автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Конечноэлементное моделирование гармонических электромагнитных полей

На правах рукописи

РГБ ОД

Рояк Светлана Хаимопиа

КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Специальность 05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ (технические науки)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 2000

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете

Научный руководитель д.т.н. проф. ¡0.Г.Соловейчик-

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор А.Д. Рычков

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник В.В. Филатов

Ведущая организация: Институт вычислительной математики

и математической геофизики СО РАН.

Защита состоится iyOcQ.Sk 2000 года в ¿1о часов на заседании

диссертационного совета Д063.34.03 при Новосибирском государственном техническом университете (630092, Новосибирск-92, пр.К.Маркса 20)

С докладом можно ознакомиться в читальном зале библиотеки НГТУ

Автореферат разослан 2000 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета В.М. Чубич

еО №. °

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Математическое моделирование электромагнитных полей является мощным инструментом теоретических исследований и широко используется п различных областях науки и техники. Среди всех задач моделирования электромагнитных полей можно выделить широкий спектр задач, в которых электромагнитное поле возбуждается гармоническими источниками тока.

Довольно часто для вычисления характеристик гармонических электромагнитных полей применяют аналитические методы, использующие некоторые упрощения математической модели поля. Эти методы обсуждаются в работах Л.Л. Ваньяна, Л.И. Инкина, К.Г1. Кадомской, А.А. Кауфмана, Г.А. Морозова, Л.А. Хабаровского, М.И.Эпова и др. Основное достоинство таких методов состоит в том, что предлагаются достаточно простые с точки зрения вычислений формулы, описывающие требуемые характеристики поля. Недостатком этих методов является невозможность учета всех закономерностей поведения электромагнитного поля и необходимость в каждом частном случае разрабатывать новые подходы. Методы численного моделирования, рассматриваемые в дальнейшем, являются с этой точки зрения более универсальными, хотя в тех частных случаях, когда аналитические методы применимы, могут проигрывать Им из-за более высокой сложности получения конечного результата.

На основе изучения электромагнитных полей, возбуждаемых гармоническими источниками, разрабатываются многие индукционные методы электроразведки в наземном, скважинном и аэровариантах. Характерной особенностью методов аэроэлектроразведки является то, что в силу большой удаленности приемника поля от возбудителя (по сравнению с высотой полета) величины наблюдаемых в этих методах аномальных эффектов от проводящей среды становятся сравнимыми с аномалиями, регистрируемыми при наземных исследованиях.

Первых заметных успехов при решении дву- и трехмерных задач геоэлектромагнетизма удалось достичь исследователям, использовавшим для проведения численных расчетов метод интегральных уравнений (МИУ) в различных его вариантах. Этот метод развивался в работах НоЬтапп С.\У., Нуогс1ага М., О .А. №\утап, \Veidelt Р., В.И.Дмитриева, М.С.Жданова, Б.Ш.Зингера, О.В. Панкратова, Э.Б. Файнберга и др. Однако один из главных недостатков МИУ, заключающийся в необходимости решения получающейся в результате численной аппроксимации интегрального уравнения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с плотной матрицей, очень часто не позволяет выполнить дискретизации на уровне, необходимом для получения численного решения заданной точности. Из-за заполненности матрицы СЛАУ, аппроксимирующей интегральное уравнение, вычислительные затраты на решение задачи растут с измельчением сетки для МИУ столь быстро, что даже для компью-

теров большой мощности становится актуальной проблема нехватки вычислительных ресурсов.

Некоторым развитием МИУ можно считать подход, предложенный Зингером Б.Ш. и Файнбергом Э.Б. и развитый в работах О.В.Панкратова и др. Этот метод основан на построении решения интегрального уравнения в виде функционального ряда Неймана и позволяет заметно сократить (по сравнению с классической реализацией МИУ) требуемые вычислительные ресурсы, в результате чего появляется возможность использовать гораздо более подробные сетки. Но оценить реальные возможности этого метода при решении трехмерных задач пока довольно трудно, так как приведенные в публикациях результаты несколько ограничены и не позволяют получить более или менее полного представления о точности и надежности метода при решении трехмерных задач. Также из работ, представляющих этот метод, остается неясной зависимость скорости сходимости аппроксимации решения к точным значениям от величины ячейки дискретизации области. Кроме того и МИУ, и разрабатываемые на его основе подходы при наличии в задаче негоризонтальных слоев, наклонных контактов и других трудностей, связанных с усложнением геометрии, а также в случае использования сеток с ячейками неодинакового объема становятся слишком затратными по памяти.

Все эти трудности, связанные с применением МИУ и близких к нему методов, заставляют искать новые подходы к решению трехмерных задач геоэлектромагнетизма, основанные на таких универсальных методах решения дифференциальных уравнений в частных производных, как метод конечных разностей (МКР) и метод конечных элементов (МКЭ). МКЭ, позволяющий использовать симплициидальные (т.е. треугольные в двумерном случае и тетраэдральные в трехмерном) сетки, имеет значительные преимущества перед МКР благодаря возможностям построения нерегулярных сгущающихся или разреживающихся сеток с минимальным количеством так называемых «лишних» узлов (т.е. узлов, удаление которых из сетки не приводит к увеличению погрешности приближенного решения). МКР также серьезно уступает МКЭ по возможностям учета сложной трехмерной геометрии исследуемой среды: негоризонтальных или выклинивающихся слоев, наклонных контактов и т.д.

Однако применение стандартных вычислительных конечяоэлементных схем для решения трехмерных задач геоэлектромагнетизма также требует очень больших вычислительных затрат. Это приводит либо к большим погрешностям решения из-за использования недостаточно подробной сетки, либо к чрезмерно большой стоимости получения решения важных практических задач. Предложенные в работах Соловейчика Ю.Г. подходы к конечноэлементному моделированию с выделением двумерной части поля позволяют при решении многих трехмерных задач геоэлектромагнетизма во много раз снизить вычислительные затраты и тем самым делают эти задачи доступными для решения с очень высокой точностью при относительно небольших вычислительных затратах. В предлагаемой диссертационной работе будут построены основанные на таких

подходах консчиоэлементпыс схемы моделирования электромагнитных попей с гармоническими источниками.

Получаемые при конечноэлементной аппроксимации СЛАУ имеют разреженные матрицы. Методы решения таких СЛАУ рассматривались и исследовались в работах X.-C.Cai, R.Fletchcr, J.A.George, G.H.Golub, L.A.Hageman, M.R.Hestenes, C.Lanczos, J.W.Liu, J.Ortega, Y.Saad, H.A.Van der Vorst, J.Xu, D.Young., В.П.Ильина, Е.С.Николаев, A.A.Самарского и др. Но при этом разрабатываемые методы, как правило, не учитывают специфические особенности матриц СЛАУ, заключающиеся в существенных различиях между объемом памяти, необходимом для хранения этих матриц при стандартной их упаковке (например, при использовании разреженного строчного или диагонального форматах хранения), и объемом памяти, требуемым для хранения этих матриц при специальной упаковке. Заметим, что для некоторых классов задач применение специальных упаковок может на порядок сократить объем памяти под хранение матриц даже по сравнению с такими довольно эффективными универсальными форматами, как разреженный строчный или диагональный. К такому классу задач относятся и задачи конечноэлементного моделирования трехмерных электромагнитных полей с гармоническими источниками.

Таким образом, проблема построения эффективных процедур численного моделирования электромагнитных полей с гармоническими источниками до сих пор вызывает большой интерес как у исследователей, занимающихся развитием численных методов математического моделирования, так и у исследователей, применяющих математическое моделирование для изучения реальных физических процессов.

В диссертационной работе много внимания уделено построению конеч-ноэлементных аппроксимаций дву- и трехмерных задач с гармоническими источниками, Эффективность этого подхода продемонстрирована на примере решения ряда модельных и практических задач.

Также много внимания в диссертационной работе уделено исследованию эффективности различных методов ггредобусловливания и решения конечно-элементных СЛАУ, получаемых при аппроксимации трехмерных гармонических электромаг нитных полей. Рассмотрены методы сокращения вычислительных затрат, базирующиеся на учете специальных свойств таких матриц. Основанные на этих методах алгоритмы решения коиечноэлементных СЛАУ реализованы в программном комплексе TELMA, их эффективность подтверждена решением практических задач.

Таким образом, основной научной проблемой, пути решения которой рассматриваются в предлагаемой диссертационной работе, является проблема построения, обоснования и программной реализации эффективных процедур численного моделирования двумерных и трехмерных электромагнитных полей с гармоническими источниками.

Цель исследований заключается в разработке и реализации алгоритмов конечноэлементного моделирования гармонических электромагнитных полей, а

также в повышении эффективности итерационных методов решения получаемых СЛАУ.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1 Разработана конечноэлементная схема моделирования трехмерного электромагнитного поля, возбуждаемого гармоническим током о круговой негде.

