автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Комплексные активные RC-фильтры с расширенным частотным диапазоном

На правах рукописи

КЫО ТХИХА

КОМПЛЕКСНЫЕ АКТИВНЫЕ КС-ФИЛЬТРЫ С РАСШИРЕННЫМ ЧАСТОТНЫМ ДИАПАЗОНОМ

Специальность 05.12. 04 - Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 4 НОЯ 2013

005538308

Москва-2013

005538308

Работа выполнена на кафедре Радиоприемных устройств федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский университет «МЭИ» (НИУ «МЭИ»)

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

ГРЕБЕНКО Юрий Александрович

МАСЛЕННИКОВ Валерий Викторович

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры Электронных измерительных систем НИЯУ «МИФИ»

СТАРИКОВСКИЙ Анатолий Иванович

кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры Радиосистем передачи информации

«МГТУ МИРЭА»

Научно-исследовательский институт приборостроения имени В.В. Тихомирова (г. Жуковский)

Защита состоится 05 декабря 2013г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 212.157.05 при НИУ «МЭИ» по адресу: 111250, г. Москва, Красноказарменная ул., д. 17, аудитория А-402.

Отзывы в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 111250, г. Москва, Красноказарменная ул., д. 14, Ученый совет НИУ «МЭИ».

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИУ «МЭИ». Автореферат разослан «р| » ноября 2013 г.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.157.05 кандидат технических наук, доцент

Т.И. КУРОЧКИНА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Активные RC-фильтры на базе операционных усилителей (ОУ) достаточно широко используются в устройствах обработки сигналов. Методы расчета активных RC-фильтров на базе ОУ разрабатывались на протяжении многих десятилетий прошлого века и отражены в работах Хьюлсмана Л.П., Митры С.Л., Гаузи М., Лакера К., Ланнэ А.А., Масленникова В.В., Остапенко Л.Г., Христина В.В и многих других. Можно выделить отдельное направление исследований, связанное с использованием идентичных звеньев при построении активных RC-филыров. Это направление базируется на работах Гребенко Ю.А., Савкова Н.Н., Ермакова А.В., Чжо Зей Я. Использование идентичных звеньев и многопетлевых структурных схем, позволило уменьшить влияние разброса параметров пассивных элементов на частотные характеристики фильтров практически до теоретического минимума. Важным достоинством активных RC-фильтров на идентичных звеньях можно считать удобство изменения параметров АЧХ (полосы пропускания и центральной частоты) без изменения ее формы. Это достигается синхронным изменением аналогичных параметров АЧХ идентичных звеньев.

Одним из главных недостатков активных RC-фильтров на ОУ является ограниченный рабочий частотный диапазон, обусловленный частотными свойствами ОУ, усиление которых заметно падает с увеличением частоты обрабатываемого сигнала. В 70-е годы прошлого века появились транскондуктивные усилители, которые являются источниками тока, управляемыми напряжением. Возникли новые схемные решения, а реализованные активные RC-фильтры стали выполнять свои функции на частотах до сотен килогерц.

В 90-е годы прошлого века фирма National Semiconductor разработала ОУ с низкоомным входом для сигнала отрицательной обратной связи, называемые ОУ с обратной связью по току. Такие ОУ обеспечивают исключительно высокие скорости нарастания выходного напряжения (до 6500 В/мкс). Несимметрия входов, когда инвертирующий вход низкоомный, а неинвертирующий вход вы-сокоомный, привела к изменению схемотехнических реализаций активных RC-

фильтров, Рабочий диапазон активных КС-фильтров на ОУ расширился до единиц МГц. И, наконец, появились ОУ, которые называют полностью дифференциальными ОУ (ПДОУ) с обратной связью по току. Они имеют симметричные низкоомные входы и выходы. Рабочий частотный диапазон активных КС-фильтров на ПДОУ расширился до десятков МГц.

В современных РПУ перенос спектра сигнала на низкую промежуточную частоту осуществляется с использованием квадратурных преобразователей частоты. На выходе такого преобразователя возникает комплексный сигнал. Если этот комплексный сигнал пропустить через комплексный аналоговый фильтр, то можно подавить зеркальный канал приема. Комплексные активные КС-фильтры исследованы в меньшей степени, чем вещественные. С появлением новых типов ОУ существенно изменяются схемотехнические решения, что требует проведения дополнительных исследований рабочего частотного диапазона комплексных фильтров на базе таких ОУ.

С появлением ПДОУ просматривается возможность реализации на их основе усиления и фильтрации комплексных сигналов промежуточной частоты, имеющих ширину полосы спектра до десятков МГц. При этом будет возможно выбирать форму АЧХ и ФЧХ, например, использовать гладкие аппроксимации АЧХ полиномами Баттерворта или Бесселя, обеспечивая ФЧХ, которые близки к линейным.

Параметры АЧХ комплексных фильтров можно перестраивать, если реа-лизовывать комплексный фильтр на базе идентичных звеньев. Важным моментом является разработка перестраиваемых режекторных комплексных активных КС-фильтров, используемых для подавления узкополосных помех в полосе сигнала до проведения аналого-цифрового преобразования.

Расширение рабочего частотного диапазона комплексных полосовых и режекторных фильтров на идентичных звеньях может быть достигнуто за счет использования схемотехнических решений комплексных активных КС-фильтров на базе современных широкополосных ОУ, поэтому тема диссертационной работы является актуальной.

Целью диссертационной работы является разработка методов расчета и реализации комплексных полосовых и режекторных активных фильтров высокого порядка на базе современных широкополосных ОУ.

Задачи диссертационной работы:

1. Разработка методов расчета комплексных режекторных фильтров на идентичных звеньях.

2. Разработка схем и оценка рабочего диапазона частот полосовых и режекторных комплексных фильтров на базе транскондуктивных ОУ.

3. Разработка схем и оценка рабочего диапазона частот полосовых комплексных фильтров на базе ОУ с обратной связью по току.

4. Разработка схем и оценка рабочего диапазона частот комплексных полосовых и режекторных фильтров на базе полностью дифференциальных ОУ.

