автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование электромагнитных процессов в элементах ускорителей заряженных частиц

Корсун Мария Михайловна

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕМЕНТАХ УСКОРИТЕЛЕЙ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

" 9 ЛЕН 2010

Новосибирск - 2010

004616407

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, доцент

Рояк Михаил Эммануилович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Винокуров Николай Александрович

доктор технических наук, профессор Фроловский Владимир Дмитриевич

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 23 декабря 2010 года в 12— часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.06 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет» по адресу: 630092, г. Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан «. » ноября 2010 года.

Ученый секретарь АМ , ^

диссертационного совета ШЦЬ- Чубич В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. При разработке конструктивных элементов ускорителей заряженных частиц необходимо рассматривать большое количество вариантов для выбора наилучшей конструкции, что, как правило, удается с большими временными, материальными и энергетическими затратами. Поэтому современное проектирование сложных технических установок во многом определяется степенью эффективности предварительного математического моделирования, суть которого заключается в детальном анализе различных физических процессов.

В области ускорительной физики к самым распространенным можно отнести задачи: моделирования трёхмерных магнитостатических полей с возможностью задания сложной геометрии устройства, нелинейных и анизотропных свойств материалов; исследования динамики заряженных частиц в магнитном поле. Решением перечисленных задач успешно занимаются известные зарубежные программные комплексы такие, как ANS YS, OPERA3D, FEMLAB. В качестве основного метода моделирования в этих программных комплексах используется метод конечных элементов (МКЭ), а в качестве основной математической модели электромагнитного поля используется система уравнений Максвелла.

За последнее десятилетие моделирование нестационарных электромагнитных процессов получило наибольшее развитие в задачах геоэлектроразведки (поиск нефтегазоносных слоев, залежей угля и других ископаемых) и волновых процессов (моделирование СВЧ устройств, выбор оптимальных конструкций антенн и пр.). Для решения таких задач могут применяться как указанные выше универсальные программные пакеты, так и разрабатываемые для решения конкретной проблемы узконаправленные программные комплексы (например, ЭР-ГЭЛ, QuickWave, CST MWS, HFSS).

Для решения новых нестандартных задач зачастую требуется такой инструментарий, которого универсальные программные комплексы не имеют в наличии. Поэтому большинство проектировщиков-исследователей вынуждены проводить «приближенное» компьютерное моделирование с использованием, например, двумерных расчетов. Стоит отметить, что существует достаточно много развитых программных комплексов для моделирования двумерных нестационарных задач электромагнетизма, среди зарубежных можно выделить COMSOL, FLUX 2D, среди российских ELCUT (QuickField).

Моделирование трёхмерных задач, в которых необходимо достаточно точно учитывать влияние вихревых токов на изучаемый физический процесс, представляет особую сложность. В области ускорительной физики к таким задачам можно отнести: оценку времени выхода циклотрона на стационарный режим (фактически нужно отслеживать время затухания вихревых токов), моделирование схем экстракции, в которых используются импульсные магниты. При изучении таких процессов методы моделирования должны, прежде всего, обладать высокоточными вычислительными схемами.

В настоящее время для решения таких задач предлагаются подходы с использованием элементов векторного типа. Эти методы основаны на применении специально организованных векторных базисов, которые позволяют строить аппроксимации математических моделей как в терминах естественных векторных переменных, так и в терминах потенциалов. Такие методы хотя и существенно расширяют класс решаемых задач, но имеют серьёзные проблемы при наличии в трёхмерной расчётной области непроводящих подобластей. В работах Соловейчика Ю.Г. рассматриваются математические модели, основанные на использовании в проводящих подобластях векторного МКЭ, а в непроводящих подобластях - скалярного МКЭ. Предлагаемый подход позволяет в непроводящем пространстве описать физический процесс скалярным потенциалом, что не только делает матрицу конечноэлементной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) невырожденной, но и существенно сокращает ее размерность.

Наряду с использованием МКЭ, при моделировании нестационарных электромагнитных процессов в некоторых работах зарубежных исследователей предлагается использовать метод граничных элементов (МГЭ). Безусловно, к преимуществам этого метода можно отнести значительное упрощение алгоритмов построения сеток, поскольку в нём нет необходимости проводить дискретизацию внутри области, а также возможность естественным образом учитывать неограниченные подобласти. Однако применение метода граничных элементов в чистом виде для моделирования нестационарных электромагнитных процессов затруднительно из-за необходимости использования векторного потенциала в проводящих областях и возможной зависимости коэффициентов уравнения от искомого поля. Кроме того, получаемая в методе граничных элементов СЛАУ является плотной, что в условиях ограниченных вычислительных ресурсов может создавать дополнительные трудности.

В данной диссертационной работе рассматриваются и исследуются подходы к моделированию нестационарных электромагнитных полей, основанные на математических моделях с совместным использованием векторного и скалярного МКЭ, как напрямую (т.е. без выделения нормального поля), так и с учетом технологии разделения полей. Кроме решения задач традиционным для большинства программных пакетов методом конечных элементов, в данной работе исследуется возможность моделирования электромагнитных процессов смешанным методом - методом конечных и граничных элементов. Все предлагаемые вычислительные технологии реализованы в программном комплексе ТЕЬМА.

Разработанные в данной диссертационной работе вычислительные схемы и их программная реализация позволяют создавать новые технологии моделирования электромагнитных процессов, необходимые на этапе проектирования элементов ускорительной техники, что в конечном итоге заметно ускоряет и удешевляет процесс проектирования технических устройств. Всё это и определяет актуальность предлагаемой диссертационной работы.

Основной научной проблемой, решению которой посвящена данная диссертационная работа, является проблема численного моделирования трехмерных электромагнитных полей, формирующихся в основном за счет вихревых токов, в конструкциях с высоким контрастом магнитных проницаемостей и электрических проводимостей.

Цель исследования состоит в разработке новых и повышении эффективности наиболее часто используемых перспективных методов численного моделирования трёхмерных электромагнитных процессов в сложных трёхмерных областях и программных средств, реализующих эти методы.

Научная новизна:

1. Разработаны вычислительные схемы с использованием смешанных ко-нечноэлементных сеток для моделирования нестационарных электромагнитных полей, которые в проводящих подобластях описываются дифференциальным уравнением в естественных переменных, а в непроводящих подобластях - дифференциальным уравнением относительно магнитного потенциала.

2. Разработана и реализована технология совместного использования метода конечных и граничных элементов для вычислительной схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей, описывающихся дифференциальными уравнениями на основе скалярного и векторного потенциалов.

3. Проведены исследования эффективности использования различных вычислительных схем при решении задачи моделирования слоистых магнитных экранов для проектирования ускорителей заряженных частиц.

4. Разработана и реализована вычислительная схема с использованием анизотропных коэффициентов магнитной проницаемости и электрической проводимости для моделирования нестационарных электромагнитных полей в технических устройствах с шихтованными материалами.

На защиту выносятся

1. Результаты исследования эффективности вычислительных схем при решении задачи моделирования слоистых магнитных экранов для проектирования ускорителей заряженных частиц.

2. Объектно-ориентированная реализация вычислительной схемы с использованием смешанных конечноэлементных сеток и возможностью использования в непроводящих подобластях граничных элементов совместно с векторными конечными элементами в проводящих подобластях.

3. Результаты исследования эффективности вычислительной схемы с совместным использованием конечных и граничных элементов.

4. Результаты исследований возможности учёта шихтованного материала как материала с анизотропными коэффициентами магнитной проницаемости и электрической проводимости при решении практических задач.

5. Объектно-ориентированная реализация библиотеки токовых обмоток С01ЬЕБ1Т0К в программном комплексе ТЕЬМА и полученные с её использованием результаты решения практических задач.

Практическая ценность работы и реализация результатов

Разработанные методы и алгоритмы реализованы в программном комплексе TELMA и применяются для решения сложных практических задач:

• моделирование многослойных магнитных экранов, используемых в системе экстракции пучка заряженных частиц из ускорительных установок;

• моделирование магнитостатических полей при анализе качества фокусировки квадрупольной линзы;

• моделирование магнитных систем, основанных на использовании косинусных магнитов.

Результаты диссертационной работы использовались при выполнении следующих хоздоговорных работ:

• «Конечноэлементные исследования магнитных полей дипольных магнитов HEBT и МЕВТ с учетом шихтованности и сложной геометрии» (2007 г., НИУ ИЯФ им Г. И. Будкера СО РАН);

• «Конечноэлементные исследования магнитных полей косинусных магнитов» (2009 г., НИУ ИЯФ им Г. И. Будкера СО РАН).

Достоверность результатов

Корректность вычислительных процедур, разработанных на основе математических моделей нестационарного электромагнитного поля, подтверждена следующими вычислительными экспериментами.

1. Корректность расчетов трехмерных нестационарных электромагнитных полей проверялась посредством сравнения решения осесимметричной задачи в трехмерной постановке с решением этой же осесимметричной задачи в двумерной постановке.

2. Точность расчетов нестационарного электромагнитного поля с использованием технологии выделения поля проверялась путем сравнения с решениями трехмерных задач на сетках с высоким уровнем подробности.

3. Корректность результатов, полученных вычислительными схемами, позволяющими заменить шихтованный материал материалом с анизотропными коэффициентами, проверялась в сравнении с серией расчетов трехмерной задачи, в расчетной области которой постепенно уменьшалась толщина шихтовки и, следовательно, увеличивалось число пластинок. При уменьшении толщины шихтовки решение задачи сходилось к решению задачи с анизотропными коэффициентами.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что исследованы различные вычислительные схемы для решения задач электромагнетизма в технических устройствах, содержащих слоистые материалы. Личный вклад

Разработаны и программно реализованы конечноэлементные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей. Построенные численные процедуры протестированы, проведена оценка их точности и вычислительной эффективности. Выполнена верификация решения трехмерных задач.

