автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Исследование качества процессов в дискретных стохастических системах на основе качественной экспоненциальной устойчивости

С- / / ^ ' > V .

Государственный комитет Российской Федерации по Высшему Образованию

Санкт-Петербургский Государственный институт точной механики и оптики

(технический университет)

на правах рукописи

Михайлов Сергей Владимирович

Исследование качества процессов в дискретных стохастических системах на основе качественной экспоненциальной устойчивости

Специальность 05.13.01 — Управление в технических системах

Диссертация

на соискание учёной степени кандидата технических наук

научный руководитель — доктор технических наук, профессор Григорьев В.В.

Санкт-Петербург — 1999г.

Содержание:

стр.

Введение 4 Глава 1. Дискретные стохастические системы. Качественная экспоненциальная устойчивость дискретных стохастических систем. 9

1.1 Случайные процессы. Основные статистические характеристики. 9

1.2 Дискретные стохастические системы. Особенности описания. 14

1.3 Сходимость случайных последовательностей. Типы сходимостей. 20

1.4 Качественная экспоненциальная устойчивость (КЭУ) дискретных стохастических систем. 23 Глава 2. Анализ дискретных стохастических систем на основе КЭУ. 27

2.1. Достаточное (локальное) условие качественной экспоненциальной V -

устойчивости стохастических систем. л;г'>"■■•.'■' 27

Д "

2.2. Оценочные трубки, используемые для исследования качества процессов в дискретных стохастических системах. 28

2.3. Оценка качества процессов в линейных дискретных стохастических системах 35

2.4. Анализ многомерных дискретных стохастических система с использованием векторных функций Ляпунова. 53 Глава 3. Прогнозирование. Основные понятия 62

3.1. Определение понятия прогнозирования. 62

3.2. Требования к прогнозирующей системе. , 63

3.3. Общая схема прогнозирования. 65

3.4. Понятия эвристического и математического прогнозирования 67

3.5. Совместное использование результатов математического и эвристического прогнозирования. 68

3.6. Математическое прогнозирование. 70

3.7. Интервал упреждения. 72

3.8. Модели в математическом прогнозировании. 74

3.9. Ошибки прогнозирования. 75 Глава 4. Прогнозирование расчётной точки посадки летательного аппарата на подвижное основание. 82

4.1 Посадочный комплекс 82

4.2. Волнение моря. Модель качки. 90

4.3. Введение фильтра Калмана в прогнозирующую систему. Структурная

схема прогнозирующего устройства. 92

4.4. Оценка качества прогнозирования. 96

4.5. Пример прогнозирования положения расчётной точки посадки летательного аппарата на подвижное основание. 99 Заключение 105 Приложение 1 107 Приложение 2 112 Список литературы * ■ 133

Введение

Стремление к повышению эффективности систем, которое наблюдается в различных областях науки и техники неизбежно приводит к тому, что при разработке той или иной системы, необходимо учитывать всё большее число влияющих на неё факторов. К таким факторам можно с уверенностью отнести случайные возмущения, действующие на систему во время её функционирования. В связи с этим система может рассматриваться не как детерминированная, а как стохастическая .

Расчёт систем автоматического управления САУ при случайных воздействиях производится специальными методами с введением в рассмотрение определённых количественных оценок случайных 'воздействий — статистических характеристик случайных воздействий, которые, характеризуя случайные воздействия, сами по себе уже не являются случайными зависимостями. Однако, система автоматического управления, анализируемая или синтезируемая на основе статистических методов, будет обеспечивать удовлетворение предъявляемых к ней требований не для одного определенного (детерминированного) воздействия, а для целой совокупности воздействий, заданной с помощью статистических характеристик. Так как предсказать ход единичного явления теория вероятностей не может, то статистические методы позволяют выяснить лишь закономерности, присущие случайным явлениям массового характера.

