автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса при сушке электромагнитным излучением

084699492

На правах рукописи

Л. Лрс^

АФАНАСЬЕВ Анатолий Михайлович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА ПРИ СУШКЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

3 О СЕН 2010

Новочеркасск 2010

004609492

Работа выполнена на кафедре теоретической физики и волновых процессов в ГОУ ВПО «Волгоградский государственный университет»

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Сипливый Борис Николаевич

доктор физико-математических наук, профессор

Шеин Александр Георгиевич

Ведущая организация:

доктор технических наук, профессор Фролов Вадим Николаевич

доктор технических наук, профессор Ткачев Александр Николаевич

ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет»

Защита состоится 15 октября 2010 г. в 10.00 на заседании диссертационного совета Д 212.304.02 в ГОУ ВПО «Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)» по адресу: 346428, г. Новочеркасск Ростовской обл., ул. Просвещения, 132, ауд. 107 (главный корпус)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЮРГТУ (НПИ) по адресу: 346428, г. Новочеркасск Ростовской обл., ул. Просвещения, 132

Автореферат разослан 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, /^гуСл^ А. Н. Иванченко к.т.н., профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Одним из современных и все чаще применяемых в промышленности перспективных технологических процессов является нагревание материалов, содержащих воду, интенсивным электромагнитным излучением. Технология электромагнитного нагревания успешно применяется в пищевой промышленности, в медицине, в дорожном строительстве, при разработке горных пород и мерзлых грунтов, в горнодобывающей, нефтегазодобывающей и резиновой промышленности. В большинстве случаев процесс нагревания электромагнитным излучением сопровождается явлением массопереноса: за счет механизмов диффузии, термодиффузии и бародиффузии влага постепенно перемещается к поверхности материала (частично в виде жидкости, частично в виде пара) и в конечном итоге удаляется в окружающую среду. Материалы, в которых такое движение влаги может происходить, имеют разветвленную сеть сообщающихся друг с другом капилляров и пор; их называют капиллярно-пористыми материалами. Удаление влаги из материалов и изделий указанным способом представляет собой электромагнитную сушку. Процедура сушки электромагнитными волнами, которой и уделяется основное внимание б настоящей работе, широко применяется для обезвоживания пищевых продуктов и сельскохозяйственного сырья, для сушки древесины и строительных материалов; она является важным элементом для целого ряда технологических процессов в химической, текстильной, полиграфической и целлюлозно-бумажной промышленности. Еще одно направление, в котором успешно развивается технология сушки электромагнитными волнами, связано с широким использованием в промышленности таких материалов, как силикагель, алюмогель и цеолит. Эти вещества, обладающие высокой гигроскопичностью (поверхность капилляров 1 кг материала имеет общую площадь порядка 5-105 м2), находят важное применение в термодинамических циклах современных установок по созданию микроклимата в помещениях, а также широко применяются в качестве твердых поглотителей в промышленных адсорбционных установках по осушке природного газа. На стадии регенерации поглощенная материалом влага должна быть быстро удалена, и здесь перспективным направлением является использование для этих целей интенсивного электромагнитного излучения.

Основное отличие электромагнитной сушки от сушки конвективной и кондук-тивной, с помощью которых в настоящее время получают до 90 % сухих продуктов в пищевой промышленности, состоит в том, что тепло выделяется не на поверхности материала, а по его объему до некоторой глубины. Это позволяет уменьшить потери энергии и увеличить интенсивность сушки без опасности перегрева продукта. Кроме того, для электромагнитной технологии характерны: возможность использования любых атмосфер и вакуума; избирательность при многокомпонентной структуре материала; гибкость и высокая точность управления из-за малой инерционности процесса, возможность точного дозирования энергии, наличие нескольких каналов управления; сбережение материальных и трудовых ресурсов, повышение качества продукции и производительности труда, уменьшение вредных воздействий на окружающую среду. Наконец, следует иметь в виду, что существует целый ряд про-

изводств, реализация которых без электромагнитной технологии практически невозможна.

Использовать в полной мере преимущества электромагнитных методов нагревания и сушки можно лишь при наличии математических моделей и средств их анализа, которые дают теоретическую базу при разработке устройств данного типа и позволяют оптимизировать их работу. В настоящее время большинство моделей основано на концепциях теплофизической и электромагнитной однородности среды, линейности исходных уравнений и независимости задач для электромагнитных полей и полей тепломассопереноса. Такие простейшие модели могут быть проанализированы аналитическими методами, основанными на методе разделения переменных и преобразовании Лапласа, однако полученные на этом пути результаты обладают весьма ограниченной сферой применения и пригодны лишь для инженерных оценок. Требуется новый подход, основанный на уравнениях математической физики с переменными теплофизическими и электрофизическими коэффициентами и численных методах решения самосогласованных начально-краевых задач. На решение этих проблем и направлена данная работа.

Работа выполнялась в рамках международного проекта «СВЧ-десорбция», раздел «Создание новой холодильной технологии на основе взаимодействия СВЧ излучения с цеолитом» (программа Минпромнауки РФ № 700: Россия, Волгоград, ВолГУ - Deutschland, Fachhochschule Köln, 1998-2002 г.г.). Работа была поддержана грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований: «Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса при воздействии интенсивного электромагнитного излучения на влагосодержащие материалы капиллярно-пористой структуры» (проект 04-01-96502, 2004-2006 г.г.); «Влияние электромагнитного поля на тепломассоперенос в многофазных анизотропных средах» (проект 07-02-96609, 2007-2008 г.г.); «Разработка приближенных методов учета краевых эффектов в дву-мерныл задачах теории сушки электромагнитным излучением» (проект 09-08-97026, 2009-2010 г.г.).

Цель диссертации. Разработка комплекса модельных представлений и вычислительных алгоритмов, предназначенных для исследования процессов тепломассопереноса в материалах с капиллярно-пористой структурой, содержащих влагу и находящихся под воздействием интенсивного электромагнитного излучения, и решение на основе полученных результатов актуальной научно-технической проблемы повышения эффективности функционирования установок для нагревания и сушки электромагнитными волнами.

Основные задачи диссертации.

1. Построение трехмерных математических моделей электромагнитных процессов и процессов тепломассопереноса в рабочих камерах СВЧ установок для термической обработки влажных материалов, корректно учитывающих нелинейный характер тепло- и массообмена поверхности материала с окружающей средой; тепло-физическую и электромагнитную неоднородность среды; эффекты отражения и пропускания электромагнитных волн.

2. Разработка программного комплекса для расчета полей температуры и вла-госодержания при заданном поле плотности источников тепла.

3. Разработка программного комплекса для расчета поля плотности электро-

магнитных потерь и электромагнитных коэффициентов отражения и пропускания при заданном распределении диэлектрической проницаемости по объему образца.

4. Разработка программного комплекса, в котором на основе п.п. 2 и 3 (задано поле источников тепла - решается теплофизическая задача; задано поле диэлектрической проницаемости - решается электромагнитная задача) осуществляется совместное решение уравнений тепломассопереноса и уравнений электромагнитного поля в рамках общей начально-краевой задачи.

5. Проведение численных экспериментов, которые демонстрируют возможности новых расчетных алгоритмов и позволяют установить, как влияют на основные характеристики сушки - ее интенсивность, качество и энергоемкость - переходные процессы и краевые эффекты; зависимость диэлектрической проницаемости и коэффициентов тепломассопереноса от температуры и влагосодержания; зависимость электромагнитных коэффициентов отражения и пропускания от толщины слоя материала и его состояния.

Объект исследования. Тепломассоперенос и фазовые превращения в многокомпонентных средах; процессы взаимодействия электромагнитного поля с веществом.

Предмет исследования. Теория сушки электромагнитным излучением; совместно протекающие явления тепломассопереноса и диссипации энергии электромагнитных волн в рабочих камерах СВЧ устройств для термообработки влажных материалов.

Методологическая и теоретическая основа исследования. Методологической основой исследования является математическое моделирование. Оно заключается в построении математической модели процессов, происходящих при сушке электромагнитными волнами, и дальнейшем анализе этой модели с помощью реализуемых на компьютере вычислительных алгоритмов. Теоретическую основу исследования составляют: теория распространения тепла и влаги в капиллярно-пористых материалах (уравнения А. В. Лыкова и уравнения двухфазной фильтрации); теория пограничного слоя; теория электромагнитного поля; материальные уравнения электродинамики; численные методы для дифференциальных уравнений в частных производных параболического и гиперболического типов.

Достоверность результатов работы. Достоверность полученных в диссертации научных результатов подтверждается:

- корректным применением фундаментальных законов соответствующих областей знаний (теории распространения тепла и влаги в капиллярно-пористых материалах, теории пограничного слоя, теории электромагнитного поля) и математического аппарата (численных методов для дифференциальных уравнений в частных производных);

- использованием при математическом моделировании лишь таких приближений, которые не противоречат физике рассматриваемых явлений и являются принятыми в литературе по данному вопросу;

- согласованностью частных выводов диссертации с известными результатами теории сушки;

- проведением тестовых расчетов для начально-краевых задач с известными решениями;

- согласованностью результатов численных экспериментов с имеющимися в литературе опытными данными (расхождение не превышает 5% при расчете температуры мокрого термометра и 12% при расчете интенсивности сушки и ее энергоемкости).

Научная новизна исследования.

1. Показано, что линейные краевые условия массообмена в виде закона Ньютона, которые традиционно используются в задачах теории сушки, непригодны для описания начального периода сушки и периода постоянной скорости. Для исследования этих периодов разработаны нелинейные краевые условия третьего рода на основе закона испарения Дальтона. Только в модели Дальтона оказывается возможным объяснить существование квазистационарных режимов тепломассопереноса и получить правильное соотношение между интенсивностями двух видов сушки -конвективной и электромагнитной.

2. Тепловое действие электромагнитных волн с малой глубиной проникновения предложено описывать плотностью поверхностных источников тепла. В тех случаях, когда коэффициент испарения близок к единице, эта величина оказывается равной величине разрыва, который испытывает на поверхности материала плотность теплового потока. Поверхностные источники тепла входят не в уравнение теплопроводности, а в краевое условие теплообмена, что позволяет избежать сгущения сетки вблизи границы и тем самым упростить процедуру численного решения задачи. Представление об источниках тепла, распределенных по поверхности материала, играет важную роль в приближенной теории электромагнитной сушки и в задаче о выборе оптимального режима.

3. Для температуры мокрого термометра, которая в задачах электромагнитной сушки принимается за начальную температуру материала, разработан новый метод расчета. В отличие от существующих методов, он учитывает теплообмен излучением и опирается не на условие адиабатичности испарения, которое справедливо лишь при равном нулю коэффициенте фазового превращения, а на условие стационарности температурного поля.

4. Для частного случая - одномерной модели с постоянными коэффициентами тепломассопереноса и заданной плотностью источников тепла, которые могут распределяться в тонком поверхностном слое материала, равномерно по глубине или по экспоненте - построено аналитическое решение системы уравнений электромагнитной сушки. Решение описывает сушку от момента, когда заканчиваются переходные процессы, до момента, когда водяной пар у поверхности материала перестает быть насыщенным. По своему характеру построенное решение является квазистационарным (производные по времени от всех функций, характеризующих процесс, остаются постоянными). Концепция квазистационарных решений позволяет развить приближенную теорию электромагнитной сушки. Методами этой теории рассчитываются основные характеристики сушки и в наглядном виде представляются основные ее закономерности.

5. В рамках приближенной теории разработан алгоритм оптимизации электромагнитной сушки, позволяющий при заданной интенсивности испарения влаги с поверхности материала выбором характеристик излучения минимизировать перепады температуры и влагосодержания по глубине образца. Новый алгоритм отличает-

ся от известных в литературе тем, что он: а) использует в качестве критерия оптимальности не постоянство плотности внутренних источников тепла, а близость полей температуры и влагосодержания к однородным (задачей оптимизации считается организация режимов, близких к идеальному режиму с параметрами АТ-О, Д и -0); б) вводит в употребление не применявшиеся ранее понятия мягких и жестких режимов (режимов с сонаправленными и противоположно направленными векторами £гас1 Т и дгас! Ц), напряжений массопереноса по температуре и по влагосо-держанию, постоянных материала С и х-

6. Разработан и зарегистрирован в государственном Реестре программ для ЭВМ комплекс вычислительных программ для решения пространственно одномерных и пространственно двумерных начально-краевых задач для уравнений переноса тепла и влаги А. В. Лыкова. Численными алгоритмами учитываются нелинейный характер тепло- и массообмена поверхности материала с воздушной средой, зависимость коэффициентов тепло- и массопереноса от температуры и влагосодержания. Плотности внутренних и поверхностных источников тепла имеют в этих программах любой наперед заданный вид; выходными данными являются распределения температуры, влагосодержания, механических деформаций и плотностей потоков тепла и влаги по объему образца как функции времени.

7. Разработан численный метод расчета плотности электромагнитных потерь и коэффициентов отражения и пропускания при заданном распределении диэлектрической проницаемости по объему образца. Эта задача решена в приближении, что электромагнитная неоднородность среды, вызванная изменением диэлектрической проницаемости, имеет слоистую структуру. Для плоских слоистых сред, в которых распространяются плоские электромагнитные волны, использовался метод характеристических матриц. Для цилиндрических слоистых сред, в которых распространяются цилиндрические электромагнитные волны ТЕМ типа, был разработан ориги-напьный численный алгоритм, являющийся распространением идей метода характеристических матриц на цилиндрическую систему координат.

8. Разработана схема численного анализа электромагнитной сушки, которая отличается от известных в литературе тем, что все дифференциальные уравнения, описывающие процесс - два уравнения параболического типа (для полей температуры и влагосодержания Г и Ц) и два уравнения гиперболического типа (для векторов электромагнитного поля Е и Н) - рассматриваются как связанные уравнения, т.е. расчет полей Т,и,ЕпН производится с учетом их взаимного влияния. С помощью формул Дебая с температурно-зависимыми параметрами и формул смешения распределениям температуры и влагосодержания в каждый момент времени ставится в соответствие распределение эффективной диэлектрической проницаемости двухкомпонентной смеси диэлектриков (твердой основы и воды) в тот же самый момент. Это позволяет с помощью алгоритма пункта 7 рассчитать отвечающую этому моменту плотность электромагнитных потерь. В свою очередь, при известном распределении плотности электромагнитных потерь оказывается возможным найти распределения температуры и влагосодержания в следующий близкий момент времени (это делается с помощью алгоритмов пункта 6), после чего процедура циклически повторяется.

Практическая значимость работы и реализация ее результатов.

Разработанные методы расчета позволяют оптимизировать функционирование технических устройств, в которых используется процесс электромагнитной сушки. Задачей оптимизации является повышение интенсивности и качества сушки при снижении ее энергоемкости. Алгоритмы настоящей работы позволяют решать эту задачу с учетом ряда факторов, которые раньше не принимались во внимание. Это переходные процессы и краевые эффекты; наличие отраженной и прошедшей электромагнитной волны; теплофизическая и электромагнитная неоднородность среды; нелинейность краевых условий тепло- и массообмена.

Созданный в результате работы над проблемой комплекс программ для ЭВМ зарегистрирован в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам й товарным знакам.

Результаты диссертации внедрены на следующих предприятиях г. Волгограда: ООО «BOJIMA» (метод приближенного расчета основных характеристик сушки использован для оптимизации работы линии по производству гипсокартонных листов); ООО «Завод Нефтегазмаш» (алгоритм оптимизации электромагнитной сушки использован при проведении конструкторских и научно-исследовательских работ по созданию установки для СВЧ сушки полиамида); ОАО «Фирма ЖБИ-6» (теория распространения электромагнитных волн в неоднородных слоистых средах использована при работе над проектом установки для измерения электромагнитным методом содержания влаги в железобетонных и строительных изделиях); ЗАОр «Народное предприятие «Запприкаспийгеофизика» (численный алгоритм, позволяющий исследовать прохождение плоских электромагнитных волн сквозь неоднородные слоистые среды, применен для моделирования процесса распространения сейсмических волн сквозь геологические пласты слоистой структуры).

Результаты диссертации используются на факультете физики и телекоммуникаций ВолГУ:

а) для организации лекционной работы со студентами: по материалам диссертации разработан курс лекций «Численное моделирование процессов тепло- и мас-сопереноса» (специальность «Физика», специализация «Физическая электроника»);

б) для организации практических занятий со студентами: примененные в диссертации методы решения задач тепломассопереноса вошли в учебные пособия «Задачи по векторному анализу» (изд-во ВолГУ, 2005) и «Решение краевых задач для уравнения Лапласа методом Фурье» (изд-во ВолГУ, 2007), которые используются на семинарских занятиях по курсам «Векторный анализ» и «Методы математической физики» (специальности «Физика» и «Радиофизика»);

в) для организации курсового и дипломного проектирования по специальности «Физика».

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили положительную оценку на: научных конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного университета (1998-2008 г.г.); VII Международной конференции «Математика, компьютер, образование» (Дубна, 2000); I Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2001); VIII Международной конференции «Образование, экология, экономика, информатика»

(Астрахань, 2003); VI Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Казань, 2007); 11 Международном семинаре «Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот» (Москва-Фрязино, 2007); научном семинаре кафедры «Теоретические основы теплотехники» Казанского государственного технического университета (Казань, 2008); заседании кафедры прикладной математики Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасск, 2009).

На защиту выносятся:

1. Математическая модель совместно протекающих и взаимосвязанных процессов распространения тепла, влаги и диссипации энергии электромагнитных волн в насыщенных влагой капиллярно-пористых материалах, находящихся в состоянии тепло- и массообмена с окружающей средой и подверженных воздействию интенсивного электромагнитного излучения.

2. Приближенный метод анализа электромагнитной сушки, основанный на асимптотическом решении начально-краевой задачи.

3. Метод оптимизации электромагнитной сушки для образцов с плоской геометрией.

4. Методы численного анализа электромагнитной сушки, которые включают алгоритм для решения уравнений тепломассопереноса при заданной плотности источников тепла; алгоритм для расчета плотности электромагнитных потерь при заданном распределении диэлектрической проницаемости по объему образца; алгоритм для совместного исследования процесса поглощения энергии электромагнитных волн и явлений тепломассопереноса, который учитывает обратное влияние текущих распределений температуры и влагосодержания на формирование поля плотности электромагнитных потерь.

5. Пакет вычислительных программ для расчета полей температуры, влагосодержания, механических деформаций, интенсивностей тепло- и массообмена поверхности образца с окружающей средой, плотности электромагнитных потерь, коэффициентов отражения, пропускания и поглощения при заданных характеристиках материала, температуре, скорости и влажности воздуха за пределами пограничного слоя, интенсивности и частоте падающей электромагнитной волны.

