автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Аналитическое конструирование регуляторов на основе условий качественной экспоненциальной устойчивости

На правах рукописи

%г

Рабыш Евгений Юрьевич

Аналитическое конструирование регуляторов на основе условий качественной экспоненциальной устойчивости

05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в технических системах)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

1 7 НОЯ 2011

Санкт-Петербург - 2011

005002483

Работа выполнена в Санкт-Петербургском национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики.

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Григорьев Валерий Владимирович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Шишлаков Владислав Федорович

кандидат технических наук, доцент Башарин Игорь Артемьевич

Ведущая организация:

ФГУП ОКБ "Электроавтоматика" г. Санкт-Петербург

Защита состоится 6 декабря 2011 года в 16 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.227.03 при Санкт Петербургском национальном исследовательском университете информационных технологий, механики и оптики по адресу: 197101, Санкт-Петербург, Кронверкский пр., д.49, НИУ ИТМО.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики.

Автореферат разослан 5 ноября 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Дударенко Н.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из наиболее широко распространенных научных направлений теории управления является линейно-квадратичное регулирование или аналитическое конструирование оптимальных регуляторов, основанное на минимизации квадратичного критерия качества. Задачи данного типа впервые были рассмотрены в работах Р. Калмана и A.M. Летова. Несмотря на чрезвычайную популярность и видимые достоинства, методология квадратичной оптимизации процессов управления неоднократно подвергалась резкой критике со стороны ведущих ученых. Одним из первых, кто подверг критике квадратичные критерии качества, был В.В. Солодовников, который еще в 1953 г. в своем известном докладе по проблемам качества автоматических систем подчеркивал, что "между значениями квадратичных интегральных оценок и показателей качества, к сожалению, не существует определенного соответствия". Р. Беллман, касаясь задачи АКОР, отмечал, что данной "менее важной задачей" часто заменяют исходную, "более реалистичную задачу" оптимизации, и подчеркивал: "Это напоминает историю об одном человеке, который, потеряв кольцо посреди улицы, искал его под фонарем, потому что там светлее", хотя оно "оставалось в той непроглядной темноте, которая показалась слишком затруднительной для поисков". Впоследствии в работах Р. Калмана, Р. Беллмана и Р. Калабы была поставлена задача о связи между весовыми коэффициентами квадратичного критерия оптимальности и динамическими свойствами оптимизируемых процессов управления, именуемая задачей обращения, или обратной задачей АКОР. До настоящего времени предпринимались многочисленные попытки ее решения. Здесь следует выделить, прежде всего, работы отечественных ученых: А.М. Летова, A.A. Красовского, Я. Курцвейля, Ю.П. Плотникова,

A.Г. Александрова, В.Н. Романенко, Ч.П. Даса, Р.Т. Янушевского,

B.А. Подчукаева, В.Д. Фурасова, Л.И. Кожинской, Н.В. Кухарснко, Г.А. Крыжановского, Филимонова Н.Б. и др. С другой стороны, классические методы оптимизации по квадратичным критериям качества из-за трудности связи параметров квадратичного функционала с прямыми показателями качества процессов оптимизируемой системы породили различные направления для их обхода. К примеру. A.A. Колесниковым предложен синергетический подход к аналитическому конструированию систем управления.

Развитие аналитических методов конструирования регуляторов для систем автоматического управления, ориентированных на использование ЭВМ в процессе проектирования потребовало установление связей этих методов с качеством процессов синтезируемой системы. И если первоначально эти методы гарантировали асимптотическую устойчивость, то последующее их развитие позволило обеспечить экспоненциальную устойчивость, тесно связанную с оценками быстродействия. Однако экспоненциальная устойчивость гарантирует нам только скорость сходимости процессов к положению равновесия, но никак не влияет на качество их поведения, поэтому далеко не всегда приводит к требуемым показателям переходных процессов

систем автоматического управления. Для оценки кроме быстродействия еще и качественных показателей процессов (колебательности) вводится понятие качественной экспоненциальной устойчивости, являющейся сужением понятия экспоненциальной устойчивости благодаря введению условий, ограничивающих фактически значения скорости изменения нормы вектора состояния системы, т.е. качественно экспоненциально устойчивые системы отличаег от экспоненциально устойчивых меньшая колебательность и большая плавность процессов.

Одной из актуальных проблем теории управления является анализ поведения неустойчивых систем управления (систем с параметрическими нарушениями), ведь результаты этого анализа являются ценными для принятия решений при выходе из строя автоматической системы управления, когда неустойчивая система управления может представлять собой существенную угрозу, опасность и для человека, и для окружающей среды. При проектировании такой опасной системы управления обязательно необходимо позаботиться о том, чтобы при потере управления, вызванного той или иной причиной, срабатывала система защиты и сигнализации, основанная на динамических свойствах самой системы управления и обеспечивающая минимизацию потерь, связанных с таким инцидентом. Для этого используется понятие качественной экспоненциальной неустойчивости, тесно связанной с качественными показателями процессов неустойчивых систем управления благодаря введению условий, ограничивающих фактически значения скорости изменения нормы вектора состояния системы, что непосредственно связано со степенью расходимости переходных процессов.

Возросшие требования к улучшению качественных характеристик систем автоматического управления приводят разработчиков к необходимости более точного описания исходного объекта, а также самой системы автоматического управления, другими словами возникает потребность учета изменения параметров во времени и адаптации методов анализа и синтеза подобных систем к этому изменению. В приложениях линейные периодические уравнения часто возникают при линеаризации нелинейных систем в окрестности их периодических решений. Периодические линейные уравнения являются простейшим и довольно хорошо изученным классом нестационарных уравнений. Однако существующие методы теории управления для исследования нестационарных систем в ряде случаев не эффективны при решении практических задач. Особое внимание уделяется классу дискретных систем с периодическими коэффициентами, как классу систем, имеющему прикладное значение. К такому классу систем можно отнести радиотехнические, акустические, оптические следящие системы со сканированием, а также системы наведения и ориентации научных приборов.

Данная работа базируется на использовании теории локально-оптимального управления, активно разрабатываемой В.И. Зубовым, 1 .Л. Дегтяревым, Г.А. Дидуком, методов исследования устойчивости A.M. Ляпунова, Е.А. Барбашина, Е.С. Пятницкого, оценок качества процессов динамических систем, введенных в работах В.В. Солодовникова,

Е.А. Барбашина, A.M. Шубладзе и достаточных условий экспоненциальной устойчивости В.Д. Фурасова.

Цель диссертационной работы. Целью диссертационной работы является построение алгоритмов как аналитического анализа динамических свойств устойчивых и неустойчивых многомерных непрерывных и дискретных объектов управления, так и аналитического синтеза для них регуляторов при помощи полученных аналитических выражений оценок динамических показателей качества переходных процессов.

Научная новизна работы:

• для аналитического анализа динамических свойств многомерных непрерывных и дискретных объектов управления и аналитического синтеза для них регуляторов найдены аналитические выражения оценок прямых показателей качества переходных процессов в виде времени переходного процесса и перерегулирования;

• для аналитического анализа динамических свойств неустойчивых многомерных непрерывных и дискретных систем управления найдены аналитические выражения оценок критического времени переходного процесса и выброса;

• для аналитического анализа динамических свойств многомерных дискретных объектов управления с периодически изменяющимися коэффициентами и аналитического синтеза для них регуляторов найдены достаточное условие экспоненциальной устойчивости и аналитическое выражение оценки времени переходного процесса.

Практическая значимость и реализация результатов.

Применеиие полученных алгоритмов синтеза регуляторов как для непрерывных, так и для дискретных систем управления позволит значительно улучшить эффективность управления за счет их связи с прямыми показателями качества переходных процессов (временем переходного процесса и перерегулированием); аналитически анализировать динамические свойства неустойчивых многомерных непрерывных и дискретных систем управления, что приведет к увеличению эффективности принятия решений и безопасности при выходе из строя автоматической системы управления, когда неустойчивый объект управления может представлять собой существенную угрозу, опасность и для человека, и для окружающей среды.

