автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов тепло- и массопереноса при воздействии интенсивного СВЧ излучения на влагосодержащие объекты слоистой структуры

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ПЕРЕНОС ТЕПЛА, МАССЫ И ДИССИПАЦИЯ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В НАСЫЩЕННЫХ ВЛАГОЙ

КАПИЛЛЯРНО-ПОРИСТЫХ МАТЕРИАЛАХ.

ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛО- И МАССОПЕРЕНОСА В ПЛОСКОМ ВЛАГОСОДЕР-ЖАЩЕМ СЛОЕ ПРИ ЗАДАННОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛА И КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ .ТРЕТЬЕГО-РОДА.

2.1. Уравнения распространения тепла и влаги.

2.2. Тепло- и массообмен через пограничный слой.

2.3. Краевые условия.

2.4. Установившийся режим тепломассообмена и начальные усло

2.5. Формулировка начально-краевой задачи и ее безразмерный вид.

2.6. Интегральные соотношения для потоков тепла и влаги.1.

2.7. Численная схема решения начально-краевой задачи.

2.8. Тестирование вычислительной программы.

2.9. Результаты численного исследования процессов тепло- и массопереноса при заданной плотности источников тепла.

2.10. Температурное поле в пластине при отсутствии явлений массопереноса.

ГЛАВА 3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПОГЛОЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНЫ НЕОДНОРОДНЫМ СЛОЕМ ПРИ ЗАДАННОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ ПО ЕГО ГЛУБИНЕ.

3.1. Плоский неоднородный слой.

3.1.1. Характеристическая матрица плоского слоя.

3.1.2. Приближенное построение характеристической матрицы.

3.1.3. Отражательная и пропускательная способности плоского неоднородного слоя.

3.1.4. Расчет плотности мощности тепловых потерь.

3.1.5. Уравнение энергетического баланса для электромагнитного поля.

3.2. Цилиндрический неоднородный слой.

3.2.1. Цилиндрические волны в непоглощающей части пространства.

3.2.2. Характеристическая матрица цилиндрического слоя.

3.2.3. Отражательная и пропускательная способности цилиндрического неоднородного слоя.

3.2.4. Плотность мощности тепловых потерь и уравнение энергетического баланса.

3.2.5. Асимптотический вид электромагнитных характеристик цилиндрического неоднородного слоя.

3.2.6. Выбор метода расчета электромагнитных характеристик цилиндрического слоя в зависимости от параметров задачи.

Оглавление •

ГЛАВА 4. СОВМЕСТНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ПОГЛОЩЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ И ТЕПЛО-МАССОПЕРЕНОСА ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ИНТЕНСИВНОГО СВЧ ИЗЛУЧЕНИЯ НА ОБЪЕКТЫ СЛОИСТОЙ СТРУКТУРЫ.

4.1. Электромагнитное нагревание плоского неоднородного слоя при отсутствии явлений массопереноса.

4.2. Электромагнитное нагревание цилиндрического неоднородного слоя при отсутствии явлений массопереноса.

4.3. Тепло- и массоперенос при электромагнитной сушке плоского влагосодержащего слоя.

Актуальность исследования.

Одним из современных и все чаще применяемых в промышленности перспективных технологических процессов является нагревание материалов и изделий, помещенных во внешнее электромагнитное поле, внутренними источниками тепла, которые возникают за счет механизма джоулевых потерь. Технология электромагнитного нагревания (ЭМН) широко применяется в металлургии [1] (нагрев металлических слитков под пластическую деформацию, прессование и прокатку; поверхностная закалка металлов), в пищевой промышленности [8] (тепловая обработка продуктов питания), в медицине [2-3] (избирательное тепловое воздействие на инородные образования), и других областях (см. работы обзорного характера [4-5]).

В тех случаях, когда нагреваемый материал содержит влагу, процесс ЭМН сопровождается явлением массопереноса: за счет механизма диффузии влага перемещается к поверхности материала (частично в виде жидкости, частично в виде пара), и в конечном счете удаляется в окружающую среду. Материалы, в которых такое движение влаги может происходить, имеют разветвленную сеть сообщающихся друг с другом капилляров и пор; их называют капиллярно-пористыми материалами. Описанный здесь процесс, который мы будем называть электромагнитной сушкой (ЭМС), особенно широко применяют для обезвоживания пищевых продуктов и сельскохозяйственного сырья. В качестве примера здесь можно указать на работы [6-10]; более подробный перечень отечественных публикаций по этой теме за последние 10 лет можно найти в монографии [11]; из зарубежных изданий наибольшее внимание этому вопросу уделяет журнал Drying Technology (USA, New York; см., например, [12-13]). Далее, вопросы электромагнитной сушки древесины и строительных материалов рассматриваются в работах С.Г. Романовского и А.И. Расева [14-17]. Еще одно направление, в котором успеш

Введение 6 но развивается технология ЭМС, связано с широким использованием в промышленности таких материалов, как силикагель, алюмогелъ и цеолит. Эти вещества, обладающие высокой гигроскопичностью (поверхность капилляров 1 кг материала имеет общую площадь порядка 500.000 м ), находят важное применение в термодинамических циклах современных установок по созданию микроклимата в помещениях [18-19], а также широко применяются в качестве твердых поглотителей в промышленных адсорбционных установках по осушке природного газа [20]. На стадии регенерации поглощенная материалом влага должна быть быстро удалена, и здесь перспективным направлением является использование для этих целей интенсивного СВЧ излучения. Общий обзор по применению сушки электромагнитными волнами (по зарубежной терминологии - микроволновой сушки) можно найти в работах [11], [21-22].

Преимущества технологий ЭМН и ЭМС обусловлены тем, что выделение тепла, в зависимости от требований к процессу, может происходить на поверхности образца (высокочастотная поверхностная закалка металлов), равномерно по всему объему (является предпочтительным при сушке влажных материалов), или селективно (если материал неоднородный, например при гипертермии биологических тканей в медицине); кроме того, для этих технологий характерны: , высокая интенсивность нагревания и сушки, достижимость практически любых температур, возможность использования любых атмосфер и вакуума; гибкость и высокая точность управления из-за малой инерционности процесса, возможность точного дозирования энергии, наличие нескольких каналов управления; сбережение материальных, трудовых, а во многих случаях и энергетических ресурсов, повышение качества продукции и производительности труда, уменьшение вредных воздействий на окружающую среду.

Введение 7

Следует также иметь в виду, что существует ряд процессов, реализация которых без данных технологий практически невозможна.

