автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Эллипсоидальные квазилинейные фильтры для оперативной обработки информации в нелинейных стохастических системах

□03058431

На правах рукописи

Хоанг Тхо Ши

ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ ДЛЯ ОПЕРАТИВНОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ В НЕЛИНЕЙНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

Специальность 05 13 17-Теоретические основы информатики

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва 2007

003058431

Диссертация выполнена в Московском физико-техническом институте (государственном университете)

Научный руководитель - заслуженный деятель науки РФ,

доктор технических наук, профессор Синицын Игорь Николаевич

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Морозов Андрей Николаевич

кандидат технических наук, старший научный сотрудник Ушмаев Олег Станиславович

Ведущая организация - Институт проблем управления РАН (Москва)

Защита диссертации состоится 23 мая 2007 г в 13 часов на заседания диссертационного Совета Д002 073 01 при Институте проблем информатики РАН по адресу 119333, Москва, ул. Вавилова, 44, корп 2

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем информатики РАН

Отзывы в одном экземпляре, с заверенной подписью, просим направлять по адресу 119333, Москва, ул Вавилова, 44, корп 2 в диссертационный Совет

Автореферат разослан «20 » апреля 2007 г

Председатель диссертационного Совета Д002 073 01, доктор технических наук

И А Соколов

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Как известно 1-3, статистическая информатика обладает обширным арсеналом эффективных статистических методов анализа и оперативной (быстрой) обработки информации Применение методов статистической информатики сдерживается практически полным отсутствием доступного для инженера и исследователя эффективного алгоритмического и программного обеспечения При этом требуются нестандартные методы исследования, в первую очередь, одно- и многомерных распределений процессов в нелинейных стохастических системах (СтС)

В задачах стандартного анализа качества информационных технологий и систем обычно ограничиваются спектрально-корреляционными характеристиками, в то время как функционирование систем в экстремальных условиях требует развития нестандартных методов анализа, основанных на одно- и многомерных распределениях

Для решения задачи анализа распределений в нелинейных СтС применяют следующие три принципиально различных подхода

Первый подход состоит в использовании прямого численного решения уравнений СтС методом Монте-Карло Часто этот метод называют методом статистического моделирования (МСМ) В случае дифференциальных СтС этот метод сводится к численному интегрированию дифференциальных уравнений СтС со статистическим моделированием приращений винеровского процесса и пуассоновских процессов на каждом шаге интегрирования, а также к статистическому моделированию начальных условий и последующей статистической обработке полученных реализаций При реализации МСМ для нелинейных и параметрических задач ключевой проблемой является задача разработки стохастических аналогов формулы Тейлора и специальных вычислительных методов аппроксимации повторных

1 Синицын И Н Из опыта преподавания статистических основ информации в технических университетах // Системы и средства информатики Вып 8 -М Наука Физмалит 1996 С 68-73

1 Пугачев В С , Синицын И Н Теория стохастических систем - М Изд-во «Логос» 2000 (1-е изд ) [пер на англ яз Stochastic Systems Theory and Applications World Scientific, 2001 Singapore], 2004 (2-е изд )

3 Синицын И H Фильтры Калмана и Пугачева - М Изд-во «Логос»

2006

стохастических интегралов Слабо развита теория многошаговых численных схем К недостаткам МСМ можно отнести необходимость проведения большого количества моделирования реализаций для получения приемлемой точности и сильный рост объемов вычислительных экспериментов с увеличением размерности вектора состояния, что затруднительно выполнить оперативно в реальном масштабе времени Широчайшее использование МСМ обусловлено небольшой вычислительной трудоемкостью исследования СтС и простотой программной реализации МСМ Кроме того, МСМ позволяет включать в процесс моделирования некоторые реальные элементы моделируемой систем или их действующие макеты, а также людей, участвующих в работе системы Развитие МСМ применительно к СтС связано с именами- Авериной ТА, Артемьева А.А, Вагнера В, Клойдена П Е , Платена Е , Кузнецова Д Ф , Пугачева В Н, Ньютона Н, Дзагнидзе 3 А Читашвили Р Я, Никитина Н Н, Разевига В Д, Шюртуа X, Чанга К К , Райта Д, Маруама Г, Мильштейна Г Н, Карпенко А П, Талая Д , Мачхсоди Я, Харриса К, Микулевичуса Р , Хофмана Н, Румелина В , Клаудера Д.

Второй подход состоит в непосредственном составлении и интегрировании эволюционных функциональных уравнений, например, уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, Колмогорова-Феллера и их обобщений, а также уравнений Пугачева для характеристических функций Этот подход позволил найти точные решения для ряда простых СтС Для многомерных СтС единственным путем решения эволюционных функциональных уравнений является численное интегрирование на высокопроизводительных средствах вычислительной техники (СВТ), в первую очередь высокопроизводительных ЭВМ, и с использованием ОЯГО-технологий В настоящее время использование рассматриваемого подхода для задач анализа многомерных СтС даже для высокопроизводительных СВТ проблематично Важный вклад внесли Андронов А А., Витт А А , Понтрягин Л С, Колмогоров А Н, Бернштейн С Н, Пугачев В С , Гихман И И, Скороход А В , Закаи М, Уонхэм В М, Феллер В , Фридман А, Ито К , Баррет Р Ф, Свешников А А, Мерклингер К Д, Ширяев А Н, Лин И К., Сойз С , Семенов В В , Синицын И Н, Хасьминский Р 3 , Арнольд Л, Кушнер Г Дж , Рискин X, Стратонович Р Л, Строк Д В , Ван-Камиен Р Г

Третий подход состоит в применении аналитических методов для приближенного решения уравнений, определяющих параметры одно- и многомерных распределений К их числу относятся методы нормальной аппроксимации и статистической линеаризации, методы эквивалентной линеаризации, методы моментов, семиинвариантов, квазимоментов и их модификации, методы ортогональных разложений и др Эти методы

позволяют по исходной СтС получить детерминированные уравнения для параметров распределений Основной трудностью практического применения упомянутых методов, особенно для многомерных СтС, является чрезвычайно быстрый рост числа уравнений для параметров распределений с увеличением размерности вектора состояния Сокращение числа уравнений для параметров распределений возможно только путем введения дополнительных ограничений на структуру распределения Существенный вклад в развитие методов параметризации распределений внесли Пугачев В С , Казаков И Е , Бутон Р К, Богуславский И А, Липцер Р.Ш, Кузнецов П И, Малахов А Н , Стратонович Р Л, Синицын И Н, Тихонов В И, Мальчиков С В , Первозванский А А, Пупков К А, Альберендт Н, Кемпе Ф , Фокс Р Ф, Шин В И, Мощук Н К

Радикальным подходом к сокращению числа уравнений для параметров распределения является подход, основанный на параметризации структуры распределения Так, как обнаружено В И Синицыным, радикального сокращения числа уравнений для параметров распределения удается добиться для эллипсоидальной структуры распределения

Прикладные статистические методы оперативной обработки информации в сложных информационно-измерительных и информационных системах как в условиях нормальной эксплуатации, так и в экстремальных условиях, доказали свою практическую эффективность Развитие статистической информатики идет как в направлении все большего усложнения моделей и методов адекватного описания, так и путем создания современных вычислительных стохастических информационных технологий Важнейшей причиной, затрудняющей использование оптимальных методов оперативной обработки информации в СтС, является, во-первых, отсутствие необходимой априорной информации и, во-вторых, требование к быстроте реализации статистических вычислительных технологий В настоящее время сформировалось два основанных подхода к синтезу нелинейных фильтров для оперативной обработки информации в нелинейных СтС аналитический и алгоритмический

