автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование нелинейных оптических систем с управляемым преобразованием аргументов

Введение

Список обозначений и сокращений

1 Математическое моделирование нелинейных оптических систем с обратимым преобразованием аргументов

1.1 Основные модели нелинейных оптических систем с преобразованием аргументов в контуре обратной связи.

1.2 Свойства оператора суперпозиции с гладким невырожденным преобразованием аргументов.

1.2.1 Гладкая невырожденная замена переменных.

1.2.2 Оператор суперпозиции в случае интерференции.

1.2.3 Оператор суперпозиции в случае дифракции.

1.3 Исследование начально-краевых задач для моделей нелинейных оптических систем с обратимым преобразованиями аргументов

1.3.1 Теорема существования и единственности.

1.3.2 Линеаризованная задача.

1.3.3 Свойства полугруппы операторов сдвига

1.3.4 Существование аттрактора и оценки его размерности

1.3.5 Анализ индекса неустойчивости

1.4 Моделирование нелинейных оптических систем с запаздыванием и поворотом аргумента.

1.4.1 Основные модели нелинейных оптических систем с запаздыванием

1.4.2 Аттрактор в моделях оптических систем с запаздыванием

1.4.3 Конечномерность аттракторов в моделях оптических систем с запаздыванием.

1.4.4 Вывод оценок сжатия для дискретных полугрупп для моделей оптических систем с запаздыванием.

2 Моделирование структурообразования в оптических системах с обратимыми преобразованиями аргументов

2.1 Одномерные бегущие волны в задаче с интерференцией и поворотом в кольце.

2.1.1 Вспомогательные предложения.

2.1.2 Существование бегущих волн.

2.1.3 Исследование устойчивости бегущих волн.

2.2 Стационарные структуры в оптических системах с интерференцией и преобразованием отражения

2.2.1 Вспомогательные предложения.

2.2.2 Существование пространственно-неоднородных решений

2.2.3 Исследование устойчивости решений.

2.2.4 Численное моделирование динамики структурообразования

2.3 Ротационные волны в задаче с интерференцией и поворотом в круге.

2.3.1 Вспомогательные предложения.

2.3.2 Существование ротационных волн

2.3.3 Устойчивость ротационных волн.

2.4 Ротационные волны в модели нелинейной оптической системы с дифракцией и поворотом в круге.

2.4.1 Аналитичность отображения фазы в интенсивность

2.4.2 Существование ротационных волн.

2.4.3 Устойчивость ротационных волн.

3 Математическое моделирование нелинейных оптических систем с необратимым преобразованием аргументов

3.1 ФДУ диффузии с измеримым преобразованием пространственного аргумента

3.1.1 Свойства оператора обобщенной суперпозиции.

3.1.2 Свойства оператора обобщенной суперпозиции в задаче с дифракцией.

3.1.3 Разрешимость прямой задачи.

3.1.4 Аттрактор ФДУ с обобщенным преобразованием.

3.1.5 Зависимость решения прямой задачи от преобразования аргументов.

3.1.6 О дробной гладкости решений

3.2 Задача оптимального управления двумерным преобразованием аргументов.

3.2.1 Сопряженная задача для интегральных функционалов

3.2.2 Сопряженная задача для терминальных функционалов

3.2.3 Квазидифференцируемость интегральных функционалов

3.2.4 Квазидифференцируемость терминальных функционалов

3.2.5 Существование оптимальных преобразований.

3.2.6 Метод проекции градиента для квазидифференцируе-мых функционалов с гельдеровым градиентом.

3.3 Численное моделирование задачи управления преобразованием аргументов.

3.3.1 Численное моделирование задачи управления преобразованием аргументов на кольцевой апертуре.

3.3.2 Численное моделирование задачи управления преобразованием аргументов на прямоугольной апертуре

Проекционно-разностные аппроксимации ФДУ

4.1 Проекционно разностная аппроксимация одномерного ФДУ диффузии с необратимым преобразованием аргумента.

4.1.1 Построение и реализация нелинейной ПРС.

4.1.2 Оценка скорости сходимости в энергетической норме

4.1.3 Оценка скорости сходимости в Ь2{0)

4.2 Проекционно разностная аппроксимация двумерного ФДУ

4.2.1 Сеточные пространства и операторы.

4.2.2 Построение и реализация нелинейной ПРС.

4.2.3 Оценка скорости сходимости.

4.2.4 Особенности численной реализации ПРС.

4.3 Аппроксимация задачи управления преобразованием аргументов

4.3.1 Аппроксимации задачи управления в кольце.

4.3.2 Аппроксимации задачи управления преобразованием в прямоугольнике.

Развитие методов математического моделирования и управления объектами и процессами оказало революционное воздействие практически на все области науки и техники. Нелинейная оптика - одно из наиболее бурно развивающихся направлений, в котором в последние несколько десятилетий были достигнуты существенное результаты, например, в разработке систем активной оптики и управлении параметрами лазерного излучения ([148, 44, 43, 67]). Вместе с тем с открытием широкого спектра нелинейных оптических материалов, демонстрирующих явление бистабильности [175], к концу 20-го века стало понятно, что специальным образом сконструированные на основе этих элементов нелинейные оптические системы смогут сыграть существенную роль также и в развитии компьютерной технологии [198, 12, 173].

