автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Задачи оптимального управления электротепловыми процессами

Введение.

Глава 1. ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ОПТИМИЗАЦИИ ВЗАИМОСВЯЗАННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНО-ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ ВЧ И СВЧ УСТРОЙСТВ.

1.1. Особенности аналитических и численных моделей в аспекте их применения к оптимизации электромагнитно-тепловых полей.

1.2. Математическое описание электромагнитно-тепловых СРП в виде сопряженных краевых задач для систем уравнений в частных производных.

1.2.1. Основные допущения.

1.2.2. Краевая задача электромагнитного поля.

1.2.3. Начально-краевая задача для теплового поля.

1.3. Математическое описание в виде интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

1.3.1. Интегральная форма представления решения для теплового поля.

1.3.2. Интегральные и интегро-дифференциальные уравнения для электромагнитного поля.

1.4. Особенности использования моделей с неполным знанием входных данных.

1.5. Необходимость сглаживания локальных возмущений коэффициентов уравнений и функций неоднородности в задачах параметрической оптимизации.

1.6. Принцип вложенных математических моделей (неоднородность расчетной модели).

Глава 2. ПРИБЛИЖЕННЫЕ ИТЕРО-АППРОКСИМАТИВ-НЫЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙ-НЫХ МНОГОМЕРНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

2.1. Общая концепция сглаживающих свойств операторов обращения краевых задач для параболических и эллиптических уравнений.

2.2. Приближенный итеро-аппроксимативный метод,

V/ W ^ основанный на аппроксимации нелинейного решения собственными функциями специально построенных линейных операторов.

2.2.1. Построение итерационных процедур.

2.2.2. Алгоритм ИАМ в содержательных обозначениях.

2.3. Модификация I итеро-аппроксимативного метода.

2.4. Теорема об обобщенном решении задачи теплопроводности.

2.5. Теоремы о существовании и единственности решения и оценке скорости сходимости базового итеро-аппроксима-тивного метода.

2.6. Теоремы о сходимости и устойчивости итерационного процесса для модификации I итеро-аппроксимативного метода. .Л

2.7. Связь итеро-аппроксимативного метода с другими аналитическими и численно - аналитическими методами.

Глава 3. ЦИФРОВЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ ПО АНАЛИЗУ СГЛАЖИВАЮЩИХ СВОЙСТВ ОПЕРАТОРОВ ОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ И ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ ПО АЛГОРИТМУ ИАМ И ОЦЕНКЕ СКОРОСТИ ЕЕ СХОДИМОСТИ.

3.1. Количественные меры для оценки сглаживающих свойств операторов обращения краевых задач теплопровод-ности и электромагнитного поля.

3.2. Оценка сглаживающих свойств оператора обращения В"1 и скорости сходимости для параболических уравнений теплопроводности.

3.3. Оценка сглаживающих свойств операторов обраще-ния уравнений Гельмгольца для электромагнитного поля с скорости сходимости ИАМ.

Глава 4. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ.

4.1. Решение начально-краевой задачи для параболичес-кого уравнения, описывающего нестационарное электромагнит-ное поле в системе „возбуждающий токовый слой - ферромаг-нитный цилиндр конечных размеров".

4.2. Решение краевой задачи для эллиптического уравнения, описывающего квазистационарное электромагнит-ное поле в сечении ферромагнитной прямоугольной призмы.

4.3. Разработка разностных схем для расчета двух- и трехмерных электромагнитных полей.

4.3.1. Разностный метод блочной релаксации

4.3.2. Разносеточные методы (ММ).

Глава 5. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ МНОГОМЕРНЫХ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРИ НЕПОЛНОМ ЗНАНИИ ВХОДНЫХ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ ИТЕРО-АППРОКСИМАТИВНОГО МЕТОДА.

5.1. Исследования устойчивости решения нелинейного параболического уравнения, получаемого по ИАМ, при возмущении начального состояния.

5.1.1. Предпосылки возникновения задач об устойчивости решения.

5.1.2. Постановка задачи об устойчивости решения.

5.1.3. Построение решения задачи для возмущения процесса (р(Х, т) по первому приближению.

5.1.4. Оценка критического случая (по нелинейному уравнению).

5.1.5. Количественные оценки.

5.2. Исследования управляемости электромагнитно-теплового объекта на основе решения, получаемого по ИАМ.

Глава 6. ПРИКЛАДНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНО-ТЕПЛОВЫХ КРАЕВЫХ ЭФФЕКТОВ И РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ОПТИМИЗАЦИИ.

6.1. Алгоритм декомпозиционного итерационного метода решения задач оптимального подвижного управления.

6.2. Алгоритм решения подзадачи Cu(t) оптимизации функции интенсивности.

6.3. Алгоритм решения подзадачи Сф>{] оптимизации функции пространственной формы источников.

6.4. Пример исследования закономерностей проявления электромагнитно-тепловых краевых эффектов и решения задачи оптимизации на основе ИАМ. Задача градиентного нагрева парамагнитного цилиндра в электромагнитном поле.

6.5. Пример решения задачи оптимального подвижного управления для трехмерных электромагнитного и теплового взаимосвязанных полей.

6.5.1. Физический анализ управляемого электротеплового процесса.

6.5.2. Постановка задачи оптимального управления. Выбор класса управлений.

6.5.3. Алгоритм решения задачи оптимального управления. Количественные оценки.

6.6. Солитоны (уединенные волны) в структуре феррит-сегнетоэлектрик.

6.7. Оптимизация электротеплового поля в мощных электронных приборах СВЧ и КВЧ.

6.8. Открытый коаксиальный резонатор с „нефокусирую-щими зеркалами" и магнитодиэлектрическим вкладышем в радиофизических измерениях и приборах.

Актуальность темы. Предметом исследования в диссертации являются вопросы математического моделирования и оптимизации тепло- и электрофизических процессов, описываемых сопряженной (взаимосвязанной) системой уравнений Максвелла и уравнения теплопроводности Фурье. Рассматривается класс многомерных (двух- и трехмерных) начально-краевых задач с учетом нелинейности заданных функций — коэффициентов уравнений, граничных условий и свободных членов (правых частей уравнений) — при неполном знании входных данных. Модели проблемно ориентированы на решение задач оптимизации электротепловых полей при подвижных пространственно-временных источниках воздействия (джоулевых источниках тепла).

Указанный класс задач является моделью многих современных технологий, где осуществляется распределенное или сосредоточенное воздействие электромагнитного поля на токопроводя-щие твердые поверхности (металлические, порошковые, композиционные, полупроводниковые), а также расплавы жидкого металла. Примерами могут служить процессы индукционного нагрева на средних и высоких частотах и сквозного электрического нагрева то-копроводящих тел, сварки, термообработки, магнитогидродинами-ческого воздействия на жидкие металлы, нагрев подложек в электронной полупроводниковой технологии, плазменное напыление, процессы нагрева элементов объемных интегральных схем (ОИС) СВЧ и др.

Системы, где имеют место взаимосвязанные электро-магнитно-теплофизические процессы, будем далее называть "электротепловыми системами с распределенными параметрами (СРП)".