2. Предложены специальные структуры данных для экономичного хранения матриц конечноэпементных СЛАУ и матриц предобусловливания.

3. Разработаны схемы предобусловливания СЛАУ, получаемых в результате конечноэлементной аппроксимации гармонических электромагнитных полей. Доказан ряд теорем о структуре матриц предобусловливания.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что теоретически обосновано применение методики раздельного вычисления осесимметричной части электромагнитного поля и поля влияния трехмерных объектов при решении задач индукционной электроразведки с гармоническими источниками поля. Для схем неполной факторизации разреженных блочных матриц конечноэлементных СЛАУ сформулирован и доказан ряд теорем о структуре блок-элементов матриц неполной факторизации. 1

Практическая ценность работы и реализация результатов.

Разработанные подходы и программы позволили решить следующие задачи: моделирование электромагнитного поля и расчет потерь в оболочке трехфазного кабеля; расчет комплексного сопротивления пазов ротора трехфазного асинхронного короткозамкнутого двигателя нового конструктивно-технического решения; моделирование трехмерных электромагнитных полей при индукционном каротаже в горизонтальных скважинах; профилирование над ким-берлитовой трубкой для аэроварианта с гармоническим источником поля при различных геоэлектрических обстановка». Все разработанные программы включены как составная часть в программный комплекс ТЕЬМА

Достоверность результатов подтверждается данными вычислительных экспериментов, сравнением полученных результатов решения некоторых модельных задач с результатами их решения другими авторами, а также с результатами физических экспериментов.

Личный вклад. Разработаны схемы конечноэлементной аппроксимации двумерных и осесимметричных задач с гармоническими источниками. Выполнена их программная реализация для треугольных конечных элементов с кусочно-линейными базисными функциями. Построена и программно реализована для кусочно-линейных базисных функций на тетраэдрах конечноэлементная схема моделирования трехмерного электромагнитного поля в однородной по магниггной проницаемости и неоднородной по проводимости среде, источником которого является низкочастотный гармонический ток в круговой петле. Разработаны специальные схемы неполной факторизации, учитывающие особенности структуры конечноэлементной матрицы. Доказаны теоремы о структуре матриц предобусловливания, получаемых в результате предложенных схем неполной факторизации. Для нескольких вариантов предобусловливания выпол-

йена программная реализация различных итерационных методов решения СЛАУ со специально упакованными разреженными матрицами блочной структуры.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на IV международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-98 (Новосибирск, 1998г.); Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти С.Л.Соболева (Новосибирск, 1998г.); The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology KORUS'99 (Новосибирск, 1999г.), семинарах НГТУ. Результаты проведенных исследований включались в отчеты по НИР НГТУ.

Публикации, По результатам выполненных исследований опубликовано 6 печатных работ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников (120 наименований) и 4 приложений. Работа изложена на 206 страницах, включая 37 иллюстраций и 35 страниц приложений.

Основное содержание работы

В первой главе рассматриваются конечноэлементные схемы моделирования электромагнитных полей, возбуждаемых гармоническим источником.

В п. 1.1 рассматривается схема численного моделирования электромагнитного поля для случая, когда поле возбуждается гармоническим источником, имеющим только одну ненулевую компоненту в декартовой системе координат. В диссертационной работе показано, что если ввести в рассмотрение вектор-

иотендаал А с помощью соотношений Й = rot А, И -- , то задача модели-

dt

рования электромагнитного поля сводится к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений:

где о(-*,у) - проводимость среды, с (.г, у) - диэлектрическая проницаемость среды, ц.(-г,у) - магнитная проницаемость среды. При этом вектор сторонних токов 7, вектор-потенциал А представляются в виде

(1)

(2)

J = (0,0(x,y)sm(oi)-t- Jf (x,y)cos{at)f, A = (0,0,л5 (x.^sin (со/) + 4е (jr,y)cos(co/))T.

(3)

В п. 1.2 рассматривается схема численного моделирования осесиммстрич-ного электромагнитного поля для случая, когда поле возбуждается гармоническим исючииком тока в круговой петле. Среда считается однородной по магнитной проницаемости (ц = р0 =4д-Ю"7). Задача моделирования электромагнитного поля сводится к решению двумерной краевой задачи в системе координат {r,zJ для следующей системы дифференциальных уравнений:

и5°чс - =к > <5)

Mo IV

- — Д< + -L.< + - ш2< = Jcv , (6)

Но IV

где а = о(г,г), е = е(г,:), < = У* =/*(/•, г),

J^ -Jp (г,z), (о = 2itv, v - частота тока в источнике.

В п. 1.3 рассматривается технический прием, позволяющий эффективно решать осесимметричные задачи в случае, когда низкочастотный гармонический источник удален от проводящей среды. Представим решение задачи (5)-(6) в виде Д,, = А^ + А^, где Л° - ср-компонента вектор-потенциала электромагнитного поля в непроводящей среде, возбуждаемого током в круговой петле. Значения в любых точках пространства могут быть легко получены численным интегрированием по формуле Био-Савара. Тогда вместо краевой задачи (5) -(6) для определения векгор-потенциала можно решать краевую задачу

(7)

Мо IV

+-Л + = • (8)

Цо IV

В п. 1.4 рассматривается схема численного моделирования трехмерного электромагнитного поля в неоднородной по проводимости (a = a(x,y,z)) и однородной по магнитной проницаемости (ц = р0) среде для случая, когда поле возбуждается низкочастотным гармоническим источником тока в круговой петле. Схема моделирования трехмерного электромагнитного поля построена на основе предложенной в работах Ю.Г.Соловейчика методики выделения двумерной части поля, что позволяет существенно снизить вычислительные затраты на получение численного решения задачи. Вектор-потенциал А и скалярный

потенциал V вводятся с помощью соотношений В = rot А, Ё = -^—етадУ.

8t

При этом вектор-потенциал А представляется в виде суммы двух вектор-потенциалов А = А0 + А* и векгор-потенциал А0 удовлетворяет уравнению

_±лЯ° + ои —= J, (9)

Но dt

где а" - проводимость, описывающая горизонтально-слоистую (или осесим-метричную) среду, близкую к исходной. В диссертационной работе показано, что вектор-потенциал А* и скалярный потенциал V определяются решением краевой задачи для системы дифференциальных уравнений:

- — AAS'-ao¿c++agradF¿-(a0-a)<o/tC0, (10)

йо

_ + <тшЛ'^ +• сgradVе = (а0 , (11)

Мо

-div(o grad ) + div (о®Лс+) = div ((V - o)cü/]C0 ), (12)

- div (agrad Vе) - div^caX'*) = - div ((а0 - o) nA;:o), (13)

где вектор-потенциалы Aso и ACI> считаются известными функциями, которые определяются пересчетом решения осесимметричной за-

дачи в декартову систему координат.

Для всех рассмотренных в первой главе вычислительных схем в диссертационной работе приведены вариационные постановки и выписаны локальные матрицы и векторы правой части, получаемые в результате конечноэлементной аппроксимации на треугольниках в двумерном случае и тетраэдрах в трехмерном случае. Показано, что получаемые при конечноэлементной аппроксимации несимметричные матрицы СЛАУ имеют блочную структуру и при этом симметрично расположенные блок-элементы содержат совпадающие по модулю ненулевые значения, что позволяет хранить только ненулевые элементы нижних треугольников этих матриц.

Для трехмерной задачи эквивалентная система вариационных равенств имеет вид:

—|grad^StgradWQ-Jaco Ác+xVdQ. + JcrgradVs4'díl =

Po fi n n

= -J(a°-cу)фАС0^П, £1

—[grad Ac+ grad4yQ +Jofc)ASnI-yn+JngradVClí/cia =

Po Q Q Q

]а8гас!^егас!ЧУО-1сшАСл gradЧ^П =

1.' !!

¡г

| а ёгаа Vе егас! УЙЮ + | си>Аёгас! ТО =

и а

о

где Ч' - пробная функция. Соответственно блок-элементы матрицы конечно-элементной СЛАУ предегавимы в виде:

ч -4 0 0 0 0 4 и 0 0 0 0 4 0 ^

0 0 0 0 0 «1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 . Ал = 0 0 0 0 01 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 < 0

0 0 0 0 0 -4 0 0 0

0 4 0 4 0 0 к 0 4 0 4 0 0 аЬ,

А„ =

(4 -4 о о о о 4 о

4 4 о о о о о (1),

О О (¡1 -¿I О О (1"„ о

О О ¿1 4 0 0 0 4

о о о о 4 -4 4 о 00004 4 о 4 о -4 о -4 о -4 4 о ч4 о 4 0400 4 у

где / - номер блок-строки, а Л - номер блок-столбца матрицы А и />./. При этом компоненты блок-элементов определяются следующими соотношениями:

4 = £ —егас! Ч>,аП,

псМ1-' Но ц,

4= £ - | страс^^ааЧТЮ,

(14)

(15)

теМ1'*

теМ1,1 а

дх

А,, =

' 1 ч>

(Зг/

теМ'-' о.