Методы исследования. Методы и подходы, используемые в работе базируются на использовании как классических методов исследования, так и современных методик и технологий теории управления. Применение матричного формализма с использованием уравнений типа Ляпунова для решения задач отыскания управления позволяет с единых позиций при использовании единого алгоритмического обеспечения решать различные задачи анализа непрерывных и дискретных объектов управления и синтеза для них регуляторов. Классический метод Ляпунова по-прежнему обладает большой степенью общности применительно к исследованию объектов и систем управления различного класса - непрерывных, дискретных, линейных, нелинейных.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

• алгоритмы аналитического анализа динамических свойств как многомерных непрерывных и дискретных объектов управления, так и многомерных непрерывных и дискретных неустойчивых систем управления, использующие полученные аналитические выражения оценок времени переходного процесса, перерегулирования, критического времени переходного процесса и выброса;

• алгоритм аналитического синтеза регуляторов для многомерных непрерывных и дискретных систем, использующий полученные аналитические выражения оценок времени переходного процесса и перерегулирования;

• алгоритмы как аналитического анализа динамических свойств многомерных дискретных объектов управления с периодически изменяющимися коэффициентами, так и аналитического синтеза для этих объектов управления регуляторов, использующие полученные достаточное условие экспоненциальной устойчивости и аналитическое выражение оценки времени переходного процесса.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались па следующих научных конференциях: Международная научная конференция "Системный синтез и прикладная синергетика ССГ1С-2009", Пятигорск, 2009; XL научная и учебно-методическая конференция СПбГУ ИТМО, 2011; XIII конференция молодых ученых "Навигация и управление движением", Санкт-Петербург, 2011; VIII Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, 2011; Конференция "Информационные технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации (ITRT-2011)", Тольяти, 2011; Международная конференция по математической теории управления и механики, (МТСМ-2011), Суздаль, 2011; Международная научная конференция " Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления", Владивосток, 2011; 4-ая Международная научная конференция "Системный синтез и прикладная синергетика (ССПС-2011)", Пятигорск, 2011.

Работа выполнена на кафедре Систем Управления и Информатики Санкт-Петербургского национального исследовательского университета информационных технологий, механики и оптики и поддержана грантом РФФИ (грант РФФИ № 09-08-00857-а «Методология применения теории качественной устойчивости при проектировании систем управления адаптивной оптикой»).

Разработанные алгоритмы были экспериментально исследованы как с помощью математического моделирования в пакете Simulink программного комплекса MATLAB. так и на реальном объекте - роботе NXT Ballbot.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах в рецензируемых журналах [1-5] входящих в перечень ВАК, а также в 5 статьях в сборниках научных трудов всероссийских и международных конференций [6-10].

Объем н структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех основных глав с выводами и заключением. Основная часть работы изложена на ИЗ страницах. Список литературы включает 69 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ввсденин обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения.

Первая глава посвяшена анализу существующих видов устойчивости и неустойчивости многомерных непрерывных и дискретных систем, а также нахождению достаточных условий экспоненциальной устойчивости для многомерных дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами.

Непрерывная динамическая система описывается дифференциальным уравнением вида:

=/-(хЮ), (1)

где хеа" - вектор состояния системы, х(0) = х0 6 К™ - вектор начальных состояний, С > 0 - время, / - п-мерная нелинейная вектор-функция векторного аргумента, такая что при любых х0 6 Е" решение х 6 М™ уравнения (1) существует и единственно.

Непрерывная система (1) в положении равновесия х — 0 является качественно экспоненциально (/?, г) устойчивой, если для любых траекторий движения системы исходящих из произвольных начальных условий х0 е ]&" существуют такие параметры р (р > 1), г (г > 0) и /? (/? < -г), при которых в любой момент времени I > 0 выполняется условие:

||*(0 - Ло|| < - е*)11*о11. (2)

Непрерывная система (1) в положения равновесия х = 0 является качественно экспоненциально (/?, г) неустойчивой, если для любых траекторий движения системы исходящих из произвольных начальных условий х0 £ Мп существуют такие параметры р (р > 1), г (г > 0) и р (/? > г), при которых в любой момент времени 0 выполняется условие (2).

Здесь и в дальнейшем норма вектора задается соотношением:

Ы = Е?=1*?]', О)

где х,- - ¡-ая компонента вектора состояния х.

Для оценки процессов используется квадратичная функция Ляпунова:

1/0) = хт Рх, (4)

где Р - симметрическая положительно определенная матрица размерности П X п.

Непрерывная система (1) в положении равновесия х — 0 является качественно экспоненциально (/?, г) устойчивой, если для любых траекторий движения системы исходящих из произвольных начальных условий х0 6 К" существуют такая квадратичная функция Ляпунова и такие параметры г (г > 0) и /? (/? < -г), при которых в любой момент времени I > 0 выполняется условие:

У(*(0-М0)<г2г(*С0). (5)

Непрерывная система (1) в положении равновесия х = 0 является качественно экспоненциально (Р,г) неустойчивой, если для любых траекторий движения системы исходящих из произвольных начальных условий х0 6 Еп существуют такая квадратичная функция Ляпунова и такие параметры г (г > 0) и р (/? > г), при которых в любой момент времени t > 0 выполняется условие (5).

Дискретная динамическая система описывается разностным уравнением

вида:

х(т + 1) = /(х(ж)), (6)

где т — 0,1,2... - номер интервала дискретности, f - п-мерная нелинейная вектор-функция векторного аргумента, такая что при любых х0 € К" решение х е М" уразнения (6) существует и единственно.

Дискретная система (6) в положении равновесия х = 0 является качественно экспоненциально (/?,г) устойчивой, если для любых траекторий движения системы исходящих из произвольных начальных условий ха £ К" существуют такие параметры р (р > 1), г (г > 0) и /? (0 < /? < 1 — г), при которых для любого номера интервала дискретности т > 0 выполняется условие:

||дг(ш) - Г*о11 < ЫР+ гГ - /?т)1!х0||. (7)

Дискретная система (6) в положении равновесия х = 0 является качественно экспоненциально (/?, г) неустойчивой, если для любых траекторий движения системы исходящих из произвольных начальных условий х0 е К" существуют такие параметры р (р > 1), г (г > 0) и /? (/5 > X + г), при которых для любого номера интервала дискретности т > 0 выполняется условие (7).

Дискретная система (6) в положении равновесия х = 0 является качественно экспоненциально (/?,г) устойчивой, если для любых траекторий движения системы исходящих из произвольных начальных условий ха 6 Е" существуют такая квадратичная функция Ляпунова и такие параметры г (г > 0) и р (0 < р < 1 — г), при которых для любого номера интервала дискретности т > 0 выполняется условие:

У{х(т + 1) - Рх(т)) < г2У(х(тУ). (8)

Дискретная система (6) в положении равновесия х — 0 является качественно экспоненциально (/?, г) неустойчивой, если для любых траекторий движения системы исходящих из произвольных начальных условий х0 £ Р/1 существуют такая квадратичная функция Ляпунова и такие параметры г (г > 0) и р 0? > 1 + г), при которых для любого номера интервала дискретности т > 0 выполняется условие (8).

На рис. 1 изображены оценочные трубки, получаемые из условий экспоненциальной и качественной экспоненциальной устойчивостей.

Дискретная система с периодически изменяющимися коэффициентами описывается разностным уравнением вида:

х((тк + 0 + 1) = Р1+1х(тк 4- 0, (9)

где к — интервал периодичности; 4 = ОД, ...,к- 1 — номер временного шага системы внутри интервала периодичности; РН] — к-периодическая матрица

описания замкнутой системы на 0 + 1)-ом шаге внутри интервала периодичности, размерностью п X п.

а) экспоненциальной устойчивости б) качественной экспоненциальной устойчивости.

