автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование моделей управляемой фурье-фильтрации в нелинейно-оптических системах с обратной связью

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

ОБЯЗАТЕЛЬНЫЙ БЕСПЛАТНЫЙ

ЭКЗЕМПЛЯР

На правах рукописи

Чушкин Владимир Александрович

ИССЛЕДОВАНА МОДЕЛЕЙ УПРАВЛЯЕМОЙ ФУРЬЕ-ФИЛЬТРАЦИИ В НЕЛИНЕЙНО-ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2005 г.

Работа выполнена на кафедре математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный кандидат физико-математических наук,

руководитель: доцент Разгулин Александр Витальевич.

Официальные доктор физико-математических наук,

оппоненты: профессор Амосов Андрей Авенирович;

кандидат физико-математических наук, Ирошников Никита Георгиевич.

Ведущая организация:

Институт математического моделирования РАН.

Защита состоится

2005 года в .

• часов на заседании диссертаци-

онного совета К 501.001.07 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, ГСП-2, Ленинские горы, МГУ, 2-й учебный корпус, факультет ВМиК, аудитория 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ.

Автореферат разослан "—" •

2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, / доцент /V*

В.М. Говоров

/M/ff

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В последние десятилетия в лазерной физике активно исследуются нелинейно-оптические системы с пространственно-распределённой обратной связью (ОС). Большой интерес к системам с ОС объясняется тем, что эти системы являются, по-существу, универсальными оптическими компьютерами для изучения процессов самоорганизации, автоволновой неустойчивости и хаоса. В работах С. А. Ахманова, М. А. Воронцова, Е. В. Дегтярёва, В. Ю. Иванова, Н. Г. Ирошникова, А. В. Ларичева, И. П. Николаева, В. И. Шмалъгаузена, F. Т. Arecchi, S. Boccaletti, P. L. Ramazza, S. Residori, W. J. Firth и др. авторов в нелинейных системах с ОС были не только экспериментально обнаружены основные типы автоволновых процессов такие, как структуры Тьюринга-Пригожина, автоколебания, ведущие центры, оптические ревербераторы, различного рода спиральные волны и локализованные структуры, но и исследованы новые эффекты нелинейной динамики, а также предложены возможные теоретические подходы к объяснению таких сложных явлений, как, например, развитие вторичных неустойчивостей либо сценариев перехода к пространственно-временному хаосу. Возрастанию интереса к системам с ОС способствует также развитие идей оптической обработки информации и практических приложений оптических систем с ОС, самыми известными и успешными из которых на сегодняшний день являются высокоразрешающая коррекция волнового фронта при помощи специальным образом организованной пространственной фильтрации световой волны в контуре ОС и применение методов управления волновым фронтом к различным задачам адаптивной оптики, например, к задачам астрономии и медицины.

Сравнительная простота экспериментальной реализации и высокая скорость выполнения операции оптической фурье-фильтрации привели к тому, что техника пространственной фильтрации получила широкое распространение в нелинейно-оптических системах с ОС. В таких системах фурье-фильтрация осуществляется с помощью конфокального 4 — f оптического блока двух тонких линз с общей фокальной плоскостью, в которой установлена амплитудно-фазовая пластинка или электронно-управляемый пространственный модулятор света.

В нелинейно-оптических системах с ОС существуют богатые возможности управления фазой световой волны. Различные методы управления волновым фронтом в адаптивной оптике изучались в работах М. А. Воронцова, Ю. Н. Карамзина, А. В. Корябина, А. П. Су-хорукова, В. А. Трофимова, В. И. Щмальгаузена и др. авторов. Основная идея, лежащая в основе современных оптических систем с фурье-фильтрацией, состоит в удачном выборе пространственного фильтра (ПФ) из отвечающих различных методам фурье-фильтрации световой волны известных классов, для которых динамика оптической системы с фурье-фильтром в контуре ОС хорошо изучена для широкого класса входных воздействий. Например, предложенный в работах А. В. Ларичева, И. П. Николаева, S. Costamagna и

Р УюНпо фильтр "фазовый нож" со смещённой относительно центра фурье-плоскости кромкой позволяет решать задачу подавления медленно меняющихся мелко-масштабных фазовых искажений входного поля, лежащих в определённом диапазоне пространственных частот. Этот же фильтр в сочетании с зеркальным отражением светового поля в контуре ОС использовался И. П. Николаевым, А. В. Ларичевым и В. И. Шмальгаузеном для генерации оптических структур с заданным пространственным периодом. В работах М. А. Воронцова с соавторами фазовый фильтр Цернике применялся для измерения фазы волнового фронта, а полученная при этом информация использовалась для организации адаптивного управления фазой световой волны. В работе М. М. Потапова и К. А. Чечкиной изучалась математическая модель дискретной фурье-фильтрации с фиксированным амплитудно-фазовым фурье-фильтром в контуре ОС нелинейно-оптической сисгемы, включающая два способа взаимодействия световых полей.

Полученные благодаря применению различных методов пространственной фильтрации в оптике конкретные результаты, а также стремительный прогресс оптоэлектронных технологий, связанный с появлением новых оптических материалов и созданием более совершенных оптически-управляемых пространственных модуляторов света, делают актуальным переход от выбора конкретных фурье-фильтров из известных классов к целенаправленному созданию новых фильтров и их отбору в соответствии с некоторыми критериями. На этом пути возникают новые классы моделей с управляемым фурье-фильтром, для которых ставятся актуальные задачи поиска оптимальных фурье-фильтров и проведения математического моделирования для исследования возможностей управляемой фурье-фильтрации. Для этого, в свою очередь, требуется разработка и реализация на ЭВМ эффективных алгоритмов для численной оптимизации фурье-фильтра. Решению указанных актуальных задач, прежде не изучавшихся в литературе, и посвящена настоящая диссертационная работа.

Целью работы является, во-первых, разработка корректной математической модели нелинейно-оптических систем с фурье-фильтрацией световой волны в контуре ОС, включающей различные способы взаимодействия световых полей, и её изучение аналитическими и численными методами для различных амплитудно-фазовых пространственных фильтров в контур? ОС и других параметров модели. Во-вторых, постановка и исследование задач управления дискретным фурье-фильтром с целью синтеза нелинейно-оптических систем с требуемой пространственно-временной динамикой. В-третьих, построение численного метода, создание программного обеспечения и проведение компьютерного моделирования оптимизации фурье-фильтра для решения задачи формирования заданной фазы световой волны в модели оптической системы на основе жидкокристаллического пространственно-временного модулятора света (ЖК-ПВМС).

Методы исследования. Методы теории функций и функционального анализа, теории уравнений с частными производными, общие методы оптимизации в функциональ-

ных и конечномерных пространствах, проекционно-разностные методы конечномерной аппроксимации, а также современные средства разработки объектно-ориентированных программ.

Научная новизна. Управление фурье-фильтром в контуре ОС нелинейно-оптической системы - новая постановка задачи, лишь недавно появившаяся в литературе. В работе построена математическая модель нелинейно-оптической системы с несколькими способами взаимодействия световых полей в контуре ОС. Исследованы вопросы разрешимости описывающих динамику рассматриваемого класса оптических систем начально-краевых задач для квазилинейного функционально-дифференциального параболического уравнения с оператором дискретной фурье-фильтрации в функциональном члене. Сформулированы и изучены нелинейные задачи оптимизации фурье-фильтра, предложены численные методы их решения, проведено математическое моделирование поиска оптимизированных фурье-фильтров в модели оптической системы с ЖК-ПВМС.

Теоретическая и практическая значимость. Работа теоретическая. В ней изучена математическая модель фурье-фильтрации в контуре ОС нелинейно-оптической системы, включающая три способа взаимодействия световых полей. Сформулированы и исследованы задачи оптимизации фурье-фильтра с функционалами качества, включающими хорошо зарекомендовавшие себя в задачах адаптивной оптики критерии подавления фазовых искажений волнового фронта и формирования заданного распределения фазы световой волны. На основе полученных теоретических результатов разработан численный метод и создан программный комплекс для решения задачи оптимизации фурье-фильтра для формирования заданной фазы световой волны в модели оптической системы с ЖК-ПВМС из излучения со стационарным неплоским волновым фронтом. Оптические системы с оптимизированными фурье-фильтрами, найденными с помощью предложенного подхода, могут быть использованы для решения прикладных задач лазерной физики.

Основные результаты. На защиту выносятся следующие положения.

1. Разработана математическая модель процесса фурье-фильтрации в контуре обратной связи нелинейно-оптической системы, включающая несколько способов взаимодействия световых полей. Доказана разрешимость и непрерывная зависимость решений от фурье-фильтра и начальных данных соответствующих начально-краевых задач для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения. Установлено существование компактного максимального аттрактора и получены двусторонние оценки его хаусдорфовой размерности.

2. Сформулированы задачи оптимального управления фурье-фильтром и доказана их разрешимость. Получена и обоснована формула градиента целевого функционала, установлена непрерывная по Гёльдеру зависимость градиента от фурье-фильтра. Разработан метод численного решения задачи управления фурье-фильтром на основе метода условного градиента и проекционно-разностиых схем аппроксимации начально-краевых задач.

3 Создан программный комплекс для оптимизации фурье-фильтров методом условного градиента. Решена задача оптимизации фурье-фильтра для формирования заданной фазы световой волны в модели оптической системы с жидкокристаллическим модулятором света.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались и докладывались на научно-исследовательском семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова; на семинаре отдела методов нелинейного анализа ВЦ им. А. А. Дородницына РАН; на VIII научной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи", Москва, МГУ, ф-т ВМиК, июнь 2003; на XXVI конференции молодых ученых механико-математического ф-та МГУ, Москва, МГУ, мех.-мат. ф-т, апрель 2004; на научной конференции "Ломоносовские чтения", Москва, МГУ, ф-т ВМиК, апрель 2004; на Воронежской весенней математической школе "Понтрягинские чтения-ХУ", Воронеж, Воронеж, гос. ун-т, май 2004; на 4-ой московской международной конференции по исследованию операций (011М2004), Москва, МГУ и ВЦ им. А. А. Дородницына РАН, сентябрь 2004; на прошедшей в рамках международного оптического конгресса "Оптика-ХХ1 век" третьей международной конференции "Фундаментальные проблемы оптики-2004", Санкт-Петербург, СПбГУ ИТМО, октябрь 2004.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[9], перечисленных в конце автореферата.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трёх глав, списка цитируемой литературы и приложения. Работа без приложения изложена на 182 страницах машинописного текста, включая 10 рисунков и 4 таблицы. Библиография содержит 143 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность темы, приводится обзор физической и математической литературы, связанной с моделями нелинейно-оптических системам с ОС, формулируются основные результаты диссертационной работы, которые выносятся на защиту.