лигМ1' 12 тем'-' О

м"Гк дУ

а

.„- X 1 «»чур^п,

4=4, 4

'и > ~ ап '

(17)

(18)

(19).

(20)

причем если в задаче не учитываются условия симметрии, то = с/;2, = 6ЪН - а),. При наличии условий симметрии на соответствующие элементы главной диагонали ставятся большие числа, а в правую часть заносятся нули. В соотношениях (14)-(19) Л/'"'- множество номеров тетраэдров, в которых есть узлы с глобальными номерами / и 7, а Ч^ и Ч;7 - соответствующие этим узлам базисные функции.

В п. 1.5 рассматривается блочно-строчный формат хранения матриц, позволяющий существенно сократить затраты вычислительных ресурсов при решении конечноэлементиых СЛАУ.

Во второй главе рассматриваются наиболее часто используемые в настоящее время итерационные методы решения СЛАУ с разреженными несимметричными матрицами, а также схемы решения таких СЛАУ с использованием неполной факторизации для их предобусловливания. В п.2.1 описывается структура матриц СЛАУ, получаемых при конечноэлементном моделировании трехмерных гармонических электромагнитных полей. В п.2.2 предлагаются алгоритмы построения неполной блочной факторизации таких матриц на основе известного алгоритма неполного разложения для разреженных матриц. В п.2.3 рассматриваются различающиеся по количеству ненулевых элементов схемы неполной факторизации СЛАУ, полученных в результате конечноэлементной аппроксимации трехмерных гармонических полей, и исследуются свойства матриц неполного разложения. При этом доказывается, что блок-элементы матриц разложения С, как и исходной матрицы А, обладают псевдосимметрией. Для одной из наиболее эффективных схем факторизации блок-элементы матрицы разложения в имеют вид (/ > J):

С„=

(А £¿ 0 0 0 0 8и 8^

й й о о о о & й2

° О Й Й 0 0 8« 8и

0 0 й° Й « 0 £ 8»

О О О О й й' 8и

о о о о й ¿*

8и 8и 8 и 8и Й Й Й 0 I. 8и 81.1 К и Ки 8 и ^ Ки У

'й

8и 8и

~8и ~~8и

Р17 е2* £и ъи

~8и ~~8и

й 0 0 0 0 -81 81 0 0 0 0 0 0 й ~й° 0 0 0 0 ~й 81 0 0 0 0 о о й -й2 й9 Й'

о о О О -й й -8"

й - 8и 8и 8и 8и 8и 8и

V Й "Й й "й Й5 -Й! 0 й

0 0 0 0

0 0 0 О -а"

О 0 Ни -й 0 0 еИ

0 0 & 0 0 -г? 14 -«я

0 0 0 0 8п 10 ~8/г й'

0 0 0 0 Я -г? -г?

иИ г;; £ *?; Л г! 0

<г" 46 и ¿а 8? /и' 8? 0

Это дает возможность в процедурах, реализующих соответствующие алгоритмы решения СЛАУ, хранить в памяти ЭВМ ненулевые элементы только одного треугольника матрицы. Предложенный алгоритм доказательства позволяет по структуре матрицы СЛАУ достаточно легко проверять любые предположения о равенстве абсолютных значений элементов симметричных блок-элементов матрицы неполной факторизации и может быть обобщен на блоки произвольной структуры. В п.2.4 анализируется проблема невозможности построения неполной факторизации и предлагаются пути её решения. Один из таких путей, заключающийся в использовании блочно-диагонального разложения, рассматривается в п.2.5. Для этого разложения доказан ряд теорем о псевдосимметрии матриц разложения и на их основе показано, что один из предложенных вариантов этого разложения всегда может быть построен для данного класса задач. В п.2.б приводятся схемы различных итерационных методов (ОМЯЕ5, Вь СС81аЬ, ВСО, ВвОЯ, МСГ с симметризацией матрицы, локально-оптимальная схема) с использованием предобусловливания матрицами неполной факторизации.

В третьей главе предложенные методики моделирования гармонических электромагнитных полей применяются дня решения различных задач. В п.3.1 рассматривается двумерная задача математического моделирования некоторых характеристик электромагнитного поля в трехфазном кабеле. Проводится сравнение с аналитическими методами, позволяющими вычислять значение этих характеристик при некоторых допущениях, и исследуется влияние этих допущений на электромагнитное поле. В п.3.2 рассматривается задача исследования электромагнитного поля в пазах двухклеточного ротора асинхронного коротко-замкнутого двигателя. Цель прикладной научно-исследовательской задачи состоит в следующем:

1. На основе расчета электромагнитного поля методом конечных элементов определить активные и реактивные составляющие комплексной мощности для различных значений частоты тока. Активная и реактивная составляющие определяются соотношениями

^ 2

P = jaEidQ,

(3 = 2

2. Определить значения комплексного сопротивления пазов различной конфигурации и сравнить их со значениями, полученными на основе расчета

12

электромагнитного поля аналитическим методом.

3. Оценить характер распределения плотности тока по высоте паза для различных режимов работы двигателя, соответствующих различным значениям частоты тока.

При решении научно-исследовательской задачи использованы варианты геометрической формы пазов ротора реальных трехфазных асинхронных короткозамкнутых двигателей нового конструктивно-технического решения, разрабатываемых ОАО ЭЛСИБ (г.Новосибирск). Силовые линии сшгусоидальной составляющей магнитного поля для двух форм пазов при частоте V = 50 Гц изображены на рис. 1. Силовые линии косинусоидалыюй составляющей магнитного поля для тех же пазов изображены на рис. 2. На рис.3 представлен график распределения тока вдоль оси паза для второй модели (с круглой верхней клеткой). Аналитический расчет проводился для модели 1 (с квадратной верхней клеткой), а численный - для обеих моделей.

Частота 100 50 30 10

Аналитический расчет, модель 1 Р 1.629-Ю"3 1.456-10 3 1.187-Ю"3 4.990-10"1

0 1.591 Ю-3 1.172-10"3 1.069-10"3 6.709-10"4

Численный расчет, модель 1 Р 1.629 • 10 3 1.455-1(Г3 1.186-Ю"3 4.992-10~4

е 1.578-10"3 1.165-10"3 1.065-10'3 6.685-10"4

Численный расчет, модель 2 р 1.636-Ю3 1.462-Ю-3 1.194-Ю'3 5.026-10"4

0 1.678-Ю"3 1.214-Ю"3 1.095-1 (Г3 6.834-10"4

Рис. 1. Силовые линии синусоидальной составляющей магнитной индукции

Рис. 2.Силовые линии косинусоидальной составляющей магнитной индукции

В п.3.3 проводится сравнение результатов математического моделирования трехмерной модельной задачи карогажа с результатами, приведенными в работе Avdeev D.B., Kuvshinov A V., Pankratov O.V., Newman G.A. High-Performance Three-Dimensional Electromagnetic Modelling Using Modeled Newman Series. Wide-Band Numerical Solution and Examples //J. Geo-mag. Geoelectr. - 1997. - V.49, №11-12.-P.1519-1539.

В п.3.4 рассматриваются задачи индукционного каротажа. В п.3.4.1 проводится сравнение результатов решения осесиммет-ричной задачи каротажа (рис.4) с разностным методом, рассмотренным в работе Мартакова C.B., Эпова М.И. Прямые задачи электромагнитного каротажа // Геология и геофизика. - 1999, Т.40, №2. - С.249-254, и приведенными в этой работе экспериментальными данными. Результаты расчетов по методикам, описанным в п.1.2 для случая, когда длина зонда ВИКИЗ равна 1.4 м, а частота тока 1.75 МГц, изображены на рис. 5. Полученные результаты совпадают с точностью до представления графической информации в статье. Для оценки необходимости учета токов смещения были проведены расчеты для той же модели при е=0 во всех подобластях. Результаты этих расчетов совпали с результатами моделирования с учетом токов смещения с точностью около 1 %, т.е. погрешность пренебрежения токами смещения не превышает погрешности совпадения расчетных и экспериментальных данных.

