедиться, что условия равенства нулю касательных либо нормальных составляющих магнитной индукции (это наиболее часто используемые условия симметрии и условия, задаваемые на границах большого объёма) являются частным случаем краевых условий (8) и (9).

Далее показано, что эквивалентная вариационная формулировка в форме Галёркина для уравнения (7) с краевыми условиями (8) и (9) имеет вид

J -irotA-rot'i' dQ + JA ■ ФЛП =

и U

= + fe &dS УФе //¿°\

(Ш)

где Щ"' - гильбертово пространство вектор-функций Ф, определённых на П, для которых roti является суммируемой с квадратом функцией (т.е.

J |iot i'j tin < rxj), и касательная составляющая Ф равняется нулю на грани-«

.це S1. При этом решение уравнения (10) должно искаться в пространстве функций А e определённых на Q и удовлетворяющих краевому условию (8),

для которых rot А является суммируемой с квадратом функцией.

Чтобы решить вариационную задачу (10) методом конечных элементов, необходимо определить конечномерное подпространство Vq пространства Н™1. Поскольку чаще всего эти функции определяют через локальные базисные функции, привязанные не к узлам, а к рёбрам конечных элементов, конечные элементы с такими локальными базисными функциями называют edge-элементами.

Итак, как и в узловом МКЭ, решение вариационного уравнения (10) будем искать на подпространстве V™1 в виде разложения по векторным базисным

функциям ф,: А.'1 Тогда, заменяя в (Ю) пробные функции базис-

]

ными функциями пространства К0ГО\ получаем систему линейных уравнений, причём г -е уравнение имеет вид:

£

J+ /^-^сШ Ч] = JF + fë■^^>ldS. (11)

и 11

Обратим внимание на то, что система уравнений (11), так же, как и исходное уравнение (7), имеет единственное решение только в том случае, когда "I > 0 во всей расчётной области П. Если же в некоторой подобласти коэффициент 1 принимает нулевое значение, то матрица системы (11) становится вырожденной и система (11) (как и уравнение (7)) становится разрешимой в этой подобласти только с точностью до градиента скалярной функции. Это существенно усложняет вычислительную схему, хотя и не делает её неприменимой. Один из способов решения проблемы при наличии подобластей с ^ = 0 рассмотрен в следующей главе.

В п. 2.4 с использованием рассматриваемой модели решается задача анализа электромагнитного поля в согласованном плёночном СВЧ резисторе.

В СВЧ диапазоне для построения мощных широкополосных нагрузок применяют плёночные резисторы. В плёночных резисторах мощностью 100Вт и более на невысоких частотах (порядка сотен мегагерц) ток, протекающий по резистивной плёнке, практически не имеет пространственной дифференциации, из-за относительно невысокой удельной проводимости плёнки и пренебрежимо малых токов смещения. Поэтому при определении входного импеданса и источников тепловыделения для моделирования температурных полей достаточно использовать относительно простые двумерные математические модели электромагнитного поля. Для частот же порядка 1ГГц и выше ток в плёнке изменяется не только (и даже не столько) в поперечном сечении, но и вдоль неё (из-за существенного влияния токов смещения). В этом случае достаточно точные оценки характеристик резистора можно получить только на основе трёхмерного моделирования электромагнитного поля.

Математическое моделирование электромагнитных процессов проводилось для конструкции, состоящей из резистивной плёнки размером 6x8x0.006.1/.111 с удельной проводимостью <х = 4.17-10,С.к/.и и двух медных контактов размерами 6x10 x 0.006мм3 и 6xlx0.006.inr1, нанесённых на диэлектрическую подложку размером 10х19х4лш' с диэлектрической проницаемостью г = 6е„ (е„ - диэлектрическая проницаемость вакуума). Сторонний ток, имити-'рующий генератор, задан в отдельной подобласти размером 1x0.1x4.1/.»', соединяющей медный контакт с идеально проводящим основанием. Второй медный контакт выходит на идеальный проводник, соединяющий резистор с идеально проводящим основанием. Схематический рисунок конструкции приведен на рис.1. Вся конструкция закрыта идеально проводящим экраном, удалённым от

резистора на 60+70мм. Поскольку задача моделирования электромагнитного поля имеет плоскость симметрии х = 0, разрезающую конструкцию на две одинаковые части, в расчётную областью может быть включена только половина описанной конструкции. На этой плоскости в качестве условия симметрии необходимо задать однородное краевое условие (9).

Рис.]. Схематический вид резистора

На тех частях границы 5, которые соответствуют поверхности идеального проводника, должно быть задано краевое условие

Ё х п = 0, (12)

т.е. касательные составляющие Е на поверхности идеального проводника должны равняться нулю. Соответственно, на должно выполняться аналогичное уравнение и для вектор-потенциала А и пробных вектор-функций Ч", что соответствует однородному краевому условию (8).

Численные расчёты проводились по изложенной во второй главе вычислительной схеме для гармонических сторонних токов с частотами в диапазоне от ' 200МГц до 5ГГц. Результаты, полученные для частот до 500МГц, практически не отличались от результатов двумерного моделирования, когда считалось, что токи текут только параллельно продольной оси резистора, а магнитное поле имеет только перпендикулярные к этой оси составляющие. На более же высоких частотах, когда с проводников стекают существенные токи смещения, картина электромагнитного поля может кардинально отличаться от полученной с помощью двумерного моделирования.

В диссертации приведены результаты численного моделирования электромагнитного поля для частоты 5ГГц. Величина стороннего тока была подобрана (для рассматриваемой линейной задачи это просто множитель) так, чтобы выделяемая на резистивной плёнке тепловая мощность составляла 200Вт.

На рис.2 представлено распределение вектора плотности тока в продольном сечении резистивной плёнки, перпендикулярном плоскости симметрии, в моменты времени, когда сторонний ток максимален (а) и равен нулю (б). Из

этого рисунка видно, что поле токов очень дифференцированно не только поперек, но и (и даже более существенно) вдоль плёнки.

В п.2.5 предлагается эквивалентная вариационная постановка для гармонически изменяющихся сторонних токов и показывается возможность генерации конечноэлементной СЛАУ на основе тех же шаблонных локальных матриц, что и для нестационарной постановки

Пусть правая часть (5) (и параметры краевых условий) зависят от времени гармонически, т.е.

,ГТ = Л'вт^)-)- .Гсоз(шг)-Тогда решение краевой задачи (5) может быть найдено Аст = А* вт(иг) + Ас соз(ш4) из решения системы уравнений

пЛ

- гохА'' Ч-

+ ошАс — ашА,<

■еш2А8 = 3\

■£ш2Аг = Л'.

в виде

(13)

(14)

Несложно убедиться, что эквивалентная вариационная постановка в форме Галёркинадля этой системы будет иметь вид

J-го!А" • го1 ФгЮ + I'аыАс • ФгЮ - f еш2Ля • Ф<!П = о |А п »

= р5 • Ф^п + • УФ е //;;"

п 3}

J -14)1 Л'' ■ 1-о1 Ф dn~JашА" • Ф<1П - I'Ш2АГ ■ ФЙП = ^ П Н

= рг ■ Флп + J& ■ уф е щ;л.

(15)

(16)

Как и в двумерном случае, при конечноэлементной аппроксимации компоненты локальной матрицы, соответствующей этой вариационной постановке, фактически являются линейными комбинациями соответствующих компонент локальной матрицы массы и жёсткости (11) (и поэтому глобальная матрица гармонической задачи (13)-(14) может быть собрана из локальных матриц задачи (11) фактически той же самой программой, которой собиралась матрица двумерной гармонической задачи).

а)

б)

Рис. 2.

Однако, к сожалению, использование такой вычислительной схемы на практике оказалось малоэффективным для векторных ес^е-элементов. Например, при решении задачи, описанной в предыдущем пункте, попытки использовать эту вычислительную схему оказались неудачными, поскольку для необходимой в этой задачи для аппроксимации мелких деталей неравномерной сетке не удалось получить решения полученной конечноэлементной СЛАУ за приемлемое время ни одним из итерационных методов из арсенала программного комплекса. СЛАУ начинала решаться при приближении сетки к равномерной, но при этом из-за грубого шага нарушалась аппроксимация внутренних границ области. Построить же с равномерным шагом сетку такую, чтобы шаг был достаточно мелким для аппроксимации деталей расчётной области и достижения необходимой точности решения оказалось невозможным из-за ограниченности памяти компьютера. Решение же задачи как нестационарной с нулевым начальным приближением (т.е. как решалась бы задача с включением тока) уже на третьем периоде с требуемой для исследований точностью не отличалось от решения на четвёртом периоде, при этом шаг по времени выбирался равномер-

ным с делением периода на 64 интервала (для контроля точности задача была решена и с делением периода на 128 интервалов).

Таким образом, использование вариационной постановки (15)-(16), хотя и теоретически возможно, на практике приводит к существенным сложностям со сходимостью итерационных методов решения СЛАУ на неравномерных сетках, и поэтому можно рекомендовать решение таких задач как нестационарных (хотя и здесь возможны проблемы с медленным установлением процесса).

Глава 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ О ТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВАХ С СОВМЕСТНЫМ ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ВЕКТОРНЫХ И УЗЛОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В третьей главе рассматривается вычислительная схема с использованием векторных элементов, которая позволяет избавиться от проблемы неединственности решения в непроводящих подобластях. В п.3.1 рассматривается модель с совместным использованием вектор-потенциала электромагнитного поля и скалярного потенциала магнитного поля, предложенная Соловейчиком Ю.Г. [5].

Будем считать, что среда, в которой изучается электромагнитное поле, состоит из двух (возможно, не односвязных) подобластей и Г}°, причём в подобласти П" удельная проводимость о отлична от нуля, а в подобласти П" проводимость равна нулю. Магнитная проницаемость |1 в обеих подобластях может быть произвольной функцией координат (в том числе и зависеть от напряженности магнитного поля). Будем также считать, что в подобласти отсутствуют сторонние токи. Если же в задаче есть изолированные обмотки с заданными (сторонними) токами, то такие обмотки не входят в расчётную область и их влияние учитывается специальным образом.

Таким образом, в подобласти П° для напряженности и индукции магнитного поля должны выполняться уравнения

гоШ° = 0, сНуВ0 = 0. (17)

Поэтому в подобласти П° напряженность магнитного поля Н° молено представить в виде

Ни=-ётасШ, (18)

где и — полный скалярный магнитный потенциал. Соответственно индукция магнитного поля Ви в подобласти представляется в виде

В0 = -р^гасШ. (19)

Очевидно, что соотношение (18) автоматически обеспечивает выполнение 'первого из уравнений (17). А для того, чтобы выполнялось второе из уравнений (17), нужно, чтобы скалярный потенциал II в области удовлетворял уравнению

- (Пу (ц grad II) = 0. (20)

В подобласти ГГ индукцию магнитного поля В" представим через вектор-потенциал А с помощью соотношения

В° = rot А. (21)

Полагая, что напряженность электрического поля Е" в подобласти Q" определяется через вектор-потенциал А с помощью соотношения

= (22) at

убеждаемся, что при таком представлении В и Е в П° автоматически выполняются уравнения (2) и (3) из системы уравнений Максвелла. Уравнение же (1) при пренебрежимо малых токах смещения с учетом соотношений (21) и (22) .преобразуется к виду:

rot

1 -— rot А

+ а^ = Зст. (23)

at

Чтобы индукция В удовлетворяла системе (1)-(3) во всей расчетной области П = Г2° и , на границе 5П между подобластями ПС1 и П" должны выполняться следующие соотношения:

В°=В°,Й?=Н?, (24)

где П - любая (например, внешняя по отношению к Пц) нормаль к рассматриваемой границе £п, т - произвольный касательный к границе 5П (т.е. ортогональный к ее нормали й) вектор.

Особенностью рассмотренной модели является то, что во многих случаях для сохранения её корректности необходимо либо вводить поверхности разрыва скалярного магнитного потенциала внутри П°, либо изменять способ разделения расчётной области на подобласти П11 и Г2°. Это необходимо делать в случае, когда внутри Г2и можно провести такой замкнутый контур Ь, что интеграл от всех токов, пересекающих натянутую на этот контур поверхность Г; , не равен нулю.

Одним из способов устранения возможности обхода ненулевого тока по контуру, целиком лежащему в является введение внутри П" поверхности 5'' разрыва скалярного магнитного потенциала. Эта поверхность должна быть построена гак, чтобы все замкнутые контуры по которым можно обойти ненулевой ток, пересекали её нечётное число раз. Будем считать, что по обмотке

течёт ненулевой суммарный ток I (I = - любая поверхность, на-

г1

тянутая на любой из контуров Ь). В этом случае во всех точках поверхности Б1' нужно задать скачок скалярного потенциала, равный I, то есть значение

IIфункции и с одной стороны от поверхности б1'' должно отличаться от значения С/|функции и с другой стороны Б'' на величину I:

и\,Р=и[ч,.+1. (25)

Кроме того, наложим на и дополнительное ограничение для обеспечения непрерывности нормальных составляющих индукции В на

ди_

дп

дЦ

дп

(26)

где

()Ц_ дп

а и

дп

значения нормальных производных [/ с разных сторон

поверхности З1' (и - нормаль к 5'' ), а р.1 и ц, - значения коэффициента р, с разных сторон поверхности 5''.'При этом будем считать, что нормальная соЙ о/' 011 ставляющая Н на разных сторонах поверхности Ь' определяется как -

дп

или

ди

дп

соответственно.

ЛТ

В п.3.2 получена вариационная постановка для рассматриваемой модели с .разрывным векторным и скалярным потенциалами.

Аппроксимация по времени уравнения (23) приводит к векторному уравнению вида

1Ы

1 г*

— А

+ = Е,

(27)

где коэффициент и вектор-функция Г определяются разностной схемой аппроксимации по времени, а решение А уравнения (27) является значением вектор-потенциала на текущем временном слое.

Обозначим через А" участок границы, на котором задано условие равенства нулю касательной составляющей индукции магнитного поля:

В х й =0,

1А"

(28)

а через 5" - участок границы расчётной области Г2 = Г2° Г2°, на котором задано условие равенства нулю нормальных составляющих индукции магнитного • поля:

В-а =0.