Выделенный для исследования класс электротепловых моделей характеризуется одновременным учетом нескольких факторов сложности и, соответственно, общности: взаимосвязанных электротепловых краевых эффектов в теле, на которое воздействует поток электромагнитной энергии; многомерности задачи (2 пространственных измерения для осесимметричных СРП и 3 для прямоугольной геометрии); проблемной ориентации на решение многокритериальных (векторных) начально-краевых задач оптимального управления с нелинейными фазовыми ограничениями; такая ориентация порождает спецефические вычислительные проблемы, связанные с большой размерностью расчетной системы уравнений; изменения источников воздействия (джоулевых источников тепла) как во времени, так и в пространстве при непрерывном или дискретном перемещении источников относительно тела; всех видов нелинейностей в исходном математическом описании электротеплового процесса; неполноты знаний входных данных, т.е. фактора неопределенности.

Исследуемую научную задачу можно условно разделить на три части:

Разработка эффективных в вычислительном отношении для целей оптимизации и управления методов решения нелинейных многомерных краевых задач теплопроводности;

Создание эффективных в вычислительном отношении в аспекте учета реального распределения джоулевых источников тепла в зоне краевых эффектов математических моделей электромагнитного поля в ферромагнитных и парамагнитных телах;

Разработка алгоритмов оптимизации взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей и решение краевых задач оптимизации.

Прямые начально-краевые задачи для параболических уравнений теплопроводности в твердых телах относятся к наиболее изученной области математической физики.

Здесь исследования шли по двум направлениями: для простейших одномерных моделей разрабатывались различные приближенные аналитические подходы, а для многомерных нелинейных задач развивались, в основном, численные методы. Заметим, что теория вычислительных методов для нелинейных многомерных краевых задач теплопроводности далека от завершения.

Вторая часть исследуемой проблемы — краевые задачи электромагнитного поля — исследована значительно меньше, особенно для нелинейных многомерных постановок. Объясняется это большими вычислительными трудностями, для электродинамических задач по сравнению с тепловыми (см. главу 1).

Основным стимулом для развития этого класса задач явилось развитие радиотехники, радиоэлектроники и, в частности, объемных интегральных схем (ОИС) СВЧ, а также электрофизических процессов. Из этого круга задач назовем работы Бабича В.М., Березовского B.C., Булдырева B.C., Вайнштейна Л.А., Вольдека А.И., Гринберга Г.А., Данилевича Я.Б., Демиръяна К.С., Домбров-ского В.В., Зоммерфельда А., Иванова-Смоленского А.В., Кацнелен-баума Б.З., Когана М.Г., Кравченко А.Н., Косачевского В.И., Леон-товича Н.А., Майергойза Н.Д., Маркувица Н., Миллера М.А., Нега-нова В.А., Неймана Л.Р., Нефедова Е.И., Никольского Т.И., Петру-шенко Е.И., Сухорукова В.В., Свешникова А.Г., Тозони О.В., Фиал-ковского А.Г., Чечурина В.Л., Цейтлина Л.А., Яшина А.А., Neumann E.G., Hondo К., Yarrington R.F. и др.

Следует отметить, что расчет трехмерных магнитоста-тических полей уже не представляет серьезных вычислительных проблем при линейной постановке задач. Нелинейные многомерные проблемы, особенно при расчете электромагнитного поля в массивных телах, чрезвычайно сложны и малоисследованы.

Перейдем теперь к анализу третьей части рассматриваемой проблемы — оптимизации взаимосвязанных электротепловых полей или, что то же самое, оптимального управления этими полями. Данный круг задач примыкает также к теории обратных задач математической физики. Рассматриваемый в диссертации класс задач оптимизации можно отнести с позиций теории управления к классу систем управления с распределенными параметрами (СРП), основы которого заложены в работах Алексеева В.М., Алифанова О.М., Андреева Ю.Н., Арсенина В.Я., Афанасьева А.П., Беллмана Р., Бутковского А.Г., Васильева Ф.П., Гживачевски М.,Голичева И.И., Горбаткова С.А., Гласко В.Б., Дегтярева Г.Л., Дикусара В.В., Димиченского В.Н., Дубовицкого А.Я., Егорова А.И., Егорова Ю.В., Ишмухаметовова А.З., Кирина Н.Е., Коломейцевой М.Б., Красовско-го Н.Н., Лаврентьева М.М., Лионса Ж.-Л., Ли Э., Лурье К.А., Малого С.А., Маслова В.П., Маркуса Л., Милютина А.А., Моисеева Н.Н., Морозова В.А.,Морозкина Н.Д., Орлова Ю.В., Пшеничного Б.Н., Первозванного А.А., Пустыльникова Л.М., Поляка Б.Т.,Раппопорта Э.Я., Тихомирова В.И., Тихонова А.Н., Темкина А.Г., Уткина В.И., Федоренко Р.П. Чубарова Е.П., Ягола А.Г., Takamatsu, Root W., Woods I., Kurzhnskii A.B. и др.

Здесь следует отметить, что для СРП достаточно развиты теория и методы решения задач в определенных направлениях: сделаны обобщения основных методов оптимизации динамических систем, разработанных первоначально для систем с сосредоточенными параметрами, моделями которых являются обыкновенные дифференциальные уравнения — метод моментов, принцип максимума Понтрягина, метод динамического программирования, методы Ляпунова для анализа устойчивости, методы регуляризации обратных задач. Однако основные результаты здесь апробированы для достаточно простых модельных линейных одномерных задач. Перенос результатов на нелинейные многомерные задачи требует дополнительных обоснований и исследований. Например, при подвижном воздействии даже на линейную тепловую систему проблема моментов получается нелинейной. СРП и подвижным воздействием при многомерной постановке задачи практически не исследованы.

Таким образом, актуальность проблемы не вызывает сомнений.

Цель работы. Целью работы является разработка теоретических основ и конструктивных приближенных методов для математического моделирования и оптимизации взаимосвязанных магнитных и тепловых полей в нелинейных средах при неполном знании исходных данных.

Методика исследования. В настоящей работе используется система уравнений Максвелла, нелинейное уравнение теплопроводности Фурье, модель термонапряжений, теория возмущения операторов, метод Ляпунова, методы функционального анализа, спектральная теория самосопряженных операторов, метод функций Грина, численный метод интегральных уравнений, методы конечных разностей, методы регрессионного анализа, нейросетевые модели, теория интегральных преобразований, принцип максимума, методы декомпозиции, метод поиска экстремума Соболя-Статникова.

Научная новизна. Основными научными результатами, полученными в диссертации являются:

1. Предложены методы построения приближенных математических моделей сложных взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах, в которых на всех этапах описания (выбора класса модели, постановки краевых задач, выбора формы представления решения и, соответственно, метода решения, исследования устойчивости решения, постановки и решения задачи оптимизации) учитывается фактор неполноты знаний о входных данных.

2. На основе разработанных методов проведено обобщение известного ИАМ в рамках теории возмущения операторов, предложена новая модификация итеро-аппроксимативного метода (ИАМ). Идея предложенного ИАМ состоит в аппроксимации решения нелинейного операторного уравнениями = F собственными функциями специально построенного линейного (невозмущенного) эллиптического оператора с учетом сглаживающих свойств оператора Вобращения линеаризованных краевых задач по отношению к приближаемым возмущениям^ , где A=B+R. Проведено математическое обоснование базового ИАМ и его модификации.

