автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и реализация методов конечноэлементного моделирования электромагнитных полей в задачах электроразведки

На правах рукописи

Персова Марина Геннадьевна

РАЗРАБОТКА И РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОВ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГ О МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ В ЗАДАЧАХ ЭЛЕКТРОРАЗВЕДКИ

Специальность 05.13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 2004

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом университете

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Соловейчик Юрий Григорьевич

Официальные оппоненты: - доктор физико-математических наук,

профессор Федорук Михаил Петрович,

- доктор технических наук, профессор Темлякова Зоя Савельевна

Ведущая организация: Институт вычислительной математики и

математической геофизики СО РАН, г. Новосибирск

Зашита состоится 21 апреля 2004 диссертационного совета Д 212.173.06 техническом университете по адресу: Маркса, 20.

года в 16 часов на заседании при Новосибирском государственном 630092, г. Новосибирск, пр. Карла

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета

Автореферат разослан марта 2004 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.173.06

к.т.н., доцент

Чубич В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время методы электроразведки довольно широко применяются в полого-геофизических задачах (поиск и разведка полезных ископаемых), в задачах мониторинга (при эксплуатации нефтегазовых месторождений и захоронения радиоактивных отходов), а также при решении инженерно-технических проблем (контроль разли-шмх технических сооружений). Эти методы различаются по типу и конфигурации установок возбуждения электромагнитного поля и приема сигнала, но в их основе всегда лежит восстановление сопротивления исследуемой области по измеренному сигналу.

Данная диссертационная работа посвящена разработке и исследованию новых методов моделирования электромагнитных полей, возбуждаемых наиболее часто используемыми на практике источниками, такими как:

- токовая изолированная петля;

- вертикальная электрическая линия (ВЭЛ). Она представляет собой линию с током, заземленную в двух точках скважины, чаще всего обсаженной металлическими трубами;

- круговой электрический диполь (КЭД). Этот источник предложен в работах B.C. Могилатова и представляет собой набор радиальио направленных горизонтальных линий, имеющих общий центральный электрод. Отметим, что идеальный источник типа КЭД должен содержать бесконечное количество липни, то есть представлять собой заземленное по внутреннему и внешнему радиусам токовое кольцо.

Первый метод является методом, основанным только на индукционном возбуждении электромагнитного поля, последние два метода используют заземленные источники. Принимаемый сигнал также может измеряться по-разному, например, заземленной линей MN, измеряющей напряженность электрического поля, или изолированной рамкой, измеряющей изменение потока индукции через нее во времени (ЭДС).

Основной задачей геофизика-интерпретатора при использовании этих методов является решение обратной задачи. На первом этапе интерпретации целесообразно производить подбор горизонтально-слоистой среды. В качестве примеров разработок, посвященных проблеме восстановления горизонтально-слоистой среды, можно привести такие программные комплексы как, ПОДБОР и HORIZON. Тем не менее очевидно, что поскольку объектом поиска является, как правило, некоторое отличающееся по сопротивлению трехмерное включение в среду, основной интерес представляет решение трехмерной обратной задачи, то есть задачи, позволяющей определить глубину и сопротивление объех-тов, отличных по сопротивлению от горизонтально-слоистой среды. Подход к решению трехмерной обратной задачи для источника тоховая петля, предложенный в работах Ю.Г. Соловейчика, Г.М. Тршубовича, • М.Э. Рояка, A.B. Чернышева и реализованный в программном комплексе IFSTEM, осноган

(«"ОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА

на представлении трехмерного поля через суперпозицию осесимметричных полей и, соответственно, требует решения осесимметричной задачи, полученного с достаточно высокой точностью при малых вычислительных затратах. В данной работе предлагается подход, позволяющий значительно ускорить решение таких задач.

Кроме того, разработка методов решения обратных задач для различных источников, а также моделирование электромагнитного поля на известных геологических и технических моделях для тестирования аппаратуры и разработка технологий проведения работ невозможны без решения трехмерных задач, которые достаточно точно, без каких-либо серьезных допущений, описывают электромагнитное поле в среде, содержащей различные трехмерные неоднородности. Ранее для решения трехмерных задач геоэлектрики чаще всего использовали метод интегральных уравнений (МИУ), описанный в работах В.И. Дмитриева, Э.Б. Файнберга, О.В. Панкратова и др. Однако этот метод далеко не всегда позволяет получать приемлемые по точности решения трехмерных задач. Рассматриваемые в диссертационной работе методы численного моделирования базируются на использовании метода конечных элементов (МКЭ). Одними из важнейших преимуществ МКЭ являются его возможности учета сложной геометрии решаемой задачи, а предложенный Ю.Г.Соловейчиком подход, основанный на разделении искомого электромагнитного поля на двумерную и трехмерную составляющие, позволяет обеспечить требуемую точность расчета. Этот подход был взят за основу при разработке математических моделей и последующей реализации вычислительных схем для расчета стационарных и нестационарных электромагнитных полей от источников типа ВЭЛ и КЭД.

Таким образом, предлагаемые в данной диссертационной работе методы конечноэлементного моделирования позволяют разрабатывать новые эффективные технологии проведения полевых электроразведочных работ, оценивать возможность их применения в тех или иных геоэлектрических условиях, тестировать измерительную аппаратуру и вырабатывать требования к ней, а также являются важнейшими элементами систем интерпретации. Все это и обеспечивает актуальность данной диссертационной работы.

Основной научной проблемой, решению которой посвящена данная диссертационная работа, является проблема численного моделирования электромагнитных полей от различных источников в сложных геоэлектрических средах.

В диссертационной работе сформулированы две основные цели исследования, для достижения которых решается ряд задач.

Цели и задачи исследования

1. Быстрые расчеты осесимметричных полей (поле в горизонтально-слоистой среде с осесимметричными объектами типа цилиндр или кольцо) от токовой петли. Для достижения этой цели необходимо решать следующие задачи:

- разработка конечноэлементных схем моделирования нестационарных электромагнитных осесимметричных полей на нерегулярных прямоугольных сетках;

- сравнение точности получаемого решения и вычислительных затрат на регулярных и нерегулярных прямоугольных сетках;

- разработка программ вычисления нестационарного электромагнитного поля, вызванного токовой петлей, в осесимметричных средах на нерегулярных прямоугольных сетках, как части программного комплекса решения обратной задачи.

2. Моделирование трехмерных стационарных и нестационарных электромагнитных полей от различных источников. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

- разработка и программная реализация конечноэлементных схем моделирования нестационарных электромагнитных полей в осесимметричных средах для источников типа ВЭЛ и КЭД;

- разработка и программная реализация конечноэлементных схем моделирования стационарных трехмерных магнитных полей для источников типа ВЭЛ и КЭД;

- исследование трехмерных нестационарных электромагнитных полей от источников типа ВЭЛ, КЭД и петля в различной геоэлектрической обстановке;

- программная реализация алгоритма расчета трехмерных стационарных электрических полей в областях, содержащих узкие объекты высокой проводимости (несколько обсаженных скважин) и оценка вычислительных затрат для получения решения необходимой точности.

Научная новизна

1. Разработаны конечноэлеменые схемы моделирования осесимметрич-ных нестационарных электромагнитных полей от токовой петли, базирующиеся на подходе с разделением полей и использующие аппроксимации на нерегулярных прямоугольных сетках с удаленными «лишними» узлами.

2. Предложены математическая постановка и конечноэлеменые схемы моделирования осесимметричных нестационарных электромагнитных полей от ВЭЛ и КЭД.

3. Предложены математическая постановка и конечноэлементные схемы моделирования трехмерных стационарных и нестационарных электромагнитных полей от источников ВЭЛ и КЭД.

4. На основе разработанных в диссертационной работе методов изучено поведение трехмерных нестационарных электромагнитных полей от различных источников (ВЭЛ, КЭД и токовая петля) в сложных геоэлектрических условиях.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Математическая постановка, основанная на разделении полей, и конеч-ноэлементные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей

в осемметричных средах от токовой петли на нерегулярных прямоугольных сетках.

2. Математическая постановка и конечноэлементные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей в осесимметричных средах от ВЭЛ и КЭД.

3. Магематическая постановка и конечноэлементные схемы моделирования стационарных трехмерных магнитных полей от источников ВЭЛ и КЭД.

4. Численное моделирование трехмерных нестационарных электромагнитных полей от ВЭЛ и КЭД.

5. Численное моделирование трехмерных электрических полей в средах с несколькими обсаженными скваженами.

Достоверность результате»

Адекватность построенных математических моделей и разработанные для них конечнозлементные схемы и вычислительные процедуры подтверждены следующими экспериментами:

1. Решение осесимметричной задачи для токовой петли на нерегулярных прямоугольных сетках сравнивалось с ранее разработанным методом, использующим регулярные прямоугольные сетки, с аналитическим методом, а также с данными натурного эксперимента.

2. Решение задач в горизонтально-слоистых средах с источниками ВЭЛ и КЭД для простых моделей сравнивалось с результатами, полученными аналитическими методами и описанными а работах B.C. Могилатова. Кроме того, правильность и точность расчета стационарного поля (в осесимметричной среде) проверялась с помощью решения двойственной задачи.

3. Верификация трехмерных расчетов проводилась на осесимметричных моделях путем сравнения с решениями, получаемыми на основе двумерной постановки. Кроме того, верификация расчетов трехмерной аномальной составляющей индукции стационарного магнитного поля проводилась путем сравнения с индукцией магнитного поля, рассчитанной по закону Био-Савара-Лапласа.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что предложены и теоретически обоснованы математические модели, описывающие становление поля от ВЭЛ и КЭД в любых осесимметричных средах. Кроме того, предложены и теоретически обоснованы математические модели, описывающие стационарные трехмерные магнитные поля в однородных по магнитной проницаемости средах.