В рамках первого подхода, во-первых используются различные приближенные методы, основанные на численном решении фильтрационных уравнений (методы нормальной аппроксимации и статистической линеаризации, методы эквивалентной линеаризации, методы моментов, квазимоментов, семиинвариантов, ортогональных разложений, метод эллипсоидальной структурной аппроксимации и др [3]) Применение этих методов для задач оперативной обработки информации (оп-1те оценивания) практически невозможно Во-вторых, во многих задачах практически

приемлемые результаты получаются на основе превращения формул для стохастических дифференциалов оптимальной оценки и апостериорной ковариационной матрицы ошибки И, в стохастические дифференциальные

уравнения для Х( и В.ь путем разложения правых частей уравнений в степенные ряды в окрестности Хг отбрасывания остаточных членов Этот способ приводит к уравнениям обобщенного фильтра Калмана - Бьюси, фильтров второго порядка и др [3] Такие фильтры также не полной мере удобны для задач реального времени Для задач реального времени В С Пугачевым предложены так называемые условно оптимальные фильтры, позволяющие проводить априорный синтез простых в реализации фильтров без использования результатов измерений Такие нелинейные фильтры получили название фильтров Пугачева Развитие теории условно оптимальной фильтрации Пугачева В С для непрерывных стохастических систем связано с именами Казакова И Е , Мальчикова С В , Дашевского М Л, Синицына И Н, Шина В И, Силуяновой И Д, Домбровского В В , Руденко Е А , Яоо! ] И., БиЛа N К и др , а для дискретных и непрерывно-дискретных систем - Казакова И Е, Синицына И Н, Шина В И, Домбровского В В , Панкова А Р, Борисова А В , 11оо1 ] Я, ЯтЬа N К и др

В рамках алгоритмического подхода широкую известность получим разнообразные, градиентные, поисковые, обучающиеся адаптивные и комбинированные походы и технологии Как правило, такие подходы допускают применение в задачах реального времени только с учетом специфики архитектуры высокопроизводительных СВТ и решаемых функциональных задач

Для комплесной обработки информации в нелинейных СтС научного и промышленного назначения, функционирующих в экстремальных условиях и отказах оборудования, важное значение имеют методы анализа и синтеза нелинейных фильтров на основе априорной информации без использования текущей информации Здесь наряду с фильтрами Пугачева, как показано в работах Пугачева В С и Синицына И Н Казакова И Е и Гладкова Д И, О М и Шина В И [3], если вычислять коэффициенты эквивалентной линеаризации на основе отрезка пира параметризованной плотности, возможно создание эффективных квазилинейных фильтров для оперативной обработки информации М О и В И Шином [3] разработан квазилинейный фильтр на основе моментной аппроксимации апостериорного распределения Основываясь на работах по эллипсоидальной аппроксимации [2], продолжим названные исследования для существенно негауссовских нелинейных СтС,

допускающих эллипсоидальную линеаризацию и статистическую наблюдаемость При этом особое внимание уделим разработке алгоритмов и специального программного обеспечения в среде МАТЪАВ для реализации стохастической информационной технологии обработки информации

Цели и задачи работы. Целью диссертации является разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения эллипсоидального анализа информации в нелинейных стохастических системах

Для достижения сформулированной цели ставятся следующие основные задачи

1) Построить теорию анализа распределений по априорньм данным в непрерывных (дискретных) негауссовских СтС на основе эллипсоидальной линеаризации

2) Разработать теорию синтеза квазилинейных фильтров для оперативной обработки апостериорной информации в непрерывных (дискретных) гауссовских СтС на основе эллипсоидальной линеаризации

3) Разработать алгоритмы и экспериментальное программное обеспечение для эллипсоидального анализа информации в нелинейных СтС

Методы исследования В работе использованы современные методы теории вероятностей и математической статистики, стохастического анализа и теории стохастических дифференциальных уравнений, теории оптимального оценивания, вычислительные методы информатики

Научная новизна. В работе получены новые теоретические результаты в области статистической информатики, среди которых следует выделить следующие

1) Получены уравнения методов эллипсоидальной линеаризации в непрерывных (дискретных) негауссовских СтС для анализа информации по априорным данным

2) Выведены фильтрационные уравнения для эллипсоидальной обработки информации в непрерывных (дискретных) гауссовских СтС на основе апостериорных данных

Практическая ценность работы состоит в том, что она является основой для создания современных информационных технологий статистического анализа и синтеза сложных информационно-измерительных и информационных систем На основе результатов исследования разработаны

1) Стохастические модели обработки информации в информационно-измерительных системах на основе интерферометра Фабри - Перо

2) Стохастические модели флуктуаций чандлеровских колебаний полюса Земли

Реализация результатов работы. Результаты диссертации реализованы в 2-х НИР ИЛИ РАН (2005-2007 гг) и в проекте 1 5 Программы ОИТВС РАН "Фундаментальные основы информационных технологий и систем" (2005-2007 гт)

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях

1 X Международная конференция МАИ «Системный анализ, управление к навигация», Москва, 2005,

2 XLIX Научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Москва - Долгопрудный, 2006,

3 XLII Всероссийская конференция РУДН «Математика и информатика», Москва, 2006,

4 XLIII Всероссийская конференция РУДН «Оптические, математические и электронные методы обработки изображений и сигналов», Москва, 2007

Публикации. Список публикаций насчитывает 7 названий Материалы также опубликованы в 2-х научно-технических отчетах ИЛИ РАН

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести разделов, заключения и приложения Содержание работы изложено на «220» страницах машинописного текста, иллюстрированного « 9 » рисунками Список использованных источников содержит « £6 » наименования

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована ее цель, определена научная новизна и практическая ценность работы Изложены основные результаты Раздел 1 посвящен обзору работ и постановке основных задач

В разделе 2 приведены сведения, положенные в основу программного обеспечения эллипсоидальной аппроксимации (ЭА) распределений случайных векторов

Предлагается для структурной аппроксимации плотностей вероятности конечномерных случайных векторов можно использовать плотности, имеющие эллипсоидальную структуру, т.е плотности, у которых поверхностями уровней равной вероятности являются подобные концентрические эллипсоиды (эллипсы для двумерных векторов, эллипсоиды для трехмерных векторов, гиперэллипсоиды для векторов размерности больше трех) В частности, эллипсоидальную структуру имеет нормальное (гауссовское) распределение в любом конечномерном

пространстве Характерная особенность таких распределений состоит в том, что их плотности вероятности являются функциями положительно определенной квадратичной формы и = и(х) = (хт - тпт) С (х - тп), где тп

— математическое ожидание случайного вектора X, С - некоторая положительно определенная матрица

Для нахождения ЭА плотности вероятности г-мерного случайного вектора будем пользоваться конечным отрезком разложения по

биортонормальной системе полиномов (и (х)), дг и (и (х))|, зависящих только от квадратичной формы и = и (х), весом для которых служит некоторая плотность вероятности эллипсоидальной структуры "ш (и (ж)) Тогда плотность вероятности вектора X может быть приближенно представлена выражением следующего вида

N

1 + Хл,«^,* С") (1)

/(20 « Г (и) = и) (¿11)