Первая глава диссертации посвящена качественному исследованию математических моделей дискретной фурье-фильтрации в нелинейно-оптических системах с ОС.

В §1 рассматриваются конкретные модели нелинейно-оптических систем с фурье-фильтрацией в контуре ОС, включающие нелинейный пассивный кольцевой резонатор и оптическую систему на основе ЖК-ПВМС.

Динамика рассматриваемого класса оптических систем описывается в §2 начально-краевой задачей для квазилинейного функционально-дифференциального параболиче-

7(и) = u\iean, 7(u) = д„и\хеао, -y(u) =

(4)

ского уравнения второго порядка:

r9tu(x,t)+Au(x,t) = F(u(x,t)-,p), lëli, i > 0, (1)

7(u) = 0, t > 0, (2)

«|t=o = Wo(z), x € О. (3)

Уравнение (1) - релаксационное уравнение Дебаевского типа, fî - ограниченная выпуклая область пространства R2 с гладкой границей ЭП класса С2, либо прямоугольник с параллельными координатным осям сторонами О = (0, ai) х (0, Ог), а} > 0, j = 1,2; г - характерное время релаксации нелинейности, dt = d/dt, Au = u — DA±u, Ax = d%lXl + 9®аа!2 - оператор Лапласа по поперечным декартовым координатам х = (х1.х2), D > 0 - коэффициент диффузии. Граничный оператор у(и) определяется по одной из следующих формул

/ u(0,x2)-u{ai,x2), \ dXiu(0,x2) -дХ1и(аихг),

V дХ1и{хъ0) - dxiu(xuai), ) где Э„ - нормальная производная. Зависящая от фурье-фильтра р и от набора вещественных параметров К\, К-2, Кз правая часть F(u; р) уравнения (1) задаётся следующим образом

F(u;р) = Кх\Ап(х)\2 + КгRe(A;n(x)Afb(u;р)) + К3 \А,ь(щр)|2, (5)

где Ain(х) = \Агп(х)\ехр{г'¥>(г)} - комплексная амплитуда стационарного светового поля, поступающего на вход оптической системы, символ " * " используется для обозначения комплексно-сопряжённого значения, а для вычисления комплексной амплитуды прошедшей через контур ОС световой волны Л/ь(«;р) = Afb(x,t;u\р) сначала рассматривается ортонормированный в Я = £2(П) базис из обобщенных собственных функций соответствующей краевой задачи для оператора А:

Аеп = Апв», у(еп) = 0,

в которой {А„}^ -

последовательность собственных чисел, причём 1 < Ai < Л2 < • • • < А„ —> оо при п—юо. Тогда А/ь(ц;р) вычисляется согласно формуле

Лц(и- р) = (Ain exp{t u}), (6)

где Jp(j4) - оператор дискретной фурье-фильтрации, изменяющий ряд Фурье комплексно-значной функции А = Л,„ ехр{г и) по базису с помощью дискретного фильтра-

мультипликатора р = (pi, Р2,. .., рп, ■ ■ ■ ) € 1«, с комплексными компонентами {pn}ïë? по следующему правилу

+00

УР(А) = Х>„(Л,еп>неп(*), (7)

п=]

в котором {•, ■)[[ обозначает стандартное скалярное произведение в комплексном пространстве Я.

Функция F{u; р) (5) при значениях параметров К\ = Яз = К и Кг = 2К, где К - эффективный коэффициент передачи контура ОС, описывает наличие, либо при Кг — Кз = К и Кг = 0 - отсутствие интерференции при взаимодействии в оптической системе входного поля А,п(х) и отфильтрованной в контуре ОС световой волны Дгь(х, <; u; р). При Кз = К и К\ — Къ = 0 функция F{u\ р) моделирует разделение световых полей А,п(х) и Afb(x,t-,u;p) в оптической системе, построенной на основе жидкокристаллического пространственно-временного модулятора света (ЖК-ПВМС).

В §3 устанавливаются основные функциональные свойства оператора Аß(u; р) (6) и правой части F(u; р) уравнения (1), широко используемые в диссертации при обосновании основных утверждений.

В §4 доказываются теоремы существования и единственности обобщенных решений задачи (1)-(7), а также устанавливается липшиц-непрерывная зависимость решений из энергетического класса от фурье-фильтра и начальных условий.

Пусть |П| - мера Лебега множества П; QT = П х (О,Г); В(Л) = {/ € Я2(П): 7(/) = 0}

- область определения оператора А\ V - энергетическое пространство оператора А со скалярным произведением {и, v)y = (и, «)# + D{V±u, Vj_v)H \u,v € V, где = (дХ1,дХ1) -оператор градиента, и нормой ||t;||y = (v, v)y2; V* - двойственное к V пространство с нормой ||и||у = sup I (v, в) I, угловые скобки (v, в) определяют значение функционала v е V*

IMIv<i

на пробном элементе в £ V; L?(0, Т; В) - банахово пространство функций f(t), принимающих значения из банахова пространства В, измеримых по Вохнеру и имеющих ко-

,Т sl/2

нечную норму ||/||ь2(о,г,В) = (/ ||/М1|в<й ] ; С([0, Т\\В)~ банахово пространство непрерывных со значениями в В функций f(t) с нормой С([0,Т]; В) — max |]/(i)||a; W{Q,T)

- банахово пространство функций W(0,T) -— {v. v € Ls(0,T;V), dtv е L2(0,T; V*)}, где

производная понимается в смысле распределений из пространства 1У(0,Т,У), с нор/т

мой ||иЦцл(0,г) = (/(|Мч)11у + 11^®(»?)11у0 ¿v) ; H^HQt) - множество всех принадлежащих L?(QT) функций f(x,t), у которых существуют и принадлежат L2(QT) обобщенные производные при всех целых и неотрицательных аь а2, ß таких, что «1 + а2 + 2/5 < 2. Пространство Я2,1(<Эг) является гильбертовым со скалярным произведением {i,g)tfi.i(QT) = J Z ^Х'ХИ dxd* (символ " *" обозначает QTai+<»+2/?<2 V'lV /

комплексно-сопряжённое значение) и евклидовой нормой ||/||tfV(QT) = ((/,/)я21(0т))1/2-Через („а обозначается банахово пространство ограниченных комплекснозначных числовых последовательностей р — (pi, fa,..., р„,...) с нормой ||/)[|<„ = sup |р„|; через h -

гильбертово пространство комплекснозначных числовых последовательностей со скаляр-

ным произведением (р, = ¿ р„ст* и нормой l|pj|Í2 = (р, р}^ .

Теорема 1. Пусть Н, Л,п € V П С(П), р 6 Тогда для любого Т > 0 начально-краевая задача (1)-(7) имеет единственное решение u(xst) е W(0,T), удовлетворяющее уравнению (1) для п. в. t 6 (О,Т) в пространстве V*, а начальному условию - в смысле С([0, Т]\Н). При этом для решения справедливо включение F(u;p) G L2(0,T;#), а также оценка ||и[|(у(о,т) + ||м||с([о,т),я) <С\ с постоянной Ci > 0.

Теорема 2. Пусть выполнены все предположения теоремы 1, u{x,t\p), u(x,t: р) -решения задачи (1)-(7), отвечающие параметрам щ, щ € Я и р, р £ £оо, выбираемым из ограниченных множеств в соответствующих пространствах. Тогда на любом конечном промежутке времени [0, Т] решения Липшиц-непрерывно зависят от параметров:

II« - и|к(о,т) + II« - «||с([о,Я;Я) ^ С2(\\ио - ио\\н + ||р - рЦ/«,),

где значение постоянной Липшица С%> 0 не зависит от щ, щ, р, р.

Следующее утверждение обобщает результат из работы1 на случай правых частей F{u;p) уравнения (1), задаваемых с помощью набора трёх вещественных параметров K-¡, Кг, К3 (см. (5)), неоднородного по пространству распределения интенсивности входного поля /,„(х) = \Atn(x)\2 ф const, а также для различных вариантов граничных условий.

Теорема 3. Пусть щ в V, Atn е FnC(Ü), р е Тогда для любого Т > 0 полученное в теореме 1 решение u(x,t) задачи (1)-(7) также удовлетворяет условиям

и € L2(0, Т; Ъ(А)) П С{[0, T\]V), dtue L2(0, Т; Н)

и подчиняется оценке |M|tf*.»(<3T) + IMIc([o,t],io < Сз с постоянной Сз > 0.

Согласно теореме 1, эволюция динамической системы (1)-(7) описывается семейством

операторов полугруппы {St, t > 0}: St : Н —> Н, где Stu0 = u(f). В силу теоремы 2

операторы {St} непрерывны при всех t > 0. Следуя А. В. Бабину и М. И. Вишику,

назовём ограниченное, замкнутое множество М, Ж С Н, максимальным аттрактором

(далее - просто аттрактором) полугруппы {5t}, если выполнено условие притяжения: для

любого ограниченного множества В с Я справедливо равенство lim distoAStB, М) = 0,

1->+оо

где distji{X, Y) = sup inf ||x — у\\н, и условие инвариантности: StM = Ж для всех t > 0.

ХЕХ у£у

В §§5-6 доказывается, что полугруппа {5t} обладает компактным аттрактором и устанавливаются оценки сверху и снизу его хаусдорфовой размерности.

Теорема 4. Пусть Ain € Cl(ß), р € щ 6 Я, u(t) — Stuo, St - оператор полугруппы, соответствующей задаче (1)-(7). Тогда полугруппа {Si} обладает компактным

1 Потапов М. М , Чечкина К. А. Об одной модели амплитудно-фазовой фильтрации в нелинейной оптической системе с обратной связью // Вести. Моск. ун-та. Сер. 15, вычислит. матем. и киберн. 1997. > 4. С. 31-36.

