Разработка методов конечноэлементного моделирования трехмерных электромагнитных полей на неструктурированных сетках

Вагин, Денис Владимирович

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка методов конечноэлементного моделирования трехмерных электромагнитных полей на неструктурированных сетках

кандидата технических наук: Вагин, Денис Владимирович
город: Новосибирск
год: 2012
специальность ВАК РФ: 05.13.18

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Разработка методов конечноэлементного моделирования трехмерных электромагнитных полей на неструктурированных сетках»

Автореферат диссертации по теме "Разработка методов конечноэлементного моделирования трехмерных электромагнитных полей на неструктурированных сетках"

На правах рукописи

Вагин Денис Владимирович

РАЗРАБОТКА МЕТОДОВ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ НА НЕСТРУКТУРИРОВАННЫХ СЕТКАХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 6 йЮ/7 2012

Новосибирск - 2012

005046523

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор,

Соловейчик Юрий Григорьевич

Официальные оппоненты: Левин Владимир Евгеньевич, доктор

технических наук, доцент, Новосибирский государственный технический университет, заместитель заведующего кафедрой прочности летательных аппаратов

Злобинский Аркадий Владимирович, кандидат технических наук, ведущий программист, ООО «Научно-техническая фирма ЗаВеТ-ГЕО»

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки «Институт вычислительной математики и математической геофизики» Сибирского отделения Российской академии наук

Защита состоится «20» сентября 2012 г. в 12.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.173.06 при Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Новосибирский государственный технический университет» по адресу: 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета.

Автореферат разослан «3» июля 2012 года.

Ученый секретарь А! ^

диссертационного совета Чубич Владимир Михайлович

Общая характеристика работы

Одним из популярных, наиболее универсальных и зачастую наиболее эффективных методов численного моделирования электромагнитных полей является метод конечных элементов (МКЭ). Развитию данного метода и его использованию для решения задач электромагнетизма в последнее время было посвящено множество работ зарубежных и отечественных исследователей (A. Bossavit, В.П. Ильин, Ю.Г. Соловейчик, и др.).

Реальное моделируемое устройство или среда являются трехмерными и, как правило, неоднородными по своим электрическим и магнитным свойствам. Поэтому для получения достоверных результатов часто необходимо решать трехмерные задачи. При этом вычислительные затраты при решении многих важных для практики трехмерных задач, как правило очень велики. Существенно сократить вычислительные затраты на решение некоторых трехмерных задач позволяют так называемые квазитрехмерные подходы, использующие определенные упрощения математических моделей, описывающих трехмерные поля. Однако такие подходы во многих случаях не позволяют получить моделируемые поля с требуемой точностью. Значительно более мощным оказался метод, основанный на выделении части поля (Ю.Г. Соловейчик) - он позволяет многократно снизить вычислительные затраты без какого-либо искажения математической модели. Тем не менее, даже с применением технологии выделения поля для некоторых практических задач время счета оказывается очень большим, особенно если для получения результата требуется многократный расчет различных моделей. Логическим развитием данного метода стало многоэтапное выделение поля, позволившее еще значительнее ускорить решение наиболее сложных трехмерных задач.

Большой класс задач электромагнетизма связан с моделированием геоэлектромагнитных полей (В. JI. Друскин, М.С. Жданов, B.C. Могилатов, Б.С. Светов, М.И. Эпов, Alumbaugh D.L., М. Commer, М.Е. Everett, G.A. Newman и др.). Исследование таких полей как естественного, так и искусственного (т.е. возбуждаемых контролируемыми источниками) происхождения позволяет получить информацию о структуре проводимости изучаемой среды и некоторых других геоэлектрических характеристиках — например, поляризуемости. Основными методами геоэлектрических исследований являются методы постоянного тока (МПТ), становления поля (СП), магнитотеллурического зондирования (МТЗ), а также базирующийся на изучении протекающих в среде электрохимических процессов - метод вызванной поляризации (ВП) (Y. Li, D.W. Oldenburg, В.А. Комаров, В.В. Кормильцев, и др.). Главной целью геоэлектромагнитных исследований является восстановление характеристик среды по измеренным значениям электромагнитного поля в некоторых точках пространства, то есть решение обратной задачи (М.С. Жданов, B.C. Могилатов, М.Г. Персова, А.Н. Тихонов, М.И. Эпов и др.). В свою очередь, для решения обратной задачи необходимо

многократное решение прямых задач. Поэтому в работах, посвященных решению различных задач электроразведки, очень много внимания уделяется созданию методов и алгоритмов быстрого решения именно прямых трехмерных задач.

При использовании МКЭ вычислительная сложность решения задачи определяется, главным образом, размером и свойствами матрицы конечноэлементной СЛАУ, т.е. зависит, в основном, от дискретизации расчетной области и вида используемых базисных функций. Здесь определенные преимущества (перед конечными элементами в виде прямоугольных параллелепипедов или тетраэдров) имеют шестигранные конечные элементы, сочетающие в себе возможности достаточно хорошей аппроксимации решения (как у параллелепипеидальных элементов) с хорошими возможностями описания сложных границ расчетной области (как у тетраэдральных элементов).

При создании программных комплексов, ориентированных на пользователей, являющихся специалистами в определенной прикладной области, очень важна максимальная автоматизация всех этапов решения задачи, в том числе процесса дискретизации расчетной области. Помимо того, что это избавляет пользователей, не являющихся специалистами в области вычислительной математики, от необходимости выполнять несвойственную сфере их профессиональной деятельности (и довольно непростую) работу, это важно и с точки зрения эффективности расчета, так как от качества дискретизации во многом зависит и точность получаемых результатов. Между тем, наиболее популярные программы построения сеток или конечноэлементные пакеты, включающие в себя соответствующие подсистемы (ЫЕТСЕМ, АИБУБ), чаще всего требуют от пользователя достаточно квалифицированного участия в процессе дискретизации расчетной области.

Для некоторых типов задач автоматическое построение шестигранных сеток можно осуществлять непосредственным разбиением дискретизируемой области на шестигранные элементы. Однако при решении многих задач геоэлектрики более удобен другой подход, заключающийся в построении предварительной параллелепипеидальной сетки и ее последующей деформации. Такой подход обладает очень хорошим потенциалом для создания эффективных алгоритмов автоматической (без какого-либо участия пользователя) дискретизации расчетной области. Но для регулярных параллелепипеидальных сеток характерен следующий существенный недостаток - они содержат много «лишних» узлов, то есть узлов, не влияющих на точность решения, но приводящих к увеличению размерности конечноэлементной СЛАУ. Устранить этот недостаток позволяет использование несогласованных параллелепипеидальных сеток с так называемыми терминальными узлами.

Помимо качественной дискретизации, обеспечивающей необходимую точность (при небольших вычислительных затратах) отдельного расчета, общая

эффективность решения задачи в некоторых случаях может существенно зависеть от последующей обработки результатов соответствующих расчетов. Так происходит, например, при необходимости выдачи характеристик электромагнитного поля в виде производных полученного конечноэлементного решения. Еще более сложной является проблема получения характеристик поля в виде свертки решения довольно большого числа достаточно сложных задач -это необходимо делать, например, при численном моделировании полей вызванной поляризации на основе часто используемой феноменологической модели Cole-Cole (так называемой частотной дисперсии проводимости). В этом случае решение задачи сначала получают в частотной области, а затем переводят его соответствующим образом во временную область. Для этого необходимы специальные вычислительные процедуры, от эффективности которых во многом зависит эффективность решения всей задачи в целом, в том числе и значительное сокращение набора решаемых гармонических задач, и затраты на перевод решения из частотной области во временную.

Основной научной проблемой, решению которой посвящена данная диссертационная работа, является проблема разработки высокоэффективных методов численного моделирования электромагнитных полей, основанных на использовании различных вычислительных схем МКЭ и автоматизации алгоритмов построения сеток, и реализующих их программных комплексов.

Цели и задачи исследования

1. Моделирование процессов ВП в трехмерных средах на основании феноменологической модели Cole-Cole. Для этого были решены следующие задачи:

- разработаны методы моделирования трехмерных гармонических электромагнитных полей, с учетом зависимости проводимости поляризующихся объектов от частоты;

- разработаны алгоритмы перевода решения набора гармонических задач из частотной области во временную с минимизацией числа частот, на которых необходимо получать решения гармонических задач.

2. Построение трехмерных сеток в характерных для задач геоэлектромагнетизма ситуациях. Для достижения этой цели были решены следующие задачи:

- разработан алгоритм построения нерегулярных параллелепипеидальных сеток с удалением «лишних» узлов;

- исследованы возможности предобусловливания систем конечноэлементных уравнений с помощью неполного разложения Холесского при моделировании геоэлектромагнитных полей на несогласованных параллелепипеидальных сетках;

- разработаны методы и алгоритмы построения несогласованных параллелепипеидальных сеток для решения задач геоэлектромагнетизма по технологии многоэтапного выделения поля;

- разработаны алгоритмы построения шестигранных сеток при моделировании трехмерного нестационарного электромагнитного поля, порождаемого вихревыми токами в изолированных проводящих объектах;

— разработаны методы выдачи характеристик электромагнитного поля при его расчете на сетках с шестигранными конечными элементами.

Научная новизна

1. Разработан и реализован метод конечноэлементного моделирования трехмерных процессов ВП, основанный на численном решении трехмерных гармонических задач и частотной дисперсии проводимости среды с использованием технологии выделения поля.

2. Разработан и реализован метод построения несогласованных параллелепипеидальных и шестигранных сеток для решения задач геоэлектромагнетизма по технологии многоэтапного выделения поля.

3. Разработан алгоритм быстрой выдачи значений решения и его производных на шестигранном конечном элементе.