Выбор системы полиномов |рг ^ (и (х)), ^ (и (£))}, используемой

при ЭА плотностей (1), сводится к нахождению биортонормальной системы

2

полиномов, для которой с весом служит х ~ распределение с г степенями свободы Если ввести систему полиномов, ортогональных по отношению к X2- распределению с г степенями свободы

то между полиномами (и) и системой полиномов ^рг„ («), («)} имеют место следующие соотношения

рТ1„ (и) = (и),

Для тестирования разработанного программного обеспечения (приложение 1) приведены точные и приближенные формулы, описывающие свойства 5Г „ (и), теоремы об средней квадратической (с к)

сходимости разложений плотностей векторов и их проекций по полиномам, точные и приближенные (укороченные) рекуррентные формулы, связывающие старшие и младшие вероятностные моменты эллипсоидальных распределений, а также приближенный метод оценки точности ЭА по моментам четвертого и шестого порядка

В разделе 3 применительно к непрерывными (дискретным) СтС приведены уравнения методов эллипсоидальной аппроксимации (МЭА) и эллипсоидальной линеаризации (МЭЛ) для одно- и многомерных распределений

Предполагается, что эволюция состояния системы (в общем случае расширенного вектора состояния X) описывается векторным стохастическим дифференциальным уравнением Ито вида

dX = cp(X,t)dt + ip'(X,t)dWQ+ f tf"(X,t,v)P°(t,dv) (4)

J щ

Здесь ip — if(x,t) и <ф' = ф' (x, t)— известные (pxl)- мерная и (рхт)- мерная функции вектора X и времени t, W0 = W0 (t) — m-мерный винеровский случайный процесс интенсивности uQ = uQ (t), -ф" (x,t,v) — (р х 1)- мерная функция х, t и вспомогательного (gxl) -

мерного параметра v, J' dP° (t, A) — центрированная пауссоновская мера д

J dP° (t, A) — f dP(t, A)-J Up (i, A) dt,

Д Д Д

где J dP (t, A) - число скачков пуассоновского процесса в интервале

д

времени Д, иР (t, А)— интенсивность пуассоновского процесса Pit, А), А

- некоторое борелевское множество пространства Щ с выколотым началом координат Интеграл (4) в общем случае распространяется на все пространство Щ с выколотым началом координат Начальное значение Х0 вектора X представляет собой случайную величину, не зависящую от приращений винеровского процесса W0 (t) и пуассоновского процесса

P(t,A) на интервалах времени Д = (ij,^], следующих за i0, ¿0—^1—^2» для любого множества А

Предполагается, что (4) удовлетворяют известным достаточным

условиям Пугачева-Сииицына существования многомерных распределений в терминах характеристических функций [2]

В том случае, когда функции <р, %р', <ф" в уравнениях (4) зависят от случайных параметров Э с известным распределением, то путем

расширения вектора состояния |ХТ0Т| , придем к уравнениям вида (4)

В основу разработанного при участии диссертанта программного обеспечения "СтС-фильтр ЭА" положены основанные теоремы об ЭА одно- и многомерных распределений [2] В частности, если применить ЭА (4) для нахождения одномерной плотности вероятности А(х,Ь) р-мерного случайного процесса X(£), определяемого стохастическим дифференциальным уравнением Ито (4) и принять, что нам известно распределение начального значения Х0 = X (¿0) случайного процесса Х^),то одномерную плотность можно представить в виде отрезка ортогонального разложения по полиномам, зависящим от квадратичной формы и Их) — [хт — тп1) С (х — тп), где то и К = С~х

- неизвестное математическое ожидание и ковариационная матрица случайного процесса X (1)

А (М) £ /Г (иСх)) = ги1 («)

N

1 + (и)

¡/=2

(5)

Здесь /ш1 (и) — нормальная плотность р-мерного случайного вектора Оптимальные неизвестные коэффициенты разложения с определяются

оо

= J f1Ы)q^Cu)dx = Mq^(U), (|/ = 1, ,Н) (6)

—оо

Для неизвестных т. К и сри при полиномиальных правых частях (4)

на основе типовых интегралов [2] или рекуррентных формул, связывающих старшие и младшие, моменты составляются автоматически обыкновенные дифференциальные уравнения Общее количество уравнений МЭА равно дМЭА =дМНА +лг/2_1

Система полиномов |рТ1/ (и), (и)| строится на основе

ортогональной системы полиномов |5Г,, (ы)| согласно формулам (3)

В основу разработанного автором программного обеспечения "СтС-фильтр ЭЛ" положены следующие теоретические и практические результаты

Рассмотрим нелинейную дифференциальную СтС (4) при следующих условиях

1) ф'(X,= ф'й (£), ф" = ф" (у), где логарифмическая

производная по времени от нормального (гауссовского) белого шума У0 = 1¥0 и пуассоновского белого шума УР = 1УР, определяются формулами

Хр (/X, t) = f [е'А-1 - гцтф" (-и)] иР (4, и) йь (7)

Щ

Здесь и0 = и0 (£) — интенсивность нормального (гауссовского) белого шума У0, а иР = ир(1;}и) = 9/х (£, 1))^ | — интенсивность

пуассоновского потока скачков, равных ф" (и)

2) Нелинейная векторная функция (р(Х,{) допускает эллипсоидальную линеаризацию (ЭЛ) согласно

Ч>{Х,Ь) и (т^,^) + а? (т^^ЩХ - т) (8)

Здесь а^ (тп,К, и а* называются соответственно

вектором смещения нуля и матричным коэффициентом усиления ЭЛ

3) Одномерная плотность существует и имеет эллипсоидальную структуру вида (5) причем структурные коэффициенты одномерного эллипсоидального распределения <\ = {сР)„ (то, известны, а первые и вторые моменты т и К неизвестны, причем

N

1 + 1

р.'

с^ = M3\v Си), U = (X — т)т K~l (X - m) (9)

Тогда имеет место утверждение

Теорема 1. Пусть нелинейная нестационарная система (4) удовлетворяет условиям 1)-3), тогда в основе МЭЛ для одномерной плотности с известными структурными коэффициентами Cj = {cp j/ (m, К)| лежат уравнения

m = (m,K,cut), m(t0) = т0, (10)

X°=aÎ(m,K,c1,t)X0+V, X°(t0) = X°0, (11)

где

N

aiSfaK^t) = fiw {m,K,t) + Y^cpiVnlv(m,K,t\

v=2

oo

fil0(m,K,t)= J (p(x,t)wl(u)dx,

—oo

OO

liyv{m,K,t)= J ip(x,t)p^v(.%ï)wl<sï)dx, (12)

—oo

Л'

a? (m, K, q, t) = a10 (m, K,t) + Y_1 (m. K, t),

v=2

oo

a10 (m, K, t) = J tp(x,t)(x — m)T K~lwx{u)dx,

—oo oo

alpi/(m,K,t) = § v(x,t){x~m)T K~ïppu(u)wl(u)dx, (13)

—OO

¿F0 (t) = <t0 (i) + J ip" (V) ф" (v)T vP (t)dv,

Количество уравнений для параметров п -мерного распределения 0^эя=пр{пр + 3)/2

В основе нелинейной спекфально-корреляционной теории процессов в стационарной нелинейной системе (4), основанной на МЭД

лежат уравнения

а? (т, К,с1)К + Kai ("», К, с, f + ä0 = 0, (14)

вх (о;,<) = (16)