6. Результаты численного исследования сушки электромагнитными волнами для различных материалов и для образцов с различной геометрией, которые позволяют судить о влиянии на сушку целого ряда трудно учитываемых факторов, а именно переходных процессов и краевых эффектов, теплофизической и электромагнитной неоднородности среды, нелинейности краевых условий тепло- и массообмена, эффектов отражения и пропускания электромагнитных волн.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 35 работах, из них 18 - статьи в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и пяти приложений. Общий объем диссертации составляет 297 страниц, включая 55 рисунков и 15 таблиц; список литературы содержит 220 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования; сформулирована цель работы; изложена научная оригинальность разработанных методов и подходов; сказано о практическом значении работы; представлены основные положения, которые выносятся на защиту.

_ В первой главе «Анализ современного состояния

теории электромагнитной сушки и постановка задач исследования» на основе обзора литературы по теме диссертации формулируются ее основные задачи.

Во второй главе «Математическая модель процессов распространения тепла и влаги в капиллярно-пористой среде» решается проблема математического моделирования сушки электромагнитными волнами, в той ее части, которая касается уравнений тепломассо-переноса. Принципиальная схема сушки показана на рис. 1. Обдуваемый воздушным потоком и находящийся под воздействием электромагнитных волн образец состоит из двух компонентов: твердой основы (капиллярно-пористое тело) и воды. Исходными соотношениями для описания процессов распространения тепла и влаги являются: закон теплопроводности Фурье g=-Ä/grad Т\ закон влагопроводности A.B. Лыкова

У = -«mРо ■ grad U - а1тр0 • grad Г; формулы jx -yf, j2 = (l - у)j, определяющие разделение потока влаги на пар (1) и жидкость (2). Начально-краевая задача для расчета функций Т(М, г) и U(M, г) - распределений температуры и влагосодержания в области G с границей Г - ставится следующим образом:

Рис. 1. Схема электромагнитной сушки: 1 - влажный образец; 2 - воздушный поток; 3 -электромагнитная волна

ср0 —= div (Л-gradT) + ryp0 — + W (MeG); дт dt

äj

дт

= div(am-gradt/ + c4-gradr) (Ме G);

Q{M,T) + r(l-y)-j{M,z)--

Л—(М,т) + A-S (Me Г); 3i

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

Здесь: г - время; с, Л, у, ат, атх - теплофизические характеристики материала (удельная теплоемкость, коэффициенты теплопроводности, испарения, диффузии влаги и термодиффузии влаги), которые являются заданными функциями температуры и влагосодержания (табл. 1); ро - плотность материала в сухом состоянии; г - удельная теплота парообразования воды; Ж - плотность внутренних источников тепла, вызванных поглощением проникающего электромагнитного излучения; А -Б - плотность поверхностных источников тепла, вызванных поглощением излучения с ма-

J(M,t)= атр0—{М,г) + а1тр0—-{М,т) (МеГ); м m

Т(М, 0) = /(М); U(M, 0)=F(M).

лой глубиной проникновения (интенсивность излучения 5, коэффициент поглощения А); д/дп - символ производной по направлению внутренней нормали к границе Г; ЛМ) и Г(М) - заданные функции, определяющие начальные распределения температуры и влагосодержания; Q\^J- интенсивности тепло- и массообмена поверхности образца с воздушной средой, которые в каждой точке поверхности М однозначно определяются температурой в этой точке Т:

2(М,г)=^[(ф,г)+Г0)4 ~{ТВ +Т0У]+ак[т{М,т)-Тв}-, (6)

Ам,т) = ат[Р{Т(М,т))-<р-Р(Тв)\ Р(Т) = 6,03.1(Г3-ехр^1 (7)

1 + 1х

В этих формулах: а - постоянная Стефана-Больцмана; А - коэффициент теплового излучения; Гв и ср - температура и влажность воздуха за пределами пограничного слоя; и «т - коэффициенты тепло- и массообмена поверхности образца с воздушной средой; Р(Т) - функция, моделирующая зависимость относительного парциального давления насыщенного водяного пара от его температуры Г при общем нормальном давлении; 7о=273 °С и 71=238 "С - постоянные. Если образец представляет собой цилиндр произвольного сечения, который обдувается воздухом в направлении образующих, то при ламинарном состоянии пограничного слоя коэффициенты тепло- и массообмена рассчитываются по формулам

¡V (V Вт-с1/2 ч кг

«« =к 7; о-ш К ^3,82-т—-; кт = 2,54-10 2' ^

м -°С с -м

Здесь: V- скорость воздуха вне пограничного слоя; Ь - длина образующей. Процесс сушки изучается от момента г=0 до некоторого момента ткр, когда среднее по поверхности образца влагосодержание (Уср становится равным критическому значению

Таблица 1. Теплофизические характеристики некоторых материалов при 7=50 °С и Ц-0,2. Здесь ¿=ат'/ат - относительный коэффициент термодиффузии влаги

У ро, кг/м3 8,1/°С X, Вт/(м-°С) От, м2/с с, Дж/(кг-°С) А £/кР

Песок 0,10 1,4-10' 1,8-10'* 1,30 6,7-10'' 1,6-10* 0,75 0,05

Глина 0,10 1,5-10* 1,5-10""' 0,93 2,6-10'8 1,9-10* 0,8 0,1

Цеолит 0,12 1,1-10* 1,9-10"3 0,25 6,5-10'' 1,1-10* 0,7 0,05

В третьей главе «Аналитические методы исследования электромагнитной сушки при заданном распределении плотности источников тепла» производится построение аналитического решения начально-краевой задачи для полей Г и и при заданном поле Ж, а затем на этой основе развивается приближенная теория сушки и решается задача о выборе оптимального режима.

Аналитическое решение начально-краевой задачи (1)-(8) строится при следующих упрощающих предположениях:

а) Образец имеет плоскую форму (рис. 2); все искомые функции зависят только от одной пространственной переменной. Условие тепло- и влагоизоляции нижней поверхности пластины х=с1 означает, что исходным объектом изучения является образец толщиной 2с/, у которого вследствие идентичности краевых условий на границах х=0 и х=2с1 отсутствуют тепловые потоки и потоки влаги сквозь плоскость симметрии Х=(1.

_$ ^

-ттгттг у '-: \ ■ ; \

с 1 о

л 5

///////// V /////// /

ч3 М

Рис. 2. Сушка плоского образца: 1 - воздушный поток; 2 - плоская электромагнитная волна; 3 - пограничный слой; 4 - пластина из влажного материала; 5 - тепло- и влагоизоляция

б) Материал пластины является однородным.

в) Электромагнитное излучение состоит из трех компонентов, которые условно называются инфракрасным (ИК), высокочастотным (ВЧ) и сверхвысокочастотным (СВЧ) излучением. ИК излучение полностью поглощается тонким поверхностным слоем материала, ВЧ излучение возбуждает источники тепла с объемной плотностью Жвч=сопз1, а СВЧ излучение приводит к появлению объемных источ-

ников тепла с плотностью

Ж =5 ,

" СВЧ "свч I.

) [(1 - Ю/а] ■ ехр(~ х/ а)> (9)

где: 5СВЧ - интенсивность излучения; К - коэффициент отражения; А - глубина проникновения электромагнитного поля в материал. В связи с этим можно говорить об ИК сушке, о сушке вида ИК+ВЧ, и т.д.

г) Решение ищется при г-»со (асимптотическое решение). Построенное при этих условиях решение начально-краевой задачи (1)-(8) не зависит от начальных данных (5) и характеризуется стационарным температурным полем Т, квазистационарным полем влагосодержания и, неизменными интенсивно-стями тепло- и массообмена (), и ,/<» Это решение имеет следующий вид:

си2 + С2гд2

1 2 Ы а

1-

г 2 1

X -£ + А2

21 3. й

■ехр -

1 - ехр

х ( й

-гхр-д

х ( аП

-Гхр-д

сГ =

Мо -^вч^.

О-Л).

; С^ = -5С1 - ■

СУ =-ёС.

2 >

(10)

(11)

(12)

(14)

/Ш ЯД атРоА

^ = ат[р(гш)-^.р(гв)]; =о-л[(7к+Г0)4 ~{ТВ +Т0У}+а„{Тх-Тв). (13) Входящая в формулы (13) величина - установившаяся температура поверхности материала - находится как решение уравнения энергетического баланса

офос + Т0)4 -{Тв + Г0)4]+ а№(Гж - Гв)+гат[Р{Т„)-<р-Р(Г,)]= = + 1¥вчс1 + 5СВЧ(1 - Я)[1 - ехр(- ¿/А)} Анализ процесса, основанный на формулах (10)-(14) (приближенная теория сушки), позволяет: а) представить в наглядном виде основные закономерности электромагнитной сушки; б) предложить новый метод расчета температуры мокрого термометра; в) в первом приближении рассчитать механические деформации образца, вызванные неоднородностью поля влагосодержания; г) получить удобные для инженерных оценок формулы, прежде всего для перепадов температуры и влагосодержания по глубине образца, продолжительности сушки и ее энергоемкости.

В рамках приближенной теории решается задача о выборе режима, оптимального с точки зрения качества сушки. Качество сушки тем выше, чем меньше абсолютные значения перепадов температуры АТ = Т(с1)- Т(о) и влагосодержания АII = и(с1,т)~и(0,т) между границами пластины рис. 2. Анализ формул (10)-(14) показывает, что параметры АТнАи связаны равенством

S•AT + AU = Jxd/(2атр0), (15)

поэтому каждое множество режимов с фиксированной интенсивностью сушки Л, распадается на следующие два подмножества. В подмножестве жестких режимов параметры АТ и А1) имеют противоположные знаки, и вследствие этого режимы такого рода заведомо не являются оптимальными: если, например, Д7>0, Д(/<0, то, не изменяя правой части (15), можно добиться одновременного уменьшения и АТ, и I Д(/|. В подмножестве мягких режимов, где и должна производиться электромагнитная сушка, перепады температуры и влагосодержания оба являются положительными, и поэтому уменьшить АТ можно только за счет увеличения А £/, и наоборот. Согласно (15), в области мягких режимов параметр АТ будет увеличиваться от нуля до АТ - JrXld/(2атр08)= АТтлх (при этом параметр А11 будет уменьшаться от А^тах^'АГщах до нуля). Введем напряжение массопереноса по температуре Сг=АТ!АТт1К. Тогда область мягких режимов будет задаваться неравенством 0<С7<1. Рассмотрим в качестве примера сушку вида СВЧ (5ИК=0, 1ГВЧ=0). Из определения функции СУ и формул (10)-(14) будем иметь, что для СВЧ сушки

Ст- =

СтРаЗуг

X

2А ехр(б?/А)-1 - (с1/А) ОМ + ^ЛТ*)

-1

(16)

(1 ехр(^/Д)-1

Семейство графиков этой функции для материала с характеристиками песка изображено на рис. 3. Из рисунка видно, что при фиксированной температуре поверхности Тж (а значит и при фиксированной интенсивности сушки Л,) всегда можно так подобрать относительную глубину проникновения электромагнитной волны Ачто режим сушки будет мягким. 4

Рис. 3. Электромагнитная сушка песка при условиях Га=20 "С, У/Ь=5,0 с <р=0,5. Выделена область с мягким режимом

В четвертой главе «Численные методы исследования электромагнитной сушки при заданном распределении плотности источников тепла» разрабатываются

численные схемы для решения одномерных и двумерных начально-краевых задач с постоянными и с переменными теплофизическими коэффициентами при заданном распределении электромагнитных потерь. С помощью разработанных схем исследуется влияние переходных процессов, краевых эффектов и фактора теплофизической неоднородности среды на качество сушки.

Для одномерной модели с постоянными коэффициентами тепломассопереноса (рис. 2) безразмерные переменные и сетка вводятся следующими формулами:

Т* = Т/Ты; и* = и/1/0\ х* = х/а-, т* = а^т/<Р~; (17)

Х]* = у-Дх*|дх* = -;./ = 0^; г,-* = / • Дг * ^Д г* = '= 1. 2,..^. (1В)

Здесь: Гм - температура мокрого термометра; [/о - начальное влагосодержание материала; ои,=А/(сро) ~ коэффициент диффузии тепла. Параметр сетки п определяется необходимой точностью вычислений, а параметр в при выбранном п оказывается ограниченным снизу некоторым значением, которое является границей области устойчивости и находится с помощью численных экспериментов. Пусть известны распределения температуры и влагосодержания на (/-1)-ом слое по времени. Рассмотрим алгоритм расчета влагосодержания на следующем слое. В конечно-разностном виде краевое условие (4), условие влагоизоляции границы х=с1 и уравнение распространения влаги (2) будут выглядеть так:

Ах ■* Ах*

Дг* 2-Дх*Л 1 ] 1 2• Дх* 7 1 1

I и ■Рп

-2г;'_| +Г/:,1); ) = 1,2,...,(и -1).

Ах *2

Здесь: Тр и) - сеточные функции, отвечающие искомым функциям Т*, II* переменных х* и т*;

Г=К1т\р{Та-Т1)-<р-Р{Тъ)]- (19)

безразмерная интенсивность массообмена в узлах сетки по времени;

Рп = 6ТЫ/иа; 1и = аш/а№; АЗт = атс!/(атр0и0) - (20)

критерии Поснова, Лыкова и Кирпичева. Распределение температуры берется в этих уравнениях с предыдущего (г'-1)-го слоя по времени, то есть считается известным. Вторая производная от Т аппроксимируется центральными разностями (явная аппроксимация), а для аппроксимации второй производной от и берется полусумма аналогичных выражений с двух соседних слоев (неявная аппроксимация по схеме Кранка-Николсона). После преобразований эти соотношения дают систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Щ', С/ь ... , и„'. Эта система-имеет трехдиагональный вид; она решается методом прогонки, и массив и/ оказывается определенным. После этого аналогичным способом находится массив 2}': уравнения (1), (3) и условие теплоизоляции границы х=с1 записываются в конечных разностях, и получившаяся после преобразований трехдиагональная система

030

1 - 0.0, 2-0.0019, 3-0,0135, 4-0,26. 5 ■ 0,-0, 6-1,06, 7-1,88, 8 - 3,87; 9 - 8,39

,3 \\, \ 7 \ ^

МХ-—-

М

решается методом прогонки. Далее описанная здесь процедура циклически повторяется, пока на поверхности пластины х=0 не будет выполнено условие и<1/кр. Исходным пунктом для вычислений являются начальные условия (5), отвечающие слою по времени 1=0.

На рис. 4 показаны результаты численного эксперимента, в котором влажную пластину, имеющую низкую температуру 20 °С, в момент г=0 начинают обдувать горячим воздухом с температурой 100 °С. Из рисунка видно, что в первые моменты времени вместо понижения вла-госодержания наблюдается его повышение. Это объясняется тем, что на начальном этапе сушки давление пара вблизи поверхности пластины оказывается меньше, чем за пределами пограничного слоя, и поэтому вместо испарения влаги происходит ее конденсация. Кроме полей Та II, для практики представляет интерес и поле механических напряжений, вызванных неоднородностью поля влагосо-держания. В условиях задачи напряжения развиваются в направлении движения воздушного потока; пропорциональные этим напряжениям относительные деформации пластины имеют характер затухающей волны, которая распространяется от поверхности пластины к ее центру и вызывает попеременную смену растяжений и сжатий.

Численная схема для исследования процесса электромагнитной сушки в среде с переменными коэффициентами переноса тепла и влаги разрабатывается для случая, когда характеристики материала ат, ат' и X являются заданными функциями температуры Т и влагосодержания ¡7, а изменениями остальных параметров можно пренебречь. Вычислительный алгоритм строится для одномерной модели с заданными источниками тепла (рис. 2). Безразмерные переменные и сетка вводятся формулами (17) и (18), где коэффициент диффузии тепла определяется как ак = (А)/(ср0) (здесь (Л) - любое фиксированное значение коэффициента теплопроводности). Как и выше, полагая известными распределения температуры и влагосодержания на (М)-ом слое по времени, будем искать распределение влагосодержания на следующем слое. В конечных разностях уравнение (4), условие влагоизо-ляции границы и уравнение (2) будут иметь следующий вид:

Рис. 4. Распределение влагосодержания II и деформаций £ при конвективной сушке пластины из глины. Гв=100 °С; У= 2,0 м/с; (>=0,5; ¿=0,4 м; 0=0,04 м; Г(х, 0)=20 °С; Щх, 0)=0,4

ш'-1 _ _М>—

и! - и'п □

м

Ьи Ддг*

Ьи

-г*|'-1 гр1-1

■ч -■'0 . Ах *

и1 = и1

л-1>

Здесь J' определяется выражением (19), где постоянной Kim нужно присвоить другое, указанное ниже значение; оставшиеся коэффициенты находятся по следующим формулам:

7 («ш> 7 ю 7 J Q.)+0!M

("М а

w \ m

В первой из этих формул сеточная функция (am)'j получается из функции am(T,U), определяющей зависимость коэффициента диффузии влаги от температуры и влаго-содержания, с помощью замены Г и i/ на TMT'j и U0U'j соответственно; аналогичный смысл имеет функция (а^ )'j. В приведенных конечно-разностных уравнениях

распределение температуры берется с предыдущего слоя по времени, то есть считается известным. Для аппроксимации вторых производных от Т и U используется метод баланса, или интегро-интерполяционный метод, причем производная от Т аппроксимируется явно, а производная от U - неявно (привлекается схема Кранка-Николсона). После преобразований конечно-разностные соотношения приводятся к системе линейных алгебраических уравнений трехдиагонального вида, которая решается методом прогонки. В итоге массив Uj оказывается определенным. Далее аналогичным способом находится температура на новом слое по времени, после чего процедура циклически повторяется.

Результаты вычислений по этой схеме показаны на рис. 5. В первом из численных опытов коэффициенты am, ат1 и Я оставались постоянными и равными тем значениям, которые они имели при т=0, а во втором опыте эти коэффициенты изменялись так, как было описано выше. Условия опытов: Т'в=20оС; V/L=5 с-1; <рЮ,5; d=2 см; 5=0; 1¥(х) - согласно формуле (9), где: 5СВЧ=30,7-103 Вт/м2; R=0; Д=20 см. Начальные распределения при т=0: Г(х,0)=14,8 °С (температура мокрого термометра); £/(х,0)=0,4. Как видно из рисунка, температурные и влажностные изменения коэффициентов переноса не оказывают заметного влияния на поле температуры, однако влияние этих изменений на поле влагосодержания имеет принципиальный характер. Согласно схеме с постоянными коэффициентами, сушка должна происходить при значительном перепаде влагосодержания между границами пластины Д£/~0,2, что свидетельствует о низком качестве сушки И о большой величине внутренних механических напряжений, которые могут привести к разрушению образца. Напротив, схема с переменными коэффициентами предсказывает хорошее качество и умерен-

ные напряжения, поскольку здесь перепад влагосодержания А и оказывается на порядок меньше.

