автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Анализ стохастических аттракторов дискретных динамических систем

ь

На правах рукописи

ииа4ЭОЭ46

Цветков Ивап Николаевич

АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКИХ АТТРАКТОРОВ ДИСКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

Екатеринбург 2010

2 8 ЯНВ 2070

003490946

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Уральский государственный университет им. A.M. Горького" па кафедре математической физики.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ряшко Лев Борисович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических паук,

профессор Ананьев Борис Иванович

Защита состоится 17 февраля 2010 года в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 212.286.10 при ГОУ ВПО "Уральский государственный университет им. A.M. Горького"по адресу: 620000, Екатеринбург, пр. Ленина, 51, комп. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ГОУ ВПО "Уральский государственный университет им. А.М. Горького".

кандидат физико-математических наук Коврижных Антон Юрьевич

Ведущая организация: Челябинский государственный университет

Автореферат разослан

2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук, профессор В.Г. Пименов

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Диссертация посвящена разработке методов анализа стохастической чувствительности дискретных динамических систем к случайным возмущениям. Объектом исследования являются устойчивые равновесия и предельные циклы нелинейных стохастических систем на участках перехода к хаосу в цепи бифуркаций удвоения периода.

Задача анализа динамических систем, возмущаемых внешним шумом, являлась предметом интенсивного изучения в математике, физике, химии, биологии на всем протяжении 20 века и вызвала появление огромного количества теоретических и экспериментальных работ. Явлениям, связанным со сто-хастичностью, посвящено большое количество публикаций. Один из первых результатов, касающихся выхода траектории системы под воздействием шума из области устойчивости, получен Arrhenius S.A. еще в 1899 году. Значительную известность имеет классическая работа Понтрягина Л.С., Андронова A.A., Витта A.A. "О статистическом рассмотрении динамических систем". Опубликованная в 1933 году, она содержит формулировки основных задач изучения стохастической динамики, остающихся актуальными и на сегодняшний день. Метод стохастических функций Ляпунова, начиная с основополагающей работы Каца И.Я. и Красовского H.H. 1960 г., является теоретическим фундаментом анализа устойчивости стохастических систем.

Основная литература по стохастическим системам посвящена анализу динамики в окрестности точек покоя. Случай точки покоя представляет собой достаточно глубоко разработанную теорию и рассматривался в работах Вент-целя А.Д. и Фрейддина М.И., Ludwig D., Matkowsky B.J. и Schuss Z., Nahe T. и Klosek M. и др.

Изучение воздействия шума на предельный цикл было начато Понтряги-ным JI.C. и продолжено в многочисленных работах исследователей, например - Стратоновича P.JL, Ibrahim R.A., SoongT.T. и Grigoriu M., Baras F., Mangel M., Day. Под воздействием стохастических возмущений траектория, стартующая из некоторой точки цикла, начинает отклоняться от детерминированной орбиты, формируя вокруг нее так называемый пучок случайных траекторий. Неоднородность пучка случайных траекторий вокруг цикла рассматривалась в работах Kurrer С. и Schulten К., Deissler R.J. и Farmer J.D., Ali F.

Первоначально флуктуации рассматривались как дезорганизующее воздействие на систему, "разрушающее" порядок. В работах Crutchfield J.P., Farmer J., Huberman B.A., Nauenberg M., Rudnick J., Shraiman C.E. показано, что влияние аддитивного шума приводит к тому, что последовательность бифуркаций удвоения периода становится конечной. В работах Кузнецова А.П. показано влияние шума па свойство скейлинга дискретных динамических систем из разных классов универсальности. В частности найдены значения, на которые необходимо уменьшать интенсивность внешнего воздействия для сохранения свойства самоподобия.

В последние несколько десятков лет при исследовании неравновесных явлений в различных областях науки была обнаружена организующая роль шума. Было показано, что флуктуации способны индуцировать гораздо более богатое (в сравнении с детерминированными системами) разнообразие режимов. К данной группе эффектов воздействия шумов относятся так называемые индуцированные шумом переходы (noise-induced transitions). Первое описание данных явлений было дано в конце 50х - начале 60х годов 20 века в работах Кузнецова П.И., Стратоновича P.JL, Тихонова В.И., Ланды П.С.. Через несколько лет эти явления были переоткрыты в контексте экологических систем у May, Hahn и др. Классической работой, посвященной индуцированным шумом переходам, стала монография Horsthemke W. и Lefever R., вышедшая в 1984 году.

В конце 70х годов 20 века большое развитие получила теория стохастических бифуркаций, изучающая качественные изменения поведения динамических систем под воздействием случайных возмущений. В работах Arnold L. выделяются два основных подхода к определению понятия стохастической бифуркации: феноменологический подход (Р-бифуркации), описывающий качественные изменения стационарной плотности вероятности, и динамический (D-бифуркации), описывающий изменение знака старшего показателя Ляпунова. Дальнейшее изучение стохастических бифуркаций в рамках индуцированных шумом переходов для одномерного случая проведено в работах Crauel H., Flaadoli F., Leng G., Namachchivaya N. Воздействие шума на бифуркацию Хопфа двумерных систем на плоскости подробно рассмотрено в работах Moss F., McClintock P.V.E., Turner J., Kuske R., Xu W., Zhu W.Q., Не Q., Leung H., MaJick K.

В последние 10 лет при исследовании стохастической динамики систем с непрерывным временем активно применяется новый подход, связанный с использованием некоторой функции, получившей название квазипотенциала. Данная функция, представляющая собой экспоненциальную асимптотику стационарной плотности вероятности, появилась в работах Вентцеля А.Д. и Фрейдлина М.И. в связи с решением задачи о выходе случайной траектории из окрестности устойчивой точки покоя.

При помощи функции квазипотенциала удается предсказывать тонкие эффекты воздействия внешних помех на рассматриваемую систему. Метод квазипотенциала в анализе стохастической чувствительности предельных циклов рассматривался в работах Naeh T., Dykman M.I., Graham R. и Tel T., Smelyan-skiy V.N., Maier R.S., Милынтейна Г.Н., Ряшко JI.B.

В публикациях Ряшко JT.B. и Башкирцевой И.А. представлена разработанная методика анализа стохастической чувствительности предельного цикла. Данная методика базируется на аппроксимации квазипотенциала и построении функции стохастической чувствительности (ФСЧ), описывающей ко-вариацию отклонения случайной траектории от детерминированной орбиты цикла. ФСЧ является естественной вероятностной мерой, характеризующей реакцию стохастического цикла на малые внешние возмущения. В работах Ряшко JI.B. и Башкирцевой И.А. с использованием термипов Р-устойчивости построены численные методы расчета ФСЧ и продемонстрировано их применение для некоторых моделей нелинейной динамики.

Целью работы является разработка аппарата математического моделирования, включая теорию, численные алгоритмы и программную реализацию, для анализа стохастических циклов дискретных динамических систем на участках перехода к хаосу в цепи бифуркаций удвоения периода.

Методы исследования диссертационной работы можно условно разделить на две группы. Первая (эмпирическая) группа методов опирается на численное моделирование случайных состояний динамической системы и предполагает дальнейшую обработку эмпирической статистики. Вторая группа методов опирается на использование теоретических конструкций аппарата функций стохастической чувствительности. Приведенные в представляемой работе численные алгоритмы реализованы в разработанном с использованием среды Delphi 7.0 программном комплексе.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Для аттракторов дискретных систем введено понятие функции стохастической чувствительности. Разработана математическая модель ФСЧ. Доказаны теоремы о существовании и единственности ФСЧ. Построены алгоритмы для отыскания ФСЧ.

2. Для классической модели Ферхюльста исследована чувствительность циклов в зоне удвоения периода, при переходе от порядка к хаосу. Теоретические результаты показали хорошее соответствие с эмпирическими данными. Обнаружена закономерность роста стохастической чувствительности.

3. Для равновесий и циклов двумерного отображения Эно исследованы матричные функция стохастической чувствительности. Построены доверительные эллипсы, позволяющие получить наглядное описание пространственных особенностей стохастических аттракторов Эно. Установлен порядок роста чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода.

4. Доказана универсальность роста стохастической чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода для класса одномерных дискретных отображений с квадратичным максимумом.

5. Предложен общий метод анализа обратных стохастических бифуркаций. Разработана схема эмпирического анализа ОСБ циклов дискретных систем. Подробно исследованы ОСБ циклов системы Ферхюльста на интервале удвоения периода.

6. Разработана методика теоретического анализа ОСБ с использованием аппарата ФСЧ. На ее основе проведен теоретический анализ ОСБ циклов системы Ферхюльста и двумерного отображения Эно.

7. Разработан программный комплекс, позволяющий проводить численное моделирование и детальный анализ вероятностных характеристик стохастических аттракторов дискретных систем.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Теоретическая значимость исследования заключаются в том, что

• для дискретных систем определена конструкция функции стохастической чувствительности, позволяющая описывать отклонения случайных состояний от точек детерминированного аттрактора;

• по значениям функции стохастической чувствительности построена аппроксимация плотности вероятности стохастического аттрактора;

• определено явление обратных стохастических бифуркаций в терминах поведения графиков плотности вероятности.

Практическая значимость исследования заключаются в том, что

• для каждого состояния детерминированного цикла популяционной модели Ферхюльста рассчитана его чувствительность в цепи бифуркаций удвоения периода;

• установлена скорость роста чувствительности при переходе системы от порядка к хаосу;

• по значения функции чувствительности построены доверительные эллипсы для циклов двумерного отображения Эно;

• найдены критические интенсивности обратных стохастических бифуркаций для систем Ферхюльста и Эно.

