автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Конечноэлементные схемы моделирования полей вызванной поляризации на нерегулярных прямоугольных сетках



Токарева Марина Георгиевна

КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНЫЕ СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ ВЫЗВАННОЙ ПОЛЯРИЗАЦИИ НА НЕРЕГУЛЯРНЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ СЕТКАХ

Специальность 05.13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Новосибирск - 2004

Работа выполнена в Новосибирском государственном техническом

университете

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Соловейчик Юрий Григорьевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Вшивков Виталий Андреевич

кандидат 1ехнических наук, доцент Ляпин Виктор Григорьевич

Ведущая организация: Институт вычислительных технологий

СО РАН, г. Новосибирск

Защита состоится 21 апреля 2004 года в 1400 на заседании диссертационного совета Д 212.173.06 при Новосибирском государственном техническом университете (630092, г. Новосибирск, г.р. Карла Маркса, 20)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новосибирского государственного технического университета

Автореферат разослан марта 2004 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.173.06

к.т.н., доцент Чубич В.М.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Метод вызванной поляризации (ВП) широко применяется при поисках нефтегазовых месторождений и месторождений электропроводных руд и позволяет обнаруживать искомые залежи по изменениям свойств пород, используя параметры поляризуемости и электрического сопротивления.

Для повышения эффективности этого метода необходимо совершенствовать его как в аппаратурном, так и в методическом отношениях, улучшать способы истолкований получаемых на практике результатов. Для решения этих задач необходимо привлечение математического моделирования электроманитных полей. Л разработка и внедрение многоканальной аппаратуры требует использование аппарата трехмерного математического моделирования.

Ранее Комаровым В.А., Кормильцевым В.В., Геннадиняиком Б.И. были получены выражения для расчета поля ВП для тел простой формы п однородном поляризующем поле. Основной расчетный материал для поляризующихся горизонтально-слоистых сред многими исследователями был получен с использованием алгоритма Сигеля — Комарова. При расчете поляризации в частотной и временной области использовался подход, основанный на использовании формулы Cole-Cole.

Все эти методы являются аналитическими или полуаналитическими. Однако область применения полуаналитических методов существенно ограничена геометрией исследуемой среды, и появление двумерных и трехмерных неоднородно-стей часто приводит к невозможности решения данной задачи этими методами. Для расчета электромагнитного поля в областях, имеющих сложную структуру и трехмерные неоднородности, наиболее эффективным является метод конечных элементов (МКЭ).

В данной работе рассматривается математический аппарат моделирования трехмерных полей ВП при исследовании сложно-построенных сред для горизонтальной электрической линии (ГЭЛ). Данный подход основал на применении метода конечных элементов при разложении решения задачи на осесим-метричную (двумерную) и трехмерную составляющие. Благодаря этому подходу данный метод позволяет с достаточной точностью вычислять поля от тpex-мерных объектов при относительно небольших вычислительных затратах на получение численного решения.

Довольно часто для исследования откликов от трехмерных объектов достаточно решать краевую задачу в более простых областях, представляющих собой горизонтально-слоистые среды, содержащие трехмерные объекты в виде параллелепипедов различных размеров. Поэтому для дискретизации расчетной области при решении соответствующей краевой задачи в двумерных и трехмерных областях могут быть использованы прямоугольные конечные элементы. Однако использование прямоугольных сеток со стандартными ячейками для решения трехмерных задач электроразведки часто приводит к значительным вычислительным затратам из-за появления большого колччества так нэзы-

нос НАЦИОНАЛЬНАЯ библиотека

ваемых «лишних» узлов, которые практически не влияют на точность решения задачи. Такие узлы образуются и при использовании прямоугольных сеток с разрядкой по отдельным координатам. «Лишние» узлы приводят не только к существенному увеличению размерности решаемой конечноэлементной СЛАУ, но и к ухудшению обусловленности её матрицы. При этом использование прямоугольных конечных элементов позволяет создать простые и удобные для пользователя процедуры задания и автоматического построения конечноэле-ментных сеток для решения исследовательских и практических задач. Поэтому актуальной является проблема сокращения числа «лишних» узлов в стандартных прямоугольных сетках и создание конечноэлементных схем решения соответствующих краевых задач на полученных нерегулярных сетках.

Таким образом, основной научной проблемой, решению которой посвящена диссертационная работа, является разработка методов быстрых расчетов трехмерных стационарных электрических полей и эффектов вызванной поляризации, а также методов автоматического построения нерегулярных прямоугольных и па-раллелепипеидальных сеток с удалением «лишних» узлов.

Целью исследования является построение и анализ конечноэлементных аппроксимаций осесимметричных и трехмерных стационарных задач при использовании нерегулярных прямоугольных сеток; построение методов быстрых расчетов и исследование процессов ВП, протекающих в трехмерных средах; исследование технологий работ с использованием многоканальной аппаратуры при проведении геофизических работ по методу ВП.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработаны конечноэлементные аппроксимации для расчета осесимметричных и трехмерных электрических полей и полей ВП на нерегулярных прямоугольных сетках. Построенные аппроксимации позволяют значительно ускорить решение задачи при сохранении точности получаемого численного решения. Конечноэлементные схемы решения трехмерных стационарных задач и задач ВП основаны на использовании подхода с раздельным вычислением осесимметричкой и трехмерной составляющей искомого поля.

2. Разработаны методы автоматического построения нерегулярных прямоугольных и параллелепипеидальных сеток с удалением «лишних» узлов. Использование этих методов позволяет создавать простые и удобные для пользователя процедуры задания и автоматического построения конечноэлементных сеток, близких к оптимальным, для решения двумерных и трехмерных задач электроразведки/

3. С помощью конечноэлементного моделирования исследованы различные технологии проведения геофизических работ и анализа практических материалов для метода ВП с применением одно- и многоканальной аппаратуры.

Защищаемые положении

1. Разработанные конечноэлементные схемы моделирования электрических полей и полей начальной поляризации с использованием нерегулярных прямо-

угольных сеток позволяют с высокой точностью рассчитывать поле ВП горизонтально-слоистой среды во всем ее объеме.

2. Разработанные методы расчета процессов вызванной поляризации при их возбуждении горизонтальной токовой линией позволяют моделировать эти процессы в сложно-построенных средах с учетом различных параметров начальной поляризации и характеристик спада ВП при разложении решения задачи на осесимметричную (двумерную) и трехмерную составляющие.

3. Разработанные процедуры автоматического построения нерегулярных прямоугольных и параллелепипеидальных сеток позволяет сократить размерность конечноэлементной СЛАУ решаемой задачи (и тем самым используемые ресурсы компьютера) в 3-6 раз по сравнению с использованием прямоугольных и паралле-лепипеидальных сеток со стандартными ячейками.

4. Разработанные подходы к конечноэлементному моделированию позволяют значительно (в 10-20 раз) сократить вычислительные затраты задачи за счет применения схем с разделением полей и еще более чем в 10 раз за счег оптимизации трехмерных параллелепипеидальных сеток.

5. Разработанные численные процедуры позволяют исследовать и создавать оптимальные методики проведения полевых работ с одно- и многоканальной аппаратурой, а также проводить анализ практических материалов на основе трехмерных расчетов электрических полей и полей ВП.

Теоретическая значимость работы

Разработаны вычислительные схемы и построены дискретные аналоги осесимметричных и трехмерных стационарных задач и задач ВП для горизонтальной токовой линии с использованием нерегулярных прямоугольных к па-раллелепипеидальных конечных элементов и подхода, основанного на разделении поля на двумерную и трехмерную составляющие.

Практическая ценность работы и реализация результатов

Разработанные схемы и алгоритмы использовались при решении как исследовательских, так и практических задач, в частности для анализа полученных полевых материалов при работе с одноканальной аппаратурой, а также при планировании геофизических работ и интерпретации полевых материалов при работе с многоканальной аппаратурой по методу ВП в зимне-весенний период 2000-2001 г. на обнаружение месторождения углеводородов в Томской области.

Достоверность результатов подтверждена сравнением результатов решения задачи ВП для однородных и горизонтально-слоистых сред с результатами решения данных задач с помощью разработанных ранее методов. Полученные с помощью численного моделирования кривые спада ВП хорошо соответствуют кривым спада ВП, полученным при практических работах. Правильность разработанных конечноэлементных аппроксимации поставленных задач на нерегулярных прямоугольных сетках была доказана путем сравнения с результатами решения данных задач на регулярных прямоугольных сетках.

Личный вклад

1. Разработаны и исследованы конечноэлементные схемы моделирования осесимметричных электрических полей и полей ВП при использовании нерегулярных прямоугольных сеток с пятиузловыми элементами.

2. Разработаны конечноэлементные аппроксимации на нерегулярных па-раллелепипеидальных сетках трехмерных стационарных электрических полей и полей ВП для ГЭЛ при разложении задачи на двумерную и трехмерную составляющие. Проведена оценка точности полученных результатов и проанализированы соответствующие вычислительные затраты.

3. Разработан алгоритм автоматического построения прямоугольных и параллелепипеидальных сеток с удалением «лишних» узлов для решения осе-симметричных и трехмерных задач электроразведки.

4. На основе трехмерных расчетов проведено исследование технологий метода ВП при работе с одно- и многоканальной аппаратурой, уточнена технология работ в сложных геоэлектрических условиях.

5. Все разработанные методы и алгоритмы, представленные в работе, реализованы автором в виде комплекса программ, позволяющего пользователям-геофизикам решать исследовательские и практические задачи.