В п.з4Г2 приводятся примеры решения прямых трехмерных задач каротажа в технологиях добычи нефти, использующих горизонтальные скважины. На рис. 6 показан пример среды, для которой в диссертационной работе выполнялись исследования. Ось Z параллельна или почти параллельна поверхности Земли, ось Y перпендикулярна или почти перпендикулярна поверхности Земли. Каротаж проводится зондом с частотой тока в генераторной петле 40 кГц и длиной 2 м. Скважина радиусом 10 см пересекает границу раздела двух сред под углом 5°. Плоскость jc=0, содержащая ось скважины и перпендикулярная плоскости раздела сред, является плоскостью симметрии задачи. На рис. 7 изображен график зависимости сдвига фаз от удаления от генераторной петли вдоль оси скважины при одном из положений зонда. В п.ЪЦ.Ъ исследуется сходимость различных итерационных методов для СЛАУ, полученных при конеч-ноэлементных аппроксимациях задач каротажа.

Косинусоидалыш составляющая тока уУ Слиусо1щдлышя составляющая токэ

Рис. 3. Распределение тока вдоль оси паза

(>-_'( (ЦООчм

177 147 14, м

р=1 24 Омм

р=2СЮ<1 Омм

р=20 Ом м

(>=11X1 Омм

р -45 Оим

Е„«=40

Рис. 4.1 еоэлектрическая модель бака

Рис. 5. Кривая профилирования

Рис. 6. Модель среды со скважинои. пересекающей слои

I—1—ТТ—г ^ Без учета трехмерности ^ С учетом трехмерности

Рис. 7. Изменение сдвига фаз в зависимости от удаления от генератора вдоль скважины

В п.3.4 рассматривается трехмерная задача профилирования над кимбер-литовой трубкой, залегающей в слоистой среде (модель среды изображена на рис. 8). Вмещающая среда состоит из верхнего пласта малой толщины, имеющего удельное сопротивление 200 Ом-м, и пласта бесконечной толщины с сопротивлением 400 Ом-м. Источник поля - гармонический ток в генераторной петле радиусом 3.34 м, расположенной на самолете, летящем на высоте 100м над поверхностью Земли. Плоскость генераторной петли параллельна поверхности Земли. Точечный приемник летит за самолетом на фиксированном рас-

о

м

(1.06м

У. я

стоянии и высоте, которая может отличаться от высоты полета самолета. Этот приемник позволяет измерять все три компоненты Вх, Нг и Вг синусоидальной и косинусоидальной составляющих индукции магнитного поля. Кимберлитовая трубка моделируется прямоугольным параллелепипедом, одно основание которого расположено на границе между слоями вмещающей среды, а второе - бесконечно глубоко. Размеры поперечного сечения кимберлитовой трубки 100x100 м. Траектория самолета направлена вдоль оси X и проходит точно над центром поперечного сечения трубки, имеющего координаты х=0, у= 0. Влияние корпуса самолета на измеряемое поле не учитывается. Отметим, что поскольку в рассматриваемом случае самолет и приемник всегда находятся в плоскости симметрии модели, компонента /?,, как сшгусоидалыюй, так и косинусоидальной составляющих электромагнитного поля равна нулю. На рис.9 представлены рассчитанные кривые профилирования для нескольких приемников в среде с толщиной верхнего слоя 10 м и удельным сопротивлением трубки 100 Ом м дня частоты источника 10 кГц. На осях ординат отложены значения в процентах отношения компонент вектора магнитной индукции поля влияния кимберлитовой трубки к соответствующим компонентам вектора магнитной индукции поля вмещающей среды. В имени кривых (например, В(25,45) ) первое число (25) означает разность х-координат между центром генераторной петли и приемником, а второе число (45) - разность их г-координат.

Далее в п.3.4 исследуется сходимость различных итерационных методов для СЛАУ, получаемых при конечноэлементной аппроксимации этой задачи на различных сетках. Приводятся результаты численного моделирования, проведенного с помощью пакета прикладных программ HAREM.

В четвертой главе описываются программные модули, разработанные на основе предложенных в диссертационной работе подходов, и их применение в программном комплексе TELMA и его подсистеме HAREM. В п.4.1, 4.2 рассматриваются основные модули программного комплекса TELMA и его основные структуры данных. В п.4.3 описываются разработанные автором про-

граммные модули для генерации и решения конечно-элементных СЛЛУ при моделировании гармонических электромагнитных полей. В п.4.4 рассматривается подсистема HAREM программного комплекса TELMA, предназначенная для моделирования г армонических электромагнитных полей в аэроэлеетроразведке. Подсистема HAREM снабжена двумя специализированными препроцессорами, позволяющими человеку, который не является специалистом в области численного моделирования, рассчитывать электромагнитные поля для часто встречающихся задач электроразведки. В п.4.4.1-4.4.3 описываются возможности препроцессоров подсистемы HAREM по описанию задач, способы построения коиечноэлементной аппроксимации и управляющая оболочка. В п.4.4.4 рассматриваются расчетные модули, включенные в подсистему HAREM, и разработанная на основе проведенных в гл.З исследований процедура выбора метода решения коиечноэлементной СЛАУ. В п.4.4.5 описывается применяемая в подсистеме HAREM процедура вычисления сглаженных значений индукции магнитного поля по значениям вектор-потенциала, полученным на тетраэдральной коиечноэлементной сетке.

Основные результаты работы

На основе проведенных в диссертационной работе исследований получены следующие теоретические и практические результаты.

1. Построена конечноэлементная схема для моделирования трехмерного электромагнитного поля, возбуждаемого гармоническим током в круговой петле. Эта схема базируется на методике разделения искомого поля на основное (осесимметричное) и добавочное (поле влияния трехмерных объектов). Такой подход дает возможность решать задачи моделирования электромагнитного поля в средах с трехмерными неоднородноетями различной формы при достаточно небольших вычислительных затратах.

2. Разработаны схемы предобусловливания СЛАУ, получаемых в результате конечноэлементной аппроксимации гармонических электромагнитных полей. Доказаны теоремы о структуре матриц предобусловливания, позволяющие почти вдвое сократить объем памяти, требуемый для хранения матриц предобусловливания.

3. Предложены структуры данных, позволившие существенно сократить затраты памяти на хранение матриц конечноэлементных СЛАУ и матриц предобусловливания.

4. Проведены исследования сходимости различных итерационных методов с несколькими вариантами предобусловливания в виде неполной факторизации при решении практических трехмерных задач аэроэлектроразведки и каротажа.

5. Предложены различные варианты аппроксимации осесимметричных электромагнитных полей, возбуждаемых гармоническим током в круговой петле, основанные на использовании формулы Био-Савара-Лапласа или задании поверхностных или объемных токов в зависимости от особенностей задачи и удаленности источника от проводящих сред. Разработанные схемы позволяют существенно снизить вычислительные затраты по сравнению с традиционными конечноэлементными аппроксимациями осесимметричных задач, содержащих сосредоточенные источники.

6. Проведено исследование влияния токов смещения на примере решения осесимметричных задач электроразведки и показано, при каких частотах влияние токов смещения становится несущественным.

7. Разработанные в диссертационной работе схемы численного моделирования были реализованы в виде программных модулей и включены в подсистему HAREM программного комплекса TELMA, которая применялась при решении практических задач геофизики.

8. В диссертационной работе приведены результаты решения ряда модельных и практических задач, для выполнения конечноэлементной аппроксимации которых использованы разработанные в диссертационной работе подходы и программные средства. В качестве практических были решены следующие задачи: моделирование электромагнитного поля в трехфазном кабеле; расчет комплексного сопротивления для различных по форме пазов ротора трехфазного асинхронного короткозамкнутого двигателя; моделирование трехмерных электромагнитных полей при индукционном каротаже в горизонтальных скважинах; исследование характеристик электромагнитного поля при профилировании над кимберлитовой трубкой в задачах аэроэлектроразведки.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах

1. Рояк М.Э., Рояк С.Х., Соловейчик Ю.Г., Тригубович Г.М. Конечноэле-ментное моделирование трехмерных гармонических электромагнитных полей в задачах аэроэлектроразведки кимберлитовых трубок II Сибирский журн. индустриальной математики. - 1998. - Т.1, №2. - С.154-168.

2. Соловейчик Ю.Г, Рояк М.Э., Рояк С.Х., Тригубович Г.М. Применение МКЭ jv«я расчета трехмерных гармонических электромагнитных полей в задачах каротажа и аэроразведки полезных ископаемых // Научн. вестн. НГТУ. - Новосибирск: НГТУ, 1998 -№1 - С. 146-160

3. Рояк М.Э., Рояк С.Х., Соловейчик Ю.Г. Конечноэлементное решение трехмерных задач зондирования Земли при возбуждении электромагнитного поля гармоническим током в круговой петле // Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике, посвященный памяти С.Л. Соболева (1908-1989): Тез. докл., - Новосибирск: Изд-во Ин-та математики СО РАН, 1998. - Ч. III. - С.38.

