автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Нелинейный анализ стохастических параметров интерференционных систем

На правах рукописи

Захаров Алексей Сергеевич

Нелинейный анализ стохастических параметров интерференционных систем

Специальность 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах)»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2005

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Гуров Игорь Петрович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Григорьев Валерий Владимирович

кандидат технических наук, доцент Канатов Иван Иванович

Ведущая организация: ФГУП «Санкт-Петербургское ОКБ

«Электроавтоматика»».

Защита состоится 20 декабря 2005 года в 15-50 на заседании диссертационного совета Д.212.227.03 при Санкт-Петербургском государственном университете информационных технологий, механики и оптики, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., 49.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики

Автореферат разослан 18 ноября 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Лямин A.B.

¿MÂ^L

3L3UOWW

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Решением президиума Российской Академии Наук в число основных направлений фундаментальных исследований были включены направления «Теория вероятностей и математическая статистика» и «Управление в детерминированных, стохастических системах и в условиях неопределенности». В рамках этих направлений решаются актуальные для многих областей науки задачи теории стохастических систем. С позиций теории стохастических систем могут рассматриваться различные процессы в физике, химии, экономике.

Актуальной задачей теории стохастических систем является развитие методов динамического оценивания параметров сигналов. Уравнения Ито и Стратоновича позволяют получить всю доступную информацию о параметрах сигнала, заключенную в апостериорной плотности вероятности параметров Для практических задач вычислительная сложность восстановления апостериорной плотности вероятности параметров может быть неприемлема. В случае гауссовской плотности вероятности параметров достаточно получить оценки математического ожидания и дисперсии параметров, что заметно уменьшает вычислительную сложность динамического оценивания параметров системы.

Оценки математического ожидания и дисперсии параметров могут быть получены методом фильтрации Калмана. Дискретная фильтрация Калмана широко применяется для линейных систем. Для нелинейных систем не существует универсального решения проблемы, и необходимо исследовать метод фильтрации применительно к конкретной модели сигнала.

Для многих технических систем в радиотехнике, радионавигации, электротехнике, интерферометрии и других отраслях характерны квазигармонические сигналы со случайными изменяющимися параметрами, описываемые моделью

где so(*) - фоновая составляющая сигнала, sm(x) - амплитуда, Ф(х) - полная развернутая фаза сигнала, х - независимая переменная.

Задача разработки стохастических методов динамического оценивания параметров квазигармонических сигналов хорошо исследована применительно к радиотехническим сигналам. Для радиотехнических систем характерны сигналы ^ постоянной частоты или частотно модулированные сигналы, частота которых сравнительно незначительно меняется в окрестности известной несущей частоты. В интерференционных системах частота изменяется в широких пределах и часто невозможно выделить несущую частоту. Задачи восстановления параметров сигналов такого вида и двумерных картин полос не были ранее решены.

Данная работа направлена на развитие и исследование метода нелинейной дискретной фильтрации Калмана применительно к квазигармоническим

s(x, в(х) y=s0(x)+sjx)cos(^x)),

(1)

сигналам, формируемых в интерференционных системах Экспериментальные интерферометрические сигналы и картины полос используются для верификации метода динамической обработки квазигармонических сигналов

Основной целью работы является развитие теории дискретной нелинейной фильтрации Калмана, разработка методов и алгоритмов нелинейной фильтрации сигналов, методик обработки сигналов применительно к интерферометрическим сигналам и изображениям. "

Задачи исследования Основные задачи работы состоят в следующем'

1 Анализ существующих методов динамического оценивания параметров стохастических систем.

2 Разработка методов двумерной нелинейной стохастической фильтрации изображений.

3 Разработка адекватных моделей квазигармонических сигналов для восстановления амплитуды, фазы и частоты с использованием методов стохастической фильтрации.

4. Разработка моделей картин полос, используемых в методах динамического оценивания фазы и частоты

5 Исследование точности разработанных методов в условиях случайных возмущений.

Методы исследования. Разработанные методы фильтрации основаны на теоретических положениях теории вероятности, теории стохастических систем и стохастической фильтрации, теории информации. Для обоснования адекватности предложенных моделей интерферометр ических сигналов использованы отдельные положения геометрической оптики и теории дифракции

На защиту выносятся следующие результаты

1 Метод двумерной пространственной нелинейной дискретной фильтрации изображений на основе дискретной нелинейной фильтрации Калмана.

2 Модель квазигармонического сигнала применительно к задачам восстановления фазы и частоты одномерных сигналов методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана.

3 Ограничения метода дискретной линейной фильтрации Калмана при фильтрации амплитуды одномерного узкополосного сигнала с близкой к гауссовской огибающей.

4 Модели квазигармонического сигнала, позволяющие динамически восстановить амплитуду и фазу сигнала.

5 Ограничения построчной фильтрации двумерных изображений в виде картин полос методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана

6. Метод обработки двумерного изображения, позволяющий восстановить параметры изображения (включая развернутую фазу) с помощью двумерной

пространственной нелинейной фильтрации с повышенной помехоустойчивостью и точностью.

Научная новизна работы состоит в постановке задачи разработки методов динамической обработки двумерных изображений и квазигармонических сигналов переменной частоты, получаемых при нелинейных преобразованиях, на основе методов стохастической фильтрации и в получении следующих новых * научных результатов.

1 Разработан новый метод двумерной пространственной нелинейной дискретной фильтрации изображений на основе дискретной нелинеййЬй фильтрации Калмана. *

2 Разработан новый метод учета коррелированное™ шума наблюдения в дискретной нелинейной фильтрации Калмана применительно К' > задаче фильтрации векторного сигнала вида 5(^+1)] . '

3. Впервые поставлена и решена задача определения ограничений метода дискретной линейной фильтрации Калмана для фильтрации амплйтуды узкополосных информационных сигналов с близкой к гауссовской огибающей Ограничения заключаются в необходимости априорного оценивания начальной фазы сигнала и точного априорного оценивания частоты

4 Разработаны модели квазигармонических сигналов при восстановлении амплитуды сигнала методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана Предложенный новый метод восстановления амплитуды, основанный на этих моделях, устойчив к неточности априорного определения частоты и фазы сигнала, в отличие от методов линейной фильтрации и синхронной демодуляции Преимуществом метода является также возможность динамической обработки сигнала.

5 Предложены новые модели квазигармонических сигналов при восстановлении фазы и частоты сигналов методом нелинейной фильтрации Калмана Преимуществом методов динамического оценивания фазы и частоты сигнала, основанных на данных моделях, по сравнению с широко распространенными методами фильтрации на основе преобразования Фурье являются возможность динамической обработки сигнала и корректного учета априорной информации о стохастических свойствах сигнала при его обработке.

6 Впервые поставлена и решена задача разработки модели логарифмически преобразованных квазигармонических сигналов применительно к восстановлению параметров сигналов методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана.

7 Впервые определены ограничения точности метода построчной нелинейной двумерной фильтрации Калмана на примере обработки изображений в виде картин полос Показана недостаточная точность определения частоты в направлении, перпендикулярном направлению хода фильтрации Разработан новый метод динамического оценивания параметров интерферометрического изображения для восстановления фазы и частоты картин полос с помощью

предложенного метода двумерной пространственной нелинейной фильтрации.

8 Впервые поставлена и решена задача исследования разработанных в диссертации методов фильтрации в условиях искажения сигналов шумом квантования и гауссовским шумом наблюдений.

достоверность результатов работы.

Достоверность результатов работы обеспечивается адекватностью предложенных моделей сигналов и подтверждается верификацией 4 предложенных методов динамического оценивания параметров сигналов, результатами сравнения погрешностей восстановления параметров с погрешностями их восстановления другими методами

Практическая ценность работы

1. Разработаны методики восстановления фазы и частоты сигналов применительно к динамической обработке сигналов при управляемом фазовом сдвиге, а также в Доплеровской оптической когерентной томографии (ДОКТ)

2. Предложены методики восстановления амплитуды и фазы сигналов оптической когерентной томографии (ОКТ) на примере сигналов, полученных при исследовании многослойных сред, материала бумаги и древесных волокон

3 Разработан метод двумерной нелинейной фильтрации для обработки интерферограмм при восстановлении рельефа поверхности, в частности при восстановлении рельефа кратеров лазерной абляции.

Внедрение результатов работы.

Результаты работы использованы в 5-ти НИР, выполненных в СПбГУ ИТМО в рамках программы «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники» (2000-2004гг), программы сотрудничества Министерства образования Российской Федерации и Министерства Российской Федерации по атомной энергии по направлению «Научно-инновационное сотрудничество» (2003г) и межотраслевой программы сотрудничества Министерства образования Российской Федерации и Министерства обороны Российской федерации по направлению «Научно-инновационное сотрудничество» (2004г.).

Результаты исследований использованы при выполнении международного научно-исследовательского проекта Международного научно-технического центра (МНТЦ) «Система бесконтактного динамического мониторинга объектов» (проект МНТЦ №2108)

Апробация результатов работы. Результаты работы представлены на 23 научных конференциях' 5Л International Workshop on Automatic Processing of Fringe Patterns (Stuttgart, Germany, 2005), International Symposium of Optical Metrology (Munich, Germany, 2005), International Conference on Laser Applications and Technologies 2005 (Saint Petersburg, Russia, 2005), 2™* Photonics and Laser

Symposium (Kajaani, Finland, 2005), Saratov Fall Meeting 2004 (Saratov, Russia, 2004), International Topical Meeting on Optical Sensing and Artificial Vision (Saint Petersburg, Russia, 2004), NATO Advanced Study Institute in Biophotonics (Ottawa, Canada, 2004), Всероссийской научно-методической конференции «Телематика 2004» (Санкт-Петербург, 2004), Конференции профессорско-преподавательского состава СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2004), Научно-технической конференции молодых специалистов СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2004), Saratov Fall Meeting 2003 (Saratov, Russia, 2003), International Conference on Advanced Laser Technologies (Silsoe, UK, 2003), International conference "Laser Optics 2003" (Saint Petersburg, 2003), Конференции профессорско-преподавательского состава СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2003), Sixth International Conference of Quality Control by Artificial Vision (2003), International Workshop on Low-coherence Interferometty, Spectroscopy and Optical Coherence Tomography (Saint Petersburg, Russia, 2002), International Conference on Laser Applications and Technologies 2002 (Moscow, Russia, 2002), The First Scientific Workshop-Presentation «Optical Micro- and Nanotechnologies» (Saint-Petersburg, Russia, 2002), Finnish Optics Days 2002 (Kajaani, Finland, 2002), Конференции профессорско-преподавательского состава СПбГИТМО (ТУ) (Санкт-Петербург, 2002), International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (Minsk, Belarus, 2001), 2-ой международной конференция молодых ученых и специалистов "0птика-2001н (Санкт-Петербург, 2001), Международной конференции молодых ученых и специалистов «Оптика-99» (Санкт-Петербург, 1999).