Апробация работы

Основные результаты работы были представлены на IV сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном памяти С.Л.Соболева (Новосибирск, 2000 г.); V международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-2000 (Новосибирск, 2000 г.); IV и V международном симпозиуме «Проблемы геологии и освоения недр» (Томск, 2000 и 2001 гг.); на региональной научной конференции «Наука, Техника, Инновации» (Новосибирск, 2001, 2002 гг.); на IV Международной научно-практической геолого-геофизической конференции-конкурса молодых ученых и специалистов «Геофизика-2003» (Санкт-Петербург, 2003 г.); Международной геофизической конференции «Геофизика XXI века - прорыв в будущее» (Москва, 2003 г.), на научно-практической конференции «Проблемы неф-тегазоносности Сибирской платформы» (Новосибирск, СНИИГТиМС, 2003 г.). Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 19 работ, го них 5 статей, 5 работ в сборниках трудов конференций, 4 работы в сборниках тезисов конференций, 5 отчетов о НИР. Результаты работ использовались при написании 4 производственных отчетов.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений, списка использованных источников из 107 наименований. Работа изложена на 148 страницах основного текста, включая 43 рисунка и 3 таблицы.

Автор искренне благодарен* главному научному сотруднику СНИИГГиМС, д.г.-м.н. Моисееву B.C., оказавшему большое влияние на формирование более глубокого понимания задач геофизики, а также за ценные советы при решении практических задач.

Основное содержание работы В первой главе рассматривается метод моделирования процессов ВП в сложно-построенных средах для ГЭЛ, основанный на раздельном вычислении двумерной и трехмерной составляющих задачи.

Электрическое поле, возбуждаемое ГЭЛ (называемое в дальнейшем основным поляризующим полем), описывается краевой задачей

-diV{crgradV)=f, FL =0, а—

on

= 0,

0)

где Su Sz - границы расчетной области Î2, коэффициент проводимости среды <г является заданной трехмерной функцией координат <г = a(x,y,z), источнико-

вый член f является суммой двух точечных источников /' и /2.

DIT

Поле вызванной поляризации • V , описывающее процесс ВП в любой среде, содержащей поляризующиеся слои или объекты Q^, представляется в виде суммы:

ВП

(2)

где а^ - коэффициент начальной поляризации, - параметр спада ВП, а поле начальной поляризации Wj?n для каждого горизонтального слоя или объекта удовлетворяет краевой задаче для уравнения:

- dh{(T gradWkBn)= -div(ôka-gradV)

(3)

с однородными краевыми условиями первого и второго рода на границах расчетной области С2. Индикатор к-ой подобласти определяется как

ГО, в

ч 1.

подобластях в подобласти Q*

Согласно методу раздельного вычисления двумерной и трехмерной составляющих задачи основное (поляризующее) поле V представляется в виде суммы

V = Vlo+V\

<Т с

+ KV

(5)

где У10 + У20 - электрическое поле горизонтально-слоистой среды (без объектов) от двух точечных источников /' + /2, У - поле влияния трехмерных объектов, которое определяется из решения краевой задачи для уравнения:

-с!п\р8гас!Уа)= -Лу|Т0 - в + У*0 )) (6)

с однородными краевыми условиями первого и второго рода. Поля К10 и У20 получаются из решения Уг'£ одной и той же осесимметричной задачи с точечным источником в начале координат

(7)

путем пересчета этого решения в декартову систему координат с учетом сдвига поля в соответствии с координатами точечного источника.

Если Пд является однородным по поляризуемости трехмерным объектом или частью однородного по поляризуемости горизонтального слоя, из которого исключены входящие в него трехмерные тела или их части, то поле начальной

ВГ1

поляризации И^ ищется из решения трехмерной краевой задачи для уравнения (3).

пгт

Поле для случая однородного по поляризуемости слоя находится в виде суммы трех полей

(8)

где грехмерные функции и получаются из решения 1¥£'г одной и той же осесимметричной краевой задачи для уравнения

- </Л>(сг° )= £ ), (9)

путем пересчета в декарюву систему координат в соответствии с положением каждого точечного источника. Трехмерное поле ГК/ находится из решения трехмерной краевой задачи для уравнения

-<й^егаПг1)=-А\$сг* -ст)^^ }-<В)Арк(тепиПга) (10)

с однородными краевыми условиями первого и второго рода на границах расчетной области.

Применение подхода с разделением полей позволяет существенно сократить (до 10-20 раз) суммарные вычислительные затраты на получение функ-

аГ9

ций V и ¡V" с требуемой точностью.

Во второй главе описывается алгоритм оптимизации стандартных прямоугольных сеток для решения двумерных задач электроразведки, строятся ко-нечноэлементные аппроксимации осесимметричных стационарных задач на нерегулярных сетках, проводится оценка точности полученных результатов и анализируются соответствующие вычислительные затраты.

Алгоритм оптимизации основан на удалении «лишних» узлов из регулярной прямоугольной сетки, которая строится следующим образом: вблизи источников узлы расставляются более плотно, при удалении от источников шаг сетки по каждой координате увеличивается с коэффициентом разрядки. «Лишние» узлы удаляются в той части сетки, где появляются вытянутые прямоугольные элементы (у которых одна сторона в несколько раз больше, чем другая). Такое удаление осуществляется путем объединения двух узких прямоугольников в один более широкий. В результате образуется прямоугольный конечный элемент (КЭ) с пятым (терминальным) узлом на ребре, граничащем с двумя стандартными четырехузловыми элементами. Всего может быть четыре

типа таких элементов в зависимости от того, на какой стороне находится пятый узел. На- рис. 1 показан пример пятиузлоdого элемента. Разработанный алгоритм сокращает количество узлов стандартной регулярной сетки в 2-4 раза.

Для построения конечноэлемент-ных аппроксимаций краевых задач для уравнений (7) и (9) на нерегулярных прямоугольных сетках используются кусочно-билинейные базисные функции, построенные специальным образом для каждого нестандартного элемента.

- терминальный узе! с. 1. Пятиузловой ]

Если ввести линейные функции переменной £ как

где ¿¡г - координата терминального узла, —^т =£|+1 ~4т> и взять в

качестве переменной £ координаты г иг, то получатся линейные (г), /?2(г)> Z^(z), 22(г), и кусочно-линейные - Лц-(г), /?2г(г)> ^г(г)> 2ц-(г),

функции координат г и z. Тогда нестандартный пятиузловой прямоугольный КЭ, представленный на рис. 1, имеет следующие локальные кусочно-билинейные базисные функции:

Аналогично построены базисные функции для остальных видов нерегулярных пятиузловых прямоугольных элементов.

В п.2.3 приводятся примеры решений осесимметричных стационарных задач на регулярных и соответствующих им нерегулярных прямоугольных сетках в горизонтально-слоистых средах, содержащих осесимметричные объекты.

Рассмотрим пример решения краевой задачи для уравнения (7) в следующей горизонтально-слоистой среде: 7/1=50м, /Т|=50 Ом-м; //2=40м, 20 Омм; Яз=100м, ру= 10 Ом м; Я»=2000м, р4=5 Омм; Я5=1000м, р5=10мм; а=ос .

где Н — толщины слоев, р, - их удельное сопротивление. Регулярная прямоугольная сетка обозначена , нерегулярная сетка с терминальными узлами -. Решение, найденное на , обозначено за , а решение, найденное на

Э\ , за . Для оценки точности полученных решений использовано более р

точное решение Ул , найденное на регулярной прямоугольной сетке , вложенной к Э\ . Также была построена нерегулярная прямоугольная сетка с терминальными узлами, полученная удалением «лишних» узлов из . Было

вычислено откло: уР у 1х) потенциалов , У\1 и У^ отрешения У{ по формуле 8 = ——г--100%, где в качестве V выступают потенциалы

V*

У\ , У\* и При этом решения У\ И отличаются от более точного решения У^ примерно одинаково — на 0.05-0.1% в местах максимальной погрешности, и при удалении от источника более чем на 3000 м погрешности этих решений практически не различаются.

Таким образом, величина погрешности решения на нерегулярной сетке практически не отличается от погрешности решения на исходной регулярной сетке, т.е. удаляются именно «лишние» узлы, которые не влияют на точность решения задачи. При этом ускорение решения задачи происходит от 3 до 5 раз.

В п.2.4 рассматривается решение задачи ВП для горизонтально-слоистых сред от ГЭЛ при использовании нерегулярных прямоугольных сеток. Подробно

описывается процедура пересчета осесимметричных полей V*'* и в любую точку (х,у,?) декартовой системы координат.

В третьей главе описывается метод автоматического построения нерегулярных параллелепипеидальных сеток с удалением «лишних» узлов для решения трехмерных стационарных задач и задач ВП.

При построении трехмерной нерегулярной параллелепипеидальной сетки сначала определяется базовая плоскость ХУ, на которую выносятся проекции всех трехмерных объектов. В данной плоскости строится стандартная прямоугольная сетка с учетом локальных сгущений в окрестности объектов. Далее в этой плоскости удаляются «лишние» узлы и получается нерегулярная прямоугольная сетка с пятиузловыми элементами.

Одним из вариантов построения трехмерной нерегулярной параллелепипеидальной сетки является сетка, содержащая только восьми- и десятиузловые параллелепипеидальные элементы. Такая трехмерная сетка строится копированием базовой плоскости с четырех- и пятиузловыми элементами по координате z с учетом расположения объектов и слоев между плоскостями. Таким образом, в данной сетке появляются четыре вида десятиузловых КЭ, в которых присутствуют два терминальных узла. Этот метод построения нерегулярной паралле-лепипеидальной сетки для решения трехмерных задач позволяет сократить количество узлов по сравнению со стандартной регулярной сеткой в 1.5 — 2 раза. Однако такая сетка является далеко не оптимальной, так как она содержит еще довольно много «лишних» узлов в плоскостях и

В диссертационной работе предложен и реализован алгоритм, позволяющий удалять «лишние» узлы и в этих плоскостях. При этом, если проводить объединение узких элементов в плоскостях Х2 и независимо, то может образоваться несогласованная (в смысле построения базисных функций) сетка. Поэтому в работе предлагается алгоритм, позволяющий строить такую сетку, для которой глобальные базисные функции, полученные стандартной склейкой локальных базисных функций, являются непрерывными. Согласно этому алгоритму объединение узких прямоугольников осуществляется только в плоскости Далее трехмерная сетка получается путем тиражирования каждой пятиуз-ловой грани полученной нерегулярной прямоугольной сетки плоскости Х2 вдоль контуров объединения, выделенных в базовой плоскости. При таком построении образуются девяти-, десяти- и тринадцатиузловые КЭ. Всего получается 16 видов нерегулярных параллелепипеидальных КЭ. На рис. 2 показаны некоторые такие нестандартные параллелепипеидальные КЭ.