Главные преимущества оптических методов в задачах хранения и преобразования информации традиционно связаны с параллельностью обработки сигналов и возможностью резкого повышения быстродействия выполнения операций. Несмотря на то, что уже разрабатываются проекты цифровых оптических компьютеров на основе бистабильных оптических резонаторов, одновременно получила широкое распространение идея использовать отмеченные естественные достоинства оптических систем для создания элементов ассоциативной памяти, систем распознавания образов, обучающихся аналоговых компьютеров [97, 1, 13, 231, 230, 239, 222, 197, 178]. Надлежащим образом организованные нелинейно оптические системы могут решать и типично математические задачи. Например, в [183] предложен аналоговый метод поиска глобального экстремума функции многих переменных на основе нелинейной оптической системы со специальной обратной связью, а в [1, гл. 6] обсуждаются возможности оптического процессора по аналоговому выполнению таких важных математических операций, как суммирование, вычитание, дифференцирование, решение уравнений в частных производных и др.

В этой связи большое внимание традиционно уделяется исследованию различных поперечных эффектов, связанных с трансформацией пространственной структуры световой волны в плоскости, ортогональной направлению её распространения. Первоначально рассматриваемые как нежелательные и труб дно контролируемые явления, поперечные эффекты в нелинейной оптике представляют на сегодняшний день самостоятельное динамично развивающееся направление [162, 225]. Генерируемые в управляемых оптических системах поперечные структуры при определенных условиях могут рассматриваться как распределенные носители информации. С точки зрения синергетики, формирование таких оптических структур является типичным примером процесса самоорганизации в неравновесной системе [146, 15, 169]. Среди разнообразных проявлений самоорганизации светового поля весьма перспективными представляется исследования различных пространственно локализованных бистабильных состояний [166], в которых переключения осуществляется внесением соответствующих малых возмущений. Заметим также, что с точки зрения необходимых для поддержания соответствующей ячейки оптической памяти во включенном положении энергетических затрат вместо стационарных состояний в последнее время все чаще рассматриваются вращающиеся структуры, например, спирали, ротационные волны и др. При этом обладающая богатой пространственно временной динамикой нелинейная оптическая система должна содержать в своей конфигурации достаточно эффективные средства управления этой динамикой.

Среди всевозможных нелинейных оптических систем, демонстрирующих широкий круг управляемых эффектов самоорганизации светового поля, одной из самых популярных последние два десятилетия является конфигурация, состоящая из тонкого слоя нелинейной среды и различным образом организованного контура двумерной обратной связи. Используемая в таких системах нелинейная среда как правило обладает локальным откликом, причем наведенная падающим световым полем нелинейная добавка 6п(х, £) к показателю преломления по пропорциональна интенсивности поля I в данной точке среды, что соответствует эффекту Керра [154]: п = щ + 5п(х,£), 5п(х,ь) = п21.

Зависящая от интенсивности пространственная модуляция показателя преломления приводит к возникновению модуляции фазы волны, прошедшей через нелинейную среду. Для слоя толщиной I 1 дополнительный фазовый сдвиг и(х,£), называемый далее фазовой модуляцией, связан с возмущением показателя преломления соотношением и(х, £) = Ы5п(х, ¿).

Неотъемлемым структурным элементом рассматриваемых систем является контур чисто оптической, либо электронно-оптической обратной связи, с помощью которого реализуется известный принцип "управления светом с помо щью света" [175]: распределение интенсивности света в среде является некоторым функциональным преобразованием от фазовой модуляции: I — Ф(и). Таким образом, необходим некоторый механизм преобразования фазовой модуляции в модуляцию интенсивности. Наиболее просто на практике реализуются функциональные преобразования, обусловленные дифракцией [232, 235, 199, 203, 218, 215, 168], интерференцией [И, 13,157, 42, 186, 204], либо учетом обеих упомянутых эффектов [163, 161, 216, 217, 214].

Прогресс в развитии новых нелинейных материалов представляет исследователю широкие возможности для выбора нелинейной среды, отвечающей за преобразование модуляции интенсивности в фазовую модуляцию. Основными критериями здесь являются, во-первых, сила проявления нелинейных эффектов, численно выражающаяся в рассматриваемой модели керровской среды в величине коэффициента П2, и, во-вторых, время нелинейного отклика среды. Как отмечено в [233], пока еще не синтезировано нелинейных материалов, обеспечивающих одновременно сильный (п2 > O.lcm2/mW) и относительно быстрый (< 10~3с.) нелинейный отклик. Определенный компромисс достигается при использовании жидкокристаллического пространственно временного модулятора света, сокращенно - ЖК-ПВМС [97, гл. 3]. В англоязычной литературе используется также сокращение LCLV (liquid-crystal light-valve ). Как указано в [233] (см. также [82]) эквивалентное значение нелинейного коэффициента П2 Для ЖК-ПВМС может превышать значение 0.1crn2/mW при типичном значении времени нелинейного отклика ~ 0.1с. В настоящее время оптические системы с обратной связью на основе ЖК-ПВМС широко используются для моделирования различных поперечных нелинейных эффектов. Впервые оптическая система с обратной связью на основе ЖК-ПВМС была экспериментально реализована в МГУ [11].

Важное достоинство рассматриваемых нелинейных оптических систем связано с тем, что внешний контур обратной связи может быть использован для непосредственного воздействия на нелинейную динамику системы посредством управляемых крупномасштабных преобразований пространственных и временных координат, выполняемых призмами, линзами, динамическими голограммами и др. устройствами. Чувствительность динамики оптических систем на такого рода управляющие воздействия была подтверждена экспериментальными и численными исследованиями. Экспериментально показано, что при использовании даже простейших видов преобразований (поворот, отражение от координатных осей, запаздывание) можно реализовать широкий спектр режимов самоорганизации светового поля: многолепестковые и ротационные волны, оптические спирали, волны переключения, роллы, гексагоны и др. (см. [157, 235, 186, 204, 161, 215, 168, 214] и др.).