Ь"'

(29)

Обозначим также через границу области П", а через 5" - границу области П" . Тогда эквивалентная вариационная формулировка в форме Галёркина

для уравнений (27) и (20) с условиями сопряжения (24) и краевыми условиями (28) и (29) имеет вид

[-гоЬА-1ЫФ(1П + f(gl■adUxna)■$dS + ^ А • ФсШ =

= JF•Фí¿a уФея!Г,

(30)

0"

Jligl-adi/-gi-ad$dn-J(rotA-no)$dS = 0 VФ € (31)

о" sn

где Йа - внешняя по отношению к Г2° нормаль к границе 5П (напомним, что 5П = Г2аПП° = 5° П5°); - гильбертово пространство пробных вектор-.функций Ф, определённых на fi", для которых rot Ф является суммируемой с

квадратом функцией (т.е. J^rot Ф j сШ < оо ), и касательная составляющая Ф

П"

равняется нулю на границе 5" О S" ; #п„ - гильбертово пространство пробных скалярных функций Ф, имеющих интегрируемые с квадратом первые производные и равных нулю на границе 5Т П 5°. При этом для решения U системы вариационных уравнений (30) и (31) должно выполняться условие (25), т.е. его следует искать не в пространстве #пп, а в пространстве Н'пи, для функций которого выполняется условие (25) (при определении же пространства Ни„ поверхность S11 не считается границей П°, т.е. её точки считаются внутренними точками Пи).

В п.3.3 рассматривается конечноэлементная дискретизация для модели с разрывным векторным и скалярным потенциалами

На конечных элементах Пк, попавших в область Ля, введём векторные базисные функции Фш, соответствующие рёбрам конечноэлементной сетки, а на конечных элементах, попавших в область - узловые базисные функции Фг.

Будем искать решение системы вариационных уравнений (30), (31)

в виде разложений по базисным функциям Ф; и Фш :

Ф + ХХ*

(32)

где дт и - искомые коэффициенты разложения, а - добавки к весам от разрывов потенциала ¡У на каждой из поверхностей = 1,Е, Е - количество поверхностей, на которых задан разрыв потенциала (25).

Добавки определяются следующим образом. 1ц _ = 0 во всех вершинах с номером I, не лежащих на поверхности . В вершине же I конечного элемента , лежащей на поверхности , = Л (значению на Л1^ разрыва потенциала от тока Д ), если П,. находится с "положительной" стороны поверхности и = О в противном случае. Для определения «положительности»

стороны на практике удобно просто ввести два номера материала у конечных элементов, одновременно это решает и проблему задания самой поверхности разрыва в препроцессорах, которые не позволяют пользователю определять условия на сложных поверхностях.

Заменяя пробные функции Ф и Ф в вариационной постановке (30), (31) поочерёдно на соответствующие базисные функции Фл и Ф^, получим систему уравнений

О" ^ О"

I ^ п„

/р-ё^Ф, ■ ^ааФ^п - 3») V5 =

г 5/> т <¡1-

(33)

(34)

В п.3.4 приводится пример решения модельной задачи обнаружения дефекта в металлическом объекте, использующего рассмотренную в данной главе вычислительную схему [16].

Глава 4. Вычислительные схемы моделирования трехмерных нестационарных

электромагнитных полей с выделением главной части поля

Многие трёхмерные физические процессы с достаточно неплохим приближением могут моделироваться как двумерные. Этим обстоятельством можно воспользоваться и для построения более экономичных (по вычислительным затратам) и точных процедур решения сложных трёхмерных задач. Первые вычислительные схемы МКЭ. В четвёртой главе проанализирована предложенная Соловейчиком Ю.Г. и используемая в комплексе ТЕЬМА для решения задач геофизики вычислительная схема с выделением части поля на основе модели в 'виде уравнений для вектор-потенциала электромагнитного поля и скалярного потенциала электрического поля, а также предлагается технология выделения поля для описанных в предыдущих главах схем с использованием векторных элементов

В п.4.1 вводится понятие нормального поля (главной части поля), описывается постановка задачи на отыскание добавочного поля в терминах системы

уравнений Максвелла.

Будем считать, что рассматриваемый электромагнитный процесс имеет довольно хорошее приближение в виде более простой задачи, определяющей электрическое поле Ё° и магнитное поле Н°, удовлетворяющие системе уравнений Максвелла, т.е.

rot Й° = J° + а Е Ч------1

dt

rot Е =

ав" " dt '

divB0 = 0,

oso a div e E = p ,

(35)

(36)

(37)

(38)

где В" = р"Ни, а коэффициенты р,0, а0, е° и р° - некоторые функции, которые могут как отличаться от соответствующих функций полной задачи, так и совпадать с ними (возможно, только на некоторых участках расчётной области).

В п.4.2 и 4.3 анализируется математическая модель в виде уравнений для вектор-потенциала электромагнитного поля и скалярного потенциала электрического поля и приводятся вариационная и конечноэлементная постановки. Для конечноэлементной постановки показано, как может быть построена универсальная процедура вычисления локальной матрицы и вкладов в вектор правой части от произвольного конечного элемента на основе шаблонных локальных матриц этого элемента (содержащих интегралы от произведений локальных базисных функций элемента и их частных производных). В п.4.4 предлагается технология учёта условий симметрии электромагнитного поля в рассмотренной вариационной постановке. В п.4.5 анализируется модель и вариационная постановка вектор-потенциала электромагнитного поля и скалярного потенциала электрического поля в ситуации, когда источник поля (и нормальное поле) зависит от времени по гармоническому закону и рассматривается технология вычисления локальных матриц через шаблонные матрицы элементов. В п. 4.6 предлагается технология выделения поля в модели с одним вектор-потенциалом.

Будем искать решение В, Е системы (1)-(4) в виде В = В" + В+ и Е = Ё° + Ё+, а само добавочное поле в виде

8А

' Ot '

В+ = rotA, Е+

Тогда аналогично тому, как была получена модель в виде (5), получим rot

1 -—rotA

IM.

дА д А -ст -о + а—- + е —-J- = J -J -dt dt2

-rot

1 1 в0

л

(39)

Таким образом, для задачи с выделением нормального поля мы получили то же самое уравнение вида (5) с правой частью специального вида. Естественно, вид этой правой части не столь важен при выводе вариационной постановки. Однако для того, чтобы избавится от дифференцирования вектор-функции В0, в вариационной постановке при вычислении интеграла

I

1)

гЫ

2_

Ви

удобнее применить интегрирование по частям и вме-

сто этого интеграла вычислять интеграл

Л.1 ц°

В0 rotФ,¿n.

(41)

Очевидно, что это возможно в том случае, когда поверхностный интеграл

В0:

ФЙ5

(42)

•равен нулю. В большинстве практических задач на всех границах расчётной области заданы именно однородные краевые условия (и они же заданы для нормального поля) (8) и (9) для потенциала, поэтому для таких задач поверхностный интеграл (42) равен нулю даже в том случае, когда магнитная проницаемость у нормального и суммарного поля не совпадает на границе расчётной области.

Далее в п.4.6 анализируется конечноэлементная постановка для модели (40) и рассматривается технология вычисления локальных вкладов в матрицу и вектор конечноэлементной СЛАУ с использованием шаблонных матриц элементов.

В п.4.7 предлагается вычислительная схема с выделением нормального поля для рассмотренной в главе 3 модели с разрывным векторным потенциалом электрического поля и скалярным потенциалом магнитного поля.

Покажем, как можно учесть нормальное поле в подобласти Г2°, в которой определён только скалярный магнитный потенциал. Будем искать в подобласти П" напряженность магнитного поля, удовлетворяющую системе уравнений

гоШ = 0, сЛуВ = 0. (43)

. в виде Н = Н° + Н+, где Н° удовлетворяет системе уравнений

гоШ° = 0, аЬгВ°=0. (44)

Тогда поле Н+ должно удовлетворять системе уравнений

гоШ+=0, (45)

аЦр,Н++М.Ни) = 0. (46)

Учитывая, что = 0,уравнение (46) можно записать в виде

а1у(|Ш++(|л-|1и)Йи) = 0. (47)

Таким образом, в подобласти П° Н+ может быть найдено в виде Й+ = — цгаЛ И, где скалярный магнитный потенциал и удовлетворяет эллиптическому уравнению

-а^6гаас/) = -а1у((ц-р0)н°). (48)

Учитывая, что в подобласти Пя суммарные поля определены как

50,

= В0 + rot А, Нп" =-В° + — rot А, р, р

а в подобласти Г2и как

iT'" = Н° - grad и, В0« = |iHu - р grad U . получим условия сопряжения для добавочного поля:

(В0 + rot А) • па = (рН° - ц grad и) xl0,

-В0 + —rot А х 2„ = (Й° - grad [/) х и„.

(49)

(50)

(51)

(52)

^

Поскольку на границе 5П для нормального поля, естественно, выполняются условия В° = р.°Н0, условия сопряжения можно записать в виде:

rot.

A-nff = -p,gradi/-na +(р-ри)Й° -na,

I_ J_

o

М- H

B° x na -f ¿rot A x na = — gradU x na.

(53)

(54)

Тогда нетрудно убедиться, что вариационную постановку для модели с учётом нормального поля можно записать в виде

f-v6tA-:ot$dQ + J" (grad U xnj - 4>dS + = jFVdQ-

Г)" ^ '

-/

0"

Si"

Sn Si"

• rot Ф<:/П V$ € Hsr,,

Jp gradU ■ grad ФdQ - J(rot A • ii0 ^JidS = sn

= _у((р-р0)н0)8гааФсга УФеяц[„

si"

fi"

(55)

(56)

где' Б включает все добавки от нормальных токов, т.е. правую часть уравнения

'(40), кроме го1ф-^)в0).

Далее в п.4.7 рассматриваются необходимые изменения в конечноэлемент-ной постановке и технология вычисления вкладов в матрицу и правую часть СЛАУ.

В п.4.8 проводится сравнительный анализ двух вычислительных схем с выделением главной части поля, схемы с использованием непрерывного векторного потенциала и скалярного потенциала электрического поля и схемы с использованием разрывного векторного потенциала и скалярного потенциала магнитного поля, при решении задач геоэлектроразведки. На примере решения модельной задачи с возбуждением поля вертикальной электрической линией показана работоспособность обеих вычислительных схем. Результаты численного моделирования на одинаковых тетраэдральных сетках показывают, что погрешность непосредственного решения трёхмерных задач с использованием обеих вычислительных схем в точках измерения поля на дневной поверхности не превышает 15% в максимуме аномалии, что составляет около 2% от суммарного поля, что более чем достаточно для задач такого типа. Естественно, даль-•нейшее дробление трёхмерных сеток приводит к уменьшению погрешности расчётов.

Однако необходимо отметить, что при расчёте с использованием метода, рассмотренного в п.4.2, решение задачи было получено приблизительно за 2 часа (было сделано 100 шагов но времени, основное время тратилось на решение СЛАУ размерности около 400000). Для решения же задачи с использованием постановки (55)-(56) потребовалось более суток на том же компьютере, причём не столько за счёт увеличения размерности СЛАУ (поскольку в воздухе использовался скалярный потенциал, размерность возросла незначительно и составила около 480 000), сколько за счёт ухудшения сходимости итерационных методов решения СЛАУ на поздних времена при большом шаге по времени. В принципе, такое поведение вычислительной схемы с использованием постановки (55)-(56) автором наблюдалось неоднократно, и оно, по видимому, объясняется тем, что при больших шагах по времени вклад от матрицы массы, делающий матрицу СЛАУ невырожденной, уменьшается, и матрица СЛАУ фактически приближается к матрице жёсткости. Косвенно это предположение подтверждается тем, что при уменьшении шага по времени сходимость итерационных 'методов на каждом временном слое улучшается (что, однако, не обязательно приводит к уменьшению общего времени решения задачи из-за возрастания числа временных слоёв).

Таким образом, для задач геофизики, требующих вычисления поля на относительно поздних временах с достаточно большим шагом по времени, гораздо эффективнее вычислительная схема с использованием постановки с непрерывным векторным потенциалом и скалярным потенциалом электрического поля. Естественно, этот вывод справедлив только для случая постоянной магнитной проницаемости среды. При необходимости же изучения влияния изменения магнитной проницаемости использование постановки (55)-(5й) позволяет получить результаты с достаточно высокой точностью, но требует значительных вычислительных затрат.

В п.4.9 рассматривается вычислительная схема численного моделирования электромагнитного зондирования Земли с использованием петлевого источника и профильно-площадной системы наблюдений при наличии рельефа. Приводится пример использования этой вычислительной схемы при численном моделировании измерений на хребте «Безымянный». По результатам численного моделирования в работе представлена расчетная оценка влияния рельефа местности и трёхмерности положения петли (т.е. разница между решением трёхмерной задачи с учётом рельефа и трёхмерности петли и решением задачи в горизонтально-слоистой среде с плоской прямоугольной петлёй).

Глава 5. Вычислительные схемы моделирования нелинейных задач

магнитостатики

Пятая глава посвящена разработке вычислительных схем на основе выделения главной части поля для численного моделирования нелинейных магнитных полей в ускорителях заряженных частиц.

Для решения нелинейных задач магнитостатики к настоящему времени разработан достаточно большой объём программно-математического обеспечения, реализованного в широко известных многофункциональных программных комплексах, таких как ОРЕКАЗЭ, РЬиХЗБ, АЖУБ и т.д. Тем не менее, на сегодняшний день даже с помощью самых передовых программных комплексов не удаётся получать результаты необходимого качества при расчётах магнитных полей в некоторых типах ускорителей элементарных частиц (таких как установки электронного охлаждения, некоторые виды циклотронов и др.). Основными причинами этого являются не столько сложности, связанные с детальным описанием сложной трёхмерной геометрии, сколько отсутствие в существующих под. ходах специальных методов, позволяющих выделять в виде отдельных задач трёхмерные поля отдельных конструктивных элементов исследуемых устройств.

В п.5.1 рассматривается математическая модель на основе полного и неполного скалярных потенциалов и соответствующая конечноэлементная дискретизация. В п.5.2 предлагается вычислительная схема с выделением главной части поля, основанная на этой модели. В п.5.3 анализируется вычислительная схема с двухэтапным выделением главной части поля, предназначенная для моделирования магнитного поля в конструкциях, имеющих хорошее двумерное приближение в декартовых координатах. Эффективность разработанных методов моделирования демонстрируется на примере расчёта магнитного поля в вигглере. Путём сравнения решений задачи на нескольких сетках, полученных как по разработанной вычислительной схеме с поэтапным выделением главной части поля, так и по стандартной схеме без выделения поля показывается, что даже на самой подробной сетке погрешность решения задачи по стандартной вычислительной схеме превышает 10 гаусс, в то время как для схемы с выделением главной части поля даже на самой грубой сетке погрешность не превышает 6 гаусс, что является вполне достаточным для данного типа задач.

В п.5.4 предлагается вычислительная схема для моделирования магнитного поля в циклотронах, основанная на поэтапном выделении осесимметричной части поля и поля полюсов. С использованием решения модельных задач пока-

• зано, что предложенная вычислительная схема позволяет вычислять поле с погрешностью, Не превышающей 20 гаусс, что для задач этого типа является очень высокой точностью.

Глава 6. Построение трёхмерных конечноэлементных сеток

В шестой главе рассматриваются разработанные автором методы, алгоритмы и структуры данных для описания сложной трёхмерной геометрии и построения тетраэдральных конечноэлементных сеток.