Практическая значимость работы и реализация результатов

Предлагаемые в данной работе конечноэлементные схемы моделирования нестационарных трехмерных электромагнитных полей реализованы в программном комплексе. Разработанные программы использовались при планировании полевых электроразведочных работ, интерпретации полученных полевых данных, при выработке требований к измерительной аппаратуре и ее тестировании.

Личный вклад

1. Разработаны и программно реализованы конечноэлементые схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей в осесимметричных средах для источников ВЭЛ, КЭД и токовая петля. Построенные численные процедуры протестированы, проведены экспериментальные оценки их точности и вычислительной эффективности.

2. Разработаны и программно реализованы конечноэлемеитные схемы моделирования стационарных трехмерных магнитных полей о г ВЭЛ и КЭД. Построенные численные процедуры протестированы, оценена их точность и соответствующие вычислительные затраты.

3. С помощью разработанных процедур вычисления нормального нестационарного поля и аномального стационарного поля выполнены расчеты трехмерных нестационарных электромагнитных полей. Проведена оценка точности получаемых решений.

4. Проведены исследования нестационарных трехмерных электромагнитных полей от различных источников на ряде геологических моделей.

5. Разработан и реализован алгоритм расчета стационарных трехмерных электрических полей для геологических моделей, содержащих несколько обсаженных трубами скважин. Проведено тестирование и решены практические задачи.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на V международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-2000 (Новосибирск, 2000г.); Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000г.); IV и V международном симпозиуме «Проблемы геологии и освоения недр» (Томск, 2000 и 2001 г.); Третьем русско-корейском международном симпозиуме КОЯи8-1999; Международной геофизической конференции-выставки «Геофизика XXI века — прорыв в будущее» (Москва, 2003); IV международном геолого-геофизическом конкурсе-конференции «Геофизика-2003» (Санкт-Петербург, 2003); Всероссийской научно-технической конференции (Томск, 2003 г.), Научно-практической конференции (Новосибирск, СНИИГГиМС, 2003 г.).

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 36 работ, из них 9 статей, 9 работ в сборниках трудов конференций, 10 работ в сборниках тезисов конференций, 7 отчетов о НИР, 1 патент. Полученные в диссертационной работе результаты использованы при написании трех производственных отчетов.

Структура работы

Диссертационная работа изложена на 184 страницах и состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников (110 наименований), приложения и содержит 63 рисунка и 5 таблиц.

Основное содержание работы

В первой главе предлагается метод расчета возбуждаемых источником токовая петля осесимметричных полей, позволяющий при сохранении точности решения значительно уменьшить временные затраты на его получение. Этот метод основан, во-первых, на использовании математической постановки, базирующейся на разделении искомого электромагнитного поля на нормальную и аномальную составляющие, а, во-вторых, на использовании конечноэлемент-ных аппроксимаций на нерегулярных прямоугольных сетках.

Электромагнитное нестационарное поле в осесимметричной среде, вызванное круговой генераторной петлей с током, описывается следующей краевой задачей:

1 — • 1 < • = ^ «я, Дз| = о,

--Д Д,+—2" Др + <7-

(1)

^П " - дг ."' '^'Г

где Д - оператор Лапласа в координатах (г,г), ст — электрическая проводимость, магнитная проницаемость вакуума, 3^- плотность стороннего тока (определяемая током в генераторной петле), Г- граница расчетной области П

. При решении задачи (1) методом конечных элементов необходимо использовать сетки с достаточно сильным сгущением в районе источника. При этом, как для решения обратной задачи, так и при оценке возможностей применения электроразведочной технологии в тех или иных условиях (например, при оценке глубинности) требуется многократное решение задач (1), отличающихся лишь местоположением объекта. Поэтому для решения таких задач предлагается использовать математическую модель, основанную на разделении искомого поля на нормалыную (поле от вмещающей среды) и аномальную (поле от объекта) составляющие.

Для этого потенциал Д^ представляется в виде Д^, = Д^ + . Потенциал — описывает поле в горизонтально-слоистой среде и является решением следующей краевой задачи:

1*0 IV

81

в П,

= 0,

(2)

где — электрическая проводимость вмещающей горизонтально-слоистой

'0

среды, то есть в тех частях расчетной области, где присутствуют осе-

'0

симметричные объекты. Потенциал описывает аномальное поле от осесим-метричных объектов и может быть как решение краевой задачи:

в п, л£|г=о, (3)

Необходимо отметить, что сетка, построенная для расчета аномальной составляющей поля (задача (3)) со сгущением к объекту, будет содержать гораздо меньше узлов, чем сетка для решения задачи (1). Следовательно, время решения обратной задачи, которое фактически определяется временем решения набора задач (3) и временем решения одной задачи (2) (расчет нормальной составляющей поля), будет значительно меньше, чем при прямом решении исходной осесимметричной задачи (1).

В таблице 1 на примере расчетов на двух последовательно вложенных сетках (сетка 1 и сетка 2) продемонстрированы возможности сокращения вычислительных затрат при решении задач (2) и (3) за счет использования нерегулярных прямоугольных сеток.

Таблица 1

Сравнение вычислительных затрат при расчете

сетка тип задачи нерегулярная сетка регуля рная сетка

кол. узлов время счета кол. узлов время счета

1 норм. 952 7.2 с 3082 28.6 с

аном. 377 1.4 с 936 4.1 с

2 норм. 3318 51с 12103 5 мин. 40 с

аном. 1258 7.3 с 3621 28 с

Достоверность результатов, получаемых предложенным методом, подтверждена путем сравнения с результатами, полученными полуаналитическим методом (программа HORIZON) и сравнением с данными натурного эксперимента для модели короткозамкнутого медного витка Результаты сравнения с экспериментом приведены на рис. 1.

Во второй главе предлагается метод расчета осесимметричных полей, возбуждаемых источниками типа ВЭЛ и КЭД." Преимущества предлагаемого подхода заключаются в том, что, во-первых, он позволяет рассчитывать характеристики поля во ьсей изучаемой области, что является необходимым условием для последующего решения трехмерной задачи, а, во-вторых, позволяет учитывать осесимметричные объекты, отличные от среды не только по элек-тричесхой проводимости, но и по магнитной проницаемости (заметим, что существующие к Настоящему моменту аналитические и полуаналитические методы этого делать не позволяют).

Для нахождения начального распределения , соответствующего моменту выключения тока в питающем кабеле ВЭЛ, необходимо решить стационарную краевую задачу:

1 я п\

(4)

(5)

Здесь цилиндрическая область О, в которой ищется решение, ограничивается поверхностью Г^, определяемой соотношением г = г^ (»ц— радиус внутренней поверхности обсадной колонны труб либо радиус кабеля), а также дневной поверхностью Г2, удаленной вертикальной границей Г3, определяемой соотношением г = Н (Л - достаточно большое число), и горизонтальной границей Гд, являющейся либо удаленной, либо границей между средой и фундаментом. Токовая линия со сторонним током не включается в расчетную область О, а на границе Г1', являющейся частью границы Г1, заключенной между источниками, задается неоднородное первое краевое условие.

Аналогично строится и краевая задача для нахождения начального распределения Нр, соответствующих) моменту выключения тока в КЭД. Только в этом случае неоднородное первое краевое условие задается на границе Г2 , являющейся частью границы Г2 и заключенной между краями токового диска:

Я,

1

2ят

(6)

После выключения тока нестационарный процесс становления поля от ВЭЛ и КЭД без учета токов смещения описывается следующей краевой задачей:

(7)

границах расчетной области П (включая Tj' И ^^ДЛЯ H\р задает-

т.е. на всех ся однородное краевое условие первого рода.

Компоненты напряженности электрического поля могут быть найдены по формулам:

а дг ' 2 tri дг г

Ег ='

(9)

По предложенным математическим постановкам реализованы вычислительные схемы, которые были протестированы путем сравнения с аналитическими методами для простых геологических сред и с решением двойственной задачи для сред с осесимметричными объектами (включая обсадные трубы).

В третьей главе предлагается метод расчета стационарных и нестационарных трехмерных электромагнитных полей, возбужденных источниками типа ВЭЛ и КЭД. Расчет трехмерных стационарных полей, во-первых, может использоваться для интерпретации данных, полученных электроразведочными методами, использующими постоянный ток, а, во-вторых, необходим для получения начального распределения при моделировании нестационарных полей.

Предлагаемые математические модели для расчета стационарных электромагнитных полей ВЭЛ и КЭД основываются на разделении искомого поля на двумерную и трехмерную составляющие. При этом решаются следующие задачи.

Первая задача - это расчет нормальной (двумерной) составляющей электрического поля Еп = Уп в горизонтально-слоистой (или осесимметрич-ной) среде. При этом потенциал Уп удовлетворяет решению следующей краевой задачи:

-div(crngradP",) = 0.

(10)

Краевые условия в случае расчета поля от ВЭЛ выглядят следующим об-

разом:

где

- длины

ребер lAHlB, Tj" = Tj \ (lA U1В). При

этом нижней точкой

ребра (Л - верхний электрод ВЭЛ) является точка , а верхней точкой

(В -нижний электрод ВЭЛ) является точка . Здесь г^ -радиус внут-

ренней поверхности обсадной колонны труб либо радиус кабеля, а

*В

координаты расположения электродов ВЭЛ в скважине.