Kerr slice

Рис. 1. Принципиальная схема оптической системы с преобразованием пространственных аргументов в контуре двумерной обратной связи и тонким слоем среды керровского типа: Л0 - входная волна, Аои1 - выходная волна, и - фазовая модуляция, д(у) - преобразованием аргументов, к - волновое число, I - толщина нелинейного слоя, зеркала обратной связи.

Вместе с тем, для приложений важно иметь возможность целенаправленного построения фазовой модуляции с заданной пространственно временной топологией (периодические решетки, локализованные структуры и массивы таких структур, ротационные волны и др.). В этом направлении потенциальные возможности даже уже имеющихся моделей нелинейных оптических систем далеко не полностью разработаны и могут быть существенно расширены с помощью систематического исследования задач оптимального управления преобразованием пространственных аргументов в контуре обратной связи. Таким образом, исследование моделей нелинейных оптических систем с управляемым преобразованием аргументов в контуре обратной связи - актуальное направление в современной теоретической и прикладной нелинейной оптике.

Обратимся к принципиальным схемам рассматриваемых оптических систем. Для случая керровской среды в сочетании с интерференцией оптическая схема представлена на рис. 1. Для случая ЖК-ПВМС, работающего на отражение световой волны, используется несколько модифицированная схема, изображенная на рис. 2. Схема ее экспериментальной реализации приводится на рис. 3.

С появление более совершенных материалов и современных компьютерных методов регистрации изображений, схемы эксперимента модифицировались. На рис. 4, 5 приведем варианты схем оптических систем, разрабатываемых

Рис. 2. Принципиальная схема адаптивного интерферометра [43, §22] с ЖК-ПВМС и преобразованием поворота пространственных аргументов с помощью волоконным световода S в контуре обратной связи: К - корректор волнового фронта, М^ - светоделители, М3 - опорное зеркало, Ф - фазовые неоднородности в предметном плече. V

Рис. 3. Схема экспериментальной установки оптической системы с ЖК-ПВМС и поворотной призмой для преобразованием пространственных аргументов в контуре двумерной обратной связи [43,13]: М\, Мз, Мб - светоделители, Мг - диэлектрическое зеркало транспаранта, М5 - зеркала, Ь1>2 - линзы, В - диафрагма, Ф - фазовая неоднородность, 1 - прозрачные электроды, 2 - ориентирующие покрытия, 3 - светоблокирующий слой оптическая развязка). screen digital oscilloscope light source polarizing beam splitter LCLV polarizer pinhole -Q photodetector

Рис. 4. Схема экспериментальной установки оптической системы на ЖК-ПВМС и поворотным световодом с компьютерной системой регистрации изображений (186]. группами российских, итальянских и французских экспериментаторов.

Несмотря на различие нелинейных элементов и конфигураций, в случае пространственно-однородного профиля интенсивности входной волны 1(и) является известной функцией аргумента и,

1{и) = К(1 + 7соэи), К > 0,7 € (0,1).

С учетом простейшего типа преобразования пространственных аргументов у — д(х) динамика оптической системы моделируется пространственно распределенным уравнением Дебая тдги + и - ИАу, = К ■ 19(и), (1) которое описывает процесс релаксации и диффузии фазовой модуляции и световой волны при прохождении ею тонкого слоя нелинейной среды в пределах апертуры П С М2. Возникающие при этом неоднородности показателя преломления среды считаются пропорциональными интенсивности 1д(и) волны обратной связи, которая задается суперпозицией функционального отображения и —» 1{и) и преобразования д = д(у) : К2 —> М2 пространственных аргументов в контуре обратной связи. Здесь и = и(х,£) - вещественнознач-ная функция аргументов х и х = {х\) Х2) € П, Г2 - область в М2 , К = К(х) - известная функция, Д = <92 + д2 - оператор Лапласа.

1 22

Рис. 5. Схема экспериментальной установки оптической системы на ЖК-ПВМС с преобразованием аргументов [161]. а б в

Рис. 6. Ротационные волны, наблюдавшиеся в эксперименте с нелинейной оптической системой с интерференцией, преобразованием поворота пространственных аргументов в контуре двумерной обратной связи и ЖК-ПВМС [42].

В случае гладкого обратимого преобразования д области Я на себя с единичным якобианом суперпозиция описывается формулой

1д(и)(х,г) = 1(и(д-\х),г)): (2) где д~х - обратное преобразование. В эксперименте типичными преобразованиями из данного класса являлись отражение от координатных осей и поворот в круге. Эти преобразования реализуются с помощью призм, зеркал, гибких световодов.

Наряду с преобразованиями аргументов с единичным якобианом, можно промоделировать и более широкий класс невырожденных гладких преобразований области Я на д(£1) с отличным от нуля якобианом. В этом случае вместо (2) используется более общая формула [100]: Шх а хАхЩ^Ш) m

WM- |3-(5-iW)| ■ Р) где Хд(х) - характеристическая функция множества fifig(Q), \д'(-)\ - якобиан преобразования. Соотношение (3) "регулирует"перераспределение интенсивности поля и обеспечивает выполнение закона сохранения энергии до и после преобразования аргументов в виде равенства интегралов

J Ig(x,t)dx= j I(u(y, t))dy. nn g(Q) p-i(fi)

Например, в случае растяжения координат д(х) = (а > 1) в единичном круге Q — {х\ + х\ < 1} из (3) следует формула Ig(x,t) = оГ21(и{а~1х, t)), описывающая расплывание интенсивности и ее поточечное уменьшение в а2 раз.

