автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Исследование механизма образования аттракторовряда динамических систем и визуализация иххарактеристик



ИНСТИТУТ ФИЗИКИ ВЫСОКИХ ЭНЕРГИИ

93-127 На правах рукописи

Смирнова Вера Васильевна

Исследование механизма образования аттракторов ряда динамических систем и визуализация их характеристик

05.13.11 -- математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов, систем и сетей

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Протвино 1993

М-24

Работа выполнена в Институте физики высоких энергий (г. Прот-шшо).

Научные руководители - доктор физико-математических наук C.B. Клименко, кандидат физико-математических наук В.Ф. Еднерал.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук Р.И. Богданов, кандидат физико-математических наук H.H. Васильев.

Ведущая организация - Институт ядерных исследований, г. Троицк.

Защита диссертации состоится "_" _ 1993 г.

в _часов на заседании специализированного Совета К 034.02.01

при Институте физики высоких энергий по адресу: 124248, Протвино Московской обл.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИФВЭ.

Автореферат разослан "_" ________1993 г.

Ученый секретарь

специализированного Совета В.Н. Ларин

(У; Институт физики высоких энергий, 1993.

Актуальность задачи. В последние годы в математическом мо-ировашш все больше внимания уделяется диссипативным динами-ким системам, которые описываются нелинейными системами обык-енных дифференциальных уравнений или дискретными отображени-Интерес к таким системам обусловлен тем, что они возникают [ решении ряда практических задач в различных областях физики, 1ии, биологии, социологии. При решении подобных задач использу-;я результаты математического исследования динамических систем, ленные и аналитические методы. Важная для практических при-сений область — это изучение свойств хаотического движения на ове топологической структуры притягивающего множества. Одной из ключевых задач качественного анализа, математических слей, имеющих вид систем обыкновенных дифференциальных урав-ий (ОДУ), содержащих параметры, является изучение инвариантных >жеств, определяющих структуру фазового портрета — положений новесия, предельных циклов, сепаратрисных многообразий и др. Раз-[ные инвариантные множества имеет смысл изучать отдельно друг друга только при фиксированных значениях параметров. Если же аметры меняются, причем меняются плавно, непрерывно, то инва-нтньте множества так же плавно изменяются, а при бифуркацион-с значениях параметров переходят друг в друга. Возникают связ-: семейства данных множеств. Трудности исследования нелинейных ¡амических систем определяются тем обстоятельством, что подле-цие анализу аттракторы (асимптотические устойчивые множества) гсетвуют вместе ■ с другими предельными множествами. Характер женпя, который установится при этом в системе, будет зависеть

от того, к какому аттрактору при данных начальных условиях будет притягиваться траектория.

Не существует единой методики изучения нелинейных динамических систем. Визуализация же получаемых результатов позволяет значительно усилить эффективность вычислительного эксперимента, придавая естественную наглядность результатам расчетных процедур, а также выявить особенности динамики. Использование машинной графики содержит визуальные подсказки, которые могут послужить поводом для новых идей, относящихся к исследуемой проблемной области.

Целью работы является качественное изучение некоторых закономерностей и свойств присущих инвариантным множествам, которые не являются многообразиями. Для этого необходима разработка методов, позволяющих изучать данные множества, а именно:

— разработка алгоритмов для изучения свойств хаотического поведения динамических систем, ориентируемых на информационно полное (визуальное) представление результатов;

— разработка метода нахождения структурно-устойчивого механизма, приводящего к образованию инвариантных гиперболических множеств, и поиск структурно-устойчивого механизма в аттракторах, используя этот метод;

— изучение ячеистой структуры аттракторов Лоренца, построение инвариантной меры.

Научная новизна. Впервые разработан комплекс процедур, позволяющий исследовать свойства хаотического поведения диссипативных динамических систем на основе визуального представления результатов.