5. Исследование возможностей перестройки полосы пропускания и центральной частоты комплексных фильтров высокого порядка при сохранении формы АЧХ.

Объектом исследования являются комплексные активные КС-фильтры высокого порядка на идентичных звеньях, реализуемые на современных типах широкополосных операционных усилителей.

Методы исследования. Применительно к объектам исследования для решения поставленных задач используются методы теории функций комплексного переменного, методы теории графов, методы линейной алгебры, методы теории чувствительности, методы математического моделирования.

Научная новизна работы:

1). Разработана методика расчета режекторных комплексных фильтров высокого порядка на базе идентичных звеньев.

2). Для обеспечения температурной стабильности частотных характеристик аналоговых комплексных фильтров на базе транскондуктивных ОУ предложено строить их на основе разработанных стабильных широкополосных усилительных секций.

3). Разработаны новые схемы базовых звеньев полосовых и режекторных фильтров высокого порядка на базе транскондуктивных ОУ.

4). Разработаны новые схемы базовых звеньев полосовых и режекторных фильтров высокого порядка на базе ОУ с обратной связью по току.

5). Разработаны новые схемы базовых звеньев полосовых и режекторных фильтров высокого порядка на базе полностью дифференциальных ОУ (ПДОУ) с обратной связью по току.

6). С помощью схемотехнического моделирования проведена оценка рабочих частотных диапазонов комплексных полосовых и режекторных фильтров на базе транскондуктивных ОУ, на базе ОУ с обратной связью по току, на базе ПДОУ с обратной связью по току.

Достоверность разработанных в диссертации методик проектирования подтверждается результатами схемотехнического моделирования, в многочисленных примерах, апробацией основных результатов на научно-технических конференциях, публикацией основных результатов в научно-технических журналах и сборниках.

Основные положения, выносимые на защиту.

1). Использование транскондуктивных ОУ позволяет реализовывать полосовые и режекторные комплексные активные ЯС-фильтры высокого порядка на идентичных звеньях в диапазоне до сотен кГц.

2). Температурную стабильность фильтров на транскондуктивных ОУ можно обеспечить путем использования стабильных широкополосных усилительных секций при построении базовых звеньев.

3). Использование ОУ с обратной связью по току позволяет расширить рабочий частотный диапазон комплексных активных КС-фильтров высокого порядка на идентичных звеньях до единиц МГц.

4). При реализации структурных схем режекторных фильтров без обратных связей, охватывающих один каскад рекомендуется использовать предложенную схему базовых звеньев на трех ОУ с обратной связью по току.

5). Использование ПДОУ с обратной связью по току позволяет расширить рабочий частотный диапазон комплексных активных RC-фильтров высокого порядка на идентичных звеньях до десятков мегагерц.

6). При реализации структурных схем без обратных связей, охватывающих один каскад, рекомендуется использовать предложенную схему базовых звеньев на двух ПДОУ с обратной связью по току.

Практическая значимость работы обусловлена разработкой удобных для использования в инженерной практике методик проектирования комплекс-. ных полосовых и режекторных активных RC-фильтров на идентичных звеньях с расширенным частотным диапазоном. Результаты моделирования позволяют говорить о возможности реализации фильтров промежуточной частоты на ОУ. Результаты работы используются при выполнении ОКР, а также при курсовом и дипломном проектировании на радиотехническом факультете МЭИ.

Апробация результатов работы. По основным результатам работы сделано 5 докладов на международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов в 2010-2013 г.

Публикации по теме диссертационной работы. Основные результаты диссертации изложены в 9 печатных работах, среди которых 3 статьи в журнале «Вестник МЭИ», входящем в список ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы. Общий объем диссертации 150 страниц, включая 148 рисунков, 7 таблиц и список литературы из 70 библиографических наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении отражен современный уровень схемотехники комплексных активных фильтров на базе современных быстродействующих ОУ. Сформулированы цель и задачи исследования.

В первой главе приводятся общие сведения об аналоговых комплексных сигналах и фильтрах. Рассматривается методика расчета комплексных анало-

7

говых полосовых и режекторных фильтров на идентичных звеньях с использованием структурированных НЧ-прототипов. Предлагается следующая последовательность действий при проектировании комплексных полосовых и режекторных фильтров на идентичных звеньях:

1). Рассчитывается или выбирается структурированный НЧ прототип, соответствующий заданному виду и порядку аппроксимации, а также определенному НЧ-прототипу базового звена.

2). Разрабатывается принципиальная схема комплексного базового звена.

3). Разрабатывается принципиальная схема комплексного фильтра.

Для упрощения расчетов предлагается определять структурную схему цифрового фильтра высокого порядка, оперируя с НЧ-прототипами. В этом случае для определения структурной схемы НЧ-прототипа необходимо знать:

• передаточную функцию НЧ-прототипа фильтра в виде дробно-рационального выражения T(s);

• НЧ-прототип базового звена K(s).

Процедура расчета структурированного НЧ-прототипа состоит из следующих этапов:

1). По передаточной функции НЧ-прототипа базового звена находится обратная функция s(K).

2). Найденная функция s(K) подставляется в заданную передаточную функцию НЧ-прототипа фильтра и определяется функция Т(К).

3). Найденная передаточная функция Т(К) реализуется в виде структурной схемы.

Передаточная функция НЧ-прототипа базового звена должна быть дробно-рациональной функцией первого порядка K(s) = + ■ В этом случае

(о0 + OjS)

можно найти обратную функцию s(K) = [Kb° ~ . После подстановки s(K) в

T(s) получим Т(К), которую можно преобразовать дробно-рационального виду. Функции Т(К) можно поставить в соответствие структурную схему, которую

называют структурированным НЧ-прототипом.