Г,°С ¡7

Рис. 5. Распределения температуры и влагосодержания в различные моменты времени т при сушке глины. Температура Т: 1=16,2 мин (1); 32,3 (2); 48,5 (3); 162 (4). Вла-госодержание II: т=16,2 мин (1); 32,3 (2); 48,5 (3); 64,7 (4); 80,9 (5). Сплошные и разреженные линии- соответственно постоянные и переменные коэффициенты переноса

Для исследования краевых эффектов разрабатывается численный метод решения двумерных задач теории электромагнитной сушки. При построении расчетной схемы теплофизические характеристики материала считаются постоянными, а плотности внутренних и поверхностных источников тепла - заданными. На рис. 6 показан влажный образец, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда. Его боковая поверхность обдувается воздушным потоком и подвергается воздействию электромагнитных волн. Пусть поперечные размеры образца невелики по сравнению с его длиной ¿, а распределение источников тепла не зависит от координаты 2 и является симметричным как относительно плоскости х=<1, так и относительно плоскости у=И. Тогда: а) искомые поля Г и С/ зависят только от координат х, у и времени г; б) решение достаточно найти лишь в области в, составляющей четвертую часть сечения исходного параллелепипеда (рис. 6, б); в) на участках границы Г3 и Г4 выполняются условия дТ/дп-0 и д1Лдп=0 (здесь о!сп - производная по направлению нормали к границе).

1 - влажный образец; 2 - воздушный поток; 3 - электромагнитная волна

Введем с помощью формул (17) безразмерные переменные, дополнив их переменной у*=у!й. Введем, далее, равномерную прямоугольную сетку с параметрами К М, в:.

1 Ыс1 Ах* Ах* =—; Ду* =-; Дг* =-; *,•* = /■ Дх*; у,-*=/-Ду*; т1,* = к-Аг*;

N м ___ 0

/ = ОГ77; ;' = М/; ¿ = 0,1,2,...

Образуем сеточные функции Ту, II ^, которые отвечают искомым функциям Т * (х* ,у* ,т*), и * (х*,у*,т*). Рассмотрим алгоритм расчета этих функций на (¿+1)-ом слое по времени, считая, что на ¿-ом слое они известны. Следуя идее метода переменных направлений, введем промежуточный слой с полуцелым номером ¿+1/2. Для аппроксимации частных производных по х на этом слое будем использовать неявные схемы, а производные по у будем аппроксимировать явно. Рассмотрим сначала алгоритм расчета влагосодержания. В качестве исходных соотношений возьмем краевое условие массообмена на Г, (оно имеет вид (4), где 8/8п=8/8х), краевое условие ди/дх = 0 на Г3 и уравнение распространения влаги (2). В конечных разностях эти уравнения будут выглядеть так:

Ттк+\/2 _ тгк+Ч2 тк _тк

Тк - Х' . Р- У ■ т;к+\/2 _ г тк+1/2,

--+ и*-> -и»-и-

V -у _ (гтк+\/2 от, 4+1/2 , Г ГА4-1/2 V

Дг*/2 ' ~2ии +иЬ

1и Ни2и1+и^

2-Ах*2....." * • "" Ау

Ьи-Рп!^), к ^к \ Ьи-Рп

: Дл*2 (:г'+1../ ~2Ту + Т1к-\,])+ ~2Ти + ти-1) г' = Ь^-1 •

Здесь JQJ=Kim■\p(Tы ■ Т^ )-<р- Р(ТВ)] - безразмерная интенсивность массообмена

в узлах сетки на границе Г]. Критерии Рп, Ьи и Шт определяются формулами (20). При каждом] эта система содержит N+1 разностное уравнение; такая система записывается для каждого у' = 1,М-1, т.е. всего имеем М-1 систем уравнений. Распределение температуры берется всюду с предыдущего слоя, т.е. считается известным; следовательно, известной будет и функция /ц ■, а выражения дТ*/8х* и А* Т* будут

аппроксимированы явным образом (здесь Д* - безразмерный двумерный оператор Лапласа). Распределение влагосодержания берется с двух слоев; для производной д2Ц*/ду*2 используется явная аппроксимация, а производные дЦ*/дх* и дги*1дх*2 аппроксимируются неявно (во втором случае применяется схема с весом 1/2, т.е. симметричная схема Кранка-Николсона). После преобразований полученная система приводится к стандартному трехдиагональному виду и решается методом прогонки (решение находится для каждого / = 1,М-1). В итоге во всех узлах нового слоя, кроме узлов на границах Г2 и Г4, влагосодержание оказывается опреде-

ленным. Теперь аналогичным способом находится температура 7^+1/2 в тех же уз-

лах, в которых только что нашли влагосодержание. Для этого используется краевое условие теплообмена на границе Г] (оно имеет вид (3), где д/дп=д/дх), уравнение распространения тепла (1) и условие теплоизоляции дТ/дх = 0 на границе Гз. После этого остается найти температуру и влагосодержание на границах Г2 и Г4. Это делается с помощью краевых условий: на Г2 они имеют вид (3)-(4), где 8/дп-д/ду, а на Г4 имеем ди/8у = 0, 8Т/ду = 0. Выполнив необходимые вычисления, завершим расчет температуры и влагосодержания на слое по времени к+1/2. Переход от слоя к+1/2 к слою к+1 осуществляется по точно такой же схеме, но только теперь неявные схемы используются для дифференцирования по у, а явные - для дифференцирования по х. В дальнейшем описанная процедура циклически повторяется.

Результаты одного из численных экспериментов показаны на рис. 7. Условия опыта: Г„=20°С; У= 1,0 м/с; ^=0,5; 1=0,2 м; ¿=0,02 м; /2=0,01 м; А=А=0,75; (1=0; 5=сопз1=3,9-103 Вт/м2; Г(М, 0)=ГМ=14,8 °С; СЩ 0)=0,4. Материал - глина. Как видно из рисунка, с течением времени неоднородность поля С/ в любой фиксированной точке только возрастает, а при фиксированном г она тем больше, чем ближе эта точка к началу координат (в этом и проявляется краевой эффект). В итоге к моменту т=21,1 мин перепад влагосодержания по диагонали прямоугольника оказывается близким к начальному влагосодержанию. Ясно, что качество сушки при таком большом перепаде влагосодержания по сечению образца нельзя признать удовлетворительным. Как показали эксперименты, варьируя интенсивность излучения (вблизи ребер параллелепипеда она должна быть меньше, чем в середине граней), можно добиться существенного улучшения качества сушки.

В пятой главе «Математическая модель процесса поглощения энергии электромагнитной волны при заданном распределении диэлектрической проницаемости» разрабатывается алгоритм расчета плотности электромагнитных потерь и коэффициентов отражения и пропускания при известном распределении диэлектрической проницаемости по объему образца. Рассмотрены плоские и цилиндрические электромагнитные волны, распространяющиеся в плоских и цилиндрических неоднородных средах. Электромагнитное поле во всем пространстве считается гармоническим частоты со, а материальная среда, - т.е. и собственно влажный образец, и ок-

ружающее его внешнее пространство, - линейнои, изотропнои, с временной дисперсией, не содержащей сторонних зарядов и токов, в общем случае неоднородной и обладающей свойством поглощать энергию электромагнитных волн. Изложение ведется на языке метода комплексных амплитуд. Исходные соотношения электродинамики - материальные уравнения, первое и второе уравнение Максвелла, формулы для расчета плотности потока электромагнитной энергии Я и плотности электромагнитных потерь IV- имеют следующий вид:

D = EqsE\ В = /л0/иН', j = crE; e = e'-ie"

rot Я = ico£0sE\ rot Е - -im/i0juH;

е =

ц- ц -щ \ а = сг - кг

/ л

е --

as0

-1

S = i Re (Е х Я*} W = %Г\Е\2 + //0//|Я|2).

(21) (22)

(23)

2 v ' 2 Здесь е-е'-Ае" - эквивалентная диэлектрическая проницаемость материала (в дальнейшем слово «эквивалентная» будем опускать).

На рис. 8 изображен неограниченный по z цилиндрический слой 2, разделяющий области пространства 1 и 3. Все три среды являются немагнитными (ы=1). Среды 1 и 3 - однородные и непоглощающие, поэтому их диэлектрические проницаемости гу и гг3 - вещественные числа. Среда 2 является и неоднородной, и поглощающей. Зависимость ее диэлектрической проницаемости от координат принимается в виде е2 = е = е(г) (неоднородность имеет слоистую структуру).

Рис. 8. Прохождение цилиндрической электромагнитной волны сквозь цилиндрический неоднородный слой

Пусть из области 1 на границу области 2 падает гармоническая цилиндрическая электромагнитная волна ТЕМ типа. Комплексные векторы этой волны, а также волны отраженной, прошедшей и волны внутри слоя в цилиндрической системе координат имеют один и тот же вид

Е = егЕ(г), Н = еаН{г), (24)

а дополнительные символы, позволяющие различать векторы этих четырех волн, показаны на рис. 8. В дальнейшем будем опираться на формулу

Е{г)\

Н(Л

= Р(г) ■

Пг) =

-о

ш

Я,(2)(£)

£ = к0пг.

(25)

Для частного случая, когда среда является однородной, эта формула дает общий вид функций Е(г), Я(г), при которых векторное поле (24) будет удовлетворять системе уравнений Максвелла (22). В формуле (25) обозначено: /-"(г) - фундаментальная матрица; - функции Ханкеля соответствующего рода и порядка; п = - комплексный показатель преломления среды; к0=а/с\ = л//и0 /£0 ; С\, С2 - произвольные постоянные. Исходя из формулы (25), построим электромагнитное поле как снаружи слоя (однородная среда без поглощения), так и внутри слоя (неоднородная среда с поглощением). Рассмотрим сначала поле вне слоя. Пусть функция Е(г) имеет на границах слоя некоторые значения А, Я и Т - соответственно для волны падающей, отраженной и прошедшей:

Е°(Е]) = А; £"(Д,) = Д; Е+{ЯЪ) = Т. (26)

Отвечающие им значения функции Н(г) можно найти из (25), если учесть, что при С]=0 формулы (25) дают расходящиеся, а при С2=0 - сходящиеся волны (это устанавливается по виду вектора Пойнтинга для каждого из двух решений). Тогда будем иметь:

Я0^,)^,; Я-(Д1) = -Л/21*; Н+(Я3) = Т/г3; (27)

1П1

Щ

В этих формулах щ = и3 = ^/'г^; = к0п1к1; = к0п3Я3. Для вектора Пойнтинга падающей волны на левой границе слоя с помощью первой из формул (23) получим:

(29)

Здесь величина 5й считается заданной.

Рассмотрим теперь поле внутри слоя. Представим область 2 состоящей из N слоев малой толщины, которые будем считать однородными. Сопоставим искомым функциям Е(г), Н(г) сеточные функции Ер Я;, и рассмотрим слой с произвольным

номером В силу однородности слоя, справедлива формула (25). Положим в ней сначала г=г^\, Е=Е^ь #=Я_Ь а затем г=г„ Е=Е,, Я=Я5; исключая из получившихся уравнений С, и С2, получим связь между компонентами поля на границах слоя:

1

5 = М. • 5 — 1

Я, ■У

Я,(1)(£)

ш,

1

(30)

£ = к0п$г. (31)

Здесь Г;(г) - фундаментальная матрица слоя 5; п% = - комплексный показатель

преломления этого слоя. Пользуясь рекуррентной связью, даваемой формулой (30), получим, что связь между компонентами электромагнитного поля на левой границе первого слоя и правой границе слоя с произвольным номером / будет иметь следующий вид:

Я,

= ЛГ,

£0 Я0

^ = П^ -¿=1

т<

Шу

т

21

7П

22

(/ = 1,4

(32)

Квадратную матрицу второго порядка /Су = называют характеристической

матрицей цилиндрического неоднородного слоя. Она связывает функции £ и Я при Г=Г0 И Г=Гу

В качестве следующего шага проведем «сшивание» построенных решений на границах слоя. Формулы (26)-(28) дают предельные значения компонент поля при подходе к границам слоя снаружи, а величины £0> Яо, £д-, Яд- есть предельные значения компонент при подходе к этим границам изнутри. Перечисленные компоненты поля являются касательными к границе, поэтому они должны изменяться непрерывно. Это приводит к следующим равенствам:

Л + Д = £0; С]Л-в*111 = Н0\ Т = ЕМ; С3Г = Яд,. (33)

Здесь обозначено С\-М2\,

Величины Е0, Я0, £<,■, Я№ кроме формулы (33), связаны еще формулой (32) при

Еи

Яд;

<

«й

т

22

Яг

(34)

Рассматривая совместно (33) и (34), найдем амплитудный коэффициент отражения г=ША и амплитудный коэффициент пропускания г=Т/А:

г =

С\(т\2С3-т22) + тПС3

, N N N N V

С;(т»2-т»203) + т»С3-т»

(35)

(т^вз -т22)~ т{[в3 + т2[ С помощью формул (29), (32) и (33), учитывая, что коэффициент отражения г уже

I |2

определен, выразим £ • через 5°; подставляя получившееся выражение во вторую из формул (23), найдем плотность электромагнитных потерь в слое у:

• 1т б]

Я(1) К7 о

\т\

\{\ + г) + т(2{С^-Схг)\

(36)

В шестой главе «Численный алгоритм для совместного исследования электромагнитных процессов и процессов тепломассопереноса» разрабатывается схема, позволяющая учесть влияние текущих распределений температуры и влагосодержа-ния на поле плотности электромагнитных потерь, на величину электромагнитных коэффициентов отражения, пропускания и поглощения. Рассмотрены образцы с плоской и с цилиндрической геометрией. Исходным пунктом для таких расчетов является моделирование диэлектрической проницаемости двухкомпонентной смеси из воды и твердой основы. Для этой цели в работе использовалась формула смешения Максвелла

' . е=еви/(и+1).?У(и+1>. (37)

Здесь ев и ггт - диэлектрические проницаемости воды и твердой основы, а величины Щи+1) и 1/(64-1) есть их массовые доли в смеси. Диэлектрическая проницаемость воды в диапазоне температур Г=((Ы00) °С и частот /=(1+30) ГГц моделировалась формулой Дебая

ев = ?в - где Гв = ^ + = о,Гр • (38)

Здесь £-ст и б» - низкочастотная и высокочастотная проницаемости; гр - время релаксации; о - круговая частота. Для воды £,-=5,5, а £ст и гр сильно зависят от температуры. Известные из литературы экспериментальные зависимости для этих величин аппроксимировались следующими формулами:

гст=186-с-Г; гр = г0 -ехр(Е/кТ). (39)

Здесь: с=0,361 1/К; г0=б,47-1О"15 с; Е=2,98-Ю"20 Дж; к - постоянная Больцмана; Г-температура в К. Диэлектрическая проницаемость твердой основы ?т также считается известной функцией частоты и температуры. Таким образом, формулы (37)-(39) дают диэлектрическую проницаемость влажного материала как функцию влагосо-держания, температуры и частоты.

Алгоритм решения совместной задачи рассмотрим на примере образца с плоской геометрией. Схема сушки показана на рис. 2, параметры сетки определяются формулой (18). Сеточную функцию, отвечающую полю температуры Т(х,т), обозначим как , а массив Т0', Т{,..., 7'и', представляющий эту функцию на /-ом слое по

времени - как Т'. Аналогичный смысл будут иметь обозначения {/', ё', К1, IV' ({/ - влагосодержание, е - диэлектрическая проницаемость, АГ - характеристическая матрица плоского слоя, IV - плотность электромагнитных потерь). Работа вычислительной программы происходит следующим образом (рис. 9). Сначала по заданным начальным массивам Т°,и° (слой по времени /=0) с помощью формул (37)-(39) рассчитывается массив ё°. Затем с помощью алгоритмов главы 5 рассчитываются электромагнитные коэффициенты г,/ и массив IV0. После этого методами главы 4 находятся массивы Г', и' при ¡=1 - распределения температуры и влагосодержания на следующем слое по времени. Далее выполняется проверка законов сохранения энергии и вещества, и, если не выполнено условие окончания сушки, организуется новый цикл вычислений.

На рис. 10 представлены результаты одного из численных экспериментов. Условия опыта: Гв=20 °С; К=7,9 м/с; ^=0,5; ¿=0,5 м; ¿/=0,01 м; £]=£з=1; А = 0; 5°=0,3 Вт/см2. Материалом пластины является влажный цеолит. В ходе эксперимента влагосодержание материала при любых х и г удовлетворяло неравенству 11(х, г)>1; при этом для диэлектрической проницаемости смеси получалось значение £ « £в (вклад твердого компонента оказывался несущественным). Графики рис. 10 построены для установившихся температурных режимов, когда функция Т(х, т) переставала изменяться во времени. Перепады температуры по толщине слоя в таких режимах оказывались примерно одинаковыми на любой частоте и составляли А7М0 °С. Каждой частоте / на рис. 10 сопоставлена глубина проникновения электромагнитной волны

Д = с/(2ф"), где = Как видно из рисунка, при Л/с/>1 зависи-

мость величин 9?, 3, Р и Тср от частоты имеет сложный осциллирующий характер. Это объясняется тем, что в области, занятой материалом, в таких случаях распространяется не только прямая, но и обратная волна. Если же Д/с/<1, то обратной волны не возникает, излучение проходит через слой примерно так же, как через границу раздела двух однородных полупространств, и зависимость указанных величин от частоты становится монотонной. Поведение коэффициента отражения 5К на монотонном участке хорошо описывается формулой Френеля ¡Я = ¡(1 - и)/(1 + п)|2, где п = - комплексный показатель преломления поверхностного слоя материала.

Рис. 9. Блок-схема решения совместной задачи при электромагнитной сушке плоского образца рис. 2

т °с

1 ср,

О 4 8 12 /, ГГц 0 4 8 12 /ГГц

оо 4,7 1,2 0,54 Ш а> 4,7 1,2 0,54 Ш

Рис. 10. Электромагнитная сушка плоского слоя из влажного цеолита. Энергетические коэффициенты отражения, пропускания и поглощения 9?, О, Р и средняя температура слоя Гср как функции частоты/в установившемся температурном режиме

В заключении сформулированы основные результаты диссертации и выводы из проведенных исследований.

В приложениях даны тексты вычислительных программ, с помощью которых проводились численные эксперименты, свидетельства о государственной регистрации этих программ и акты внедрения в производство результатов диссертационного исследования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Разработана математическая модель сушки электромагнитными волнами. Она основана на следующих представлениях.

