автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Метод эллипсоидальной аппроксимации распределений в задачах анализа процессов в стохастических системах

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РФ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

На правах рукописи

СИНЩЫН Владимир Игоревич

МЕТОД ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОЙ АППРОКСИМАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ В ЗАДАЧАХ АНАЛИЗА ПРОЦЕССОВ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

V

\

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной ( техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1994

.....<а

Работа выполнена на кафедре теории вероятностей и математической статистики Московского авиационного института.

Научный руководитель - доктор технических наук

профессор СОТСКИЙ Н.М.

Официальные оппоненты - доктор технических наук

профессор КАЗАКОВ И.Е.

доктор физико-математических наук профессор СКУБАЧЕВСКИЙ А.Л.

Ведущая организация - Институт проблем управления РАН

Защита состоится 1994 года ег^чйсов

на заседании специализированного Совета ССД 053.04.11 Московского авиационного института по адресу: 125871, Москва, ГСП, Волоколамское шоссе,4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского авиационного института.

Автореферат разослан 1994 года>

Ученый секретарь специализированного совета ^ ^ " А.Ю.Аржаненкс кандидат физико-математических наук

Актуальность работы. Теория стохастических систем располагает обширным арсеналом эффективных методов для исследования стохастических дифференциальных систем. Однако применение многих методов этой теории резко тормозится практически полным отсутствием доступного для инженера и исследователя программного обеспечения, а также нехваткой ресурсов (оперативной памяти, быстродействия) современных ПЭВМ,особенно в задачах большой размерности.А ведь именно большая размерность характерна для математических моделей различных систем авиационно-космической техники, настоятельно требующих всестороннего исследования. В результате теория стохастических систем широко применяется лишь к задачам небольшой размерности и к упрощенным моделям сложных систем.

Одной из центральных задач теории стохастических дифференциальных систем является проблема анализа.

Как известно, распределение случайной функции ХС'У, Ье Т9 со значениями в некотором измеримом пространстве ¿С в пространстве всех функций времени £ £ Т , отображающих Т в X , однозначно определяется последовательностью ее согласованных конечномерных распределений (теорема Колмогорова).Таким образом, проблема полного статистического анализа системы состоит в определении всех конечномерных распределений вектора состояния системы, рассматриваемого как случайная функция времени. В большинстве приложений оказывается достаточным знать только одномерное распределение.В этом случае задача анализа сводится к определению только одномерного распределения вектора состояния. Тем не менее для ряда важных практических задач знание других конечномерных распределений необходимо,например,для решения задач экстраполяции случайных процессов и нахождения вероятностей попадания реализации случайного процесса в фиксированные области.\ Поэтому задача определения одномерных и многомерных распределений вектора состояния стохастической дифференциальной системы является центральной задачей статистического анализа.

Для решения задачи анализа стохастических дифференциальных систем можно применять три различных подхода.

■ .....

Первый из них состоит в непосредственном составлении и интегрировании уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова (ФПК) и Кол-могорова-Феллера (КФ) для плотностей или уравнения Пугачева для характеристической функции.Данный подход позволил найти точные решения для ряда простых задач,например,для любых линейных систем,а также для некоторых классов нелинейных систем.В случае многомерных нелинейных стохастических дифференциальных систем единственным путем решения этих уравнений является численное интегрирование,которое при большой размерности вектора состояния в настоящее время практически нереализуемо.Однако работы в данной области ведутся и направлены в основном на совершенствование и создание новых численных алгоритмов решения уравнений ФПК и КФ.

Второй подход состоит в использовании метода статистического моделирования (метода Монте-Карло).В случае стохастических дифференциальных систем он сводится к численному интегрированию системы исходных стохастических дифференциальных уравнений с моделированием приращений винеровского процесса и пуассоновских процессов на каждом шаге численного интегрирования,а также к моделированию случайных начальных условий и к последующей статистической обработке полученных реализаций.К недостаткам метода можно отнести необходимость проведения моделирования большого количества реализаций для получения приемлемой точности и сильный рост объемов вычислительных экспериментов с увеличением размерности самого вектора состояния. Широкое использование этого метода обусловлено небольшой трудоемкостью исследования системы и простотой его программной реализации.Кроме того, метод статистического моделирования позволяет включать в процесс моделирования некоторые реальные элементы моделируемой системы или их действующие макеты,а также людей, участвующих в работе системы.