Описанный метод построения нерегулярной параллелепипеидальной сетки позволяет сократить количество узлов по сравнению с регулярной сеткой в 3-6 раз. Уменьшение числа узлов в сетке зависит от размеров и количества трехмерных объектов.

Для нерегулярных элементов всех видов специальным образом строятся СБОИ базисные функции, являющиеся кусочно-трилинейными. При построении локальных базисных функций используются линейные функции Ф(£) вида (11) и кусочно-линейные функции Ф(£) вида (12).

Стандартный восьмиузловой параллелепипеидальный КЭ имеет следующие локальные трилинейные базисные функции ц/у: у/¡— X7 •

Для девятиузлового элемента, представленного на рис. 3, а с указанной на нем локальной нумерацией узлов, кусочно-трилинейные базисные функции, отличные от стандартных трилинейных функций восьмиузлового элемента, имеют следующий вид: ф4 = Хг ' У2 ' 2ц-, (р^ = X2 • ' , $<) = Хг • ^ ' ^г •

Десятиузловой КЭ с терминальным ребром, параллельным оси 2, с показанной на рис. 3, б локальной нумерацией узлов, имеет следующие функции отличные от стандартных трилинейных базисных функций:

Тринадцатиузловой элемент с двумя терминальными ребрами, расположенными на одной грани, параллельной оси 2 (рис. 3, в), имеет следующие отличные от стандартных трилинейных кусочно-трилинейные базисные функции:

Аналогично строятся базисные функции для всех остальных видов нерегулярных КЭ. Также получены конечноэлементные аппроксимации краевых задач для уравнений (3) и (6) при наличии в сетке нерегулярных КЭ.

В п.3.2 рассматривается решение трехмерных стационарных задач на ре-

гулярных сетках и двух видах нерегулярных сеток , <9"2 с удаленными из стандартной сетки 3\ «лишними» узлами. Параллелепипеидальная сетка - это сетка с восьми- и десятиузловыми элементами, полученная тиражированием базового нерегулярного сечения вдоль координаты I- В этой сетке остались «лишние» узлы в плоскостях XX и УХ. Нерегулярная сетка

это

сетка, построенная с удалением «лишних» узлов и из плоскостей и Ж Решения, найденные на сетках 9у , И обозначены за У^, У^1 И У^1 соответственно. На рис. 3 показано распределение (в виде изолиний и значений в отдельных точках) потенциала электрического поля влияния трехмерных объектов на дневной поверхности (в плоскости 1=0), полученное при решении задачи (6) в среде, состоящей из трех слоев Н1=200м, р]=500м-м; Нг=300м, р2=ЮОм'м; //3 =500л/, р^^Юм-м и содержащей 2 объекта размерами 2000мх1500мх300м и 1500мх1000мх300м с удельным сопротивлением р = 5 Ом • м, расположенных на глубине 200-500м.

Для оценки точности решений У\ , И используется более точное решение У2 на сетке 52,

которая является вложенной по р

отношению к сетке

,91 .. Показано , что величина погрешности решений на сетках практически не отличается от

погрешности решения на

„Р

исходной регулярной сетке

В таблице 1 приведены результаты сравнения вычислительных затрат при решении нескольких практических задач

для уравнения (6) на сетках ,

пЯ,

Я,

Сравнение

проводилось по следующим критериям: по размерности СЛАУ задачи (кр, кв1 И к^); по

скорости сходимости итерационного процесса решения конечноэлементной СЛАУ - количество итераций метода сопряженных градиентов при

использовании предобусловливания СЛАУ с помощью неполного разложения Холесского); по времени счета задачи (Ц, и ^^

и

Таблица 1

Сравнение вычислительных ?аграт при решении стационарных задач

Вычислительные Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4

затраты

а к„(для 9Р) 50525 118925 265250 286700

5 KlOW»"1) 24775 65500 147775 157075

о а Vil 2.04 1.8 1.8 1.83

i КчШяЗ"2) 9968 20110 72250 85281

KJKi 5.07 5.9 3.67 336

а Г! a a ip(nfl*9p) 162 190 290 330

а S К, (для 46 75 111 118

е а 46 73 108 115

о Р* 3.5 2.6 2.7 2.86

tP(i1дя9р) 25 с 1 мин 20 с 3 мин 15 с 4 мин

S г Ц(дыЗ"1) 3.5 с 17с 40 с 45 с

я 2 7.1 4.7 4.9 5.3

с, а Ц(для SHl) 1.4 с 5.2 с 18с 24 с

V4 17.8 15.4 10.8 10

Из таблицы видно, что число узлов в нерегулярной сетке ^ 2 сокращается в 3 - 6 раз; количество итераций метода сопряженных градиентов уменьшается в 2.5 - 3.5 раза, а время счета уменьшается от 10 до 20 раз. Это свидетельствует об эффективности разработанных конечноэлементных схем решения задачи нахождения трехмерного электрического поля на нерегулярных паралле-лепипеидальных сетках и целесообразности применения сеток, содержащих нерегулярные КЭ.

В п.3.3 рассматривается решение задачи ВП в среде, содержащей трехмерные неоднородности, с использованием нерегулярных параллелепипеидаль-ных сеток. Приводится пример расчета поля начальной поляризации для типичной задачи электроразведки.

Четвертая глава посвящена применению разработанного математического моделирования при решении нефтепоисковых задач.

Рассматриваемый метод моделирования позволил рассчитать трехмерное поле ВП для геоэлектрической обстановки Западной Сибири и подобрать параметры поляризации пятислойного разреза по результатам работ на Герасимов-жом и Западно-Останинском месторождениях углеводородов Томской области.

Измерения были проведены установкой Веннера, при которой приемная линия MN находится в центре питающей АВ, и ее длина составляет одну третью от

DTT

длины питающей. Численные расчеты трехмерного поля V были проведены

для участка, содержащего два объекта повышенной поляризуемости на глубине 500 - 800 м, имитирующие ореолы повышенной поляризации над данными месторождениями. Подбор параметров поляризации осуществлялся при сравнении практических и расчетных данных вторичного поля ВП ц^ , определяемого

как - разность потенциалов основного поляризующего

поля. Проведенные расчеты показали хорошее совпадение практических и расчетных данных и позволили сделать выводы о геологической обстановке на данном участке. А именно, что над залежами углеводородов образуются ореолы повышенной поляризации.

Этот же результат был получен и для Колотушинской площади Западной Сибири. Па рис. 4, а представлен геологический разрез с нефтяной залежью, находящейся на глубине 2450 — 2500 м. На рис. 4, б показаны соответствующие данному разрезу изолинии значений аномального вторичного поля , построенные по результатам практических измерений. При этом для получения аномального поля из значений в каждой точке наблюдения вычиталось среднее значение по всему профилю.

На рис. 4, в приведены изолинии расчетного аномального поля , для которого источником аномальных значений является не сама залежь углеводородов, а ореол на глубине 500-800 м. Его начальная поляризуемость а^ в 3 раза больше по сравнению с поляризуемостью слоев, а параметр спада ВП ß^O) тот же, что и во вмещающей среде. При этом значение нормального поля определялось, как и на практике, по среднему значению поля ВП для профиля длиной 12 км. Из рисунков 4, б, в очевидно довольно близкое соответствие расчетных данных практике работ.

Таким образом, было подтверждено, что выделение залежей возможно по их ореолам, находящимся на не слишком большой глубине (500-800 м), в то время как сами залежи находятся на глубине 2000-3000 м. При этом разработанные методы математического моделирования трехмерных полей ВП позволяют отрабатывать соответствующие технологии полевых измерений и анализа практических материалов.

С помощью математического моделирования была также решена задача выбора оптимального разноса питающей линии.

Скважины Р-263 Р-262 р-261

Залежь нефти •

2735

Продуктивная часть геологического разреза а)

Дг|х

-6-4-2 0 2 Скважины Р-263 Р-262 р-261

яш^Ьл; Г пи ^11/. 'пи УI'/ /

Перспективная зона

Ж скважина с нефтью Л пустая скважина ^

Дт|к

-2

1000-

-.05-

1,МС

Проекция объекта

е)

Рис. 4. Сопоставление практических измерений аномального поля (б) с геологическим разрезом (а) и расчетным аномальным полем (в)

Для усовершенствования технологий работ методом ВП на основе трехмерных расчетов были исследованы методики проведения полевых геофизических работ с многоканальной аппаратурой. Проведенные расчеты позволили сделать выводы о том, что применение различных установок (симметричной и диполь-но-осевой) при работе с многоканальной аппаратурой дает возможность не только повысить производительность и детальность измерений, но и более качественно выделять области аномалий поляризуемости над нефтегазовыми объектами.

Основные результаты работы

В результате проведенных в диссертационной работе исследований получены следующие теоретические и практические результаты.

1. Разработаны конечноэлементные схемы моделирования осесиммет-ричных электрических полей и полей ВП с использованием нерегулярных прямоугольных сеток, содержащих пятиузловые элементы. Применение таких сеток позволяет сократить количество узлов прямоугольной сетки в 2-4 раза.

Проведенные исследования при решении большого числа осесимметрич-ных стационарных задач на нерегулярных прямоугольных сетках показывают, что разработанные конечноэлементные аппроксимации с использованием нерегулярных прямоугольных сеток позволяют ускорить вычислительный процесс в 3-5 раз при сохранении точности получаемого конечноэлементного решения.