Публикации. Результаты исследований опубликованы в 29-ти научных публикациях, в том числе 5-ти статьях в научных журналах, 13-ти статьях в сборниках научных статей, 11-ти статьях в сборниках трудов научных конференций; 4 работы написаны без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, основной части, содержащей 5 глав, заключения, списка литературы и 4 приложений Общий объем работы - 157 страниц, в том числе приложения на 18 страницах. Работа содержит 49 иллюстраций и 3 таблицы Список литературы включает 83 библиографических источника.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе рассматривается современное состояние теории стохастических систем Выполнен анализ различных методов описания стохастической системы Стохастическая система может описываться стохастическими дифференциальными уравнениями или детерминированными уравнениями для стохастических характеристик параметров, т.е. плотности вероятности, математического ожидания, дисперсии, других моментов случайной величины.

Рассмотрены методы динамического оценивания параметров сигналов с

аддитивным шумом Описан метод дискретной фильтрации Калмана. Показано, что фильтр Калмана обеспечивает оптимальное оценивание параметров в линейном случае и асимптотически оптимальное оценивание параметров при уменьшении шага дискретизации - в нелинейном случае

9. Предложен метод учета коррелированности шума наблюдения для дискретной нелинейной фильтрации Калмана применительно к задачам фильтрации с векторным наблюдаемым сигналом вида $(&)=[.?(£), .5(&+1)]т

Представлен разработанный метод двумерной нелинейной дискретной фильтрации на основе дискретной нелинейной фильтрации Калмана, в котором при предсказании параметров сигнала в точке (г, у) используются ранее полученные апостериорные оценки параметров в точках (/,у-1) и (М,у), т.е. в предыдущих точках строки и столбца. Уравнение системы в этом случае имеет вид:

Л (2)

где 9(/, у) - вектор параметров, А(/, у), В(/, у) - матрицы перехода, w0, у) - шум системы.

Априорная оценка вектора параметров 00, У) в точке (/, у), согласно (2), определяется как

ё(/, Л = А(г, у)0(/, 7-1) + В(/, 7)8(7 -1, у), (3)

где 00, у -1) - апостериорная оценка вектора параметров в предыдущей точке строки, 0(( -1, у) - апостериорная оценка вектора параметров в предыдущей точке столбца

Погрешность априорной оценки вектора параметров вег (/, у) определяется

как

ёего,у )=ё(1,у)-в(/,/)=

- (4)

А(/, у)0ег о, у-1)+во, у)0ег о -1, Л - л

где 0ег0,Л - погрешность апостериорной оценки вектора параметров

Погрешности апостериорных оценок вектора параметров в предыдущих точках строки и столбца Вег 0,У - 1) и 0ег 0 ~ 1, Л не могут считаться некоррелированными Достаточно указать на то, что при предсказании параметров в этих точках использовался ранее полученный вектор параметров в

точке 0-1,7 -1) 00-1,7-1)

Ковариационная матрица априорной оценки параметров врХ'. Л ПРИ некоррелированном шуме системы «'О,/) определяется как НрХи)=АО,у)КО,7-1)АтО,у)+А(/)у)ТО,у)Вт(;,у)+

В0,7)Т\/,у)Ат0,у)4^В0,уЖ/Ч,у)В^0,у)+К,, (5)

где ТО, у) ~< вег 0, У -1); 0ег 0 _ 1, У) > - ковариационная матрица погрешностей апостериорных оценок параметров в предыдущих точках строки и столбца При

определении Т(/. у) необходимо учитывать корреляцию погрешностей апостериорных оценок параметров в точках (г, у-2) и (г-2, у) Для определения ковариационной матрицы погрешностей этих оценок необходимо определение ковариационной матрицы погрешностей оценок параметров в точках (г,у'-3) и (/3, у) и т.д. В результате необходимо хранение ковариационных матриц погрешностей оценок параметров для всех пар точек. Предпочтительно использование фиксированной матрицы снижающее вычислительную

сложность и повышающее устойчивость метода Недостатком этого решения является невозможность адаптивной настройки фильтра, обеспечиваемой корректировкой КрГ.

Алгоритм двумерной нелинейной фильтрации Калмана с использованием фиксированной матрицы априорной оценки параметров имеет вид

0(1, Л = 9(1,7)+РО, ;)[*(') - Ь(60, j))}, (6)

Р(/,у)=КргСт(/,у)[С(/,ЛКргСтО,у)+Кя]-1. (7)

Показана взаимосвязь дискретной и непрерывной фильтрации для актуальной задачи фильтрации амплитудно модулированного сигнала Предложен метод определения параметров дискретного нелинейного фильтра Калмана по коэффициентам стохастических дифференциальных уравнений, описывающих эволюцию параметров системы Метод используется в гл. 4 для получения адекватной модели амплитуды сигналов с близкой к гауссовской формой огибающей.

Во второй главе рассматриваются модели квазигармонических сигналов, используемые для динамического оценивания параметров сигналов этого вида. Сформулированы общие требования к модели сигнала и предложены модели квазигармонического сигнала применительно к проблематике интерферометрических систем

Модель сигнала в основном определяется выбором компонентов вектора параметров, функции наблюдения, матрицы перехода Применительно к задаче восстановления параметров квазигармонического сигнала вектор параметров имеет вид.

е=[% ^ ф, и]\ (8)

где - фоновая составляющая сигнала, 5т - амплитуда, Ф полная развернутая фаза сигнала, и - частота. Функция наблюдения представляется как

Ь(е(А)Но(*)+*т(Л)со5(Ф(А)). (9)

Матрица перехода А для вектора параметров (8) в простейшем случае определяется как "10 0 0

0 10 0 0 0 1 2яДх ООО 1

Ь(6(*)) =

(11)

где Ах - шаг дискретизации Модификация матрицы А для конкретной задачи позволяет учесть априорную информацию об изменении параметров сигнала

Модель (8)-(10) не позволяет реализовать непосредственную фильтрацию частоты сигнала Возможна модификация модели (8)-(10), обеспечивающая прямую коррекцию частоты В этом случае сигнал представляется в векторной форме я(^)=[5(Аг), 5(А+1)]т , и функция наблюдения принимает вид

^(к) + Бт (А)соб[Ф(£) + 2т(к)&х\

Теоретически, численно и экспериментально показано, что предложенные модели адекватно описывают интерферометрические сигналы, которые могут использоваться для верификации предложенного метода фильтрации. Предложены модификации модели, адекватно описывающие некоторые актуальные для задач интерферометрии типы сигналов, в частности, сигналы с близкой к гауссовской огибающей, характерные для прикладных задач ОКТ

Рассмотрен двумерный вариант предлагаемой модели, который может применяться при оценивании параметров интерферометрических изображений

В третьей главе решается задача восстановления фазы и частоты одномерных квазигармонических сигналов. Используются рассмотренные в первой главе методы фильтрации и предложенные во второй главе модели сигнала

Исследованы три модели квазигармонического сигнала применительно к задаче восстановления фазы и частоты сигнала:

1. Модель, определяемая уравнениями (8)-( 10).

2 Модель, определяемая уравнениями (8), (10)-(П)> без учета коррелированности шума.

3 Модель, определяемая уравнениями (8), (10)-(11), с использованием предложенного в первой главе метода учета коррелированности шума

В табл. 1 приведены погрешности оценки фазы в радианах и частоты в периодах на шаг дискретизации для фильтрации модельного сигнала с квадратичной фазой Фильтрация выполнялась методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана с использованием моделей сигнала 1-3.

Таблица 1 Погрешности оценки параметров модельных сигналов.

Модель СКО фазы СКО частоты

1 0,43 0,0053

2 0,29 0,0065

3 0,31 0,008

Таким образом, модель, определяемая уравнениями (8), (Ю)-(11), без учета коррелированности шума предпочтительна для решения задачи оценки фазы и частоты квазигармонического сигнала

Показана возможность применения предложенных методов фильтрации для

обработки сигналов интерферометрии фазового сдвига и ДОКТ

0,16 0,18 0.14 0,13 0,12 0,11 0,1

0000 12000 18000 24000 30000

а) б)

Рис. 1. Фрагмент исходного сигнала (а), отн.ед., и восстановленная частота в периодах на шаг дискретизации (б).

На рис. 1 приведен фрагмент сигнала ДОКТ и результаты динамического восстановления частоты сигнала Рис. 1, а показывает, что для сигнала характерны быстрые изменения амплитуды и существенные искажения сигнала Предложенный метод фильтрации обеспечивает успешное динамическое оценивание значений частоты данного сигнала.

Исследована устойчивость предложенного метода фильтрации к воздействию шума квантования. Показано, что погрешность оценки фазы и частоты квазигармонического сигнала для сигнала, искаженного шумом квантования, меньше, чем для сигнала, искаженного гауссовским шумом той же дисперсии. В случае 16-ти уровней квантования в диапазоне значений сигнала (4 бита на одно значение сигнала) среднеквадратическая относительная погрешность оценки частоты составляет 0,04% для оценки частоты сигнала. Погрешность оценки фазы для 16-ти уровней квантования на диапазон значений сигнала составляет около 2л/200.

В четвертой главе рассматривается метод фильтрации амплитуды квазигармонических сигналов. Показаны ограничения линейной фильтрации Калмана для восстановления амплитуды узкополосных сигналов, заключающиеся в требовании точной априорной оценки частоты сигнала и необходимость априорного оценивания фазы сигнала

Предложен метод восстановления амплитуды квазигармонического сигнала и вариант метода для обработки интерферометрических сигналов малой когерентности. Метод основан на методе дискретной нелинейной фильтрации Калмана и предложенных во второй главе моделях сигнала.