В п.6.1 обсуждается метод тиражируемых сечений и предлагается его модификация для случая, когда сечения являются неплоскими поверхностями. Подробно рассматривается процедура формирования конечноэлементной тетраэдральной сетки по заданным сечениям, способы формирования структуры данных с информацией об элементах, узлах и краевых условиях.

В п.6.2 рассматриваются предложенные автором специальные средства (вспомогательные поверхностные сетки-маски преобразования), позволяющие задавать положение основных сечений в пространстве, описывать их поверхности и смещения узлов на них. Маска преобразования сечения даёт возможность 'задавать рельеф поверхности произвольной сложности, а также описывать необходимые сгущения и разрежения узлов конечноэлементной сетки, используя небольшое число точек, которое зависит только от необходимой точности аппроксимации самого рельефа, и не зависит от количества узлов в конечноэлементной сетке, необходимых для лучшей аппроксимации численного решения. Кроме того, нет необходимости переформировывать маску при изменении базовой плоскости, если не меняется рельеф поверхности или сгущение узлов, что существенно упрощает корректировку конечноэлементной сетки, проводимую с целью повышения точности численного решения.

В п.6.3 описывается реализация рассмотренного подхода к построению трехмерных конечноэлементных сеток в препроцессоре программного комплекса ТЕ1.МА. На рис.3 приводится пример сетки, построенной с использованием средств описания сечений сложной формы, которая была использована для моделирования магнитного поля в криволинейном диполыюм магните. Наибольшую сложность при задании этой сетки представляло описание фасок, которые было выполнено с использованием масок и локальных сгущений.

Глава 7. Алгоритмы, структуры данных и принципы построения конечноэлементного пакета ТЕЬМА

В седьмой главе подробно рассматриваются алгоритмы и структуры данных, разработанные автором для объектно-ориентированной версии конечно-элементного пакета ТЕЬМА.

В п. 7.1 поясняются особенности объектно-ориентированного конечноэлементного комплекса для моделирования электромагнитных полей. Основное внимание уделяется пояснению необходимости выделения при моделировании электромагнитных полей решаемой задачи как одной из основных сущностей, в отличие, например, от разработок для решения задач прочности.

Рис. 3 Обший вид сетки для моделирования криволинейного дшюльиого мапшта Отметим, что сами массы конечных элементов должны разрабатываться таким образом, чтобы минимально привязывать«! к типу решаемой задачи. Например, конечные элементы должны генерировать не локальные матрицы, содержащие коэффициенты уравнения, а описанные в предыдущих главах шаблонные матрицы, содержащие интегралы от произведений базисных функции и их производных, из которых локальная матрица будет получаться умножением на соответствующие параметры задачи при сборке глобальной матрицы в функциях-членах класса «решаемая задача». Классы же решаемых задач должны (по возможности) оперировать с абстрактными типами конечных элементов. НС привязываясь к числу неизвестных на элементе и размерности пространства

Преимущества подхода, основанного на множественном наследовании классов реализующих решение задач, очевидны: можно создавать и отлаживать абстрактные алгоритмы, которые без изменений будут применимы для вновь создаваемых типов сеток и элементов. При этом использование для сборки глобальной СЛАУ шаблонных матриц конечных элементов позволяет, создав класс нового конечного элемента, сразу использовать его а уже существующих классах, реализующих различные конечноэлементные постановки. Заметим однако, что использование множественного наследования не всегда оправданно. Это связанно с тем, что для каждого виртуального базового класса в унаследованном объекте фактически должен храниться адрес таблицы виртуальных функций (обычно он занимает 4 байта). Поэтому использовать множественное наследование для классов самих конечных элементов невыгодно (поскольку чаще всего все элементы сетки необходимо хранить, объём памяти при использовании множественного наследования увеличится существенно). Именно поэтому в приведённом ниже примере множественное наследование используется только для классов-сеток, для которых лишние 4 байта на фоне хранимых нескольких тысяч элементов роли не играют.

Пример фрагмента структуры классов, поясняющий указанные выше требования, приведён на рис.4 (естественно, это не реальная, а очень упрощённая

.структура классов). В этом примере класс TetrahedronElectromagneticMesh, предназначенный для моделирования электромагнитного поля на тетраэдральной сетке, получается путём множественного наследования из классов Л-пкеЕктаиЛ ггауЗБ и NonStationarElectromagneticProblem и фактически реализует только одну виртуальную функцию, возвращающую ссылку на конечный элемент (тетраэдр). Вся же функциональность, необходимая для моделирования, реализуется в базовых абстрактных классах. Например, за хранение координат узлов конечноэлементной сетки отвечает класс РтШЕктеМАггауЗО, а за формирование системы линейных уравнений — класс Моп8ШюпагЕ1ес1го-та^ие^сРгоЫст, который на основе интегралов по конечному элементу от базисных функций и их производных, возвращаемых абстрактными функциями Сепега1е1л)саШсч5М(йпх и ОспегаиЪоса 1БИ//пеьвМШпх класса конечный элемент, генерирует вклады в глобальную матрицу.

Далее в п.7.1 приводится абстрактный алгоритм формирования портрета матрицы СЛАУ и подробно анализируются достоинства и недостатки объектно-ориентированного подхода к построению конечноэлементного комплекса.

В п.7.2 описывается объектно-ориентированная реализация алгоритмов ра-■боты с конечноэлементными СЛАУ в комплексе ТЕЬМА. В принципе, разработка собственной библиотеки классов, реализующих алгоритмы работы с конечноэлементными СЛАУ, не всегда выполняется в рамках конечноэлементного программного комплекса, поскольку существует достаточно много готовых программ, специально нацеленных на решение СЛАУ в разреженных форматах. Однако при разработке новых вариационных постановок возможно появление матриц (например, блочных), эффективные способы работы с которыми не предусмотренных в стандартных пакетах. Кроме того, в конечноэлементном комплексе в любом случае необходимы алгоритмы сборки глобальной матрицы, реализация которых также может быть выполнена в виде абстрактных алгоритмов.

В п. 7.3 рассматриваются алгоритмы работы с конечноэлементными сетками. Подробно анализируется алгоритм построения портрета матрицы в разреженном строчном формате, поскольку он, кроме своего прямого назначения (построение портрета матрицы конечноэлементной СЛАУ), является основой для многих других алгоритмов. Приводятся алгоритмы нумерации глобальных базисных функций, ассоциированных с вершинами, рёбрами и гранями конечноэлементной сетки.

В п.7.4 подробно рассматривается абстрактный алгоритм сборки глобальной матрицы из шаблонных локальных матриц на примере программы, реализующей такую сборку для нестационарной электромагнитной задачи. Кроме того, в этом пункте анализируются явная и неявная аппроксимация нестационарных задач по времени, которая в предыдущих главах записывалась в виде (7) или (27).

Finit3ElementArray::FiniteElementArray2D

+Nodef>n i : lpno> : Point 2D

GetAhstrartElementReffin i : [engl : FiniteElempnt&

+Number01£lements() : long : virtual +NumberOfUnknownsO : long : virtual +GetAbstractElementRef(in I : long) : FiniteEIementS : virtual tGenerateSLAEPoriraitQ_

FiniteElementArray::FiniteEîementArray3D \

V

+Nodefin i : tonal : Poim 3D FiniteElementArray::NonStationarProblem

+GetAh^rractEiefTien;Ref(in i ; iona) : FiniteElement& -NumberO{Times : int •Time: doub!e{NumberQiTimesJ -LayerScheme: short -T'imeCoef: doub!e[NumberOfCoetficients]

i Г7

TetrahedronElectromagneticMesh +SolveProb!em(): void

-TetrahedronArray : Tetrahedron* +GenerateElementContribution(in i: long): void : virtual

+GetElementRef(in i ; long) : Finite£lernent3D& +NumberOfElementsQ : long • +NumberOfUnknowns{) : long * 4S 1 "4 ! V /

____й__

NonStationarProblem::NonStatlonarElectromagneticProblem

tMufin nelem ; int): double +Sigma(in nelem : int): double +£ps{in nelem int) : double +Current(in nelem : int) : Point_3D +GenerateElementGontrieutj'on(in i: long): void

Рис. 4. Пример структуры классов

Глава 8. Вычислительные схемы для решения сопряженных ЗАДАЧ

Наиболее сложными для реализации являются вычислительные схемы, используемые при решении сопряженных задач, т.е. задач, в которых необходимо совместное моделирование нескольких взаимозависимых процессов, например, тепловых и электромагнитных. Эти вычислительные схемы практически для каждой задачи требуют разработки своего алгоритма решения. При реализации именно таких вычислительных схем наиболее полно раскрываются преимущества гибкости настройки объектно-ориентированного программного комплекса на решаемую задачу.

В восьмой главе продемонстрированы преимущества рассматриваемого подхода на примере решения задачи электроконтактного нагрева криволинейного цилиндрического трубчатого изделия.

В п.8.1 рассматривается постановка задачи и математическая модель процесса электроконтактного нагрева для существующей экспериментальной установки. Нагрев выполнялся от стабилизированного источника тока на промышленной частоте (50Гц). Изделие было выполнено из ферромагнитной стали, имело наружный диаметр 0.159 м, угол изгиба 90°, радиус изгиба продольной

оси 0.64 м, толщину стенки 0.02м. При этом как электромагнитные свойства ' материала конструкции (проводимость и магнитная проницаемость), так и теп-лофизические (теплоёмкость и теплопроводность) зависели от температуры, а магнитная проницаемость ещё и от индукции электромагнитного поля, то есть как тепловая, так и электромагнитная задача были нелинейными.

Для моделирования электромагнитного поля в данном случае очень удобна модель с векторным потенциалом в проводящих подобластях и скалярным в непроводящих. Во-первых, на столь низких частотах (50 Гц) токи смещения абсолютно несущественны, а во-вторых (и это даже более важно) поле возбуждается стабилизированным источником тока, а не напряжения. Это означает, что в каждый момент времени известен полный ток, протекающий в цепи, а в этой постановке при задании разрыва потенциала (25) его значение как раз и задаётся равным полному току в цепи. При этом распределение токов в проводящих частях будет найдено автоматически.

В п.8.2 предложены и проанализированы вычислительные схемы для совместного решения сопряженных нелинейных задач. При этом для решения электромагнитной задачи с токами, текущими преимущественно в одном направлении, проведено сравнение векторных элементов различных типов. Показано, что для тетраэдральных векторных элементов с одной базисной функцией на каждом ребре для аппроксимации решения требуется существенное дробление сетки вдоль направления тока, в отличие от призматических конечных элементов или тетраэдральных элементов с двумя векторными базисными функциями, ассоциированными с каждым ребром.

В п.8.3 приведены результаты численного моделирования процесса электроконтактного нагрева и продемонстрировано их хорошее совпадение с данными физических измерений.

Заключение

В диссертационной работе рассматривались проблемы создания и реализации вычислительных схем конечноэлементного моделирования электромагнитных полей. Основные результаты проведенных исследований состоят в следующем.

1. Разработаны методы описания двумерных и трёхмерных расчетных областей, позволяющие задавать геометрию практически произвольной сложно-.сти и эффективно управлять сгущением и разрежением сетки. Созданы методы автоматического и полуавтоматического построения двумерных и трёхмерных сеток в областях со сложной геометрией. Предложенные методы и алгоритмы реализованы в препроцессоре пакета ТЕЬМА и использовались при решении значительного числа практических задач.

2. Разработаны и реализованы вычислительные схемы двумерного конечноэлементного моделирования с использовании комбинированных сеток. Приведены результаты решения практических задач расчёта гармонического электромагнитного поля кабеля с корродирующей оболочкой и расчёта характеристик процесса диссоциации двух зарядов, для выполнения конечно-элементной аппроксимации которых использованы разработанные в диссерта-

ционной работе средства. Продемонстрированы преимущества использования комбинированных сеток.

3. Предложена и реализована вычислительная схема решения трёхмерных нестационарных задач электромагнетизма с совместным использованием векторных и узловых конечных элементов. Обоснованы преимущества использования этой вычислительной схемы для моделирования электромагнитных полей в технических устройствах, содержащих как подобласти с высокой проводимостью, так и непроводящие подобласти. Показано, что в большинстве случаев конечноэлементная постановка с совместным использованием векторных и узловых конечных элементов, в отличие от постановок, 'использующих только векторные элементы, позволяет получить СЛАУ с невырожденной матрицей даже при наличии непроводящих подобластей и пренебрежимо малых токах смещения.

4. На основе метода выделения главной части поля разработаны и реализованы вычислительные схемы, основанные на использовании конечноэлемент-ных постановок с векторными и скалярными базисными функциями. Высокая точность и эффективность этих вычислительных схем, базирующаяся на том, что главная части поля определяется из решения более простых (двумерных) задач с высокой точностью, продемонстрирована на примере решения задач электромагнитного зондирования Земли. Проведен сравнительный анализ использования разработанных методов при использовании их для решения задач геоэлектрики. Разработана и использована при решении практических задач вычислительная схема для конечноэлементного моделирования электромагнитного зондирования Земли с использованием петлевого источника и профильно-площадной системы наблюдений с учётом рельефа местности и трёхмерного расположения петли.

5. На основе поэтапного выделения главной части поля разработаны и реализованы вычислительные схемы для высокоточного численного моделирования магнитных полей в ускорителях заряженных частиц. Эффективность разработанных схем продемонстрирована при моделировании магнитных полей циклотрона.

6. Предложены технологии создания программного комплекса конечно-элементного моделирования электромагнитных полей, основанные на объектно-ориентированном подходе с использованием множественного наследования. Продемонстрирована возможность использования одних и тех же абстрактных алгоритмов для реализации вычислительных схем, основанных на различных вариационных и конечноэлементных постановках. Использование предложенных технологий при разработке программного комплекса ТЕЬМА позволяет использовать его не только для решения практических задач, но и как инструмент для исследования свойств новых вариационных и конечноэлементных постановок, а также обеспечивает необходимую гибкость настройки программного комплекса на особенности решаемых задач.

7. Разработаны и реализованы вычислительные схемы, допускающие совместное решение нескольких взаимосвязанных нелинейных задач. Для одной из задач электроконтактного нагрева, в которой электромагнитное поле имеет

хорошее двумерное приближение, предложена вычислительная схема, в которой нелинейное трёхмерное электромагнитное поле аппроксимируется путём решения нескольких двумерных нелинейных задач в декартовых и цилиндрических координатах, соответствующих нескольким пространственным сечениям изучаемого изделия. Высокая эффективность разработанных вычислительных схем продемонстрирована на примере решения задачи электроконтактного нагрева, для которой получено хорошее совпадение результатов численного моделирования с данными физических измерений.

Основные публикации по теме диссертации

1. Рояк, М.Э. Моделирование электромагнитных полей в трехмерных областях / Э.П. Шурина, Ю.Г.Соловейчик, М.Э. Рояк // Вычислительные технологии.- 1993.-Т.2, №6. - С.48-53.