Третий подход состоит в применении аналитических методов для приближенного решения уравнений,определяющих одномерные и конечномерные распределения.Известные методы данного класса (методы нормальной аппроксимации и статистической линеаризации, ме-

тоды моментов, семиинвариантов, модифицированные моментно-'семи-инвариантные методы, методы, основанные на ортогональных разложениях плотностей вероятности и др.) основаны на параметризации распределений и позволяют получать по исходной системе стохастических дифференциальных уравнений приближенную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для необходимых параметров распределения. Основной трудностью практического применения упомянутых методов, особенно для многомерных систем, является чрезвычайно быстрый рост числа уравнений для моментов, семиинвариантов или коэффициентов отрезков ортогональных разложений плотностей с увеличением размерности вектора состояния. Сокращение числа уравнений для параметров распределения возможно только при дополнительных ограничениях на структуру распределения. Как удалось обнаружить автору, наиболее радикального сокращения числа уравнений для параметров распределений удается добиться для эллипсоидальной структуры распределения. ^ -

Дели и задачи работы. Целью работы является создание нойр-го эффективного для реализации на ПЭВМ приближенного метода анализа нелинейных стохастических дифференциальных систем на основе аппроксимации одномерных и конечномерных распределений распределениями эллипсоидальной структуры.

Для достижения сформулированной цели ставятся следующее задачи:

1.Построить ортогональную систему полиномов для представления неизвестной плотности разложением в ряд по этой системе. Сформулировать и доказать набор теорем о свойствах системы полиномов.

2.На основе эллипсоидальной аппроксимации распределения и \ применения разложений по построенной системе полиномов вывести уравнения для параметров одномерного и конечномерных распределений. '

3. Разработать алгоритмическое обеспечение для автоматизированного решения на ПЭВМ разработанным методом задачи статисти-

из»»

ческого анализа случайных процессов в стохастических дифференциальных системах с применением-стандартных математических библиотек для научно-технических расчетов.

4. Провести теоретическое и экспериментальное исследование ряда стохастических механических систем методом эллипсоидальной аппроксимации для оценки точности метода.

Методы исследования. В работе использованы современные методы теории вероятностей, теории случайных процессов, теории стохастических дифференциальных уравнений, статистической теории нелинейных колебаний и теории гироскопов, вычислительные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений,а также методы математического моделирования на ПЭВМ.

Научная новизна. Введено понятие эллипсоидальной аппроксимации - аппроксимации неизвестных одномерной и конечномерных плотностей вероятностей вектора состояния стохастической дифференциальной системы плотностями, имеющими эллипсоидальную структуру.

Для формирования эллипсоидальных аппроксимаций плотностей вероятностей специально строится система полиномов,зависящих от квадратичной формы.ортогональная по отношению к гамма-распределению и обладающая известными необходимыми свойствами. На базе этих свойств предложена процедура построения согласованной последовательности аппроксимирующих плотностей. Приведены разложения плотностей по созданной системе полиномов, исследованы воп-' росы сходимости таких разложений.

Разработаны методики расчета одномерной и конечномерной плотностей вектора состояния нелинейной стохастической системы, основанные на эллипсоидальной аппроксимации распределений.

Научная и практическая ценность.Разработано алгоритмическое и программное обеспечение метода эллипсоидальной аппроксимации одномерных и других конечномерных распределений процессов в не-

линейных стохастических дифференциальных системах с применением программ библиотеки NALIB научно-технических расчетов на ПЭВМ. Дано применение метода эллипсоидальной аппроксимации в задачах нелинейной теории колебаний, динамики твердого тела и теории гироскопов. Проведена оценка точности полученных результатов.