Для восстановления амплитуды квазигармонического сигнала может использоваться модель сигнала (8)-(10) или модель (8), (10)-(11). Метод дискретной нелинейной фильтрации Калмана обеспечивает успешное динамическое оценивание амплитуды сигнала.

Для интерферометрических сигналов малой когерентности доступна

дополнительная информация о свойствах параметров сигнала, которая может быть учтена в матрице перехода В случае, если форма огибающей интерферометрического сигнала близка к гауссовской, эволюция значений огибающей может быть описана дифференциальным уравнением вида с&

-И-= -а(х)^(х)+ *(*), (12)

ах

где а = а0(х-х0), а0 = ~, н-(х) - случайный формирующий шум с нулевым а

средним, о - оценка ширины максимума амплитуды, т.е оценка отклонения координаты, на котором амплитуда оказывается в е раз меньше максимальной

Можно перейти от стохастического дифференциального уравнения для параметров системы (12) к уравнениям, определяющим дискретный нелинейный фильтр Калмана. Методика перехода от стохастического дифференциального уравнения к разностным уравнениям дискретной фильтрации описана в гл 1 Матрица перехбда может быть представлена в виде "10 0 0

А(*) =

(13)

0 1 -а^Ах 0 0 0 0 1 2лАх 0 0 0 1

где а*= <хо(к-ко), ко - предполагаемое положение максимума амплитуды, Ах - шаг дискретизации.

Модель сигнала (8), (11), (13) обеспечивает более точное предсказание амплитуды сигнала по сравнению с моделью (8), (10)-(11) при условии, что форма огибающей данного квазигармонического сигнала близка к гауссовской и известна априорная оценка положения максимума амплитуды ко.

Рассмотрен случай, когда форма огибающей сигнала близка к гауссовской в окрестности максимумов амплитуды, и невозможно получить априорную оценку положения максимума Для таких сигналов предложен метод фильтрации с изменением режима работы фильтра. Фильтрация начинается с использованием модели (8), (10)-(11) Когда оцениваемая амплитуда превышает определенное пороговое значение, можно сделать вывод о приближении к максимуму амплитуды В этот момент оценивается положение максимума, и в дальнейшем для обработки сигнала используется модель (8), (11), (13). После выхода из окрестности максимума амплитуды снова используется модель (8), (Ю)-(11).

Результаты динамического оценивания параметров сигнала сравниваются с результатами восстановления параметров сигнала методом синхронной демодуляции. Показаны преимущества метода дискретной нелинейной фильтрации Калмана заключающиеся в устойчивости к неточным априорным оценкам фазы и частоты и более точном оценивании амплитуды.

Показана возможность восстановления амплитуды и фазы интерферометрических сигналов малой когерентности, получаемых в OKT. На

рис 2 приведены результаты динамического оценивания амплитуды экспериментального сигнала ОКТ, полученного при исследовании многослойной среды. Использовался метод фильтрации с изменением режима работы фильтра

2.5 2

0.5 О ■О* -1 -1.5 -2 -2,5

2,5 т-

-2 -25

ш

Ь(8(А)) =

(14)

а) б)

Рис 2. Исходный сигнал (а) и восстановленная амплитуда (б)

Предложен метод обработки логарифмически преобразованных квазигармонических сигналов Логарифмическое преобразование сигнала используется для снижения относительной погрешности квантования и преобразования мультипликативного шума в аддитивный шум, что обеспечивает возможность применения методов фильтрации сигналов с аддитивным шумом, в частности, дискретной нелинейной фильтрации Калмана.

Обработка логарифмически преобразованных квазигармонических сигналов подобна обработке квазигармонических сигналов, но функция наблюдения (11) заменяется на функцию вида

8Ык) + зт(к)со*№к)])

g(s0(k) + 5ОТ (А)соз[Ф(А) + 2пи(к)Ах])

где #(.?) - известная передаточная функция логарифмического преобразователя

Исследована устойчивость предложенных методов динамического оценивания параметров сигналов к шуму квантования В случае 16-ти уровней квантования в диапазоне значений сигнала относительная среднеквадратическая погрешность восстановления амплитуды составляет 1,5%.

В пятой главе представлены результаты разработки и исследования метода двумерной фильтрации изображений Рассмотрена построчная фильтрация изображений в виде картин полос с использованием метода стохастической фильтрации на основе дискретной нелинейной фильтрации Калмана. Показаны ограничения точности построчной фильтрации, в частности высокие погрешности оценки частоты полос в поперечном по отношению к направлению фильтрации направлении.

Предложена модель картины полос для восстановления ее параметров методом двумерной пространственной нелинейной фильтрации Калмана. Использовался вектор параметров вида ($0, Ф, мн, «у)Т, где иа -

пространственная частота в горизонтальном направлении, и\ - пространственная частота в вертикальном направлении Матрицы перехода А(/, у) и В(/, у) определяются как

05 0 0 0 0

0

0.5 0 0 0

О О

0.5 О О

О О кАх 05 О

О О О О

0.5

,В =

05 О О О О

О

05 О О О

О О

0.5 О О

О О О

0.5 О

О О 7гДг О

0.5

(15)

В соответствии с уравнениями (15) в точке с координатами (/, у) параметры сигнала предсказывались согласно правилам 1,7)+5о(',>1)]/2,

Ф(', _/)=[Ф(г-1 > у)+2яиуО-1, у) Ах+Ф(/, у-1 Уг2пиф, у-1 ) Ау]/2, Использовался векторный сигнал в виде

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

ьт,л)=

(22)

Векторная функция наблюдения имеет вид

+ сов(Ф + 2танАх) + соя(Ф + 2зшуЛу) 50 + соз(Ф + 27отн Ах + 27ШУДу)

В табл. 2 приведены погрешности восстановления развернутой фазы для модельных изображений с квадратичной функцией фазы с использованием предложенного метода Корректное восстановление развернутой фазы обеспечивается при отношении сигнал-шум выше 0,5.

Таблица 2. Погрешности оценки фазы интерферограмм

Отношение сигнал-шум СКО фазы, рад Максимальная погрешность фазы, рад

1.6 0,2 0,99

1,0 0,28 1,34

0,67 0,43 2,25

0,5 0,70 7,12

Максимальная погрешность может быть значительно снижена при использовании априорной информации о характере изменения частоты картины полос для конкретной интерференционной системы.

Показана возможность эффективного применения разработанного метода

фильтраций для оценивания фазы экспериментальных изображений в виде картин полос.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе исследованы нелинейные методы динамического оценивания параметров стохастических систем и сигналов, в частности, метод дискретной нелинейной фильтрации Калмана и в результате обоснованы следующие научные выводы и положения:

1. Предложенный метод пространственной двумерной нелинейной фильтрации является нетривиальным обобщением дискретной нелинейной фильтрации Калмана на двумерный случай и обеспечивает помехоустойчивое восстановление параметров двумерных изображений

2 Предложенный в работе метод учета коррелированности шума наблюдений может бьггь применен в случае фильтрации с векторным наблюдаемым сигналом

3 Квазигармонические модели являются адекватными моделями интерферометрических сигналов и изображений и могут быть использованы для восстановления амплитуды, фазы и частоты сигналов методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана.

4 Предложенный метод фильтрации позволяет оценивать параметры существенно нелинейно преобразованных квазигармонических сигналов, в частности, логарифмически преобразованных сигналов

5 Преимуществом нелинейных методов динамического оценивания амплитуды по сравнению с линейной фильтрацией Калмана является возможность оценивания амплитуды при отсутствии точных априорных оценок фазы и частоты.

6 Двумерная нелинейная фильтрация интерферометрических изображений обеспечивает более точное и помехоустойчивое восстановление параметров по сравнению с построчной фильтрацией

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Gurov I, Zakharov A Dynamic Evaluation of fringe parameters by recurrence processing algorithms. In Proc. International Workshop on Automatic Processing of Fringe Patterns (FRINGE '05). - Stuttgart: Springer-Verlag, 2005. - P. 118-125

2 Bellini M., FontanaR, Gurov I., Karpets A, MaterazziM, TaratinM, Zakharov A Dynamic signal processing and analysis in the OCT system for evaluating multilayer tissues In: Optical Methods for Arts and Archaeology / R Salimbeni, L. Pezzati, eds //Proc SPIE, 2005. - V. 5857 - P. 270-277

3 Gurov I, Taratin M, Zakharov A Analysis and optimization of the computational process of nonlinear discrete Kalman filtering. In- Saratov Fall Meeting 2004

Coherent Optics of Ordered and Random Media V / D A Zimnyakov, ed // Proc SPIE, 2005 - V. 5772. - P. 144-149.

4 Gurov I., ZakharovA., Voronina E. Dynamic phase shifting interferometry technique for wavefront analysis In- Proc. PALS 2005, 2nd Photonics and Laser Symposium (Kajaani, Finland, 23-25 February 2005) - Kajaani, Finland, 2005 -P 14-15

5. Gurov I, Zakharov A, Bilyk V, Larionov A Low coherence fringe evaluation by

u synchronous demodulation and Kalman filtering method" a comparison In:

Proc International Topical Meeting of Optical Sensing and Artificial Vision -Saint Petersburg, 2005.-P 218-224.

6. Alarousu E„ Bilyk V, Gurov I., Hast J., KrehutL., Mullula R.,-Zakharov A. Nonlinear dynamic filtering of logarithmically amplified fringe signals in optical coherence tomography In: Proc International Topical Meeting of Optical Sensing and Artificial Vision - Saint Petersburg, 2005. - P. 331-336

7 Gurov I, ZakharovA, KouznetsovA Dynamic nonlinear filtering of fringe signals distorted by quantization noise br Proc International Topical Meeting of Optical Sensing and Artificial Vision - Saint Petersburg, 2005 - P. 343-350

8' Гуров И.П, Захаров А С , Таратин M А Анализ и оптимизация вычислительного процесса нелинейной дискретной фильтрации Калмана // Известия ВУЗов Приборостроение. - 2004 - №8 - С. 42-48

9 Васильев В Н, Гуров И П., Захаров А С Метод динамического интерферометрического контроля топографии поверхности и приповерхностной томографической структуры объектов и материалов // Научно-технический вестник университета ИТМО - 2004. - №14 - С 357361.