2. Рояк, М.Э. Математическое моделирование физических полей, обусловленных локальными возмущениями / Э.П. Шурина, Ю.Г.Соловейчик, М.Э. Рояк // Вычислительные технологии. -1994. - Т.З, №8. - С.143-147

3. Математическое моделирование на базе метода конечных элементов трехмерных электрических полей в задачах электроразведки / Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк,

. В.С.Моисеев, А.В.Васильев //Изв. РАН, Сер.: Физика Земли. -1997. - №9. - С.67-71.

4. Моделирование нестационарных электромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов / Ю.Г.Соловейчик, М.Э.Рояк, В.С.Моисеев, Г.М. Три-губович // Изв. РАН, Сер.: Физика Земли. - 1998. - №10. - С.78-83

5. Рояк, М.Э. Совместное использование скалярного и векторного потенциала при конечноэлементном моделировании трехмерных нестационарных электромагнитных полей в электротехнических устройствах / Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк // Научный вестник НГТУ. - 1997. - №3. - С.141-160

6. Применение МКЭ для расчета трехмерных гармонических электромагнитных полей в задачах каротажа и аэроразведкиполезных ископаемых / Ю.Г. Соловейчик, М.Э.Рояк , С.Х. Рояк, Г.М.Тригубович // Научный вестник НГТУ. - 1998. - №1. -С. 146-160

7. Рояк, М.Э. Конечноэлементное моделирование трехмерных гармонических электромагнитных полей в задачах аэроэлектроразведш! кимберлитовых трубок / М.Э. Рояк, С.Х.Рояк, Ю.Г.Соловейчик, Г.М.Тригубович // Сибирский журнал индустриальной математики. -1998. - Т.1, №2. - С. 154-168.

8. Рояк, М.Э. Математическое моделирование процессов вызванной поляризации • в сложных средах для токовой линии с заземленными электродами / В.С.Моисеев, М.Э.Рояк, Ю.Г.Соловейчик // Сибирский журнал индустриальной математики. -1999. - Т.2, № 1. - С.79-93.

9. Математическое моделирование при разработке технологий для метода вызванной поляризации / В.С.Моисеев, М.Э.Рояк, Ю.Г.Соловейчик, М.Г.Персова, М.Г. Токарева // Сибирский журнал индустриальной математики. - 1999. - Т.2, №2(4). -С.135-146.

Ю.Экспериментальное исследование поведения пузырьков в воде под действием сильных электрических полей /С.М.Коробейников, А.В.Мелехов, В.Г.Посух,

B.М.Антонов, М.Э.Рояк// Теплофизика Высоких Температур. - 2001. - Т.39, №2. -

C.181-186.

И.Методика определения волнового сопротивления участка кабельной линии при коррозии металлической оболочки / А.И.Инкин, К.П.Кадомская, М.Э.Рояк, В.В.Сахно, Ю.Г.Соловейчик // Электричество. - 2002. - №9-С.16-21

12.06 одном подходе к решению трехмерной обратной задачи электромагнитного зондирования Земли становлением поля / Ю.Г. Соловейчик, Г.М.Тригубович,

A.В.Чернышев, М.Э.Рояк // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2003. - Т.6, № 1(13). - С. 138-153.

13.Рояк, М.Э. Конечно-элементное моделирование тепловых полей в СВЧ-резисторах, выполненных по плёночной технологии / М.Э.Рояк, Ю.Г.Соловейчик,

B.П.Разинкин // Научный вестник НГТУ. - 2003. -№1(14).- С.31-36

14.Применение векторного метода конечных элементов для анализа электромагнитного поля в согласованных пленочных СВЧ-резисторах / Ю.Г.Соловейчик, М.Э.Рояк, Е.Б.Корытный, В.П.Разинкин // Известия вузов России. Радиоэлектроника. -2003.-Вып. 3.-С.71-79.

15.Построение нерегулярных сеток в областях со сложной геометрией / М.Э.Рояк, Ю.Г.Соловейчик, И.А.Иванов, С.Х.Рояк // Научный вестник Н1ТУ. - 2004. - №1 (16).-С.81-92

16.Рояк, М.Э. Совместное использование узловых и векторных конечных элементов для расчёта трёхмерных нестационарных электромагнитных полей / Ю.Г.Соловейчик, М.Э.Рояк // Сибирский журнал индустриальной математики. -2004. - Т. 7, № 3( 19). - С. 132-147

17. Оптимизация геометрии линейных электромагнитных двигателей с использованием конечноэлементного моделирования магнитного поля / Ю.Г. Соловейчик, В.Ю. Нейман, М.Г. Персова, М.Э. Рояк, Ю.Б.Смирнова, Р.В. Петров. // Известия вузов. Электротехника. - 2005. - №2. - С.24—28.

18.Рояк, М.Э. Анализ возможностей объектно-ориентированного подхода при разработке программных комплексов конечноэлементного моделирования электромагнитных полей / М.Э.Рояк // Научный вестник НГТУ. - 2005. - № 1.- С.63-71

19.Рояк, М.Э. Особенности моделирования нелинейных физических процессов в трехмерных областях / Э.П.Шурина, Ю.Г.Соловейчик, М.Э.Рояк // Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов-1992. - Вып.З .- С.86-87

20.Конечноэлементное моделирование электромагнитного поля для кругового электрического диполя в трехмерных средах / Ю.Г.Соловейчик, М.Г.Персова, М.Э.Рояк, Г.М.Тригубович // Сибирский журнал индустриальной математики. -2004. - Т. 7, № 1(17). - С. 114-129.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К.Маркса, 20, тел./факс (383)346-08-57 формат 60x84/16, объём 2,5 пл., тираж //¿>экз., заказ №/£££, подписано в печать ?. ¿>J>.2£>¿>Z-

Введение.

Глава 1. Вычислительные схемы моделирования двумерных электромагнитных полей. Построение двумерных конечноэлементных сеток. Двумерный препроцессор.

1.1. Математические модели и вариационные постановки в двумерном случае.

1.1.1. Модели двумерных нестационарных электромагнитных процессов.

1.1.2. Модели двумерных гармонических электромагнитных процессов.

1.2. Математическое моделирование электромагнитного поля кабеля с корродирующей оболочкой.

1.2.1. Постановка задачи.

1.2.2. Вычисление синусоидальной и косинусоидальной компонент потенциала.

1.2.3. Расчёт индуктивности электромагнитного поля кабеля с коррордирующей оболочкой при равномерном распределении тока по поверхностям жилы и оболочки.

1.2.4. Расчёт индуктивности гармонического электромагнитного поля кабеля с корродирующей оболочкой.

1.3. Пример решения задачи с использованием комбинированной сетки из треугольников и прямоугольников.

1.3.1. Математическая модель процесса диссоциации двух зарядов.

1.3.2. Конечноэлементная аппроксимация.

1.4. Построение двумерных конечноэлементных сеток. Двумерный препроцессор.

1.4.1. Описание расчётной области в двумерном препроцессоре.

1.4.2. Проблемы выделения макроэлементов.

1.4.3. Построение сетки на макроэлементе.

1.5. Выводы.

Глава 2. Вычислительные схемы моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей с использованием edge-элементов.

2.1. Модель нестационарного электромагнитного поля в виде одного векторного уравнения.

2.2. Вариационная и конечноэлементная постановка для модели с разрывным векторным потенциалом.

2.3. Особенности конечноэлементной аппроксимации на edge-элементах.

2.3.1. Edge-элементы на параллелепипедах.

2.3.2. Edge-элементы на тетраэдрах.

2.3.3. Edge-элементы на призмах.

2.4. Применение векторного МКЭ для анализа электромагнитного поля в согласованных плёночных СВЧ резисторах.

2.4.1. Постановка задачи.

2.4.2. Результаты численного моделирования.

2.5. О решении гармонических задач векторным МКЭ.

2.6. Выводы.

Глава 3. Вычислительные схемы моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей в технических устройствах с совместным использованием векторных и узловых элементов.

3.1. Модель с совместным использованием вектор-потенциала электромагнитного поля и скалярного потенциала магнитного поля.

3.2. Вариационная постановка для модели с разрывным векторным и скалярным потенциалами.

3.3. Конечноэлементная дискретизация для модели с разрывным векторным и скалярным потенциалами.

3.4. Пример решения модельной задачи.

3.5. Выводы.

Глава 4. Вычислительные схемы моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей с выделением главной части поля.

4.1. Учёт нормального поля в системе уравнений Максвелла.

4.2. Модель в виде уравнений для вектор-потенциала электромагнитного поля и скалярного потенциала электрического поля.

4.3. Вариационная постановка и конечноэлементная аппроксимация.

4.4. Учёт условий симметрии в постановке (4.27)-(4.30).

4.5. Модель и вариационная постановка с гармоническим источником поля.

4.6. Выделение поля в модели с одним вектор-потенциалом.

4.7. Выделение поля в модели с совместным использованием векторного и скалярного потенциалов магнитного поля.

4.8. Использование вычислительных схем с выделением поля при решении задач геоэлектроразведки.

4.9. Вычислительная схема численного моделирования электромагнитного зондирования Земли при наличии рельефа.

4.10. Выводы.

Глава 5. Вычислительные схемы моделирования нелинейных задач магнитостатики.

5.1. Математическая модель на основе полного и неполного потенциала и конечноэлементная дискретизация.

5.2. Вычислительная схема с выделением главной части поля.

5.3. Вычислительная схема для моделирования магнитного поля в конструкциях, имеющих хорошее двумерное приближение в декартовых координатах.

5.4. Вычислительная схема для моделирования магитного поля в циклотронах.

5.5. Выводы.

Глава 6. Построение трёхмерных конечноэлементных сеток.

6.1. Построение тетраэдральных сеток с использованием модификации метода тиражируемых сечений.

6.1.1. Формирование конечноэлементной сетки по заданным сечениям.

6.1.2. Построение тетраэдральной сетки по сетке из призм с треугольным основанием.

6.1.3. Формирование информации о конечных элементах и об узлах сетки при проходе по сечениям.

6.1.4. Краевые условия второго и третьего рода.

6.2. Задание положения основных сечений в пространстве, описание их поверхностей и смещений узлов.

6.3. Реализация рассмотренного подхода к построению трехмерных конечноэлементных сеток.

6.4. Выводы.

Глава 7. Алгоритмы, структуры данных и принципы построения конечноэлементного пакета TELMA.

7.1. Особенности объектно-ориентированного конечноэлементного комплекса для моделирования электромагнитных полей.

7.1.1. Необходимость выделения решаемой задачи как основной сущности

7.1.2. Достоинства и недостатки объектно-ориентированного подхода к построению конечноэлементного комплекса.

7.2. Объектно-ориентированная реализация алгоритмов работы с конечноэлементными СЛАУ в комплексе TELMA.

7.2.1. Основные особенности конечноэлементных СЛАУ.

7.2.2. Разреженный строчный формат хранения матрицы СЛАУ.

7.2.3. Блочные форматы хранения. Разреженный строчно-блочный формат

7.3. Алгоритмы работы с конечноэлементными сетками.

7.3.1. Построение портрета конечноэлементной матрицы.

7.3.2. Нумерация глобальных базисных функций.

7.3.3. Подсчёт и нумерация рёбер конечных элементов.

7.3.4. Построение списков граней трёхмерных конечных элементов.

7.4. Сборка глобальной матрицы из шаблонных локальных матриц.

7.4.1. Явные и неявные схемы аппроксимации по времени.

7.4.2. Шаблонные локальные матрицы для различных вариационных постановок.

7.4.3. Сборка конечноэлементной СЛАУ для базового класса решения нестационарной электромагнитной задачи.

7.5. Выводы.

Глава 8. Вычислительные схемы для решения сопряженных задач.

8.1. Постановка задачи и математическая модель.

8.2. Вычислительные схемы.

8.2.1. Вычислительная схема для совместного решения двух сопряженных нелинейных задач.

8.2.2. Сравнение векторных элементов различных типов при решении задач с токами, текущими преимущественно в одном направлении.

8.2.3. Вычислительная схема с несколькими двумерными моделями.

8.3. Результаты численного моделирования. Сравнение с экспериментом.

8.4. Выводы.

Для развития многих современных технологий очень важным является детальный анализ различных физических процессов, описываемых сложными математическими моделями. Изучение этих процессов невозможно без использования высокоточных методов численного моделирования. Для решения такого рода проблем к настоящему времени разработан большой объём программно-математического обеспечения, реализованного в широко известных многофункциональных программных комплексах, таких как ANSYS, NASTRAN, COSMOS, FLUX3D, OPERA3D, FEMLAB и т.д. Успешность этих комплексов определяется, в основном, тем, что в качестве базового метода моделирования в них используется метод конечных элементов (МКЭ) [70, 120, 138, 139, 144, 160, 164, 199, 202, 201, 200, 208]. Тем не менее, на сегодняшний день и с помощью этих комплексов не удаётся получать результаты требуемого качества при решении многих очень важных практических задач.

К таким задачам можно отнести задачи моделирования трёхмерных электромагнитных полей в различных технических устройствах (установках индукционного нагрева и закаливания изделий, электролитических установках, электродвигателях и генераторах, ускорителях элементарных частиц и т.д.), а также задачи восстановления свойств объектов по данным электромагнитных зондирований (задачи дефектоскопии, задачи геоэлектроразведки и т.д.). Действительно, в указанных программных комплексах для моделирования трёхмерных полей заложены, в основном, достаточно простые модели (например, задачи электростатики, описываемые эллиптическим уравнением) и вычислительные схемы. Использование же таких программных комплексов для решения достаточно сложных трёхмерных задач, требующих разработки специализированных вычислительных схем, сторонним пользователем (т.е. без обращения к разработчикам) практически невозможно.

Например, в задачах геоэлектроразведки для восстановления проводимости среды по измеренным характеристикам электромагнитного поля необходимо получать решение соответствующих нестационарных трёхмерных задач моделирования электромагнитного поля с погрешностью до нескольких процентов в широком диапазоне времён во всех точках измерения, что не может быть обеспечено ни одним из перечисленных выше программных комплексов, использующих стандартные вычислительные схемы. Для решения таких задач необходимы специальные методы, позволяющие выделять поля влияния трёхмерных неоднородностей, и реализующие эти методы вычислительные схемы [28, 156, 157, 64, 114, 115, 132, 133, 143, 153, 155, 79, 141, 151, 152].

Большую сложность для моделирования представляют также трёхмерные задачи, в которых необходимо достаточно точно учитывать влияние вихревых токов на изучаемый физический процесс (например, индукционный нагрев или паразитные токи в электромеханических устройствах). Предлагаемые в настоящее время для решения таких задач подходы с использованием элементов векторного типа хотя и существенно расширяют класс решаемых задач, но имеют серьёзные проблемы при наличии в трёхмерной расчётной области непроводящих подобластей [150, 154, 153, 187, 198, 205, 206, 52,38,211,240].