при условии асимптотической устойчивости описывающей функции (15) Получены уравнения МЭЛ для дискретных СтС

В разделе 4 приведены уравнения квазилинейного фильтра, основанного на МЭЛ для непрерывных (дискретных) СтС

Рассмотрим сначала непрерывную нестационарную динамическую систему, определенную стохастическим дифференциальным уравнением Ито

Х1 + (17)

Наблюдаемый процесс Zt—Z (£) определен следующим видом

+ (18)

где 6 К"* - вектор состояния системы, Zí € Ж"2 - вектор наблюдаемого случайного процесса, (р0 = и = ^(Х^Ь) -

известные векторные функции, отображающие пространство К"л х М"г х М соответственно в пространства Мп* и МПг, %р = ф(Ь) -

[пх х ) матричная функция, € М""1, У1 — /(И, £ , У2 = ¿\У2 / <1Ь, Уг и У2 - независимые нормальные белые шумы с матрицами интенсивностей и и2 соответственно

Требуется найти оценку X (£) вектора состояния X = X системы в любой момент Ь > ¿0 по результатам непрерывного наблюдения процесса

.£(£) в интервале времени р0, £ , ^ = {^(г) < т <

Для дискретных нелинейных стохастических систем уравнения состояния (17) и наблюдения (18), описываются следующими стохастическими разностными уравнениями вида

VI (*«) + #!,,. (19)

= + I > 1 (20)

Для непрерывной СтС (17) и (18) имеют место следующие теоремы

Теорема 2. Пусть уравнения стохастической дифференциальной системы (17) и (18) допускают применение МЭЛ т е эквивалентны следующей нелинейной системе уравнений для математических ожиданий

тх = а$> (тх,Кх,с1,1),

тг =а%1(тх,Кх,с(21) и линейных уравнений для центрированных составляющих

Х° = Х,-тх =

Я^аПт^К^Х'+Ъ (22)

и стохастически наблюдаемы [3]

Предположим, что апостериорная плотность распределения имеет эллипсоидальную структуру вида (9), а коэффициенты ЭЛ ар = ар {тх,Кх^), - а? (,пх,Кх,^{), ар = о^ (т^К,,^)

и а?1 = а^1 (т1Д1,с1,£) определяются формулами (12) - (13)

соответственно

N

оо

Мш ,кх»сх»'<) = / у>0 (®> *) «>1 («>

—сю

оо

^(тх,Кх,с1,^= J ^(х^р^ШщМЛх, (23)

«о'1 = мГо (тх,Кх,си<) + £СР,Ж1 (тх,Кх,С1,г),

р=2

со

/ <Р1 (ж,

— ОО

оо

^(тх>Кх>с1>*) = / ^(М)^ (и)№1(и)сг:Г' (24)

—оо

N

а?° = а$ (пгв)1Гя,с1)*) +С!,

у=2

оо —оо

СО

»Кх, С1 > *) = / ¥>0 (я. г)(я - )т ^Рр,,, (ы) гс»! (и) ¿ж, (25)

—оо

N

а? = <о (тх,Кх,сиг) + с15

оо

«Го = / <Л - т,)1, Я^Х (М) ¿г,

—ОО

00

а1?р,1/ (тх > кх > <=1 > *) = / 0>(х - тх )Т КхгРр,и С") ^ (26)

—оо

Тогда фильтрационные уравнения эллипсоидального квазилинейного фильтра (ЭКЛФ) для системы (21) - (22) относительно центрированных переменных имеют следующий вид

X° = а?^0 + - ), (27)

где матричный коэффициент усиления определяется формулой

(34 = ^а^1» (28)

а ковариационная матрица ошибки удовлетворяет дифференциальному уравнению Риккати

Д = + + фщфТ - Ъа^^а^В, (29)

при начальных условиях

1(г0) = Х0=Ммэл[Х0|£0],

R (tQ) = ^ = Ммэл [(Х0 - Х0)(Х0Г -Х%)\ Z0

Теорема 3. В условиях теоремы 2 фильтрационные уравнения эллипсоидального квазилинейного фильтра (ЭКЛФ) для нецентрированных переменных Xt = Xf + тх, Zt = Zf + mz имеют следующий вид

Xt = (af°Xt - а?тх + ) + /3, (zt - afXt + а?тх - а?), (31)

где (3t и Rt определяются уравнениями (28) и (29) при начальных условиях (30)

Замечание. В случае стационарной системы (17) и (18) в установившемся режиме уравнение Риккати (29) переходит в алгебраическое уравнение Риккати, если положить Rf = 0 Для дискретной СтС (19) и (20) справедлива теорема 4 Теорема 4. Пусть уравнения дискретной СтС (19) и (20) допускают применение МЭИ и эквивалентны следующей системе уравнений для математических ожиданий

тх,1+1 = <*о.= тх,1 + ао} (»"*,/> <%/)•

ту,1 = «О) (mx,l , Кх,1, ,1) (32)

и уравнения для центрированных составляющих Х° = Xt — тх 1

Y? = + Vv, (33)

где Фг+1г — I + ah, I— единичная матрица

Предположим, что апостериорная плотность распределения имеет эллипсоидальную структуру вида

i+EwvW' С34)

где известные параметры, определяющие эллипсоидальную

структуру негауссовского распределения, гиг (и)- эталонное нормальное распределение

И1("|) = Т 1, . ехР(~и1 /2) (35)

При этом коэффициенты ЭЛ а^ = сх^ {^х1,Кх1,сг^,

= {тхрк*рс1,/). °V = . > С1,г) «

("»«,/. Кх,1. Су) 1ше«"и следующий еиЭ

N

- мГо.г ("»,,1, . с1,г) +ср,^,1 > Кх,1. )»

1/=2

г (тхрКх,1>с\,1) = Ы.

^ (ш^, , Су) = МШ/ ) (и,)], (36)

N

ао) = мГо.г ("Ч/ > кх,11 с1,г) + Х2 (т*,г > . ¿ц).

1/=2

Миу ("»«,! .^.Су) = М^, (т^, ^, Су) = мшг (х,) р^ {Щ)], (37)

N

а1° = «Го,1 (тх,1. кх,1 > ^.г) + 12 ср (та*,г, >с1,г).

1/=2

<о,/ (т^.^.су) = МЮ/ [<д,г (а:,)(а, - т1г)Г Я",1],

{тх,1> , см) = МШ1 ) (¡г, - т^ )Г (щ )], (38)

N

«и = ат (тх,1 ,кхр С1,1) + ср,»,1а\р,»,1 (тх,1 > > су )>

<1 {т*,1 > кх,1. Су) = ¥>1,1 (щ) (х, - ) Кх}

а1,р,и I (тх,1>кх,1. с1,г) = МЮг (х1) (®г - тг>, )Г ^Рр^ К)

Здесь символ М,„ обозначает вычисление математического ожидания при эталонном нормальном распределении гюг {иг)

Тогда уравнения дискретного ЭКЛФ для дискретной линейной СтС (32) — (33) относительно центрированных переменных имеют следующий вид

л1+\\1

+ "¡У Г - ^¡Ц-г),

X

\-1

Здесь введены следующие обозначения

Дт1|г = фш,гД|гфш,г + М,~

'I >

Д|;

(7 - ) (/ - /Згс$ )Г + РрцРТа?? = йм-1 =Я= К

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

где

Щ = МХЩГ, Дгм = (47)

Ц=Х°-Ц (48)