10. Таратин М. А., Гуров И.П., Захаров А.С. Анализ производительности вычислений при динамической обработке сигналов методом нелинейной фильтрации Калмана В сб: Труды Всероссийской научно-методической конференции "Телематика 2004й. - Санкт-Петербург, 2004 - Т 1 - С. 197198.

11 Gurov I, Zakharov А, Voronina Е Evaluation of interference fringe parameters by recurrence dynamic data processing. In. Proc. ODIMAP IV, 4th Topical Meeting on Optoelectronic Distance/Displacement Measurements and Applications (Oulu, Finland, 16-18 June 2004) - Oulu, Finland, 2004 -P 60-71.

12 Hast J., Gurov I, Alarousu E., ZakharovA, Mullula R. Enhancing the OCT images by the low-coherence fringe envelope deconvolution method In- ALT03 International Conference on Advanced Laser Technologies: Biomedical Optics / R.K Wang, J С Hebden, A V Priezzhev, V V Tuchin, eds //Proc SPIE, 2004 -V 5486 - P. 180-186.

13 Alarousu E , Gurov I, Hast J., Mullula R, Piykari Т., Zakharov A Evaluation of a scattering liquid flow velocity profile using Doppler optical coherence tomography and dynamic stochastic interference fringe processing In- Saratov Fall Meeting 2003- Coherent Optics of Ordered and Random Media IV / D A Zimnyakov, ed

// Proc SPIE, 2004 -V 5475 -Р 66-73

14 Gurov I, Zakharov A Evaluation of interference fringes and 2-D fringe patterns by recurrence processing algorithms In- Saratov Fall Meeting 2003: Coherent Optics of Ordered and Random Media IV / D A. Zimnyakov, ed. // Proc SPIE, 2004. -V. 5475.-P 74-80.

15 Gurov I, Ermolaeva E , Zakharov A Analysis of low-coherence interference fringes by the Kalman filtering method // JOS A A - 2004 - V 21, №2 - P. 242251.

16. Гуров И.П., Захаров A C. Анализ характеристик интерференционных полос методом нелинейной фильтрации Калмана // Оптика и Спектроскопия - 2004 -Т 96, №2.-С. 210-216.

17. Alarousu Е, Gurov I, Hast J., Mullula R, Zakharov A Optical coherence tomography of multilayer tissue based on the dynamical stochastic fringe processing. In: Laser Applications in Medicine, Biology and Environmental Sciense / G Mueller, V Tuchin, G Matvienko, С Werner, V Panchenko, eds //Proc. SPEE, 2003 - V. 5149. - P. 13-20

18. Alarousu E., Gurov I., Hast J, Mullula R., Prykari Т., Zakharov A Optical coherence tomography evaluating the random tissues based on dynamical processing the stochastic low-coherence interference fringes In Optical Coherence Tomography and Coherence Techniques / W Drexler, ed // Proc SPIE, 2003. -V. 5140.-P. 33-42.

19. Alarousu E., Gurov I., Hast J., Mullula R., Prykari Т., Zakharov A. Optical coherence tomography evaluation of internal random structure of wood fiber tissue In. Sixth International Conference of Quality Control by Artificial Vision / K.W Jr. Tobin, M Meriaudiau, eds. // Proc. SPffi, 2003 - V 5132 - P. 149-160

20. Alarousu E., Gurov I., Hast J, Mullula R, Prykari Т., Zakharov A Diagnostics of internal random structures of wood fiber tissue by the dynamic stochastic fringe processing method. In: Proc. International Workshop on Low-coherence Interferometry, Spectroscopy and Optical Coherence Tomography - Saint Petersburg, 2002 - P 16-25

21 Gurov I, Zakharov A Low-coherent fringe processing using nonlinear Kalman filtering method In' Proc. International Workshop on Low-coherence Interferometry, Spectroscopy and Optical Coherence Tomography - Saint Petersburg, 2002. - P. 69-77.

22. Захаров А С., Волков M В , Гуров И П, Темнов В В , Соколовски-Тинген К, фон дер Линде Д Интерферометрическая диагностика кратеров абляции при воздействии фемтосекундных лазерных импульсов // Оптический журнал. -2002. - Т. 69, №7. - С. 40-45.

23 Захаров А С Метод динамического восстановления огибающей интерференционных сигналов малой когерентности В сб Проблемы когерентной и нелинейной оптики Сборник научных статей / Под ред И П Гурова, С А Козлова - СПб : СПбГИТМО(ТУ), 2002 - С 171-175

24 Захаров А. С Восстановление фазы интерференционных полос методом

нелинейной двумерной фильтрации Калмана. В сб • Вестник СПбГИТМО(ТУ) Вып. 6. «Информационные, вычислительные и управляющие системы» / Гл. редактор В.Н. Васильев. - СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2002. С. 157-161.

25. Alarousu Е, Gurov I., Hast J, Mullula R., Zakharov A. Dynamical stochastic Cringe processing in a low-coherent interferometry. In: Proc. Finnish Optics Days 2002 (Kajaani, Finland, 24-26 April 2002). - Kajaani, Finland, 2002. - P. 33.

26. Гуров И.П., Захаров A.C. Анализ параметров интерференционных полос методом нелинейной фильтрации Калмана // Известия ВУЗов.

v Приборостроение. - 2002. - №1. - С. 58-63.

27. Gurov I P., Zakharov A.S. Dynamic nonlinear analysis of stochastic interference fields. In: ICONO 2001: Nonlinear Optical Phenomena and Nonlinear Dynamics of Optical Systems / K.N. Drabovich, N.S. Kazak, V.A. Makarov, AP. Voitovich, eds. // Proc. SPIE, 2002. - V. 4751. - P. 402-409.

28. Захаров AC. Нелинейный анализ стохастических интерференционных полей. В сб. научных трудов 2-ой международной конференции молодых ученых и специалистов "0птика-2001". - Санкт-Петербург, 2001. - С. 197.

29. Захаров АС Сравнение вычислительной сложности методов моделирования интерференционных полей малой когерентности. В сб ■ Современные технологии. Сборник научных статей / Под ред. С. А. Козлова - СПб.: СПбГИТМО(ТУ), 2001. - С. 146-153.

Тиражирование и брошюровка выполнены в Центре «Университетские телекоммуникации ». Санкт-Петербург, Саблинская ул., 14. Тел. (812)233-46-69 Объем 1 п. л. Тираж 100 экз.

»22 396

РНБ Русский фонд

2006-4 20321

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ И МЕТОДЫ СТОХАСТИЧЕКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СИГНАЛОВ

1.1. Современное состояние теории стохастических систем. Стохастическая нелинейная фильтрация параметров сигналов с аддитивным шумом

1.2. Дискретная линейная фильтрация Калмана

1.3. Дискретная нелинейная фильтрация Калмана

1.4. Учет коррелированности шума наблюдения применительно к фильтрации векторного сигнала с коррелированностью двух последовательных значений

1.5. Дискретная нелинейная двумерная фильтрация Калмана

1.6. Связь непрерывной и дискретной фильтрации для амплитудно модулированных сигналов

Глава 2. ФОРМИРОВАНИЕ МОДЕЛЕЙ КВАЗИГАРМОНИЧЕСКИХ ИНФОРМАЦИОННЫХ СИГНАЛОВ

2.1. Общие принципы формирования модели сигнала

2.2. Модели квазигармонического сигнала и восстановление амплитуды, фазы и частоты

2.3. Формирование сигналов в интерферометрических системах

2.4. Модель сигнала для монохроматического источника колебаний

2.5. Моделирование интерферометрических сигналов малой когерентности

2.6. Сравнение предложенных моделей сигналов и результатов численного моделирования для случая монохроматического источника колебаний

2.7. Сравнение предложенных моделей сигналов и результатов численного моделирования для случая интерферометрических сигналов с широким спектром

2.8. Экспериментальное подтверждение предложенных моделей интерферометрических сигналов для монохроматического источника колебаний

2.9. Экспериментальное подтверждение предложенных моделей сигналов с широким спектром

Глава 3. ДИСКРЕТНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ КАЛМАНА ДЛЯ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ФАЗЫ И ЧАСТОТЫ ОДНОМЕРНЫХ СИГНАЛОВ

3.1. Простейшая реализация фильтрации одномерного сигнала

3.2. Фильтрация одномерного сигнала с использованием его векторного представления

3.3. Фильтрация одномерного сигнала с использованием его векторного представления и учетом коррелированности шума

3.4. Обработка сигналов интерферометрии фазового сдвига

3.5. Восстановление частоты сигналов ДОКТ

3.6. Исследование воздействия шума квантования на восстановление фазы и частоты сигнала методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана

Глава 4. ДИСКРЕТНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ КАЛМАНА АМПЛИТУДЫ ОДНОМЕРНЫХ СИГНАЛОВ

4.1. Реализация дискретной линейной фильтрации Калмана для восстановления амплитуды интерферометрических сигналов

4.2. Результаты обработки сигналов малой когерентности с использованием дискретной линейной фильтрации Калмана

4.3. Дискретная нелинейная фильтрация Калмана.для восстановления амплитуды интерферометрического сигнала малой когерентности

4.4. Сравнение нелинейной дискретной фильтрации Калмана с методом синхронной демодуляции

4.5. Исследование воздействия шума квантования на погрешность восстановления амплитуды и фазы квазигармонического сигнала

4.6. Исследование устойчивости метода фильтрации при обработке сильно зашумленных интерферометрических сигналов и при обработке расширенной выборки полученных при моделировании интерферометрических сигналов малой когерентности

4.7. Обработка экспериментальных сигналов малой когерентности с гауссовской огибающей вблизи максимума, полученных при исследовании многослойных сред

4.8. Обработка экспериментальных сигналов малой когерентности, полученных при исследовании бумаги и древесных волокон

4.9. Динамическое оценивание параметров логарифмически преобразованных квазигармонических сигналов

4.10. Результаты обработки экспериментальных логарифмически преобразованных сигналов

Глава 5. ДВУМЕРНАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ДЛЯ КАРТИН ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫХ ПОЛОС

5.1. Построчная фильтрация двумерной интерференционной картины

5.2. Двумерная нелинейная фильтрация Калмана для интерференционных изображений

5.3. Обработка генерированной картины колец Ньютона

5.4. Обработка полученных при моделировании интерференционных картин

5.5. Обработка экспериментальных интерферограмм с сильной нелинейностью фазы

5.6. Восстановление рельефа кратеров лазерной абляции, наблюдаемых при воздействии на исследуемую поверхность фемтосекундных лазерных импульсов

Задачи исследования стохастических систем актуальны для многих областей науки. Рост популяции бактерий, траектория броуновского движения частицы, поведение экономических систем могут рассматриваться как реализации случайных процессов в стохастических системах [1].

