автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Локально-оптимальное управление в условиях неопределенности

ВВЕДЕНИЕ.

1. Постановка задачи.

2. Состояние проблемы.

3. Краткая характеристика работы.

Глава 1. Синтез минимаксного управления при локальном критерии качества непрерывными системами в условиях неопределенности.

1.1. Параметрический синтез локально-оптимального управления в неопределенных системах при полной и точной информации о состоянии.11.

1.2. Параметрический синтез ЛОУ в условиях неопределенности при неполном точном измерении состояния.

1.3. Параметрический синтез локально-оптимального управления при неполном неточном измерении.

1.4. Параметрический синтез кусочно-постоянного локально-оптимального управления.

1.5. Параметрический синтез ЛОУ в условиях неопределенности при геометрических ограничениях на возмущения.

1.6. Параметрический синтез кусочно-постоянного ЛОУ в условиях неопределенности при геометрических ограничениях на возмущения.

Глава 2. Фильтрация и синтез локально-оптимального управления дискретными системами в условиях неопределенности.

2.1. Постановка задачи оценивания.

2.2. Характеризация оценок.

2.3. Построение рекуррентных формул оценивания.

2.4. Локально-оптимальное управление в условиях неопределенности (теорема разделения).

2.5. Параметрический синтез ЛОУ дискретными системами при интегральных ограничениях на возмущения при неполном точном измерении.

Глава 3. Синтез управления угловым движением упругого КА относительно его продольной оси.

1. Постановка задачи.

Одной из характерных особенностей современной эпохи является все возрастающее внимание к проблемам управления. Как никогда прежде, ощущается потребность в благотворном и эффективном использовании природных богатств, огромных людских ресурсов, материальных и технических средств. Говоря о наиболее приметных явлениях научно-технического прогресса в XX веке, обычно называют расщепление атома, освоение космоса, создание электронной вычислительной техники. На этом фоне теория управления выглядит пока менее эффектно, хотя в развитии современной цивилизации она уже играет выдающуюся роль, и есть основания думать, что в будущем эта роль станет еще значительней". Такими словами начинают предисловие авторы учебника Щ. Двадцать с лишним лет, прошедшие после его выхода полностью подтверждают их прогноз.

В области авиационной и космической техники появление новых поколений летательных аппаратов (ЛА) повышает требования к точности и надежности управления движением в условиях недетерминированности возмущений, ошибок навигационных измерений и реализаций управления. Резервом повышения этих качеств в данных условиях выступает оптимизация процессов наблюдения и управления ЛА в условиях неопределенности.

Эти задачи стали рассматриваться почти одновременно с классической теорией. Неизвестные входные воздействия, начальные данные и параметры системы моделировались случайными процессами с заранее известными характеристиками. Результаты исследований составили теорию стохастического управления [2-7] и теорию стохастической фильтрации [8-13].

Однако весьма распространенной является такая ситуация, когда априорные данные о неизвестных параметрах системы минимальны: какое-либо статистическое их описание отсутствует, а соответствующая информация ограничивается заданием лишь допустимых областей изменения неизвестных величин. В рассматриваемой ситуации говорят, что характер изменения неизвестных величин является неопределенным. Изучение ситуаций, характеризующихся названными информационными ограничениями, приводит к теории управления в условиях неопределенности [14-17], [29].

2. Состояние проблемы.