В экспериментах было замечено, что варьированием поворота аргументов в контуре обратной связи можно добиться визуализации ротационных волн с различным пространственным профилем и разными периодами вращения [164, 42, 59]. На рис. 6 приведены примеры наблюдавшихся в эксперименте ротационных волн. Математические обоснование наблюдаемых автоволновых явлений в рамках модели (1)-(2) для преобразования поворота на фиксированный угол в круге или кольце проведено в [104, 105, 107, 108], где дано описание вращающихся многолепестковых волн на основе теории бифуркации Андронова - Хопфа и исследована их устойчивость. Эти работы вызвали большой интерес к данной проблематике специалистов по дифференциальным уравнениям и асимптотическим методам, и инициировали серию исследований в теории квазилинейных параболических ФДУ с преобразованием пространственных аргументов.

Отметим наиболее важные работы в этой области, выполненные другими авторами. Методы построения периодических решений, рождающихся в результате бифуркации Андронова-Хопфа для произвольной области (в случае размерности п > 2) и невырожденного гладкого преобразования развивались A.J1. Скубачевским [136, 224,137], однако в этих работах исследование устойчивости получающихся решений не проводилось. Метод нормальных форм для ФДУ с поворотом одномерного аргумента для случая малой диффузии, когда задача является сингулярно возмущенной, применялся Кащенко С.А. и соавторами в [69, 176] для описания динамики вращающихся одномерных волн, однако в этих работах не приводится строгого математического обоснования применяемых асимптотических методов, а также не исследуется устойчивость полученных решений. Строгие математические результаты в одномерной модели с поворотом аргументов в кольце и малой диффузией имеются в работах Колесова А.Ю. и Розова Н.Х. [70, 92], Белана Е.П. [21], где различные асимптотические методы применялись для исследования явления оптической буферности. Отметим работы Белана Е.П. и Лыковой О.Б. [19, 20], в которых использовалась техника центрального многообразия для исследования бифуркационных вращающихся структур в кольце для случая поворота, а также в круге для преобразования поворота совместно с радиальным сжатием.

В настоящей диссертации явление структурообразования исследуется в кольце либо круге в сочетании с поворотом либо отражением аргументов. Именно для поперечных апертур с круговой симметрией в экспериментах наблюдались регулярные вращающиеся и стационарные структуры, а при математическом описании структур посредством классической теории бифуркаций удается в явном виде промоделировать пространственный профиль вращающихся и стационарных структур. В первом приближении этот профиль задается выражаемыми в элементарных функциях собственными элементами линеаризованной задачи. Коэффициент диффузии в нашем изложении, в отличие от работ [69, 176, 70, 92, 21] не предполагается, вообще говоря, малым, что позволяет исследовать условия возникновения вращающихся волн в достаточно большом диапазоне изменения параметров задачи, соотносимом с реальными параметрами нелинейных сред, например, ЖК-ПВМС. Отметим также, что в математических работах упомянутых авторов не был отражен рассматриваемый в данной диссертации случай дифракции волны в контуре обратной связи, при котором в модель добавляется уравнение типа Шре-дингера, и пространственно-временные характеристики возникающих волн становятся зависящими от силы дифракции.

Таким образом, математическое моделирование рассматриваемых оптических систем даже с простейшим типом преобразования - поворотом аргументов - представляет собой актуальную, привлекающую внимание исследователей в России и за рубежом проблему в области структурообразования ("pattern formation").

При моделировании нелинейных оптических систем наряду с задачами структурообразования, актуальна проблема описания глобальной динамики системы по истечении достаточного большого промежутка времени, а также количественной оценки разнообразия всевозможных реализующихся в оптической системе динамических структур и, соответственно, ее информационной емкости [198, 88]. В определенной степени для этой цели подходит аттрактор 21 — замкнутое ограниченное подмножество подмножество фазового пространства, обладающее свойствами инвариантности и притяжения произвольных ограниченных множеств начальных условий. С физической точки зрения аттрактор аккумулирует в себе информацию о всех предельных режимах, допускаемых системой на бесконечном промежутке времени. Исторически для обозначения таких множеств в литературе используются несколько понятий-синонимов: максимальный аттрактор [16], минимальный глобальный Б-аттрактор [78], глобальный аттрактор [152], универсальный аттрактор [226]. Далее для краткости применяется термин аттрактор.

Важно отметить, что как подмечено в [16] аттрактор представляет собой более широкое множество, чем совокупность решений, устанавливающихся в системе при t —> -Ьоо. Поведение каждой отдельной траекторий в окрестности аттрактора может быть детализировано, если аттрактор является регулярным [17, гл. V]. В этой связи отметим работы Белолипецкого A.A. и Тер-Крикорова A.M. [22, 23, 24, 25, 26], посвященные построению специальных фундаментальных решений уравнений теплопроводности и реакции-диффузии, к которым при выполнении некоторых условий стремятся траектории при t —> -foo, а также работу Треногина В.А. [140].