Разработан новый метод нахождения структурно-устойчивого механизма образования инвариантных гиперболических множеств, не требующий вычисления устойчивых многообразий и построения пересечения секущей плоскости при отображении Пуанкаре и устойчивого многообразия особой точки 0.

Используя данный метод, были исследованы на наличие сепараторного механизма аттракторы Лоренца, Реслера, Рикитаке, простой аттрактор, определена канторова структура отображения простого аттрактора и аттрактора Лоренца.

Была, исследована ячеистая структура аттракторов Лоренца, изуче-.1 ее свойства, построена инвариантная мера.

Практическая ценность. Данные результаты могут быть приме-ны при исследовании диссипативных квантовых систем1, обладающих отической динамикой в классическом пределе, при анализе пучков ускорителях, при построении моделей систем управления. Так как ализ нелинейных динамических систем в работе основан на изуче-[и данных численного решения, то результаты данной работы могут 1ть применены к системам, траектории движения которых могут быть лучены как последовательность отсчетов.

На защиту выносятся главные результаты диссертации:

1. Алгоритмы для изучения свойств хаотического поведения нели-йных динамических систем, используя визуальное представление ре-льтатов.

2. Метод нахождения структурно-устойчивого механизма образова-[я инвариантных гиперболических множеств.

3. Поиск структурно-устойчивого механизма в аттракторах, исполь-я разработанный метод.

4. Изучение ячеистой структуры аттракторов Лоренца.

Апробация работы. Положенные в основу диссертации результаты кладывались и нашли положительную оценку на научных семинарах МЗЭ и НИВЦ АН СССР, 40ä Всесоюзной конференции по проблемам 1Шинной графики (Протвино), Международном симпозиуме "Визуали-ция и интерфейс - 91" (Новосибирск), Межрегиональной конференции

иконическому интерфейсу (Орел), а также опубликованы в рабо-х [1],[2],[3],[4].

Структура диссертации. Текст диссертации состоит из введения, тырех разделов и заключения, списка литературы, включающего 79 бот. Общий объем диссертации 64 страницы, включая 34 рисунка и таблицу. В начале каждого раздела дается постановка задачи и крат-я характеристика рассматриваемых вопросов, в конце — обобщаются новные положения раздела.

'Muller G.//Phys. Rev. Л. 1986, v.34, р.3345.

Во введении обосновывается актуальность и необходимость исследований сложных нелинейных ОДУ с привлечением компьютерной техники, формулируется цель работы, дается краткое изложение содержания работы и получаемых результатов.

В первом разделе вводятся необходимые определения и понятия, используемые в данной работе. Рассматривается, на сколько точно истинная траектория соотносится с вычисленной, рассматриваются процедуры, при помощи которых проводились исследования.

Исследование стохастичности конкретных динамических систем предполагает: выяснение структуры стохастического множества, механизмов возникновения хаоса и нахождение критериев его существования, приближенное (на основе выделения тех или иных малых параметров) описание поведения системы в стохастической области.

Теорема Рюэля и Такенса2 показывает, что появление странных аттракторов в фазовых пространствах динамических систем после нескольких нормальных бифуркаций (если не считать смен устойчивости, то уже после трех или четырех) должно быть типичным (в смысле формулировки теоремы) явлением.

Для исследования сложного динамического поведения нелинейных динамических систем чаще всего применяются методы численного интегрирования. В данной работе использованы методы Рунге-Кутта.

Рассмотрим насколько точно истинная траектория соотносится с вычисленной. Пусть на многообразии М фиксирована некоторая риманова метрика и р{х,у) обозначает расстояние между точками х, у 6 М в метрике, индуцированной этой римановой метрикой.

Назовем е-траекторией диффеоморфизма / : U —> М последовательность точек хп £ U таких, что '

р(хп+i,/(z»))<£ nez.

При приближенном вычислении траектории точки Хо под действием диффеоморфизма / фактически строится последовательность х'о, xlt...,XN и можно гарантировать только, что р[хп+\,/(х„)) < е, при 7i = 0,.JV-l.

