автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Синтез локально-оптимальных систем управления выходом для дискретных стохастических объектов с неполной информацией

На правах рукописи

Смагин Сергей Валерьевич

СИНТЕЗ ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ ВЫХОДОМ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ

Специальность: 05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)»

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 6 СЕН 2010

Томск-2010

004608131

Работа выполнена в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Томский государственный университет" на кафедре прикладной математики

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Параев Юрий Иванович

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, доцент

Дмитриев Юрий Глебович

доктор технических наук, профессор Светлаков Анатолий Антонович

Ведущая организация:

Сибирский федеральный университет (г. Красноярск)

Защита состоится:

30 сентября 2010 г. в 10.30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, корп. 2, ауд. 2126.

Отзывы направляются по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться:

в научной библиотеке Томского государственного университета по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 34.

Автореферат разослан: 26 августа 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.ф.-м.н., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Дискретные локально-оптимальные системы управления являются частным случаем дискретного прогнозирующего управления (Model predictive control) с прогнозом на 1 такт. Главным достоинством метода локально-оптимального управления является упрощение процедуры синтеза и возможность учета дополнительных ограничений на вектор состояния системы и вектор управления, а также возможность оптимизации по дополнительным критериям.

Локально-оптимальные управления синтезируются на основе минимизации критерия в текущий момент времени. Задачи синтеза управлений по локальному критерию рассматривались в работах Н.Н.Моисеева, В.И.Зубова, И.Е.Казакова, Г.Л.Дегтярева, Т.К.Сиразетдинова, И.С.Ризаева, А.Н.Панченко, Г.К.Кельманса, А.С.Позняка, Е.В.Бодянского, М.М.Когана, Ю.И.Неймарка, А.И.Рубана, Ю.И.Параева, В.И.Смагина, В.Д.Фурасова и др. авторов. Рассмотренные в этих работах методы синтеза локально-оптимальных систем управления недостаточно развиты для решения задач синтеза систем управления при неполной информации о возмущениях, а также при наличии запаздываний в управлении.

Важной также является проблема разработки алгоритмов калмановской фильтрации для класса систем с неизвестными аддитивными возмущениями. Методы вычисления оценок вектора состояния, использующие оценки неизвестного возмущения, рассмотрены в работах K.Astrom, P.EykhofF, J.Chen, R. J.Patton, M.Darouach, M.Zasadzinski, S. J.Xu, B.Friedland, S.Gillijns, B.Moor, C.S.Hsieh, Д.А.Кошаев и др. Методы фильтрации, использующие оценки возмущений, могут давать плохие результаты, в тех случаях, когда не удается построить оценки возмущений с высокой точностью. Поэтому представляют также интерес и другие подходы к решению задачи фильтрации, которые не используют оценок аддитивных возмущений. Именно такой новый подход разрабатывается в настоящей диссертационной работе.

Высказанные доводы позволяют считать тему диссертационной работы актуальной.

Объект исследования. Управляемые стохастические нестационарные дискретные динамические системы с запаздыванием по управлению, функционирующие в условиях неполной информации о возмущении и состоянии.

Предмет исследования. Локально-оптимальные алгоритмы слежения выходом системы за заданной траекторией, алгоритмы фильтрации и экстраполяции.

Цель диссертационной работы состоит в разработке на основе оптимизации локального критерия систем управления выходом, отслеживающим заданную траекторию, при неполной информации о возмущении и состоянии объекта. Решение задач управления при наличии запаздываний в контуре управления. Разработка методов фильтрации и экстраполяции для объектов с неполной информацией о возмущениях.

Для достижения данной цели поставлены следующие основные задачи:

1. Построить локально-оптимальное управление выходом объекта со случайными возмущениями мультипликативного вида с контролируемой аддитивной детерминированной составляющей в условиях косвенных наблюдений за состоянием.

2. Разработать динамический локально-оптимальный закон управления выходом объекта со случайными возмущениями с неконтролируемой аддитивной детерминированной составляющей полиномиального вида.

3. Построить оценки фильтрации и экстраполяции для дискретных стохастических процессов, со, случайными возмущениями с неконтролируемой аддитивной постоянной составляющей.

4. Построить локально-оптимальное управление выходом объекта с запаздыванием по управлению для систем с неполной информацией о возмущениях.

5. Выполнить апробацию алгоритмов с помощью вычислительных экспериментов.

Методы исследования.

Для достижения поставленных в диссертационной работе целей использовался аппарат теории управления, теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, численные методы и методы имитационного моделирования. Численные расчеты и анализ результатов проводился с помощью моделирования на ЭВМ.

Научная новизна полученных результатов:

1. Найдены локально-оптимальные пропорциональные и динамические законы управления нестационарными объектами, обеспечивающие отслеживание выходом объекта заданной траектории в условиях неполной информации о возмущении и состоянии, с учетов запаздывания в управлении.

2. Построены дискретные нестационарные фильтры и экстраполяторы, позволяющие вычислять оптимальные несмещенные оценки вектора состояния при неполной информации об аддитивных возмущениях с неизвестной посто-

янной составляющей.

Теоретическая значимость диссертационного исследования состоит в развитии теории локально-оптимального управления выходом нестационарных дискретных систем и развитии теории фильтрации и экстраполяции для объектов с неопределенностью в описании аддитивных возмущений.

Практическая значимость работы определяется тем, что разработанные и апробированные в рамках диссертационной работы методы и алгоритмы, могут применяться в различных областях техники и экономики, в частности, при решении задач управления запасами.

Применение методов управления и фильтрации, разработанных в диссертации, можно использовать для повышения надежности систем, так как неполнота информации о возмущениях может возникать в результате случайных отказов и сбоев.

Результаты исследований используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Достоверность полученных результатов, содержащихся в диссертации, подтверждается тем, что доказательства проведены на строгом математическом уровне, а также подтверждается результатами численных расчетов.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации составляет 132 страницы, в том числе 35 рисунков и 1 таблица, библиография содержит 93 наименования.

На защиту выносятся:

1. Решение задачи синтеза локально-оптимального управления выходом объекта со случайными возмущениями аддитивного и мультипликативного типа с контролируемой детерминированной составляющей в условиях косвенных наблюдений за состоянием.

2. Динамический локально-оптимальный закон управления выходом объекта со случайными возмущениями, содержащими неконтролируемые аддитивные детерминированные составляющие полиномиального вида.

3. Алгоритмы вычисления несмещенных оценок фильтрации и экстраполяции для линейных нестационарных дискретных систем с неизвестной постоянной составляющей возмущений.

4. Алгоритм локально-оптимального управления выходом объекта с запаздыванием по управлению со случайными косвенно контролируемыми возмущениями, модели которых могут содержать неизвестные параметры.

5. Решение задач управления запасами.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях:

- VI Междунар. научно-технической конф. "ИКИ-2005", "Измерение, контроль, информатизация", (Барнаул, 2005);

- II и III Всерос. научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Инноватика-2006", "Инноватика-2007", (Томск, 2006, 2007);

- X, XII Всерос. научно-практической конференции "Научное творчество молодежи" (Анжеро-Судженск, 2006, 2008);

- VII Российской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных систем» (Томск, 2008).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, формулируется цель работы, изложены основные научные результаты, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации приводится общая постановка задачи управления выходом по локальному критерию для нестационарного объекта (раздел. 1.1). Построены алгоритмы управления выходом для систем с аддитивными и мультипликативными возмущениями. Получены аналитические выражения для коэффициентов передачи.