Необходимо отметить, что в России моделированию трёхмерных электромагнитных полей в сложных областях уделяется явно недостаточное внимание. Большинство современных работ в области численного моделирования электромагнитных полей направлено на решение либо одно- и двумерных задач (например, работы М.И.Эпова [192, 194, 196, 204, 246, 248, 249], В.С.Могилатова [241, 242, 243, 244, 245, 250, 251], Ю.А.Дашевского [180, 247], и др.), либо достаточно простых трёхмерных задач (например, работы М.И.Эпова [193, 195, 206, 207, 205, 252], Соловьёва С.А. [176], Вабищеви-чаП.Н. [183], В.И.Дмитриева, М.Н.Бердичевского, Л.Л.Ваньяна [253,254, 255, 256]). При этом для решения некоторых (достаточно узких) классов трёхмерных задач разрабатываются быстрые вычислительные схемы, позволяющие приближать решение трёхмерной задачи решениями серии одно- или двумерных задач (например, работы М.И.Эпова [178, 179, 184],

Ю.А.Дашевского [180] ). Программных же комплексов конечноэлементного моделирования электромагнитных полей, разработанных в России, вообще очень мало. Примерами могут служить программа ELCUT, разработанная в НПО ТОР (Санкт-Петербург) и предназначенный для решения двумерных нестационарных задач [182], а также программа MERMAID, разработанная А.Дубровиным в ИЯФ СО РАН и предназначенная для решения двумерных и трёхмерных задач магнитостатики на регулярных сетках. Эти пакеты являются достаточно узконаправленными, реализованные в этих пакетах вычислительные схемы не позволяют, например, моделировать трёхмерные нестационарные электромагнитные поля.

Таким образом, проблема построения эффективных вычислительных схем конечноэлементного моделирования, позволяющих получать численные решения задач моделирования электромагнитных полей в областях со сложной геометрией, и их гибкой настройки на особенности решаемой задачи до сих пор вызывает большой интерес у очень многих исследователей, занимающихся как вопросами разработки вычислительных методов, так и использующих эти методы при решении конкретных практических задач. Этим и определяется актуальность данной диссертационной работы.

Одной из важнейших при решении различных задач с использованием МКЭ является проблема построения конечноэлементных сеток [1-4, 6, 10-16, 22-30, 32-46, 49-58, 60, 61, 65-69, 71-74, 77, 78, 84-86, 88-93, 104-107, 126, 164, 174, 175, 224, 225, 185]. Значительное внимание, уделяемое исследователями этой проблеме, объясняется тем, что очень часто от того, насколько эффективно удается выполнить дискретизацию расчетной области, зависит сама возможность решения конкретной практической задачи с нужной точностью. Поэтому столь велик интерес исследователей к различным процедурам построения двумерных и трехмерных сеток. Этот интерес связан с тем, что именно использование неравномерных неструктурированных сеток часто позволяет при фиксированном числе узлов существенно уменьшить ошибку аппроксимации по сравнению с различными структурированными (например, квазипараллелепипеидальными) сетками. Повышение же точности численного расчета за счет уменьшения ошибок аппроксимации, связанных с дискретизацией исходной задачи, и минимизация вычислительных затрат за счет уменьшения размерности системы аппроксимирующих уравнений (а в МКЭ размерность этой системы напрямую зависит от числа узлов в конечно-элементной сетке) являются важнейшими проблемами при проведении любого численного исследования. Поэтому актуальной является разработка вычислительных схем и алгоритмов, позволяющих использовать и строить как согласованные, так и несогласованные нерегулярные сетки, содержащие как однотипные, так и разнотипные элементы. Кроме того, при замене типа конечных элементов сама вычислительная схема практически не меняется, и поэтому желательно иметь программные инструменты, позволяющие достаточно гибко настраивать программный комплекс как на использование Другой вычислительной схемы без изменения типа конечных элементов, так и на работу той же самой вычислительной схемы с другим типом элементов. Достаточно удобным для этих целей является применение объектно-ориентированного подхода при проектировании программного комплекса.

Развитие объектно-ориентированного программирования и появление достаточно надёжных и мощных компиляторов С++ закономерно привело к появлению объектно-ориентированных программных комплексов конечно-элементного моделирования как в России [95, 96], так и за её пределами [21, 217, 238, 239, 230, 231, 232, 233, 234, 235, 236, 237]. Однако, указывая очевидные преимущества объектно-ориентированных программных комплексов, такие как упрощение отладки и простота расширения пакета открытой структуры (см., например, работу 95), авторы перечисленных работ решают, в основном, актуальную в задачах прочности проблему совместного использования разнотипных элементов, используя, фактически, одну вычислительную схему. При решении же трёхмерных задач электромагнетизма часто требуется одновременное использование нескольких вычислительных схем и вариационных постановок (например, при решении задач с выделением нормального поля [79] одновременно решаются как минимум две связанные задачи: задача расчёта нормального поля и задача расчёта аномального поля, и для решения каждой из этих задач используется свой метод построения конечно-элементной аппроксимации).

В данной работе много внимания будет уделено построению структур данных и алгоритмов, используемых при построении вычислительных схем конечноэлементного моделирования электромагнитных полей, и анализу их эффективности при решении задач различных типов. Эффективность разработанных схем и их программной реализации будет продемонстрирована на примере решения сложных практических задач из различных областей науки и техники.

Таким образом, основной научной проблемой, пути решения которой рассматриваются в предлагаемой диссертационной работе, является проблема разработки и исследования эффективности методов конечноэлементного моделирования электромагнитных полей в сложных трехмерных областях.

Цель исследования состоит в разработке новых и повышении эффективности наиболее часто используемых перспективных методов численного моделирования трёхмерных электромагнитных процессов в сложных трёхмерных областях и программных средств, реализующих эти методы.

На защиту выносятся:

1) Методы конечноэлементного моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей с выделением главной части поля с использованием узловых и векторных конечных элементов, а также при совместном их использовании при исследовании электромагнитных процессов в устройствах, состоящих из проводящих и непроводящих электрический ток конструктивных элементов.

2) Методы и средства описания двумерных и трёхмерных расчетных областей со сложными границами и алгоритмы построения двумерных и трёхмерных конечноэлементных сеток, реализованные в препроцессоре комплекса ТЕЬМА.

3) Методы конечноэлементного моделирования нелинейных магнитных полей в ускорителях заряженных частиц, использующие технологию поэтапного выделения главной части поля.

4) Методы совместного решения нескольких взаимозависимых нелинейных задач электромагнетизма и теплообмена.

5) Объектно-ориентированная реализация библиотеки классов конечно-элементного моделирования в программном комплексе ТЕЬМА.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1) Предложена конечноэлементная постановка с совместным использованием скалярных и векторных конечных элементов, основанная на вариационной постановке с использованием векторного потенциала в проводящих и скалярного в непроводящих подобластях. В отличие от постановок на основе только векторных конечных элементов, предложенная постановка при решении трёхмерных задач моделирования нестационарного электромагнитного поля без учёта токов смещения позволяет получать невырожденную систему линейных алгебраических уравнений даже при наличии в расчётной области непроводящих подобластей.

2) Разработаны новые средства описания сложной трехмерной геометрии и построения тетраэдральной конечноэлементной сетки с возможностями сгущения и разрежения её узлов. Эти средства позволяют при моделировании электромагнитных полей в наиболее высокотехнологичных ускорителях заряженных частиц максимально точно учитывать конфигурацию фасок и шимм тем самым существенно улучшить качество получаемых результатов.

3) На основе конечноэлементных постановок с использованием векторных конечных элементов разработаны и реализованы вычислительные схемы с выделением главной части поля, позволяющие существенно повысить эффективность численного моделирования нестационарных электромагнитных полей в технических устройствах.

4) Впервые предложен и обоснован метод конечноэлементного моделирования нелинейных магнитных полей с выделением главной части поля. На его основе предложены и реализованы вычислительные схемы с поэтапным выделением главной части поля, позволяющие на порядок и более повысить точность численного моделирования нелинейных магнитных полей в ускорителях заряженных частиц.

5) Предложена и реализована объектно-ориентированная технология разработки программного комплекса конечноэлементного моделирования электромагнитных полей, обеспечивающая гибкость его настройки на используемые математические модели и вычислительные схемы с учётом особенностей решаемой задачи. На основе этой технологии были, например, решены взаимозависимые нелинейные задачи электромагнетизма и теплообмена при моделировании электроконтактного нагрева криволинейного цилиндрического трубчатого изделия.

Практическая ценность работы и реализация результатов. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в программном комплексе ТЕЬМА и широко применялись для решения многих сложных практических задач из различных областей прикладных исследований: теплофизики, геофизики, электрофизики, а также при разработке и оптимизации различных электротехнических устройств. В диссертационной работе приводятся несколько примеров решения практических задач:

• моделирование гармонического электромагнитного поля кабеля с корродирующей оболочкой;

• расчёт характеристик процесса диссоциации двух зарядов с использованием комбинированной сетки;

• анализ электромагнитного поля в согласованных плёночных СВЧ резисторах;

• моделирование становления поля от вертикальной электрической линии в слоистых средах с трёхмерными объектами;

• моделирование становления поля от петлевого источника в слоистых средах с трёхмерными объектами с учётом рельефа местности;

• высокоточное моделирование магнитного поля в циклотроне

• моделирование электроконтактного нагрева криволинейного цилиндрического трубчатого изделия.

Результаты диссертационной работы использовались при выполнении более чем 20 научно-исследовательских работ (как госбюджетных, так и хоздоговорных), из них в последние годы при выполнении тематических планов

НИР НГТУ:

• НГТУ. 1.4.99 «Исследование волновых моделей диагностики мест нарушения однородности в кабельных сетях среднего и высокого напряжения», 1999-2001;

• НГТУ. 1.2.04 «Математическое моделирование электромагнитных процессов», 2004-2005; а также хоздоговорных работ (за последние пять лет):

• х/д ПМт-2-00 «Конечноэлементное моделирование геоэлектрических объектов» (2000г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-3-00 «Расчёты электромагнитных полей при гальваническом возбуждении для сложных геоэлектрических условий Сибири» (2000г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-1-01 «Решение прямой и обратной задачи геотермии в условиях седиментации» (2001г., ГП Дальинформгеоцентр);

• х/д ПМт-2-01 «Конечноэлементные расчёты трёхмерных магнитных полей» (2001г., НИУ ИЯФ СО РАН);

• х/д ПМт-5-01 «Реализация учёта изменения палеоплотности и мощности слоев во времени при решении задачи геотермии в условиях седиментации» (2001г., ГП Дальинформгеоцентр);

• х/д ПМт-2-03 «Оценка глубинности и оптимизация основных параметров моноимпульсного электромагнитного зонда» (2003г., ГФУП СНИИГ-ГиМС);

• х/д ПМт-2-04 «Разработка и исследование технологии широкополосного импульсного зондирования» (2004г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-2-05 «Проведение трехмерного конечноэлементного моделирования для технологии поиска золотосодержащих кварцевых жил методом вызванной поляризации» (2005г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-3-05 «Расчёт параметров датчика ускорения» (2005г., ООО «Сенсор Текнолоджис»);

• х/д ПМт-5-05 «Математическое моделирование электромагнитных полей при проведении аэроназемных поисково-оценочных исследований в условиях Восточной Сибири и Якутии» (2005г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-6-05 «Проведение региональных геофизических работ в зоне сочленения Сибирской платформы, Западно-Сибирской плиты и Енисей-Хатангского прогиба с целью подготовки новых зон нефтегазонакопле-ния» (2005г., ГФУП СНИИГГиМС);

• х/д ПМт-14-06 «конечноэлементные исследования трёхмерных магнитных полей дипольных магнитов» (2006г., ИЯФ СО РАН);

Кроме того, исследования были частично поддержаны грантами РФФИ:

• 01-02-16932-а «Новый механизм поверхностной проводимости и появления зарядов в жидких диэлектриках»

• 03-02-16214-а «Экспериментальные исследования нового механизма появления зарядов на границе жидкого и твердого диэлектриков»

Достоверность результатов подтверждается как решением модельных задач и сравнением результатов решения некоторых частных задач с результатами других авторов, так и сравнением результатов численного моделирования с экспериментальными данными.

Личный вклад. Автором предложена и обоснована конечноэлементная постановка с совместным использованием узловых и векторных конечных элементов для модели электромагнитного поля с использованием разрывного векторного потенциала в проводящих и скалярного магнитного потенциала в непроводящих электрический ток конструктивных элементах, и на основе этой постановки разработана вычислительная схема с выделением главной части поля, описываемого двумерной (осесимметричной) задачей.

Автором предложены и реализованы в препроцессоре комплекса ТЕЬМА методы и средства описания двумерных и трёхмерных расчетных областей со сложными границами и алгоритмы построения двумерных и трёхмерных конечноэлементных сеток

Автором разработаны и реализованы вычислительные схемы для решения задачи моделирования электромагнитных процессов в кабеле с корродирующей оболочкой и задачи моделирования процесса диссоциации для двух зарядов.

Автором предложены и разработаны методы конечноэлементного моделирования нелинейных магнитных полей в ускорителях заряженных, использующие технологию поэтапного выделения главной части поля

Автором разработаны и реализованы вычислительные схемы совместного решения нескольких взаимозависимых нелинейных задач электромагнетизма и теплообмена.

Автором выполнено численное моделирование трёхмерных нелинейных магнитных полей для циклотрона А1С-144, нестационарных электромагнитных полей с учётом рельефа местности при обработке данных зондирований на хребте «Безымянный», нестационарного трёхмерного электромагнитного поля согласованного плёночного СВЧ-резистора, электромагнитных и тепловых полей при решении задачи электроконтактного нагрева криволинейного цилиндрического трубчатого изделия.

Автором предложена объектно-ориентированная технология разработки программного комплекса конечноэлементного моделирования электромагнитных полей и реализована в виде библиотеки классов конечноэлементного моделирования в программном комплексе ТЕЬМА.