3. Показано, как на основе ИАМ и соответствующего ему интегрального представления решения можно проводить аналитическое исследование свойств решения. Изучены физические краевые эффекты взаимосвязанных электромагнитно-тепловых полей.

4. Предложен и апробирован на содержательных примерах двухмерного и трехмерного электромагнитно-теплового поля в парамагнитных и ферромагнитных средах алгоритм оптимизации: двухэтапный процесс поиска оптимальных управляющих параметров с использованием пробных точек, равномерно распределенных ЛПТ-последовательностей И.М.Соболя - Р.Б.Статникова, реализующий принцип вложенных математических моделей. Изучены электродинамические задачи для волнове-дущих структур с токопроводящими пара- и ферромагнитными полосковыми включениями. Предложенные методы и алгоритмы обоснованы математически и с помощью вычислительных экспериментов.

Научные положения, разработанные лично соискателем и выносимые на защиту.

1. Формулировка на основе анализа широкого спектра радиофизических проблем и их математических моделей (численных и аналитических, в форме интегральных и дифференциальных уравнений) требований к физическим и математическим моделям, вытекающим из особенности постановок задач оптимизации электормагнитного поля для сложных электродинамических структур и процессов взаимодействия электромагнитных и тепловых полей в условиях нелинейности процессов и неполного знания входных данных (размытости заданных функций и параметров).

2. Обоснование методов построения расчетных схем решения краевых задач, в которых целесообразно сглаживание объемных локальных возмущений электротеплового поля для класса задач оптимизации ансамбля распределений (в условиях неполноты знаний входных данных) при использовании терминальных функционалов цели, а также вытекающего из данного принципа достаточно общего способа регуляризации расчетной схемы.

Декомпозиционный метод вложенных математических моделей (ВММ) или неоднородности расчетной модели, согласно которому в процессе решения обратной задачи оптимизации целесообразно чередование моделей разного вида, например, численной и аналитической, максимально адаптированных к своим подзадачам, на которые декомпанируется общая задача оптимизации. Метод ВММ, используя наиболее сильные стороны аналитических и численных моделей, позволяет снизить размерность расчетной системы уравнений и эффективно использовать априорную информацию о структуре оптимизированного поля при выборе технически реализуемых классов управляющих параметров.

3. Сглаживающие свойства вполне непрерывных операторов, обратных к эллиптическим и параболическим операторам, в отношении к вариациям нелинейных коэффициентов уравнений электромагнитного поля, их правых частей и граничных условий при прямой постановке краевых задач. Сглаживающие свойства служат теоретической основой построения конструктивных приближенных итерационных методов решения прямых нелинейных краевых задач взаимодействия электромагнитных и тепловых полей, описываемых параболическими и эллиптическими уравнениями в пространстве 1,0 2 '

4. Группа приближенных аппроксимативных методов итерационной линеаризации (ИАМ) для решения прямых нелинейных многомерных краевых задач, описываемых параболическими и эллиптическими операторами в пространстве 21,0. ИАМ основан на теории возмущения операторов и осуществляет аппроксимацию нелинейных решений рядами по собственным функциям специально построенных линейных эллиптических операторов. Предложенные методы имеют высокую практическую скорость сходимости (единицы десятков шагов) и позволяют проводить аналитические исследования решений и, соответственно сузить область поиска в пространстве оптимизируемых управляющих параметров поля.

5. Математическое обоснование ИАМ и оценка адекватности моделей:

• Теорема о существовании обобщенного решения параболических уравнений на каждом шаге итераций по ИАМ в пространстве 1,0 2 •

• Лемма о разрешимости задачи аппроксимации членов уравнения, описывающих возмущенную часть оператора, гладкими функциями координат и времени из класса конечномерных.

• Теорема о свойствах отображения возмущенных операторов по схеме ИАМ.

• Теорема о сходимости итерационного процесса по ИАМ и конструктивной оценке скорости сходимости.

• Теорема о сходимости итераций для модификации ИАМ для заданных функций коэффициентов, ограниченных операторами типа срезки.

Указанные теоремы определяют общие условия сходимости ИАМ (в зависимости от сглаживающих свойств операторов обращения линеаризованных краевых задач, погрешности операции аппроксимации в алгоритме АМИЛ и норм вариации приближаемых нелинейных функций в объеме Q токопроводящих тел, на которых происходит рассеяние электромагнитных волн), а также определяют класс допустимых аппроксимируемых функций и управляющих воздействий (источников тепла).

6. Результаты математического исследования свойств решений нелинейных многомерных параболических уравнений, получаемых на основе ИАМ, при неполном знании входных данных, т.е. оптимизации ансамбля распределений: анализ устойчивости решения при возмущении начальных данных, анализ управляемости электромагнитно-теплового процесса, обоснование релейного характера управляющих воздействий.

7. Разработка эффективных в вычислительном отношении численных схем решения двух- и трехмерных электродинамических линейных и нелинейных задач, разработка на их основе декомпозиционных алгоритмов оптимизации электромагнитно-тепловых СРП и их апробация на содержательных прикладных задачах.

Теоретическая и практическая ценность работы. Теоретическая ценность работы состоит в том, что создана методологическая основа различных приближенных аналитических и численных алгоритмов для решения нелинейных задач оптимального управления электротепловыми процессами. Практическая ценность работы состоит в разработке эффективных приближенных численно-аналитических методов решения сложных многомерных нелинейных краевых задач электротеплового поля и создания на их основе алгоритмов оптимизации. Предложенные методы позволяют построить информативные математические модели, из которых извлекается на стадии проектирования технических устройств информации без проведения дорогостоящих крупномасштабных натурных экспериментов.

Совокупность разработанных элементов теории взаимосвязанных нелинейных электромагнитно-тепловых процессов создает научную основу оптимизации на стадии проектирования широкого круга устройств ВЧ, СВЧ и КВЧ: волноведущих структур с неоднородностями, элементов ОИС СВЧ и КВЧ для ССОИ, СВЧ-устройств для сверхбыстрого размораживания живых объектов, СВЧ и КВЧ-приборов для лечебного воздействия и диагностики живых объектов (биоинформационные процессы), технологических ВЧ и СВЧ-установок и др.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на заседании Московского научно-технического общества радиотехники, радиоэлектроники и связи им. А.С. Попова (г. Москва, Россия, 2000г.); на семинарах кафедры "Математика" Радомского политехнического института (Радом, Польша, 1998, 1999г.г.); на Международной конференции "Вычисления, математическое моделирование и проектирование в условиях неопределенности" (г.Уфа, Россия, 2000г.); на Международной конференции "Конжинуальные логико-алгебраические и нейронные методы в науке, технике и экономики" (г.Ульяновск, Россия, 2000г.); на Всероссийской научной конференции "Информационные технологии в науке, проектировании и производстве (г.Нижний Новгород, Россия, 2000г.); на межвузовской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (г.Самара, Россия, 2000г.); на Международной конференции "Автоматизированное проектирование электронных приборов (АПЭП - 2000) (г. Саратов, Россия, 2000г.), на польской конференции „Искуственный интелект -2000, исследование, развитие, применение (Седлце, полына 2000).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 15 печатных работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работ. Диссертация состоит из введения, 6 глав и заключения: содержит 280 страниц текста, . графиков, . таблиц и списка литературы из . наименований.