В разделе 1.2. рассмотрены задачи управления выходом линейной системы при точном измерении вектора состояний. Объект управления описывается разностным уравнением:

x(k + l)=A(k)x(k) + B(k)u(k) + f(k) + q(k), х(0) = х0, (1)

где х0 - начальное условие; х(к) е R" - вектор состояний; и(к) е R"' - вектор управления; f(k) - наблюдаемая детерминированная составляющая возмущений, евклидова норма которого ограничена сверху; q{k) - случайная составляющая ненаблюдаемого возмущения со следующими характеристиками:

M{g(*)} = 0, М{q{k)q\j)} = Q{k)bkJ. В (1) вектор х0 случайный, независящий от q(k).

Локальный критерий и вектор выхода задаются формулами:

I(k) = M{(w(* +1) - z{k)fC(k)(w(k +1) -z(k)) + мт(k)D(k)u(k)/X¡}, (2) w(k) = H(k)x(k), (3)

где w(k) e R1' - вектор выхода системы, который должен отслеживать заданный вектор z(k), С(к)> 0, D(k) > 0 - весовые матрицы; II(к) - матрица размерности (/] х п); z(k) - отслеживаемый вектор размерности /, (евклидова норма вектора z{k) ограничена сверху); Хкй = {х(0), х(1),..., х(к)}.

Показано, что локально-оптимальное управление имеет вид

и(к) = Кх(к)х(к) + Кг(к)2(к), (4)

где

Кх{к) = ~{ВТНТСНВ 4-Г))"1 В1 Н1 СНА, К2(к) = (В"НТСНВ + О)'1 ВТНТС, 2(к) = г(к)-Н(к)/(к). В разделах 1.3 и 1.4 рассмотрена задача синтеза локально-оптимального управления выходом для случая, когда наблюдению доступен вектор

у(к) = 5(к)х{к) + у(к), (5)

где у(к)вК' - вектор измерений; Б (к) - матрица размерности (/х л); у(к) -гауссовская случайная последовательность ошибок измерений, с характеристиками:

ММ*)} = 0, М{^У(У)} = 0, 1М{у(^)Ут(7)} = К(А)54,;. (6)

Локальный критерий записывается в виде: 1(к) = М{0(£ +1 )-2{к))тС{к){ч!(к +1) - г(к)) + и1 (к)О{к)и(к)/У0к (7) где м(к) = Н(к)х(к) е Я'1 - вектор выхода системы, отслеживающий заданный вектор 2{к) = Н(к)1(к)- С(к)> 0, £>(£)> 0 - весовые матрицы; Г0* ={Х0), у( 1), ..., у(к)}; 2%={г(0), г(1), ..., г(к)}; 1(к)еЯ.'2 - вектор удовлетворяющий уравнению:

1(к + \) = Р{к)1{к) + д:{к), ?(0) = х?0. (8)

В (8) ц-{к) - гауссовская случайная последовательность с характеристиками:

м{7;(*)} = о, м{9г(*)9т(у)} = о,

Начальные условия для уравнений (1), (8) х0 и 50 - случайные векторы, независимые между собой и с векторами, д(к) и д.(к) (описываются характеристиками):

М{х0} = х0, М{£0}=г0, М{(х0 -х0)(х0 -х0)т} = Рн, М{(?0 -*„)(?„ -50)т} = /I. М{гЛт} = Д _Го. Задача управления выходом, отслеживающим заданный вектор г(к), рассмотрена для следующего объекта с аддитивными и мультипликативными возмущениями

х(к + \) = А{к)х(к) + В(к)и(к) + ^Ар{к)х(к)&р(к) +

Р=I

+£адм(*)Е,(*) + /(А) + 9(Л)> Х(0) = х0, (9)

1=1

где и - гауссовские случайные последовательности с характери-

стиками:

М{©(¿)0т(;)} = £тД., М|е(к)Нт(_/)| = Ет^, м{©(*)Ет(;)}=ЭД8,.;

Е и Е^ - единичные матрицы размерности т] и т2 соответственно; Q(k) -

матрица размерности т{х.т2.

Управление объектом определяется в параметрической форме

u(k)=K{(k)y(k) + K2(k)z(k). (10)

Решение задачи при f{k) = 0 дает следующая теорема. Теорема 1. Пусть динамика управляемого процесса описывается уравнением (9), модель канала - формулой (5). Тогда последовательность оптимальных матричных коэффициентов передачи закона управления (10), минимизирующих критерий (7), определяется по формулам

= В1 Н1 CHAPS1 + J]B]HrCHApQpsPSr (V + SPSJ)~\ (11)

V 1=1 p=] У

к'2{к)=c-'(bthtc(p:-mpj-ёк^-fj^B]HTCHAppjips)P:x, (12)

p=l

__m-,

где P{k) = Px-P^'P^, C(k) = B' irCFIB + D + ^B'HJCHBs. Матрицы

j=i

P.(k), Px(k), P.x{k) удовлетворяют матричным разностным уравнениям. Замечание 1. Если f(k) ^ 0, то закон управления выходом имеет вид

u(k)=K;(k)y{k) + Kl(k)z(k), (13)

где

= ( mi -1 К' = -С"1 BrHTCHAPST + ^dJ^B]HJCHApQplPSJ + , (14)

V I )

К'г(к) = с~\влн"с{р-tZBlH"CHApP^)K\ (15)

I р= I

__т

P{k) = Pi-PxiP;iPlx,C{k) = B1H1CHB + D + y£,B]H^CHBs- (16)

.ы

Входящие в (14)—(16) матрицы Р-(к) и PSjc(k) определяются из матричных разностных уравнений.

В разделе 1.5 описано применение алгоритма локально-оптимального управления для решения задачи управления запасами с учетом ограничений на управление и с минимизацией дополнительного критерия общих логистических издержек. В этом же разделе приводится пример управления клапанами смесительной колонны

Во второй главе разработаны методы синтеза локально-оптимальных систем управления при неизвестных аддитивных возмущениях полиномиального типа.

В разделе 2.1. рассмотрена задача управления выходом по критерию (2) для дискретной системы (1) с постоянными параметрами, где вектор/{к) - полином степени р относительно времени к:

/(£) = /, И + +... + /рк + /р+1, (17)

где - неизвестные постоянные векторы.

В разделе 2.2. исследуется задача синтеза управления для локального критерия (2) при неизвестной постоянной составляющей возмущений. Общее решение задачи для неизвестного возмущения полиномиального типа рассмотрено в разделе 2.3. Результат формулируется в виде следующей теоремы.

Теорема 2. Пусть динамика управляемого процесса описывается уравнением (1), с детерминированной неизвестной составляющей возмущений (17). Тогда последовательность оптимальных управлений, минимизирующих критерий (2), определится по формуле

ЛИ

и(к) = -(ВТН7СНВ+ВУ1 ВтНтС(Н(А^НУС'рг1х(к-1) + £+1 р+1

+£(-1Г1 - /•+1)+X (- 0' с;+1 <к -1))-2{к)), (18)

где

С"

от! (л-от)!'

Закон управления (18) обладает глубиной памяти, равной р+1, и является динамическим. Для реализации (18) требуется задать начальные условия:

"(0> = "о > и(1) = и1, и{р) = ир.

В разделе 2.4. приводятся результаты вычислительного эксперимента. В п. 2.4.1. разработанный алгоритм применяется к задаче управления объектом 3-го порядка, а в п. 2.4.2. - к задаче управления запасами при не контролируемом спросе.

В третьей главе рассмотрены задачи фильтрации и экстраполяции для линейных дискретных систем с неизвестным постоянным возмущением. Постановка задачи описывается в разделе 3.1. Дискретная система задается следующими разностными уравнениями

х{к +1) = А(к)х{к) + / + 4{к), х(0) = х0, (19)

где х(к) е Я" - вектор состояния; А (к) - (яхн)-матрица; / - неизвестный постоянный вектор; ц(к) - гауссовская случайная последовательность с характеристиками:

М{ц(Щ = 0, М{д(%тО')5 .