4. Разработан метод, позволяющий за счет специальной перенумерации базисных функций получать неполное разложение Холесского для матрицы конечноэлементной системы при аппроксимации эллиптического уравнения на сетках с терминальными узлами.

На защиту выносятся:

1. Конечноэлементные схемы моделирования трехмерных полей ВП, основанные на феноменологической модели Cole-Cole.

2. Методы построения несогласованных параллелепипеидальных и шестигранных сеток для решения различных задач электромагнетизма.

3. Метод построения несогласованных параллелепипеидальных и шестигранных сеток для технологии многоэтапного выделения поля.

4. Реализация разработанных методов в программном комплексе GeoEM и результаты его использования для решения задач геоэлектромагнетизма.

Достоверность результатов

1. Верификация разработанных вычислительных схем решения трехмерных задач геоэлектрики проводилась на горизонтально-слоистых моделях путем задания в качестве трехмерных объектов отдельных слоев.

2. Решение задач на несогласованных сетках с терминальными узлами сопоставлялось с результатами, полученными на согласованных сетках.

3. Правильность работы процедур перевода решения из частотной области во временную при реализации ЗБ-моделирования полей ВП по модели Cole-Cole проверялась на задачах моделирования нестационарных полей с заданным трехмерным распределением удельной проводимости в расчетной области.

4. Результаты моделирования полей ВП методом, основанным на модели Cole-Cole, сравнивались с результатами, полученными методом, основанным на задании ЭДС ВП (D.W. Oldenburg, B.C. Моисеев, Ю.Г. Соловейчик, и др.), а также с результатами, полученными другими авторами.

Практическая значимость работы и реализация результатов

Предлагаемые в данной работе методы построения трехмерных дискретизаций и конечноэлементные вычислительные схемы моделирования полей ВП реализованы в программных комплексах GeoEM, IPCC, EDEM-OB. Эти программные комплексы использовались при моделировании различных геоэлектромагнитных полей при проектировании полевых электроразведочных работ, интерпретации практических данных, и при решении задач инженерной геофизики.

Личный вклад

Лично автором разработаны и программно реализованы методы построения несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками. Проведен анализ точности получаемых конечноэлементных решений и вычислительной эффективности разработанных методов. Разработаны и программно реализованы алгоритмы ЗБ-моделирования полей ВП на основе модели Cole-Cole.

В совместных публикациях автору принадлежат следующие результаты. В работе [15] автору принадлежат алгоритмы построения несогласованных сеток с параллелепипеидальными ячейками. В работах [1-4,7,17-20] автором были проведены расчеты трехмерных электромагнитных полей и выполнена оценка точности расчетов. В работах [5,6,16] автором были построены конечноэлементные сетки, проведены конечноэлементные расчеты.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на Всероссийской школе-семинаре им. М.Н. Бердичевского и Л.Л. Ваньяна по электромагнитным зондированиям Земли (Санкт-Петербург, 2011г.), Российской научно-технической конференции «Наукоемкое программное обеспечение» (Новосибирск, 2011), Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2009, 2010 гг.), международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электроники и приборостроения» (Новосибирск, 2008, 2010 гг.), Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2008,2009 гг.).

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 20 работ, из них 7 статей в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендуемых ВАК, 2 работы в сборниках научных трудов и 11 работ в сборниках трудов конференций.

Структура работы

Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, списка использованных источников (122 наименования) и приложения. Общий объем диссертации - 162 страницы, в том числе 98 рисунков и 18 таблиц.

Основное содержание работы

Первая глава диссертационной работы посвящена конечноэлементным схемам моделирования трехмерных электромагнитных полей вызванной поляризации на основе феноменологической модели Cole-Cole. В ней приведены математические модели, эквивалентные вариационные постановки и дискретные аналоги. В главе приведены исследования и верификация разработанного метода, а также его сравнение с методом, базирующемся на задании ЭДС ВП.

Для нахождения нестационарного сигнала в виде ряда Фурье для некоторого набора частот со= со^о^,...,^ решается уравнение

rot—rotA + icoaA = JCT(co) , (1)

где А - это вектор-потенциал электромагнитного поля, связанный с векторами напряженности электрического поля и индукции магнитного поля соотношениями Е = —icoA и В = (J.H соответственно; JCT - это пространственное распределение вектора плотностей сторонних токов, возбуждающих электромагнитное поле, при его разложении в ряд Фурье по частотам со= cOj.a^,

При использовании технологии разделения поля на нормальную и аномальную составляющие вектора А и Е представляются в виде соответствующих сумм: А = Ап + Аа и Е = Е" + Еа. При численном моделировании геоэлектромагнитных полей в качестве нормального поля используется поле источника и горизонтально-слоистой среды (Ю.Г. Соловейчик), которое, можно получить через решение двумерных задач. А в качестве аномального поля используется добавочное поле трехмерных неоднородностей, для нахождения которого необходимо решать трехмерное уравнение

rot-rotAa+icoaAa =(ст-о")еп . (2)

R V '

Согласно модели Cole-Cole проводимость среды является комплексным числом, зависящим от частоты ю:

o = a(ico) = a„

1 —

(3)

1 + (1-П)(«от)^

Если комплексную проводимость с(1со) представить в виде суммы действительной и мнимой частей о(1со) = оКе(со) + 1ст1т((а) и обозначить

с(оо) = сКе(со) и е(со) = —о1т(со), то уравнение (2) преобразуется к виду

со

rot-rotAa + icoa(ffl) Аа -со2е(со) Аа = (a(co)- а" (со) + ico(e(co)-еп (со)))еп . (4)

Уравнение (4) может быть решено с использование векторного МКЭ. Для решение задач с помощью узлового МКЭ используется система уравнений

—^ЛАа + ^юа(ю)-ю2£(ю))Аа + (о(ю) + 1сое(со))§гас1У =

М-о

= (о(ю) - о" (со) + 1ю(е(со) - еп (со)))еп , (5)

-Лу((а(со) + ¡сое(со)^гас1У) - 1сосЦу((а(<в) + ¡сое(со)) Аа) =

= -сПу((с(ю) - о(со)" + 1со(е(со) - еп (ю)))еп ), (6)

в которой под ЛАа понимается вектор-функция, определяемая соотношением ЛАа = grad(divAa) — го^ппА3), и вектор напряженности аномальной части

электрического поля Еа определяется соотношением Еа = —¡ооАа — gradV.

Пусть электрический ток в генераторе изменяется по периодическому закону так, как показано на рис. 1. Это знакопеременный импульс с паузами - с равной длиной импульса и паузы Ь и периодом Т=АЬ. Этот сигнал можно разложить в ряд Фурье (с учетом представления его как нечетной функции от времени I, см. рис. 1)

/ (2жк( 3 V \

ли

т 1 8

V \ 1 V ° /> /

где Ьк - коэффициенты ряда Фурье, Т - период, = >',г) -пространственное распределение плотности стороннего тока.

-т

8 1

Рис. 1. Вид зондирующего сигнала Тогда решение Аа тоже может быть представлено в виде ряда

к V V 1 \ й /

где (х,_у,г) и аск(х,>и) определяются как (х.у.г) = АаКе(х, >>,.£, со), и

Для нахождения суммы (7) с приемлемой точностью необходимо иметь решения (х, и аск (х,у,г) для многих к, что подразумевает решение задач вида (4) или (5)-(6) для соответствующих частот сок. Очевидно, что из-за высокой вычислительной сложности решения трехмерной гармонической задачи выполнить соответствующие расчеты для всех частот с^ практически невозможно. Поэтому был использован подход, требующий решение задачи (4) или (5)-(6) только для некоторых со=сок. Остальные значения а^ (х,у,г) и аск(х,у,г) (для тех для которых задача не решалась) определялись с помощью интерполяции по значениям а1(х,у,г) и (х, у,г) решенных задач.

Вместо значений ак (х, у, г) в (7) подставим значения интерполянта

а^У.гЬХМ.адгЫК). (8)

где ш — число частот, по которым строится сплайн (оно же число решенных гармонических задач). В результате, решение нестационарной задачи (после изменения порядка суммирования) может быть вычислено в виде:

/ /

щ ( ( Г 3

1 I. к v v 8

(9)

Внутренние суммы в (9) не зависят от конкретной задачи и, зафиксировав точки сплайна (а значит вид базисных функций ф; и значения частот а^ решаемых задач), получим некоторые коэффициенты, которые могут быть вычислены один раз для каждого момента времени I, после чего вычислительные затраты на получение нестационарного поля Аа (х.у.г,?) для любой геоэлектрической модели будут определяться только затратами на решение ш гармонических задач на соответствующих частотах.

Для рассмотренных моделей были построены вариационные постановки, конечноэлементные аппроксимации и выполнены соответствующие программные реализации. В качестве интерполянта (8) был использован сплайн с кубическими эрмитовыми базисными функции с непрерывной второй производной. По решению нескольких модельных и практических задач для сплайна был выбран оптимальный набор частот (всего 26 частот), который в дальнейшем использовался при верификации разработанного метода. Верификация вычисления нестационарного сигнала (без учета сигнала ВП)

проводилась сравнением с расчетом нестационарной задачи. Верификация вычисления сигнала ВП проводилась сравнением с результатами, полученными решением двумерных задач и с результатами полученными методом, базирующемся на задании ЭДС ВП.