Для использования в программном комплексе TELMA смешанных сеток автором реализованы пятигранные и шестигранные конечные элементы с линейными базисами скалярного и векторного типов.

Автором проведен анализ точности разработанных методов и алгоритмов, выполнено сравнение их вычислительной эффективности с другими подходами.

Все приведённые в диссертационной работе результаты численного моделирования получены с использованием программного комплекса TELMA, одним из разработчиков которого является автор.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены и докладывались на: Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (г. Новосибирск, 2005 и 2006 г.г.); Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникации» (г. Новосибирск, 2006 г.); Восьмой международной конференции Актуальные проблемы электронного приборостроения (г. Новосибирск, 2006 г.); XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (г. Москва, 2008 г.); XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 2009 г.); Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 г.); V и VII Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (г. Санкт-Петербург, 2008 и 2010 г.г.); XVII международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, 2010 г.).

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 10 печатных работ, из них: 3 статьи в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ; 1 статья в сборнике научных трудов; 6 работ в сборниках трудов конференций.

Диссертационная работа выполнялась при финансовой поддержке федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников (132 наименования) и двух приложений. Работа изложена на 186 страницах, содержит 68 рисунков и 9 таблиц.

Основное содержание работы

Глава 1. Вычислительные схемы моделирования нестационарных трехмерных электромагнитных полей

В первой главе рассматриваются вычислительные схемы, которые используются при моделировании трехмерных нестационарных электромагнитных процессов, описываемых системой уравнений Максвелла.

В п. 1.1 приводится математическая модель с совместным использованием векторного потенциала электромагнитного поля и скалярного потенциала магнитного поля.

Будем считать, что среда, в которой изучается электромагнитное поле, состоит из двух (возможно, не односвязных) подобластей Пст и причём в

подобласти удельная проводимость а отлична от нуля, а в подобласти проводимость равна нулю. Магнитная проницаемость ц в обеих подобластях может быть произвольной функцией координат (в том числе и зависеть от напряженности магнитного поля). Будем также считать, что в подобласти П° отсутствуют сторонние токи.

В подобласти (1° дл ны выполняться уравнения

В подобласти (1° для напряженности и индукции магнитного поля долж-

гоШ°=0, сИуВ°=0. (1.1)

Тогда напряженность магнитного поля Й® и магнитную индукцию В1^ можно представить в виде:

Н° = -ёгас1С/, В^-ц^асЩ, (1.2)

где II - полный скалярный магнитный потенциал. Для выполнения уравнений

системы (1.1) н рял уравнению

системы (1.1) нужно, чтобы скалярный потенциал I/ в области ОР удовлетво-

-сНу^асШ^О. (1.3)

В подобласти Г2а представим индукцию магнитного поля Вст и напряженность электрического поля Ест через вектор-потенциал А с помощью соотношений

ЯА

Вст = го! А, Еа = ———. (1.4)

<Э<

Тогда с учетом (1.4) получим векторное уравнение для описания электромагнитного поля в подобласти 0,°:

— гсЛ А

+ сЗ=Лст. (1.5)

дЬ

Чтобы индукция В, определяемая в подобласти Г2° соотношением (1.2), а в подобласти О,0 соотношением (1.4), удовлетворяла системе уравнений Максвелла во всей расчетной области П = и !Г£а, на границе между подобла-

стями £2° и Па должны выполняться следующие соотношения (обеспечивающие непрерывность нормальной составляющей В и тангенциальной составляющей Н):

В°=В°, (1.6)

п п' т т' у '

где п - любая (например, внешняя по отношению к Пст) нормаль к рассматриваемой границе 5П, т - произвольный касательный вектор к границе 5П.

Особенностью рассмотренной модели является то, что во многих случаях для сохранения её корректности необходимо либо вводить поверхности разрыва скалярного магнитного потенциала внутри , либо изменять способ разделения расчётной области на подобласти П° и О?. Это необходимо делать в

случае, когда внутри можно провести такой замкнутый контур Ь, что интеграл от всех токов, пересекающих натянутую на этот контур поверхность , не равен нулю.

Конечноэлементная аппроксимация эквивалентной вариационной постановки для модели (1.3), (1.5) с условиями (1.6) выполняется с использованием векторного и скалярного МКЭ на смешанных конечных элементах. Для дискретизации по времени используется полностью неявная трехслойная схема.

В п. 1.2 приводится вычислительная схема на основе потенциалов

для совместного решения задач методом конечных и граничных элементов. В такой схеме, основанной на совместном использовании двух методов, аппроксимация в проводящих подобластях Г2СТ осуществляется с помощью векторного

метода конечных элементов, в непроводящих подобластях П° - с помощью метода граничных элементов.

Аппроксимация по времени уравнения (1.5) приводит к векторному уравнению

—гсгё А

+ -»А = Р, (1.7)

где коэффициент ^ и вектор-функция Г определяются разностной схемой аппроксимации по времени. Учитывая представление индукции и напряженности магнитного поля через векторный и скалярный потенциалы, условия непрерывности (1.6) принимают вид:

—го(;Ахп

= п, (1.8)

(-ц.8гаа17.п)5П=(п,а.а)5П. (1.9)

Будем считать, что граница расчетной области О может быть либо бесконечно удаленной, либо на ней в качестве краевых условий могут быть заданы краевые условия равенства нулю касательных или нормальных составляющих

магнитной индукции. Обозначим через 5Т участок границы, на котором задано

условие равенства нулю касательных составляющих В, а через 5П - участок границы расчетной области О, на котором задано условие равенства нулю нормальных составляющих В.

Введем следующие обозначения для скалярных произведений, соответствующие интегралам по объему и по границе: (у, ц>) = ^ и ■ ш<й',

У V

{ь,и?1 = ^ у ■ и!(1Г. С учетом введенных обозначений эквивалентная вариаци-Г Г

онная постановка для векторного уравнения (1.7) и условия сопряжения (1.8) принимает вид:

—rotA, roti'

+ (grad Z7x n, Ф) + (^A, Ф) ^ (F, Ф) . (1.10)

Уравнение (1.10) должно выполняться V Ф е #Q0ijfiCTj, где под y-rot понимается пространство вектор-функций Ф, определённых на S7°,

для которых функция rot Ф является суммируемой с квадратом, при этом касательные всех функций Ф должны быть равны нулю на границе Sn nSa ( Sa -

граница области Qa).

В том случае, когда коэффициент магнитной проницаемости ц в области

является постоянным, уравнение (1.3) эквивалентно уравнению Лапласа

-div(gradi/) = 0. (1.11)

Тогда, используя представление решения этого уравнения в виде суммы потенциалов, можно получить граничные интегральные уравнения и построить аппроксимацию скалярного потенциала в подобласти с помощью метода граничных элементов.

Используя оператор Стеклова-Пуанкаре S, который связывает значения потенциала на границе и потоки через границу, запишем вариационное уравнение, соответствующее условию (1.9):

(1.12)

где 5° - граница области Я^

гильбертово пространство скалярных

функций V, определенных на границе 5 , имеющих интегрируемые с квадратом первые производные и равных нулю на границе 5Т П (более подробно вывод уравнения (1.12) приводится в [3]).

Построив дискретные аппроксимации уравнений (1.10) и (1.12), получим систему линейных алгебраических уравнений, решение которой позволяет найти искомые потенциалы II и А.

В п. 1.3 рассматривается математическая модель на основе совместного использования напряженности магнитного поля и скалярного потенциала магнитного поля. Для проводящих подобластей, где коэффициент проводимости ст отличен от нуля, система уравнений Максвелла может быть преобразована к уравнению вида:

—гоШ

дШ

+ —*-= гоЬ

31

1 дет

(1.13)

Таким образом, в проводящих подобластях вместо векторного уравнения (1.5) для вектор-потенциала А будем использовать векторное уравнение (1.13) для напряжённости магнитного поля Н.

Недостатком такой модели является то, что в подобластях с нулевой ст электромагнитное поле может быть описано только скалярным потенциалом и. Это может привести к серьёзным трудностям в тех случаях, когда в решаемой задаче по подобластям с нулевой проводимостью возможны обходы ненулевых токов.

В предположении, что на границах расчётной области заданы краевые условия равенства нулю касательных либо нормальных составляющих магнитной индукции, эквивалентная вариационная постановка для соответствующей системы дифференциальных уравнений (1.3), (1.13) с условиями сопряжения (1.6) будет включать в себя два уравнения

I1

"> ст

Па

гоШ-го^аЮ-Г-

I

-Зст

хп

II--:

^ дЬ

1--

ст

•г ЫФсЮ -

(фхп)

= 0, (1.14)

^[^тас! и ■ ^аЛФсЮ — ^

ц^Н-ы

Ф йБ--

0, УФбЯ1!«0

(1.15)

и условие ^Н х п| = — (§гас1 V х , которое можно рассматривать как

главное краевое условие, либо учитывать в вариационной постановке в слабой

пст

форме. Запись ц означает, что в поверхностном интеграле значения ц берутся по поверхности 5П со стороны подобласти Пст.

В п. 1.4 вводится понятие нормального поля, описывается постановка задачи на поиск добавочного поля в терминах системы уравнений Максвелла. Предлагается вычислительная схема с выделением нормального поля для рассмотренной в п. 1.1 модели с разрывным векторным потенциалом и скалярным потенциалом магнитного поля.

В предположении, что рассматриваемый электромагнитный процесс имеет довольно хорошее приближение в виде более простой задачи, определяющей

электрическое поле Ё° и магнитное поле Й°, удовлетворяющие системе уравнений Максвелла, получим следующую систему уравнений:

пИ

1 V -пЛА

1-1

л. ~ дА - ГСТ + а-= Л

дЬ

- го!

Л

— СНу ¿ггас! II) = — СИУ

-Мст-ст0 Ё°, (1.16)

(1.17)

- - - дА

где В+ = го (А, Е-1" ----искомые поля в уравнении (1.16), V - искомый

дЬ

магнитный потенциал в уравнении (1.17), при этом Н+ = — цтас! II.