Личный вклад. Все представленные в диссертации результаты получены при личном участии автора. Автором был построен программный комплекс, использовавшийся в ходе численпых экспериментов. Автором были проведены все теоретические и эмпирические исследования и обработаны их результаты. Автор участвовал в постановке промежуточных задач, в обсуждении и интерпретации конечных результатов исследования. В коллективных публикациях автор лично принимал участие в написании текстов.

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на представительных научных форумах: 36-я, 37-я, 38-я,

7

39-я, 40-я Региональные молодежные конференции по проблемам теоретической и прикладной механики (Екатеринбург, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009); международная научная конференция, посвященная 75-летию со дня рождения И. Я. Каца. по устойчивости, управлению и моделированию динамических систем (Екатеринбург, 2006); межвузовская научная конференция по проблемам информатики, "СПИСОК-2009" (Екатеринбург, 2009). Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы, содержащего 120 названий. Работа занимает 134 машинописных страниц, содержит 69 рисунка и 4 таблицы.

Основное содержание диссертации

Во введении описана предыстория и актуальность темы диссертации, приведено краткое содержание диссертации.

Первая глава носит теоретический характер и посвящена введению конструкции функции стохастической чувствительности, а так же ее анализу и алгоритмам отыскания.

В пункте 1.1 исходным объектом является детерминированная нелинейная система

Zt+i = f(xt), (1)

где х - n-вектор, /(ж) - достаточно гладкая функция. Предполагается, что система имеет экспоненциально устостойчивое равновесие х.

Добавляя в детерминированную систему (1) внешнее возмущение, мы переходим к стохастической системе

=/(х,)+ефе)6. (2)

Здесь а(х) - их m-матрица, - ш-мерный некоррелированный случайный процесс с параметрами

Е& - О, = I, Е&& =0 (ij£ к),

где I - единичная т х m-матрица, е - интенсивность шума.

Отклонения vt возмущенных состояний от детерминированного равновесия в случае малых шумов, когда случайные состояния х\ стохастического

8

аттрактора локализируются вблизи соответствующего решения детерминированной системы х, задаются следующим итерационным процессом, полученным линеаризацией системы (2) в точке х

г'ш (3)

где ^ = %(х), 5 = а(х).

Динамика первых двух моментов m,t = Еи(, 14 = Еь^ решения ^ системы (3) задается уравнениями

тм = Fmt, (4)

+ д = (5)

В пункте 1.1.1 доказана теорема 1 о том, что в случае Э-устойчивости равновесия детерминированной системы для любых начальных значений итерационный процесс (4) сходится к нулю, а процесс (5) сходится к решению уравнения

И' = FWFT^-<Э. (6)

Теорема 1. Пусть р(Р) < 1. Тогда

а) уравнение (6) имеет единственное решение

б) при любых то и решения т^ и У( систем (4),(5) стабилизируются:

Цтт, = 0 , Нт \\ = Ж; (7)

г->оо £—юо

в) система (3) имеет стационарно распределенное решение щ:

Ещ = 0, Ещу? = IV', (8)

г) любое решение и4 системы (3) сходится в среднем квадратичном к й(:

Ит ЕЦ^ — ®(||2 = 0. (9)

^оо

Матрица V/, задаваемая уравнением (6), играет роль коэффициента стохастической чувствительности равновесия х, связывая в системе (2) величину входа (е2) и выхода (соу(х|, ¿1)): соу(х1,х1)) и гЧУ.

В пункте 1.1.2 приводится алгоритм нахождения коэффициента стохастической чувствительности. Чувствительность равновесия может быть найдена в следующем виде:

оо

W = Y^FkQFTk *=о

Результаты расчетов представлены для случая систем размерности 1 и 2.

В пункте 1.1.3 рассматривается применение коэффициента стохастической чувствительности для аппроксимации плотности вероятности. Плотность вероятности аппроксимируется нормальным распределением по следующей формуле:

р(х) = __1-ехр(—^(х - xYW~l(x - ж)) , (10)

где W - коэффициент стохастической чувствительности

Пункт 1.2 распространяет технику анализа стохастической чувствительности, введенную для стохастического равновесия, на случай стохастического цикла.

Невозмущенный детерминированный fc-цикл Г определен как множество точек Г = {xi,... ,$k}, связанных соотношениями:

f(xi)=xi+1 (« = 1.....А — 1), f{xk) = xи

Для каждого состояния i; вводится соответствующее значение функции стохастической чувствительности. Доказывается теорема 2 о существовании функции чувствительности для экспоненциально устойчивого цикла произвольной кратности.

Теорема 2.

Пусть р{В) < 1, где B = Fk-... F2 • Fb Тогда

а) система

«f+i =FtVt + S£t, St = o(xt) (11)

имеет fc-периодическое решение Ct:

Evt = 0, EvtvJ = Wt; (12)

б) любое решение vt системы (11) сходится в среднем квадратичном к vt:

lim E||wt - üiH2 = 0. (13)

£-+эо

в) при любых тп1 и VI решения пц и V* систем

т(+1 = (14)

= + = (15)

стабилизируются:

1тш( = 0 , Нт(Ц-Ж() = 0; (16)

£-400 4-юо

г) уравнение (15) имеет единственное ¿-периодическое решение IV 1: —

1¥е, где - единственное решение уравнения

IV = В\УВТ + 0, (17)

а 1¥2, Ш3,..., И ^ находятся рекуррентно

* = 1.....А: — 1; (18)

Матричную ^-периодическую функцию значепия которой И7!,..., 1-14 характеризуют реакцию точек ...,х^ цикла Г на малые случайные воздействия системы (2), будем называть функцией стохастической чувствительности цикла.

По значениям функции чувствительности строится аппроксимация плотности вероятности в виде липейпой комбинации нормальных распределений.

■ <19>

где IV{ значения функции чувствительности в точках цикла.

Вторая глава посвящена приложению теории ФСЧ к анализу стохастически возмущенной модели Ферхюльста.

В пункте 2.1 рассматриваются характерные особенности детерминированной системы Ферхюльста

где внешний параметр ¡1 £ [0,4], а состояния системы х4 £ [0,1]. Система Ферхюльста является простейшей одномерной системой демонстрирующей переход к хаосу через бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода.

11

Рис. 1: Бифуркационная диаграмма стохастической системы Ферхюльста при интенсивности шума е — 0.003.

Определенные для данной системы константы Фейгенбаума являются универсальными для широкого класса дискретных систем.

В пункте 2.2 объектами исследования становятся циклы стохастической системы

хш = fixt(l - xt) + ,

где независимые гауссовы случайные величины, E£t = 0; — 1, а е интенсивность шумов. Бифуркационная диаграмма стохастической системы Ферхюльста представлена на рис. 1 .

По приведенному в главе 1 алгоритму рассчитывается функция чувствительности для каждого значения параметра р. Ее значения для каждой точки цикла сопоставляются с эмпирически полученной оценкой отклонений случайных состояний от точек цикла (рис. 2). При малом уровне шума теоретические и эмпирические данные хорошо соответствуют друг другу. При изменении параметра ц стохастическая чувствительность аттракторов системы Ферхюльста существенно меняется: здесь необходимо отметить рост чувствительности при приближении к точкам бифуркации и общий рост чувствительности при увеличении кратности циклов. На основе метода ФСЧ полу-

Рис. 2: Функции стохастической чувствительности для различных интервалов структурной устойчивости при интенсивности шума е = 0.0001.

чена эмпирическая оценка скорости се роста в цепи бифуркаций удвоения периода. Эксперименты показали, что скорость роста не зависит от функции <т(х).

В пункте 2.3, используя технику ренормгруппового анализа, данный факт удалось доказать теоретически. При этом была найдена универсальная константа роста чувствительности г] — 6.99....

В конце глады в пункте 2.4 приводится сравнение графика плотности вероятности, полученного с использованием аппарата ФСЧ, и гистограммы состояний стохастической системы Ферхюльста дня равновесия и 2-цикла.

В третьей главе результат общей теории ФСЧ из главы 1 используется при исследовании стохастически возмущенного двумерного отображения Эно.

21+1 = 1 - - Ьу1 + У(+1 = + >

где - последовательности независимых гауссовых случайных величин,

= = 0; Е£= Е£14 = 1; = 0, а е интенсивность шумов.

Трехмерная бифуркационная диаграмма стохастической системы Эно представлена на рис. 3 .

Рис. 3; Трехмерная бифуркационная диаграмма стохастической системы Эно при интенсивности шума е = 0.005.

В пункте 3.1 дается краткое описание детерминированных аттракторов этой системы при b = 0.5

В пункте 3.2 исследуется стохастическая чувствительность этой системы в зависимости от параметра fi. По приведенному в главе 1 алгоритму рассчитывается матрица чувствительности каждого состояния при выбранном значении параметра ß. Значения собственных чисел матрицы чувствительности сопоставляются с эмпирически полученной оценкой отклонений случайных состояний от точек цикла (рис. 4). При малом уровне шума теоретические и эмпирические данные хорошо соответствуют друг другу. Для системы Эно приводятся графики собственных значений функции чувствительности. Аналогично одномерной системе Ферхюльста чувствительность двумерной системы Эно значительно возрастает в точках бифуркаций и имеет место общий рост чувствительности при увеличении кратности циклов.

В конце главы приводятся примеры построения доверительных эллипсов рассеивания по значениям функции чувствительности (рис. 5) и сравниваются графики плотности вероятности, полученные с использованием аппарата чувствительности и гистограммы состояний стохастической системы Эно для

Рис. 4: Стохастическая чувствительность системы Эно в зоне 2 и 4-цикла при интенсивности шума а) е = 0.001, б) е = 0.0001. Звездочки - эмпирические данные. Сплошные линии - результаты, полученные при помощи ФСЧ.