В качестве примера рассмотрим модель, содержащую трехмерный объект [0;1200]х[-500;500]х[-400;-200] с удельной электрической проводимостью а = 0.002См/м и коэффициентом поляризации а = 0.1 (параметр г| связан с а соотношением т| = а/(1+а)). Объект расположен в полупространстве с удельной электрической проводимостью О = 0.04См/м и коэффициентом поляризации а = 0.01. Параметры тис для объекта и среды одинаковы и равны О.Ь¡к и 0.5 соответственно. Источником поля является горизонтальная электрическая линия (ГЭЛ) с координатами электродов А(-500;0;0) и В(500;0;0). Приемниками поля служат две горизонтальные линии MN с координатами М!(-200;0;0) N^O^O) и М2(1000;0;0) N2(1200;0;0) соответственно. Разности потенциалов в этих линиях, полученные по модели Cole-Cole и по модели, базирующейся на задании ЭДС ВП, приведены на рис. 2. Цифрами на рисунке обозначены результаты для соответствующих приемных линий. Длина импульса и паузы L- 2 с, соответственно период импульса Т = 8 с.

модели, базирующейся на задании ЭДС ВП (закрашенные значки)

Во второй главе диссертационной работы рассматриваются методы автоматического построения трехмерных согласованных и несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками в различных характерных для задач геоэлектромагнетизма ситуациях. Во-первых, это сетки, предназначенные для решения задач геоэлектрики с различными геологическими объектами, а во-вторых, это специальные сетки,

предназначенные для учета искусственных объектов, таких как скважины, трубы и рельсы.

Для решения задач геоэлектрики с различными геологическими объектами предлагается алгоритм построения трехмерных несогласованных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками. Входными данными алгоритма является регулярная параллелепипеидальная сетка с заданными неравномерными шагами по осям и некоторая параллелепипеидальная подобласть, внутри которой сетка должна остаться согласованной. Предлагаемый алгоритм можно условно разбить на две основные части: построение последовательности подобластей объединения и процедуру объединения элементов.

Построение последовательности подобластей объединения начинается от первой подобласти объединения, которая определяется как разность всей расчетной области и заданной паралллелепипеидальной подобласти. Последующие подобласти объединения строятся вложенными в предыдущие (т.е. являются частью предыдущих). Чем больше будет построено таких подобластей, тем больше будет объединений. От формы подобластей объединения также зависит и то, насколько пропорциональными (по своим размерам по х, у и г) получатся конечные элементы после объединений. Форма подобласти объединения определяется коэффициентами (являющимися параметрами алгоритма), определяющими допустимые соотношения сторон угловых элементов подобласти. Процесс построения несогласованной сетки проиллюстрирован на рис. 3, жирными линиями на нем показаны границы подобластей объединения, ¡х

о о

ТТ О

о о

гя

о ^

-500 -300 -1000100 300 500 X -300-200-100 0 100 200 300 X

а) б)

Рис. 3. Фрагменты сечений несогласованной сетки плоскостями х=0 (а) и у=0 (б) с проекциями трехмерных объектов После построения подобластей объединения начинаются объединения элементов. При этом в один элемент могут объединяться несколько элементов, и полученный элемент впоследствии также может быть объединен с другими элементами. Естественно, объединяются лишь элементы, которые принадлежат одному и тому же реальному объекту. Если объединение произошло,

образуется новый элемент с близкими по длине сторонами (степень близости является параметром метода).

Использование несогласованных сеток позволяет уменьшить число узлов и элементов в сетке примерно от трех до семи раз по сравнению с регулярной сеткой.

Если в расчетной области присутствуют шестигранные объекты, то для аппроксимации непараллельных координатным плоскостям границ таких объектов используется линейная деформация уже построенной несогласованной параллелепипеидальной сетки. Очевидно, в этом случае помимо самого шестигранного объекта также должен быть задан и параллелепипед, из которого деформацией будет построена соответствующая шестигранная подобласть.

Решение трехмерных задач геоэлектрики, в которых число трехмерных неоднородностей (объектов) иногда может достигать многих десятков, можно значительно ускорить, применяя технологию многоэтапного выделения поля. В этом случае на каждом этапе решается задача, в которой в расчетной области помимо аномального по проводимости объекта, являющегося источником искомого на данном этапе поля, также присутствуют объекты, которые имеют аномальную проводимость, но источниками поля на данном этапе не являются, а значит, в их окрестности не требуется делать сгущение сетки, достаточно лишь учесть их границы. Такую сетку можно строить, основываясь на регулярной сетке, построенной для объекта, являющегося источником, в которую просто добавляются соответствующие координатные плоскости для учета границ всех остальных объектов (не являющихся источниками на данном этапе). Однако в случае большого числа объектов это может приводить к тому, что уже на этапе построения регулярной сетки число координатных плоскостей в ней становится слишком большим. Это в свою очередь сказывается на качестве несогласованной сетки, так как из-за добавленных координатных плоскостей шаги в регулярной сетке измельчаются по всем направлениям и в результате из нее удаляется гораздо меньше «лишних» узлов. Поэтому был разработан другой подход, заключающийся во вставке границ объектов, не являющихся источниками поля, в уже готовую несогласованную сетку, построенную для объекта-источника поля. Очевидно, такой подход требует соответствующего разбиения ячеек несогласованной сетки. Однако в этом случае в сетке могут появляться так называемые «перехлесты» - ситуации, когда вершины одной грани являются терминальными и лежат внутри другой, у которой какие-либо вершины в свою очередь являются терминальными узлами, лежащими на первой. «Перехлестнувшиеся» ячейки можно доразбить, но при этом есть вероятность возникновения новых «перехлестов», поэтому приходится доразбивать не только ячейки, непосредственно пересекаемые границами вставляемых объектов, но и некоторые окружающие их. Пример вставки объекта в несогласованную сетку, образование и доразбиение перехлеста приведен на рис. 4. Построенные подобным образом сетки резко

сокращают время расчета, так как добавление даже большого числа объектов не приводит к резкому увеличению числа узлов и элементов сетки.

Рис. 4. Фрагмент сечения несогласованной сетки после вставки объекта (а) и ее укрупненная часть после устранения «перехлеста» (б)

Для решения задач геоэлектрики с техногенными объектами, такими как скважины, трубы или железнодорожный рельс, в работе предлагаются методы построение специальных регулярных шестигранных сеток и сеток, являющихся объединением нескольких сеток, построенных по разным алгоритмам. Пример такой сетки для геоэлектрической задачи, в расчетной области которой присутствуют три трубы разного диаметра, приведен на рис. 5.

Рис. 5. Общий вид сетки в сечении Х2 (а) и укрупненная часть в окрестности

одной из труб (б)

В этой же главе рассмотрен специальный метод, позволяющий достаточно быстро с заданной точностью вычислять значения конечноэлементного решения и его производных на шестигранных конечных элементах.

Третья глава диссертационной работы посвящена исследованию разработанных методов построения трехмерных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками для решения задач геоэлектромагнетизма с различными источниками поля. Рассмотрены примеры решения задач с использованием процедуры многоэтапного выделения поля. Предложен метод построения неполного разложения Холесского, основанный на перенумерации узлов конечноэлементной сетки в ситуациях, когда при использовании стандартных способов нумерации узлов сетки это разложение построить невозможно.

Сущность многоэтапной технологии выделения поля заключается в представлении искомого поля полной трехмерной задачи в виде прямой суммы получаемых на каждом этапе полей. Алгоритм этого метода заключается в следующем. На первом шаге с помощью решения задачи меньшей размерности вычисляется поле горизонтально-слоистой среды. Затем на втором шаге вычисляется поле влияния первого объекта, т.е. решается трехмерная задача в области, представляющей собой горизонтально-слоистую среду с одной трехмерной неоднородностью. На третьем шаге вычисляется поле влияния второго объекта относительно среды, содержащей первый объект, т.е. решается задача в горизонтально-слоистой среде, содержащей два объекта, но при этом только второй объект является источником поля. Такая процедура повторяется для всех ЗБ-объектов модели, и на последнем шаге выполняется расчет поля влияния последнего объекта относительно среды, содержащей все остальные трехмерные объекты.

Математическая модель для расчета поля влияния трехмерного объекта

при использовании технологии многоэтапного выделения поля имеет вид

' 1 Л —rotAa

rot

+ a^ = (a-a3D-°)E3D-° 3t ^ >

где о30-0 и Езс-° - распределения проводимости и напряженности электрического поля в трехмерной среде, поле для которой было рассчитано на предыдущем этапе алгоритма и относительно которой на данном этапе вычисляется поле влияния очередного объекта. При этом а - распределение проводимости в трехмерной среде, содержащей трехмерные объекты, поля влияния которых вычислялись на предыдущих этапах алгоритма, и объект, поле влияния которого вычисляется на текущем этапе. Поэтому с^а30-0 только в месте расположения текущего объекта. На последнем этапе работы алгоритма о — распределение проводимости в трехмерной среде, соответствующей всей трехмерной модели.

В принципе, технология многоэтапного выделения поля не запрещает на текущем этапе использовать в качестве источников поля несколько объектов. Это сокращает общее число этапов, но повышает их сложность из-за увеличения числа узлов и ячеек конечноэлементных сеток. С этой точки зрения решение задач с помощью выделения только поля горизонтально-слоистой среды является частным случаем многоэтапной процедуры, состоящим всего из двух этапов, где на втором этапе все объекты заданы в качестве источников поля.

На рис. 6. изображена модель, содержащая 20 объектов. Для этой модели были выполнены расчеты с помощью технологии выделения поля горизонтально-слоистой среды на согласованной сетке и на несогласованной сетке, а также с помощью технологии многоэтапного выделения поля.

-7000 -5000 -3000 -10000 1000 ' 3000 5000 7000 ' 9000

-13000-11000 -9000 -7000 -5000 -3000 -1000 0 1000 3000

шшш

■ I

-7000 -5000 -3000 -10000 1000 3000 5000 ' 7000 ' ЭООсГ

Рис. 6. Геоэлектрическая модель, полученная при интерпретации практических

даных геоэлектроразведки Используемые несогласованные сетки были построены предложенными в работе методами. Фрагменты сечений согласованной и несогласованной сеток при решении задачи с помощью технологии выделения поля горизонтально-слоистой среды изображены на рис.7.