Разумеется, что использовать в полной мере преимущества технологий ЭМН и ЭМС можно лишь при наличии математической модели, более или менее адекватно описывающей электромагнитные процессы и процессы теп-ломассопереноса в данной установке и позволяющей оптимизировать весь процесс в целом. Ясно также, что математическая модель, учитывающая все без исключения детали процесса, оказалась бы чрезмерно сложной, не поддающейся анализу, поэтому при формулировке расчетной задачи важная роль принадлежит различного рода упрощениям, характер которых, в свою очередь, определяется видом материала и частотой электромагнитного поля. Обобщая литературные данные, перечислим те из применений технологий ЭМН и ЭМС, в которых, на наш взгляд, исходные приближения сформулированы корректно, а задача математического моделирования в настоящее время успешно решена.

1. Сушка древесины и строительных материалов электромагнитным полем промышленной частоты [14-16]. Здесь тепло выделяется не в самом материале, а в специальной, пронизывающей весь его объем решетке из проволоки; нагретая проволока передает тепло материалу кондуктивным путем. При расчетах часто принимают, что электромагнитная задача и задача теп-ломассопереноса могут решаться независимо.

2. Нагрев слитков металлов в металлургической промышленности [1]. Используются частоты 50 Гц ч-10 кГц; тепло выделяется внутри материала за счет токов проводимости. Разумеется, что токами смещения можно пренебречь, поэтому электромагнитная задача решается в квазистационарном приближении. Еще одно упрощение состоит в том, что явления массопереноса отсутствуют (задачи такого типа называют электротепловыми).

3. Сушка пищевых продуктов инфракрасным (ИК) излучением. Диапазон длин волн (0,77 -г- 1000) мкм; выделение тепла происходит за счет резо

Введение о нансного поглощения электромагнитных волн молекулами вещества. Упрощение состоит в том, что излучение почти не проникает внутрь материала, а поглощается тонким поверхностным слоем; в результате при расчетах источники тепла вводят обычно не в уравнение теплопроводности, а в краевые условия [7] (задачи кондуктивного нагрева). Систематическое изложение вопросов сушки ИК лучами можно найти в работе [6].

Менее всего разработанными в теоретическом отношении нам представляются вопросы нагревания и сушки насыщенных влагой капиллярно-пористых материалов электромагнитным излучением СВЧ диапазона (единицы и десятки ГГц). При большой влажности диэлектричес свойства этих материалов близки к свойствам воды [8], поэтому выделение тепла в указанном диапазоне частот происходит за счет релаксационных потерь [48]. Сложность возникающих при этом расчетных задач обусловлена, в частности, тем, что при наличии интенсивных внутренних источников тепла и больших градиентах температуры и влагосодержания материал оказывается существенно неоднородным по глубине и нелинейным как в отношении электромагнитных свойств, так и теплофизических. Кроме того, в типичной ситуации длина волны излучения имеет тот же порядок, что и размеры материала, поэтому явления отражения и прохождения электромагнитных волн имеют сложный интерференционный характер. Анализ известных работ по данной проблеме мы предлагаем в главе 1. Исходя из выводов, которыми завершается эта глава, можно следующим образом сформулировать цель настоящего исследования.

Цель работы.

Целью работы является разработка математической модели и алгоритма численного исследования процессов тепло— и массопереноса в насыщенных влагой капиллярно—пористых материалах, подверженных воздействию интенсивного СВЧ излучения и находящихся в состоянии непрерывного тепло— и массообмена с окружающей средой.

Ситуацию, к которой относится исследование, мы поясним на примере плоского слоя (рис. В.1), нижняя поверхность которого тепло- и влагоизоли-рована, а на верхнюю поверхность, обдуваемую потоком воздуха, падает плоская гармоническая электромагнитная волна (в аналогичной постановке в диссертации рассмотрена задача и для цилиндрического слоя). Материал слоя мы предполагаем двухкомпонентным, состоящим из твердой основы и воды. Расчет проводится с учетом следующих явлений:

1. Распространение электромагнитной волны происходит в пространственно. неоднородной среде; интенсивность отраженной и прошедшей волны, а также распределение плотности электромагнитных потерь по глубине слоя в каждый момент времени однозначно определяются распределением диэлектрической проницаемости в тот же момент; в свою очередь, эффективная диэлектрическая проницаемость двухкомпонентной смеси диэлектриков является функцией температуры и влагосодержания в данной точке пространства.

Рис. В.1. Постановка задачи для плоского влажным воздухом (молярный переслоя: 1-пластина из влажного материала; .

2-поток воздуха; 3-пограничный слой; 4- нос)> а также наличием внутренних плоская электромагнитная волна. источников тепла, обусловленных поглощением электромагнитной энергии и процессами испарения жидкости (конденсации пара).

3. Перенос влаги внутри материала происходит частично в виде жидкости, частично в виде пара, и обусловлен градиентами температуры и вла2 у///////////

2. Температурное поле внутри материала определяется переносом тепла как теплопроводностью (молекулярный перенос), так и движущимся

Введение 1О госодержания (диффузионный перенос) и градиентом давления влажного воздуха внутри пор (конвективный перенос).

4. Поверхность материала находится в состоянии непрерывного тепло-и массообмена с окружающей средой, интенсивность которого не является постоянной, а зависит от температуры и влагосодержания на поверхности материала и характеристик воздушного потока за пределами пограничного слоя.

Учет перечисленных выше явлений дает возможность рассматривать процессы распространения тепла, влаги и диссипации электромагнитной энергии в их взаимосвязи. Таким образом, исходные модельные представления настоящей работы позволяют осуществить программу совместного исследования электромагнитных процессов и процессов тепло- и массоперено-са.

Входные данные задачи, которые мы учитываем при расчетах, суть следующие: интенсивность и частота электромагнитного излучения; диэлектрические проницаемости полупространств по обе стороны от слоя; характеристики воздушного потока за пределами пограничного слоя: его температура, скорость, влажность и давление; размеры пластины: толщина и длина в направлении потока воздуха; совокупность теплофизических характеристик двухкомпонентного материала, являющихся известными функциями температуры и влагосодержания (то есть процентного соотношения между компонентами); диэлектрическая проницаемость твердой основы как известная функция частоты и температуры; набор данных, позволяющих корректно сформулировать начальные условия и условия окончаний процесса сушки.

Выходными данными задачи являются: распределение температуры, влагосодержания и плотности источников тепла по толщине пластины в различные моменты времени; текущие энергетические электромагнитные коэффициенты отражения, пропускания и поглощения; количество электромагнитной энергии, которое к данному моменту времени было подведено к пла

Введение 11 стине падающей волной, отведено от ее границ отраженной и прошедшей волнами, а также поглощено материалом пластины за счет механизма диэлектрических потерь; в свою очередь, для поглощенной энергии рассчитывается доля, которая пошла на испарение воды, на нагревание материала и на потери конвективного теплообмена с воздушным потоком; другие локальные и интегральные характеристики процесса.