Рассмотрим некоторые достижения в этой области. В [18] проблемы живучести для некоторых классов линейных моделей управления в условиях неопределенности сводится к задаче линейного программирования. В [19] вводится и анализируется понятие «нечеткой» орбиты космического аппарата. Такое представление удобно в условиях задания части параметров модели или среды движения качественным образом. Подход к определению элементов орбит и параметров движения основан на преобразовании нечетких чисел, характеризующих качественные переменные, в соответствии с видом операторов кинематических уравнений. В [20] установлена некоторая эффективная оценка изнутри множества достижимости нелинейного управляемого объекта с помощью теоремы о накрывании нелинейным отображением. В [21 ] рассматривается задача управления линейной динамической системой в условиях неопределенности. Предполагается, что уравнение системы содержит неизвестные и, возможно, нестационарные параметры, принимающие значения в заданной эллипсоидальной области. Показано, что множество ро-бастных законов управления, которые обеспечивают стабилизацию системы при всех допустимых значениях неизвестных параметров, а также необходимые и достаточные условия их существования, определяется в терминах двухпараметрического семейства матричных неравенств. Установлено, что робастным законам управления, в частности, является минимаксный закон управления в определенной дифференциальной игре, уравнения которой не содержат неизвестных параметров, а целевой функционал принадлежит некоторому классу. Получены условия, выраженные непосредственно в терминах параметров линейной обратной связи и не требующие решения указанных матричных неравенств, при выполнении которых данная обратная связь соответствует робастному закону управления.

В [22] рассматривается приближенное конструирование множеств достижимости управляемых систем с квадратичными интегральными ограничениями на управления. Предполагается, что управляемая система нелинейна относительно фазовой переменной, линейна по переменной, описывающей управляющее воздействие. Аппроксимация множеств достижимости управляемой системы осуществляется в несколько этапов. Последний класс управлений порождает конечное число траекторий системы. Далее траектории системы заменяются ломаными Эйлера. Получена оценка точности хаусдорфова расстояния между множеством достижимости и приближенно построенным множеством.

В [23] производится оценка величины горизонта планирования для систем управления, функционирующих в условиях неопределенности. Осуществляется локальная оптимизация длительности цикла управления. В [25] рассматриваются задачи гарантированной идентификации билинейных систем. Предлагаются процедуры построения информационных функций, позволяющие получить решение рассматриваемых задач в виде информационных псевдоэллипсоидальных множеств. Формулируются условия перехода псевдоэллипсоидальных оценок в эллипсоид. Авторами устанавливаются критические уровни возмущений при достижении которых информационные множества билинейных систем теряют черты, присущие линейным системам, и начинают обладать свойствами, характерными для нелинейных систем.

В [26] рассматривается задача синтеза линейных нестационарных систем управления по выходу при неопределенных начальных условиях и внешних воздействиях с помощью построения матричной системы сравнения. Устанавливается связь предложенных законов управления с законами коррекции аппроксимирующих эллипсоидов. В [27] при достаточно общих предположениях относительно некоторой нелинейной управляемой системы получена эллипсоидальная оценка его множества достижимости. В [28] рассматривается дифференциальное включение с запаздывающим аргументом. Получены условия, при которых семейство решений этого включения является выпуклым множеством в пространстве непрерывных функций. Выпуклость семейства решений является основой для доказательства необходимого условия оптимальности в форме принципа максимума. В [30] получена оценка множества достижимости управляемого математического маятника изнутри.

Для задачи оптимального управления пучком траекторий с интегральным функционалом качества построена компактная формула второй вариации приращения функционала качества, из которой получены необходимые условия оптимальности [31-32]. В [33] получено уравнение в частных производных, описывающее эволюцию границы множества достижимости. При решении этого уравнения объем необходимых вычислительных ресурсов быстро увеличивается с ростом размерности, поэтому целесообразно применять оценки множеств достижимости произвольной формы эволюционным семейством множеств канонического вида. В [34] рассматривается линейная динамическая система, эволюция которой описывается дифференциальными уравнениями. Предполагается, что матрица системы подвержена возмущениям, которые содержатся в ограниченном выпуклом множестве, известном в каждый момент времени. Построено уравнение, описывающее эволюцию семейства наилучших выпуклых оценок множества достижимости рассматриваемой системы.