Канал наблюдений задается формулой (5) с характеристиками (6). Для матриц Б(к) в (5) и А(к) в (9) выполняются условия наблюдаемости. Случайный вектор х0 не зависит от процессов ц{к) и у(/с), при этом

м{х(0)}=х0, м{(;<оьдао)-^)т}=^

В разделе 3.2. предлагается метод преобразования исходной модели, исключающий неизвестную постоянную составляющую возмущений.

Задача фильтрации для случая, когда матрицы А, (2,У,8 в описании объекта постоянные рассмотрена в разделе 3.3. Для переменных параметров модели задача фильтрации и экстраполяции рассмотрена в разделах 3.4 и 3.5. В этих разделах также обсуждается возможность применения, разработанных алгоритмов вычисления оценок фильтрации и экстраполяции для нестационарных управляемых объектов с неизвестной постоянной составляющей возмущений.

Алгоритм оптимальной фильтрации определяется следующей теоремой.

Теорема 3. Пусть процесс с неизвестным постоянным возмущением определяется уравнениями (19) и канала наблюдений описывается формулой (5). Тогда оптимальная несмещенная оценка вектора состояния определится следующими разностными уравнениями:

^к+\)=(А(к)+Ег1).Щ-А(к-Щк-\)+К](к)(у(к+\)-

+1)[(4£) + Еа )х(к) - А(к -1 )х{к -1)]. (20)

с начальными условиями

Матрица К} (к) в (20) определяется по формуле

К,(к) = р, (к)Б(к + 1)т(5(* +1) д (ОД* + 1)т + У(к +1))'', где матрица р^к) определяется из системы уравнений:

р[(к)НА(к)+Е^рМт+Еп)т-А(к-1)р2(к)(А(к)+Е,У--(Ак)+Еп)р1{к)Ак- 1)т +А(к-\)р.(к)4к-1)т +ак-Щк)гК1(к-1)т х *{А(к) + Еп)т - 6(4 -1 )Щ)ТК2(к- 1)т А7(к -1) + +(Л(*) + Еп )АГ, (к -1)5(*)£?(* -1) - А(к -1 )Кг(к -Шк) х -1) - (А(к) + Е„)0(к -1) - 0{к ~ \)(А(к)+Еп )г + + 0(к -1), Р2(к) = Мк)(А(к)+Еп)т - РЦк)А(к-]У + +Кх{к- ШШк -1) - б(* -1),р>(к) = р1 (к), П(к+1) = (ЕЯ -ВД5(*+1))д(*), л(0) = До. р2(к +1) = -*,(*)£(* +1 )р{(к) + рг(к), А(0) = р„, р3(к +1) = -К2(к)5(к +1 )рЦк) + р,(к), А(0) = Рхо, К2(к) = р2(к)8(к + 1)т (5(4 +1) д (*)$(* + 1)т + У (к +1))4. (21)

В (21) начальные условия р1а, р20, рУ}, являются соответствующими блоками матрицы Р0. Кроме того, для выполнения расчетов в (21) необходимо задать начальные условия для ^,(-1) и Х,(-1).

Алгоритм оптимальной экстраполяции определяется следующей теоремой.

Теорема 4. Пусть процесс с неизвестным постоянным возмущением определяется уравнениями (19) и каналом наблюдений (5). Тогда оптимальная несмещенная оценка экстраполяции на 1 такт определится следующими разностными уравнениями:

х(к+1)=(А(к)+Е„ )£{к)-А(к -1 )х{к -\)+Щ {к){у^)~ $(*)*(*)) (22)

д (к +1) =(А(к) -Ея- Кр1 ((к)(А(к) -Е„- КР] (¿)ВД)Т --А(к-1 )Рг(к)(А(к)-Е„-Кр,(тк))т ~(А(к)-Е„~Кр1 (¿)5(*))х х р]{к)А\к -1) + А(к -1 )р3(к)Ат(к -1) + Кр{ (к)У{к)Кр1(к) + ~{А(к) - Ея - Кр^кЖкЖк -1) - 0(к -1 )(А(к) -Е„- КР1{к)8{к))т + +0(к) + 0(к-1), Р](0) = Рг(к +1) = (Е„ - Кр2(к)3(к))р{ (к)(А(к) ~Еп- Щ (¿)ЗД)Т --(£„ -Крг(к)8(к))р1(к)А(к -1 )-(£„-Кр2(*)5(*))б(* -1) + +Кр2(ку(к)Кр](к), р2(0) = р20, р2(к +1) = (£„ - Кр2(к)8{к))р,(к)(Еп-Кр2(к)8(к))т + +Кр2(к)У{к)Крт2(к), А(0) = д0, Кр2(к) = А(А')5Т(*)(5(А)А(Л)5(*)Т +У(к)У\ (23)

В разделе 3.6. приведены результаты вычислительного эксперимента для объекта со следующими значениями параметров:

Моделирование алгоритма фильтрации проводилось для неизвестного переменного возмущения с тремя возможными значениями для компонент векто-

с начальными условиями

х(0) = .70, л-(1) = М{х(1)} = ?,. Матрица К^к) в (22) определяется по формуле

Кр, (к) = [(Л(*) - Е„ )рх {к) - А{к -1 )р2 (к) -0(к-1)] х

где р{{к) находится из следующей системы уравнений:

] ■

ра/

1, если 0<к<9, /¡(*) = /:(*) = <-1, если 9 <¿<25, 1, если 25 <¿<50.

п

На рис.1, 2 приводятся реализации процессов и их оценок для фильтра (20), разработанного в диссертации, расширенного фильтра Калмана, построенного на основе метода расширения пространства состояний (к основной модели объекта добавляется модель ненаблюдаемого возмущения) и алгоритма двух-этапной фильтрации, который уменьшает вычислительные затраты за счет декомпозиции задачи.

■Ф)

Рис 1. Реализации процессов для первой координаты (1 - реализация 2 -оценка *,(*), построенная по алгоритму (20); 3 - оценка х,(к), построенная по двухэтапному алгоритму; 4 - оценка 5,(4) для расширенного фильтра Калмана)

Рис 2. Реализации процессов для второй координаты (1 - реализация хг(к)\ 2 -оценках,^), построенная по алгоритму (20); 3 - оценках,(к), построенная по двухэтапному алгоритму; 4 - оценка х,(к) для расширенного фильтра Калмана) Как видно из рисунков для рассмотренного примера, качество оценок, полученных с помощью фильтра (20) лучше, чем для двухэтапного алгоритма фильтрации и расширенного фильтра Калмана, использующих оценки неизвестного возмущения.

В четвертой главе рассмотрена задача локально-оптимального управления выходом при задержках в управлении и при косвенных наблюдениях за вектором возмущений, модель которого содержит неизвестные параметры. В разделе 4.1. дана постановка задачи для следующей модели объекта:

х(к +1) = Ах(к) + Ви(к -Ы) + х(0) = х0, и(у) = ц/О'), у = - А, - А +1,..., -1, (25)

где х(&)е!1" - вектор состояния; и(к-И)&Я"1 - вектор управления; й - количество тактов запаздывания; ${к)& К"' - вектор возмущений хо и у(/) (/ = -И, 1,..., -1) - заданные векторы; А, В иР - заданные матрицы.