Для текущего контроля вычислительной процедуры осуществляется периодическая проверка интегральных соотношений, вытекающих из законов сохранения вещества и энергии (тепловой и электромагнитной).

Основной математический аппарат, который привлекается для совместного решения задач тепломассообмена, тепломассопереноса и электродинамики, включает следующие разделы: теория пограничного слоя [63], уравнения распространения тепла и влаги в капиллярно-пористых материалах A.B. Лыкова [23], метод характеристических матриц [55].

Структура диссертации.

В первой главе, как уже говорилось, проводится анализ литературы по избранной теме, и на этой основе намечается направление диссертационного исследования.

Во второй главе решается задача о расчете полей температуры и вла-госодержания в пластине рис. В.1 при условии, что плотность внутренних источников тепла является заданной. Подробно исследованы два частных случая, когда внутренних источников тепла нет (а) (широко применяемая на практике так называемая конвективная сушка нагретым воздухом), и когда их распределение по толщине материала является постоянным (б). Результаты пункта (а) используются для тестирования вычислительной программы, для сравнения энергетических затрат при двух способах сушки (нагретым воздухом и электромагнитными волнами); кроме того, полученные в этом пункте результаты представляют собой определенный вклад в теорию кон

Введение 12 вективной сушки. Случай (б) позволяет исследовать в качественном виде основные закономерности процесса сушки электромагнитными волнами; его результаты могут быть использованы также для инженерных оценок в тех случаях, когда детальный анализ процесса поглощения электромагнитной энергии провести затруднительно.

В третьей главе методом характеристических матриц проводится расчет плотности мощности электромагнитных потерь в неоднородном плоском и цилиндрическом слое при условии, что распределение диэлектрической проницаемости по его глубине (которое, в свою очередь, определяется мгновенным распределением температуры и влагосодержания) является известным. Рассчитывается также отражательная' и пропускательная способности слоя, выводится уравнение энергетического баланса для электромагнитного поля, которое используется в работе для текущего контроля вычислительной процедуры. Все расчеты, относящиеся к цилиндрическому слою, являются оригинальными.

В четвертой главе, на основании проведенного в предыдущих двух главах раздельного рассмотрения электромагнитных процессов и процессов тепломассопереноса, проводится уже совместное исследование этих явлений при прохождении электромагнитной волны сквозь неоднородный влагосо-держащий слой. В разделах 4.1 и 4.2 исследуется процесс электромагнитного нагревания слоя с характеристиками воды (важный для практики случай), а в разделе 4.3 - процесс электромагнитной сушки плоского слоя с характеристиками влажного цеолита. Этот последний раздел, в определенном смысле, является основным в данной работе, поскольку именно здесь в полной мере нами были реализованы те общие и зачастую оригинальные идеи математического и численного моделирования, которые могут оказаться полезными при исследовании задач данного типа.

В заключении кратко сформулированы основные результаты диссертации и выводы из проведенных исследований.

Введение - 13

В приложении помещены две типовые вычислительные программы (одна - для расчета полей температуры и влагосодержания в пластине рис. В. 1 при заданной плотности источников тепла, и другая — для расчета плотности мощности электромагнитных потерь и температурного поля в этой пластине при отсутствии явлений массопереноса), сочетанием и различными вариантами которых были проведены все численные расчеты.

Научная новизна результатов работы.

1. Впервые в практике вычислений применено краевое условие массо-обмена на основе закона испарения Дальтона (нелинейное краевое условие третьего рода). Являясь наиболее общим, оно позволяет исследовать процесс конвективной и электромагнитной сушки в различных нестационарных режимах, когда интенсивность испарения влаги с поверхности материала непрерывно изменяется во времени; кроме того, при этом появляется возможность учесть влияние на массообмен таких характеристик воздуха, как его температура, влажность и скорость движения; учитывается также длина образца в направлении движения воздушного потока (разделы 2.2-2.3). Краевое условие Дальтона позволило впервые осуществить численное исследование переходных процессов в начальном периоде конвективной сушки, а также предложить простой численный алгоритм для приближенного расчета продолжительности этого вида сушки и ее энергетической эффективности (разделы 2.4 и 2.8).

2. Предложена концепция корректных начальных условий (формулы (2.33)), включая оригинальную численную методику расчета температуры мокрого термометра (раздел 2.4). Эти начальные условия упрощают вычислительную процедуру в задачах конвективной сушки и являются уместными там, где переходные процессы, связанные с первым непродолжительным периодом сушки, можно не принимать во внимание. Если же речь идет о сушке электромагнитными волнами (раздел 4.3), то, как впервые показано в данной

Введение 14 работе, принятие начальных условий в виде (2.33) является единственно возможным способом для корректного проведения вычислений.

3. Расчет плотности мощности электромагнитных потерь произведен с учетом пространственной неоднородности среды; диссипация энергии волны происходит локально, в соответствии со значением эффективной диэлектрической проницаемости двухкомпонентной смеси (твердой основы и воды), зависящей от текущей температуры и влагосодержания в данной точке пространства; плотность электромагнитных потерь зависит также и от доли отраженной и прошедшей энергии, поскольку заданной считается интенсивность падающей волны.

4. Исследованы интерференционные явления, которые сопровождают процесс прохождения интенсивного СВЧ излучения сквозь плоский и цилиндрический слой и происходят в условиях, когда материал слоя, ввиду зависимости его диэлектрической проницаемости от температуры, влагосодержания и в конечном итоге от напряженности поля, оказывается существенно неоднородным по глубине и нелинейным (разделы 4.1 и 4.2).

5. Метод характеристических матриц,' позволяющий рассматривать задачи, связанные с прохождением плоских электромагнитных волн сквозь плоские слоистые среды [55], распространен на случай цилиндрических слоистых сред, в которых распространяются цилиндрические волны ТЕМ типа. Для характеристической матрицы цилиндрического неоднородного слоя предложено четыре различных представления, требующие различного объема вычислений: точное, приближенное, асимптотическое, и представление, где отличие от матрицы плоского слоя является уже незначительным. На основе численного исследования поведения функций Ханкеля от комплексного аргумента даны рекомендации по выбору вида характеристической матрицы в зависимости от параметров задачи (раздел 3.2).

6. На основе неявной симметричной схемы Кранка-Николсона с шеститочечным шаблоном разработан оригинальный численный алгоритм, ко

Введение 15 торый позволяет осуществить совместное исследование электромагнитных I процессов и процессов тепломассопереноса и может быть использован для решения широкого класса задач, связанных с распространением тепла и влаги в капиллярно-пористых материалах при наличии внутренних источников тепла и краевых условиях общего вида. Алгоритм включает процедуру проверки корректности вычислений с помощью законов сохранения энергии и вещества; проведено также исследование устойчивости этого алгоритма в зависимости от параметров задачи (раздел 2.7).