Автором выполнены все реализации рассмотренных в работе вычислительных схем и алгоритмов. Все исследования эффективности вычислительных схем и их реализаций, результаты которых приведены в диссертационной работе, также выполнены лично автором.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены и докладывались на: Всесоюзной конференции по методам численного решения многомерных нестационарных задач математической физики (Арзамас-16, 1991); Международной геофизической конференции и выставке по разведочной геофизике SEG-EAGO (Москва, 1993); Международном совещании-семинаре по механике реагирующих сред и экологии (Томск, 1994); First Asian Computational Fluid Dinamics Conference (Hong Kong, 1995); Particle Accelerator Conference and International Conference on High-Energy Accelerators (Dallas, 1995); Международной конференции PaCT-95 (Санкт-Петербург, 1995); Международной геофизической конференции и выставке Санкт-Петербург'95; Международной конференции "неклассическая геоэлектрика" (Саратов, 1995); Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1996); Научно-техническом совещании "Геофизические методы при разведке недр и экологических исследованиях" (Томск, 1996); Международной геофизической конференции "Электромагнитные исследования с контролируемыми источниками" (С.-Петербург, 1996); Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С.Л.Соболева, 1998г; Международной геофизической конференции «300 лет горногеологической службе России», Санкт-Петербург, 2000г.; 63 и 65 Международной конференции EAGE Conference & Technical Exhibition, (Amsterdam, 11-15 June 2001, Stavanger, Norway, 2-5 June 2003); международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004; Шестой международной конференции «On UNCONVENTIONAL ELECTROMECHANICAL AND ELECTRIACAL SYSTEMS», 2004г.; Международной конференции «International Symposium On Heating by Electromagnetic Sources», Padua, June 22-25,

2004г.; Третьей, четвёртой, седьмой и восьмой международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения" АПЭП-96, АПЭП-98, АПЭП-2004, АПЭП-2006; Третьей и восьмой Российско-Корейской международной конференции (КО!Ш8'99, К01Ш8-2004); а также на семинарах ВЦ СО РАН, ИВТ СО РАН, ИТПМ СО РАН, ИЯФ СО РАН, ИВМиМГ СО РАН (г.Новосибирск), ОИЯИ (г.Дубна). Результаты автора включались в отчеты по НИР НГТУ, заключительные отчеты СНИИГГиМС.

Публикации. Результаты исследований изложены в 56 печатных работах (32 статьях и 24 трудах российских и международных конференций), среди которых 20 статей опубликованы в изданиях, включенных в перечень ВАК ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора наук.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения, списка использованных источников (269 наименований) и приложения. Работа изложена на 319 страницах, включая 47 рисунков и 5 таблиц.

8.4. Выводы

1.В данной главе предложены и проанализированы вычислительные схемы для совместного решения сопряженных нелинейных задач. Реализация именно таких вычислительных схем наиболее полно раскрывает преимущества гибкости настройки объектно-ориентированного программного комплекса на решаемую задачу.

2. Для решения электромагнитной задачи с токами, текущими преимущественно в одном направлении, проведено сравнение векторных элементов различных типов, и выявлены недостатки тетраэдральных векторных элементов. На примере решения модельной задачи показано, что для тетраэдральных векторных элементов с одной базисной функцией на каждом ребре для аппроксимации решения требуется существенное дробление сетки вдоль направления тока, в отличие от призматических конечных элементов или тетраэдральных элементов с двумя векторными базисными функциями, ассоциированными с каждым ребром.

3. Приведены результаты численного моделирования процесса электроконтактного нагрева трубчатого изделия с использованием разработанной и реализованной средствами программного комплекса ТЕЬМА вычислительной схемы совместного решения сопряженных нелинейных задач и продемонстрировано хорошее совпадение полученных результатов с данными физических измерений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В предлагаемой диссертационной работе рассматривались проблемы создания и реализации вычислительных схем конечноэлементного моделирования электромагнитных полей. Основные результаты проведенных исследований состоят в следующем.

1. Разработаны методы описания двумерных и трёхмерных расчетных областей, позволяющие задавать геометрию практически произвольной сложности и эффективно управлять сгущением и разрежением сетки. Созданы методы автоматического и полуавтоматического построения двумерных и трёхмерных сеток в областях со сложной геометрией. Предложенные методы и алгоритмы реализованы в препроцессоре пакета ТЕЬМА и использовались при решении значительного числа практических задач.

2. Разработаны и реализованы вычислительные схемы двумерного конечноэлементного моделирования с использованием комбинированных сеток. Приведены результаты решения практических задач расчёта гармонического электромагнитного поля кабеля с корродирующей оболочкой и расчёта характеристик процесса диссоциации двух зарядов, для выполнения конечноэлементной аппроксимации которых использованы разработанные в диссертационной работе средства. Продемонстрированы преимущества использования комбинированных сеток.

3. Предложена и реализована вычислительная схема решения трёхмерных нестационарных задач электромагнетизма с совместным использованием векторных и узловых конечных элементов. Обоснованы преимущества использования этой вычислительной схемы для моделирования электромагнитных полей в технических устройствах, содержащих как подобласти с высокой проводимостью, так и непроводящие подобласти. Показано, что в большинстве случаев конечноэлементная постановка с совместным использованием векторных и узловых конечных элементов, в отличие от постановок, использующих только векторные элементы, позволяет получить СЛАУ с невырожденной матрицей даже при наличии непроводящих подобластей и пренебрежимо малых токах смещения.

4. На основе метода выделения главной части поля разработаны и реализованы вычислительные схемы, основанные на использовании конечноэле-ментных постановок с векторными и скалярными базисными функциями. Высокая точность и эффективность этих вычислительных схем, базирующаяся на том, что главная части поля определяется из решения более простых (двумерных) задач с высокой точностью, продемонстрирована на примере решения задач электромагнитного зондирования Земли. Проведен сравнительный анализ использования разработанных методов при использовании их для решения задач геоэлектрики. Разработана и использована при решении практических задач вычислительная схема для конечноэлементного моделирования электромагнитного зондирования Земли с использованием петлевого источника и профильно-площадной системы наблюдений с учётом рельефа местности и трёхмерного расположения петли.

5. На основе поэтапного выделения главной части поля разработаны и реализованы вычислительные схемы для высокоточного численного моделирования магнитных полей в ускорителях заряженных частиц. Эффективность разработанных схем продемонстрирована при моделировании магнитных полей циклотрона.

6. Предложены технологии создания программного комплекса конечно-элементного моделирования электромагнитных полей, основанные на объектно-ориентированном подходе с использованием множественного наследования. Продемонстрирована возможность использования одних и тех же абстрактных алгоритмов для реализации вычислительных схем, основанных на различных вариационных и конечноэлементных постановках. Использование предложенных технологий при разработке программного комплекса ТЕЬМА позволяет использовать его не только для решения практических задач, но и как инструмент для исследования свойств новых вариационных и конечно-элементных постановок, а также обеспечивает необходимую гибкость настройки программного комплекса на особенности решаемых задач.

284

7. Разработаны и реализованы вычислительные схемы, допускающие совместное решение нескольких взаимосвязанных нелинейных задач. Для одной из задач электроконтактного нагрева, в которой электромагнитное поле имеет хорошее двумерное приближение, предложена вычислительная схема, в которой нелинейное трёхмерное электромагнитное поле аппроксимируется путём решения нескольких двумерных нелинейных задач в декартовых и цилиндрических координатах, соответствующих нескольким пространственным сечениям изучаемого изделия. Высокая эффективность разработанных вычислительных схем продемонстрирована на примере решения задачи электроконтактного нагрева, для которой получено хорошее совпадение результатов численного моделирования с данными физических измерений.

1. Adamiak К. Adaptive approach to finite element modelling of corona fields // IEEE Transactions on Industry Applications. Vol.30, '2, 1994, - P.387-393.

2. Anderson W.K. A Grid Generation and Flow Solution Method for the Euler Equations on Unstructured Grids // Journal of Computational Physics. -Vol.110, 4,1994.-P.23-38

3. Babushka I., Aziz A.K. On the angle condition in the finite element method // SIAM J.Numer.Anal. Vol.13,12,1976. - P.214-226.

4. Baker TJ. Automatic mesh generation for complex three-dimensional regions using a constrained Delaunay triangulation. // Engnrg. Computers. Vol.5, 1989. - P.161-175

5. Bernardi C. Optimal Finite-Element Interpolation on Curved Domains // SIAM J. Numer. Anal. Vol.26, !5, 1989. - P.1212-1240

6. Boender E., Bronsvoort W.F., Post F.H. Finite-element mesh generation from constructive solid geometry models // Computer Aided Design. Vol:26, '5, 1994. - P.379-392

7. Bonet J., Peraire J. An alternating digital tree (ADT) algorithm for 3D geometric searching and intersection problems// Int. J. Num. Meth. Engrg. -Vol.31, 1991.-P.l-17.

8. Bossavit A. Computational Electromagnetism: Variational Formulations, Complementarity, Edge Elements. Academic Press (Boston), 1998

9. Braaten M.E. and Connell S.D. Three-dimensional Unstructured Adaptive Multigrid Scheme for the Navier-Stokes Equations// AIAA Journal/ Vol. 34,1 2, 1996. - P.281-290

10. Cavendish J.C., Field D.A., and Frey W.H. An approach to automatic three-dimensional finite element mesh generation. // Int. J. Num. Meth. Engrg. -Vol.21, 1985. -P.329-347

11. Chellamuthu K.C., Ida N. 'A Posteriory' Element by Element Local Error Estimation Technique and 2D&3D Adaptive Finite Element Mesh Refinement. // IEEE Transactions on Magnetics. Vol.30, !5, 1994. - P.3527-3530

12. Chellamuthu K.C., Ida N. Algorithms and data structures for 2D and 3D adaptive finite element mesh refinement. // Finite Elements in Analysis and Design. 47, 1994. - P.205-229.

13. Connell S.D. and Braaten M.E. Semistructured Mesh Generation for Tree-Dimensional Navier-Stokes Calculations. // AIAA Journal. Vol.33, 1 6, 1995. -P.1017-1024.

14. Dannelongue H.H., Tanguy P.A. Efficient data structures for adaptive remeshing with the FEM // J. Comput. Physics. Vol.91, 1990. - P.94-109

15. Dobkin D.P., Laszlo M.J. Primitives for the manipulation of three-dimensional subdivisions // Algorithmica. Vol.4, 1989. - P.3-32

16. Eppstein D. Approximating the minimum weight triangulation // Proceedings of the Third Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. -New York, USA, 1992. P.48-57

17. Ewing D.J.F., Fawkes A.J., Griffiths J.R. Rules governing the number of nodes and elements in a finite element mesh. // Int. J. Num. Meth. Engrg. Vol.2, 1970. - P.597-601

18. F.T. McKenna Object-Oriented Finite Element Programming: Frameworks for Analysis, Algorithms and Parallel Computing // Ph.D. dissertation, University of California, Berkeley, 1997.

19. Field D.A., Smith W.D. Graded tetrahedral finite element meshes // Int. J. Num. Meth. Engng.- Vol.31, 1991.- P.413-495

20. Forsman K., Kettunen L. Tetrahedral mesh generation in convex primitives by maximizing solid angles. // IEEE Transactions on Magnetics. Vol. 30, J5, 1994. - P.3535-3538

21. Frey W.H. Selective refinement: A new strategy for automatic node placement in graded triangular meshes // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.24, 1987.-P.2183-2200

22. Frey W.H., Field D.A. Mesh relaxation: A new technique for improving triangulations // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.31, 1991. - P.l 121-1133

23. Frykestig J. Advancing front mesh generation techniques with application to the finite element method. Goteborg, 1994. - 197p.

24. Geiben M. Numerical simulation of three-dimensional nonstationary compressible flow in complex geometries // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. Vol. 74, *5, 1994. - P.421-422

25. Hewett C.J.M.; Bull J.W. A review of mesh generation methods // Proceedings of conference "Developments in Computational Engineering Mechanics". Edinburgh, UK, 1993. - P.55-62

26. Jin H., Tanner R.I. Generation of unstructured tetrahedral meshes by advancing front technique // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.36, 1993. - P.1805-1823

27. Jin H., Wiberg N.-E. Two dimensional mesh generation, adaptive remeshing and refinement // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.29, 1990. - P. 15011526

28. Jin-Fa Lee and Raj Mittra. A note on the application of edge-elements for modelling three-dimensional inhomogeneously-filled cavities // IEE Trans. Microwave Theory and Techniques, MTT-40, 1992. pp. 1767-1773

29. Joe B. Delaunay triangular meshes in convex polygons // SIAM J. Sci. Stat. Comput. Vol.7, !2, 1986. - P.514-53 9

30. Joe B. Delaunay Versus max-min solid angle triangulations for three-dimensional mesh generation // Int. J. Num. Meth. Engrg. Vol.31, 1991. - P.987-997

31. Johnston B.P., Sullivan J.M. Fully automatic mesh generation using normal offsetting // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.36, 1993. - P.1717-1734

32. Kallinderis Y., Khawaga A., McMorris H. Hybrid Prismatic/Tetrahedral Grid Generation for Viscous Flows Around Complex Geometries // AIAA Journal. -Vol. 34, 1 2, 1996. -P.291-298

33. Kanaganathan S., Goldstein N.B. Comparison of four point adding algorithms for Delaunay type three dimensional mesh generators // IEEE Transaction on Magnetics. Vol. 27, x3, 1991. - P.3444-3451

34. Krizek M. On the maximum angle condition for linear tetrahedral elements // SIAM J. Num. Anal. Vol.29,12, 1992. - P.513-520

35. Lee C.F., McCartin B.J., Shin R.T., Kong J.A. A triangular-grid finite-difference time-domain method for electromagnetic scattering problems // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. Vol.8, '4, 1994. - P.449-470.

36. Lee D.T., Schachter B.J. Two algorithms for constructing a Delaunay triangulation // Int. J. Comp. Inf. Science. Vol.9, 13, 1980. - P.219-242.

37. Liseikin V.D. On some interpretations of smoothness functional used in constructing regular and adaptive grids // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. Vol.8, '6,1993. - P.507-518

38. Lo S.H., Lee C.K. Generation of gradation meshes by the background grid technique // Computers and Structures. Vol.50, 4, 1994. - P.21-32

39. Lohner R., Parikh P. Generation of three-dimensional unstructured grids by the advancing-front method II Int. J. Num. Meth. Fluids — Vol.8, 1988. -P.1135-1149

40. Marcum D.L., Weatherill N. Unstructured Grid Generation Using Iterative Point Insertion and Local Reconnection. // AIAA Journal. Vol. 33, 1 9, 1995. -P.1619-1625

41. Mavriplis D.J. An Advancing Front Delaunay Triangulation Algorithm Designed for Robustness. // Journal of Computational Physics. Vol. 117, ll, 1995. - P.90-101

42. Mohammed S. Tharf and George I. Costache. Finite element method solutions of field distributions in large cavities // International Journal Of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields, Vol.7, 1994. -pp.343-355

43. Moller P.W. Procedures in adaptive finite element analysis. Goteborg, 1994.-121p.

44. Nackman L.R., Srinivasan V. Point Placement Algorithms for Delaunay Triangulation of Polygonal Domains // Algorithmica. 42, 1994. - P. 1-17

45. Parthasarathy V. and Kallinderis Y. New Multigrid Approach for Three-Dimensional Unstructured, Adaptive Grids // AIAA Journal. Vol.32, 1 5, 1994. - P.956-963.