Для широкого класса нелинейных уравнений математической физики в работах Бабина A.B., Вишика М.И., Ладыженской O.A., Темама Р. и др. авторов были доказаны теоремы о существовании аттракторов и получены оценки их хаусдорфовой размерности. В этих работах разработана общая методика исследования таких задач, связанная с рассмотрением полугруппы операторов сдвига вдоль траекторий и исследованием ее дифференцируемое™ в подходящем фазовом пространстве. Это разумеется не означает, что необходимые исследования проведены для всех конкретных типов задач. Напротив, именно рассматриваемые в настоящей диссертации квазилинейные параболические ФДУ с преобразованием пространственных аргументов (даже в случае обратимых преобразований), а также системы ФДУ и уравнения типа Шре-дингера, являются не охваченным в работах других авторов классом задач с точки зрения приложения теории аттракторов динамических систем.

При изучении функционально-дифференциальных уравнений как правило ограничиваются рассмотрением гладких обратимых преобразований аргументов. Не претендуя на полноту списка, отметим работы Азбелева Н.В., Андреевой Е.А., Беллмана Р., Габасова Р.Ф., Зверкина A.M., Евтушенко Ю.Г., Каменского Г.А., Кирилловой Ф.М., Колмановского В.В., Колесова Ю.С., Красовского H.H., Кука К., Куржанского А.Б., Митропольского Ю.А., Мыш-киса А.Д., Норкина C.B., Осипова Ю.С., Разумихина Б.С., Скубачевского A.JL, Хейла Дж., Черноусько Ф.Л., Швитра Д.И., Эльсгольца Л.Э., Mallet-Paret J., Oliva W., Da Prato F., Kurzweil J. и других авторов. Широкий круг полученных здесь результатов относится прежде всего к теории ФДУ с обыкновенными производными. В этой области исследованы вопросы существования, единственности, устойчивости, гладкости, асимптотического поведения решений как начальной, так и краевой задач; изучен спектр задачи типа Штурма-Лиувилля; разрабатывались и успешно применялись методы теории возмущений, бифуркаций, инвариантных многообразий и др.

В значительно меньшей степени развита теория ФДУ с частными производными. Имеющиеся здесь математические результаты относятся в основном к исследованию эволюционных ФДУ с различными типами запаздывания или последействия [245,195, 244,192, 39,184, 227,171,165,196], а также к краевым задачам для дифференциально-разностных уравнений и сводящимся к ним. При этом наиболее глубоко исследован случай вхождения линейного преобразования аргументов как в саму искомую функцию, так и в ее старшие производные (см., например, [28, 10, 65, 223, 131, 93] и библиографию в этих работах).

В задачах оптимизации преобразования аргументов, требующих варьирования управляемым преобразованием, оставаться в рамках достаточно узкого класса обратимых допустимых преобразований неестественно, поскольку при этом не используются широкие возможности современных оптических систем осуществлять необратимые преобразования (например, фокусировку в точку или линию). С другой стороны, результаты проведенных нами численных исследований [124] показывают, что актуальные для приложений локализованные и периодические фазовые профили удается получить как раз в случае преобразований, не являющихся обратимыми в окрестностях точек локализации. Традиционное для теории оптимального управления расширение множества допустимых управлений-преобразований до класса произвольных (в том числе необратимых) измеримых по Лебегу почти всюду ограниченных преобразований потребовало перехода к обобщенной трактовке преобразования и постановке соответствующих новых задач оптимального управления.

При расширении класса допустимых преобразований аргументов и отказе от условия обратимости д(у) "классическая"формула (3) вообще говоря теряет смысл даже для случая бесконечно дифференцируемых отображений (например, для д(у) = у0, где у0 - заданная точка из fi). В работе Потапова М.М. [100] обобщенное преобразование аргументов задавалось помощью функционала:

1дШ)= J H<V,tM9(y))dy, V^ecm (4) где ¿Г1^) = {у '■ у Е &,д(у) G Ü} - полный прообраз множества Í7 при отображении д(у). Корректное определение интеграла в (12) и его свойства существенно зависят от размерности пространственного аргумента. В пространственно одномерном случае вопросы разрешимости начально-краевой задачи для системы (1), (12) с функцией интенсивности 1(и) = а 4- ЬсоБ(и) и произвольным измеримым преобразованием д{у) : Е1 —► М1 исследовались ранее в [100].

Моделирование полностью двумерных преобразований, наиболее типичных для оптических моделей, — значительно более сложная и не исследованная другими авторами задача, отличающаяся от одномерного случая существенно меньшим запасом гладкости решений ФДУ. Достаточно общая математическая постановка задачи, охватывающая интерференционные взаимодействия волн и произвольные измеримые по Лебегу преобразования аргументов в контуре обратной связи, описывается начально-краевой задачей дги + Ли — д), (5)

I» = 0, (6) и\^о = щ(х). (7)

Здесь и = и(хЛ), % Е [0,Т], х — (а;!,^) € Я, Я - ограниченная область в Е2 с границей 'дП> Е = аПх[0,Г],0 = ПидП, дг = д/дг, Ли = и - БАи, Д = д11Х1+д12Х2 - оператор Лапласа, Б > 0. Граничный оператор Г(-) отвечает либо условиям Дирихле, либо условиям Неймана в произвольной области, либо условиям периодичности в прямоугольнике. Правая часть уравнения (5), содержащая управляемое преобразование д{у) = (<71(2/), <72(2/)) пространственного аргумента у Е Я, задается в обобщенном смысле в виде значения функционала

Г{и,д),<р)= I РШ,уАу))<р{9Шу, ^ е СФ)- (8)

Подынтегральная функция г, у, и) предполагается непрерывной и равномерно ограниченной на множестве йхйх Я вместе с первой производной по у и всеми производными по х, и вплоть до второго порядка включительно.