В том случае, когда в качестве источника используется КЭД, поверхностный источник (аналогичный второму краевому условию) задается на вертикальных ребрах и/< прямоугольников, верхними точками которых соответственно являются точки — это соответственно внутренний и внешний радиусы КЭД. Краевые условия выглядят следующим образом:

=0.

дУп

дп

-0,

дУп

дп

= в1(

дУп

дп

= е2, (12)

где

в, =•

- длины ребер

2ятг

Заметим, что с помощью , найденного как

дУп 8г

из решения

задачи (10), (11) или (10), (12), может быть вычислено начальное распределение Нф, и тем самым может быть проконтролирована точность решения соответствующей задачи для Н^ (4), (5) или (4), (6).

Вторая задача - это расчет аномальной (трехмерной) составляющей электрического поля. Она полностью описывается скалярным потенциалом , который является решением следующего уравнения:

-<1|у(а^аа Vе) = -¿^((сг" -ст)©^ V").

(13)

Таким образом, распределение трехмерного стационарного электрического поля Е может быть найдено как сумма Еп и Ёа, полученных при решении задач (10), (11) (или (10), (12)) и (13).

Третья задача — это расчет аномальной (трехмерной) составляющей маг-ьитного поля. Математическая модель для расчета стационарного трехмерного магнитного поля при условии, что магнитная проницаемость в земле является постоянной, равной - магнитной проницаемости в вакууме, выглядит следующим образом:

где Г - граница трехмерной расчетной области П. Мы будем считать, что все 1раницы являются удаленными, то есть такими, что изучаемое магнитное поле на них можно считать пренебрежимо малым.

Векторное уравнение (14) фактически является совокупностью трех независимых скалярных уравнений для компонент вектор-потенциала

. При этом распределение вектора индукции аномального магнитного поля может быть вычислено как Заметим, что для моделирования трехмерной части нестационарного процесса в качестве начального приближения необходима именно аномальная составляющая вектор-потенциала , и она может быть получена как результат решения последовательности задач (10), (11) (или (10), (12)), (13) и (14). Кроме того, эта аномальная составляющая полностью определяет значения индукции магнитного поля на поверхности Земли, поскольку для осесимметричной среды магнитное поле КЭД и ВЭЛ на поверхности Земли к в воздухе равно нулю и, следовательно, магнитное поле (там, где его возможно измерять практически) полностью совпадает с магнитным полем от трехмерных неоднород-ностей

Что касается нестационарных электромагнитных полей, то к настоящему времени для источника токовая петля уже предложен и реализован метод ко-нечноэлементного моделирования нестационарных электромагнитных процессов (работы Ю.Г.Соловейчика, М.Э. Рояка, Г.М. Тригубовича). Для описания аномальной трехмерной составляющей поля в нем была использована следующая математическая модель:

1 - г>Аа

-—ААа + = -(а-оп)Еп,

дЬ

(15)

-сНу

дАа

страс! V +ст—— ос

= <Цу((от-а")^),Лв|г = а Л°|г_о = 0.

Математические модели трехмерных нестационарных электромагнитных полей КЭД и ВЭЛ будут отличаться от рассмотренной постановки для токовой петли начальным условием для и способом вычисления нормального поля. Начальным условием для нестационарного процесса с источником в виде

КЭД является распределение поля , которое может быть найдено из ре-

шения задач (10), (12), (13) и (14). Нормальное же поле Ёп может быть найдено ло формулам (9) после решения начально-краевой задачи (4), (6), (7)-(8). При расчете нестаттионарного поля от ВЭЛ начальным условием является распределение поля , которое может быть найдено из решения задач (10)-(11),

1г=о

(13) и (14). В этом случае нормальное поле Еп может быть найдено по формулам (9) после решения начально-краевой задачи (4)-(5), (7)-(8).

Оценка точности решений рассмотренных трехмерных задач проводилась путем сравнения с решениями, полученными для осесимметричных моделей с использованием соответствующих двумерных постановок. Тем самым еще раз контролировалась и корректность постановок для осесимметричных задач, рассмотренных в главе 2.

В четвертой • главе диссертационной работы приводятся примеры использования разработанных программ при моделировании нестационарных трехмерных электромагнитных полей от различных источников на реальных геологических моделях нефтегазовой залежи в геоэлектрических условиях Западной и Восточной Сибири. Проводится сравнительный анализ применения рассмотренных источников. Для условий Восточной Сибири рассматривалась модель глубинной залежи углеводородов (глубина 2 км) в присутствии мешающих факторов в верхней части разреза (глубины от 300 м до 100 м). На рис. 2 приводятся площадные распределения ЭДС в различные моменты времени для различных источников.

Для условий Западной Сибири рассматривалась возможность оконтури-вания залежи большой протяженности с использованием источников электромагнитного поля петля и КЭД.

В пятой главе диссертационной работы предлагается алгоритм расчета стационарных электрических полей в задачах мониторинга жидких радиоактивных отходов (ЖРО) при наличии нескольких обсаженных скважин. Суть задачи заключается в том, что заземление производят в одной скважине, а измерения - в другой и, таким образом, помимо поисковых объектов, являющихся трехмерными включениями, в трехмерную часть поля должна быть включена еще и обсаженная скважина (где производятся измерения), учесть которую достаточно сложно.

В диссертационной работе реализован метод, который позволяет выполнять такой расчет за 1-2 мин. Идея этого метода заключается в том, чтобы с помощью специальной нумерации узлов и коррекции портрета разреженной ко-нечноэлементной матрицы улучшить свойства получаемой после предобуслов-ливания СЛАУ и тем самым существенно ускорить процесс сходимости при решении ее методом сопряженных градиентов.

С помощью разработанного алгоритма трехмерного моделирования показывается принципиальная возможность проведения мониторинга ЖРО в меж-скважинном пространстве и возможные подходы к проведению анализа практических данных наземной и скважиной электроразведки на примере результатов измерений на двух участках захоронения ЖРО.

Г Л 1

объект

л.

объект 3

-6000 -4000 2000 00 2000 4000

-«ооо -4000 2000 0 0 2000 4000

гт

объестI л

6000 -4000 2000 00 2000 4000.

объект!

Ттнял»

объект 3

-«000 -4000 2000 0 0 2000 4000

б)

объект 3

-6000 -4000 2000 0 0 2000 4000

г)

Т*эд

-«000 -4000 2000 0 0 2000. 4000

д) е)

Рис 1 Площадные распределения ЭДС от различных источников Токовая петля а) 1=80 мс, б) 220 мс, ВЭЛ в) {=50 мс, г) 1=100 мс, КЭД 1=50 мс д) поле от залежи и объектов-«помех», е) поле от залежи без объектов-«помех»

Заключение

Основные результаты работы заключаются в следующем:

1. Предложен и программно реализован подход, основанный на использовании нерегулярных прямоугольных сеток и позволяющий с очень высокой скоростью и точностью вычислять осесимметричные электромагнитного поля от токовой пегли. Эта процедура реализована как самостоятельная программа и как часть программного комплекса решения обратной задачи IFSTEM. В результате проведенных исследований показаны значительное (в 3.5 раза) сокращение времени счета разработанным методом по сравнению с методом, использующим регулярные сетки, и высокая точность получаемого решения в сравнении с полуаналитическим методом для горизонтально-слоистой среды и с результатами натурного эксперимента для осесимметричной модели проводящего короткозамкнутого медного витка.

2. Предложен и программно реализован подход, позволяющий вычислять вызванные ВЭЛ нестационарные электромагнитные поля при наличии в среде осесимметричных объектов, включая обсадную колонну труб. Сравнение с аналитическим методом для двухслойной среды и с решением соответствующей двойственной задачи для среды с осесимметричными объектами, включая обсадную колонну труб, показало высокую точность получаемых численных решений.

3. Предложен и программно реализован подход, позволяющий вычислять вызванные КЭД нестационарные электромагнитные поля при наличии в среде осесимметричных объектов. Путем сравнения с аналитическим методом показана возможность использования математической модели в виде «идеального» КЭД для расчета электромагнитных процессов от установок с конечным (относительно небольшим) числом лучей и хорошая точность получаемого по этой модели конечноэлементного решения.

4. Предложен и программно реализован подход, позволяющий вычислять трехмерные стационарные электрические и магнитные поля, вызванные источниками типа ВЭЛ и КЭД. Показана высокая точность получаемых характеристик стационарного электрического и магнитного поля путем сравнения решений осесимметричной задачи в трехмерной и в соответствующей двумерной постановках. Тем самым подтверждена возможность использования получаемого решения как в качестве начального условия для нестационарного процесса, так и для обработки полевых данных при использовании технологий на постоянном токе для источников ВЭЛ и КЭД.

5. Проведены исследования точности получаемого конечноэлементного решения трехмерной нестационарной задачи расчета электромагнитного поля от ВЭЛ и КЭД путем сравнения решений осесимметричной задачи в трехмерной и в соответствующей двумерной постановках. Результаты сравнения показали, что, во-первых, решение трехмерной задачи для КЭД и ВЭЛ может быть

получено с достаточно высокой точностью (3-4%), во-вторых, для ВЭЛ тpex-мерная задача может решаться без включения в расчетную область обсадной трубы при полном учете ее характеристик при расчете нормального поля, и, в-третьих, еще раз подтвердили корректность предлагаемых математических моделей для расчета поля в осесимметричной среде для ВЭЛ и КЭД.