равновесия и 2-цикла (рис. 6). Следует отметить хорошее соответствие эмпирических данных и теоретических результатов.

В четвертой главе описывается эффект обратных стохастических бифуркаций - уменьшения кратности стохастического цикла при увеличении интенсивности шума.

С ростом возмущений величина отклонений случайных состояний от детерминированного цикла растет и становится сравнима с расстоянием между соседними точками аттрактора. В результате, соседние области рассеивания начинают пересекаться между собой. При дальнейшем увеличении интенсивности после некоторого критического значения происходит полное слияние соседних областей рассеивания. При соответствующем уровне интенсивности шума стохастический 2-цикл переходит в 1-цикл, стохастический 4-цикл - в 2-цикл и т.д.. Описываемое качественное изменение фазового портрета системы - уменьшение кратности стохастического цикла при увеличении интенсивности шума - называется обратной стохастической бифуркацией (ОСБ). В качестве критерия ОСБ используется следующее правило: ОСБ наступает в случае, когда при незначительном увеличении интенсивности возмущения наблюдается качественное изменение графика плотности вероятности случай-

а) б)

Рис. 5: Случайные состояния и эллипсы рассеивания для 2-цикла системы Эно при ц — 1.75 и доверительной вероятности Р — 0.85. Интенсивности возмущения а) е = 0.01; б) е = 0.02 .

Рис. 6: Плотность вероятности стохастического равновесия (ц = 1.5) системы Эно, при амплитуде шума е = 0.01. а) эмпирические данные; б) теоретические данные.

ных состояний (в графике плотности уменьшается количество пиков). Например: стохастическому 2-циклу соответствует бимодальная (имеющая два пика) форма графика плотности, а 1-цикл соответствует унимодальная форма. При увеличении интенсивности бимодальная форма переходит в унимодальную, что соответствует ОСБ перехода 2-цикла в 1-цикл (рис. 7).

Если в детерминированной системе реализуется: цикл кратности 2к, то для стохастической системы переход 2*-цикла в 2к~ '-цикл называется первой ОСБ, а все последующие ОСБ называются старшими. Интенсивность шума, отвечающая первой ОСБ обозначается с*, а старших ОСБ -соответственно.

В пункте 4.2 для определения критических значений возмущений в одномерных системах предлагается эмпирический подход, основанный па численном построении случайных состояний и получения графиков плотности вероятности. Схема определения критических значений ОСБ следующая: 1. Моделируется случайная траектория и заполняется статистический мас-

Рис. 8: Критические значения шума системы Ферхгальста

сив. На основании массива строится плотность вероятности;

2. График плотности сглаживается, чтоб шумовая составляющая не мешала определять его модальность;

3. Определяется качественное измепение графика плотности вероятности при изменении интенсивности шума;

4. Строится уточненная оценка критического значения интенсивности;

5. Производится обобщение данной процедуры на случай старших ОСВ.

Применение данной схемы иллюстрируется на циклах системы Ферхюль-ста. Для выбранных значепий ц = 3.01 (2-цикл) и ц = 3.46 построены соответствующие графики плотности вероятности р(х). При увеличении интенсивности возмущения е наблюдается качественное изменение формы графика плотности (переход от бимодальной к унимодальной). При изменении параметра ц на всем интервале удвоения периода получена эмпирическая диаграмма первой ОСБ - зависимость е*(ц) (рис. 8). Отмечено самоподобие графика на интервалах структурной устойчивости в цепи бифуркаций удвоения периода.

На примере 4-цикла (ц = 3.46) проведен эмпирический анализ второй ОСБ перехода уже стохастического 2-цикла в 1-цикл при увеличении е. Обсуждается сложность эмпирического анализа последней (к-й ОСВ) для ис-

Рис. 9: Диаграмма первой ОСВ системы Ферхюльста: эмпирическая оценка (серый цвет), теоретическая оценка (черный цвет)

ходного 2*-цикла системы Ферхюльста в связи с разрушением стохастического 1-цикла и уходом случайной траектории в бесконечность.

Эмпирический анализ старших ОСБ продемонстрирован для системы Ферхюльста на примере 16-цикла (д = 3.566). В связи с большими затратами времени на эмпирическое моделирование цикла и сглаживание графика эмпирической плотности вероятности получены только грубые оценки критических значений е!| и 0.0012, ~ 0.0067, е\ и 0.046 второй, третьей и четвертой ОСБ, соответственно.

В пункте 4.3 излагается теоретический подход к изучению ОСБ, опирающийся на технику ФСЧ, которая детально была рассмотрена в первой главе.

Сначала изучается первая ОСБ. Представлена методика построения аппроксимации плотности вероятности стохастического цикла. Для аппроксимации выбирается нормальная форма стационарной плотности вероятности для малых шумов в малой окрестпости детермипироваиного цикла Г. Использование данной аппроксимации позволяет избежать длительного эмпириче-

ского моделирования и сделать анализ ОСБ более эффективным.

Поведение графика аппроксимации р(х) при увеличении е аналогично поведению графика эмпирической плотности. При увеличении е ширина всплесков функции р(х) растет, происходит слияние всплесков и переход графика р(х) от бимодальной формы к унимодальной. Определение модальности формы производится по количеству локальных экстремумов. Благодаря наличию аналитического представления плотности, полученной с помощью ФСЧ, точки бифуркаций находятся аналитически из уравнения р'(х) = 0.

Построение теоретической оценки критического значения шума первой ОСБ обобщается для случая старших ОСБ. Уменьшение модальности формы графика соответствует уменьшению количества различных корней уравнения р'(х) = 0.

В пункте 4.3.2 проводится анализ ОСБ циклов системы Ферхюльста с использованием аппарата ФСЧ. Для различных значений параметра р из интервала удвоения периода представлен детальный анализ ОСБ циклов. Сначала рассматривается первая ОСБ. При различных значениях интенсивности шума е демонстрируется соответствие между графиками эмпирической плотности вероятности и се теоретической аппроксимацией. Полученное хорошее соответствие свидетельствует о возможности успешного применения аппарата ФСЧ для анализа стохастической динамики даже в присутствии достаточно сильного шума.

Для системы Ферхюльста построена теоретическая диаграмма первой ОСБ - зависимость величины теоретической оценки е* критического значения шума от параметра р.. Демонстрируется самоподобие графика £*(р) на интервалах структурной устойчивости.

Анализ старших ОСБ циклов системы Ферхюльста с использованием ФСЧ проводится на примере 4-цикла (р. = 3.46) и 1&-цикла (ц = 3.566). Получено соответствие между графиками эмпирической плотности вероятности и ее теоретическим аналогом (рис. 9).

В пункте 4.4 описывается обобщение эмпирического и теоретического анализа на системы размерностью 2 и более. Схемы анализа многомерных систем значительно схожи с рассмотренной схемой одномерной модели, но являются более трудно реализуемыми. Эмпирическая и теоретические плотности, определенные на многомерных пространствах, также демонстрируют

е

1.7

2

2.3 М-

С

Рис. 10: Диаграмма теоретической оценки первой ОСБ системы Эпо

переход от бимодальной к унимодальной форме с ростом интенсивности возмущения. Модальность формы графика определяется количеством локальных максимумов, для отыскания которых предлагается использовать алгоритм наискорейшего спуска.

Иллюстрация ОСБ и методов ее анализа в многомерных системах дается для двумерного отображения Эно, подробно изученного во второй главе. Для 2-цикла (ц — 1.72) демонстрируется переход графика плотности вероятности от бимодальной к унимодальной форме. Представлено сравнение эмпирической плотности вероятности и плотности, полученной с использованием аппарата функций стохастической чувствительности. Для 4-цикла [ц — 2.32) эмпирически удастся определить только значения интенсивности первой ОСБ, т.к. при дальнейшем увеличении интенсивности случайная траектория покидает область устойчивости детерминированного цикла. Используя теоретическую аппроксимацию плотности вероятности для системы Эно, удается построить значения критической интенсивности первой ОСБ для различных значений параметра /х из интервалов структурной устойчивости (рис. 10).

В заключении приведены основные результаты диссертации, вынесенные

на защиту. В приложении приводится описание программного комплекса, реализующего численные методы, разработанные в диссертации. Описаны вычислительные возможности комплекса и обсуждаются детали реализации некоторых его модулей.

Результаты диссертации получены в ходе исследований, проведенных в рамках проектов Федерального агентства по образованию № 2.1.1/2571 и Федеральной целевой программы 02.740.11.02022.

Публикации по теме диссертации.

Всего по теме диссертации опубликовано 10 научных работ, из них 2 статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК, 8 публикаций в сборниках и трудах конференций.

Статьи, опубликованные и принятые в печать в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК

[1] Цветков И.Н. Стохастические бифуркации циклов системы Ферхюль-ста. // Системы управления и информационные технологии, 2009, 3.1(37). С. 199-202

[2] Башгмрцева И.А., Ряшко Л.В., Цветков И.Н. Стохастическая чувствительность равновесий и циклов одномерных дискретных отображений. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. Т.17. N6. С.74-85.

Другие публикации

[3] Ряшко Л.Б, Цветков И.Н. Анализ стохастической чувствительности в дискретной модели Ферхюльста. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 36-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2005. С.198-202.

[4] Ряшко Л-В, Цветков И.Н. Анализ стохастической чувствительности циклов дискретных динамических систем. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2006. С.266-270.