На рис. 8. изображен фрагмент того же сечения сетки на заключительном этапе (в сетке присутствуют все объекты) решения задачи с помощью многоэтапной технологии выделения поля.

Соответствующие вычислительные затраты на решение этой задачи на компьютере МеНЯ) Соге(ТМ) 2<3иас1 СРи@2.40СНг приведены в табл. 1.

а) б)

Рис. 7. Фрагменты сечения согласованной (а) и несогласованной (б) сеток

плоскостью г=-500

Рис. 8. Фрагмент сечения несогласованной сетки, построенной на последнем этапе при решении задачи с использованием многоэтапного выделения поля

Таблица 1

Сравнение вычислительных затрат при использовании различных подходов к решению трехмерной задачи

Метод Число узлов Полное время решения задачи

Выделение поля среды (согласованная сетка) 282240 4ч.

Выделение поля среды (несогласованная сетка) 101358 50м.

Многоэтапное выделение поля макс. 20921 22м.

Под числом узлов для многоэтапного выделения поля в табл. 1 понимается максимальное число узлов среди сеток, построенных на разных этапах.

Исследования на различных практических моделях показали, что использование несогласованных параллелепипеидальных и шестигранных конечноэлементных сеток позволяет уменьшить вычислительные затраты в 4-10 раз без потери точности. Использование многоэтапной процедуры выделения поля позволяет для последовательного расчета сократить вычислительные затраты в 2-4 раза, при этом увеличение эффективности достигается за счет применения специальных несогласованных сеток. Решение с использованием многоэтапной процедуры выделения поля на том же компьютере в параллельном режиме с распараллеливанием на 4 ядра заняло около б минут. Это обусловлено возможностью эффективного распараллеливания данного метода.

В четвертой главе диссертационной работы описаны основные реализованные модули и подсистемы (1РСС и НПЕМ-ОВ) программного комплекса СеоЕМ, разработанного для моделирования геоэлектромагнитных полей, в котором используются эффективные конечноэлементные вычислительные схемы, основанные на методе выделении поля, и реализовано автоматическое построение несогласованных конечноэлементных сеток для некоторых характерных для задач геоэлектрмагнетизма ситуаций.

Подсистема 1РСС предназначена для вычисления сигнала ВП в частотной области и перевода его во временную область. Она состоит из четырех основных модулей, взаимодействие которых схематично показано на рис. 9.

Коэффициенты

Рис. 9. Подсистема 1РСС 18

Модуль вычисления коэффициентов реализует вычисление сумм и необходимых для вычисления

нестационарного сигнала (суммы (9)). Пунктиром на рисунке обозначены входные и выходные данные, а сплошной линией - программные модули.

Подсистема ЕБЕМ-ОВ (рис. 10) реализует моделирование электромагнитных полей, порождаемых вихревыми токами, наводящимися в высокопроводящих (металлических) объектах с параллельными координатным плоскостям границами. Пусть Д = ц / /х0 - относительная магнитная проницаемость, тогда соответствующая система уравнений имеет вид

-сИу/^гасШ = ОвО\(1°1 (П)

где В = — //¡ггжШ. На границах между проводящими и непроводящими подобластями задаются условия сопряжения выражающие непрерывность тангенциальной составляющей напряженности магнитного поля Н и нормальной составляющей индукции магнитного поля В.

Для решения конечноэлементной СЛАУ системы (10)-(11) разработан специальный блочно-итерационный решатель, позволяющий при расчете долгих процессов (более Юме) значительно сократить время решения задачи.

¡Трехмерная сетка!—

Построение портрета

ортре

Решение стационарной задачи

Вычисление Н по аналитическим формулам

Решение задачи магнитостатики

Учет условий

сопряжения

Решение СЛАУ с помощью решателей ЛОС, СМЯЕЯ, ВСО

Сборка глобальной матрицы СЛАУ

Учет условий сопряжения Учет краевых условии

значение текущего временного слоя 1к<0.01с

требуемая невязка

не достигнута

Расчет следующего

временного слоя

Выход-«

Перевод матрицы в специальный блочный формат

Решение СЛАУ с помощью блочно-итерационного решателя

Рис. 10. Подсистема ЕБЕМ-ОВ Входными данными главного модуля подсистемы является трехмерная сетка и параметры материалов ячеек. Если в расчетной области присутствуют ферромагнетики (материалы с [1 ^ Ц0), то для нахождения значений поля Н при

включенном в генераторной петле токе решается задача магнитостатики с использованием полного и неполного потенциалов магнитных полей. Для нахождения значений вектора электромагнитного потенциала А на постоянном токе решается стационарная задача (вычисленные значения поля Н используются для учета условий сопряжения). В главном цикле решения нестационарной задачи (цикл по временным слоям - отмечен жирными линиями) выполняются сборка конечноэлементной СЛАУ, учет краевых условий и условий сопряжения и решение СЛАУ. При этом для расчета ранних времен (менее Юме) используется решатель ЛОС (Ю.Г. Соловейчик), а для остальных времен или в случае, если ЛОС не достигла требуемой невязки за заданное число итераций, используется специально разработанный блочно-итерационный решатель.

Совместное использование электромагнитного потенциала А и скалярного магнитного потенциала II позволило существенно повысить эффективность решения задач с изолированными проводящими объектами в программном комплексе СеоЕМ.

В главе 4 также описаны модули построения согласованных и несогласованных трехмерных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками ориентированные на решение задач геоэлектроразведки (их взаимодействие показано на рис. 11.), что отличает их от аналогичных модулей, используемых в других конечноэлементных пакетах и обуславливает высокую эффективность генерируемых ими специальных дискретизаций.

Рис. 11. Построение трехмерных сеток в ОеоЕМ 20

В заключении приведены основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты проведенных в диссертационной работе исследований состоят в следующем.

1. Разработаны методы математического моделирования трехмерных полей вызванной поляризации с использованием модели частотной дисперсии Cole-Cole на основе конечноэлементной аппроксимации гармонических задач и технологии выделения поля вмещающей среды. Проведены расчеты трехмерных полей вызванной поляризации при решении практических задач геоэлектрики с различными источниками электромагнитного поля: горизонтальной и вертикальной электрическими линиями, круговым электрическим диполем, токовой петлей.

2. Разработан метод удаления «лишних» узлов из регулярных конечноэлементных сеток с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов и произвольных шестигранников. Использование нерегулярных несогласованных конечноэлементных сеток по сравнению с регулярными согласованными позволяет при сохранении точности конечноэлементного решения почти на порядок уменьшить вычислительные затраты при решении трехмерных задач за счет существенного сокращения размерности дискретного аналога задачи.

3. Разработаны методы построения несогласованных параллелепипеидальных сеток для решения различных задач геоэлектромагнетизма с использованием технологии многоэтапного выделения поля. Эти методы применялись при моделировании геоэлектромагнитных полей с источниками в виде токовой петли, горизонтальной и вертикальной электрических линий, кругового электрического диполя, а также при решении задач магнитотеллурики и позволили в несколько раз сократить вычислительные затраты для наиболее трудоемких задач.

4. Разработан метод перенумерации узлов несогласованной сетки с ячейками в виде параллелепипедов и шестигранников, позволяющий строить неполное разложение Холесского для дискретного аналога эллиптического оператора в ситуациях, когда при использовании стандартных способов нумерации узлов сетки это разложение построить невозможно. Разработанный метод позволяет в несколько раз уменьшить вычислительные затраты при моделировании на самых низких частотах магнитотеллурических полей и полей вызванной поляризации.

5. Разработанные методы и алгоритмы реализованы в виде модулей и подсистем программного комплекса GeoEM. Среди них подсистема IPCC вычисления полей вызванной поляризации по модели Cole-Cole и расчета полей ВП по модели, базирующейся на задании ЭДС ВП, что дает пользователю-геофизику возможность выполнять моделирование полей ВП разными методами, а также подсистема EDEM-OB моделирования вихревых полей в изолированных трехмерных объектах. С помощью этого комплекса и реализованных в нем модулей были выполнены расчеты геоэлектромагнитных полей для различных задач геоэлектрики с контролируемыми и естественными источниками.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Персова М. Г. Сравнение различных подходов к численному моделированию трехмерных полей вызванной поляризации / М. Г. Персова, Ю. Г. Соловейчик, Д. В. Вагин, П. А. Домников //Доклады АН ВШ. - 2011. -№2.-С. 89-101.

2. Персова М. Г. О подходе к выполнению ЗБ-инверсий данных зондирований нестационарным электромагнитным полем на основе конечноэлементного моделирования / М. Г. Персова, Ю. Г. Соловейчик, Д. В. Вагин, М. Г. Токарева, А. В. Чернышев // Научн. вестник НГТУ. - 2011. -№2(43). -С. 97-106.

3. Домников П. А. Моделирование трехмерных магнитотеллурических полей векторным методом конечных элементов и возможности распараллеливания на процессорах с общей памятью / П. А. Домников, М. Г. Персова, Ю. Г. Соловейчик, Д. В. Вагин //Научный вестник НГТУ. -2010. - № 3 (40). - С. 87-96.

4. Персова М. Г. Применение метода конечных элементов для моделирвоания трехмерных нелинейных магнитных полей в электротехнических устройствах / М. Г. Персова, Ю. Г. Соловейчик, 3. С. Темлякова, М. В. Абрамов, Д. В. Вагин, М. В. Гамадин // Электротехника. -2011. №6.-С. 13-20.

5. Илюшов Н.Я. Компьютерное моделирование частотозависимого резистора различной формы / Н. Я. Илюшов, Д. В. Вагин, С. Г. Назаров // Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока. - 2011. - № 1. -С. 310-313.