Для любого дискретного момента времени т значение вектора состояния системы (9) удовлетворяет соотношению:

х(тк) = Ртх( 0), (10)

где Р — обобщённая матрица описания уравнения движения замкнутой системы, определяемая выражением:

Р^Пи-^иг- (11)

Дискретная система с периодически изменяющимися коэффициентами (9) является экспоненциально устойчивой, если существуют такие параметры р (р > 1) и Л (л < 1), при которых для любого номера интервала дискретности т > 0 выполняется условие:

[|*(т«||<р1эт||х(0)||, (12)

где А — обобщенная степень затухания, определяется из выражения:

* = (13)

Дискретная система (9) экспоненциально устойчива, если существуют такая квадратичная функция Ляпунова и такой параметр А (А < 1), при которых для любого номера интервала дискретности т > 0 выполняется условие

У[х{тк))<АгтУ{хЩ. (14)

Заметим, что из выполнения условий (5), (8) и (34) следуют оценки (2), (7) и (12) соответственно, при этом:

где сх и с2 - минимальное и максимальное собственные числа матрицы Р соответственно.

Вторая глава посвящена нахождению как аналитических выражений оценок динамических показателей качества переходных процессов, так и алгоритмов аналитического анализа непрерывных и дискретных объектов и систем управления на основе этих выражений.

Под временем переходного процесса в непрерывных и дискретных системах соответственно понимается значение t = ts, такое что:

IWOII = «УМ. (16)

ll*(m)|| = ff,||x0ll. (17)

то есть момент времени, начиная с которого переходной процесс входит в заданную ^-окрестность положения равновесия (Ss < 0,05).

Под перерегулированием в непрерывных и дискретных системах соответственно понимается величина а, определяемая уравнениями:

_ IMI ' (18)

1Ы • { '

где хт - миноранта ||*||, то есть функция, ограничивающая снизу текущие значения нормы вектора состояния, так что хт < ||x|| для любого момента времени. Перерегулирование косвенно характеризует колебательность в устойчивой динамической системе.

Получены оценки времени переходного процесса и перерегулирования для непрерывных систем:

ts =jlnto). (20)

ism,n(iBiM\ />,„{и>+щ

а = ре r W+r)/ - (р + i)ermW+r)i. (21)

Получены оценки времени переходного процесса и перерегулирования для дискретных систем:

ty = Tlogp{8s), (22)

a = PV + г)УФ*™> - (p + (23)

где T - интервал квантования.

Например, при параметрах качества:

ts = lc, Ss = 0,05, а - 0,05, р = 1, (24)

используя полученные оценки показателей качества и условия качественной экспоненциальной устойчивости, как для непрерывных, так и для дискретных систем получаем оценочную трубку, вид которой изображен на рис. 2. Все траектории системы, исходящие из области начальных значений вектора состояния и удовлетворяющие заданным показателям качества, лежат внутри этой оценочной трубки.

и t, С ' '

Рис. 2. Оценочные трубки из условий качественной экспоненциальной устойчивости.

Под критическим временем переходного процесса в непрерывных и дискретных системах соответственно понимается значение t = tc, такое что:

Цх(011 = №о11. (25)

ll*On)ll=ícIM. (26)

то есть момент времени, начиная с которого переходной процесс выходит за заданную критическую 6С-окрестность начального положения (5С > 1).

Под выбросом в непрерывных и дискретных системах соответственно понимается величина а0 (а0 > 1), определяемая уравнениями:

ff° ~ ¡wi ' {27)

_ _ шахтер, со) згт(т)

- ы ' (28)

где хт - миноранта ЦхЦ, то есть функция, ограничивающая снизу текущие значения нормы вектора состояния, так что хт < ||х|| для любого момента времени. Выброс косвенно характеризует колебательность в неустойчивой динамической системе.

Получены оценки критического времени переходного процесса и выброса для непрерывных систем:

£с =

0. /-«тугч (Я+г) /(р+р^ а0 = (р + 1)ег - ре г р+п)

а также получены оценки критического времени выброса для дискретных систем:

(29)

Жpir)J. (30)

переходного процесса и

<т0 = (р + йрУФ^ -р(р + г^Ф*™*.

(31)

(32)

(33)

Например, при параметрах качества:

= 1 с,8с = 10, р = 1,ст0 = 5, используя полученные оценки показателей качества и условия качественной экспоненциальной неустойчивости, как для непрерывных, так и для дискретных систем получаем оценочную трубку, вид которой изображен на рис. 3. Все

траектории системы, исходящие из области начальных значений вектора состояния и удовлетворяющие заданным показателям качества, лежат внутри этой оценочной трубки.

1М1

та

-........-/

У /

/

Рис. 3. Оценочные трубки из условий качественной экспоненциальной неустойчивости.

Под временем переходного процесса в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами понимается значение С = такое что:

1|х(тк)|| < <У*(0)|ит > ь/Т. (34)

то есть момент времени, начиная с которого переходной процесс не выходит за пределы заданной ^-окрестности положения равновесия.

Для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами получена оценка времени переходного процесса:

Ъ<Т (35)

где А определяется выражением (13).

Описание движения непрерывного объекта управления задайся уравнением вида:

¿(С) = АхСО + 5и(с), (36)

где ибВ'- вектор управления; А-пхп матрица описания объекта; В - п х к матрица входов.

Описание движения дискретного объекта управления задается уравнением вида:

х(т + 1) = Ах(т) + Ви(тп), (37)

где А - п х п матрица описания объекта; В -пхк матрица входов.

Получен алгоритм аналитического анализа динамических свойств многомерных непрерывных и дискретных объектов управления с исходными данными - матрицей описания А:

1. По заданным показателям качества, т.е. времени переходного процесса и перерегулированию (а) определить значения параметров Риг. 3. Проверить на выполнение условия:

шах;Яг < 0,г = 1,2, ...,п, (38)

где Я; определяются из характеристического уравнения:

det[[G4 — ßOT(A — ßl) — r2l] — A/] = 0. (39)

Если условие (38) выполняются, то выполняются и заданные показатели качества переходного процесса.

Поведение непрерывной неустойчивой системы управления описывается дифференциальным уравнением вида:

х(0 = F«*(t), (40)

где Fu-nXn матрица описания системы.

Поведение дискретной неустойчивой системы управления описывается разностным уравнением вида:

х(т + 1) = Fux(jn), (41)

гд efu-nXn матрица описания системы.

Получен алгоритм аналитического анализа динамических свойств многомерных непрерывных и дискретных неустойчивых систем управления с исходными данными - матрицей описания Fu:

1. По заданным показателям качества, т.е. критическому времени переходного процесса (tc) и выбросу (<70) определить значения параметров ß и г. 3. Проверить на выполнение условия:

шах( Äi < 0, i = 1,2.....п, (42)

где Л; определяются из характеристического уравнения:

det[[(Fu - ßl)T(Fu - ßl) - r2I] - AI] = 0. (43)

Если условие (42) выполняются, то выполняются и заданные показатели качества переходного процесса.

Описание движения дискретного объекта управления задается уравнением вида:

х((тк + 0 + 1) = Ai+1x(mk + i) + BUlu{mk + (44)

где Al+1 - периодическая матрица описания объекта на (i + 1)-ом шаге внутри интеркала периодичности, размерностью п х n; Bi+l - периодическая матрица входов объекта по управляющему воздействию на (i + 1)-ом шаге внутри интервала периодичности, размерностью п X к.

Получен алгоритм аналитического анализа динамических свойств многомерных дискретных объектов с периодически изменяющимися коэффициентами с исходными данными - матрицами описания Ai+l:

1. По заданному значению времени переходного процесса (ts) определить значения параметра 1.

2. Проверить на выполнение условия:

шахг Л; < 0, £ = 1,2.....п, (45)

где Я-i определяются из характеристического уравнения:

det [[[niU-:Л'+1]Т[Ш=,-г Ai+1) - Я2/] - Я/] = 0. (46)

Если условие (45) выполняются, то выполняются и заданные показатели качества переходных процессов.