В разделе 5 дано решение задачи анализа и фильтрации для нелинейных процессов в интерферометре Фабри - Перо

Построены квазилинейные стохастические модели обработки информации по априорным данным в нелинейном интерферометре Фабри -Перо на основе МСЛ и МЭЛ Показано, что точность расчетов по МЭЛ по сравнению с МСЛ повышается в 1,5-2 раза и составляет 1- 2%

Получены аналитические выражения для эффективных собственных частот регулярных колебаний и статистических характеристик флуктуаций Эти выражения использованы для выбора оптимальных параметров интерферометра Они позволяют избежать вычисления сложных эллиптических интегралов

Построены гауссовские и эллипсоидальные квазилинейные фильтры для обработки информации по апостериорным данным

Проведена оценка точности эллипсоидальных фильтров с помощью обобщенного фильтра Калмана - Бьюси (ОФКБ) и фильтра второго порядка Эллипсоидальные фильтры целесообразно использовать только при больших коэффициентах негауссовости (свыше 30%)

В последнем разделе б разработаны стохастические модели флуктуаций чандлеровских автоколебаний полюса Земли на основе априорных данных для нелинейного обобщенного релеевского механизма диссипации с учетом трехчленной полиномиальной модели диссипации

Изучены основные вопросы статистической динамики автоколебаний полюса Земли

Разработаны квазилинейные стохастические модели флуктуаций полюса Земли на основе апостериорной информации Оценена точность квазилинейных моделей с помощью моделей ОФКБ и фильтра второго порядка

Заключение содержит основные выводы и положения, выносимые на защиту

В приложения вынесен поясняющий вспомогательный материал

Заключение

На защиту выносятся следующие основные результаты

1) Метод эллипсоидальной линеаризации (МЭЛ) одно- и многомерных распределений в непрерывных и дискретных нелинейных негауссовских стохастических системах

2) Теория синтеза квазилинейных фильтров на основе эллипсоидальной линеаризации для оперативной обработки апостериорной информации в непрерывных и дискретных гауссовских стохастических системах

3) Стохастические модели обработки информации в измерительных системах на основе интерферометра Фабри - Перо

4) Стохастические модели флуктуаций чандлеровских автоколебаний полюса Земли на основе априорных данных для обобщенного релеевского механизма диссипации с учетом трехчленной полиномиальной модели диссипации

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Синицын И Н, Синицын В И, Чумин Ю В , Хоанг Тхо Ши Аналитическое моделирование выбросов в нелинейных стохастических системах, допускающих эллипсоидальную аппроксимацию распределений // Тезисы докладов 10-й международной конференции "Системный анализ, управление и навигация" - М Изд МАИ 2005 С 149 (Результаты по аналитическому моделированию на основе метода эллипсоидальной линеаризации)

2 Синицын И Н , Синицын В И , Корепанов Э Р , Хоанг Тхо Ши Методы эквивалентной параметрической линеаризации нелинейных стохастических систем и их применение // Ежегодник ИЛИ РАН Специальный выпуск "Математические модели и методы информатики, стохастические технологии и системы" - М Изд ИПИ РАН 2005 С 5-30. (Метод эквивалентной эллипсоидальной параметрической линеаризации нелинейных непрерывных стохастических систем)

3 Хоанг Тхо Ши Эллипсоидальный анализ одномерных распределений в многолучевом интерферометре Фабри - Перо // Сборник научных трудов Х1ЛХ научной конференции МФТИ - Факультет радиотехники и кибернетики "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" Москва - Долгопрудный, 24-25 ноября 2006 С 108-109

4 Синицын И Н , Корепанов Э Р , Белоусов В В , Хоанг Тхо Ши Методы эквивалентной линеаризации нелинейных стохастических систем высокой добротности // Тезисы докладов ХЬП всероссийской конференции "Математика и информатика" - М Изд РУДН 2006 С 18 (Комбинированный метод эквивалентной эллипсоидальной линеаризации нелинейных непрерывных стохастических систем и метод осреднения)

5 Синицын И Н , Синицын В И , Хоанг Тхо Ши Теория квазилинейной эллипсоидальной фильтрации в стохастических системах // Тезисы докладов Х1ЛП всероссийской конференции "Оптические, математические и электронные методы обработки изображений и сигналов" - М Изд РУДН 2007 С 21 (Теория дискретной квазилинейной эллипсоидальной фильтрации в нелинейных непрерывных стохастических системах)

6 Марков Ю Г , Перепелкин В В , Синицын И Н , Корепанов Э Р , Хоанг Тхо Ши Амплитудно-частотный анализ чандлеровских колебаний полюса Земли // Космические исследования 2007 Т 45 №3 С 52-68 (Амплитудно-частотный анализ чандлеровских автоколебаний для трехчленной обобщенной релеевской модели диссипации)

7 Синицын И Н, Синицын В И, Хоанг Тхо Ши Эллипсоидальные квазилинейные фильтры для оперативной обработки информации в стохастических системах // Наукоемкие технологии 2007 (в печати) (Теория квазилинейных эллипсоидальных фильтров на основе метода эллипсоидальной линеаризации)

Подписано в печать 17 04 2007 г Исполнено 18 04 2007 г Печать трафаретная

Заказ № 362 Тираж 100 экз

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 115230, Москва, Варшавскоеш, 36 (495) 975-78-56 \v\vw аШогеГега! ги

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР РАБОТ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ

1.1. Обзор работ

1.1.1. Оценивание по априорным данным

1.1.2. Оценивание по апостериорным данным

1.1.3. Информационные технологии и программное обеспечение

1.2. Цель работы и постановка основных задач

2. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

2.1. Принцип эллипсоидальной аппроксимации распределений

2.1.1. Вводные замечания

2.1.2. Принцип эллипсоидальной аппроксимации

2.2. Эллипсоидальная аппроксимация в случае нормального эталонного распределения

2.2.1. Полиномы Srv (и)

2.2.2. Программное обеспечение для расчетов р (и) и q (и) для нормального эталонного распределения

2.2.3. Свойства полиномов Sr „ (и)

2.2.4. Разложение плотности случайного вектора по полиномам

Srv(и)

2.2.5. Согласованность разложений вектора и его проекций по полиномам Srv(u)

2.3. Рекуррентные формулы для вероятностных характеристик эллипсоидальных распределений

2.3.1. Моменты случайного вектора при эллипсоидальной аппроксимации плотности

2.3.2. Рекуррентные формулы для моментов различного порядка случайного вектора с эллипсоидальным распределением

2.3.3. Характеристическая функция и моменты при эллипсоидальной аппроксимации плотности

2.3.4. Оценка точности эллипсоидальной аппроксимации распределений

2.3.5. Нахождение распределения нелинейных функций эллипсоидального случайного аргумента

2.4. Выводы по разделу

3. МЕТОДЫ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ ОДНО- И МНОГОМЕРНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

3.1. Уравнения непрерывных стохастических систем

3.1.1. Уравнения дифференциальных стохастических систем

3.1.2. Центральная задача дифференциальных стохастических систем

3.2. Метод эллипсоидальной аппроксимации одномерного распределения в непрерывных стохастических системах

3.2.1. Вводные замечания

3.2.2. Уравнения для ш, К, с

3.2.3. Стационарные распределения

3.2.4. Вырожденные случаи МЭА

3.2.5. Типовые интегралы и рекуррентные формулы метода эллипсоидальной аппроксимации