Условия сопряжения на границе 5 записываются в виде:

Л

В0 хп+—гсЛАхп = -^асШхп. И-

(1.18)

(1.19)

В п. 1.5 рассматривается пример решения модельной задачи - обнаружения дефекта в металлическом объекте. Приводятся результаты исследования эффективности реализованных вычислительных схем.

В качестве объекта моделирования был выбран усеченный металлический

цилиндр толщиной 5 и радиусом 50 мм с проводимостью а = 10 См/м и относительной магнитной проницаемостью |х = 10. Источником возбуждения электромагнитного поля является токовая петля, имеющая радиус 25 мм и расположенная соосно с объектом на высоте 10 мм над ним. Токовый импульс имеет прямоугольную форму: в начальный момент времени t = 0 с импульса нет, в

следующий момент времени t = 10 9 с подается импульс тока, который длится

до времени t = 5 • Ю-4 с, затем отключается. Объект имеет сквозную щель толщиной 0.02 мм и длиной 19 мм, идущую вдоль радиуса от края цилиндра. Щель расположена симметрично относительно плоскости у = 0, перпендикулярна основанию цилиндра, тогда в силу симметрии задачи в расчетную область можно включить только половину цилиндра.

Обратим внимание на то, что при отсутствии щели в объекте рассматриваемая задача является осесимметричной, т.е. может быть решена как двумерная в цилиндрических координатах. Поскольку двумерную задачу можно решить с любой необходимой точностью, решение трехмерной задачи с однородным объектом можно использовать не только для проверки правильности разработанных вычислительных схем, но и для оценки погрешности конечноэле-ментной аппроксимации построенной трехмерной сетки.

Задача была решена тремя постановками на различных сетках, для решения СЛАУ использовался решатель PARDISO из библиотеки Intel MKL. Поскольку в рассматриваемой задаче был выбран равномерный временной шаг и трехслойная неявная схема по времени, то, начиная с третьего временного слоя, матрица СЛАУ не изменялась. Следовательно, разложение матрицы СЛАУ решателем PARDISO строилось только для первых трех временных слоев, для решения задачи на следующих временных слоях использовалось сохраненное разложение, что значительно увеличило скорость решения. В таблице 1.1 показаны размерности СЛАУ, время счета для одного временного слоя (приведено время в случае сохранения разложения и в случае, когда разложение строилось на каждом слое по времени), погрешность полученного решения в точках измерения.

Таблица 1.1

Сравнительный анализ результатов моделирования осесимметричной задачи

Тип постановки Тип сетки Число степеней свободы Погрешность решения, % Временные затраты на слой, мин

сохр. разложения без сохр. разложения

(A,f) на основе МКЭ и МГЭ грубая 20988 11 менее 0.5

подробная 159238 3 0.5-1.5 5

(А,V) грубая 18200 15 1

подробная 187736 3 4

самая подробная 369309 1.5 7

М грубая 187736 60 4

подробная 402041 8 10

Исследования показывают, что вычислительная схема на основе постановки оказывается достаточно чувствительной к выбору конечноэле-

ментной сетки. Для использования данной вычислительной схемы требуется строить конечноэлементную сетку с более сильными сгущениями к границам

раздела векторно-скалярных подобластей. На построенной по такому принципу конечноэлементной сетке было получено решение с погрешностью 8%, при этом число степеней свободы на такой сетке в два и более раза выше, чем на

сетке, где постановкой ^А, получено решение с погрешностью 4%.

В таблице 1.2 показаны результаты решения трехмерной задачи при наличии дефекта в исследуемом объекте. Погрешность приведена относительно решения на самой подробной сетке, полученного с использованием технологии выделения нормального поля.

Таблица 1.2

Сравнительный анализ результатов моделирования_

Тип постановки Тип сетки Число степеней свободы Погрешность решения, %

(а, и) на основе МКЭ и МГЭ грубая 28749 8

подробная 215500 2

грубая 66814 7

м подробная 187736 6

самая подробная 369309 3

(а,С/) с выделением нор- грубая 9543 10

подробная 79670 3

мального поля самая подробная 665127 -

(й,,) подробная 393357 9

самая подробная 777558 6

Анализ результатов показывает, что наличие щели в объекте вносит существенное изменение в конфигурацию электромагнитного поля, в некоторых точках измерения аномалия достигает 90% от нормального поля. Хотя использование технологии выделения нормальной части поля оказывается довольно эффективным, когда аномалия составляет 15-25%, однако, и в рассматриваемой задаче с существенной аномалией технология выделения поля с гораздо меньшими вычислительными затратами даёт точность, сравнимую с решением задачи напрямую на подробных сетках.

Глава 2. Реализация вычислительных схем векторно-скалярного типа

Вторая глава посвящена описанию скалярных и векторных конечных элементов различных типов, приводятся методы вычисления локальных матриц для рассматриваемых элементов. Особое внимание уделяется вычислению вкладов по поверхности скалярных и векторных конечных элементов, а также по поверхности граничных элементов и векторных конечных элементов.

В п. 2.1 описывается конечноэлементная аппроксимация на скалярных элементах. К наиболее простым в реализации конечным элементам относятся тетраэдры, более трудоемкими в реализации являются пятигранные и шестигранные конечные элементы, которые и рассматриваются в данном пункте. Среди пятигранников отдельно рассматривается призма, у которой две параллельные друг другу грани - основания - являются одинаковыми двумерными

фигурами, а все остальные - боковые - грани являются прямоугольниками. Среди шестигранных элементов отдельно рассматривается прямоугольный параллелепипед и шестигранник, аналогичный по построению прямой призме, только основания такого элемента - два одинаковых четырехугольника. Такой шестигранник будем называть прямой призмой с четырехугольным основанием.

Выделение более простых элементов связано с возможностью применения аналитических или полуаналитических методов расчета локальных вкладов от элемента, что значительно ускоряет процедуру сборки глобальной СЛАУ.

В п. 2.2 описывается конечноэлементная аппроксимация на векторных элементах. Рассматривается построение векторных базисных функций, являющихся элементами пространства Hrot, для прямой призмы, прямоугольного параллелепипеда, пятигранника, шестигранника и прямой призмы с четырехугольным основанием.

Базисные функции в векторном МКЭ, как и в скалярном, строятся в виде полиномов пространственных координат, определяемых на ячейках сетки. Однако в векторном МКЭ базисные функции не должны быть полностью непрерывными, допускаются такие функции, у которых на границах конечных элементов непрерывны только касательные составляющие к этим границам. Разрывность нормальных составляющих базисных вектор-функций во многих случаях является даже необходимым свойством (например, в случаях разрывности коэффициента а в уравнении (1.5)).

В п. 2.3 рассматривается технология вычисления вкладов в глобальную

СЛАУ от поверхностных интегралов между подобластями Qa и £2°.

В п. 2.4 приводятся способы вычисления вкладов от нормального поля для постановок с совместным использованием векторного и скалярного МКЭ. Показано, как может быть построена универсальная процедура вычисления локальной матрицы и вкладов в вектор правой части от произвольного конечного элемента на основе шаблонных локальных матриц этого элемента (содержащих интегралы от произведений локальных базисных функций элемента и их частных производных).

В п. 2.5 описывается объектно-ориентированная программная реализация рассматриваемых в диссертационной работе вычислительных схем в программном комплексе TELMA. На примере шестигранного конечного элемента рассматриваются классы Hexahedron и VectorHexahedron для работы со скалярным и векторным шестигранниками, описываются основные функции классов.

Глава 3. Моделирование магнитных экранов слоистой структуры, используемых в схемах экстракции заряженных частиц

В п. 3.1 рассматривается задача моделирования элемента системы экстракции пучка заряженных частиц из синхротрона. Схема экстракции основана на применении многослойных магнитных экранов.

Сечение магнитного экрана состоит из чередующихся слоев меди и железа (электротехнической стали). Внешний радиус экрана равен 9.5 мм, внутренний - 6 мм. Толщина кольца меди составляет 0.1 мм, стали 0.08 мм, толщина межслоевого воздушного зазора 0.11 мм. Относительная магнитная проницаемость электротехнической стали задана кривой намагничивания коэф-

с Л

фициент проводимости меди а = 57 ■ 10 См/м, стали а = 3.3 • 10 См/м. Длина магнитного экрана составляет 200 мм. Трубка магнитного экрана помещена в дипольный магнит (см. рис. 3.1) и смещена относительно его центра по оси Оу на 5.5 мм. Относительная магнитная проницаемость электротехнической стали, из которой выполнен дипольный магнит, составляет (1 = 1000. Ток в каждой из двух токовых обмоток изменяется по следующему закону:

17 ^ А, наибольший интерес представляет возмущение по-

I = 5580 • sin

124-10

,-4

ля магнитным экраном первые 500 мкс от начала импульса.

ЕЗ материал экрана электротехническая сталь И токовая обмотка

Рис. 3.1. Схема конструкции магнита: проекции в плоскостях 7Х (слева) и ХУ (справа). Размеры указаны в миллиметрах

В п. 3.1.1 для оценки возможности моделирования подобных систем рассматривается упрощенная геометрия экрана: экран состоит из двух слоев меди и железа, аппроксимация колец задана в виде многогранника с фиксированным числом вершин (16 вершин), коэффициент магнитной проницаемости постоянен (|1 = 547).

В качестве измеряемой характеристики требуется вычислять

дх

в точ-

ках, расположенных вдоль оси Оу на расстоянии от 13 до 20 мм от центра экрана. Таким образом, результаты моделирования будем рассматривать в точках при минимальном расположении от оси экрана - 13 мм, при максимальном-20 мм и в середине этого участка - 17.5 мм. Вдоль оси О г измерительные точки расположим при г — 0 мм, 2 = 25 мм, г — 50 мм, 2 = 75 мм.