В монографии [35] предложены и исследованы новые типы обратной связи для управления в условиях неопределенности. В [36] рассматривается линейная дифференциальная система, матрица которой подвержена ограниченным возмущениям. Построены уравнения, описывающие эволюцию оптимальных эллипсоидальных оценок множества достижимости. В работе [37] предлагается новый класс алгоритмов эллипсоидального оценивания состояния динамических объектов, векторы выходов которых измеряются с аддитивными помехами. Компоненты векторов помех полагаются ограниченными по модулю константой. В отличие от известных, предлагаемые алгоритмы являются робастными (нечувствительными) к нарушению априорных предположений о свойствах неопределенностей в моделях объектов.

В [38] решена задача наблюдения состояний линейных динамических систем методов эллипсоидов с неполным шагом в дискретном и непрерывном времени. Рассмотрены два варианта алгоритмов: с постоянным шагом и шагом, зависящим от дискретного времени. При этом оба варианта показали свою способность фильтровать неявно присутствующую помеху в канале наблюдения. В [39] рассматривается задача оптимального управления дифференциальным включением с запаздыванием и ограничениями на концы траекторий Доказывается необходимое условие оптимальности в форме включения Эйлера-Лагранжа. Получены также оценки обобщенного градиента функции возмущения и достаточные условия нормальности необходимых условий.

Возможность двусторонней аппроксимации областей достижимости линейных многошаговых систем при помощи параллелепипедов исследована в [40] . Показано, что если множества ограничений являются параллелепипедами, то области достижимости представляются в виде пересечения конечного числа внешних и объединения конечного числа внутренних параллелепипедов. Каждый параллелепипед из этих семейств может быть найден независимо от других с помощью рекуррентных соотношений, что открывает возможности для параллельных вычислений.

В [41] рассматривается нелинейная динамическая системы с дискретным временем, неполными наблюдениями и неизмеряемыми возмущениями. Предлагается основанный на локально-оптимальной стратегии алгоритм стабилизации. В алгоритме используется лишь неточная линейная модель объекта. Установлена асимптотическая устойчивость и грубость системы, замыкаемой предложенным алгоритмом. Для линейных нестационарных систем с одномерным зашумленным выходом рассмотрены задачи построения эллипсоидов оценивания в [42]. Решение этой задачи сведено к задаче оценивания неизвестного вектора в системе с неизменным состоянием.

В [43] рассмотрены линейные динамические системы, описываемые конечно-разностными или дифференциальными уравнениями, предполагается, что матрица системы известна неточно или подвержена неконтролируемым возмущениям, так, что даны лишь границы возможного изменения каждого ее элемента. Построены внешние аппроксимации множеств достижимости рассматриваемых систем при помощи эллипсоидов. Получены уравнения эволюции аппроксимирующих эллипсоидов.

Работа [44] посвящена классической проблеме в теории оценивания -как рекуррентно оценить состояние дискретной линейной системы. Целью является рекуррентное оценивание аппроксимирующих множеств состояний. Эта аппроксимация осуществляется построением множеств, имеющих вид параллелотопов. В [45] доказаны достаточные условия локальной управляемости дифференциального включения с запаздыванием. Точное решение уравнений эллипсоидов, аппроксимирующих области достижимости одного класса линейных систем, найдено в работе [46]. Полученное решение представляет главный член в разложении по степеням времени решения уравнения эллипсоидальных оценок множества достижимости управляемой линейной системы с одним входом, в которой коэффициенты аналитически зависят от времени.

В [47] рассматриваются непрерывные неопределенные системы с ограничениями на неопределенные параметры в виде многогранных множеств. Изучена задача линейного устойчивого ограниченного регулирования, установлены новые достаточные условия разрешимости такой задачи на основании теории положительно инвариантных многогранников в сочетании с методами линейного программирования.

В [48-59] рассматриваются интервальные системы автоматического управления на основе моделей в пространстве состояний. Пока эти исследования наталкиваются на серьезные трудности, вызванные резким возрастанием числа коэффициентов, которые выступают в качестве интервальных чисел. В результате, несмотря на ряд попыток, пока не удалось для таких моделей сформулировать необходимые и достаточные условия робастной устойчивости. В вопросах оптимизации интервальных систем автоматического управления пока делаются первые шаги.