4. Royak М.Е., Royak S.H., Soloveichik Y.G., Trigubovich G.M. Computational schemes of finite element modeling of three-dimensional electromagnetic fields, excited by harmonic current in circular loop // 1998 4th conference on actual problems of electronic instrument engineering proceedings APEIE-98 in 16 volumes / Novosibirsk, NSTU, 1998 Vol.1, Selected papers on English. -P.8-13.

5. Royak M.E., Royak S.H., Soloveichik Y.G., Trigubovich G.M., Kositcyn D.O. increasing of efficiency of the finite-element schemes for solving induction aerial prospecting three-dimensional tasks // Proceedings of The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology KORUS'99, June 22-25, 1999 at Novosibirsk State Technical University. - Novosibirsk, Russia, 1999,-V.2, P.514-517.

6. Рояк C.X. Некоторые схемы предобусловливакия конечноэлементных СЛАУ при моделировании гармонических электромагнитных полей в трехмерных задачах электроразведки и каротажа // Сб. научн. тр. НГТУ. -Новосибирск: НГТУ, 1999-№3(16). - С.76-80; №4(17). - С. 148-152.

Подписано в печать 29.03.2000г. Формат 84x60x1/16 Бумага офсетная. Тираж 90 экз. Печ.л. 1,25 Заказ № 2 59

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г.Новосибирск, пр.К.Маркса,20

Введение.

1. Конечноэлементное моделирование электромагнитных полей, возбуждаемых гармоническим источником.

1.1. Электромагнитное поле в двумерной среде, возбуждаемое аксиальным источником тока.

1.2. Осесимметричное электромагнитное поле, возбуждаемое гармоническим круговым током в однородной по магнитной проницаемости среде.,.

1.3. Осесимметричное электромагнитное поле, возбуждаемое удаленным от проводящей среды низкочастотным гармоническим током в круговой петле.

1.4. Трехмерное электромагнитное поле, возбуждаемое низкочастотным гармоническим источником в однородной по магнитной проницаемости среде.

1.4.1. Математическая модель.

1.4.2. Вычисление матриц и векторов правых частей конечноэлементной СЛАУ.

1.4.3. Учет условий симметрии.

1.5. Форматы хранения конечноэлементных матриц.

2. Итерационные методы решения конечноэлементных СЛАУ и ускорение их сходимости на основе неполной факторизации матриц.

2.1. Структура матриц конечноэлементных СЛАУ, аппроксимирующих трехмерные задачи.

2.2. Использование неполной факторизации для предобусловливания СЛАУ.

2.2.1. Алгоритм построения ¿[/(^-факторизации.

2.2.2. Алгоритм построения неполной блочной Ш^ц)-факторизации.

2.3. Учет симметрии матрицы конечноэлементной СЛАУ при построении матрицы неполного разложения.

2.4. Проблема существования неполного ¿[/(^-разложения.

2.5. Блочно-диагональное Ь и (б д)-разложение.

2.6. Итерационные методы решения СЛАУ с несимметричными матрицами.

2.6.1. ОМШ-Э.

2.6.2. Локально оптимальная схема.

2.6.3. Метод сопряженных градиентов для симметризованной СЛАУ.

2.6.4. Метод бисопряженных градиентов.

2.6.5. Метод бисопряженных градиентов стабилизированный.

2.6.6. Метод последовательной верхней релаксации.

3. Использование предложенных методик моделирования гармонических электромагнитных полей при решении практических задач.

3.1. Математическое моделирование электромагнитного поля в трехфазном кабеле.

3.2. Исследование электромагнитного поля в пазах двухклеточного ротора асинхронного короткозамкнутого двигателя.

3.3. Численное моделирование электромагнитного поля, возбуждаемого вертикальным магнитным диполем. Сравнение с результатами, полученными методом интегральных уравнений.

3.4. Задача индукционного каротажа в технологиях добычи нефти, использующих горизонтальные скважины.

3.4.1. Сравнение с результатами, полученными разностным методом и экспериментально.

3.4.2. Трехмерные задачи каротажа.

3.4.3. Сравнительный анализ сходимости различных итерационных методов решения СЛАУ в задачах индукционного каротажа.

3.5. Задача профилирования над кимберлитовой трубкой, залегающей в слоистой среде.

3.5.1. Методика моделирования.

3.5.2. Сравнительный анализ сходимости различных итерационных методов решения СЛАУ в задачах аэроразведки.

3.5.3. Результаты исследования, проведенного с помощью пакета прикладных программ HAREM.

4. Применение разработанного подхода в программном комплексе TELMA.

4.1. Структура программного комплекса TELMA.

4.2. Структуры данных программного комплекса TELMA.

4.3. Программные модули для генерации и решения конечноэлементных СЛАУ при моделировании гармонических электромагнитных полей.

4.4. Подсистема HAREM программного комплекса TELMA.

4.4.1. Возможности препроцессоров комплекса HAREM.

4.4.2. Принципы конечноэлементной аппроксимации.

4.4.3. Управляющая оболочка программного комплекса

HAREM.

4.4.4. Расчетные модули программного комплекса HAREM.

4.4.5. Представление результатов.

Математическое моделирование электромагнитных полей является мощным инструментом теоретических исследований и широко используется в различных областях науки и техники. Среди всех задач моделирования электромагнитных полей можно выделить широкий спектр задач, в которых электромагнитное поле возбуждается гармоническими источниками тока. Математическому моделированию таких полей посвящено большое количество работ [1, 16, 21, 22, 26, 33-35, 41, 42, 53, 63, 64, 81, 84, 109, 110, 112, 118-120].

Довольно часто для вычисления характеристик гармонических электромагнитных полей применяют аналитические методы, использующие некоторые упрощения математической модели поля [26, 53, 63, 109, 119, 120]. Основное достоинство таких методов состоит в том, что предлагаются достаточно простые с точки зрения вычислений формулы, описывающие требуемые характеристики поля. Недостатком этих методов является невозможность учета всех закономерностей поведения электромагнитного поля и необходимость в каждом частном случае разрабатывать новые подходы. Методы численного моделирования, рассматриваемые в дальнейшем, являются с этой точки зрения более универсальными, хотя в тех частных случаях, когда аналитические методы применимы, могут проигрывать им из-за более высокой сложности получения конечного результата.

На основе изучения электромагнитных полей, возбуждаемых гармоническими источниками, разрабатываются многие индукционные методы электроразведки [1, 4, 27, 34, 38, 63, 69, 84, 105, 109, 117, 118-120]. При использовании гармонических источников могут измеряться либо абсолютные характеристики поля (амплитуды и фазы декартовых компонент поля), либо относительные (отношения амплитуд и сдвиги фаз одноименных компонент поля в двух точках пространства или разноименных компонент в одной точке). Вместо амплитуды и фазы поля могут измеряться его действительная и мнимая части (квадратурное или синфазное с током в возбудителе напряжения, снимаемые с приемных рамок) [117]. Кроме того, могут изучаться интегральные характеристики (э.д.с. в контуре, совмещенном с возбуждающей поле петлей или отнесенным от нее на некоторое расстояние). Методы гармонических полей применяются в наземном, скважинном и аэровариантах. Характерной особенностью методов аэроэлектроразведки является то, что в силу большой удаленности приемника поля от возбудителя (по сравнению с высотой полета) величины наблюдаемых в этих методах аномальных эффектов от проводящей среды становятся сравнимы с аномалиями, регистрируемыми при наземных исследованиях.

Первых заметных успехов при решении дву- и трехмерных задач геоэлектромагнетизма удалось достичь исследователям, использовавшим для проведения численных расчетов метод интегральных уравнений (МИУ) в различных его вариантах [1, 21, 33, 41, 42, 64, 81, 84, 112, 117]. Однако один из главных недостатков МИУ, заключающийся в необходимости решения получающейся в результате численной аппроксимации интегрального уравнения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с плотной матрицей, очень часто не позволяет выполнить дискретизации на уровне, необходимом для получения численного решения заданной точности [33, 42]. Из-за заполненности матрицы СЛАУ, аппроксимирующей интегральное уравнение, вычислительные затраты на решение задачи растут с измельчением сетки для МИУ столь быстро, что даже для компьютеров большой мощности становится актуальной проблема нехватки вычислительных ресурсов. Подтверждение этого можно найти в приведенном в работе [33] сравнительном анализе различных методов на примере решения трехмерных задач геоэлектромагнетизма в проекте СОММЕМ1. Представленные результаты доказывают, что различия в аномальных составляющих поля практически для всех трехмерных моделей во многих точках съема достигают 50% и более даже для тех программ, которые реализованы на основе МИУ. При этом отмечается, что расчеты проводились на сетках с таким числом ячеек дискретизации, что получаемые СЛАУ требовали объема вычислительных ресурсов на пределе возможностей использованных ЭВМ.