Результаты исследования управляемости электромагнитно-тепловой СПР по чувствительности функционалов качества и управляемости показаны нарис.6.4 и 6.5. Здесь введены обозначения l2(t) - ступенчатая функция, задающая временной закон для первой группы дискретных подвижных управений [20] (переключение индуктора в момент времени t=tn на "градиентный вывод"); li(t) - то же для второй группы дискретных подвижных управлений; 1, 2, 3, и 4 на кривых рис. 6.4 в, г, д, е соответствуют моментам времени окончания стадии основного нагрева (t=t0H); отывания в индукторе (t=ton) и градиентного нарева (t=trH); пунктирная кривая 4 соответствует требуемому конечному расределению T*(1,Z), т.е. при t=t4; в, г, д, е -соответствуют различным наборам управляющих параметров.

По результатам анализа можно сделать выводы:

1. При отсутствии управления формой настила тока в пространстве и во времени (в классе неподвижных управлений, включая многоинтервальные) ИС неуправляема по совокупности критериев (6.67), (6.68), (6.70) при высокой интенсивности процесса (t* <130 с).

2. ИС становится управляемой при выходе в класс 3-интервальных ПУ (основной нагрев - градиентный нагрев - охлаждение при транспортировке).

3. Вариацией заглублений x1?x2 и параметра х3 можно получить градиентные кривые, приближающиеся к Т* (l,z) сверху или снизу, т.е. ИС достаточно чувствительна к этим управлениям по мерам (6.67) - (6.68).

4. Возможности управления расширяются при несимметричном заглублении. Здесь уже на стадии ОН создается предварительный направленный градиент температур: температура левой угловой точки на «40°С выше, чем правой. За счет этого сокращается время стадии ГН до 20 с и общее время цикла до t*=l 18 с (или 30,5 слитков/ч) при хорошем -качестве нагрева: Ji = 53,5°С и J2 = 30°С, Ттах = 530°С. Данный режим следует считать близким к оптимальному и оптимизацию проводить в его окрестности в пространстве управлений: = 0,0927; = 0,0527; Сгн = 0,5625; (Рон/Ргн) ~ 1,986; t0H/t* ~ 0,753; (Wt*) « 0,169; (t0T/t*) « 0,0847. ш

1Д) ш о а с*

5 С*

L, I

ГН о

Ая ^ои К ^ГН ^яг

Щ* ftL I

L«

Lz I 2 a - переключающая функция подвижных управлений б - расчетная схема W

Г * X \ N " \ к" S

О 0,2 D/i 0,6 0,2 i

B)

500 hOO trWwJi^NM; 1т--272ннШ={71 iw^c )tn-tQH "0; rt^iSC;^ тс

V «Л \ \ N к ч

0 0,2 W 0,8 Of /

Д) C

540

V 2" \ ' S s /

3 '

О 0Я № Ofi 0,8 /

Г) C m m

300

§ ir-tгн~ )лон v - 5%Ч; 258m =?4c; N V 4=v rtu ч N 8mm 20c;

2/ ? \ 4

0 0,2 Ofi Ц6 0,8 / e)

Рис. 6.4. Фрагменты оценки чувствительности функционалов качества к управляющим воздействиям: в, г , д ,е, - соответсвуют различным сочетаниям значений компонент вектора управляющих параметров; 1- конец основного нагрева; 2- конец градиентного нагрева; 3 - конец процесса; 4 - требуемое распределение температуры по боковой поверхности

5ГО

226

Рис.6.5 К анализу управляемости теплового поля при профилиповании возбуждающего слоя: кривые 1, 2, 3 соответсвуют различным расчётным вариантам

5. Электрический КПД заметно повышается, а удельный расход энергии W снижается на стадии ГН ( Г|э.гн>г1э.он> см- табл. 6.3), что свидетельствует о значимости фактора взаимосвязи теплового и электромагнитного полей. Это следует учитывать при постановке задачи оптимизации.

6. Необходимого приближения к заданной градиентной кривой T*(l,z) при Jj < 50°С можно достичь также за счет управления формой источников (настила тока, рис. 6.5), однако при этом не удовлетворяется критерий равномерности нагрева по радиусу (J2=80°C), следовательно, необходимо дополнительно управлять интенсивностью источников во времени Uj(t). Здесь кривые 1,2,3 соответствуют вариантам 1, 2, 3 расчета для различной геометрии индуктора.

Решение задачи оптимального дискретного подвижного управления

При решении этой задачи фиксировался один из управляющих факторов -время охлаждения нагретого слитка при транспортировке t0T = 10 с. Задача решалась по итерационному алгоритму декомпозиции из раздела 6.1. Исходные данные применительно к прессованию кабельных оболочек: стандартизованный алюминиевый слиток имеет диаметр 175 мм и длину 438 мм. Назначим ограничения на фазовые координаты и функционалы от них [150]: Ji < 40°С; J2 < 50°С; Tmax < 580°С; cmax(t) < сД0П(Т) (по рис 6.7).

Обобщенный критерий оптимизации в подзадаче CV[X>t] выбирался в виде (6.75) с ограничениями г|эл ^ 0,47; cos(p > 0,23, т.е. <D3(F) < (0,47-0,23)1 = 9,54. Ограничения на управляющие параметры задаются пределами по табл. 6.4, которые технически реализуемы.

Результаты оптимизации для натурных значений параметров ПУ в точке л #

U квазиглобального оптимума, найденные по субмодели (6.74): Xj = / Ьи = 0,09269; Х2 = 12 / LH = 0,04325; Х3 = 1гн / Ьи = 0,5957;

Х4 = Р0Н/РГН =1,608; X5=tOH=82,48c; Х6 = t0H = 23,75 с;

Х7 =tn =22,03 с; X8 = trH =18,3 lc; X9=tOT=10c; 4in=156,57c; w0H/wrH =90/54; Ьи=512мм; Рон =253кВт; Ргн=158кВт. При этом функционалы качества нагрева равны

Ттах = 500,7°С; Ji = 47,39°С; J2 = 28,52°С.

Соответствующая этим данным оптимального режима нагрева временная программа изменения мощности джоулевых источников в относительных единицах дана на рис. 6.6.

И *

1,0

0,4 -0,2 О

0Л25 Ч он |trH от

S3 iOi Щ с

Рис. 6.6. Оптимальная программа изменения мощности индуктора по времени

Рис. 6.7. Зависимость допустимых термонапряжений от температуры для алюминия

1, 2, 3, 4, 5 - характерные точки слитка на расчетной схеме; точка 5 соответствует средней температуре слитка по его объему, на которую настраивается регулятор режима нагрева

Рис. 6.8. Квазиоптимальные температурные траектории, построенные на основе субмодели (6.74) 1 5

1 - конец ОН;

2 - конец ГН;

3 - через 30 с после окончания ГН ( случай неготовности пресса к приему слитка);

Ln = 512 мм; Р0н = 257 кВт; г)0н = 0,6; (cos(p)0H = 0,213; 10н = 2555 А; t0H = 74 с; 1гн = 288 мм; Ргн = ПО кВт; т]гн = 0,61; (cos(p)rH = 0,215; 1Гн = 2179 Л; trH = 18 с

Рис. 6.9. Распределение джоулевых внутренних источников тепла (а) и температурного поля (б) в оптимальном режиме нагрева

Затем было проведено уточнение найденной оптимальной точки путем возврата от субмодели«уравнений проектирования» к точной электротепловой модели (1.35), (1.39), (1.41), (1.106) и градиентного поиска вблизи точки

Л „ квазиглобального оптимума U . Уточненные значения оптимального вектора управления U *опт:

1,/1-й =0,0927; 12/L„ =0,043; lrH/LH=0,59; x4 = 1,6; t0H = 81 c; t0„ =tn =0;trH =20c; t0T =10c; Cin =11 lc; P0H = 253kBT; Tmax =500°C; J, =30°C; J2 =28°C. J4=max|T(l,zi,x*)-T,(l,zi)|^40,C, VieUN, N = 10.