2. Для горизонтальной токовой линии разработаны методы построения ко-нечноэлементных аппроксимаций трехмерных электрических полей и полей ВП на нерегулярных параллелепипеидальных сетках при разложении решения задачи на двумерную и трехмерную составляющие. Эти методы позволяют моделировать процессы ВП в горизонтально-слоистых средах, содержащих параллелепипеи-дальные объекты, с учетом различных параметров начальной поляризации и характеристик спада ВП.

Анализ результатов проведенных расчетов показывает, что разработанные подходы к конечноэлементному моделированию позволяют сократить вычислительные затраты в 10-20 раз за счет применения схем с разделением полей на осесимметричную и трехмерную составляющие и дополнительно в 10 - 20 раз за счет оптимизации трехмерных параллелепипеидальных сеток.

3. Предложен и программно реализован метод автоматического построения нерегулярных параллелепипеидальных сеток, содержащих девяти-, десяти- и три-надцатиузловые элементы. Число узлов в такой сетке в 3 — 6 раз меньше, чем в стандартной параллелепипеидальной сетке. Использование данного метода построения нерегулярной сетки позволило создать простую и удобную для пользователя процедуру задания и автоматического построения трехмерных сеток, близких к оптимальным и не содержащих «лишних» узлов.

4. Разработанные подходы использовались при решении нефтепоисковых задач. С использованием конечноэлементного моделирования трехмерных элек-

трических полей и полей ВП проведена разработка, исследование и уточнение новых технологий при работе с одно- и многоканальной аппаратурой в сложных геоэлектрических условиях.

5. Разработанные схемы и алгоритмы вычисления трехмерных электрических полей и полей ВП позволяют проводить анализ практических данных, полученных при геофизических работах по обнаружению и оконтуриванию месторождений углеводородов методом ВП.

Таким образом, разработанные алгоритмы автоматического построения прямоугольных и параллелепипеидальных сеток без «лишних» узлов и алгоритмы быстрого решения прямых двумерных и трехмерных стационарных задач и задач ВП позволяют не только исследовать и совершенствовать технологии проведения полевых работ и проводить анализ практических данных, но и могут служить основой для построения высокоразрешающих систем интерпретации экспериментальных данных.

Работа поддержана гратом Министерства образования РФ (проект № А03-2.13-282).

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Математическое моделирование при разработке технологий для метода вызванной поляризации. Моисеев B.C., Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Токарева М.Г. // Сибирский журнал индустриальной математики. -1999. - Т. 2, № 2 - С. 135-146.

2. Токарева М.Г. Одна из реализаций решения задачи ВП на примере реальной геофизической среды // Тр. V междунар. конф. «Актуальные проблемы электронного машиностроения» АПЭП-2000. - Новосибирск, НГТУ, 2000. - Т.З.

- С.52-55.

3. Токарева М.Г. Моделирование процессов вызванной поляризации в сложных средах // IV Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000). Тез. докл., часть IV. - Новосибирск: Институт математики СО РАН, 2000. - С. 99.

4. Токарева М.Г. Трехмерное математическое моделирование процессов вызванной поляризации при оценке нефтеперспективности площадей // Тр. V междунар. научною симпозиума имени академика М.А.Усова. — Томск, ТПУ, 2001.-С.309-311.

5. Токарева М.Г. Интерпретация аномалий вызванной поляризации при помощи трехмерного математического моделирования // Тез. докл. региональной науч. конф. «Наука. Техника. Инновации» - Новосибирск, НГТУ, 2001, 4.1, -С. 69-70.

6. Токарева М.Г., Персова М.Г., Задорожный А.Г. Алгоритм оптимизации прямоугольных сеток для решения задач электроразведки. // Сб. науч. тр. НГТУ.

- Новосибирск, - 2002. - № 2(28). - С. 41-48.

7. Токарева М.Г. Решение стационарных осесимметричных задач на нерегулярных прямоугольных сетках // Сб. науч. тр. НГТУ. - Новосибирск, - 2002. -№2(28).-с. 79-88.

8. Токарева М.Г. Конечноэлементные аппроксимации для решения трехмерных задач на нерегулярных прямоугольных сетках // Тез. докл. региональной науч. конф. «Наука. Техника. Инновации» - Новосибирск, НГТУ, 2002. — С. 143 -144.

9. Токарева М.Г. Решение трехмерных стационарных задач электроразведки на прямоугольных сетках с десятиузловыми элементами // Сб. науч. тр. НГТУ. - Новосибирск.-2003. - № 1. - С.59-64 .

Ю.Токарева М.Г. Математическое моделирование процессов вызванной поляризации при разработке нефтелоисковых работ в Западной Сибири.// Тез. докл. IV Международной геолого-геофизической конференции - конкурса «Геофизика-2003» - Санкт-Петербург, СПО ЕАГО. - 2003. - С.193 - 195.

П.Моисеев B.C., Токарева М.Г., Паули Н.И. Особенности методики полевых работ методом вызванной поляризации при оценке нефтеперспективности площадей в Западной Сибири // Материалы Всероссийской научно-технической конф. «Геофизические методы при разведке недр и экологических исследованиях». - Томск, ТПУ, 2003. - С. 131 - 132.

12.Технология наземно-скважинной электроразведки и вызванной поляризации при поисках и оконтуривании углеводородов / В.СМоисеев, Н.И.Паули, Н.Г. Полетаева, М.Г. Персова, М.Г. Токарева. // Материалы науч.-практ. конф. «Проблемы нефтегазоносности Сибирской платформы» - Новосибирск: СНИИГГиМС, 2003. - С. 133 - 136.

13. Методы становления поля, вызванной поляризации и наземно-скважииной электроразведки при поисках углеводородов / Моисеев B.C., Тршубович Г.М., Паули Н.И., Персова М.Г., Токарева М.Г. // Тр. межд. геофиз. конференции-выставки «Геофизика XXI века - прорыв в будущее». - Москва: SEG, 2003, р. 191, библиогр. CD-ROM.

14. Соловейчик Ю.Г., Токарева М.Г., Персова М.Г. Решение трехмерных стационарных задач на нерегулярных параллелепииеидальных сетках // Вестник ИрГТУ, Иркутск - 2004. - №1. - С. 45 - 60.

15.Разработка технических средств и комплексной технологии электроргзве-дочных исследований при оценке нефтеперспгктивности площадей и окои-туривании залежей углеводородов для глубин до 4 км / Моисеев B.C., Соловейчик Ю.Г., Паули Н.И., Персова М.Г., Токарева М.Г. и др. // Отчет по НИР, СНИИГГиМС, № ГР 01.9.70004897, Новосибирск, 1999. - 283 с.

1 б.Изготовление электроразведочной станции НСЭ-8 для поисков и оконтури-вания залежей углеводородов. 11 ГЛ.1/(11) 08.02/925 / Моисеев B.C., Тараторкин О.Ф., Паули Н.И., Персова М.Г., Токарева М.Г., Злобин С.А., Ревунов А.Б. // Отчет о НИР, СНИИГГиМС, № ГР 01.9.70004897, Новосибирск, 2000 г. - 52 с.

Д7.Разработка теории комплексного изучения электрических и индукционных магнитных полей при электроразведочных нефтепоисковых исследованиях в сложных геологических условиях разреза Сибири. 11 П2.1/101(2.11)08.02/942 / Моисеев B.C., Балашов Б.П., Паули Н.И., Персова М.Г., Токарева М.Г., Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Секачев М.Ю., Вечкапов О.П., Корабельников А. // Отчет о НИР, СНИИГГиМС, № ГР 01.20.0005811, Новосибирск, 2000 г. - 163 с.

18.Ведомственные испытания экспериментальных образцов электроразведочной аппаратуры "Цикл5", "НСЭ-8", "Импульс-авто" и приемных индукционных датчиков. 11 Г.2.1/(2)08.02/953. / В.С.Моисеев, Г.М.Тригубович, В.В. Филатов, Б.П.Балашов, А..К.Захаркин, Н.И.Паули, О.Ф. Тараторкин, Н.Н. Тарло, М.Г. Персова, М.Г. Токарева, Н.Г. Полетаева, А.В. Чернышев // Отчет о НИР, СНИИГГиМС, № ГР 01.20.0005001, Новосибирск, 2000 г. - 163 с.

19.Разработка технологии геофизических исследований для решения прогнозно-поисковых задач // Отчет о НИР по объекту 163/6-01/24, СНИИГГиМС, № ГР 01.200.114111, Новосибирск, 2001-2002 г. - 385 с.

Подписано в печать Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная.

Тираж 100 экз. Печ. л. 1,5.

Заказ №

Отпечатано в типографии Новосибирского государственного технического университета 630092, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

$ -560 ^

Введение.:.

1. Математическое моделирование процессов вызванной поляризации.

1.1. Краткое описание установки для измерения поляризуемости

1.2. Существующие методы моделирования ВП.

1.3. Моделирование процессов ВП в сложно-построенных средах для горизонтальной токовой линии.

1.3.1. Математическая модель.

1.3.2. Вычислительная схема решения задачи ВП с использованием МКЭ.

1.3.3. Способ раздельного вычисления осесимметричной и трехмерной составляющих решения задачи ВП.

1.3.4. Дискретный аналог задачи.

1.3.5. Описание спада вызванной поляризации.

1.4. Выводы.

2. Решение осесимметричных стационарных задач и задач вызванной поляризации на нерегулярных прямоугольных сетках

2.1. Постановка задачи.

2.2. Построение нерегулярных прямоугольных сеток для решения задач электроразведки в двумерных областях.

2.2.1. Алгоритм оптимизации прямоугольных сеток.

2.2.2. Структура данных.

2.2.3. Результаты применения алгоритма оптимизации прямоугольных сеток.

2.3. Решение осесимметричных стационарных задач на нерегулярных прямоугольных сетках.

2.3.1. Исходные уравнения.

2.3.2. Конечноэлементные аппроксимации стационарных осесимметричных задач.

2.3.3. Анализ эффективности использования нерегулярных прямоугольных сеток для решения осесимметричных задач.

2.4. Решение задачи ВП в горизонтально-слоистых средах при возбуждении поля горизонтальной токовой линией.

