автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и реализация схем конечноэлементного моделирования геоэлектромагнитных полей для горизонтальной электрической линии

На правах рукописи

Абрамов Михаил Владимирович

РАЗРАБОТКА И РЕАЛИЗАЦИЯ СХЕМ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГЕОЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ ДЛЯ ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЛИНИИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 2008

003459753

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Соловейчик Юрий Григорьевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Фроловский Владимир Дмитриевич

доктор технических наук, профессор Могилатов Владимир Сергеевич

Ведущая организация:

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, г.Новосибирск

Защита состоится « 12 » февраля 2009 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.06 при Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет» по адресу: 630092, г.Новосибирск, пр. К. Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан < „екабря 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Чубич В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. При решении многих геофизических задач важное место занимают создание и исследование математических моделей геофизических явлений, использование этих моделей при интерпретации геофизических наблюдений, создание вычислительных систем обработки геофизической информации.

Одним из направлений разведочной геофизики является геоэлектроразведка. В задачах геоэлектроразведки моделируются электромагнитные поля, существующие в Земле в силу естественных (космических, атмосферных или физико-химических) процессов или созданные искусственно. Интенсивность и структура электромагнитных полей определяются электромагнитными свойствами среды (удельное электрическое сопротивление, поляризуемость, магнитная проницаемость), интенсивностью и видом источника, а также способами возбуждения (для искусственного поля). Последние бывают гальваническими, когда поле в Земле создают с помощью тока, пропускаемого через заземленные электроды; индуктивными, когда ток, проходя по незаземленному контуру, создает в среде электромагнитное поле за счет индукции; и смешанными (гальваническими и индуктивными).

В качестве математической модели электромагнитного поля используется система уравнений Максвелла. Система уравнений Максвелла является фундаментальной математической моделью, применяемой при описании всех макроскопических электромагнитных явлений, и устанавливает связь между компонентами электрического и магнитного полей, параметрами среды и сторонними источниками электромагнитного поля в форме системы векторных дифференциальных уравнений.

В настоящее время при решении дифференциальных уравнений, описывающих различные физические процессы, широко используется метод конечных элементов (МКЭ), как один из наиболее эффективных численных методов решения задач математической физики. Несмотря на то, что МКЭ с точки зрения реализации выглядит сложнее других численных методов, используемых при решении дифференциальных уравнений (например, метода конечных разностей, метода конечных объемов), он является более мощным и универсальным численным методом для решения задач, в которых расчетная область содержит геометрически сложные объекты, неоднородные по физическим свойствам. С математической точки зрения МКЭ является обобщением методов Ритца и Галеркина и поэтому может применяться к широкому классу уравнений или систем уравнений в частных производных.

Математическое моделирование в геоэлектроразведке применяют для решения таких задач, как анализ разрешающей способности различных методов, изучение закономерностей влияния параметров среды на измеряемое поле (прямые задачи), интерпретация полевых данных (обратные задачи), исследование характерных особенностей поведения поля в конкретных ситуациях.

Использование конечноэлементных пакетов общего назначения (например, РШХЗБ, ОРЕКАЗБ и др.) при решении задач геоэлектроразведки

приводит к существенным вычислительным затратам, необходимым для получения результата с нужной точностью. Такие программные пакеты к тому же имеют интерфейс, не очень удобный для решения задач геофизики, и ограниченные возможности автоматизации построения аппроксимирующих сеток, что также существенно затрудняет их использование в геоэлектроразведке.

В геоэлектроразведке существует большой класс задач, в которых изучается процесс становления электромагнитного поля. Для решения трехмерных задач геоэлектроразведки становлением поля с индукционным источником в виде токовой петли были предложены эффективные конечноэлементные вычислительные схемы, основанные на разделении искомого электромагнитного поля на нормальное поле горизонтально-слоистой среды, в которой решается двумерная (осесимметричная) задача в цилиндрической системе координат, и аномальное поле влияния трехмерных объектов. Это позволило существенно уменьшить вычислительные затраты и получать в итоге решение исходной трехмерной задачи с высокой точностью. В ряде работ эти вычислительные схемы были применены для решения трехмерных задач и с другими осесим-метричными источниками.

Довольно часто при проведении геофизических исследований структуры среды используется источник, называемый горизонтальной электрической линией (ГЭЛ). Так как нестационарное электромагнитное поле ГЭЛ в горизонтально-слоистой среде является трехмерным, т.е. все компоненты напряженности электрического и магнитного поля в любой системе координат являются функциями трех пространственных переменных, попытка применить МКЭ для моделирования процесса становления поля ГЭЛ без использования специальных процедур расчета поля в горизонтально-слоистой среде потребует для достижения нужной точности довольно больших вычислительных затрат и существенно затруднит использование трехмерных задач для проектирования электроразведочных работ и выполнения интерпретаций. Для ГЭЛ в работах Таба-ровского Л.А., Эпова М.И., Могилатова B.C. и др. предложены полуаналитические методы, позволяющие достаточно быстро получать характеристики поля в одной или небольшом количестве точек для горизонтально-слоистых сред. Однако, для получения характеристик поля в очень большом числе точек (что необходимо при решении трехмерных задач с выделением поля горизонтально-слоистой среды) применение полуаналитических методов, даже после их соответствующей доработки, будет уже не столь эффективным.

Для индукционного петлевого источника конечноэлементные вычислительные схемы, основанные на разделения поля, были реализованы в программном комплексе TELMA, однако его использование на практике затруднено тем, что пользователь кроме задания геоэлектрической модели должен выполнять довольно много действий для построения дискретизации расчетной области на конечные элементы. Это существенно увеличивает время подготовки задачи к расчету и ограничивает возможность использования программного комплекса на практике в геофизических организациях.

Чтобы использовать трехмерные расчеты для интерпретации практических данных, конечноэлементные сетки для решения трехмерных задач гео-

электроразведки должны строиться быстро и автоматически без участия пользователя. Поскольку расчетная область, как правило, представлена горизонтально-слоистой средой с включенными в нее параллелепипеидальными объектами, при дискретизации могут быть использованы параллелепипеидальные конечные элементы. Но использование регулярных параллелепипеидальных сеток приводит к значительным вычислительным затратам из-за наличия большого числа «лишних» узлов, образующихся в результате разрежения сетки к границам расчетной области и практически не влияющих на точность решения задачи. Поэтому для автоматического построения конечноэлементных сеток и сокращения вычислительных затрат при решении трехмерных задач геоэлектроразведки необходимо применять алгоритмы построения несогласованных сеток с удалением «лишних» узлов.

Данная диссертационная работа посвящена разработке и исследованию методов конечноэлементного моделирования электромагнитных полей, возбуждаемых ГЭЛ в трехмерных средах, с использованием технологии выделения поля и несогласованных конечноэлементных сетках. Вычислительные технологии реализованы в программном комплексе, предназначенном для решения практических задач геоэлектроразведки.

Предлагаемые в данной диссертационной работе вычислительные методы и их программные реализации позволяют разрабатывать новые эффективные технологии проведения полевых электроразведочных работ, оценивать возможность их применения в различных геоэлектрических условиях, тестировать измерительную аппаратуру и вырабатывать требования к ней, интерпретировать полевые данные. Все это и обеспечивает актуальность данной диссертационной работы.

Основной научной проблемой, решению которой посвящена данная диссертационная работа, является проблема численного моделирования электромагнитных полей ГЭЛ в сложных геоэлектрических условиях.

В диссертационной работе сформулированы две основные цели исследования, для достижения которых решается ряд задач.

Цели и задачи исследования

1. Быстрый расчет нестационарного электромагнитного поля ГЭЛ в горизонтально-слоистой среде. Для достижения этой цели необходимо решать следующие задачи:

- разработка вычислительных схем расчета поля ГЭЛ с использованием осе-симметричных источников;

- реализация конечноэлементных вычислительных схем моделирования нестационарных электромагнитных осесимметричных полей на несогласованных прямоугольных сетках.

2. Моделирование трехмерных нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

- разработка и программная реализация конечноэлементных вычислительных схем моделирования стационарного трехмерного магнитного поля ГЭЛ;

- программная реализация конечноэлементных вычислительных схем моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ с выделением поля горизонтально-слоистой среды;

- разработка методов и алгоритмов построения несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками.

Научная новизна

1. Предложены и разработаны конечноэлементные вычислительные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ в горизонтально-слоистой среде через набор осесимметричных источников.

2. Разработаны конечноэлементные вычислительные схемы моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ с выделением нормального поля на основе узлового и векторного МКЭ.

3. Реализованы конечноэлементные вычислительные схемы моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ на несогласованных комбинированных сетках с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов и произвольных шестигранников.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Математическая постановка и вычислительные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ в горизонтально-слоистых средах на основе решения осесимметричных задач позволяют существенно сократить вычислительные затраты.

2. Схемы расчета трехмерных нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ на несогласованных конечноэлементных сетках и на основе выделения поля горизонтально-слоистой среды дают возможность быстро и с необходимой точностью решать достаточно сложные практические задачи.

3. Использование несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками существенно ускоряет процедуры моделирования электромагнитных полей ГЭЛ без изменения точности получаемого решения.