Оптимальный процесс показан на рисунках 6.8 - 6.9.

Таким образом, апробация электротепловой модели (1.35), (1.39), (1.41), (1.106) с ограничениями по (6.2)-(6.6), (6.20) и декомпозиционного итерационного алгоритма решения задачи оптимального пространственно-временного управления из раздела 6.1 показала их работоспособность в условиях сложной реальной задачи и достаточно высокую вычислительную эффективность.

Принцип ВММ при использовании 2-х - этапного поиска глобального оптимума также показал высокую эффективность в смысле сокращения ее размерности и превращения из «практически нереализуемой» для IBM -АТ(486) в реализуемую.

Замечание. Уравнения проектирования вида (6.74) содержат в качестве факторов {х;}, i = 1,9, как «временные», так и «пространственные» управляющие воздействия. Следовательно, задачи приближенной оптимизации можно решать непосредственно по модели (6.74). В качестве иллюстрации этого тезиса в таблицах 6.7 и 6.8 показаны результаты решения рассмотренной выше задачи оптимизации в упрощенной постановке, т.е. в рамках погрешностей субмодели (6.74) без последующего перехода к «точной» базовой модели. Зачастую такое приближенное решение вполне удовлетворяет заказчика, особенно на ранней стадии разработки технологии. При оптимизации использовалась «свертка» трех частных критериев оптимизации в один обобщенный:

ЛТтах-е

Ф[Фv (U,T(r, z,t*)] = Cj • —+ С2 (1 - cosф) + С3 —^-->

Лэ

-> min ®[U,T(r,z,t*)]. (6.77) и

Здесь Ci = С2 = С3 = 0,33 - весовые коэффициенты; 8 = min{ei,e2} по (5.13) и (5.15); ATmax= maxT(l,z,t*)-T*(l,z).

При поиске принято 8 = 40°С и Т* (1, z) = (550 - 100 • z)° С; z е [0,1].

Оптимальной является пробная точка с номером s =105 при значении критерия Фопт = 0,8935. Таблица 6.7

Точки из области D, где выполняются все ограничения (на управление, критерии качества и фазовые координаты), упорядоченные по минимуму Ф

Номера Пробных точек S Элек- тричес -кий кпд Лэ S Коэффициент мощности coscp S Макси - маль-ный перепа д дт, °с S Термонапряжения с, 10"7 Н/м2 S т 1 шах» °с S G4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

140 0,4178 60 0,1212 164 24,43 136 0,8735 55 481,2 105 0,8935

125 0,4283 55 0,1213 140 25,19 105 0,8887 164 493,5 74 -0,8965

164 0,4302 136 0,1216 125 28,21 125 0,9273 140 525,1 36 0,9054

55 0,4333 36 0,1273 60 28,32 26 0,1155 156 528,5 26 0,9335

45 0,4344 125 0,1276 115 28,60 60 0,1216 136 528,5 94 0,9590

156 0,4415 164 0,1289 45 29,81 85 0,1225 60 530,3 85 0,9609

60 0,4520 85 0,1312 136 30,13 15 0,1238 125 530,7 15 0,9691

115 0,4673 94 0,1342 94 34,16 36 0,1278 94 540,3 115 0,9827

15 0,4696 45 0,1343 26 34,49 94 0,1475 74 541,4 136 0,9972

136 0,4698 140 0,1360 85 36,94 45 0,1490 36 544,2 156 1,027

85 0,4776 15 0,1367 15 37,02 55 0,1503 45 545,9 60 1,037

94 0,4789 110 0,1374 105 37,10 74 0,1536 115 548,6 45 1,058

26 0,4861 74 0,1377 156 38,01 115 0,1539 85 550,7 55 1,063

74 0,5080 105 0,1379 74 38,64 164 0,1818 15 556,6 164 1,082

36 0,5089 115 0,1402 55 38,87 140 0,1826 105 557,5 125 1,083

115 0,5110 26 0,1441 36 39,72 156 0,1829 26 563,5 140 1,103

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Исследованы особенности аналитических и численных моделей взаимосвязанных электромагнитных и тепловых полей в нелинейных средах с точки зрения их проблемной ориентации на краевые задачи оптимизации поля в радиофизических устройствах: волноведущих структурах с различными неоднородностями (диэлектрическими, металлическими пара- и ферромагнитными, порошковыми, полупроводниковыми); ОИС СВЧ и КВЧ; СВЧ-устройствах сверхбыстрого размораживания живых объектов, а также взаимодействия электромагнитного поля на живые объекты; ВЧ и СВЧ-электрофизических устройствах для нагрева материалов в технологических процессах и экспериментальной физике. Для данного класса задач учитывается специфика, состоящая в неполном знании входных данных, т.е. условия неопределенности.

Показано, что для получения информативных моделей оптимизации необходим взаимосвязанный учет таких факторов общности, как двух- и трех пространственных измерения, нелинейности тепло- и электрофизических параметров, взаимного влияния тепловых и электромагнитных полей друг на друга, необходимости оптимизации как временного закона изменения интенсивности джоулевых источников тепла, так и их пространственной формы и, наконец, векторного характера критерия оптимизации.

2. Дан сравнительный анализ двух форм представления искомых решений для тепловых и электромагнитных полей: в форме решений дифференциальных уравнений, в форме решений интегральных уравнений. Сделан вывод о предпочтительности второй формы для рассматриваемого класса задач, если метод решения задачи не создает ограничений для интегральной формы при учете нелинейности.

3. Предложен нетрадиционный (не стохастический) способ учета фактора неполноты знаний (размытости) входных данных, который реализован в совокупности оригинальных предположений при построении математических моделей взаимосвязанных электромагнитно-тепловых полей, который: в приближенной аппроксимации нелинейных решений краевых задач собственными функциями линейных операторов; в использовании простых схем аппроксимации возмущенной части оператора; в процедуре расщепления электротепловой задачи; в принципе ВММ; в двухэтапном алгоритме поиска оптимума; в постановке задачи оптимизации и назначении ограничений.

4. Установлена возможность сглаживания локальных возмущений поля в классе задач расчета электромагнитно-теплового поля ВЧ и СВЧ-индукционных электрофизических устройств.

5. Предложен принцип вложенных математических моделей (неоднородности расчетной модели).

6. Исследованы сглаживающие свойства операторов обращения краевых задач для нелинейных параболических и эллиптических уравнений по отношению к приближенным возмущенным частям оператора и предложено схема блочной декомпозиции; теоремы 8 и 9 об оценке радиуса сходимости разностного оператора).