Предполагается, что модель возмущений содержит неизвестные параметры и определяется следующим разностным уравнением:

з(к +1) = ДОМ*) + Кб) + Я,(к), *(0) = 50, (26)

где 9 е - неизвестный постоянный вектор, Л*(0) - матрица, линейно зависящая от компонент вектора 0, /-(0) - вектор, линейно зависящий от 6. Предполагается, что имеется следующая априорная информация о векторе 9: М{9} = 0о, М{(0-0о)(8-8о)т} = Рво.

Предполагается также, что имеются косвенные наблюдения за вектором возмущений

<л{к) = Фз{к) + х{к), (27)

где а(к) еЯ"1'- вектор наблюдений; Ф - (/?7|Хи)-матрица; х{к) - случайные ошибки наблюдений; в (26) 50 - случайный вектор начальных условий, независимый от т(к) (МЫ = 70, М{(^„ -10)(50 -х0)т} = Р50); <?_,(£), т(к) - независимые гауссовские случайные последовательности с характеристиками: М{ д,{к) }=0, М{ г (А)}=0, М{ Ч£к)Ч]и)}-&«>„, М{ т (к) х т(/)}= Т5*.

Предполагается, что вектор х(к) полностью доступен измерению. Требуется построить управление такое, чтобы вектор выхода системы ы(к) = Нх(к) отслеживал заданную траекторию г(к) е Я".

Эта задача решается на основе оптимизации локального критерия

/(к) = М{Мк +1) - 2(к))тС(и(к +1 )-г(к}) + и1 {к - И)Ои{к- И)/ак0,Хк0}, (28) где ^={(о(0), (0(1),..., с#)},^={х(0), х(1),..., *(*)}.

В разделе 4.2. приводится алгоритм построения локально-оптимального управления при точном измерении возмущения.

В разделе 4.3. разработан алгоритм синтеза локально-оптимального управления при косвенных измерениях возмущений при условии, что модель возмущений известна полностью, а в разделе 4.4. - алгоритм локально-оптимального управления при косвенных измерениях возмущений, для случая, когда модель возмущений зависит от неизвестных постоянных параметров.

Для определения оценок параметров используется оптимальный дискретный фильтр Калмана. Учитывая (27), получим модель измерений в текущий момент времени к-к в следующем виде:

®{к -Ы) = -И) + х{к - И). (29)

Тогда, с учетом (26), имеем

©(¿-А)==Ф/г(еМ*-А-1) + Фг(8)+Фд((*-А-1) + т(4-й). (30)

Представим (29) в линейном относительно 9 векторно-матричном виде

ca(i-A) = r(j(jfc-A-l))e+g(j(*-A-l)) + ®?,(Ä-A-l) + T(Ä-A), (31)

где Г(-) - матрица и g(-) - вектор.

Рекуррентные уравнения, с помощью которых находятся оценки неизвестных параметров 9, представляются в виде

В(к- А) = Q(k~h-\) + К6(к-h){a(k- А) -TQ(k- А -1) - g), 9(0) = 80, (32) Ke(k-h) = P0{k-h)tJ{TPe{k -h)Tr + Ф03Фт + IT', (33)

P0(k - h +1) = (E- Ke{k -h)t)PB(k - A), Pe{0) = Рво. (34)

где f = T{sf{k-h~ 1)), g = (k-h-1)).

Запишем уравнения, используемые для вычисления оценок фильтрации и прогноза:

sf{k-h) = Rsf{k-h-\) + i + K}(k-h)[<ä(k-h)-<$(Rsf(k~h-l) + r)], sf(0) = sa,

Kf{k-h) = P{k-hlk-h-\)®\<X>P{k-hlk~h-\)<S>T

P(k -h/k -h -1) = RP{k-h - 1)ÄT + Qs, P{k - A) = (E-Kj(k~ А)Ф)P(k-h/k-h-l), P(0) = Pso.

sp{k-h + l) = Rsp(k-h) + r + Kp(k~h)(co(k-h)~Фsp(k-h)), sp(0) = J0,

Kp(k-h)=: RPpt(k- А)ФТ (Ф^ (к - А)ФТ + Т)"1,

Sp(k-h + j) = Bsp(k-h + j-l) + rJ = 2,...,h-l. (35)

где R = Я(<9(/с - А)), г = r(<9(£ - h)).

Управление объектом (25) определится по формуле

h

Ua (k-h) = ~(ВТНТСНВ+0)-'В'Н1С(НАых(к - А) + Yß^Bua (k-h- 0 +

м

h-\

+HAhFsf(k-И) + J^HA'Fs^k - i) - z{k)). (3 6)

1=0

Здесь оценки фильтрации и прогноза вычисляются по формулам (35), а для вычисления Rur используются оценки 8(к) (формулы (32)).

В разделе 4.5. алгоритм управления применяется к задаче управления запасами.

Уравнения (25), (26) можно интерпретировать как модель изолированного склада и модель спроса. При этом х(к)е R" - вектор количества товара на складе в к-й такт (х,(к) - количество товара г'-й номенклатуры), u(k-h)e R" - вектор за-

каза на поставки (и,- - количество заказанного товара ¡-ой номенклатуры), к -количество тактов запаздывания, х(к)еК" - вектор спроса в к-ом такте (.?,(£) -спрос на товар ¿-й номенклатуры), А = &^(\-кх,..., \-кп...,\-к„) (к( - коэффициенты потерь), В = Еп, Н -Еп, г = -Еп.

Вектор поставок определяется с учетом дополнительных транспортных ограничений следующего вида (для поставок используется одно транспортное средство грузоподъемности С7тах):

иа(к-И), если С„т<0(иа(к-!г))<Ст„, на(А-й) = | 0, если С{иа{к-к))<Стт, (37)

иа {к-И)/а(к-к), если <?(иа(А:-А))>С?п1В.

Здесь С(иа(к)) ~^р,иа1{к) - вес перевозимого груза (р1 - вес единицы товара

1=1

1-й номенклатуры); иа(к-И) - заказ на поставку (определяется по формулам

(36)); Стт~Кг(Кг - коэффициент использования грузоподъемности транспортного средства); а{к) = Стгк /0(иа(к)).

Дополнительно минимизируются издержки на хранение товара на заданном скользящем временном отрезке к~И-Аг,к-Н-М + \,...,к-И. Издержки

определятся по формуле

= Х £ х,(0А- (38)

при ограничениях

x¡(j)>Xst¡, ] = к-11-N N + = , (39)

где £, - стоимость хранения единицы товара г -й номенклатуры в единицу времени, Лй^ - страховой запас для товара г -й номенклатуры.

Минимизация критерия (38) при ограничениях (39) осуществляется по вектору г, при этом на каждом шаге пересчитывается вектор поставок. Найденное значение вектора г , обеспечивает минимальные издержки на временном интервале от к-к-М до к-к и, в результате выполнения ограничений (39), обеспечивает также высокую загруженность транспортного средства в соответствии с заданным коэффициентом К,. По найденному вектору г* определяется объем поставок йа(к-к +1), и далее, по аналогии, решается задача минимизации критерия Jmй{z,k-h + Y) при ограничениях (39) и определяется новый вектор 2*, который используется для определения поставок в момент времени к-к+ 2. Эта процедура повторяется требуемое число раз.

Моделирование системы управления запасами выполнено для двухноменк-латурного склада (п = 2).

Исходные данные при моделировании:

/Ч5> Г 25^ /

Ч0)=и ;н(-1) = 1Ь(0) = ; 5/(0)= V

с =

(\ 0Л Го о4] д(в) = д = ГО п

; £> = ,0,1 0,5у

,0 1; ,о oJ

;г(9) =

Ла ч

'О О

Г л с п\

Т =

1,5 О О 0,35

0,2 0 ^

\ Ро =

1о 1-4; ч

10 о

О ЮУР 11,3,

4,5 О О 1,5

ч

; к{=0,005; к2=0,001;

й=1; ЛГ= 50; О™* = 150; К, = 0,8; ¿,=1,5; =2,5 ЛЫ, =6; ^=12.