Достоверность результатов исследования.

1. Рассчитанные в разделе 2.4 температура мокрого термометра Тм и интенсивность массообмена в режиме постоянной скорости сушки у'0 как функции характеристик воздуха и длины пластины в направлении воздушного потока (рис. 2.2, табл. 2.1) находятся в хорошем согласии с опытными данными [23, 71] и результатами расчетов других авторов [36].

2. Проведенное в разделе 2.8 тестирование вычислительной программы показало, что длительность переходного процесса в первом периоде конвективной сушки и характер изменения температуры и влагосодержания по глубине материала за этот период (рис. 2.7) находятся в качественном согласии с экспериментом [23], а вид полей температуры и влагосодержания во втором периоде сушки (установившийся режим) хорошо согласуется с аналитическим решением (2.21).

3. В лучших отечественных и зарубежных конвективных сушильных установках затраты тепла на удаление из материала 1 кг воды (энергоемкость процесса конвективной сушки) составляют около 15 МДж/кг [11, 80, 81], а при СВЧ-сушке соответствующие затраты электромагнитной энергии примерно в четыре раза меньше [11]. Численные эксперименты разделов 2.9 и 4.3 находятся в хорошем согласии с этими* опытными фактами.

Введение

4. При нагревании электромагнитными волнами плоского и цилиндрического слоя с характеристиками воды интерференционные явления наблюдались именно в ситуации, когда оптическая толщина слоя, соответствующая средней по его глубине диэлектрической проницаемости, не превосходила длину волны излучения в вакууме (рис. 4.7 и 4.11).

5. Из опыта известно [7, 23], что при обычной конвективной сушке нагретым воздухом движение влаги к поверхности материала происходит за счет градиента влагосодержания, а поток влаги за счет градиента температуры направлен в противоположную сторону и препятствует сушке; при сушке электромагнитными волнами направления этих двух потоков (а соответственно и градиентов температуры и влагосодержания) изменяются на противоположные. Именно такие «обратные» распределения температуры и влагог содержания мы и наблюдаем на рис. 4.15 и 4.16.

6. Достоверность оригинальных теоретических результатов по расчету электромагнитных характеристик цилиндрического неоднородного слоя (раздел 3.2) подтверждается тем, что в том случае, когда для аргументов функций Ханкеля выполняется условие Ы = I копг I »1, формулы для энергетических коэффициентов отражения, пропускания и плотности мощности тепловых потерь переходят в аналогичные формулы для плоского слоя (пункт 3.2.5).

7. Законы сохранения электромагнитной энергии, тепловой энергии и вещества, проверкой которых сопровождалась работа всех численных процедур, выполнялись с точностью не хуже 96% для всех использованных вычислительных программ.

Практическое значение результатов диссертации.

Созданный в результате теоретических исследований пакет вычислительных программ позволяет детально исследовать процессы электромагнитного нагревания, электромагнитной сушки и конвективной сушки пло

Введение 1' ских и цилиндрических влагосодержащих структур. Численные эксперименты с применением этих программ могут быть использованы на практике для оптимизации соответствующих технологических процессов.

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы включались в научные отчеты по международному проекту «Десорбция» (Россия, Волгоград, ВолГУ - Deutschland, Fachhochschule Köln), а также были представлены на VII Международной конференции "Математика, компьютер, образование" (Россия, Дубна, январь 2000 г.) и на I Международной научно-технической конференции "Физика и технические приложения волновых процессов" (Россия, Самара, сентябрь 2001 г.).

Защищаемые результаты работы.

На защиту выносятся: математическая модель для совместного исследования процессов распространения тепла, влаги и диссипации энергии электромагнитных волн в насыщенных влагой капиллярно-пористых материалах слоистой структуры, находящихся в состоянии тепло— и массообмена с окружающей средой и подверженных воздействию интенсивного СВЧ излучения; численная схема и созданный на ее основе пакет вычислительных программ для расчета полей влагосодержапия, температуры и пло:. . . тромагнитных потерь в плоском и цилиндрическом неоднородном слое при заданной интенсивности падающей электромагнитной волны и нелинейных краевых условиях массообмена третьего рода; результаты численного исследования процессов электромагнитного нагревания и электромагнитной сушки плоского и цилиндрического слоя интенсивным СВЧ излучением, когда распространение волны сквозь слой сопровождается интерференционными явлениями, а материал слоя, ввиду за

Введение ' 18 висимости его эффективной диэлектрической проницаемости от температуры, влагосодержания и в конечном итоге от напряженности поля, оказывается существенно неоднородным по глубине и нелинейным.

Выводы из проведенных исследований.

По результатам численного исследования процессов электромагнитного нагревания, электромагнитной сушки и конвективной сушки могут быть сделаны следующие выводы.

1. Градиент температурного поля вблизи поверхности материала в начальном переходном периоде конвективной сушки нагретым воздухом в десять и более раз, в зависимости от условий сушки, превышает значение градиента в установившемся режиме. Этот факт следует учитывать на практике, поскольку перепад температур вызывает в материале механические напряжения [44], которые пропорциональны градиенту температуры и могут привести к разрушению образца.

2. Значительное отражение электромагнитных волн (на уровне (30-=-60)%) во всех исследованных режимах делает очевидным необходимость более рационального подвода СВЧ энергии к плоскому и цилиндриче

Заключение 154

В.Д. Захарченко, профессора кафедры радиофизики, кандидата технических наук;

В.П. Заярного, доцента, кандидата физ.-мат. наук, зав. кафедрой прикладной физики;

В.В. Подгорного, доцента, кандидата технических наук; Л.Е. Шашлову, ст. преподавателя кафедры прикладной физики.

Вычислительная программа для расчета полей температуры и влагосодержания в плоском слое при заданной плотности внутренних источников тепла

Входные данные программы имеют следующие идентификаторы: А, с, ро, ат, 5, s, UKp, Uо, L, d, Тс, Тл, V, (р, W - соответственно Lam, С, Ro, Am, Del, Eps, Ukp, U00, L, D, Tc, TOO, V, Fi, W. Символом Q в программе обозначено количество тепла в джоулях, израсходованного на высушивание 1 кг исходного влажного материала (формула (2.24)). Программа на языке Паскаль имеет следующий вид:

PROGRAM Syschka;

Конвективная сушка пластины при наличии внутренних источников тепла с заданной объемной плотностью W=W(x) и граничных условиях третьего рода} CONST { Размеры пластины:} L=0.2; D=0.02;

Характеристики материала (кварцевый песок):} Lam=1.28; С=1.56ЕЗ; Ro=1.48E3; Am=6.65E-7; Del=1.8E-3; Eps=0.1; Ukp=0.05; U00=0.2; Ukpo=Ukp/U00; A=Lam/(C*Ro); Lu=Am/A; {Теплота парообразования воды:} R=2.256E6;