Затем разрабатывается схема базового звена. При проектировании комплексных полосовых фильтров предлагается сначала рассчитать передаточную функцию базового звена фильтра нижних частот (ФНЧ), используя замену переменных Б(р)=р/сйп, а при проектировании комплексных режекторных фильтров предлагается сначала рассчитать передаточную функцию базового звена фильтра верхних частот (ФВЧ), используя замену переменных Б(р)= юп/р. Затем находим передаточные функции базовых звеньев комплексных полосовых и режекторных фильтров, используя замену переменной "р" на

Рассмотрено проектирование базовых комплексных звеньев полосовых и режекторных комплексных фильтров с НЧ-прототипами базового звена трех видов: К^э) = -¡/я, Кг(з) = -б, Кз(б) = -1/(э+а). С использованием таких прототипов реализуются наиболее распространенные структурные схемы НЧ-прототипов: каноническая, последовательная, каноническая без обратных связей, охватывающих один каскад, последовательная без обратных связей, охватывающих один каскад, многопетлевая. В результате разработаны четыре основных структурных схемы базовых звеньев, которые в дальнейшем используются при проектировании различных полосовых и режекторных фильтров. Это структурная схема на дифференциаторах (рис.1), схема на интеграторах (рис.2), схема на неидеальных интеграторах (рис.3) и комбинированная схема (рис.4).

Рис.3. Схема на неидеальных интеграторах Рис.4. Комбинированная схема

Для нахождения принципиальной схемы комплексного фильтра сначала необходимо преобразовать структурную схему ФНЧ на идентичных звеньях в структурную схему комплексного фильтра на комплексных идентичных звеньях. Такое преобразование иллюстрируется рисунками 5 и 6.

Рис. 5. Каноническая структурная схема Рис. б. Каноническая структурная схема комплекс-вещественного фильтра ного фильтра

Отметим, что при преобразовании структурной схемы параметры прямых и обратных связей не изменяются, поэтому никаких дополнительных расчетов проводить не нужно. На основе полученной структурной схемы, путем замены условных изображений базовых звеньев их принципиальными схемами, составляется полная принципиальная схема комплексного фильтра и проводится расчет дополнительных сумматоров на базе ОУ.

Во второй главе рассматриваются комплексные активные фильтры на базе операционных транскондуктивных усилителей (ОТУ). Транскондуктивный усилитель является источником тока, управляемым напряжением (ИТУН),

Для ИТУН основным параметром передачи является крутизна Ст. Выходной ток 1вьк связан с входным дифференциальным напряжением АУ через передаточную проводимость усилителя От соотношением:

1вы* = От-ДУ (2.1)

10

В зависимости от способа включения ОТУ может работать либо как усилитель, либо как резистор. На основе ОТУ можно реализовать сумматор, интегратор и неидеальный интегратор. Эти устройства входят в состав комплексных базовых звеньев и схем комплексных фильтров высокого порядка. Крутизна ОТУ обладает низкой температурной стабильностью. Поэтому решена задача разработки стабильного широкополосного усилителя с ограниченным коэффициентом усиления на базе транскондуктивного ОУ, что позволило проектировать звенья 1-го порядка, обладающие высокой температурной стабильностью. В качестве структуры для построения широкополосной стабильной усилительной секции (ШУС) была выбрана известная структура "со связью вперёд", которая обычно реализуется на основе усилителей, по своим параметрам близких к источнику напряжения управляемого напряжением (ИНУН). В диссертации разработана структурная схема ШУС на базе ИТУН и полученная на ее основе схема ШУС на базе ОТУ, которая показана на рис.7.

На основе ШУС были разработаны схемы базовых комплексных звеньев на интеграторах и неидеальных интеграторах. Схема на неидеальных интеграторах показана на рис.8.

На основе базовых звеньев, построенных на ШУС, были разработаны схемы и модели комплексных полосовых фильтров Батгерворта и Чебьппева (3 дБ) с канонической, последовательной, канонической без обратных связей, охватывающих один каскад, последовательной без обратных связей, охватывающих один каскад, и многопетлевой структурными схемами. С помощью разработанных моделей была исследована температурная стабильность АЧХ и определен рабочий частотный диапазон комплексных фильтров на базе ОТУ. Показано, что построение узкополосных полосовых комплексных

Рис.7. ШУС на основе ОТУ

стабильный сумматор

стабильный ШУС

Рис.8. Схема базового звена на неидеальных интеграторах с использованием стабильных ШУС и стабильных сумматоров

фильтров связано с существенным увеличением числа ОТУ в схеме, и делается вывод о том, что на ОТУ целесообразно реали-зовывать только широкополосные комплексные полосовые фильтры.

Для демонстрации эффективности использования ШУС для повышения темпера-

турной стабильности АЧХ комплексных фильтров рассмотрен пример проектирования комплексного фильтра с НЧ-прототипом Чебышева 5-го порядка В этом случае без использования ШУС АЧХ фильтра настолько сильно зависит от температуры, что в большинстве реальных ситуаций его применение невозможно (рис.9 ). На рис.10, показана АЧХ комплексного фильтра на базе ШУС.

КШОНИЧЕСКЫМПОИЦОКГСЕ&ПШВАНВ)«™ Д» -«О

Рис.9. АЧХ комплексного фильтра на неидеальных интеграторах на базе ОТУ

Видно, что температурная стабильность АЧХ комплексного фильтра, реализованного с использованием ШУС, существенно повысилась. Верхняя граница рабочего частотного диапазона разработанных фильтров определялась по

.шнанкчсеккя.щоридркрЕвышядщ»)^» »-юе

изменению АЧХ на 1%, 5%. 10% при увеличении верхней граничной частоты полосы

уровня искажения, тем больше значение верх-

допустимое значение

пропускания. Чем выше

Рис.10. АЧХ комплексного фильтра с использованием ней граничной частоты стабильных ШУС и стабильных сумматоров рабочего частотного

диапазона. Для полосовых комплексных фильтров различных порядков, реализованных на ОТУ, были определены значения верхней граничной частоты рабочего диапазона. Исследовались широкополосные полосовые фильтры, у которых центральная частота равна полосе пропускания (А=2). Изменялись одновременно полоса и центральная частота. Это обеспечивалось синхронным изменением номиналов конденсаторов в базовых звеньях.

Анализ полученных результатов моделирования позволил сделать следующие выводы:

1. Верхняя граничная частота рабочего диапазона частот уменьшается с ростом порядка фильтра.

2. Если допустимо изменение АЧХ на 5%, то можно говорить о рабочем частотном диапазоне до единиц мегагерц.