3. Краткая характеристика работы.

Целью данной работы является синтез алгоритмов локально-оптимального управления в условиях неопределенности.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Параметрический синтез локально-оптимального управления в условиях неопределенности для непрерывной линейной системы.

2. Параметрический синтез локально-оптимального управления в условиях неопределенности для дискретной линейной системы.

3. Фильтрация и синтез локально-оптимального управления дискретными системами в условиях неопределенности.

4. Синтез управления угловым движением упругого космического аппарата относительно его продольной оси.

Структура диссертационной работы в целом соответствует последовательному решению перечисленных выше задач.

Первая глава, состоящая из шести разделов, посвящена параметрическому синтезу минимаксного управления по локальному критерию качества для непрерывных динейных систем. Рассматриваются следующие предположения: управляемый процесс описывается обыкновенными линейными дифференциальными системами ■ уравнений, на вход подаются управляющие и возмущающие воздействия, на выходе снимается сумма полезного сигнала и помехи. Начальное состояние, возмущения и помехи удовлетворяют интегральному или геометрическому ограничению. Управление находится из условия локальной оптимальности квадратичного критерия качества.

Вторая глава, состоящая из пяти разделов, посвящена фильтрации и синтезу локально-оптимального управления линейными дискретными системами в условиях неопределенности. Начальное состояние, возмущения и помехи удовлетворяют интегральному ограничению. Последний раздел этой главы посвящен параметрическому синтезу.

В третьей главе синтезированные алгоритмы применяются для управления угловым движением упругого КА относительно его продольной оси.

В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации.

Основные положения и результаты диссертации были доложены:

1. На пятой всесоюзной конференции по управлению в механических системах (г. Казань, 1985г.),

2. На V и VII Четаевских конференциях "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (г. Казань, 1987г., 1997г.),

3. На научно-технической конференции БрГТУ (г. Братск, 2001г.),

4. На XIII и XIV международных научно-методических конференциях "Математика в вузе" (г. Псков, 2001г., г. Великие Луки, 2002г.).

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [77-87].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:

- Разработан параметрический синтез локально-оптимальных алгоритмов управления по квадратическому критерию качества для линейных систем при интегральных ограничениях на начальное состояние, возмущения и погрешности в измерениях;

- Разработан параметрический синтез локально-оптимальных алгоритмов управления по квадратическому критерию качества для линейных систем при геометрических ограничениях на начальное состояние, возмущения и погрешности в измерениях;

- для непрерывной системы рассмотрены варианты управления непосредственно по измеренному сигналу и кусочно-постоянного управления;

- для линейной дискретной системы доказана теорема разделения;

- для линейной дискретной системы синтезировано локально-оптимальное управление в условиях неопределенности на основе теоремы разделения;

Сформулируем основные результаты диссертации:

1. Разработан параметрический синтез локально-оптимального управления ЛА, движение которого в условиях воздействия возмущений описывается непрерывной линейной системой. Управление строится по а) точному полному измерению; б) точному неполному измерению; в) неточному неполному измерению. Полученные формулы совпадают с аналогичными в стохастическом случае, но не требуют знания вероятностных характеристик возмущений. Об ошибках измерения, возмущении и начальном состоянии известно только, что они удовлетворяют совместному интегральному ограничению. Состояние системы в каждый момент времени ограничивается эллипсоидом, а оценивается его центром. Попадание состояния на границу эллипсоида возможно только при полном использовании возмущениями своего ресурса, который в полученных алгоритмах либо накапливается, либо остается постоянным.

2. Разработан параметрический синтез локально-оптимального управления непрерывной линейной системой в условиях неопределенности, когда об ошибках измерения, возмущениях и начальном условии известно только, что они удовлетворяют каждый своему геометрическому ограничению в каждый момент времени в виде эллипсоида. В этом случае области неопределенности состояния системы получаются сложнее и аппроксимируются сверху эллипсоидом минимальным в смысле некоторого функционала (например, объема). В этом случае полученные алгоритмы управления сложнее, но качественные характеристики процесса улучшаются, так как неиспользованный ресурс возмущений пропадает.