6. Коробейников С. М. Растворение пузырьков диагностических газов в трансформаторном масле / С. М. Коробейников, Ю. Г. Соловейчик, A. JI. Бычков, Д. В. Вагин, А. В. Мелехов, А. Ю. Рыжкина // Теплофизика высоких температур. - 2011. - Т. 49. - № 5. - С. 771-776.

7. Персова М. Г. Компьютерное моделирование работы тяговых асинхронных электродвигателей на основе квазитрехмерных и трехмерных моделей электромагнитного поля / М. Г. Персова, Ю. Г. Соловейчик, 3. С. Темлякова, М. В. Абрамов, Д. В. Вагин, М. В. Гамадин // Транспорт: наука, техника, управление. -2011. - № 12. - С. 3-7.

8. Вагин Д. В. Использование несогласованных сеток для решения задач геоэлектрики с использованием узлового МКЭ /Д. В. Вагин //Актуальные проблемы электронного приборостроения. АПЭП-2010 : Материалы IX международной НТК. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. - Т. 6. - С.77-80.

9. Вагин Д. В. Моделирование нестационарного электромагнитного поля с зависимостью проводимости от частоты по формуле Cole-Cole / Д. В. Вагин // Наука. Технологии. Инновации. НТИ-2009 : Материалы Российской НТК. -Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2009. - Т. 1. - С. 82-84.

10. Вагин Д. В. О построении неполного разложения Холесского при решении трехмерных стационарных задач геоэлектрики с помощью узлового

МКЭ / Д. В. Вагин //Наука. Технологии. Инновации. НТИ-2010 : Материалы Российской НТК. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. - Т. 1. - С.50-52.

11. Вагин Д. В. Построение конечноэлементных сеток с шестигранными ячейками в характерных для задач геоэлектромагнетизма ситуациях /Д. В. Вагин //Сб. науч. тр. НГТУ. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. -№2 (60).-С. 111-116.

12. Вагин Д. В. Построение шестигранных сеток в областях с несоосными цилиндрическими объектами, вложенными друг в друга / Д. В. Вагин // Сб. науч. тр. НГТУ. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. - №. 1 (59). - С. 73-78.

13. Вагин Д. В. Разработка метода адаптации конечноэлементных сеток для решения нестационарных задач геоэлектрики / Д. В. Вагин // Информатика и проблемы телекоммуникаций : Материалы Российской НТК - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2009. - Т. 1. - С. 41-43.

14. Вагин Д. В. Расчет нестационарного электромагнитного поля от короткозамкнутой петли / Д. В. Вагин // Информатика и проблемы телекоммуникаций : Материалы Российской НТК. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2008. - Т. 1. - С. 38-40.

15. Вагин Д. В. Построение несогласованных параллелепипеидальных сеток для решения трехмерных задач геоэлектрики / Д. В. Вагин, И. Е. Аврунева, М.В.Абрамов, А. Г. Задорожный //Актуальные проблемы электронного приборостроения. АПЭП-2010 : Материалы X международной конференции. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. - Т. 6. - С. 111-115.

16. Илюшов Н. Я. Компьютерное моделирование частотнозависимого резистора с различными характеристиками материалов / Н. Я. Илюшов, Д. В. Вагин // Наука. Промышленность. Оборона. : Труды Всероссийской научно-технической конференции. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010 - С. 255-256.

17. Персова М. Г. Моделирование нелинейного магнитного поля в циклотроне с использованием метода конечных элементов / М. Г. Персова, Ю. Г. Соловейчик, М. В. Абрамов, Д. В. Вагин, // Актуальные проблемы электронного приборостроения. АПЭП-2010 : Материалы X международной конференции. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. - Т. 6. - С. 139-143.

18. Персова М. Г. Принципы разработки и возможности программных комплексов конечноэлементного моделирования электромагнитных полей в технических устройствах и в задачах геоэлектрики / М. Г. Персова, Ю. Г. Соловейчик, М. В. Абрамов, Д. В. Вагин, П. А. Домников // Наукоемкое программное обеспечение. Р31-11 : Материалы международной Ершовской конференции по информатике. - Новосибирск : Изд-во НГУ, 2011. - С. 193-199.

19. Персова М. Г. Методы и алгоритмы решения трехмерных прямых и обратных задач геоэлектрики на базе конечноэлементных аппроксимаций / М. Г. Персова, Ю. Г. Соловейчик, Г. М. Тригубович, М. Г. Токарева, Д. В. Вагин // Материалы Всероссийской школы-семинара им. М.Н.

Бердичевского и Л.Л. Ваньяна по электромагнитным зондированиям Земли ЭМЗ-2011. - Спб.: СПбГУ, 2011. - Т. 2. - С. 94-99.

20. Персова М. Г. Программное обеспечение для моделирования трехмерных электромагнитных полей в различных технологиях электроразведки / М. Г. Персова, Ю. Г. Соловейчик, Г. М. Тригубович, Д. В. Вагин, П. А. Домников // Материалы Всероссийской школы-семинара им. М.Н. Бердичевского и Л.Л. Ваньяна по электромагнитным зондированиям Земли. ЭМЗ-2011. - Спб.: СПбГУ, 2011. - Т. 2. - С. 467-471.

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К.Маркса, 20, тел./факс (383) 346-08-57 формат 60 X 84/16 объем 1.5 пл., тираж 100 экз.

Заказ № 1074 подписано в печать 05.07.2012 г.

Оглавление автор диссертации — кандидата технических наук Вагин, Денис Владимирович

ОГЛАВЛЕНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЙ ВЫЗВАННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛИ COLE-COLE.

1.1 Моделирование полей вызванной поляризации на основе феноменологической модели Cole-Cole.

1.2 Математическая модель для описания процессов вызванной поляризации, базирующаяся на модели Cole-Cole.

1.3 Вариационная постановка и построение дискретного аналога для решения задачи с использованием векторного МКЭ.

1.4 Вариационная постановка и построение дискретного аналога для решения задачи с использованием узлового МКЭ.

1.5 Использование кубического сплайна при вычислении суммы ряда Фурье.

1.6 Выбор оптимизированного набора частот для сплайна.

1.7 Верификация разработанного метода моделирования полей вызванной поляризации на основе модели Cole-Cole.

1.8 Выводы.

2. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫХ СЕТОК С ШЕСТИГРАННЫМИ ЯЧЕЙКАМИ.

2.1 Построение несогласованных параллелепипеидальных сеток.

2.1.1 Схема метода построения сетки с удалением «лишних» узлов.

2.1.2Построение подобластей объединения.

2.1.3 Объединение элементов.

2.2 Построение несогласованных параллелепипеидальных сеток при решении задач с использованием технологии многоэтапного выделения поля.

2.3 Построение комбинированных несогласованных конечноэлементных сеток с параллелепипеидальными и шестигранными ячейками.

2.4 Построение сетки в цилиндрической области.

2.5 Построение сетки в сферической области.

2.6 Объединение сеток построенных, разными методами.

2.7 Выдача решения на шестигранных сетках.

2.8 Выводы.

3. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РАЗРАБОТАННЫХ МЕТОДОВ И АЛГОРИТМОВ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ГЕОЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА.

3.1 Решение задач геоэлектромагнетизма на неструктурированных сетках.

3.2 Решение задач с использованием технологии многоэтапного выделения поля.

3.3 Использование неполного разложения Холесского при конечноэлементных аппроксимациях краевых задач на несогласованных сетках.

3.4 Выводы.

4. РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗРАБОТАННЫХ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ СЕТОК И МОДЕЛИРОВАНИЯ ГЕОЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ПРОГРАММНОМ КОМПЛЕКСЕ GEOEM.

4.1 Особенности программного комплекса GeoEM.

4.2 Структура и связи основных модулей, реализующих построение трехмерной несогласованной конечноэлементной сетки.

4.3 Структура модуля, реализующего построение несогласованных трехмерных сеток для решения задач с использованием технологии многоэтапного выделения поля.

4.4 Структура модуля, реализующего построение комплексных сеток.

4.5 Структура и связи основных модулей, реализующих вычисление сигнала ВП на основе модели Cole-Cole в подсистеме IPCC.

4.6 Подсистема EDEM-OB для моделирования вихревых полей в высокопроводящих изолированных объектах.

4.6.1 Математическая модель и структура подсистемы EDEM-OB.

4.6.2Специальный блочно-итерационный метод решения СЛАУ.

4.6.3Примеры решения модельных и практических задач с помощью подсистемы ЕБЕМ-ОВ.

4.7 Выводы.

Введение 2012 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Вагин, Денис Владимирович

Одним из популярных, наиболее универсальных и зачастую наиболее эффективных методов численного моделирования электромагнитных полей является метод конечных элементов (МКЭ). Развитию данного метода и его использованию для решения задач электромагнетизма в последнее время было посвящено множество работ отечественных и зарубежных исследователей [16, 24, 25, 34-36, 38, 45, 46, 69, 71, 72, 80, 95, 97-105, 110-112].

Реальное моделируемое устройство или среда являются трехмерными и, как правило, неоднородными по своим электрическим и магнитным свойствам. Поэтому для получения достоверных результатов часто необходимо решать трехмерные задачи. При этом вычислительные затраты при решении многих важных для практики трехмерных задач, как правило очень велики. Существенно сократить вычислительные затраты на решение некоторых трехмерных задач позволяют так называемые квазитрехмерные подходы, использующие определенные упрощения математических моделей, описывающих трехмерные поля [3, 15, 119]. Однако такие подходы во многих случаях не позволяют получить моделируемые поля с требуемой точностью. Значительно более мощным оказался метод, основанный на выделении части поля [48, 73] - он позволяет многократно снизить вычислительные затраты без какого-либо искажения математической модели. Тем не менее, даже с применением технологии выделения поля для некоторых практических задач время счета оказывается очень большим, особенно если для получения результата требуется многократной расчет различных моделей [47, 55, 59, 89, 93]. Логическим развитием данного метода стало многоэтапное выделение поля, позволившее еще значительнее ускорить решение наиболее сложных трехмерных задач.