Третья глава посвящена нахождению алгоритмов аналитического синтеза регуляторов на основе метода локальной оптимизации, использующего условия экспоненциальной и качественной экспоненциальной устойчивостей и

полученных аналитических выражений оценок прямых показателей качества переходных процессов для многомерных непрерывных н дискретных объектов управления, а также для дискретных объектов с периодически изменяющимися коэффициентами.

В общем случае предполагая, что все переменные вектора состояния объекта управления доступны для измерения, управление ищется как функция состояний объекта управления в виде:

и = -Кх, (47)

где К -к х п матрица линейных стационарных обратных связей по состояниям объекта управления.

Получен алгоритм аналитического синтеза регуляторов по заданным прямым показателям качества для непрерывных или дискретных объектов управления с исходными данными - матрицами А, В:

1. Проверить пару А, В на полную управляемость.

2. По заданным показателям качества ts, а определить значения параметров риг.

3. Вычислить матрицу К, подставив параметр /? в уравнение:

К = (ВТВУ>ВТ(А -/?/), (48)

и проверить на выполнение условия:

maxj Л( < 0, ¿ = 1,2,..., п, (49)

где Л; определяются из характеристического уравнения:

det[[C4 - ВК - РОт(А -ВК- 01) - г2/] —А/] = 0. (50) В случае удовлетворения условия (49) выполняются заданные показатели качества.

4. В случае если не удается обеспечить устойчивость системе, то разрешить матричное уравнение типа Риккати:

(А -ВК- PI)TP(A -ВК- РО - r2P = -Q, (51)

К = 0ВтРВ)-гВтР{А - РО, (52)

- где Q - по крайней мере положительно полуопределенная симметрическая матрица размерностью п х п. Затем необходимо проверить на устойчивость полученную систему. В случае получения неустойчивой системы, изменив оценки качества, произвести коррекцию процедуры синтеза.

В общем случае предполагая, что все переменные вектора состояния объекта управления доступны для измерения. Линейный закон управления для объекта управления (44) будем искать в форме:

u(mk + i) = ~Ki+1x(mk + i),i = 0,1, ...,k - 1, (53)

где Ki+1 - матрицы линейных стационарных обратных связей размерностью кхп.

Для системы с периодически изменяющимися коэффициентами вводится в рассмотрение положительно определённая симметрическая матрица Р так, что квадратичная функция Ляпунова принимает вид:

V(x(mk)) = хт (mk)Pmkx(rnk). (54)

где Р — положительно определённая симметрическая матрица, размерностью

71 X 71.

Получен алгоритм аналитического синтеза регуляторов для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами с исходными данными - матрицами А1+1,

1. Проверить все пары /Ь (ВI г \ на полную управляемость.

2. По заданным показателям качества ^ определить значение параметра Л.

3. Вычислить матрицы

î^i+ii i:

0,l,...(fc-l,

(55)

(56)

Ki+i - {Bj+iBi+i)

и проверить на выполнение условия:

тах£Л; < 0,i = 1,2.....п,

где Ai определяются из характеристического уравнения:

det^nL^QW ~ - Bt+iKl+1)] -l2/] - A/J = О

В случае удовлетворения условия (56) выполняются заданные показатели качества.

4. В случае если не удается обеспечить устойчивость системе, то разрешить матричное уравнение типа Риккати:

[n?=k-iWi+i - fl(+iffi+i)]V[n(ViW£+i - Bi+1/i£+1)] -i2Pfc = -Q,

KM = (вГ+1РВг+1)~Ч+1^+1- (57)

Проверить на устойчивость полученную систему по матрице Р. В случае получения неустойчивой системы, изменив оценки качества, произвести коррекцию процедуры синтеза.

Четвертая глава посвящена экспериментальной проверке полученных аналитических выражений оценок динамических показателей качества переходных процессов, а также, построенных на их основе, алгоритмов анализа и синтеза систем управлений как с помощью математического моделирования в пакете Simulink программного комплекса MATLAB, так и на реальном объекте - мобильном роботе NXT Balibot.

Для демонстрации эффективности предлагаемых алгоритмов управления представим результаты математического моделирования объекта, динамика которого описывается уравнением (37) с параметрами: "1,078 0,102 0,401 -0,204' 0 0,936 0,015 О 0 0 0,938 0 0 0,014 0 0,934 с интервалом квантования Г = 0,1с.

Построим для этой дискретной системы регулятор на основе метода локальной оптимизации и условий качественной экспоненциальной устойчивости, при этом примем показатели качества как:

а = ОД, ts = Зс, Ss = 0,05, (59)

используя которые, находим параметры /? и г:

Р = 0,905, г = 0,043, (60)

и найдем по (48) матрицу отрицательных обратных связей:

К = [1,042 0,614 2,416 -1,229]. (61)

Проверим на выполнение условия (49):

А

,В =

0,166 о о

о •

(58)

max; Д; = -0,00003 < 0, (62)

т.е. выполняется, таким образом, заданные показатели качества тоже должны выполняться.

Желаемая оценочная трубка и реакция системы управления (37) с регулятором (61) на начальные отклонения

х0г--=[0,5 0,5 0,5 0,5], (63)

представлены на рис. 4.

Среди всевозможных объектов, которые нуждаются в управлении, особый интерес для исследователя представляет такой объект, как перевернутый маятник, причиной этого является то, что задача его регулирования легко формализуется и может быть решена многими из существующих на сегодняшний день методами регулирования. Ее значимость для общей теории регулирования в том, что с ее помощью можно проверить эффективность различных методов регулирования.

NXT Ballbot представлен на рис. 5, он балансирует на одном шаре и может рассматриваться как два раздельных и идентичных перевернутых маятника (в XZ и YZ плоскостях), уравнения движения любого из которых имеет вид:

0,00050 + [0,003 eosф - 0,000021]^ - О.ООЗф2 sin ф =

= 0,047и - 0,03(9 + 0,03ф, (64)

[0,003 eosí^ - 0,000021]f? + 0,026ф - 1,1 sin ф =

= —0,047u + 0,03(9 - 0,03ф. (65)

Здесь ф - угол наклона робота, в - угол поворота колеса, v - подаваемое на двигатель напряжение.

Дискретизированная линеаризованная модель перевернутого маятника (система координат представлена на рис. 6):

х(т + 1) = Ах(т) + Ви(т), (66)

"1 —0,188 0,013 0,076 " 7,805

0 1,225 0,011 0,097 ,В = -0,986

0 -0,584 0,087 0,725 82,155

о 4,262 0,129 1,069. -11,57.

где х = [в ф в хр]т - вектор состояния, и = V - вектор управления, Т = ОДс. Задача состоит в определении управления, которое обеспечивает стабилизацию роботу МХТ Ва1Гоо1 в неустойчивом вертикальном положении равновесия.

Рис. 5. МХТ ВаМЬо!.

Приняв параметры качества как:

сг = ОД, ^ = 0,38с, ¿'5 = 0,05, (68)

используя которые, находим параметры /? и г:

/? = 0,455, г = 0,2, (69)

и, разрешив матричные уравнения типа Риккати (51) относительно матрицы Р, найдем матрицу отрицательных обратных связей:

К = [-0,03 -1,585 -0,0282 -0,241]. (70)

Полученный регулятор далее сравнивается с регулятором, полученным традиционным методом аналитического конструирования оптимальных регуляторов.

V

1 /

/ ; в [л

и,./,; ) 1« .

*» „у

Рнс. 6. Система координат перевернутого маятника.