максимальным аттрактором М, причём хаусдорфова размерность (¡х(Ж) множества Ж в Н конечна и удовлетворяет оценке сверху

4к(М) < едя-ЧН! + |АГз|2 • ии (1 + 1*1 + № ■ + |КзР •

где постоянные С3 ><),] = 5,6.

В работе установлена оценка снизу для в модели оптической системы на основе

ЖК-ПВМС.

У с л о в и е 1- К\ = К^ = О, К3 ф 0 и, кроме того, амплитуда |Д„(х)|, а также фаза <р(х) входного поля Ат{х) = \А,п(х)\ехр{ир(х)} постоянны в пределах П.

Теорема 5. Пусть выполнены все условия теоремы 4 и у с л о в и е 1, Ж - аттрактор полугруппы {5г}, соответствующей задаче (1)-(7) с граничным оператором -у(и) в (2), отвечающим однородным краевым условиям Неймана либо периодическим граничным условиям в прямоугольнике. Пусть ортонормированный в Н базис {еп(1)}Й составлен из вещественных обобщенных собственных функций соответствующей краевой задачи для оператора А, - отвечающая этим собственным функциям последователь-

ность собственных чисел Тогда для хаусдорфовой размерности Ж в Н справедлива оценка снизу <1к{Ж) > 1, е которой множество индексов I определяется как 1<=1

I = {]■ Ъец, = -А,- + 2К3 |А,„|2р1р^мп(д1 - д3) > 0},

где для комплексных компонент фильтра р = (/>1, Ра, - - ■, Рп, ■ ■ ■) использовано

представление: рп = р„ехр{гд„}, р„ е [0,1], д„ е [0,2тт), г2 = -1.

Полученные в теоремах 4, 5 оценки хаусдорфовой размерности аттрактора Ж представляют как теоретический, так и практический интерес. Эти оценки могут быть использованы для анализа сложности предельных при Ь —» +оо пространственно-временных режимов в реальных оптических системах с конкретными фурье-фильтрами в контуре ОС.

Вторая глава диссертации посвящена постановке и исследованию задач оптимального управления дискретным фурье-фильтром с функционалами качества, связанными с обобщёнными решениями различной гладкости задачи (1)-(7).

В §1 формулируются задачи оптимизации общих терминальных и интегральных целевых функционалов на компактном и слабо компактном управляемых множествах гильбертова пространства Пусть роо - фиксированный элемент из пространства 1оа, И -ограниченное подмножество пространства И(Х —> У) - пространство линейных ограниченных операторов, действующих из X в У. В §§1 2 главы 2 исследуются задачи оптимального управления фурье-фильтром со следующими функционалами качества:

Ш = У ||би(4;Роо + р) - 2д(()Ц2д(Й,

о

е € £(Ь3(0,Т;Г) - ьгф,Т;Я)), гд(2,«) е ¿2(0,Т;Н),

Ш- J <T(t)\\eu(t-,px+p)-zz(t)\\ldt,

о

e e L(L\Q,T-,V) - L2(Q,T; V)), zA{x,t) 6 L?(Q,T\ V),

Ш = ||®м(Т;л. + р)-*д|й, ЪеЦН^Н), zA(x) e Я, (10)

где u(x, t: px+p) e W(0, T) - решение начально-краевой задачи (1)-(7) с фурье-фильтром А» + Р £ 4о и начальным условием «o(i) € Я, a(t) e L°°(0, Т) - неотрицательная весовая функция. Разделение фурье-фильтра из функционального слагаемого в правой части уравнения (1) на две компоненты: фиксированную р^ € и управляемую р 6 Ii С ¿2, позволяет решать задачу оптимального управления элементом р в гильбертовом пространстве ¿2, тогда как суммарный фильтр рх + р в уравнении (1) принадлежит пространству £„о и, вообще говоря, не принадлежит 12■ При подходящем выборе операторов Ъ и С функционалы (8)—(10) превращаются в хорошо зарекомендовавшие себя в задачах адаптивной оптики критерии качества подавления фазовых искажений волнового фронта либо формирования заданного распределения фазы световой волны. Примеры конкретных операторов Ъ и 6 приведены в §1 главы 2.

При управлении амплитудно-фазовым фурье-фильтром необходимо учитывать наличие ограничений, связанных с пассивностью фурье-фильтра и техническими возможностями оптических систем. В зависимости от количества доступных каналов управления и требуемого характера воздействия на пространственный спектр световой волны используются следующие множества допустимых управлений: компактное в ii множество

={р=(л,р2,...,рп,...)€^: |pjfc| < Äjfcfc-1 Vfc = 1,2,.. .>,

где числовая последовательность {Rk}t2ï :0<Äfc<ÄVfceN, и число R > 0 фиксированы, а также слабо компактное в 12 множество

U2 = {p = (Pbf>2,-.-,Pn,-- )ei2-- 1Мк<Я}, Д>0.

Таким образом, приходим к задачам минимизации 3i(p) —> inf , где I = 1,2,3, j = 1,2.

peUj

Разрешимость поставленных задач оптимизации установлена в §2 главы 2.

Теорема в. Пусть 3(р) обозначает один из функционалов 3i(p), ' G {1; 2:3}, U - множество Iii, щеН, Ain € V Л С(П), Рос € Тогда нижняя грань 5* = inf 3(р) конечна,

p&L

множество U, = {р e И: Я(р) = 3.} непусто, компактно в Ii, и любая минимизирующая последовательность {рк} сходится ко множеству П..

Условие 2: ортонормиро ванные в Я собственные функции {сп краевой

задачи для оператора А равномерно по п ограничены в метрике С(П), т. е. существует постоянная M > 0 такая, что ||en||C(î5) < M для всех п € N

(11)

Теорема 7. Пусть 3(р) обозначает, один из функционалов 3;(р), I £ {1;2;3}, 11 -мноокество 112, Мо € Н, Ат е V П С(П), роо е Пусть справедливо условие 2. Тогда нижняя грань 3, = ш£ #(р) конечна, множество 11, = (р е 11: 3(р) = 3,} непусто

р£ II

и слабо компактно в

В §3 главы 2 ставится задача оптимального управления линейной комбинацией терминального и интегрального целевых функционалов, связанных с более гладкими, по сравнению с рассматриваемыми в (8)—(10), решениями начально-краевой задачи (1)-(7)

т

Лр) = а\\Ъи(Т-,рх, + р)-г1А\\2н + 13 У <т (Щеи(Р,р0С + р)-г1(Щ%М^М,

о

е е £(1,2(0,Г; V) Ь2(0,Т\ Я)), В е £(Я -+ Я), г\{х) е Я, 4(х,4)еЬ2(0,Т\Я),

где и (ж, (; роо+р) 6 Ь2(0, Т; В(Л))ПС([0, Т]; V) - решение начально-краевой задачи (1)~(7) с фурье-фильтром рх+р £ начальным условием щ(х) е V, а и /3 - неотрицательные числа, не равные нулю одновременно. К введённому формулами (11) функционалу Лр) также применимы результаты теорем 6, 7.

Для вывода и обоснования формулы градиента функционала J(p) необходимо сформулировать и исследовать сопряжённую задачу. Сопряжённая к задаче оптимизации (11) задача имеет вид

-тдгф(х,г) +Лф(х,г) = д(и{х,{]\рж + р) +- <7(^(М);иОМ)'>Р°о+Р)> (12)

Ч{Ф) = 0, (13)

Ф\ь~т = 2а®*(25и(х, Г; р^ + р) - хеП, (14)

причём краевое условие в (13) выбирается того же типа, что и в (2). Функции д(и- рх + р) и С(ф;и\р0о + р) в правой части уравнения (12) задаются следующим образом:

д(щ Рос + р) = 2/Згб* (<т(£) (еи(г, 4; Рос + р) - ^(х, *))), (15)

<?(</>; и; Роо + р) = Ие(Лп г ехр{ г и + 2К3А,ь{и-, рх 4- р)^)) • (16)

где 25* и С* обозначай^ операторы, сопряжённые к операторам Ъ и 6, соответственно, а во всех остальных случаях символ " * " используется для обозначения комплексно-сопряжённого значения.

В §3 главы 2 устанавливаются основные свойства функционального слагаемого в правой части уравнения (12) сопряжённой задачи. С помощью этих свойств в §4 доказывается следующее утверждение.

Теорема 8. Пусть А^ е С1 (Г)), и(х,1,рх+р) € 12(0,Т;Ф(Л))ПС([0,Т];V) -решение задачи (1)-(7) с фурье-фильтром рх + р £ и начальным условием щ(х) € V. Тогда верно следующее.

1) Для любого Т > 0 сопряжённая задача (12)~(16) имеет единственное решение ф € ЩО,Т), удовлетворяющее уравнению (12) для п.в. 4 € (О,Г) в пространстве V", а начальному условию (Ц) - в смысле С([0,Т]; Я). При этом для решения справедливо включение 0(ф-,и;рх + р) € Ь2(0,Т;Я) и оценка И^Ин^о,х) + \\Ф\\с({о,т},н> с постоянной С7 > 0.

2) Пусть компоненты фурье-фильтра р1, р2 € К, где 11 ограниченное подмножество пространства 12 Тогда на любом конечном промежутке времени [О, Т\ решения ф3 = ф(х,Ь;рх + р>), j — 1,2, гёльдер-непрерывно зависят от фурье-фильтра:

\\Ф1 - Ыугол + ИЛ - Фг\\с<р,т\,н) < СвЦр1 - Р2^2,

где значение положительной постоянной зависит от множества 11, но не зависит от конкретных элементов рг,р* € П.

Параграф 5 главы 2 посвящен выводу и обоснованию формулы градиента У(р) функционала 3{р), а также доказательству гёльдер-непрерывной зависимости градиента ,7'(р) от фурье-фильтра.

Теорема 9. Пусть е с2(О), рво £ р £ 12, Т > 0. Тогда верно

следующее.

1) Определённый в (11) функционал У(р) дифференцируем по Фреше в каждой точке р пространства 12, причём градиент ^Г'(р) определяется на элементе 5р € 1ч по формуле

т

= \ + 2К3А!Ь(и(г)-Роо + р)) А}ь(и(1);6р)), ф(1, Рх + р))н

о

где и(х,Ърх + р) € Ь2(0,Т;ЩА)) ПС([0,Т], V) решение задачи (1)-(7) с начальным условием щ(х) е V; ф{х,Ь,р<х + р) € W{§,T) - решение сопряжённой задачи (12) (16).