Большой класс задач электромагнетизма связан с моделированием геоэлектромагнитных полей [1, 18, 23, 58, 66, 75-77, 98, 107, 120, 121, 122]. Исследование таких полей как естественного, так и искусственного (т.е. возбуждаемых контролируемыми источниками) происхождения позволяет получить информацию о структуре проводимости изучаемой среды и некоторых других геоэлектрических характеристиках - например, поляризуемости. Основными методами геоэлектрических исследований являются методы постоянного тока (МПТ), становления поля (СП), магнитотеллурического зондирования (МТЗ), а также базирующийся на изучении протекающих в среде электрохимических процессов - метод вызванной поляризации (ВП) [13, 17, 22, 30, 31, 33, 39-42, 70, 91, 109]. Главной целью геоэлектромагнитных исследований является восстановление характеристик среды по измеренным значениям электромагнитного поля в некоторых точках пространства (обычно на поверхности Земли, иногда на глубине, например, внутри скважины, или над Землей - при аэроразведке), то есть решение обратной задачи [4, 22, 85, 91, 94]. В свою очередь, для решения обратной задачи необходимо многократное решение прямых задач. Поэтому в работах, посвященных решению различных задач электроразведки, очень много внимания уделяется созданию методов и алгоритмов быстрого решения именно прямых трехмерных задач [1, 10, 11, 15, 26, 43, 44, 65, 68, 78-82, 115].

При использовании МКЭ вычислительная сложность решения задачи определяется, главным образом, размером и свойствами матрицы конечноэле-ментной СЛАУ, т.е. зависит, в основном, от дискретизации расчетной области и вида используемых базисных функций. Здесь определенные преимущества (перед конечными элементами в виде прямоугольных параллелепипедов или тетраэдров) имеют шестигранные конечные элементы, сочетающие в себе возможности достаточно хорошей аппроксимации решения (как у параллелепипеи-дальных элементов) с хорошими возможностями описания сложных границ расчетной области (как у тетраэдральных элементов) [63, 114].

При создании программных комплексов, ориентированных на пользователей, являющихся специалистами в определенной прикладной области, очень важна максимальная автоматизация всех этапов решения задачи, в том числе процесса дискретизации расчетной области. Помимо того, что это избавляет пользователей, не являющихся специалистами в области вычислительной математики, выполнять несвойственную сфере их профессиональной деятельности (и довольно непростую) работу, это важно и с точки зрения эффективности расчета, так как от качества дискретизации во многом зависит и точность получаемых результатов. Между тем, наиболее популярные программы построения сеток или конечноэлементные пакеты, включающие в себя соответствующие подсистемы (NETGEN, ANSYS), чаще всего требуют от пользователя достаточно квалифицированного участия в процессе дискретизации расчетной области.

Для некоторых типов задач автоматическое построение шестигранных сеток можно осуществлять непосредственным разбиением дискретизируемой области на шестигранные элементы [8, 9]. Однако при решении многих задач геоэлектрики более удобен другой подход, заключающийся в построении предварительной параллелепипеидальной сетки и ее последующей деформации. Такой подход обладает очень хорошим потенциалом для создания эффективных алгоритмов автоматической (без какого-либо участия пользователя) дискретизации расчетной области. Но для регулярных параллелепипеидальных сеток характерен следующий существенный недостаток - они содержат много «лишних» узлов, то есть узлов, не влияющих на точность решения, но приводящих к увеличению размерности конечноэлементной СЛАУ. Устранить этот недостаток позволяет использование несогласованных параллелепипеидальных сеток с так называемыми терминальными узлами [49, 80, 84, 86, 87].

Помимо качественной дискретизации, обеспечивающей необходимую точность (при небольших вычислительных затратах) отдельного расчета, общая эффективность решения задачи в некоторых случаях может существенно зависеть от последующей обработки результатов соответствующих расчетов. Так происходит, например, при необходимости выдачи характеристик электромагнитного поля в виде производных полученного конечноэлементного решения. Еще более сложной является проблема получения характеристик поля в виде свертки решения довольно большого числа достаточно сложных задач - это необходимо делать, например, при численном моделировании полей вызванной поляризации на основе часто используемой феноменологической модели Cole

Cole (так называемой частотной дисперсии проводимости) [6, 92]. В этом случае решение задачи изначально необходимо получать в частотной области, а затем переводить его соответствующим образом во временную область. Для этого необходимы специальные вычислительные процедуры, от эффективности которых во многом зависит эффективность решения всей задачи в целом, в том числе и значительное сокращение набора решаемых гармонических задач, и затраты на перевод решения из частотной области во временную.

Цели и задачи исследования 1. Построение трехмерных сеток в характерных для задач геоэлектромагнетизма ситуациях. Для достижения этой цели были решены следующие задачи:

- разработан алгоритм построения нерегулярных параллелепипеидальных сеток с удалением «лишних» узлов;

- разработаны методы выдачи характеристик электромагнитного поля при его расчете на сетках с шестигранными конечными элементами.

2. Моделирование процессов ВП в трехмерных средах на основании феноменологической модели Cole-Cole. Для этого были решены следующие задачи:

Научная новизна

1. Разработан и реализован метод построения несогласованных параллелепи-пеидальных и шестигранных сеток для решения задач геоэлектромагнетизма по технологии многоэтапного выделения поля.

2. Разработан алгоритм быстрой выдачи значений решения и его производных на шестигранном конечном элементе (КЭ).

3. Разработан метод позволяющий за счет специальной перенумерации базисных функций получать неполное разложение Холесского для матрицы ко-нечноэлементной системы при аппроксимации эллиптического уравнения на сетках с терминальными узлами.

4. Разработан и реализован метод ЗБ-моделирования процессов ВП, основанный на численном решении трехмерных гармонических задач и частотной дисперсии проводимости среды.

На защиту выносятся:

1. Методы построения несогласованных параллелепипеидальных и шестигранных сеток для решения различных задач электромагнетизма.

2. Метод построения несогласованных параллелепипеидальных и шестигранных сеток для решения задач с помощью технологии многоэтапного выделения поля.

3. Конечноэлементные схемы моделирования полей ВП, основанные на феноменологической модели Cole-Cole.

Достоверность результатов

3. Правильность работы процедур перевода решения из частотной области во временную при реализации ЗО-моделирования полей ВП по модели Cole-Cole проверялась на задачах моделирования нестационарных полей с заданным трехмерным распределением удельной проводимости в расчетной области.

4. Результаты моделирования полей ВП методом, основанным на модели Cole-Cole, сравнивались с результатами, полученными методом, основанным на задании ЭДС ВП [43, 60], а также с результатами полученными другими авторами.

Практическая значимость работы и реализация результатов

Предлагаемые в данной работе методы построения трехмерных дискретизаций и конечноэлементные вычислительные схемы моделирования полей ВП реализованы в программных комплексах GeoEM [48], IPCC, EDEM-OB. Эти программные комплексы использовались при моделировании различных геоэлектромагнитных полей при проектировании полевых электроразведочных работ, интерпретации практических данных, и при решении задач инженерной геофизики.

Личный вклад

Разработаны и программно реализованы алгоритмы ЗБ-моделирования полей ВП на основе модели Cole-Cole.

В совместных публикациях автору принадлежат следующие результаты. В работах [21, 53, 54, 57] автором были проведены расчеты трехмерных электромагнитных полей и выполнена оценка точности расчетов. В работах [12, 52] автору принадлежат алгоритмы построения несогласованных сеток с паралле-лепипеидальными ячейками. В работах [27, 28, 32, 55, 56] автором были построены конечноэлементные сетки, проведены конечноэлементные расчеты.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на Всероссийской школе-семинаре им. М.Н. Бердичевского и J1.JL Ваньяна по электромагнитным зондированиям Земли (Санкт-Петербург, 2011г.), Российской научно-технической конференции по информатике PSI-11 (Новосибирск, 2011), Всероссийской научной конференции молодых ученых «Наука. Технологии. Инновации» (Новосибирск, 2009, 2010 гг.), международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электроники и приборостроения» (Новосибирск, 2008, 2010 гг.), Российской научно-технической конференции «Информатика и проблемы телекоммуникаций» (Новосибирск, 2008, 2009 гг.).

Публикации

Структура работы

Заключение диссертация на тему "Разработка методов конечноэлементного моделирования трехмерных электромагнитных полей на неструктурированных сетках"

Основные результаты проведенных в диссертационной работе исследований состоят в следующем.

2. Разработан метод удаления «лишних» узлов из регулярных конечноэле-ментных сеток с ячейками в виде прямоугольных параллелепипедов и произвольных шестигранников. Использование нерегулярных несогласованных ко-нечноэлементных сеток по сравнению с регулярными согласованными позволяет при сохранении точности конечноэлементного решения почти на порядок уменьшить вычислительные затраты при решении трехмерных задач за счет существенного сокращения размерности дискретного аналога задачи. Этот метод применялся при моделировании геоэлектромагнитных полей с источниками в виде токовой петли, горизонтальной и вертикальной электрических линий, кругового электрического диполя, а также при решении задач магнитотеллури-ки.

3. Разработаны методы построения несогласованных параллелепипеидаль-ных сеток для решения различных задач геоэлектромагнетизма с использованием технологии многоэтапного выделения поля. Эти методы применялись при моделировании геоэлектромагнитных полей с источником в виде токовой петли и позволили в несколько раз сократить вычислительные затраты для наиболее трудоемких задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Библиография Вагин, Денис Владимирович, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Абрамов М. В. Конечноэлементное моделирование электромагнитного поля горизонтальной электрической линии / М. В. Абрамов // Научный вестник НГТУ. 2008. - № 1 (30). - С. 3-10.