В модели нелинейной оптической системы, учитывающей дифракционные эффекты и преобразование д(у) пространственных аргументов в контуре обратной связи, динамика фазовой модуляции описывается начально-краевой задачей д1и + Ли = 1(и)д), (9)

Т(и) = 0, (10) и\ыо = ио(х)> (п) где в правой части дифференциального уравнения (9) обобщенная суперпозиция 1{и, д) оператора интенсивности и преобразования пространственных аргументов имеет вид

J K(g(y))I(y,uMg(y))dy, G C(fi). (12) д-ЧП)

Здесь вызывающее модуляцию фазы на нелинейном элементе функциональное отображение интенсивности и —> 1(и) задается по формуле u->I(u) = \A(x,z = £)\2 (13) через значение следа при z = £ комплекснозначного решения A(x,z) = А{х. z] и) краевой задачи для уравнения типа Шредингера dzA + iAA = 0, (14) А0{х) ехр(ш), Г(А) = 0, (15) моделирующей дифракцию световой волны в квазиоптическом приближении [235, 161].

Как было отмечено выше, актуальной является задача целенаправленного подбора преобразования аргументов д в контуре обратной связи нелинейной оптической системы, при котором на выходе формируется заданное распределение фазовой модуляции и(х, t). Математически такие задачи могут быть формализованы в виде задачи минимизации

J(g) - inf, д е G, где J(g) - некоторый функционал качества, как правило вычисляемый через решения и = и(х, t; д) соответствующих начально-краевых задач (5)-(8) или (9)-(15), G - некоторое множество допустимых преобразований. Такие задачи относятся к классу задач оптимизации систем с распределенными параметрами. Методы исследования задач управления и наблюдения системами с распределенными параметрами исследовались в работах Авдонина С.А., Ахиева С.С., Бублика Б.Н., Бутковского А.Г., Васильева О.В., Васильева Ф.П., Егорова А.И., Иванова С.А., Ишмухаметова А.З., Кирина Н.Е., Крылова Н.В., Куржанского А.Б., Лионса Ж.Л., Литвинова В.Г., Лурье К.А., Марчука Г.И., Осипова Ю.С., Плотникова В.И., Потапова М.М., Сиразетди-нова Т.К., Сумина В.И., Фурсикова A.B. и других авторов (см., например, книги [31, 33, 49, 50, 51, 62, 72, 85, 87, 89, 96, 135, 145] и цитированную в них литературу). При этом внимание уделялось управляемым системам, описываемым основными краевыми и начально-краевыми задачами математической физики, а управление осуществлялось в начальном условии, на границе либо ее части, в правой части дифференциального уравнения, в коэффициентах уравнения и другими способами. В тоже время кроме упоминавшейся ранее работы [100], посвященной управлению одномерным преобразованием аргументов, в работах других авторов задачи оптимизации преобразованием пространственных аргументов параболических ФДУ не рассматривались.

Из сказанного очевидно, что логика развития современной теоретической и прикладной нелинейной оптики оказывается неразрывно связанной с применением математических методов для исследования моделирующих динамику фазовой модуляции светового поля функционально-дифференциальных уравнений. С другой стороны, модели нелинейных оптических систем с обратной связью описываются новыми классами параболических ФДУ, которые ранее не встречались в математической литературе. Кроме того, имеющаяся в рассматриваемых нелинейных оптических системах возможность варьирования параметрами функционального преобразования пространственных аргументов в контуре обратной связи приводит к совершенно новому направлению в теории оптимального управления - оптимизации параболических ФДУ, в которых роль управления выполняют сами преобразования пространственных аргументов. Таким образом, математическое моделирование нелинейных оптических систем с управляемым преобразованием аргументов в контуре обратной связи является актуальной и мало исследованной ранее проблемой, стимулирующей развитие нового направления в теории функционально-дифференциальных уравнений и оптимального управлению системами с распределенными параметрами.

Математическое моделирования нелинейных оптических систем, описываемых квазилинейными параболическими ФДУ с преобразованием аргументов, требует разработки специальных численных методов. Дело в том, что возможности аналитического исследования рассматриваемой задачи ограничиваются либо применением асимптотических методов при выборе тех или иных бифуркационных параметров при условии существования пространственно однородного решения ФДУ, либо исследованием аттрактора, описывающего динамику системы по истечении достаточно большого промежутка времени. Для исследования таких важных задач, как динамика переходных процессов вдали от положения равновесия, либо в случае пространственно неоднородного входного поля, а также для исследования возможностей оптимизации преобразования аргументов численному моделированию пока нет альтернативы.

При построении конечномерных аппроксимаций рассматриваемых квазилинейных параболических ФДУ приходится иметь дело со следующими трудностями. Во-первых, наличие функционалов (обобщенных функций) в правой части дифференциального уравнения требует построения адекватной сеточной аппроксимации. Во-вторых, решение ФДУ даже для гладкого (но необратимого) преобразования аргументов не будет обладать большим запасом гладкости, степень гладкости наиболее точно удается выразить в терминах пространств Соболева дробного порядка. В-третьих, конечномерная аппроксимация ФДУ должна приводить к естественной аппроксимации для задачи оптимизации преобразования аргументов, обеспечивая ее сходимость по функционалу.