В п. 3.1.2 приводится технология учета анизотропных коэффициентов магнитной проницаемости и электрической проводимости в вычислительной схеме относительно векторного и скалярного магнитных потенциалов.

На рис. 3.2 показан результат решения двумерной задачи (в плоскости г = 0 мм), в которой экран был задан как слоистая среда и как материал с анизотропными коэффициентами. Исследования показывают, что в случае задания анизотропных свойств материалов вместо слоистого экрана электромагнитный процесс не может быть правильно описан.

0.0 1.е-4 и с

^ - решение с анизотропными коэффициентами; Р - решение со слоистым экраном. Рис. 3.2. Измерение В в средней точке от центра экрана

Рис. 3.3. Направление вихревых токов в кольцах

17

Причина этого объяснена следующим (см. рис. 3.3). Конструкция экрана такова, что на начальных временах скин-слой будет сформирован на внешнем медном кольце, а на внутренних слоях его не будет, поскольку поле внутрь еще не проникло. Очевидно, что усреднение коэффициентов а и (х вдоль радиуса колец приводит к принципиально

неправильному развитию физического процесса. Далее рассматривается моделирование электромагнитного процесса, когда слои экрана учитываются непосредственно в конечноэлементной сетке.

В п. 3.1.3 рассматриваются результаты математического моделирования, для решения трехмерной задачи использовалась постановка с потенциалами

как напрямую, так и на основе технологии выделения нормального поля.

Для оценки сходимости конечноэлементных решений задача была решена напрямую (без выделения нормального поля) на трех вложенных сетках. Характеристики построенных сеток приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1

Параметры сеток_

Тип сетки Число степеней свободы

Грубая сетка 46820

Подробная сетка 348390

Самая подробная сетка 2363261

В качестве нормального поля было выбрано решение двумерной задачи, расчетная область которой представляет сечение трехмерной задачи в плоскости г = 0. При таком выборе нормального поля источники тока в задаче на аномалию являются бесконечно длинными вдоль оси Ог. Для того чтобы учесть их конечную длину, необходимо дополнительно решить следующую задачу: расчетная область этой задачи полностью совпадает с исходной областью задачи, а токовые обмотки геометрически представляют собой разность между бесконечно длинными обмотками и обмотками исходной задачи. Ток в таких обмотках задается в обратном направлении относительно направления тока в задаче на вычисление нормального поля. Тогда искомое решение трехмерной задачи будет составлять сумму трех полей: нормальное поле, аномальное поле и поле от задачи с «обратными» обмотками.

Исследования показали, что аномалия в точках измерения на плоскости £ — 0 мм не превышает 5%, в точках измерения на плоскости г = 25 мм достигает 15%, при 2 = 50 мм уровень аномалии составляет 50%, а при z = 75 мм может превышать 100%.

Учитывая, что в плоскости г = 0 мм аномалия составляет низкий процент от нормального поля, решение трехмерной задачи в этой плоскости фактически должно совпадать с решением двумерной задачи. Полученные результаты показывают, что решение трехмерной задачи прямым методом на грубой сетке отличается от нормального поля на 12%, на подробной сетке на 4%, на самой подробной сетке на 1.5%. При этом решение с выделением поля даже на грубой сетке получено с погрешностью, не превышающей 0.1% относительно нормального поля. Полученные результаты доказывают сходимость конечно-элементных решений с дроблением сеток к наиболее точному - нормальному полю.

В точках измерения при х = 25 мм погрешность трехмерного решения, полученного без разделения полей, на грубой сетке не превышает 12%, на под-

робной 4%, на самой подробной 2%. Погрешность решения с выделением поля на грубой сетке не превышает 0.5%.

В плоскости г = 50 мм получены измерения на грубой сетке с погрешностью 14%, на подробной 5% и на самой подробной 4%, различие с решением на грубой сетке с использованием технологии выделения поля составляет 2%.

Такие результаты моделирования объясняются следующим: поскольку в качестве нормального поля было выбрано решение двумерной задачи в плоскости г = 0, а трехмерная задача до с < 50 мм имеет достаточно хорошее двумерное приближение, то точность расчета, а, следовательно, и измеренных характеристик в этой области выше, чем в точках при ~ > 50 мм, где аномалия трехмерной задачи значительно выше. В таблице 3.2 показано, что при .г > 50 мм технология выделения нормального поля уступает по точности решению задачи напрямую, результаты приведены в процентах относительно решения без разделения полей на самой подробной конечноэлементной сетке.

Таблица 3.2

Измерения дЪ^/дх в плоскости л = 75 мм

Погрешность решения, %

Решение прямым методом на грубой сетке 25

Решение прямым методом на подробной сетке 10

Решение с выделением поля на грубой сетке 80

Решение с выделением поля на подробной сетке 50

В п. 3.1.4 приведены результаты моделирования электромагнитного процесса в исходной многослойной конструкции экрана с учетом зависимости

„(Н).

В п. 3.2 в качестве примера эффективного моделирования нестационарных электромагнитных процессов в областях, содержащих шихтованные материалы, рассматривается модельная задача индукционного нагрева. На рис. 3.4 приведен фрагмент моделируемого устройства, предназначенного для «спекания» тонких пластинок электротехнической стали, разделенных слоями лака, в единый шихтованный материал. Нагрев выполняется от стабилизированного источника тока на промышленной частоте (50 Гц).

Тепловое поле в конструкции описывается уравнением теплопроводности

Р ср^.-йь(\дгас1Т) = /1 (3.1)

где Т - неизвестная температура, р - плотность, ср - теплоемкость, X - теплопроводность, / - объемная плотность источников тепловыделения. Плотность источников тепловыделения / определяется через модуль Е напряжено

ности электрического поля Е как / = сЕ .

Следовательно, решение задачи индукционного нагрева можно представить в виде двух связанных задач: тепловой и электромагнитной; связь осуще-

ствляется как по соответствующим коэффициентам уравнений (в общем случае магнитная проницаемость |х и электрическая проводимость а зависят не только от индукции поля, но и от температуры), так и по правой части уравнения (3.1).

В рамках данной работы рассмотрим только этап моделирования электромагнитного поля. Для упрощения будем полагать, что коэффициенты магнитной проницаемости и электрической проводимости не зависят ни от магнитного, ни от теплового поля.

Пусть внешний магнит выполнен из ферромагнитной стали с коэффициентом относительной магнитной проницаемости Д = 2000. Шихтованный материал состоит из стальных пластинок толщиной 2 мм, доля лака между пластинками составляет 3% от общего объема, направление шихтовки совпадает с осью Оу. Относительная магнитная проницаемость «спекаемых» пластинок (1 = 2000, удельная прово-,6

Шихтованный материал

I

Магнит

Рис. 3.4. Трехмерное изображение конструкции моделируемого устройства

димость а = 3.3 -10и См/м Для моделирования электромагнитного поля будем использовать вычислительную схему на основе векторного потенциала и скалярного магнитного потенциала. Целью моделирования является демонстрация возможности решения задачи с учетом задания в шихтованном материале анизотропных свойств магнитной проницаемости и электрической проводимости. Сравнение результатов решения задачи с анизотропными коэффициентами будем проводить с результатами решения задачи, в которой шихтованный материал задан полностью с учетом всех пластинок.

Число пластинок железа в шихтованном материале составляет 60 штук, межслоевых прослоек лака - 59 штук. Число неизвестных в СЛАУ для конеч-ноэлементных сеток, на которых проводились расчеты, показано в таблице 3.3. Также в таблице 3.3 приводятся результаты вычисления мощности теплового источника (для единичного полного тока в обмотках). Для расчета мощности

1

использовалась следующая формула: Р = — где V -

область, занимаемая шихтованным материалом.

Результаты исследований показывают, что задание единого материала с анизотропными коэффициентами вместо шихтованного материала позволяет сократить вычислительные затраты в 4-5 раз, при этом разница между решениями составляет от 1 до 2%.

Таблица 3.3

Измерения мощности теплового источника _

Число степеней свободы Мощность, Вт

Решение задачи с наличием слоев шихтовки в сетке 203787 5.881е-009

Решение задачи с наличием слоев шихтовки в сетке на подробной сетке 346438 5.896е-009

Решение задачи с анизотропными коэффициентами 44575 5.9963е-009

Решение задачи с анизотропными коэффициентами на подробной сетке 337984 5.952е-009

Глава 4. Подсистемы программного комплекса TELMA для

моделирования магнитостатических полей

В четвертой главе рассматриваются задачи моделирования магнитостати-ческих полей в практических задачах, для моделирования используется разработанная подсистема токовых обмоток COILEDITOR.

В п. 4.1 описывается подсистема COILEDITOR, которая является частью объектно-ориентированного конечноэлементного комплекса TELMA, включает в себя определенный набор токовых обмоток и обладает удобным пользовательским интерфейсом (см. рис. 4.1).

Подсистема реализована на языке С++ и является Windows-приложением, для отображения заданной конструкции используется графическая библиотека OpenGL. Подсистему условно можно разделить на графический препроцессор (интерактивное Windows-приложение) и вычислительную часть (модули расчета напряженности магнитного поля).

В п. 4.2 приводятся алгоритмы вычисления напряженности магнитного поля, создаваемого токовыми обмотками. При решении задач магнитостатики с использованием полного и неполного потенциалов напряженность магнитного поля в однородном пространстве вычисляется по закону Био-Савара [9].

В п. 4.3 и п. 4.4 рассматривается использование подсистемы COILEDITOR на примере решения двух практических задач: моделирование магнитостатических полей в квадрупольной линзе и моделирование магнито-статических полей в косинусных магнитах, в которых поле формируется в основном специальной системой обмоток. И в той, и в другой задачах конфигурация поля в апертуре ускорителя заряженных частиц крайне чувствительна к выбору геометрии обмоток и величине тока. Поэтому к разработанной подсистеме COILEDITOR предъявляются высокие требования как с точки зрения точности вычисления напряженности магнитного поля токовых обмоток, так и с точки зрения точного описания конфигурации обмоток.

