автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Анализ и синтез дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами

/

Государственный комитет Российской Федерации по высшему образованию

Санкт-Петербургский Государственный Институт Точной Механики и Оптики (технический университет)

На правах рукописи

Рюхин Валентин Юрьевич

Анализ и синтез дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами

Специальность 05.13.01 —Управление в технических системах

Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук

Научный руководитель — доктор технических наук профессор Григорьев В.В.

Санкт-Петербург — 1999

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ................................................................................. 4

1. Постановка задачи на исследование дискретных систем

с периодически изменяющимися коэффициентами ........... 9

1.1. Особенности линейных дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами ................................................... 10

1.2. Исследование качества процессов. Установившаяся и

переходная составляющие ............................................................ 18

1.3. Устойчивость дискретных систем с периодически изменяющимися параметрами ................................................... 28

1.4. Устойчивость линейных дискретных систем

с периодически изменяющимися коэффициентами ..................... 40

2. Проектирование статических регуляторов для дискретных систем

с периодически изменяющимися коэффициентами ............................... 48

2.1. Постановка задачи синтеза регуляторов для дискретных

систем с периодически изменяющимися коэффициентами ........... 49

2.2. Синтез модальных управлений для дискретных систем

с периодически изменяющимися коэффициентами ..................... 56

2.3. Синтез оптимальных управлений для дискретных систем

с периодически изменяющимися коэффициентами на основе

метода Ляпунова ................................................................................. 67

2.4. Синтез регулятора со встроенной моделью внешних воздействий для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами ................................................................................. 76

3. Синтез динамических регуляторов для дискретных систем

с периодически изменяющимися коэффициентами ............................... 92

3.1. Устройство оценки состояний полной размерности для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами с неполной информацией ............................... 93

3.2. Устройство оценки состояний пониженной размерности для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами с неполной информацией ............................... 100

3.3. Синтез динамического регулятора для дискретной системы

с периодически изменяющимися коэффициентами с устройством оценки полной размерности ............................................................. 105

3.4. Синтез динамического регулятора для дискретной системы

с периодически изменяющимися коэффициентами с устройством оценки пониженной размерности ................................................... 112

3.5. Синтез дифференциальных регуляторов для дискретных систем

с периодически изменяющимися коэффициентами ..................... 116

4. Синтез регуляторов для систем пространственного слежения........... 125

4.1. Обзор принципов построения систем пространственного

слежения ........................................................................................... 127

4.2. Математическая модель следящей локационной станции

с коническим сканированием ............................................................. 132

4.3. Синтез регуляторов для следящей локационной станции

с коническим сканированием ............................................................. 138

Заключение ........................................................................................... 161

Литература ........................................................................................... 163

Приложение........................................................................................... 172

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Возросшие требования к улучшению качественных характеристик систем автоматического управления приводят разработчиков к необходимости более точного описания исходного объекта, а также самой системы автоматического управления. При этом разработчики часто сталкиваются с ситуацией, что рассматриваемая система является нестационарной. Существующий математический аппарат для исследования нестационарных систем в ряде случаев не достаточен для решения практических задач.

К примеру, с увеличением требований к точности измерения угловых координат движущихся объектов в импульсной локации возникает проблема обеспечения высокого качества процессов в следящих угломерных системах. В режиме захвата следящая система по углам места и азимута должна обеспечить заданное время переходного процесса с минимальным перерегулированием, а в режиме сопровождения цели— надёжное, без срывов, слежение с минимальными ошибками. Одним из направлений обеспечения высокого качества в следящих локаторах с коническим сканированием является учёт процессов, происходящих внутри посылок облучающих импульсов, что особенно актуально для систем с редкими посылками за период сканирования. Математическая модель угломерной системы в этом случае сводится к системе разностных матричных уравнений с периодически изменяющимися коэффициентами. В данном случае под периодическими изменениями коэффициентов понимается повторяемость коэффициентов через постоянный интервал периодичности, а также и сами коэффициенты могут изменяться по периодическому закону.

В современной литературе значительное внимание уделено изучению нестационарных непрерывных систем с периодически изменяющимися ко-

эффициентами [4, 25, 28, 48, 50-53, 57, 58, 61, 62, 64, 67, 71-76, 79, 81]. В меньшей степени встречаются исследования, касающиеся нестационарных дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами [12, 13, 18, 24, 27, 36, 41, 49, 70]. В данной работе разрабатываются вопросы, связанные с анализом качества и синтезом регуляторов для линейных нестационарных дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами.