В модели спроса использовались следующие значения параметров: 8, =2,6, 02 =2,5.

На рис. 3-5 приводятся результаты, полученные при оптимизации критерия (38) при ограничениях (39) на первом скользящем интервале.

ё,г

Рис. 3. Зависимость количества товаров на складе и реализации оценок параметров

Рис. 4. Реализации спроса и оценок фильтрации На рис.4 приводятся графики изменения спроса (сплошная линия) и оценки фильтрации (пунктирная линия).

' 0 20 40 к °0 :о « к и 0 20 40 к

Рис. 5. Диаграммы заказов и загруженности транспортного средства

..3

Результаты моделирования системы управления запасами подтверждают обеспечение высокой загруженности транспортного средства и минимум затрат на хранение товаров.

В заключении приведены основные результаты диссертационного исследования.

В приложении к диссертации приводится копия документа об использовании результатов диссертации в учебном процессе.

Основные результаты работы

1. На основе оптимизации квадратичного локального критерия для дискретных объектов со случайными аддитивными и мультипликативными возмущениями с наблюдаемой детерминированной составляющей разработаны алгоритмы синтеза систем управления выходом объекта в условиях косвенных наблюдением за вектором состояния.

2. Разработан алгоритм синтеза систем управления выходом дискретного объекта с неизвестным возмущением полиномиального типа. Алгоритм управления имеет структуру динамической системы управления с глубиной памяти по состоянию объекта.

3. Разработаны алгоритмы синтеза дискретных оптимальных фильтров и экстраполяторов для линейных объектов, возмущения которых содержат неизвестную постоянную составляющую.

4. Разработан алгоритм синтеза локально-оптимальных управлений для объектов с запаздыванием в контуре управления при косвенных измерениях возмущений, модель которого содержит неизвестные параметры. Предложенный алгоритм не требует увеличения размерности вектора состояния, является динамическим и построен с использованием фильтров и экстраполятора.

5. Решены практические задачи управления запасами с учетом дополнительных ограничений и дополнительных критериев.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Смагин C.B. Фильтрзция в линейных дискретных системах с неизвестными возмущениями // Автометрия. 2009. - Т.45. - № 6. - С. 29-37.

2. Смагин C.B. Экстраполяция в линейных дискретных системах с неизвестными возмущениями // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. -№ 2(11). - С. 90-95.

3. Смагин В.И., Смагин C.B. Управление запасами по двум критериям с учетом ограничений И Вестник Томского государственного университета. Математика, кибернетика, информатика. 2006. - № 290. - С. 244-246.

4. Смагин C.B. Управление выходом линейной дискретной системы с мультипликативными возмущениями // Вестник Томского государственного университета. Математика, кибернетика, информатика. 2006.

- № 293. - С. 126-128.

5. Смагин В.И., Смагин C.B. Минимизация затрат при переменном спросе в задаче управления запасами с учетом ограничений // Материалы VI Между-нар. научно-технической конф. "ИКИ-2005", "Измерение, контроль, информатизация", Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2005. - С. 108-109.

6. Смагин C.B. Управление выходом дискретной динамической системы // Материалы X Всерос. научно-практической конф. "Научное творчество молодежи". 4.1. Изд-во ТГУ, 2006. - С. 178-179.

7. Смагин C.B. Управление выходом дискретной системы с мультипликативными возмущениями // Материалы II Всерос. научно-практической конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. "Инноватика-2006", Изд-во ТГУ, 2006.-С. 114-115.

8. Смагин C.B. Динамические следящие системы управления выходом объекта при неизвестных возмущениях // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. -№ 1(2).-С. 25-31.

9. Смагин В.И., Смагин C.B. Адаптивное управление запасами с учетом ограничений и транспортных запаздываний // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008.

- № 3(4). - С. 19-26.

10. Смагин C.B. Дискретная фильтрация для объекта с неизвестными возмущениями // Материалы XII Всерос. научно-практической конф. "Научное творчество молодежи". 4.1. Изд-во ТГУ, 2008. - С. 39-40.

11. Смагин C.B. Динамические следящие системы управления при неизвестных полиномиальных возмущениях // Тез. докл. VII Российской конф. с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных систем». Томск: Изд-во НТЛ, 2008. - С. 103.

12. Смагин C.B. Синтез динамических следящих систем управления по критерию со скользящим интервалом оптимизации при неизвестных возмущениях полиномиального типа // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2009. -№1(6). -С. 5-13.

Тираж 100 экз. Отпечатано в ООО «Позитгив-НБ» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а

ВВЕДЕНИЕ.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.

Глава 1. ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВЫХОДОМ СИСТЕМЫ ПРИ АДДИТИВНЫХ

СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ.

1.1. Общая постановка задачи.

1.2. Управление выходом линейной системы при точном измерении вектора состояния.

1.3. Управление выходом линейной системы при косвенных наблюдениях за состоянием.

1.4. Управление выходом линейной системы с мультипликативными возмущениями.

1.5. Применение алгоритма локально-оптимального управления к задаче управления запасами и к задаче управления смесительной колонной.

1.6. Выводы по главе 1.

Глава 2. ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ВЫХОДОМ СИСТЕМЫ ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ДЕТЕРМИНИРОВАННОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ВОЗМУЩЕНИЙ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Синтез управления для локального критерия при неизвестном постоянном возмущении.

2.3. Синтез управления для локального критерия при неизвестном полиномиальном возмущении.

2.4. Результаты вычислительного эксперимента.

2.4.1. Применение алгоритма к задаче управления объектом 3-го порядка.

2.4.2. Применение алгоритма к задаче управления запасами.

2.5. Выводы по главе 2.

Глава 3. ФИЛЬТРАЦИЯ И ЭКСТРАПОЛЯЦИЯ В ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМАХ С НЕИЗВЕСТНЫМИ

ВОЗМУЩЕНИЯМИ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Преобразование математической модели.

3.3. Фильтрация дискретного процесса при постоянных матрицах модели.

3.4. Фильтрация дискретного процесса с переменными параметрами.

3.5. Оптимальная экстраполяция в дискретных системах с неизвестными возмущениями.

3.6. Результаты вычислительного эксперимента.

3.7. Выводы по главе 3.

Глава 4. АДАПТАЦИЯ В ЗАДАЧЕ ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО УПРАВЛЕНИЮ.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Построение локально-оптимального управления при точном измерении возмущения.

4.3. Построение локально-оптимального управления при косвенных измерениях возмущений (модель возмущений известна полностью).

4.4. Адаптивное локально-оптимальное управление при косвенных измерениях возмущений.

4.5. Адаптивное управление запасами с учетом запаздываний.

4.6. Выводы по главе 4.

Актуальность проблемы. Диссертационная работа посвящена проблеме синтеза дискретных локально-оптимальных систем управления, выход которых отслеживает заданные переменные в условиях неполной информации о возмущении объекта, неполной информации о векторе состояния и при наличии в модели объекта запаздываний и неизвестных параметров.

Оптимизация локального критерия для дискретных систем по своей сути является частным случаем синтеза прогнозирующего управления [77] (Model predictive control) с прогнозированием на 1 такт. Главное достоинство метода локально-оптимального управления является простота синтеза, возможность учета дополнительных ограничений, а также возможность оптимизации дополнительных критериев.