Стохастическая система может описываться дифференциальными уравнениями для стохастических характеристик параметров системы (математического ожидания, дисперсии, плотности вероятности параметров) или стохастическими дифференциальными уравнениями. В последнем случае стохастическая система определяется [1] уравнением вида ах где 0(лг) - вектор параметров, L(jc, 0) - стохастический оператор п - размерность вектора параметров 0. Уравнение (1) представляет общую форму стохастического дифференциального уравнения.

В частном случае аддитивного некоррелированного шума системы динамическая эволюция системы описывается нестационарным уравнением Ланжевена [2] = f(*,0) + w(*), (2) ах где f(jc, 0) - известная функция, w(x) - шум системы, такой, что w(*, )■wT (х2 ) >= R „8{хх - х2 ), (3) где 5(х) - дельта-функция, Rtf - ковариационная матрица шума системы.

Цель анализа стохастической системы состоит в получении информации о стохастических свойствах вектора параметров, заключающейся в математическом ожидании, ковариационной матрице, плотности вероятности. Для этого необходимо перейти от стохастического уравнения для вектора параметров к детерминированным уравнениям для характеристик па* раметров.

Существуют несколько методов перекода к детерминированным уравнениям, основными из которых являются методы получения уравнений для моментов случайной величины 0(x) с помощью стохастических функций Грина (см. работу Адомиана [1]) и методы на основе уравнения Колмогорова [3, 4], которое описывает эволюцию плотности вероятности многокомпонентного случайного процесса 0(лг) для систем, определяемых уравнением Ланжевена.

Уравнения для других характеристик случайного процесса могут быть получены из уравнения для плотности вероятности.

Актуальной задачей является динамическое оценивание параметров стохастической системы, или стохастическая фильтрация [2].

Известна [2, 5] связь задач динамического оценивания параметров стохастических систем и задач стохастического управления. Система является наблюдаемой, если по измерениям всех или части ее координат можно за конечное время определить ее состояние [2]. Система является управляемой, если возможен перевод ее из заданного начального состояния в требуемое конечное за конечное время с помощью кусочно-непрерывного управления [2]. Связь управляемости и наблюдаемости для линейных систем рассмотрена в [5]. Связь стохастической фильтрации с задачами стохастического управления определяет актуальность исследований теории и методов стохастической фильтрации.

В задачах динамического оценивания параметров стохастических систем наблюдаемый сигнал определяется в общем случае нелинейным уравнением наблюдения

5(лг)=Л(9(Д:), п(х)1 (4) i где s(x) - наблюдаемый сигнал, Л(-) - известная дифференцируемая функция, п(х) - шум наблюдений. Стохастическая система, описываемая уравнениями (2), (4) удовлетворяет требованиям общей теории систем к динамической системе, сформулированным в работе [6]. Вектор параметров в(лг) определяет состояние системы, шумы системы и наблюдения п(х), w(jc) представляют собой вход системы, наблюдаемый сигнал s(x) - выход системы.

В случае аддитивного шума наблюдений уравнение (4) принимает вид

5(JC)=A(0(JC))+«(JC). (5)

В большинстве задач необходимо восстанавливать апостериорные стохастические характеристики вектора параметров - плотность распределения или моменты распределения вектора параметров.

Для случая Гауссовского шума системы и шума наблюдения известны методы оценивания параметров, основанные на разложении вектора параметров и шума наблюдений в ряд Карунена-Лоэва [7-9]. В этих методах каждый параметр представляется в виде линейной комбинации собственных функций интегрального уравнения, ядром которого является корреляционная функция параметра. Шум наблюдения представляется аналогичным образом. Ядром интегрального уравнения в этом случае является корреляционная функция шума наблюдения. Методы, основанные на разложении в ряд Карунена-Лоэва, характеризуются высокой вычислительной сложностью и требуют знания корреляционных функций параметров системы и шума наблюдения.

Для систем, описываемых уравнением Ланжевена (2) и уравнением (5), апостериорная плотность вероятности определяется уравнением Стра-тоновича [10] или уравнением Ито [11]. Восстановление апостериорной плотности вероятности в соответствии с уравнением Стратоновича или уравнением Ито представляет один из возможных методов динамического оценивания параметров нелинейных стохастических систем.

В практических задачах динамического оценивания параметров сигналов восстановление апостериорной плотности вероятности на каждом шаге обработки сигнала часто является неприемлемым из-за высокой вычислительной сложности. Для случая линейных систем с гауссовским шумом наблюдения и гауссовским шумом системы известно, что плотность вероятности распределения параметров остается гауссовской [1]. В этом случае достаточно восстановления математического ожидания и дисперсии параметров сигнала, которые полностью характеризуют плотность вероятности параметров.

Для многих практических задач достаточно восстановления математического ожидания и дисперсии сигнала и в случае, когда плотность вероятности параметров не является гауссовской.

Для описываемых уравнением Ланжевена систем с гауссовским распределением апостериорной плотности вероятности параметров математическое ожидание и дисперсия параметров сигнала могут быть определены методом фильтрации Калмана [12]. При цифровой обработке сигналов в общем случае используется метод дискретной нелинейной фильтрации Калмана.

Метод фильтрации Калмана является одним из основных методов динамического оценивания параметров стохастических систем. Он широко применяется для линейных систем и хорошо исследован [2, 4]. В линейном случае метод фильтрации характеризуется спектральной характеристикой, и этой характеристики достаточно для его описания. В нелинейных случаях не существует универсального решения проблемы, поэтому исследование нелинейных методов является заметно более сложным. Как правило, нелинйные методы исследуются для конкретной модели сигнала.

Данная работа направлена на развитие и исследование метода дискретной нелинейной фильтрации Калмана применительно к задачам восстановления амплитуды, фазы и частоты квазигармонического сигналасо в том числе со случайно изменяющимися параметрами, искаженного аддитивным шумом.

Квазигармонический сигнал описывается уравнением. s(x)= sq(x)+sm(x)COS(y(x))+n(x), (6) где sq(x) - фоновая составляющая сигнала, sm(x) - амплитуда, ср(х) - фаза сигнала. В двумерном случае вводится модель [13] s(x, >0= y)+sm(x, y)cos(cp(x, .у))+л(х, у), (7)

Квазигармонические сигналы характерны для многих технических систем (в электротехнике, радиотехнике, обработке радионавигационных сигналов, интерферометрии), и развитие методов восстановления изменяющихся параметров квазигармонических сигналов (амплитуды, фазы и частоты) является актуальной научной задачей.

Методы восстановления параметров квазигармонических сигналов на основе стохастической фильтрации, в частности, дискретной нелинейной фильтрации Калмана, рассматривались в работах [14-20]. В этих работах авторы ориентировались на решение задач обработки радиотехнической информации. В работах [14-20] подробно рассматривается обработка квазигармонического сигнала постоянной частоты. Задача динамического оценивания сигналов переменной частоты, например, частотно модулированных сигналов, решается в работах [14-20] путем выделения постоянной несущей частоты, восстановления фазы сигнала и определения отклонения частоты от несущей как производной фазы. В работах [14-20] не рассматривается решение задач динамического оценивания параметров сигналов существенно переменной частоты, для которых невозможно выделение несущей. Решение этой задачи дано в гл. 3. В работах, посвященных стохастической фильтрации квазигармонических сигналов в радиотехнических приложениях [14-20], не решена задача восстановления фазы двумерных изображений, результаты решения которой в настоящей работе представлены в гл. 5.

Верификация предложенных методов проведена в настоящей работе применительно к задачам обработки интерферометрических сигналов и изображений, которые предпочтительны для исследования характеристик метода дискретной нелинейной фильтрации Калмана при обработке квазигармонических сигналов ввиду следующих свойств:

1. Интерферометрический сигнал является в общем случае квазигармоническим сигналом переменной частоты. В частности, в Доплеров-ской оптической когерентной томографии [21-23] частота содержит информацию о скорости движения рассеивающей среды, и если скорость различна в различных точках, что характерно для многих сред, то частота сигнала является случайно изменяющейся и характеризует динамические свойства среды.

2. В различных задачах интерферометрии параметры сигнала несут информацию о свойствах исследуемого объекта. В монохроматической интерферометрии фаза картины полос содержит информацию о рельефе исследуемой поверхности [24]. В интерферометрии малой когерентности [25-26] информация о рельефе поверхности или свойствах исследуемой среды заключена в вариациях амплитуды интер-ферометриического сигнала.

3. Для интерферометрических сигналов характерны искажения различной физической природы, вносимые источником излучения, оптической системой, видеокамерой, аналого-цифровым преобразователем. Интерферометрические системы используются для комплексного исследования устойчивости метода фильтрации в условиях искажений исходного сигнала различного вида.

4. В задачах интерферометрии необходимо восстановление параметров двумерных картин полос, что позволяет расширить область применения методов стохастической фильтрации на двумерные задачи.

Основной целью работы является развитие теории дискретной нелинейной фильтрации Калмана, разработка методов и алгоритмов нелинейной фильтрации квазигармонических сигналов, методик обработки сигналов применительно к интерферометрическим сигналам и изображениям.

Задачи исследования. Основные задачи работы состоят в следующем:

1. Анализ существующих методов динамического оценивания параметров стохастических систем.

2. Разработка методов двумерной нелинейной стохастической фильтрации изображений.

3. Разработка адекватных моделей квазигармонических сигналов для восстановления амплитуды, фазы и частоты с использованием методов стохастической фильтрации.

4. Разработка моделей картин полос, используемых в методах динамического оценивания фазы и частоты.

5. Исследование точности разработанных методов в условиях случайных возмущений.

Методы исследования. Разработанные методы фильтрации основаны на теоретических положениях теории вероятности, теории стохастических систем и стохастической фильтрации, теории информации. Для обоснования адекватности предложенных моделей интерферометрических сигналов использованы отдельные положения геометрической оптики и теории дифракции.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Метод двумерной пространственной нелинейной дискретной фильтрации изображений на основе дискретной нелинейной фильтрации Калмана.