2.411. Исходные уравнения.

2.412. Конечноэлементные аппроксимации для нахождения поля начальной поляризации.

2.4.3. Пример решения задачи ВП в горизонтально-слоистой среде для геоэлектрического разреза Западной Сибири

2.5. Выводы

Решение трехмерных стационарных задач и задач вызванной поляризации на нерегулярных параллелепипеидальных сетках

3.1. Метод автоматического построения нерегулярной параллелепипеидальной сетки с удалением «лишних» узлов для решения трехмерных задач электроразведки.

3.1.1. Используемые нестандартные параллелепипеидальные элементы. IV

3.1.2. Построение сетки с десятиузловыми параллелепипеидальными элементами.

3.1.3. Построение сетки с девяти-, десяти- и тринадцатиузловыми параллелепипеидальными элементами.

3.2. Решение трехмерных стационарных задач нахождения основного поляризующего поля.

3.2.1. Используемые базисные функции.

3.2.2. Основные уравнения и конечноэлементные аппроксимации.

3.2.3. Результаты численного решения практических задач на нерегулярных параллелепипеидальных сетках.

3.3. Решение задачи ВП в среде, содержащей трехмерные неоднородности, с использованием нерегулярных параллелепипеидальных сеток.

3.3.1. Основные уравнения.

3.3.2. Конечноэлементные аппроксимации для нахождения поля начальной поляризации.

3.3.3. Пример расчета поля начальной поляризации.

3.4. Выводы.

4. Исследование технологий поиска и разведки нефтегазовых месторождений и анализ практических материалов на основе математического моделирования полей ВП.

4.1. Анализ практических данных на основе математического моделирования полей ВП.

Ф 4.2. Выбор оптимального разноса питающей линии.

4.3. Исследование технологии работ с многоканальной аппаратурой.

4.4. Пример использования трехмерного математического моделирования при планировании нефтепоисковых работ в Томской области и анализе практических данных.

4.5. Выводы.

Актуальность работы. В настоящее времяметоды электроразведки широко применяются в исследовании геологического строения земной коры и поисках месторождений полезных ископаемых. Эти методы основаны на изучении естественных или искусственно возбуждаемых электромагнитных полей: [1, 2, 4, 13, 17, 28, 50, 63, 65, 75, 88, 90, 92, 95]. Одним из методов электроразведки, в котором электромагнитное поле изучается после выключения, тока в гальванически; заземленной токовой линии, является г метод вызванной поляризации (ВП) [10, 20, 24, 27, 29-33, 96]. Этот метод хорошо зарекомендовал себя при поисках рудных месторождений [20-22, 107]. Также он получил: широкое распространение и при каротаже скважин на угольных месторождениях, когда угольные пласты мало отличаются по электрическому сопротивлению и другие электрометрические методы неэффективны [6, 12]. В последнее время метод ВП достаточно широко используется при поисках нефтегазовых месторождений, так как является менее дорогостоящим по сравнению с .трехмерной сейсморазведкой и позволяет обнаруживать залежи углеводородов; по изменениям' свойств пород, используя . параметры поляризуемости и электрического сопротивления [4,14,2831, 37, 42, 44, 46, 52-55, 76]. При этом параметр поляризуемости изучается во временном режиме измерений после выключения тока с получением характеристик спада ВП, а электрическое сопротивление - на постоянном токе во время его пропускания. Внедрение данного метода: повысило > обоснованность рекомендаций для бурения разведочных и промысловых скважин [17,20,27,37].

Для повышения эффективности метода ВП необходимо совершенствовать » его как в аппаратурном, так и в методическом отношениях. Математическое моделирование является одним из самых необходимых инструментов при оценке возможностей данного метода в сложных геоэлектрических условиях, разработке методических приемов работ и интерпретации полевых материалов [34, 3841,67,77,78,81,82,86].

Ранее Комаровым В.А., Кормильцевым В.В., Геннадинником Б.И. были получены выражения для расчета поля ВП в однородных средах и для. тел простой формы (шар, сфероидальное тело, тело пластообразной формы) в однородном поляризующем поле [8-10, 20; 21, 25, 43];-Также были найдены выражения спада ВП во времени, которые наиболее близко аппроксимируют реальные временные процессы [3, 8, 9, 11, 19, 20, 23-25, 51].

Основной расчетный материал для: поляризующихся горизонтально-слоистых сред многими исследователями был получен с использованием алгоритма Сигеля—Комарова [20, 21, 105 106], в котором эффекты поляризации моделируются путем изменения электропроводности:

При расчете поляризации в частотной и временной, области;чаще всего используется общий случай связи электропроводности на постоянном токе с измеряемой на некоторой фиксированной частоте со. Эта зависимость выражается формулой Cole-Cole [100]: Среди программ, реализующих такой подход можно отметить программы для горизонтально-слоистых сред [93, 94]. Они учитывают также становление поля, зависящее от проводимости: геоэлектрического разреза, гальваническую и индукционную поляризацию этого разреза;

Все эти методы являются аналитическими или * полуаналитическими. Однако область применения полуаналитических методов существенно ограничена < геометрией исследуемой среды, и появление двумерных и трехмерных: неодно-родностей часто приводит к невозможности решения данной задачи этими методами. Однако разработка и; внедрение современной: многоканальной аппаратуры требует использование аппарата трехмерного; математического моделирования [56]. Для расчета электромагнитного поля в областях; имеющих сложную структуру и трехмерные неоднородности, наиболее эффективным является < метод конечных элементов (МКЭ) [38- 41,67-70].

В работе [38] подробно. изложен математический аппарат моделирования электрического поля при исследовании сложнопостроенных сред для метода вызванной поляризации (ВП). В этом подходе объекты конечных размеров любой конфигурации в горизонтально- и негоризонтально-слоистой среде характеризуются начальной поляризуемостью и параметрами; ее спада по времени. Вкачестве источника электромагнитного поля рассматривается > горизонтальная ' токовая линия; Данный - подход основан на применении метода конечных элементов (МКЭ) при разложении; решения задачи > на осесиммет-ричную (двумерную) и трехмерную составляющие. Благодаря этому подходу данный метод позволяет с достаточной точностью вычислять > поля от трехмерных объектов при ? относительно небольших вычислительных затратах на получение численного решения [38,.69;.70]. Это позволяет моделировать реальные геологические условия для решения; практически< важных задач отработки новых приемов полевых исследований на теоретическом; материале и: при анализе полученных практических материалов (поиск границ и глубин залегания объектов того или иного сопротивления и поляризуемости).

Чтобы использовать аппарат, описанный! в работе [38], для решения большого числа теоретических и практических задач и далее для решения соответствующих обратных трехмерных задач необходима разработка алгоритмов быстрого решения прямых двумерных и трехмерных задач при моделировании процессов вызванной поляризации: Поэтому актуальной проблемой» является создание быстрых алгоритмов построения конечноэлементных сеток и удобных для реализации вычислительных схем при работе на постоянном токе и по методу ВП для решения задачи поисков и разведки залежей углеводородов и рудных объектов в сложных геологических условиях.

Довольно; часто для исследования откликов от трехмерных объектов , достаточно решать краевую задачу в более простых областях, представляющих собой горизонтально-слоистые среды, содержащие трехмерные объекты в виде параллелепипедов ? различных размеров. Поэтому для дискретизации расчетной г области при решении соответствующей краевой задачи! в - двумерных и,трехмерных областях могут быть использованы прямоугольные конечные элементы [79, 80]. Однако использование стандартных прямоугольных сеток для решения трехмерных задач электроразведки, когда при построении: сетки необходимо делать локальные сгущения узлов в окрестности исследуемых объектов, часто приводит к значительным вычислительным затратам из-за появления большого количества так называемых «лишних» узлов, которые практически не влияют на точность решения задачи. Такие узлы образуются и? при использовании прямоугольных сеток с разрядкой по отдельнымf координатам. «Лишние» узлы приводят не только к существенному увеличению размерности: решаемой конечноэлементной СЛАУ, но и к ухудшению обусловленности её: матрицы, поскольку в граничных областях появляются слишком вытянутые ячейки (когда одна сторона прямоугольника в несколько, а то и в десятки раз, больше другой). При этом прямоугольные конечные элементы и в двумерном, и в трехмерном случаях позволяют создать достаточно простой и очень удобный для пользователя аппарат задания и автоматического построения конечноэлементных сеток. Поэтому актуальной является также проблема сокращения числа «лишних» узлов в стандартных параллелепипеидальных сетках и создание эффективных конечноэлементных схем решения соответствующих краевых задач на таких сетках.

Таким образом, основной научной проблемой^ решению которой посвящена диссертационная работа, является разработка методов быстрых расчетов >■ трехмерных стационарных электрических полей и эффектов вызванной поляризации, а также методов автоматического построения нерегулярных прямоугольных и параллелепипеидальных сеток с удалением «лишних» узлов.

Целью исследования является: построение и• анализ конечноэлементных аппроксимаций осесимметричных и трехмерных стационарных задач при использовании нерегулярных прямоугольных; сеток без «лишних» узлов; построение методов быстрых расчетов и исследование процессов ВП, протекающих в горизонтально-слоистых средах и средах, содержащих параллеле-пипеидальные объекты, различных размеров, при возбуждении электрического поля горизонтальной токовой: линией; исследование технологий работ и анализ практических материалов с использованием многоканальной аппаратуры при проведении геофизических работ по методу ВП в сложных геоэлектрических условиях.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработаны конечноэлементные аппроксимации для расчета осесимметричных и трехмерных электрических полей и полей ВП на нерегулярных прямоугольных сетках. Построенные аппроксимации позволяют значительно ускорить решение задачи при сохранении точности получаемого численного решения. Конечноэлементные схемы решения трехмерных стационарных задач и задач ВП основаны на использовании ; подхода с раздельным вычислением осесимметричной и трехмерной составляющей искомого поля.