2) Пусть И - ограниченное подмножество пространства Тогда для градиента З'(р) оценка

выполняется для любых р1,/? 6 IX с постоянной Гёльдера С^(11), зависящей от множества 11, но не зависящей от элементов р1, р2 6 11.

Полученные в §5 главы 2 теоретические результаты позволяют для решения задачи минимизации (11) на выпуклом, замкнутом и ограниченном управляемом множестве И пространства 12 применить один вариант метода условного градиента2 и обосновать его сходимость. В этом методе итерационная последовательность фурье-фильтров {ри} определяется по правилу

р^+^р^/ЛЛ ЛГ = 0,1,..., р° € IX, (17)

'Ишмухаметов А. 3. Методы решения задач оптимизации. М.: Изд-во МЭИ, 1998.

где направление спуска dN € Ii нормировано единицей и находится из формулы

^-^ки;1. äs)

а (Р е И определяется из решения задачи минимизации линейной части в разложении функции J{p) в окрестности точки fp в ряд Тейлора

(ЛЛр* ~ рГ)н = mm(J'{pN),p- р»)ь. (19)

pGU

Длина шага метода p,N > 0 в (17) выбирается по условию точного минимума

J{pN + ßNdN) = min J(pN + pdN), pN + (iNdNeU, (20)

fi>о

либо по конечношаговому алгоритму Армихо, который описан, например, в книге3.

При выполнении условий Ио € V, А„ 6 С^П), р«, 6 £м и Т > 0 в §6 главы 2 установлена сильная сходимость генерируемой описанным выше вариантом метода условного градиента последовательности фурье-фильтров {pN} ко множеству стационарных точек на выпуклом, компактном в t2 управляемом множестве И = Ui- В том случае, если И = И2 и в дополнение к сформулированным выше условиям выполнено условие 2, то для последовательности фурье-фильтров {pN} верно следующее: ||р" - Tu (pN — Jr'{pN)) ||<г —* 0 при N —»-1-ос, где iPu(р) обозначает проекцию точки р € £2 на множество U.

В третьей главе решена задача оптимизации фурье-фильтра для формирования на выходе оптической системы с ЖК-ПВМС (A"i = К2 = 0, Кз ф 0) заданного распределения фазы световой волны из излучения со стационарным неплоским волновым фронтом. На основе метода условного градиента и проекционпо-разностной аппроксимации задачи оптимизации разработано программное обеспечение (ПО), позволяющее численно находить оптимизированные фурье-фильтры. С помощью этого ПО проведено численное исследование возможностей, открывающихся при управлении фурье-фильтром в контуре ОС нелинейно-оптической системы с ЖК-ПВМС, которые к настоящему времени стали стандартом при исследовании нелинейной динамики в оптике. В §1 главы 3 рассматривается задача минимизации

2

3(р) = J и{х, Т; р) + Ф) - zA(x) - Р'Г1 J Ну, Т; р) + ф) - гА{у)) dy dx - М^,

П' (У

которая является частным случаем исследованной в главе 2 задачи (11) и получается из неё при а = 1, 0 = 0, элементе рж = 0, операторе 35, определяемом согласно формуле

Вф,Т;р) = Xw(x) Ых,Г;р) - \Щ-1 J Xw(y)u(y,T-,p)dy) ,

3Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

где xn'(z) Е L°°(f!) - характеристическая функция контролируемого подмножества SY области О, и функции 2д(х) = 25 (гд(х) — у(х)), причём гд(х) обозначает требуемое в момент времени t = Т распределение фазы на выходе и(х, Т\р) + tp{x) нелинейно-оптической системы с ОС. Функционал Z{p) характеризует качество приближения в области П' суммарного распределения фазы и(х, Т\ р) -I- ip(x) световой волны к целевому фазовому распределению 2д(х) без учёта среднего по П' значения фазы

J (и(у,Т; р) + <р(у) — 2д(у)) dy, поскольку среднее значение фазы в задачах адап-fv

тивной оптики, как правило, не является существенным.

В качестве управляемого выбирается следующее конечномерное множество допустимых фурье-фильтров

Ua = {p-(p1,pa,...,ps,ps+i,"-)eb: W<lVn = l,...,S, rt = OVfc>S + l}cUi,

где компоненты фурье-фильтра перенумерованы так, чтобы pi,...,ps отвечали управляемой области, расположенной в центре фокальной плоскости 4 — f оптической системы.

Задача минимизации функционала на множестве И§ представляет собой задачу математического программирования. Использованные для её численного решения формулы для n-ых компонент градиента 3'{pN) имеют следующий вид: т

З'п(р") = ~ J J Ы*, i;PN) K{t\ и(р"))ф(х, t; и; pN)e-n(x) dxdt,

о n

где u(x, t; pP) - решение задачи (l)-(7), ф(х, t\и; f/1) - решение сопряжённой задачи (12)-(16), Ап(и) обозначают коэффициенты Фурье функции А — Агп ехр{гк} по системе {е„}: А,(и) = (^пехр{1«},еп)я-

В §2 главы 3 на основе проекционно-разностных схем аппроксимации начально-краевых задач (1)-(7) и (12)—(16) предложена проекционно-разностная аппроксимация задачи оптимизации. Эта аппроксимация легла в основу созданного ПО, в котором итерационная последовательность фурье-фильтров {pN} строится методом условного градиента.

С помощью компьютерного моделирования оптимизации фурье-фильтра в §3 главы 3 исследуется вопрос о том, какое минимальное количество S управляемых гармоник фурье-фильтра достаточно для достижения хорошего качества формирования заданной фазы световой волны. Результаты расчётов позволяют сделать вывод, что для организации эффективного управления фазой световой волны необходимо, чтобы управляемые гармоники фурье-фильтра охватывали определённую управляемую область в фурье-плоскости 4 - f оптической системы. Численно установлено, что эта управляемая область зависит, в первую очередь, от распределения энергетических спектров входного поля А,„(х) и целевого распределения Ал(х) = |Л1„(х)|ехр{ггд(а;)}.

Параграф 4 главы 3 посвящен изучению влияния на качество численной оптимизации коэффициента передачи Кз контура ОС и коэффициента диффузии D, характеризующего конечное пространственное разрешение ЖК-ПВМС. На основе проведённых расчётов рекомендуется выбирать коэффициент К3 с достаточно большим по сравнению с амплитудой фазы tp(x) входного поля и с амплитудой требуемого фазового распределения гд(х) модулем. В §4 также показано, что лучшие результаты формирования заданной фазы световой волны получаются при меньших значениях коэффициента диффузии D в математической модели, что соответствует бблыпему пространственному разрешению жидкокристаллического модулятора света.

Результаты расчётов на ЭВМ в §§3-4 иллюстрируются б рисунками и 4 таблицами.

В приложении исследуется вопрос о существовании пространственно-неоднородных стационарных решений в модели оптической системы на основе ЖК-ПВМС.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Александру Витальевичу Разгулину за постановку интересной задачи, постоянное внимание к работе и поддержку.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов У' 01-01-00639 и № 04-01-00619).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

[1] Чушкин В. А. Об аттракторе одного уравнения оптической фурье-фильтрации // Вестн. Моек ун-та. Сер. 15, вычислит, матем. и киберн. 2005. № 2 (июнь). С. 16-25.

[2] Разгулян A.B., Чушкин В.А. О задаче оптимальной фурье-фильтрации для одного класса моделей нелинейных оптических систем с обратной связью // Журн. вычисл. матем. и математ. физики. 2004. Т. 44, № 9. С. 1608-1618.

[3] Чушкин В.А. О разрешимости задачи оптимизации фурье-фильтра для одного класса моделей нелинейных оптических систем с обратной связью // Вопросы моделирования и анализа в задачах принятия решений: Сборник статей. М.: Изд-во ВЦ им. A.A. Дородницына РАН, 2004. С. 123-135.

[4] Chushkin V.A. Optimal Control Problem by Discrete Fourier Filter // 4-ая Московская международная конференция по исследованию операций (ORM2004): Сборник трудов. М.: МАКС Пресс, 2004. С. 54-58.

[5] Чушкин В.А., Ларичев A.B., Николаев И.П., Разгулия А.Й. О применении фурье-фильтрации для формирования заданного распределения фазы в нелинейно-оптических системах с обратной связью // Третья международная конференция

"Фундаментальные проблемы оптики-2004": Сборник трудов. СПб: Изд-во СПбГУ ИТМО, 2004. С. 62-64.

[6] Чушкин В.А., Разгулян A.B. О задаче оптимизации фурье-фильтра //8 конференция "Обратные и некорректно поставленные задачи": Тезисы докладов. М : МАКС Пресс, 2003. С. 70.

[7] Чушкин В.А. Об оптимизации дискретного фурье-фильтра // XXVI Конференция молодых ученых механико-математического ф-та МГУ: Тезисы докладов. М.: Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2004. С. 140-141.

[8] Чушкин В.А., Разгулин A.B. О задаче оптимизации фурье-фильтра в функционально-дифференциальном уравнении диффузии // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения-XV". Воронеж: Изд-во Воронеж, гос. ун-та, 2004. С. 235.

[9] Чушкин В.А. О численной оптимизации фурье-фильтра в функционально-дифференциальном параболическом уравнении нелинейной оптики // 20 Всероссийская школа-семинар "Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа (САМГОП-2004): Тезисы докладов. Новосибирск: Изд-во Ин-та гидродинам. СО РАН, 2004. С. 79.

f

I

/

i

\

I i

I

<

s i I

Í t

»15105

РНБ Русский фонд

2006-4 12814

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 ot01.12.99 г. Подписано к печати 23.08.2005 г. Формат 60x90 1/16. Уел печл. 1,0. Тираж 90 экз. Заказ 488. Тел. 939-3890. Тел./факс 939-3891. 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им. М.В. Ломоносова, 2-Й учебный корпус, 627 к.

ВВЕДЕНИЕ.

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ.

ГЛАВА 1. МОДЕЛИ ДИСКРЕТНОЙ ФУРЬЕ-ФИЛЬТРАЦИИ В НЕЛИНЕЙНО-ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ.