Для конечномерной аппроксимации уравнений математической физики и некоторых связанных с ними задач оптимального управления широкое применение нашли разностный [133, 132, 134, 71, 7, 8, 53, 67, 48, 58], проекционный [3, 54, 55, 56, 138, 90, 103,101, 57, 52] и другие методы [34, 35, 73]. Для аппроксимации дифференциально-разностных эллиптических уравнений применялись метод коллокаций и конечно-разностный метод [65].

Для аппроксимации линейных параболических уравнений широко используется проекционно-разностный метод (см., например, [54, 56]), основанный на вариационной формулировке начально-краевой задачи и позволяющий исследовать скорость сходимости для обобщенных решений малой гладкости. В [103, 101, 106] методика работ [54, 56] развита для случая возникающих в нелинейной оптике линейных и нелинейных уравнений типа Шредингера.

Значительно менее развитой является теория аппроксимации параболических ФДУ. Конечно-разностные методы для решения параболических ФДУ с запаздыванием рассмотрены в [200, 201, 202]. Для случая параболических ФДУ с линейным преобразованием пространственных аргументов в прямоугольнике оценки скорости сходимости разностного метода получены недавно в [167] (см. также библиографию в этой работе) при условии существования достаточно гладкого классического решения. Работы других авторов, посвященные построению и исследованию сходимости конечномерных аппроксимаций параболических ФДУ с необратимым преобразованием аргументов, нам неизвестны.

Разрабатываемой в настоящей диссертации проекционно-разностный метод оказался наиболее подходящим для аппроксимации нелинейных параболических ФДУ с обобщенным преобразованием пространственных аргументов. Проекционный характер аппроксимации по пространственным переменным позволяет естественным образом построить аппроксимации функционалов в правой части дифференциального уравнения. Однако нелинейный характер схемы и наличие функциональных членов потребовали существенного развития имеющихся в линейном случае методов исследования ПРС для получения оценки скорости сходимости в условиях малой гладкости решения ФДУ без априорных предположений обратимости преобразования аргументов. Необходимо также отметить важность разработки экономичных способов численной реализации ПРС для ФДУ при использовании схемы в комплексе алгоритмов оптимизации преобразования аргументов градиентными методами, когда ФДУ приходится решать достаточно большое число раз. Таким образом, математическое моделирование нелинейных оптических систем с управляемым преобразованием аргументов в контуре обратной связи приводит к актуальной и не исследованной ранее другими авторами проблеме построения эффективных численных методов для решения нового класса квазилинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений.

Диссертация состоит из введения, списка обозначений и сокращений, четырех глав и списка литературы.

1. Акаев A.A., Майоров С.А. Оптические методы обработки информации. М.: Высш. шк., 1988.

2. Акимова И.Г., Разгулип A.B. Ротационные волны в оптической системе с дифракцией и поворотом пространственных аргументов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. математ. и киберн. 1999. № 2. С. 20-25.

3. Акопян Ю.Р., Оганесян Л.А. Вариационно-разностный метод решения двумерных линейных параболических уравнений // Жури, вычисл. ма-тем. и матем. физики. 1977. Т. 17, № 1. С. 109-118.

4. Альбер Я. И. К задаче минимизации гладких функционалов градиентными методами // Жури, вычисл. матем. и матем. физики. 1971. Т. 11, №3.

5. Альбер Я.И. О минимизации функционалов класса на ограниченных множествах // Экономика и математические методы. 1980. Т. 16. С. 185-190.

6. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

7. Амосов A.A., Злотпик A.A. Исследование конечно-разностного метода для уравнения одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Априорные оценки и устойчивость // Отдел вычислительной математики АН СССР. Препринт № 121. М.: 1986. 31 с.

8. Амосов A.A., Злотпик A.A. Исследование конечно-разностного метода для уравнения одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Оценки погрешности и реализация // Отдел вычислительной математики АН СССР. Препринт № 127. М.: 1986. 32 с.

9. Амосов A.A., Злотник A.A. О свойствах обобщенных решений одномерных линейных параболических задач с негладкими коэффициентами // Дифференц. уравн. 1997. Т. 33, № 1. С. 83-95.

10. Антоневич А.Б. Линейные функциональные уравнения: операторный подход. Минск: Изд-во "Университетское", 1988.

11. Ахмапов СЛ., Воронцов U.A., Иванов D.IO. Крупномасштабные поперечные нелинейные взаимодействия в лазерных пучках; новые типы нелинейных воли, возникновение оптической турбулентности// Письма в ЖЭТФ. 1988. Т. 47, вып. 12. С. 611-614.

12. Новые физические принципы оптической обработки информации. Сб. статей под ред. Ахманова С.А., Воронцова М.А. М.: Наука, 1990.

13. Ахмапов С.А., Воронцов М.А., Ларичев A.B. Динамика нелинейных вращающихся световых воли: гистерезис и взаимодействие волновых структур // Квантовая электроника. 1990. Т. 17, К4. С. 391-392.

14. Ахромеева Т.С., Курдюмов С.П., Малинецшй Г.Г., Самарский A.A. Нестационарные структуры и диффузионный хаос. М.: Наука, 1992.

15. Бабин A.B., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений с частными производными и оценки их размерности // Успехи матем. наук. 1983. Т. 38, вып. 4(232). С. 133-187.

16. Бабин A.B., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989.

17. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989.

18. Белан Е.П. О взаимодействии бегущих воли в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференц. уравн. 2004. Т. 40, № 5. С. 645-654.