6. Проведенные расчеты трехмерных нестационарных электромагнитных полей для модели нефтегазовой залежи в условиях Восточной Сибири в присутствии объектов-помех показали, что источник петля обладает хорошей дифференциацией объектов по времени и дает довольно большой процент влияния аномалии при измеримом сигнале. Источники же типа ВЭЛ и КЭД, хоть и обладают нулевым нормальным полем (при индукционном приеме), тем не менее характеризуются достаточно слабой дифференциацией сигналов по времени. При этом очень сильные отклики дают проводящие объекты, попавшие под КЭД. Таким образом, КЭД позволяет довольно уверенно выделять приповерхностные объекты, но в их присутствии становится проблематичным выделение глубинных аномалий.

7. Разработан и программно реализован усовершенствованный алгоритм расчета стационарных трехмерных электрических полей при наличии в расчетной области нескольких обсаженных скважин, применение которого позволило сократить решение одной трехмерной задачи примерно в 60 раз (с 1-2 часов до 1-2 мин.). Показано хорошее совпадение практических и расчетных данных для двух участков захоронения жидких радиоактивных отходов в Красноярском крае и Томской области.

Работа поддержана грантом Министерства образования РФ (проект № А03-2.13-279).

Автор приносит искреннюю благодарность зам. ген. директора СНИИГГиМС по науке, д.т.н. Г.М. Тригубовичу и главному научному сотруднику СНИИГГиМС, д.г.-м.н. Моисееву B.C. за многочисленные ценные советы и помощь при обсуждении геофизических аспектов решенных задач.

Основные публикации автора по теме диссертации:

1. Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Тригубович Г.М. Математическое моделирование процесса становления осесимметричного поля вертикальной электрической линии// Сибирский журнал индустриальной математики. — 2003. - Т.6. - №2(14) - С. 107-125.

2. Моисеев B.C., Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Токарева М.Г. Математическое моделирование при разработке технологий для метода вызванной поляризации// Сибирский журнал индустриальной математики. -1999. - Т.2. -С. 135-146.

3. Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Рояк М.Э., Тригубович Г.М. «Конечно-элементное моделирование электромагнитного поля для кругового электрического диполя в трехмерных средах»// Сибирский журнал индустриальной математики. - 2004. - Т. 7. - № 1(17) - С. 114-129.

4. Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Тракимус Ю.В. «Использование векторного МКЭ для расчёта становления осесимметричного поля вертикальной электрической линии» // Доклады АН ВШ январь-июнь №1(2), 2004 — С. 76-86.

5. Патент Российской Федерации № 2220428 «Способ слежения за плановым положением контура жидких радиоактивных отходов». Авторы: Моисеев B.C., Паули Н.И., Персова М.Г., Бакшт Ф.Б., Сибгатулин В.Г., Жидков В.В., Волжанкин В.В., Комиссаров В.В.. Приоритет - 27.04.2002.

6. М.Г. Токарева, М.Г. Персова, А.Г. Задорожный А.Г. Алгоритм оптимизации прямоугольных сеток для решения задач электроразведки// Сборник трудов НГТУ.- Новосибирск: изд-во НГТУ, 2002. - № 2(28). - С. 41-48.

7. М.Г. Персова Моделирование нестационарных электромагнитных полей на нерегулярных прямоугольных сетках// Сборник трудов НГТУ.- Новосибирск: изд-во НГТУ, 2002. - № 3(29). - С. 33-38.

8. Персова М.Г. Программная реализация решения задачи наземно-скважинной электроразведки, ориентированная на пользователя-геофизика// Труды V международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (АПЭП-2000). - Новосибирск: НГТУ, 2000. - Т. 3. - С. 49-51.

9. Тригубович Г.М., Персова М.Г., Чернышев А.В. Возможности современных технологий электрометрии становлением поля при решении нефте-поисковых задач// Материалы научно-практической конференции. - Новосибирск: СНИИГГиМС, 2003. - С. 122-125.

Ю.М.Г.Персова. Теоретическое обоснование возможностей наземно-скважинных наблюдений при оконтуривании залежей углеводородов// Труды IV Международного научного симпозиума имени академика М.А.Усова «Проблемы геологии и освоения недр». - Томск: ТПУ, 2000. -С. 318-319.

11.Персова М.Г. Применение математического моделирования в системах интерпретации данных при работе методами наземно-скважинной электроразведки// Тезисы докладов 10-ой Всероссийской конференции «Математическое моделирование в естественных науках» - Пермь: 111 ТУ, 2001.-С 68-69.

12.Персова М.Г. Разработка новых технологий наземно-скважинной электроразведки с использованием характеристик нестационарных магнитных полей// Труды V Международного научного симпозиума имени академика М.А.Усова «Проблемы геологии и освоения недр». - Томск: ТПУ, 2001.-С. 299-300.

13.Персова М.Г. Применение 3D математического моделирования для интерпретации данных становления поля вертикальной электрической линии с учетом обсаженной скважины// Тезисы докладов IV международного геолого-геофизического конкурса конференции «Геофизика-2003». -Санкт-Петербург: СПО ЕАГО, 2003. - С.147-148.

И.Тригубович Г.М., Соловейчик ЮТ., Персова М.Г. Анализ разрешающей способности электроразведки с модифицированными источниками электромагнитного поля// Труды международной геофизической конференции-выставки «Геофизика XXI века — прорыв в будущее». - Москва: SEG, 2003, р.195, библиогр. CD-ROM.

15.G. Trigubovich, М. Royak, Y.Soloveichik, A.Chernyshev and M.Persova. 3D procedure of conductivity reconstruction using transient electromagnetic

" sounding date system// Extended abstracts of 65lh EAGE Conference & Technical Exhibition - Stavanger, Norway, P155,2-5 June 2003.

16.Бакшт Ф.Б., Моисеев B.C., Паули Н.И., Персова М.Г. Электроразведоч-иый мониторинг подземных хранилищ жидких радиоактивных отходов с использованием обсаженных скважин// Материалы Всероссийской научно-технической конференции - Томск, 2003. - С. 273-274.

П.Моисеев B.C., Паули Н.И., Полетаева Н.Г., Персова М.Г., Токарева М.Г. Технология наземно-скважинной электроразведки и вызванной поляризации при поисках и оконтуривании залежей углеводородов// Материалы научно-практической конференции. - Новосибирск: СНИИГТиМС, 2003.-С. 133-135.

18.3адорожный А.Г., Персова М.Г., Тригубович Г.М. «Расчет влияния приповерхностного непроводящего объекта на распространение электромагнитной волны в проводящей среде»// Сборник трудов НГТУ. - 2003. -№ 4(34). - С. 17-22.

19.Соловейчик Ю.Г., Токарева М.Г., Персова М.Г. «Решение трехмерных стационарных задач электроразведки на нерегулярных параллелепипеи-дальных сетках»// Вестник ИрГТУ. - Иркутск, 2004 г. - № 1. - 45-60.

20.Тригубович Г.М., Соловейчик Ю.Г., РоякМ.Э., Чернышев А.В., Персова М.Г. Трехмерная электроразведка Ml 111. Теория и практика// Геологические аспекты минеральной сырьевой базы АК АЛРОСА «Современное состояние, перспективы, решения» (доп. материалы к сборнику «Проблемы прогнозирования, поисков и изучения месторождений полезных ископаемых на пороге XXI века. - Воронеж: Воронежский государственный университет, 2003 г. - 742 с.) - г. Мирный, 2003 г. - С. 301-311.

21. Разработка теории комплексного изучения электрических и индукционных магнитных полей при электроразведочных нефтепоисковых исследованиях в сложных геологических условиях разреза Сибири. 11 Г.2.1/101(2.11) 08.02/942 / Моисеев B.C., Балашов Б.П, Паули Н.И., Персова МГ., Токарева М.Г., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Секачев М.Ю., Вечкапов О.ПУ/ Отчет о НИР, СНИИГГиМС, № ГР 01.20.0005811, Новосибирск, 2000 г. -163 с.

р - 5 7 1 5

Подписано в печать Формат 84x60x1/16

Бумага офсетная. Тираж ЮО экз. Печ.л. 1,5 Заказ №

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К.Маркса, 20

Введение.

ГЛАВА 1. Конечноэлементные схемы моделирования нестационарных электромагнитных осесимметричных полей, вызванных токовой петлей.

1.1. Математическая постановка. Нормальная и аномальная задачи.

1.2. Вариационная постановка и конечноэлементные аппроксимации.

1.3. Сравнение с полуаналитическим методом расчета для моделей горизонтально-слоистых сред.

1.4. Сравнение расчетов на регулярных и нерегулярных прямоугольных сетках.

1.5. Сравнение с экспериментом.

1.6. Выводы.

Глава 2. Конечноэлементные схемы моделирования нестационарных электромагнитных осесимметричных полей для источников типа ВЭЛиКЭД.

2.1. Математическая модель для расчета нестационарного осесимметричного поля ВЭЛ.

2.2. Вариационная постановка для задачи моделирования нестационарного осесимметричного электромагнитного поля ВЭЛ.

2.3. Аппроксимация по времени и пространству задачи для ВЭЛ.

2.4. Случай необсаженной скважины для ВЭЛ.

2.5. Случай обсаженной скважины для ВЭЛ.

2.6. Решение двойственной задачи для ВЭЛ.

2.7. Математическая модель для расчета нестационарных электромагнитных осесимметричных полей от «идеального» КЭД.

2.8. Анализ точности конечноэлементного решения осесимметричной задачи расчета электромагнитного поля «идеального» КЭД.

