автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование тепло- и массообмена в процессах вакуум-сублимационной сушки

На правах рукописи

ЧЕРНЫХ ВЛАДИМИР БОРИСОВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА В ПРОЦЕССАХ ВАКУУМ-СУБЛИМАЦИОННОЙ СУШКИ

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Воронеж — 2007

□озот

003071145

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений Воронежского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Шашкин Александр Иванович

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Рижских Виктор Иванович,

кандидат физико-математических наук, доцент

Дорняк Ольга Роальдовна

Ведущая организация Санкт-Петербургский государственный

университет низкотемпературных пищевых технологий

Защита состоится « 24 » мая 2007 г в 15 час 30 мин на заседании диссертационного совета Д 212 035 02 в Государственном образовательном учреждении Воронежской государственной технологической академии по адресу 394017, г Воронеж, проспект Революции, 19

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке академии.

Автореферат размещен на официальном сайте академии www vgta vrn ru « 23 » апреля 2007 г

Автореферат разослан « 23 » апреля 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Хаустов И А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Математическое моделирование процессов вакуум-сублимационной сушки (ВСС), являющейся одним из наиболее прогрессивных методов обезвоживания термолабильных материалов, представляет собой актуальную задачу Математические модели и разрабатываемое на основе них программное обеспечение оказывают существенную помощь в проектировании новых сушильных установок, исследовании протекающих в установках процессов, создании средств автоматического регулирования и т д

Между тем, на настоящее время не существует какой-либо общей математической модели тепло- и массообмена в процессах вакуум-сублимационного обезвоживания, которая бы в полной мере учитывала специфические особенности данных процессов, а именно - особый характер образования и переноса пара, фазовые превращения при замораживании и размораживании материала, особенности различных способов подвода теплоты и другое Существующие математические модели в большинстве своем предназначены для описания частных технологических процессов, опираются на упрощенные представления о процессе сублимационного обезвоживания, ориентированы на неизменность геометрических размеров и структуры объекта сушки, постоянство коэффициентов переноса и других параметров

В частности, исследователи часто исходят из условного предположения о том, что процессы сублимации, замерзания влаги или плавления льда протекают на некоторой перемещающейся поверхности фазового перехода В действительности эти процессы обычно происходят одновременно в некотором обьеме материала, то есть носят не поверхностный, а глубинный, объемный характер Это и другие допущения могут быть обоснованы в рамках отдельных прикладных исследований, но не могут быть приняты в общем случае

В условиях постоянного развития и усложнения технологии сублимационного обезвоживания представляет интерес обоснование, исследование и приложение общих, универсальных методов математического моделирования тепло- и массообмена в процессах ВСС, учитывающих сложность и специфику данных процессов и опирающихся на мощный аппарат численных методов исследования

Исследование выполнено в рамках научного направления кафедры дифференциальных уравнений Воронежского государственного университета «Качественные методы математической физики Теория сингулярных уравнений в частных производных и задачах управления Качественное исследование математических моделей», № г р 01200003452

Цель и задачи работы. Целью работы является обоснование, исследование и применение методов математического моделирования и алгоритмов расчета полей потенциалов тепло- и массопереноса в объекте вакуум-сублимационного обезвоживания с учетом сложного объемного характера тепломассообменных процессов и других специфических факторов

В соответствии с поставленной целью были определены следующие задачи исследования

1 Провести анализ современного состояния теории и практики математического моделирования тепло- и массообмена в процессах вакуум-сублимационной сушки

2 Разработать обобщенную математическую модель тепло- и массообмена в объекте вакуум-сублимационного обезвоживания, учитывающую особенности разных способов нагрева материала и сложный объемный харакгер процессов фазовых переходов

3 Обосновать привлечение численных методов к исследованию обобщенной модели, выполнить теоретическое и экспериментальное исследование разностных схем для расчета потенциалов тепломассообмена на предмет устойчивости, сходимости и точности

4 Разработать алгоритмы расчета потенциалов тепломассоперено-са в объекте сублимационного обезвоживания и комплекс программ для ЭВМ, реализующий эти алгоритмы

5 Применить разработанные методы математического моделирования и алгоритмы расчета к конкретным технологическим процессам вакуум-сублимационной сушки Провести численные эксперименты и проанализировать адекватность результатов, полученных с помощью предложенной модели

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы методы математического моделирования, теории дифференциальных уравнений в частных производных, вычислительной и общей математики, теории тепло- и массопереноса, термодинамики, электрофизики

Научная новизна.

1 Обобщенная математическая модель, выражающая поля потенциалов тепло- и массопереноса в объекте сублимационной или тепловой сушки с учетом различных способов нагрева материала и локального характера фазовых превращений

2 Результаты теоретического и экспериментального исследования конечноразносгных схем для дифференциальных уравнений общей теории тепло- и массопереноса с учетом условий сублимационной и тепловой сушки

3 Алгоритмы численного расчета полей температуры, влагосо-держания и давления внутри объекта сушки, разработанные на основе предложенной математической модели и учитывающие переменность и нелинейность входящих в эту модель коэффициентов переноса

4 Программный комплекс для моделирования процессов сублимационной и тепловой сушки, отличающийся учетом большого количества параметров исследуемого процесса

Теоретическая н практическая значимость. Предложенная методика математического моделирования позволяет более точно описать тепло- и массообмен в процессах сушки и может быть использована при моделировании самых разных технологических процессов как сублимационного, так и теплового обезвоживания с целью их глубокого и разностороннего исследования Расширяет имеющийся арсенал математических моделей и методов моделирования, применяемых в пищевой, химической, медицинской и прочих технологиях

Разработанная обобщенная математическая модель тепло- и массо-обмена в объекте сушки, алгоритмы расчета полей потенциалов переноса и комплекс программ, реализующий данные алгоритмы, могут послужить основой для создания САПР, АСНИ, АСУ

Прикладное программное обеспечение, разработанное на основе математических моделей двух конкретных технологических процессов ВСС, позволяет проводить разносторонние исследования данных процессов на ЭВМ с целью изучения процессов, протекающих в сублимационных сушилках, определения конструктивных параметров установок и т д Результаты работы внедрены на кафедре «Машины и аппараты пищевых производств» Воронежской государственной технологической академии, где оказали значительную помощь в принятии ряда конструкторских решений, оригинальность которых подтверждена патентами РФ № 2169323, № 2184324, №2197874

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах в Воронежском государственном университете с 2001 по 2004 гг, ХЬ отчетной научной конференции Воронежской государственной технологической академии (2002 г), IV Международной научно-технической конференции «Кибернетика и технологии XXI века» (Воронеж, 2003 г), V Всероссийской научной конференции «Информатика проблемы, методология, технологии» (Воронеж, 2005 г), XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Казань, 2005 г)

Разработки автора исследования демонстрировались на нескольких международных и межрегиональных выставках, отмечены тремя дипломами

Публикации. По материалам диссертационного исследования опубликовано 9 печатных работ, в том числе один патент Российской Федерации и 2 статьи в научных журналах, включенных в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук»

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, составляют разработка обобщенной модели тепло- и массообмена в процессах сушки, разработка прикладных моделей, построение и исследование разностных схем, разработка алгоритмов и программного обеспечения, выполнение вычислительных экспериментов и формулировка текста

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы и приложений Материал диссертации изложен на 132 страницах машинописного текста, содержит 27 рисунков и 5 таблиц Библиография включает 110 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, формулируются цель и задачи исследования, научная новизна, теоретическая и практическая значимость полученных результатов, излагается краткое содержание работы по главам