2Ruelle D. Takens F. On Nature of Turbulence: Comm. Math. Phys., 1971,20,3,р.167-192, Springer-Verlag.

Ошибка со временем растет экспоненциально, и при достаточно льшом N истинная траектория точки Xq будет сильно отличаться вычисленной последовательности. Возникает вопрос: можно ли для нной е-траектории {in} найти такую точку ж, что расстояние от /пх хп будет достаточно мало при всех п 6 Z. Теорема Аносова3 об траекториях утверждает, что можно равномерно по п аппроксимиро-ть заданную е-траекторшо настоящей.

Из теоремы об е-траекториях следует теорема об устойчивости гн-рболических множеств, сформулированная Смейлом4 и доказанная [ршем и Пыо5 , следовательно, возможность наблюдения и изучения перболических множеств. Был написан комплекс программ для анализа динамических систем преимущественной ориентацией на хаотические системы и визуаль-е представление результатов. На систему при этом накладывается пько одно ограничение —■ она должна быть описана в виде системы гшнейных ОДУ. Исследуемые системы могут быть либо с непрерыв-:м, либо с дискретным временем, автономными или неавтономными гметь любой конечный порядок (< 20).

Основными программами (помимо расчета и построения траекторий 5ифуркациошгых диаграмм) являются:

— расчет неподвижных точек и замкнутых орбит отображения Пу-<аре;

— программы поиска сепараторного механизма и качественного изу-шя внутренней структуры аттракторов;

— программа, позволяющая показать существование гиперболично-I в в системе со странным аттрактором;

— программы, позволяющие качественно изучать ячеистую струк-эу аттракторов Лоренцева типа.

Программы обладают рядом возможностей для манипулирования ьфическим изображением и для изменения параметров моделирования.

Аносов Д.П. Об одном классе инвариантных множеств гладких динамических систем: В Труды международной коиферетши по нелинейным колебаниям, Качественные методы,-гп: Ин-т математики АН УССР. 19Т0, т.2, с.39-45.

Смейл С. Диффеоморфизмы со многими периоли'н скими точками: В сб. : Математи-3:2(1969), с.161-169.

Hirsh M.W., Pngh С.,Stable Manifolds and Hyperbolic Sets Global Analysis. -Proc. Sjmp. in

— Math., American Math. Soc., 1970, vol.14, p.133-163.

Алгоритмы, используемые в программах, описаны в соотвегствующи разделах.

Второй раздел описывает результаты исследования нелинейны) динамических систем с преимущественной ориентацией на. динамиче скне диссипативные системы с хаосом. Рассматривается роль визуализации при анализе поведения динамических систем. На конкретных примерах показано, что использование визуализации при изучении нелинейных динамических систем позволяет не только идентифицировать тип движения динамической системы, но и изучать структуру инвариантных множеств. 1

В модели, описывающей стохастический автогенератор

х — у — а х

У = -у + 2уу + аг + (3 • цг = х - (г3 - г) при (1 = 0.1, /3—.0,

при а = 0.43, а = -0.013, 7 = 0.3 и при а = О.Сб, а = -0.33, 7 = 0.35 были получены предельные циклы. Для первого набора параметров — неустойчивый, для второго набора — устойчивый.

В случае систем с непрерывным временем удобно анализировать результат действия отображения Пуанкаре. Было рассмотрено неавтономное уравнение Ван дер Поля

х - е(1 — х2)х + я3 — Всов(и4)

при е = 3, В = 2.5, ш = 2.7 . Рис. 1 — проекция решения уравнения на полскость Всоь^шЬ) — 0. Для определения типа движения системы построен результат действия отображения Пуанкаре для данного уравнения в плоскости IV = /¿С05(ш£) -- 0 на точку х £ И', которое представляет собой простую замкнутую кривую (рис. 2). Это позволяет сделать вывод, что при указанных значениях параметров в неавтономном уравнении Ван дер Поля существуют почти периодические колебания, а аттрактор топологически подобен тору У2.