46. Parthasarathy V.N., Graichen C.M., Hathaway A.F. A comparison of tetrahedron quality measures // Finite Elements in Analysis and Design. Vol. 15, *3, 1994. -P.255-261

47. Pelletier D., Hetu J.-F., Llinca F. Adaptive Finite Element Method for Thermal Flow Problems // AIAA Journal. Vol.32,1 4, 1994. - P.741-747.

48. Pirzadeh Sh. Three-dimensional Unstructured Viscous Grids by the Ad-vancing-Layer Method // AIAA Journal. Vol.34,1 1, 1996. - P.43-49

49. Press K. Checking the topological consistency of a finite element mesh // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol. 14,112, 1979. - P; 1805-1812

50. Rebay S. Efficient Unstructured Mesh Generation by Means of Delaunay Triangulation and Bowyer-Watson Algorithm // Journal of Computational Physics. -Vol.106,1l, 1993. -P.125-138

51. Rojak M., Shurina E., Soloveichik Yu. and Malyshkin V. Parallelization of Computer Code MASTAC Three-Dimensional Finite Elements Method Implemeriting // Proceedings of PaCT-95 Lecture Notes in Computer Science. Germany: Springer, 1995. -P.304-313.

52. Russo G., Strain J.A. Fast Triangulated Vortex Methods for the 2D Euler Equations // Journal of Computational Physics. Vol.111, 1994. - P.291-323

53. S M Korobeynikov, A V Melekhov, Yu G Soloveitchik, M E Royak, D P Agoris and E Pyrgioti. Surface conductivity at the interface between ceramics and transformer oil // Journal Of Physics D: Applied Physics, 38 (2005). pp. 915-921

54. Santini E. Minimum Input Automatic Mesh Generator//Advances in Electric Engineering Software: Proceedings of the First International Conference on Electrical Engineering Analysis and Design (ed. P.P.Silvester).-Lowell,Massachusetts,USA,1990.-P.109-122.

55. Sapidis N., Peruccho R. Combining recursive spatial decomposition and domain Delaunay tetrahedrization for meshing arbitrary shaped curved solid models // Comput. Meths. Appl. Mech. Engrg. Vol.108, 1993. - P.281-302

56. Sapidis N., Peruccho R. Solid/solid classification operations for recursive spatial decomposition and domain triangulation of solid models//Computer Aided Design.-Vol.24,110,1992. P.517-529.

57. Schatz A.H., Thomee V., Wendland W.L. Mathematical theory of finite and boundary elements methods. Basel, Boston, Berlin: Birkhaeuser, 1990. -276p.

58. Tl.Schroeder W.J. Geometry-based fully automatic mesh generation and the Delaunay triangulation // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.26, 1988. - P.2503-2515

59. Schroeder W.J., Shephard M.S. A combined octree/Delaunay method for fully automatic 3D mesh generation // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.29, 1990. -P.37-55

60. Shephard M.S., Georges M.K. Automatic three-dimensional mesh generation by the finite octree technique // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.32, 1991. - P.709-749

61. Shokin Yu.I., Sleptsov A.G. Grid-projection method with small angles in the cells // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. -Vol.10,15, 1995.- P.449-462

62. Shurina E.P., Soloveitchik J.G., Royak M.E. Three-dimensional Fields Modeling on Irregular Mesh Using Finite Elements Method // Proceedings of the First Asian Computational Fluid Dynamics Conference 16-19 January. V.3, Hong Kong, 1995. - P. 1225-1226

63. Sleptsov A.G. Grid projection solution of an elliptic problem for an irregular grid // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. -Vol.8,16, 1993.-P.519-543

64. Smith R.J., Johnston L.J. Automatic Grid Generation and Flow Solution for Complex Geometries // AIAA Journal. Vol.34,1 6, 1996. - P.l 120-1124

65. Tanaka K., Kato H., Ciampolini P., Pierantoni A., Baccarani G. Adaptive mesh generation in three dimensional device simulation// International Workshop on Numerical Modeling of Processes and Devices for Integrated Circuits-New York,USA, 1994. P.163-166

66. Uler F.G., Mohammed O.A. A 3-D Finite Element Mesh Generator for Complex Volumes // IEEE Transactions on Magnetics. Vol.30, *5, 1994. -P.3539-3542

67. Uler F.G., Mohammed O.A. An efficient 3-D finite element mesh generator for electromagnetic analysis in complex volumes // 9th Annual Review of Progress in Applied Computational Electromagnetic: Conference Proceedings.- Tuscaloosa, USA, 1993.-P.696-703

68. Watson D.F. Computing the n-dimensional Delaunay Tesselation with Application to Voronoi Polytopes. // Computer Journal. Vol.24, % 1981 -P.167-172

69. Weatherill N.P., Hassan О. Efficient three-dimensional Delaunay triangulation with automatic point creation and imposed boundary constrained // Int. J. Num. Meth. Engng. -Vol.37, 1994. -P.2005-2039

70. Wolfgang Bangerth. Using Modern Features of С++ for Adaptive Finite Element Methods: Dimension-Independent Programming in Deal II // Proceedings of the 16th IMACS World Congress 2000, Lausanne, Switzerland, 2000.

71. Wright J.P., Jack A.G. Aspects of three-dimensional constrained Delaunay triangulation // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.37, 1994. - P.1841-1861

72. Yeker C., Zeid I. Automatic Three-Dimensional Finite Element Mesh Generation via Modified Ray Casting // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.38, 1995. - P.2573-2601

73. Yuanxian Gu, Gengdong Cheng, Haiyan Zhang, Dongxu Zhang. Finite element mesh generation and interface with geometric modeling. //Proceedings of the Third International Conference on CAD and Computer Graphics. Vol.2, Beijing, China, 1993,-P.705-709.

74. Yuen M.M., Tan S.T., Hung K.Y. A hierarchical approach to automatic finite element mesh generation // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.32, 1991. -P.501-525

75. Басакер P., Саати Т. Конечные графы и сети. М.:Наука, 1973.368с.

76. В.Н.Бакулин, В.О.Каледин, Вл.О. Каледин, Е.В.Кузнецова, В.В.Репинский. Объектно-ориентированная реализация метода конечных элементов //Математическое моделирование, т. 15, №2, 2003г. -с.77-82

77. В.Н.Рычков, И.В. Красноперов, С.П.Копысов. Объектно-ориентированная параллельная распределённая система для конечно-элементного анализа // Математическое моделирование, т.14, №9, 2002г. — с.81-86

78. Голубева JI.A., Новиков В.П. Входной язык АИДА для описания трехмерных краевых задач. // Технология моделирования задач математической физики / сб. научных трудов под ред. В.П.Ильина. Новосибирск:ВЦ СОР АН, 1989. - С.40-51

79. ЮО.Иванов И.А., Рояк М.Э., Никулин A.C. О разработке пользовательского интерфейса для систем численного моделирования // Сборник научных трудов НГТУ Новосибирск, 2004, №1. - С.61-66.

80. Ю1.Инкин А.И., Кадомская К.П., Рояк М.Э., Сахно В.В., Соловейчик Ю.Г. Методика определения волнового сопротивления участка кабельной линии при коррозии металлической оболочки // "Электричество", №9, 2002г. -стр. 16-21

81. Карчов Д.С., Соловейчик Ю.Г., Васьковский Ю.Н. Математическое моделирование трехмерного электромагнитного поля с помощью пакета программ РЭМПСО // Техническая электродинамика. №6, 1990. - С.32-38

82. Коробейников С.М., Мелехов A.B., Посух В.Г., Антонов В.М., Рояк М.Э. Экспериментальное исследование поведения пузырьков в воде под действием сильных электрических полей // Теплофизика Высоких Температур, 2001, том 39, №2, с.181-186.

83. Кузнецов А.Ю. О некоторых подходах к реализации алгоритмов в ШШ РАМЗЕС-З // Технология моделирования задач математической физики / сб. научных трудов под ред. В.П.Ильина. Новосибирск :ВЦ СОР АН, 1990. - С.89-97

84. Кузнецов А.Ю. Построение динамических триангуляции Делоне // Вариационные методы в задачах численного анализа. / сб. научных трудов под ред. В.П.Ильина. Новосибирск:ВЦ СОРАН, 1991.-е. 76-83

85. Кузнецов А.Ю., Руссков A.B. Моделирование двумерных электростатических полей на IBM PC // Вычислительный эксперимент в задачах математической физики / сб. научных трудов под ред. В.П.Ильина. Новоси-бирск:ВЦ СОРАН, 1990.- С.99-106

86. Кузнецов Ю.А. Алгоритм построения сетки метода конечных элементов для расчета стационарных полей в трехмерных областях // Пакеты программ для задач математической физики. Новосибирск, ВЦ СОАН СССР, 1985.-С.67-81

87. Ю8.Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике: Пер. с франц. -М.: Мир, 1988. -208с.

88. Лециус Р. Методы конечных элементов решения эллиптических уравнений при первом краевом условии. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Санкт-Петербург, 1995 г.

89. ПО.Лисейкин В.Д. Методы конструирования адаптивных сеток: Автореферат диссертации . докт. физ.-мат. Наук. Новосибирск, 1992г.

90. Ш.Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.-608с.

91. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. - 416с.

92. Моисеев B.C., Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г. Математическое моделирование процессов вызванной поляризации в сложных средах для токовойлинии с заземленными электродами. // Сибирский журнал индустриальной математики. 1999г. - т.2, №1. - С.79-93.

93. Моисеев B.C., Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Токарева М.Г. Математическое моделирование при разработке технологий для метода вызванной поляризации // Сибирский журнал индустриальной математики. 1999г.-т.2, №2(4).-С. 135-146.

94. Моисеев B.C., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Математическое моделирование сложнопостроенных сред // Сборник рефератов №2 Международной геофизической конференции и выставки по разведочной геофизике SEG-EAGO.-М., 1993.-С.15

95. Молчанов И.Н., Николаенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. Киев: Наук, думка, 1989. - 272с.

96. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981.-304с.122.0бэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. -М.: Мир, 1977.-383с.

97. Петренко И.И., Пуртов C.B., Федосеев А.И. Решение больших задач МКЭ многосеточным методом в областях сложной формы. / Препринт №364 ИПМ АН СССР, Москва, 1988.

98. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия: Введение. -М.: Мир, 1989.-272с.

99. Разработка технологии площадных работ с многоканальной аппаратурой при поисках залежей углеводородов в Сибири. Заключительный отчет. / Отв. исполнитель Моисеев B.C. Новосибирск, СНИИГГиМС, 1996г. -145с.

100. Рояк М.Э., Адаманова С.Т., Коробейников С.М. Моделирование электромагнитного поля в оригинальном кабеле // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. II. Новосибирск, Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004 - С.620-624

101. Рояк М.Э., Иванов И.А. Построение нерегулярных тетраэдральных сеток в областях со сложной разномасштабной геометрией // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. II. -Новосибирск, Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004. С.625-630

102. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г. Алгоритмы построения нерегулярных треугольных и тетраэдральных сеток. // Сб. научных трудов НГТУ. Новосибирск, НГТУ, 1996г., №2(4). - с.39-46

103. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Иванов И.А., Рояк С.Х. Построение нерегулярных сеток в областях со сложной геометрией // Научный вестник НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 2004. - №1 (16) - С.81-92

104. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Разинкин В.П. Конечно-элементное моделирование тепловых полей в СВЧ-резисторах, выполненных по плёночной технологии //Научный вестник НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 2003. - №1 (14) - С.31-36

105. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц. М.: Мир, 1989. - 190с.

106. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. - 392с.

107. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков М.: Мир, 1986. - 229с.

108. Соловейчик Ю.Г. Вычислительные схемы МКЭ-моделирования трехмерных электромагнитных и тепловых полей в сложных областях: Автореферат дис. . докт. техн. наук. Новосибирск, НГТУ, 1997г.

109. Соловейчик Ю.Г. Математические модели трехмерных электромагнитных полей в электротехнических устройствах. // Оптимальное проектирование, планирование экспериментов и моделирование многофакторных объектов.-Новосибирск, НЭТИ, 1989г. С.119-125

110. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Представление данных при описании краевых задач в пакете ЧИПСОСГ-3. // Оптимальное проектирование, планирование экспериментов и моделирование многофакторных объектов. Новосибирск, НЭТИ, 1989г. - С.76-81.

111. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Программный комплекс TELMA // УНЦ моделирования, автоматизации и оптимизации наукоёмких технологий.- Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2000 С.47-50.

112. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Расчет трехмерного нестационарного электромагнитного поля с учетом вихревых токов // Сб. научных трудов НГТУ. Новосибирск, НГТУ, 1996г., №3(5). - с.71-80.

113. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Корытный Е.Б., Разинкин В.П. Применение векторного метода конечных элементов для анализа электромагнитного поля в согласованных пленочных СВЧ-резисторах //Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. - Вып. 3. -С.71-79.

114. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C., Васильев A.B. Математическое моделирование на базе метода конечных элементов трехмерных электрических полей в задачах электроразведки // Изв. РАН, Сер.: Физика Земли. №9, 1997. - с.67-71.

115. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C., Тригубович Г.М. Моделирование нестационарных электромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов // Изв. РАН, Сер.: Физика Земли. -№10, 1998.- С.78-83

116. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Рояк С.Х., Тригубович Г.М. Применение МКЭ для расчета трехмерных гармонических электромагнитных полей в задачах каротажа и аэроразведкиполезных ископаемых // Научный вестник НГТУ. Новосибирск, НГТУ, 1998г., №1 - С. 146-160

117. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Тригубович Г.М., Чернышев A.B. Разработка системы интерпретации электромагнитных полей в задачах индукционной геоэлектроразведки // Доклады СО АН ВШ, №1(5), 2002г. стр. 105-114

118. Соловейчик Ю.Г., Тригубович Г.М., Чернышев A.B., Рояк М.Э. Об одном подходе к решению трехмерной обратной задачи электромагнитного зондирования Земли становлением поля // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003.-Т.6, №1(13)-С. 138-153.

119. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.-350с.

120. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир, 1980.-512 с.

121. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ. -М.: Мир, 1981.-408с.

122. Хван Гван Ук. Некоторые вопросы применения метода конечных элементов. Автореферат диссертации . канд. физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 1992 г.

123. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989.-288с.

124. Шурина Э.П., Карчов Д.С., Соловейчик Ю.Г. Моделирование теплового состояния трехмерного составного объекта. Модели и алгоритмы // Численные методы и оптимизация. Таллинн, АН Эстонии, 1990. - С.86-93.

125. Шурина Э.П., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Моделирование электромагнитных полей в трехмерных областях // Вычислительные технологии. Новосибирск, Институт вычислительных технологий СО РАН, 1993, Т.2, №6 - с.48-53.

126. Шурина Э.П., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Математическое моделирование физических полей, обусловленных локальными возмущения-ми.//Вычислительные технологии. Т.З, №8, Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1994.- С .143-147

127. Шурина Э.П., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Моделирование физических полей в трехмерных объектах. // Сопряженные задачи физической механики и экология: Тезисы докладов международной конференции. Томск, 1994.