11. Предложен декомпозиционный алгоритм расщепления общей задачи оптимального управления электротепловым полем на подзадачи оптимизации функции интенсивности Си(0 и функции пространственной формы источников тепла. Алгоритм апробирован на достаточно сложных 2~- и Замерных нелинейных краевых задачах взаимосвязанных электромагнитно-тепловых полей.

12. В качестве примера использования разработанных подходов и теоретических положений решен ряд прикладных задач расчета и оптимизации электромагнитно-теплового поля в ВЧ и СВЧ-устройствах:

• Для тонких продольных металлических неоднородностей в волноведущих структурах (раздел 2.7).

• Для процесса распространения уединенных волн (солитонов) в структуре феррит — сегнетоэлектрик (раздел 6.6).

• Для мощных электронных приборов СВЧ и КВЧ (раздел 6.7).

• Для открытого коаксиального резонатора с «нефокусирующими зеркалами» и магнито-диэлектрическим вкладышем в радиофизических измерениях и приборах (раздел 6.8).

• Для ВЧ-индукционной электротехнологической установки градиентного нагрева цилиндрических неоднородных парамагнитных тел (раздел 6.4).

• Для НЧ и ВЧ-индукционной электротехнологической установки нагрева неоднородных прямоугольных парамагнитных параллелепипедов (раздел 6.5).

1. Айвазян С.А., Мхнтарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики: Учебник для вузов. — М.: ЮНИТИ, 1998. — 1022 с.

2. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. — М.: Машиностроение, 1979. — 216 с.

3. Аоки М. Введение в методы оптимизации. —М.: Наука. Физматлит, 1977.344 с.

4. Арманд Н.А., Нефёдов Е.И., Фиалковский А.Т. Таблицы собственных чисел симметричных ТМ и ТЕ волн коаксиального волновода с импеданс-ным внутренним проводником. — М.: Изд ИРЭ АН СССР, 1973. — 124 с.

5. Афромеев В.И., Протопопов А.А., Фильчакова В.П., Яшин А.А. Математические методы современной биомедицины и экологии / Под ред. Е.И. Нефедова, А.А. Хадарцева, А.А. Яшина. — Тула: Тульск. Гос. ун-т, 1997.224 с.

6. Бадамшин Р.А., Горбатков С.А., Клестов Е.А. Оптимальное терминальное управление системами с распределенными параметрами при неполном измерении их состояния. — Уфа: Уфимск. госуд. авиац. технич. ин-т, 1997. —313 с.

7. Беллман Р., Кабала Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи.1. М.:Мир, 1968. — 164 с.

8. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Учебник для вузов.

9. М.: Высшая школа, 1973. — 752 с.

10. Богданов Ф.Г., Кеванишвили Г.Ш. Дифракция волн на решетках и волно-водных неоднородностях. — Тбилиси. Самшобло, 1994. — 244 с.

11. Болотов А.В., Шепель Г.А. Электротехнологические установки: Учебн. для вузов. — М.: Высшая школа, 1988. — 336 с.

12. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. — М.: Металлургия, 1993. — 279 с.

13. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука. Физматлит, 1965. — 474 с.

14. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1975. — 568 с.

15. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. — М. Наука, 1979. — 224 с.

16. Бутковский А.Г., Пустыльников JI.M. Теория подвижного управления системами с распределенными параметрами. — М.: Наука. Физмалит, 1980. —284 с.

17. Вабищевич П.Н. Монотонные разностные схемы для задач конвекции / диффузии // Дифференциальные уравнения, 1994, № 30, С. 503 — 513.

18. Вайнштейн JI.A. Электромагнитные волны. — М.: Советское радио, 1957. — 581 с.

19. Ванштейн JI.A. Открытые резонаторы и открытые волноводы. — М.: Сов. Радио, 1966. —476 с.

20. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. — М.: Наука. Физматлит, 1988. — 552с.

21. Войтович Н.Н., Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Пятизначные таблицы производной обобщенной дзета-функции Римана от комплексного аргумента. — М.: Изд. ИРЭ АН СССР, 1970. — 224 с.

22. Вольдек А.И., Данилевич Я.Б., Косачевский В.И. и др. Электромагнитные процессы в торцевых частях электрических машин. — JL: Энергоатомиз-дат, Ленигр. отделение, 1983. — 216 с.

23. Ворович И.И., Красовский Ю.П. О методе упругих решений // Докл. АН СССР. 1959. Т. 126, №4. С. 740 —743.

24. Вуйтович М., Гживачевски М., Петрасик JL, Сарнецка В. Декомпозиционный метод решения начально-краевой нелинейной многомерной задачи оптимального управления электротепловым полем // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999. Т. 7, № 1, С. 46 — 58.

25. Вычислительные методы в прикладной математике / Ред. Г.И. Марчук и Ж.-Л. Лионе: Сб. научн. трудов. — М.: Наука, 1982. — 290 с.

26. Вычислительная математика и математическое обеспечение ЭВМ. — М.: Изд. МГУ, 1985. —280 с.

27. Гвоздев В.И., Нефедов Е.И. Объемные интегральные схемы СВЧ-элементная база аналоговой и цифровой радиоэлектроники. — М.: Наука, 1987. — 12 с.

28. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. — М.: Мир, 1985. —509 с.

29. Голичев И.И. Решение некоторых задач для параболических уравнений методом последовательных приближений. — Уфа. Башкирский научный центр Уральского отделения АН СССР, 1979. — 172 с.

30. Горбатков С.А., Гживачевски М. К анализу итеро-аппроксимативного метода для трехмерных нелинейных задач теплопроводности // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1988, №2, С. 101 — 111.

31. Горбатков С.А., Кувалдин А.Б., Минеев В.Е. и др. Химические аппараты с индуктивным обогревом. — М.: Химия, 1974. — 175 с.

32. Гринберг Г.А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. — М. — Л.: Изд. АН ССР, 1948. — 748 с.

33. Гуляев Ю.В., Кураев А.А., Нефедов Е.И. и др. К задаче оптимизации коаксиального оротрона // ДАН, 1981, Т. 257, № 2, с. 349 — 352.

34. Демирчян К.С. Моделирование магнитных полей. — Л.: Энергия, 1974. — 288 с.

35. Демирчян К.С., Чечурин В.А. Машинные расчеты электромагнитных полей: Учебн. пособие. — М.: Высшая школа, 1986. — 240 с.

36. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач. — М.: Издательство Московск. госуд. ун-та, 1994. — 208 с.

37. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. — М.: Наука. Физмалит, 1982. — 432 с.

38. Ермолаев Ю.М., Нефедов Е.И., Горбатков С.А., Гусев Ю.М., Михин Н.И. и др. Способ непосредственной передачи энергии электромагнитных волн миллиметрового диапазона живому объекту и устройство его реализации, патент РФ № 2126279 от 29.10.93. 116(58).

39. Жиглявский А.А., Жилинскас А.Г. Методы поиска глобального экстремума. — М.: Наука. Физмалит, 1999. — 284 с.46.3арипов М.Ф., Горбатков С.А. Элементы теории нелинейных электромагнитных систем с распределенными параметрами. — М.: Наука, 1979. — 225 с.

40. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности. — М.: Энергоатомиздат, 1983. — 328 с.48.3оммерфельд А. Электродинамика. — М.: Изд-во иностр. лит., 1958. — 504 с.

41. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. — М.: Наука, 1978. — 206 с.

42. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. — М.: Наука, 1974. —479 с.

43. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Наука. Физматлит, 1977. — 742 с.

44. Клестов Е.А., Сиразетдинов Т.К. Метод распределенных моментов в задачах оптимального быстродействия // Сб. научн. трудов Казанского авиац. ин-та. — Казань: Изд. КАИ, 1971, вып. 130, С. 98 — 103.

45. Коган М.Г. Поверхностный эффект в неравномерно нагретом ферромагнитном цилиндре // Электричество, 1967, №8, С. 72 — 81.

46. Коган М.Г. Расчет индукторов для нагрева тел вращения. — М.: Всесо-юзн. научно-исслед. ин-т электромеханики, 1966. — 56 с.

47. Коздоба JI.A. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. — М.: Наука, 1975. —225 с.

48. Колесников П.М., Руденок И.П. Математическое моделирование тепло-обменных процессов в открытых волноведущих структурах // Электродинамика СВЧ и КВЧ, 1999, Т. 7, № 1, С. — .

49. Коломейцева М.Б. Решение задачи оптимального управления индукционным нагревом подвижных объектов // Управление распределенными системами с подвижным воздействием. — М.: Наука, 1979. — С. 99 — 106.

50. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука, 1977. — 832 с.

51. Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике. — М.: Мир, 1972. —276 с.

52. Кравченко А.Н. Краевые характеристики в задачах электродинамики. — Киев: Наукова думка, 1989. — 224 с.

53. Кравченко А.Н., Березовский А.А. О нелинейных краевых задачах электромагнитного поля. — Киев: Изд. АН УССР, 1963. — 76 с.

54. Красовский Н.Н. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968. — 476 с.

55. Крючков А.Н., Яшин А.А. Проектирование высокочастотной медицинской аппаратуры и устройств обработки и хранения информации / Под ред. Е.И. Нефедова, А.А. Яшина. — Тула. Тульск. гос. ун-т, 1999. — 188 с.

56. Курушин Е.П., Нефедов Е.И. Электродинамика анизотропных сред волно-ведущих структур. — М.: Наука, 1983. — 223 с.

57. Курушин Е.П., Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Дифракция электромагнитных волн на анизотропных структурах. — М.: Наука, 1975. — 196 с.

58. Ладиков Ю.П. Стабилизация процессов в сплошных средах. — М.: Наука. Физмалит, 1978. — 432 с.

59. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука. Физматлит, 1967. —736 с.

60. Леонтович М.А. О приближенных граничных условиях для электромагнитного поля на поверхности хорошо проводящих тел // Исследования по распределению радиоволн. — 1948. — Сб. II., С. 5 — 12.

61. Лионе Ж. -Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. — М.: Мир, 1972.

62. Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация. — М.: Мир, 1975. — 496 с.

63. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. — М.: Наука, 1975. — 480 с.

64. Лыков А.В. Теория теплопроводности. — М.: Высшая школа, 1967. — 600 с.

65. Макеева Г.С. Электродинамика интегральных волноведущих структур с тонкопленочными полупроводниковыми и ферритовыми слоями и включениями. — Пенза: Пензинский гос. тех. ун-т, 1995. — 158 с.

66. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. — М.: Наука, 1980. — 525 с.

67. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. — М.: Атомиздат, 1971. — 496 с.

68. Методы математического моделирования, автоматизация обработки наблюдений и их применения / Ред. А.Н. Тихонов и А.А. Самарский: Сб. научн. трудов. — М.: Изд. МГУ, 1986. — 280 с.

69. Миллер М.А., Таланов В.И. Использование понятия поверхностного импеданса в теории поверхностных волн // Изв. вузов. Радиофизика, 1964, Т. 4, №5, С. 795 — 830.

70. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука. Физматлит, 1970. — 512 с.

71. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. — М.: Го-суд. изд. физико-матем. лит., 1959, — 232 с.

72. Морозкин Н.Д. Оптимальное управление процессами нагрева с учетом фазовых ограничений. — Уфа: Башкирский госуд. ун-т, 1997. — 114 с.

73. Морс Ф.М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. Т. I. — М.: Иностранная литература, 1958. — 560 е., Т. II, 1960. — 320 с.

74. Нейман Л.Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. — Л.: Гос-техиздат, 1949. — 190 с.

75. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П. Полосково-щелевые структуры сверх- и крайне высоких частот. — М.: Наука, 1996. — 304 с.

76. Неганов В.А., Нефедов Е.И., Яровой Г.П. Современные методы проектирования линий передачи и резонаторов сверх- и крайне высоких частот / Учебное пособие. — М.: Педагогика Пресс, 1998. — 328 с.

77. Немков B.C., Демидович В.Б. Теория и рассчет устройств индукционного нагрева. — Л.: Энергоатомиздат, 1988. — 280 с.

78. Нефедов Е.И., Сивов А.Н. Электродинамика периодических структур. — М.: Наука, 1977. —208 с.

79. Нефедов Е.И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических структурах. — М.: Наука, 1979. — 272 с.

80. Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Полосковые линии передачи: электродинамические основы автоматизированного проектирования интегральных схем СВЧ. — М.: Наука, 1980. — 312 с.

81. Нефедов Е.И. Открытые коаксиальные резонансные структуры. — М.: Наука, 1982. —220 с.

82. Нефедов Е.И. Радиоэлектроника наших дней. — М.: Наука, 2986. — 192 с.

83. Нефедов Е.И. Электродинамика ОИС СВЧ и крайне высоких частот // РиЭ, 1993, Т. 38, № 4, с. 593 — 635.

84. Нефедов Е.И. О фундаментальных принципах объемных интегральных схем СВЧ и КВЧ // ДАН, 1994, Т. 339, № 2, с. 199 — 201.

85. Нефедов Е.И., Козловский В.В., Згурский А.В. Микрополосковые излучающие и резонансные устройства. — Киев: Техника, 1990. — 160 с.

86. Нефедов Е.И., Протопопов А.А., Семенцов А.Н., Яшин А.А. Взаимодействие физических полей с живым веществом. — Тула: Тулье, ун-т, 1995. — 180 с.

87. Нефедов Е.И., Протопопов А.А., Хадарцев А.А., Яшин А.А. Биофизика полей и излучений и биоинформатика. Ч. 1. Физико-биологические основы информационных процессов в живом веществе. — Тула: Тулье, ун-т, 1998. —333 с.

88. Нефедов Е.И., Фиалковский А.Т. Асимптотическая теория дифракции электромагнитных волн на конечных структурах. — М.: Наука, 1972. — 204 с.

89. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. — М.: Наука, 1969. — 480 с.

90. Никольский В.В., Никольский Т.П. Декомпозиционный подход к задачам электродинамики. — М.: Наука, 1983. — 304 с.99.0ртега Дж., Рейнболдт. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. — М.: Мир, 1975. — 560 с.

91. Павлов Н.А. Инженерные тепловые расчеты индукционных нагревателей. — Л.: Энергия, Ленингр. отд-ние, 1978. — 120 с.

92. Павловский Ю.Н. Проблема декомпозиции в математическом моделировании // Математическое моделирование, 1991, Т. 3, № 4, С. 93 — 122.

93. Панченко Б.А., Нефедов Е.И. Микрополосковые антенны. — М.: Радио и связь, 1985. — 144 с.