Аппробация работы.Материалы диссертации докладывались и обсуждались на IY Всесоюзной научно-технической конференции "Перспективные методы анализа и планирования экспериментов при исследовании случайных процессов и полей (Петрозаводск,1991), Советско-Британском коллоквиуме по проблемам компьютерного моделирования в системе образования (Москва,1990), а также на семинарах в Московском авиационном институте (Москва,1989-1993),Институте проблем информатики РАН (Москва,1989-1993),Международном институте прикладного системного анализа (Австрия,1991).

Изложение материалов,лежащих в основе Глав 2 и 3 работы, включено во второе издание книги Пугачева B.C..Синицына и:н. Стохастические дифференциальные системы.Анализ и фильтрация; 1990,служащей базовым учебником по курсам "Случайные процессы? и "Стохастические дифференциальные уравнения" факультета "Прикладная математика" Московского авиационного института.

Работа,содержащая основы математического обеспечения метода эллипсоидальной аппроксимации одномерных плотностей была удостоена диплома лауреата Московского городского конкурса на лучшую научную работу студентов по естественным,техническим и гуманитарным наукам по разделу "Математические науки" (1989).

Аппробация диссертации в целом проведена на кафедре "Теория вероятностей и математическая статистика" Московского авиационного института. \

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 8 печатных работ. ' ~ .

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения,

пяти глав и Заключения. Содержание работы изложено на 237 страницах машинописного текста, иллюстрировано 4 рисунками и 3 таблицами. Список использованных источников составляет 119 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении дается обоснование актуальности темы работы и излагается краткое содержание диссертации. Также приводится общая классификация методов решения задачи анализа стохастической дифференциальной системы.

В первой главе дана постановка задачи анализа процессов,определяемых стохастическими дифференциальными уравнениями,и изложены известные методы ее решения.Приводится аналитический обзор работ в этой области,дается классификация приближенных методов анализа и соответствующего программного обеспечения,выявляются преимущества и недостатки существующих методов анализа и обосновывается необходимость построения нового приближенного метода.

Во второй главе предлагается метод аппроксимации неизвестной плотности вероятности случайного вектора плотностью,имеющей эллипсоидальную структуру.

В разделе 2.1 предложено для нахождения эллипсоидальной' аппроксимации плотности вероятности Ъ -мерного случайного вектора _ у

?£>/ » х:

пользоваться конечным отрезком разложения по биортонормаль-мальной системе полиномов-[/^О)]• .зависящих только от квадратичной формы

весом для которых служит некоторая плотность вероятности эллипсоидальной структуры кгС^

Индексы У и у полиномов означают их степени относительно переменной и- .

В разделе 2.2 доказано, что при выборе нормального распределения в качестве эталонного распределения №(и) ,за базовую ортогональную системы полиномов мозцго взять систему полиномов

\

ортогональную по отношению к гамма-распределению

При

= 1 у 1Г(ы^1)_ при ^ . С6) .' кГС^)

В дальнейшей работе автор обнаружил, что построенная им система полиномов{ при каздом сС с точностью до масшта-

бов переменных и коэффициентов совпадает с соответствующей системой обобщенных полиномов Лагерра С^31 •

В разделе 2.3 доказаны теореш,устанавливающие рекуррент-

ные соотношения, а также интегральную и дифференциальную зависимости между полиномами различными значениями параметра (< .Попутно обнаружены некоторые новые соотношения для неполной гамма-функции.

В разделах 2.4-2.5 свойства полиномов из предыдущего раздела сформулированы для частного случая гамма-распределения -распределения хи-квадрат. Показано, что для обеспечения выполнения условия биортонормальности полиномое у^у (¿0,

С")}

в дальнейшем удобно выбрать

Ко/М---- £ (и) . (7 \

Также доказана теорема, устанавливающая интегральное соотношение между полиномами, ортогональными по отношению к хи-квадрат распределениям с разными числами степеней свободы.

В разделах 2.6 - 2.7 рассмотрены разложения плотностей неотрицательных случайных величин и плотностей случайных векторов, имеющих эллипсоидальную структуру, по полиномам ^ъу^-Доказаны теоремы о сходимости данных разложений в пространстве

.Кроме того, доказана слабая сходимость вероятностных мер, порожденных конечными отрезками разложений плотностей, к вероятностной мере, порожденной самой плотностью.