В первой главе проводится анализ современного состояния теории и практики моделирования процессов сублимационного обезвоживания, рассматриваются существующие модельные представления в данной области и выявляются трудности, связанные с разработкой моделей и их практической реализацией Дастся обзор методов решения краевых задач тепло- и массопереноса Приводятся данные, подтверждающие необходимость разработки новых, более совершенных методов математического моделирования процессов вакуум-сублимационного обезвоживания

На основе проведенного анализа поставлена цель исследования и определены задачи для ее выполнения

Во второй главе разработана обобщенная математическая модель тепло- и массообмена в объекте сублимационной сушки

Рассматривается процесс сушки (тепловой или сублимационной) некоторого материала произвольной формы, размеров и структуры В целях общности не оговаривается метод и этап сушки, агрегатное состояние содержащейся влаги (в любом объеме материала могут содержаться все три фазы и иметь место фазовые переходы), способ и режим нагрева материала

В основу математической модели процесса положена известная

6

система дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса в капиллярно-пористом теле (уравнения Лыкова-Михайлова) Данная система модифицирована с учетом специфики сублимационного обезвоживания

Вместо общего удельного влагосодержания предложено раздельно анализировать массосодержание жидкой и твердой фазы По аналогии с внутренними источниками (стоками) теплоты введены в рассмотрение внутренние источники (стоки) массы, связанные с фазовыми переходами содержащейся в материале влаги

Исходя из этого, тепло- и массообмен внутри объекта сушки описан следующей системой уравнений

= V Т) -гпар7пар + гЖ[^ + , (1)

у = ¿1у(ат2уЧи2 + ат252уУТ + Хр2ЧР) - - Jжa , (2)

диъ г 1 11\

= -Луб. (3)

cpч^ = &xv{■kpXVP) + Jmv, (4)

где Т- температура, и2, - удельное массосодержание жидкой и твердой фазы, Р - давление паров в материале, / - время, Q¡,щ, — удельная мощность внутренних источников теплоты, связанных с диэлектрическим или терморадиационным нагревом материала, Лпар, Уисп, Усуб, - удельные мощности внутренних источников (стоков) массы, связанных соответственно с процессами парообразования, испарения, сублимации (Лир= Леи + Луб) н перехода между жидкой и твердой фазами, с - приведенная удельная теплоемкость материала, у - плотность скелета сухого материала, X - теплопроводность, гпар, гж, - теплота парообразования и перехода между жидкой и твердой фазами, ат2 - коэффициент диффузии жидкости, 82 - относительный коэффициент термодиффузии жидкости, )тЬ Хр2 — коэффициенты молярного переноса пара и жидкости, скудельная массоемкость Уравнение (3) распространяется также на точки поверхности материала

Система (1)—(4) дополнена уравнениями тепло- и массообмена на

поверхности объекта сушки

-Х(УТ)„ + <?нагр - а(Г„ - Те) - гпзр дт2 = 0 , (5)

«„2У(?£/2)п +ат2Ь2у(УТ)п +Хр2(ЧР)п +Чт2 = 0, (6)

-Хр1(?Р)п-а.р(Рп-Рс) = 0 (7)

и начальными условиями

Здесь индекс «п» соответствует значению величины на поверхности тела, <7нагр - плотность потока теплоты, связанного с кондуктивным или терморадиационным нагревом материала, а — коэффициент теплообмена, Тс -температура среды, д„2 - интенсивность испарения жидкой фазы на внешней поверхности, ар - коэффициент массообмена при релаксации избыточного давления в объекте сушки, PQ - давление среды, Т0, U2,o, t/3,0, Ро - начальные значения соответствующих потенциалов тепломассообмена

Внутренний сток массы Упар определен следующим образом

(9)

где jm — интенсивность образования пара, - степень развития поверхности парообразования (локальные характеристики)

Согласно известным исследованиям, образование пара происходит в первую очередь за счет твердой фазы, если она есть, поэтому для J„cn и ■Луб с учетом (9) принято

если t/3=0, fO, если £/3=0,

исп [0, если £/3>0, суб \jmKs, если t/3>0 ^ }

Интенсивность парообразования jm зависит от соответствующих условий (температуры, влажности, давления и др) в рассматриваемой точке и может быть определена с помощью подходящих эмпирических или теоретических зависимостей Во многих случаях при практических расчетах можно принять

Ja=vm(PM-Pa) (11)

для условий вакуум-сублимационной сушки и

Во В

для остальных случаев Здесь ат - коэффициент массообмена при ВСС, Ры - давление пара жидкости (или льда) в рассматриваемой точке материала (зависит от температуры и влагосодержания), Рл- давление насыщенного пара при температуре десублимации; атро - коэффициент влагообмена при нормальном давлении fio. В - общее давление в пористой среде материала (можно принять В = Р)

Степень развития внешней и внутренней поверхности парообразования К$ вычислялась через пористость материала и размер пор с учетом

Jm=ampo(P«-P)-7T (12)

переменности этих характеристик по пространству и времени (в процессе сушки размер пор и пористость увеличиваются) Для пористости Я и характерного размера пор А получены следующие оценки

я = я0-Д^>, ^¿Г-^, (13)

Рв \Л„

шах

где По - исходная пористость материала, и, {/<> - текущее и исходное влагосодержание, и = и2+ ¿73, рв - плотность удаляемой влаги, с?тах-характерный размер пор скелета сухого материала, Ятах - пористость скелета сухого материала Птах~ Щи=о На основе этих оценок для К$ получено приближенное выражение

Чп*пт

К5

^тах

для внутренней области,

,--(14)

уп0птзх 1 _Яе

—---ь-— для поверхностного слоя

^ ах 9*

Здесь Яе - интегральное осреднение пористости Я по окрестности рассматриваемой точки радиусом 0, 9* - толщина внешнего поверхностного слоя материала Осреднение пористости связано со структурной неоднородностью материала из-за наличия пор, а рассмотрение поверхностного слоя вместо плоской внешней поверхности - с шероховатостью внешней поверхности Для поверхностного слоя степень Кз определена с учетом наличия в этом слое как внутренней, так и внешней поверхности парообразования

Величины 0 и 0* соотнесены с размером пор й 0 = тах(й?, 0,1с/тах), О* = 0П (0П - значение 0 на плоской внешней поверхности)

Входящая в уравнения (1)-(3) мощность источника (стока) массы ^ определена исходя из предположения, что переход между жидкой и твердой фазой происходит при некоторой постоянной температуре Т^ Тогда для рассматриваемой точки в период кристаллизации (плавления) выполняется дТ/д1 = 0 , и из уравнения (1) имеем

^ - 1/11VI Л \/ / 1 —, . , ,,

пар пар л^нагр]

Лег = -—[мху т) -ггар лар+е„

Обозначим правую часть последнего выражения через Р Помимо условия Т= Гжт, необходимыми условиями протекания процесса кри-сталлшации (плавления) считаем также положительность (отрицательность) Р и наличие замораживаемой жидкой фазы (для плавления-твердой фазы) в рассматриваемой точке Таким образом, общее опреде-

ление величины ^ имеет следующий вид

Г при ^ > О, 7* = Т^, и2 - ит > О (кристаллизация),

^ при /г<0, Т = Тт, Е/3>0 (плавление), (15)

О во всех остальных случаях,

где ит — массосодержание незамораживаемой влаги

Уточнена методика моделирования подвода теплоты к объекту сушки в случаях терморадиационного и диэлектрического нагрева

Если сушимый материал нагревается терморадиационным излучением и имеет небольшую толщину, следует учитывать явления отражения, поглощения и пропускания материалом проникающего лучистого потока В этом случае нагрев выражается внутренним источником теплоты йшгр в уравнении (1), для вычисления которого получена следующая формула

аагр=(1-Р)<7пад^, (16)