[5| Цветков И.Н. Стохастическая чувствительность циклов нелинейных отображений в цепи бифуркаций удвоения периода при переходе к хаосу// Устойчивость, управление и моделирование динамических систем. Екатеринбург: УрГУПС. 2006, N 54(137), С.20.

[6| Цветков И.Н. Обратные стохастические бифуркации в модели Ферхюль-

ста. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2007. С.279-283.

[7] Цветков И.Н. Универсальность роста стохастической чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода дискретных динамических систем с параметрическими шумами. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2008. С.216-220.

[8] Цветков И.Н. Критические значения интенсивности шума для обратных стохастических бифуркаций в модели Ферхюльста. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 40-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2009. С.220-224.

[9] Цветков И.Н. Стохастическая чувствительность равновесий и циклов системы Эно. // Материалы межвузовской научной конференции по проблемам информатики СПИСОК-2009, 20-23 апреля 2009г., Изд-во Уральского госуниверситета, 2009, с. 123-124.

[10] Башкирцева И.А., Ряшко Л.Б., Цветков И.Н. Стохастическая чувствительность равповесий и циклов дискретпых нелинейных динамических систем. // Электронный журпал "Дифференциальные уравпения и процессы управления", 2009, №4, http://www.neva.ru/journal/.

Подписано в печать 13.01.2010. Формат 60 х 80 1/16. Бумага ВХИ. Печать ризограф.

Гарнитура "Arial". Тираж 100 экз. Заказ № 5.

Отпечатано в ИПЦ "Издательство УрГУ". 620083, г. Екатеринбург, ул. Тургенева, 4.

Введение

1. Анализ стохастической чувствительности равновесий и циклов

1.1 Стохастическая чувствительность равновесия

1.1.1 Коэффициент стохастической чувствительности

1.1.2 Алгоритм вычисления коэффициента стохастической чувствительности

1.1.3 Плотность вероятности стохастического равновесия 20 1.2. Стохастический цикл

1.2.1 Функция стохастической чувствительности

1.2.2 Алгоритм построения функции стохастической чувствительности

1.2.3 Характеристики ФСЧ

1.2.4 Плотность вероятности стохастического цикла

2. Система Ферхюльста

2.1. Детерминированные аттракторы

2.2. Стохастические аттракторы

2.3. Универсальность роста стохастической чувствительности

2.4. Плотность вероятности

3. Система Эно

3.1. Детерминированные аттракторы

3.2. Стохастические аттракторы

4. Обратные стохастические бифуркации циклов

4.1. Формализация явления ОСБ

4.2. Эмпирический анализ одномерных систем

4.2.1. Схема эмпирического анализа ОСБ

4.2.2. Эмпирический анализ ОСБ циклов Ферхюльста

4.3. Анализ ОСБ одномерных систем с использованием аппарата ФСЧ

4.3.1 Схема анализа ОСБ

4.3.2 Анализ ОСБ циклов Ферхюльста

4.4. Анализ многомерных систем

4.4.1. Эмпирический анализ ОСБ циклов системы Эно

4.4.2. Анализ ОСБ систем с использованием аппарата ФСЧ

Данная работа посвящена моделированию и анализу равновесий и циклов нелинейных дискретных динамических систем в присутствии случайных возмущений.

В теории динамических систем выделяют два класса - консервативные ( к ним относятся, например, механические колебания системы в отсутствии трения) и диссипативные [17], [27], [78]. Для диссипативных систем характерно то, что режим динамики, возникающий в системе, предоставленной самой себе в течении длргаельного времени, становится независящим от начального состояния (по крайней мере, при вариации начальных условий в некоторых конечных пределах). Множество точек в фазовом пространстве диссипатив-ной системы, к которому притягиваются траектории в установившимся режиме, называется аттрактором. Простые примеры аттрактров - устойчивые состояния равновесия и предельные циклы, отвечающие режимам переодических автоколебаний.

Регулярные аттракторы (равновесия и циклы) динамических систем, задаваемых детерминированными дискретными отображениями, являются классическими и наиболее изученными объектами современной теории устойчивости [56], [78]. Анализ устойчивости периодических орбит данных систем и оценки показателей Ляпунова приведены в рабо- -тах НиЬегшап В.А. [93]- [95]. Замечательным достижением стало открытие хаотической динамики. Возникновение хаоса кажется на первый взгляд несовместимым с определением динамической системы, подразумевающим возможность однозначного определения последующего состояния по исходному. На самом деле противоречия нет. В хаотическом режиме сколь угодно малая неточность начальных данных быстро нарастает во времени, так что предсказуемость становится недостижимой на достаточно больших интервалах времени. В фазовом пространстве диссипативных систем такого рода режимам отвечают странные аттракторы [56], [27]. Таким образом, разнообразие, наблюдаемое в нелинейных динамических системах, можно свести к анализу простых инвариантных многообразий и их качественных преобразований (бифуркаций). Следует отметить, что для дискретных систем хаотическое поведение возникает даже в случае одномерных моделей [79], [55].

Одним из классических сценариев перехода от порядка к хаосу является сценарий Фейгенбаума [79]—[81]. Речь идет о переходе через каскад (бесконечную последовательность) бифуркаций удвоения периода. Хотя Фейгенбаум и не является первооткрывателем удвоений периода, он первым осознал и показал присущие этому переходу свойства универсальности и скейлинга (масштабного самоподобия). В литературе часто встречаются 4 утверждения об аналогии между переходами динамических систем от движений одного типа к движениям другого типа (например, от состояния равновесия к периодическому движению) и известными в статистической физике фазовыми переходами второго рода [34, 43]. Идея такой аналогии ведет свое начало от работы Г. Хакена [90] и в дальнейшем развита Ю. J1. Климонтовичем [24]. Эта аналогия оказалась весьма полезной, так как позволяет использовать методы теории фазовых переходов, например методы скэйлинга и ренормализационной группы [13], [41], [92]. Используя аппарат, аналогичный развитому до этого в теории фазовых переходов, Фейгенбаум построил теорию, объясняющую универсальность удвоений периода [79]. Сущность концепции универсальности состоит в том, что имеется обширное множество нелинейных диссипативных систем различной природы (класс универсальности), которые не просто демонстрируют одну и ту же последовательность бифуркаций, но и проявляют у порога возникновения хаоса одни и те же количественные закономерности скейлинга с присущими данному классу универсальности определенными значениями масштабных констант.

В любой реальной физической, химической, биологической системе всегда присутствуют случайные возмущения, которые могут оказать существенное влияние на ее поведение. Задача анализа динамических систем, возмущаемых внешним шумом, являлась предметом интенсивного изучения в математике, физике, химии, биологии на всем протяжении 20 века и вызвала появление огромного количества теоретических и экспериментальных работ. Явлениям, связанным со стохастичностью, посвящено большое количество публикаций [1], [2], [31], [33], [59], [98], [100], [97], [104], [112], [119], [121]. Один из первых результатов, касающихся выхода траектории системы под воздействием шума из области устойчивости, получен Arrhenius S.A. [62] еще в 1899 году. Значительную известность имеет классическая работа Понтрягина JI.C., Андронова A.A., Витта A.A. "О статистич-ском рассмотрении динамических систем" [35]. Опубликованная в 1933 году, она содержит формулировки основных задач изучения стохастической динамики, которые остаются актуальными и на сегодняшний день. Метод стохастических функций Ляпунова, начиная с основополагающей работы Каца И.Я. и Красовского H.H. 1960 г.[23], является теоретическим фундаментом анализа устойчивости стохастических систем.

Основная литература по стохастическим системам посвящена анализу динамики в окрестности точек покоя. Случай точки покоя представляет собой достаточно глубоко разработанную теорию и рассматривался в работах Вентцеля А.Д. и Фрейдлина М.И. [10]

- [12], Ludwig D. [105], Matkowsky B.J. и Schuss Z. [109], Nahe T. и Klosek M. [113] и др.

Изучение воздействия шума на предельный цикл было начато Понтрягиным JI.C. и продолжено в многочисленных работах исследователей, например - Стратоновича P.J1. [44], Ibrahim R.A. [96], Soong Т.Т. и Grigoriu M. [120], Baras F. [63], Mangel M. [107], Day [74, 75]. Под воздействием стохастических возмущений траектория, стартующая из некоторой точки цикла, начинает отклоняться от детерминированной орбиты, формируя вокруг нее так называемый пучок случайных траекторий. Неоднородность пучка случайных траекторий вокруг цикла рассматривалась в работах Kurrer С. и Schulten К. [99], Deissler R.J. и Farmer J.D. [76], Ali F. и Menzinger M. [57, 58].

Первоначально флуктуации рассматривались как дезорганизующее воздействие на систему, "разрушающее" порядок. В работах Crutchfield J.P., Farmer J., Huberman В.A. [71], Nauenberg M., Rudnick J. [72], Shraiman C.E. [118] показано, что влияние аддитивного шума приводит к тому, что последовательность бифуркаций удвоения периода становится конечной. В работах Кузнецова [28], [29] исследовано влияние шума на свойство скейлинга дисктреных динамических систем из разных классов универсальности. В частности найдены значения, на которые необходимо уменьшать интенсивность внешнего воздействия для сохранения свойства самоподобия.

В последние несколько десятков лет при исследовании неравновесных явлений в различных областях науки была обнаружена организующая роль шума. Было показано, что флуктуации способны индуцировать гораздо более богатое (в сравнении с детерминированными системами) разнообразие режимов. К данной группе эффектов воздействия шумов относятся так называемые индуцированные шумом переходы (noise-induced transitions). Первое описание данных явлений было дано в конце 50х - начале 60х годов 20 века в работах Кузнецова П.И., Стратоновича Р.Л., Тихонова В.Pl., Ланды П.С. Через несколько лет эти явления были переоткрыты в контексте экологических систем в работах Мау [110], Hahn [89]. Классической работой, посвященной индуцированным шумом переходам, стала монография Horsthemke W. и Lefever R. [48], вышедшая в 1984 году.