Максимальный размер массива:} Nmax=100;

Температура атмосферы:} Т00=20.0;

TYPE mas0Nmax = ARRAY [O.Nmax] OF REAL ; VAR n,j,i,m,dm : INTEGER;

Тс, V, Fi, Tm, jO,

Ki, Kims, Pn, Ко, Bi, Kimd, Tco, dx, dt, Rl, R2, x,

PI, P2, Ql, Q2, GO, CI, C2, СЗ, C4,

G, kpl, mul, Cj, Ucp,

H, ti, SU, SP, SUM, Ct, W, Fo, Q, tkp, Cq, alfa : REAL;

TO, UO, WO, F, U, T, TC, T0 : mas0Nmax;

FUNCTION POm (X:REAL): REAL ; { Использует глобальную величину Tm } YAR Y : REAL ; BEGIN { Тело POm: } Y := Tm*(l+X);

POm := 6.025E-3 *EXP( 17.25 * Y/(23 8+Y)) END { POm } ;

I********** Расчет плотности ист. тепла

PROCEDURE Nagrev (VAR Y : mas0Nmax); { В общем случае используются глобальные массивы T0[j] и U0[j]; в данном случае (W=const) используются только глобальные переменные n : INTEGER;

D, Lam, Tm, W : REAL } VAR j : INTEGER ; Wo : REAL ; BEGIN { Тело Nagrev: } Wo:=W*D*D/Lam/Tm; FOR j :=0 TO n DO

Y[j]:=Wo

END { Nagrev } ;

I************** Процедура прогонки

PROCEDURE Progonka (VARY : mas0Nmax) ; { Использует глобальные переменные n : INTEGER ; kpl, mul, С : REAL ; F : mas0Nmax.

Решается трехдиагональная система алгебраических уравнений частного вида (коэффициенты Aj, Bj и Cj не зависят от j ): Y[0]=kp 1 * Y[ 1 ]+mul ; Aj*Y[j-l]-Cj*Y[j]+Bj*Y[j+l]=-F[j]; j=l,2,.,(n-l); AjoO,BjoO; Y[n]=kp2 * Y[n-1 ] +mu2 } CONST Aj=1.0; Bj=1.0; kp2=1.0; mu2=0.0 ; VAR ALF, BET : mas0Nmax ; j : INTEGER ; r : REAL ;

BEGIN { Тело Progonka: } ALF[l]:=kpl; BET[l]:=mul; FOR j:=l TO n-1 DO BEGIN r:=Cj-Aj*ALF[j]; ALF[j+l]:=Bj/r; BET0+l]:=(Aj*BET0]+F0])/r END{j};

Y[n]:=(mu2+kp2*BET[n])/(l-kp2*ALF[n]) ; FOR j:=n DOWNTO 1 DO Y[j-l]:=ALF[j]*Y[j]+BET[j] END { Progonka } ;

PROCEDURE MTerm (Qc,fi,vc,10 :REAL; VAR Qm,jm :REAL); CONST Calf=17.25; Cbet=238.0; VAR CfiQc : REAL;

PROCEDURE Dichotom (a,b:REAL; VAR x:REAL) ; {b>a!} CONST Ndicho=50; eps=lE-6; VAR sgnFa, k : INTEGER;

Fx : REAL;

FUNCTION Sgn (arg:REAL):INTEGER; BEGIN

IF arg>0 THEN Sgn:=l ELSE IF arg<0 THEN Sgn:=-1 ELSE Sgn:=0

END {Sgn} ;

FUNCTION F (Q:REAL): REAL ; Использует глобальные величины Calf,Cbet,CfIQc }

BEGIN

F:=Q+9.0375*EXP(Calf*Q/(Cbet+Q))-CfiQc END { F } ; BEGIN { Тело Dichotom } sgnFa:=Sgn(F(a)); IF sgnFa=Sgn(F(b)) THEN BEGIN

WRITELN ('Метод дихотомии неприменим:'); WRITELN ('знаки функ. одинаковы на концах огр.'); READLN END {IF} ; FORk:=l TONdichoDO BEGIN x:=(a+b)/2; Fx:=F(x);

IF (b-a < eps) OR (ABS(Fx) < eps) THEN EXIT; IF Sgn(Fx)=sgnFa THEN a:=x ELSE b:=x; END { k } ;

WRITELN ('Требуемая точность eps-,eps, '3aNdicho-,Ndicho, 'итераций не достигнута');

READLN END { Dichotom } ; BEGIN { Тело MTerm } CfiQc:=Qc+0.01*fi*9.0375*EXP(Calf|!Qc/(Cbet+Qc)); Dichotom (0, Qc, Qm); { Qc > 0 ! } jm:=1.693E-6*(Qc-Qm)*SQRT(vc/10); END { MTerm } ; ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА ***************}

BEGIN { Тело основной программы: } WRITELN ('Тс, V, Fi, n, W =?'); { n<=Nmax=100; Tc>=T00=20 } READLN (Тс, V, Fi, n, W); Обращение к процедуре: рассчитываются Tm и j0 } MTerm (Тс, Fi, V, L, Tm, jO) ; WRITELN ('Tc=',Tc:10:5,' Tm=',Tm:10:5,' j0=',j0:10:5); READLN; Рассчитываются безразмерные постоянные:} Ki:=D*R*jO/(Tm*Lam); Kims:=j0*D/(Ro*Am*U00); Pn:=Del*Tm/U00; Ko:=R*U00/(C*Tm) ; Bi:=3.82*SQRT(V/L)*D/Lam; Kimd:=2.54E-3*SQRT(V/L)*D/(Am*RoJ|!U00); Tco:=(Tc-Tm)/Tm ; Вычисляется вспомогательная постоянная для пересчета безразмерного времени в часы: } Ct:=D*D/A/3600; Вычисляется вспомогательная постоянная для расчета количества тепла Q (случай W=0): } Cq:=22.117 * SQRT(V/L)* (Tc-T00)/(Ro*(U00+1 )* D); { Задается шаг по координате и шаг по времени: } dx:=l/n; dt:=dx/20; Задается начальное распределение темпер, и влагосод.: } R1:=Eps * Ki/2; R2:=- (Kims+Eps * Ki * Pn)/2;

WRITELN ('Начальное распределение влагосод., безразм. температуры'); WRITELN ('и температуры в град. Цельсия:'); FC)Rj:=0 ТО n DO BEGIN x:=j*dx;

T0[j]:=Rl*(SQR(x-l)-l); UO [j ] :=R2 * S QR(x-1)+1 ; T0C[j]:=Tm*(l+T0D]);