Некоторым развитием МИУ можно считать подход, изложенный в [1, 41, 81] и основанный на построении решения интегрального уравнения в виде функционального ряда Неймана. Этот подход позволяет заметно сократить (по сравнению с классической реализацией МИУ) требуемые вычислительные ресурсы, в результате чего появляется возможность использовать гораздо более подробные сетки. Но оценить реальные возможности этого метода при решении трехмерных задач пока довольно трудно, так как приведенные в [1, 41, 81] результаты несколько ограничены и не позволяют получить более или менее полного представления о точности и надежности метода при решении трехмерных задач. Также из [1, 41, 81] остается неясной зависимость скорости сходимости аппроксимации решения к точным значениям от величины ячейки дискретизации области. Кроме того, и МИУ, и разрабатываемые на его основе подходы при наличии в задаче негоризонтальных слоев, наклонных контактов и других трудностей, связанных с усложнением геометрии, а также в случае использования сеток с ячейками неодинакового объема становятся слишком затратными по памяти.

Все эти трудности, связанные с применением МИУ и близких к нему методов, заставляют искать новые подходы к решению трехмерных задач геоэлектромагнетизма, основанные на таких универсальных методах решения дифференциальных уравнений в частных производных, как методы конечных разностей (МКР) и конечных элементов (МКЭ) [4, б, 7, 14, 18, 28, 31, 39, 40, 43, 54, 59, 60, 65, 66, 70-78, 82, 85-87, 89-91, 94-98, 100-104, 107, 108, 113, 115]. МКЭ, позволяющий использовать симплициидальные (т.е. треугольные в двумерном случае и тетраэдральные в трехмерном) сетки, имеет значительные преимущества перед МКР благодаря возможностям построения нерегулярных сгущающихся или разреживающихся сеток с минимальным количеством так называемых «лишних» узлов (т.е. узлов, удаление которых из сетки не приводит к увеличению погрешности приближенного решения). МКР также серьезно уступает МКЭ по возможностям учета сложной трехмерной геометрии исследуемой среды: негоризонтальных или выклинивающихся слоев, наклонных контактов и т.д.

Однако применение стандартных вычислительных конечноэлемент-ных схем для решения трехмерных задач геоэлектромагнетизма также требует очень больших вычислительных затрат [16, 33]. Это приводит либо к большим погрешностям решения из-за использования недостаточно подробной сетки, либо к чрезмерно большой стоимости получения решения важных практических задач. Предложенные в [14, 39, 71-75, 96-98, 100-103] подходы к конечноэлементному моделированию с выделением двумерной части поля позволяют при . решении многих трехмерных задач геоэлектромагнетизма во много раз снизить вычислительные затраты и тем самым сделать эти задачи доступными для решения с очень высокой точностью при относительно небольших вычислительных затратах. В предлагаемой диссертационной работе будут построены основанные на таких подходах конечноэлементные схемы моделирования электромагнитных полей с гармоническими источниками.

Получаемые при конечноэлементной аппроксимации СЛАУ имеют разреженные матрицы. Методы решения таких СЛАУ рассматривались и исследовались в [2, 3, 5, 8-12, 15, 17, 20, 29, 32, 36, 43-51, 56-58, 79, 80, 114]. Но при этом разрабатываемые методы, как правило, не учитывают специфические особенности матриц СЛАУ, заключающиеся в существенных различиях между объемом памяти, необходимом для хранения этих матриц при стандартной их упаковке (например, при использовании разреженного строчного или диагонального форматах хранения), и объемом памяти, требуемым для хранения этих матриц при специальной упаковке. Заметим, что для некоторых классов задач применение специальных упаковок может на порядок сократить объем памяти под хранение матриц даже по сравнению с такими довольно эффективными универсальными форматами, как разреженный строчный или диагональный. К такому классу задач относятся и задачи конечноэлементного моделирования трехмерных электромагнитных полей с гармоническими источниками.

Таким образом, проблема построения эффективных процедур численного моделирования электромагнитных полей с гармоническими источниками до сих пор вызывает большой интерес как у исследователей, занимающихся развитием численных методов математического моделирования, так и у исследователей, применяющих математическое моделирование для изучения реальных физических процессов. Этим и определяется актуальность данной диссертационной работы.

В предлагаемой работе много внимания уделено построению конеч-ноэлементных аппроксимации дву- и трехмерных задач с гармоническими источниками. Их эффективность будет продемонстрирована на примере решения ряда модельных и практических задач.

Также много внимания в данной работе уделяется исследованию эффективности различных методов предобусловливания и решения конечно-элементных СЛАУ, получаемых при аппроксимации трехмерных гармонических электромагнитных полей. Рассмотрены методы сокращения вычислительных затрат, базирующиеся на учете специальных свойств таких матриц. Основанные на этих методах алгоритмы решения конечноэле-ментных СЛАУ реализованы в программном комплексе ТЕЬМА, их эффективность подтверждена решением практических задач.

Таким образом, основной научной проблемой, пути решения которой рассматриваются в предлагаемой диссертационной работе, является проблема построения, обоснования и программной реализации эффективных процедур численного моделирования дву- и трехмерных электромагнитных полей с гармоническими источниками.

Цель исследований заключается в разработке и реализации алгоритмов конечноэлементного моделирования гармонических электромагнитных полей, а также в повышении эффективности итерационных методов решения получаемых СЛАУ.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработана конечноэлементная схема моделирования трехмерного электромагнитного поля, возбуждаемого гармоническим током в круговой петле.

2. Предложены специальные структуры данных для экономичного хранения матриц конечноэлементных СЛАУ и матриц предобусловлива-ния.

3. Разработаны схемы предобусловливания СЛАУ, получаемых в результате конечноэлементной аппроксимации гармонических электромагнитных полей. Доказан ряд теорем о структуре матриц предобусловливания.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что теоретически обосновано применение методики раздельного вычисления осесиммет-ричной части электромагнитного поля и поля влияния трехмерных объектов при решении задач индукционной электроразведки с гармоническими источниками поля. Для схем неполной факторизации разреженных блочных матриц конечноэлементных СЛАУ сформулирован и доказан ряд теорем о структуре блок-элементов матриц неполной факторизации.

Практическая ценность работы и реализация результатов.

Разработанные подходы и программы позволили решить следующие задачи: моделирование электромагнитного поля и расчет потерь в оболочке трехфазного кабеля; расчет комплексного сопротивления пазов ротора трехфазного асинхронного короткозамкнутого двигателя нового конструктивно-технического решения; моделирование трехмерных электромагнитных полей при индукционном каротаже в горизонтальных скважинах; профилирование над кимберлитовой трубкой для аэроварианта с гармоническим источником поля при различных геоэлектрических обстановках. Все разработанные программы включены как составная часть в программный комплекс ТЕЬМА

Достоверность результатов подтверждается данными вычислительных экспериментов, сравнением полученных результатов решения некоторых модельных задач с результатами их решения другими авторами, а также с результатами физических экспериментов.

Личный вклад. Разработаны схемы конечноэлементной аппроксимации двумерных и осесимметричных задач с гармоническими источниками. Выполнена их программная реализация для треугольных конечных элементов с кусочно-линейными базисными функциями. Построена и программно реализована для кусочно-линейных базисных функций на тетраэдрах конечноэлементная схема моделирования трехмерного электромагнитного поля в однородной по магнитной проницаемости и неоднородной по проводимости среде, источником которого является низкочастотный гармонический ток в круговой петле. Разработаны специальные схемы неполной факторизации, учитывающие особенности структуры конечноэле-ментной матрицы. Доказаны теоремы о структуре матриц предобусловли-вания, получаемых в результате предложенных схем неполной факторизации. Для нескольких вариантов предобусловливания выполнена программная реализация различных итерационных методов решения СЛАУ со специально упакованными разреженными матрицами блочной структуры.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на IV Международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-98 (Новосибирск, 1998.); Третьем сибирском ■ конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященным памяти С.Л.Соболева (Новосибирск, 1998.); The Third Russian-Korean International Symposium on Science and Technology KORUS'99 (Новосибирск, 1999.), семинарах НГТУ. Результаты проведенных исследований включались в отчеты по НИР НГТУ.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано б печатных работ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованных источников (120 наименований) и 4 приложений. Работа изложена на 206 страницах, включая 37 иллюстраций и 35 страниц приложений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На основе проведенных в диссертационной работе исследований получены следующие теоретические и практические результаты.