В разделе 2.8 предложен приближенный метод согласования■ эллипсоидальных аппроксимаций распределений в пространстве % г и его подпространствах, основанный на доказанной в разделе 2.5 теореме.

В разделе 2.9 получены формулы для нахождения моментов любого порядка случайного вектора при эллипсоидальной аппроксима-

»

ции его плотности.

, В разделе 2.10 проведена оценка точности эллипсоидальной аппроксимации известного распределения случайных векторных ве-

- и -

личин по двум критериям: вероятностям попадания в типовые множества и значениям моментов, вычисленных с помощью точного и аппроксимирующего распределений.

В разделе 2.11 разработан итерационный алгоритм для нахождения эллипсоида, вероятность попадания в который задана.

Третья глава посвящена нахождению одномерной плотности случайного процесса,определяемого стохастическим дифференциальным уравнением, методом эллипсоидальной аппроксимации.

Раздел 3.1 содержит постановку задачи эллипсоидальной аппроксимации для одномерного распределения процессов в стохастических дифференциальных системах, описываемыми стохастическими дифференциальными уравнениями Ито общего вида

\

1

где Л (/) - вектор состояния системы, Z ; л— заданная векторная р -мерная функция; заданная

рхк матричная функция; ^ = - заданная векторная

/Ь - мерная (функция; -М- -мерный винеровсклй процесс;

центрированная пуассоновская мера, независимая от . Интеграл в (8) в общем случае берется по всему пространствус выколотым началом координат. Предполагается, что начальное значение процесса не зависит от приращений процесса й^) и значений пуассоновйкой меры на любом временном интервале и любых мно- \

жествах А .Ограничимся рассмотрением случая, когда случайный процесс % СР \ марковский и представляет собой сильное решение уравнений (8).

Применим метод эллипсоидальной аппроксимации для нахождения одномерной плотности вероятности^ /»-мерного сду-

1.МЧТ»

чайного процесса 2 (£ ) , определяемого стохастическим дифференциальным уравнением Иго (8). 'Предположим, что нам известно распределение начального значения 4)СЛУчайного процесса

£ (Ь). Следуя идее метода эллипсоидальной аппроксимации,представим одномерную плотность в виде отрезка ортогонального разложения (1) по полиномам ^ ¡р^ (и.) ^ ^ ^ (¿о) ^ .определяемым формулами (7) и зависящим от квадратичной формы (3), где ль и К-С'1 - математическое ожидание и ковариационная матрица случайного процесса 2(¿у.

=

N

1 ®>

В последнем равенстве Ц'О*-)- нормальная плотность /> -мерного случайного вектора, выбираемая в соответствии с требованием совпадения вторых моментов у нормального и аппроксимируемого распределений. Оптимальные коэффициенты разложения С-^-у определяются соотношением (2). Таким образом, решение задачи нахождения одномерной плотности вероятности методом эллипсоидальной аппроксимации распределений сводится к нахождению математического ожидания и ковариационной матрицы вектора состояния системы, а также коэффициентов ^ разложения (9).

В разделах 3.<; - 3.3 с помощью обобщенной формулы Ито получена система обыкновенных дифференциальных уравнений для математического ожидания, ковариационной матрицы и коэффициентов разложения

В разделе 3.4 дано развитие метода эллипсоидальной аппроксимации одномерного распределения случайного процесса на случай вырожденного начального распределения вектора состояния системы.

В разделах 3.6 - 3.7 разработаны методы вычисления типовых интегралов от произведений полиномов ( и их производных) на наборы, составленные из разных степеней координат вектора состояния. Они сводят интегралы, возникающие в уравнениях для параметров распределения, к нахождению линейных комбинаций,составлен-

^Щ(и) I

ных из начальных и центральных моментов различного порядка базового для эллипсоидальной аппроксимации нормального распределения. Так же выведены формулы для нахождения интегралов,содержащих дополнительно еще и суммы произведений элементов матрицы, обратной к ковариационной,на центрированные координаты век---тора состояния системы.