Задача слежения широко используется при управлении реальными объектами. Она возникает при переводе технологического процесса из одного режима в другой при отслеживании заданной программы работы. В технике, при управлении подвижными объектами, задача слежения может использоваться для выполнения маневрирования. В экономике следящие системы применяются при управлении запасами (поддержание заданного уровня количества товаров на складе, минимизации издержек на хранение). Применение следящих систем в задачах управления запасами рассмотрено в работах Лотоцкого В.А. [26], Потоцкого В.А., Манделя А.С. [27], Первозванско-го А.А. [41], РыжиковаЮ.И. [47], C'onte P., Pennesi Р. [79]; в задачах управления производством - Головина И.Я., Ширяева В.И. [8], Горского А.А., Колпакова Н.Г., Локшина Б.Я. [9], ПараеваЮ.И. [37, 38], Перепелкина Е.А.

42], Симона Г. А. [48], Ширяева В.И., Ширяева Е.В., Головина И.Я., Смолина В.В. [72], Ширяева В.И., Баева И.А., Ширяева Е.В. [73], Seirstad А., Sydsaeter К. [93]. Задачи управления портфелем ценных бумаг (слежение за эталонным портфелем) рассматривались в работах Герасимова Е.С., Дом-бровского В.В. [7], Домбровского В.В., Домбровского Д.В., Ляшенко Е.А. [12], Параева Ю.И., Цветницкой С.А. [40].

Локально-оптимальные управления синтезируются на основе минимизации критерия в текущий момент времени. Задачи синтеза управлений по локальному критерию рассматривались в работах Моисеева Н.Н. [31], Зубова В.И. [14], Казакова И.Е. [15, 16], Дегтярева Г.Л., Сиразетдинова Т.К., Ри-заеваИ.С. [10, 11], Панченко А.Н. [33], Кельманса Г.К., Позняка А.С., Чер-ницера А.В. [18], Бодянского Е.В. [3], Когана М.М., НеймаркаЮ.И. [19, 20], Рубана А.И. [46], Параева Ю.И., Смагина В.И. [49], Фурасова В.Д. [67] и др. авторов. Рассмотренные в этих работах методы синтеза локально-оптимальных систем управления недостаточно приспособлены для решения проблемы синтеза систем управления при ненаблюдаемом возмущении. Задача синтеза систем управления, инвариантных к возмущающим воздействиям, исследовалась многими авторами (Петров Б.Н., Кулебакин B.C., Кухтен-ко А.И. [62], Емельянов С.В., Коровин С.К. [13], Востриков А.С. [6], Параева Ю.И., Смагина В.И. [49], Юркевич В.Д. [74] и др.). Эта задача остается актуальной и в настоящее время. В данной работе разработаны методы синтеза локально-оптимальных систем управления при неизвестных аддитивных возмущениях полиномиального типа.

Актуальной также является разработка алгоритмов калмановской фильтрации и экстраполяции для класса систем с неизвестными аддитивными возмущениями, которые могут использоваться в качестве моделей реальных физических систем, моделей объектов с неизвестными сбоями, а также в системах управления при формировании обратных связей. Известные методы вычисления оценок вектора состояния при неизвестных возмущениях базируются на алгоритмах, использующих оценки возмущений. К числу таких методов можно отнести работы Astrom К., Eykhoff Р. [75], Chen J., Patton R. J. [78], Darouach M.5 Zasadzinski M. [80], Friedland B. [83], Gillijns S., Moor B. [84], Hsieh C.S. [87-90], Кошаева Д.А. [22]. В работах Astrom К., Eykhoff P. [75], Friedland B. [83] рассматриваются алгоритмы решения задачи на основе метода расширения пространства состояний (к основной модели объекта добавляется модель ненаблюдаемого возмущения) и алгоритм двухэтапной фильтрации, уменьшающий вычислительные затраты за счет декомпозиции задачи. В работе Кошаева Д.А. [22] рассмотрен многоальтернативный метод фильтрации на основе расширенного фильтра Калмана для кусочно-полиномиального описания возмущений, характеристики которого регулярно с некоторым периодом оцениваются. В работах Darouach ML, Zasadzinski М., Xu S. J. [81], Gillijns S., Moor B. [84], Chen J. Patton R. [78] рассмотрены алгоритмы рекуррентной оптимальной фильтрации, использующие оценки неизвестного возмущения, однако, эти алгоритмы имеют достаточно жесткие условия их разрешимости. Анализ литературы показывает, что задача определения оптимальных оценок при неизвестных возмущениях и в настоящее время остается актуальной.

Методы адаптивного управления рассматриваются в большом числе работ, в частности, в работах Александрова А.Г. [1], Бодянского Е.В., Борячка М.Д. [3], Когана М.М., Неймарка Ю.И [19, 20], Красовского А.А. [23], Ми-рошника И.В., Никифорова В.О., Фрадкова A.JT. [29], Никифорова В.О. [32], Фомина В.Н., Фрадкова АЛ, Якубовича В.А. [65], Фрадкова АЛ., [66], Цып-кина Я.З., Кельманса Г.К. [68], Цыпкина ЯЗ., Позняка А.С. [69], Цыпкина Я.З., Поляка Б.Т. [70], Рубана А.И. [46], Чуракова Е.П. [71] и др. Вместе с тем проблемы синтеза методов, допускающих учет ограничений, оптимизацию дополнительных критериев для объектов с запаздываниями и с возмущениями, модели которых содержат неизвестные параметры, остаются актуальными и в настоящее время.

Высказанные доводы позволяют считать тему диссертационной работы актуальной.

Объект исследования. Управляемые стохастические нестационарные дискретные динамические системы с запаздыванием по управлению, функционирующие в условиях неполной информации о возмущении и состоянии.

Предмет исследования. Локально-оптимальные алгоритмы слежения выходом системы за заданной траекторией, алгоритмы фильтрации и экстраполяции.

Цель диссертационной работы состоит в разработке на основе оптимизации локального критерия систем управления выходом, отслеживающим заданную траекторию, при неполной информации о возмущении и состоянии объекта. Решение задач управления при наличии запаздываний в контуре управления. Разработка методов фильтрации и экстраполяции для объектов с неполной информацией о возмущениях.

Для достижения данной цели поставлены следующие основные задачи:

1. Построить локально-оптимальное управление выходом объекта со случайными возмущениями мультипликативного вида с контролируемой аддитивной детерминированной составляющей в условиях косвенных наблюдений за состоянием.

2. Разработать динамический локально-оптимальный закон управления выходом объекта со случайными возмущениями с неконтролируемой аддитивной детерминированной составляющей полиномиального вида.

3. Построить оценки фильтрации и экстраполяции для дискретных стохастических процессов, со случайными возмущениями с неконтролируемой аддитивной постоянной составляющей.

4. Построить локально-оптимальное управление выходом объекта с запаздыванием по управлению для систем с неполной информацией о возмущениях.

5. Выполнить апробацию алгоритмов с помощью вычислительных экспериментов.

Методы исследования.

Для достижения поставленных в диссертационной работе целей использовался аппарат теории управления, теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, численные методы и методы имитационного моделирования. Численные расчеты и анализ результатов проводился с помощью моделирования на ЭВМ.

Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:

1. Найдены локально-оптимальные пропорциональные и динамические законы управления нестационарными объектами, обеспечивающие отслеживание выходом объекта заданной траектории в условиях неполной информации о состоянии, возмущении и с учетом запаздывания в управлении.

2. Построены дискретные нестационарные фильтры и экстраполяторы, позволяющие вычислять оптимальные несмещенные оценки при неполной информации об аддитивных возмущениях с неизвестной постоянной составляющей.