2. Разработаны методы автоматического построения; нерегулярных прямоугольных и параллелепипеидальных сеток с удалением «лишних» узлов. Использование этих методов позволяет создавать простые и удобные для пользователя процедуры задания. и автоматического построения конечноэлементных сеток, близких к оптимальным, для решения двумерных и трехмерных задач электроразведки.

3. С помощью конечноэлементного моделирования исследованы различные технологии проведения геофизических работ и анализа практических материалов для метода ВП с применением одно- и многоканальной аппаратуры.

Защищаемые положения

Г. Разработанные конечноэлементные схемы моделирования электрических полей и полей начальной поляризации с использованием нерегулярных прямоугольных сеток позволяют с высокой точностью рассчитывать поле ВП горизонтально-слоистой среды.

2. Разработанные методы расчета процессов вызванной поляризации при их возбуждении горизонтальной токовой линией позволяют моделировать эти процессы в сложно-построенных средах с учетом различных параметров начальной поляризации, и. характеристик спада ВП при разложении решения задачи на осесимметричную (двумерную) и трехмерную составляющие.

3. Разработанные процедуры автоматического построения неретулярных прямоугольных и параллелепипеидальных сеток позволяет сократить размерность конечноэлементной СЛАУ решаемой задачи (и тем; самым используемые ресурсы компьютера) в 3-6 раз по сравнению с использованием прямоугольных и« параллелепипеидальных сеток со стандартными ячейками.

4. Разработанные подходы к конечноэлементному моделированию позволяют значительно (в 10 — 20 раз) сократить вычислительные затраты задачи за счет применения схем с разделением полей и еще более чём в 10 раз за счет оптимизации трехмерных параллелепипеидальных сеток.

5. Разработанные численные процедуры позволяют исследовании создавать оптимальные методики ? проведения полевых работ с одно- и многоканальной аппаратурой; а также проводить анализ практических материалов на основе трехмерных расчетов электрических полей и полей ВП. Теоретическая значимость работы

Разработаны вычислительные схемы и построены дискретные аналоги осесимметричных и трехмерных стационарных задач и задач ВП для горизонтальной,токовой линии с использованием нерегулярных прямоугольных и параллелепипеидальных конечных элементов и подхода; основанного на разделении поля на двумерную и трехмерную составляющие.

Практическая ценность работы и реализация результатов На основе разработанных алгоритмов и- полученных конечноэлемент-ных аппроксимаций созданы программные модули для решения задач электроразведки на постоянном токе и по методу ВП для горизонтальной токовой линии в горизонтально-слоистых средах, содержащих трехмерные объекты в виде параллелепипедов различных размеров. Данное программное обеспечение предполагает автоматическое построение близкой к оптимальной трехмерной сетки и является доступным для пользователя, не обладающего специальными навыками работы с сеточными методами. Разработанные средства использовались при решении как исследовательских, так и практических задач, в частности для анализа полученных полевых материалов при работе с одноканальной аппаратурой, а также при планировании геофизических работ и интерпретации полевых материалов при работе с многоканальной аппаратурой по методу ВП в зимне-весенний период 2000 - 2001 г на обнаружение месторождения углеводородов в Томской области.

Достоверность результатов подтверждена сравнением результатов решения задачи ВП для однородных и горизонтально-слоистых сред с результатами решения данных задач с помощью разработанных ранее методов. Полученные с помощью численного моделирования кривые спада ВП хорошо соответствуют кривым спада ВП, полученным при практических работах. Правильность разработанных конечноэлементных аппроксимаций стационарных задач и задач ВП на нерегулярных прямоугольных и параллелепипеидальных сетках была доказана путем сравнения с результатами решения данных задач на. сетках со стандартными, прямоугольными и параллелепипеидальными ячейками;

Личный вклад

1. Разработаны и исследованы конечноэлементные схемы моделирования осесимметричных электрических полей, и осесимметричных полей ВП при использовании нерегулярных прямоугольных сеток с пятиузло-выми элементами.

2. Разработаны конечноэлементные аппроксимации на нерегулярных параллелепипеидальных сетках трехмерных стационарных электрических полей и; полей ВП при их возбуждении горизонтальной токовой линией. Для г этого был адаптирован предложенный в работе [38] подход, основанный на разделении решения задачи на двумерную и трехмерную составляющие. Проведена оценка точности полученных результатов и проанализированы соответствующие вычислительные затраты.

3. Разработан алгоритм автоматического построения прямоугольных и параллелепипеидальных сеток с удалением «лишних» узлов для решения осесимметричных и трехмерных задач электроразведки.

4. На основе трехмерных расчетов проведено исследование технологий метода ВП при работе с одно- и многоканальной аппаратурой, уточнена технология работ в сложных геоэлектрических условиях. Осуществлен анализ практических данных, полученных при проведении геофизических исследований методом ВП по обнаружению и оконтуриванию месторождений углеводородов.

5. Все разработанные методы и алгоритмы, представленные в работе, реализованы автором в виде комплекса программ,. позволяющего пользователям-геофизикам решать исследовательские и практические задачи.

Краткое содержание работы

В первой главе рассматриваются разработанные ранее методы моделирования процессов ВП для однородно поляризующихся сред и горизонтально-слоистых сред. Они основаны на том, что эффекты поляризации моделируются путем изменения электрического сопротивления тел под действием поляризации. Все эти методы являются аналитическими' или полуаналитическими, и область их применения существенно ограничена. Поэтому подробно рассматривается метод моделирования процессов ВП в трехмерных средах, предложенный в работе [38] и основанный на применении МКЭ. Описывается вычислительная схема решения задачи ВП для подхода раздельного вычисления осесимметричной и трехмерной составляющих искомого поля. Далее проводится сравнение этого метода с существующимiранее при расчете поля ВП горизонтально-слоистой среды;

Использование прямоугольных конечных элементов * позволяет создать простые и удобные для пользователя процедуры автоматического построения конечноэлементных сеток для решения? исследовательских и практических задач. Однако применение прямоугольных:и:параллелепипеидальных- сеток: со* стандартными ячейками? приводит к появлению большого количества! «лишних» узлов, которые не только не влияют на точность решения, но и г приводят к значительному ухудшению обусловленности матрицы конечно-элементной СЛАУ. Поэтому в данной диссертационной ^работе рассматриваются методы построения? конечноэлементных аппроксимаций с использованием нерегулярных прямоугольных и параллелепипеидальных сеток с удалением «лишних» узлов.

Во второй главе описывается; алгоритм оптимизации? стандартных:прямоугольных сеток для решения двумерных задач электроразведки. В»результате работы алгоритма; из стандартной регулярной прямоугольной сетки? удаляются; «лишние» узлы. Это удаление осуществляется путем объединения * двух узких прямоугольников в один более широкий, и в результате получается ; нерегулярная прямоугольная сетка с пятиузловыми элементами; Строятся конечноэлементные аппроксимации для * решения осесимметричных стационарных задач и задач вызванной? поляризации- на нерегулярных сетках: при использовании билинейных и кусочно-билинейных на конечном элементе базисных: функций: Исследуется эффективность предлагаемого - алгоритмам оптимизации и разработанных конечноэлементных схем нашримерах решений практических стационарных осесимметричных задач электроразведки. Далее в этой главе рассматривается метод решения; задачи» ВП в* горизонтально-слоистой среде: при возбуждении электрического поля * горизонтальной токовой линией; Описываемый: подход, основанный; на. вычислении соответствующих осесимметричных полей, позволяет с высокой точностью получать поле ВП горизонтально-слоистой среды в любой точке (x,y,z) декартовой системы координат.

В третьей главе рассматривается метод автоматического построения; нерегулярных параллелепипеидальных сеток с удалением «лишних» узлов для < расчета трехмерных электрических полей: и: полей вызванной поляризации . Такая нерегулярная сетка кроме стандартных восьмиузловых элементов содержит девяти-, десяти- и: тринадцатиузловые конечные элементы (КЭ). Всего в такой сетке может образоваться 16 видов нестандартных элементов, для?каждого из которых строятся свои базисные функции и конечноэлементные аппроксимации.* Локальные базисные функции являются трилинейными или кусочно-трилинеными. Вычислительные схемы основаны на применении* подхода раздельного вычисления; осесимметричной и трехмерной; составляющих искомого поля; Проведен анализ эффективности разработанных алгоритмов и конечноэлементных схем при решении большого числа практических задач на нерегулярных сетках и сравнение полученных результатов с результатами решения этих задач на параллелепипеидальных сетках со стандартными ячейками. Также в этой главе рассматривается решение задачи ВП в среде, содержащей трехмерные неоднородности, с использованием нерегулярных параллелепипеидальных сеток. Приводится пример расчета поля начальной поляризации для типичной задачи электроразведки. .

В четвертой главе рассматривается: применение разработанных алгоритмов и схем моделирования трехмерных электрических полей и! полей ВП для решения практически? важных задач, таких как разработка методических приемов работ и анализа материалов, полученных при проведении? геофизических исследований с одно- и многоканальной аппаратурой. С помощью математического моделирования была решена задача выбора оптимального разноса- питающей линии для; геоэлектрической обстановки? Западной; Сибири; Для усовершенствования технологий > работ методом ВП на основе трехмерных расчетов были исследованы< методики проведения полевых геофизических работ с многоканальной аппаратурой. Проведенные расчеты позволили-сделать выводы о том, что применение различных установок (симметричной и дипольно-осевой) при работе с многоканальной аппаратурой дает возможность не только повысить производительность и детальность измерений, но и более качественно выделять области аномалийi поляризуемости над нефтегазовыми объектами. Также в этой главе описывается пример использования разработанного математического аппарата для: планирования геофизических исследований и анализа практических данных метода ВП при проведении электроразведочных работ на обнаружение и оконтуривание месторождения > углеводородов в Томской области.

Апробация работы?