2.9. Выводы.

Глава 3. Конечноэлементные схемы моделирования стационарных и нестационарных трехмерных электрических и магнитных полей для ВЭЛ и КЭД.

3.1. Математические модели стационарных трехмерных магнитных и электрических полей источников ВЭЛ и КЭД.

3.2. Вариационная постановка и конечноэлементная аппроксимация.

3.3. Проверка адекватности предложенной модели и оценка точности конечноэлементного решения трехмерной стационарной задачи.

3.3.1. Оценка точности конечноэлементного решения сравнением с результатом интегрирования по закону Био-Савара-Лапласа.

3.3.2. Оценка точности конечноэлементного решения сравнением с решением соответствующей двумерной задачи.

3.4. Математические модели нестационарных трехмерных электромагнитных полей от ВЭЛ и КЭД.

3.5. Анализ точности конечноэлементных решений нестационарных трехмерных задач.

3.5.1. Задачи с источником КЭД.

3.5.2. Задачи с источником ВЭЛ.

3.6. Выводы.

Глава 4. Оценка разрешающей способности площадных электромагнитных зондирований от различных источников для нефтяных моделей восточной и западной сибири.

4.1. Оценка разрешающей способности площадных электромагнитных зондирований с индукционным приемом для типичной модели нефтегазовой залежи Восточной Сибири.

4.1.1. Результаты моделирования для источника петля.

4.1.2. Результаты моделирования для источника ВЭЛ.

4.1.3. Результаты моделирования для источника КЭД.

4.1.4. Результаты сравнения разрешающей способности различных источников.

4.2. Оценка разрешающей способности площадных электромагнитных зондирований с индукционным приемом для типичной модели нефтегазовой залежи Западной Сибири.

4.2.1. Результаты моделирования для источника петля.

4.2.2. Результаты моделирования для источника КЭД.

4.2.3. Результаты сравнения разрешающей способности петли и КЭД

4.3. Выводы.

Глава 5. Трехмерное моделирование электрических полей при решении задач мониторинга.

5.1. Алгоритм расчета электрического поля в средах, содержащих несколько обсаженных скважин.

5.2. Проявление хорошо и плохопроводящих объектов при измерениях по стволу обсаженной скважины.

5.3. Теоретическая оценка возможности проведения мониторинга ЖРО при измерениях в обсаженной скважине.

5.4. Анализ практических данных наземной и скважиной электроразведки, полученных на двух участках захоронения

ЖРО в Красноярском крае и Томской области.

5.4.1. Анализ наземных наблюдений.

5.4.2. Анализ скважинных наблюдений.

5.5. Выводы.

Общая характеристика работы

В настоящее время методы электроразведки довольно широко применяются в геолого-геофизических задачах (поиск и разведка полезных ископаемых), в задачах мониторинга (при эксплуатации нефтегазовых месторождений и захоронения радиоактивных отходов), а также при решении инженерно-технических проблем (контроль различных технических сооружений). Эти методы различаются по типу и конфигурации установок возбуждения электромагнитного поля и приема сигнала, но в их основе всегда лежит восстановление сопротивления исследуемой области по измеренному сигналу.

Данная диссертационная работа посвящена разработке и исследованию новых методов моделирования электромагнитных полей, возбуждаемых наиболее часто используемыми на практике источниками, такими как:

- токовая изолированная петля;

- вертикальная электрическая линия (ВЭЛ) [13, 26, 72]. Она представляет собой линию с током, заземленную в двух точках скважины, чаще всего обсаженной металлическими трубами;

- круговой электрический диполь (КЭД) [27-31, 73]. Он представляет собой набор радиально направленных горизонтальных линий, имеющих общий центральный электрод. Отметим, что идеальный источник типа КЭД должен содержать бесконечное количество линий, то есть представлять собой заземленное по внутреннему и внешнему радиусам токовое кольцо.

Первый метод является методом, основанным только на индукционном возбуждении электромагнитного поля, последние два метода используют заземленные источники. Принимаемый сигнал также может измеряться по-разному, например, заземленной линей MN, измеряющей напряженность электрического поля, или изолированной рамкой, измеряющей изменение потока индукции через нее во времени (ЭДС).

Основной задачей геофизика-интерпретатора при использовании этих методов является решение обратной задачи. На первом этапе интерпретации целесообразно производить подбор горизонтально-слоистой среды. В качестве примеров разработок, посвященных проблеме восстановления горизонтально-слоистой среды, можно привести такие программные комплексы как ПОДБОР [30, 31] и HORIZON [88]. Тем не менее очевидно, что поскольку объектом поиска является, как правило, некоторое отличающееся по сопротивлению трехмерное включение в среду, основной интерес представляет решение трехмерной обратной задачи, то есть задачи, позволяющей определить глубину и сопротивление объектов, отличных по сопротивлению от горизонтально-слоистой среды. В работе [70] был предложен подход к решению трехмерной обратной задачи для источника токовая петля. Этот подход основан на представлении трехмерного поля через суперпозицию осесимметричных полей. В нем специальным набором осесимметричных задач моделируются различные положения трехмерных объектов, и выбираются те, сигналы от которых максимально приближены к измеренным в поле. Подробно метод подбора описан в работе [71]. Очевидно, что при использовании такого метода подбора требуется решать достаточно большое количество осесимметричных задач. Чтобы решение обратной задачи могло быть получено за приемлемое для геофизика-интерпретатора время и максимально близко описывало реальную структуру среды, решение осесимметричной задачи должно быть получено с достаточно высокой точностью при малых вычислительных затратах.

Сразу отметим, что идея, предложенная в работах [70, 71,105,106] и используемая при решении обратной задачи для источника типа токовая петля, может быть применена при разработке методов решения обратных задач для других источников возбуждения.

Поэтому первая глава диссертационной работы посвящена способу решения осесимметричных задач, который позволяет значительно ускорить решение таких задач путем использования нерегулярных прямоугольных сеток и применения методики разделения полей. Реализация этого способа показана на примере решения осесимметричной задачи с установкой токовая петля.

Вторая глава диссертационной работы посвящена решению осесиммет-ричных задач от источников ВЭЛ и КЭД. В ней предлагаются математические модели, эквивалентные вариационные постановки и конечноэлементные аппроксимации для решения задач такого типа в горизонтально-слоистых средах с возможным включением осесимметричных объектов, отличных по электрической проводимости и магнитной проницаемости, а также, в случае расчета электромагнитного поля от ВЭЛ, с полным учетом электрических и магнитных характеристик обсаженной скважины.

Однако, разработка методов решения обратных задач для различных источников, а также моделирование электромагнитного поля на известных геологических и технических моделях для тестирования аппаратуры и разработки технологий проведения работ невозможны без решения трехмерных задач, которые достаточно точно, без каких-либо серьезных допущений, описывают электромагнитное поле в среде, содержащей различные трехмерные неоднородности. Ранее для решения трехмерных задач геоэлектрики чаще всего использовали метод интегральных уравнений (МИУ) [2,3,9,90,94]. Однако этот метод далеко не всегда позволяет получать приемлемые по точности решения трехмерных задач. Рассматриваемые в диссертационной работе методы численного моделирования базируются на использовании метода конечных элементов (МКЭ). Одними из важнейших преимуществ МКЭ являются его возможности учета сложной геометрии решаемой задачи. Однако первые попытки применения МКЭ для решения задач трехмерной геоэлектрики натолкнулись на очень серьезные трудности в обеспечении требуемой точности расчета - довольно часто погрешность решения трехмерной задачи была даже больше, чем изучаемое поле откликов от трехмерных объектов (и в этом он сильно уступал гораздо более популярному тогда МИУ). Существенного прогресса при использовании МКЭ для решения трехмерных задач геоэлектрики в сложнопостроенных средах позволил достичь подход, предложенный в работах [61, 67-69] и базирующийся на разделении искомого электромагнитного поля на двумерную и трехмерную составляющие. В этом подходе краевые (и эквивалентные им вариационные) задачи для двумерной составляющей (так называемого нормального поля) и трехмерной составляющей (аномального поля) искомого (суммарного) поля формулируются так, что сумма их точных решений является точным решением исходной задачи. В этом случае двумерная задача используется, как правило, для расчета поля во вмещающей среде, которая включает в себя все горизонтальные слои и, возможно, осесимметричные (соосные с источником) объекты, а в трехмерной задаче рассчитывается поле влияния всех трехмерных неоднородностей.

Достаточно очевидно, что такой подход можно использовать при решении трехмерных нестационарных задач и от других источников. Для этого необходимо рассчитывать стационарные трехмерные аномальные составляющие магнитного поля от этих источников, которые будут являться начальным полем (условием) для нестационарного процесса. Заметим, что в случае использования источника типа токовая петля аномальная трехмерная магнитная составляющая в стационарном процессе равна нулю (в однородной по магнитной проницаемости среде) и, следовательно, такая задача не была решена. Таким образом, третья глава диссертационной работы посвящена разработке конеч-ноэлементных схем моделирования аномальной составляющей трехмерных стационарных электрических и магнитных полей и использованию реализованных на их основе численных процедур, а также численных процедур моделирования нормального поля, описанных в главе 2, при расчете трехмерных нестационарных электромагнитных полей.

Четвертая глава диссертационной работы содержит примеры использования разработанных программ при моделировании нестационарных трехмерных электромагнитных полей от различных источников на реальных геологических моделях нефтегазовой залежи в геоэлектрических условиях Западной и

Восточной Сибири, а также сравнительный анализ применения рассмотренных источников.