В конце 70х годов 20 века большое развитие получила теория стохастических бифуркаций, изучающая качественные изменения поведения динамических систем под воздействием случайных возмущений. В работах Arnold L. [59] - [61] выделяются два основных подхода к определению понятия стохастической бифуркации: феноменологический подход (Р-бифуркации), описывающий качественные изменения стационарной плотности вероятности, и динамический (D-бифуркации), описывающий изменение знака старшего показателя Ляпунова. Дальнейшее изучение стохастических бифуркаций в рамках индуцированных шумом переходов для одномерного случая проведено в работах Crauel Н. [70], Flandoli F. [69], Leng G., Namachchivaya N. [103], [114]. Воздействие шума на бифуркацию Хопфа двумерных систем на плоскости подробно рассмотрено в работах Moss F., McClin-tock P.V.E. [112, 83], Turner J. [101, 102], Kuske R., Xu W., Zhu W.Q. [123], He Q., Leung H., Malick K. [106].

В последние 10 лет при исследовании стохастической динамики систем с непрерывным временем активно применяется новый подход, связанный с использованием некоторой функции, получившей название квазипотенциала. Данная функция, представляющая собой экспоненциальную асимптотику стационарной плотности вероятности, появилась в работах Вентцеля А.Д. и Фрейдлина М.И. [11, 12] в связи с решением задачи о выходе случайной траектории из окрестности устойчивой точки покоя.

При помощи функции квазипотенциала удается предсказывать тонкие эффекты воздействия внешних помех на рассматриваемую систему. Метод квазипотенциала в анализе стохастической чувствительности предельных циклов рассматривался в работах Naeh Т. [113], Dykman M.I. [77], Graham R. и Tel Т. [84] - [87], Smelyanskiy V.N. [119], Maier R.S. [108], Мильштейна Г.Н. [32], Ряшко Л.Б. [36].

В публикациях Ряшко Л.Б. и Башкирцевой И.А. [4, 65] представлена разработанная методика анализа стохастической чувствительности предельного цикла. Данная методика базируется на аппроксимации квазипотенциала и построении функции стохастической чувствительности (ФСЧ), описывающей ковариацию отклонения случайной траектории от детерминированной орбиты цикла. ФСЧ является естественной вероятностной мерой, характеризующей реакцию стохастического цикла на малые внешние возмущения. В работах Ряшко Л.Б. и Башкирцевой PIA. с использованием терминов Р-устойчивости построены численные методы расчета ФСЧ и продемонстрировано их применение для некоторых моделей нелинейной динамики.

Представляемая диссертационная работа распространяет исследования в этой области на класс дискретных систем. В работе для регулярных аттракторов нелинейных систем с дискретно изменяющимся временем вводится конструкция функции стохастической чувствительности. С использованием аппарата ФСЧ излагаются методики анализа стохастической чувствительности равновесий и предельных циклов для систем, возмущаемых шумом различной интенсивности. Проведен подробный анализ стохастической чувствительности аттракторов классической системы Ферхюльста и двумерного отображения Эно.

Эмпирические исследования слияния областей рассеивания логистического отображения в присутствии случайных возмущений были проведены G. Mayer-Kress и Н. Haken [111]. Показано, что при увеличении интенсивности возмущения происходит качественное изменение формы графика плотности вероятности стохастического цикла. В представляемой диссертационной работе обратные стохастические бифуркации исследуются при помощи математического аппарата ФСЧ. Результаты теоретических и эмпирических подходов демонстрируются для систем Ферхюльста и Эно.

Диссертационная работа состоит из четырех глав и двух приложений, содержащих описание созданного программного комплекса и реализованных в нем численных алгоритмов. В первой главе вводится конструкция функции стохастической чувствительности, построенная по системам первого приближения. Аппроксимируется плотность вероятности стохастического равновесия и циклов. Вторая глава посвящена исследованию чувствительности циклов системы Ферхюльста. Для одномерной модели сравниваются теоретический и эмпирический подход к изучению стохастической чувствительности. Установлена универсальная скорость роста чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода. В третьей главе описывается поведение двумерной стохастической системы Эно. На примере данной системы демонстрируется использование аппарата ФСЧ в анализе чувствительности многомерных систем. Четвертая глава посвящена анализу обратных стохастических бифуркаций уменьшения кратности стохастического цикла при увеличении интенсивности случайных возмущений. Явления обратных бифуркаций демонстрируется на примерах рассмотренных в главе 2 и 3 системах Ферхюльста и Эно.

Остановимся на содержании работы более подробно.

Первая глава носит теоретический характер и посвящена введению конструкции функции стохастической чувствительности, а также ее анализу и алгоритмам отыскания.

В пункте 1.1 исходным объектом является детерминированная нелинейная система t+i = Дж«)> где х - n-вектор, fix) - достаточно гладкая функция. Предполагается, что система имеет экспоненциально устостойчивое равновесие х.

Добавляя в детерминированную систему внешнее возмущение, мы переходим к стохастической системе

Xt+i = f(xt) +e<r{xt)€t ■

Здесь а(х) - п х m-матрица, - m-мерный некоррелированный случайный процесс с параметрами

Е& = О, = I, = 0 (t ф к), где I - единичная т х m-матрица, е - интенсивность шума.

Далее дается вероятностоне описание отклонений возмущенных траекторий от детерминированного равновесия. В случае малых шумов, когда случайные состояния xet стохастического аттрактора локализируются вблизи положения равновесия х, может быть исгюльзованно линейное приближение. Удобной характеристикой разброса случайных состояний вокруг детерминированного равновесия является коэффициент стохастической чувствительности - матрица 1

W = lim — cov(xet, xet) . е->0 S2

В пункте доказана теорема 1 о том, что в случае Э-устойчивости равновесия детерминированной системы коэффициент стохастической чувствительности определен и может быть найден из уравнения

W = FWFT + Q , где^ = §£(я), Q = a{x)aT(x)

Пункт 1.2 распространяет технику анализа стохастической чувствительности, введенную для стохастического равновесия, на случай стохастического цикла.

Невозмущенный детерминированный А;-цикл Г есть множество точек Г = {¿ci,., связанных соотношениями: f(xi)=xi+1 (г = 1,., к - 1), f(ßk) = Xi.

Для каждого состояния Xi вводится значение функции стохастической чувствительности (ФСЧ). Как и в случае равновесия, с помощью функции чувствительности удобно строить оценки разброса состояний вокруг выбранной точки цикла Г. Далее доказывается теорема 2 о существовании функции чувствительности для экспоненциально устойчивого цикла произвольной кратности и приводится алгоритм поиска значений функции во всех точках цикла.

По значениям функции чувствительности строится аппроксимация плотности вероятности в виде линейной комбинации нормальных распределений.

Вторая глава посвещена приложению теории ФСЧ к анализу стохастически возмущенной модели Ферхюльста.

В пункте 2.1 рассматриваются характерные особенности детерминированной системы Ферхюльста Дм> = /ЛХ1(1 - хь) , где внешний параметр ¡л £ [0,4], а состояния системы € [0,1]. Система Ферхюльста является простейшей одномерной системой демонстрирующей переход к хаосу через бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода. Определенные для данной системы константы Фейгепбаума являются универсальными для широкого класса дискретных систем.

В пункте 2.2 объектами исследования становятся циклы стохастической системы хг+1 = 11X^1 - хг) +£& , где - независимые гауссовы случайные величины, Е= 0; = 1, а е - интенсивность шумов.

По приведенному в главе 1 алгоритму рассчитывается функция чувствительности для каждого значения параметра ¡л. Ее значения для каждой точки цикла сопоставляются с эмпирически полученной оценкой отклонений случайных траекторий от точек цикла. При малом уровне шума теоретические и эмпирические данные хорошо соответствуют друг другу. При изменении параметра ц стохастическая чувствительность аттракторов системы Ферхюльста существенно меняется. Здесь необходимо отметить всплеск чувствительности при приближении к точкам бифуркации и общий рост чувствительности при увеличении кратности циклов. На основе метода ФСЧ получена эмпирическая оценка скорости ее роста в цепи бифуркаций удвоения периода. Эксперименты показали, что скорость роста не зависит от вида мультипликативного шума. Используя технику ренормгруппового анализа, данный факт удалось доказать теоретически. При этом была найдена универсальная константа роста чувствительности.

В конце главы приводится сравнение аппроксимаций плотности вероятности, полученных с использованием аппарата ФСЧ, и гистограмм состояний стохастической системы Ферхюльста для равновесия и 2-цикла.

В третьей главе результат общей теории ФСЧ из главы 1 используется при исследовании стохастически возмущенного двумерного отображения Эно.

10

Х1+1 = I- Ьуь + уь+1 = хг + е$2, t , где - последовательности независимых гауссовых случайных величин, — 0; 1 — = 1; Е£ 1^2,ь = 0, а е - интенсивность шумов.

В пункте 3.1 дается краткое описание детерминированных аттракторов этой системы при Ь — 0.5

В пункте 3.2 исследуется стохастическая чувствительность этой системы в зависимости от параметра ц. По приведенному в главе 1 алгоритму рассчитывается матрица чувствительности каждого состояния при выбранном значении параметра ц. Значения собственных чисел матрицы чувствительности сопоставляются с эмпирически полученной оценкой отклонений случайных траекторий от точек цикла. При малом уровне шума теоретические и эмпирические данные хорошо соответствуют друг другу. Для системы Эно приводятся графики собственных значений функции чувствительности. Аналогично одномерной системе Ферхюльста чувствительность двумерной системы Эно значительно возрастает в точках бифуркаций и имеет место общий рост чувствительности при увеличении кратности циклов.