Математическое моделирование и экспериментальные результаты сравнения с традиционным методом аналитического конструирования оптимальных регуляторов подтверждают достоверность полученных аналитических выражений оценок динамических показателей качества переходных процессов и алгоритмов, построенных на их основе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе проведено исследование, связанное с проблемой построения регуляторов для многомерных непрерывных и дискретных объектов управления по заданным прямым показателям качества, а именно времени переходного процесса и перерегулированию, при этом:

1. Произведен анализ существующих видов устойчивости и неустойчивости непрерывных и дискретных систем, а также представлены классические методы Ляпунова для их исследования. Для многомерных дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами получены достаточные условия экспоненциальной устойчивости.

2. Получены аналитические выражения оценок динамических показателей качества в виде времени переходного процесса, перерегулирования, критического времени переходного процесса и выброса, на основе которых разработаны алгоритмы аналитического анализа динамических свойств как многомерных непрерывных и дискретных объектов управления, так и многомерных непрерывных и дискретных неустойчивых систем управления.

3. Для многомерных непрерывных и дискретных объектов управления разработаны алгоритмы аналитического синтеза регуляторов на основе метода локальной оптимизации, использующего условия качественной экспоненциальной устойчивости и полученные аналитические выражения оценок прямых показателей качества переходных процессов.

4. Разработаны алгоритмы как аналитического анализа динамических свойств многомерных дискретных объектов управления с периодически изменяющимися коэффициентами, так и аналитического синтеза для этих объектов управления регуляторов, использующие полученные условия экспоненциальной устойчивости и полученное аналитическое выражение оценки времени переходных процессов.

5. Произведена проверка аналитических выражений оценок динамических показателей качества переходных процессов и, полученных на их основе, алгоритмов анализа и синтеза систем управления с помощью математического моделирования в пакете Simulink программного комплекса MATLAB, так и на реальном объекте - мобильном роботе NXT Ballbot.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Список публикаций в рецензируемых журналах из перечня ВАК

1. Григорьев В.В., Мотылькова М.М., Рабыш Е.Ю., Черевко H.A., Рюхин В.Ю. Исследование систем пространственного слежения с

периодическими коэффициентами // Известия вузов. Приборостроение. 2009 Т 52, № 11. С. 16-23.

2. Бобцов A.A., Быстров C.B., Григорьев В.В., Мотылькова М.М., Рабыш Е.Ю., Рюхин В.Ю., Мансурова O.K. Синтез Модальных управлений для проектирования статических регуляторов в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. № 5. С. 23-28.

3. Быстров C.B., Григорьев В.В., Рабыш Е.Ю., Черевко H.A. Экспоненциальная устойчивость непрерывных динамических систем // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2011. Т. 73, № 3. С. 44-47.

4. Быстров C.B., Григорьев В.В., Мансурова O.K., Рабыш Е.Ю., Рюхин В.Ю., Черевко H.A. Проектирование статических регуляторов в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами // Известия вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 6. С. 18-24.

5. Григорьев В.В., Быстров C.B., Наумова А.К., Рабыш Е.Ю., Черевко H.A. Использование условий качественной экспоненциальной устойчивости для оценки динамических процессов // Известия вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 6. С. 24-30.

Список публикаций в сборниках научных трудов всероссийских и международных конференций

6. Бобцов A.A., Быстров C.B., Григорьев В.В., Мотылькова М.М., Рабыш Е.Ю., Рюхин В.Ю., Мансурова O.K. Синтез регулятора со встроенной моделью внешних воздействий для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами // Сборник докладов Международной научной конференции «Системный синтез и прикладная синергетика ССПС-2009». Пятигорск: Рекламно-информационное агентство на КМВ 2009. С 194398.

7. Рабыш Е.Ю., Григорьев В.В. Качественная экспоненциальная устойчивость и неустойчивость динамических систем // Сборники тезисов докладов VIII Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых, Выпуск 1. Труды молодых ученых. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2011. С. 207-208.

8. Быстров C.B., Григорьев В.В., Рабыш ЕЛО. Конструирование оптимальных регуляторов на основе условий качественной экспоненциальной устойчивости // Сборник тезисов докладов Международной конференции по математической теории управления и механики. М.: МИАН, 2011. С. 55-58.

9. Рабыш Е.Ю., Григорьев В.В., Быстров C.B. Оценки качества процессов на основе условий качественной экспоненциальной устойчивости // Сборник аннотаций докладов Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления». Владивосток: ИАПУ ДВО РАН, 2011. С. 91.

10. Рабыш Е.Ю., Григорьев В.В., Быстров C.B. Анализ поведения неустойчивых непрерывных и дискретных динамических систем // Сборник статей I международной заочной научно-технической конференции «Информационные технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации». Тольятти: Изд-во ПВГУС, 2011. С. 263-270.

Тиражирование и брошюровка выполнены в учреждении «Университетские телекоммуникации» 197101, Санкт-Петербург, Саблинская ул., 14 Тел. (812) 233 4669 объем 1 пл. Тираж 100 экз.

Введение.

1. Виды устойчивости динамических систем.

1.1. Первый и второй методы Ляпунова для исследования различных видов устойчивости динамических систем.

1.2. Экспоненциальная устойчивость непрерывных и дискретных систем

1.3. Качественная экспоненциальная устойчивость и неустойчивость непрерывных и дискретных систем.

1.4. Достаточные условия качественной экспоненциальной устойчивости и неустойчивости непрерывных и дискретных систем.

1.5. Экспоненциальная устойчивость дискретных динамических систем с периодически изменяющимися коэффициентами.

2. Оценки качества процессов в динамических системах.

2.1. Оценки качества процессов в непрерывных и дискретных системах.

2.2. Оценки качества процессов в непрерывных и дискретных системах с параметрическими нарушениями.

2.3. Оценки качества процессов в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами.

2.4. Анализ динамических свойств непрерывных и дискретных объектов и систем управления.

2.5. Анализ динамических свойств дискретных устойчивых объектов управления с периодически изменяющимися коэффициентами.

3. Аналитическое конструирование регуляторов.

3.1. Метод локальной оптимизации.

3.2. Построение регуляторов для непрерывных и дискретных объектов управления на основе метода локальной оптимизации.

3.3. Построение регуляторов для дискретных объектов управления с периодически изменяющимися коэффициентами на основе метода локальной оптимизации.

3.4. Особенности построения регуляторов со встроенной моделью.

3.5. Особенности построения пропорционально-интегральных регуляторов для следящих систем.

4. Математическое моделирование объектов и систем управления и экспериментальная проверка полученных результатов.

4.1. Математическое моделирование объектов и систем управления.

4.2. Экспериментальная проверка полученных результатов.

Одним из наиболее широко распространенных научных направлений теории управления является линейно-квадратичное регулирование (ЛКР) или аналитическое конструирование оптимальных регуляторов (АКОР), основанное на минимизации квадратичного критерия качества. Задачи данного типа впервые были рассмотрены в работах Р. Калмана и A.M. Летова. Несмотря на чрезвычайную популярность и видимые достоинства, методология квадратичной оптимизации процессов управления неоднократно подвергалась резкой критике со стороны ведущих ученых. Одним из первых, кто подверг критике квадратичные критерии качества, был В.В. Солодовников, который еще в 1953 г. в своем известном докладе по проблемам качества автоматических систем подчеркивал, что "между значениями квадратичных интегральных оценок и показателей качества, к сожалению, не существует определенного соответствия". Р. Беллман, касаясь задачи АКОР, отмечал, что данной "менее важной задачей" часто заменяют исходную, "более реалистичную задачу" оптимизации, и подчеркивал: "Это напоминает историю об одном человеке, который, потеряв кольцо посреди улицы, искал его под фонарем, потому что там светлее", хотя оно "оставалось в той непроглядной темноте, которая показалась слишком затруднительной для поисков" [55]. Впоследствии в работах Р. Калмана, Р. Беллмана и Р. Калабы была поставлена задача о связи между весовыми коэффициентами квадратичного критерия оптимальности и динамическими свойствами оптимизируемых процессов управления, именуемая задачей обращения, или обратной задачей АКОР. До настоящего времени предпринимались многочисленные попытки ее решения. Здесь следует выделить, прежде всего, работы отечественных ученых: A.M. Летова, A.A. Красовского, Я. Курцвейля, Ю.П. Плотникова,

A.Г. Александрова, В.Н. Романенко, Ч.П. Даса, Р.Т. Янушевского,

B. А. Подчукаева, В. Д. Фурасова, Л.И. Кожинской, Н.В. Кухаренко, Г.А. Крыжановского, Филимонова Н.Б. и др. С другой стороны, классические 4 методы оптимизации по квадратичным критериям качества из-за трудности связи параметров квадратичного функционала с прямыми показателями качества процессов оптимизируемой системы породили различные направления для их обхода. К примеру, A.A. Колесниковым предложен синергетический подход к аналитическому конструированию систем управления.