3.3. МЭА многомерных распределений в непрерывных стохастических системах

3.3.1. Вводные замечания

3.3.2. Уравнения для тп, Кп и коэффициентов разложения спр к

3.3.3 Стационарные распределения

3.3.4. Типовые интегралы и рекуррентные формулы

3.4. Особенность эллипсоидальной аппроксимации распределений в дискретных стохастических системах

3.4.1. Уравнения дискретных стохастических систем

3.4.2. Уравнения для параметров эллипсоидальной аппроксимации одномерного распределения

3.4.3. Уравнения для параметров эллипсоидальной аппроксимации многомерных распределений

3.4.4. Метод дискретной эллипсоидальной аппроксимации для непрерывно-дискретных стохастических систем

3.5. Методы эллипсоидальной линеаризации в непрерывных стохастических системах

3.5.1. Эллипсоидальная линеаризация нелинейностей

3.5.2. Метод эллипсоидальной линеаризации для нахождения одномерных распределений

3.5.3. Метод эллипсоидальной линеаризации для нахождения многомерных распределений

3.5.4. Эллипсоидально-линеаризированные спектрально-корреляционные уравнения

3.5.5. Программное обеспечение

3.6. Метод эллипсоидальной линеаризации для нелинейных дискретных стохастических систем

3.6.1. Вводные замечания

3.6.2. Основные теоремы дискретного МЭЛ

3.7. Выводы по разделу

4. ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫЕ КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ ФИЛЬТРЫ ДЛЯ ОПЕРАТИВНОЙ ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

4.1. Постановка задачи

4.1.1. Вводные замечания

4.1.2. Уравнения состояния и наблюдения

4.1.3. Квазилинейный метод фильтрации, основанный на статистической линеаризации

4.2. Уравнения квазилинейного фильтра, основанного на МЭА

4.2.1. Непрерывные С-тС

4.2.2. Дискретные СтС

4.2.3. Программное обеспечение

4.3. Уравнения квазилинейного фильтра, основанного на МЭЛ

4.3.1. Непрерывные СтС

4.3.2. Дискретные СтС

4.3.3. Программное обеспечение

4.4. Выводы по разделу

5. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

В ИНТЕРФЕРОМЕТРЕ ФАБРИ - ПЕРО 116 5.1. Статистическая динамика многолучевого интерферометра

Фабри-Перо

5.1.1. Постановка задачи

5.1.2. Стохастическая модель резонатора Фабри - Перо

5.1.3. Точное решение в стагщонарном случае

5.1.4. Приближённое решение методом статистической линеаризации (MCJT)

5.1.5. Сравнение точного решения и приближённого по MCJI

5.1.6. Приближённое решение методом эллипсоидальной линеаризации (МЭИ)

5.2. Обработка информации в интерферометре Фабри - Перо по апостериорным данным

5.2.1. Постановка задачи

5.2.2. Квазилинейный фильтр на основе MCJ

5.2.3. Обобщенный фильтр Калмана-Бьюси (ОФКБ)

5.2.4. Фильтр второго порядка

5.2.5. Эллипсоидальный квазилинейный фильтр (ЭКЛФ)

5.3. Выводы по разделу

6. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ФЛУКТУАЦИЙ ЧАНДЛЕ

РОВСКИХ КОЛЕБАНИЙ ПОЛЮСА ЗЕМЛИ

6.1. Стохастические модели флуктуации чандлеровских колебаний полюса Земли на основе априорных данных

6.1.1. Введение

6.1.2. Уравнения флуктуаций автоколебаний полюса Земли

6.1.3. Чандлеровские автоколебания полюса Земли

6.1.4. Влияние гравитационно-приливных моментов на чандлеровской частоте

6.1.5. Флуктуации чандлеровских колебаний полюса Земли с учетом гравитационно-приливных моментов сил на чандлеровской частоте

6.1.6. Общая квазилинейная корреляционная модель флуктуаций полюса Земли

6.2. Стохастические модели флуктуаций колебаний полюса Земли на основе апостериорных данных

6.2.1. Квазилинейные модели на основе MCJI и МЭЛ

6.2.2. Модели обобщенного фильтра Калмана-Бьюси (ОФКБ)

6.2.3. Модели фильтра второго порядка

6.3. Выводы по разделу

Как известно, статистическая информатика обладает обширным арсеналом эффективных статистических методов анализа и оперативной (быстрой) обработки информации. Применение методов статистической информатики сдерживается практически полным отсутствием доступного для инженера и исследователя эффективного алгоритмического и программного обеспечения. При этом требуются нестандартные методы исследования, в первую очередь, одно- и многомерных распределений процессов в нелинейных стохастических системах (СтС).

В задачах стандартного анализа качества информационных технологий и систем обычно ограничиваются спектрально-корреляционными характеристиками, в то время как функционирование систем в экстремальных условиях требует развития нестандартных методов анализа, основанных на одно- и многомерных распределениях.

Для решения задачи анализа распределений в нелинейных СтС применяют следующие три принципиально различных подхода.

Первый подход состоит в использовании прямого численного решения уравнений СтС методом Монте-Карло. Часто этот метод называют методом статистического моделирования (МСМ).

Второй подход состоит в непосредственном составлении и интегрировании эволюционных функциональных уравнений, например, уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова, Колмогорова-Феллера и их обобщений, а также уравнений Пугачева для характеристических функций.

Третий подход состоит в применении аналитических методов для приближенного решения уравнений, определяющих параметры одно- и многомерных распределений. К их числу относятся методы нормальной аппроксимации и статистической линеаризации, методы эквивалентной линеаризации, методы моментов, семиинвариантов, квазимоментов и их модификации, методы ортогональных разложений и др. Эти методы позволяют по исходной СтС получить детерминированные уравнения для параметров распределений.

Радикальным подходом к сокращению числа уравнений для параметров распределения является подход, основанный на параметризации структуры распределения. Так, как обнаружено В.И. Синицыным, радикального сокращения числа уравнений для параметров распределения удается добиться для эллипсоидальной структуры распределения.

Для комплесной обработки информации в нелинейных СтС научного и промышленного назначения, функционирующих в экстремальных условиях и отказах оборудования, важное значение имеют методы анализа и синтеза нелинейных фильтров на основе априорной информации без использования текущей информации. Здесь наряду с фильтрами Пугачева, как показано в работах Пугачева B.C. и Синицына И.Н. Казакова И.Е. и Гладкова Д.И., О М. и Шина В.И., если вычислять коэффициенты эквивалентной линеаризации на основе отрезка пира параметризованной плотности, возможно создание эффективных квазилинейных фильтров для оперативной обработки информации. О М. и Шином В.И. разработан квазилинейный фильтр на основе моментной аппроксимации апостериорного распределения. Основываясь на работах по эллипсоидальной аппроксимации, продолжим названные исследования для существенно негауссовских нелинейных СтС, допускающих эллипсоидальную линеаризацию и статистическую наблюдаемость. При этом особое внимание уделим разработке алгоритмов и специального программного обеспечения в среде MATLAB для реализации стохастической информационной технологии обработки информации.

Целью диссертации является разработка методов, алгоритмов и программного обеспечения эллипсоидального анализа информации в нелинейных стохастических системах. Для достижения сформулированной цели ставятся следующие основные задачи:

1) Построить теорию анализа распределений по априорным данным в непрерывных (дискретных) негауссовских СтС на основе эллипсоидальной линеаризации.