г

'ис. 1. Проекция фазовой траектории на секущую плоскость

Рис. 2. Рег.-'п.тат действия отображение Пуанкаре

Используя компьютерную визуализацию, можно качественно изучать пределешгые свойства, присущие странным аттракторам.

Для изучения притягивающего множества, возникающего при ре-1С1ши уравнения Дюффинга, был построен результат действия ото-эажения Пуанкаре па точку, которая принадлежит секущей плоско-ги. Изучение притягивающего множества показало, что оно состоит 1 двух притягивающих подмножеств при отображении переходящих зуг в друга.

Качественное изучение гиперболичности аттрактора Лоренца позво-[ло увидеть неравномерность растяжения и сжатия вдоль устойчивых неустойчивых многообразий, что позволяет сделать предположение о личии в аттракторе Лоренца дикой гиперболичности.

В третьем разделе рассматривается механизм образования иива-антных гиперболических множеств, построение инвариантных много-эазий и оценивается погрешность их построения. Предлагается спо-5 нахождения механизма образования инвариантных гиперболических ожеств. Метод поиска данного механизма, не предполагает вычисле-и устойчивых многообразий или поиска, гомоклинических траекторий, хождение данного механизма в аттракторах Лоренца, Рикитаке, Ре-ра и наличие в этих аттракторах канторовой структуры указывают то, что изучаемые аттракторы являются странными. Известно несколько механизмов появления странных инвариантных >жеств.

Во-первых, разрушение сепаратрис интегрируемой системы при малом возмущении правых частей и образование при этом гомоклшш-ческих траекторий. Этот механизм встречается в гамильтоновых системах общего вида и не приводит к образованию в гамильтоновых системах странных аттракторов6.

Во-вторых, образование динамической стохастичности солитонов. Возможность появления его в простых системах нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений считается проблематичной.

В третьих, "подкова Смейла"7. Смейл рассмотрел отображение Р : IV — И2 квадрата [0,1] х [0,1] С №.

Смейл исследовал структуру неблуждающего множества точек Л, которое никогда не покп,.г \У при итерации Р. Л оказывается канто-ровым множеством — пч четным множеством точек, каждый элемент которого представляет соиой предельную точку.

Доказано, что инвариантное множество А "подковы Смейла" содержит:

— счетное бесконечное множество периодических орбит в том числе орбиты с произвольно большим периодом (2к/к - орбит каждого периода

— несчетное бесконечное множество непериодических орбит;

— плотную орбиту.

Кроме того Л — структурно устойчивое множество, то есть малые возмущения Р отображения Р обладают топологически эквивалентным множеством А = Л.

Мы будем рассматривать механизм, схожий с "подковой Смейла", приводящий к появлению инвариантных гиперболических множеств. Суть его заключается в следующем. Пусть существует неподвижная точка, имеющая устойчивое многообразие коразмерности 1 и неустойчивое многообразие. Пересечение устойчивого и неустойчивого многообразия при отображении Пуанкаре порождает в окрестности каждой гомоклинической точки отображения типа подковы. (Для отыскания го-

6Заславский Г.М., Чирикои Б.В.// УМН, 19ТЗ, т.101, с.З.

'Смейл С.// УМН, 1979, т.25, с. 113-185

жлинической точки можно, конечно, использовать метод Мельникова8, ) данный метод применяется в задачах,когда диссипация мала, и урав-ния для многообразий в задачах с нулевой диссипацией известны) гображение Пуанкаре не определено при пересечении устойчивого мно-образия и секущей плоскости и разрывно в его окрестности. Линия ресечения устойчивого многообразия и секущей плоскости называет-сепаратрисой9. Траектории, исходящие из точек вблизи сепаратрисы и линии разрыва, подходят очень близко к состоянию равновесия О, дальнейшая их судьба — какому из уходящих от точки 0 двух устой-вых многообразий они будут принадлежать — зависит от того, с <ой стороны от сепаратрисы они появились. Это явление называется ■параторш.ш механизмом". Аналогия с "подковой Смейла" состоит в цествовании инвариантного гиперболического множества типа кан-юва множества.