§1.1 Математические модели нелинейно-оптических систем с фурье-фильтрацией в контуре обратной связи.

§1.2. Дискретный подход к математическому описанию процесса фурье-фильтрации в конфокальной 4 — f системе двух тонких линз. Постановки начально-краевых задач для параболического функционально-дифференциального уравнения оитической фурье-фильтрации.3G

§1.3. Основные свойства функционального слагаемого в уравнении оптической фурье-фильтрации.

§1.4. Существование и единственность решения начально-краевых задач в энергетическом классе. Липшиц-непрерывная зависимость решения от фурье-фильтра и от начальных данных.

Регулярность решения при t > to > 0 и при £ > 0.

§1.5. Максимальный аттрактор эволюционного уравнения оитической фурье-фильтрации.

§1-6. Оценки сверху и снизу хаусдорфовой размерности аттрактора.G

ГЛАВА 2. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

ДИСКРЕТНЫМ ФИЛЬТРОМ ФУРЬЕ.

§2.1. Постановки задач минимизации для общих терминальных и интегральных функционалов качества на компактном и слабо компактном множествах гильбертова пространства t-i.

§2.2. Разрешимость задач оптимального управления дискретным фурье-фильтром.

§2.3. Постановка задачи оптимального управления дискретным фурье-фильтром с целевой функцией, образованной линейной комбинацией терминального и интегрального функционалов. Сопряжённая задача. Основные свойства функционального слагаемого в правой части уравнения сопряженной задачи.

§2.4. Существование и единственность обобщённого решения сопряжённой задачи в энергетическом классе. Гёльдер-непрерывная зависимость решения сопряженной задачи от управления.

§2.5. Градиент целевого функционала в задаче оптимального управления фурье-фильтром. Гёльдер-непрерывпая зависимость градиента от управления.

§2.G. Решение задачи оптимизации методом условного градиента. Сходимость к стационарным точкам в задаче оптимального управления фурье-фильтром на компакте.13G

ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ФУРЬЕ-ФИЛЬТРА ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ

ЗАДАННОЙ ФАЗЫ СВЕТОВОЙ ВОЛНЫ.

§3.1. Метод условного градиента для решения задачи математического программирования на единичном параллелепипеде в пространстве CN.

§3.2. Проекциопио-разностная аппроксимация задачи оптимизации.

§3.3. Численное исследование влияния количества управляемых гармоник фильтра Фурье на результат оптимизации.

§3.4. Основные параметры модели и характер их влияния на качество оптимизации.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ.

В последние десятилетия в физической оптике активно иссле/[уются нелинейно-оптические системы с пространственно-распределенной обратной связью (ОС) [3, 4, 19, 20, 24, 29, 48, 49, 50, 51, 60, 61, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 119, 120, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130,

131, 132, 133, 135,139, 140, 141, 142, 143] (см. также обширную библиографию в [60, 103, 106, 111]). Большой интерес к системам с ОС объясняется тем, что эти системы являются, по-существу, универсальными оптическими компьютерами для изучения процессов самоорганизации, автоволновой неустойчивости и хаоса [4]. В работах [3, 4, 24, 29, 50, 51, 60, 61, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 113, 114, 115, 116, 119, 120, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130,

132, 133, 135, 139, 141, 142] в нелинейных системах с ОС были не только экспериментально обнаружены основные типы автоволновых процессов такие, как структуры Тыоринга-Пригожина [62], автоколебания [62, 134], ведущие центры, оптические ревербераторы, различного рода спиральные волны [3, 4, 104, 116,142] и локализованные структуры [106,133], но и исследованы новые эффекты нелинейной динамики [60, 120], а также предложены возможные теоретические подходы к объяснению таких сложных явлений, как, например, развитие вторичных неустойчивостей [113] либо сценариев перехода к пространственно-временному хаосу [4, 107]. Кроме того, возрастанию интереса к системам с обратной связью способствовало развитие идей оптической обработки информации [7, 19, 20, 21, 81, 102, 140] и практических приложений оптических систем с обратной связью, самыми известными (и успешными) из которых на сегодняшний день являются высокоразрешающая коррекция волнового фронта, которая достигается либо в результате дифракции световых волн [112, 136, 141], либо при помощи специальным образом организованной пространственной фильтрации световой волны в контуре ОС [111, 117, 122], и применение коррекции волнового фронта к различным задачам адаптивной оптики, например, к задачам астрономии (см. [19], а также библиографию в [117]) и медицины [49].

В различных областях науки и техники под фурье-фильтрацией понимается воздействие на функцию состояния динамической системы посредством изменения её образа непрерывного или дискретного пространственного преобразования Фурье. В физической оптике широко используется свойство тонкой линзы осуществлять в своем фокусе преобразование Фурье светового поля перед линзой (см. [7, 11, 22, 81, 82, 102] и др.). Таким образом, в оптике открываются поистине уникальные возможности для пространственной фильтрации световой волны, поскольку пространство Фурье-образов оказывается напрямую доступным для наблюдения и контроля с помощью так называемых фурье-фильтров [22]. В простейшем случае фурье-фильтр состоит из конфокальной 4 — f системы двух тонких линз с общей фокальной плоскостью, в которой установлен пространственный фильтр (ПФ) [51, 60, 61, 121, 122] или жидкокристаллический пространственно-временной модулятор света (ЖК-ПВМС) [117].

Сравнительная простота экспериментальной реализации и высокая скорость выполнения операции оптической фурье-фильтрации привели к тому, что техника пространственной фильтрации получила широкое распространение в нелинейно-оптических системах с обратной связью [4, 24, 50, 51, 60, 61, 111, 115, 117, 122, 124, 139]. В таких системах в контур оптической обратной связи помещается 4 — f система с управляемым ПФ, выбор которого определяет основные качественные свойства фазово-амплитудного преобразования, осуществляемого контуром обратной связи, и, следовательно, пространственно-временную динамику оптической системы в целом [60]. Классическая схема пассивного кольцевого резонатора, содержащего тонкий слой нелинейной среды керровского типа, а также оптическую фурье-фильтрацию и преобразование пространственных координат в контуре обратной связи, из работ [4, 60] приводится на рис. 0.1. Такая оптическая система функционирует следующим образом. Входная волна с в общем случае неоднородным по пространству (в пределах апертуры) распределением интенсивности Iin(x) = \Ain(x)\2 ф const, и неплоским волновым фронтом падает на вход оптической системы, в которой после прохождения тонкого слоя нелинейной среды керровского типа световая волна приобретает дополнительный фазовый набег u(x,t). После этого часть энергии световой волны покидает оптическую систему, но отразившаяся от зеркала другая часть энергии световой волны заводится в контур оптической обратной связи, где подвергается различным преобразованиям: операции фурье-фильтрации с фильтром р и/или преобразованию пространственных координат. Прошедшая через контур волна обратной связи с интенсивностью Ifb{%'р) = |Afb(^'3 t] р)\2 взаимодействует с входным полем, тем самым определяя дополнительный фазовый набег u(x,t), приобретаемый проходящей через нелинейную среду световой волной. При этом вносимая нелинейным элементом фазовая задержка и(х, t) пропорциональна падающей на керровский элемент (управляющей) интенсивности световой волны [4, 24, 29, 90, 111]. В том случае, если при сложении входного поля Ain(x) и поля обратной связи Арв(х', t', р) (здесь А(п(х) и обозначают комплексные амплитуды входного поля и волны обратной связи, соответственно) не происходит интерференционных взаимодействий [G7, 111], то динамика дополнительной фазовой модуляции световой волны u(x,t) в однопроходовом приближении прописывается следующим нелинейным релаксационным уравнением Дебаевского типа [24, 67, 90, 111], учитывающего диффузию частиц нелинейной среды [4]: rdtu(x, t) + и(х, t) - DA±u(x, t) = К [Iin(x) + IFB(x\ t; p)], (0.1) где r - характерное время релаксации нелинейности, А± = д%1Х + с^2Х2 -оператор Лапласа по поперечным декартовым координатам х = (2:1,2:2), D - эффективный коэффициент диффузии частиц нелинейной среды, К - параметр нелинейности. Уравнение (0.1) дополняется граничными условиями и начальным условием. p(x,t)

JZZ

ZA

IFB (л* , 0 tr u(x,t) а. фазово-амплшудное преобразование p + u)-^IFB б. геометрическое преобразовашю

X —> xf

Рис. 0.1. Нелинейный кольцевой резонатор с фурье-фильтрацией и преобразованием пространственных координат в контуре ОС.

Несмотря на большое количество выполненных экспериментальных и численных исследований в оптике, в строгом математическом смысле достаточно полно исследованы лишь математические модели оптических систем с преобразованием пространственных координат в контуре обратной связи (см. [69, 70, 72, 75, 77, 93, 114, 137, 143] и др.), в то время как модели оптических систем с фурье-фильтрацией остаются к настоящему времени малоисследованными [66, 67, 90]. Кроме того, характерной чертой многих физических работ [24, 50, 51, 60, 61, 125], посвященных изучению оптических систем с фурье-фильтрацией, является редукция описывающих динамику этих систем нелинейных функционально-дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа второго порядка [4, 60, 111], учитывающих диффузию зарядов частиц нелинейной среды, к системам обыкновенных дифференциальных уравнений, и анализ динамики исходных нелинейных задач на основе такого приближения. Однако полученные упрощенные модели зачастую оказываются недостаточными для количественного и качественного анализа динамики исходных нелинейных систем [50]. Это обстоятельство объясняется тем, что при выводе упрощенных задач не учитывается диффузия зарядов частиц нелинейной среды, а также, как правило, рассмотрение ограничивается постулированным вполне определённым видом решения исходных нелинейных систем [24, 50, 51, 60, 01, 125], в результате чего в упрощенных моделях оказывается принципиально невозможным точно учесть происходящее в исходных задачах нелинейное взаимодействие различных гармоник решения. В отличие от описанного выше подхода, в данной работе при изучении моделей фурье-фильтрации в нелинейно-оптических системах с пространственно-распределённой обратной связью учитываются диффузионные взаимодействия частиц нелинейной среды. В частности, это позволяет исследовать сложность возникающих в таких системах пространственно-временных режимов в зависимости от эффективного коэффициента диффузии задачи, а также от выбора фильтрующего элемента.