3. Разработан метод синтеза кусочно-постоянного управления с памятью непрерывной системой в условиях неполной информации о начальном состоянии, возмущающих воздействиях и погрешностях измерений, как при интегральных, так и при геометрических ограничениях. С использованием на летательных аппаратах бортовых цифровых вычислительных машин такие алгоритмы представляют повышенный интерес.

4. Для линейной дискретной системы, функционирующей в условиях неопределенности, при совместных интегральных ограничениях на начальное состояние, возмущения и погрешности измерений, даны характеризации оценок и выведены рекуррентные формулы оценивания. Полученные формулы позволяют строить текущие и предсказанные информационные множества в виде эллипсоидов и определять заведомо потраченный ресурс возмущений.

5. Разработан синтез ЛОУ линейной дискретной системой в условиях неопределенности при полном точном измерении и, опираясь на это и используя полученные характеризации оценок и рекуррентные формулы оценивания, доказана теорема разделения. Она позволяет свести решение исходной задачи синтеза ЛОУ линейной дискретной системой в условиях неопределенности при неполном неточном измерении к последовательному решению двух более простых задач. Сначала по результатам измерения находятся оценки вектора состояния объекта, а затем задача управления решается без помех в канале измерения при полном наблюдении оценки. 6. Разработанные методы синтеза ЛОУ применены в дискретной системе угловой стабилизации крутильных колебаний упругого КА в условиях неопределенности. .

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. // М.: Наука, 1979, 430 с.

2. Острем К. Ю. Введение в стохастическую теорию управления. // М.: Мир, 1973,322 с.

3. Сейдж Э.П., Уайт, III Ч.С. Оптимальное управление системами. //М.: Радио и связь, 1982, 392 с.

4. Ройтенберг Я Н. Автоматическое управление //М.: Наука, 1978, 552 с.

5. Казаков И.Е., Гладков Д.И. Методы оптимизации стохастических систем. //М.: Наука, 1987,304 с.

6. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления.// М.: Мир, 1977, 652 с.

7. Эллиот Р. Стохастический анализ и его приложения.// М.Мир, 1986, 352 с.

8. Калман P.E. Об общей теории систем управления.// Тр. I Конгресса ИФАК, т.1, изд-во АН СССР, 1961.

9. Девис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление. // М.: Наука, 1984, 208 с.

10. Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. //М.: Энергия, 1973,440 с.11 .Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации. // М.:Наука,1987,320с.

11. Балакришнан A.B. Теория фильтрации Калмана. // М.: Мир, 198, 168 с.

12. Браммер К., Зиффлинг К. Фильтр Калмана-Бьюси. // М.: Наука, 1982,200 с.

13. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. //М.: Наука, 1977, 329с.

14. Кейн В.М. Оптимизация систем управления по минимаксному критерию. ИМ.: Наука, 1985,248 с.

15. Управление динамическими системами в условиях неопределенности. Под ред. проф. Кусимова С.Т. и др.// М.: Наука, 1998, 452 с.

16. Субботин А.И., Ченцов А.Г. Оптимизация гарантии в задачах управления.//М.: Наука, 1981, 288 с.

17. Долгий Д.В. Управление линейными системами в условиях неопределенности. // Автореферат на соискание ученой степени к. ф. м. н. Иркутск. 1995

18. Абросимов В.К. Нечеткие категории в задачах прогноза движения космических аппаратов. // Динамика и управление космическими объектами. Новосибирск: Наука, СО РАН 1992.

19. Никольский М.С. Об оценке множества достижимости нелинейного управляемого объекта изнутри // Диф. ур-я, 1999.-35,-№11,-с. 1487 1491

20. Коган М.М. О робастной стабилизации неопределенных линейных систем. //Диф. ур-я, 1999,-35,-№5,-с. 638-642.