Рис. 4.1. Окно подсистемы СОГЬЕОГГСЖ. Система обмоток для косинусного магнита

При проектировании подобных магнитных систем, как правило, используют следующий критерий: квадрупольная линза будет иметь хорошую фокусировку при выполнении условия В^Вд ~ 10~4 (В2 и В10 - вторая и десятая

косинусные гармоники поля). Поэтому отдельной задачей при моделировании являлась задача подбора таких параметров токовых обмоток, чтобы выполнился заданный критерий.

Моделирование для полученной системы обмоток проводилось на трех рабочих токах. На основании приведенных в диссертации результатов моделирования можно утверждать, что подобранные параметры магнитной системы обеспечивают выполнение критерия о допустимой фокусировке магнитного поля в квадрупольной линзе.

Заключение

Основные результаты проведенных в диссертационной работе исследований заключаются в следующем:

1. Разработаны и реализованы вычислительные схемы с использованием смешанных конечноэлементных сеток для решения трёхмерных нестационарных задач электромагнетизма с совместным использованием векторных и узловых конечных элементов, а также с совместным

использованием векторных конечных элементов и скалярных граничных элементов. Проведены исследования эффективности этих вычислительных схем для моделирования электромагнитных полей в технических устройствах, содержащих как подобласти с высокой проводимостью, так и непроводящие подобласти.

2. Исследованы возможности учёта шихтованного материала как материала с анизотропными коэффициентами магнитной проницаемости и электрической проводимости при численном моделировании. Показано, что при существенном влиянии скин-эффектов использование анизотропных коэффициентов приводит к существенным погрешностям в результатах моделирования.

3. Проведены исследования эффективности применения технологии выделения главной части поля при решении ряда модельных и практических задач. По результатам исследований выбраны эффективные методы и проведено трехмерное компьютерное моделирование электромагнитных процессов в магнитном экране, проектируемом для системы выпуска пучка заряженных частиц.

4. В рамках программного комплекса ТЕЬМА реализована подсистема задания токовых обмоток СОПЛЮШЖ. Подсистема обладает удобным интерфейсом задания геометрии катушек, содержит основные типы токовых обмоток и при необходимости может быть расширена. С использованием разработанного программного обеспечения проведена оптимизация геометрии обмоток для двух разновидностей квадрупольной линзы.

Основные публикации по теме диссертация

1. Ступаков И. М. Об учете источников электромагнитного поля в совместном методе конечных и граничных элементов / И. М. Ступаков, М. М. Корсун, М. Э. Рояк // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. - СПб: Изд-во СПбГУ ИТМО, 2010. -№ 5 (69). - С. 67-71 (из перечня ВАК).

2. Корсун М. М. Об использовании граничных элементов при моделировании электромагнитных процессов с существенным влиянием вихревых токов / М. М. Корсун, И. М. Ступаков, М. Э. Рояк // Научный вестник Новосибирского государственного технического университета. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. -№ 2 (39). - С. 100-109 (из перечня ВАК).

3. Корсун М. М. Вычислительные схемы моделирования нестационарных задач электромагнетизма / М. М. Корсун, М. Э. Рояк // Труды шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара. - 2009. - Ч. 2. - С. 76-79.

4. Корсун М. М. Моделирование нестационарных трёхмерных электромагнитных полей в задачах ускорительной физики / М. М. Корсун, М. Э. Рояк // Материалы XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам, Алушта. - М. : Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2009.-С. 215-218.

5. Корсун М. М. Применение технологии выделения поля при конечноэле-ментном моделировании квадрупольной линзы / М. М. Корсун, А. Н. Игнатьев, М. Э. Рояк // Научно-технический вестник Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики. - СПб : Изд-во СПбГУ ИТМО, 2008. - Т. 55. - С. 61-70 (из перечня ВАК).

6. Корсун М. М. О моделировании динамики заряженных частиц в магнитном поле ускорителей / М. М. Корсун // Сборник научных трудов Новосибирского государственного технического университета. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2007. -№4 (50).-С. 51-57.

7. Корсун М. М. Методы повышения точности выдачи характеристик электромагнитных полей, являющихся пространственными производными конечно-элементного решения / М. М. Корсун, М. Э. Рояк // Материалы восьмой международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения». - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2006. - Т. 6. - С. 68-72.

8. Корсун М. М. Вычисление характеристик электромагнитного поля, являющихся производными конечноэлементного решения / М. М. Корсун, М. Э. Рояк // Материалы Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникации». - Новосибирск: СибГУТИ, 2006. - Т. 1. - С. 170-172.

9. Корсун М. М. Разработка алгоритмов вычисления напряженности поля токовых обмоток в программном комплексе МАБТАС / М. М. Корсун, И. М. Ступаков // Материалы Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука Технологии Инновации». - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2006. - Ч. 1. - С. 100-102.

10. Корсун М. М. Разработка модулей сглаживания трехмерных решений / М. М. Корсун, М. Э. Рояк // Материалы Всерос. науч. конф. молодых ученых «Наука Технологии Инновации». Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2005. - Ч. 1. - С. 140-142.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. Карла Маркса, 20, тел. (383)346-08-57 формат 60x84/16, объем 1.5 пл., тираж 100 экз., заказ №1712, подписано в печать 18.11.2010 г.

Содержание.

Введение.

Глава 1. Вычислительные схемы моделирования нестационарных трехмерных электромагнитных полей.

1.1. Модель с совместным использованием вектор-потенциала электромагнитного поля и скалярного потенциала магнитного поля.

1.1.1. Вариационная постановка для модели с разрывным векторным и скалярным потенциалами.

1.1.2. Конечноэлементная дискретизация для модели с разрывным векторным и скалярным потенциалами.

1.2. Модель, основанная на совместном использовании метода конечных и граничных элементов.

1.3. Модель с совместным использованием напряженности магнитного поля и скалярного потенциала магнитного поля.

1.4. Технология выделения поля в модели с совместным использованием векторного и скалярного потенциалов магнитного поля.

1.5. Анализ вычислительных схем.

1.5.1. Решение осесимметричной задачи.

1.5.2. Решение задачи с наличием дефекта в объекте.

1.6. Выводы.

Глава 2. Реализация вычислительных схем векторно-скалярного типа.

2.1. Конечноэлементная аппроксимация на скалярных элементах.

2.1.1. Прямая призма.

2.1.2. Пятигранник.

2.1.3. Прямоугольный параллелепипед.

2.1.4. Шестигранник.

2.1.5. Прямая призма с четырехугольным основанием.

2.2. Конечноэлементная аппроксимация на векторных элементах.

2.2.1. Прямая призма.

2.2.2. Прямоугольный параллелепипед.

2.2.3. Шестигранник, пятигранник, прямая призма с четырехугольным основанием.

2.2.4. Особенности согласования векторных базисных функций на смешанных сетках

2.3. Условия сопряжения на поверхности двух подобластей.

2.4. Вклады от нормального поля для постановок с совместным использованием векторного и скалярного МКЭ.

2.5. Программная реализация вычислительных схем.

2.6. Выводы.

Глава 3. Моделирование электромагнитных полей в задачах ускорительной физики

3.1. Моделирование нестационарного электромагнитного поля в конструкции системы выпуска пучка заряженных частиц.

3.1.1. Переход к решению задачи с упрощенной конструкцией экрана.

3.1.2. Учет анизотропных коэффициентов в постановке с потенциалами (А,

3.1.3. Результаты моделирования электромагнитных полей в задаче с упрощенной конструкцией экрана.

3.1.4. Моделирование электромагнитных процессов с учетом нелинейности материалов и сложной конструкции экрана.

3.2. Моделирование нестационарного магнитного поля в задачах, содержащих подобласти с шихтованными материалами.

3.2.1. Результаты моделирования.

3.3. Выводы.

Глава 4. Подсистемы программного комплекса ТЕЬМА для моделирования магнитостатических полей.

4.1. Описание подсистемы токовых обмоток СОПЛЮГГСЖ.

4.1.1. Графический препроцессор.

4.1.2. Основные типы обмоток подсистемы СОШЕВПХЖ.

4.1.3. Структура подсистемы С01ЬЕВ1Т011.

4.2. Вычисление напряженности магнитного поля токовых обмоток.

4.2.1. Математическая постановка.

4.2.2. Особенности программной реализации процедуры вычисления напряженности магнитного поля.

4.3. Моделирование магнитного поля в квадрупольной линзе.

4.4. Моделирование магнитного поля в косинусном магните.

4.5. Выводы.

При разработке конструктивных элементов ускорителей заряженных частиц необходимо рассматривать большое количество вариантов для выбора наилучшей конструкции, что, как правило, удается с большими временными, материальными и энергетическими затратами. Поэтому современное проектирование сложных технических установок во многом определяется степенью эффективности предварительного математического моделирования, суть которого заключается в детальном анализе различных физических процессов [58, 59, 65].

В области ускорительной физики к самым распространенным можно отнести задачи: моделирования трёхмерных магнитостатических полей с возможностью задания сложной геометрии устройства, нелинейных и анизотропных свойств материалов; исследования динамики заряженных частиц в магнитном поле [16, 38, 39, 43, 44, 46, 48, 71, 72, 80, 93, 118, 126, 127, 130-132]. Решением перечисленных задач успешно занимаются известные зарубежные программные комплексы такие, как АШУ8, ОРЕЯАЗБ, БЕМЬДВ [9, 20, 42, 69, 78, 95, 122]. В качестве основного метода моделирования в этих программных комплексах используется метод конечных элементов (МКЭ), а в качестве основной математической модели электромагнитного поля используется система уравнений Максвелла [35,36,41,55, 68, 87, 89, 90, 97-99, 112, 115, 116, 119, 121].