Пятая глава диссертационной работы посвящена алгоритму расчета стационарных электрических полей в задачах мониторинга при наличии нескольких обсаженных скважин. Суть задачи заключается в том, что заземление производят в одной скважине, а измерения в другой и, таким образом, помимо поисковых объектов, являющихся трехмерными включениями, в трехмерную часть входит еще и обсаженная скважина (где производятся измерения), учесть которую достаточно сложно. В этой главе предложен алгоритм, позволяющий моделировать электрические поля в таких средах при малых вычислительных затратах и с достаточно высокой точностью.

Таким образом, предлагаемые в данной диссертационной работе методы конечноэлементного моделирования позволяют разрабатывать новые эффективные технологии проведения полевых электроразведочных работ, оценивать возможность их применения в тех или иных геоэлектрических условиях, тестировать измерительную аппаратуру и вырабатывать требования к ней [8, 17, 18,59], а также являются важнейшими элементами систем интерпретации. Все это и обеспечивает актуальность данной диссертационной работы.

Основной научной проблемой, решению которой посвящена данная диссертационная работа, является проблема численного моделирования электромагнитных полей от различных источников в сложных геоэлектрических средах.

В диссертационной работе сформулированы две основные цели исследования, для достижения которых решается ряд задач.

Цели и задачи исследования

1. Быстрые расчеты осесимметричных полей (поле в горизонтально-слоистой среде с осесимметричными объектами типа цилиндр или кольцо) от токовой петли. Для достижения этой цели необходимо решать следующие задачи:

- разработка конечноэлементных схем моделирования нестационарных электромагнитных осесимметричных полей на нерегулярных прямоугольных сетках;

- сравнение точности получаемого решения и вычислительных затрат на регулярных и нерегулярных прямоугольных сетках;

- разработка программ вычисления нестационарного электромагнитного поля, вызванного токовой петлей, в осесимметричных средах на нерегулярных прямоугольных сетках, как части программного комплекса решения обратной задачи.

2. Моделирование трехмерных стационарных и нестационарных электромагнитных полей от различных источников. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

- разработка и программная реализация конечноэлементных схем моделирования нестационарных электромагнитных полей в осесимметричных средах для источников типа ВЭЛ и КЭД;

- разработка и программная реализация конечноэлементных схем моделирования стационарных трехмерных магнитных полей для источников типа ВЭЛ и КЭД;

- исследование трехмерных нестационарных электромагнитных полей от источников типа ВЭЛ, КЭД и петля в различных геоэлектрических условиях;

- программная реализация алгоритма расчета трехмерных стационарных электрических полей в областях, содержащих узкие объекты высокой проводимости (несколько обсаженных скважин) и оценка вычислительных затрат для получения решения необходимой точности.

Научная новизна

1. Разработаны конечноэлеменые схемы моделирования осесимметричных нестационарных электромагнитных полей от токовой петли, базирующиеся на подходе с разделением полей и использующие аппроксимации на нерегулярных прямоугольных сетках с удаленными «лишними» узлами.

2. Предложены математическая постановка и конечноэлеменые схемы моделирования осесимметричных нестационарных электромагнитных полей от ВЭЛ и КЭД.

3. Предложены математическая постановка и конечноэлементные схемы моделирования трехмерных стационарных и нестационарных электромагнитных полей от источников ВЭЛ и КЭД.

4. На основе разработанных в диссертационной работе методов изучено поведение трехмерных нестационарных электромагнитных полей от различных источников (ВЭЛ, КЭД и токовая петля) в сложных геоэлектрических условиях.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Математическая постановка, основанная на разделении полей, и конечноэлементные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей в осесимметричных средах от токовой петли на нерегулярных прямоугольных сетках.

2. Математическая постановка и конечноэлементные схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей в осесимметричных средах от ВЭЛ и КЭД.

3. Математическая постановка и конечноэлементные схемы моделирования стационарных трехмерных магнитных полей от источников ВЭЛ и КЭД.

4. Численное моделирование трехмерных нестационарных электромагнитных полей от ВЭЛ и КЭД.

5. Численное моделирование трехмерных электрических полей в средах с несколькими обсаженными скважинами.

Достоверность результатов

Адекватность построенных математических моделей и разработанные для них конечноэлементные схемы и вычислительные процедуры подтверждены следующими экспериментами:

1. Решение осесимметричной задачи для токовой петли на нерегулярных прямоугольных сетках сравнивалось с ранее разработанным методом, использующим регулярные прямоугольные сетки, а также с данными натурного эксперимента.

2. Решение задач в горизонтально-слоистых средах с источниками ВЭЛ и КЭД для простых моделей сравнивалось с результатами, полученными аналитическими методами [13, 20, 26]. Кроме того, правильность и точность расчета стационарного поля в осесимметричной среде проверялась с помощью решения двойственной задачи.

3. Верификация трехмерных расчетов проводилась на осесимметричных моделях путем сравнения с решениями, получаемыми на основе двумерной постановки. Кроме того, верификация расчетов трехмерной аномальной составляющей индукции стационарного магнитного поля проводилась путем сравнения с индукцией магнитного поля, рассчитанной по закону Био-Савара-Лапласа.

Теоретическая значимость работы состоит в том, что предложены и теоретически обоснованы математические модели, описывающие становление поля от ВЭЛ и КЭД в любых осесимметричных средах. Кроме того, предложены и теоретически обоснованы математические модели, описывающие стационарные трехмерные магнитные поля в однородных по магнитной проницаемости средах.

Практическая значимость работы и реализация результатов

Предлагаемые в данной работе конечноэлементные схемы моделирования нестационарных трехмерных электромагнитных полей реализованы в программном комплексе. Разработанные программы использовались при планировании полевых электроразведочных работ, интерпретации полученных полевых данных, при выработке требований к измерительной аппаратуре и ее тестировании.

Личный вклад

1. Разработаны и программно реализованы конечноэлементые схемы моделирования нестационарных электромагнитных полей в осесимметричных средах для источников ВЭЛ, КЭД и токовая петля. Построенные численные процедуры протестированы, проведены экспериментальные оценки их точности и вычислительной эффективности.

2. Разработаны и программно реализованы конечноэлементные схемы моделирования стационарных трехмерных магнитных полей от ВЭЛ и КЭД. Построенные численные процедуры протестированы, оценена их точность и соответствующие вычислительные затраты.

3. С помощью разработанных процедур вычисления нормального нестационарного поля и аномального стационарного поля выполнены расчеты трехмерных нестационарных электромагнитных полей. Проведена оценка точности получаемых решений.

4. Проведены исследования нестационарных трехмерных электромагнитных полей от различных источников на ряде геологических моделей.

5. Разработан и реализован алгоритм расчета стационарных трехмерных электрических полей для геологических моделей, содержащих несколько обсаженных трубами скважин. Проведено тестирование и решены практические задачи.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на V международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-2000 (Новосибирск, 2000г.); Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 2000г.); IV и V международном симпозиуме «Проблемы геологии и освоения недр» (Томск, 2000 и 2001 г.); Третьем русско-корейском международном симпозиуме KORUS-1999; Международной геофизической конференции-выставки «Геофизика XXI века — прорыв в будущее» (Москва, 2003); IV международном геолого-геофизическом конкурсе-конференции «Геофизика-2003» (Санкт-Петербург, 2003); Всероссийской научно-технической конференции (Томск, 2003 г.), Научно-практической конференции (Новосибирск, СНИИГГиМС, 2003 г.).

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 36 работ, из них 9 статей, 9 работ в сборниках трудов конференций, 10 работ в сборниках тезисов конференций, 7 отчетов о НИР, 1 патент. Полученные в диссертационной работе результаты были использованы при написании трех производственных отчетов.

Структура работы

Диссертационная работа изложена на 184 страницах и состоит из введения, пяти глав, заключения, списка использованных источников (110 наименований), приложения и содержит 63 рисунка и 5 таблиц.

5.5. Выводы

1. Разработан и программно реализован усовершенствованный алгоритм расчета стационарных трехмерных электрических полей при наличии в расчетной области нескольких обсаженных скважин. Применение этого алгоритма позволило сократить решение одной трехмерной задачи примерно в 60 раз (с 1-2 часов до 1-2 мин.), что, в свою очередь, позволило проводить оценки возможностей скважинных измерений, а также анализировать полученные практические результаты.

2. Определены характерные признаю! проявления хорошо и плохопрово-дящих объектов при измерениях в обсаженной скважине. Показано, что хорошопроводящий объект характеризуется резким спадом разности потенциалов, а плохопроводящий — постоянным значением разности потенциалов на уровне объекта при измерении по стволу обсаженной скважины. Проведена оценка возможности мониторинговых работ в обсаженных скважинах для геоэлектрических условий, приближенных к условиям участка 2. Показано, что при заряде в «чистой» скважине перемещение границ объекта может отражаться не только в уровне и форме сигнала по наблюдательной скважине, но и изменением знака.

3. Для двух участков захоронения ЖРО проведен анализ практических данных. Получено хорошее совпадение практических и расчетных данных как при наземной съемке на участке 1, так и при скважинной — на участке 2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам проведенных исследований можно заключить следующее:

1. Предложен и программно реализован подход, основанный на использовании нерегулярных прямоугольных сеток и позволяющий с очень высокой скоростью и точностью вычислять осесимметричные электромагнитные поля от токовой петли. Эта процедура реализована как самостоятельная программа и как часть программного комплекса решения обратной задачи IFSTEM. В результате проведенных исследований показаны значительное (в 3.5 раза) сокращение времени .счета разработанным методом по сравнению с методом, использующим регулярные сетки, и высокая точность получаемого решения в сравнении с полуаналитическим методом для горизонтально-слоистой среды и с результатами натурного эксперимента для осесимметричной модели проводящего короткозамкнутого медного витка.