Достоверность результатов

Адекватность построенных математических моделей и разработанных конечноэлементных вычислительных схем подтверждена следующими экспериментами:

1. Решение задачи в горизонтально-слоистой среде сравнивалось с результатами, полученными полуаналитическими методами.

2. Верификация решения трехмерных задач проводилась на горизонтально-слоистых моделях путем задания аномального объекта в виде слоя.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что предложены и теоретически обоснованы вычислительные схемы конечноэлементного моделирования становления поля ГЭЛ в различных геоэлектрических средах. Практическая значимость работы и реализация результатов Предлагаемые в данной работе конечноэлементные вычислительные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей реализованы в программном комплексе. Программный комплекс использовался при проекти-

ровании полевых электроразведочных работ и интерпретации полученных практических данных.

Личный вклад

Разработаны и программно реализованы конечноэлементные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ в горизонтально-слоистых и трехмерных средах. Построенные численные процедуры протестированы, на различных задачах проведена оценка их точности и вычислительной эффективности. Выполнена верификация решения трехмерных задач.

Разработан и программно реализован алгоритм построения несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками.

Проведен анализ точности разработанных методов и алгоритмов, выполнено сравнение их вычислительной эффективности с другими подходами.

В совместных публикациях автору принадлежат следующие результаты. В работе [12] автором были проведены расчеты трехмерных электромагнитных полей и оценка точности расчетов. В работах [4, 8, 11] автору принадлежат алгоритмы построения несогласованных сеток с параллелепипеидальными ячейками. В работах [6, 7, 9] автором были построены конечноэлементные сетки, проведены конечноэлементные расчеты электромагнитных полей.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2003г), международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004г), международном научно-техническом симпозиуме КОБШ8-2005 (Новосибирск, 2005г), Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2008г), Всероссийской молодежной научной конференции с участием иностранных ученых "Трофимуковские чтения - 2008" (Новосибирск, 2008г), научных семинарах НГТУ.

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 12 работ, из них 3 статьи в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендуемых ВАК, 4 работы в сборниках научных трудов, 4 работы в сборниках трудов конференций, 1 публикация в материалах Отраслевого фонда алгоритмов и программ (ОФАП).

Структура работы

Диссертационная работа изложена на 145 страницах, состоит из введения, 5 глав, заключения, списка использованных источников (114 наименований), приложения и содержит 66 рисунков и 16 таблиц. '

Основное содержание работы

В первой главе рассматривается метод моделирования нестационарного электромагнитного поля, возбуждаемого ГЭЛ в горизонтально-слоистой однородной по магнитной проницаемости среде, характеризующейся значениями а,

удельной проводимости и Ь] толщины слоев (1 - номер слоя), основанный на использовании осесимметричных источников.

Источник ГЭЛ может быть представлен в виде набора двумерных (осесимметричных) источников следующих трех типов. Это поверхностный заземленный радиальный (ЗР) источник, поверхностный незаземленный радиальный (НР) источник и источник в виде круговой незаземленной петли (НП). Источник ЗР представляет собой поверхностный радиальный ток, направленный из бесконечности в одну точку и стекающий из этой точки в проводящую среду (или наоборот, в зависимости от знака). По структуре он аналогичен круговому электрическому диполю (КЭД) и отличается от КЭД лишь тем, что поверхностный ток в нем задается на всей границе раздела земля-воздух. Источник ИР отличается от ЗР тем, что у него из центральной точки токи не стекают в среду. Источник ГЭЛ может быть представлен следующим образом: два ЗР с центрами в точках А и В (один «с минусом», другой «с плюсом») и индукционный комбинированный источник, состоящий из двух НР с центрами в точках А и В и токовой линии АВ, которая может быть аппроксимирована набором источников НП. Очевидно, два источника НР полностью компенсируют поверхностные радиальные токи обоих ЗР, оставляя от последних только токи, натекающие на электрод А из земли и стекающие с электрода В в землю. Эти токи вместе с током в линии АВ и образуют ГЭЛ.

В горизонтально-слоистой среде нестационарное поле для источника ЗР может быть вычислено в результате решения осесимметричной задачи для ф-компоненты напряженности Н магнитного поля. При этом значение Нф = Нф (г, г) при включенном в ЗР токе может быть найдено из решения краевой задачи для уравнения

-Ц1егасШ^ + -4-Н5ф=0, (1)

от2

с краевым условием

Чз,=±' С)

где I - полный ток в ГЭЛ, Г3_в - граница земля-воздух, и с однородными краевыми условиями на всех остальных, в том числе и удаленных границах расчетной области. После выключения тока функция Нф(г,г,1) может быть найдена из решения начально-краевой задачи для уравнения

+ = 0 (3)

с начальным условием

Нф(г,г,0) = Нф (4)

и однородными первыми краевыми условиями на всех границах расчетной области, включая границу Г3_в. Здесь а - проводимость среды, ц - коэффициент магнитной проницаемости.

Для источника НР поле может быть вычислено в результате решения осесимметричной задачи для г-компоненты вектор-потенциала А

_J_AAr+JTAr+o^ = 0 (5)

НО Ц()Г Öt

с начальным условием

Ar (r,z,0) = Ar(r,z), (6)

а правая часть А* в (6) может быть получена как решение эллиптического уравнения

-XAAi+-L.A?=J;5", (7)

Цо (IqT 2 яг

где I - полный ток в ГЭЛ (53"в - 5-функция, сосредоточенная на границе земля-воздух).

Для моделирования поля источника НП, у которого ненулевой является ф-компонента вектор-потенциала А, решается осесимметричная задача для уравнения

1 1 ЗА„

-Хда +_LA(p+cj-^ = 0 (8)

Но 0t

с начальным условием

А<р (r,z, 0) = Аф (г, z), (9)

правая часть А® которого является решением эллиптического уравнения

(10)

Но ц0г

В результате для горизонтально-слоистой среды затраты машинного времени на вычисление поля ГЭЛ в очень большом числе точек (104) и с погрешностью уровня 1-2% при изменении поля во времени на 4-5 порядков составляет 1.5-3 минуты на компьютере класса Intel Core 2 Duo 1.86GHz, причем при вычислении поля даже в 104 точках примерно 95% счетного времени тратится на решение трех осесимметричных задач и около 5% - на пересчеты осесим-метричных полей в точки исходной декартовой системы координат.

Во второй главе приведены математические модели и эквивалентные вариационные постановки для решения задач с источником ГЭЛ с выделением поля горизонтально-слоистой среды.

В математической постановке для узлового МКЭ при моделировании поля влияния аномальных трехмерных объектов используется система уравнений

—-ДА+ + о

5А+

+ gradV+J = (o-arc)Erc, (11)

-div^CTgradV+|- divfCT-^-l = -div^CT-crrcjErcJ, (12)

где а - проводимость среды с объектами, огс - проводимость вмещающей горизонтально-слоистой среды, р. - магнитная проницаемость, А+,У+- векторный магнитный и скалярный электрический потенциалы. В системе уравнений

(11), (12) напряженность нормального электрического поля Егс считается известной функцией, найденной при моделировании электромагнитного поля ГЭЛ в соответствующей горизонтально-слоистой среде.

Для векторного МКЭ используется уравнение

1го1(го1А+) + а^ = (а-агс)Егс, (13)

где А+- векторный магнитный потенциал и Егс также может быть получена при моделировании электромагнитного поля ГЭЛ в соответствующей горизонтально-слоистой среде.

Начальное значение А+'5 потенциала А+(т.е. А+| ^ = А+'5) определяется из решения эллиптической задачи для векторного уравнения

-1дА+>5 = -стёгас1У+'5 - (ст - агс )§га<1 Угс, (14)

т.е. для каждой компоненты А+'5 решается эллиптическое уравнение. Электрический потенциал V"1"'5 из правой части уравнения (14), полностью определяющий поле Е+'5 =-{5гас1У+'!1 влияния трехмерных объектов при включенном в ГЭЛ токе, может быть найден в результате решения эллиптического уравнения -<Цу(а^ааУ+'5) = -(«у((стгс -ст)ётааУгс). (15)

Потенциал же Угс, определяющий поле Егс = -цгас! Угс при включенном в ГЭЛ токе, удовлетворяет эллиптическому уравнению

-сПу(стгсёгас1У1С) = ;Г, (16)

где правая часть £ определяется двумя точечными источниками, т.е. является суммой двух 6-функций, сосредоточенных в точках А и В заземления электродов ГЭЛ. Распределение потенциала Угс может быть получено в результате решения осесимметричной эллиптической задачи с точечным источником в центре цилиндрической системы координат (т.е. поле Угс является суммой двух таких осесимметричных полей с центрами в точках А и В).

При использовании векторной постановки для расчета нестационарной задачи необходимо выполнить специальный пересчет поля, поскольку вектор-потенциал А+ в уравнениях (13) и (14) представляется в виде разложения по базисным функциям разного типа.

При моделировании трехмерного поля ГЭЛ без выделения поля горизонтально-слоистой среды с использованием узлового и векторного МКЭ (с нулевой правой частью в системе уравнений (11)—(12) и в уравнении (13)) в качестве начального условия для нестационарного процесса используется поле постоянного тока. Электрическое поле в среде определяется двумя точечными источниками (электроды А и В) и полностью может быть описано через электрический скалярный потенциал V5 краевой задачей для эллиптического уравнения -аЦовгас1У8) = ГА+Гв. (17)

Стационарное магнитное поле может быть получено из решения трех эллиптических уравнений для компонент А*, Ау и А| вектор-потенциала А*5:

Ц ох

Ц дг

где плотность тока, сосредоточенного в линии АВ (т.е. = I ■ б1*1®, где 8*®- сосредоточенная на линии АВ 5-функция).