Теоретическая значимость диссертационного исследования состоит, в развитии теории локально-оптимального управления выходом нестационарных дискретных систем и развитии теории фильтрации и экстраполяции для объектов с неопределенностью в описании аддитивных возмущений.

Практическая значимость работы определяется тем, что разработанные и апробированные в рамках диссертационной работы методы и алгоритмы, могут применяться в различных областях техники и экономики, в частности, при решении задач управления запасами.

Применение методов управления и фильтрации, разработанных в диссертации, можно использовать для повышения надежности систем, так как неполнота информации о возмущениях может возникать в результате случайных отказов и сбоев.

Результаты исследований используются в учебном процессе на факультете прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета.

Достоверность полученных результатов, содержащихся в диссертации, подтверждается тем, что доказательства проведены на строгом математическом уровне, а также подтверждается результатами численных расчетов.

Личное участие автора в получении результатов, изложенных в диссертации. Все основные результаты, полученные в диссертации, выводились и доказывались лично автором.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Объем диссертации составляет 132 страницы, в том числе 35 рисунков и 1 таблица, библиография содержит 93 наименования.

Основные результаты диссертационной работы:

1. На основе оптимизации квадратичного локального критерия для дискретных объектов со случайными аддитивными и мультипликативными возмущениями с наблюдаемой детерминированной составляющей разработаны алгоритмы синтеза систем управления выходом объекта в условиях косвенных наблюдением за вектором состояния.

2. Разработан алгоритм синтеза систем управления выходом дискретного объекта с неизвестным возмущением полиномиального типа. Алгоритм управления имеет структуру динамической системы управления с глубиной памяти по состоянию объекта.

3. Разработаны алгоритмы синтеза дискретных оптимальных фильтров и экстраполяторов для линейных объектов, возмущения которых содержат неизвестную постоянную составляющую.

4. Разработан алгоритм синтеза локально-оптимальных управлений для объектов с запаздыванием в контуре управления при косвенных измерениях возмущений, модель которого содержит неизвестные параметры. Предложенный алгоритм не требует увеличения размерности вектора состояния, является динамическим и построен с использованием фильтров и экстраполя-тора.

5. Решены практические задачи управления запасами с учетом дополнительных ограничений и дополнительных критериев.

Заключение

1. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы. Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1989. - 264 с.

2. Амосов А.А., Колпаков В.В. Скалярно-матричное дифференцирование и его применение к конструктивным задачам теории связи // Проблемы передачи информации. 1972. -№ 1. С. 3-15.

3. Бодянский Е.В., Борячок М.Д. Локально-оптимальное псевдодуальное управление объектами с неизвестными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1992. № 2. - С.90-97.

4. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. -М.: Наука, 1972. 200 с.

5. Буков В.Н. Адаптивные прогнозирующие системы управления полетом // -М.: Наука, 1987.-232 с.

6. Востриков А.С. Синтез нелинейных систем методом локализации. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1990. - 120 с.

7. Герасимов Е.С., Домбровский. В.В. Динамическая сетевая модель управления инвестициями при квадратической функции риска //Автоматика и телемеханика. 2002. -№ 2. С. 119-128.

8. Головин И .Я., Ширяев В.И. Оптимальное управление фирмой при изменении спроса на ее продукцию // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2001. -№4.-С.95-101.

9. Горский А.А., Колпакова Н.Г., Локшин Б.Я. Динамическая модель производства, хранения и сбыта товара повседневного спроса // Изв. РАН Теория и системы управления. 1998. № 1. — С. 144-149.

10. Ю.Дегтярев Г.Л., Сиразетдинов Т.К. Теоретические основы оптимального управления космическими аппаратами. -М.: Машиностроение, 1986.-216 с.

11. П.Дегтярев Г.Л., Ризаев И.С. Синтез локально-оптимальных алгоритмов управления летательными аппаратами. -М.: Машиностроение, 1991.- 304 с.

12. З.Емельянов С.В., Коровин С.К. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности. М.: Наука, 1997. -352 с.14.3убов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. -495 с.

13. Казаков И.Е. Оптимальное управление при вероятностном локальном критерии и ограничениях // Автоматика и телемеханика. 1973. — № 2.-С. 44-51.

14. Казаков И.Е. Оптимизация управления в нелинейной стохастической системе по локальному критерию // Изв. РАН Теория и системы управления. 1996.-№ 6.-С. 102-109.

15. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.:1. Мир, 1977.-650 с.

16. Кельманс Г.К., Позняк А.С., Черницер А.В. Локально-оптимальное управление объектами с неизвестными параметрами // Автоматика и телемеханика. 1982. №10. - С. 80-95.

17. Коган М.М., Неймарк Ю.И. Адаптивное локально-оптимальное управление // Автоматика и телемеханика. 1987. — №8. — С. 126-136.

18. Коган М.М., Неймарк Ю.И. Функциональные возможности адаптивного локально-оптимального управления // Автоматика и телемеханика. 1994. —№6. С. 94-105.

19. Кориков A.M. Основы теории управления. Учебное пособие. Изд-во НТЛ. Томск, 2002. 392 с.

20. Кошаев Д.А. Многоальтернативный метод обнаружения и оценки нарушений на основе расширенного фильтра Калмана // Автоматика и телемеханика. 2010. №5. - С. 70-83.

21. Красовский А.А. Неклассическая оптимизация и адаптивное управление // Изв. РАН Техническая кибернетика. 1992. №6. - С 3-17.

22. Ли Р. Отимальные оценки, определение характеристик и управление.-М.: Наука, 1966.- 176 с.

23. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. Нелинейная фильтрация и смежные вопросы. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1974. —696 с.

24. Лотоцкий В.А. Управление запасами при частично наблюдаемом спросе//Статистические методы теории управления. -М.: Наука, 1978.- С. 222-224.

25. Лотоцкий В.А., Мандель А.С. Модели и методы управления запасами. -М.: Наука, 1991.- 189 с.

26. Методы робастного, нейро-нечеткого и адаптивного управления: Учебник / Под ред. Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.-744 с.

27. Мирошник И.В., Никифоров В.О., Фрадков A.JI. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000. - 549 с.

28. Модели и методы логистики / под Ред. В.С.Лукинского. СПб.: Питер, 2007. - 448 с.

29. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.-424 с.

30. Никифоров В.О. Адаптивное и робастное управление с компенсацией возмущений. СПб.: Наука, 2003. - 282 с.

31. Панченко А.Н. Экстремальные задачи управления движением с локальными функционалами // Проблемы устойчивости движения, аналитической механики и управления. Новосибирск: Наука, 1979. - С. 190-202.

32. Параев Ю.И. Введение в статистическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Сов.радио, 1976. - 184 с.

33. Параев Ю.И. Алгебраические методы в теории линейных систем управления. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1980. - 140с.

34. Параев Ю.И. Уравнения Ляпунова и Риккати. Томск: Изд-во Томск, унта, 1989. - 168 с.

35. Параев Ю.И. Решение задачи об оптимальном производстве, хранении и сбыте товара // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2000. № 2.- С.103-107.

36. Параев Ю.И. Двухкритериальная задача оптимального производства и сбыта товара // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2003. — № 1.- С.138-141.

37. Параев Ю.И., Перепелкин Е.А. Линейные матричные уравнения в задачах анализа и синтеза многосвязных динамических систем. — Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2000. 120 с.

38. Параев Ю.И., Цветницкая С.А. Управление инвестиционным портфелем в задаче слежения // Вестник Томского государственного университета. 2006. №290. - С. 187-189.

39. Первозванский А. А. Математические модели в управлении производством. М.: Наука, 1975. - 616 с.