Следовательно, для того чтобы проверить, существует ли при опре-[енных значениях параметра в системе обыкновенных нелинейных [)ференциальных уравнений странный аттрактор, необходимо выяс-существует ли при данных значениях параметра сепараторный анизм и имеется ли в аттракторах канторова структура. Сепараторный механизм. Пусть /(х) обозначает первую точку есечения траектории, проходящую через точку х С \У, с плоскостью Тогда отображением последования будет / : IV —► \¥. Так, если есть ия разрыва 5, то плоскость Ш делится на две части И7! и И^. При .1 существует единственный предел рх образов точек И^, приближайся к линии разрыва снизу, и единственный предел р2 = р\ образов ;к Ш2, приближающихся сверху. Используя этот факт, мы можем ги линию разрыва, то есть линию пересечения устойчивого много-13ия и секущей плопач-ти при отображении Пуанкаре исследуемого эактора.

'ассмотрим действие сепараторного механизма для аттракторов Ло-[а и Рикитаке. Возьмем точку х на плоскости. Тогда ¡к{х) образы и х, получающиеся в результате действия отображения / и распо-

елышков В.К. О проблеме центра: В кн.: Труди Московского матем. общества, 1963, ), с.3-52.

1бшю|1ич М.И. Стохостические автоколебании и турСулентность: УФН, 1978, т.125, с.123-

лагающисся вдоль Некоторых кривых на плоскости. Эти кривые назовем правой и левой ветвью соответственно. Возьмем эквидистантные точки, принадлежащие, например, левой ветви (рис. 3). При действии отображения Пуанкаре на данные точки видно, что часть образов точек, растягиваясь, переходит на всю левую ветвь, а другая часть — на правую ветвь (рис. 4). Если мы возьмем оставшиеся на левой ветви образы точек и вновь применим к ним отображение Пуанкаре, то мы увидим повторение описанной картины.

Сепараторный механизм, действующий в аттрлкторе Реслера и простом аттракторе, отличен от описанного выше. В данном случае образы точки х }к{х) располагаются вдоль некоторой кривой. Так же выберем последовательность эквидистантных точек и рассмотрим результат действия на них отображения Пуанкаре. Здесь часть образов точек растягивается на всю кривую, а часть образов на определенный кусок кривой. Были определены точки пересечения устойчивого многообразия особой точки 0 и секущей плоскости при отображении Пуанкаре для этих аттракторов.

-8 _ -10 _

Рис. 3. Выбор эквидистантных точек, принадлежащих левой ветви секущей плоскости аттрактора Лоренца.

10

10

..I 10

с. 4. Результат действия отображения Пуанкаре на эквидистантные точки левой ветви аттрактора Лоренца.

Канторовость. Рассмотрим структуру возникающего канторова ожества для исследуемых аттракторов. Данные множества имеют обиую размерность и обладают масштабной инвариантностью, то гь при изменении масштаба подмножество "выглядит" так же, как содное множество.

С топологической точки зрения инвариантное гиперболическое мно-ство, которое возникает под действием сепараторного механизма, вставляет собой счетное объединение прямых произведений канто-1а множества на отрезок.

Расчеты и визуа.п.пч^ представление результатов показали, что ис-дуемые аттракторы обладают канторовой структурой. Рассмотрим, обладает ли свойством масштабной инвариантности •стой аттрактор. Возьмем часть секущей плоскости и увеличим его ис. 5). Рис. 6 — растянутый поперек образ этой части. Рис. 7,8 азывают часть рис. 5 и 6 соответственно.