В настоящей работе исследуются математические модели нелинейных оптических систем с управляемым фурье-фильтром в контуре обратной связи, описываемые нелинейными функционально-дифференциальными уравнениями параболического типа. В отличие от используемых в [24, 111, 140] постановок во всем пространстве R2, в данной работе рассматривается ограниченная пространственная область QcM2, что адекватно описывает конечность апертуры оптической системы [65, с. 28]. Соответствующая ограниченной области модель фурье-фильтрации характеризуется, как и в [67], вхождением дискретного фильтра в качестве мультипликатора в ряд Фурье в отличие от интеграла Фурье в [24, 111, 140]. Дискретный характер фурье-фильтра, с одной стороны, учитывает дискретность каналов управления современных пространственно-временных модуляторов света [117], а, с другой стороны, позволяет упростить сами модели фурье-фильтрации при исследовании возможности их оптимизации.

Принципиальное отличие изучаемых в данной работе математических моделей дискретной фурье-фильтрации от моделей, исследованных в работе М.М. Потапова и К.А. Чечкиной [07], состоит в следующем. Во-первых, в настоящей работе впервые изучаются решения начально-краевых задач для уравнения оитической фурье-фильтрации с оператором дискретной фурье-фильтрации в функциональном члене для начальных условий из пространства L2(Q), а также связанные с решениями этих начально-краевых задач задачи оптимального управления дискретным фурье-фильтром с общими интегральными и терминальными функционалами качества, в то время как в работе [67] решения начально-краевых задач изучаются только при начальных условиях из пространства

Во-вторых, в настоящей работе исследуется уравнение фурье-фильтрации, которое с помощью набора вещественных параметров Kj, j = 1,3, в правой части охватывает более широкий по сравнению с [67] класс моделей оптических систем с обратной связью. Так, например, в работе [67] при изучении моделей оптических систем с фурье-фильтрацией в контуре обратной связи предполагалось, что входное поле Дп имеет однородное по пространству распределение интенсивности Ijn = |Л|П|2 = const. При этом предположении исследованная М.М. Потаповым и К.А. Чечкиной модель оказывается пригодной и для описания другого (не рассматриваемого в [67]) класса моделей оптических систем, построенных на основе жидкокристаллического пространственно-временного модулятора света (ЖК-ПВМС) (см. [24, 111])-Однако в случае неоднородного по пространству распределения интенсивности Iin const входной волны описание оптических систем на основе ЖК-ПВМС уже выходит за рамки исследованной в [67] математической модели (см. [24, 111]). Такие оптические системы, в свою очередь, описываются изучаемым в настоящей работе обобщенным уравнением фурье-фильтрации, которое отличается от исследованного в [67] уравнения возможность путём соответствующего выбора значений вещественных параметров Kj, j = 1,3, при необходимости исключить из правой части уравнения не зависящие от искомой функции и(х, t) пространственно-неоднородные слагаемые. Указанное обстоятельство представляется существенным, поскольку в настоящее время системы на основе ЖК-ПВМС de facto стали стандартом для экспериментальных и теоретических исследований нелинейной динамики в оптике [60], а учёт в уравнении не отвечающего рассматриваемому классу моделей оптических систем пространственно-неоднородного слагаемого может существенным образом повлиять на пространственно-временную динамику решений в целом (см. [24, 111]).

Наконец, в-третьих, в отличие от работы [67], в которой изучается начально-краевая задача для уравнения фурье-фильтрации при однородных краевых условиях Неймана, соответствующих слабому уровню взаимодействия светового пучка с окружающей средой, в настоящей работе допускаются и другие варианты граничных условий: однородные краевые условия Дирихле, либо отвечающие приближению плоской волны периодические граничные условия в прямоугольнике (см. [61]). Поэтому для исследования одной задачи оптимизации дискретного фурье-фильтра в настоящей работе оказалось необходимым распространить полученный в [67] результат об однозначной разрешимости в классе #2,1(Qr) начально-краевой задачи для уравнения оптической фурье-фильтрации с начальными условиями из пространства Hl(Q) на случай более общей, чем в [67], конструкции правой части уравнения фурье-фильтрации, зависящей от трёх вещественных параметров Kj, j = 1,3, а также на случай неоднородной по пространству интенсивности ijn ^ const входного поля и различных вариантов граничных условий. Такой подход позволяет исследовать возможности оптимизации дискретного фурье-фильтра в математических моделях фурье-фильтрации, описывающих достаточно широкий класс реальных физических ситуаций, а также в определенном смысле проследить влияние на структурообразование поставленных граничных условий.

Важная особенность нелинейно-оптических систем с ОС заключается в том, что в этих системам основная роль принадлежит не амплитуде световой волны, а её фазе [4]. Методы управления фазой в адаптивной оптике изучались в работах [19,20, 29, 38,83] (см. также цитированную в них литературу). Основная идея, лежащая в основе оптических систем с фурье-фильтрацией, состоит в применении пространственного фильтра /?, осуществляющего в контуре ОС заданное фазово-амплитудное преобразование световой волны с фазовой модуляцией ((р(х) + и(х, £; р)) в модуляцию интенсивности Ifb(x, t] р), управляющую нелинейным фазовым набегом u(x,t]p) [60] (см. рис. 0.1). Таким образом, реализуется известный принцип "управления светом с помощью света" (см. [21]), при этом удачный выбор пространственного фильтра позволяет добиваться требуемой динамики оптической системы для широкого класса входных воздействий. Например, предложенный в [60, 121, 122] фильтр "фазовый нож" со смещённой относительно центра фурье-плоскости кромкой позволяет решать задачу подавления медленно меняющихся мелкомасштабных фазовых искажений входного поля, лежащих в определённом диапазоне пространственных частот. В [117] фазовый фильтр Цернике применялся для измерения фазы волнового фронта, а полученная при этом ииформация использовалась для организации адаптивного управления фазой световой волны. В работах [24, 51, 60, 111, 136] для ограничения спектра световой волны и предотвращения, таким образом, усиления фазовых искажений в контуре ОС с успехом применялись амплитудные пространственные фильтры низких частот.

Полученные благодаря применению различных методов пространственной фильтрации в оптике конкретные результаты, а также стремительный прогресс оптоэлектронных технологий, связанный с появлением новых оптических материалов и созданием более совершенных оптически-управляемых пространственных модуляторов света, указывают на необходимость перехода от выбора конкретных фурье-фильтров из известных классов к целенаправленному созданию новых фильтров и их отбору в соответствии с некоторыми критериями. В настоящей работе всюду интенсивность /1П(х) = |Лгп(:г)|2 и стационарная фаза ip{x) входного поля Ain(x) предполагаются известными. Предлагается и исследуется следующая математическая постановка задачи оптимального управления фильтром Фурье: путём выбора дискретного фильтрующего элемента р G £ч требуется так повлиять на зависящую от р через уравнение (0.1) нелинейную фазовую модуляцию и(х, t;p) световой волны, чтобы на выпуклом, замкнутом и ограниченном множестве U С £2 минимизировать функционал качества

2(р)->т[, peU, синтезируя тем самым динамическую систему с заданными свойствами. В данной работе рассматриваются компактные и слабо-компактные управляемые множества Ч гильбертова пространства 12, а также терминальный и различные варианты интегральных критериев качества Я(/э), отвечающие различным постановкам задач финального наблюдения в оптической системе пространственных структур с требуемыми свойствами, а также задачам подавления вносимых входной волной фазовых искажений. Отметим, что постановка задач управления дискретным фильтром Фурье в нелинейно-оптических системах с ОС является новой, и до работ А.В. Разгулина и автора [7G, 92, 95], автора [94, 96, 97, 100] в математической литературе и до работы А.В. Ларичева, И.П. Николаева, А.В. Разгулина и автора [98] в физической литературе такие задачи не изучались.

Среди нелинейно-оптических систем с фурье-фильтрацией хорошо изученным к настоящему времени является класс систем, в которых в контуре ОС для преобразования фазы в интенсивность применяется один из классических пространственных фильтров, например, чисто фазовый фильтр Цернике [24,111,117] или какой-либо из вариантов схемы "фазовый нож" [51, 60,122], либо амплитудный фильтр класса методов "тёмного поля" [50, 60, 61]. Вместе с тем в фокальной плоскости 4 — f системы возможна реализация широкого класса управляемых воздействий на пространственный спектр световой волны [128].

Для успешного применения в оптических системах новых методов пространственной фильтрации, например, в задачах формирования и стабилизации оптических структур с заданными свойствами [115, 124], необходимо исследование качественных свойств математических моделей фурье-фильтрации, например, наличия или отсутствия у этих моделей пространственно-неоднородных стационарных решений. Знание свойств моделей позволяет предсказывать возможность наблюдения в реальной системе стационарных оптических структур и, что особенно ценно, выяснять в пространстве параметров задачи условия их возникновения и устойчивости. С другой стороны, ключевая роль аналитических и численных исследований в сочетании с физическим экспериментом состоит в проверке адекватности и определении границ применимости самих математических моделей при описании нелинейно-оптических систем с ОС. При этом нередко происходит расширение класса тех моделей естествознания, для которых ответ на вопрос об изменении структуры решения в результате появления и развития неустойчивостей может быть получен с помощью теории бифуркаций [25, 35, 42, 58, 59, 134].

В данной работе у начально-краевой задачи для уравнения оптической фурье-фильтрации с оператором дискретной фурье-фильтрации в функциональном члене из [67, 76], описывающей динамику дополнительной фазовой модуляции световой волны в нелинейно-оптической системе на основе ЖК-ПВМС или, в приближении плоской входной волны, в системе на основе тонкого слоя нелинейной среды керровского типа с амплитудно-фазовым пространственным фильтром (ПФ) в контуре ОС доказывается существование стационарных пространственно-неоднородных структур, образующихся в результате потери устойчивости пространственно-однородного стационарного решения (бифуркация Тьюринга). Возможность реализации в исследуемой системе в случае однородных граничных условий Неймана такой бифуркационной ситуации, при которой при изменении бифуркационного параметра ровно одно простое вещественное собственное значение пересекает мнимую ось с положительной скоростью, объясняется характером зависимости собственных значений линеаризованного оператора от дискретных компонент пространственного фильтра, а также наличием редкой возможности путём выбора компонент фурье-фильтра напрямую управлять спектральными свойствами линеаризованного оператора. Отметим, что несмотря на то, что общие методы исследования бифуркаций в параболических задачах, основанные на сведении вопроса существования нетривиальных бифуркационных решений к разрешимости некоторого функционального уравнения и использовании теоремы о неявном операторе в аналитическом случае хорошо известны (см., например, книгу [134]), применение этой методики для решения каждой конкретной задачи и анализ полученных результатов являются отнюдь не тривиальной проблемой [69, 101].