где <7пад ~ плотность падающего на поверхность тела излучения, р -коэффициент отражения, к - коэффициент поглощения излучения, х — расстояние, пройденное лучами в толще тела

При наличии под тонким слоем материала отражающей подложки теплообразование имеет более сложный характер и для £?„агр имеем

бнагр =(1-Р)?„»4"Ь +Р.е-*(Ь-Х)) , (17)

где Ь - толщина слоя материала, Р1 - коэффициент отражения лучей подложкой

Диэлектрический нагрев объекта сушки выражается внутренним источником 2„аГр в уравнении (1), который вычисляется по известной формуле

енаф=Ле'у£2, (18)

где е" - коэффициент диэлектрических потерь, V - частота электромагнитных колебаний, Е - напряженность электрического поля, А -масштабирующая константа

В работе получено приближенное аналитическое выражение для вычисления е" с учетом изменяющихся в процессе сушки объемных долей различных составляющих влагосодержащего материала

^Х^+Х^+Х^;, (19)

Ра Р2 Рз

где £",82,63 - коэффициенты диэлектрических потерь соответственно

для сухого вещества, жидкой и твердой фазы, рс, рг, рз — плотность соответственно сухого вещества, жидкой и твердой фазы

Третья глава посвящена разработке и исследованию алгоритмов численного решения уравнений обобщенной модели (1)-(Ю

С помощью интегро-интерполяционного метода на примере одномерного случая построены двухслойные консервативные конечноразно-стные схемы с весами для вычисления потенциалов переноса

Уравнения (1)-(4) аппроксимированы на равномерной по пространству и времени сетке следующим образом

= (Л, + (1 - а, )(А1У){ + Ф/;1, / = J > О, (20)

у+1 _ 1

У~-^- = а2(А2у + Л3у + Л4/7)/+| +

х __(21)

+ (1 - а2 )(Л2 V + Азу + Л4р)/ + ф£' , » = 1, N -1, ] > 0,

1 = 0^,]>0, (22)

т

р£урГ1-Р! = Стз(д5/?)/+. + (1 _0з)(Л5р)У + ф^',, = 1,л^-1,} >0 (23)

т

Здесь N — число отрезков деления рассматриваемой области, I,) — пространственный и временной индексы узла разностной сетки, т- шаг по времени, у, V, р - сеточные функции, соответствующие приближенным значениям потенциалов Т, и2, £/3, Р в узлах сетки, а„, п = 1,3 - весовые коэффициенты, 0 < а„ < 1, Л*, к = 1,5 - разностные операторы

(Л42){={акг,УХг1 -г/)-<,(*/ - */_,)],

к - шаг по пространству, рь р2, а* (к = 1,5), ф^ (5 = 1,4) - коэффициенты схем, выражающиеся через значения коэффициентов исходной дифференциальной задачи с помощью подходящих шаблонных функционалов

Каждая из аппроксимаций (20)-(23) имеет точность (га + И2), где а = 2 при о„ = 0,5 и а = 1 - в других случаях, а„ - соответствующий весовой коэффициент.

Граничные условия (5)-(7) аппроксимировались с таким же порядком точности Для уравнения (5) были получены следующие разностные представления на краях расчетной области

а, (а0,У*1 + (1 - = «[ст,^*1 + 0 " 1 - 0Д<7,; + +

+ 0,5Лр/о % - 0,5йф$, д' = д'тгр + аТс - гпардт2, - <т. - (1"о,){аху-хУи = «[о,^1 + (1 - а,]- ОД?" + <7"7+1) +

+ 0,5Ар^у(У, Ун ~ 0,5А<р$, д" = + аГс - гпар?и2

Уравнения (6) и (7) аппроксимированы аналогично Начальные условия (8) имеют точное сеточное представление

В случае неявных схем (о„ ф 0) каждая из систем сеточных уравнений (20), (21) и (23) в совокупности с соответствующими разностными представлениями граничных условий решается относительно у1'1, V7'1 и р]+> методом прогонки Если ст„ = 0, данные уравнения решаются явным образом Уравнения (22) во всяком случае решаются явно относительно м^1

Рассматриваемая разностная задача является нелинейной относительно >,у1V7'1, и р]+\ поэтому для каждого временного слоя ее предложено решать методом итерационного уточнения В качестве нулевого приближения целесообразно принимать значения у, V, м и р на предыдущем слое Если при этом ограничиться одной итерацией, получаем линеаризованную разностную схему

На основе рассматриваемых разностных схем сформулирован алгоритм численного расчета потенциалов переноса в процессе сушки

Изложены результаты теоретического и экспериментального исследования разностных схем

Ввиду сложности теоретического исследования нелинейных разностных схем, рассмотрение проведено только для случая линейных коэффициентов переноса и нелинейной правой части (источников теплоты и массы), а математический аппарат ограничился принципом максимума разностных схем На основании принципа максимума доказано, что разностная задача имеет единственное решение, сформулированы достаточные условия сходимости составленных разностных схем и показано, что при определенных условиях порядок точности схем совпадает с их порядком аппроксимации

Объектом экспериментальных исследований были явные (о„ = 0), симметричные (о„ = 0,5) и чисто неявные (о„=1) разностные схемы с итерациями по нелинейности и без них (т е нелинейные и линейные схемы) Схемы исследовались на предмет устойчивости, сходимости, точности, а также влияния и эффективности итерационного уточнения по нелинейности При этом учитывались различные технологические условия

Исследование сходимости и точности схем, а также эффективности итерационного уточнения по нелинейности проводилось путем сравнения решений, полученных с помощью различных разностных схем при раз-

ных шагах по пространству и времени, с «точным» (эталонным) решением, полученным для очень мелкой сетки На рис 1 в качестве примера приведены диаграммы сходимости по пространству и времени (с оценкой в среднеквадратичной норме) симметричной и чисто неявной схем для расчета температуры Для других потенциалов переноса наблюдались схожие тенденции

Погоецность

Погреииость

60 110 Число узлов по х

0,5 1

Шаг по времени, сек

а) б)

Рис. 1. Сходимость разностных схем для расчета температуры по пространству (а) и времени (б)

1 - чисто неявная линейная схема, 2 - чисто неявная нелинейная схема, 3 - симметричная линейная схема, 4 - симметричная нелинейная схема

По результатам теоретических и экспериментальных исследований разностных схем установлено, что наиболее подходящими для практических расчетов являются чисто неявные линейные схемы как наилучшие по критериям устойчивости, сходимости, точности, времени счета и простоты реализации

В четвертой главе приведены результаты практического применения предложенных методов математического моделирования к исследованию двух конкретных технологических процессов сушки

В первом случае рассматривается процесс вакуум-сублимационной сушки, осуществляемый с помощью установки непрерывного действия, изображенной на рис 2 В этой установке из намораживателя 3 во вращающийся перфорированный барабан 2 непрерывно вводятся гранулы, каждая из которых представляет собой сферический инертный носитель со слоем замороженного материала Здесь гранулы перемешиваются и перемещаются вдоль барабана к его разгрузочному концу, прогреваясь источниками инфракрасного (ИК) излучения 10, благодаря чему проис-

Рис. 2. Вакуум-сублимационная сушилка непрерывного действия на инертных носителях

ходит интенсивная сублимация влаги При этом за счет трения подсохшие частицы материала отделяются от гранул и просыпаются через ячейки перфорации барабана Очищенные от материала носители эвакуируются из барабана с помощью электромагнитного транспортера 8

Используя обобщенную модель (1)-(8), протекающий в отдельной грануле тепло- и массообмен описан системой уравнений

СиР„"

=

8( г2 дг

Кг1^ 0<г<Ли, / > 0,

су

аг 1 а Л 2 от„

д1 г2 дг ^ дг

ее/.