2. Предложен и программно реализован подход, позволяющий вычислять вызванные ВЭЛ нестационарные электромагнитные поля при наличии в среде осесимметричных объектов, включая обсадную колонну труб. Сравнения с аналитическим методом для двухслойной среды и с решением соответствующей двойственной задачи для среды с осесимметричными объектами, включая обсадную колонну труб, показали высокую точность получаемых решений.

3. Предложен и программно реализован подход, позволяющий вычислять вызванные КЭД нестационарные электромагнитные поля при наличии в среде осесимметричных объектов. Путем сравнения с аналитическим методом показана возможность использования математической модели в виде «идеального» КЭД для расчета электромагнитных процессов от установок с конечным (относительно небольшим) числом лучей и хорошая точность получаемого по этой модели конечноэлементного решения.

4. Предложен и программно реализован подход, позволяющий вычислять трехмерные стационарные электрические и магнитные поля, вызванные источниками типа ВЭЛ и КЭД. Показана высокая точность получаемых характеристик стационарного электрического и магнитного поля путем сравнения решений осесимметричной задачи в трехмерной и в соответствующей двумерной постановках. Тем самым подтверждена возможность использования получаемого решения как в качестве начального условия для нестационарного процесса, так и для обработки полевых данных при использовании технологий на постоянном токе для источников ВЭЛ и КЭД.

Проведены исследования точности получаемого конечноэлементного решения трехмерной нестационарной задачи расчета электромагнитного поля от ВЭЛ и КЭД путем сравнения решений осесимметричной задачи в трехмерной и в соответствующей двумерной постановках. Результаты сравнения показали, что, во-первых, решение трехмерной задачи для КЭД и ВЭЛ может быть получено с достаточно высокой точностью (3-4%), во-вторых, для ВЭЛ трехмерная задача может решаться без включения в расчетную область обсадной трубы при полном учете ее характеристик при расчете нормального поля, и, в-третьих, еще раз подтвердили корректность предлагаемых математических моделей для расчета поля в осесимметричной среде для ВЭЛ и КЭД.

Проведенные расчеты трехмерных нестационарных электромагнитных полей для модели нефтегазовой залежи в условиях Восточной Сибири в присутствии объектов-помех показали, что источник петля обладает хорошей дифференциацией объектов по времени и дает довольно большой процент влияния аномалии при измеримом сигнале. Источники же типа ВЭЛ и КЭД хоть и обладают нулевым нормальным полем (при индукционном приеме), тем не менее характеризуются достаточно слабой дифференциацией сигналов по времени. При. этом очень сильные отклики дают проводящие объекты, попавшие под КЭД. Таким образом, КЭД позволяет довольно уверенно выделять приповерхностные объекты, но в их присутствии становится проблематичным выделение глубинных аномалий. Проведенные расчеты трехмерных нестационарных полей для решения задачи оконтуривания модели нефтегазовой залежи большой протяженностью в условиях Западной Сибири показали, что при использовании источника петля теоретически возможно выделение всех краев залежи, при этом понятно, что практически возможно выделение лишь тех краев, при проявлении которых сигнал является еще измеримым. Что касается КЭД, то при его использовании можно уверенно выделять только ближний к КЭД край объекта.

Разработан и программно реализован усовершенствованный алгоритм расчета стационарных трехмерных электрических полей при наличии в расчетной области нескольких обсаженных скважин, применение которого позволило сократить решение одной трехмерной задачи примерно в 60 раз (с 1-2 часов до 1-2 мин.). Показано хорошее совпадение практических и расчетных данных для двух участков захоронения жидких радиоактивных отходов в Красноярском крае и Томской области.

1. Барашков И.С., Дмитриев В.И. Об учете влияния разломов в обратной задаче глубинного магнитотеллурического зондирования // Вестник Московского университета. Сер. 15, Вычислительная математика и кибернетика, 1992. №2. - С.24-30.

2. Барашков И.С., Дмитриев В.И. Обратная задача глубинного зондирования квазислоистых сред // Методы математического моделирования и вычислительной диагностики. — М., 1990. С.142-153.

3. Безрзтс И.А., Куликов А.В., Киселев Е.С. и др. Электроразведка в комплексе глубинных и поисковых геофизических работ //Геофизика, 1975.- №5. -С. 23-30.

4. Березкин В. Н., Хавкина Д.Б. Физико-геологическое обоснование прямых поисков нефти и газа комплексом геофизических методов //Прикладная геофизика, 1982. — вып. 103. — С. 14-20.

5. Ваньян JI.JI. Основы электромагнитных зондирований. М.: Недра, 1965.-109 с.

6. Ведомственные испытания экспериментальных образцов электроразведочной аппаратуры "Цикл5", "НСЭ-8", "Импульс-авто" и приемных индукционных датчиков. 11 Г.2.1/(2)08.02/953. / В.С.Моисеев,

7. Г.М.Тригубович, В.В. Филатов, Б.П.Балашов, А.К.Захаркин, Н.И.Паули, О.Ф. Тараторкин, Н.Н. Тарло, М.Г. Персова, М.Г. Токарева, Н.Г. Полетаева, А.В. Чернышев // Отчет о НИР, СНИИГГиМС, № ГР 01.20.0005001, Новосибирск, 2000 г. 163 с.

8. Вычислительная математика и техника в разведочной геофизике: Справочник геофизика / Под. ред. В.И.Дмитриева 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Недра, 1990. - 498 с.

9. Ю.Выполнение наземно-скважинных наблюдений по объекту № 157 / Моисеев B.C., Паули Н.И., Персова М.Г., Токарева М.Г. // Информационный отчет по договору №157-5 между КНИИГиМС и СНИИГТиМС, СНИИГГиМС, Новосибирск, 2001г. 75 с.

10. Геофизические методы обнаружения нефтегазовых залежей на Сибирской платформе //Под ред. М.М. Мандельбаума, Б.И. Рабиновича, B.C. Суркова. М.: Недра, 1983. - 128 с.

11. Глубинное захоронение жидких радиоактивных отходов/ Рыбальчен-ко А.И., Пименов М.К., Костин П.П., Носухин А.В. и др. М.: Издат, 1994.-256 с.

12. Изготовление электроразведочной станции НСЭ-8 для поисков и окон-туривания залежей углеводородов. 11 Г. 1.1/(11) 08.02/925 / Моисеев

13. B.C., Тараторкин О.Ф., Паули Н.И., Персова М.Г., Токарева М.Г., Злобин

14. C.А., Ревунов А.Б. // Отчет о НИР, СНИИГГиМС, № ГР 01.9.70004897, Новосибирск, 2000 г. 52 с.

15. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.:Физматлит, 1995. — 288 с.

16. Исаев Г.А., Ремпель Г.Г. Методика интерпретации зондирований метода переходных процессов при поисках полиметаллических месторождений пластообразной формы //Методические рекомендации. Новосибирск: СНИИГГиМС, 1974 г.

17. Каменецкий Ф.М. Электромагнитные геофизические исследования методом переходных процессов. М.: ГЕОС, 1997. — 162 с.

18. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. - 216с

19. Могилатов B.C. Математическая модель водонефтяного контакта в назем-но-скважинной электроразведке // Геология и геофизика, 1994. — Т.35. — №4. -С.116-121.

20. Могилатов B.C. Об одном способе решения основной прямой задачи электроразведки ЗС // Геология и геофизика, 1993. — Т.34. №3. — С. 108-117.

21. Могилатов B.C., Горошко Н.В. Становление поля от источника, заземленного в обсаженной скважине //Геология и геофизика. — Новосибирск, 1986.-№ 12. -С. 101-105.

22. Могилатов B.C. Круговой электрический диполь новый источник для электроразведки // Изв. РАН. Сер. Физика Земли, 1992. № 6. - С. 97-105.

23. Могилатов B.C., Балашов Б.П. Зондирования вертикальными токами (ЗВТ)// Изв. РАН. Сер. Физика Земли, 1994. № 6. - С. 73-79.

24. Могилатов B.C., Злобинский А.В. Поле кругового электрического диполя (КЭД) при постоянном токе// Изв. РАН. Сер. Физика Земли, 1995. — № 11. — С. 25-29.

25. Мопшатов B.C. Импульсная электроразведка //Учебное пособие. — Новосибирск: НГУ, 2002.

26. Могил атов B.C. Индуктивный, смешанный и гальванический источники в электроразведке становлением поля // Изв. РАН. Сер. Физика Земли, 1997. -№12.-С. 42-51.

27. Могилатов B.C., Борисов Г.А. Возбуждение слоистых геоэлектрических сред гармоническим током // Сибирский журнал индустриальной математики, 2003. Т.6. - №1(13). - С. 77-84.

28. Моисеев B.C. Метод вызванной поляризации при поисках нефтеперспек-тивных площадей. — Новосибирск: Наука, 2002. —136 с.

29. Моисеев B.C. Наземно-скважинная электроразведка при оконтуривании залежей углеводородов с использованием обсаженных скважин (методические рекомендации). Новосибирск: СНИИГТиМС, 2002. - 110с.

30. Моисеев B.C., Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г. Математическое моделирование процессов вызванной поляризации в сложнопостроенных средах для токовой линии с заземленными электродами //Сибирский журнал индустриальной математики, 1999. Т. 2. - № 1. — С. 79 -94.