Основные результаты работы были представлены на IV сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике, посвященном • памяти С.Л.Соболева (Новосибирск, 2000 г.); V международной конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» АПЭП-2000 (Новосибирск, 2000 г.); IV и V международном симпозиуме «Проблемы геологии и освоения недр» (Томск, 2000 и 2001 гг.); на региональной научной конференции «Наука, Техника, Инновации» (Новосибирск, 2001, 2002 гг.); на IV Международной; научно-практической геолого-геофизической конференции-конкурса; молодых ученых и специалистов «Геофизика-2003» (Санкт-Петербург, 2003 г.); Международной геофизической; конференции «Геофизика XXI века - прорыв в будущее» (Москва, 2003 г.), на научно-практической конференции «Проблемы нефтегазоносности Сибирской платформы» (Новосибирск, СНИИГГиМС, 2003).

Публикации

По результатам выполненных исследований опубликовано 19 печатных работ, из них 5 статей, 5 работ в сборниках трудов * конференций, 4 работы в сборниках тезисов конференций, 5 отчетов о НИР. Результаты работ использовались при написании 4 производственных отчетов.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений, списка использованных источников из 107 наименований. Работа изложена на 148 страницах основного текста, включая 43 рисунка и 3 таблицы.

4.5; Выводы;

Математическое моделирование; трехмерных электрических полей и полей вызванной поляризации позволило решить очень важные технологические задачи (разработка, исследование и уточнение новых технологий при работе с; одноканальной и многоканальной аппаратурой в условиях Западной Сибири) и: задачи обработки практических данных, в s том числе проведение анализ результатов работ методом ВП в условиях Томской области [14, 34; 35,46,52-56,76,80,81,82,86].

На основе математического моделирования при разработке технологии проведения полевых геофизических исследований методом ВП установлено: оптимальная длина питающей линии для условий * Западной Сибири составляет 1500 — 2000 м. Такая питающая линия может использоваться при работе как с одноканальной; так и с многоканальной аппаратурой; совместное использование дипольно-осевых и симметричных установок, дает возможность повысить производительность и детальность полевых исследований и более качественно выделять области аномалий поляризуемости над нефтегазовыми объектами; для геоэлектрических условий центральной части Томской области при?использовании5 дипольно-осевой установки на больших разносах, увеличивается влияние становления поля, и выделение поляризующихся объектов происходит на более поздних временах: применение различных установок (симметричной и дипольно-осевой) для геоэлектрических условий Томской • области позволяет судить о глубине расположения слоев или объектов разных сопротивлений и поляризуемости.

Разработанный программный комплекс расчета трехмерных электрических полей и полей ВП, основанный на раздельном вычислении-двумерной и трехмерной части; поля и использовании нерегулярных параллелепипеидальных сеток, позволяет проводить интерпретацию практических данных.

Использование математического моделирования трехмерных полей ВП при анализе практических данных, полученных при проведении геофизических исследований по обнаружению и оконтуриванию месторождений углеводородов в Томской области, позволило [52, 53, 82]:

- провести интерпретацию практических материалов, полученных при работе с многоканальной аппаратурой в сложных условиях;

- установить, что полученные аномалии вызваны изменением поляризуемости, а не изменением электрических свойств разреза;

- получить площадное распределение аномальной зоны повышенной поляризуемости, то есть нефтеперспективной части изученной площади.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проведенных в диссертационной работе исследований получены следующие теоретические и практические результаты.

1. Разработаны конечноэлементные схемы моделирования осесимметричных электрических полей и полей ВП с использованием нерегулярных прямоугольных сеток, содержащих пятиузловые элементы. Применение таких сеток позволяет сократить» количество узлов прямоугольной сетки в 2-4 раза.

Проведенные исследования* при решении большого числа осесимметричных стационарных задач на нерегулярных прямоугольных сетках показывают, что разработанные конечноэлементные аппроксимации с использованием нерегулярных прямоугольных сеток позволяют ускорить вычислительный процесс в 3-5 раз при сохранении точности получаемого конечноэлементного решения.

2. Для горизонтальной токовой линии разработаны методы построения конечноэлементных аппроксимаций ■ трехмерных электрических полей -и полей ВП на нерегулярных параллелепипеидальных сетках при разложении решения задачи на двумерную и трехмерную составляющие. Эти методы позволяют моделировать процессы ВП в горизонтально-слоистых средах, содержащих параллелепипеидальные объекты, с учетом различных параметров начальной поляризации и характеристик спада ВП.

Анализ результатов проведенных расчетов показывает, что разработанные подходы к конечноэлементному моделированию позволяют сократить вычислительные затраты в 10 —20 раз за счет применения схем с разделением полей на осесимметричную и трехмерную составляющие и дополнительно в 10 - 20 раз за счет оптимизации трехмерных параллелепипеидальных сеток.

3. Предложен и программно реализован метод автоматического построения; нерегулярных параллелепипеидальных сеток, содержащих девяти-, десяти- и тринадцатиузловые элементы. Число узлов в такой сетке в 3 - 6 раз меньше, чем в стандартной параллелепипеидальной сетке. Использование данного метода построения нерегулярных сеток позволило создать простую и удобную для пользователя процедуру задания и автоматического построения трехмерных сеток, близких к оптимальными не содержащих «лишних» узлов.

4. Разработанные подходы использовались при решении нефтепоиско-вых задач. С использованием конечноэлементного моделирования трехмерных электрических полей и полей ВП исследованы новые технологии при работе с одно- и многоканальной аппаратурой в сложных геоэлектрических условиях.

5. Разработанные схемы и алгоритмы вычисления трехмерных электрических полей и полей ВП' позволяют проводить анализ практических данных, полученных при геофизических работах методом ВП. Таким образом, разработанные алгоритмы автоматического построения прямоугольных и параллелепипеидальных сеток без «лишних» узлов и алгоритмы быстрого решения прямых двумерных и трехмерных стационарных задач и задач ВП позволяют не только исследовать и совершенствовать технологии проведения полевых работ и проводить анализ практических данных, но и могут служить основой для построения высокоразрешающих систем интерпретации экспериментальных данных.

Работа поддержана грантом Министерства образования РФ (проект № АОЗ-2.13-282).

1. Альпин J1.M., Даев Д.С., Каринский А.Д. Теория полей, применяемых в разведочной геофизике. М.: Недра. - 1985. - 407 с.

2. Безрук И.А., Куликов А.В., Киселев Е.С. и др. Электроразведка в комплексе глубинных и поисковых геофизических работУ/Геофизика. 1975. - № 5.-С. 23-30.

3. Белаш В.А. О спаде вызванной поляризации во времени //Геофизика и Астрономия. 1967.-№11.-С.17-24.

4. Бугрова А.С., Киричек М.А. Возможности выделения и оконтуривания газонефтяных залежей в полях постоянного тока // Разведочная геофизика. -1977.-вып. 76.-С. 54-59.

5. Венделыптейн Б.Ю. Опыт выделения пластов:бурого угля в Подмосковном угольном бассейне // Разведка недр, 1951, № 3, С. 35-42.,

6. Выполнение наземно-скважинных наблюдений по объекту № 157 / Моисеев B.C., Паули Н.И., Персова М.Г., Токарева М.Г. // Информационный отчет по договору № 157-5 между КНИИГиМС и СНИИГТиМС, СНИИГ-ГиМС, Новосибирск, 2001г. — 75 с.

7. Теннадиник Б.И. О природе явления вызванной поляризации в ионопрово-дящих породах // Изв. высш. учеб. завед. Геология и разведка. 1967. - № 12, С. 110-117.

8. Геннадиник Б.И; Уравнения и параметры осредненного электромагнитного поля в гетерогенной среде // Изв. АН СССР. сер. Физика Земли. № 6. — 1980.-С. 69-75.

9. Ю.Геннадиник Б.И., Мельников В.П., Геннадиник Г.В. Теория вызванной электрохимической активности горных пород // Якутск: 1976. — 159 с.

10. П.Гуревич Ю.М., Кормильцев В.В., Улитин Р.В. О подобии графиков вызванной поляризации на переменном и постоянном токе // Изв. АН СССР. Физика Земли.-1975.-№1.-С. 114-116.

11. Гречухин В:В. Классификация угольных месторождений по геофизическим признакам // Сов. Геология, 1964, № 7, С. 116-122.

12. Жданов М.С. Электроразведка. М.: Недра, 1986; - 316 с.

13. Каменецкий Ф.М. Электромагнитные геофизические исследования методом переходных процессов // FEOC. 1997. — 162 с.

14. Каменецкий Ф.М., Тимофеев В.М. О возможности разделения индукционного и поляризационного эффекта // Изв. АН СССР. Физика Земли. 1984: -№12. С. 89-94:

15. Карасаев А.Ш, Бумагин А.В. Экспериментальное изучение переходных характеристик в ранней стадии вызванной поляризации.,Методы разведочной геофизики. // В кн.: Вопросы электроразведки рудных месторождений. Л.: 1977. - С. 11-21.

16. Комаров В.А. Электроразведка методом вызванной поляризации. Ленинград: Недра, 1980. - 390 с.21 .Комаров В.А., Шаповалов О.М. Методика моделирования полей вызванной поляризации рудных тел // Методика и техника разведки, 1965, № 49, С. 79-90.

17. Комаров В.А., Шубникова К.Т. О связи временных параметров вызванной поляризации с геометрическими размерами; поляризующих тел. // Сб. НПО «Геофизика». Методы разведочной геофизики.-JI.: 1976.- вып. 26.-С. 86-95.

18. Кормильцев В;В. Вызванная поляризация в уравнениях электродинамики // Научные доклады АН СССР. Свердловск, 1981. — С. 44.

19. Кормильцев В.В., Мезенцев А.Н. Поздняя стадия становления поля в поляризующейся среде // Физика Земли, 1989; № 5. - С. 56-62.

20. Кормильцев В.В., Мезенцев А.Н. Электроразведка в поляризующихся средах. Свердловск: УРО АН СССР, 1989. - 128 с.

21. Корольков Ю.С. Эффективность электроразведочных методов при поисках нефти и газа. М., 1988. - 58 с.