Подчеркнём, что в настоящей работе, по-видимому, впервые при исследовании моделей нелинейно-оптических систем с ОС изучается бифуркация Тыорипга в ситуации, когда бифуркационным параметром является коэффициент пропускания одной из гармоник пространственного фильтра. Ранее в работах [69, 93, 114] для моделей оптических систем с различными геометрическими преобразованиями светового поля в контуре ОС изучались задачи, в которых роль бифуркационного параметра играл коэффициент, иропорциональный интенсивности светового поля в контуре ОС.

Диссертация состоит из введения, трёх глав и приложения.

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979. 432 с.

2. Амосов А.А., Злотник А.А. Исследование конечно-разностного метода для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. Оценки погрешности и реализация. М., Отдел вычислительной математики АН СССР, 1986. 32 с.

3. Ахманов С.А., Воронцов М.А., Иванов В.Ю. Крупномасштабные поперечные нелинейные взаимодействия в лазерных пучках. Новые типы нелинейных волн, возникновение "оптической турбулентности"// Письма в ЖЭТФ. 1988. Т. 47, вып. 12. С. 611-614.

4. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений с частными производными и оценки их размерности // Успехи математ. наук. 1983. Т. 38, вып. 4 (232). С. 133-187.

5. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989.

6. Балакришнан А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1974. 2G0 с.

7. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматлит, 1961. 936 с.

8. Беккенбах Э., Беллман Р. Неравенства. М.: Мир, 1965.

9. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987. 400 с.

10. Бутиков Е.И. Оптика. М.: Высшая школа, 1986. 512 с.

11. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Гостехиздат, 1956. 344 с.

12. Вайнберг М.М. Вариационный метод и метод монотонных операторов. М.: Наука, 1972. 415 с.

13. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

14. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. 520 с.

15. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981. 400 с.

16. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

17. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-диффе-ренциальных уравнений. М.: Наука, 1982. 304 с.

18. Воронцов М.А., Шмальгаузен В.И. Принципы адаптивной оптики. М.: Наука, 1985. 336 с.

19. Воронцов М.А., Корябин А.В., Шмальгаузен В.И. Управляемые оптические системы. М.: Наука, 1988. 272 с.

20. Гиббс X. Оптическая бистабильность. Управление светом с помощью света. М.: Мир, 1988. 520 с.

21. Гудмен Дж. Введение в Фурье-онтику. М.: Мир, 1970. 364 с.

22. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 536 с.

23. Дегтярёв Е.В. Управление пространственной динамикой в нелинейных оптических системах с двумерной обратной связью // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М.: физ. фак. МГУ, 1995. 102 с.

24. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. 640 с.

25. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях. // Матем. сб. 1965. Т. 67, N. 4. С. 609-642.

26. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

27. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. 464 с.

28. Железных Н.И. Исследование нелинейных управляемых оптических систем с обратной связью // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М.: ф-т ВМиК МГУ, 1991. 139 с.

29. Злотник А.А. Оценка скорости сходимости в Ь2 проекционно-разностных схем для параболических уравнений // Журн. вычисл. матем. и математ. физики. 1978. Т. 18, N. 6. С. 1454-1465.

30. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации. М.: Физматлит, 2003. 304 с.

31. Ильин В.А., Йо. И. Равномерная оценка собственных функций и оценка сверху числа собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из класса IP J j Дифференц. уравн. 1979. Т. XV, N. 7. С. 1164-1174.

32. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

33. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

34. Йосс Ж., Джозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983. 300 с.

35. Ишмухаметов А.З. Методы решения задач оптимизации. М.: Изд-во МЭИ, 1998. 80 с.

36. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. Изд. 4-ое, испр. СПб.: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004. 816 с.

37. Карамзин Ю.Н., Сухоруков А.П., Трофимов В.А. Математическое моделирование в нелинейной оптике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. 154 с.

38. Карманов В.Г. Математическое программирование. Изд. 5-ое. М.: Физ-матлит, 2001. 264 с.

39. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. Изд. 7-ое. М.: Физматлит, 2004. 572 с.

40. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. Изд. 2-ое. М.: Наука, 1970. 720 с.

41. Красносельский М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. 392 с.

42. Ладыженская О.А. О конечномерности ограниченных инвариантных множеств для системы Навье-Стокса и других диссипативных систем // Зап. науч. сомин. ЛОМИ. 1982. Т. 115. С. 137-155.

43. Ладыженская О.А. Об оценках фрактальной размерности и числа определяющих мод для инвариантных множеств динамических систем // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1987. Т. 163. С. 105-129.

44. Ладыженская О.А. О нахождении глобальных аттракторов для уравнений Навье-Стокса и других уравнений с частными производными // Успехи математ. паук. 1987. Т. 42, выи. 6 (258). С. 25-60.

45. Ладыженская О.А. Некоторые дополнения и уточнения к моим публикациям по теории аттракторов для абстрактных полугрупп // Зап. науч. семин. ЛОМИ. 1990. Т. 182. С. 102-112.

46. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. Изд. 2-ое. М.: Наука, 1973. 576 с.

47. Ларичев А.В. Динамические процессы в нелинейных оптических системах с обратной связью // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М.: физ. фак. МГУ, 1995. 109 с.

48. Ларичев А.В., Иванов П.В., Ирошников Н.Г., Шмальгаузен В.И., Оттен Л.Д. Адаптивная система для регистрации изображения глазного дна // Квант, электрон. 2002. Т. 32., № 10. С. 902-908.

49. Ларичев А.В., Николаев И.П., Шмальгаузен В.И. Жесткий режим возбуждения в нелинейной оптической системе с распределенной обратной связью // Квант, электрон. 1996. Т. 23., N. 3. С. 255-256.

50. Ларичев А.В., Николаев И.П., Шмальгаузен В.И. Оптические диссипа-тивные структуры с управляемым пространственным периодом в нелинейной системе с фурье-фильтром в контуре обратной связи // Квант, электрон. 1996. Т. 23., N. 10. С. 894-899.

51. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

52. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 416 с.

53. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 372 с.

54. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. Изд. 2-ое. М.: Наука, 1965. 520 с.

55. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

56. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983. 424 с.

57. Мищенко Е.Ф., Колесов Ю.С., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Периодические движения и бифуркационные процессы в сингулярно возмущенных системах. М.: Физматлит, 1995. 336 с.

58. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит, 2005. 432 с.

59. Николаев И.П. Механизмы развития неустойчивостей в нелинейных оптических системах с нелокальной обратной связью // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М.: физ. фак. МГУ, 1997. 122 с.

60. Николаев И.П., Ларичев А.В., Шмальгаузен В.И. Управляемые оптические структуры в нелинейной системе с подавлением низких пространственных частот в контуре обратной связи // Квант, электрон. 2000. Т. 30., N. 7. С. 617-622.

61. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах: От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. М.: Мир, 1979. 512 с.

62. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. 560 с.

63. Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999. 237 с.

64. Парыгип В.Н., Балакший В.И. Оптическая обработка информации. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987. 142 с.

65. Потапов М.М., Чечкина К.А. О глобальном аттракторе одной нелинейной оптической системы // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, вычислит, ма-тем. и киберн. 1993. N. 4. С. 12-18.

66. Потапов М.М., Чечкина К.А. Об одной модели амплитудно-фазовой фильтрации в нелинейной оптической системе с обратной связью // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, вычислит, матем. и киберн. 1997. N. 4. С. 31-36.

67. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. 320 с.

68. Разгулин А.В. Об автоколебаниях в нелинейной параболической задаче с преобразованным аргументом // Журн. вычисл. матем. и математ. физики. 1993. Т. 33, N. 1. С. 69-80.

69. Разгулин А.В. Ротационные волны в оптической системе с двумерной обратной связью // Математ. моделирование. 1993. Т. 5, N 4. С. 105-119.

70. Разгулин А.В. Об аналитичности одного нелокального отображения фазы в интенсивность // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, вычислит, матем. и киберн. 1997. N. 3. С. 17-20.

71. Разгулин А.В. Об одном классе функционально-дифференциальных параболических уравнений нелинейной оптики // Дифференц. уравн. 2000. Т. 36, N. 3. С. 400-407.

72. Разгулин А.В. Аппроксимация задачи управления преобразованием аргументов в нелинейном параболическом уравнении // Журн. вычисл. матем. и математ. физики. 2001. Т. 41, № 12. С. 1844-1856.

73. Разгулин А.В., Рогаиович И.Б. О сходимости проекционно-разностной схемы для нелинейного параболического уравнения с преобразованием аргумента // Прикладная математика и информатика. Xs 6. М.: Изд-во ВМиК МГУ, 2000. С. 84-94.

74. Разгулин А.В., Саввина С.С. О численной оптимизации двумерного преобразования аргументов в функционально-дифференциальном уравнении диффузии // Прикладная математика и информатика. N. 15. М.: Изд-во фак-та ВМиК МГУ, 2003. С. 26-38.

75. Разгулин А.В., Чушкин В.А. О задаче оптимальной фурье-фильтрации для одного класса моделей нелинейных оптических систем с обратной связью // Журн. вычисл. матем. и математ. физики. 2004. Т. 44, N. 9. С. 1608-1618.

76. Разгулин А.В. О параболических функционально-дифференциальных уравнениях с управляемым преобразованием пространственных аргументов // Докл. Акад. Наук. 2005. Т. 403. N. 4.

77. Рисс Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. Изд. 2. М.: Мир, 1979. 588 с.

78. Самарский А.А., Лазаров Р.Д., Макаров В.Л. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщёнными решениями. М.: Наука, 1987. 296 с.

79. Скрыпник И.В. Методы исследования нелинейных эллиптических граничных задач. М.: Наука, 1990. 448 с.