5/

диъ

у—=>- = -д(

с условиями однозначности

Лсп. к<г<к,1>о,

Jcy5, ЯИ<Г<К,1> О

дТи

дг

= 0,

г=0

5г

9Г ' <5г

г=Л

+ а(Г|г=я-Гс) = 0,

(24)

^ " ГпарЛар + бик. К<Г<К, 1> 0 , (25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

г„ и=7'н,о, Т\,^=Т0, и2 \1=0=и2, о (и2„<ит), иг и=£/3,0> (31)

где г — внутренний радиус гранулы, /?и - радиус инертного носителя; Я = Л(*) - радиус гранулы, Я» < Я <Я0, Яо - начальный радиус, Ти, си, Ри. ^и - соответственно начальная и текущая температура, удельная теплоемкость, плотность и теплопроводность носителя, Qкк, <уИ1. - мощность внутреннего источника и плотность теплового потока, связанные с нагревом сушимого материала и носителя Остальные обозначения прежние

Изменяющийся в процессе сушки радиус гранулы Я предложено вычислять с помощью следующего алгоритмического выражения

[Я(0, если и(Я(1),1)>и*,

Д(/ + Д*) = | тш ,г {/(£,«)£ [/* [г,Д(/)]}, иначе (32)

Здесь Дг - малый промежуток времени, и* - влагосодержание, при котором подсохшие частицы материала отделяются от гранулы

Для (2„к и дик с учетом (17) получены следующие выражения

0„к =А(1-Р)ИЛ"> +Рие-^-2Л»+'>)д0, (33)

= |(1-ри)(1-р)?о^('г"Л") при Я>Я„, ик [(1-ри)9о при Я = ЯИ,

где ри — коэффициент отражения ИК лучей поверхностью носителя, д0 -средняя плотность падающего на гранулу излучения Моделирование облучения слоя гранул в барабане позволило вычислить д0

~ _2Я^Я26-Н2_

Яо —-7----Л Яо (35)

3( 1 - ц) Rl arceos — - H<Jr¡ - Н2 V R6

Здесь до - плотность излучения, падающего на слой гранул, /?6 - радиус барабана, Н - высота слоя гранул, р - порозность слоя

Разработана методика численного расчета профиля слоя гранул Н, времени прохождения гранулой различных участков барабана и зависимости между временем пребывания и положением модельной гранулы в барабане

Для численного решения уравнении (24)—(31) на частично косоугольной сетке составлена чисто неявная разностная схема Сформулирован алгоритм программной реализации предложенной математической модели и кратко описано программное обеспечение, разработанное на основе данного алгоритма

В качестве примера приведены результаты эксперимента по моде-

Рис. 3, Средняя температура гранулы (кривая /) и радиус гранулы (кривая 2) в процессе сушки (3, 4 - время сушки и пребывания гранулы в барабане соответственно).

а ■«>

е

а | -15

. т Жл и

Г^ч] л

\ 1 г [

\ V 1 ' 1

\ 1 ! 1

4.5

4.3

?

4.1 |

& £

а

37

3.5

О 10 20

Время, I

Рис.4. Сублимационная сушилка:

/ экструдер; 2 - сублимационная камера; 3 -насадка; магнетроны; 5- дел ителмю-у па ковочное устройство; 6 - шлюзовой чатвпр.

лированию процесса сушки хлебопекарных дрожжей штамма БассИаготусех се^Ыае № 93. Некоторые из результатов представлены на рис. 3.

Вторым из рассматриваемых процессов является ВСС высокопористого материала в поле СВЧ, осуществляемая с помощью установки, изображенной на рис. 4. Здесь пастообразный материал методом экструзии вводится в вакуумированный объем сублимационной камеры 2, вследствие чего происходит интенсивное сам о зам о р ажи еа!! и с материала, сопровождаемое увеличением его объема (вспучиванием) и образованием развитой пористой структуры. Двигаясь вдоль

у | ■ЧЛИ^Л!

камеры, замороженный материал подвергается интенсивному сублимационному обезвоживанию в зоне действия источников СВЧ энергии 4, обеспечивающих равномерный прогрев всего объема объекта сушки.

Протекающий внутри материала тепло- и массообмен описан на основе обобщенной модели (1 )-(8) с учетом квазистационарности процесса системой дифференциальных уравнений

= ^+ 2евЧ, о<г<Я, 0< г <Я, (36)

ди2 1 8 ( ди2 „ 8Т . дР дг г дг\ дг дг дг

' ^ЖГ ^ИСП '

О<г<Я, О<2<Н,

8Р 1 д (. 8Р) дТ _ _ _ ^ „

с условиями однозначности

ЗТ

= 0,

г=О

5Т_ дг

ди,

= 0,

дР

= 0,

+ а(Г|г=д ~Тс) + г дт2 =0,

атг1

ди,

ч 8г Уг=я

+ ат2§2У

ЭГ

дР

"\дг)Г=к + а_(Ри -Ре) = 0,

+ ?«2 =0.

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

где г — внутренний радиус жгута материала, г - текущая длина жгута, Я - внешний радиус жгута, Н - высота сублимационной камеры, V -скорость движения материала, Qcxiч - удельная мощность внутреннего источника теплоты, связанного с СВЧ нагревом, Ът - коэффициент расширения пара, Го, С/2,0, Л) - начальные значения потенциалов

Для зоны воздействия на объект сушки поля СВЧ значение £?свч вычисляется по формулам (18), (19)

Изменяющиеся при вспучивании материала радиус жгута Я и объемная концентрация сухого вещества у определены выражениями

Я = Я оТ^Г, У = У й!ку,

где Яо, уо ~ начальные значения Я и у, ку - коэффициент расширения, характеризующий относительное изменение объема материала

В этом случае пористость материала П вычисляется с помощью модифицированного варианта формулы (13)

П_П0 | ку-\ [ у(Ц0-и) кг/ кг/ Р„

Для численного решения системы уравнений (Зб)~(44) составлены чисто неявные разностные схемы на адаптированной сетке. Сформулирован алгоритм численной реализации модели и кратко описано программное обеспечение, разработанное на основе данного алгоритма.

Проведен машинный эксперимент по моделированию процесса сушки. Некоторые из результатов расчета представлены на рис. 5 и 6.

Э&п* 'и?.'*'.--.-" тжшзра

I I".' наг/ною

Рис. 5, Средние по сечению жгута значения температуры (кривая /), ила-госодержания (кривая 2) и давления (кривая _?) в процессе сушки.

Рис. 6, Распределение по радиусу ж [-у та температуры (кривая /), влагосодержания (кривая 2), массосодержания льда (кривая и давления (кривая 4) при испарительном замораживании.

Мм

В главе также приведено описание экспериментальных установок и методики проведения экспериментов с целью проверки адекватности разработанных моделей. Сопоставление опытных и расчетных данных указало на их удовлетворительное качественное и количественное согласование, что позволило сделать вывод о применимости предложенных средств математического моделирования для практических исследований.