Во второй главе также рассмотрены вопросы проектирования режекторных фильтров на базе ОТУ. Показано, что построение узкополосных режекторных комплексных фильтров связано с существенным увеличением числа ОТУ в схеме. Можно констатировать, что узкополосные режекторные комплексные фильтры на базе ОТУ строить нецелесообразно, а широкополосные режекторные комплексные фильтры практически не применяются.

В третьей главе рассмотрены полосовые и режекторные фильтры на базе ОУ с обратной связью по току (ОУ с ОСТ). Такого типа ОУ впервые разработала фир-

ма National Semiconductor в начале 90-х годов прошлого столетия. В последние годы многие фирмы предлагают ОУ с ОСТ, которые обеспечивают исключительно высокие скорости нарастания выходного напряжения. Например, ОУ с ОСТ типа THS3001 имеет скорость нарастания выходного напряжения 6500 В/мкс.

В разделе рассмотрены примеры проектирования комплексных полосовых и режекторных фильтров Батгерворта и Чебышева с НЧ-прототипами 4-го порядка на ОУ с ОСТ. Для расчёта комплексного полосового и режекторного фильтра с НЧ-прототипом использована методика, которая была описана в первой главе. Были рассчитаны схемы полосового комплексного фильтра с канонической структурной схемой на базе интеграторов и дифференциаторов. В первом случае расчет проводился с использованием базового звена с НЧ-прототипом K(s)=-l/s. Полученная передаточная функция комплексного звена была реализована на интеграторах. Во втором случае расчет проводился с использованием базового звена с НЧ-прототипом K(s)=-s. В этом случае комплексное базовое звено было реализовано на дифференциаторах.

Анализ полученных в результате моделирования АЧХ показывает, что в схемах на базе дифференциаторов образуются паразитные каналы прохождения на частотах, относящихся к полосе задерживания. Это недопустимо, поэтому в дальнейшем рассматривались только варианты полосовых фильтров, реализуемых на интеграторах и неидеальных интеграторах.

В главе отражены результаты расчета комплексных полосовых фильтров с НЧ-прототипами Батгерворта 4-го порядка. Были разработаны модели комплексных фильтров на базе интеграторов и неидеальных интеграторов, реализованные в виде канонической, последовательной и многопетлевой схем. С использованием разработанных моделей были проведены исследования частотных свойств комплексных фильтров на базе ОУ с обратной связью по току.

Для полосовых комплексных фильтров различных порядков, реализованных на ОУ с обратной связью по току, были определены значения верхней граничной частоты рабочего диапазона. Исследовались широкополосные (А=2) и узкополосные (А>4) полосовые фильтры. У широкополосных фильтров изменялись од-

новременно полоса и центральная частота. Это обеспечивалось синхронным изменением номиналов конденсаторов в базовых звеньях. У узкополосных фильтров фиксировалась полоса пропускания, а изменялась центральная частота (параметр «А») путем изменения идентичных номиналов резисторов.

Анализ полученных результатов моделирования позволяет сделать вывод, что комплексные фильтры на ОУ с обратной связью по току имеют рабочий частотный диапазон до нескольких десятков мегагерц.

В третьей главе также рассмотрены вопросы проектирования режекторных фильтров на базе ОУ с обратной связью по току. Показано, что при использовании базовых звеньев с НЧ-прототипом К(э) = -э, получается передаточная функция комплексных базовых звеньев, реализуемая на интеграторах. При использовании базовых звеньев с НЧ-прототипом К(з)=-1/(з+а), получаются передаточная функция комплексного звена на неидеальных дифференциаторах. Принципиальная схема комплексного звена соответствующая такой структурной схеме показана на рис.11.

Использование предложенной схемы базового звена позволяет реализовы-вать многопетлевые структурные схемы режекторных фильтров, которые характеризуются низкой параметрической: чувствительностью.

Четвертая глава посвящена разработке методик расчета комплексных фильтров высокого порядка на базе полностью дифференциальных ОУ (ПДОУ). Полностью дифференциальные усилители отличаются тем, что и на входе, и на выходе у них дифференциальный сигнал. Они широко используются для передачи аналоговых сигналов в условиях сильных помех, для подачи сигналов на входы быстродействующих АЦП и во многих других областях. В

№

г-г

«7» АЫОМ

Я

Рис. 11. Схема базового звена режекторного фильтра с НЧ-прототипом К(з)=-1/(з+а)

последние годы появились ПДОУ с обратной связью по току (ПДОУ с ОСТ), которые имеют частоту единичного усиления больше, чем ПДОУ с обратной связью по напряжению (ОСН). Например, ЬМН6554 - ПДОУ с ОСТ имеет частоту единичного усиления 2,8 ГТц. В диссертации предлагается использовать такие ОУ для проектирования комплексных фильтров с расширенным диапазоном рабочих частот.

Схемотехника базовых звеньев комплексных фильтров на ПДОУ с ОСТ отличается от схемотехники базовых звеньев на ОУ с ОСТ, поскольку можно исключить инвертор. Примеры схем базовых звеньев на неидеальных интеграторах и неидеальных дифференциаторах, реализованных на базе ПДОУ с ОСТ показаны на рис.12 и рис.13.

.и» ЬМНЙН

т

«г

Т

выэи —О

Рис. 12. Базовое звено на неидеальных интеграторах

Рис. 13. Базовое звено на неидеальных дифференциаторах

На базе звеньев на интеграторах и неидеальных интеграторах, реализованных на ПДОУ с ОСТ были разработаны модели в среде МшгоСар-7 комплексных полосовых фильтров Баттерворта с НЧ-прототипами (2 - 5) порядков

с канонической, последовательной и многопетлевой структурными схемами. С помощью этих моделей было проведено исследование рабочего частотного диапазона комплексных полосовых фильтров на базе ПДОУ. Верхняя граница рабочего частотного диапазона определялась также как в третьей главе. Общие закономерности зависимости верхней граничной частоты комплексного полосового фильтра (при заданном отклонении АЧХ) от порядка НЧ-прототипа, от вида аппроксимации, от параметра «А» такие же, как для комплексных фильтров на базе ОУ с обратной связью по току. При этом верхняя граничная частота широкополосного полосового фильтра в случае использования ПДОУ с ОСТ получается выше и может достигать ста мегагерц.