Распределение компоненты А* может быть получено в виде двух составляющих А^ = Ах'ДВ + Ах'у> где Ах'у может быть найдено аналогично Ау и А| как решение уравнения

а значения Ах'ЛВ могут быть вычислены в любой точке (х,у,г), не лежащей строго на линии АВ, по формуле:

А^х,^)^^^^. (20)

Для верификации вычислительных схем решения трехмерных задач, основанных на выделении поля вмещающей среды, и без выделения поля (прямой метод), была рассмотрена горизонтально-слоистая среда с параметрами о1=0.1, Ь,=100, а2 =0.005, Ь2=400, о3= 0.02, Ь3=300, о4=0.0033, Ь4=700, ст5=0.001, Ь5=оо, в которой в качестве аномального объекта использовался слой толщиной 100м на глубине 500м с проводимостью а=0.2. Электромагнитное поле возбуждается единичным перепадом тока в ГЭЛ. Координаты электродов А и В -(-500, 0, 0) и (500,0, 0). Координаты измерителя Р=(0, 500, 0).

На рис. 1 для указанной точки приведены графики х-компоненты напряженности нормального (Е™) и суммарного (Е*) электрических полей, а также относительная погрешность конечноэлементного расчета Е*. Расчет был выполнен на грубой сетке (сетка 1) и на подробной сетке (сетка 2), характеристики этих сеток приведены в табл. 1. В результате конечноэлементная вычислительная схема, основанная на выделении поля горизонтально-слоистой среды, позволяет даже на не очень подробной сетке получить результат с хорошей точностью, при дроблении сетки погрешность расчета уменьшается, использование векторного МКЭ позволяет существенно сократить время решения задачи. По сравнению с прямым методом расчет с выделением поля даже при такой большой аномалии, как целый слой, позволяет на сетке со значительно (почти на порядок) меньшим числом узлов получить решение как минимум не с худшей точностью. Для достижения той же точности прямым методом на всем

рассматриваемом временном интервале необходимы более чем на порядок большие вычислительные затраты.

ю1 Ю2 Ю3 ^п") "

Рис. 1. Ех (слева) и относительная погрешность численного расчета (справа).

Таблица 1. Моделирование поля ГЭЛ для слоя.

Метод расчета, сетка Кол-во элементов Кол-во узлов/ребер (с учетом терминальных) Кол-во узлов/ребер (без учета терминальных) Время расчета двумерной задачи Время расчета трехмерной задачи Суммарное кол-во итераций при решении 3(1 СЛАУ

прямой, узловой МКЭ, сетка 1 14040 10920 11590 - 7т Пб 8780

прямой, узловой МКЭ, сетка 2 99715 87703 90136 - 11118т 13135

с разделением поля, узловой МКЭ, сетка 1 14040 10920 11590 1т40з 8т 75 10925

с разделением поля, узловой МКЭ, сетка 2 99715 87703 90136 2т 1Ь 26т 13976

прямой, векторный МКЭ, сетка 1 14040 42696 33416 - 2т 11698

прямой, векторный МКЭ, сетка 2 99715 301392 265512 - 46т 22590

с разделением поля, векторный МКЭ, сетка 1 14040 42696 33416 1т 40в 2т20Б 15519

с разделением поля, векторный МКЭ, сетка 2 99715 301392 265512 2т 52т 27389

В третьей главе приведены примеры решения трехмерных задач с источником ГЭЛ. Проанализированы точность и вычислительные затраты рассмотренных в предыдущей главе методов решения трехмерных задач.

В частности, была рассмотрена задача с глубинным рудным объектом (рис. 2). Электромагнитное поле возбуждается единичным перепадом тока в ГЭЛ АВ ( А = (-300, 0, 0) и В = (300, 0, 0) ). Координаты измерителя Р=(-200, 1200,0).

Численный расчет был выполнен на четырех конечноэлементных сетках, различных по уровню подробности (с номером сетки возрастает степень ее подробности), методом с разделением поля (на сетке 1) и прямым методом (на сетках 2, 3, 4). В табл. 2 приведены параметры использованных для расчетов сеток и время счета на них. Полученные результаты показывают, что для локального объекта конечноэлементная вычислительная схема, основанная на выделении поля горизонтально-слоистой среды, позволяет даже на довольно грубой сетке получить результат с хорошей точностью и намного (почти на три порядка) меньшими вычислительными затратами по сравнению с методом прямого расчета (рис. 3, табл. 2).

600м

В

Р.

ИЗ-50м

950м

700м

В

чЬ1=25м, р1=250мм

550м

чЬ2=40м, р2=2000мм

р=10м-м

1000м

7"

□>100м

Ьз=оо, рз=20000м м

а) план

б) разрез

Рис. 2. Геоэлектрическая модель с рудным объектом.

При решении данной задачи векторный МКЭ значительно уступает по времени счета узловому МКЭ. Это связано с тем, что поле уменьшается достаточно медленно на поздних временах (>10мс) и при решении задачи векторным МКЭ на этих временах существенно увеличивалось количество итераций, необходимых для решения СЛАУ.

Рис. 3. Е, (слева) и относительная погрешность численного расчета суммарного поля

(справа).

Таблица 2. Моделирование поля ГЭЛ для рудного объекта.

Метод расчета, сетка Кол-во элементов Кол-во узлов/ребер (с учетом терминальных) Кол-во узлов/ребер (без учета терминальных) Время расчета двумерной задачи Время расчета трехмерной задачи Суммарное кол-во итераций при решении 3с1 1 СЛАУ

с разделением поля, узловой МКЭ, сетка 1 2809 3790 2262 1т ЗОэ 35Б 2797

с разделением поля, векторный МКЭ, сетка 1 2809 11553 7260 1т ЗОб 1т 32171

прямой, узловой МКЭ, сетка 2 6208 7976 5016 - 4т 25э 11356

прямой, векторный МКЭ, сетка 2 6208 24387 16119 - 3т208 53712

прямой, узловой МКЭ, сетка 3 39288 45356 35154 - 41т 16063

прямой, векторный МКЭ, сетка 3 39288 137854 109356 - 1Ь5т 108072

прямой, узловой МКЭ, сетка 4 149620 165089 139313 - 21153т 22270

прямой, векторный МКЭ, сетка 4 149620 500312 427848 - 8Ь Ют 196522

В четвертой главе предложен алгоритм построения несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками для моделирования поля аномальных трехмерных объектов. Данный алгоритм позволяет эффективно удалять «лишние» узлы, не влияющие на точность решения задачи, а также автоматически строить конечноэлементные сетки по заданной геоэлектрической модели.

Построение несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными ячейками основано на алгоритме оптимизации прямоугольных сеток с использованием нестандартных элементов. Для этого дополнительно было введено понятие контура разрежения сетки с объединением элементов (рис. 4).

г 1 \

4\ «

к *

*

* N

\ 2

;

Рис. 4. Контур разрежения сетки с объединением элементов (1 - угловые элементы контура, 2 — сторона контура, 3 - удаленные части координатных линий, 4 - нестандартный элемент).

На базовую плоскость ХУ выносятся проекции всех трехмерных объектов. В данной плоскости строится регулярная прямоугольная сетка с локальными сгущениями ко всем объектам, после чего в ней удаляются «лишние» узлы путем построения контуров разрежения (рис. 5).

По оси Z узлы параллелепипеидальной сетки задаются с учетом границ объектов и горизонтальных слоев с разрежением при удалении от объектов. Затем сетка базовой плоскости ХУ тиражируется по оси Ъ. Далее определяется базовые плоскости Х2 и УЪ, на которые также выносятся проекции всех трехмерных объектов. В базовой плоскости Х2 строятся контуры разрежения, при этом по оси X границы контуров должны совпадать с границами контуров, построенных при оптимизации базовой плоскости ХУ. Таким образом, система контуров становится единой для базовых плоскостей, и сами контуры становятся проекциями параллелепипеидальных поверхностей разрежения сетки с объединением элементов. На основе построенных в базовой плоскости XZ контуров

при оптимизации сетки удаляются координатные линии. При этом удаляемая координатная линия, как и в случае базовой плоскости ХУ, вне рассматриваемого контура нигде не должна быть общей для элементов с разными физическими свойствами, то же самое условие должно выполняться для этого же контура (проекции этой же поверхности разрежения) и для соответствующей линии (линия расположена на том же уровне по оси 2) и в базовой плоскости ХЪ, дополнительным условием удаления координатной линии вне контура с какой-либо его стороны является возможность удаления ее с противоположной стороны. Тогда в параллелепипеидальной уже несогласованной сетке, полученной тиражированием несогласованной прямоугольной сетки базовой плоскости ХУ по оси Z, можно выполнить еще и удаление координатных линий в плоскостях Z=const вне построенных поверхностей разрежения, если для них эти линии были удалены в базовой плоскости

-900 -BOO -700-600 -500 -400 -300 .200-100 0 100 200 300 400 500 600 700 800Х

Рис. 5. Несогласованная сетка в базовой плоскости XY.