а) Плотность тепловых потерь определяется теплообменом конвекцией и теплообменом излучением, а интенсивность массообмена поверхности материала с окружающей средой зависит от перепада парциального давления водяного пара по толщине пограничного слоя (краевое условие массообмена в форме Дальтона).

б) Температурное поле внутри материала определяется: переносом тепла за счет явления теплопроводности; наличием внутренних источников тепла, обусловленных как поглощением проникающего электромагнитного излучения, так и процессами испарения жидкости (конденсации пара); наличием поверхностных источников тепла, обусловленных как поглощением электромагнитных волн с малой глубиной проникновения, так и фазовыми превращениями, происходящими на поверхности вследствие разрыва плотности потока жидкой фазы.

в) Перенос влаги внутри материала происходит частично в виде жидкости, частично в виде пара, и вызывается градиентами влагосодержания (диффузия) и температуры (термодиффузия).

г) Для нахождения функции Ш - распределения электромагнитных потерь по объему образца - используются следующие соображения. Образец находится в поле

падающей электромагнитной волны, которое считается заданным. Диэлектрическая проницаемость влажной смеси в каждой точке М зависит от процентного соотношения между компонентами и рассчитывается с помощью формулы смешения; входящие в эту формулу диэлектрические проницаемости воды и твердой основы моделируются формулами Дебая с температурно-зависимыми параметрами. Таким образом, в каждый момент времени распределениям температуры Т{М) и влагосодержа-ния ЩМ) отвечает некоторое вполне определенное распределение диэлектрической проницаемости с{М), что в принципе позволяет найти векторы электромагнитного поля Е(М) и Н(М) во всем пространстве (внутри и вне образца) в тот же самый момент. Этим решается задача о расчете коэффициентов отражения, пропускания и поля плотности электромагнитных потерь \У{М).

Математической моделью учитываются следующие факторы, которым мало уделяется внимания в литературе по теории сушки:

а) нелинейность краевых условий тепло- и массообмена;

б) зависимость коэффициентов переноса тепла и влаги от температуры и вла-госодержания (теплофизическая неоднородность среды);

в) зависимость распределения плотности электромагнитных потерь в каждый момент времени от распределений температуры и влагосодержания в тот же самый момент (электромагнитная неоднородность среды);

г) наличие эффектов отражения и пропускания электромагнитных волн.

2. Разработаны аналитические методы исследования электромагнитной сушки при заданном распределении плотности источников тепла. В этой части диссертации производится построение аналитического решения начально-краевой задачи для полей Т и и при заданном поле IV, а затем на этой основе развивается приближенная теория сушки и решается задача о выборе оптимального режима.

а) Аналитическое решение начально-краевой задачи

Такое решение удалось построить для системы частного вида, когда: а) искомые функции зависят только от одной пространственной переменной; б) коэффициенты переноса тепла и влаги являются постоянными; в) источники тепла являются распределенными в тонком поверхностном слое материала, равномерно по глубине или по экспоненте. Построенное решение имеет смысл асимптотического и формально устанавливается лишь при г—>оо; реальное время установления не превосходит 20 % от общего времени сушки. Основными функциями, образующими решение, являются поле температуры Т, поле влагосодержания £/, интенсивности тепло- и массообмена QvíJ. Поле Г. оказывается стационарным, поле и - квазистационарным (производная дШдг, т.е. скорость сушки, от времени не зависит), интенсивности Q YLJ - постоянными. При заданных условиях сушки все перечисленные величины однозначно определяются единственной постоянной - установившейся температурой поверхности материала которая находится как решение уравнения энергетического баланса. В частном случае, когда отсутствует электромагнитное излучение (сушка является конвективной), температура Тх, совпадает с температурой мокрого термометра Тм, которая играет важную роль в теории сушки.

б) Приближенная теория сушки

Приближенная теория позволяет: а) представить в наглядном виде основные закономерности электромагнитной сушки; б) оценить продолжительность сушки и

ее энергоемкость; в) получить удобные для инженерных оценок формулы, прежде всего для перепадов температуры и влагосодержания по глубине образца, от которых зависит качество сушки; г) в первом приближении рассчитать механические деформации образца, вызванные неоднородностью поля влагосодержания.

в) Задача о выборе оптимального режима

Исходными понятиями здесь являются интенсивность сушки J, эффективная интенсивность излучения 5Эфф, перепады температуры и влагосодержания по толщине образца А Г и Д£/ (они определяют качество сушки «по температуре» и качество сушки «по влагосодержанию»), интенсивность падающей волны 5 и ее глубина проникновения Д. При заданных характеристиках как самого материала, так и воздушного потока, которым он обтекается, величина 7 оказывается однозначной функцией ^фф, а величины £Эфф, АТ и А¿7 - однозначными функциями 5 и Д. На этом обстоятельстве и основана идея оптимизации: варьируя 5 и А так, чтобы оставалась неизменной интенсивность сушки / (для этого следует поддерживать постоянной эффективную интенсивность излучения £,фф), можно изменять АТ и АС!, снижая эти перепады до необходимого уровня. Как показало исследование, при такого рода вариациях любое множество режимов с выбранной интенсивностью У=сопз1 распадается на следующие два подмножества. В подмножестве жестких режимов параметры АТ и Ди увеличиваются или уменьшаются одновременно, поэтому такие режимы заведомо не являются оптимальными. Установлено, что широко применяемая на практике конвективная сушка и сушка излучением с малой глубиной проникновения принципиально являются жесткими; такой же для ряда материалов (например, для кварцевого песка) является и сушка электромагнитным излучением с большой глубиной проникновения (это противоречит широко распространенной точке зрения, что для достижения высокого качества электромагнитной сушки нужно всегда стремиться к равномерному распределению плотности источников тепла по объему образца). В подмножестве мягких режимов, где и должна производиться сушка, параметры ДГи А11 связаны «законом сохранения качества сушки» Д¿/+<5-АТ^сом!:, так что уменьшение одного из этих перепадов приводит к увеличению другого, и наоборот. Границам мягкого режима отвечают два специальных типа сушки, с нулевым перепадом температуры (АТ=0) и с нулевым перепадом влагосодержания (Д[/=0). Сушку первого типа всегда можно осуществить, выбирая должным образом интенсивность и глубину проникновения электромагнитной волны, а важную для практики сушку второго типа можно организовать лишь для материалов, у которых комбинация теплофизических постоянных у + А/(атр0Зг)= % оказывается меньше единицы. Эту комбинацию постоянных предложено ввести в теорию сушки в качестве нового параметра. Разделение режимов на мягкие и жесткие имеет следующий физический смысл: в мягком режиме потоки влаги за счет диффузии и за счет термодиффузии оба направлены к поверхности образца, а в жестком режиме их направления противоположны.

3. Разработаны численные методы исследования электромагнитной сушки при заданном распределении плотности источников тепла. Они строятся как распространение известных методов решения уравнений параболического типа на случай двух и большего числа искомых функций. Для пространственно одномерных задач основу метода составляет неявная симметричная схема Кранка-Николсона с шести-

точечным шаблоном, которая используется для аппроксимации второй производной по координате, и алгоритм прогонки. В среде с переменными коэффициентами переноса схема Кранка-Николсона модифицируется по методу А. А. Самарского (ин-тегро-интерполяционный метод), а в задачах с двумя пространственными переменными развитые выше алгоритмы применяются уже в рамках метода переменных направлений. Разработан метод тестирования вычислительной программы, основанный на аналитическом решении начально-краевой задачи, и метод текущего контроля работы программы, использующий законы сохранения энергии и вещества. С помощью пробных экспериментов исследована устойчивость численной схемы. Она зависит от соотношений между шагами сетки по координатам Ах*, Ау* и по времени Дг* (безразмерные величины). Для частного случая, когда Дх*=Д}>*, а областью построения решения является квадрат, максимальный шаг сетки по времени, при котором численный алгоритм еще остается устойчивым, оказывается равным Дг*тах~Дх *2/3 .

4. Разработаны численные методы расчета плотности электромагнитных потерь и коэффициентов отражения и пропускания при заданном распределении диэлектрической проницаемости по объему образца. Эта задача решена для случаев, когда: а) плоская волна проходит сквозь плоский неоднородный слой с поглощением; б) цилиндрическая волна проходит сквозь цилиндрический неоднородный слой с поглощением. Среда, которая окружает слой и в которой происходит распространение падающей, отраженной и прошедшей электромагнитных волн, является однородной средой без поглощения, а неоднородность слоя, как плоского, так и цилиндрического, имеет слоистую структуру (диэлектрическая проницаемость зависит только от одной координаты). Алгоритм расчета в случаях «а» и «б» имеет одинаковый вид. Исходный неоднородный слой разбивается на большое число слоев малой толщины, которые считаются однородными. Для каждого такого слоя, элемента разбиения, записывается в матричном виде связь между векторами £ и Я на его границах (для этого используются известные решения уравнений Максвелла в однородной среде). Сам элемент в этой формуле характеризуется своей толщиной Д¿4 или радиусами ограничивающих его цилиндрических поверхностей (для плоского и для цилиндрического элемента соответственно), а также комплексным показателем преломления наполняющего его материала и5. Четыре величины, являющиеся функциями М; и «5 (функциями г5, /V] и п1), образуют квадратную матрицу второго порядка, которая называется характеристической матрицей элемента с номером 5. В качестве следующего шага рассматривается область, состоящая из произвольного числа подряд расположенных элементов. Связь между векторами £ и Я на границах области оказывается по своей структуре такой же, как и для одного элемента, причем характеристическая матрица области получается перемножением характеристических матриц составляющих ее элементов. Наличие такой связи, вместе с формулами, выражающими непрерывность касательных компонент £ и Я при переходе через границы исследуемого слоя, позволяет определить электромагнитное поле как внутри самого слоя, так и в окружающем пространстве/Этим решается задача о расчете поля плотности электромагнитных потерь, коэффициентов отражения и пропускания.

5. Разработана численная схема для совместного решения уравнений Максвелла и уравнений распространения тепла и влаги. Она строится на основе алгоритма пункта 3 (при заданном распределении источников тепла решается задача о расчете полей температуры и влагосодержания) и алгоритма пункта 4 (при заданном распределении диэлектрической проницаемости решается задача о расчете поля плотности электромагнитных потерь, коэффициентов отражения и пропускания). Роль связующего звена между этими двумя алгоритмами выполняет формула Дебая (она определяет зависимость диэлектрической проницаемости каждого из двух компонентов смеси, твердой основы и воды, от частоты и температуры) и формула смешения (исходя из формул Дебая для твердой основы и воды, она определяет диэлектрическую проницаемость смеси этих компонентов как функцию частоты, температуры и влагосодержания). Можно говорить, не изменяя существа проблемы, что разработанный алгоритм совместного решения двух задач, электромагнитной и теп-лофизической, позволяет учесть обратное влияние распределений температуры и влагосодержания в каждый момент времени на распределение плотности электромагнитных потерь в тот же самый момент, или что в рамках этого алгоритма учитывается электромагнитная неоднородность среды, вызванная зависимостью диэлектрической проницаемости материала от температуры и влагосодержания.

6. Проведены численные эксперименты, в которых изучалось влияние переходных явлений, краевых эффектов, теплофизической неоднородности среды, электромагнитной неоднородности среды, эффектов отражения и пропускания на качество электромагнитной сушки и ее энергоемкость. К числу выводов обобщающего характера, которые можно сделать по совокупности экспериментов, относятся следующие. Теплофизическая неоднородность среды оказывает заметное влияние на процесс сушки лишь для материалов с критерием Лыкова Ьи«\\ для материалов с Ьи-1 и больше расчет по схемам с постоянными и с переменными коэффициентами приводит к отличиям, которые для практики интереса уже не представляют. Электромагнитная неоднородность среды, даже при значительных перепадах температуры и влагосодержания по глубине слоя материала (АГ~20 °С, АС/~0,05), существенного влияния на процесс сушки не оказывает. Численные расчеты плотности электромагнитных потерь Щх) и коэффициента отражения 91, учитывающие неоднородность слоя, и аналогичные расчеты по формулам для однородного слоя, в которые подставляется средняя по толщине слоя диэлектрическая проницаемость, приводят к отличиям, которые не превышают 10 % во всем исследованном диапазоне частот и режимов. При этом для большой (по сравнению с толщиной слоя ) глубины проникновения электромагнитной волны зависимость величин IV и 5? от частоты имеет сложный осциллирующий характер; с уменьшением глубины проникновения осцилляции постепенно затухают, для коэффициента отражения начинает выполняться приближение Френеля, а распределение электромагнитных потерь становится экспоненциальным. Имеющиеся для такого случая рекомендации делать оценки для глубины проникновения электромагнитной волны, полагая материал состоящим из одной только воды, большей частью приводят к неверным результатам.

СПИСОК РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. А. с. 1344790 СССР. Устройство для регулирования углеродного потенциала атмосферы печи / А. М. Афанасьев, И. В. Гордеев, В. И. Непогодин (СССР). -№ 1059010, кл. С 21 D 1/76; заявлено 18.06.86; опубл. 15.10.87; бюл. № 38. - 2 с.

2*. Афанасьев, А. М. Расчет теплового воздействия СВЧ излучения на плоские водосодержащие объекты слоистой структуры / А. М. Афанасьев, В. В. Подгорный, Б. Н. Сипливый, В. В. Яцышен // Физика волновых процессов и радиотехнические системы.-1998.-Т. 1.-№2-3.-С. 83-90.

3. Афанасьев, А. М. Расчет параметров конвективной сушки влажных материалов по заданным характеристикам внешней среды / А. М. Афанасьев, Л. Е. Шашлова // Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. - 1999. - Вып. 4. - С. 147151.

4. Афанасьев, А. М. Выбор оптимального режима при конвективной сушке влажных материалов / А. М. Афанасьев, JI. Е. Шашлова // Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. - 1999. - Вып. 4. - С. 140-146.

5. Афанасьев, А. М. Численное исследование процесса конвективной сушки при наличии внутренних источников тепла и нелинейных краевых условиях третьего рода / А. М. Афанасьев // Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. - 2000. -Вып. 5.-С. 151-160.

6. Афанасьев, А. М. Граничные условия тепло- и массообмена при сушке в потоке нагретого воздуха / А. М. Афанасьев, Л. Е. Шашлова // Математика, компьютер, образование. Тезисы докладов VII международной конференции, 24-29 января 2000 г. - Дубна, 2000. - С. 26.

7. Афанасьев, А. М. Компьютерное моделирование внутренних механических напряжений при конвективной сушке капиллярно-пористых тел / А. М. Афанасьев, Л. Е. Шашлова // Математика, компьютер, образование. Тезисы докладов VII международной конференции, 24-29 января 2000 г. - Дубна, 2000. - С. 27.

8*. Афанасьев, А. М. Математическое моделирование взаимодействия СВЧ излучения с влагосодержащими плоскими слоистыми средами. Часть 1 / А. М. Афанасьев, В. В. Подгорный, Б. Н. Сипливый, В. В. Яцышен // Известия вузов. Электромеханика. -2001. -№ 2. -С. 14-21.

9*. Афанасьев, А. М. Математическое моделирование взаимодействия СВЧ излучения с влагосодержащими плоскими слоистыми средами. Часть 2. Численный расчет / А. М. Афанасьев, В. В. Подгорный, Б. Н. Сипливый, В. В. Яцышен // Известия вузов. Электромеханика. - 2001. - № 4-5. - С. 32-38.

10*. Афанасьев, А. М. Математическое моделирование теплового воздействия интенсивного СВЧ излучения на цилиндрические водосодержащие объекты слоистой структуры / А. М. Афанасьев, В. В. Подгорный, Б. Н. Сипливый, В. В. Яцышен // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2001. - Т. 4. - № 2. -С. 15-21.

11*. Афанасьев, А. М. СВЧ-излучение для регенерации твердых адсорбентов / А. М. Афанасьев, В. И. Непогодин // Газовая промышленность. - 2001. - № 12. -С. 30-32.

12. Афанасьев, А. М. Тепловое воздействие интенсивного СВЧ излучения на слоистые диэлектрики с потерями / А. М. Афанасьев, В. В. Подгорный, Б. Н. Сипли-вый, В. В. Яцышен // Физика и технические приложения волновых процессов. Тезисы докладов первой международной научно-технической конференции, 10-16 сентября 2001 г. - Самара, 2001. - Т. 1. - С. 94-95.

13. Афанасьев, А. М. Математическое моделирование процессов тепло- и мас-сопереноса при воздействии интенсивного излучения на влагосодержащие объекты цилиндрической структуры / А. М. Афанасьев, В. В. Подгорный, Б. Н. Сипливый,

B. В. Яцышен // Физика и технические приложения волновых процессов. Тезисы докладов первой международной научно-технической конференции, 10-16 сентября 2001 г.-Самара, 2001.-Т. 1.-С. 83-84.

14. Афанасьев, А. М. Исследование переходных режимов при сушке плоского слоя / А. М. Афанасьев, JI. Е. Шашлова // Образование, экология, экономика, информатика (серия «Нелинейный мир»). Тезисы докладов VIII Международной конференции, 15-20 сентября 2003 г. - Астрахань, 2003. - С. 44.

15. Афанасьев, А. М. Механические деформации при сушке капиллярно-пористых материалов / А. М. Афанасьев, JI. Е. Шашлова // Образование, экология, экономика, информатика (серия «Нелинейный мир»). Тезисы докладов VIII Международной конференции, 15-20 сентября 2003 г. - Астрахань, 2003. - С. 45.

16*. Афанасьев, А. М. Переходные явления тепло- и массопереноса при конвективной сушке капиллярно-пористых материалов / А. М. Афанасьев, И. А. Коня-гин, Б. Н. Сипливый // Математическое моделирование. - 2004. - Т. 16. - № 5. -

C. 117-127.

17*. Афанасьев, А. М. Внутренние механические напряжения при сушке нагретым воздухом / А. М. Афанасьев, И. А. Конягин, В. К. Михайлов, Б. Н. Сипливый // Теоретические основы химической технологии. - 2005. - Т. 39. - № 1. - С. 95-100.

18*. Афанасьев, А. М. Тепломассоперенос в капиллярно-пористых материалах под воздействием инфракрасного излучения / А. М. Афанасьев, В. К. Михайлов, Б. Н. Сипливый // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. - 2005. - № 8. -С. 70-74.

19*. Афанасьев, А. М. Квазистационарные режимы тепло- и массопереноса при конвективной сушке капиллярно-пористых материалов / А. М. Афанасьев, Б. Н. Сипливый, JI. Е. Шашлова // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. -2006.-№8-9.-С. 78-86.

20*. Афанасьев, А. М. Оптимизация процесса электромагнитной сушки капиллярно-пористых материалов / А. М. Афанасьев, Б. Н. Сипливый // Известия вузов. Электромеханика. - 2006. - № 5. - С. 3-10.