2. Абрамов М. В. Разработка и реализация схем конечноэлементного моделирования геоэлектромагнитных полей для горизонтальной электрической линии : дис. . канд. техн. наук : 05.13.18 / М. В. Абрамов. Новосибирск : НГТУ, 2009. - 149 с.

3. Альпин Л. М. Теория полей, применяемых в разведочной геофизике / Л. М. Альпин, Д. С. Даев, А. Д. Каринский М. : Недра. - 1985. - 407с.

4. Барашков И. С. Обратная задача глубинного зондирования квазислоистых сред / И. С. Барашков, В. И. Дмитриев // Методы математического моделирования и вычислительной диагностики. М., 1990. - С. 142-153.

5. Вагин Д. В. Моделирование нестационарного электромагнитного поля с зависимостью проводимости от частоты по формуле Cole-Cole / Д. В. Вагин // Наука. Технологии. Инновации. НТИ-2009 : Материалы Российской НТК. Новосибирск. 2009. - Т. 1. - С. 82-84.

6. Вагин Д. В. Построение конечноэлементных сеток с шестигранными ячейками в характерных для задач геоэлектромагнетизма ситуациях / Д. В. Вагин // Сб. науч. тр. НГТУ. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. -№2(60).-С. 111-116.

7. Вагин Д. В. Построение шестигранных сеток в областях с несоосными цилиндрическими объектами, вложенными друг в друга / Д. В. Вагин // Сб. науч. тр. НГТУ. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. - №.1 (59). - С. 7378.

8. Вагин Д. В. Разработка метода адаптации конечноэлементных сеток для решения нестационарных задач геоэлектрики / Д. В. Вагин // Информатика и проблемы телекоммуникаций : Материалы Российской НТК. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2009. - Т. 1. - С. 41-43.

9. Вагин Д. В. Расчет нестационарного электромагнитного поля от корот-козамкнутой петли / Д. В. Вагин //Информатика и проблемы телекоммуникаций : Материалы Российской НТК. Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2008.-Т. 1.-С. 38-40.

10. Ваньян Л. Л. Основы электромагнитных зондирований / Ваньян Л.Л. -М. : Недра, 1965.- 109 с.

11. Волкова А. В. Конечноэлементное моделирование гармонических электромагнитных полей от тороидальной катушки в осесимметричных и трехмерных средах: дис. . канд. техн. наук : 05.13.18 / А. В. Волкова. -Новосибирск : НГТУ, 2009. 138 с.

12. Гаврилов А. В. Моделирование полей в аксиально симметричной среде / А. В. Гаврилов, Я. Л. Гурьева, В. П. Ильин, Е. А. Ицкович // Сибирский журнал индустриальной математики. 2001. - Т. 4. - №1 - С. 38-51

13. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. / Р. Галлагер М.: Мир, 1984.-428 с.

14. Дмитриев В. И. Вычислительные математика и техника в разведочной геофизике. Справочник геофизика. / В. И. Дмитриев М.: Недра, 1990. -498 с.

15. Домников П. А. Метод решения систем уравнений, возникающих при конечноэлементной аппроксимации гармонических по времени электромагнитных полей / П. А. Домников // Сборник научных трудов НГТУ. -2009.-№2(56).-С. 41-46.

16. Жданов М. С. Электроразведка: Учебник для вузов. / М. С. Жданов М.: Недра, 1986.-316 с.

17. Жданов М. С. Математическое моделирование электромагнитных полей в трехмерно-неоднородных средах / М. С. Жданов, В. В. Спичак. М.: Наука, 1992.- 188 с.

18. Зенкевич О. Конечные элементы и аппроксимация / О. Зенкевич, К. Морган-М.: Мир, 1986.-318 с.

19. Ильин В. П. Методы и технологии конечных элементов / В. П. Ильин. -Новосибирск : Изд. ИВМиМГ, 2007. 371 с.

20. Ильин В. П. О численном решении прямых и обратных задач электромагнитной георазведки / В. П. Ильин // Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. - Т. 4. - №6. - С. 381-394.

21. Илюшов Н. Я. Компьютерное моделирование частотозависимого резистора различной формы / Н. Я. Илюшов, Д. В. Вагин, С. Г. Назаров // Научные проблемы транспорта Сибири и Дальнего Востока. 2011. №1. С. 310-313.

22. Иродов И. Е. Основные законы электромагнетизма / И. Е. Иродов. М.: Высшая школа, 1983. - 279 с.

23. Комаров В. А. Электроразведка методом вызванной поляризации / В. А. Комаров. Л.: Недра, 1980. - 390 с.

24. Кормильцев В. В. Электроразведка в поляризующихся средах. /В. В. Кормильцев, А. Н. Мезенцев Свердловск: УрО АН СССР, 1989. -128 с.

25. Коробейников С. М. Растворение пузырьков диагностических газов в трансформаторном масле / С. М. Коробейников, Ю. Г. Соловейчик, А. Л. Бычков, Д. В. Вагин, А. В. Мелехов, А. Ю. Рыжкина // Теплофизика высоких температур. 2011- том 49. №5. - С. 771-776.

26. Корольков Ю. С. Эффективность электроразведочных методов при поисках нефти и газа / Ю. С. Корольков. М., 1988. - 58 с.

27. Кулон Ж.-Л., САПР в электротехнике / Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. : пер. с франц. М.: Мир, 1988. - 208 с.

28. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики / Г. И. Марчук. М.: Наука, 1980.-430 с.

29. Марчук Г. И. Введение в проекционно-сеточные методы / Г. И. Марчук,

30. B. И. Агошков. М.: Наука, 1981.-420 с.

31. Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм: учеб. пособие. / А. Н. Матвеев М.: Высш. школа, 1983. - 463 с.

32. Митчел Э. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными / Э. Митчел, Р. Уэйт М.: Мир, 1981. - 216 с.

33. Могилатов В. С. Импульсная электроразведка: учеб. пособие / В. С. Мо-гилатов // Новосибирск, 2002. 208 с.

34. Могилатов В. С. Круговой электрический диполь новый источник для электроразведки / В. С. Могилатов // Изв. РАН. Сер. Физика Земли. 1992. № 6. С. 97-105.

35. Могилатов В. С. Зондирования вертикальными токами (ЗВТ) / В. С. Могилатов, Б. П. Балашов // Изв. РАН. Сер. Физика Земли, 1994. № 6.1. C. 73-79.

36. Моисеев В. С. Метод вызванной поляризации при поисках нефтепер-спективных площадей / В. С. Моисеев Новосибирск : Наука, 2002. -136 с.

37. Моисеев В. С. Математическое моделирование сложнопостроенных сред /B.C. Моисеев, Ю. Г. Соловейчик, М. Э. Рояк // Сборник рефератов № 2 Международной геофизической конференции и выставки по разведочной геофизике SEGEAGO. -М., 1993. С. 15.

38. Молчанов И. Н. Основы метода конечных элементов / Молчанов И.Н., Николаенко Л.Д. Киев, 1989. - 272 с.

39. Норри Д., Введение в метод конечных элементов / Норри Д., Ж. Фриз. -М.: Мир, 1981.- 155 с.

40. Персова М. Г. Зондирование становлением поля трехмерных сред и проблемы интерпретации / Персова М. Г. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2009. - Т. 12. - № 2. - С. 84-96.

41. Персова М. Г. Конечноэлементное моделирование электродинамических процессов в задачах геоэлектрики и электромеханики: дис. . докт. техн. наук 05.13.18 / Персова Г. М. Новосибирск : НГТУ, 2009. - 420 с.

42. Персова М. Г. Моделирование нестационарных электромагнитных полей на нерегулярных прямоугольных сетках / М. Г. Персова // Сб. науч. тр. НГТУ. 2002. - № 3 (29). - С. 33-38.

43. Персова М. Г. Математическое моделирование постоянного электрического поля при заряде и измерениях в обсаженных скважинах / Ю. Г. Соловейчик, М. Г. Персова // Сибирский журнал индустриальной математики. 2006. - Т. 25. - № 1 - С. 116-125.

44. Персова М. Г. Сравнение различных подходов к численному моделированию трехмерных полей вызванной поляризации / М. Г. Персова, Ю. Г. Соловейчик, Д. В. Вагин, П. А. Домников // Доклады АН ВШ. 2011. -№2.-С. 89-101.

45. Персова М. Г. Методы и алгоритмы решения трехмерных прямых и обратных задач геоэлектрики на базе конечноэлементных аппроксимаций /

46. Персова М. Г. Компьютерное моделирование геоэлектромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов / М. Г. Персова, Ю. Г. Соловейчик, Г. М. Тригубович // Физика Земли, 2011. № 2. - С. 314.

47. Персова М. Г. Применение шестигранных конечных элементов для решения задач геоэлектрики / М. Г. Персова, Д. В. Шилак // Сборник трудов НГТУ 2005. - № 2 (40). - С. 9-14.

48. Рояк М. Э. Реализация и анализ вычислительных схем МКЭ при моделировании электромагнитных полей в сложных областях: автореф. дис. докт. техн. наук / М. Э. Рояк. Новосибирск : НГТУ, 2007. - 36 с.

49. Рояк С. X. Конечноэлементное моделирование гармонических электромагнитных полей: дис. . канд. техн. наук 05.13.18 / С. X. Рояк, Новосибирск : НГТУ, 2000. 206 с.

50. Сабоннадьер Ж.-К. Метод конечных элементов и САПР: пер. с франц. / Ж.-К. Сабоннадьер, Ж.-Л. Кулон М.: Мир, 1989.

51. Светов Б. С. Основы геоэлектрики / Б. С. Светов. М.: Издательство ЛКИ, 2008.-256 с.

52. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов / Л. Сегерлинд -М.: Мир, 1979.-392 с.