В полученной сетке осталось еще удалить лишние узлы над и под построенными параллелепипеидальными поверхностями разрежения. Для этого снова необходимо вернуться к несогласованной прямоугольной сетке в базовой плоскости ХУ. Для каждого контура (проекции параллелепипеидальной поверхности разрежения на плоскость ХУ), начиная с самого внутреннего, выполняются следующие действия. По координатным линиям, начинающимся и заканчивающимся на контуре, определяется плоскость (Х=сопз1, если линия направлена по У и У=сопб1, если по X), в которой лежит эта линия. В трехмерной сетке в этой плоскости будут удалены координатные линии вне данного контура. Т.е, линии будут удалены лишь над и под контуром, по бокам же контура этих линий не оказалось в результате тиражирования несогласованной прямоугольной сетки по оси Ъ. Если при таком удалении координатных линий в плоскости в трехмерной сетке где-либо происходит объединение элементов с разными фи-

зическими свойствами, удаление отменяется. Попытка удаления координатных линий в этой плоскости будет вновь выполнена после перехода на следующий контур (рис. 6).

В построенной данным способом несогласованной параллелепипеидаль-ной сетке присутствуют элементы с дополнительным узлом на каком-либо ребре, с дополнительными двумя узлами (и одним ребром) на какой-либо грани, с дополнительньми пятью узлами (и четырьмя ребрами) на какой-либо грани.

Рис. 6. Сечения несогласованной параллелепипеидальной сетки плоскостями У=соп81 (а), Х—сопб! (б).

Как правило, при оптимизации параллелепипеидальных сеток рассмотренным способом удается сократить число узлов и элементов в 4-6 раз по сравнению с регулярной сеткой. При этом образуется всего три вида нестандартных элементов (с точностью до поворота), что очень удобно при согласовании на таких сетках аппроксимирующих базисных функций с использованием Т-технологии.

Наиболее удобным способом построения комбинированной несогласованной сетки с параллелепипеидальными и шестигранными элементами, по крайней мере, в задачах геоэлектроразведки, является линейная деформация несогласованной параллелепипеидальной сетки. Для построения шестигранного объекта необходимо выбрать базовый параллелепипеидальный объект, деформированием которого и будет получен шестигранный. Далее, при построении шестигранного объекта деформация сетки выполняется и для окрестности объекта. Вне этой окрестности сетка остается параллелепипеидальной. Размеры окрестности определяются таким образом, чтобы деформация сетки не приводила к деформации геоэлектрической модели.

В пятой главе диссертационной работы представлен программный комплекс ЭР-ГЭЛ, разработанный для решения задач геоэлектроразведки с источником ГЭЛ. В отличие от существующих конечноэлементных пакетов (например, А№У8, ИДЛСЗО, ОРЕЯАЗП и др.) в программном комплексе используются специальные вычислительные схемы для выделения поля горизонтально-слоистой среды и последующего расчета добавочного поля трехмерных аномальных объектов. При решении задач геоэлектроразведки такие вычислительные схемы позволяют значительно сократить вычислительные затраты для получения результата с нужной точностью, т.к. часто основная часть поля - это поле горизонтально-слоистой среды, следовательно для расчета поля влияния аномальных объектов нужна уже не такая подробная трехмерная сетка, как в случае трехмерного моделирования без выделения поля горизонтально-слоистой среды. В последнем случае, как показывает практика, при использовании существующих конечноэлементных пакетов вычислительные затраты оказываются огромными, что существенно затрудняет применение этих пакетов.

Еще одним важным отличием программного комплекса является полностью автоматическое построение комбинированных несогласованных сеток, что позволяет сократить как время задания расчетной области, так и время расчета электромагнитного поля для заданной геоэлектрической модели.

Интерфейс графического препроцессора (рис. 7) программного комплекса ориентирован на пользователя-геофизика. Графический препроцессор программного комплекса предназначен для формирования геоэлектрических моделей при решении задач геоэлектроразведки и позволяет задавать геометрические и физические параметры слоев, параллелепипеидальных и шестигранных объектов, а также генераторные и измерительные установки. В препроцессоре также предусмотрены возможности определения уровня точности моделирования для оценки погрешности результата, сохранения исходной информации о расчетной модели, запуска вычислений.

ПппНгч! ОсоРгер

Р||р '/ГГ.. 14!] > ?Г

С & Ы 8 2|„1.

Т ¡игв _-_] "Я

|Проекцин~ХУ|

Главное меню

¡Проекция YZ |

А

Панель редактирования модели

. пу г.1

"I ' 'о(л От'гп

1' 100 »

г «п[

21 3100 100

Рчхпйл Ьоо г е мЬуЛу 150

£5 0Ь|ес*ш

Д^ Ое1 | ОлгЬцД

<Э

N | С } №те НсиЛМу, От*т|

о 1000 2000 ЭООО "000 4ООО 6000 7<*ю 0000 X .5000 и000 -3000 -2000 -<000 0 1000 2000 3000 4000 V

(Проекция |

О 1000 ЭООО ЭООО

4«Ю КЮО 6000 71ХО " есоо~х

|ЗР ПИЛ |

Строка состояния

\

I | ГТ4Х

о ш>

ЛМС ш

-И50|

£

К51сП

N«1

Я

а

Рис. 1. Основное окно графического препроцессора.

Основное окно графического препроцессора состоит из четырех графических окон и рабочей панели. В левом верхнем графическом окне изображается геометрия расчетной модели в проекции ХУ, в правом верхнем - в проекции YZ, в левом нижнем - в проекции в правом нижнем — ЗБ вид.

Пользователь может редактировать параметры слоев, устанавливая их толщину (м) и удельное сопротивление (Ом м); параметры объектов, включающие также удельное сопротивление, координаты (м) плоскостей, ограничивающих параллелепипеидальный объект, или вершин в случае шестигранного объекта. Для выбранного вида генератора существует возможность задать положение, ток (А), тип импульса, набор измерителей (точечный измеритель, измерительная линия).

Графическое изображение геоэлектрической модели предусмотрено в 2Б и ЗЭ проекциях, при этом для ее просмотра пользователь с помощью несложного управления может приближать, отдалять, перемещать, а в ЗБ еще и вращать модель вокруг любой координатной оси.

Все расчеты, запускаемые из графического препроцессора, сопровождаются демонстрацией индикаторов состояния вычислительных процессов, также пользователь может видеть приблизительное общее время расчета.

В качестве результата расчета программный комплекс формирует файлы, в которых сохраняется информация об изменении по времени характеристик электромагнитного поля (напряженность электрического поля и ЭДС) в измерителях.

Программный комплекс в настоящее время используется при проектировании полевых работ и при обработке практических данных.

Заключение

Основные результаты проведенных в диссертационной работе исследований заключаются в следующем.

1. Разработанный метод конечноэлементного моделирования нестационарного электромагнитного поля ГЭЛ в горизонтально-слоистой среде, основанный на представлении поля в виде суммы полей нескольких осесимметричных источников, позволил достаточно быстро и с высокой точностью вычислять искомое поле сразу во всей расчетной области, что дает возможность эффективно использовать метод выделения поля для решения трехмерных задач с источником в виде ГЭЛ.

2. Впервые для источника в виде ГЭЛ разработана вычислительная схема ко-нечноэлементных расчетов трехмерных нестационарных электромагнитных полей с выделением поля вмещающей горизонтально-слоистой среды. Сравнение этой схемы с прямым конечноэлементным расчетом трехмерных полей ГЭЛ показало ее высокую эффективность: сокращение времени счета при одинаковой точности составило в среднем два порядка.

3. Разработаны и реализованы схемы моделирования трехмерных полей ГЭЛ с использованием узлового и векторного МКЭ. Проведенные сравнения эффективности при использовании узловых и векторных базисных функций для мо-

делирования нестационарных полей ГЭЛ показали, что на одних и тех же сетках с ячейками в виде параллелепипедов и шестигранников при примерно одинаковой точности на ранних временах после выключения тока в ГЭЛ заметное преимущество по скорости счета имеет векторный МКЭ (до 3-5 раз), а на поздних временах - наоборот, узловой (до 2-3 раз).

4. Реализован алгоритм автоматического построения несогласованных конеч-ноэлементных сеток с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов и произвольных шестигранников. Использование нерегулярных несогласованных конечноэлементных сеток по сравнению с регулярными согласованными позволяет при сохранении точности конечноэлементного решения почти на порядок уменьшить вычислительные затраты при решении трехмерных задач за счет удаления «лишних» узлов сетки.

5. Разработанные методы и алгоритмы оформлены в виде программного комплекса ЭР-ГЭЛ, снабженного интерактивным графическим интерфейсом, позволяющим пользователю быстро и удобно задавать различные геоэлектрические модели, а также при интерпретации практических данных легко изменять параметры моделей, включая их геометрию.

6. Программный комплекс ЭР-ГЭЛ использовался для интерпретации данных при решении задачи поиска углеводородов в Томской области, при проектировании работ по поиску рудных объектов в Восточном Казахстане, для оценки возможностей технологий электроразведки в условиях шельфа.