21*. Афанасьев, А. М. О краевых условиях массообмена в виде законов Ньютона и Дальтона / А. М. Афанасьев, Б. Н. Сипливый // Инженерно-физический журнал.-2007.-Т. 80,-№ 1. - С. 27-34.

22. Афанасьев, А. М. Асимптотический вид полей температуры и влагосодер-жания при сушке СВЧ излучением / А. М. Афанасьев, Б. Н. Сипливый, JI. Е. Шашлова // Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот. - 2007. - Т. 15. -№2 (44).-С. 129-130.

23. Афанасьев, А. М. Оптимизация сушки электромагнитным излучением / А. М. Афанасьев, Б. Н. Сипливый // Физика и технические приложения волновых процессов. Тезисы докладов VI Международной научно-технической конференции, 17-23 сентября 2007 г. - Казань, 2007. - С. 243-244.

24. Афанасьев, А. М. Установившийся режим тепло- и массопереноса при сушке тепловым излучением / А. М. Афанасьев, Б. Н. Сипливый // Физика и технические приложения волновых процессов. Тезисы докладов VI Международной научно-технической конференции, 17-23 сентября 2007 г. - Казань, 2007. - С. 244-245.

25*. Афанасьев, А. М. Зависимость качества сушки СВЧ излучением от глубины проникновения электромагнитной волны / А. М. Афанасьев, Б. Н. Сипливый // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2008. - Т. 11. - № 1. -С. 95-99.

26*. Афанасьев, А. М. Влияние теплового излучения на температуру мокрого термометра / А. М. Афанасьев, Б. Н. Сипливый // Биомедицинская радиоэлектроника. - 2008.-№ 3. - С. 44-47.

27*. Афанасьев, А. М. Исследование квазистационарных режимов при сушке СВЧ излучением / А. М. Афанасьев, Б. Н. Сипливый // Известия вузов. Электромеханика. - 2008.-№ 3. - С. 3-9.

28*. Афанасьев, А. М. Применение консервативных разностных схем для анализа уравнений электромагнитной сушки с переменными коэффициентами переноса / А. М. Афанасьев, Б. Н. Сипливый // Известия вузов. Электромеханика. - 2008. -№ 4.-С. 3-8.

29*. Афанасьев, А. М. Математическое моделирование сушки электромагнитными волнами с малой глубиной проникновения / А. М. Афанасьев, Б. Н. Сипливый // Известия вузов. Электромеханика. - 2008. - № 5. - С. 8-12.

30*. Афанасьев, А. М. Математическое моделирование двумерных задач теории сушки электромагнитным излучением / А. М. Афанасьев, В. К. Михайлов, Б. Н. Сипливый // Биомедицинская радиоэлектроника. - 2008. - № 11. - С. 29-34.

31. Афанасьев, А. М. Метод баланса для решения системы квазилинейных параболических уравнений электромагнитной сушки / А. М. Афанасьев, В. К. Михайлов, Б. Н. Сипливый // Известия Волгоградского государственного технического университета. Серия: Процессы преобразования энергии и энергетические установки.-2008.-Вып. 1, № 6.-С. 16-21.

32. Афанасьев, А. М. Конвективная сушка однородной пластины / А. М. Афанасьев // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010610237, Российская Федерация. - Заявка № 2009616295 от 10.11.09, зарег. в Реестре программ для ЭВМ 11.01.10.

33. Афанасьев, А. М. Электромагнитная сушка неоднородной пластины / А. М. Афанасьев // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010610235, Российская Федерация. - Заявка № 2009616293 от 10.11.09, зарег. в Реестре программ для ЭВМ 11.01.10.

34. Афанасьев, А. М. Электромагнитная сушка протяженного образца с прямоугольным поперечным сечением / А. М. Афанасьев // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2010610236, Российская Федерация. -Заявка № 2009616294 от 10.11.09, зарег. в Реестре программ для ЭВМ 11.01.10.

35*. Афанасьев, А. М. Краевые эффекты при электромагнитной сушке протяженных образцов с прямоугольным поперечным сечением / А. М. Афанасьев, Б. Н. Сипливый // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2010. -Т. 13. -№ 1. -С. 90-94.

Символом (*) отмечены статьи в журналах, рекомендованных ВАК для опубликования основных научных результатов диссертаций на соискание ученой степени доктора наук.

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве:

[1] - расчет температурного поля в месте расположения электродов устройства; [2] — разработка математической модели тепловых процессов и численной схемы для ее анализа; [3, 4, 6, 7] - постановка задачи; разработка математической модели процессов тепломассопереноса; интерпретация результатов численных экспериментов; изложение результатов в виде научной публикации; [8-10] - постановка задачи; разработка математической модели электромагнитных процессов и процессов тепломассопереноса; разработка численной схемы для анализа процессов тепломассопереноса; реализация этой схемы в виде вычислительной программы; интерпретация результатов численных экспериментов; изложение результатов в виде научной публикации; [11-31, 35] - постановка задачи; разработка математических моделей изучаемых процессов; разработка численных схем для анализа математических моделей и реализация этих схем в виде вычислительных программ; проведение численных экспериментов; интерпретация результатов численных экспериментов и выводы; изложение результатов в виде научной публикации.

Подписано в печать 16.07 2010 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 2,5. Тираж 120 экз. Заказ 187.

Издательство Волгоградского государственного университета. 400062 Волгоград, просп. Университетский, 100.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СУШКИ

И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ИССЛЕДОВАНИЯ.

1.1. Анализ современного состояния теории электромагнитной сушки.

1.2. Постановка задач исследования.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

ПРОЦЕССОВ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА И ВЛАГИ

В КАПИЛЛЯРНО-ПОРИСТОЙ СРЕДЕ.

2.1. Уравнение распространения влаги.

2.2. Формула для интенсивности фазового перехода.

2.3. Уравнение распространения тепла.

2.4. Парообмен с воздушной средой по закону Ньютона.

2.5. Парообмен по закону Дальтона.

2.6. Краевые условия тепло- и массообмена.

2.7. Концепция поверхностных источников тепла.

2.8. Начально-краевая задача для расчета полей температуры и влагосодержания.

2.9. Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СУШКИ ПРИ ЗАДАННОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОТНОСТИ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА.

3.1. Приближенная теория сушки.

3.1.1. Одномерная модель с постоянными коэффициентами переноса тепла и влаги.

3.1.2. Асимптотическое решение начально-краевой задачи

3.1.3. Расчет основных характеристик.

3.1.4. Механические напряжения при сушке.

3.1.5. Температура мокрого термометра.

3.1.6. Конвективная сушка.

3.2. Выбор оптимального режима.

3.2.1. Постановка задачи оптимизации.

3.2.2. Вывод основного соотношения.

3.2.3. Концепция мягких и жестких режимов.

3.2.4. Напряжения массопереноса (Зу и

3.2.5. Сушка вида ИК, ВЧ, ИК+ВЧ.

3.2.6. Сушка вида СВЧ.

3.2.7. Режимы с максимально возможной интенсивностью сушки.

3.2.8. Сушка материалов с параметром^>

3.3. Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ СУШКИ ПРИ ЗАДАННОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ПЛОТНОСТИ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА.

4.1. Переходные процессы.

4.1.1. О корректных начальных условиях в задачах электромагнитной сушки.

4.1.2. Задача о сушке пластины. Безразмерные переменные, сетка, шаблон и сеточные функции.

4.1.3. Схема Кранка-Николсона. Алгоритм для численного решения одномерной задачи в однородной среде.

4.1.4. Тестирование вычислительной программы.

4.1.5. Текущий контроль работы вычислительной программы с помощью законов сохранения.

4.1.6. Переходные процессы при сушке электромагнитным излучением.

4.1.7. Переходные процессы при сушке нагретым воздухом

4.2. Среда с переменными коэффициентами переноса тепла и влаги.

4.2.1. Одномерная модель с переменными коэффициентами тепломассопереноса.

4.2.2. Безразмерные переменные и сеточные функции.

4.2.3. Интегро-интерполяционный метод. Алгоритм для численного решения одномерной задачи в неоднородной 138 среде

4.2.4. Численный эксперимент: влияние температурных и влажностных изменений коэффициентов переноса тепла и влаги на качество сушки.

4.3. Краевые эффекты.

4.3.1. Двумерная модель с постоянными коэффициентами тепломассопереноса. Задача для прямоугольной области

4.3.2. Безразмерный вид начально-краевой задачи и сеточные функции.

4.3.3. Метод переменных направлений. Алгоритм для численного решения двумерной задачи в однородной среде.

4.3.4. Численный эксперимент: краевые эффекты при сушке образца с прямоугольным поперечным сечением.

4.3.5. Обобщение на случай переменных коэффициентов переноса тепла и влаги.

4.4. Выводы по главе 4.

ГЛАВА 5. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ПОГЛОЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ ПРИ ЗАДАННОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ.

5.1. Плоский неоднородный слой.

5.1.1. Исходные соотношения электродинамики.

5.1.2. Плоские волны в непоглощающей части пространства

5.1.3. Фундаментальная и характеристическая матрица для плоской волны.

5.1.4. Характеристическая матрица для плоской волны в однородной среде.

5.1.5. Характеристическая матрица для плоской волны в неоднородной среде.

5.1.6. Отражательная и пропускательная способности плоского слоя.

5.1.7. Плотность тепловых потерь внутри плоского слоя

5.1.8. Уравнение энергетического баланса для плоского слоя 180 5.2. Цилиндрический неоднородный слой.

5.2.1. Цилиндрические волны в непоглощающей части пространства

5.2.2. Фундаментальная и характеристическая матрица для цилиндрической волны.

5.2.3. Характеристическая матрица для цилиндрической волны в однородной среде.

5.2.4. Характеристическая матрица для цилиндрической волны в неоднородной среде.

5.2.5. Отражательная и пропускательная способности цилиндрического слоя.

5.2.6. Плотность тепловых потерь внутри цилиндрического слоя.

5.2.7. Уравнение энергетического баланса для цилиндрического слоя.

5.2.8. Асимптотический вид электромагнитных характеристик цилиндрического слоя.

5.3. Выводы по главе 5.

ГЛАВА 6. ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ СОВМЕСТНОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПРОЦЕС

СОВ ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС А.

6.1. Диэлектрическая проницаемость влажного материала. Модель Дебая и формула смешения.

6.2. Алгоритм для совместного решения уравнений тепломассо-переноса и уравнений электромагнитного поля.

6.3. Численный эксперимент: электромагнитная сушка неоднородного плоского слоя.

6.4. Численный эксперимент: электромагнитное нагревание неоднородного цилиндрического слоя.

6.5. Коэффициенты отражения и пропускания неоднородного плоского слоя при большой глубине проникновения электромагнитной волны.

6.6. Выводы по главе 6.

Актуальность исследования. Одним из современных и все чаще применяемых в промышленности перспективных технологических процессов является нагревание материалов, содержащих воду, интенсивным электромагнитным излучением. Технология электромагнитного нагревания успешно применяется в пищевой промышленности [1-4], в медицине [5-9], в дорожном строительстве [10], при разработке горных пород и мерзлых грунтов [11], в горнодобывающей, нефтегазодобывающей и резиновой промышленности (см. работы обзорного характера [12, 13]). В большинстве случаев процесс нагревания электромагнитным излучением сопровождается явлением массопереноса: за счет механизмов диффузии, термодиффузии и бародиффу-зии влага постепенно перемещается к поверхности материала (частично в виде жидкости, частично в виде пара) и в конечном итоге удаляется в окружающую среду. Материалы, в которых такое движение влаги может происходить, имеют разветвленную сеть сообщающихся друг с другом капилляров и пор; их называют капиллярно-пористыми материалами. Удаление влаги из материалов и изделий указанным способом представляет собой электромагнитную сушку. Процедура сушки электромагнитными волнами, которой и будет уделяться основное внимание в настоящей работе, широко применяется для обезвоживания пищевых продуктов и сельскохозяйственного сырья [14-19], для сушки древесины и строительных материалов [20-27], она является важным элементом для целого ряда технологических процессов в химической, текстильной, полиграфической и целлюлозно-бумажной промышленности [28-30]. Еще одно направление, в котором успешно развивается технология сушки электромагнитными волнами, связано с широким использованием в промышленности таких материалов, как силикагель, алюмогель и цеолит. Эти вещества, обладающие высокой гигроскопичностью (поверхность капилляров 1 кг материала имеет общую площадь порядка 5-105 м2), находят важное применение в термодинамических циклах современных установок по созданию микроклимата в помещениях [31, 32], а также широко применяются в качестве твердых поглотителей в промышленных адсорбционных установках по осушке природного газа. На стадии регенерации поглощенная материалом влага должна быть быстро удалена, и здесь перспективным направлением является использование для этих целей интенсивного электромагнитного излучения. Общий обзор по применению сушки электромагнитными волнами можно найти в работах [33, 34].

Основное отличие электромагнитной сушки от сушки конвективной и кондуктивной, с помощью которых в настоящее время получают до 90 % сухих продуктов в пищевой промышленности, состоит в том, что тепло выделяется не на поверхности материала, а по его объему до некоторой глубины. Это позволяет уменьшить потери энергии и увеличить интенсивность сушки без опасности перегрева продукта. Кроме того, для электромагнитной технологии характерны: возможность использования любых атмосфер и вакуума; избирательность при многокомпонентной структуре материала; гибкость и высокая точность управления из-за малой инерционности процесса, возможность точного дозирования энергии, наличие нескольких каналов управления; сбережение материальных и трудовых ресурсов, повышение качества продукции и производительности труда, уменьшение вредных воздействий на окружающую среду. Наконец, следует иметь в виду, что существует целый ряд производств, реализация которых без электромагнитной технологии практически невозможна.

Использовать в полной мере преимущества электромагнитных методов нагревания и сушки можно лишь при наличии математических моделей и средств их анализа, которые дают теоретическую базу при разработке устройств данного типа и позволяют оптимизировать их работу. В настоящее время большинство моделей основано на концепциях теплофизической и электромагнитной однородности среды, линейности исходных уравнений и независимости задач для электромагнитных полей и полей тепломассопере-.носа. Такие простейшие модели могут быть проанализированы аналитическими методами, основанными на методе разделения переменных и преобразовании Лапласа, однако полученные на этом пути результаты обладают весьма ограниченной сферой применения и пригодны лишь для инженерных оценок. Требуется новый подход, основанный на уравнениях математической физики с переменными теплофизическими и электрофизическими коэффициентами и численных методах решения самосогласованных начально-краевых задач. На решение этих проблем и направлена данная работа.

Работа выполнялась в рамках международного проекта «СВЧ-десорбция», раздел «Создание новой холодильной технологии на основе взаимодействия СВЧ излучения с цеолитом» (программа Минпромнауки РФ № 700: Россия, Волгоград, ВолГУ - Deutschland, Fachhochschule Köln, 19982002 г.г.). Работа была поддержана грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований: «Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса при воздействии интенсивного электромагнитного излучения на влагосодержащие материалы капиллярно-пористой структуры» (проект 04-01-96502, 2004-2006 г.г.); «Влияние электромагнитного поля на тепломас-соперенос в многофазных анизотропных средах» (проект 07-02-96609, 20072008 г.г.); «Разработка приближенных методов учета краевых эффектов в двумерных задачах теории сушки электромагнитным излучением» (проект 09-08-97026, 2009-2010 г.г.).

Цель диссертации. Разработка комплекса модельных представлений и вычислительных алгоритмов, предназначенных для исследования процессов тепломассопереноса в материалах с капиллярно-пористой структурой, содержащих влагу и находящихся под воздействием интенсивного электромагнитного излучения, и решение на основе полученных результатов актуальной научно-технической проблемы повышения эффективности функционирования установок для нагревания и сушки электромагнитными волнами.

Основные задачи диссертации.

1. Построение трехмерной математической модели электромагнитных процессов и процессов тепломассопереноса в рабочих камерах СВЧ установок для термической обработки влажных материалов, корректно учитывающей нелинейный характер тепло- и массообмена поверхности материала с окружающей средой; теплофизическую и электромагнитную неоднородность среды; эффекты отражения и пропускания электромагнитных волн.

2. Разработка программного комплекса для расчета полей температуры и влагосодержания при заданном поле плотности источников тепла.

3. Разработка программного комплекса для расчета поля плотности электромагнитных потерь и электромагнитных коэффициентов отражения и пропускания при заданном распределении диэлектрической проницаемости по объему образца.

4. Разработка программного комплекса, в котором на основе п.п. 2 и 3 (задано поле источников тепла - решается теплофизическая задача; задано поле диэлектрической проницаемости - решается электромагнитная задача) осуществляется совместное решение уравнений тепломассопереноса и уравнений электромагнитного поля в рамках общей начально-краевой задачи.

5. Проведение численных экспериментов, которые демонстрируют возможности новых расчетных алгоритмов и позволяют установить, как влияют на основные характеристики сушки — ее интенсивность, качество и энергоемкость - переходные процессы и краевые эффекты; зависимость диэлектрической проницаемости и коэффициентов тепломассопереноса от температуры и влагосодержания; зависимость электромагнитных коэффициентов отражения и пропускания от толщины слоя материала и его состояния.

Объект исследования. Тепломассоперенос и фазовые превращения в многокомпонентных средах; процессы взаимодействия электромагнитного поля с веществом.

Предмет исследования. Теория сушки электромагнитным излучением; совместно протекающие процессы тепломассопереноса и диссипации энергии электромагнитных волн в рабочих камерах СВЧ устройств для термообработки влажных материалов.

Методологическая и теоретическая основа исследования. Методологической основой исследования является математическое моделирование. Оно заключается в построении математической модели процессов, происходящих при сушке электромагнитными волнами, и дальнейшем анализе этой модели с помощью реализуемых на компьютере вычислительных алгоритмов. Теоретическую основу исследования составляют: теория распространения тепла и влаги в капиллярно-пористых материалах (уравнения А. В. Лыкова и уравнения двухфазной фильтрации); теория пограничного слоя; теория электромагнитного поля; материальные уравнения электродинамики; численные методы для дифференциальных уравнений в частных производных параболического и гиперболического типов.

Достоверность результатов работы. Достоверность полученных в диссертации научных результатов подтверждается:

- корректным применением фундаментальных законов соответствующих областей знаний (теории распространения тепла и влаги в капиллярно-пористых материалах, теории пограничного слоя, теории электромагнитного поля) и математического аппарата (численных методов для дифференциальных уравнений в частных производных);

- использованием при математическом моделировании лишь таких 1 приближений, которые не противоречат физике рассматриваемых явлений и являются принятыми в литературе по данному вопросу;

- согласованностью частных выводов диссертации с известными результатами теории сушки;

- проведением тестовых расчетов для начально-краевых задач с известными решениями;

- согласованностью результатов численных экспериментов с имеющимися в литературе опытными данными (расхождение не превышает 5% при расчете температуры мокрого термометра и 12% при расчете интенсивности сушки и ее энергоемкости).