Также были разработаны модели режекторных фильтров на ПДОУ с ОСТ. При выборе НЧ-прототипа базовых звеньев К(з) = -в, получается передаточная функция комплексных базовых звеньев, реализуемая на интеграторах. Если используются структурные схемы без обратных связей, охватывающих один каскад, то НЧ-прототип базовых звеньев имеет вид К(з)=-1/(з+а). В этом случае для реализации передаточной функции комплексного базового звена необходимо использовать схему на неидеальных дифференциаторах.

Комплексные режекторные фильтры должны быть узкополосными (А>2) и их рабочий частотный диапазон получается уже, чем у широкополосных полосовых фильтров, поэтому их совместное использование возможно в рабочем диапазоне частот, определяемом режекторным фильтром.

В заключении сформулированы следующие основные результаты диссертационной работы:

1. Разработана методика расчета комплексных аналоговых режекторных фильтров с использованием НЧ-прототипов, позволяющая разрабатывать комплексные режекторные фильтры без обратных связей, охватывающих один каскад.

2. Исследована возможность реализации комплексных фильтров на идентичных звеньях на базе ОТУ. Предложен способ повышения температурной стабильности частотных характеристик комплексных фильтров на базе ОТУ,

базирующийся на использовании стабильных широкополосных усилительных секций (ШУС).

3. С использованием разработанных в среде МкгоСар - 7 моделей исследован рабочий частотный диапазон полосовых комплексных фильтров на базе ОТУ и показано, что для широкополосных полосовых фильтров верхняя граничная частота полосы пропускания составляет единицы мегагерц.

4. Показано, что узкополосные комплексные полосовые и режекторные фильтры на базе ОТУ реализовывать нецелесообразно, так как схема базового звена получается очень сложной.

5. Исследована возможность реализации комплексных фильтров на идентичных звеньях на базе ОУ с обратной связью по току. Разработаны схемы базовых звеньев на трех ОУ с обратной связью по току на интеграторах, неидеальных интеграторах, неидеальных дифференциаторах.

6. В среде МюгоСар - 7 разработаны модели комплексных полосовых фильтров Батгерворта с НЧ-прототипами 2-5 порядков, реализованных с использованием канонической, последовательной и многопетлевой структурных схем на базе ОУ с обратной связью по току. С использованием разработанных моделей исследован рабочий частотный диапазон полосовых комплексных фильтров на базе ОУ с обратной связью по току и показано, что для широкополосных полосовых фильтров верхняя граничная частота полосы пропускания может составлять десятки мегагерц.

7. Исследована возможность реализации комплексных фильтров на идентичных звеньях на базе ПДОУ с обратной связью по току. Разработаны схемы базовых звеньев на двух ОУ с обратной связью по току на интеграторах, неиде-альньгх интеграторах, неидеальных диффенциаторах.

8. В среде МюгоСар - 7 разработаны модели комплексных полосовых фильтров Батгерворта с НЧ-прототипами 2 - 5 порядков, реализованных с использованием канонической, последовательной и многопетлевой структурных схем на базе ПДОУ с обратной связью по току. С использованием разработанных моделей исследован рабочий частотный диапазон полосовых комплексных

фильтров на базе ПДОУ с обратной связью по току и показано, что для широкополосных полосовых фильтров верхняя граничная частота полосы пропускания может достигать ста мегагерц.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Гребенко Ю.А., Кью Тхиха. Комплексные активные RC-фильтры на базе операционных транскондуктивных уисилиетлей. // Вестник МЭИ. - 2012, №2. - С.110-114.

2. Гребенко Ю.А., Кью Тхиха. Режекторные комплексные активные RC- фильтры на идентичных звеньях. // Вестник МЭИ. - 2013, №2. -С.54 - 59.

3. Гребенко Ю.А., Кью Тхиха. Комплексные полосовые активные RC-фильтры на базе быстродействующих интегральных операционных усилителей с обратной связью по току. // Вестник МЭИ. - 2013, № 4. -С.115 -119.

4. Богатырёв Е.А., Кью Тхиха. Исследование и разработка многокаскадного УПЧ с распределенной избирательностью на базе интегральных операционных усилителей. // Радиотехнические тетради. - 2011. №46, -С. 15-21.

5. Кью Тхиха, Богатырёв Е.А. Исследование и разработка многокаскадного УПЧ с распределенной избирательностью на базе интегральных операционных усшгателей.//Тезисы Докладов, Радиоэлектроника, Электротехника и Энергетика. Семнадцатая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов. МЭИ. 24-25 февраля 2011 г.-М.: С.487.

6. Кью Тхиха, Гребенко Ю.А. Комплексные активные RC-фильтры на базе операционных транскондуктивных уисилиетлей. - М.: //Тезисы Докладов. Радиоэлектроника, Электротехника и Энергетика. Восемнадцатая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов. МЭИ. 1-2марта2012 г.-М.: С.316.

7. Кью Тхиха, Гребенко Ю.А. Комплексные активные ЯС-фильтры на базе быстродействующих интегральных операционных уисилиетлей с обраной связью по току. //Тезисы Докладов. Радиоэлектроника, Электротехника и Энергетика. Восемнадцатая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов. МЭИ. 1-2 марта 2012 г. -М.: С.316.

8. Кью Тхиха, Гребенко Ю.А. Комплексные активные ЯС-фильтры на базе полностью дифференциальных усилителей. //Тезисы Докладов. Радиоэлектроника, Электротехника и Энергетика. Девятнадцатая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов. МЭИ. 28 февраля-1 марта 2013 г. -М.: С.280.

9. Кью Тхиха, Сое Ко Ко, Гребенко Ю.А. Комплексные режекторные фильтры на операционных усилителях. //Тезисы Докладов. Радиоэлектроника, Электротехника и Энергетика. Девятнадцатая международная научно-техническая конференция студентов и аспирантов. МЭИ. 28 февраля-1 марта 2013 г. -М.: С.280.