2) Разработать теорию синтеза квазилинейных фильтров для оперативной обработки апостериорной информации в непрерывных (дискретных) гауссовских СтС на основе эллипсоидальной линеаризации.

3) Разработать алгоритмы и экспериментальное программное обеспечение для эллипсоидального анализа информации в нелинейных СтС.

В работе использованы современные методы теории вероятностей и математической статистики, стохастического анализа и теории стохастических дифференциальных уравнений, теории оптимального оценивания, вычислительные методы информатики.

В работе получены новые теоретические результаты в области статистической информатики, среди которых следует выделить следующие:

1) Получены уравнения методов эллипсоидальной линеаризации в непрерывных (дискретных) негауссовских СтС для анализа информации по априорным данным.

2) Выведены фильтрационные уравнения для эллипсоидальной обработки информации в непрерывных (дискретных) гауссовских СтС на основе апостериорных данных.

Практическая ценность работы состоит в том, что она является основой для создания современных информационных технологий статистического анализа и синтеза сложных информационно-измерительных и информационных систем. На основе результатов исследования разработаны:

1) Стохастические модели обработки информации в информационно-измерительных системах на основе интерферометра Фабри - Перо.

2) Стохастические модели флуктуаций чандлеровских колебаний полюса Земли.

Результаты диссертации реализованы в 2-х НИР ИПИ РАН (2005-2007 гг.) и в проекте 1.5 Программы ОИТВС РАН "Фундаментальные основы информационных технологий и систем" (2005-2007 гг.).

Результаты работы докладывались на следующих международных и всероссийских конференциях:

1. X Международная конференция МАИ «Системный анализ, управление и навигация», Москва, 2005;

2. XLIX Научная конференция МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук», Москва - Долгопрудный, 2006;

3. XLII Всероссийская конференция РУДН «Математика и информатика», Москва, 2006;

4. XLIII Всероссийская конференция РУДН «Оптические, математические и электронные методы обработки изображений и сигналов», Москва, 2007.

Список публикаций насчитывает 7 названий. Материалы также опубликованы в 2-х научно-технических отчётах ИПИ РАН.

Диссертация состоит из введения, шести разделов, заключения и приложений.

6.3. Выводы по разделу 6

1. Разработаны гауссовские и эллипсоидальные модели флуктуаций чандлеровских автоколебаний полюса Земли на основе априорных данных для нелинейного обобщенного релеевского механизма диссипации с учётом пятой полиномиальной модели диссипации.

2. Изучены основные вопросы статистической динамики автоколебаний полюса Земли для нелинейного обобщенного релеевского механизма диссипации с учётом пятой полиномиальной модели диссипации.

3. Разработаны квазилинейные стохастические модели флуктуаций полюса Земли на основе апостериорной информации. Оценена точность квазилинейных моделей с помощью моделей ОФКБ и фильтра второго порядка.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1) Метод эллипсоидальной линеаризации (МЭЛ) одно- и многомерных распределений в непрерывных и дискретных нелинейных негауссовских стохастических системах.

2) Теория синтеза квазилинейных фильтров на основе эллипсоидальной линеаризации для оперативной обработки апостериорной информации в непрерывных и дискретных гауссовских стохастических системах.

3) Стохастические модели обработки информации в измерительных системах на основе интерферометра Фабри - Перо.

4) Стохастические модели флуктуаций чандлеровских автоколебаний полюса Земли на основе априорных данных для обобщенного релеевского механизма диссипации с учётом трехчленной полиномиальной модели диссипации.

1. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Марков Ю.Г. Модель гравитационно-приливного механизма возбуждения колебаний полюса Земли // ДАН. 2005. Т.400. С.758-763.

2. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Марков Ю.Г., Рыхлова Л.В. Гравитационно-приливной механизм колебаний полюса Земли // Астроном, журнал. 2005.Т.82. №10. С.950-960.

3. Артемьев С.С. Численные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений. -Новосибирск: Изд. ВЦ СО РАН. 1993.

4. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний (3-е изд.). -М.: Физматлит. 1963. 412с.

5. Гладышев В.О., Морозов А.Н. Гетеродинный метод регистрации затухающих сигналов с использованием резонатора Фабри-Перо // Письма в ЖТФ. 1991. Т.17. вып.19. С.11-15.

6. Гладышев В.О., Морозов А.Н. Необратимые процессы в многомерном интерферометре Фабри-Перо. Егорьевск: ЕАТК ГА. 1996. 81с.

7. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Наука. 1971. 1108 с.

8. Дымков В.И., Синицын И.Н. Элементы концепции персональных систем обработки изображений // В кн.: "Системы и средства информатики". Ежегодник ИПИ РАН. -М.: Наука, вып.1, 1989. С.66-74.

9. Казаков И.Е., Мальчиков С.В. Приближенный построение фильтров Пугачева заданной сложности // Автом. и телемех., 1981. №12. С.48-55.

10. Ю.Корепанов Э.Р. Разработка и реализация информационной технологии синтеза фильтров Пугачева. Дис. на соиск, уч. ст. к.т.н., Москва, 1998.

11. Манк Г., Макдональд Н. Вращение Земли. М.: Мир. 1964. 384 с.

12. Марков Ю.Г., Дасаев P.P., Перепелкин В.В., Синицын И.Н., Синицын В.И.

13. Космические исследования. 2005. T.43. №1. С.54.

14. Марков Ю.Г., Перепёлкин В.В., Синицын И.Н., Корепанов Э.Р., Хоанг Тхо Ши. Амплитудно-частотный анализ чандлеровских колебаний полюса Земли // Космические исследования. 2007. Т.45. №3. С.52-68.

15. Н.Марков Ю.Г., Синицын И.Н. Распределение флуктуации движения полюса Земли // ДАН. 2003. Т.390. №3. С.343-346.

16. Марков Ю.Г., Синицын И.Н. Многомерные распределения флуктуации движения полюса Земли // ДАН. 2003. Т.391. №2. С. 194-198.

17. Марков Ю.Г., Синицын И.Н. Чандлеровские колебания движения полюса Земли // ДАН. 2006. Т.407. №4. С.485-488.

18. Марков Ю.Г., Синицын И.Н. Флуктуации чандлеровских колебаний полюса Земли // ДАН. 2006. Т.409. №1. С.48-51.

19. Марков Ю.Г., Синицын И.Н. Флуктуационно-диссипативная модель движения полюса деформируемой Земли // ДАН. 2002. Т.387. №4. С.482-486.

20. Марков Ю.Г., Синицын И.Н. Спектрально-корреляционные модели флуктуаций вращательного движения Земли // ДАН. 2003. Т.393. С.618-623.

21. Марков Ю.Г., Синицын И.Н. Спектрально-корреляционные и кинетические модели движения Земли // Астроном, журнал. 2004. Т.81. №2. С. 184-192.

22. Морозов А.Н. Необратимые процессы и броуновское движение: Физико-технические проблемы. М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 1997. 332 с.

23. Морозов А.Н. Теория броуновского движения: Метод многомерных функций распределения. М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана. 1993. 84 с.

24. Морозов А.Н., Гладышев В.О. Особенности отклика лазерной интерференционной гравитационной антенны на низкочастотные возмущения // Измерительная техника. 1990. №10. С.26-28.

25. Морозов А.Н., Гладышев В.О. К эффекту нелинейной генерации ВЧ оптического шума в резонаторе Фабри-Перо // Письма в ЖТФ. 1990. Т. 16. вып.5. С.57-60.