19. Белан Е.П., Лыкова О.Б. Вращающиеся структуры в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференц. уравн. 2004. Т. 40, № 10. С. 1348-1357.

20. Белан Е.П. О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространственной переменной// Журн. математической физики, анализа, геометрии. 2005. Т. 1, Ш 1. С. 3-34.

21. Белолипецкий A.A., Тер-Крикоров A.M. Об одном классе решений абстрактного нелинейного параболического уравнения вблизи точки бифуркации// Доклады АН СССР. 1984. Т. 279, № 4. С. 777-780.

22. Белолипецкий A.A., Тер-Крикоров A.M. О фундаментальных решениях нелинейного уравнения теплопроводности // Журн. вычисл. мат. и матем. физики. 1984. Т.24, № б. С. 850-863.

23. Белолипецкий A.A., Тер-Крикоров A.M. Построение фундаментальных решений абстрактного нелинейного параболического уравнения в окрес-иости точки бифукации// Матем. сборник. 1985. 1985. Т. 128(170), № 3(11). С. 306-320.

24. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996.

25. Борок В.М., Житомирский Я.PI. О задаче Коши для линейных уравнений в частных производных с линейно преобразованным аргументом// Доклады АН СССР. 1972. Т. 200, № 3. С. 515-518.

26. Бутковский А.Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М: Наука, 1975.

27. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном анализе. М.: Мир, 1974.

28. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

29. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

30. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Факториал, 2001.

31. Васильев Ф.П., Куржанский М.А., Потапов М.М. Метод прямых в задачах граничного управления и наблюдения для уравнения колебаний струны // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1993. № 3. С. 8-15.

32. Васильев Ф.П., Куро/санский М.А., Разгулип A.B. О методе Фурье для решения одной задачи управления колебанием струны // Вести. Моск. Уп-та, Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1993. № 2. с. 3-8.

33. Васильева A.B., Кащенко С.А., Колесов Ю.С., Розов Н.Х. Бифуркация автоколебаний нелинейных параболических уравнений с малой диффузией // Матем. сборник. 1986. Т. 130 (172), № 4. С. 488-499.

34. Виноградова М.В., Руденко О.В., Сухорукое А.П. Теория волн. М.: Наука, 1990.

35. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.

36. Власов В.В. Об одном классе линейных дифференциальных уравнений с последействием в гильбертовом пространстве// Успехи математ. паук. 1993. Т. 48, № 6. С. 147-148.

37. Воронцов М.А. Ахсеалы новый класс пространственно-временных иеустойчивостей световых полей //Квантовая электроника. 1993. Т. 20, № 4. С. 319-321.

38. Воронцов М.А., Думаревский Ю.Д., Пруидзе Д.В., Шмальгаузен В.И. Автоволновые процессы в системах с оптической обратной связью // Известия АН СССР. Сер. физич. 1988. Т. 52, № 2. С. 374-376.

39. Воронцов М.А., Иванов В.Ю., Ларичев A.B. Ротационная неустойчивость поперечной структуры световых полей в нелинейных системах с оптической обратной связью// Известия АН СССР. Сер. физич. 1991. Т. 55, № 2. С. 316-321.

40. Воронцов М.А., Корябин A.B., Шмальгаузен В.И. Управляемые оптические системы. М.: Наука, 1988.

41. Воронцов М.А., Шмальгаузен В.И. Принципы адаптивиой оптики. М.: Наука, 1985.

42. Гончарский A.B., Попов В.В., Степанов В.В. Введение в компьютерную оптику. М.: Изд-во МГУ, 1991.

43. Далецкий 10. Л., Крейи М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970.

44. Денисов Г.А. О математическом описании спиральных воли в распределенных химических системах // Прикл. математика и механика. 1984. Т. 48, вып. 2. С. 293-301.

45. Дриц В.В. Консервативные разностные схемы в задачах нелинейной оптики. I. // Дифференц. уравн. 1991. Т. 27, № 7. С. 1153 1161.

46. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978.

47. Егоров А.И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004.

48. Егоров А.И., Знаменская Л. Н. Управление упругими колебаниями. Оптимизация, управление, интеллект. Труды международной конференции CDS-2000. Иркутск: Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 2000.

49. Зайцева O.A., Злотиик A.A. Оценки погрешности одного симметризо-ванпого локально-одномерного метода для двумерного уравнения теплопроводности // Вестник МЭИ. 1997. № 6. С. 42-56.

50. Захарова И.Г., Карамзин 10.Н., Трофимов В.А. Численные методы для задач теплового самовоздействия оптического излучения // Математ. моделирование. 1989. Т. 1, № 10. С. 130 141.

51. Злотник A.A. Оценка скорости сходимости в Ь2 проекционно-разностных схем для параболических уравнений // Жури, вычисл. ма-тем. и математ. физики. 1978. Т. 18, № 6. С. 1454-1465.

52. Злотник A.A. Проекционно-разностпая схема для уравнения колебаний струны// Докл. АН СССР. 1979. Т. 245, № 2. С. 292-294.

53. Злотник A.A. Оценка скорости сходимости в V2(Qt) проекционно-разиостиых схем для параболических уравнений // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, Вычисл. матем. и киберн. 1980. № 1. С. 27-36.

54. Злотник A.A., Киреева О.И. Проекционно-сеточные методы для задачи о динамических колебаниях неоднородного стержня в случае негладких данных// Математ. заметки. 1996. Т. 60, № 1. С. 138-143.5960 6162 6364