Оптимальное демпфирование, развитое в работах Зубова В.И. и его последователей позволило установить тесную связь задач оптимизации с вторым методом Ляпунова и использовать оценки, присущие этому методу, для качественного анализа процессов.

В работах Фурасова В.Д. на основе принципа оптимальности по принуждению развит подход обеспечения заданной степени устойчивости путем модификации уравнения Риккати. Законы управления, обеспечивающие экспоненциальную устойчивость с требуемой степенью затухания, фактически позволяют обеспечить требуемое быстродействие системы.

Одной из актуальных проблем теории управления является анализ поведения неустойчивых систем управления (систем с параметрическими нарушениями), ведь результаты этого анализа являются ценными для принятия решений при выходе из строя автоматической системы управления, когда неустойчивая система управления может представлять собой существенную угрозу, опасность и для человека, и для окружающей среды. При проектировании такой опасной системы управления обязательно необходимо позаботиться о том, чтобы при потере управления, вызванного той или иной причиной, срабатывала система защиты и сигнализации, основанная на динамических свойствах самой системы управления и обеспечивающая минимизацию потерь, связанных с таким инцидентом. Для этого используется понятие качественной экспоненциальной неустойчивости, тесно связанной с качественными показателями процессов неустойчивых систем управления благодаря введению условий, ограничивающих фактически значения скорости изменения нормы вектора состояния системы, что непосредственно связано со степенью расходимости переходных процессов.

К современным методам автоматического управления, то есть основанным на методе пространства состояний (позволяющим использовать всю имеющуюся информацию об объекте управления), относятся [26]:

• метод АКОР (ЛКР),основанный лишь на матрицах штрафов;

• метод модального управления;

• метод локальной оптимизации, основанный на условиях экспоненциальной устойчивости.

В первых двух методах присутствует связь не с прямыми показателями качества переходных процессов, а косвенными (к которым относятся корневые и интегральные показатели качества соответственно). В третье же методе именно с прямыми показателями качества, и, как следствие, присутствует строгая формализация процедуры проектирования, в большей степени ориентированная на использование ЭВМ, чем остальные два метода. Но эта связь есть лишь с временем переходного процесса, что не позволяет накладывать ограничения на колебательность как непрерывных, так и дискретных систем. Особенно это актуально для современных цифровых (дискретных) систем, в которых возможна колебательность с полупериодом, равным интервалу дискретности. Для линеаризованных дискретных систем это соответствует наличию корней в левой полуплоскости комплексной плоскости по модулю меньше единицы. Поэтому очевидна необходимость в более совершенных методах синтеза регуляторов, исключающих указанные недостатки.

Данная работа базируется на использовании теории локально-оптимального управления, активно разрабатываемой В.И. Зубовым, Г.Л. Дегтяревым, Г.А. Дидуком, методов исследования устойчивости A.M. Ляпунова, Е.А. Барбашина, Е.С. Пятницкого, оценок качества процессов динамических систем, введенных в работах В.В. Солодовникова, Е.А. Барбашина, A.M. Шубладзе и достаточных условий экспоненциальной устойчивости В.Д. Фурасова.

Цель диссертационной работы. Целью диссертационной работы является построение алгоритмов как аналитического анализа динамических свойств устойчивых и неустойчивых многомерных непрерывных и дискретных объектов управления, так и аналитического синтеза для них регуляторов при помощи полученных аналитических выражений оценок динамических показателей качества переходных процессов.

Методы исследования. Методы и подходы, используемые в работе базируются на использовании как классических методов исследования, так и современных методик и технологий теории управления. Применение матричного формализма с использованием уравнений типа Ляпунова для решения задач отыскания управления позволяет с единых позиций при использовании единого алгоритмического обеспечения решать различные задачи анализа непрерывных и дискретных объектов управления и синтеза для них регуляторов. Классический метод Ляпунова по-прежнему обладает большой степенью общности применительно к исследованию объектов и систем управления различного класса - непрерывных, дискретных, линейных, нелинейных.

Научная новизна работы

• для аналитического анализа динамических свойств многомерных непрерывных и дискретных объектов управления и аналитического синтеза для них регуляторов найдены аналитические выражения оценок прямых показателей качества переходных процессов в виде времени переходного процесса и перерегулирования;

• для аналитического анализа динамических свойств неустойчивых многомерных непрерывных и дискретных систем управления найдены аналитические выражения оценок критического времени переходного процесса и выброса;

• для аналитического анализа динамических свойств многомерных дискретных объектов управления с периодически изменяющимися коэффициентами и аналитического синтеза для них регуляторов найдены достаточное условие экспоненциальной устойчивости и аналитическое выражение оценки времени переходного процесса.

Практическая значимость. Применение полученных алгоритмов синтеза регуляторов как для непрерывных, так и для дискретных систем управления позволит значительно улучшить эффективность управления за счет их связи с прямыми показателями качества переходных процессов (временем переходного процесса и перерегулированием); аналитически анализировать динамические свойства неустойчивых многомерных непрерывных и дискретных систем управления, что приведет к увеличению эффективности принятия решений и безопасности при выходе из строя автоматической системы управления, когда неустойчивый объект управления может представлять собой существенную угрозу, опасность и для человека, и для окружающей среды.

На защиту выносятся следующие результаты и положения:

• алгоритмы аналитического анализа динамических свойств как многомерных непрерывных и дискретных объектов управления, так и многомерных непрерывных и дискретных неустойчивых систем управления, использующие полученные аналитические выражения оценок времени переходного процесса, перерегулирования, критического времени переходного процесса и выброса;

• алгоритм аналитического синтеза регуляторов для многомерных непрерывных и дискретных объектов управления, использующие полученные аналитические выражения оценок времени переходного процесса и перерегулирования;

• алгоритмы как аналитического анализа динамических свойств многомерных дискретных объектов управления с периодически изменяющимися коэффициентами, так и аналитического синтеза для этих объектов управления регуляторов, использующие полученные достаточное условие экспоненциальной устойчивости и аналитическое выражение оценки времени переходного процесса.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях: Международная научная конференция "Системный синтез и прикладная синергетика ССПС-2009", Пятигорск, 2009; XL научная и учебно-методическая конференция СПбГУ ИТМО, 2011; XIII конференция молодых ученых "Навигация и управление движением", Санкт-Петербург, 2011; VIII Всероссийская межвузовская конференция молодых ученых, Санкт-Петербург, 2011; Конференция "Информационные технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации (ITRT-2011)", Тольяти, 2011; Международная конференция по математической теории управления и механики, (МТСМ-2011), Суздаль, 2011; Международная научная конференция " Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления", Владивосток, 2011; 4-ая Международная научная конференция "Системный синтез и прикладная синергетика (ССПС-2011)", Пятигорск, 2011.

Работа выполнена на кафедре Систем Управления и Информатики Санкт-Петербургского государственного университета информационных технологий, механики и оптики и поддержана грантом РФФИ (грант РФФИ № 09-08-00857-а «Методология применения теории качественной устойчивости при проектировании систем управления адаптивной оптикой»).