За последнее десятилетие моделирование нестационарных электромагнитных процессов получило наибольшее развитие в задачах геоэлектроразведки (поиск нефтегазоносных слоев, залежей угля и других ископаемых) и волновых процессов (моделирование СВЧ устройств, выбор оптимальных конструкций антенн и пр.) [45, 46, 51, 66, 81, 85, 86, 88, 108, 110, 124, 125, 128]. Для решения таких задач могут применяться как указанные выше универсальные программные пакеты, так и разрабатываемые для решения конкретной проблемы узконаправленные программные комплексы (например, ЭР-ГЭЛ, (^шскЛУауе, С8ТМ\У8, ЕЕ^) [54, 120].

Для решения новых нестандартных задач зачастую требуется такой инструментарий, которого универсальные программные комплексы не имеют в наличии. Поэтому большинство проектировщиков-исследователей вынуждены проводить «приближенное» компьютерное моделирование с использованием, например, двумерных расчетов. Стоит отметить, что существует достаточно много развитых программных комплексов для моделирования двумерных нестационарных задач электромагнетизма, среди зарубежных можно выделить COMSOL, FLUX 2D, среди российских ELCUT (QuickField) [9].

Моделирование трёхмерных задач, в которых необходимо достаточно точно учитывать влияние вихревых токов на изучаемый физический процесс, представляет особую сложность [22, 26, 104, 105]. В области ускорительной физики к таким задачам можно отнести: оценку времени выхода циклотрона на стационарный режим (фактически нужно отслеживать время затухания вихревых токов), моделирование схем экстракции, в которых используются импульсные магниты [2, 52]. При изучении таких процессов методы моделирования должны, прежде всего, обладать высокоточными вычислительными схемами.

В настоящее время для решения таких задач предлагаются подходы с использованием элементов векторного типа [21, 23, 28, 56, 37]. Эти методы основаны на применении специально организованных векторных базисов, которые позволяют строить аппроксимации математических моделей как в терминах естественных векторных переменных, так и в терминах потенциалов. Такие методы хотя и существенно расширяют класс решаемых задач, но имеют серьёзные проблемы при наличии в трёхмерной расчётной области непроводящих подобластей. В работах [3, 106, 107] рассматриваются математические модели, основанные на использовании в проводящих подобластях векторного МКЭ, а в непроводящих подобластях - скалярного МКЭ. Предлагаемый подход позволяет в непроводящем пространстве описать физический процесс скалярным потенциалом, что не только делает матрицу конечноэлементной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) невырожденной, но и существенно сокращает её размерность.

В большинстве программных комплексов методом повышения точности конечноэлементного решения является использование элементов с криволинейными границами и высоким порядком аппроксимирующих функций. Криволинейные элементы дают возможность точно моделировать поле на кривых поверхностях и получать более высокую точность даже при грубой дискретизации сетки [10, 13, 14, 17, 19, 30, 32, 34, 50, 53, 91], а иерархические базисы позволяют локально повышать порядок базисных функций.

В работах [67, 94] авторами используются вычислительные схемы, основанные на представлении решения в виде суммы полей. Часто при моделировании трехмерных физических процессов искомое поле имеет достаточно хорошее приближение, получаемое как решение другой, возможно, двумерной, задачи, которое можно получить с более высокой точностью, чем требуется от решения исходной задачи. В том случае, когда разница решений рассматриваемых задач составляет не более 10-15%, можно построить более эффективные как в плане вычислительных затрат, так и в плане точности расчетные схемы. В этих схемах ставится задача на нахождение разницы полей, являющихся решением двух рассматриваемых задач, причем требования к точности решения такой задачи существенно ослабляется в силу того, что разница является достаточно малой по сравнению с искомым решением. Технология с разделением полей реализована в программном комплексе МАЭТАС [38, 39], предназначенном для моделирования магнитостатических полей, точность получаемых результатов на основе такой технологии превосходит точность решения, получаемого, например, в ОРЕЯАЗВ.

Наряду с использованием МКЭ, при моделировании нестационарных электромагнитных процессов в некоторых работах зарубежных исследователей, например, в [18, 29, 41] предлагается использовать метод граничных элементов (МГЭ). Безусловно, к преимуществам этого метода можно отнести значительное упрощение алгоритмов построения сеток, поскольку в нём нет необходимости проводить дискретизацию внутри области, а также возможность естественным образом учитывать неограниченные подобласти. Однако применение метода граничных элементов в чистом виде для моделирования нестационарных электромагнитных процессов затруднительно из-за необходимости использования векторного потенциала в проводящих областях и возможной зависимости коэффициентов уравнения от искомого поля. Кроме того, получаемая в методе граничных элементов СЛАУ является плотной, что в условиях ограниченных вычислительных ресурсов может создавать дополнительные трудности.

В данной диссертационной работе рассматриваются и исследуются подходы к моделированию нестационарных электромагнитных полей, основанные на математических моделях с совместным использованием векторного и скалярного МКЭ, как напрямую (т.е. без выделения нормального поля), так и с учетом технологии разделения полей. Кроме решения задач традиционным для большинства программных пакетов методом конечных элементов, в дайной работе исследуется возможность моделирования электромагнитных процессов смешанным методом - методом конечных и граничных элементов. Все предлагаемые вычислительные технологии реализованы в программном комплексе ТЕЬМА.

Разработанные в данной диссертационной работе вычислительные схемы и их программная реализация позволяют создавать новые технологии моделирования электромагнитных процессов, необходимые на этапе проектирования элементов ускорительной техники, что в конечном итоге заметно ускоряет и удешевляет процесс проектирования технических устройств. Все это и определяет актуальность предлагаемой диссертационной работы.

Основной научной проблемой, решению которой посвящена данная диссертационная работа, является проблема численного моделирования трехмерных электромагнитных полей, формирующихся в основном за счет вихревых токов, в конструкциях с высоким контрастом магнитных проницаемостей и электрических проводимостей.

Цель исследования состоит в разработке новых и повышении эффективности наиболее часто используемых перспективных методов численного моделирования трёхмерных электромагнитных процессов в сложных трёхмерных областях и программных средств, реализующих эти методы.

Научная новизна

1. Разработаны вычислительные схемы с использованием смешанных ко-нечноэлементных сеток для моделирования нестационарных электромагнитных полей, которые в проводящих подобластях описываются дифференциальным уравнением в естественных переменных, а в непроводящих подобластях - дифференциальным уравнением относительно магнитного потенциала.

2. Разработана и реализована технология совместного использования метода конечных и граничных элементов для вычислительной схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей, описывающихся дифференциальными уравнениями на основе скалярного и векторного потенциалов.

3. Проведены исследования эффективности использования различных вычислительных схем при решении задачи моделирования слоистых магнитных экранов для проектирования ускорителей заряженных частиц.

4. Разработана и реализована вычислительная схема с использованием анизотропных коэффициентов магнитной проницаемости и электрической проводимости для моделирования нестационарных электромагнитных полей в технических устройствах с шихтованными материалами.

На защиту выносятся:

1. Результаты исследования эффективности вычислительных схем при решении задачи моделирования слоистых магнитных экранов для проектирования ускорителей заряженных частиц.

2. Объектно-ориентированная реализация вычислительной схемы с использованием смешанных конечноэлементных сеток и возможностью использования в непроводящих подобластях граничных элементов совместно с векторными конечными элементами в проводящих подобластях.

3. Результаты исследования эффективности вычислительной схемы с совместным использованием конечных и граничных элементов.

4. Результаты исследований возможности учёта шихтованного материала как материала с анизотропными коэффициентами магнитной проницаемости и электрической проводимости при решении практических задач.

5. Объектно-ориентированная реализация библиотеки токовых обмоток COILEDITOR в программном комплексе TELMA и полученные с её использованием результаты решения практических задач.

Практическая ценность работы и реализация результатов

Разработанные методы и алгоритмы реализованы в программном комплексе TELMA и могут применяться для решения сложных практических задач:

• моделирование многослойных магнитных экранов, используемых в системе экстракции пучка заряженных частиц из ускорительных установок;

• моделирование магнитостатических полей при анализе качества фокусировки квадрупольной линзы;

• моделирование магнитных систем, основанных на использовании косинусных магнитов.

Результаты диссертационной работы использовались при выполнении следующих хоздоговорных работ:

• «Конечноэлементные исследования магнитных полей дипольных магнитов HEBT и МЕВТ с учетом шихтованности и сложной геометрии» (2007 г., НИУ ИЯФ им Г. И. Будкера СО РАН).

• «Конечноэлементные исследования магнитных полей косинусных магнитов» (2009 г, НИУ им Г. И. Будкера ИЯФ СО РАН).

Достоверность результатов

Корректность вычислительных процедур, разработанных на основе математических моделей нестационарного электромагнитного поля, подтверждена следующими вычислительными экспериментами.

1. Корректность расчетов трехмерных нестационарных электромагнитных полей проверялась посредством сравнения решения осесимметричной задачи в трехмерной постановке с решением этой же осесимметричной задачи в двумерной постановке.

2. Точность расчетов нестационарного электромагнитного поля с использованием технологии выделения поля проверялась путем сравнения с решениями трехмерных задач на сетках с высоким уровнем подробности.

3. Корректность результатов, полученных вычислительными схемами, позволяющими заменить шихтованный материал материалом с анизотропными коэффициентами, проверялась в сравнении с серией расчетов трехмерной задачи, в расчетной области которой постепенно уменьшалась толщина шихтовки и, следовательно, увеличивалось число пластинок. При уменьшении толщины шихтовки решение задачи сходилось к решению задачи с анизотропными коэффициентами.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что исследованы различные вычислительные схемы для решения задач электромагнетизма в технических устройствах, содержащих слоистые материалы.