В приложениях к диссертационной работе приведены листинги и скриншоты прикладных программ, примеры расчетов, акт производственных испытаний и другое.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ

1 Разработана обобщенная модель тепло- и массообмена в объекте сушки, описывающая поля температуры, давления и массосодержания

жидкой и твердой фаз во всех точках сушимого материала с учетом сложного локального характера протекающих тепломассообменных процессов Уравнения модели имеют инвариантную запись для различных методов и этапов сушки, способов нагрева Модель применима к процессам как сублимационной, так и тепловой сушки

2 Выполнено теоретическое и экспериментальное исследование линейных и нелинейных двухслойных конечноразностных схем для численного решения уравнений предложенной модели Для случая линейных коэффициентов переноса с помощью принципа максимума доказана однозначная разрешимость и единственность решения разностной задачи, сформулированы достаточные условия сходимости и определен порядок точности составленных разностных схем В результате экспериментального исследования указанных разностных схем установлено, что наиболее подходящей для практических расчетов является чисто неявная линейная разностная схема

3 Сформулирован алгоритм численного расчета потенциалов тепло- и массопереноса в объекте сушки и на его основе разработан пакет прикладных программ, позволяющий проводить разносторонние исследования моделируемого процесса

4 Разработанные средства математического моделирования применены к двум конкретным технологическим процессам - процессу вакуум-сублимационной сушки материала на инертных носителях при нагреве инфракрасным излучением и процессу вакуум-сублимационной сушки высокопористого материала в сверхвысокочастотном поле Для обоих случаев разработаны подробные математические модели, разностные схемы и алгоритмы численного расчета потенциалов переноса и других характеристик процессов

5 Сравнение результатов, полученных с помощью прикладных математических моделей, с опытными данными показало их близкое сходство, что позволяет сделать вывод об адекватности как прикладных моделей, так и лежащих в их основе методов математического моделирования

Автор выражает глубокую благодарность профессору А И Шашкину и догмату С В Шахову за постоянное внимание и поддержку

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1 Шашкин А И Моделирование процесса вакуум-сублимационной сушки хлебопекарных дрожжей на инертных носителях / А И Шашкин, В Б Черных, И Т Кретов, С В Шахов, Д А Бляхман // Хранение и переработка сельхозсырья -2001 -№9 - С 10-13

2 Шашкин А И Математическое моделирование процесса вакуум-

kj

сублимационной сушки гранулированного продукта во вращающемся барабане / А И Шашкин, В Б Черных, С Т Антипов, С В Шахов // Вестник ВГУ Серия физика, математика -2001 - Вып 2 - С 123-131

В прочих изданиях:

3 Валуйский В Я Расчет профиля, объема слоя и времени пребывания дисперсного сыпучего материала во вращающемся барабане / В Я Валуйский, С В Шахов, А И Шашкин, В Б Черных // Модернизация существующего и разработка новых видов оборудования для пищевой промышленности Сб науч. тр - Вып 13 / ВП А-Воронеж, 2002 - С 56-58

4 Шашкин А И Математическое моделирование процесса вакуум-сублимационной сушки гранулированного продукта во вращающемся барабане / А И Шашкин, В Б Черных, С Т Антипов, С В Шахов // Вестник факультета прикладной математики и механики Вып 3 - Воронеж Вор гос ун-т, 2002 - С 215-231

5 Шахов С В Разработка способа автоматического управления процессом вакуум-сублимационной сушки по принципу теплового насоса / С В Шахов, И С Моисеева, В Б Черных, А H Ширимов // Модернизация существующего и разработка новых видов оборудования для пищевой промышленности Сб науч. тр -Вып 13 /ВГТА-Воронеж, 2003 -С 68-74

6 Шахов С В Моделирование тепломассообмена вакуум-сублимационной сушильной установки непрерывного действия на инертных носителях / С В Шахов, А И Шашкин, В Б Черных // Математическое моделирование информационных и технологических систем Сб науч тр -Вып 6 / ВГТА - Воронеж, 2003 -С 175-178

7 Черных В Б Программный комплекс для моделирования тепло- и массообмена в процессах сушки // Информатика проблемы, методология, технологии Материалы пятой всероссийской научной конференции В 2 ч -Воронеж ВГУ, 2005 - Ч 2 - С 171-173

8 Шашкин А И Общая математическая модель тепло- и массообмена в процессах сублимационной сушки / А И Шашкин, В Б Черных // Теоретическая и прикладная механика - Межведомственный сборник научно-методических статей Вып 19 - Минск 2005 - С 76-79

9 Патент РФ № 2184324, МКИ 7 F 26 В 5/06, 25/06 Устройство ввода жидкого продукта на инертных носителях в вакуумную камеру сублимационной установки / С В Шахов, Д А Бляхман, В Б Черных - Заявл 28 02 2001, № 2001105730/06, Опубл 27 06 2002, Бюл № 18

Подписано в печать 20 04 2007 г Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Гарнитура Тайме Ризография Уел печ л 1,0 Тираж! 00 экз Заказ № 525 ФГУ «Воронежский ЦНТИ» 394730, г Воронеж, пр Революции, 30

Введение.

Глава 1. Анализ проблемы математического моделирования процессов вакуум-сублимационной сушки

1.1. Общее состояние теории и практики моделирования процессов сублимационной сушки.

1.2. Анализ существующих моделей тепло- и массообмена в процессах сушки.

1.3. Обзор методов решения краевых задач тепло- и массопереноса

1.4. Постановка цели и задач исследования

Глава 2. Синтез обобщенной модели тепло- и массообмена в объекте сублимационного обезвоживания

2.1. Составление общей системы уравнений тепло- и массообмена в процессах сушки.

2.2. Моделирование внутреннего парообразования

2.3. Моделирование процессов замерзания и разморозки объекта сушки

2.4. Моделирование нагрева объекта сушки

Глава 3. Разработка и исследование разностных схем для расчета потенциалов тепломассообмена в процессах сушки

3.1. Анализ методов исследования обобщенной модели тепло- и массообмена в процессах сушки.

3.2. Переход к разностной задаче

3.3. Решение сеточных уравнений.

3.4. Теоретическое исследование разностных схем

3.5. Экспериментальное исследование разностных схем

Глава 4. Практическое моделирование процессов вакуум-сублимационной сушки.

4.1. Моделирование процесса вакуум-сублимационной сушки материала на инертных носителях при нагреве инфракрасным излучением

4.2. Моделирование процесса вакуум-сублимационной сушки высокопористого материала в сверхвысокочастотном поле.

4.3. Проверка адекватности разработанных средств математического моделирования.

4.4. Программная реализация обобщенной и прикладных моделей процессов сушки.

Математическое моделирование процессов вакуум-сублимационной сушки (ВСС), являющейся одним из наиболее прогрессивных методов обезвоживания термолабильных материалов, представляет собой актуальную задачу. Математические модели и разрабатываемое на основе них программное обеспечение оказывают существенную помощь в проектировании новых сушильных установок, исследовании протекающих в установках процессов, создании средств автоматического регулирования и т. д.

Между тем, на настоящее время не существует какой-либо общей математической модели тепло- и массообмена в процессах вакуум-сублимационного обезвоживания, которая бы в полной мере учитывала специфические особенности данных процессов, а именно: особый характер образования и переноса пара, фазовые превращения при замораживании и размораживании материала, особенности различных способов подвода теплоты и другое. Существующие математические модели в большинстве своем предназначены для описания частных технологических процессов, опираются на упрощенные представления о процессе сублимационного обезвоживания, ориентированы на неизменность геометрических размеров и структуры объекта сушки, постоянство коэффициентов переноса и других параметров.

В частности, исследователи часто исходят из условного предположения о том, что процессы сублимации, замерзания влаги или плавления льда протекают на некоторой перемещающейся поверхности фазового перехода. В действительности эти процессы обычно происходят одновременно в некотором объеме материала, то есть носят не поверхностный, а глубинный, объемный характер. Это и другие допущения могут быть обоснованы в рамках отдельных прикладных исследований, но не могут быть приняты в общем случае.

В условиях постоянного развития и усложнения технологии сублимационного обезвоживания представляет интерес обоснование, исследование и приложение общих, универсальных методов математического моделирования тепло- и массообмена в процессах ВСС, учитывающих сложность и специфику данных процессов и опирающихся на мощный аппарат численных методов исследования.