WRITELN (' j-,j:3,' x=',x: 10:5,'U0[i]=',U0[j]: 10:5, ' T0jj]=',T0[j]: 10:5,' T0C[j]-,T0C|j]:10:5 ) END {j}; READLN; Для случая W=0 вычисляется теоретическое безразмерное время сушки и число шагов по времени к моменту окончания работы программы: } Fo :=( 1 +R2/3-Ukpo)/(Kims*Lu); m:=ROUND(Fo/dt);

Начало теоретического исследования процесса при W=0} IF W=0 THEN BEGIN tkp:=Fo*Ct; { Время сушки в часах } Q:=tkp*3600*Cq; { Количество тепла в Дж/кг } WRITELN ('Теоретические результаты для случая W=0:'); WRITELN ('Параметры сушки:');

WRITELN ('TOO-,ТОО:5:2,' Тс=',Тс:5:2,' Tm=',Tm:5:2,'j0=',j0:10:5); WRITELN ('Общее число шагов по времени m=',m:5); WRITELN ('Безразмерное время сушки Fo=',Fo: 10:5); WRITELN ('Время сушки в часах tkp-',tkp,' часов'); WRITELN ('Количество тепла Q-,Q: 10:5,' Дж/кг'); READLN; WRITELN;

WRITELN ('Для завершения работы введите 0; для численного '); WRITELN ('исследования процесса сушки при W=0 введите Г); READLN (alfa); IF alfa=0 THEN EXIT {Конец теоретического исследования сушки при W-0} END {IF} ;

Начало численного исследования сушки при W=0 или при W>0} WRITELN (Для случая W=0 ожидаемое общее число шагов по времени m=',m:5);

WRITELN (Результаты будут выводиться через каждые dm=? шагов'); WRITELN ('Введите dm (dm=l,10,.,m)!'); READLN (dm); Рассчитываются вспомогательные постоянные для записи коэффициентов трехдиагональных систем уравнений:} PI :=((dx*dx)/(dt*Lu)+l)*2; Р2:=Р1-4; Q1 :=(dx*dx/dt+l)*2; Q2:=Ql-4;

G0:=Kimd*Fi*P0m(Tco)/100; Cl:=l/(l+dx*Bi); C2:=Cl*dx*Bi*Tco; C3 :=C 1 *dx*(l-Eps)*Ko*Lu; C4:=2*dx*dxs,!Eps*Ko/dt; Вычисляется вспомогательная постоянная для проверки закона сохранения вещества: } H:=Lu*Kimd*dt/2; { Начало цикла по времени: } i:=l ; SP:=0 ; REPEAT

Обращение к процедуре: рассчитывается плотность источников тепла } Nagrev (WO ); Вычисляются коэффициенты системы уравнений для U: } G:=Kimd*POm(TO[0])-GO; mul :=Рп* (ТО [ 1 ]-ТО [0])-dx* G; kpl:=l;Cj:=Pl; FOR j:=l TO n-1 DO F0]:=UO[)-l]+P2*UO[j]+UO[j+l]+ 2*Pn*(T0[j-l]-2*T0[j]+T0|j+l]); { Обращение к процедуре: решается система для U } Progonka ( U ) ; Вычисляются коэффициенты системы уравнений для Т: } kpl:=Cl;mul:=C2-C3*G;Cj:=Ql; FOR j:=l ТО n-1 DO F[j]:=T0[j-l]+Q2*T0[j]+T0[j+l]+

C4*(U[j]-U0|j])+2*dx*dx*W0[j]; { Обращение к процедуре: решается система для Т } Progonka ( Т) ; Вычисляется среднее по толщине влагосодержание: } Ucp:=0;

FOR j :=0 TOnDO Ucp:=Ucp+U[j] ; Ucp:=Ucp/(n+l ); Начало вычислений для проверки закона сохранения вещества. Рассчитывается сумма SU по верхней границе прямоугольника:} SU:=0;

FORj:=l ТО n-1 DO

SU:=SU+U[)]; SU:=SU*2+U[0]+U[n]; Рассчитывается сумма SP по левой границе прямоугольника:} SP:=SP+POm(T0[O])+P0m(T[0]); Проверяется соотношение, имеющее смысл закона сохранения вещества. Величина SUM должна равняться единице :} SUM:=dx*SU/2+H*SP-R2/3-Lu*G0*i*dt; Конец вычислений для проверки закона сохранения вещества} { Вычисляется текущее безразмерное время - переменная Фурье: } Fo:=dt*i; Вычисляется текущее время в часах: } ti:=Fo*Ct; Вывод результатов на экран:} IF i MOD dm=0 THEN

BEGIN

WRITELN ('i=\i:5; Fo=',Fo:10:5,' ti=',ti: 10:5,'часов',

•SUM=',SUM: 10:5); FOR j:=0 TO n DO BEGIN Безразм. температура переводится в град. Цельсия }

TC[j]:=Tm*(l+T[j]);

WRITELN 0=^:3,' U|j]=',UG].T0:6, T[j]-,T|j]:10:6,' TCО]~,ТС[j]: 10:6)

END {j }; READLN END {IF } ; Подготовка к вычислениям на новом слое по времени: } i:=i+l ;

FOR j:=0 TOnDO BEGIN U0[j]:=U[j]; T0[j]:=T[j] ; END {j}; . UNTIL Ucp < Ukpo ; { Конец цикла по времени } { Вывод окончательных результатов на экран: } IF W=0 THEN Вывод результатов для случая W=0: } BEGIN Расчет количества тепла Q } Q:=ti*3600*Cq;

WRITELN ('Численные результаты для случая W=0:');

WRITELN ('Параметры сушки:');

WRITELN ('Т00=',Т00:5:2/ Тс=',Тс:5:2/ Tm=',Tm:5:2,

•j0=',j0:10:5); WRITELN ('Общее число шагов по времени i-,i:5); WRITELN ('Безразмерное время сушки Fo=',Fo:I0:5); WRITELN ('Время с)оики в часах tkp-,ti: 10:5,'часов'); WRITELN ('Количество тепла Q=',Q:10:5,'Дж/кг'); WRITELN ('Проверка закона сохр. вещества: SUM-,SUM: 10:5); READLN END ELSE Вывод результатов для случая W>0: } BEGIN Расчет количества тепла Q }

Q:=W*ti*3600/(Ro*(U00+l));

WRITELN;

WRITELN ('Численные результаты для случая W>0:'); WRITELN ('Температура воздуха Тс-,Тс:5:2); WRITELN ('Об. плотность ист. тепла W-,W:10:4,' ватт/куб.м'); WRITELN ('Общее число шагов по времени i- ,i:5); WRITELN ('Безразмерное время сушки Fo-,Fo:10:5); WRITELN ('Время сушки в часах tKp- ,ti:10:5,' часов'); WRITELN ('Количество тепла Q=',Q:10:5,* Дж/кг');

1. Немков B.C., Демидович В.Б. Теория и расчет устройств индукционного нагрева. JL, Энергоатомиздат, 1988, 280 с.