С точки зрения теории управления системы с периодически изменяющимися коэффициентами являются нестационарными системами. Это обуславливает трудности, возникающие при построении процедур анализа качества процессов и синтеза регуляторов для такого рода систем.

В данной работе будет использоваться подход, который позволяет свести исследование нестационарной линейной дискретной системы с периодически изменяющимися коэффициентами к изучению стационарной системы, путём рассмотрения поведения исходной системы через интервал периодичности. Очевидным достоинством такого подхода является тот факт, что он позволит воспользоваться всем многообразием методов, которые используются при анализе качества и синтезе регуляторов для линейных стационарных систем.

В теории линейных стационарных систем одним из методов анализа качества процессов является методика выделения переходной и установившейся составляющей процессов, развитая в работах Григорьева В.В. [17, 19, 63]. Переходная составляющая определяет динамические показатели системы, а установившаяся— точностные показатели системы в установившемся режиме. Другой подход к анализу качества процессов основан на методах исследования устойчивости Ляпунова А.М. [44], Барбашина Е.А. [7,8], Матро-сова В.М. [46, 66], Зубова В.И. [31], Фурасова В.Д. [69], Руша Н. [59].

В основе современной теории линейных систем автоматического управления лежит метод пространства состояний. Среди различных направ-

лений проектирования регуляторов, использующих данный метод, наибольшей популярностью пользуются две. Первая из них связана с методами модального управления, широко представленного в работах Андреева Ю.Н. [4], Кузовкова Н.Т. [40]. Метод модального управления позволяет обеспечить в замкнутой системе заранее выбранное распределение корней характеристического полинома. Другое направление связано с использованием методов оптимизации системы, развитое в работах Летова A.M. [42], Красовского A.A. [37], Красовского H.H. [38], Брайсона А. [11], Дегтярёва Г.Л. [29], Воронова A.A. [15], Атанса М. [6]. В основе методов оптимизации систем лежит сведение к минимуму некоторого функционала, характеризующего качество системы.

Целью диссертационной работы является модификация процедур анализа и синтеза, используемых при исследовании дискретных линейных стационарных систем, для их последующего использования в процедурах анализа и синтеза линейных нестационарных дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами.

Для достижения поставленной цели решены следующие задачи:

1. Анализ качества-процессов в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами на основе выделения переходной и установившейся составляющих переходного процесса;

2. Оценка качества процессов в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами на основе понятия экспоненциальной устойчивости;

3. Синтез регуляторов для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами на основе метода модального управления;

4. Синтез регуляторов для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами на основе метода локальной оптимизации.

Основные научные результаты.

1. Модифицированные алгоритмы выделения переходной и установившейся составляющих процессов в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами;

2. Достаточные локальные условия экспоненциальной устойчивости дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами на каждом шаге внутри интервала периодичности и достаточные интегральные условия экспоненциальной устойчивости дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами через интервал периодичности

3. Модифицированное уравнение типа Ляпунова, как критерий экспоненциальной устойчивости дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами;

4. Модифицированный метод модального управления для синтеза регуляторов для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами;

5. Алгоритмы синтеза статических и динамических регуляторов для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами на основе полученных модификаций методов синтеза.

6. Технология и алгоритмическое обеспечение проектирования регуляторов для угломерного тракта следящих локационных станций с коническим сканированием с малым числом посылок облучающих импульсов на оборот сканирования, описание которых сводится к модели дискретной системы с периодически изменяющимися коэффициентами.

Новизна научных результатов.

1. На основе достаточных интегральных условий экспоненциальной устойчивости получено новое модифицированное уравнение типа Ляпунова, которое позволяет задать ограничение быстродействия процессов в дискрет-

ных системах с периодически изменяющимися коэффициентами через интервал периодичности, путём введения параметра обобщённой скорости сходимости траекторий движения системы к положению равновесия;

2. Разработана новая модификация метода локальной оптимизации, заключающаяся в решение на каждом шаге внутри интервала периодичности системы модифицированных уравнений типа Риккати или системы модифицированных уравнений типа Ляпунова, относительно к (где к— интервал периодичности) матриц линейных обратных связей, обеспечивающих желаемые динамические свойства в дискретной системе с периодически изменяющимися коэффициентами через интервал периодичности, которые задаются с помощью величины обобщённой скорости сходимости траекторий движения к положению равновесия;

3. Разработана новая модификация метода модального управления, заключающаяся в решении к уравнений типа Сильвестра на каждом шаге внутри интервала периодичности, с последующим нахождением к матриц линейных обратных связей, обеспечивающих желаемые динамические свойства в дискретной системе с периодически изменяющимися коэффициентами через интервал периодичности.