Личный вклад

Разработаны и программно реализованы конечноэлементные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей. Построенные численные процедуры протестированы, проведена оценка их точности и вычислительной эффективности. Выполнена верификация решения трехмерных задач.

Для использования в программном комплексе ТЕЬМА смешанных сеток автором реализованы пятигранные и шестигранные конечные элементы с линейными базисами скалярного и векторного типов.

Автором проведен анализ точности разработанных методов и алгоритмов, выполнено сравнение их вычислительной эффективности с другими подходами.

Все приведённые в диссертационной работе результаты численного моделирования получены с использованием программного комплекса ТЕЬМА, одним из разработчиков которого является автор.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены и докладывались на: Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (г. Новосибирск, 2005 и 2006 г.г.); Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникации» (г. Новосибирск, 2006 г.); Восьмой международной конференции Актуальные проблемы электронного приборостроения (г. Новосибирск, 2006 г.); XV Международной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (г. Москва, 2008 г.); XVI Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (г. Алушта, 2009 г.); Шестой Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 г.); V и VII Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых (г. Санкт-Петербург, 2008 и 2010 г.г.); XVII международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (г. Дубна, 2010 г.).

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 10 печатных работ, из них:

3 статьи в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ;

1 статья в сборнике научных трудов;

6 работ в сборниках трудов конференций.

Диссертационная работа выполнялась при финансовой поддержке федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников (132 наименования) и двух приложений. Работа изложена на 186 страницах, содержит 68 рисунков и 9 таблиц.

Основные результаты проведенных в диссертационной работе исследований заключаются в следующем:

1. Разработаны и реализованы вычислительные схемы с использованием смешанных конечноэлементных сеток для решения трёхмерных нестационарных задач электромагнетизма с совместным использованием векторных и узловых конечных элементов, а также с совместным использованием векторных конечных элементов и скалярных граничных элементов. Проведены исследования эффективности этих вычислительных схем для моделирования электромагнитных полей в технических устройствах, содержащих как подобласти с высокой проводимостью, так и непроводящие подобласти.

2. Исследованы возможности учёта шихтованного материала как материала с анизотропными коэффициентами магнитной проницаемости и электрической проводимости при численном моделировании. Показано, что при существенном влиянии скин-эффектов использование анизотропных коэффициентов приводит к существенным погрешностям в результатах моделирования.

3. Проведены исследования эффективности применения технологии выделения главной части поля при решении ряда модельных и практических задач. По результатам исследований выбраны эффективные методы и проведено трехмерное компьютерное моделирование электромагнитных процессов в магнитном экране, проектируемом для системы выпуска пучка заряженных частиц.

4. В рамках программного комплекса ТЕЬМА реализована подсистема задания токовых обмоток СОШЮГГОК. Подсистема обладает удобным интерфейсом задания геометрии катушек, содержит основные типы токовых обмоток и при необходимости может быть расширена. С использованием разработанного программного обеспечения проведена оптимизация геометрии обмоток для двух разновидностей квадрупольной линзы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Bangerth W. Using Modern Features of С++ for Adaptive Finite Element Methods: Dimension-Independent Programming in Deal II / W. Bangerth // Proceedings of the 16th IMACS World Congress 2000, Lausanne, Switzerland, 2000.

2. Bondarenko A.V. Beam extraction from a synchrotron through a magnetic shield / A.V. Bondarenlco, N.A. Vinokurov // Digest reports of the 17 International Synchrotron Radiation Conf., Novosibirsk (Budker INP).-2008. p.4-4.

3. Bossavit A. Whitney forms: a class of finite elements for three-dimensional computations in electromagnetism / A. Bossavit // IEE Proc., 135, Pt.A, 1988. -pp.493-500.

4. Bui T.D. Automatic mesh generation for finite element analysis / T.D. Bui, V.N. Hanh // Computing. Vol.44, 1990. - P.305-329.

5. Donescu P. A generalized object-oriented approach to solving ordinary and partial differential equations using finite elements / P. Donescu, T.A. Laursen //Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 22 (1996), pp. 93-107.

6. Dubois-Pelerin Y. Linear constraints in object-oriented finite element programming. / Y. Dubois-Pelerin, P. Pegon // Comput Meth Appl Mech Eng Vol.154 (1998), pp. 31-39.

7. ELCUT. Комплекс программ моделирования двумерных физических полей с помощью метода конечных элементов. НПКК «ТОР», Санкт-Петербург, 1994.

8. Frey W.H. Mesh relaxation: A new technique for improving triangulations / W.H. Frey, D.A. Field // Int. J. Num. Meth. Engng. Vol.31, 1991. - P. 1121-1133.

9. Frykestig J. Advancing front mesh generation techniques with application to the finite element method / J. Frykestig Goteborg, 1994. — 197p.

10. GeibenM. Numerical simulation of three-dimensional nonstationary compressible flow in complex geometries / M. Geiben // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Mechanik. Vol. 74, 1994. - P.421-422.

11. Grudiev A. Mathematical Simulation of 3-D Magnitostatic Fields Using the Complex of Programs MASTAC / A. Grudiev, M. Royak, E. Shurina, Yu Solovei-chik, M. Tiunov, P. Vobly // Abstracts of AMCA-95. Novosibirsk: NCC Publisher, 1995. — P. 131-132.

12. Heys J.J. Algebraic multigrid for higher-order finite elements / J.J. Heys, T.A. Manteuffel, S.F. McCormick, L.N. Olson // Journal of Computational Physics Vol.204 (2005) pp.520—532.

13. Hiptmair R. Boundary element methods for eddy current computation / R. Hiptmair // Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, n. 29, 2006. p. 213-249.

14. Jin-Fa Lee A note on the application of edge-elements for modelling three-dimensional inhomogeneously-filled cavities / Lee Jin-Fa, Mittra Raj // IEE Trans. Microwave Theory and Techniques, MTT-40, 1992. pp. 1767-1773.

15. Korobeynikov S.M. Surface conductivity at the interface between ceramics and transformer oil / S.M. Korobeynikov, A.V. Melekhov, Yu.G. Soloveitchik, M.E. Royak, D.P. Agoris, E. Pyrgioti // Journal Of Physics D: Applied Physics, 38 (2005).-pp. 915-921.

16. Kunthong Prapot An efficient solver for the high-order accurate time-discontinuous Galerkin (TDG) method for second-order hyperbolic systems / Prapot Kunthong, Lonny L. Thompson // Finite Elements in Analysis and Design, Vol. 41 (2005), pp.729-762.

17. Kurek K. Analysis of induction heating process in hot galvanizing line of steel sheets / K. Kurek, M. Niklewicz, W. Koszuta // Electromagnetic Fields in Me-chatronics, Electrical and Electronic Engineering, Proceedings of ISEF'06. V. 27. P. 364-369.

18. Langer U. Coupled Finite and Boundary Element Domain Decomposition Methods / U. Langer, O. Steinbach // Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, n. 29, 2006. p. 61 -96.

19. Lee C.F. A triangular-grid finite-difference time-domain method for electromagnetic scattering problems / C.F. Lee, B.J. McCartin, R.T. Shin, J.A. Kong // Journal of Electromagnetic Waves and Applications. Vol.8, l4, 1994. - P.449-470.

20. Mach M. Stirring of Liquid Steel in Crucible Induction Furnace / M. Mach, P. Karban, I. Dolezel, D. Trutwin // International Scientific Colloquium Modelling for Material Processing, Riga, June 8-9, 2006. P. 203-208.

21. Mackie R.I. Using objects to handle calculation control in finite element modeling / R.I. Mackie // Comput Struct, Vol. 80 (2002), pp. 2001-2009.

22. McKenna F.T. Object-Oriented Finite Element Programming: Frameworks for Analysis, Algorithms and Parallel Computing / F.T. McKenna // Ph.D. dissertation, University of California, Berkeley, 1997.

23. Moller P.W. Procedures in adaptive finite element analysis / P.W. Moller -Goteborg, 1994,-12 lp.

24. Nedelec J.C. A new family of mixed finite elements in1. R / J.C. Nedelec //

25. Numer. Math. №50, 1986 pp.57-81.

26. Nedelec J.C. Mixed finite elements in R3/ J.C. Nedelec // Numer. Math. №35, 1980-pp.315-341.

27. Rieben R.N. A high order mixed vector finite element method for solving the time dependent Maxwell equations on unstructured grids / R.N. Rieben, G.H. Rodrigue, D.A. White // Journal of Computational Physics vol.204 (2005) pp.490-519.

28. Schatz A.H. Mathematical theory of finite and boundary elements methods / A.H. Schatz, V. Thomee, W.L. Wendland Basel, Boston, Berlin: Birkhaeuser, 1990.-276p.

29. Soloveychik Y.G. Iterative method for solving finite element of algebraic equa-tions / Y.G. Soloveychik // Computers Math. Applic. Vol.33, 1996. - P. 8790.

30. Tanaka K. Adaptive mesh generation in three dimensional device simulation/ K. Tanaka, H. Kato, P. Ciampolini, A. Pierantoni, G. Baccarani // International

31. A. Chernyshev, M. Persova // Extended abstracts of 65th EAGE Conference & Technical Exhibition Stavanger, Norway, PI55, 2—5 June 2003.

32. Zagorodnov Igor TE/TM scheme for computation of electromagnetic fields in accelerators / Igor Zagorodnov, Thomas Weiland // Journal of Computational Physics, Vol. 207 (2005), pp.69-91.

33. Zupan D. On "A proposed standard set of problems to test finite element accuracy": the twisted beam / D. Zupan, M. Saje // Finite Elements in Analysis and Design Vol. 40 (2004) pp. 1445-1451.

34. Абрамов M.B. Программный комплекс решения трехмерных задач геоэлектроразведки ЭР-ГЭЛ / М.В. Абрамов, М.Г. Персова, Ю.Г. Соловейчик // Инновации в науке и образовании (Телеграф отраслевого фонда алгоритмов и программ). 2008. - № 9 (44). - С. 60-61.