Исследование выполнено в рамках научного направления кафедры дифференциальных уравнений Воронежского государственного университета «Качественные методы математической физики. Теория сингулярных уравнений в частных производных и задачах управления. Качественное исследование математических моделей», № г.р. 01200003452.

Цель и задачи работы. Целью работы является обоснование, исследование и применение методов математического моделирования и алгоритмов расчета полей потенциалов тепло- и массопереноса в объекте вакуум-сублимационного обезвоживания с учетом сложного объемного характера тепло-массообменных процессов и других специфических факторов.

В соответствии с поставленной целью были определены следующие задачи исследования:

1. Провести анализ современного состояния теории и практики математического моделирования тепло- и массообмена в процессах вакуум-сублимационной сушки.

2. Разработать обобщенную математическую модель тепло- и массообмена в объекте вакуум-сублимационного обезвоживания, учитывающую особенности разных способов нагрева материала и сложный объемный характер процессов фазовых переходов.

3. Обосновать привлечение численных методов к исследованию обобщенной модели, выполнить теоретическое и экспериментальное исследование разностных схем для расчета потенциалов тепломассообмена на предмет устойчивости, сходимости и точности.

4. Разработать алгоритмы расчета потенциалов тепломассопереноса в объекте сублимационного обезвоживания и комплекс программ для ЭВМ, реализующий эти алгоритмы.

5. Применить разработанные методы математического моделирования и алгоритмы расчета к конкретным технологическим процессам вакуум-сублимационной сушки. Провести численные эксперименты и проанализировать адекватность результатов, полученных с помощью предложенной модели.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использованы методы математического моделирования, теории дифференциальных уравнений в частных производных, вычислительной и общей математики, теории тепло- и массопереноса, термодинамики, электрофизики.

Научную новизну представляют следующие результаты работы:

1. Обобщенная математическая модель, выражающая поля потенциалов тепло- и массопереноса в объекте сублимационной или тепловой сушки с учетом различных способов нагрева материала и локального характера фазовых превращений.

2. Результаты теоретического и экспериментального исследования конечно-разностных схем для дифференциальных уравнений общей теории тепло- и массопереноса с учетом условий сублимационной и тепловой сушки.

3. Алгоритмы численного расчета полей температуры, влагосодержания и давления внутри объекта сушки, разработанные на основе предложенной математической модели и учитывающие переменность и нелинейность входящих в эту модель коэффициентов переноса.

4. Программный комплекс для моделирования процессов сублимационной и тепловой сушки, отличающийся учетом большого количества параметров исследуемого процесса.

Теоретическая и практическая значимость. Предложенная методика математического моделирования позволяет более точно описать тепло- и мас-сообмен в процессах сушки и может быть использована при моделировании самых разных технологических процессов как сублимационного, так и теплового обезвоживания с целью их глубокого и разностороннего исследования. Расширяет имеющийся арсенал математических моделей и методов моделирования, применяемых в пищевой, химической, медицинской и прочих технологиях.

Разработанная обобщенная математическая модель тепло- и массообме-на в объекте сушки, алгоритмы расчета полей потенциалов переноса и комплекс программ, реализующий данные алгоритмы, могут послужить основой для создания САПР, АСНИ, АСУ.

Прикладное программное обеспечение, разработанное на основе математических моделей двух реальных технологических процессов вакуум-сублимационной сушки, позволяет проводить разносторонние исследования данных процессов на ЭВМ с целью изучения тепломассообменных и прочих процессов, протекающих в сублимационных сушилках; определения конструктивных параметров установок и т. д.

Результаты работы внедрены на кафедре «Машины и аппараты пищевых производств» Воронежской государственной технологической академии, где оказали значительную помощь в принятии ряда конструкторских решений, оригинальность которых подтверждена патентами РФ № 2169323, № 2184324, №2197874.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на научных конференциях и семинарах в Воронежском государственном университете с 2001 по 2004 гг., ХЬ отчетной научной конференции Воронежской государственной технологической академии (2002 г.), IV Международной научно-технической конференции «Кибернетика и технологии XXI века» (Воронеж, 2003 г.), V Всероссийской научной конференции «Информатика: проблемы, методология, технологии» (Воронеж, 2005 г.), XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях» (Казань, 2005 г.).

Разработки автора исследования демонстрировались на нескольких международных и межрегиональных выставках, отмечены тремя дипломами.

Публикации. По материалам диссертационного исследования опубликовано 9 печатных работ, в том числе 1 патент Российской Федерации и 2 статьи в научных журналах, включенных в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук».

Личный вклад автора в работах, выполненных в соавторстве, составляют разработка обобщенной модели тепло- и массообмена в процессах сушки, разработка прикладных моделей, построение и исследование разностных схем, разработка алгоритмов и программного обеспечения, выполнение вычислительных экспериментов и формулировка текста.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы и приложений. Материал диссертации изложен на 152 страницах машинописного текста, содержит 36 рисунков и 2 таблицы. Библиография включает 110 наименований.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработана обобщенная модель тепло- и массообмена в объекте сушки, описывающая поля температуры, давления и массосодержания жидкой и твердой фаз во всех точках сушимого материала с учетом сложного локального характера протекающих тепломассообменных процессов. Уравнения модели имеют инвариантную запись для различных методов и этапов сушки, способов нагрева. Модель применима к процессам как сублимационной, так и тепловой сушки.

2. Выполнено теоретическое и экспериментальное исследование линейных и нелинейных двухслойных конечноразностных схем для численного решения уравнений предложенной модели. Для случая линейных коэффициентов переноса с помощью принципа максимума доказана единственность решения разностной задачи и сходимость составленных разностных схем, определен порядок точности схем. В результате экспериментального исследования установлено, что наиболее подходящей для практических расчетов является чисто неявная линейная разностная схема.

3. Сформулирован алгоритм численного расчета потенциалов тепло- и массо-переноса в объекте сушки и на его основе разработан пакет прикладных программ, позволяющий проводить разносторонние исследования моделируемого процесса.

4. Разработанные средства математического моделирования применены к двум реальным технологическим процессам - процессу вакуум-сублимационной сушки материала на инертных носителях при нагреве инфракрасным излучением и процессу вакуум-сублимационной сушки высокопористого материала в сверхвысокочастотном поле. Для обоих случаев разработаны подробные математические модели, разностные схемы, алгоритмы численного расчета потенциалов переноса и других характеристик процессов, программное обеспечение. 5. Сравнение результатов, полученных с помощью прикладных математических моделей, с опытными данными показало их близкое сходство, что позволяет сделать вывод об адекватности как прикладных моделей, так и лежащих в их основе методов математического моделирования.

1. Асмаев М.П., Корнилов Ю.Г. Моделирование процессов пищевых производств. - М.: Легк. и пищ. промышленность, 1982. - 176 с.

2. Бабенко В.Е., Буевич Ю.А., Шепщук Н.М. ТОХТ. - 1975. - Т. 9, № 2. -С. 274-277.

3. Байбуз В.Н. Исследование процесса сублимационной сушки гранулированных продуктов с непрерывным отделением высохших слоев // Холодильная техника. 1981. — № 10. - С. 36-38.

4. Бахвалов И.В., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.; СПб.: Лаборатория базовых знаний, 2000. - 622 с.

5. Беляев Н.М., Рядно A.A. Методы теории теплопроводности. Часть 2. М.: Высш. школа, 1982. - 327 с.

6. Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е. Явление переноса. М.: Химия, 1974. -697 с.

7. Бердоносов С.С., Горелик А.Г. Сублимация в современных химических технологиях: проблемы и достижения // Химическая промышленность. -1993.-№8.-С. 391-398.

8. Блатов И.А., Стрыгин В.В. Элементы теории сплайнов и метод конечных элементов для задач с погранслоем. Воронеж: ВГУ, 1997. - 615 с.