40. Перепелкин Е.А. Прогнозирующее управление экономической системой производства, хранения и поставок товара потребителям // Экономика и математические методы. 2004. Т.40. - №1. - С 125-128.

41. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961. - 384 с.

42. Пугачев B.C., Синицин И.Н. Стохастические дифференциальные уравнения М.: Наука, 1990. - 630 с.

43. Растригин Л.А. Системы экстремального управления. — М.: Наука,1974.- 632 с.

44. Рубан А.И. Идентификация и чувствительность сложных систем. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1982. — 302с.

45. Рыжиков Ю.И. Теория очередей и управление запасами. СПб.: Питер, 2001.-376 с.

46. Смагин В.И., Параев Ю.И. Синтез следящих систем управления по квадратичным критериям. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1996. - 171 с.

47. Смагин В.И., Смагин С.В. Управление запасами по двум критериям с учетом ограничений // Вестник Томского государственного университета. Математика, кибернетика, информатика. 2006. № 290. - С. 244-246.

48. Смагин С.В. Управление выходом линейной дискретной системы с мультипликативными возмущениями // Вестник Томского государственного университета. Математика, кибернетика, информатика. 2006. -№293.-С. 126-128.

49. Смагин С.В. Управление выходом дискретной динамической системы // Материалы X Всерос. научно-практической конф. "Научное творчество молодежи". 4.1. Томск: Изд-во ТГУ, 2006. - С. 178-179.

50. Смагин С.В. Управление выходом дискретной системы с мультипликативными возмущениями // Материалы II Всерос. научно-практической конф. студентов, аспирантов и молодых ученых. "Инноватика-2006".- Томск: Изд-во ТГУ, 2006. С. 114-115.

51. Смагин С.В. Динамические следящие системы управления выходом объекта при неизвестных возмущениях // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. -№ 1(2).-С. 25-31.

52. Смагин С.В. Дискретная фильтрация для объекта с неизвестными возмущениями // Материалы XII Всерос. научно-практической конф. "Научное творчество молодежи". 4.1. Томск: Изд-во ТГУ, 2008. - С. 39-40.

53. Смагин В.И., Смагин С.В. Адаптивное управление запасами с учетом ограничений и транспортных запаздываний // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. № 3(4). - С. 19-26.

54. Смагин С.В. Динамические следящие системы управления при неизвестных полиномиальных возмущениях // Тез. докл. VII Российской конф. с междунар. участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных систем». Томск: Изд-во HTJI, 2008. - С. 103.

55. Смагин С.В. Фильтрация в линейных дискретных системах с неизвестными возмущениями // Автометрия. 2009. Т.45. - № 6. С. 29-37.

56. Смагин С.В. Экстраполяция в линейных дискретных системах с неизвестными возмущениями // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. -№2(11). С. 90-95.

57. Современные методы проектирования систем автоматического управления / Под ред. Б.Н. Петрова, В.В. Солодовникова, Ю.И. Топчеева. М.: Машиностроение, 1967. - 703 с.

58. Справочник по теории автоматического управления / Под редакцией А.А. Крассовского. -М.: Наука, 1987. 712 с.

59. Фомин В.Н. Рекуррентное оценивание и адаптивная фильтрация. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.- 288 с.

60. Фомин В.Н., Фрадков AJL, Якубович В.А. Адаптивное управление динамическими объектами. М.: Наука, 1980. — 408 с.

61. Фрадков А.Л. Адаптивное управление в сложных системах. М: Наука,, 1990.-296 с.

62. Фурасов В.Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов. М: Наука, 1982. - 192 с.

63. Цыпкин Я.З., Кельманс Г.К. Дискретные адаптивные системы управления // Итоги науки и техники. Сер. Техническая кибернетика. М.: ВИНИТИ, 1984.-Т. 17.-С. 3-73.

64. Цыпкин Я.З., Позняк А.С. Рекуррентные алгоритмы оптимизации в условиях неопределенности // Итоги науки и техники. Сер. Техническая кибернетика. -М.: ВИНИТИ, 1983. Т. 16. - С. 3-70.

65. Цыпкин Я.З., Поляк Б.Т. Псевдоградиентные алгоритмы адаптации и обучения // Автоматика и телемеханика. 1973. № 3. - С. 45-68.

66. Чураков Е.П. Оптимальные и адаптивные системы. Учебное пособие для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1987. - 255 с.

67. Ширяев В.И., Ширяев Е.В., Головин И.Я., Смолин В.В. Теория и алгоритмы для идентификации, адаптации и управления фирмой в условиях изменения ситуации на рынке // Информационные технологии. Приложение. 2002.-№4.-С. 1-24.

68. Ширяев В.И., Баев И.А., Ширяев Е.В. Экономико-математическое моделирование управления фирмой. М.: КомКнига, 2006. - 224 с.

69. Юркевич В.Д. Синтез дискретных систем управления методом динамического сжатия // Изв. РАН Техническая кибернетика. 1994. — № 6.- С. 223-233.

70. Astrom К., Eykhoff P. System identification -A survey // Automatica. 1971.- V.7. -Р.123-162.

71. Athans M. The matrix minimum principle // Inform, and Contr. 1968. — V.l 1. P. 592-606.

72. Camacho E.F., Bordons C. Model predictive control. Springer-Verlag. London. 2004. 405 p.

73. Chen J., Patton R. J. Optimal filtering and robust fault diagnosis of stochastic systems with unknown disturbances // IEE Proc. Control Theory Appl. 1996.-V. 143.-P.31-36.

74. Conte P., Pennesi P. Inventory control by model predictive control methods // Proc. 16th IFAC World Congress. Prague. 2005. P. 1-6.

75. Darouach M., Zasadzinski M. Unbiased minimum variance estimation for systems with unknown exogenous inputs // Automatica. 1997. V.33. - P. 717719.

76. Darouach M., Zasadzinski M., Xu S. J. Full-order observers for linear systems with unknown inputs // IEEE Trans, on Automat. Contr. 1999. V.AC-39.-P. 606.

77. Darouach M., Zasadzinski M., Boutayeb M. Extension of minimum variance estimation for systems with unknown inputs // Automatica. 2003.-V.39.-P. 867-876.

78. Friedland B. Treatment of bias in recursive filtering // IEEE Trans, on Automat. Contr. 1969. -V.AC-14. P. 359-367.

79. Gillijns S., Moor B. Unbiased minimum-variance input and state estimation for linear discrete-time systems // Automatica. 2007. — V.43. P. 111-116.

80. Hopp Т. H., Schmitendorf W. E. Design of linear controller for robust tracking and model following // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 1990.-V.l 12, P. 552-558.

81. Hou M., Patton R. Optimal filtering for systems with unknown inputs // IEEE

82. Trans, on Automat. Contr. 1998. V.AC-43. - P. 445-449.

83. Hsieh C.-S. A unified solution to unbiased minimum-variance estimation for systems with unknown inputs // Proc.l7th World Congress The International Federation of Automatic Control. Seoul. Korea. July 6-11, 2008. P. 1450214509.

84. Hsieh C.-S. Robust two-stage Kalman filters for systems with unknown inputs // IEEE Trans, on Automat. Contr. 2000. V. AC-45. - P. 2374-2378.

85. Hsieh C.-S. Extension of the optimal unbiased minimum-variance filter for systems with unknown inputs // Proc. 15th IEEE International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems. Tokushima. Japan. 2007. P. 217220.

86. Hsieh C.-S. Robust parameterized minimum variance filtering for uncertain systems with unknown inputs // Proc. American control conference. New York. 2007.-P. 5118-5123.

87. Seirstad A., Sydsaeter K. Optimal control theory with economic applications. Elsevier. Amsterdam, 2002. 445 p.