Практическая ценность. Результаты диссертационной работы могут быть использованы при исследовании линейных нестационарных систем автоматического управления, в принципах работы которых заложена периодичность. В ходе работы на базе пакета прикладных программ МАТЬАВ разработан пакет "11еди1а1;ог_М", предназначенный для проектирования регуляторов и анализа качества процессов в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами, в дискретных стохастических системах и, в частном случае, в линейных стационарных системах.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ НА ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ С ПЕРИОДИЧЕСКИ ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

При исследовании систем автоматического управления (САУ) важной составляющей процедуры является анализ качества процессов [26]. Типовой набор показателей качества САУ включает показатели качества процессов, характеризующие переходные режимы, и показатели точности, характеризующие установившиеся режимы [19]. К переходным режимам предъявляются требования по времени переходного процесса и перерегулирования, которые должны быть минимальными. К установившимся режимам предъявляется требование по величине ошибки отработки системой внешнего воздействия, которая в идеале должна стремиться к нулю. Если после проведённых исследований становится ясным, что система не удовлетворяет заданным показателям качества, перед проектировщиком встаёт задача обеспечить выполнение системой этих требований.

Другим важным свойством системы является устойчивость, которая представляет собой необходимое условие работоспособности [9}. Из теории линейных дискретных стационарных систем известно, что для того чтобы замкнутая система была устойчива, её корни должны располагаться в круге единичного радиуса [32]. Существует множество критериев определения устойчивости систем [9, 15, 20, 30]. В данной работе будет использоваться прямой метод Ляпунова, позволяющий определить асимптотическую устойчивость системы [44]. Также будут представлены понятия экспоненциальной и качественной экспоненциальной устойчивости, которые накладывают дополнительные требования на устойчивость системы, повышая при этом её качественные показатели [35].

В работе [4] при исследовании линейных непрерывных систем с периодически изменяющимися коэффициентами, показано, что такую нестационарную систему при помощи преобразования Ляпунова можно свести к линейной стационарной. Сведение нестационарной системы к стационарной позволяет воспользоваться всем многообразием методов, используемых при анализе устойчивости и качества стационарных систем.

Логичным будет применить подобный подход для исследования линейных дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами. В случае дискретных систем, вместо использования преобразования Ляпунова, исследование нестационарной дискретной системы с периодически изменяющимися коэффициентами сводится к изучению поведения системы через интервал периодичности. Через интервал периодичности дискретная система с периодически изменяющимися коэффициентами не является системой с периодически изменяющимися коэффициентами и становится стационарной, что облегчает проведение процедур анализа и синтеза таких систем.

1.1 Особенности линейных дискретных систем с периодически

Рассмотрим уравнение, описывающее модель замкнутой линейной дискретной системы с периодически изменяющимися коэффициентами:

изменяющимися коэффициентами

(1.1)

где х— вектор состояния системы, хей"; — вектор начальных состояний; у—вектор регулируемых величин, уеЯ1; т= 0, 1, 2, ...— дискретные

моменты времени; к— интервал периодичности; /=0, 1, ..., (к-1)— номер временного шага системы внутри интервала периодичности; — ^-периодическая матрица описания замкнутой системы на (г+1)-ом шаге внутри интервала периодичности, размерностью п х п; С,+1— ^-периодическая матрица выхода на (/+1)-ом шаге внутри интервала периодичности, размерностью I хп.

Определение 1.1 Под ^-периодической матрицей мы будем понимать такую матрицу, для которой выполняется условие, что через интервал периодичности к матрица будет иметь такое же значение, как и на текущем шаге внутри интервала периодичности, т.е. Р^и = Р] для любого } .

Замечание 1.1 В дальнейшем мы будем называть ^-периодическую матрицу просто периодической, так как в контексте решаемых в работе задач все ^-периодические матрицы будут иметь один и тот же интервал периодичности равный к.

Исходная система (1.1) является линейной нестационарной, что определяет сложность проведения процедур анализа и синтеза таких систем, так как на каждом шаге внутри интервала периодичности мы каждый раз сталкиваемся с различными матрицами описания. Периодичность, в соответствии с определением 1.1, подразумевает под собой не закон изменения коэффициентов матриц описания системы, а то, что через интервал периодичности матрицы описания системы начинают повторяться. Попробуем свести описание линейной нестационарной системы к стационарной, рассмотрев поведение траекторий движения системы (1.1) через интервал периодич