9. Блох А.Г., Журавлев Ю.А., Рыжков Л.Н. Теплообмен излучением. Справочник. М.: Энергоатомиздат, 1991. - 431 с.

10. Бляхман Д.А. Инертные носители как способ организации сушки в тонком слое // Материалы XXXVIII отчетной научной конференции за 1999 г. В 3 ч. / Воронеж, гос. технол. акад. - Воронеж, 2000. - Ч. 1. - С. 156.

11. Бляхман Д.А. Исследование процесса вакуум-сублимационной сушки хлебопекарных дрожжей на инертных носителях: Дисс. канд. техн. наук. Воронеж, 2001.- 198 с.

12. Богданов С.Н., Бучко И.А., Гуйго Э.И. Теоретические основы хладотехни-ки. Тепломассообмен. М.: Агропромиздат, 1986. - 320 с.

13. Бондарь А.Г. Математическое моделирование в химической технологии. -Киев: Вища школа, 1973. 280 с.

14. Борхерт Р., Юбиц В. Техника инфракрасного нагрева. M.-JL: Госэнерго-издат, 1963.-278 с.

15. Бражников A.M., Камовников Б.П. О терминологии в области сублимационной сушки // В сб.: Теплообменные процессы и аппараты химических производств. М.: МИХМ, 1976. - С. 112-116.

16. Бражников С.М. Тепло- и массообмен при испарительном замораживании в процессе гранулообразования в вакууме: Дисс. канд. техн. наук. М., 1983.

17. Брамсон М.А. Инфракрасное излучение нагретых тел. М.: Наука, 1964. -224 с.

18. Будак Б.М., Соловьева E.H., Успенский А.Б. Разностный метод со сглаживанием коэффициентов для решения задачи Стефана // ЖВМ и МФ. -1965.-Т. 5,№5.-С. 828-840.

19. Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач со свободной границей. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. - 164 с.

20. Взаимодействие теплового излучения с веществом / Сб. науч. тр. под ред. H.A. Рубцова. Новосибирск: ИТФ, 1982. - 101 с.

21. Волынец А.З. Тепло- и массообмен в технологии сублимационного обезвоживания в вакууме: Дисс. докт. техн. наук. М., 1980. - 424 с.

22. Вукалович М.П., Ривкин C.JL, Александров A.A. Таблицы теплофизиче-ских свойств воды и водяного пара. М.: Изд-во стандартов, 1969. - 408 с.

23. Гинзбург A.C. Инфракрасная техника в пищевой промышленности. М.: Пищевая промышленность, 1966. - 407 с.

24. Гинзбург A.C. Основы теории и техники сушки пищевых продуктов. М.: Пищевая промышленность, 1973. - 528 с.

25. Гинзбург A.C. Сушка пищевых продуктов. М.: Пищепромиздат, 1960. -683 с.

26. Грачев Ю.П., Тубольцев А.К., Тубольцев В.К. Моделирование и оптимизация тепло- и массообменных процессов пищевых производств. М.: Легк. и пищ. промышленность, 1984.-216 с.

27. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена // Проблема теплообмена: Сб. науч. тр. М., 1967.-С. 41-98.

28. Гуйго Э.И., Журавская Н.К., Каухчешвили Э.И. Сублимационная сушка в пищевой промышленности. М.: Пищевая промышленность, 1972. - 434 с.

29. Гуйго Э.И., Журавская Н.К., Каухчешвили Э.И. Сублимационная сушка пищевых продуктов. М.: Пищевая промышленность, 1966. - 354 с.

30. Гуйго Э.И., Камовников Б.П., Каухчешвили Э.И. Основные направления развития техники сублимационного консервирования пищевых продуктов // Холодильная техника. 1974. - № 9. - С. 6-9.

31. Гухман A.A. Применение теории подобия к исследованию процессов тепломассообмена. М.: Высшая школа, 1974. - 328 с.

32. Гухман A.A., Камовников Б.П. Сублимационная техника, состояние и перспективы развития // Холодильная техника. 1982. - № 4. - С. 4-7 с.

33. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. - 664 с.

34. Дудников Е.Г., Балакирев B.C., Кривсунов В.Н. Построение математических моделей химико-технологических объектов. М.: Энергия, 1970. -312 с.

35. Иванов JI.Д. Сублимационное обезвоживание материалов при комбинированном конвективном и СВЧ энергоподводе: Дисс. канд. техн. наук. Кишинев, 1985.

36. Ильясов С.Г., Красников В.В. Физические основы инфракрасного облучения пищевых продуктов. М.: Пищевая промышленность, 1978. - 352 с.

37. Илюхин В.В. Интенсификация процесса сублимационной сушки путем увеличения поверхности испарения // В сб.: Сублимационная сушка пищевых продуктов. М., 1967.-С. 3-13.

38. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел A.C. Теплопередача. М., 1975. -486 с.

39. Калиниченко В.И. Численные решения задач теплопроводности. Харьков: Вища школа, 1987. - 108 с.

40. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

41. Камовников Б.П., Малков A.C., Воскобойников В.А. Вакуум-сублимационная сушка пищевых продуктов: основы теории, расчет и оптимизация. -М.: Агропромиздат, 1985. 288 с.

42. Каримбердиева С. Численные методы решения дифференциально-разностных уравнений в параллелепипеде, шаре и цилиндре. Ташкент: Фан, 1983.- 112 с.

43. Коздоба JI.A. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Наука, 1975.-227 с.

44. Комладзе З.М., Гуйго Э.И., Михайлов А.И. Расчет непрерывных процессов замораживания и сублимационной сушки влажных материалов в тонком слое // Холодильная техника. 1973. - №5. - С. 44-46.

45. Кретов И.Т., Антипов С.Т., Шахов C.B. Моделирование тепло- массообме-на при вакуум-сублимационном обезвоживании термолабильных продуктов //Сб. науч. тр. Вып. 4. / Воронеж, гос. технол. акад. - Воронеж, 2000.-С. 140-144.

46. Кретов И.Т., Антипов С.Т., Шахов C.B., Бляхман Д.А. Обезвоживание на инертных носителях как способ интенсификации сублимационной сушкихлебопекарных дрожжей // Хранение и переработка сельхозсырья. 2000. -№ 10. - С. 50-51.

47. Кретов И.Т., Валуйский В.Я., Антипов С.Т., Сербулов Ю.С. Метод расчета пропускной способности аппарата с вращающимся барабаном при подаче воздуха через плотный движущийся слой зернистого продукта // Изв. вузов. Пищ. технология. 1983. - № 4. - С. 95-97.

48. Кретов И.Т., Шахов C.B., Белозерцев A.C. Способ сублимационной сушки пищевых продуктов в сверхвысокочастотном поле // Хранение и переработка сельхозсырья. 2001. - № 9. - С. 24.

49. Кретов И.Т., Шахов C.B., Бляхман Д.А. Вакуум-сублимационная сушка продуктов микробиологического происхождения на инертных носителях //Процессы, аппараты и машины пищевой технологии: Межвуз. сб. науч. тр. СПб, 2000. - С. 89-93.

50. Куцакова В.Е, Уткин Ю.В, Макеева И.А. Особенности сублимационной сушки гранулированных продуктов в барабатажных аппаратах при атмосферном давлении // Журн. прикл. химии. 1984. - т. 57, № 4. - С. 850-853.

51. Лебедев Д.П, Перельман T.JI. Тепло- и массообмен в процессах сублимации в вакууме. М.: Энергия, 1973. - 336 с.

52. Лебедев П.Д. Сушка инфракрасными лучами. М.: Госэнергоиздат, 1955. -232 с.