I ■ I ■ I ■ < • I ■ I ■ ' ■ ' ■ ^

-4.3Б -4.32 -4.20 -4.29*

/

-3.60 -3.70 -3.80 -3.90 -4.00 -4.10 -4.20

Рис. 5. Кусок секущей плоскости простого аттрактора.

_I_I_. [' п.лп

х

-0.0012 -0.000В -0.0004 0.0000

Рис. 6. Кусок секущей плоскости простого аттрактора растянутый поперек.

-4.40

-1_

-4.16

I I I

-4.12

-4.28

-4.24

/

-3.52

-3.54

-3.56

-3.58 _

-3.60 .

-3.82 _

-3.64 и I.

-З.Б6 .

.' -З.Б8

#

! -3.70 I-

Рис. 7. Часть взятого куска секущей плоскости простого аттрактора.

„»•'К

0.1?

.Л1

0.15 ..--о: 13 _

,, •'0..03,-' О.?? ■

0_1

-0.00030

•■0.0(

-о.ооада,

•' '-. Л..

'А л ■

0.00010

11.'.

. I . а'у.ч — :

0.00030

Зис. 8. Часть взятого куска секущей плоскости простого аттрактора растянутая поперек.

1'5

В четвертом разделе рассматриваются свойства ячеистой струк-' туры, которая существует в гиперболических множествах лоренцева типа, при наличии сепараторного механизма. Было выяснено, что длина ячеек аттрактора Лоренца ограничена снизу, ячеистая структура данного аттрактора, неустойчива. Строится инвариантная мера, что позволяет перейти от изучения отдельной траектории к изучению совокупности траекторий, если тонкие особенности топологического строения аттракторов не важны.

Проведем анализ динамических систем лоренцева типа,, используя отображение Пуанкаре /. Отображение / всюду, кроме линии разрыва S, имеет производные любых порядков. Отображение / обладает глобальным устойчивым слоением, устроенным так же, как слоение на прямые у = const10. Это позволяет представить / как косое произведение над монотонным отображением, имеющим одну точку разрыва, что позволяет воспользоваться теорией одномерных отображений. Спроектируем результат действия отображения Пуанкаре на отрезок оси у. Точка, с координатами (х,у) переходит в точку у, где S — проекция линии разрыва (сепаратрисы). Рассмотрим отрезок [рьрг] — проекцию этой полосы на ось у. Определим на отрезке [рьрг] отображение Т : Т(у) = ординатаДа:, у). В нашем случае ордината f(x,y) не зависит от х. Траекторией точки у является множество y\JT(y) U • • -Tn{y)\J ■ ■ •, где Тпу = Т'Т'---Т(у). Поскольку отображение Т растягивающее по оси у, производная Т определена всюду кроме точки S.

Рассмотрим отображения Т, при которых рi и рг не периодические. В этом случае либо траектория, хотя бы одного р; i — 1,2 будет содержать подпоследовательность, сходящуюся к S (T"kpi —► S), либо найдется интервал U(S), который не содержит образов точек р\ и рг. . При условии полного растяжения прообразы любой точки всюду плотны. Т — симметрично. Проведя численный эксперимент, определили, что ячейки аттрактора Лоренца ограничены снизу, и S — U(S) = 0.012. Численно устанавливается, что ячейки, которые в начальный момент времени были близки между собой, с течением времени удаляются друг от друга и начинают двигаться независимо друг от друга, т.е. они обладают такой же локальной неустойчивостью, что и отдельные траектории аттрактора.

10Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца: Докл. АН СССР, 1977, 231, 2, с.336-339.