Список публикаций по теме диссертации

1. Абрамов М.В. Конечноэлементное моделирование электромагнитного поля горизонтальной электрической линии / М.В. Абрамов // Научный вестник НГТУ. - 2008. - № 1 (30). - С. 3-10.

2. Абрамов М.В. Конечноэлементное моделирование электромагнитного поля горизонтальной электрической линии / М.В. Абрамов // Материалы Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций». - Новосибирск: СибГУТИ, 2008. - Том 1. - С. 25-28.

3. Абрамов М.В. Программный комплекс решения трехмерных задач геоэлектроразведки ЭР-ГЭЛ / М.В. Абрамов, М.Г. Персова, Ю.Г. Соловейчик // Инновации в науке и образовании (Телеграф отраслевого фонда алгоритмов и программ). - 2008. - № 9 (44). - С. 60-61.

4. Персова М.Г. Результаты комплексной интерпретации МТЗ и М-ЗСБ в окрестности параметрических скважин / М.Г. Персова, М.В. Абрамов, A.A. Белая, Н.И. Богуш // Материалы Всероссийской молодежной научной конференции с участием иностранных ученых "Трофимуковские чтения - 2008". - Новосибирск, 2008. - Том 2. - С. 252-254.

5. Абрамов М.В. Конечноэлементный расчет электромагнитного поля горизонтальной электрической линии в горизонтально-слоистой среде / М.В. Абрамов // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2007. - № 3 (49). - С. 35-40.

6. Персова М.Г. Проблемы и возможности электромагнитных площадных геофизических зондирований при использовании телеметрических систем реги-

страции данных / М.Г. Персова, Ю.Г. Соловейчик, Г.М. Тригубович, М.В. Абрамов, А.В. Зинченко // Автометрия. - 2007. - № 2. - Т.43 - С. 45-54.

7. Персова М.Г. О вычислении трехмерного нестационарного поля вертикальной электрической линии в удаленной обсаженной скважине / М.Г. Персова, Ю.Г. Соловейчик, Г.М. Тригубович, М.В. Абрамов, А.А. Заборцева // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2007.-№ 3 (31). — С. 114-127.

8. Персова М.Г. Об использовании ЗБ-моделирования при интерпретации данных МТЗ / М.Г. Персова, Ю.Г. Соловейчик, Г.М. Тригубович, Д.В. Шилак, М.В. Абрамов // Геофизические методы поисково-оценочных исследований. Сб. научных трудов. Новосибирск: Наука, 2007. - С. 98-110.

9. Абрамов М.В. О выделении поля при конечноэлементном моделировании нелинейных осесимметричных магнитных полей / М.В. Абрамов, М.В. Га-мадин, М.Г. Персова // Сб. науч. тр. НГТУ. - Новосибирск: НГТУ, 2007 - № 1 (47).-С. 93-98.

10. Абрамов М.В. Графический препроцессор для решения трехмерных задач геоэлектрики / М.В. Абрамов // Сб. науч. тр. НГТУ. - 2005. - № 4(42). - С. 39-44.

11. Soloveychik Y.G. Software for solution of 3D problems of electrical survey by transient electromagnetic field using finite elements method / Y.G. Soloveychik, M.G. Persova, D.V. Shilak, G.M. Trigubovich, M.V. Abramov // Proceedings of 9th Korea-Russia International Symposium on Science and Technology (KORUS-2005). - Novosibirsk, June 26-July 2, 2005, Russia. - P. 93-96.

12. Соловейчик Ю.Г. Конечноэлементное моделирование трехмерных электромагнитных полей с использованием edge-элементов на нерегулярных сетках / Ю.Г. Соловейчик, М.Э. Рояк, М.Г. Персова, М.В. Абрамов, А.Н. Селезнев // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. II - Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004. - С. 676-681.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20, тел. 346-08-57 формат 60x84/16, объем 1.5 п.л., тираж 100 экз., заказ № 92 подписано в печать 23.12.08г.

Введение

Глава 1. Конечноэлементное моделирование нестационарного электромагнитного поля ГЭЛ в горизонтально-слоистой среде

1.1. Математическая модель для расчета поля ГЭЛ

1.2. Анализ точности конечноэлементного расчета поля ГЭЛ

1.3. Анализ вычислительных затрат конечноэлементного расчета поля ГЭЛ

1.4. Выводы

Глава 2. Конечноэлементное моделирование нестационарного электромагнитного поля ГЭЛ в трехмерных задачах

2.1. Постановка для узлового МКЭ

2.2. Постановка для векторного МКЭ

2.3. Расчет начального поля при моделировании поля ГЭЛ с выделением поля горизонтально-слоистой среды

2.4. Расчет начального поля при моделировании поля ГЭЛ без выделения поля горизонтально-слоистой среды

2.5. Анализ точности конечноэлементного решения трехмерных задач с источником ГЭЛ

2.6. Выводы

Глава 3. Решение трехмерных задач электроразведки с источником ГЭЛ

3.1. Задача с центральным объектом

3.2. Задача со слабопроводящим объектом

3.3. Задача с субвертикальными шестигранными объектами

3.4. Задача с боковым вытянутым объектом

3.5. Выводы

Глава 4. Несогласованные конечноэлементные сетки

4.1. Построение несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными ячейками

4.2. Построение комбинированных несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками

4.3. Пример использования комбинированной несогласованной конечноэлементной сетки при решении задачи геоэлектроразведки

4.4. Выводы

Глава 5. Программный комплекс ЭР-ГЭЛ

5.1. Описание программных комплексов ОеоЕМ и ЭР-ГЭЛ, отличия от существующих аналогов

5.2. Структура программного комплекса ЭР-ГЭЛ

5.3. Графический препроцессор

5.4. Основные структуры данных

5.5. Пример работы с данными и результатами расчета в программном комплексе ЭР-ГЭЛ

5.6. Выводы 131 Заключение 132 Список использованных источников 134 Приложение

При решении многих геофизических задач важное место занимают создание и исследование математических моделей геофизических явлений, использование этих моделей при интерпретации геофизических наблюдений, создание вычислительных систем обработки геофизической информации [11, 12, 16, 19, 77, 90].

Одним из направлений разведочной геофизики является геоэлектроразведка [8, 13, 21, 28, 34, 36, 92, 93]. В задачах геоэлектроразведки моделируются электромагнитные поля, существующие в Земле в силу естественных (космических, атмосферных или физико-химических) процессов или созданные искусственно. Интенсивность и структура электромагнитных полей определяются электромагнитными свойствами среды (удельное электрическое сопротивление, поляризуемость, магнитная проницаемость), интенсивностью и видом источника, а также способами возбуждения (для искусственного поля). Последние бывают гальваническими, когда поле в Земле создают с помощью тока, пропускаемого через заземленные электроды; индуктивными, когда ток, проходя по незаземленному контуру, создает в среде электромагнитное поле за счет индукции; и смешанными (гальваническими и индуктивными) [37].

В качестве математической модели электромагнитного поля используется система уравнений Максвелла [26, 33, 88, 101]. Система уравнений Максвелла является фундаментальной математической моделью, применяемой при описании всех макроскопических электромагнитных явлений, и устанавливает связь между компонентами электрического и магнитного полей, параметрами среды и сторонними источниками электромагнитного поля в форме системы векторных дифференциальных уравнений.

В настоящее время при решении дифференциальных уравнений, описывающих различные физические процессы, широко используется метод конечных элементов (МКЭ), как один из наиболее эффективных численных методов решения задач математической физики [15, 18, 23, 35, 48, 49, 61-63, 67, 75, 99,

104-108, 102, 103]. Несмотря на то, что МКЭ с точки зрения реализации выглядит сложнее других численных методов, используемых при решении дифференциальных уравнений (например, метода конечных разностей, метода конечных объемов [25, 31, 32, 60]), он является более мощным и универсальным численным методом для решения задач, в которых расчетная область содержит геометрически сложные объекты, неоднородные по физическим свойствам. С математической точки зрения МКЭ является обобщением методов Рит-ца и Галеркина и поэтому может применяться к широкому классу уравнений или систем уравнений в частных производных [24, 70, 89].

Математическое моделирование в геоэлектроразведке применяют для 5 решения таких задач, как анализ разрешающей способности различных методов [22, 41, 42-47, 53-55], изучение закономерностей влияния параметров среды на измеряемое поле (прямые задачи [39, 51, 91, 94, 97, 109, 113]), интерпретация полевых данных (обратные задачи [7, 10, 40, 52, 72, 73, 95, 96, 98, 114]), исследование характерных особенностей поведения поля в конкретных ситуациях [1, 2, 9, 81-87].

Использование конечноэлементных пакетов общего назначения (например, АИЗУЗ, РШХЗБ, ОРЕЯАЗБ и др.) при решении задач геоэлектроразведки приводит к существенным вычислительным затратам, необходимым для получения результата с нужной точностью. Такие программные пакеты к тому же имеют интерфейс, не очень удобный для решения задач геофизики, и ограниченные возможности автоматизации построения аппроксимирующих сеток, что также существенно затрудняет их использование в геоэлектроразведке.