В конце главы приводятся примеры построения доверительных эллипсов рассеивания по значениям функции чувствительности и сравниваются аппроксимации плотности вероятности, полученные с использованием аппарата чувствительности и гистограммы состояний стохастической системы Эно для равновесия и 2-цикла. Следует отметить хорошее соответствие эмпирических данных и теоретических результатов.

В четвертой главе описывается эффект обратных стохастических бифуркаций уменьшения кратности цикла при увеличении интенсивности шума.

С ростом возмущений величина отклонений случайной траектории от детерминированного цикла растет и становится сравнима с расстоянием между соседними точками аттрактора. В результате, области рассеивания, соответствующие соседним точкам детерминированного аттрактора, начинают пересекаться между собой. При дальнейшем увеличении интенсивности после некоторого критического значения происходит их полное слияние. При соответствующем уровне интенсивности шума стохастический 2-цикл переходит в 1-цикл, стохастический 4-цикл - в 2-цикл и т.д. Описываемое в пункте 4.1 качественное изменение фазового портрета системы - уменьшение кратности стохастиче

11 ского цикла при увеличении интенсивности шума - называется обратной стохастической бифуркацией (ОСБ). В качестве критерия ОСБ используется следующее правило: ОСБ наступает в случае, когда при незначительном увеличении интенсивности возмущения наблюдается качественное изменение графика плотности вероятности случайных состояний ( в графике плотности уменьшается количество пиков). Например: стохастическому 2-циклу соответствует бимодальная (имеющая два пика) форма графика плотности, а 1-циклу соответствует унимодальная форма. При увеличении интенсивности шума бимодальная форма переходит в унимодальную, что соответствует ОСБ - перехода 2-цикла в 1-цикл.

Если для выбранного значения параметра в детерминированной системе реализуется цикл кратности 2к, то для стохастической системы переход 2^-цикла в 2*:-1-цикл называется первой ОСБ, а все последующие ОСБ называются старшими. Интенсивность первой ОСБ обозначается а старших ОСБ е*2 . ,е*к соответственно.

В пункте 4.2 для определения критических значений возмущений в одномерных системах предлагается эмпирический подход, основанный на численном построении случайных траекторий и получении графиков плотности вероятности. Схема (пункт 4.2.1) определения критических значений ОСБ следующая:

1. Моделируется случайная траектория и формируется статистическая выборка. По полученной выборке строится плотность вероятности;

2. График плотности сглаживается, чтоб шумовая составляющая не мешала определять его модальность;

3. Определяется качественное изменение графика плотности вероятности при изменении параметра;

4. Строится уточненная оценка критического значения интенсивности;

5. Производится обобщение данной процедуры на случай старших ОСБ.

Применение данной схемы иллюстрируется в пункте 4.2.2 на циклах системы Ферхюль-ста. Для выбранных значений ц = 3.01 (2-цикл) и ц = 3.46 (4-цикл) построены соответствующие графики плотности вероятности р(х). При увеличении интенсивности возмущения е наблюдается качественное изменение формы графика плотности (переход от бимодальной к унимодальной). При изменении параметра ц на всем рштервале удвоения периода получена эмпирическая диаграмма первой ОСБ - зависимость е*(ц). Отмечено самоподобие графика £*(ц) на интервалах структурной устойчивости в цепи буфуркаций удвоения периода.

На примере 4-цикла = 3.46) проведен эмпирический анализ второй ОСБ перехода уже стохастического 2-цикла в 1-цикл при увеличении е. Обсуждается сложность эмпирического анализа последней (к-й ОСБ) для исходного 2А:-цикла системы Ферхюльста в связи с последующим разрушением стохастического 1-цикла и уходом случайной траектории в бесконечность.

Эмпирический анализ старших ОСБ продемонстрирован для системы Ферхюльста на примере 16-цикла (ц — 3.566). В связи с большими затратами времени на эмпирическое моделирование цикла и сглаживание графика эмпирической плотности вероятности получены только грубые оценки критических значений е*2 « 0.0012, £3 л; 0.0067, е\ и 0.046 второй, третьей и четвертой ОСБ, соответственно.

В пункте 4.3 излагается теоретический подход к изучению ОСБ, опирающийся на аппарат ФСЧ, детально рассмотренный в первой главе.

Общая схема анализа ОСБ представлена в пункте 4.3.1. Сначала рассматривается первая ОСБ. Дана методика построения аппроксимации плотности вероятности стохастического цикла. Для аппроксимации выбирается нормальная форма стационарной плотности вероятности для малых шумов в малой окрестности детерминированного цикла Г. Использование данной аппроксимации позволяет избежать длительного эмпирического моделирования и сделать анализ ОСБ более эффективным.

Поведение графика аппроксимации стационарной плотности р{х) при увеличении е аналогично поведению графика эмпирической плотности. При увеличении е ширина пиков функции р(х) растет, в результате слияния всплесков происходит переход графика р(х) от бимодальной формы к унимодальной. Определение модальности формы производится по количеству локальных экстремумов. Благодаря наличию аналитического представления плотности, полученной с помощью ФСЧ, точки бифуркаций находятся из уравнения р'(х) = 0.

Построение теоретической оценки критического значения шума первой ОСБ обобщается для случая старших ОСБ. Уменьшение модальности формы графика соответствует уменьшению количества различных корней уравнения р'(х) = 0.

В пункте 4.3.2 проводится анализ ОСБ циклов системы Ферхюльста с использованием аппарата ФСЧ. Для различных значений параметра ц из интервала удвоения периода на основе метода ФСЧ представлен детальный анализ ОСБ циклов системы Ферхюльста.

Сначала рассматривается первая ОСБ. При различных значениях интенсивности шума е демонстрируется соответствие между графиками эмпирической плотности вероятности и ее теоретической аппроксимации. Полученное хорошее соответствие свидетельствует о возможности успешного применения аппарата ФСЧ для анализа стохастической динамики даже в присутствии достаточно сильного шума.

Для системы Ферхюльста построена теоретическая диаграмма первой ОСБ - зависимость величины теоретической оценки е* критического значения шума от параметра [I. Демонстрируется самоподобие графика £*(/л) на интервалах структурной устойчивости.

Анализ старших ОСБ циклов системы Ферхюльста с использованием ФСЧ проводится на примере 4-цикла (/л = 3.46) и 16-цикла (/л = 3.566). Получено соответствие между графиками эмпирической плотности вероятности и ее теоретическим аналогом.

В пункте 4.4 описывается обобщение эмпирического и теоретического анализа на системы размерностью 2 и более. Схемы анализа многомерных систем подобны рассмотренной схеме одномерной модели, но являются более трудно реализуемыми. Эмпирическая и теоретические плотности, определенные на многомерных пространствах, также демонстрируют переход от бимодальной к унимодальной форме с ростом интенсивности возмущения.

Иллюстрация ОСБ и методов ее анализа в многомерных системах дается на примере двумерного отображения Эно, подробно изученного во второй главе. Для 2-цикла {ц = 1.72) демонстрируется переход графика плотности вероятности от бимодальной к унимодальной форме. Представлено сравнение эмпирической плотности вероятности и плотности, полученной с использованием аппарата функций стохастической чувствительности. Для 4-цикла (/1 = 2.32) эмпирически удается определить только значения интенсивности первой ОСБ, т.к. при дальнейшем увеличении интенсивности случайная траектория покидает область устойчивости детерминированного цикла. Используя теоретическую аппроксимацию плотности вероятности для системы Эно, удается построить значения критической интенсивности первой ОСБ для различных значений параметра ¡л из интервалов структурной устойчивости.

Публикации по теме диссертации

Всего по теме диссертации опубликовано 10 научных работ, из них 2 статьи в ведущих рецензируемых научных журналах, определенных ВАК [8, 51], 8 публикаций в сборниках и трудах конференций [9, 39, 40, 49, 50, 52, 53, 54].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации представлены результаты исследований устойчивости и чувствительности дискретных нелинейных стохастических систем. Ниже приводятся основные результаты, выносимые на защиту.

1. Для аттракторов дискретных систем введено понятие стохастической чувствительности. Разработана математическая модель ФСЧ. Доказаны теоремы о существовании и единственности ФСЧ. Описаны численные методы нахождения значений ФСЧ для равновесий и циклов дискретных систем по системам первого приближения.

2. Для классической модели Ферхюльста исследована чувствительность циклов в зоне удвоения периода, при переходе от порядка к хаосу. Теоретические результаты показали хорошее соответствие с эмпирическими данными. Обнаружена закономерность роста стохастической чувствительности.

3. Для равновесий и циклов двумерного отображения Эно исследованы матричные функции стохастической чувствительности. Построены доверительные эллипсы, позволяющие получить наглядное описание пространственных особенностей стохастических аттракторов Эно. Установлен порядок роста чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода.

4. Доказана универсальность роста стохастической чувствительности в цепи бифуркаций удвоения периода для класса одномерных дискретных отображений с квадратичным максимумом.

5. Предложен общий метод анализа обратных стохастических бифуркаций. Разработана схема эмпирического анализа ОСБ циклов дискретных систем. Подробно исследованы ОСБ циклов системы Ферхюльста на интервале удвоения периода.

6. Разработана методика теоретического анализа ОСБ с использованием аппарата ФСЧ. На ее основе проведен теоретический анализ ОСБ циклов системы Ферхюльста и двумерного отображения Эно.