Другой особенностью развития систем автоматического управления в настоящее время является всё более широкое использование цифровой техники, применительно к решению различных задач управления. Современное производство

трудно себе представить без ЭВМ, которая может использоваться не только в контуре управления, но и для решения задач анализа и синтеза систем управления [22,39]. В связи с этим становится необходимостью разработка методов анализа и синтеза систем автоматического управления, ориентированных на использование ЭВМ для решения задач управления [4 3,58].

Присутствие цифровых устройств в системе управления приводит к необходимости описания такой системы как дискретной и использования для анализа и синтеза такой системы методов, применимых к дискретным системам [47,72].

Для дискретных детерминированных систем автоматического разработаны и хорошо себя зарекомендовали методы анализа качества и аналитического синтеза регуляторов на основе качественной экспоненциальной устойчивости. Понятие качественной экспоненциальной устойчивости КЭУ вводится на основе двух параметров — степени затухания процессов и степени их гладкости, которые связаны с инженерными показателями качества, такими как перерегулирование и время переходного процесса. Последний факт позволяет производить анализ и синтез САУ не на основе абстрактных параметров, а на основе физически понятных количественных характеристик.

В диссертационной работе рассматриваются дискретные стохастические системы. Сложность описания, необходимость оперирования с вероятностными характеристиками при анализе и синтезе дискретных стохастических систем с одной стороны, и эффективность методов анализа и синтеза детер-. минированных САУ на основе качественной экспоненциальной устойчивости — с другой, вызывают необходимость распространения этих методов на дискретные стохастические сис-

темы.

Данная работа посвящена методам исследования качества процессов в дискретных стохастических системах и базируется на использовании методов исследования Ляпунова A.M. [49], Барбашина Е.А. [10,11], Пятницкого Е.С. [59], метода сравнения векторных функций Ляпунова, введённого Мат-росовым В.М.[53], развитого Вороновым A.A. [26,27], оценок качества процессов динамических систем, разработанных в трудах Барбашина Е.А. [12], Шубладзе A.M.[78].

В связи с этим целью диссертационной работы является разработка модификаций методов анализа детерминированных дискретных систем, основанных на понятии качественной экспоненциальной устойчивости, для использования полученных модификаций при анализе дискретных стохастических систем, а именно:

• дать определение качественной экспоненциальной устойчивости для дискретных стохастических систем общего вида с учётом особенностей описания таких систем;

• вывод и доказательство достаточного условие качественной экспоненциальной устойчивости дискретных стохастических систем общего вида;

• разработка технологии построения различных характеристик для оценки качества процессов в дискретных стохастических системах в виде оценочных трубок постоянного и равновероятностного уровней;

• разработка технологии вычисления характеристик переходного процесса в линейных дискретных стохастических системах, таких как переходная и установившаяся составляющая, в виде их статистических характеристик, таких как математическое ожидание и матрица ковариаций;

• разработка технологии построения оценочных трубок постоянного и равновероятностного уровней для оценки качества процессов в линейных дискретных стохастических системах;

• модификация метода сравнения для анализа многосвязных дискретных стохастических систем.

Основными научными результатами диссертационной работы, выносимыми на защиту, являются:

1.Определение качественной экспоненциальной устойчивости дискретных стохастических систем общего -вида;

2.Достаточное условие качественной экспоненциальной устойчивости дискретных стохастических систем общего вида;

3.Методика построения характеристик качества процессов в дискретных стохастических системах общего вида и линейных дискретных стохастических системах в виде оценочных трубок постоянного и равновероятностного уровней;

4.Методика расчёта статистических характеристик переходной и установившейся составляющих переходного процесса;

5.Технология анализа многосвязных дискретных стохастических систем на основе метода сравнения.