Подписано в печать Зак. 392 Тир. ЮР П.л.

Полиграфический центр МЭИ, Красноказарменная ул.,д.13

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

«МЭИ»

На правах рукописи

04201364877

Кью Тхиха

КОМПЛЕКСНЫЕ АКТИВНЫЕ НС-ФИЛЬТРЫ С РАСШИРЕННЫМ ЧАСТОТНЫМ ДИАПАЗОНОМ

Специальность 05.12.04 -Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Научный руководитель, доктор технических наук, профессор Гребенко Ю.А.

Москва-2013

Аннотация

В диссертации рассматриваются вопросы проектирования комплексных аналоговых фильтров с расширенным диапазоном рабочих частот. Предлагается использовать для расширения частотного диапазона современные широкополосные усилители. В работе рассмотрены схемы комплексных фильтров высокого порядка на базе транскондуктивных операционных усилителей, на базе операционных усилителей с обратной связью по току, на базе полностью дифференциальных усилителей с обратной связью по току. Предложен способ повышения стабильности частотных характеристик комплексных фильтров на базе транскондуктивных операционных усилителей. Разработаны модели в среде М1сгоСар-7 комплексных фильтров, разработанных с использованием НЧ-прототипов Баттерворта до пятого порядка, и реализованных в виде канонической, последовательной и многопетлевой структурных схем. С помощью разработанных моделей проведена оценка рабочего диапазона частот для комплексных фильтров реализованных на базе транскондуктивных операционных усилителей, на базе операционных усилителей с обратной связью по току, на базе полностью дифференциальных усилителей с обратной связью по току.

ВВЕДЕНИЕ 6

ГЛАВА 1. РАСЧЕТ КОМПЛЕКСНЫХ ФИЛЬТРОВ ПО НЧ-ПРОТОТИПУ 11

1.1. Комплексные сигналы и фильтры 11

1.2. Расчет комплексных полосовых и режекторных фильтров на идентичных звеньях 14

1.2.1. Методика расчета структурированного НЧ-прототипа 14

1.2.2. Расчет комплексных базовых звеньев 15

1.2.3. Разработка принципиальной схемы фильтра 28

Выводы по главе 1 30

ГЛАВА 2. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛОСОВЫЕ И РЕЖЕКТОРНЫЕ ФИЛЬТРЫ НА ОПЕРАЦИОННЫХ ТРАНСКОНДУКТИВНЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ 31

2.1. Операционные транскондуктивные усилители (ОТУ) 31

2.2. Базовые функциональные узлы на основе ОТУ 34

2.2.1. Сумматор и интегратор 34

2.2.2. Синтез стабильной широкополосной усилительной секции 37

2.3. Проектирование комплексных полосовых фильтров Баттерворта на ОТУ 41

2.3.1. Проектирование комплексных полосовых фильтров Баттерворта с использованием базового звена с НЧ-прототипом K(s)=-l/s

41

2.3.2. Проектирование комплексных полосовых фильтров Баттерворта с использованием базового звена с НЧ-прототипом K(s)=-l/(s+a) 48

2.4. Проектирование комплексных полосовых фильтров Чебышева на ОТУ 54

2.4.1. Проектирование комплексных полосовых фильтров Чебышева с использованием базового звена с НЧ-прототипом K(s)=-l/s

54

2.4.2. Проектирование комплексных полосовых фильтров Чебышева с использованием базового звена с НЧ-прототипом K(s) = -l/(s+a) 59

2.5. Проектирование комплексных режекторных фильтров Баттерворта на ОТУ 65

2.5.1. Проектирование комплексных режекторных фильтров Баттерворта с использованием базового звена с НЧ-прототипом ВД=-8 65

2.6. Эффективность использования широкополосных усилительных секции на базе ОТУ для повышения стабильности АЧХ комплексных фильтров 71

2.7. Определение диапазона рабочих частот комплексных фильтров на транскондуктивных операционных усилителях 78

Выводы по главе 2 80

ГЛАВА 3. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛОСОВЫЕ И РЕЖЕКТОРНЫЕ ФИЛЬТРЫ НА БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИХ ОУ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ТОКУ 81

3.1. Операционные усилители с обратной связью по току (ОУ с ОСТ) 81

3.2. Базовые функциональные узлы ОУ с ОСТ 83

3.3. Проектирование комплексных полосовых фильтров Баттерворта на ОУ с обратной связью по току 84

3.3.1. Проектирование комплексных полосовых фильтров Баттерворта с использованием базового звена с НЧ-прототипом К(з)=- 1/з

84

3.3.2. Проектирование комплексных полосовых фильтров Баттерворта с использованием базового звена с НЧ-прототипом К(з)=-1/(8+а) 89

3.4. Проектирования комплексных режекторных фильтров Баттерворта на ОУ с обратной связью по току 96

3.4.1. Проектирование комплексных режекторных фильтров Баттерворта с использованием базового звена с НЧ-прототипом К(в)=-8 96

3.4.2. Проектирование комплексных режекторных фильтров Баттерворта с использованием базового звена с НЧ-прототипом К(в)=-1/(8+а) 101

У

3.5. Исследование АЧХ комплексных фильтров на ОУ с обратной связью по току 107

Выводы по главе 3 111

ГЛАВА 4. КОМПЛЕКСНЫЕ ПОЛОСОВЫЕ И РЕЖЕКТОРНЫЕ ФИЛЬТРЫ НА БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИХ ПОЛНОСТЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОУ С ОБРАТНОЙ СВЯЗЬЮ ПО ТОКУ 112

4.1. Полностью дифференциальные операционные усилители (ПДОУ)

112

4.2. Базовые функциональные узлы на ПДОУ 113

4.3. Проектирование комплексных полосовых фильтров Баттерворта на ПДОУ с обратной связью по току 116

4.3.1. Проектирование комплексных полосовых фильтров Баттерворта с использованием базового звена с НЧ-прототипом K(s)= -1/s

116

4.3.2. Проектирование комплексных полосовых фильтров Баттерворта с использованием базового звена с НЧ-прототипом K(s)= -l/(s+a) 121