53. Сильвестер П. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков / П. Сильвестер, Р. Феррари. М.: Мир, 1986. - 229 с.

54. Соловейчик Ю. Г. Вычислительные схемы МКЭ-моделирования трехмерных электромагнитных и тепловых полей в сложных областях: дис. . докт. техн. наук: 05.13.18 / Ю. Г. Соловейчик. Новосибирск : НГТУ, 1997.-335 с.

55. Соловейчик Ю.Г. Использование векторного МКЭ для расчёта становления осесимметричного поля вертикальной электрической линии / Ю. Г. Соловейчик, М. Г. Персова, Ю. В. Тракимус // Доклады АН ВШ. № 1. -2004. - С. 76-86.

56. Соловейчик Ю. Г. Математическое моделирование на базе метода конечных элементов трехмерных электрических полей в задачах электроразведки / Ю. Г. Соловейчик, М. Э. Рояк, В. С. Моисеев, А. В. Васильев // Физика Земли. 1997. - № 9. - С. 67-71.

57. Соловейчик Ю. Г. МКЭ-моделирование трехмерных нестационарных электромагнитных полей / Ю. Г. Соловейчик, М. Э. Рояк, В. С. Моисеев, Г. М. Тригубович // Физика Земли. 1998. - № 10. - С. 78-84.

58. Соловейчик Ю. Г. Метод конечных элементов для решения скалярных и векторных задач / Ю. Г. Соловейчик, М. Э. Рояк, М. Г. Персова // «Учебники НГТУ» Новосибирск : НГТУ, 2007. - 896 с.

59. Соловейчик Ю. Г. Конечноэлементное моделирование трехмерных электромагнитных полей с использованием ес^е-элементов на нерегулярных сетках / Ю. Г. Соловейчик, М. Э. Рояк, М. Г. Персова, М. В. Абрамов,

60. А. Н. Селезнев // Труды международной конференции по вычислительной математике МКВМ-2004. Ч. II Новосибирск : Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2004.-С. 676-681.

61. Соловейчик Ю. Г. Разработка системы интерпретации электромагнитных полей в задачах индукционной геоэлектроразведки / Ю. Г. Соловейчик, М. Э. Рояк, Г. М. Тригубович, А. В. Чернышев // Доклады СО АН ВШ. -№ 1 -2002.-С. 105-114.

62. Соловейчик Ю. Г. Решение трехмерных стационарных задач электроразведки на нерегулярных параллелепипеидальных сетках / Ю. Г. Соловейчик, М. Г. Токарева, М. Г. Персова // Вестник ИрГТУ. Иркутск. 2004 г. -№ 1. - С. 45-60.

63. Тихонов А. Н. Математические методы в разведке полезных ископаемых / А. Н. Тихонов, В. Б. Глазко, В. И. Дмитриев. М.: Знание, 1983. - 239 с.

64. Токарева М. Г. Решение стационарных осесимметричных задач на нерегулярных прямоугольных сетках / М. Г. Токарева // сб. науч. тр. НГТУ. — Новосибирск, 2002. № 2 (28) - С. 79-88.

65. Токарева М. Г. Алгоритм оптимизации прямоугольных сеток для решения задач электроразведки / М. Г. Токарева, М. Г. Персова, А. Г. Задо-рожный // Сборник трудов НГТУ. 2002. - № 2 (28). - С. 41-48.

66. Тракимус Ю. В. Разработка и применение схем конечноэлементного моделирования электромагнитных полей в задачах электроразведки с использованием скважин: дис. . канд. техн. наук 05.13.18 / В. Ю. Тракимус, Новосибирск : НГТУ, 2007. 140 с.

67. Чернышев А.В. Вычислительные схемы и программное обеспечение решения прямых и обратных задач электромагнитного зондирования земли становлением поля: автореф. дис. . канд. техн. наук / А. В. Чернышев. -Новосибирск : НГТУ, 2003. 172 с.

68. Электроразведка: Справочник геофизика. В 2-х кн. / Под ред. В.К. Хме-левского, В.М. Бондаренко. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Недра, 1989 Кн.1. - 438 е.; Кн.2. - 378 с.

69. Эпов М. И. Прямые задачи электромагнитных зондирований с учетом частотной дисперсии геоэлектрических параметров / М. И. Эпов, М. Ю. Антонов // Физика Земли. 1999. - № 4. - С. 298-305.

70. Эпов М. И. Автоматизированная интерпретация электромагнитных зондирований / М. И. Эпов, Ю. А. Дашевский, И. Н. Ельцов Новосибирск, 1990. - 29 с. (Препр. / ИГиГ СО АН СССР).

71. Эпов М. И. Прямые и обратные задачи индуктивной геоэлектрики в одномерных средах / М. И. Эпов, И. Н. Ельцов Новосибирск, 1992. - 31 с. (препр./ объедин. ин.- геол., геофиз. и минерал. СО РАН).

72. Albanese R. Analysis of three-dimensional electromagnetic fields using edge elements / R. Albanese, G. Rubinacci // J.Comput.Phys. 1993. - Vol. 108. -P. 236-245.

73. Axelsson O. Iterative Solution Methods / O. Axelsson. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1994. - 654 p.

74. Badea E. A. Finite-element analysis of controlled-source electromagnetic induction using Coulomb-gauged potentials / E. A. Badea, M. E. Everett, G. A. Newman, O. Biro // Geophysics, 2001. vol. 66. no. 3. - pp. 786-799.

75. Bossavit A. Computational Electromagnetism: Variational Formulations, Complementarity, Edge Elements / A. Bossavit Academic Press (Boston), 1998.-352 p.

76. Bossavit A. Whitney forms: a class of finite elements for three-dimensional computations in electromagnetism / A. Bossavit // IEE Proc., 135, Pt. A, 1988. pp.493-500

77. Brenner S., Scott L. R. The Mathematical Theory of Element Methods / S. Brenner, L. R. Scott. NY: Springer-Verlag, 1994.

78. Brezzi F. Mixed and Hybrid Finite Element Methods / F. Brezzi, M. Fortin. -NY: Springer, 1994. -362 p.

79. Cavendish J. C. An approach to automatic three-dimensional finite element mesh generation. / J. C. Cavendish, D. A. Field, W. H. Frey // Int. J. Num. Meth. Engrg. Vol. 21, 1985.-P. 329-347.

80. Cendes Z. J. Vector finite elements for electromagnetic field calculations / Z. J. Cendes // IEEE Trans. Magn. 1991. - Vol. 27. № 5 - P. 3958-3966.

81. Cingoski V. An Improved Method for Magnetic Flux Density Visualization using Three-Dimensional Edge Finite Elements / V. Cingoski, H. Yamashita // J. Applied Phys. 1994. - Vol.75. - № 10. - P. 6042-6044.

82. Cole K. S. Dispersion and absorption in dielectrics. Alternating current characteristics / K.S. Cole, R. H. Cole // J. Chem. Phys. 1941. Vol. 9. 4. P. 341351.

83. Commer M. New advances in three-dimensional controlled-source electromagnetic inversion / M. Commer, G. A. Newman. Geophys. J. Int. (2008) 172, 513-535.

84. Dyczij-Edlinger R. A fast vector potencial method using tangentially continuous vector finite elements / R. Dyczij-Edlinger, G. Peng, J.-F. Lee // IEEE Trans. Microwave Theory & Tech. 1998. Vol. 46. P. 863-868.

85. Li Y. 3-D inversion of induced polarization data / Y. Li, D. W. Oldenburg // Geophysics, 2000.-VOL. 65.-NO. 6.-pp. 1931-1945.

86. Matthew N. O. Numerical techniques in electromagnetics / N.O. Matthew, Sadiku. CRC Press LLC, 2001.

87. Nedelec J. C. A new family of mixed finite elements in K3 / J. C. Nedelec // Numer. Math. №50, 1986 .-PP.57-81.

88. Nedelec J. C. Mixed finite elements in M3 / J. C. Nedelec // Numer. Math. №35, 1980. PP.315-341.

89. Rieben R. N. A high order mixed vector finite element method for solving the time dependent Maxwell equations on unstructured grids / R. N. Rieben, G. H. Rodrigue, D. A. White. // Journal of Computational Physics vol.204, 2005. PP.490-519.

90. Rodrigue G. A vector finite element time-domain method for solving Maxwell's equations on unstructured hexahedral grids / G. Rodrigue, D. White // SIAM J. Sci. Comput. 2001. - Vol. 23; № 3. - P. 683-706.

91. Saad Y. GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving non-symmetric linear systems / Y. Saad, M. Schultz // SIAM J. Sci. Comput. 1986 vol. 7. p.856-869.

92. Sogabe T. A COCR method for solving complex symmetric linear systems / T. Sogabe, S.-L. Zhang // Journal of Computational and Applied Mathematics, 199(2007), pp. 297-303.

93. Soloveichik Y. Iterative method for solving finite element systems of algebraic equations / Y. Soloveichik // Computers & Mathematics with Applications Volume 33, Issue 6, March 1997, Pages 87-90

94. Torres-Verdin C. Rapid 2.5 dimensional forward modeling and inversion via a new scattering approximation / C. Torres-Verdin, T. M. Habashy // Radio Sci. 1994. 29. 4. P. 1051-1079

95. Um E. S. 3D time-domain simulation of electromagnetic diffusion phenomena: A finite-element electric-field approach / E. S. Um, J. M. Harris, D. L. Alumbaugh // GEOPHYSICS, VOL. 75, NO. 4, 2010; P. F115-F126.

96. Zhdanov M. S. Quasi-analitical approximations and series in electromagnetic modeling / M. S. Zhdanov, V. I. Dmitriev, S. Fang, G. Hursan // Geophysics. 2000. 65. P. 1746-1757.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00