Новизна представленных научных результатов состоит в следующем:

1.Дано определение качественной экспоненциальной устойчивости дискретных стохастических систем общего вида, дана геометрическая интерпретация качественной экспоненциальной устойчивости таких систем, пояснён смысл параметров КЭУ, применительно к рассматриваемым системам;

2.Получено и доказано достаточное условие качественной экспоненциальной устойчивости для дискретных стохастиче-

ских систем общего вида;

3.На основе определения КЭУ для дискретных стохастических систем разработана методика оценки качества процессов в дискретных стохастических системах общего вида путём построения оценочных трубок постоянного и равновероятностного уровней;

4.Для линейных дискретных стохастических систем получена технология определения статистических характеристик переходного процесса в виде математического ожидания и матриц к'овариаций переходной и установившейся составляющих;

5.Для дискретных стохастических систем разработана методика построения систем сравнения для анализа процессов в сложных многосвязных системах.

Практическая ценность и реализация результатов диссертации по исследованию качества процессов в дискретных стохастических системах подтверждена в работах [46,56,79,80], по оценке качества процессов в линейных стохастических системах — в работе [82], а также пакетом прикладных программ для исследования дискретных' систем общего вида «Кеди1а"Ьог_М».

Глава 1. Дискретные стохастические системы. Качественная экспоненциальная устойчивость дискретных стохастических систем.

1.1 Случайные процессы. Основные статистические характеристики.

Если на систему автоматического управления действуют возмущающие воздействия, которые являются известными функциями времени и состояние системы описывается обыкновенными дифференциальными (разностными) уравнениями, тогда поведение системы в любой момент времени t описывается состоянием системы в момент tQ<t. Чаще всего принимается = 0. При этом говорят, что состояние системы определяется начальными условиями и может быть точно предсказано в момент £. Такие системы называют детерминированными .

Системы, для которых воздействия носят случайный характер и поведение которых нельзя точно описать, зная только tof называются стохастическими системами.

1.1. ¡Основные статистические характеристики.

Определение 1.1.1 Функция, значение которой при любом значении независимой переменной является случайной величиной, называется случайной функцией.

Определение 1.1.2 Случайные функции, для которых независи-мои переменной является время £ называют случайными или стохастическими процессами.

При описании дискретных случайных процессов определения 1.1.1. и 1.1.2 также справедливы с учётом того, что они даются относительно дискретного времени / = тТ ( Т— интервал дискретности, т— номер интервала дискретности).

г

Если проведено п отдельных опытов, то в результате дискретный случайный процесс Х(т) может принять п различных неслучайных (регулярных) функций времени где / = 0,1,2...« .

Определение 1.1.3 Всякая функция лс(.(т), которой может оказаться равен случайный процесс Х(т) в результате опыта,

называется реализацией случайного процесса (или возможным значением случайного процесса).

При анализе случайных процессов используются сечения случайного процесса. Сечение — это момент времени тх, для

которого находятся значения для каждой реализации

. После чего находится Х(тх}— случайную величину, называемую сечением случайного процесса в момент времени тх.

Статистические методы используют и изучают не каждую из реализаций , образующих множество Х(т), а свойства

всего множества в целом с помощью усреднения свойств входящих в него реализаций.

Статистические свойства случайной величины х определяют по её функции распределения (интегральный закон распределения) .Р(х) или плотности вероятности (дифференциальный закон распределения) р(х) [60] .

Случайные величины могут иметь различные законы распределения: равномерный, экспоненциальный, нормальный и т. д. Чаще всего при описании дискретных случайных процессов используется нормальный закон распределения.

1.1.2. Нормальный закон распределения. Основные характеристики. При нормальном законе распределения случайная величина х может быть полностью охарактеризована математическим ожиданием тх и средним квадратическим отклонением ах.

Аналитическое выражение для функции распределения случайной величины х имеет вид:

. . 1 * )2 , ^(х) = — \е 2*1 {¡х (1.1.1)

л/2л:<7л. -о»

Аналитическое выражение плотности вероятности случайной величины х имеет вид:

1 -(*-»•,)2

р{х) = ,— е (1.1.2)

Л/27га.

X

Изменения среднего значения тх вызывают только смещение кривых и вдоль оси абсцисс без изменения их формы.

Для случайного процесса вводятся понятия функции распределения и плотности вероятности р(х,т), которые

зависят от фиксированного момента времени т и от некоторого выбранного уровня х, то есть являются функциями двух переменных х и т .