2. Модель квазигармонического сигнала применительно к задачам восстановления фазы и частоты одномерных сигналов методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана.

3. Ограничения метода дискретной линейной фильтрации Калмана при фильтрации амплитуды одномерного узкополосного сигнала с близкой к гауссовской огибающей.

4. Модели квазигармонического сигнала, позволяющие динамически восстановить амплитуду и фазу сигнала.

5. Ограничения построчной фильтрации двумерных изображений в виде картин полос методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана.

6. Метод обработки двумерного изображения, позволяющий восстановить параметры изображения (включая развернутую фазу) с помощью двумерной пространственной нелинейной фильтрации с повышенной помехоустойчивостью и точностью.

Научная новизна работы состоит в постановке задачи разработки методов динамической обработки двумерных изображений и квазигармонических сигналов переменной частоты, получаемых при нелинейных преобразованиях, на основе методов стохастической фильтрации и в получении следующих новых научных результатов.

1. Разработан новый метод двумерной пространственной нелинейной дискретной фильтрации изображений на основе дискретной нелинейной фильтрации Калмана.

2. Разработан новый метод учета коррелированности шума наблюдения в дискретной нелинейной фильтрации Калмана применительно к задаче фильтрации векторного сигнала вида s(&)=[s(&), s(&+l)]T.

3. Впервые поставлена и решена задача определения ограничений метода дискретной линейной фильтрации Калмана для фильтрации амплитуды узкополосных информационных сигналов с близкой к гауссовской огибающей. Ограничения заключаются в необходимости априорного оценивания начальной фазы сигнала и точного априорного оценивания частоты.

4. Разработаны модели квазигармонических сигналов при восстановлении амплитуды сигнала методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана. Предложенный новый метод восстановления амплитуды, основанный на этих моделях, устойчив к неточности априорного определения частоты и фазы сигнала, в отличие от методов линейной фильтрации и синхронной демодуляции. Преимуществом метода является также возможность динамической обработки сигнала.

5. Предложены новые модели квазигармонических сигналов при восстановлении фазы и частоты сигналов методом нелинейной фильтрации Калмана. Преимуществом методов динамического оценивания фазы и частоты сигнала, основанных на данных моделях, по сравнению с широко распространенными методами фильтрации на основе преобразования Фурье являются возможность динамической обработки сигнала и возможность корректного учета априорной информации о стохастических свойствах сигнала при его обработке.

6. Впервые поставлена и решена задача разработки модели логарифмически преобразованных квазигармонических сигналов применительно к восстановлению параметров сигналов методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана.

7. Впервые определены ограничения точности метода построчной нелинейной двумерной фильтрации Калмана на примере обработки изображений в виде картин полос. Показаны высокие погрешности определения частоты в направлении, перпендикулярном направлению хода фильтрации. Разработан новый метод динамического оценивания параметров интерфе-рометрического изображения для восстановления фазы и частоты картин полос с помощью предложенного метода двумерной пространственной нелинейной фильтрации.

8. Впервые поставлена и решена задача исследования точности разработанных в диссертации методов фильтрации в условиях искажения сигналов шумом квантования и гауссовским шумом наблюдений.

Достоверность результатов работы.

Достоверность результатов работы обеспечивается адекватностью предложенных моделей сигналов и подтверждается верификацией предложенных методов динамического оценивания параметров сигналов, результатами сравнения погрешностей восстановления параметров с погрешностями их восстановления другими методами.

Практическая ценность работы.

1. Разработаны методики восстановления фазы и частоты сигналов применительно к динамической обработке сигналов при управляемом фазовом сдвиге, а также в Доплеровской оптической когерентной томографии.

2. Предложены методики восстановления амплитуды и фазы сигналов оптической когерентной томографии на примере сигналов, полученных при исследовании многослойных сред, материала бумаги и древесных волокон.

3. Разработан метод двумерной нелинейной фильтрации для обработки интерферограмм при восстановлении рельефа поверхности, в частности при восстановлении рельефа кратеров лазерной абляции.

Внедрение результатов работы.

Результаты работы использованы в 5-ти НИР, выполненных в СПбГУ ИТМО в рамках программы «Научные исследования высшей школы по приоритетным направлениям науки и техники» (2000-2004гг.), программы сотрудничества Министерства образования Российской Федерации и Министерства Российской Федерации по атомной энергии по направлению «Научно-инновационное сотрудничество» (2003 г) и межотраслевой программы сотрудничества Министерства образования Российской Федерации и Министерства обороны Российской федерации по направлению «Научно-инновационное сотрудничество» (2004г.).

Результаты исследований использованы при выполнении международного научно-исследовательского проекта Международного научно-технического центра (МНТЦ) «Система бесконтактного динамического мониторинга объектов» (проект МНТЦ №2108).

Апробация результатов работы. Результаты работы представлены на 23 научных конференциях: 5th International Workshop on Automatic Processing of Fringe Patterns (Stuttgart, Germany, 2005), International Symposium of Optical Metrology (Munich, Germany, 2005), International Conference on Laser Applications and Technologies 2005 (Saint Petersburg, Russia, 2005), 2nd Photonics and Laser Symposium (Kajaani, Finland, 2005), Saratov Fall Meeting 2004 (Saratov, Russia, 2004), International Topical Meeting on Optical Sensing and Artificial Vision (Saint Petersburg, Russia, 2004), NATO Advanced Study Institute in Biophotonics (Ottawa, Canada, 2004), Всероссийской научно-методической конференции «Телематика 2004» (Санкт-Петербург, 2004), Конференции профессорско-преподавательского состава СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2004), Научно-технической конференции молодых специалистов СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2004), Saratov Fall Meeting 2003 (Saratov, Russia, 2003), International Conference on Advanced Laser Technologies (Silsoe, UK, 2003), International conference "Laser Optics 2003" (Saint Petersburg, 2003), Конференции профессорско-преподавательского состава СПбГУ ИТМО (Санкт-Петербург, 2003), Sixth International Conference of Quality Control by Artificial Vision (2003), International Workshop on Low-coherence Interferometry, Spectroscopy and Optical Coherence Tomography (Saint Petersburg, Russia, 2002), International Conference on Laser Applications and Technologies 2002 (Moscow, Russia, 2002), The First Scientific Workshop-Presentation «Optical Micro- and Nanotechnologies» (Saint-Petersburg, Russia, 2002), Finnish Optics Days 2002 (Kajaani, Finland, 2002), Конференции профессорско-преподавательского состава СПбГИТМО (ТУ) (Санкт-Петербург, 2002), International Conference on Coherent and Nonlinear Optics (Minsk, Belarus, 2001), 2-ой международной конференция молодых ученых и специалистов "0птика-2001" (Санкт-Петербург, 2001), Международной конференции молодых ученых и специалистов «Оптика-99» (Санкт-Петербург, 1999).

Публикации. Результаты исследований опубликованы в 29-ти научных публикациях, в том числе 5-ти статьях в научных журналах, 13-ти статьях в сборниках научных статей, 11-ти статьях в сборниках трудов научных конференций; 4 работы написаны без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, основной части, содержащей 5 глав, заключения, списка литературы и 4 приложений. Общий объем работы - 157 страниц, в том числе приложения на 18 страницах. Работа содержит 49 иллюстраций и 3 таблицы. Список литературы включает 83 библиографических источника.

Выводы по главе 5:

1. При построчной обработке картин интерференционных полос наблюдается высокая погрешность восстановления частоты в направлении, перпендикулярном направлению фильтрации.

2. Двумерная обработка картин интерференционных полос с использованием модели, предложенной в разд. 5.2, позволяет восстановить фазу полос с погрешностью, значительно меньшей погрешности построчной фильтрации.

3. Возможно восстановление фазы двумерной интерференционной картины колец Ньютона, искаженной гауссовским шумом с отношением сигнал/шум 0,5. Среднеквадратичная погрешность оценки фазы при данном отношении сигнал/шум составляет 0,7 рад.

4. Возможно восстановление рельефа поверхности с использованием предложенного метода обработки картин интерференционных полос. В частности, метод позволяет восстановить рельеф кратеров лазерной абляции.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе представлены результаты разработки исследования методов нелинейной стохастической фильтрации. Предложен метод двумерной фильтрации изображений на основе дискретной нелинейной фильтрации Калмана. Разработаны модели квазигармонических сигналов и изображений, которые могут быть использованы для динамического оценивания параметров сигналов и изображений методом дискретной фильтрации Калмана. Рассмотрено восстановление параметров интерференционных сигналов и изображений с использованием предложенных моделей.

При выполнении работы получены следующие научные результаты:

1. Разработан метод учета коррелированности двух последовательных значений шума наблюдения для векторного сигнала в дискретной нелинейной фильтрации Калмана.

2. Разработан метод двумерной нелинейной дискретной фильтрации изображений на основе дискретной нелинейной фильтрации Калмана.

3. Разработана модель квазигармонического сигнала для восстановления фазы и частоты одномерных сигналов методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана. Показана возможность восстановления фазы и частоты сигнала с помощью предложенной модели в задачах интерферометрии фазового сдвига и Доплеровской оптической когерентной томографии.

4. Определены ограничения метода дискретной линейной фильтрации Калмана для динамического оценивания амплитуды узкополосных сигналов с близкой к гауссовской огибающей - необходимость априорного оценивания начальной фазы сигнала и точной априорной оценки частоты.

5. Разработаны модели квазигармонического сигнала для восстановления амплитуды и фазы сигнала. Метод успешно применен для обработки интерференционных сигналов малой когерентности методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана. Показана возможность восстановления амплитуды и фазы квазигармонических сигналов с близкой к гауссовской огибающей. Для верификации метода использовались интерференционные сигналы малой когерентности, полученные при исследовании многослойных сред. На примере сигналов, полученных при исследовании бумаги и древесных волокон, показана возможность восстановления амплитуды сигналов с сильным отклонением огибающей от гауссовской модели.

6. Разработана модель логарифмически преобразованного квазигармонического сигнала для восстановления его амплитуды и фазы методом дискретной нелинейной фильтрации Калмана. Показана возможность восстановления параметров логарифмически преобразованных интерференционных сигналов малой когерентности с использованием предложенной модели.