Научная новизна исследования.

1. Показано, что линейные краевые условия массообмена в виде закона Ньютона, которые традиционно используются в задачах теории сушки, непригодны для описания начального периода сушки и периода постоянной скорости. Для исследования этих периодов разработаны нелинейные краевые условия третьего рода на основе закона испарения Дальтона. В модели Ньютона интенсивность испарения влаги с поверхности образца пропорциональна разности между текущим влагосодержанием на этой поверхности и равновесным влагосодержанием, а в модели Дальтона она пропорциональна перепаду парциального давления водяного пара по толщине пограничного слоя. При условиях Ньютона интенсивность сушки оказывается функцией влагосодержания на поверхности £/5, а при условиях Дальтона - функцией температуры этой поверхности Т5. Только в модели Дальтона оказывается возможным объяснить существование квазистационарных режимов тепло-массопереноса и получить правильное соотношение между интенсивностями двух видов сушки, конвективной и электромагнитной.

2. Тепловое действие электромагнитных волн с малой глубиной проникновения предложено описывать плотностью поверхностных источников тепла. В тех случаях, когда коэффициент испарения близок к единице, эта величина оказывается равной величине разрыва, который испытывает на поверхности материала плотность теплового потока. Поверхностные источники тепла входят не в уравнение теплопроводности, а в краевое условие теплообмена, что позволяет избежать сгущения сетки вблизи границы и тем самым упростить процедуру численного решения задачи. Представление об источниках тепла, распределенных по поверхности материала, играет важную роль в приближенной теории электромагнитной сушки и в задаче о выборе оптимального режима.

3. Для температуры мокрого термометра, которая в задачах электромагнитной сушки принимается за начальную температуру материала, разработан новый метод расчета. В отличие от существующих методов, он учитывает теплообмен излучением и опирается не на условие адиабатичности испарения, которое справедливо лишь при равном нулю коэффициенте фазового превращения, а на условие стационарности температурного поля. В рамках нового метода температура мокрого термометра оказывается функцией температуры, скорости и влажности воздуха за пределами пограничного слоя, поглощательной способности поверхности материала и длины образца в направлении движения воздушного потока.

4. Для частного случая — одномерной модели с постоянными коэффициентами тепломассопереноса и заданной плотностью источников тепла, которые могут распределяться в тонком поверхностном слое материала, равномерно по глубине или по экспоненте — построено аналитическое решение системы уравнений электромагнитной сушки. Решение описывает сушку от момента, когда заканчиваются переходные процессы, до момента, когда водяной пар у поверхности материала перестает быть насыщенным. По своему характеру построенное решение является квазистационарным (производные по времени от всех функций, характеризующих процесс, остаются постоянными). Концепция квазистационарных решений позволяет развить приближенную теорию электромагнитной сушки. Методами этой теории рассчитываются основные характеристики сушки и в наглядном виде представляются основные ее закономерности.

5. В рамках приближенной теории разработан алгоритм оптимизации электромагнитной сушки, позволяющий при заданной интенсивности испарения влаги с поверхности материала выбором характеристик излучения минимизировать перепады температуры и влагосодержания по глубине образца. Новый алгоритм отличается от известных в литературе тем, что он: а) использует в качестве критерия оптимальности не постоянство плотности внутренних источников тепла, а близость полей температуры и влагосодержания к однородным (задачей оптимизации считается организация режимов, близких к идеальному режиму с параметрами ДГ = 0, ДС/ = 0); б) вводит в употребление не применявшиеся ранее понятия мягких и жестких режимов режимов с сонаправленными и противоположно направленными векторами grad Т и §га<1 Ц), напряжений массопереноса по температуре и по влагосо-держанию, постоянных материала О их

6. Разработан и зарегистрирован в государственном Реестре программ для ЭВМ комплекс вычислительных программ для решения пространственно одномерных и пространственно двумерных начально-краевых задач для уравнений переноса тепла и влаги А. В. Лыкова. Численными алгоритмами учитываются нелинейный характер тепло- и массообмена поверхности материала с воздушной средой, зависимость коэффициентов тепло- и массопереноса от температуры и влагосодержания. Плотности внутренних и поверхностных источников тепла имеют в этих программах любой наперед заданный вид; выходными данными являются распределения температуры, влагосодержания, механических деформаций и плотностей потоков тепла и влаги по объему образца как функции времени.

7. Разработан численный метод расчета плотности электромагнитных потерь и коэффициентов отражения и пропускания при заданном распределении диэлектрической проницаемости по объему образца. Эта задача решена в приближении, что электромагнитная неоднородность среды, вызванная изменением диэлектрической проницаемости, имеет слоистую структуру. Для плоских слоистых сред, в которых распространяются плоские электромагнитные волны, использовался метод характеристических матриц. Для цилиндрических слоистых сред, в которых распространяются цилиндрические электромагнитные волны ТЕМ типа, был разработан оригинальный численный алгоритм, являющийся распространением идей метода характеристических матриц на цилиндрическую систему координат.

8. Разработана схема численного анализа электромагнитной сушки, которая отличается от известных в литературе тем, что все дифференциальные уравнения, описывающие процесс - два уравнения параболического типа (для полей температуры и влагосодержания Т и 1Г) и два уравнения гиперболического типа (для векторов электромагнитного поля Е и Н) - рассматриваются как связанные уравнения, т.е. расчет полей Т, II, Е и Н производится с учетом га взаимного влияния. С помощью формул Дебая с температурно-зависимыми параметрами и формулы смешения Максвелла распределениям температуры и влагосодержания в каждый момент времени ставится в соответствие распределение эффективной диэлектрической проницаемости двух-компонентной смеси диэлектриков (твердой основы и воды) в тот же самый момент. Это позволяет с помощью алгоритма пункта 7 рассчитать отвечающую этому моменту плотность электромагнитных потерь. В свою очередь, при известном распределении плотности электромагнитных потерь оказывается возможным найти распределения температуры и влагосодержания в следующий близкий момент времени (это делается с помощью алгоритмов пункта 6), после чего процедура циклически повторяется.

Практическая значимость работы и реализация ее результатов.

Разработанные методы расчета позволяют оптимизировать функционирование технических устройств, в которых используется процесс электромагнитной сушки. Задачей оптимизации является повышение интенсивности и качества сушки при снижении ее энергоемкости. Алгоритмы настоящей работы позволяют решать эту задачу с учетом ряда факторов, которые раньше не принимались во внимание. Это переходные процессы и краевые эффекты; наличие отраженной и прошедшей электромагнитной волны; теплофизиче-ская и электромагнитная неоднородность среды; нелинейность краевых условий тепло- массообмена.

Созданный в результате работы над проблемой комплекс программ для ЭВМ зарегистрирован в Федеральной службе по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам (приложение 5).

Алгоритмы оптимизации процессов электромагнитного нагревания и сушки внедрены на предприятиях г. Волгограда (приложение 5).

Результаты диссертации используются на факультете физики и телекоммуникаций ВолГУ для организации учебной работы со студентами, а также для организации курсового и дипломного проектирования по специальности «Физика» (приложение 5).

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и получили положительную оценку на: научных конференциях профессорско-преподавательского состава Волгоградского государственного университета (1998-2008 г.г.); VII Международной конференции «Математика, компьютер, образование» (Дубна, 2000); I Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Самара, 2001); VIII Международной конференции «Образование, экология, экономика, информатика» (Астрахань, 2003); VI Международной научно-технической конференции «Физика и технические приложения волновых процессов» (Казань, 2007); 11 Международном семинаре «Электродинамика и техника СВЧ, КВЧ и оптических частот» (Москва— Фрязино, 2007); научном семинаре кафедры «Теоретические основы теплотехники» Казанского государственного технического университета (Казань, 2008); заседании кафедры прикладной математики Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасск, 2009).

На защиту выносятся:

1. Математическая модель совместно протекающих и взаимосвязанных процессов распространения тепла, влаги и диссипации энергии электромагнитных волн в насыщенных влагой капиллярно-пористых материалах, находящихся в состоянии тепло- и массообмена с окружающей средой и подверженных воздействию интенсивного электромагнитного излучения.

2. Приближенный метод анализа электромагнитной сушки, основанный на асимптотическом решении начально-краевой задачи.

3. Метод оптимизации электромагнитной сушки для образцов с плоской геометрией.

4. Методы численного анализа электромагнитной сушки, которые включают алгоритм для решения уравнений тепломассопереноса при заданной плотности источников тепла; алгоритм для расчета плотности электромагнитных потерь при заданном распределении диэлектрической проницаемости по объему образца; алгоритм для совместного исследования процесса поглощения энергии электромагнитных волн и явлений тепломассопереноса, который учитывает обратное влияние текущих распределений температуры и влагосодержания на формирование поля плотности электромагнитных потерь.

5. Пакет вычислительных программ для расчета полей температуры, влагосодержания, механических деформаций, интенсивностей тепло- и мас-сообмена поверхности образца с окружающей средой, плотности электромагнитных потерь, коэффициентов отражения, пропускания и поглощения при заданных характеристиках материала, температуре, скорости и влажности воздуха за пределами пограничного слоя, интенсивности и частоте падающей электромагнитной волны.

6. Результаты численного исследования сушки электромагнитными волнами для различных материалов и для образцов с различной геометрией, которые позволяют судить о влиянии на сушку целого ряда трудно учитываемых факторов, а именно переходных процессов и краевых эффектов, теп-лофизической и электромагнитной неоднородности среды, нелинейности краевых условий тепло- и массообмена, эффектов отражения и пропускания электромагнитных волн.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы и пяти приложений. Во введении обоснована актуальность темы исследования; сформулирована цель работы; изложена научная оригинальность разработанных методов и подходов; сказано о практическом значении работы; представлены основные положения, которые выносятся на защиту. В первой главе дается анализ современного состояния теории электромагнитной сушки и формулируются задачи диссертационного исследования. Во второй главе решаются вопросы математического моделирования процессов распространения тепла и влаги в капиллярно-пористой среде. Большое внимание здесь уделяется краевому условию массообмена на основе закона испарения Дальтона и концепции поверхностных

Основные результаты, диссертационного исследования; могут быть сформулированы следующим образом.

1. Разработана математическаямодель сушки электромагнитными волнами. Она основана на следующих представлениях. а) Плотность.тепловых потерь определяется теплообменом конвекцией и теплообменом излучением^ а? интенсивность массообмена. поверхности материала . с окружающей средой зависит от перепада парциального давления водяного пара по толщине пограничного слоя (краевое условие массообмена в форме Дальтона). б) Температурное поле внутри материала5 определяется: переносом тепла за счет явления; теплопроводности; наличием внутренних источников теп-. ла, обусловленных как поглощением проникающего электромагнитного излучения, так и процессами испарения жидкости (конденсации пара); наличием поверхностных источников тепла, обусловленных как поглощением электромагнитных волн с малой глубиной проникновения; так и фазовыми превращениями, происходящими на поверхности вследствие: разрыва: плотности потока жидкой фазы. в) Перенос влаги внутри материала происходит частично в виде жидкости, частично; в виде: пара, и вызывается градиентами влагосодержания (диффузия), и температуры (термодиффузия). г) - Для нахождения функции Ж - распределения электромагнитных потерь по объему образца - используются следующие соображения. Образец находится в поле падающей электромагнитной волны, которое считается заданным. Диэлектрическая проницаемость влажной смеси в каждой точке М зависит от процентного соотношения между компонентами и рассчитывается с помощью формулы смешения; входящие в эту формулу диэлектрические проницаемости воды и твердой основы моделируются формулами Дебая с температурно-зависимыми параметрами: Таким образом, в каждый момент времени, распределениям ^температуры Т(М) и влагосодержания и{М) отвечает некоторое вполне определенное распределение диэлектрической^ проницаемости б{м), что в принципе позволяет найти векторы электромагнитного пош>Е{М)т Н{М) во всем пространстве'(внутри и вне образца) в.тот же самый момент. Этим решается задача о расчете коэффициентов - отражения, пропускания и поля плотности электромагнитных потерь ]¥(М).

Математической- моделью учитываются следующие факторы, которым мало уделяется вниманиям литературе по теории-сушки: а) нелинейность краевых условий тепло- и массообмена; б) зависимость коэффициентов переноса тепла и влаги от температуры и влагосодержания (теплофизическая неоднородность среды); в) зависимость распределения плотности электромагнитных потерь в каждый момент времени-от распределений температуры и влагосодержания в тот же самый момент (электромагнитная неоднородность среды); г) наличие эффектов отражения и пропускания электромагнитных волн.

2. Разработаны аналитические методы исследования электромагнитной сушки при заданном распределении плотности источников тепла. В этой части диссертации производится построение аналитического решения начально-краевой задачи для полей Т и и при заданном поле Ж, а затем на этой основе развивается приближенная теория сушки и решается задача о выборе оптимального режима. а) Аналитическое решение начально-краевой задачи

Такое решение удалось построить для системы частного вида, когда: а) искомые функции зависят только от одной пространственной переменной; б) коэффициенты переноса тепла и влаги являются постоянными; в) источники тепла являются распределенными в тонком поверхностном слое материала, равномерно по глубине или по экспоненте. Построенное решение имеет смысл асимптотического и формально устанавливается лишь при т—>оо; реальное время- установления не превосходит 20 % от общего времени сушки. Основными функциями, образующими решение, являются, поле температуры Т, поле влагосодержания и, интенсивности'тепло- и массообмена О и У. Поле Т оказывается стационарным, поле С/ - квазистационарным (производная ди/дг, т.е. скорость сушки, от времени не зависит), интенсивности О и У— постоянными. При заданных условиях сушки все перечисленные величины однозначно определяются единственной постоянной — установившейся температурой поверхности материала Тт, которая находится как решение уравнения энергетического баланса. В» частном случае, когда отсутствует электромагнитное излучение (сушка является конвективной), температура Т^ совпадает с температурой мокрого термометра Гм, которая играет важную роль в теории сушки. б) Приближенная теория сушки

Приближенная теория позволяет: а) представить в наглядном виде основные закономерности электромагнитной сушки; б) оценить продолжительность сушки и ее энергоемкость; в) получить удобные для инженерных оценок формулы, прежде всего для перепадов температуры и влагосодержания по глубине образца, от которых зависит качество» сушки; г) в первом приближении рассчитать механические деформации образца, вызванные неоднородностью поля влагосодержания. в) Задача о выборе оптимального режима

Исходными понятиями здесь являются интенсивность сушки эффективная интенсивность излучения ¿>Эфф, перепады температуры и влагосодержания по толщине образца АТ и А11 (они определяют качество сушки «по температуре» и качество сушки «по влагосодержанию»), интенсивность падающей волны £ и ее глубина проникновения Д. При заданных характеристики как самого материала, так и воздушного потока, которым он обтекается, величина У оказывается однозначной функцией ¿ьфф, а величины ¿ъфф, ДГи АЦ - однозначными функциями 5 и А. На этом обстоятельстве и основана идея оптимизации: варьируя 5и А так, чтобы,оставалась неизменной интенсивность сушки / (для этого следует поддерживать постоянной эффективную интенсивность излучения £Эфф), можно изменять АТ и А17, снижая эти перепады до необходимого уровня. Как показало исследование, при такого-рода вариациях любое множество режимов'с выбранной интенсивностью У=сопз1 распадается на следующие два подмножества. В* подмножестве жестких реэюимов параметры АТ и А1/ увеличиваются или уменьшаются одновременно, поэтому такие режимы заведомо не являются оптимальными. Установлено, что широко применяемая на практике конвективная сушка и сушка излучением с малой глубиной проникновения принципиально являются* жесткими; такой же для ряда материалов (например, для кварцевого песка) является и сушка электромагнитным излучением с большой глубиной проникновения (это противоречит широко распространенной точке зрения; что для достижения высокого качества электромагнитной сушки нужно всегда стремиться к равномерному распределению плотности источников тепла по объему образца). В" подмножестве мягких режимов, где и должна производиться сушка, параметры АТ и АII связаны «законом сохранения качества сушки» Д£/+<5-АГ=соп81:, так что уменьшение одного из этих перепадов- приводит к увеличению другого, и наоборот. Границам мягкого режима отвечают два специальных типа сушки, с нулевым перепадом температуры (ДГ=0) и с нулевым перепадом влагосодержания (Д£/=0). Сушку первого типа всегда можно осуществить, выбирая должным образом интенсивность и глубину проникновения электромагнитной волны, а важную для практики сушку второго типа можно организовать лишь для материалов, у которых комбинация теп-лофизических постоянных у + А/(атр05г)= % оказывается меньше единицы.

Эту комбинацию постоянных предложено ввести в теорию сушки в качестве нового параметра. Разделение режимов на мягкие и жесткие имеет следующий физический смысл: в мягком режиме потоки влаги за счет диффузии и за счет термодиффузии оба направлены к поверхности образца, а в жестком режиме их направления противоположны.

3. Разработаны численные методы исследования электромагнитной сушки при заданном распределении плотности источников тепла. Они строятся как распространение известных методов-решения уравнений параболического типа на случай двух и большего числа искомых функций. Для пространственно одномерных задач*основу метода составляет неявная.симметричная схема Кранка-Николсона с шеститочечным шаблоном, которая используется для аппроксимации второй производной по координате, и- алгоритм прогонки. В среде с переменными коэффициентами переноса схема Кранка-Николсона модифицируется по методу A.A. Самарского1 (интегро-интерполяционный метод), а в задачах с двумя пространственными переменными развитые выше алгоритмы применяются уже в рамках метода переменных направлений. Разработан метод тестирования вычислительной программы, основанный на аналитическом решении начально-краевой задачи, и метод текущего контроля работы программы, использующий законы сохранения энергии и вещества. С помощью пробных экспериментов^исследована устойчивость численной схемы. Она зависит от соотношений между шагами сетки по координатам Ах*, Ау* и по времени Ar* (безразмерные величины). Для частного случая, когда Ах*=Ау*, а областью построения решения является квадрат, максимальный шаг сетки по времени, при котором численный алгоритм еще остается устойчивым, оказывается равным Ат*тах~ Ах *2/з.