26. Myoungho О and V.I. Shin. Modified Quasilinear Filtering Method for Estimation of Processes in Multidimensional Nonlinear Stochastic Systems // Kybernetika. 1997. Volume 33. №4. P. 399-408.

27. Научный отчёт по теме "СтС СМА" методическое обеспечение анализа и синтеза фильтров для обработки информации на основе символьных методов эллипсоидального анализа ИПИ РАН, 2006.

28. Научный отчёт по теме "СтС СМА" программное обеспечение анализа и синтеза фильтров для обработки информации на основе символьных методов эллипсоидального анализа ИПИ РАН, 2007.

29. Панков А.Р. Рекуррентное оценивание траекторий динамических систем с помощью регрессионных нелинейных фильтров // Статистические методы в теории управления ДА: Тем. сб. научн. тр. МАИ. М.: Изд. МАИ. 1990. С.45-53.

30. Пугачев B.C. Обобщение теории условно оптимального оценивания и экстраполяции //Докл. АН СССР. 1982. Т.262. №3. С.535-538.

31. Пугачев B.C. Оценивание переменных и параметров в стохастических системах, описываемых дифференциальными уравнениями // Докл. АН СССР. 1978. Т.241. №5. С. 1031-1034.

32. Пугачев B.C. Оценивание состояния и параметров непрерывных нелинейных систем // Автом. и телемех., 1979. №6. С.63-79.

33. Пугачев B.C. Управление летными испытаниями летательных аппаратов как средство повышения их надежности // В кн.: Проблемы надежности летательных аппаратов. -М.: Машиностроение. 1985. С.25-37.

34. Пугачев B.C. Условно оптимальная фильтрация и экстраполяция непрерывных процессов // Автом. и телемех., 1984. №2. С.82-89.

35. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Направления развития математического обеспечения для исследования стохастических систем // В кн.: Информатика: проблемы, перспективы. М.: Наука. 1986. С.30-48.

36. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Прикладные методы анализа стохастических систем //' Вестник МАИ. 1994. Т. 1. № 1. С.39-47.

37. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Современное состояние и перспективы развития математического обеспечения для исследования стохастических систем // Тез. докл. Всесоюзн. совещ. "Проблемы управления-89". Ташкент. 1989. Т. 1. С.504-505.

38. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. М.: Наука. 2-е изд. 1990 Англ. пер.: Stochastic Differential Systems. Analysis and Filtering. - Chichester, New York: John Wiley, 1987.

39. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические системы. Теория и программное обеспечение // Труды юбилейной сессии отделения информатики, вычислительной техники и автоматизации РАН. М.: Изд. ОИТВС РАН. 1993. Т.1. С.75-93.

40. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Теория стохастических систем. -М.: Изд. Логос. 2000 (1-е изд.), 2004 (2-е изд.), Англ. пер.: Stochastic Systems. Theory and Applications. Singapore, World Scientific, 2001.

41. Пугачев B.C., Синицын И.Н., Шин В.И. Проблемы анализа и условно оптимальной фильтрации в реальном масштабе времени процессов в нелинейных стохастических системах // Автом. и телемех., 1987. №12. С.3-24.

42. Руденко Е.А. Адаптивный дискретный нелинейный фильтр для реализации на борту ЛА // Управление и навигация ЛА в условиях параметрической неопределенности: Тем. сб. науч. тр. МАИ. М.: Изд. МАИ. 1991. С.23-30.

43. Руденко Е.А. Оптимальная структура дискретных нелинейных фильтров произвольного порядка // Статистические методы в теории управления ЛА: Тем. сб. науч. тр. МАИ. М.: Изд. МАИ. 1990. С.53-60.

44. Синицын В.И. Методы эллипсоидальной аппроксимации распределений в задачах нелинейного анализа и оперативной обработки информации в стохастических системах. Дис. на соиск. уч. ст. д. физ. -мат. И., Москва, 2006.

45. Синицын В.И. Эллипсоидальная аппроксимация распределений // в Препринте ИЛИ АН СССР "Уравнения, определяющие распределения в стохастических дифференциальных системах". Эллипсоидальная аппроксимация распределений. М.: ИЛИ АН СССР. 1990. С. 13-55.

46. Синицын В.И. Нахождение многомерных распределений процесса, определяемого стохастическим дифференциальным уравнением методом эллипсоидальной аппроксимации // Докл. АН СССР. 1991. Т.320. №2. С.280—283.

47. Синицын В.И. Метод эллипсоидальной аппроксимации в задачах анализа и фильтрации процессов в стохастических системах // Системы и средства информатики. Вып.2. -М.: Наука. 1992. С.154-160.

48. Синицын В.И. Теория эллипсоидальной аппроксимации распределений в стохастических дифференциальных системах // Системы и средства информатики. Вып.Ю. -М.: Наука. 2000. С.116-127.

49. Синицын И.Н. Методы статистической линеаризации (Обзор) // Автоматика и телемеханика. 1974. №5. С.74-94.

50. Синицын И.Н., Синицын В.И. Эллипсоидальный анализ распределений в стохастических системах его применение // Наукоемкие технологии. 2006. №7-8. С.32-36.

51. Синицын И.Н. Из опыта преподавания статистических основ информации в технических университетах // Системы и средства информатики: Вып. 8. -М.: Наука. Физмалит. 1996. С.68-73.

52. Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачева. М.: Изд. Логос. 2006.

53. Синицын И.Н., Мощук Н.К., Шин В.И. Общая теория условно оптимальной фильтрации процессов в стохастических дифференциальных системах // В кн.: "Системы и средства информатики". Ежегодник ИПИ РАН. -М.: Наука. 1995. вып.7. С.75-85.

54. Синицын И.Н., Шин В.И. Условно оптимальная фильтрация процессов в стохастических дифференциальных системах по сложным статистическим критериям //Докл. АН СССР. 1991. Т.320. №4. С.814-817.

55. Синицын И.Н., Шин В.И., Корепанов Э.Р. Теория условно-оптимальной фильтрации стохастических процессов по сложным статистическим критериям // В кн.: "Системы и средства информатики". Ежегодник ИПИ РАН. -М.: Наука. 1993. вып.5. С. 106-120.

56. Синицын И.Н. Стохастические модели флуктуаций движения Земли в условиях пауссоновских возмущений // Системы и средства информатики: Спец.вып. Геоинформационные технологии. М.: ИПИ РАН. 2004. С.39-55.

57. Синицын И.Н., Синицын В.И., Чумин Ю.В., Хоанг Тхо Ши. Аналитическое моделирование выбросов в нелинейных стохастических системах, допускающих эллипсоидальную аппроксимацию распределений

58. Тезисы докладов 10-й международной конференции "Системный анализ, управление и навигация". -М.: Изд. МАИ. 2005. С. 149.

59. Синицын И.Н., Корепанов Э.Р., Белоусов В.В., Хоанг Тхо Ши. Методы эквивалентной линеаризации нелинейных стохастических систем высокой добротности // Тезисы докладов XLII всероссийской конференции "Математика и информатика". М.: Изд. РУДН. 2006. С. 18.

60. Синицын И.Н., Синицын В.И., Хоанг Тхо Ши. Эллипсоидальные квазилинейные фильтры для оперативной обработки информации в стохастических системах // Наукоемкие технологии. 2007 (в печати).

61. IERS Annual Reports, 2000/2002/ Frankfurt am Mein: BKG. 2001/2003.