7. Определены ограничения построчной нелинейной двумерной фильтрации Калмана на примере обработки интерференционных изображений. Показаны высокие погрешности определения частоты в направлении, перпендикулярном направлению хода фильтрации. Разработана модель интерференционного изображения для восстановления фазы и частоты картин интерференционных полос с повышенной точностью с помощью предложенного метода двумерной нелинейной фильтрации.

8. Получены оценки точности разработанных методов фильтрации в условиях искажения сигнала шумом квантования и гауссовским шумом. Показано, что погрешность оценки амплитуды сигнала, искаженного шумом квантования, больше погрешности оценки амплитуды сигнала, искаженного гауссовским шумом той же дисперсии. Погрешности оценки фазы и частоты сигнала, искаженного шумом квантования, меньше погрешностей оценки параметров сигнала, искаженного гауссовским шумом той же дисперсии.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Gurovl., ZakharovA. Dynamic Evaluation of fringe parameters by recurrence processing algorithms. In: Proc. International Workshop on Automatic Processing of Fringe Patterns (FRINGE '05). - Stuttgart: Springer-Verlag, 2005.-P. 118-125.

2. Bellini M., Fontana R., Gurov I., Karpets A., Materazzi M., Taratin M., Zak-harov A. Dynamic signal processing and analysis in the OCT system for evaluating multilayer tissues. In: Optical Methods for Arts and Archaeology / R. Salimbeni, L. Pezzati, eds. // Proc. SPIE, 2005. - V. 5857. - P. 270-277.

3. Gurov I., Taratin M., Zakharov A. Analysis and optimization of the computational process of nonlinear discrete Kalman filtering. In: Saratov Fall Meeting 2004: Coherent Optics of Ordered and Random Media V / D.A. Zimnyakov, ed. // Proc. SPIE, 2005. - V. 5772. - P. 144-149.

4. Gurov I., ZakharovA., Voronina E. Dynamic phase shifting interferometry technique for wavefront analysis. In: Proc. PALS 2005, 2nd Photonics and Laser Symposium (Kajaani, Finland, 23-25 February 2005). - Kajaani, Finland, 2005. - P. 14-15.

5. Gurov I., Zakharov A., Bilyk V., Larionov A. Low coherence fringe evaluation by synchronous demodulation and Kalman filtering method: a comparison. In: Proc. International Topical Meeting of Optical Sensing and Artificial Vision. - Saint Petersburg, 2005. - P. 218-224.

6. Alarousu E., Bilyk V., Gurov I., Hast J., Krehut L., Mullula R., Zakharov A. Nonlinear dynamic filtering of logarithmically amplified fringe signals in optical coherence tomography. In: Proc. International Topical Meeting of Optical Sensing and Artificial Vision. - Saint Petersburg, 2005. - P. 331-336.

7. Gurov I., Zakharov A., Kouznetsov A. Dynamic nonlinear filtering of fringe signals distorted by quantization noise. In: Proc. International Topical Meeting of Optical Sensing and Artificial Vision. - Saint Petersburg, 2005. - P.

343-350.

8. Гуров И.П., Захаров А.С., Таратин М.А. Анализ и оптимизация вычислительного процесса нелинейной дискретной фильтрации Калмана // Известия ВУЗов. Приборостроение. - 2004. - №8. - С. 42-48.

9. Васильев В.Н., Гуров И.П., Захаров А.С. Метод динамического интер-ферометрического контроля топографии поверхности и приповерхностной томографической структуры объектов и материалов // Научно-технический вестник университета ИТМО. - 2004. - №14. - С. 357-361.

Ю.Таратин М.А., Гуров И.П., Захаров А.С. Анализ производительности вычислений при динамической обработке сигналов методом нелинейной фильтрации Калмана. В сб.: Труды Всероссийской научно-методической конференции "Телематика 2004". - Санкт-Петербург, 2004.-Т. 1.-С. 197-198.

11.Gurov I., ZakharovA., Voronina Е. Evaluation of interference fringe parameters by recurrence dynamic data processing. In: Proc. ODIMAP IV, 4th Topical Meeting on Optoelectronic Distance/Displacement Measurements and Applications (Oulu, Finland, 16-18 June 2004). - Oulu, Finland, 2004. -P. 60-71.

12.Hast J., Gurov I., Alarousu E., Zakharov A., Mullula R. Enhancing the OCT images by the low-coherence fringe envelope deconvolution method. In: ALT'03 International Conference on Advanced Laser Technologies: Biomedical Optics / R.K. Wang, J.C. Hebden, A.V. Priezzhev, V.V. Tuchin, eds. // Proc. SPIE, 2004. - V. 5486. - P. 180-186.

13.Alarousu E., Gurov I., Hast J., Mullula R., Prykari Т., Zakharov A. Evaluation of a scattering liquid flow velocity profile using Doppler optical coherence tomography and dynamic stochastic interference fringe processing. In: Saratov Fall Meeting 2003: Coherent Optics of Ordered and Random Media IV / D.A. Zimnyakov, ed. // Proc. SPIE, 2004. - V. 5475. - P. 66-73.

14.Gurov I., Zakharov A. Evaluation of interference fringes and 2-D fringe patterns by recurrence processing algorithms. In: Saratov Fall Meeting 2003: Coherent Optics of Ordered and Random Media IV / D.A. Zimnyakov, ed. // Proc. SPIE, 2004. - V. 5475. - P. 74-80.

15.Gurov I., ErmolaevaE., Zakharov A. Analysis of low-coherence interference fringes by the Kalman filtering method // JOS A A. - 2004. - V. 21, №2. - P. 242-251.

16.Гуров И.П., Захаров A.C. Анализ характеристик интерференционных полос методом нелинейной фильтрации Калмана // Оптика и Спектроскопия. - 2004. - Т. 96, №2. - С. 210-216.

17.Alarousu Е., GurovL, HastJ., Mullula R., Zakharov A. Optical coherence tomography of multilayer tissue based on the dynamical stochastic fringe processing. In: Laser Applications in Medicine, Biology and Environmental Sciense / G. Mueller, V.Tuchin, G. Matvienko, C. Werner, V. Panchenko, eds. // Proc. SPIE, 2003. - V. 5149. - P. 13-20.

18.Alarousu E., Gurovl., HastJ., Mullula R., Prykari Т., Zakharov A. Optical coherence tomography evaluating the random tissues based on dynamical processing the stochastic low-coherence interference fringes. In: Optical Coherence Tomography and Coherence Techniques / W. Drexler, ed. // Proc. SPIE, 2003. - V. 5140. - P. 33-42.

19.Alarousu E., GurovL, HastJ., Mullula R., Prykari Т., Zakharov A. Optical coherence tomography evaluation of internal random structure of wood fiber tissue. In: Sixth International Conference of Quality Control by Artificial Vision / K.W.Jr. Tobin, M. Meriaudiau, eds. // Proc. SPIE, 2003. - V. 5132. -P. 149-160.

20.Alarousu E., Gurov I., Hast J., Mullula R., Prykari Т., Zakharov A. Diagnostics of internal random structures of wood fiber tissue by the dynamic stochastic fringe processing method. In: Proc. International Workshop on Low-coherence Interferometry, Spectroscopy and Optical Coherence Tomography. - Saint Petersburg, 2002. - P. 16-25.

21.Gurov I., Zakharov A. Low-coherent fringe processing using nonlinear Kal-man filtering method. In: Proc. International Workshop on Low-coherence Interferometry, Spectroscopy and Optical Coherence Tomography. - Saint Petersburg, 2002. - P. 69-77.

22.3ахаров A.C., Волков M.B., Гуров И.П., Темнов B.B., Соколовски-Тинтен К., фон дер Линде Д. Интерферометрическая диагностика кратеров абляции при воздействии фемтосекундных лазерных импульсов // Оптический журнал. - 2002. - Т. 69, №7. - С. 40-45.

23.Захаров А.С. Метод динамического восстановления огибающей интерференционных сигналов малой когерентности. В сб.: Проблемы когерентной и нелинейной оптики. Сборник научных статей / Под ред. И.П. Гурова, С .А. Козлова. - СПб.: СПбГИТМО(ТУ), 2002. - С. 171-175.

24.3ахаров А.С. Восстановление фазы интерференционных полос методом нелинейной двумерной фильтрации Калмана. В сб.: Вестник СПбГИТ-МО(ТУ). Вып. 6. «Информационные, вычислительные и управляющие системы» / Гл. редактор В.Н. Васильев. - СПб: СПбГИТМО(ТУ), 2002. С. 157-161.

25.Alarousu Е., Gurov I., Hast J., Mullula R., Zakharov A. Dynamical stochastic fringe processing in a low-coherent interferometry. In: Proc. Finnish Optics Days 2002 (Kajaani, Finland, 24-26 April 2002). - Kajaani, Finland, 2002. -P. 33.

26.Гуров И.П., Захаров А.С. Анализ параметров интерференционных полос методом нелинейной фильтрации Калмана // Известия ВУЗов. Приборостроение. - 2002. - №1. - С. 58-63.

27.Gurov I.P., Zakharov A.S. Dynamic nonlinear analysis of stochastic interference fields. In: ICONO 2001: Nonlinear Optical Phenomena and Nonlinear Dynamics of Optical Systems / K.N. Drabovich, N.S. Kazak, V.A. Makarov, A.P. Voitovich, eds. // Proc. SPIE, 2002. - V. 4751. - P. 402-409.

28.3ахаров А.С. Нелинейный анализ стохастических интерференционных полей. В сб. научных трудов 2-ой международной конференции молодых ученых и специалистов "0птика-2001". - Санкт-Петербург, 2001. -С. 197.

29.Захаров А.С. Сравнение вычислительной сложности методов моделирования интерференционных полей малой когерентности. В сб.: Современные технологии. Сборник научных статей / Под ред. С.А. Козлова. -СПб.: СПбГИТМО(ТУ), 2001. - С. 146-153.

1. Адомиан Дж. Стохастические системы: Пер. с англ. - М.: Мир, 1987. - 376 с.

2. Казаков И.Е, Гладков Д.И. Методы оптимизации стохастических систем. М.: Наука, 1987. - 304 с.

3. Колмогоров А.Н. Теория передачи информации. М.:АН СССР, 1956.-33с.

4. Эллиотт Р. Стохастический анализ и его приложения: Пер. с англ. -М.: Мир, 1986.-351 с.