21. Гусейнов Х.Г. Незнахин A.A. Ушаков В.Н. Приближенное построение множеств достижимости управляемых систем с интегральными ограничениями на управление // Прикл. мат. и мех, М, 1999.- 63, -№4. с. 580-590

22. Меньших В.В. Оценка горизонта планирования в системах управления // Автомат, и выч тех 1999.-№5.-с. 40-44

23. Никольский М.С. Две теоремы о накрытии и их применение для оценки множеств достижимости снизу // Межд. конф., посвященная 90-летию со дня рожд. JI.C. Понтрягина, М: 31 авг-6 сент, 1998,-Тезисы доклада, -ТЗ. Опт. упр. и добавления, -с.247-248

24. Куржанский А.Б., Фурасов В.Д. Идентификация билинейных систем. Гарантированные псевдоэллипсоидальные, оценки. // Автоматика и телемеханика. -2000.-№ 1.-.С.41-53.

25. Гаркушенко В.И. Синтез нестационарных систем управления по выходу при неопределенных внешних воздействиях. // Вестник Казанского ГТУ,-1999.- №2.-с.40-43.

26. Никольский С.М. Об оценке множества достижимости снизу для нелинейного управляемого объекта. // Вестник МГУ.-Сер.15.- 1998.-№3.- с.14-17.

27. Благодатских В.И. Выпуклость множества решений дифференциального включения. // НДИИ П.- Вестник МГУ.- Сер.15.- 1998.- №3. с.21-22.

28. Благодатских в.И., Филиппов А.Ф. Дифференциальные включения и оптимальное управление. // Тр. Мат. ин-та им. Стеклова АН СССР.-1985.-т. 169.-е. 194-253.

29. Барбашина Е.Е. Необходимые условия оптимальности для пучка траекторий в случае, когда плотность распределения входит в систему. // Дифф. ур-я HAH Беларуси,- Минск.- 1998.- с.35.- Деп. в ВИНИТИ,- 25.12.98. № 3868-В98.

30. Рокитянский Д.Я. Эволюция множеств достижимости и эллипсоидальные оценки состояния динамических систем. // Автореферат дисс. к.ф.-м.н.-Инст. проблем мех. РАН .-Москва.- 1998 .-15 с.

31. Рокитянский Д.Я. Уравнения эволюции оптимальных оценок множества достижимости линейных систем с неопределенными матрицами. // Докл. РАН 1999.- 364,- №5,- с.608-610.

32. Емельянов C.B., Коровкин С.К. Новые типы обратной связи. // Москва,-Физматлит.-1997.-348 с.

33. Рокитянский Д.Я. Оптимальные эллипсоидальные оценки множества достижимости линейных систем с неопределенными матрицами. // Изв. РАН. Теор. и сист. упр.- 1997.- №4.-с. 17-20.

34. Волосов В.В., Тютюнник Л.И. Разработка и исследование робастных алгоритмов гарантированного эллипсоидального оценивания состояния многомерных линейных дискретных динамических систем. 4.1 // Пробл. упр. и инф,- 1991.- № 4,- с.31 -43

35. Сальникова Н.Г. Решение задачи наблюдения состояний линейной динамической системы методом эллипсоидов с неполным шагом. // // Пробл. упр. и инф.- 1997.- № 4.-с. 44-51

36. Дуда Е.В. Минченко Л.И. Об оптимальных траекториях дифференциальных включений с запаздыванием. // Дифф. ур-я,- 1997,- 33,-№8.-с.1023.

37. Костоусова Е.К. О полиэдральном оценивании областей достижимости линейных многошаговых систем.// Автоматика и телемеханика.- 1997.-№3.-с.57-68.

38. Дарховский Б.С. Локально-оптимальная стабилизация при неполной информации.// Автоматика и телемеханика.- 1997.-№4.-с.144-154.