В разделе 3.8 выведены формулы для выражений,содержащих наряду с полиномами.их производными и полиномиальными нелиней-ностями,также произвольные нелинейные функции от линейных комбинаций координат вектора состояния.

В разделе 3.9 разработана методика расчета одномерной плотности изучаемых процессов методом эллипсоидальной аппроксимации с применением программ библиотеки "NALIB" на ПЭВМ.

В четвертой главе решена задача построения согласованной системы эллипсоидальных аппроксимаций для последовательности конечномерных плотностей процесса,определяемого стохастическим дифференциальным уравнением (8). \

¡ i

Пятая глава посвящена применению метода эллипсоидальной аппроксимации в задачах нелинейной теории колебаний,динамики твердого тела и теории гироскопов.

В разделе 5.1 показано, что анализ негауссовых колебаний осциллятора Дюффинга под действием гармонической и случайной широкополосной возбуждающей силы методом эллипсоидальной аппроксимации с точностью до моментов 4-ого порядка, приводит к алгоритмам более точным, чем метод нормальной аппроксимации,и более простым,чем методы,основанные на осреднении и уравнении ФПК.Для режима стационарных колебаний дано сравнение точности решения,полученного методом эллипсоидальной аппроксимации, с точным гиббсовским распределением. ^

Проведенное в разделе 5.2 исследование моментов 2,4.6 и 8 порядков негауссовых колебаний и дрейфа тела вокруг неподвижной оси в среде с флуктуирующим коэффициентом вязкого трения методом эллипсоидальной аппроксимации показывает, что алгоритмы метода эллипсоидальной аппроксимации более просты и точны, по сравнению с алгоритмами модифицированных моментно-семиинвариан-

тных методов. Проведены вычислительные эксперименты по оценке точности решения этой задачи методом эллипсоидальной аппроксимации. Как видно из Рис. 5.1, точность метода эллипсоидальной аппроксимации при вычислении начального момента четвертого порядка составляет около 2 % по сравнению с точным решением.

В разделе 5.3 изучены негауссовы колебания гироскопического интегратора линейных ускорений (ГИЛУ) в условиях стохастического спада перегрузки летательного аппарата методом эллипсоидальной аппроксимации с точностью до моментов 4-ого порядка включительно. Проведено сравнение точности предлагаемого в работе метода с методом нормальной аппроксимации и статистическим моделированием (Рис.5.4). Разработано и внедрено в ИЛИ РАН экспериментальное программное обеспечение для ПЭВМ "СтС-ГИЛУ", предназначенное для быстрого анализа и моделирования динамической точности ГИЛУ.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1.Предложен принцип аппроксимации неизвестных плотностей случайных векторных величин плотностями,имеющими эллипсоидальную структуру.Изучены свойства таких плотностей.

2.Построены системы полиномов,ортогональных по отношению к гамма и хи-квадрат распределениям.Изучены основные свойства этих полиномов.Приведены разложения плотностей по этим системам полиномов.Исследованы вопросы сходимости таких разложений. Предложен эффективный метод приближенного согласования разложений плотностей.

3.Проведена оценка точности эллипсоидальной аппроксимации известного распределения случайных векторных величин по двум критериям: вероятностям попадания в типовые множества и значениям моментов,вычисленных с помощью точного и аппроксимирующего распределений.

4.Для векторного случайного процесса.определяемого стохастическим дифференциальным уравнением Ито с ^инеровскими и пуассо-новскими составляющими шумов,сформулирован принцип аппроксимации неизвестной одномерной плотности плотностью, имеющей эллипсоидальную структуру.Получена система обыкновенных дифферен-

Рис. 5.1. Точность метода эллипсоидальной аппроксимации при вычислении начального момента 4-го порядка <14

циальных уравнений для параметров эллипсоидальной аппроксимации одномерного распределения - математического ожидания, ковариационной матрицы и коэффициентов разложения.