Для целого ряда случаев, например, для гамильтоновых систем или [ систем алгебраического происхождения, естественная инвариантная >а есть с самого начала. Однако бывают случаи, когда заранее такая >а не известна, а возникает в ходе анализа свойств динамики. Таковы-являются системы с гиперболическими и странными аттракторами, ественный путь построения для них инвариантной меры состоит в , чтобы взять произвольную гладкую начальную меру и исследовать цел ее сдвигов при I—>оо (если он существует) и зависимость его выбора начальной меры. Возьмем прообразы ячеек11 и рассчитаем »тих прообразах инвариантные меры рп (т.е. определим плотность феделения прообразов ячеек ). Построено предельное распределе-для данного аттрактора. Эта функция распределения описывает ■ятность при I —> оо найти траекторию системы в данной области «ого пространства.

)сновные результаты диссертации заключаются в следующем: . Разработаны алгоритмы, позволяющие исследовать свойства хао-ского поведения нелинейных динамических систем: лгоритмы поиска сепараторного механизма и канторовой структуры рапных аттракторах,

чгоритм построения предельного распределения ячеек,

чгоритм качественного изучения гиперболической структуры ат-

торов.

Показано, что использование визуализации при исследовании не-лных динамических систем позволяет:

хентифицировать тип движения динамической системы, в фазовом ■ранстпе не вычисляя количественные характеристики системы; лественно изучать свойства и структуру притягивающих мно-1 динамических систем, в частности, изучение гиперболичности 1Ктора Лоренца позволило увидеть неравномерность растяжения 1тия вдоль устойчивых и неустойчивых многообразий, что позво-сделать предположение о наличии в аттракторе Лоренца дикой боличности;

шфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С В. Эргодическая теория. -М., Наука, 1980,

изучение аттрактора, возникающего при решении у. шя Дю-финга, позволило выявить наличие в нем двух притяпн' ,,пх негиперболических подмножеств. >

3. Предложен метод нахождения структурно-устойчивого механизма, приводящего к образованию инвариантных гиперболических множеств, не требующий вычисления устойчивого многообразия особой точки 0 и пересечения его с секущей плоскостью при отображении Пуанкаре.

Показано,что аттракторы Лоренца, Рикитаке, Рсслсрл и.простой аттрактор обладают этим механизмом и канторовой структурой, то есть являются странными аттракторами. Изучение действия структурно-устойчивого механизма позволяет сделать предположение о топологическом подобии аттракторов Лоренца и Рикитаке, а также простого аттрактора и аттрактора Реслера.

4. Исследованы свойства ячеистой структуры, существующей в аттракторах лоренцева типа при наличии структурно-устойчивого механизма. Показано,что:

длина ячеек данного аттрактора ограничена снизу, ячеистая структура данного аттрактора неустойчива, построена инвариантная мера.

Список литературы

1] Плыкин Р.В., Смирнова В.В. Машинная графика в программах моделирования поведения нелинейных динамических систем: В кн.: Труды 4oi Всесоюзной конференции по проблемам машинной графики. -Серпухов, 1987, с.145.

2] Клименко C.B., Смирнова В.В. Об одном структурно-устойчивом механизме образования инвариантных гиперболических множеств: Препринт ИФВЭ 91-131, Протвино, 1991.

5] Клименко C.B., Смирнова В.В., Изучение ячеистой структуры аттракторов Лоренца: Препринт ИФВЭ 92-17, Протвино, 1992.

[] Клименко C.B., Матвеев C.B., Смирнова В.В., Черняев Е.В.

О когнитивной функции иконического интерфейса (на примере геометрии хаоса):В кн.: Пользовательский интерфейс: исследование, проектирование, реализация. -М., 1992, вып.2, с.9.

Рукопись поступила 29 октября 1993г.

. Смирнова

чедование механизма образования аттракторов ряда динамических •ем и визуализация их характеристик.

1Ктор М.Л. Фоломешкина

писано к печати

етная печать. 13 ¡¡м

и 29.10.1993.

Печ.л. 1,0. Индекс 3649.

Формат 60 х 90/16. Уч.-изд.л. 1,2. Тираж 150.

Бесплатно.

ситут физики высоких энергий, 142284, Протвино Московской обл.