4. Разработаны численные методы расчета плотности электромагнитных потерь и коэффициентов отражения и пропускания при заданном распределении диэлектрической прониг^аемости по объему образца. Эта задача решена для случаев, когда а) плоская волна проходит сквозь плоский неоднородный слой с поглощением; б) цилиндрическая волна проходит сквозь цилиндрический неоднородный слой с поглощением. Среда, которая окружает слой и в которой происходит распространение падающей, отраженной и прошедшей электромагнитных волн, является однородной средой без поглощения, а неоднородность слоя, как плоского, так и цилиндрического, имеет слоистую- структуру (диэлектрическая1 проницаемость зависит только от одной-координаты). Алгоритму расчета в! случаях «а» и «б» имеет одинаковый-вид. Исходный неоднородный.слой разбивается на большое число слоев малой толщины, которые считаются1 однородными. Для каждого такого слоя, элемента разбиения; записывается, в матричном виде связь между векторами^. и //I на" его границах (для?этого используются известные реше-ншгуравнений Максвелла в однородной среде).- Сам элемент в этой формуле характеризуется' своей толщиной А¿4 или радиусами, ограничивающих его , цилиндрических поверхностей' г3, 1 (для-, плоского и для цилиндрического элемента соответственно), а также комплексным • показателем преломления* наполняющего его материала пх. Четыре величины, являющиеся функциями Дб/, и п3 (функциями 1 и п5), образуют квадратную матрицу второго порядка, которая называется характеристической матрицей элемента с номером 5. В'качестве следующего шага рассматривается область, состоящая из произвольного числа подряд расположенных элементов. Связь между векторами Е и Н на границах области оказывается по своей структуре такой-же, как и для одного элемента, причем' характеристическая матрица области получается перемножением характеристических матриц составляющих ее элементов. Наличие такой связи, вместе с формулами, выражающими непрерывность касательных компонент Е и Н при переходе через границы исследуемого слоя, позволяет определить электромагнитное поле как внутри самого слоя, так и в окружающем пространстве. Этим решается задача о расчете поля плотности электромагнитных потерь, коэффициентов отражения и пропускания.

5. Разработана численная схема для совместного решения уравнений Максвелла и уравнений распространения тепла и влаги. Она строится на основе алгоритма пункта 3 (при заданном распределении источников тепла решается задача о расчете полей температуры и влагосодержания) и алгоритма пункта 4 (при заданном распределении диэлектрической проницаемости рег шается задача о расчете поля плотности электромагнитных потерь, коэффициентов отражения и пропускания). Роль связующего звена между этими двумя алгоритмами выполняет формула Дебая (она определяет зависимость диэлектрической проницаемости каждого из двух компонентов« смеси, твердой основы и воды, от частоты и температуры) и формула смешения-Максвелла (исходя из формул Дебая. для-твердой основы и воды, она определяет диэлектрическую проницаемость смеси этих компонентов как функцию частоты, температуры и влагосодержания). Можно говорить, не изменяя существа проблемы, что разработанный алгоритм совместного решения двух задач, электромагнитной и теплофизической, позволяет учесть обратное влияние распределений температуры и влагосодержания в каждый момент времени на распределение плотности электромагнитных потерь в тот же самый момент, или что в рамках этого алгоритма учитывается электромагнитная неоднородность среды, вызванная зависимостью диэлектрической проницаемости материала от температуры и влагосодержания.

6. Проведены численные эксперименты, в которых изучалось влияние переходных явлений, краевых эффектов, теплофизической неоднородности среды, электромагнитной неоднородности среды, эффектов отражения и пропускания на качество электромагнитной сушки и ее энергоемкость. К числу выводов обобщающего характера, которые можно сделать по совокупности экспериментов, относятся следующие. Теплофизическая неоднородность среды оказывает заметное влияние на процесс сушки лишь для материалов с критерием Лыкова Ьи« 1; для материалов с Ьи~\ и больше расчет по схемам с постоянными и с переменными коэффициентами приводит к отличиям, которые для практики интереса уже не представляют. Электромагнитная неоднородность среды, даже при значительных перепадах температуры и влагосодержания по глубине слоя материала (ДГ-20 °С, Д£/~0,05), существенного влияния на процесс сушки не оказывает. Численные расчеты плотности электромагнитных потерь Щх) и коэффициента отражения 9Я, учитывающие неоднородность слоя, и аналогичные расчеты по формулам для однородного слоя, в которые подставляется средняя по толщине слоя диэлектрическая проницаемость, приводят к отличиям, которые не превышают 10 % во всем исследованном диапазоне частот и режимов. При этом для большой (по сравнению с толщиной слоя ) глубины проникновения электромагнитной волны зависимость величин IV и 5Я от частоты имеет сложный осциллирующий характер; с уменьшением глубины проникновения осцилляции постепенно затухают, для коэффициента отражения начинает выполняться приближение Френеля, а распределение электромагнитных потерь становится экспоненциальным. Имеющиеся для такого случая рекомендации делать оценки для глубины проникновения электромагнитной волны, полагая материал состоящим из одной только воды, большей частью приводят к неверным результатам.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Рогов И: А., Некрутман С. В: Сверхвысокочастотный нагрев? пищевых продуктов: -М;: Агропромиздат, 1986. -35Г е.,

2. РоговИ.А.,НекрутманС.В;Сверхвысокочастотныйиинфракрасныйна-грев пищевых продуктов. -М.: Пищевая промышленность, 1976. 212 с.

3. Рогов И.А. Электрофизические методы обработки пищевых продуктов:-М:: Агропромиздат, 1988.-272 с.

4. Некрутман С.В: Аппараты СВЧ в общественном питании. М.: Экономика, 1973.- 117 с.

5. Драгун В. Л., Данилова-Третьяк С. М., Губарев С. А. Моделирование нагрева биологических тканей при УВЧ-терапии // Инженерно-физический журнал. 2005. - Т. 78. - № 1. - С. 106-112.

6. Шульман 3: П., Слепян Г. Я. Управление диссипацией СВЧтПОлей с помощью внешних полупрозрачных экранов при гипертермии // Инженерно-физический журнал. 1998: - Т. 71. - №1. - С. 120-123 .

7. Гипертермия цилиндрической биоткани микроволновым электромагнитным излучением 7 З.П. Шульман,. Г.Я; Слепян, T.JT. Попкова, А.А. Маханек // Инженерно-физический журнал. 1998. - Т. 71. - № 2. -С. 268-272.

8. Резник А.Н., Юрасова Н.В. Обнаружение контрастных образований внутри биологических сред при помощи ближнепольной СВЧ диагностики // Журнал технической физики. 2006. - Т. 76. - Вып. 1. — С. 90104.

9. Ilyinsky A. S., Slepyan G. Ya., Slepyan A. Ya. Propagation, Scattering and Dissipation of Electromagnetic Wave // IEE Electromagnetic Wave Series. Ed. P. Peregrinys, 1993, V. 36. P. 89-96.

10. Долгополob H.H. Электрофизические методы в технологии строительных материалов. М:: Стройиздат, 1971. - 240 с.

11. Коротаев Ю. П., Ширковский А. И. Добыча, транспорт и подземное хранение газа. М.: Недра, 1984. - 487 с.

12. Семенов^. С., Байбурин В. Б. СВЧ-энергия и ее применение. Особенности, оборудование, технологические процессы. Саратов: Изд. Саратовского государственного технического ун-та, 1999. - 116 с.

13. Hamid М. Basis principles of microwave power heating // Heat Transfer Engineering. 1992. - V. 13. - №4. - P. 73-84.

14. Гинзбург А. С. Основы теории и техники сушки пищевых продуктов. -М.: Пищевая промышленность, 1973. 528 с.

15. Ильясов С. Г., Красников В. В. Физические основы инфракрасного * облучения пищевых продуктов. М.: Пищевая» промышленность, 1978. -360 с.

16. Крылов А. И. Вибрационные сушилки с инфракрасными излучателями // Химическая промышленность. 2005. - №9. - С. 41-45.

17. Явчуновский В. Я. Микроволновая и комбинированная сушка: физические основы, технологии и оборудование. — Саратов: Изд. Саратовского государственного технического ун-та, 1999. — 212 с.

18. Веке J., Mujumdar A. S., Giroux М. Some fundamental attributes of com and potato drying in microwave fields // Drying Technology. 1997. - V. 15. -1. 2.-P. 539-554.

19. Laguerre J.C., Tauzin V., Grenier E. Hot air and microwave drying of onions: A comparative study // Drying Technology. 1999. - V. 17. - I. 7-8. - P. 1471-1480.

20. Акулич П. В., Милитцер К. Моделирование неизотермического влагопе-реноса и напряжений в древесине при сушке // Инженерно-физический журнал. 1998. - Т. 71. - №3. - С. 404-411.

21. Расев А. И. Сушка древесины. М.: Изд. Московского госуд. университета леса, 2000. - 228 с.

22. Романовский С. Г. Процессы термической обработки влажных материалов. М.: Энергия, 1976. - 328 с.

23. Романовский С. Г. Процессы термической обработки и сушки в электромагнитных установках. Минск: Наука и техника, 1969. - 348 с.

24. Шубин Г. С. Сушка и тепловая обработка древесины. М.: Лесная промышленность, 1990. - 336 с.

25. Bucki М., Perre P. Physical formulation and numerical modeling of high fre- . quency heating of wood // Drying Technology. 2003. - ¥. 21. - I. 7. - P. 1151-1172.

26. Koumoutsakos A., Avramidis S., Hatzikiriakos S. Radio frequency vacuum drying of wood. I. Mathematical4 model // Drying Technology. 2001. - V. 19.-I. 10.-P. 67-86.

27. Koumoutsakos A., Avramidis S., Hatzikiriakos S. Radio frequency vacuum drying of wood. II. Experimental model evaluation // Drying Technology. -2001.-V. 19.-I. 10.-P. 87-97.

28. Лыков M. В. Сушка в химической промышленности. М.: Химия, 1970. -429 с.

29. Муштаев В. И., Ульянов В. М. Сушка дисперсных материалов. М.: Химия, 1998.-352 с.

30. Сажин Б. С. Основы техники сушки. — М.: Химия, 1984. 320 с.

31. Нестеренко А. В. Основы термодинамических расчетов вентиляции и кондиционирования воздуха. М.: Высшая школа, 1971. — 460 с.

32. Röhrlich Dagmar. Kühlen mit Sonne // Energ. Spektrum. -1995. V. 10. - № 11. —S. 29-32.

33. Drying technology. Special issue on drying and dewatering in energy fields. // Drying Technology. 1999. - V. 17. -1. 3. - P. 379-633.

34. Poulin A., Dostie M., Proulx P., Kendall J. Convective heat and mass transfer and evolution of the moisture distribution in combined convection and radio frequency drying // Drying Technology. 1997. - V. 15. - I. 6-8. - P. 18931907.

35. Шимони К. Теоретическая электротехника: Пер. с нем. М.: Мир, 1964. - 773 с.

36. Баскаков С. И. Электродинамика и распространение радиоволн. М.:

37. Высшая школа, 1992. 416 с.

38. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М.: Радио и связь, 1988. -440 с.

39. Диденко А. Н. СВЧ-энергетика: теория и практика. М.: Наука, 2003. -446 с. '

40. Архангельский Ю.С., Девяткин И.И. Сверхвысокочастотные нагревательные установки для интенсификации технологических процессов. -Саратов: Изд-во Саратовского государственного ун-та, 1983. 140 с.

41. Архангельский Ю. С. СВЧ электротермия. Саратов: Изд-во Саратовского государственного технического ун-та, 1998. - 407 с.

42. Архангельский Ю.С. Установки диэлектрического нагрева. Установки СВЧ. Саратов: Изд-во Саратовского государственного технического ун-та, 2008. - 343 с.

43. Архангельский Ю.С., Калганова С.Г. Измерения в СВЧ электротехнологии. Саратов: Изд-во Саратовского государственного технического унта, 2008.- 151 с.

44. Архангельский Ю.С., Калганова С.Г., Яфаров Р.К. Измерения в СВЧ электротехнологических установках. Саратов: Изд-во Саратовского государственного технического ун-та, 2008. — 263 с.

45. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя: Пер. с нем. Г. А. Вольперта. Под ред. Л. Г. Лойцянского. М.: Наука, 1974. - 712 с.

46. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика: В 2-х частях. -М.: Физматгиз, 1963. 584 е., 728 с.

47. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. 6-е изд. - М.: Наука, 1987.-840 с.

48. Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.-Л.: Изд. Академии наук СССР, 1948. -727 с.

49. Зоммерфельд А. Электродинамика: Пер. с нем. М.: Изд. ин. лит., 1958. -501 с.•■;■''• ; . 242

50. Ландау JI. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая- физика. Т. VIII. Электроди-. намика сплошных сред;- М.: Наука, 1982. -624 с.50: Ландау Л; Д;, Лифшиц Е. М*. Теоретическая1 физика. Т. II. Теорияполя; -М.: Наука, 1973;-504 с.

51. Смайт В. Электростатика и электродинамика: Пер. с англ. М.: Изд. иностранной литературы, 1954. - 604 с.

52. Стрэттон: Дж. А'. Теория; электромагнетизма: Пер. с англ; М.-Л.: Гос- -техиздат, 1948: - 540 с.

53. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — • М.: Наука, 1966. -724 с.

54. Франк Ф., Мизес Р. Дифференциальные и интегральные уравнения, математической физики:. В 2-х частях. Ч. 2: Пер: с нем. Л.-М.: ОНТИ, Главная редакция общетехнической литературы, 193 8. — 998Í с.

55. Берд Р., Стюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса: Пер. с англ. М.: Химия, 1974.-688 с.

56. Карслоу Г., Егер Д; Теплопроводность твердых тел: Пер. с. англ. — М.: Наука, 1964.-488 с.

57. Кейс В. М. Конвективный тепло- и. массообмен: Пер. с англ. М.: Энергия, 1972.-440 с.

58. Кришер G. Научные основы техники сушки: Пер. с нем. М.: Изд-во иностранной литературы, 1961. - 539 с.

59. Себиси Т., Брэдшоу П. Конвективный теплообмен. Физические основы и вычислительные методы: Пер. с англ. М.: Мир, 1987. - 592 с.

60. Шервуд Т., Пикфорд Р., Уилки И. Массопередача: Пер. с англ. М:: Химия, 1982. - 695 с.

61. Эккерт Э. Р., Дрейк Р. М. Теория тепло- и массообмена: Пер. с англ. под ред. А. В. Лыкова. М.-Л.: Государственное энергетическое издательство, 1961.-680 с.

62. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики: В 2-х т.: Пер. с англ. — М.: Иностранная литература, 1958. — Т. 1. — 930 с.

63. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики: В 2-х т.: Пер. с англ. М.: Иностранная литература, 1960. - Т. 2. - 886 с.

64. Баренблатт Г. И., Ентов В'. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости игаза. М.: Недра, 1972. - 288 с.

65. Хейфец Л. И., Неймарк А. В. Многофазные процессы в пористых средах. -М.: Химия, 1982. 320 с.

66. Моделирование неизотермического тепло- и» влагопереноса в капиллярно-пористых средах при микроволновом нагреве / А. Л. Адамович, Н1 Н. Гринчик, С. П. Кундас, В. И. Терехов // Теплофизика и аэромеханика. -2004. Т. 11. - №2. - С. 257-272.

67. Моделирование процессов термовлагопереноса в капиллярно-пористых средах / С. П. Кундас, Н. Н. Гринчик, И. А. Гишкелюк, А. Л. Адамович.- Минск: Институт тепло- и массообмена им. А. В. Лыкова НАН Беларуси, 2007.-292 с.

68. Никитенко Н. И. Сопряженные и обратные задачи тепломассопереноса.- Киев: Наукова думка, 1988. 240 с.

69. Никитенко Н. И. Теория тепломассопереноса. Киев: Наукова думка, 1983.-352 с.

70. Никитенко Н. И., Снежкин Ю. Ф., Сороковая Н. Н. Динамика процессов тепломассопереноса, фазовых превращений и усадки при обезвоживании коллоидных капиллярно-пористых материалов // Промышленная теплотехника. 2003. - Т. 25. - №3. - С. 56-66.

71. Никитенко Н. И., Снежкин Ю. Ф., Сороковая Н. Н. Математическая модель и метод расчета тепломассопереноса и фазовых превращений в процессах сушки // Промышленная теплотехника. 2001. - Т. 23. - №3. -С. 65-73.

72. Никитенко Н. И., Снежкин Ю. Ф., Сороковая Н. Н. Математическое моделирование тепломассопереноса, фазовых превращений и усадки с целью оптимизации процесса сушки термолабильных материалов // Инженерно-физический журнал. 2005. — Т. 78. — №1. - С. 74-88.

73. Решетин О. Л., Орлов С. Ю. Теория переноса тепла и влаги в капиллярно-пористом теле // Журнал технической'физики. 1998. - Т. 68. - №2. -С. 140-142.

74. Шубин Г. С. Развитие некоторых аспектов теории тепломассопереноса А-. В. Лыкова // Инженерно-физический журнал. 2005. - Т. 78. - №4. — С. 102-108.

75. Гринчик Н. Н. Процессы переноса в пористых телах, электролитах и мембранах. Минск: АНК ИТМО им. А. В. Лыкова АН БССР, 1991. -251 с.

76. К проблеме неизотермического массопереноса в пористых средах / Н. Н. Гринчик, П. В. Акулич, П. С. Куц, Н. В. Павлюкевич, В. И. Терехов // Инженерно-физический журнал. 2003. - Т. 76. - №6. - С. 129-142.

77. Гринчик Н. Н., Достанко А. П. Влияние тепловых и диффузионных процессов на распространение электромагнитных волн в слоистых материалах. Минск: Институт тепло- и массообмена им. А. В. Лыкова НАН Беларуси, 2005. - 149 с.

78. Взаимодействие тепловых и электрических явлений в поляризованных средах / Н. Н. Гринчик, В. А. Жук, А. А. Хмыль, В. А. Цурко // Математическое моделирование. — 2000. Т. 12. — № 11. — С. 67-76.

79. Гринчик Н. Н., Куц П. С. Об уравнениях переноса в капиллярно-пористых средах для задач неизотермической сушки, сорбции и двухфазной фильтрации // Инженерно-физический журнал. 1985. — Т. 49. — №13.-С. 110-116.

80. Гринчик Н. Н., Ноготов Е. Ф. К проблеме корректного описания электромагнитных волн в слоистых средах с магнитными свойствами // Инженерно-физический журнал. 2002. - Т. 75. - №6. - С. 36-42.

81. Гринчик Н. Н., Ноготов Е. Ф. К проблеме моделирования взаимодействия нестационарных электрических, тепловых и диффузионных полей в слоистых средах // Инженерно-физический журнал. 2002. - Т. 75. -№3. - С. 135-141.

82. Гринчик Н. Н., Ноготов Е. Ф: Распространение и поглощение электромагнитных волн с учетом- релаксационных процессов // Инженерно-физический журнал. 2004. - Т. 77. - №2. - С. 134-141.