В геоэлектроразведке существует большой класс задач, в которых изучается процесс становления электромагнитного поля [14, 17, 20, 29, 30, 37, 57, 66, 78, 84]. Для решения трехмерных задач геоэлектроразведки становлением поля с индукционным источником в виде токовой петли в работах [64, 68, 69] были предложены эффективные конечноэлементные вычислительные схемы, основанные на разделении искомого электромагнитного поля на нормальное поле горизонтально-слоистой среды, в которой решается двумерная (осесим-метричная) задача в цилиндрической системе координат, и аномальное поле влияния трехмерных объектов. Это позволило существенно уменьшить вычислительные затраты и получать в итоге решение исходной трехмерной задачи с высокой точностью. В работах [53, 65] эти вычислительные схемы были применены для решения трехмерных задач и с другими осесимметричными источниками.

Довольно часто при проведении геофизических исследований структуры среды используется источник, называемый горизонтальной электрической линией (ГЭЛ). Так как нестационарное электромагнитное поле ГЭЛ в горизонтально-слоистой среде является трехмерным, т.е. все компоненты напряженности электрического и магнитного поля в любой системе координат являются функциями трех пространственных переменных, попытка применить МКЭ для моделирования процесса становления поля ГЭЛ без использования специальных процедур расчета поля в горизонтально-слоистой среде потребует для достижения нужной точности довольно больших вычислительных затрат и существенно затруднит использование трехмерных задач для проектирования электроразведочных работ и выполнения интерпретаций. Для ГЭЛ в работах [36, 76] предложены полу аналитические методы, позволяющие достаточно быстро получать характеристики поля в одной или небольшом количестве точек для горизонтально-слоистых сред. Однако, для получения характеристик поля в очень большом числе точек (что необходимо при решении трехмерных задач с выделением поля горизонтально-слоистой среды) применение полуаналитических методов, даже после их соответствующей доработки, будет уже не столь эффективным.

Для индукционного петлевого источника конечноэлементные вычислительные схемы, основанные на разделения поля, были реализованы в программном комплексе ТЕЬМА [58], однако его использование на практике затруднено тем, что пользователь кроме задания геоэлектрической модели должен выполнять довольно много действий для построения дискретизации расчетной области на конечные элементы. Это существенно увеличивает время подготовки задачи к расчету и ограничивает возможность использования программного комплекса на практике в геофизических организациях.

Чтобы использовать трехмерные расчеты для интерпретации практических данных, конечноэлементные сетки для решения трехмерных задач геоэлектроразведки должны строиться быстро и автоматически без участия пользователя. Поскольку расчетная область, как правило, представлена горизонтально-слоистой средой с включенными в нее параллелепипеидальными объектами, при дискретизации могут быть использованы параллелепипеидальные конечные элементы. Но использование регулярных параллелепипеидальных сеток приводит к значительным вычислительным затратам из-за наличия большого числа «лишних» узлов, образующихся в результате разрежения сетки к границам расчетной области и практически не влияющих на точность решения задачи. Поэтому для автоматического построения конечноэлементных сеток и сокращения вычислительных затрат при решении трехмерных задач геоэлектроразведки необходимо применять алгоритмы построения несогласованных сеток с удалением «лишних» узлов.

Данная диссертационная работа посвящена разработке и исследованию методов конечноэлементного моделирования электромагнитных полей, возбуждаемых ГЭЛ в трехмерных средах, с использованием технологии выделения поля и несогласованных конечноэлементных сетках. Вычислительные технологии реализованы в программном комплексе, предназначенном для решения практических задач геоэлектроразведки.

Предлагаемые в данной диссертационной работе вычислительные методы и их программные реализации позволяют разрабатывать новые эффективные технологии проведения полевых электроразведочных работ, оценивать возможность их применения в различных геоэлектрических условиях, тестировать измерительную аппаратуру и вырабатывать требования к ней, интерпретировать полевые данные. Все это и обеспечивает актуальность данной диссертационной работы.

Основной научной проблемой, решению которой посвящена данная диссертационная работа, является проблема численного моделирования электромагнитных полей ГЭЛ в сложных геоэлектрических условиях.

В диссертационной работе сформулированы две основные цели исследования, для достижения которых решается ряд задач. Цели и задачи исследования

1. Быстрый расчет нестационарного электромагнитного поля ГЭЛ в горизонтально-слоистой среде. Для достижения этой цели необходимо решать следующие задачи:

- разработка вычислительных схем расчета поля ГЭЛ с использованием осе-симметричных источников;

- реализация конечноэлементных вычислительных схем моделирования нестационарных электромагнитных осесимметричных полей на несогласованных прямоугольных сетках.

2. Моделирование трехмерных нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

- разработка и программная реализация конечноэлементных вычислительных схем моделирования стационарного трехмерного магнитного поля ГЭЛ;

- программная реализация конечноэлементных вычислительных схем моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ с выделением поля горизонтально-слоистой среды;

- разработка методов и алгоритмов построения несогласованных конечно-элементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками.

Научная новизна

1. Предложены и разработаны конечноэлементные вычислительные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ в горизонтально-слоистой среде через набор осесимметричных источников.

2. Разработаны конечноэлементные вычислительные схемы моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ с выделением нормального поля на основе узлового и векторного МКЭ.

3. Реализованы конечноэлементные вычислительные схемы моделирования трехмерных нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ на несогласованных комбинированных сетках с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов и произвольных шестигранников.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Математическая постановка и вычислительные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ в горизонтально-слоистых средах на основе решения осесимметричных задач позволяют существенно сократить вычислительные затраты.

2. Схемы расчета трехмерных нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ на несогласованных конечноэлементных сетках и на основе выделения поля горизонтально-слоистой среды дают возможность быстро и с необходимой точностью решать достаточно сложные практические задачи.

3. Использование несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепи-пеидальными и шестигранными ячейками существенно ускоряет процедуры моделирования электромагнитных полей ГЭЛ без изменения точности получаемого решения.

Достоверность результатов

Адекватность построенных математических моделей и разработанных для них конечноэлементных вычислительных схем подтверждена следующими экспериментами:

1. Решение задачи в горизонтально-слоистой среде сравнивалось с результатами, полученными полуаналитическим методом.

2. Верификация решения трехмерных задач проводилась на горизонтально-слоистых моделях путем задания аномального объекта в виде слоя.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что предложены и теоретически обоснованы вычислительные схемы конечноэлементного моделирования становления поля ГЭЛ в различных геоэлектрических средах.

Практическая значимость работы и реализация результатов

Предлагаемые в данной работе конечноэлементные вычислительные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей реализованы в программном комплексе. Программный комплекс использовался при проектировании полевых электроразведочных работ и интерпретации полученных практических данных.

Личный вклад

Разработаны и программно реализованы конечноэлементные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей ГЭЛ в горизонтально-слоистых и трехмерных средах. Построенные численные процедуры протестированы, проведена оценка их точности и вычислительной эффективности. Выполнена верификация решения трехмерных задач. Разработан и программно реализован алгоритм построения несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками. Проведен анализ точности разработанных методов и алгоритмов, сравнение их вычислительной эффективности с другими подходами.

В совместных публикациях автору принадлежат следующие результаты. В работе [71] автором были проведены расчеты трехмерных электромагнитных полей и выполнена оценка точности расчетов. В работах [52, 55, 112] автору принадлежат алгоритмы построения несогласованных сеток с параллелепипеидальными ячейками. В работах [5, 53, 54] автором были построены конечноэлементные сетки, проведены конечноэлементные расчеты электромагнитных полей.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2003г), международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004 (Новосибирск, 2004г), международном научно-техническом симпозиуме К01Ш8-2005 (Новосибирск, 2005г), Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2008г), Всероссийской молодежной научной конференции с участием иностранных ученых "Трофимуковские чтения - 2008" (Новосибирск, 2008г), научных семинарах НГТУ.

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 12 работ, из них 3 статьи в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендуемых ВАК, 4 работы в сборниках научных трудов, 4 работы в сборниках трудов конференций, 1 публикация в материалах Отраслевого фонда алгоритмов и программ (ОФАП).

Структура работы

Диссертационная работа изложена на 149 страницах, состоит из введения, 5 глав, заключения, списка использованных источников (114 наименований), приложения и содержит 66 рисунков и 16 таблиц.

5.6. Выводы

Программный комплекс ЭР-ГЭЛ применяется при решении трехмерных задач геоэлектроразведки для расчета процесса становления поля в горизонтально-слоистой вмещающей среде с трехмерными аномальными объектами. В качестве источника поля используется горизонтальная электрическая линия. Численное моделирование выполняется с использованием метода конечных элементов, с выделением поля горизонтально-слоистой среды и построением несогласованных конечноэлементных сеток.

Графический препроцессор программного комплекса ЭР-ГЭЛ, ориентированный на пользователя-геофизика, позволяет быстро подготовить для расчета геоэлектрическую модель, построение конечноэлементной сетки для модели выполняется полностью автоматически. Использование методик выделения поля и автоматическое построение несогласованных конечноэлементных сеток выгодно отличают программный комплекс от существующих программных пакетов численного моделирования электромагнитного поля.

Программный комплекс ЭР-ГЭЛ в настоящее время используется при проектировании полевых работ и при обработке практических данных.