128. Шурина Э.П., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Моделирование электромагнитных полей в трехмерных областях. // Вычислительные технологии. Т.2, №6, Новосибирск, Институт вычислительных технологий СО РАН, 1993. - С.48-53.

129. Шурина ЭЛ., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Особенности моделирования нелинейных физических процессов в трехмерных областях//Вопросы атомной науки и техники. Серия:Математическое моделирование физических процессов.-Вып.З, М.Д992.-С.86-87

130. Шурина Э.П., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Решение трехмерных нелинейных магнитостатических задач с использованием двух потенциалов. -Новосибирск. 1996. 28с. (Препринт/ РАН, Сиб. отд-ние. ВЦ; № 1070).

131. J. Schôberl. NETGEN An advancing front 2D/3D-mesh generator based on abstract rules. Compnt. Visual.Sci, 1:41-52, 1997.

132. Соловьёв С.А. О численном решении трёхмерной комплексной задачи расчёта электрических и тепловых полей // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003г. - т.6, №2. - С.126-136.

133. Соппа М.С. Использование соотношений двойственности для Е- и //-поляризаций в обратных задачах рассеяния на импедансных поверхностях // Сибирский журнал индустриальной математики. 2004г. - т.7, №2. -С.111-116.

134. Федоров А.И., Эпов М.И. Определение элементов тензора электропроводности пород по данным электромагнитного каротажа // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005г. - т,8, №1. - С.143-152.

135. Федоров А.И., Эпов М.И. Переменное электромагнитное поле в наклонно-анизотропной слоистой среде. // Сибирский журнал индустриальной математики. -2000г.-Т.4, №4.-С. 119-131.

136. Дашевский Ю.А., Суродина И.В., Дашевский О.Ю., Соколов В.П. Прямые и обратные задачи геоэлектрики в неразрушающих методах контроля свайных фундаментов // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005г. - т.8, №2. - С.57-69.

137. Соппа М.С. Восстановление формы импедансного рассеивателя в случае ^-поляризованной электромагнитной волны // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005г. - т.8, №2. - С. 152-158,

138. ELCUT. Комплекс программ моделирования двумерных физических полей с помощью метода конечных элементов. НПКК «ТОР», Санкт-Петербург, 1994.

139. Вабищевич П.Н. Операторно-разностные схемы для нестационарных задач электродинамики // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. I. Новосибирск, Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004 - С.426-431

140. В.Н. Глинских, М.И. Эпов. Численный анализ сигналов малоглубинных электромагнитных зондирований для решения задач геоэкологии и инженерной геофизики // Геология и геофизика, № 8, т. 46, 2005г. -с. 779-788.

141. С. Н. Боровиков, И. Е. Иванов, И. А. Крюков. Тетраэдризация Делоне для тел с криволинейной границей // ЖВМ и МФ, т. 45, № 8, 2005

142. Андреев А.Б., Тодоров Т.Д. Сверхсходимость градиента для кубических треугольных конечных элементов (на английском) // Сибирский журнал вычислительной математики, Т. 8, 2005, с. 89-100.

143. Шурина Э.П., Гельбер М.А. О векторном методе конечных элементов для решения задач электромагнетизма // Сибирский журнал вычислительной математики, т.7, 2004, с.79-95.

144. Гилева JI.B., Шайдуров В.В. Два многосеточных итерационных алгоритма для дискретного аналога бигармонического уравнения // Сибирский журнал вычислительной математики, Т.7, 2004, с. 213-228.

145. Бубякин A.A., Лаевский Ю.М. Об одном подходе к построению схем повышенного порядка точности в методе конечных элементов // Сибирский журнал вычислительной математики, Т. 7, 2004, с. 287-300.

146. М.И. Эпов, Г.М. Морозова, Е.Ю. Антонов, C.B. Шатров Определение параметров ферромагнитного проводящего цилиндрического слоя по данным метода становления электромагнитного поля // Геология и геофизика, 2004, № И, т. 45, с. 1358-1368 .

147. Н.И. Горбенко, Я. Л. Гурьева, В.П. Ильин, Е.А. Ицкович, М.И. Эпов. Моделирование постоянного электрического поля в проводящей среде с горизонтальной скважиной // Геология и геофизика, 2004, № 12, т. 45, -с. 1471-1477

148. М.И. Эпов, В.Н. Глинских Линеаризация относительных характеристик высокочастотного магнитного поля в двумерных проводящих средах // Геология и геофизика, 2004, № 2, т. 45, с. 266-274

149. М.И. Эпов, Е.Ю. Антонов, Е.В. Павлов Связь частотной дисперсии электромагнитных параметров и пространственной неоднородности среды с высоким разрешением в электроразведке // Геология и геофизика, 2004, № 6, т. 45, с. 742-751

150. Нечаев О.В., Шурина Э.П., Федорук МЛ. Использование векторного метода конечных элементов для численного решения квазистационарных уравнений Максвелла // Вычислительные Технологии, Том 9, № 5, 2004 -с. 73-81

151. А. Б. Каплун, Е. М. Морозов, М. А. Олферьева. ANSYS в руках инженера, издательство "Эдиториал УРСС" , 2004 - 272 стр.

152. Алямовский A.A. SolidWorks/COSMOSWorks. Инженерный анализ методом конечных элементов. М.: ДМК Пресс, 2004. - 432 с.

153. Шимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC/NASTRAN for Windows. М.:ДМК Пресс, 2001. - 448 с.

154. Рычков С.П. MSC.visual NASTRAN для Windows. издательство "НТ Пресс" 2004 - 552 стр. Кулаев Ю.В., Курбатов П.А. Программный комплекс JUMP для моделирования электромагнитных процессов. - Электротехника, 2002, № 2, стр. 52-55.

155. Эпов М.И., Глинских В.Н. Быстрое двумерное моделирование высокочастотного электромагнитного поля для задач каротажа // Геол. и гео-физ., 2003, №9, стр.942-952.

156. R.N. Rieben, G.H. Rodrigue, D.A. White. A high order mixed vector finite element method for solving the time dependent Maxwell equations on unstructured grids // Journal of Computational Physics vol.204 (2005) pp.490-519

157. Hong Luo, Joseph D. Baum, Rainald LoEhner. A p-multigrid discontinuous Galerkin method for the Euler equations on unstructured grids // Journal of Computational Physics, Vol. 211 (2006) pp.767-783 .

158. J. David Brown, Lisa L. Lowe. Multigrid elliptic equation solver with adaptive mesh refinement // Journal of Computational Physics Vol. 209 (2005) pp.582-598

159. J.J. Heys, T.A. Manteuffel, S.F. McCormick, L.N. Olson. Algebraic multigrid for higher-order finite elements // Journal of Computational Physics Vol.204 (2005) pp.520-532

160. Hongwei Cheng, Jingfang Huang, Terry Jo Leiterman. An adaptive fast solver for the modified Helmholtz equation in two dimensions // Journal of Computational Physics Vol. 211 (2006) pp. 616-637

161. D. Zupan, M. Saje. On "A proposed standard set of problems to test finite element accuracy": the twisted beam // Finite Elements in Analysis and Design Vol. 40 (2004) pp. 1445-1451

162. V. Kromera, F. Dufosse, M. Gueurya. On the implementation of object-oriented philosophy for the design of a finite element code dedicated to multibody systems // Finite Elements in Analysis and Design, Vol.41 (2005) pp.493-520

163. S. Rodriguez-Mattalia, L. Nuno, L. Jodar, J. V. Balbastre. An Improvement of the Finite-Element Method for Computing the Electric Field of Waveguides with Complex Geometry // Mathematical and Computer Modelling Vol.41 (2005) pp.791-805

164. P. Cavin, A. Gravouil, A.A. Lubrecht, A. Combescure Efficient FEM calculation with predefined precision through automatic grid refinement // Finite Elements in Analysis and Design Vol.41 (2005) pp. 1043-1055

165. Yan Xu, Chi-Wang Shu. Local discontinuous Galerkin methods for nonlinear Schrodinger equations //Journal of Computational Physics Vol. 205 (2005) pp. 72-9 7

166. Meizhong Dai, David P. Schmidt. Adaptive tetrahedral meshing in free-surface flow // Journal of Computational Physics Vol. 208 (2005) pp.228-252

167. Prapot Kunthong, Lonny L. Thompson. An efficient solver for the high-order accurate time-discontinuous Galerkin (TDG) method for second-order hyperbolic systems // Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 41 (2005), pp.729-762

168. F. Collino, T. Fouquet, P. Joly. Conservative space-time mesh refinement methods for the FDTD solution of Maxwell's equations // Journal of Computational Physics, Vol. 211 (2006) pp.9-35

169. Igor Zagorodnov, Thomas Weiland. TE/TM scheme for computation of electromagnetic fields in accelerators // Journal of Computational Physics, Vol. 207 (2005), pp.69-91

170. H.A. Rahimi Bondarabady, A. Kaveh. Nodal ordering using graph theory and a genetic algorithm // Finite Elements in Analysis and Design, Vol.40, (2004), pp. 1271-1280

171. P. Donescu and T.A. Laursen, A generalized object-oriented approach to solving ordinary and partial differential equations using finite elements. //Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 22 (1996), pp. 93-107.

172. Y. Dubois-Pelerin and P. Pegon, Linear constraints in object-oriented finite element programming. // Comput Meth Appl Mech Eng Vol.154 (1998), pp. 31-39

173. D. Eyheramendy, An object-oriented hybrid symbolic/numerical approach for the development of finite element codes // Finite Elements in Analysis and Design, Vol.36 (2000), pp. 315-334

174. D. Eyheramendy and T. Zimmermann, Object-oriented finite element programming: an interactive environment for symbolic derivations, application to an initial boundary value problem. // Adv Eng Software Vol. 27(1996), pp. 3-10

175. R.I. Mackie, An object-oriented approach to fully interactive finite element software // Adv Eng Software, Vol. 29 (1998), pp. 139-149

176. R.I. Mackie. Using objects to handle calculation control in finite element modelling. // Comput Struct, Vol. 80 (2002), pp. 2001-2009

177. B. Patzak and Z. Bittnar. Design of object oriented finite element code. // Adv Eng Software, Vol. 32 (2001), pp. 759-767

178. M. Bastian and B.Q. Li, An efficient automatic mesh generator for quadrilateral elements implemented using С++ // Finite Elements in Analysis and Design, Vol.39 (2003), pp. 905-930

179. R. Niekamp and E. Stein, An object-oriented approach for parallel two-and three-dimensional adaptive finite element computations. // Comput Struct Vol.80 (2002), pp. 317-328

180. Борисов Г. А., Могилатов В. С. Электромагнитное возбуждение цилиндрически-слоистой среды различными источниками // Сибирский журнал индустриальной математики. 2002. - Т.5, №3(11) - С.53-66.

181. Могилатов B.C. Вторичные источники и линеаризация в задачах геоэлектрики // Геология и геофизика, 1999, № 7, С. 1102-1108.

182. Могилатов B.C. Индуктивный, смешанный и гальванический источники в электроразведке становлением поля // Изв. РАН. Сер.: Физика Земли. 1997.-№ 12. - С.42-51.

183. Могилатов B.C., Эпов М.И. Томографический подход к интерпретации данных геоэлектромагнитных зондирований // Изв. РАН. Сер.: Физика Земли, 2000, № 1, С. 78-86.

184. Могилатов B.C., Эпов М.И., Исаев И.О. Томографическая инверсия данных зондирований становлением // Геология и геофизика, 1999, № 4, С.637-644.

185. Эпов М.И., Сухорукова К.В., Никитенко М.Н., Антонов Ю.Н. Особенности высокочастотных индукционных зондирований в скважинах с горизонтальным завершением // Геология и геофизика. 1998. - Т.39, №5. -С.649-656.

186. Дашевский Ю.А. Математическое моделирование и численный анализ новых возможностей стационарной геоэлектрики: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. Новосибирск, 2001, 36с.

187. Ельцов И.Н., Кашеваров A.A., Эпов М.И. Обобщение формулы Арчи и типы радиального распределения УЭС в прискважинной зоне // Геофизический вестник, 2004, № 7, с. 9-14.

188. Ельцов И.Н., Эпов М.И., Кашеваров A.A. Комплексная геоэлектрическая и гидродинамическая модель зоны проникновения // Геофизический вестник, 2004, № 4, с. 13-19.

189. Федоров А.И., Эпов М.И. Переменное электромагнитное поле в наклонно-анизотропной слоистой среде // Сибирский журнал индустриальной математики, 2003, т. 6, № 4 (16), с. 119-131.

190. Дмитриев В.И., Бердичевский М.Н. Обобщённая модель импеданса // Изв. РАН, Сер.: Физика Земли. №10, 2002. - с. 106-112.

191. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И., Голубцова Н.С., Мерщико-ваН.А., Пущкарёв П.Ю. Магнитовариационное зондирование: новые возможности // Изв. РАН, Сер.: Физика Земли. №9, 2003. - с.3-30.

192. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И. Обратные задачи магнитотел-лурики в современной постановке // Изв. РАН, Сер.: Физика Земли. №4, 2004.-с. 12-29

193. Бердичевский М.Н., Ваньян Л.Л., Кошурников A.B. Магнитотеллу-рические зондирования в байкальской рифтовой зоне // Изв. РАН, Сер.: Физика Земли. №10, 1999. - с.3-25

194. МатвеевА.Н. Электричество и магнетизм: Учеб. пособие. М.: Высш. школа, 1983. - 463 с.

195. Соловейчик Ю.Г., Токарева М.Г., Персова М.Г. Решение трехмерных стационарных задач электроразведки на нерегулярных параллелепипеи-дальных сетках // Вестник ИрГТУ. Иркутск. 2004 г. - № 1. - 45-60.

196. J.C.Nedelec. Mixed finite elements in IR3 //Numer. Math. №35, 1980 -pp.315-341q

197. J.C.Nedelec. A new family of mixed finite elements in M // Numer. Math. №50, 1986- pp.57-81

198. Рояк C.X. Конечноэлементное моделирование гармонических электромагнитных полей. Автореферат диссертации . канд. техн. наук. Новосибирск, 2000 г.

199. Рояк М.Э. Построение согласованных неструктурированных треугольных и тетраэдральных сеток для конечноэлементного моделирования электромагнитных и тепловых полей в областях со сложной геометрией. Диссертация . канд. техн. наук. Новосибирск, 1997 г.

200. Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Тригубович Г.М. Математическое моделирование процесса становления осесимметричного поля вертикальной электрической линии // Сибирский журнал индустриальной математики. -2003. -Т.6. -№2(14) с. 107-125.

201. Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Тракимус Ю.В. Использование векторного МКЭ для расчёта становления осесимметричного поля вертикальной электрической линии // Доклады АН ВШ №1(2), 2004 С. 76-86.