22. Круглова 3.А. Применение метода вызванной поляризации при поисках нефти и газа // В кн.: Обмен опытом в области геофизических и геохимических поисков нефти и газа. М:: ВИЭМС, 1975. - С. 110-111.

23. Круглова З.А. О природе аномалий вызванной поляризации на нефтяных месторождениях Прикаспийской впадины // Разведочная геофизика. — 1976.-вып. 71.-С. 78-82.

24. Круглова З.Д. Геологическая природа аномалий вызванной поляризации на газонефтяных месторождениях// Разведочная геофизика. — 1972. вып. 49. - С. 58-62.

25. Куликов А.ВШемякин Е.А. Электроразведка фазовым методом вызванной поляризации; М.: Недра, 1978. - 160 с.

26. Легейдо П.Ю., Мандельбаум М.М., Рыхлинский Н.И. Дифференциально-нормированные методы геоэлектроразведки // Иркутск, 1996, с. 144.

27. Математическое моделирование при» разработке технологий для метода; вызванной? поляризации. Моисеев B.C., Рояк М;Э;, Соловейчик Ю.Г., Персова М.Г., Токарева М.Г. // Сибирский журнал индустриальной математики; 1999; - Т. 2.-№ 2:

28. Митчел Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными? производными: Mi: Мир, 1981. — 216с.

29. Моисеев B.C. Метод вызванной поляризации при поисках нефтеперспек-тивных площадей. Новосибирск: Наука; 2002, 150 с.

30. Моисеев B.C., Рояк М.Э.,. Соловейчик Ю.Г., Тригубович Г.М. Математическое моделирование электромагнитных полей в сложных средах // Тез.докл. Междунар. геофиз. конф. 10-13 июля 1995 г. С-Пб, 1995, Т.2.

31. Научно-техническое совещание «Геофизические методы при разведке недр и экологических исследованиях»: сборник материалов (докладов). — Томск, 1996. С.65-66.

32. Моисеев B.C. Сурков B.C., Тараторкин О.Ф., Эффективность электроразведочных исследований при поисках и оконтуривании залежей углеводородов // Международная геофизическая; конференция и выставка. — М.: 1997.-C.F3i3.

33. Моисеев B.C., Талашев А.С. Расчет поля вызванной?поляризации:сферы применительно к способу центрального электрода //В кн.: Алгоритмы и программы для решения»задач рудной геофизики. Методическое руководство. Новосибирск: СНИИГТиМС, 1976. - с. 35-37.

34. Наземно-скважинные исследования электроразведкой методом заряженного тела на полигоне СХК «Площадка 18а» / Моисеев B.C., Паули Н.И., Персова М.Г., Токарева М;Г. // отчет по договору №5010 между ТПУ и СНИИГТиМС, СНИИГТиМС, Новосибирск, 2003г. 45 с.

35. Паули Н.И. Аппаратурное обеспечение электроразведочных работ при поисках и оконтуривании залежей углеводородов // Науч. симп. «новые технологии в геофизике»: Тез. докл. — Уфа, 2001. — G. 238 — 239*

36. Персова M.F. Моделирование нестационарных электромагнитных полей на нерегулярных прямоугольных сетках // Сборник трудов НГТУ. — 2002. -№3(29).-С. 33-38.

37. Проведение площадных электромагнитных исследований перспективного ' участка на обнаружение углеводородов в Томской области // Информационный отчет по договору № 5345 между ОАО «Востокгазпром» и:СНИИГТиМС, Новосибирск, 2000 г. 20 с.

38. Разработка технологии геофизических исследований! для решения прогнозно-поисковых задач // Отчет о НИР по объекту 163/6-01/24, СНИИГГиМС, № ГР 01.200.114111, Новосибирск, 2001-2002 г.

39. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г. Алгоритмы построения нерегулярных треугольных и тетраэдральных сеток // Сб. науч. тр. НГТУ. — Новосибирск: НГТУ, 1996.-№2(4).-С.39-46.

40. Рояк М.Э., Соловейчик Ю.Г., Шурина Э.П. Сеточные, методы решения краевых задач математической физики: Учеб.пособие. — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 1998.

41. Самарский А'.А. Введение в численные методы: М.: Наука, 1997. — 239с.

42. Светов Б.С. Электродинамические основы квазистационарной геоэлектрики. М.: ИЗМИРАН, 1984 г., 183 с.

43. Сегерлинд JI. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979: -392 с.

44. Семенов А.С. Электроразведка методом естественного электрического поля; JI.: Недра, 1974.

45. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М.: Мир, 1986.—229с.

46. Соловейчик Ю.Г. Вычислительные схемы МКЭ-моделирования трехмерных электромагнитных и тепловых полей в: сложных областях. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. — Новосибирск, НЕТУ, 1997.

47. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Моисеев B.C., Васильев А.В. Математическое моделирование1 на базе метода конечных элементов. трехмерных; электрических полей в задачах электроразведки // Физика Земли. — 1997. -№9.-С. 67-71.

48. Соловейчик Ю.Г., Рояк М;Э;, Моисеев B.C., Тригубович Г.М Моделирование нестационарных электромагнитных полей: в трехмерных средах методом конечных элементов // Физика земли — 1998 г. №10: - С. 78-83.

49. Соловейчик Ю.Г., Рояк М.Э., Тригубович Г.М;, Чернышев А;В; Разработ-ка»системы интерпретации электромагнитных полей в задачах индукционной геоэлектроразведки i // Доклады СО АН ВШ»январь-июнь № 1 (5), 2002-С. 105-114.

50. Соловейчик Ю.Г., Токарева М.Г., Персова М;Г. Решение трехмерных: стационарных задач на нерегулярных параллелепипеидальных сетках // Вестник ИрГТУ. Иркутск.- 2004 г. С. 45-60;

51. Соловейчик Ю.Г., Тригубович Г.М., Чернышев А.В., Рояк М.Э. Об одном подходе к решению трехмерной обратной задачи электромагнитного зондирования Земли становлением поля // Сибирский , журнал индустриальной математики. -2003; Т.6, № 1(13) - С. 138-153;

52. Тихонов А.Щ Глазко В.Б., Дмитриев В.И. Математические методы в разведке полезных ископаемых. М;: Знание, 1983. — 239 с.78.'Тихонов А.Щ Самарский?А.А. Уравнения математической; физики. М.: Наука, 1997.-432с.

53. Токарева М.Г. Решение трехмерных стационарных задач электроразведки на прямоугольных сетках с десятиузловыми элементами // Сб. науч. тр. НПУ. Новосибирск.- 2003 . - № 1. -С.59-64 .

54. Токарева М.Г., Персова М.Г., Задорожный А.Г. Алгоритм оптимизации прямоугольных сеток для решения задач электроразведки // Сб. науч. тр. НГТУ.-Новосибирск.-2002.-№ 2(28).-С. 41-48.

55. Тригубович Г.М., Гаврилов В.П., Моисеев B.C. и др. Площадные зондирования становлением поля для труднодоступных районов. // Российский геофизический журнал. 1998. № 9-10, с 75-78

56. Флетчер К. Численные методы: на основе метода Галеркина. — М.: Мир, 1988.-352 с.

57. Хмелевской В.К. Электроразведка. -М.: Изд.- МГУ, 1984.

58. Шейнманн С.М. Современные физические основы теории электроразведки. Л.: Недра, 1969г. - с. 220.

59. Электроразведка: Справочник геофизика. В 2-х кн./ Под ред. В.К. Хмелев-ского, В.М: Бондаренко. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Недра, 1989 Кн.1.-438 с.; Кн.2. - 378 с.

60. Эпов М.И;, Антонов-Е.Ю., Ельцов И.Н; Нестационарное электромагнитное поле над средой с малоамплитудной пологой структурой // Геология ш геофизика. 1990, N11 С. 137-142.

61. Эпов М.И., Антонов М;Б., Прямые задачи электромагнитных зондирований с учетом частотной дисперсии геоэлектрических параметров // Физика Земли. 1999.-№ 2.

62. Якубовский Ю.В.Электроразведка. Москва, Недра: 1980, 383 с.

63. L.P. Beard; F.C. Tripp. Investigating the resolution of IP arrays using inverse theory. Geophysics, vol! 60, No. 5, 1995, p. 1326-1341.

64. G.F.Carey, M. Sharma, K.C.Wang. A class of Data Structures for 2D and 3D Adaptive Finite Element mesh Refiniment. Int J.Numer.Methods.Eng Vol 26. 1993^ p. 2607-1905.

65. K.C.Chellamuthu and Nathan Ida. Algorithms and;data structures for 2D and 3D)adaptive- finite element mesh refinement. Department of Electrical Engineering, The University of Akron, Akron, OH 44325-3904, USA, 1993, p. 205229.

66. J.P.De, S.R. Gago, D.W. Kelly and O.C. Zienkiewich. A- posteriori error analysis and adaptive processes in the finite element method Part II — Adaptive mash refinement. Int. Numer.Methods Eng. 19, 1983, p. 1593-1619.

67. L.Demkowicz, J.T. Oden. W.Rachowich and O.Hardy. Toward a universal h-p adaptive finite element strategy, part 1. Constrained approximation and data structure. Comput. Mtohds Appl.Mech.Eng. 77, 1989, p. 79-112.

68. A.R.Pinchuk and P.P.Silvester. Error Estimation for automatic adaptive Finite Element Mesh Generation. IEEE Trans, on Magnetics, Vol.21, No6, 1985, p. 2551-2554.

69. Pirson S.D. Progress in magnetoelectric exploration. — Oil and Gas J., 1982, v.80, №41.

70. H.O. Seigel. Mathematical formulation and type curves for induced poleri-zation. Geophysics, 24, 1959, p. 547-565.

71. Siegel H. Induced polarization and its role in mineral exploration. — Canadian Min. Metall. Bull., 1962, v. 5, № 600.

72. J. Wait. The variable-frequency method // Overvoltage research and geophysical applications. L.; N.Y.; Paris, Los Angeles, 1959. p. 29-49.149