Программный комплекс также использовался для интерпретации данных при решении задачи поиска углеводородов в Томской области, при проектировании работ по поиску рудных объектов в Восточном Казахстане, для оценки возможностей технологий электроразведки в условиях шельфа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам проведенных исследований можно заключить следующее.

1. Разработанный метод конечноэлементного моделирования нестационарного электромагнитного поля ГЭЛ в горизонтально-слоистой среде, основанный на представлении поля в виде суммы полей нескольких осесимметричных источников, позволил достаточно быстро и с высокой точностью вычислять искомое поле сразу во всей расчетной области, что дает возможность эффективно использовать метод выделения поля для решения трехмерных задач с источником в виде ГЭЛ.

2. Впервые для источника в виде ГЭЛ разработана вычислительная схема ко-нечноэлементных расчетов трехмерных нестационарных электромагнитных полей с выделением поля вмещающей горизонтально-слоистой среды. Сравнение этой схемы с прямым конечноэлементным расчетом трехмерных полей ГЭЛ показало ее высокую эффективность: сокращение времени счета при одинаковой точности достигает двух порядков.

3. Разработаны и реализованы схемы моделирования трехмерных полей ГЭЛ с использованием узлового и векторного МКЭ. Проведенные сравнения эффективности при использовании узловых и векторных базисных функций для моделирования нестационарных полей ГЭЛ показали, что на одних и тех же сетках с ячейками в виде параллелепипедов и шестигранников при примерно одинаковой точности на ранних временах после выключения тока в ГЭЛ заметное преимущество по скорости счета имеет векторный МКЭ (до 3-5 раз), а на поздних временах — наоборот узловой (до 2-3 раз).

4. Реализован алгоритм автоматического построения несогласованных конеч-ноэлементных сеток с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов и произвольных шестигранников. Использование нерегулярных несогласованных конечноэлементных сеток по сравнению с регулярными согласованными позволяет при сохранении точности конечноэлементного решения почти на порядок уменьшить вычислительные затраты при решении трехмерных задач за счет удаления «лишних» узлов сетки.

5. Разработанные методы и алгоритмы оформлены в виде программного комплекса ЭР-ГЭЛ, снабженного интерактивным графическим интерфейсом, позволяющим пользователю быстро и удобно задавать различные геоэлектрические модели, а также при интерпретации практических данных легко изменять параметры моделей, включая их геометрию.

6. Программный комплекс ЭР-ГЭЛ использовался для интерпретации данных при решении задачи поиска углеводородов в Томской области, при проектировании работ по поиску рудных объектов в Восточном Казахстане, для оценки возможностей технологий электроразведки в условиях шельфа.

1. Абрамов М.В. Конечноэлементное моделирование электромагнитного поля горизонтальной электрической линии // Материалы Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций». — Новосибирск: СибГУТИ, 2008. Том 1. - С. 25-28.

2. Абрамов М.В. Конечноэлементное моделирование электромагнитного поля горизонтальной электрической линии // Научный вестник НГТУ. — 2008. — № 1(30).-С. 3-10.

3. Абрамов М.В. Конечноэлементный расчет электромагнитного поля горизонтальной электрической линии в горизонтально-слоистой среде // Сб. науч. тр. НГТУ. 2007. - № 3(49). - С. 35-40.

4. Абрамов М.В. Графический препроцессор для решения трехмерных задач геоэлектрики // Сб. науч. тр. НГТУ. 2005. - № 4(42). - С. 39-44.

5. Абрамов М.В., Гамадин М.В., Персова М.Г. О выделении поля при конечно-элементном моделировании нелинейных осесимметричных магнитных полей // Сб. науч. тр. НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 2007 - № 1 (47). - С. 93-98.

6. Абрамов М.В., Персова М.Г., Соловейчик Ю.Г. Программный комплекс решения трехмерных задач геоэлектроразведки ЭР-ГЭЛ // Инновации в науке и образовании (Телеграф отраслевого фонда алгоритмов и программ). — 2008. -№9 (44).-С. 60-61.

7. Барашков И.С., Дмитриев В.И. Обратная задача глубинного зондирования квазислоистых сред // Методы математического моделирования и вычислительной диагностики. М., 1990. - С. 142-153.

8. Безрук И.А., Куликов A.B., Киселев Е.С. и др. Электроразведка в комплексе глубинных и поисковых геофизических работ //Геофизика, 1975.- № 5. -С. 23-30.

9. Бердичевский М.Н., Ваньян JI.JL, Кошурников A.B. Магнитотеллурические зондирования в Байкальской рифтовой зоне // Физика Земли, 1999. — №10. — С. 3-25.

10. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И. Обратные задачи магнитотеллурики в современной постановке // Физика Земли, 2004. №4. - С. 12-29.

11. Бердичевский М.Н., Дмитриев В.И., Голубцова Н.С., Мерщикова H.A., Пушкарев П.Ю. Магнитовариационное зондирование: новые возможности // Физика Земли, 2003. №9. - С. 3-30.

12. Березкин В. Н., Хавкина Д.Б. Физико-геологическое обоснование прямых поисков нефти и газа комплексом геофизических методов //Прикладная геофизика, 1982.-вып. 103.-С. 14-20.

13. Ваньян JI.JI. Основы электромагнитных зондирований. М.: Недра, 1965. -109 с.

14. Ваньян JI.J1. Становление электромагнитного поля и его использование для решения задач структурной геологии. Новосибирск: Наука, 1966. 102 с.

15. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. - 428 с.

16. Геофизические методы обнаружения нефтегазовых залежей на Сибирской платформе //Под ред. М.М. Мандельбаума, Б.И. Рабиновича, B.C. Суркова. -М.: Недра, 1983.- 128 с.

17. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М.: Мир, 1976. - 96 с.

18. Дмитриев В.И. Вычислительные математика и техника в разведочной геофизике. Справочник геофизика. М.: Недра, 1990. - 498 с.

19. Дмитриев В.И., Скугаревская O.A., Фролов П.П. Некоторые вопросы метода становления поля в ближней зоне. М.: Изд-во МГУ, 1973. 75 с.

20. Жданов М.С. Электроразведка: Учебник для вузов. М.: Недра, 1986. -316 с.

21. Жданов М.С., Спичак В.В. Математическое моделирование электромагнитных полей в трехмерно-неоднородных средах. М.: Наука, 1992. - 188 с.

22. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986.-318 с.

23. Ильин В.П. Методы и технологии конечных элементов. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СОРАН, 2007. - 371 с.

24. Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — 345 с.

25. Иродов И.Е. Основные законы электромагнетизма. — М.: Высшая школа, 1983.-279 с.

26. Каменецкий Ф.М. Электромагнитные геофизические исследования методом переходных процессов. М.: ГЕОС, 1997. - 162 с.

27. Каменецкая P.M., Каменецкий Ф.М., Мамаев В.А. и др. Применение аэроэлектроразведки методом переходных процессов при прогнозировании нефтеносных площадей // Изв. вузов. Геол. и разведка. 1988. - № 9.

28. Корольков Ю.С. Зондирование становлением электромагнитного поля для поиска нефти и газа. М.: Недра, 1987. - 116 с.

29. Корольков Ю.С. Эффективность электроразведочных методов при поисках нефти и газа. М., 1988. - 58 с.

30. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1980. -430 с.

31. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. -М.: Наука, 1981.-420 с.

32. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм: Учеб. пособие. М.: Высш. школа, 1983.-463 с.

33. Матвеев Б.К. Электроразведка: Учебное пособие для вузов. 2-е изд. пере-раб. и доп. - М.: Недра, 1990. - 368 с.

34. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. - 216 с.

35. Могилатов B.C. Импульсная электроразведка: Учеб. пособие // Новосибирск, 2002.-208 с.

36. Могилатов B.C. Индуктивный, смешанный и гальванический источники в электроразведке становлением поля // Изв. РАН. Сер.: Физика Земли. — 1997. -№ 12.-С. 42-51.

37. Могилатов B.C. Круговой электрический диполь — новый источник для электроразведки // Изв. РАН. Сер.: Физ. Земли, 1992. № 6. - С. 97-106.

38. Могилатов B.C. Об одном способе решения основной прямой задачи электроразведки ЗС // Геология и геофизика. 1993. — № 3. — С. 108-117.

39. Могилатов B.C. Развитие интерпретационных средств индуктивной импульсной электроразведки: Автореф. дисс. . канд. техн. наук. Новосибирск, ОИГГМ СО РАН, 1998.

40. Могилатов B.C., Балашов Б.П. Зондирование вертикальными токами (ЗВТ) // Физика Земли, 1994. — N 6. С. 73-79.

41. Могилатов B.C., Балашов Б.П., Секачев М.Ю. Геоэлектрические исследования методом зондирования вертикальными токами // Тез. докл. междунар. геофиз. конф. «300 лет Горно-геологической службе России», СПб, 2-6 окт. 2000.-С. 352-354.

42. Моисеев B.C., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Математическое моделирование сложнопостроенных сред // Сборник рефератов №2 Международной геофизической конференции и выставки по разведочной геофизике SEGEAGO. — М., 1993.-С. 15.

43. Моисеев B.C., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Тригубович Г.М. Математическое моделирование электромагнитных полей в сложных средах // Тез. докл. междунар. геофиз. конф. 10-13 июля 1995. СПб., 1995. Т.2., №18.4.