35. Алямовский A.A. SolidWorks/COSMOSWorks. Инженерный анализ методом конечных элементов / А.А. Алямовский М.: ДМК Пресс, 2004. - 432 с.

36. Бакулин В.Н. Объектно-ориентированная реализация метода конечных элементов / В.Н. Бакулин, В.О. Каледин, Вл.О. Каледин, Е.В. Кузнецова,

37. B.В. Репинский // Математическое моделирование, т. 15, №2, 2003г. с.77-82.

38. Батраков A.M. Автоматизация технологического оборудования для термической обработки узлов физических установок / A.M. Батраков, Б.Р. Карымов, Д.С. Шичков: Новосибирск, 2003. —24 с.

39. Бондаренко A.B. Метод выпуска пучка из синхротрона с помощью многослойного медно-железного экрана: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / A.B. Бондаренко Новосибирск, ИЯФ им. Г.И. Будкера СО РАН, 2010.

40. Бубякин A.A. Об одном подходе к построению схем повышенного порядка точности в методе конечных элементов / A.A. Бубякин, Ю.М. Лаевский // Сибирский журнал вычислительной математики, Т. 7, 2004, с. 287-300.

41. Вабищевич П.Н. Операторно-разностные схемы для нестационарных задач электродинамики / П.Н. Вабищевич // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. I. — Новосибирск, Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004 С.426-431.

42. Домбровский В.В. Справочное пособие по расчету электромагнитного поля в электрических машинах / В.В. Домбровский — Л.: Энергоатомиздат, 1983.-256с.

43. Г.М. Тригубович // Труды IV международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-98 в 16 томах / том 3, «Научные основы высоких технологий». Новосибирск, НГТУ, 1998. — С.32-36.

44. Игнатьев А.Н. Выделение основной части поля при решении трехмерных нелинейных задач магнитостатики / А.Н. Игнатьев, М.Э. Рояк // Актуальные проблемы электронного приборо-строения. Материалы 8 междунар. конф. -Новосибирск, 2006. Т. 6. - С. 37-44.

45. Ильин В.П. Методы и технологии конечных элементов / В.П. Ильин — Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СОРАН, 2007. 371 с.

46. Каплун А.Б. ANSYS в руках инженера / А.Б. Каплун, Е.М. Морозов, М.А. Олферьева издательство "Эдиториал УРСС" , 2004 — 272 стр. Книга служит пособием для самостоятельного овладения программным комплексом ANSYS (продукт фирмы ANSYS Inc.).

47. Корсун М.М. О моделировании динамики заряженных частиц в магнитном поле ускорителей / М.М. Корсун // Сборник научных трудов Новосибирского государственного технического университета. Новосибирск. 2007. -№4(50).-С. 51-57.

48. Кулаев Ю.В. Программный комплекс JUMP для моделирования электромагнитных процессов / Ю.В. Кулаев, П.А. Курбатов — Электротехника, 2002, № 2, стр. 52-55.

49. Кулон Ж.-Л. САПР в электротехнике: Пер. с франц. / Ж.-Л. Кулон, Ж.-К. Сабоннадьер-М.: Мир, 1988. -208с.

50. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / Г.И. Марчук М.: Наука, 1989.-608с.

51. Марчук Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы / Г.И. Марчук, В.И. Агошков-М.: Наука, 1981. -416с.

52. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм: Учеб. пособие / А.Н. Матвеев -М.: Высш. школа, 1983. 463 с.

53. Молчанов И.Н. Основы метода конечных элементов / И.Н. Молчанов, Л.Д. Николаенко Киев: Наук, думка, 1989. -272с.

54. Нечаев О.В. Использование векторного метода конечных элементов для численного решения квазистационарных уравнений Максвелла /

55. О.В. Нечаев, Э.П. Шурина, М.П. Федорук // Вычислительные Технологии, Том 9, №5, 2004-с. 73-81.

56. Норри Д. Введение в метод конечных элементов / Д. Норри, Ж. де Фриз-М.: Мир, 1981. -304с.90.0бэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач / Ж.-П. Обэн М.: Мир, 1977. - 383с.

57. Петренко И.И. Решение больших задач МКЭ многосеточным методом в областях сложной формы / И.И. Петренко, C.B. Пуртов, А.И. Федосеев / Препринт №364 ИПМ АН СССР, Москва, 1988.

58. Препарата Ф. Вычислительная геометрия: Введение / Ф. Препарата, М. Шеймос М.: Мир, 1989. - 272с.

59. Рояк М.Э. Реализация и анализ вычислительных схем МКЭ при моделировании электромагнитных полей в сложных областях: Автореф. дис. . докт. техн. наук / М.Э. Рояк. — Новосибирск, НГТУ, 2007.

60. Рычков С.П. MSC.visual NASTRAN для Windows / С.П. Рычков издательство "HT Пресс" 2004 - 552 стр.

61. Рычков В.Н. Объектно-ориентированная параллельная распределённая система для конечно-элементного анализа / В.Н. Рычков, И.В. Красноперов, С.П. Копысов // Математическое моделирование, т. 14, №9, 2002г. с.81-86.

62. Сабоннадьер Ж.-К. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц. / Ж.-К. Сабоннадьер, Ж.-Л. Кулон М.: Мир, 1989. - 190 с.

63. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд М.: Мир, 1979.-392с.

64. Сильвестер П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков / П. Сильвестер, Р. Феррари М.: Мир, 1986. - 229с.

65. Соловейчик Ю.Г. Расчет трехмерного нестационарного электромагнитного поля с учетом вихревых токов / Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк // Сб. научных трудов НГТУ. -Новосибирск, НГТУ, 1996г., №3(5). -с.71-80.

66. Соловейчик Ю.Г. Совместное использование узловых и векторных конечных элементов для расчета трехмерных нестационарных электромагнитных полей / Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк // Сибирский журнал индустриальной математики. -2004. -Т.7. -№3(19)-С. 132-147.

67. Соловейчик Ю.Г. Моделирование нестационарных электромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов / Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк, B.C. Моисеев, Г.М. Тригубович // Изв. РАН, Сер.: Физика Земли.-№10, 1998. С.78-83.

68. Соловейчик Ю.Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач: Учеб. пособие / Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк, М.Г. Персова -Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007. 869 с.

69. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс -М.: Мир, 1977.-350 с.

70. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле М.: Мир, 1980.-512 с.

71. Пб.Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н.Тихонов, A.A. Самарский: Учеб. пособие. 6-е изд., испр. и доп. М.: Изд-во МГУ, 1999. -799 с.

72. Федоров А.И. Переменное электромагнитное поле в наклонно-анизотропной слоистой среде / А.И. Федоров, М.И. Эпов // Сибирский журнал индустриальной математики. -2000г. -т.4, №4. С. 119-131.

73. Филатов О.Г. Расчетные, проектные и технологические разработки термоядерных установок и реакторов типа токамак: Автореф. дис. . д. физ.-мат. наук / О.Г. Филатов Москва, 2009.

74. Хван Гван Ук Некоторые вопросы применения метода конечных элементов. Автореферат диссертации . канд. физ.-мат. наук / Хван Гван Ук -Санкт-Петербург, 1992 г.

75. Чернышев A.B. Вычислительные схемы и программное обеспечение решения прямых и обратных задач электромагнитного зондирования земли становлением поля: Автореф. дисс. . канд. техн. наук / A.B. Чернышев — Новосибирск, 2003.

76. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов / В.В. Шайдуров -М.: Наука, 1989.-288 с.122.1Иимкович Д.Г. Расчет конструкций в MSC/NASTRAN for Windows / Д.Г. Шимкович М.:ДМК Пресс, 2001. - 448 с.

77. Шурина Э.П. Математическое моделирование нестационарного электромагнитного поля дефектоскопа обсадных колонн / Э.П. Шурина, A.B. Гельбер, М.А. Гельбер, М.И. Эпов // Вычисл. технол., 2002, №6, стр.114129.

78. Шурина Э.П. О векторном методе конечных элементов для решения задач электромагнетизма / Э.П. Шурина, М.А. Гельбер // Сибирский журнал вычислительной математики, т.7, 2004, с.79-95.

79. Шурина Э.П. Моделирование электромагнитных полей в трехмерных областях / Э.П. Шурина, Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк // Вычислительные технологии. Новосибирск, Институт вычислительных технологий СО РАН, 1993, Т.2, №6 - с.48-53.

80. Шурина Э.П. Вычислительные схемы решения трехмерных нелинейных магнитостатических задач / Э.П. Шурина, Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк //

81. Тезисы докладов международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред". — Новосибирск, 1996 — С.529.

82. Шурина Э.П. Математическое моделирование физических полей, обусловленных локальными возмущениями / Э.П. Шурина, Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк //Вычислительные технологии. Т.З, №8, Новосибирск, ИВТ СО РАН, 1994.-С. 143-147.

83. Шурина Э.П. Моделирование физических полей в трехмерных объектах / Э.П. Шурина, Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк // Сопряженные задачи физической механики и экология: Тезисы докладов международной конференции. -Томск, 1994.

84. Шурина Э.П. Моделирование электромагнитных полей в трехмерных областях / Э.П. Шурина, Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк // Вычислительные технологии. Т.2, №6, Новосибирск, Институт вычислительных технологий СО РАН, 1993. — С.48-53.

85. Шурина Э.П. Особенности моделирования нелинейных физических процессов в трехмерных областях / Э.П. Шурина, Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк //Вопросы атомной науки и техники. Серия: Математическое моделирование физических процессов. -Вып.З, М.,1992-С.86-87.

86. Шурина Э.П. Решение трехмерных нелинейных магнитостатических задач с использованием двух потенциалов / Э.П. Шурина, Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк. Новосибирск. 1996. - 28с. (Препринт / РАН, Сиб. отд-ние. ВЦ; № 1070).