Определение 1.1.4. Одномерной функцией распределения (функцией распределения первого порядка)случайного процесса Х(т) называют вероятность того, что текущее значение случайного процесса Х(тх} в момент времени т1 не превышает некоторого заданного уровня (числа) хх, то есть:

Рх(хх,тх) = Р{х(тх)<х,) (1.1.3)

Определение 1.1.5. Одномерной плотностью вероятности (плотностью вероятности первого порядка) случайного процесса Х(т) называют функцию, определяемую выражением:

. . дРх(хх,тх)

рх(хх>тх) = 'V х) (1.1.5)

.дхх

Величина р](х],т1}сЬсх = < Х(т^ < х, + £&;,} представляет собой вероятность того, что Х(т) находится в момент времени т = тх в интервале от хх до хх+с!хх.

В моменты времени тх,т2,...,тп наблюдаемые случайные величины (сечения случайного процесса) Х(тх^,Х(т2),...,Х(тп) будут иметь свои, в общем случае разные, одномерные функции распределения Р1(хх,тх)>Р2(х2,т2)>...,Рп(хп,тп) и плотности вероятности рх(хх,тх),р2(х2,т2),...,рп(хп,тп) .

Функции Рх(х,т) и рх{х,т) являются статистическими характеристиками случайного процесса простейшего типа и характеризуют 'случайный процесс изолированно* в отдельных его сечениях, не раскрывая взаимной связи между сечениями случайного процесса, то есть между возможными значениями случайного процесса в различные моменты времени.

Определение 1.1.6. Математическим ожиданием (средним значением) случайного процесса Х(т) называется величина, определяемая выражением:

\ N

тх = х(т) = Цт^—ЛИхкт) (1.1.6)

N-»00 ТУ ч- 15^=о

у

I „,

где х(т) — любая реализация дискретного случайного процесса Х(т).

Математическое ожидание называют средним значением случайного процесса по множеству (средним по ансамблю, статистическим средним), поскольку оно представляет собой вероятностно усреднённое значение бесконечного множества реализаций случайного процесса.

Определение 1.1.6. Центрированным случайным процессом

о

понимают отклонение случайного процессу Х{т) от его среднего значения тх(т), или:

о

Х(т) = Х(т)-тх(т) (1.1.7)

В этом случае случайный процесс может быть рассмотрен как

сумма:

о

Х(т) = Х(т)+ тх(т)

Математическое ожидание центрированного случайного процесса равно:

= М[Х(т) - тх (т^ = тх (т) - тх (т} = О

Определение 1.1.7. Дисперсия .случайного процесса вводится для того, чтобы учесть степень разбросанности реализаций случайного процесса относительно его среднего значения. Дисперсия случайного процесса равна математическому ожиданию квадрата центрированного случайного процесса:

М

Х(т)

AW = 7J^£Ww)-*(w)]2 (1.1.8)

iV + 1 m=0

Дисперсия случайного процесса является неслучайной (регулярной) функцией времени Dx(m), значение которой в каждый момент времени тк равно дисперсии соответствующего сечения Х(тк) случайного процесса.

Определение 1.1.8. Среднее квадратическое отклонение случайного процесса определяется по выражению:

<5х{т) = рх(т) (1.1.9)

Определение 1.1.9. Корреляционной функцией стационарного дискретного случайного процесса Х{т) называется неслучайная дискретная функция:

1 N

К (0 = lim тг-7 £ Wm) - * Оw)]' Hm+0 - (l.i.io)

А' + 1 m=0

Приведённые в параграфе 1.1 уравнения справедливы для одномерных случайных величин и процессов, однако при исследовании многомерных случайных процессов эти уравнения трансформируются в подобные с учётом особенностей описания многомерных случайных величин [61].

1.2 Дискретные стохастические системы. Особенности описания.

1.2.1 Задачи стохастической теории управления.

Законы идентифик