2. Шульман З.П., Слеиян Г.Я. Управление диссипацией СВЧ-полей с помощью внешних полупрозрачных экранов при гипертермии. // Инженерно-физический журнал, 1998, т. 71, № 1, с. 120-123.

3. Шульман З.П., Слепян Г.Я., Попкова Т.Л., Маханек A.A. Гипертермия цилиндрической биоткани микроволновым электромагнитным излучением. // Инженерно-физический журнал, 1998, т. 71, № 2, с. 268-272.

4. Семенов A.C., Байбурин В.Б. СВЧ-энергия и ее применение. Особенности, оборудование, технологические процессы. Саратов, изд. Саратовского университета, 1999, 116 с.

5. Hamid M. Basik principles of microwave powe heating. // Heat Transfer Eng., 1992, v. 13, №4, p. 73-84.

6. Ильясов С.Г., Красников B.B. Физические основы инфракрасного облучения пищевых продуктов. М., Пищевая промышленность, 1978, 360 с.

7. Гинзбург A.C. Основы теории и техники сушки пищевых продуктов. М., Пищевая промышленность, 1973, 528 с.

8. Рогов И.А., Некрутман C.B. Сверхвысокочастотный нагрев пищевых продуктов. М., Агропромиздат, 1986, 351 с.

9. Лоенко В.В. СВЧ-сушка моркови и растительного сырья. // Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. М., 1999.

10. Laguerre J.C., Tauzin V., Grenier Е. Hot air and microwave drying of onions: A comparative study. //Drying Technology, 1999, v. 17, № 7-8, p. 1471-1480.

11. Beke J., Mujumdar A.S., Giroux M. Some fundamental attributes of corn and potato drying in microwave fields. // Drying Technology, 1997, v.15, № 2, p. 539-554.

12. Романовский С.Г. Конвективный и комбинированный тепло- и массооб-мен при термической обработке капиллярно-пористых материалов. Минск, Наука и техника, 1977, 160 с.

13. Романовский С.Г. Процессы термической обработки влажных материалов. М., Энергия, 1976, 328 с.

14. Романовский С.Г. Процессы термической обработки и сушки в электромагнитных установках. Минск, Наука и техника, 1969,-348 с.

15. Расев А.И. Сушка древесины. М., изд. Московского госуд. университета леса, 2000, 228 с.

16. Нестеренко A.B. Основы термодинамических расчетов вентиляции и кондиционирования воздуха. М., Высшая школа, 1971, 460 с.

17. Röhrlich Dagmar. Kühlen mit Sonne. //Energ. Spektrum,, 1995, v.10, № 11, s, 29-32.

18. Коротаев Ю.П., Ширковский А.И. Добыча, транспорт и подземное хранение газа. М., Недра, 1984, 487 с.

19. Drying technology. Special issue on drying and dewatering in energy fields. // Drying Technology, 1999, v. 17, №3, p. 379-633.

20. Poulin A., Dostie M., Proulx P., Kendall J. Convective heat and mass transfer and evolution of the moisture distribution in combined convection and radio frequency drying. // Drying Technology, 1997, v. 15, № 6-8, p. 1893-1907.

21. Лыков A.B. Теория сушки. M.-JL, Энергия, 1968,471 с.1. Литература 169

22. Лыков A.B. Теория теплопроводности. М., Высшая школа, 1967, 599 с.

23. Лыков A.B. Теоретические основы строительной теплофизики. Минск, Наука и техника, 1961, 519 с.

24. Лыков A.B. Тепломассообмен: Справочник. М., Энергия, 1978, 480 с.

25. Лыков A.B., Михайлов Ю.А. Теория тепло- и массопереноса. М.-Л., Гос-энергоиздат, 1963, 535 с.

26. Лыков A.B., Михайлов Ю.А. Теория переноса энергии и вещества. Минск, изд. АН БССР, 1959,330 с.

27. Гамаюнов Н.И. Исследование фазового состава переносимой влаги в процессе сушки пористых материалов. // Промышленная теплотехника, 1996, т. 18, №5, с. 88-94.

28. Гамаюнов Н.И., Горохов М.М. Исследование механизма конвективной сушки коллоидных капиллярно-пористых тел с помощью радиоактивных индикаторов. // Промышленная теплотехника, 1987, т.9, №3, с. 60-64.

29. Решетин О.Л., Орлов С.Ю. Теория переноса тепла и влаги в капиллярно-пористом теле. // Журнал технической физики, 1998, т. 68, № 2, с. 140-142.

30. Харин В.М., Агафонов Г.В. Теория гидро- и гигротермических процессов. Внешний влаго- и теплообмен капиллярнопористого тела с газопаровой средой. // Математическое моделирование технологических систем, 1999, №3, с. 78-82.

31. Хейфец Л.И., Неймарк A.B. Многофазные процессы в пористых средах. М., Химия, 1982, 320 с.

32. Шпаковский Р.П. К определению температуры мокрого термометра. // Теоретические основы химической технологии, 1995, т. 29, № 3, с. 330332.

33. Тепло- и массообмен. Теплотехнический эксперимент: Справочник. / Под общей ред. В.А. Григорьева и В.М. Зорина. М., Энергоиздат, 1982, 512 с.

34. Никитенко Н.И., Снежкин Ю.Ф., Сороковая H.H. Математическая модель и метод расчета тепломассопереноса и фазовых превращений в процессах сушки. // Промышленная теплотехника, 2001, т. 23, №3, с. 65-73.

35. Кокодий Н.Г., Холодов В.И. Тепловые процессы в капиллярно-пористых телах с внутренними и внешними источниками тепла. // Инженерно-физический журнал, 2000, т. 73, № 6, с. 1145-1151.

36. Лыков М.В. Сушка в химической промышленности. М., Химия, 1970, 429 с.

37. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнейия математической физики. М., Наука, 1966, 724 с.

38. Афанасьев A.M., Шашлова Л.Е. Расчет параметров конвективной сушки влажных материалов по заданным характеристикам внешней среды. 7/ Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. 1999, вып. 4, с. 147-151.

39. Афанасьев A.M., Шашлова Л.Е. Граничные условия тепло- и массообмена при сушке в потоке нагретого воздуха. / Тезисы VII международной конференции "Математика. Компьютер. Образование". Дубна, 24-29 января 2000 г., с. 26.I

40. Афанасьев A.M., Шашлова Л.Е. Выбор оптимального режима при конвективной сушке влажных материалов. // Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. 1999, вып. 4, с. 140-146.1. Литература 171

41. Афанасьев A.M., Шашлова JI.E. Компьютерное моделирование внутренних механических напряжений при конвективной сушке капиллярно-пористых тел. / Тезисы VII международной конференции "Математика. Компьютер. Образование". Дубна, 24-29 января 2000 г., с. 27.