Разработанные алгоритмы были экспериментально исследованы как с помощью математического моделирования в пакете Simulink программного комплекса MATLAB, так и на реальном объекте - роботе NXT Ballbot.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 5 печатных работах в рецензируемых журналах входящих в перечень ВАК:

1. Григорьев В.В., Мотылькова М.М., Рабыш Е.Ю., Черевко H.A., Рюхин В.Ю. Исследование систем пространственного слежения с периодическими коэффициентами // Известия вузов. Приборостроение. 2009. Т. 52, № 11. С. 16-23.

2. Бобцов A.A., Быстрое C.B., Григорьев В.В., Мотылькова М.М., Рабыш Е.Ю., Рюхин В.Ю., Мансурова O.K. Синтез модальных управлений для проектирования статических регуляторов в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами // Мехатроника, автоматизация, управление. 2010. № 5. С. 23-28.

3. Быстров C.B., Григорьев В.В., Рабыш Е.Ю., Черевко H.A. Экспоненциальная устойчивость непрерывных динамических систем // Научно-технический вестник СПбГУ ИТМО. 2011. Т. 73, № 3. С. 44-47.

4. Быстров C.B., Григорьев В.В., Мансурова O.K., Рабыш Е.Ю., Рюхин В.Ю., Черевко H.A. Проектирование статических регуляторов в дискретных системах с периодически изменяющимися коэффициентами // Известия вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 6. С. 18-24.

5. Григорьев В.В., Быстров C.B., Наумова А.К., Рабыш Е.Ю., Черевко H.A. Использование условий качественной экспоненциальной устойчивости для оценки динамических процессов // Известия вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, №6. С. 24-30.

Материалы диссертации опубликованы также в 5 статьях в сборниках научных трудов всероссийских и международных конференций:

1. Бобцов A.A., Быстров C.B., Григорьев В.В., Мотылькова М.М., Рабыш Е.Ю., Рюхин В.Ю., Мансурова O.K. Синтез регулятора со встроенной моделью внешних воздействий для дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами // Сборник докладов Международной научной конференции «Системный синтез и прикладная синергетика ССПС-2009». Пятигорск: Рекламно-информационное агентство на КМВ, 2009. С. 194-198.

2. Рабыш Е.Ю., Григорьев В.В. Качественная экспоненциальная устойчивость и неустойчивость динамических систем // Сборники тезисов докладов VIII Всероссийской межвузовской конференции молодых ученых, Выпуск 1. Труды молодых ученых. СПб.: СПбГУ ИТМО, 2011. С. 207-208.

3. Быстров C.B., Григорьев В.В., Рабыш Е.Ю. Конструирование оптимальных регуляторов на основе условий качественной экспоненциальной устойчивости // Сборник тезисов докладов

Международной конференции по математической теории управления и механики. М.: МИАН, 2011. С. 55-58.

4. Рабыш Е.Ю., Григорьев В.В., Быстрое C.B. Оценки качества процессов на основе условий качественной экспоненциальной устойчивости // Сборник аннотаций докладов Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные вопросы механики и процессов управления». Владивосток: ПАПУ ДВО РАН, 2011. С. 91.

5. Рабыш Е.Ю., Григорьев В.В., Быстрое C.B. Анализ поведения неустойчивых непрерывных и дискретных динамических систем // Сборник статей I международной заочной научно-технической конференции «Информационные технологии. Радиоэлектроника. Телекоммуникации». Тольятти: Изд-во ПВГУС, 2011. С. 263-270. Личный вклад автора. Автор настоящей диссертационной работы усилил результаты по теории качественной экспоненциальной устойчивости, найдя аналитические выражения динамических оценок показателей качества переходных процессов, позволившие построить алгоритмы как аналитического анализа устойчивых и неустойчивых многомерных непрерывных и дискретных объектов управления, так и синтеза для них регуляторов по желаемым прямым показателям качества переходных процессов. Автор настоящей диссертационной работы также усилил результаты по теории экспоненциальной устойчивости, найдя для многомерных дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами достаточное условие экспоненциальной устойчивости и аналитическое выражение оценки времени переходных процессов, позволившие построить алгоритм аналитического синтеза для них регуляторов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех основных глав с выводами и заключением. Основная часть работы изложена на 113 страницах. Список литературы включает 69 наименований.

Заключение

В диссертационной работе проведено исследование, связанное с проблемой построения регуляторов для многомерных непрерывных и дискретных систем по заданным прямым показателям качества, а именно времени переходного процесса и перерегулированию.

В первой главе произведен анализ существующих видов устойчивости и неустойчивости непрерывных и дискретных систем, а также представлены классические методы Ляпунова для их исследования. Для многомерных дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами получены достаточные условия экспоненциальной устойчивости.

Во второй главе найдены аналитические выражения оценок динамических показателей качества в виде времени переходного процесса, перерегулирования, критического времени переходного процесса и выброса, на основе которых разработаны алгоритмы аналитического анализа динамических свойств как многомерных непрерывных и дискретных объектов управления, так и многомерных непрерывных и дискретных неустойчивых систем управления, а также разработан алгоритм аналитического анализа динамических свойств многомерных дискретных объектов управления с периодически изменяющимися коэффициентами.

В третьей главе разработан алгоритм аналитического синтеза регуляторов на основе метода локальной оптимизации, использующего условия качественной экспоненциальной устойчивости и полученные аналитические выражения оценок прямых показателей качества переходных процессов для многомерных непрерывных и дискретных систем. Для многомерных дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами получено матричное уравнение типа Риккати и разработан алгоритм аналитического синтеза регуляторов на основе метода локальной оптимизации, использующего условия экспоненциальной устойчивости и полученное аналитическое выражение оценки времени переходных процессов.

В четвертой главе произведена проверка аналитических выражений оценок динамических показателей качества переходных процессов и, полученных на их основе, алгоритмов анализа и синтеза систем управления как с помощью моделирования в пакете БтиНпк программного комплекса МАТЬАВ, так и на реальном объекте - мобильном роботе №СГ ВаИЬо! Экспериментально показано сравнительное преимущество этого метода синтеза регуляторов по сравнению с широко распространенным традиционным методом АКОР.

1. Абдуллаев Н. Д., Петров Ю. П. Теория и методы проектирования оптимальных регуляторов / Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отделние, 1985.-240 с.

2. Александров А. Г., Хлебалин Н. А. Аналитический синтез регуляторов при неполной информации о параметрах объекта управления// Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвузовский сборник. Саратов: СПИ, 1981. № 5. С. 138-147.

3. Александров А. Г. Аналитический синтез передаточных матриц регуляторов по частотным критериям качества// Автоматика и телемеханика. 1972. № 2. С. 17-29.

4. Александров А. Г. Аналитический синтез регуляторов по заданным показателям качества переходных процессов // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвузовский сборник. Саратов : СПИ, 1978. № 3. С. 21-38.

5. Александров А. Г. Степень грубости и частотные показатели качества автоматического регулирования // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвузовский сборник. Саратов : СПИ, 1976. № 1. С. 14-27.

6. Александров А. Г. Степень грубости систем с устройствами восстановления фазовых переменных // Аналитические методы синтеза регуляторов: Межвузовский сборник. Саратов : СПИ, 1977. № 2. С. 105-118.

7. Алиев Ф. А., Ларин В. Б., Науменко К. И., Суноев В. Н. Оптимизация линейных инвариантынх во времени систем управления / К.: Наука, 1978. -320 с.

8. Андреев Ю. Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами// Автоматика и телемеханика.- 1977. № 3. С. 5-50.

9. Андреев Ю. Н. Управление конечномерными линейными объектами / М.: Наука, 1976.-424 с.

10. Атано М., Фалб И. Оптимальное управление / М.: Энергия, 1968. 764 с.

11. Багдуев В. Н., Багдуева Л. Н. Качественная стабилизация нелинейных взамосвязанных систем // Технические средства и системы автоматического управления. 1976. № 202. С. 29-37.

12. Баркин А. И. Оценки качества нелинейных систем регулирования / М.: Наука, 1982. 252 с.