80. Сороко Л.М. Основы голографии и когерентной оптики. М.: Наука, 1971. 616 с.

81. Сороко Л.М. Гильберт-оптика. Москва, Наука, 1981. 160 с.

82. Тараненко В.Г., Шанин О.И. Адаптивная оптика. М.: Радио и связь, 1990. 112 с.

83. Толстов Г.П. Мера и интеграл. М.: Наука, 1976.

84. Трибель X. Теория интериоляции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980. 664 с.

85. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В трех томах. Т. II. СПб.: Издательство "Лань", 1997. 800 с.

86. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения. Новосибирск: Научная книга, 1999. 352 с.

87. Харди Г.Г., Литтльвуд Дж. Е. и Полиа Г. Неравенства. М.: ИЛ, 1948. 456 с.

88. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985. 376 с.

89. Чечкина К.А. Исследование моделей непрерывной и дискретной фурье-фильтрации в нелинейных оптических системах с обратной связью // Дисс. . канд. физ.-мат. наук. М.: ф-т ВМиК МГУ, 1997. 101 с.

90. Чуешов И.Д. Глобальные аттракторы в нелинейных задачах математической физики // Успехи математ. наук. 1993. Т. 48, вып. 3 (291). С. 135-162.

91. Чушкин В.А., Разгулин А.В. О задаче оптимизации фурье-фильтра // Тез. докл. VIII конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи", Москва, МГУ, ф-т ВМиК. М.: МАКС Пресс, 2003. С. 70.

92. Чушкин В.А., Разгулин А.В. Стационарные структуры в функционально-дифференциальном уравнении диффузии с отражением пространственного аргумента // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, вычислит, матем. и киберн. 2003. N. 2. С. 13-20.

93. Чушкин В.А. Об оптимизации дискретного фурье-фильтра // Тез. докл. XXVI Конференции молодых ученых мех.-мат. ф-та МГУ. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2004. С. 140-141.

94. Чушкин В.А. Об аттракторе одного уравнения оптической фурье-фильтрации // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15, вычислит, матем. и киберн. 2005. N. 2., С. 16-25.

95. Чушкин В.А. Optimal Control Problem by Discrete Fourier Filter // Труды 4-ой Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2004). М.: МАКС Пресс, 2004. С. 54-58. (на англ. яз.)

96. Юдович В.И. О проблемах и перспективах современной математической гидродинамики // Успехи механики. 2002. Т. 1, N. 1.

97. Юу Ф.Т.С. Введение в теорию дифракции, обработку информации и голографию. М.: Сов. радио, 1979. 304 с.

98. Ackemann Т., Westhoff E.G., Pesch M., Rudolph D., and Lange W. Optical pattern formation far beyond threshold // ICONO 2001: Nonlinear phenomena and nonlinear dynamics of optical systems. Proc. SPIE. 2002. Vol. 4751. P. 370-381.

99. Akhmanov S.A., Vorontsov M.A., Ivanov V.Yu., Larichev A.V. and Zheleznykh N.I. Controlling transverse wave interactions in nonlinear optics: generation and interaction of spatiotemporal structures // J. Opt. Soc. Amer. B. 1992. Vol. 9, N. 1. P. 78-90.

100. Arecchi F.T., Boccaletti S., Ramazza P.L. Pattern formation and competition in nonlinear optics // Phys. Rep. 1999. Vol. 318. P. 1-83.

101. Arecchi F.T., Larichev A.V., Ramazza P.L., Residori S., Ricklin J.C., Vorontsov M.A. Experimental observation of space-time chaos in a nonlinear optical system with 2D feedback // Opt. Commun. 1995. Vol. 117. P. 492496.

102. Arecchi F.T., Larichev A.V., and Vorontsov M.A. Polygon pattern formation in a nonlinear optical system with 2D feedback // Opt. Commun. 1994. Vol. 105. P. 297-301.

103. Bonnans J.F., Gilbert J.C., Lemarechal C., Sagastizabal C.A. Numerical optimization. Theoretical and practical aspects. Springer-Verlag, Berlin -Heidelberg New York, 2003. 418 p.

104. Chueshov I.D. Introduction to the theory of infinite-dimensional dyssipative systems. Kharkiv, Ukraine: ACTA Scientific Publishing House, 2002.

105. Degtiarev E.V., Vorontsov M.A. Spatial filtering in nonlinear two-dimensional feedback systems: phase-distortion suppression // J. Opt. Soc. Ainer. B. 1995. Vol. 12, N. 7. P. 1238-1248.

106. Firth W.J. and Vorontsov M.A. Adaptive phase distortion suppression in a nonlinear system with feedback mirror // J. mod. Optics. 1993. Vol. 40, N. 10. P. 1841-1846.

107. Gil L., Petrossian A., Residori S. Three-wave interaction in dissipative systems: a new way towards secondary instabilities // Physica D. 2002. Vol. 166. P. 1-16.

108. Grigorieva E.V., Haken H., Kashchenko S.A., Pelster A. Travelling wave dynamics in a nonlinear interferometer with spatial field transformer in feedback // Physica D. 1999. Vol. 125. P. 123-141.

109. Harkness G.K., Oppo G.-L., Benkler E., Kreuzer M., Neubecker R. and Tschudi T. Fourier space control in an LGLV feedback system // J. Opt. В.: Quantum Semiclass. Opt. 1999. Vol. 1. P. 177-182.

110. Huneus F., Schapers В., Ackemann Т., Lange W. Optical target and spiral patterns in a single-mirror feedback scheme // Appl. Pliys. B. 2003. Vol. 76. P. 191-197.

111. Justh E.W., Vorontsov M.A., Garhart G., Beresnev L.A., Krishnapasad PS. Adaptive optics with advanced phase contrast techniques. Part II: High resolution wavefront control // J. Opt. Soc. Amer. A. 2001. Vol. 18, Iss. 6. P. 1300-1311.

112. Kelley C.T. Iterative methods for optimization. SIAM: Philadelphia, PA, 1999.

113. Larichev A.V., Arecchi F.T. Spatio-temporal behavior of a bistable optical system with global feedback // Opt. Comrnun. 1994. Vol. 113. P. 53-60.

114. Larichev A.V., Nikolaev I.P., and Chulichkov A.L. Spatiotemporal period doubling in a nonlinear interferometer with distributed optical feedback // Opt. Lett. 1996. Vol. 21, N. 15. P. 1180-1182.

115. Larichev A.V., Nikolaev I.P., Costamagna S., and Violino P. Advanced phase knife technique // Opt. Commun. 1995. Vol. 121. P. 95-102.

116. Larichev A.V., Nikolaev I.P., Violino P. LCLV-based system for high resolution wavefront correction: phase knife as a feedback intensity producer // Opt. Commun. 1997. Vol. 138. P. 127-135.

117. Mamaev A.V. and Saffman M. Selection of Unstable Patterns and Control of Optical Turbulence by Fourier Plane Filtering // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 80, N. 1С. P. 3499-3502.

118. Nikolaev I.P., Larichev A.V., Degtiarev E.V., Wataghin V. An optical feedback nonlinear system with a Takens-Bogdanov point: experimental investigation // Physica D. 2000. Vol. 144. P. 221-229.

119. Nikolaev I.P., Larichev A.V., Wataghin V., Degtiarev E.V., Peirolo R. Experimental observation of steady and drifting roll patterns in a nonlinear optical system near a codimension-two point // Opt. Commun. 1999. Vol. 159. P. 184-190.

120. Nocedal J., Wright S.J. Numerical optimization. Springer-Verlag, Berlin -Heidelberg New York, 1999.

121. Pesch M., Westhoff E.G., Ackemann Т., Lange W. Direct measurement of multiple instability regions via a Fourier filtering method in an optical pattern forming system // Phys. Rev. E. 2003. Vol. 68, 016209.

122. Ramazza P.L., Boccaletti S., Arecchi F.T. Transport induced patterns in an optical system with focussing nonlinearity // Opt. Commun. 1997. Vol. 136. P. 267-272.

123. Ramazza P.L., Boccaletti S., Giaquinta A., Pampaloni E., Soria S., and Arecchi F.T. Optical pattern selection by a lateral wave-front shift // Phys. Rev. A. 1996. Vol. 54, N. 4. P. 3472-3475.

124. Ramazza P.L., Ducci S., and Arecchi F.T. Optical diffraction-free patterns induced by a discrete translational transport // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81, N. 19. P. 4128-4131.

125. Ramazza P.L., Ducci S., Boccaletti S. and Arecchi F.T. Localized versus delocalized patterns in a nonlinear optical interferometer // J. Opt. В.: Quantum Semiclass Opt. 2000. Vol. 2. P. 399-405.

126. Residori S., Petrossian A., Nagaya T. and Clerc M. Localized structures and their dynamics in a liquid crystal light valve with optical feedback // J. Opt. В.: Quantum Semiclass Opt. 2004. Vol. 6. S. 169-176.

127. Sattinger D.H. Topics in stability and bifurcation theory. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg - New York, 1973. Vol. 309.

128. Schwab M., Saffman M., Denz C., Tschudi T. Fourier control of pattern formation in an interferometric feedback configuration // Opt. Commun. 1999. Vol. 170. P. 129-136.

129. Sivokon V.P., Vorontsov M.A. High-resolution adaptive phase distortion suppression based solely on intensity information // J. Opt. Soc. Amer. A., 1998. Vol. 15, Iss. 1. P. 234-247.

130. Skubachevskii A.L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics // Nonlinear Analysis, Theory, Methods & Applications. 1998. Vol. 32, N. 2. P. 261-278.

131. Temarn R. Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. Springer-Verlag New York Inc., 1997.

132. Vorontsov M.A. Information processing with nonlinear optical two-dimensional feedback systems //J. Opt. В.: Quantum Semiclass. Opt. 1999. Vol. 1. P. R1-R10.

133. Vorontsov M.A., Zhao M., Anderson D.Z. Nonlinear dynamics of a 2D feedback system with photorefractive gain // Opt. Commun. 1997. Vol. 134. P. 191-194.

134. Vorontsov M.A., Razgulin A.V. Properties of global attractor in nonlinear optical system with nonlocal interactions // Photonics and Optoelectronics. 1993. Vol. 1, N. 2. P. 103-111.