42. Афанасьев A.M. Численное исследование процесса конвективной сушки при наличии внутренних источников тепла и нелинейных краевых условиях третьего рода. // Вестник ВолГУ. Серия: Математика. Физика. 2000, вып. 5, с. 151-160.

43. Никитина JI.M. Термодинамические параметры и коэффициенты массо-переноса во влажных материалах. М., Энергия, 1968, 500 с.

44. Р. Кинг, Г. Смит. Антенны в материальных средах. В 2-х т. М., Мир, 1984, т. 1,416 с.

45. Эме Ф. Диэлектрические измерения. М., Химия, 1967, 223 с.

46. Каценеленбаум Б.З. Высокочастотная электродинамика. М., Наука, 1966, 240 с.

47. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М., Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1979, 384 с.

48. Фейнберг E.JI. Распространение радиоволн вдоль земной поверхности. М., Наука, Физматлит, 1999, 496 с.

49. М. Борн, Э. Вольф. Основы оптики. М., Наука, 1970, 856 с.

50. Афанасьев A.M., Подгорный В.В., Сипливый Б.Н., Яцышен В.В. Математическое моделирование взаимодействия СВЧ излучения с влагосодержа-щими плоскими слоистыми средами. Часть 1. // ИВУЗ, Электромеханика, 2001, №2, с. 14-21.

51. Шервуд Т., Пикфорд Р., Уилки И. Массопередача. М., Химия, 1982, 695 с.

52. Берд Р., Стьюарт В., Лайтфут Е. Явления переноса. М., Химия, 1974, 688 с.

53. Фельдман Н.Я. Особенности микроволновой сушки диэлектрических материалов. // Автоматизация и современные технологии, 2000, №8, с. 19-23.

54. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 8. Электродинамика сплошных сред. М., Наука, Глав. ред. физ.-мат. литературы, 1982, 624 с.1. Литература 173

55. Машкович М.Д. Электрические свойства неорганических диэлектриков в диапазоне СВЧ. М., Сов. радио, 1969, 240 с.

56. Мартыненко О.Г., Павлюкевич Н.В. Тепло- и массоперенос в пористых средах. // Инженерно-физический журнал, 1998, №1, с. 5-18.

57. Долинский A.A., Шелиманов В.А. К вопросу расчета температуры материала в первом периоде конвективной сушки нагретым воздухом. // Промышленная теплотехника, 2000, т. 22, № 4, с.40-45.

58. Долинский A.A., Иваницкий Т.К. Оптимизация процессов распылительной сушки. Киев, Наукова думка, 1984, 240 с.

59. Физические величины: Справочник. / Под ред. Григорьева И.С., Мейли-хова Е.З. М., Энергоатомиздат, 1991, 1232 с.

60. Кришер О. Научные основы техники сушки. М., Издательство иностранной литературы, 1961, 539 с.

61. Воронец Д., Козич Д. Влажный воздух. Термодинамические свойства и применение. М., Энергоатомиздат, 1984, 135 с.

62. Турчак Л.И. Основы численных методов.1 М., Наука, 1987, 318 с.

63. Минаковский В.М. Графоаналитический расчет процесса сушки. // Промышленная теплотехника, 1997, т. 19, №1, с. 73-78.

64. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханикаи теплообмен: В 2-х т. Т.1: Пер. с англ. М., Мир, 1990, 384 с.

65. Самарский A.A. Введение в численные методы. М., Наука, 1987, 288 с.

66. Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей: В 2-х томах. Т. 1: Пер. с англ. М., Мир, 1991, 504 с.

67. Роуч П. Вычислительная гидродинамика: Пер. с англ. М.: Мир, 1980, 616 с.1. Литература 174

68. Снежкин Ю.Ф., Хавин A.A. Оценка тепловой эффективности сушилок, работающих на материалах с различной начальной влажностью. // Промышленная теплотехника, 1996, т. 18, № 4, с. 30- 32.

69. Снежкин Ю.Ф., Дабижа H.A. Исследование адсорбционных характеристик коллоидных капиллярно-пористых материалов с целью определения режимов сушки. // Промышленная теплотехника, 2000, т.22, №3, с. 26-29.

70. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М., Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1985,232 с.I

71. Дж. А. Стрэттон. Теория электромагнетизма. M.-JL, Гостехиздат, 1948, 540 с.

72. Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М., Наука, 1989, 544 с.

73. Вайнштейн JI.A. Электромагнитные волны. М. Радио и связь, 1988, 440 с.

74. Андре Анго. Математика для электро- и радиоинженеров. М., Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1967, 780 с.

75. Шимони К. Теоретическая электротехника. М., Мир, 1964, 773 с.

76. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. / Под ред. М. Абрамовича и И. Стиган. М., Наука, 1979, 832 с.

77. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М., Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1987, 688 с.

78. Mitchell A.R., Griffiths D.F. The Finite Difference Method in Partial Differential Equations. New York, Wiley-Interscience, 1980.

79. Warming R.F., Hyett B.J. The Modified Equation Approach to the Stability and Accuracy Analysis of Finite-Difference Methods. // J. Сотр. Phys., 1974, v. 14, p. 159-179.

80. Hirt C.W. Heuristic Stability Theory for Finite-Difference Equations. // J. Сотр. Phys., 1968, v. 2, p. 339-355.

81. Рихтмайер P., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М., Мир, 1972.

82. Афанасьев A.M., Непогодин В.И. СВЧ-излучение для регенерации твердых адсорбентов. // Газовая промышленность, 2001, №12, с. 30-32.

83. Афанасьев A.M., Подгорный В.В-., Сипливый Б.Н., Яцышен В.В. Математическое моделирование взаимодействия СВЧ излучения с влагосодержа-щими плоскими слоистыми средами. Часть 2. Численный расчет. // ИВ УЗ, Электромеханика, 2001, №4-5, с. 32-38.

84. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М., Наука, главная редакция физико-математической литературы, 1978, 832 с.

85. Фортран 77 ЕС ЭВМ. / З.С. Брич, О.Н. Гулецкая, Д.В. Капилевич и др. М., Финансы и статистика, 1989, 351 с.

86. Джон Ж., Харроу К. Решение задач в системе Турбо Паскаль. М., Финансы и статистика, 1991, 720 с.1. Литература 176

87. Словарь иностранных слов. / Под ред. И.В. Лехина и Ф.Н. Петрова. М., государственное издательство иностранных и национальных словарей, 1949, 808 с.