7. Разработан программный комплекс, позволяющий проводить численное моделирование и детальный анализ вероятностных характеристик стохастических аттракторов дискретных систем.

1. Анищенко B.C. Стохастические колебания в радиофизических системах. Ч. 1, 2. Изд-во СГУ. Саратов. 1985.1986.

2. Анищенко B.C., Астахов В.В., Вадивасова Т.Е., Нейман A.B., Стрелкова Г.И., Шиманский-Гайер Л. Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах. Под ред. Анищенко B.C. Москва Ижевск. 2003.

3. Вашкирцева И.А., Ряшко JI.B. Метод квазипотенциала в анализе чувствительности автоколебаний к стохастическим возмущениям. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т.6. N5. С.19-29.

4. Вашкирцева И.А., Ряшко JI.B. Метод квазипотенциала в исследовании локальной устойчивости предельных циклов к случайным воздействиям. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2001. Т.9 N6. С.104-113.

5. Вашкирцева И.А., Ряшко Л.В., Стихии П.В. Стохастическая чувствительность циклов системы Ресслера при переходе к хаосу. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. Т.Н. N6. С.32-47.

6. Вашкирцева И.А., Ряшко Л.В., Стихии П.В. Случайные переходы между петлями предельных циклов системы Ресслера. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 35-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2004. С.165-169.

7. Вашкирцева И.А., Ряшко Л.В., Цветков И.Н. Стохастическая чувствительность равновесий и циклов одномерных дискретных отображений. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. Т.17. N6. С.74-85.

8. Вашкирцева И.А., Ряшко Л.В., Цветков И.Н. Стохастическая чувствительность равновесий и циклов дискретных нелинейных динамических систем. // Электронный журнал "Дифференциальные уравнения и процессы управления", 2009, №4, http://www.neva.ru/journal/.

9. Вентцель А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука. 1975.

10. Вентцель А.Д., Фрейдлин, М.И. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. М.: Наука. 1979.

11. Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И. Малые случайные возмущений динамических систем. // Успехи мат. наук. 1970. Т.25. N1. С.3-55.

12. Вильсон К. Дою. Ренормализационная группа и критические явления. // УФН. 1983. Т. 141, вып. 2. С. 109.

13. Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука. 1965.

14. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова Думка. 1968.

15. Дарахвелидзе П.Г., Марков Е.П. Программирование в Delphi 7. СПб.: БХВ-Петербург. 2003.

16. Демидович В.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука. 1967.

17. Икрамов X. Д. Численное решение матричных уравнений. // М.: Наука. 1984.

18. Ито К. О стохастических дифференциальных уравнениях. // Математика I. 1957. N1. С.78-116.

19. Ито К. Об одной формуле, касающейся стохастических дифференциалов. // Математика 3. 1959. N5. С.131-141.

20. Кац И.Я. Об устойчивости по первому приближению систем со случайными параметрами. // Мат. зап. УрГУ. 1962. N3. С. 1-10.

21. Кац И.Я. Об устойчивости в целом стохастических систем. // Прикл. матем. и мех. 1964. Т.28. N2. С.366-372.

22. Кац И.Я., Красовский H.H. Об устойчивости систем со случайными параметрами. // Прикл. матем. и мех. 1960. Т.27. N5. С.809-823.

23. Климоптович Ю. Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1983.

24. Короновский A.A., Храмова А.Е. Механизм усложнения зависимости длительности переходных процессов от начальных условий в двумерном отображении. // Письма в ЖТФ. 2003. Т.29. В13. С.10-18.

25. Красовский H.H. Об оптимальном регулировании при случайных возмущениях. // Прикл. матем. и мех. 1960. Т.24. N1. С.64-79.

26. Кузнецов А.П. Динамический хаос. (Сер. Современная теория колебаний и волн). Изд-во Физико-математической литературы. Москва. 2001.

27. Кузнецов А.П., Капустина Ю.В. Свойства скейлинга при переходе к хаосу в модельных отображениях с шумом. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2000. Т.8. N6. С.78-87.

28. Кузнецов А.П., Кузнецов С.П, Седова Ю.В. О свойствах скейлинга при воздействии шума в отображении окружности с числом вращения, заданным золотым средним //Изв.вузов Прикладная нелинейная динамика. 2005. Т.13 N5,6. С.56-76.

29. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И. Воздействие электрических флук-туаций на ламповый генератор. // ЖЭТФ. 1955. Т.28. N5. С.159-162.

30. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир. 1984.

31. Милъштейн Г.Н., Ряшко Л. В. Первое приближение квазипотенциала в задачах об устойчивости систем со случайными невырожденными возмущениями. // Прикл. математика и механика. 1995. Т.59. N.1. С.51-58.

32. Неймарк Ю.И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука. 1987.

33. Полак Л. С., Михайлов А. С. Самоорганизация в неравновестных физико-химических сисетмах. М.: Наука, 1983.

34. Поитрягин Л.С., Андронов A.A., Витт A.A. О статистическом рассмотрении динамических систем. // ЖЭТФ. 1933. Т.З. Вып.З. С. 165-180.

35. Ряшко Л.В. Об устойчивости стохастически возмущенных орбитальных движений. // Прикл. матем. и мех. 1996. Т.60. N.4. С.582.126

36. Ряшко JI.B., Стихии П.В. Обратные стохастические бифуркации в системе Ресслера. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 36-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2005. С.192-196.

37. Ряшко JI.B., Стихии П.В. Обратные бифуркации в стохастической системе Ресслера. // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2005. Т. 13. N4. С. 20-36.

38. Ряшко JI.B, Цветков И.Н. Анализ стохастической чувствительности в дискретной модели Ферхюльста. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 36-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2005. С. 198-202.

39. Ряшко JI.B, Цветков И.Н. Анализ стохастической чувствительности циклов дискретных динамических систем. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 37-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2006. С.266-270.

40. Сииай Я. Г. Теория фазовых переходов. М.: Наука, 1980.

41. Сииай Я.Г. Стохастичность динамических систем // Нелинейные волны. Под ред. A.B. Гапонова-Грехова. М.: Наука. 1979. С.192-212.

42. Стеили Г. Фазовые переходы и критические явления. М.: Мир, 1973.

43. Стратоиович P.JI. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. М.: Сов. Радио. 1961.

44. Тихонов В.И. Воздействие флуктуаций на простейшие параметрические системы. // Автоматика и телемеханика. 1958. Т.19. N8. С.717.

45. Уонэм У.М. Линейные многомерные системы управления. М.: Наука, 1980.

46. Хасъминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука. 1969.

47. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы. М.: Мир. 1987.

48. Цветков И.Н. Критические значения интенсивности шума для обратных стохастических бифуркаций в модели Ферхюльста. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 40-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2009. С.220-224.

49. Цветков И.Н. Обратные стохастические бифуркации в модели Ферхюльста. // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й Региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН. 2007. С.279-283.

50. Цветков И.Н. Стохастические бифуркации циклов системы Ферхюльста. // Системы управления и информационные технологии, 2009, N3.1(37). С. 199-202

51. Цветков И.Н. Стохастическая чувствительность равновесий и циклов системы Эно. // Материалы межвузовской научной конференции по проблемам информатики СПИСОК-2009, 20-23 апреля 2009г., Изд-во Уральского госуниверситета, 2009, с. 123124.

52. Цветков И.Н. Стохастическая чувствительность циклов нелинейных отображений в цепи бифуркаций удвоения периода при переходе к хаосу// Устойчивость, управление и моделирование динамических систем. Екатеринбург: УрГУПС. 2006, N54(137), С.20.

53. Шарковский А.Н., Сосуществование циклов непрерывного отображения прямой на себя// Укр. матем. журнал 1964, Т.16, N1, С. 61-71.

54. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир. 1988.

55. Ali F., Menzinger М. Stirring effects and phase-dependent inhomogeneity in chemical oscillations: the Belousov-Zhabotinskiy reaction in a CSTR. //J- Phys. Chem. A. 1997. Vol.101. P.2304.

56. Ali F., Menzinger M. On the local stability of limit cycles. // Chaos. 1999. Vol.9. P.348-356.

57. Arnold L. Random dynamical systems. Springer-Verlag. Berlin. 1998.

58. Arnold L., Horsthemke W., Lefever R. White and coloured external noise and transition phenomena in nonlinear systems. // Zs. Phys. 1978. Vol.29. P.867-873.

59. Arrhenius S.A. Ueber die Reaktiongeschwindigkeit bei der inversion von Rohrzucker durch Saeuern. // Z. Phys. Chemie. 1899. Vol. 4. P.226.

60. Baras F. Stochastic Analysis of Limit Cycle Behavior. // Phys Rev Lett. 1996. Vol.12. N7. P.1398-1401.

61. Bashkirtseva I.A., Ryashko L.B. Sensitivity analysis of stohastically forced Lorenz model cycles under period-doubling bifurcations. // Dynamic systems and applications. 2002. Vol.11. P.293-310.

62. Bashkirtseva I. A., Ryashko L. B. Stochastic sensitivity of 3D-cycles. // Mathematics and Computers in Simulation. 2004. Vol. 66. Issue 1. P.55-67.

63. Bashkirtseva I. A., Isakova M.G., Ryashko L. B. Quasipotential in stochastic stability analysis of the nonlinear oscillator orbits. //J. Neural, Parallel & Scientific Computations. 1999. Vol. 7(3). P.299-310.

64. Bashkirtseva I. A., Ryashko L. B. Sensitivity analysis of the stochastically and periodically forced Brusselator. // Physica A. 2000. Vol.278. P.126-239.