39. Бакан Г.М, Волосов В.В., Куссуль H.H. Оценивание состояния непрерывных динамических систем методом эллипсоидов.// Кибернетика и систем. Анализ,- 1996.-№ 6.-е 72-91.

40. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальная аппроксимация множеств достижимости линейных систем с неопределенными матрицами.// Прикл. мат и мех.-Москва.- 1996.- 60,- №6.-с.940-950.

41. Chisci L., Garulli A., Zappa G. Recursive state bounding by parallelotopos. Рекуррентное ограничение состояний параллелотопами. // Automatica.-1996.- 32,-№7.- p. 1049-1055.

42. Минченко Л.И., Третьяк В.Н. К локальной управляемости дифференциальных включений с запаздыванием. // Дифф. ур.-1996.-32,-№ 12.-е.1638-1644.

43. Рокитянский Д.Я. Точное решение уравнений эллипсоидов, аппроксимирующих области достижимости одного класса линейных систем. // Изв. РАН.- Теор. и сист. упр.- 1996.-№ 1.-е. 16-21.

44. Гусев Ю. М., Ефанов В.Н., Крымский В.Г. и др. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем: состояние проблемы. // Изв.АН СССР.- Техн. кибер.- 1991.-№1.-с.З-24.

45. Гусев Ю. М., Ефанов В.Н., Крымский В.Г. и др. Анализ и синтез линейных интервальных динамических систем: состояние проблемы. // Изв.АН СССР.-Техн. кибер.- 1991.-№2.-с,3-30.

46. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. // М.: Мир, 1987.- 228 с.

47. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа. // Новосибирск: Наука, 1986.- 215 с.

48. Bialas S. A necessary and sufficient condition for stability of interval matrices. // Intern. J. Contr.- 1983.-Vol.37, № 4.-p. 712-722.

49. Jiang Ghung-Li. Sufficient and necessary condition for the asymptotic stability of discrete linear interval system. // Ibid.-1988.-Vol.47, № 5.- p.1563-1565.

50. Juang Y.-T., Kuo T.-S., Hsu G.-F. Root-locus approach to the stability analysis of interval matrices. // Ibid.-1987.-Vol.46, № 3.- p.817-822.

51. Xu Daoyi. Stability criteria for interval matrices. // Сотр. and gomb. Methods in system theory. Amsterdam: Elsevier, 1986.- p.251-261.

52. Soh C.B. Necessary and sufficient condition for stability of symmetric interval matrices. // Intern. J. Contr.- 1990.-Vol.51, № l.-p. 243-248.

53. Wang S.-D., Kuo T.-S., Lin Yu.-H. Robust control design for linear systems with uncertain parameters. // Ibid.-1987.-Vol.46, № 5.- p.1557-1567.

54. Chen Y.H. Decentralised robust control system design for large-scale uncertain systems.// Ibid.-1988.-Vol.47, № 5.- p.l 195-1205.

55. Wang W.-J., Chen C.-F. Robastness of perturbed large-scale systems with local constant state feedback.// lbid.-1989.-Vol.50, № 1.- p.373-384.

56. Комаров В.А. Об одном способе описания эволюции множества достижимости дифференциального включения.// Тр. Мат. ин-та им. Стеклова РАН -1995.-Т.211.-С.235-242.

57. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Костюкова О.И. Синтез оптимальных управлений для динамических систем при неполной и неточной информации об их состояниях.// Тр. Мат. ин-та им. Стеклова РАН -1995.-t.21 1.-с.140-152.

58. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. // М.: Наука, 1988.- 320 с.

59. Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах. Под ред. Леондеса К.Т.// М.: Мир, 1980,- 408 с.

60. Дегтярев Г.Л., Ризаев И.С. Синтез локально-оптимальных алгоритмов управления летательными аппаратами.// М.: Машиностроение, 1991.-304 с.

61. Дегтярев Г.Л, Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления упругими космическими аппаратами.// М.Машиностроение, 1986.-216 с.