94. Петрасик Л. Разработка разностных схем для расчета двух- и трехмерных электромагнитных полей (ЭМП) при математическом моделировании элементов ОИС СВЧ // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, Т.7, № 1,С. 76 — 93.

95. Petrasik L. Methods for solving control problems in non-linear electrothermal systems with distributed parameters // Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, 1999, Т.4, № 1, С. 94 — 102.

96. Petrasik L. Iteration methods for solving control problems in non-linear electrothermal systems with distributed parameters // Electrodinamics and Technique ofMicrowafe and EHF, 1999, V. 7, № 1. p. 103 — 110.

97. Grzywaczewski M., Gorbatkov S.A., Pietrasik L. Borders Problems end Optimization correlations electromagnetiks end thermal Fields. — Moskau: Nauka, 2000. —350 p.

98. Уравнения математической физики. — Уфа: Уфимск. авиац. технич. ун-т, 2000, с.

99. Петрасик Л., Горбатков С.А., Гживачевски М. Принцип вложенных математических моделей при оптимизации электромагнитно-тепловых полей на основе нейросетей // Математика: Сб. научн. трудов Радомского политехи, ин-т, 2000, с.

100. Петрасик Л., Гживачевски М., Вуйтович М., Сарнецка В. Анализ краевых эффектов электромагнитно-тепловых полей при ВЧ-индукционном нагреве // Математика: Сб. научн. трудов Радомского политехи, ин-т, 2000, с.

101. Петрасик Л. Моделирование трехмерных тепловых полей на основе аппроксимативного метода итерационной линеаризации // Mathematical Modeling, 2000, № , p.

102. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. — М.: Наука. Физмалит, 1983. — 384 с.

103. Попов Н.М. Численные методы многокритериальной оптимизации // Системное программирование и вопросы оптимизации. — М.: Изд. МГУ, 1987. —205 с.

104. Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко, Я.Б. Ружицкий, В.Я. Стеценко. — М.: Наука. Физмалит, 1969. — 455 с.

105. Протопопов А.А. Физико-математические основы теории продольных электромагнитных волн. — Тула: Тульск. гос. ун-т, 1999. — 110 с.

106. Рапопорт Э.Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла. — М.: Металлургия, 1993. — 279 с.

107. Рыкалин Н.Н., Зуев И.В., Углов А.А. Основы электронно-лучевой обработки материалов. — М.: Машиностроение, 1978. — 240 с.

108. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. — М.: Наука. Физматлит, 1971. — 420 с.

109. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.1978. —591 с.

110. Самарский А.А. и др. Разностные схемы на неравномерных сетках. — Минск: Критерий, 1996.

111. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции — диффузии. — М.: Эдиториал УРСС, 1999. — 248 с.

112. Свенчанский А.Д. Электрические промышленные печи. — М.: Энергия, 1976. —384 с.

113. Свешников А.Г. Прямые и обратные задачи электродинамики // Проблемы математической физики и вычислительной математики. — М.: Наука, 1977, С. 287 —298.

114. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. — Новосибирск: Наука. Сибирское отд-ние, 1987. — 231 с.

115. Слухоцкий А.Е., Рыскин С.Е. Индукторы для индукционного нагрева. — JL: Энергия. Ленингр. отделение, 1974. — 288 с.

116. Смирнов В.И. Курс высшей математики, Т. V. — М.: Физматгиз, 1959.

117. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задаче со многими критериями. — М.: Наука, 1981. — 110 с.

118. Сперроу Э.М., Сесс Р.Д. Теплообмен излучением. — Л.: Энергия. Ленингр. отд-ние, 1971. — 294 с.

119. Сухоруков В.В. Математическое моделирование электромагнитных полей в проводящих средах. — М.: Энергия, 1975. — 188 с.

120. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач: Учебн. пособия для вузов. — М.: Наука. Физматлит, 1979. — 285 с.

121. Тихонов А.Н., Кальнер В.Д., Гласков В.Б. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. — М.: Машиностроение, 1990. — 264 с.

122. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. — М.: Наука. Физматлит, 1995. — 312 с.

123. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учебн. пособие. — М.: Наука, Физмалит, 1972. — 735 с.

124. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике. — М.: Энергия, 1975. —296 с.

125. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. — М.: Мир,1985.— 264 с.

126. Установки индукционного нагрева: Учебное пособие для вузов / А.Е. Слухоцкий, B.C. Немков, Н.А. Павлов, А.В. Бамунэр. — Л.: Энергоатом-издат, Ленингр. отд-ние, 1981. — 328 с.

127. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. — М.: Изд. Московского физико-техн. ин-та, 1994. — 528 с.

128. Федорова И.Г., Безменов Ф.В. Высокочастотная сварка пластмасс. — Л.: Машиностроение. Ленингр. отд-ние, 1980. — 88 с.

129. Фелсен Л., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн. — М.: Мир, 1978. —TIL—547 с.

130. Хармут X. Применение методов теории информации в физике. — М.: Мир, 1989. —342 с.

131. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. — М.: Мир,1986. — 442 с. Холодный С.Д. Технологическая термообработка изоляции кабелей и проводов. — М.: Изд. МЭИ, 1994. — 160 с.

132. Чубаров Е.П. Управление системами с подвижными источниками воздействия. — М.: Энергоатомиздат, 1985. — 288 с.

133. Чегис Р., Шейбак Т. О применении итерационных методов для решения задач с разрывными коэффициентами // Дифференц. уравнения и их приложения (Вильнюс). 1985. №37. С. 68 — 81.

134. Цейтлин Л.А. Справочник по расчету индуктивностей. — М.: Энергия, 1974. ;

135. Этерман И.И. Аппроксимативные методы прикладной математики. — Пенза: Пензенский политехи, ин-т, 1973. — 264 с.

136. Яшин А.А., Кандлин В.В., Плотникова Л.Н. Проектирование многофункциональных объемных интегральных модулей СВЧ и КВЧ диапазонов / Ред. Е.И. Нефедов. — М.: НТЦ «Информтехника», 1992. — 324 с.

137. Breinmaker Professional. Neural Network Simulation software. User Guide Reference Manual. — Nevada City: California scientific Software, 1995.

138. Chandra I., Dressel F., Norman P. A monotonne method for a system of noulinear parabolic differetial eguations //Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1981. A. 87. N3 — 4. P. 209 —217.

139. Kolbe E., Reip B.W. Die raumliche Stromdichterverteilung in inductiv er-wartmen Korpern unter Berucksichtigung des Temperatur felds // Elec-trowarme. — 1967/ —B. 25, №7.

140. Morton K.W. Numerical Solution of Convection — Diffusion Problems. — London: Chapman&Hall, 1996.

141. Hageman L.A., Young D.M. Applied Iterative Methods. — New York: Akademic Press, 1981.

142. Handbook of Intelligent Control: Neural, Fuzzy and Adaptive Approaches / (Ed/A David A — Write. Donald a — Sofge): van Nostrand Reinbrold, №4, 1992. —558 p.

143. Reichert K.A. Numerical Methods to Calculate Induction Heating Installations // Electrowarme Int. — 1968. — V. 26. — P. 113 — 123.

144. Sattinger D.H. A monotonne method for noulinear elliptic and parabolic problems // Indiana Univ. Math. 1.1972. V. 21. P. 979 — 1000.о -/'Ш9 -6-oz