65. M.Benedicks, L.Carleson. The dynamics of the Henon map. // Ann. of Math. 1991. Vol. 133. N1, P.73-169.

66. Crauel H., Flandoli F. Additive Noise Destroys a Pitchfork Bifurcation. // Journal of Dynamics and Differential Equations. 1998. Vol.10. N2. P.259.

67. Crauel H., Imkeller P., Steinkamp M. Bifurcations of one-dimensional stochastic differential equations. // in H. Crauel and M. Gundlach, editors, Stochastic dynamics. Springer Verlag. New York. 1999. P.27-47.

68. Crutchfield J., Farmer J., Huberman B. Fluctuations and Simple Chaotic Dynamics. // Phys. Rep. 1982. Vol. 92. P.45-82.

69. Crutchfield J., Nauenberg M., Rudnick J. Scaling for external noise at the onset of chaos. // Phys. Rev. Lett. 1981. Vol.46. P.933-935.

70. Cvitanovic P. Universality in Chaos. Hilger. Bristol. 1989.

71. Day M. Cycling and skewing of exit measures for planar systems. // Stoch. Rep. 1994. Vol. 48. P.227-247.

72. Day M.V. Regularity of boundary quasi-potentials for planar systems.// Applied Mathematics and Optimization. 1994. Vol.30. P.79-101.

73. Deissler R.J., Farmer J.D. Deterministic noise amplifiers. // Physica D. 1992. Vol. 55. P.155-165.

74. Dykman M.I. et al. Activated escape of periodically driven systems. // Chaos. 2001. N.ll. P.587-594.

75. Elaydi S. N. An Introduction to Difference Equations. Springer. 1999.

76. Feigenbaum M. J. Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations // J. Stat. Phys. 1978. Vol.19. N1. P.25-52.

77. Feigenbaum M. J. The Universal Metric Properties of Nonlinear Transformations //J. Stat. Phys. 1979. Vol.21. N6. P.669-706.

78. Feigenbaum M. J. The Transition to Aperiodic Bechavior in Turbulent Systems // Comm. Math. Phys. 1980. Vol.77. N1. P.65-86.

79. Feng-guo Li. Effects of noise on periodic orbits of the logistic map. // Cent. Eur. J. Phys. 2008. Vol.6(3). P.539-545.

80. Franzoni L., Mannella R., McClintock P., Moss F. Postponement of Hopf bifurcations by multiplicative colored noise. // Phys. Rev. A. 1987. Vol.36. P.834-841.

81. Graham R., Tel T. Existence of a potential for dissipative dynamical systems. // Phys. Rev. Letters. 1984. Vol. 52. P.9-12.

82. Graham R., Tel T. Weak-noise limit of Fokker-Planck models and nondifferentiable potentials for dissipative dynamical systems. // Phys. Rev. A. 1985. Vol.31. P.1109-1122.

83. Graham R., Tel T. Nonequilibrium potential for coexisting attractors. // Phys. Rev. A. 1986. Vol 33. P.1322-1337.

84. Graham R., Tel T. Steady state ensemble for the complex Ginzburg Landau equation with weak noise. // Phys. Rev. A. 1990. Vol.42. P.4661-4677.

85. Gutierrez J., Iglesias A., Rodiguez M. A. Logistic map driven by dichotomous noise // Phys. Rev. E. 1993. Vol. 48. P.2507-2513.

86. Hahn H.S., Nitzan A., Ortoleva P., Ross J. Threshold excitation relaxation oscillations and effect of noise in an enzyme reactions. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1974. Vol. 71. P.4067-4071.

87. Haken H. Synergetics a Field Beyond Irreversible Thermodynamics // Lect. Notes in Phys. Berlin: Springer, 1978. Vol. 84. P.140-168.

88. Rue-Ron Hsu, Jyh-Long Chern, Wei-Fu Lin, Chia-Chu Chen, Han-Tzong Su Stochastic Responce, Cascading and Control of Colored Noise in Dynamical System // Chinese journal of Physics. 1999. Vol.37 N.3. P.292-301.

89. Hu B. Intoduction to Real-Space Renormalizatin-Group Methods in Critical and Chaotic Phenomen // Phys. Rep. 1982. Vol. 91. N5. P.233.

90. Huberman B.A., Rudnick J. Scaling Behavior of Chaotic Flows // Phys. Rev. Lett. 1980. Vol.45. N3. P.154-156.

91. Huberman B.A., Zisook A. B. Power Spectra of Strange Attractors // Phys. Rev. Lett.1981. Vol.26. N10. P.626-632.

92. Huberman B.A., Hirisch J. E., Scalapino D. J. Theory of Intermittency // Phys. Rev. A.1982. Vol.25. N1. P.519-532.

93. Ibrahim R. A. Parametric Random Vibration. John Wiley and Sons. New York, 1985.

94. Kifer Y. Random perturbations of dynamical systems. Birkhaeuser. 1988.

95. Kurrer C., Schulten K. Effect of noise and perturbations on limit cycle systems. // Physica D. 1991. Vol.50. P.311-320.

96. Landa P.S., McClintock P. V.E. Changes in the dynamical behavior of nonlinear systems induced by noise // Physics Reports. 2000. Vol.323. P. 1-80.

97. Lefever R., Turner J. Sensitivity of a Hopf bifurcation to external mutiplicative noise. //In W.Horsthemke D.K.Kondepudi, editors. Fluctuations and sensitivity in nonequilibrium systems. Springer-Verlag. Berlin. 1984.

98. Lefever R., Turner J. Sensitivity of a Hopf bifurcation to mutiplicative colored noise. // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol.56. P.1631-1634.

99. Leng G., Namachchivaya N., Talwar S. Robustness of nonlinear systems perturbed by external random excitation. // ASME Journal of Applied Mechanics. 1992. Vol.59. P.l-11.

100. Luchinsky D.G., Mannella R., McClintock P.V.E., Stocks N.G. Stochastic resonance in electrical circuits II: Nonconventional stochastic resonance. // IEEE Trans.on Circuits and Systems II: Analog and Digital Signal Processing. 1999. 46. P.1215-1224.

101. Ludwig D. Persistence of dynamical systems under random perturbations. // SIAM Rev. 1975. Vol.17. P.605-639.

102. Malick K., Marcq P. Stability analysis of noise-induced Hopf bifurcation. // Eur. Phys.J. B. 2003. Vol.36. P.119-128.

103. Mangel M. Small fluctuations in systems with multiple limit cycles. // SIAM. J. Appl.MATH. 1980. Vol.38. N1. P.120.

104. Maier R.S., Stein D.L. Oscillatory behavior of the rate of escape through an unstable limit cycle. // Phys. Rev. Lett. 1996. N24. P.4860-4863.

105. Matkowsky B.J., Schuss Z. The exit problem for randomly perturbed dynamical systems. // SIAM J.Appl. Math. 1977. Vol.33. P.365-382.

106. May R.M. Stability and complexity in model ecosystems. Princeton: University Press. 1973. P.235

107. Mayer-Kress G., Haken H. The Influence of Noise on the Logistic Model. // Journal of Statistical Physics, Vol. 26, 1981, N1, P.149-171.

108. Moss F., McClintock P. V.E. Noise in nonlinear dynamical systems. Cambridge University Press. 1989.

109. Naeh T., Klosek M.M., Matkowsky B.J.,Schuss Z. A direct approach to the exit problem. 11 SIAM Journal Appl.Math. 1990. Vol.50. N2. P.595-627.

110. Namachchivaya N. Stochastic bifurcation. // Applied Mathematics and Computation. 1990. Vol.38. Issue 2. P.101-159.

111. Neiman A., Anishchenko V., Kurths J. Period-doubling bifurcations in the presence of colored noise. // Phys. Rev. E. 1994. Vol.49. P. 3801-3805.

112. Peitgen H.O., Richter P.E. Harmonie in Chaos und Kosmos und Morphologie komplexer Grenzen; Bilder aus der der Theorie dynamischer Systeme. 1975.

113. Ryagin A.Y., Ryashko L.B. The analysis of the stochastically forced periodic attractors for Chua's circuit. // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2004. Vol.14. N11. P.3981-3987.

114. Shraiman B., Wayne C.E., Martin P.C. Scaling theory for noisy period-doubling transitions to chaos.// Phys. Rev. Lett. 1981. Vol.46. N14. P.935-939.

115. Smelyanskiy V.N., Dykamn M.I., Maier R.S. Topological features of large fluctuations to the interior of a limit cycles.// Phys. Rev. E. 1997. Vol.55 N.3. P.2369-2391.

116. Soong T.T., Grigoriu M. Random vibration of mechanical and structural systems. // RTR Prentice-Hall. Englewood Cliffs. New Jersey. 1993.

117. Stratonovich R. L. Topics in the Theory of Random Noise. Gordon and Breach. New York. 1963.

118. C.Simo. On the Henon-Pomean attractor. // Jornal of Statistical Phisics 1979. N21, P.465-494.

119. Xu B., Lai Y.-C., Zhu L., Do Y. Experimental Characterization of Transition to Chaos in the Presence of Noise. // Phys. Rev. Lett. 2003. Vol.90. P.164101.

120. Tian-Nan Wang, Rue-Ron Hsu, Han-Tzong Su, Wie-Fu Lin, Jyh-Long Chern, Chia-Chu Chen. Stochastic Responses of the Stable Period-p Orbits in One-Dimensional Noisy Map System.// Chinese Journal of Physics. December 1999, Vol.37, N.6, P.535-546.133

121. Ying-Cheng L., Zonghua L., Billings L., Schwartz I. Noise-induced unstable dimension variability and transition to chaos in random dynamical systems. // Phys. Rev. E. 2003. Vol.67. P.026210.