4.4. Проектирование комплексных режекторных фильтров Баттерворта на ПДОУ с обратной связью по току 128

4.4.1. Проектирование комплексных режекторных фильтров Баттерворта с использованием базового звена с НЧ-прототипом K(s)= -s 128

4.4.2. Проектирование комплексных режекторных фильтров Баттерворта с использованием базового звена с НЧ-прототипом K(s)=-l/(s+a) 133

4.5. Исследование частотных свойств комплексных фильтров на базе ПДОУ с обратной связью по току 136

Выводы по главе 4 139

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 140

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 142

Введение

Активные RC-фильтры на базе операционных усилителей (ОУ) достаточно широко используются в устройствах обработки сигналов [1- 3, 7, 10, 23]. Методы расчета активных RC-фильтров на базе ОУ разрабатывались на протяжении многих десятилетий прошлого века и отражены в работах Хьюлсмана Л.П. [4, 5], Митры С.Л. [6, 7], Гаузи М.[63-65], Лакера К. [63-65], Ланнэ А.А. [8 -10], Масленникова В.В. [11,12], Христича В.В [21] и многих других.

Можно выделить отдельное направление исследований связанное с использованием идентичных звеньев при построении активных RC-фильтров. Это направление базируется на работах Гребенко Ю.А. [40, 41, 46], Савкова Н.Н.[41], Ермакова А.В. [22], Чжо Зей Я [42]. Использование идентичных звеньев и многопетлевых структурных схем [43], позволило уменьшить влияние разброса параметров пассивных элементов на частотные характеристики фильтров практически до теоретического минимума. Важным достоинством активных RC-фильтров на идентичных звеньях можно считать удобство изменения параметров АЧХ (полосы пропускания и центральной частоты) без изменения ее формы. Это достигается синхронным изменением аналогичных параметров АЧХ идентичных звеньев.

Одним из главных недостатков активных RC-фильтров на ОУ является ограниченный рабочий частотный диапазон, обусловленный частотными свойствами ОУ, усиление которых заметно падает с увеличением частоты обрабатываемого сигнала. В 70-е годы прошлого века появились транскон-дуктивные усилители [13 - 17], которые являются источниками тока, управляемыми напряжением. Возникли новые схемные решения, а реализованные активные RC-фильтры стали выполнять свои функции на частотах до сотен килогерц [31].

В 90-е годы прошлого века фирма National Semiconductor разработала ОУ с низкоомным входом для сигнала отрицательной обратной связи, назы-

ваемые ОУ с обратной связью по току [18, 19] . Такие ОУ обеспечивают исключительно высокие скорости нарастания выходного напряжения (до 6500 В/мкс). Несимметрия входов, когда инвертирующий вход низкоомный, а не-инвертирующий вход высокоомный, привела к изменению схемотехнических реализаций активных ЯС-фильтров, Рабочий диапазон активных 11С-фильтров на ОУ расширился до единиц МГц. И, наконец, в настоящее время появились ОУ, которые называют полностью дифференциальными ОУ(ПДОУ) с обратной связью по току [20]. Они имеют симметричные низ-коомные входы и выходы. Рабочий частотный диапазон активных КС-фильтров на ПДОУ расширился до десятков МГц.

В современных РПУ перенос спектра сигнала на низкую промежуточную частоту осуществляется с использованием квадратурных преобразователей частоты. На выходе такого преобразователя возникает комплексный сигнал. Если этот комплексный сигнал пропустить через комплексный полосовой аналоговый фильтр [24] - [36] , то можно подавить зеркальный канал приема. Комплексные активные ЯС-фильтры [37 - 39] исследованы в меньшей степени, чем вещественные, С появлением новых типов ОУ существенно изменяются схемотехнические решения, что требует проведения дополнительных исследований рабочего частотного диапазона комплексных фильтров на базе таких ОУ.

С появлением ПДОУ просматривается возможность реализации на их основе усиления и фильтрации комплексных сигналов промежуточной частоты, имеющих ширину полосы спектра до десятков МГц. При этом будет возможно выбирать форму АЧХ и ФЧХ, например, использовать гладкие аппроксимации АЧХ полиномами Баттерворта или Бесселя, обеспечивая ФЧХ, которые близки к линейным.

Параметры АЧХ комплексных фильтров можно перестраивать, если реализовывать комплексный фильтр на базе идентичных звеньев. Важным моментом является разработка перестраиваемых режекторных комплексных активных ЯС-фильтров [44, 45], используемых для подавления узкополосных

помех в полосе сигнала до проведения аналого-цифрового преобразования [61, 62].

Расширение рабочего частотного диапазона комплексных полосовых и режекторных фильтров на идентичных звеньях может быть достигнуто за счет использования схемотехнических решений комплексных активных НС-фильтров на базе современных типов ОУ, поэтому тема диссертационной работы является актуальной.

Целью диссертационной работы является разработка методов расчета и реализации комплексных полосовых и режекторных активных фильтров на базе быстродействующих ОУ и определение рабочего диапазона частот новых схемотехнических решений для фильтров высокого порядка. Задачи диссертационной работы:

1. Разработка и исследование методов расчета комплексных режекторных фильтров на идентичных звеньях.

2. Разработка схем и исследование рабочего диапазона частот полосовых и режекторных комплексных фильтров на базе транскондуктивных ОУ.

3. Разработка схем и исследование рабочего диапазона частот полосовых комплексных фильтров на базе ОУ с обратной связью по току.

4. Разработка схем и исследование рабочего диапазона частот комплексных полосовых и режекторных фильтров на базе полностью дифференциальных ОУ с обратной связью по току.

5. Исследование возможностей перестройки полосы пропускания и центральной частоты комплексных фильтров высокого порядка при сохранении формы АЧХ.

Объектом исследования являются комплексные активные КС-фильтры высокого порядка на идентичных звеньях, реализуемые на современных типах быстродействующих операционных усилителей.

Методы исследования. Применительно к объектам исследования для решения поставленных задач используются методы теории функций ком-

плексного переменного, методы теории графов, методы линейной алгебры, методы теории чувствительности, методы математического моделирования.

Научная новизна работы.