44. Молчанов И.Н., Николаенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. -Киев, 1989.-272 с.

45. Норри Д., Ж. де Фриз. Введение в метод конечных элементов. — М.: Мир, 1981.-304 с.

46. Персова М.Г. Моделирование нестационарных электромагнитных полей на нерегулярных прямоугольных сетках // Сб. науч. тр. НГТУ. 2002. - № 3(29). -С. 33-38.

47. Персова М.Г. Разработка и реализация методов конечноэлементного моделирования электромагнитных полей в задачах электроразведки: Автореф. дисс. . канд. техн. наук. Новосибирск, 2004.

48. Персова М.Г., Соловейчик Ю.Г., Тригубович Г.М., Шилак Д.В., Абрамов М.В. Об использовании ЗБ-моделирования при интерпретации данных МТЗ // Геофизические методы поисково-оценочных исследований. Сб. научных трудов. Новосибирск: Наука, 2007. С. 98-110.

49. Писсанецки С. Технологии разреженных матриц. М.: Мир, 1988. — 410 с.

50. Рабинович Б.И., Могилатов B.C. Становление поля погруженного вертикального магнитного диполя // Геология и геофизика. 1981. — № 3. — С. 88100.

51. Рояк М.Э. Реализация и анализ вычислительных схем МКЭ при моделировании электромагнитных полей в сложных областях: Автореф. дис. . докт. техн. наук. Новосибирск, НГТУ, 2007.

52. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г. Алгоритмы построения нерегулярных треугольных и тетраэдральных сеток // Сборник научных трудов НГТУ. — Новосибирск: НГТУ, 1996. №2(4). - С.39-46.

53. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Шурина Э.П. Сеточные методы решения краевых задач математической физики: Учебное пособие. — Новосибирск: Издательство НГТУ, 1998. 120 с.

54. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц. М.: Мир, 1989. - 190 с.

55. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. Москва: «Мир», 1979.-392 с.

56. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков М.: Мир, 1986. — 229 с.

57. Соловейчик Ю.Г. Вычислительные схемы МКЭ-моделирования трехмерных электромагнитных и тепловых полей в сложных областях: Автореф. дис. . докт. техн. наук. Новосибирск, НГТУ, 1997.

58. Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Тригубович Г.М. Математическое моделирование процесса становления осесимметричного поля вертикальной электрической линии // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2003. -Т. 6.-№2(14)-С. 107-125.

59. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Совместное использование узловых и векторных конечных элементов для расчёта трёхмерных нестационарных электромагнитных полей // Сибирский журнал индустриальной математики. — 2004. — Т. 7. № 3(19). - С. 132-147.

60. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C., Васильев A.B. Математическое моделирование на базе метода конечных элементов трехмерных электрических полей в задачах электроразведки // Физика Земли. 1997. — № 9. -С. 67-71.

61. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C., Тригубович Г.М. МКЭ-моделирование трехмерных нестационарных электромагнитных полей // Физика Земли. 1998. - № 10. - С. 78-84.

62. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Персова М.Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач // «Учебники НГТУ» Новосибирск: НГТУ, 2007. - 896 с.

63. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Тригубович Г.М., Чернышев A.B. Разработка системы интерпретации электромагнитных полей в задачах индукционной геоэлектроразведки // Доклады СО АН ВШ январь-июнь №1(5), 2002. -С. 105-114.

64. Соловейчик Ю.Г., Тригубович Г.М., Чернышев A.B., Рояк М.Э. Об одном подходе к решению трехмерной обратной задачи электромагнитного зондирования земли становлением поля // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. - Т.6, №1(13). - С. 138-153.

65. Соловейчик Ю.Г., Токарева М.Г., Персова М.Г. Решение трехмерных стационарных задач электроразведки на нерегулярных параллелепипеидальных сетках // Вестник ИрГТУ. Иркутск. 2004 г. - № 1. - С. 45-60.

66. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. — Москва: «Мир», 1977.-349 с.

67. Табаровский JI.A., Соколов В.П. Программа расчета нестационарного поля дипольных источников в горизонтально-слоистой среде (АЛЕКС) /В кн. Электромагнитные методы геофизических исследований. Новосибирск, 1982. — С. 57-77.

68. Тихонов А.Н., Глазко В.Б., Дмитриев В.И. Математические методы в разведке полезных ископаемых. М.: Знание, 1983. - 239 с.

69. Тихонов А.Н., Скугаревская O.A. О становлении электрического тока в неоднородной среде. II// Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1950. Т. XIV. № 4. -С. 281-293.

70. Токарева М.Г. Решение стационарных осесимметричных задач на нерегулярных прямоугольных сетках / Сб. науч. тр. НГТУ. — Новосибирск, 2002. — № 2(28) С. 79-88.

71. Токарева М.Г., Персова М.Г., Задорожный А.Г. Алгоритм оптимизации прямоугольных сеток для решения задач электроразведки // Сборник трудов НГТУ. 2002. - № 2(28). - С. 41-48.

72. Тригубович Г.М. Изучение ранней стадии переходного процесса // Российский геофизический журнал 1998 - №9-10 - С. 26-30.

73. Тригубович Г.М. Импульсная индуктивная электроразведка при исследовании сложно построенных сред: Автореф. дис. . докт. техн. наук. СПб, ВИРГ-Рудгеофизика, 1999г, 40 с.

74. Тригубович Г.М., Гаврилов В.П., Моисеев B.C. и др. Площадные зондирования становлением поля для труднодоступных районов // Российский геофизический журнал.- 1998.-№9-10.- С. 75-78.

75. Уэйт Дж. Р. Геоэлектромагнетизм: Пер. с англ. Ред. Пер. М.Н. Бердичев-ский. М.: Недра, 1987. - 235 с.

76. Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. — М.: Мир, 1988.-353 с.

77. Хмелевской В.К. и др. Геофизика: учебник. М.: КДУ, 2007. - 320 с.

78. Чернышев A.B. Вычислительные схемы и программное обеспечение решения прямых и обратных задач электромагнитного зондирования земли становлением поля: Автореф. дисс. . канд. техн. наук. Новосибирск, 2003.

79. Шейнман С.М. Современные физические основы теории электроразведки — Л.: Недра, 1969.-224 с.

80. Электроразведка: Справочник геофизика. В 2-х кн./ Под ред. В.К. Хмелев-ского, В.М. Бондаренко. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Недра, 1989 Кн.1. -438 е.; Кн.2. — 378 с.

81. Эпов М.И., Антонов М.Ю. Прямые задачи электромагнитных зондирований с учетом частотной дисперсии геоэлектрических параметров. // Физика Земли. 1999. - № 4. - С. 298-305.

82. Эпов М.И., Дашевский Ю.А., Ельцов И.Н. Автоматизированная интерпретация электромагнитных зондирований. Новосибирск, 1990. - 29 с. (Препр. / ИГиГ СО АН СССР).

83. Эпов М.И., Ельцов И.Н. Автоматизированная интерпретация оптимальных электромагнитных зондирований // Тез. докл. междунар. геофиз. конф. 10-13 июля 1995. СПб., 1995. Т.2.

84. Эпов М.И., Ельцов И.Н. Прямые и обратные задачи индуктивной геоэлектрики в одномерных средах. — Новосибирск, 1992. — 31 с. (Препр./ Объедин. ин.- геол., геофиз. и минерал. СО РАН).

85. Эпов М.И., Никитенко М.И. Система одномерной интерпретации данных высокочастотных индукционных каротажных зондирований // Геология и геофизика. 1993. - Т.34, №2. - С. 124-130.

86. Albanese R., Rubinacci G. Analysis of three-dimensional electromagnetic fields using edge elements // J.Comput.Phys. 1993. - Vol. 108. - P. 236-245.

87. Axelsson O. Iterative Solution Methods. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994.

88. Bossavit A. Computational Electromagnetism: Variational Formulations, Complementary, Edge Elements. — Academic Press (Boston), 1998.

89. Brenner S., Scott L.R. The Mathematical Theory of Element Methods. NY: Springer-Verlag, 1994.

90. Brezzi F., Fortin M. Mixed and Hybrid Finite Element Methods. NY: Springer, 1994.

91. Cavendish J.C., Field D.A. and Frey W.H. An approach to automatic three-dimensional finite element mesh generation. // Int. J. Num. Meth. Engrg. Vol. 21, 1985.-P. 329-347.

92. Cendes Z.J. Vector finite elements for electromagnetic field calculations // IEEE Trans. Magn. 1991. - Vol. 27. № 5 - P. 3958-3966.

93. Matthew N.O. Sadiku. Numerical techniques in electromagnetics. CRC Press LLC, 2001.о

94. Nedelec. J.C. A new family of mixed finite elements in R . In: Numer. Math., Vol. 50, 1986.-P. 57-81.

95. Nedelec. J.C. Mixed Finite Elements in R3. In: Numer. Math., Vol. 35, 1980. -P. 315-341.

96. Novosibirsk State Technical University. — Novosibirsk, Russia, 1999.- Vol.2, -P. 514-517.

97. Saad Y. Iterative Methods for Linear Systems. PWS Publishing, Boston, 1996.

98. Soloveychik Y.G. Iterative method for solving finite element of algebraic equations // Computers Math. Applic. Vol.33, 1996. - P. 87-90.