1. Построена конечноэлементная схема для моделирования трехмерного электромагнитного поля, возбуждаемого гармоническим током в круговой петле. Эта схема базируется на методике разделения искомого поля ~ на основное (осесимметричное) и добавочное (поле влияния трехмерных объектов). Такой подход дает возможность решать задачи моделирования электромагнитного поля в средах с трехмерными неоднородностями различной формы при достаточно небольших вычислительных затратах.

2. Разработаны схемы предобусловливания СЛАУ, получаемых в результате конечноэлементной аппроксимации гармонических электромагнитных полей. Доказаны теоремы о структуре матриц предобусловливания, позволяющие почти вдвое сократить объем памяти, требуемый для хранения матриц предобусловливания.

3. Предложены структуры данных, позволившие существенно сократить затраты памяти на хранение матриц конечноэлементных СЛАУ и матриц . предобусловливания.

4. Проведены исследования сходимости различных итерационных методов с несколькими вариантами предобусловливания в виде неполной факторизации при решении практических трехмерных задач аэроэлектроразведки и каротажа.

5. Предложены различные варианты аппроксимации осесимметрич-ных электромагнитных полей, возбуждаемых гармоническим током в круговой, петле, основанные на использовании формулы Био-Савара-Лапласа или задании поверхностных или объемных токов в зависимости от особенностей задачи и удаленности источника от проводящих сред. Разработанные схемы позволяют существенно снизить вычислительные затраты по сравнению с традиционными конечноэлементными аппроксимациями осе-симметричных задач, содержащих сосредоточенные источники.

6. Проведено исследование влияния токов смещения на примере решения осесимметричных задач электроразведки и показано, при каких частотах влияние токов смещения становится несущественным.

7. Разработанные в диссертационной работе схемы численного моделирования были реализованы в виде программных модулей и включены в

161 подсистему HAREM программного комплекса TELMA, которая применялась при решении практических задач геофизики.

8. В диссертационной работе приведены результаты решения ряда модельных и практических задач, для выполнения конечноэлементной аппроксимации которых использованы разработанные диссертантом подходы и программные средства. В качестве практических были решены следующие задачи: моделирование электромагнитного поля в трехфазном кабеле; расчет комплексного сопротивления для различных по форме пазов ротора трехфазного асинхронного короткозамкнутого двигателя; моделирование трехмерных электромагнитных полей при индукционном каротаже в горизонтальных скважинах; исследование характеристик электромагнитного поля при профилировании над кимберлитовой трубкой в задачах аэроэлектроразведки.

1. Avdeev D.B., Kuvshinov A.V., Pankratov O.V., Newman G.A. HighPerformance Three-Dimensional Electromagnetic Modelling Using Modeled Newman Series. Wide-Band Numerical Solution and Examples / /J. Geomag. Geoelectr. 1997. - V.49, №11-12. - P. 1519-1539.

2. Fletcher R. Conjugate gradient methods for indefinite systems / / Lecture Notes in Mathematics. 1976. - V.506. - P.73-89.

3. Lanczos C. Solution of systems of linear equations by minimized itera-tione / /J. Res. Nat. Bur. Standards 1952. - V.49, №1. - P. 33-53.

4. Peters A. Non-symmetric CG-like schemes and the finite element solution of the advection-dispersion equation // International Journal for Numerical Methods in Fluids. 1993. - Vol.17. - P.955-974.

5. Saad Y. Varietions of Arnoldi's method for computing eigenelements of large unsymmetric matrices// Linear Algebra Appl. 1980. - V.34. -P.269-295.

6. Saad Y., Iterative methods for sparse linear systems. NY: Intern. Thomson Publishing, 1998.

7. Saad Y., Krylov subspace methods for computing eigenelements of large unsymmetric matrices// Linear Algebra Appl. 1980. - V.34. - P.269-295.

8. Saad Y., Krylov subspace methods on supercomputers// SIAM J. Sci. Stat. Comput. 1989. - V.10. - P. 1200-1232.

9. Saad Y., Shultz M.H. GMRES: a generalized minimal residual algorithm for solving nonsymmetric linear systems / / SIAM J.Sci.Stat.Comput. -1986. V.7. - P.856-869.

10. Soloveichik Y.G. Iterative method for solving finite element systems of algebraic equations / / Computers Math. Applic. V.33, N6, 1997. -P.87-90.

11. Van der Vorst H.A. Bi-CGStab: A fast and smoothly converging variant of Bi-CG for the solution nonsymmetric linear systems: Preprint 633. -Univ. Utrecht, 1990.

12. Weidelt P. Electromagnetic induction in three-dimensional structure //J. Geophys., 1975, V.41, P.85-109

13. Xu J., Cai X.-C. A preconditioned GMRES method for nonsymmetric or indefinite problems //Mathematics of computation. 1992. - V.59, №200. - P.311-319.

14. Андреев В.Б. Лекции по методу конечных элементов: Учеб. Пособие.- М.: Изд-во МГУ, 1997. 178 с.

15. Асинхронные двигатели общего назначения /Е.П.Бойко, Ю.В.Гаинцев, Ю.М.Ковалев и др./ под ред. В.М.Петрова и А.Э.Кравчина. М.: Энергия, 1980. - 488 с.

16. Блатов И.А. Об оценках ¿(/-разложения разреженных матриц и их приложения к методам неполной факторизации //ЖВМ и МФ -1997/ Т.З, №3. - С.259-276.

17. Вержбицкий В.В. Прямые задачи электрокаротажа //Изв. РАН, Сер. Физика Земли. 1997. - №3. - С.71-74.

18. Вешев А.В. Электропрофилирование на постоянном и переменном токе. Л.: Недра, 1980. - 391с.

19. Воеводин В.В. О методах сопряженных направлений //ЖВМ и МФ.- 1979. № 15. С.1313-1317.

20. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. М.:Наука, 1966.

21. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.:Наука, 1984. - 319 с.

22. Войтович P.A., Кадомская К.П. Продольные погонные параметры и потери в оболочках в кабелях трехфазного исполнения/ / Научный вестник НГТУ. Новосибирск, НГТУ, 1995г., №1, - с59-67.

23. Вычислительные математика и техника в разведочной геофизике: Справочник геофизика / Под ред. В.И.Дмитриева. М.: Недра, 1990. - 498 с.

24. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М., 1984. - 428 с.

25. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления: Пер. с англ. М.: Мир, 1999. - 548 с.

26. Горелик Л.В., Дарьин С.Г., Голубков В.П. Анализ существующих конструкций зубцовой зоны ротора асинхронного двигателя и методов расчета его параметров в пусковых режимах / / Информэлектро. -Владимир, 1983. 38 с.

27. Деклу Ж. Метод конечных элементов. М., 1976. - 95 с.

28. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984. 333 с.

29. Дмитриев В.И. Методы моделирования электромагнитных полей.: Материалы междунар. проекта СОМЕМ1/ М.С. Жданов, И.М. Варенцов, К.Г. Голубев, В.А. Крылов. М.: Наука, 1990. - 198 с.

30. Дмитриев В.И., Барышникова И.А., Захаров Е.В. Аномальные электромагнитные поля пластовых тел. Л.: Недра, 1977. - 168 с.

31. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики.: Учеб. пособие. М.: Изд-во МГУ, 1987. -167 с.

32. Доледенок O.A., Ильин В.П. О. скорости сходимости метода неполной факторизации для диффузионно-конвективных уравнений //Тр. Вычислительного центра СО РАН. Сер. Вычислительная математика. -Новосибирск, 1995. Вып. 3. - С.41-51.

33. Дьяков Е.Г. Минимизация вычислительной работы. М.: Наука, 1989.

34. Жданов М.С. Электроразведка: Учебник для Вузов. М.: Недра, 1986. - 316 с.

35. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М., 1986.- 318 с.

36. Зингер Б.Ш., Панкратов О.В., Файнберг Э.Б. Пленочное моделирование поверхностных и глубинных неоднородностей //Изв. РАН, Сер. Физика Земли. 1992. - №10. - С.93-108.

37. Зингер Б.Ш., Файнберг Э.Б. Электромагнитная индукция в неоднородных тонких слоях. М.: ИЗМИРАН, - 1985. - 234 с.

38. Ильин В.П, Юдин А.Н. Модификация факторизованной матрицы системы трехмерных разностных уравнений/ /Вычислительные методы и технология решения задач математической физики. Новосибирск, 1993. - С.125-135.

39. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.:Физматлит, 1995. - 288 с.

40. Ильин В.П. Численные методы решения задач электрофизики. М.: Наука, 1985. - 336 с.

41. Ильин В.П., Ицкович Е.А. Некоторые варианты неявных методов неполной факторизации //Тр. Вычислительного центра СО РАН. Сер. Вычислительная математика, Новосибирск, 1995. - Вып. 5. - С.93-113.