5.Сформулирован принцип аппроксимации неизвестных конечномерных плотностей векторного случайного процесса,определяемого стохастическим дифференциальным уравнением Ито с винеровскими и пуассоновскими составляющими шумов,согласованной последовательностью плотностей,имеющих эллипсоидальную структуру. Получены обыкновенные дифференциальные уравнения,определяющие коэффициенты в разложениях аппроксимирующих конечномерных плотностей и ковариационную функцию в случае двумерного распределения.

6.Разработаны методы вычисления типовых для метода эллипсоидальной аппроксимации интегралов от полиномиальных нелиней-ностей и произвольных нелинейных функций от линейных комбинаций координат вектора состояния.

7.Дано развитие метода эллипсоидальной аппроксимации одномерного распределения случайного процесса на случай вырожденного начального распределения вектора состояния системы.

8.Разработан приближенный метод определения одномерной и конечномерных плотностей стационарного процесса в нелинейной стохастической системе.

9.Разработала- методика расчета одномерной и конечномерных плотностей изучаемых процессов методом эллипсоидальной аппроксимации с применением программ библиотеки "NALIB" на ПЭВМ.

10.Для трех нелинейных задач статистической динамики (осциллятор Дюффинга, твердое тело с неподвижной осью, гироскопический интегратор линейных ускорений) разработано прикладное программное обеспечение метода эллипсоидальной аппроксимации и проведены обширные вычислительные эксперименты. Показано, что метод эллипсоидальной аппроксимации обеспечивает высокую точность (2-4 X) при незначительном росте числа уравнений для параметров распределения.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Синицын В.И. Новый приближенный метод нахождения одномерного распределения векторного процесса,определяемого сто-

хаотическим дифференциальным уравнением // Докл. АН СССР, 1989J.309.No 3, С.541-544.

2. Синицын В.И. Эллипсоидальная аппроксимация распределений. В препр. ИЛИ АН СССР.( ред. В.С.Пугачев,И.Н.Синицын.Урав-' нения,определяющие распределения в стохастических дифференциальных системах.Эллипсоидальная аппроксимация распределений.- М.:,1990,С.13-55.

3. Синицын В.И.Нахождение многомерных распределений процесса, определяемого стохастическим дифференциальным уравнением, методом эллипсоидальной аппроксимации//Докл.АН СССР,1991, Т. 320, N0 2, С. 280-283.

4. Пугачев B.C., Синицын И.Н., Синицын В.И., Чередниченко A.A., Шин В.И. Математическое обеспечение для анализа многомерных нелинейных стохастических систем // Автом. и телемех.-1991. -No 1.-С.87-97.

5. Синицын И.Н., Шин В.И., Мощук Н.К., Хатунцев А.П., Огнева О.С.,Синицын В.И. Новые методы анализа стохастических систем и их применение.Тез. докл. IV Всесоюзн.научн.- техн. конф. "Перспективные методы анализа и планирования экспериментов при исследовании случайных полей и процессов." Петрозаводск, сент. 1991.-М.: МЭИ, С.82-83. 'i

6. Синицын И.Н., Шин В.И..Хатунцев А.П., Маишева Е.Ю., Кор|-панов Э.Р..Синицын В.И. Программные средства для анализами моделирования случайных процессов, проектирования фильтров и идентификаторов на ПЭВМ.Тез. докл.IV Всесоюзн. научн.-техн. конф. "Перспективные методы анализа и планирования экспериментов при исследовании случайных полей и процессов." Петрозаводск,сент. 1991.-М.: МЭИ, С.111-112.

7. Синицын И.Н., Шин В.И..Хатунцев А.П., Маишева Е.Ю., Коре-пановЭ.Р., Мощук Н.К., Синицын В.И. Интеллектуализирован-ное обучающее программное обеспечение для анализа и моделирования процессов в динамических системах со случайными возмущениями на ПЭВМ. В кн. Компьютерное моделирование в системе образования.Препринт ММ АН СССР.-М.,1991,С.97-117. \

8. Синицын В.И. Метод эллипсоидальной аппроксимации в задачах анализа и фильтрации процессов в стохастических системах. В кн. Системы и средства информатики.Ежегодник ИЛИ РАН.Вып. 2. -М.: Наука, 1992, С.154-160.