5. Калман Р.Е. Об общей теории систем управления В сб.: Тр. I конгресса ИФАК. Теория дискретных, оптимальных и самонастраивающихся систем. -М.: АН СССР, 1961.

6. Месарович М, Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. Пер. с англ. М.: Мир, 1977. - 311 с.

7. Loeve М. Sur les Fonctions Aleatories Stationnaries de Second Order // Rev. Sci. 1945. - V. 83. - P. 297-310.

8. KarhunenK. Uber Linearen Methoden in der Wahrscheinlichkeits-rechnung // Ann. Acad. Sci. Fennical., Ser.A. 1946. - V. 1, №2.

9. Tuzlukov V.P. Signal Detection Theory. Boston: Birkhauser, 2001.

10. Ю.Стратонович P.Л. Принципы адаптивного приема. М.: Сов. радио,1973.- 144 с.

11. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1985.

12. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Trans. ASME, J. Basic Eng. 1960. - V. 82. - P. 35-45.

13. З.Захаров A.C., Волков M.B., Гуров И.П., ТемновВ.В., Соколовски-Тинтен К., фон дер Линде Д. Интерферометрическая диагностика кратеров абляции при воздействии фемтосекундных лазерных импульсов // Оптический журнал. 2002. - Т. 69, №7. - С. 40-45.

14. Степанов О.А. Применение теории нелинейной фильтрации в задачах обработки навигационной информации. СПб.:ГНЦ РФ - ЦНИИ "Электроприбор", 1998. - 370 с.

15. Парамонов А.А. Оптимальная фильтрация огибающей узкополосного случайного процесса // Радиотехника. 1980. - №6. - С. 70-73.

16. Тихонов В.И. Оптимальный прием сигналов. М.:Радио и связь, 1983.-320 с.

17. Ярлыков М.С. Применениемарковской теории нелинейной фильтрации в радиотехнике. М.: Сов.радио, 1980. - 358 с.

18. Ярлыков М.С. Статистическая теория радионавигации. -М.:Радиосвязь, 1985. 344 с.

19. Ярлыков М.С., Чижов О.П. Субоптимальные алгоритмы приема и комплексной обработки квазикогерентных сигналов спутниковой радионавигационной системы // Радиотехника. 1996. - №1. Радиосистемы. Вып. 8. Радионавигационные системы и навигационные комплексы.

20. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. -М.: Советское радио, 1966.

21. Bouma В.Е., TearneyG.J. Handbook of optical coherence tomography -New York, USA: Marcel Dekker Inc., 2002.

22. Коломийцов Ю.В. Интерферометры. Основы инженерной теории. Применение. Л.: Машиностроение, 1976. - 296 с.

23. Yoshimura Т., Kida К., Masazumi N. Development of an image processing system for a low coherence interferometer // Optics Communications.- 1995.-№117.-P. 207-212.

24. Pan Y., Birngruber R., Rosperich J., Engelhardt R. Low-coherence optical tomography in turbid tissue: theoretical analysis // Applied Optics. 1995.- №28. P. 6564-6574.

25. Тихонов В.И., Кульман H.K. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М.: Сов. радио, 1975. - 704 с.

26. Ярлыков М.С., Миронов М.А. Марковская теория оценивания случайных процессов. М.: Радио и связь, 1993. - 461 с.

27. Гуров И.П., Шейнихович Д.В. Определение фазовых характеристик интерференционной картины методом нелинейной марковской фильтрации // Оптика и спектроскопия. 1997. - Т.83, №1. - С. 147152.

28. Гуров И.П. Формирование и анализ стохастических интерференционных полей // Проблемы когерентной и нелинейной оптики / Под ред. И.П. Гурова и С.А. Козлова. СПб: СПбГИТМО, 2000. - С. 6787.

29. Аоки М. Введение в методы оптимизации. М.: Наука, 1977. - 344с.

30. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. - 392с.

31. Справочник по прикладной статистике / Под ред. Э. Ллойда, У. Ли-дермана. М.: Финансы и статистика, 1989.

32. Гуров И.П., Захаров А.С. Анализ характеристик интерференционных полос методом нелинейной фильтрации Калмана // Оптика и Спектроскопия. 2004. - Т. 96, №2. - С. 210-216.

33. Теория электрической связи / Под ред. Д.Д. Кловского. М.: Радио и связь, 1999.

34. Захаров А.С. Анализ параметров интерференционных полей методом нелинейной фильтрации Калмана // Международная конференция молодых ученых и специалистов «Оптика-99». Тезисы докладов. -Санкт-Петербург, 1999.-С. 129-130.

35. DreselT., HausterG., VenzkeH. Three-dimensional sensing of rough surfaces by coherence radar// Applied Optics. 1992. - №7. -P. 919-925.

36. Захаров А.С. Сравнение вычислительной сложности методов моделирования интерференционных полей малой когерентности // Современные технологии. Сборник научных статей / Под ред. С.А. Козлова. СПб.: СПбГИТМО(ТУ), 2001. - С. 146-153.

37. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973.

38. Оптическая обработка информации / Под ред. Д. Кейсесента. Пер. с англ. под ред. С.Б. Гуревича. М.: Мир, 1980.

39. Rosen J., Yariv A. Longitudinal partial coherence of optical radiation // Optics Communications. 1995. - №117. - P. 8-12.

40. Захаров А.С. Нелинейный анализ стохастических интерференционных полей // 2-ая международная конференция молодых ученых и специалистов "0птика-2001". Сборник трудов. Санкт-Петербург, 2001.-С. 197.

41. Lai G., Yatagai T. Generalized phase-shifting interferometry // JOSA A. -1991.-V. 8.-P. 822-827.

42. Grevenkamp J.E., BruningJ.H. Phase-shifting interferometry // Optical Shop Testing / D. Malacara, ed. New York: Wiley, 1992.

43. Farrell C.T., Player M.A. Phase step measurement and variable step algorithms in phase shifting interferometry // Measurement: Science and Technology. 1992. - V. 3. - P. 953-958.

44. Bowen D.K., Chetwynd D.G., Schwarzenberger D.R. Sub-nanometre displacements calibration using x-ray interferometry // Measurement: Science and Technology. 1990. - V. 1. - P. 107-119.

45. Гуров И.П., Захаров A.C. Анализ параметров интерференционных полос методом нелинейной фильтрации Калмана // Известия ВУЗов. Приборостроение. 2002. - №1. - С. 58-63.

46. Schwider J., Burow R., Ellsner K.E., Grzanna J., Spolaczyk R., Merkel K.

47. Digital wave-front measuring interferometry: some systematic error sources // Applied Optics. 1983. - V. 22. - P. 3421-3432.

48. Hariharan P., Oreb B.F., Eiju T. Digital phase-shifting interferometry: a simple error-compensating phase calculations algorithm // Applied Optics. 1987. - V. 26. - P. 2504-2506.

49. Hibino K, Oreb B.F., Farrant D.I., Larkin K.G. Phase shifting for nonsi-nusoidal waveform with phase-shift errors // JOSA A. 1995. - V. 12. -P. 761-767.

50. Gurov I., Zakharov A., Voronina E. Dynamic phase shifting interferometry technique for wavefront analysis. In: Proc. PALS 2005, 2nd Photonics and Laser Symposium (Kajaani, Finland, 23-25 February 2005). Kajaani, Finland, 2005. - P. 14-15.

51. Gurov I., Zakharov A., KouznetsovA. Dynamic nonlinear filtering of fringe signals distorted by quantization noise. In: Proc. International

52. Topical Meeting of Optical Sensing and Artificial Vision. Saint Petersburg, 2005. - P. 343-350.

53. Gurov I., Zakharov A. Interferometric diagnostics of 3-D surface relief deviations with a nanometre resolution. In: Proc. The First Scientific Workshop-Presentation «Optical Micro- and Nanotechnologies». Saint Petersburg, 2002. - P. 101-113.

54. Alarousu E., Gurov I., Hast J., Mullula R., Zakharov A. Dynamical stochastic fringe processing in a low-coherent interferometry. In: Proc. Finnish Optics Days 2002 (Kajaani, Finland, 24-26 April 2002). Kajaani, Finland, 2002. - P. 33.

55. Gurov I., Zakharov A. Low-coherent fringe processing using nonlinear Kalman filtering method. In: Proc. International Workshop on Low-coherence Interferometry, Spectroscopy and Optical Coherence Tomography. Saint Petersburg, 2002. - P. 69-77.

56. Pietzsch K. Interferometrie mit storend streuendem Element // Optik. -1981. -№3. S. 173-192.

57. Creath K. Phase measurement interferometry techniques // Prog.Opt. -1988.-V. 26, C.5.-P. 349-383.

58. Takeda M., Ina H., Kobayashi S. Fourier-transform method of fringe-pattern analysis for computer-based topography and interferometry // JOSA. 1982. - V. 72. - P. 156-160.

59. Roddier С., Roddier F. Interferogram analysis using Fourier transform techniques // Appl. Opt. 1987. - V. 26. - P. 1668-1673.

60. Sokolowski-Tinten K., Bialkowski J., Cavalleri A., von der Linde D., Oparin A., Meyerter-Vehn J., Anisimov S.I. Transient states of matter during short pulse laser ablation // Phys. Rev. Lett. 1998. - V. 81. - P. 224-227.

61. Temnov V.V., Sokolowski-Tinten K., von der Linde D. Ultrafast time-and space-resolved Michelson interferometry. To be published.

62. De Nicola S, Ferraro P., Gurov I., Koviazin R., Volkov M. Fringe analysis for moire interferometry by modification of the local intensity histogram and use of a two-dimensional Fourier transform // Meas. Sci. Tech-nol. 2000. - №9. - P. 1328-1344.

63. Типичная схема интерферометра 39,40. приведена на рис. А1.1.

64. Рис. А1.1. Схема интерферометра Майкельсона.

65. Модель интерферометра с монохроматическим источником света.

66. Рассмотрим интерферометр с монохроматическим источником света, используемый при исследованиях поверхностей при шероховатостях не более половины длины волны излучения, т.е. порядка долей микрометра.

67. Моделирование в приближении геометрической оптики.

68. В монохроматическом случае можно исследовать только сравнительно малые отклонения рельефа, так как зависимость интенсивности света л) от отклонения рельефа йС^С-Уо) периодическая и период равен половине длины волны излучения.