42. Ильин В.П., Ицкович Е.А. Трехсеточный метод решения двумерных краевых задач //Тр. Вычислительного центра СО РАН. Сер. Вычислительная математика. Новосибирск, 1996. - Вып. 5. - С.44-68.

43. Ильин В.П., Ицкович Е.А. Экспериментальный анализ явных методов неполной факторизации / / Численные методы и математическое моделирование. Новосибирск, 1990. - С.85-94.

44. Ильин В.П., Карначук В.И., Ларин М.Р. Древовидный подход к организации структуры данных для разложения Холесского / / ЖВМ и МФ 1994. - Т.34, №12. - С.1747-1756.

45. Ильин В.П., Ларин М.П. Многоуровневый итерационный метод неполной факторизации решения пятиточечных систем уравнений / / Тр. Вычислительного центра СО РАН. Сер. Вычислительная математика. Новосибирск, 1996. - Вып. 5,— С.69-89.

46. Ильин В.П., Юдин А.Н. Решение трехмерных разностных уравнений методом Булеева с сопряженными градиентами / / Технология моделирования задач математической физики/Сб. Научн. тр.; Под ред. В.П.Ильина. Новосибирск: ВЦ СОРАН, 1989. - С.152-165.

47. Инкин А.И., Темлякова З.С. Метод расчета комплексного сопротивления зубцового деления ротора с учетом насыщения зубцов / / Электричество. 1997. - №7. - С.37-42.

48. Инкин А.H., Рейхердт A.A. Математическая модель для расчета электромагнитных процессов в трехфазных кабелях с проводящей оболочкой // Электричество. 1999. - №5. - С.28-34.

49. Каледин В.О., Ластовецкий В.П. Решение прямой задачи электроразведки постоянным током методом конечных элементов / / Изв. РАН, Сер. Физика Земли. 1988. - №12. - С.31-38.

50. Каменецкий Ф.М. Электромагнитные геофизические исследования методом переходных процессов. М.: ГЕОС, 1997. - 162 с.

51. Капорин И.Е. О предобусловливании метода сопряженных градиентов при решении дискретных аналогов дифференциальных задач / /Дифференциальные уравнения. 1990. - Т.26, №7. - С. 12251236.

52. Коротков Д.Ю. Методы приближенной факторизации для решения уравнений эллиптического типа. М.: ВЦ АН СССР, 1989.

53. Кузнецов Ю.А. Метод сопряженных градиентов, его обобщения и применения. Вычислительные процессы и системы. М.: Наука, 1983. -Вып. 1.

54. Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике: Пер. с франц. М.: Мир, 1988. - 208 с.

55. Лаевский Ю.М. Метод конечных элементов решения многомерных параболических уравнений. Новосибирск, 1993. - 103 с.

56. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. М.: Наука, 1992.- Т.8. Электродинамика сплошных сред. 664с.

57. Лециус Р. Методы конечных элементов решения эллиптических уравнений при первом краевом условии. Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. С.-Петербург, 1995.

58. Мартаков C.B., Эпов М.И.Прямые задачи электромагнитного каротажа // Геология и геофизика. 1999. - Т.40, №2. - С.249-254.

59. Мартышко П.С. Об интегральных преобразованиях электромагнитных полей // Изв. РАН. Сер. Физика Земли. 1997. - №2,- С.69-70.

60. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989.- 608 с.

61. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.- М.: Наука, 1981. 416 с.

62. Марчук Г.И., Кузнецов Ю.А. Теория и применение обобщенного метода сопряженных градиентов. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1980,

63. Матвеев Б.К. Электроразведка: Учеб. пособие для вузов. М.: Недра, 1990. - 368 с.

64. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М., 1981. - 216 с.

65. Моисеев B.C., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Математическое моделирование сложнопостроенных сред / /Сб. рефератов №2 Международной геофизической конференции и выставки по разведочной геофизике SEG-EAGO. М., 1993. - С.15.

66. Молчанов И.Н., Николаенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. Киев: Наук, думка, 1989. - 272 с.

67. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. М.: Мир, 1981. - 304 с.

68. Обэн Ж.-П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. -М.: Мир, 1977. 383 с.

69. Оганесян Л.А., Руховец Л.А. Вариационно-разностные методы решения эллиптических уравнений. Ереван: Изд-во АН Арм.ССР, 1979.- 192 с.

70. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.: Мир, 1991. - 367 с.

71. Панкратов О.В., Авдеев Д.Б., Кувшинов А.В. Рассеяние электромагнитного поля в неоднородной земле. Решение прямой задачи. //Изв. РАН. Сер. Физика Земли. 1995. - №3.- С. 17-25.

72. Пересветов В. В. Математическое моделирование методом конечных элементов магнитотеллурических полей в двумерных средах с криволинейными границами. Препр. - Владивосток: ДВО АН СССР. -1990. - 33.

73. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. -410 с.

74. Прямые и обратные задачи геоэлектрики /Ин-т земного магнетизма, ионосферы и распространения радиоволн АН СССР. М.: Наука, 1990. - 101с.

75. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г. Алгоритмы построения нерегулярных треугольных и тетраэдральных сеток // Сб. научн. тр. НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 1996. - №2(4). - С.39-46.

76. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Шурина Э.П. Сеточные методы решения краевых задач математической физики: Учеб. пособие. Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998. - 120 с.

77. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-Л. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с фр. М.: Мир, 1989. - 190 с.

78. Самарский А.А, Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 560 с.

79. Самарский A.A. Введение в численные методы. М.: Наука, 1997. -239 с.

80. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир,- . 1979. - 392 с.

81. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков.- М.: Мир, 1986. 229 с.

82. Соловейчик Ю.Г. Вычислительные схемы МКЭ-моделирования трехмерных электромагнитных и тепловых полей в сложных областях: Ав-тореф. дис. . докт. техн. наук. Новосибирск, НГТУ, 1997.

83. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э. Расчет трехмерного нестационарного электромагнитного поля с учетом вихревых токов / /Сб. научн. тр. НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 1996. - №3(5). - С.71-80.

84. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C., Васильев A.B. Математическое моделирование на базе метода конечных элементов трехмерных электрических полей в задачах электроразведки //Изв. РАН. Сер. Физика Земли. 1997. - №9. - С.67-71.

85. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C., Тригубович Г.М. Моделирование нестационарных электромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов //Изв. РАН. Сер. Физика Земли. 1998. - №10. - С.78-83

86. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Рояк С.Х., Тригубович Г.М. Применение МКЭ для расчета трехмерных гармонических электромагнитных полей в задачах каротажа и аэроразведки полезных ископаемых //Науч. вестник НГТУ. Новосибирск: НГТУ, 1998. - №1. - С.146-160

87. Юб.Сохранов Н.Н., Аксельрод С.М. Обработка и интерпретация с помощью ЭВМ результатов геофизических исследований нефтяных и газовых скважин. М.: Недра, 1984. - 255 с.

88. Справочник по электрическим машинам: в 2 т. / Под общ. ред. И.В.Копылова и Б.К.Клокова. М.: Энергоатомиздат, 1988,- Т.1. -456 с.

89. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977. - 350 с.

90. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. -М.: Мир, 1980. 512 с.

91. Табаровский Л.А., Эпов М.И. Электромагнитные поля гармонических источников в слоистых анизотропных средах / / Геология и геофизика. 1977. - №1. - С.101-109.

92. ПО.Уэйт Дж. Р. Геоэлектромашитизм: Пер. с англ./Ред. М.Н. Бердичев-ский. М.: Недра, 1987. - 235 с.

93. Ш.Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М., Л.: Физматгиз, 1963.

94. Файнберг Э.Б. Глобальное и региональное магнитовариационное зондирование Земли. Автореф. дис. . докт. техн. наук.- Троицк. Моск. область, ИЗМИРАН, 1983г.

95. ПЗ.Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. М.: Мир, 1988. - 352 с.

96. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. М.: Мир, 1986.

97. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989. - 288 с.

98. Шуйский В.П. Расчет электрических машин. Л.: Энергия, 1968. -731с.171

99. Электроразведка: Справочник геофизика. В 2-х кн. /Под ред. В.К. Хмелевского и В.М. Бондаренко. М.: Недра, 1989. - Кн. 1. - 438 с.

100. Эпов М.И. Электромагнитные методы исследования скважин. Новосибирск: Наука, 1979. - 104 с.

101. Эпов М.И., Никитенко М.И. Система одномерной интерпретации данных высокочастотных индукционных каротажных зондирований //Геология и геофизика. 1993. - Т.34, №2. - С.124-130.

102. Эпов М.И., Сухорукова К.В.,Никитенко М.Н., Антонов Ю.Н. Особенности высокочастотных индукционных зондирований в скважинах с горизонтальным завершением //Геология и геофизика. 1998. -Т.39, №5. - С.649-656.