62. Черноусько Ф.Л. Оптимальные гарантированные оценки неопределенностей с помощью эллипсоидов. // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.-1980.-№ 3,4,5.

63. Черноусько Ф.Л. Эллипсоидальные оценки областей достижимости управляемых систем. // Прикл. мат. и мех,- 1981.- т.45.-вып.1

64. Комаров В.А. Локально-оптимальные оценки множеств достижимости нелинейных систем.// Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.- 1985.-№ 3.

65. Евтихиев H.H., Фурасов В.Д. Эллипсоидальные оценки предельных множеств дискретных динамических систем. // Автоматика и телемеханика.1985.-№2.

66. Черноусько Ф.Л., Овсеевич А.И., Клепфиш Б.Р., Трущенков В.Л. Эллипсоидальное оценивание состояния динамических систем.// Ин-т проблем механики АН СССР.- 1983.- 50 с.

67. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения.// М.: Мир, 1988, 264 с.

68. Петров Б.Н., Крутько П.Д. Алгоритмическое конструирование оптимальных регуляторов при неполной информации о состоянии объекта. // Изв. АН СССР. Техн. кибернетика,- 1972.-№ 6,-c.l 88-189.

69. Дегтярев А Г. Синтез кусочно-постоянного управления с памятью для непрерывных стохастических систем. // Изв. вузов. Авиационная техника.1986.-№ 3.- с.14-18.

70. Багинов A.B., Аузяк А.Г. Аналитическое конструирование минимаксных регуляторов при неполном измерении.// Тез. докл. V всесоюзной конф. по управлению в мех. системах. Казань. - 1985. - с.112.

71. Багинов A.B., Аузяк А.Г. Синтез минимаксного регулятора при неполном измерении с запаздыванием в контуре управления. // Тез. докл.У Четаев-ской конф. Казань. - 1987. - с.56.

72. Багинов A.B. Параметрический синтез локально-оптимального управления ЛА в условиях неопределенности. //Устойчивость и управление сложных систем. Межвуз. сб. Казань: Изд-во КАИ. - 1988. -с.80-84.

73. Багинов A.B. Параметрический синтез кусочно-постоянного локально-оптимального управления ЛА в условиях неопределенности. // Изв. вузов. Авиационная техника, № 3. Казань. - 1989. - с.75-78.

74. Багинов А. В. Фильтрация и синтез локально-оптимального управления в условиях неопределенности. // VII Четаевская конф. « Аналитическая механика, устойчивость и управление движением».Тез. докл. Казань: Изд-во КГТУ,- 1997.-с. 74.

75. Багинов A.B. Фильтрация и синтез локально-оптимального управления дискретными системами в условиях неопределенности. I. // Вестник Казанского гос. техн. ун-та им. А.Н. Туполева № 2. Казань: Изд-во КГТУ. -1997.-с. 50-57.

76. Багинов A.B. Фильтрация и синтез локально-оптимального управления дискретными системами в условиях неопределенности. И. // Вестник Казанского гос. техн. ун-та им. А.Н. Туполева № 2. Казань: Изд-во КГТУ. -1997.-с. 58-60.

77. Багинов A.B., Багинова Т.Г. Постановка задачи оценивания состояния линейных дискретных систем в условиях неопрделенности. // Труды Братского гос. техн. ун-та, т. 1. Братск: Изд.-во БрГТУ .- 2001. - с. 123-127.

78. Багинов A.B., Багинова Т.Г. Характеризация оценок состояния линейных дискретных систем в условиях неопределенности // Труды Братского гос. техн. ун-та, т.1. Братск: Изд-во БрГТУ. - 2001.-с.128-129.

79. Багинов A.B., Багинова Т.Г. Построение рекуррентных формул оценивания состояния дискретных систем в условиях неопределенности. // Математика в вузе. Мат. XIII межд. научно-метод. конф. Псков.-2001.- с 142.-144.