31. Моисеев B.C., Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Токарева М.Г. Математическое моделирование при разработке технологий для метода вызванной поляризации// Сибирский журнал индустриальной математики, 1999. Т.2. - №2(4). - С. 135-146.

32. Моисеев B.C., Могилатов B.C., Рабинович Б.И. и др. Наземно-скважинная электроразведка при оконтуривании залежей нефти и газа в Сибири //Доклады XXX Международного геофизического симпозиума. — М., 1985.-С. 17-27.

33. Персова М.Г. Моделирование нестационарных электромагнитных полей на нерегулярных прямоугольных сетках// Сборник трудов Hi ТУ. 2002. -№3(29).-С. 33-38.

34. Персова М.Г. Программная реализация решения задачи расчета стационарных магнитных полей в задачах геофизики// Тезисы докладов региональной научной конференции «Наука Техника Инновации». — Новосибирск: НГТУ, 2002. 4.1. - С. 133-134.

35. Писсанецки С. Технология разреженных матриц. М.: Мир, 1988. — 410 с.

36. Разработка технологии геофизических исследований для решения прогнозно-поисковых задач // Отчет о НИР по объекту 163/6-01/24, СНИИГТиМС, № ГР 01.200.114111, Новосибирск, 2001-2002 г.

37. Разработка технологии широкополосного импульсного электромагнитного зондирования в береговой зоне и на малых глубинах (ТГ-06 (ИГ-03-65/1780)) / Тригубович Г.М., Персова М.Г., Лукашов А.В. // Отчет о НИР, СНИИГТиМС, Новосибирск, 2003 г. 20 с.

38. Родионов П.Ф. Электроразведка методом заряда. М.: Наука, 1971. -264 с.

39. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г. Алгоритмы построения нерегулярных треугольных и тетраэдральных сеток // Сборник научных трудов НГТУ. — Новосибирск: НГТУ, 1996. №2(4). - С.39-46.

40. Семенов А.С. Метод заряженного тела. Разведка недр, 1947. — № 4. — С. 21-26.

41. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов.- М.: Мир, 1979. -392 с.

42. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. — М.: Мир, 1986. — 229 с.

43. Соловейчик Ю.Г. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук «Вычислительные схемы МКЭ-моделирования трехмерных электромагнитных и тепловых полей в сложных областях», 1997.

44. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C., Васильев А.В. Математическое моделирование на базе метода конечных элементов трехмерных электрических полей в задачах электроразведки //Физика Земли, 1997. — №9.-С. 67-71.

45. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C., Тригубович Г.М. Моделирование нестационарных электромагнитных полей в трехмерных средах методом конечных элементов //Физика Земли, 1998. № 10. - С. 78-84.

46. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Тригубович Г.М., Чернышев А.В. Разработка ^ системы интерпретации электромагнитных полей в задачах индукционнойгеоэлектроразведки// Доклады СО АН ВШ январь-июнь №1(5), 2002 — С.105-114.

47. Соловейчик Ю.Г., Тригубович Г.М., Чернышев А.В., Рояк М.Э. Об одном подходе к решению трехмерной обратной задачи электромагнитного зондирования Земли становлением поля // Сибирский журнал индустриальной математики.-2003.-Т.6, №1(13)-С.138-153.

48. Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Тригубович Г.М. Математическое моделирование процесса становления осесимметричного поля вертикальной электрической линии// Сибирский журнал индустриальной математики. 2003. - Т.6. - №2(14) - с. 107-125.

49. Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Тракимус Ю.В. Использование векторного МКЭ для расчёта становления осесимметричного поля вертикальной электрической линии// Доклады АН ВШ январь-июнь №1(2), 2004 — С. 76-86.

50. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Шурина Э.П. Сеточные методы решения краевых задач математической физики //Методическое пособие. — Новосибирск: НГТУ, 1999. 123 с.

51. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Корытный Е.Б., Разинкин В.П. Применение векторного метода конечных элементов для анализа электромагнитного поля в согласованных пленочных СВЧ-резисторах //Известия вузов России. Радиоэлектроника. 2003. - Вып. 3. -С.71-79.

52. Соловейчик Ю.Г., Токарева М.Г., Персова М.Г. Решение трехмерных стационарных задач электроразведки на нерегулярных параллелепипеи-дальных сетках// Вестник ИрГТУ. Иркутск. 2004 г. — № 1. — 45-60.

53. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов,— М.: Мир, 1977.-350 с.

54. Структурно-формационные модели как физико-геологическая основа высокоразрешающей электроразведки /А.С. Сафонов, И.А. Мушин, Е.С. Киселев, А.С. Горюнов //Геофизика. — № 2. 1996.

55. Тихонов А.Н., Скугаревская О.А. О становлении электрического тока в неоднородной среде. II// Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1950. Т. XIV. № 4. С.281-293.

56. Токарева М.Г., Персова М.Г., Задорожный А.Г. Алгоритм оптимизации прямоугольных сеток для решения задач электроразведки / Сб. науч. тр. НГТУ. Новосибирск, 2002. - № 2(28). - С. 41 -48.

57. Токарева М.Г. Решение стационарных осесимметричных задач на нерегулярных прямоугольных сетках / Сб. науч. тр. НГТУ. — Новосибирск, 2002. № 2(28) - С. 79-88.

58. Тригубович Г.М., Персова М.Г., Чернышев А.В. Возможности современных технологий электрометрии становлением поля при решении нефтепоисковых задач // Материалы научно-практической конференции (16-17 декабря, 2003 г, Новосибирск, СНИИГГиМС), С. 122-125.

59. Уэйт Дж. Р. Геоэлектромагнетизм. — М.: Недра, 1987. 235 с.

60. Чернышев А.В. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук «Вычислительные схемы и программное обеспечение решения прямых и обратных задач электромагнитного зондирования земли становлением поля», 2003 г.

61. Шейнман С.М. Об установлении электромагнитных полей в земле // Прикладная геофизика. М.: Гостоптехиздат, 1974. Вып. 9. С.3-55.

62. Электромагнитная индукция в неоднородных тонких слоях. // Б.Ш. Зингер, Э.Б. Файнберг. М.: ИЗМИРАН, 1985 г. - 234 с.

63. Яковлев А.П., Круглова З.Д. Изменения пород под влиянием нефти и газа и возможность их выявления геофизическими методами //Разведочная геофизика. Обзор. М.: ВИЭМС, 1977. - 42с.

64. Albanese R., Rubinacci G. Analysis of three-dimensional electromagnetic fields using edge elements // J.Comput.Phys. 1993. - Vol. 108. - P. 236245.

65. A. Bossavit. Whitney forms: a class of finite elements for three-dimensional computations in electromagnetism // IEE Proc., 135, Pt.A, 1988. pp.493-500

66. D.B.Avdeev, A.V.Kuvshinov, O.V.Pankratov, G.A.Newman. High-Perfomance Three-Dimensional Electromagnetic Modelling Using Modified Neumann Series. Wide-Band Numerical Solution and Example. J. Geomag. Geoelectr., 49, № 11-12,1997, p.1519-1539.

67. Cendes Z.J. Vector finite elements for electromagnetic field calculations // IEEE Trans. Magn. 1991. - Vol. 27. № 5 - P. 3958-3966.

68. Cingoski V., Yamashita H. An Improved Method for Magnetic Flux Density Visualization using Three-Dimensional Edge Finite Elements // J. Applied Phys. 1994. - Vol.75.-№ 10. - P. 6042-6044.

69. Dyczij-Edlinger R., Peng G., Lee J.-F. A fast vector potential method using tangentially continuous vector finite elements // IEEE Trans. Microwave Theory & Tech. 1998. Vol. 46. P. 863-868.

70. Jin-Fa Lee and Raj Mittra. A note on the application of edge-elements for modelling three-dimensional inhomogeneously-filled cavities // IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques, MTT-40,1992. pp.1767-1773.

71. Leonard P., Rodger D. Finite element scheme for transient 3D eddy currents // IEEE Trans. Magn. 1988. - Vol. 24. - P. 90-93.

72. Mohammed S. Tharf and George I. Costache. Finite element method solutions of field distributions in large cavities // International Journal Of Numerical Modelling: Electronic Networks, Devices and Fields, Vol.7, 1994. — pp.343-355

73. Perugia I. A mixed formulation for 3D magnetostatic problems: theoretical analysis and face-edge finite element approximation // Numer. Math. — 1999. -Vol. 84.-P. 305-326.

74. Rodrigue G., White D. A vector finite element time-domain method for solving Maxwell's equations on unstructured hexahedral grids // SIAM J. Sci. Comput. 2001. - Vol. 23; № 3. - P. 683-706.

75. Webb J.P. Edge elements and what they can do for you // IEEE Trans. Magn. -1993. Vol. 29; № 2. - P. 1460-1465.

76. Webb J.P., Forghani B. Hierarchal scalar and vector tetrahedral // IEEE Trans. Magn. 1993. - Vol. 29; № 2. - P. 1495-1498.

77. Wu J.-Y., Lee R. The advantages of triangular and tetrahedral edge elements for electromagnetic modeling with the finite-element method // IEEE Trans. Antennas Propagat. -1997. Vol. 45; № 9. - P. 1431-1437.

78. Yioultsis T.V., Tsiukis T.D. Vector finite element analysis of waveguide discontinuities involving anisotropic media // IEEE Trans. Magn. — 1995. — Vol. 31; № 3. P. 1550-1553.