53. Левицкая М.А. Моделирование систем вакуум-сублимационного обезвоживания: Автореф. канд. дисс. Воронеж, 2003. - 20 с.

54. Леконт Ж. Инфракрасное излучение. М.: Физматиздат, 1958. - 584 с.

55. Лыков A.B. Теория сушки. М.: Энергия, 1968. - 471 с.

56. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. - 599 с.

57. Лыков A.B. Тепло- и массообмен в процессах сушки. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1956.-464 с.

58. Лыков A.B. Тепломассообмен. Справочник. М.: Энергия, 1978. - 480 с.

59. Лыков A.B. Явления переноса в капиллярно-пористых телах. М.: Госэнергоиздат, 1954. - 296 с.

60. Лыков A.B., Грязнов A.A. Молекулярная сушка. M.: Пищепромиздат, 1956.-271 с.

61. Лыков A.B., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М.-Л.: Гос-энергоиздат, 1963. - 536 с.

62. Лыков М.В. Сушка в химической промышленности. М.: Химия, 1970. -432 с.

63. Ляшко И.И. Численное решение задач тепло- и массопереноса в пористых средах.-М.: Наука, 1991.-261 с.

64. Магомедов Г.О., Брехов А.Ф. Техника и технология получения пищевых продуктов термопластической экструзией / Воронеж, гос. технол. академия. Воронеж, 2003. - 168 с.

65. Мазур В.А., Парцхаладзе Э.Г., Олынамовский B.C. Математическое моделирование процесса вакуум-сублимационной сушки с деструкцией гранулированных продуктов // Холодильная техника. 1994. - № 2. - С. 9-11.

66. Мазяк З.Ю. Тепло- и массоперенос в пористых телах при переменных потенциалах в среде. Львов: Изд-во Львовск. ун-та, 1979. - 120 с.

67. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. -608 с.

68. Математические модели в теории тепло- и массообмена / Сб. науч. тр. М., 1982.- 150 с.

69. Математические модели, аналитические и численные методы в теории переноса / Сб. науч. тр. под общ. ред. A.A. Самарского. Минск: ИТМО, 1982.- 173 с.

70. Махоткин O.A. Математические основы радиационного теплообмена. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988. - 155 с.

71. Миропчук Ю.А., Чепуренко В.П. Математическая модель теплопроводности пищевых продуктов // Холодильная техника. 1995. - № 5. - С. 17-19.

72. Михайлов Ю.А. Тепло- и массоперенос. Минск: Энергия, 1972. - 200 с.

73. Моисеев H.H. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1985.-488 с.

74. Остапчук H.B. Основы математического моделирования процессов пищевых производств. Киев: Выща школа, 1991. - 368 с.

75. Панов Д.Ю. Справочник по численному решению дифференциальных уравнений в частных производных. -М.: Гостехиздат, 1951.- 184 с.

76. Патент РФ № 2159404. Устройство непрерывного действия для ввода жидких продуктов в вакуумную камеру сублимационной установки / С.Т. Ан-типов, И.Т. Кретов, C.B. Шахов, Д.А. Бляхман, А.Н. Рязанов; Воронеж, гос. технол. акад. -№ 99123215.

77. Патент РФ № 2169323, МКИ F 26 В 5/06, 7/00, 5/16. Вакуум-сублимационная сушилка непрерывного действия на инертных носителях / И.Т. Кретов, C.B. Шахов, Д.А. Бляхман. Заявл. 06.05.2000, № 2000111359/06; Опубл. 2001, Бюл. № 17.

78. Патент РФ № 2197874. Способ получения сублимированных пищевых продуктов и установка для его осуществления / С.Т. Антипов, И.Т. Кретов, C.B. Шахов, В.Е. Игнатов, A.C. Белозерцев; Воронеж, гос. технол. акад. -2003.

79. Петрова Г.П. Теория теплового излучения. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.- 120 с.

80. Померанцев A.A. Курс лекций по теории тепло- массообмена. М.: Высшая школа. - 1965. - 350 с.

81. Процессы переноса энергии и массы в пористых средах с фазовыми превращениями / Сб. науч. тр. под ред. Э.Н. Зеленкевича. Минск, 1982. -179 с.

82. Пюшнер Г. Нагрев энергией сверхвысоких частот. М.: Энергия, 1968. -311 с.

83. Радиационный и комбинированный теплообмен / Сб. науч. тр. М., 1981. -101 с.

84. Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972.-471 с.

85. Рогов И.А., Некрутман C.B. Сверхвысокочастотный нагрев пищевых продуктов. М.: Агропромиздат, 1986. - 351 с.

86. Рогов И.А., Некрутман C.B. СВЧ и Ж нагрев пищевых продуктов. М.: Пищевая промышленность, 1976. - 210 с.

87. Рубцов H.A. Теплообмен излучением: Теплообмен в системах с излучающей и ослабляющей средой. М.: Наука, 1980. - 92 с.

88. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1990. - 614 с.

89. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

90. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы математической физики. -М.: Научный мир, 2000. 316 с.

91. Самарский A.A., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // ЖВМ и МФ. 1965. - Т. 5, № 5. - С. 816827.

92. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. -М.: Наука, 1978.-592 с.

93. Семёнов Г.В. Тепломассообмен в процессах низкотемпературного вакуумного обезвоживания термолабильных материалов и его аппаратурное оформление: Автореф. докт. дисс. М., 2003.

94. Сысоев В.В. Системное моделирование / Воронеж, технол. ин-т. Воронеж, 1991.-80 с.

95. Темирбаев Д.Ж., Ермекбаев К.Б. Основы теории теплопроводности и теплового излучения. Ташкент, 1980. - 83 с.

96. Теория тепломассообмена / Под ред. А.И. Леонтьева. М.: Высшая школа, 1979.-495 с.

97. Тепло- и массообмен в сушильных и термических процессах / Сб. науч. тр. под ред. Е. Пресмана. Минск: Наука и техника, 1966. - 332 с.

98. Тепло- и массообмен при фазовых и химических превращениях / Сб. науч. тр.-М., 1968.-251 с.

99. Технология системного моделирования / Е.Ф. Аврамчук, A.A. Вавилов, C.B. Емельянов и др.; Под общ. ред. C.B. Емельянова и др. М.: Машиностроение; Берлин: Техник, 1988. - 520 с.

100. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. - 736 с.

101. Фокин В.В. Тепломассообмен сублимационной сушильной установки непрерывного действия в поле СВЧ и атмосфере инертного газа /В.В. Фокин, В.В. Касаткин, В.А. Морозов, Н.Ю. Литвинюк, Н.М. Агафонова,

102. B.В. Касаткина // Хранение и переработка сельхозсырья. 2001. - № 9.1. C. 53-57.

103. Фролов В.Ф. Моделирование сушки дисперсных материалов. Л.: Химия, 1987.-208 с.

104. Цой П.В. Методы расчета задач тепломассопереноса. М.: Энергоатом-издат, 1984.-414 с.

105. Шаршов В.Н. Разработка и исследование вакуумного способа сушки казеина: Дисс. канд. техн. наук. Воронеж, 1998.

106. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. М.: Мир, 1988. -544 с.

107. Эккерт Э.Р., Дрейк P.M. Теория тепло- и массообмена. М.: Госэнергоиз-дат, 1961.-680 с.

108. Электрофизические, оптические и акустические характеристики пищевых продуктов / И.А. Рогов, В.Я. Адаменко, C.B. Некрутман и др.; Под ред И.А. Рогова. М.: Легкая и пищевая промышленность, 1981. - 288 с.

109. Ian Turner, Arun S. Mujumdar. Mathematical modeling and numerical techniques in drying technology. New York: Marcel Dekker. - 1997. - 679 p.