1). Разработана методика расчета режекторных комплексных фильтров высокого порядка на базе идентичных звеньев.

2). Для обеспечения температурной стабильности частотных характеристик аналоговых комплексных фильтров на базе транскондуктивных ОУ предложено строить их, используя стабильные широкополосные усилительные секции.

3). Разработаны новые схемы базовых звеньев полосовых и режекторных фильтров высокого порядка на базе транскондуктивных ОУ.

4). Разработаны новые схемы базовых звеньев полосовых и режекторных фильтров высокого порядка на базе ОУ с обратной связью по току.

5). Разработаны новые схемы базовых звеньев полосовых и режекторных фильтров высокого порядка на базе полностью дифференциальных ОУ (ПДОУ) с обратной связью по току.

6). С помощью схемотехнического моделирования определены рабочие частотные диапазоны комплексных полосовых и режекторных фильтров на базе транскондуктивных ОУ, на базе ОУ с обратной связью по току, на базе ПДОУ с обратной связью по току.

Достоверность разработанных в диссертации методик проектирования подтверждается результатами схемотехнического моделирования в многочисленных примерах, апробацией основных результатов на научно-технических конференциях, публикацией основных результатов в научно-технических журналах и сборниках.

Основные положения, выносимые на защиту.

1). Использование транскондуктивных ОУ позволяет реализовывать

полосовые и режекторные комплексные активные ЯС-фильтры высокого порядка на идентичных звеньях в диапазоне до сотен кГц.

2). Температурную стабильность фильтров на транскондуктивных ОУ можно обеспечить путем использования стабильных усилительных секций.

3). Использование ОУ с обратной связью по току позволяет расширить рабочий частотный диапазон комплексных активных КС-фильтров высокого порядка на идентичных звеньях до десятков МГц.

4). При реализации структурных схем режекторных фильтров без обратных связей, охватывающих один каскад необходимо использовать предложенную схему базовых звеньев на трех ОУ с обратной связью по току.

5). Использование ПДОУ с обратной связью по току позволяет расширить рабочий частотный диапазон комплексных активных КС-фильтров высокого порядка на идентичных звеньях до 100 и более мегагерц.

6). При реализации структурных схем без обратных связей, охватывающих один каскад, рекомендуется использовать предложенную схему базовых звеньев на двух ПДОУ с обратной связью по току. Практическая значимость работы обусловлена разработкой удобных

для использования в инженерной практике методик проектирования комплексных полосовых и режекторных активных КС-фильтров на идентичных звеньях с расширенным частотным диапазоном. Результаты моделирования позволяют говорить о возможности реализации фильтров промежуточной частоты на ОУ. Результаты работы используются при выполнении ОКР, а также при курсовом и дипломном проектировании на радиотехническом факультете МЭИ.

Апробация результатов работы. По основным результатам работы сделано 5 докладов на международных научно-технических конференциях студентов и аспирантов в 2010-2013 г.

Глава 1. Расчет комплексных фильтров по НЧ-прототипу 1.1. Комплексные сигналы и фильтры

Математической моделью вещественного (действительного) сигнала является вещественная функция времени 8(1). Применяя преобразования Фурье и Лапласа, можно найти спектральную плотность вещественного сигнала Б(ю) и его изображение 8(р). Отметим, что функция модуля спектральной плотности вещественного сигнала 18(ш)1 симметрична относительно частоты ю=0.

Математической моделью комплексного сигнала является комплексная функция времени

в^) = в!^) +3 82(г), (1.1)

где э^) и з2(1:) - вещественные функции времени.

Соответственно, спектральная плотность комплексного сигнала может быть представлена выражением

8(СО)=81(со)+]82((О), (1.2)

где 81(00) и 82(00) - спектральные плотности вещественных функций в!© и 82(1). Поскольку спектральные плотности 81(00) и 82(00) комплексные, выражение (1.2) можно преобразовать следующим образом

Б((о)= 81(00)+] 82(00) = [Яе 81(00) + ] 1т 81(00)] + ] [Яе 82(оо) + ] 1т 82(ю)] =[Яе 81(00) - 1т 82(00)] +} [1т 81(00) + Яе 82(оо)]. (1.3)

Найдем модуль спектральной плотности комплексного сигнала I 8(оо) 1= V [Яе 81(00) - 1т 82(оо)]2 + [1т 81(00) + Яе 82(оо)]2 (1.4)

Эта функция в общем случае несимметрична относительно частоты со = 0.

Изображение комплексного сигнала получается в результате применения преобразования Лапласа к выражению (1) и имеет вид

8(р) = 81(р)+]82(р) (1.5)

где 81(р) и 82(р) - изображения по Лапласу функций э^) и Эг^).

Комплексным фильтром называют устройство, преобразующее комплексный сигнал и описываемое во временной области комплексной импульсной характеристикой

ад^ЫО+ШО, (1.6)

где Ь^) и ЬгСО - вещественные функции времени [23,24].

Применяя преобразование Фурье к выражению (1.6), получим частотный коэффициент передачи комплексного фильтра в виде

КСсо) = К,а©) +} К2(]'ю), (1.7)

где К^со) и К2(]со) - результат преобразования Фурье вещественных функций И^) и Ь2(1:).

Отметим, что функции модулей I К^со) I и I К2(]0)) I симметричны относительно частоты ю=0. Найдем выражения для АЧХ и ФЧХ комплексного фильтра

каю)=к,асо)+]к2аю)=

= [Яе К.Ссо) + 3 1т К,0'со)] + ] [Яе К^со) + ] 1т К2(]со)] =

- [Яе К,0(о) - 1т ВДсо)] +} [1т К^ю) + Ые

I ВДю) I = V [Яе К^со) - 1т К2(»]2 + [1т К^сэ) + Яе К2Сю)]2 ,

arg КО'ю) = ап^ {[ 1т К^сэ) + Яе К2()'со)]/[ Яе ВДю) - 1т К2(]й))]}

АЧХ комплексного фильтра в общем случае несимметрична относительно частоты ю = 0.

Применяя преобразование Лапласа к выражению (1.6), получим передаточную функцию комплексного фильтра