83. Акулич П. В., Гринчик Н. Н. Моделирование тепломассопереноса в капиллярно-пористых материалах // Инженерно-физический журнал. -1998. Т. 71'. - №2. - С. 225-232.

84. Численное моделирование неизотермического влагопереноса в биологических коллоидных пористых материалах / Струмилло Ч., Гринчик Н.Н., Куц П.С. и др. // Инженерно-физический журнал. 1994. - Т. 66. - №2. -С. 202-212.

85. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. -599 с.

86. Лыков А. В. Теория сушки. М.-Л.: Энергия, 1968. - 471 с.

87. Лыков А. В. Теоретические основы строительной теплофизики. -Минск: Наука и техника, 1961. 519 с.

88. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массопереноса. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. - 535 с.

89. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория переноса энергии и вещества. -Минск: Изд. АН БССР, 1959. 330 с.

90. Лыков А. В., Берковский Б. М. Конвекция и тепловые волны. М.: Энергия, 1974.-335 с.

91. Лыков А. В. Тепломассообмен: Справочник. М.: Энергия, 1978. -480 с.

92. Лыков А. В. Некоторые проблемные вопросы теории тепломассопереноса // Инженерно-физический журнал. — 1974. — Т. 2. — №5. С. 781-793.

93. Лыков А. В. О системах дифференциальных уравнений тепломассопереноса в капиллярно-пористых телах // Инженерно-физический журнал. -1974.-Т. 2. -№1. С. 18-26.

94. Полянин А. Д. Справочник по-линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001. 576 с.

95. Полянин А. Д., Вязьмин А. В., Журов А. И., Казенин Д! А. Справочник по точным решениям>уравнений тепло- и массопереноса. — М.: Факториал, 1998.-368 с.

96. Полянин А. Д. Линейные задачи тепло- и массопереноса: Общие формулы и результаты // Теоретические основы химической технологии. -2000. Т. 34. - №6. - С. 563-574.

97. Полянин А. Д. Неполное разделение переменных в нестационарных задачах механики и математической физики // Доклады РАН. 2000. -Т. 375.-№4.-С. 476-480.

98. Полянин А. Д. Структура решений линейных нестационарных краевых задач механики и математической физики // Доклады РАН. 2000. -Т. 373.-№5.-С. 628-631.

99. Кокодий Н. Г., Холодов В. И. Тепловые процессы в капиллярно-пористых телах с внутренними и внешними источниками тепла // Инженерно-физический журнал. 2000. - Т. 73. - №6. - С. 1145-1151.

100. Huang С. L. D. Multi-phase moisture in porous media subjected to temperature gradient // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1979. - V. 22.-№8.-P. 1295-1307.

101. Pesaran Ahman A. and Mills Anhony E. Moisture transport in silicagel packed beds. I. Theoretical study // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1987. - V. 30. - №6. - P. 1037-1049.

102. Plumb O. A., Spolek G. A., Olmstead B. A. Heat and mass transfer in wood during drying // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1985. - V. 28.-№9.-P. 1669-1678.

103. Prat M. Analysis of experiments of moisture migration caused by temperature differences in unsaturated porous medium by means of two-dimensional numerical simulation // International Journal of Heat and Mass Transfer. 1986.- V. 29: №7. - P. 1033-1039.

104. Лебедев И.В. Техника и приборы СВЧ. Т. 1. Ml: Высшая школа, 1972. 1 - 442 с.

105. Лебедев И.В. Техника и^приборы! СВЧ. Т. 2. — М.: Высшая »школа, 1972. -376 с.

106. Коломейцев В. А., Комаров В. В. Микроволновые системы с равномерным объемным нагревом. Саратов: Изд-во Саратовского государственного технического университета, 1997. - 160 с.

107. Кинг Р., Смит Г. Антенны в материальных средах: В 2-х'книгах. Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 824 с.

108. Машкович М. Д. Электрические свойства неорганических диэлектриков в диапазоне СВЧ. М.: Сов. радио, 1969. - 240 с.

109. Эме Ф. Диэлектрические измерения: Пер. с нем. М.: Химия, 1967. -223 с.

110. Арамян М. А. К расчету полей в слоистых структурах и вычисление интегральных параметров // Инженерно-физический журнал. 1994. - Т. 67.-№1-2.-С. 132-140.

111. Арамян М. А., Карапетян Г. К. Расчет диэлектрической проницаемости неоднородных материалов периодических структур усреднением уравнений потенциальных полей // Инженерно-физический журнал. 2001. -Т. 74. -№ 1. - С. 99-102.

112. Арамян М. А., Карапетян Г. К. Расчет усредненных параметров неоднородных сред с переменными свойствами включений // Инженерно-физический журнал. 2001. - Т. 75. - №1. - С. 92-98.

113. Афанасьев А. М., Сипливый Б. Н. О краевых условиях массообмена в виде законов Ньютона и Дальтона // Инженерно-физический журнал. -2007. Т. 80. - №1. - С. 27-34.

114. Афанасьев А. М., Михайлов В. К., Сипливый Б. Н. Тепломассоперенос в капиллярно-пористых материалах под воздействием инфракрасного изj 248<лучения // Биомедицинские технологии, и радиоэлектроника. 2005. -№8.-С. 70-74.t

115. Афанасьев А. М:, Сипливый Б. Н; Оптимизация процесса электромаг5 нитной' сушки капиллярно-пористых материалов' // Известия вузов.

116. Электромеханика. 2006. - №5. - С. 3-10.

117. Гамаюнов Н. И. Исследование фазового состава* переносимой влаги в процессе сушки пористых материалов // Промышленная теплотехника. -1996.--Т. 18. -№ 5. С. 88-94.

118. Гамаюнов.Н. И., Горохов М. М. Исследование механизма конвективной сушки коллоидных капиллярно-пористых- тел с помощью радиоактивных индикаторов // Промышленная теплотехника. 1987. - Т. 9. - №3. -С. 60-64.

119. Никитина JI. М. Термодинамические параметры и коэффициенты массо-переноса во влажных материалах. -М.: Энергия, 1968: 500 с.

120. Ривкин С. Л., Александров А. А. Теплофизические свойства воды и во-дяногопара. М.: Энергия, 1980. - 424 с.

121. Физические величины: Справочник / Под ред. И. С. Григорьева, Е. 3. Мейлихова-М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

122. Воронец Д., Козич Д. Влажный воздух. Термодинамические свойства и применение. -М.: Энергоатомиздат, 1984. — 135 с.

123. Теплотехника / В. Н. Луканин, М. Г. Шатров, Г. М. Камфер и др.; Под ред. В. Н. Луканина. 4-е изд., испр. - М.: Высшая школа, 2003. - 671 с.

124. Афанасьев А. М., Шашлова Л. Е. Расчет параметров конвективной сушки влажных материалов по заданным характеристикам внешней среды // Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. 1999. - Вып. 4. - С. 147151.

125. Афанасьев А. М., Сипливый Б. Н., Шашлова Л. Е. Квазистационарные режимы тепло- и массопереноса при конвективной сушке капиллярно-пористых материалов // Биомедицинские технологии и радиоэлектроника. -2006. №8-9. - С. 78-86.

126. Афанасьев А. М., Сипливый Б. Н., Шашлова Л. Е. Асимптотический вид полей температуры и влагосодержания< при сушке СВЧ излучением // Электродинамика и техника СВЧ1, КВЧ и оптических частот. 2007. - Т. 15.-№2 (44).-С. 129-130.

127. Афанасьев А. М., Сипливый Б. Н; Влияние теплового излучения на температуру мокрого термометра // Биомедицинская радиоэлектроника; -2008!-№3.-С. 44-47.

128. Афанасьев А. М., Сипливый Б. Н. Исследование квазистационарных режимов при сушке СВЧ излучением // Известия вузов. Электромеханика. -2008.— №3. —С. 3-9.

129. Долинский А. А., Шелиманов В. А. К вопросу расчета температуры материала в первом периоде конвективной сушки нагретым воздухом // Промышленная теплотехника. 2000. - Т. 22. - №4. - С. 40-45.

130. Долинский А. А., Иваницкий Г. К. Оптимизация процессов распылительной сушки. Киев: Наукова думка, 1984. - 240 с.

131. Тепло- и» массообмен. Теплотехнический эксперимент: Справочник / Под общей ред. В. А. Григорьева и В. М. Зорина. М.: Энергоиздат, 1982.-512 с.

132. Харин В. М., Агафонов Г. В. Теория гидро- и гигротермических процессов. Внешний влаго- и теплообмен капиллярнопористого тела с газопаровой средой // Математическое моделирование технологических систем. 1999. - №3. - С. 78-82.

133. Шпаковский Р. П. К определению температуры мокрого термометра // Теоретические основы химической технологии. 1995. - Т. 29. - №3. -С. 330-332.

134. Снежкин Ю. Ф., Хавин А. А. Оценка тепловой эффективности сушилок, работающих на материалах с различной начальной влажностью // Промышленная теплотехника. 1996. - Т. 18. - №4. - С. 30-32.

135. Снежкин Ю. Ф. Исследование адсорбционных характеристик коллоидных капиллярно-пористых материалов с целью определения режимовсушки // Промышленная теплотехника. -2000. Т. 22. - №2. - С. 65-73.

136. Минаковский В. М. Графоаналитический расчет процесса сушки // Промышленная теплотехника. 1997. - Т. 19. - №1. - С. 73-78.

137. Дашков В. А., Хасанов Т. Г. Расчет установки нагревания» для сушки изделий из токопроводящих материалов // Инженерно-физический журнал.- 1998. Т. 71. - №3. - С. 412-416.

138. Афанасьев А. М., Шашлова JI. Е. Выбор оптимального режима при^кон-вективной сушке влажных-материалов // Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. 1999. - Вып. 4. - С. 140-146.

139. Афанасьев А. М. Численное исследование процесса конвективной сушки« при наличии внутренних источников тепла и нелинейных краевых условиях третьего рода // Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. -2000.'-Вып. 5.-С. 151-160.

140. Афанасьев А. М., Непогодин В. И. СВЧ-излучение для регенерации твердых адсорбентов // Газовая промышленность. — 2001. —№12. — С. 3032.

141. Афанасьев А. М., Конягин И. А., Сипливый Б. Н. Переходные явления тепло- и массопереноса при конвективной сушке капиллярно-пористых материалов // Математическое моделирование. 2004. - Т. 16. - №5. - С. 117-127.

142. Внутренние механические напряжения при сушке нагретым воздухом / А. М. Афанасьев, И. А. Конягин, В. К. Михайлов, Б. Н. Сипливый // Теоретические основы химической технологии. 2005. - Т. 39. - № 1. — С. 95-100.

143. Афанасьев А. М., Сипливый Б. Н. Зависимость качества сушки СВЧ излучением от глубины проникновения электромагнитной волны // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2008. - Т. 11. - №1.- С. 95-99.

144. Афанасьев А. М., Сипливый Б. Н. Математическое моделирование сушки электромагнитными волнами с малой глубиной проникновения // Известия вузов. Электромеханика; 2008". - №5; - С. 8—

145. А.с. 1344790 СССР. Устройство для регулирования углеродного потенциала атмосферы печи / Афанасьев А.М., Гордеев^ИЖ, Непогодин:ВМ; -Заявл. 18.06.86, Опубл. 15.10:87, Бюл.№ 38.

146. Афанасьев А.М. Конвективная сушка однородной пластины. Свидетельство- О; государственной! регистрации, программы для .ЭВМ №;• 2010610237, Российская Федерация. Заявка № 2009616295 от ЮЛ 1.09, зарег! в^еестре программдая ЭВМ^1Т.01;10: :

147. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычисли тельная гидромеханика и теплообмен: В 2-х томах. Т. 1: Пер. с англ. М.: Мир, 1990; - 384 с.

148. Бахвалов Н: С., Жидков И. П., Кобельков Г. М. Численные методы. 4-е изд. - М;: Бином. Лаборатория знаний. 2005. - 636 с.

149. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука,. 1978. — 512 с.

150. Марчук Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающей; среды. М.: Наука, 1982. - 320 с.

151. Марчук Г. И; Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. -608 с.

152. Самарский А. А. Введение в численные методы. — М.: Наука, 1987. -288 с.

153. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах. Т. 1: Пер. с англ. -М.: Мир, 1991. 504 с.

154. Марчук Г. И. Методы расщепления. М.: Наука, 1988. - 264 с.

155. Пасконов В. М., Полежаев В. И., Чудов JI. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. - 288 с.

156. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения* сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. - 592 с.

157. Турчак JI. И. Основы численных методов. М.: Наука, 1987. - 318 с.

158. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967.

159. Крицкий О. Л. Численный алгоритм решения двумерных анизотропных параболических уравнений // Математическое моделирование. 2004. -Т. 16. -№3. - С. 50-56.

160. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач: Пер. с англ. М.: Мир, 1972. - 418 с.

161. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. - 616 с.

162. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.-416 с.

163. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Физмалит, 2002. - 320 с.

164. Мартыненко О. Г., Павлюкевич Н. В. Тепло- и массоперенос в пористых средах // Инженерно-физический журнал. — 1998. Т. 71. - №1. - С. 518.

165. Павлюкевич Н. В. Введение в теорию тепло- и массопереноса в пористых средах. Минск: Институт тепло- и массообмена им. А. В. Лыкова HAH Беларуси, 2002. - 140 с.

166. Рудобашта С. П. Массоперенос в системах с твердой фазой. М.: Химия, 1980.-248 с.

167. Вязьмина Е. А., Бедриковецкий П. Г., Полянин А. Д. Новые классы точных решений нелинейных систем уравнений теории фильтрации и конвективного массопереноса // Теоретические основы химической технологии. 2007. - Т. 41. - № 5. - С. 580-588.

168. Рудобашта С. П. Математическая модель СВЧ нагрева почвы с учетом испарения влаги // Электронная обработка материалов. 1991. - №3. -С. 20-23.

169. Кей Р. Б. Введение в технологию промышленной сушки: Пер. с англ. -Минск: Наука и техника, 1983. 132 с.

170. Морозов Г. А. Микроволновые" технологии, в промышленности и сельском хозяйстве: современные достижения и новые подходы // Антенны. 1998. - №1 (40). - С. 88-96.

171. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. T. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. - 736 с.

172. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М: Теоретическая физика. T. VII. Теория упругости. М.: Наука, 1987. - 248 с.

173. Максимович В. Н., Соляр Т. Я. Уточненные формулы для определения обратного преобразования Лапласа с помощью рядов Фурье и их применение в задачах теплопроводности // Инженерно-физический журнал. — 2002. Т. 75. - №3. - С. 102-104.

174. Расчет теплового воздействия СВЧ излучения на плоские водосодержа-щие объекты слоистой структуры / A.M. Афанасьев, В.В. Подгорный, Б.Н. Сипливый, В.В. Яцышен // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 1998. - Т. 1. — №2-3. - С. 83-90.

175. Математическое моделирование взаимодействия СВЧ излучения с вла-госодержащими плоскими слоистыми средами. Часть 1 / A.M. Афанасьев, В.В. Подгорный, Б.Н. Сипливый, В.В. Яцышен // Известия вузов. Электромеханика. 2001. - № 2. - С. 14-21.

176. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в< частных производных физики: Пер. с нем. А. А. Самарского и H. Н. Яненко. Под ред. А. Н. Тихонова: М.: Изд. ин. лит., 1950. - 456 с.

177. Зайцев В., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М.: Наука, 1995. 560 е.

178. Бреховских JI. М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. - 343 с.

179. Каценеленбаум Б.' 3. Высокочастотная электродинамика. М.: Наука, 1966.-240 с.

180. Касимов. Э. Р. Полоса, избирательного прохождения электромагнитного излучения через поглощающий слой диэлектрика // Инженерно-физический журнал. 2003. - Т. 76. - №1. - С. 110-114.

181. Фейнберг Е. JL Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. -М.: Наука, Физматлит, 1999.-496 с.

182. Яцышен В.В. Отражение плоской монохроматической волны от среды с пространственной дисперсией // Оптика и спектроскопия. 1982. - Т. 53.-С. 296-300.

183. Яцышен В.В. Электродинамика ограниченных сред с пространственной дисперсией при учете поверхностных токов (р-поляризация) // Известия вузов. Электромеханика. 1996. - № 5-6. - С. 119-124.

184. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М.: Наука, 1979. - 832 с.

185. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1987. - 688 с.

186. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Пер. с нем. СПб.: Издательство «Лань», 2003. — 576 с.

187. Микроволновая термовлагометрия / Федюнин П. А., Дмитриев Д. А., Воробьев А. А., Чернышев В. Н.; Под ред. П. А. Федюнина. М.: Изд. Машиностроение-1, 2004. - 208 с.

188. Памятных Е. А., Туров Е. А. Основы электродинамики материальных сред в переменных и неоднородных полях. М.: Наука, Физматлит, 2000.-240 с.

189. Туров Е. А. Материальные уравнения электродинамики. М.: Наука, 1983.-158 с.

190. Никольский В. В., Никольская Т. И Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. - 544 с.

191. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. Пер. с англ. М.: Мир, 1988.-544 с.

192. Цой П. В. Методы расчета задач тепломассопереноса. М.: Энергоатом-издат, 1984.-414 с.

193. Samarskii A. A., Nikolaev Е. S. Numerical Methods for. Grid Equations. V. 1. Basel: Birkhauser Verlag, 1981. - 242 p.

194. Samarskii A. A., Vabishchevich P. N. Computational Heat Transfer. V. 1. -N.Y.: Wiley, 1995.-406 p.

195. Ji Jie, Chen Yannan, Ge Xinshi, He Liqun. Zhongguo kexue jishu daxue xu-ebao // J. China Univ. Sei. and Technol. 1996. - V. 26. -1. 2. - P. 267-270.

196. Хабибуллин И. JI. Нелинейные эффекты при нагреве сред электромагнитным излучением // Инженерно-физический журнал. 2000. - Т. 73. -№4.-С. 832-838.

197. Формалев В. В., Колесник С. А., Чипашвили А. А. Численное моделирование теплопереноса в анизотропных телах с разрывными характеристиками // Математическое моделирование. 2004. - Т. 16. - №5. - С. 94102.

198. Фельдман Н. Я. Особенности микроволновой сушки диэлектрических материалов // Автоматизация и современные технологии. 2000. - №8. -С. 19-23.

199. Снежкин Ю. Ф., Дабижа Н. А. Исследование адсорбционных характеристик коллоидных капиллярно-пористых материалов с целью определения режимов сушки // Промышленная теплотехника. 2000. - Т. 22. -№3. - С. 26-29.

200. Немков В. С., Демидович В. Б. Теория и расчет устройств индукционного нагрева. Л.: Энергоатомиздат, 1988. - 280 с.

201. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров: Пер. с франц. М.: Наука, 1967. - 780 с.