13. Бессекерский В. А., Попов Е. И. Теория систем автоматического регулирование / М.: Наука, 1975. 767 с.

14. Богачев А. В., Григорьев В. В., Дроздов В. Н. Аналитическое конструирование регуляторов по корневым показателям // Автоматика и телемеханика. 1979. № 8. С. 21-28.

15. Богачев А. В., Григорьев В. В., Дроздов В. Н., Ушаков А. В. Автоматизированное проектирование дискретных регуляторов / Л.: ЛДНТП, 1981.-24 с.

16. Брайсон А., Хо Ю-ши Прикладная теория оптимального управления / М.: Мир, 1972. 544 с.

17. Бушуев А. Б., Григорьев В. В., Литвинов Ю. В. Синтез управлений по заданным оценкам качества для дискретных систем с изменяющимися параметрами // Автоматика и телемеханика. 1984. № 11. С. 10-18.

18. Вавилов А. А., Имаев Д. X. Машинные методы расчета систем управления / Л.: Издательство Ленинградского университета, 1981. 232 с.

19. Вавилов А. А., Имаев Д. X. Эволюционный синтез систем управления / Л.: ЛЭТИ, 1983. 80 с.

20. Волков Е. Ф., Ершов H. Н. Синтез асимптотически устойчивых многосвязных систем с заданной статической точностью // Автоматика и телемеханика. 1981. № 7. С. 19-27.

21. Воронов А. А. Устойчивость, управляемость, наблюдаемость / М.: Наука, 1979. 335 с.

22. Воронов А. А., Орурк И. А. Анализ и оптимальный синтез на ЭВМ ссистем управления / М.: Наука, 1984. 343 с.

23. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Современное состояние теории оптимальных процессов // Автоматика и телемеханика. 1972. № 9. С. 31-62.

24. Григорьев В. В., Дроздов В. Н., Лаврентьев В. В., Ушаков А. В. Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / Л.: Машиностроение, Лениградское отделение, 1983. 245 с.

25. Григорьев В. В., Дроздов В. Н., Сабинин Ю. А., Смирнов Г. В., Танский Е. А. Импульсные системы фазовой автоподстройки частоты / Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отделение, 1982. 88 с.

26. Григорьев В. В. Адаптация к изменению параметров при синтезе систем по заданным оценкам качества // ВК теория адаптивных систем и ее применение. Тезисы докладов и сообщений. Л., 1983. С. 50.

27. Григорьев В. В. Аналитический синтез регуляторов на основе качественной устойчивости: Автореф. дис. д-ра техн. наук. Л.: ЛИТМО, 1988.

28. Григорьев В. В. Качественная экспоненциальная устойчивость непрерывных и дискретных динамических систем // Известия вузов. Приборостроение. 2000. Т. 43, № 1-2 . С. 18-23.

29. Григорьев В. В. Синтез систем управления с изменяющимися параметрами // Автоматика и телемеханика. 1983. № 2. С. 64-70.

30. Григорьев В. В. Синтез управлений по заданным оценкам качества для дискретных систем с изменяющимися параметрами // V Всесоюзная конференция по управлению в механических системах. Тезисы докладов. Казань, 1985. С. 89.

31. Дидук Г. А. Машинные методы исследования автоматических систем / Л.: Энергоатомиздат, Ленинградское отделение, 1979. 176 с.

32. Душин С. Е., Зотов Н. С., Имаев Д. X. Теория автоматического управления / М.: Высш. шк., 2009. 568 с.

33. Зубов В. И. Лекции по теории управления / М.: Наука, 1975. 496 с.

34. Йамаото Й. NXT Ballbot (Self-Balancing Robot On A Ball) Controller Design // Matlab. 2009. - http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/23931.

35. Иванов В. А., Фалдин H. В. Теория оптимальных систем автоматического управления / М.: Наука, 1981. 335 с.

36. Изерман Р. Цифровые системы управления / М.: Мир, 1984. 541 с.

37. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по автоматической теории систем / М.: Мир, 1977.-400 с.

38. Квакернаак Р., Сиван П. Линейные оптимальные системы управления / М.: Машиностроение, 1977. 650 с.

39. Кейн В. М. Оптимизация систем управления по минимаксному критерию / М.: Наука, 1985. 576 с.

40. Кожинская Л. И., Борновицкий А. Ю. Управление качеством систем / М.: Машиностроение, 1979. 123 с.

41. Красовский А. А. , Буков В. Н., Шендрик В. С. Универсальные алгоритмы оптимального управления непрерывными системами / М.: Наука, 1977. 272 с.

42. Красовский А. А. Системы автоматического управления полетом и их аналитическое конструирование / М.: Наука, 1973. 558 с.

43. Кузовков Н. Т. Модальное управление и наблюдающие устройства / М.: Машиностроение, 1976. 184 с.

44. Кунцевич В. М. , Лычак М. М. Синтез оптимальных и адаптивных систем управления. Игровой подход / К.: Наук, думка, 1985. 248 с.

45. Кунцевич В. М., Лычак М. М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова / М.: Наука, 1977. 400 с.

46. Кухаренко Н. В. Определение коэффициентов квадратичных функционалов в задачах аналитического конструирования // Известия АН СССР: Техническая кибернетика. 1977. Т. 54. С. 197-201.

47. Медведев В. С., Максимов А. И., Лесков А. И. Применение аналитической теории регуляторов для синтеза систем с заданными динамическимисвойствами // Извести АН СССР: Техническая кибернетика. 1974. № 2. С. 162166.

48. Мирошник И. В. , Никифоров В. О., Фрадков А. Л. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами / С.: Наука, 2000. 549 с.

49. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Линейные системы / С.: Питер, 2005. 336 с.

50. Мирошник И. В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы / С.: Питер, 2006. 272 с.

51. Олейников В. А. Оптимальное управление технологическими процессами в нефтяной и газовой промышленности / Л.: Недра, 1982. 216 с.

52. Петров Ю. П. Очерки истории теории управления / С.: БХВ-Петербург, 2007. 272 с.

53. Петров Ю. П. Синтез устойчивых систем управления, оптимальных по среднеквадратичным критериям качества // Автоматика и телемеханика. -1983. №7. С. 5-24.

54. Рюхин В. Ю. Анализ и синтез дискретных систем с периодически изменяющимися коэффициентами: Автореф. дис. . канд. техн. наук. Спб.:-СПбГИТМО, 1999.

55. Смирнов Е. Я. Некоторые задачи автоматической теории управления / Л.: Издательство Ленинградского университета, 1981. 198 с.

56. Спиди К., Браун Р., Гудвин Дж. Теория управления / М.: Мир, 1973. 248 с.

57. Филимонов Н. Б. Проблемы качества процессов управления: смена оптимизационной парадигмы // Мехатроника, автоматизация, управление. -2010. № 12. С. 2-10.

58. Фурасов В. Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизации / М.: Наука, 1978.-247 с.

59. Фурасов В. Д. Устойчивость и стабилизация дискретных процессов / М.: Наука, 1982. 192 с.

60. Чаки Ф. Современная теория управления / М.: Мир, 1975. 424 с.

61. Чернецкий В. И. , Дидук Г. А., Потапенко A. J1. Математические методы и алгоритмы исследования автоматических систем / Л.: Энергия, 1970. 374 с.

62. Шубладзе А. М. Синтез оптимальных линейных регуляторов // Автоматика и телемеханика. 1984. № 12. С. 22-33.

63. Шубладзе А. М. Способы синтеза систем управления максимальной степени устойчивости // Автоматика и телемеханика. 1980. № 1. С. 28-38.

64. Яаксоо Ю. И. К терии дискретных обратных систем // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1980. № 5. С. 165-168.

65. Якубович В. А. Оптимизация и инвариантность линейных стационарынх систем управления // Автоматика и телемеханика. 1984. № 8. С. 8-45.

66. Янушевский Р. Т. Теория линейных оптимальных многосвязных систем управления / М.: Наука, 1973. 464 с.