автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и анализ стохастической динамики популяций

На правах рукописи

КАРПЕНКО ЛАРИСА ВЛАДИМИРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ПОПУЛЯЦИЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 МАР 2013 005051124

Екатеринбург - 2013

005051124

Работа выполнена на кафедре математической физики федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ряшко Лев Борисович

Официальные оппоненты: Соловьева Ольга Эдуардовна, доктор

физико-математических наук, доцент, ФГБУН Институт иммунологии и физиологии УрО РАН, заведующая лабораторией математической физиологии

Тимофеева Галина Адольфовна, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО "Уральский государственный университет путей сообщения", заведующая кафедрой высшей и прикладной математики

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО "Челябинский

государственный университет"

Защита состоится 2013 года в часов па засе-

дании диссертационного совета Д 212.285.25 на базе ФГАОУ ВПО "Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина" по адресу: 620000, Екатеринбург, проспект Ленина, 51, комн. 248.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГАОУ ВПО "Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина"

Автореферат разослан " ¿р-е^ю/ил 2013г.

Ученый секретарь диссертационного совета, /^^^^Пименов В.Г. доктор физико-математических наук, профессор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Настоящая диссертация посвящена моделированию и анализу устойчивости предельных множеств нелинейных динамических систем, находящихся под воздействием стохастических возмущений. Объектом исследования являются модели биологических сообществ, взаимодействующих по принципу "хищник-жертва".

Исследование математических моделей, описывающих взаимодействие популяций, впервые было начато в первой половине XX века с выходом основополагающих работ А. Лотки (1925) и В. Вольтерры (1926), где впервые была сформулирована простая аналитическая модель, демонстрирующая возникновение незатухающих колебаний благодаря лишь внутренним свойствам системы. Эти работы вызвали значительный отклик в работах многих исследователей (Alice W.C., Bulmer M.G, Elton С., Gilpin M.E., MacArthur R.H., May R.M., Nicholson M.). Большую роль в развитие математической теории популяционной динамики внесла работа Колмогорова А.Н. (1936,1972). В ней был предложен новый подход к описанию популяционных моделей, вводящий ограничения качественного характера на функции системы. Исчерпывающий теоретический анализ, систематизация и классификация популяционных моделей были проведены в известной работе Базыкина А.Д. "Математическая биофизика взаимодействующих популяций" (1985). Исследования в области моделирования в популяционной динамике продолжаются и в настоящее время в работах Апониной Е.А, Березовской Ф.С., Морозова А.Ю., Allen L.J.S., Brauer F., Malchow H., Mobilia M., Tauber U.C.

Начиная с работ Лотки и Вольтерры, и до настоящего времени, основным инструментом изучения динамики численности взаимосвязанных сообществ является качественная теория систем нелинейных дифференциальных уравнений. Исследования последних лет показали, что разнообразие, наблюдаемое в поведении двумерных нелинейных динамических систем можно свести к анализу относительно простых режимов (равновесия, циклы) и их качественных преобразований - бифуркаций (Гукенхеймер Д., Холмс Ф., Ани-щенко B.C.).

В трехмерных моделях кроме регулярных аттракторов — равновесий и предельных циклов, могут возникать странные аттракторы - хаотические режимы. Один из стандартных сценариев перехода системы от порядка к хаосу по мере изменения управляющих параметров состоит в бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода предельных циклов. В 1978г. М. Фейгенбаумом были открыты универсальные закономерности перехода к хаосу посредством такой серии бифуркаций. Наиболее известными моде-

лями, демонстрирующими возникновение странного аттрактора, являются модели Лоренца, Ресслера, Чуа. В трехмерных популяционных моделях хаотические режимы исследовались в работах Апонина Ю.М., Петровского C.B., Arneodo A., Xiao D.

Функционирование реальных биологических систем, как правило, сопровождается воздействием трудно контролируемых внешних возмущений. Под их влиянием, решение системы покидает детерминированный аттрактор и формирует вокруг него некоторое облако случайных состояний. Первые результаты, касающиеся выхода из области устойчивости стохастически возмущенного решения системы, были опубликованы еще в работе Arrhenius S.A. в 1899 году. В классической работе Понтрягина JI.C., Андронова A.A., Вит-та A.A. "О статистическом рассмотрении динамических систем" (1933) были сформулированы основные задачи стохастической динамики, которые остаются актуальными и сейчас.

Если плотность распределения случайных состояний в облаке стремится к некоторой стационарной, то соответствующее решение стохастической системы называется стохастическим аттрактором. Конструкция стохастических аттракторов изучалась у Арнольда JL, Бланка M.J1., Scheutzow M., Schenk-Hoppe K.R.

Исследование нелинейных систем в присутствии случайных возмущений было начато Понтрягиным J1.C. и продолжено Стратоновичем Р.Л., Анищен-ко B.C. и многими другими исследователями. Фазовый портрет системы под воздействием случайных возмущений может претерпевать значительные изменения. Соответствующие деформации, вызванные шумами, особенно ощутимы вблизи точек бифуркаций, где даже малые шумы, вследствие высокой чувствительности аттракторов, могут порождать новые явления в динамике системы, что показано в работах Башкирцевой И.А., Ряшко Л.Б., Sieber M., Malchow H., Tateno T.

Полное вероятностное описание возможных в системе стохастических режимов дается с помощью функции плотности распределения, удовлетворяющей уравнению Фоккера-ПланкагКолмогорова, но непосредственное использование этого уравнения уже для систем Двух взаимодействующих популяций весьма затруднительно. Для систем с малыми случайными возмущениями в работе Вентцеля А.Д. и Фрейдлина М.И. предложен метод, использующий конструкцию квазипотенциала. Вблизи аттрактора детерминированной системы для квазипотенциала может быть найдена квадратичная аппроксимация, позволяющая в итоге получить асимптотику стационарной плотности в форме нормального распределения.

В исследованиях Башкирцевой И.А. и Ряшко Л.Б. (1998-2001) была разра-

ботана методика, позволяющая описать разброс случайных траекторий стохастической системы вокруг детерминированного аттрактора с помощью специальной функции стохастической чувствительности (ФСЧ), базирующейся на аппроксимации квазипотенциала. При помощи ФСЧ в работах Стихи-на П.В., Губкина A.A., Цветкова И.Н., Переваловой Т.В. исследована чувствительность аттракторов и проведен анализ обратных стохастических бифуркаций для ряда динамических систем, в том числе и дискретных.

Целью работы является разработка и апробация методов исследования чувствительности стохастических аттракторов нелинейных систем популяци-онной динамики, се визуализации в форме доверительных областей и сопоставление результатов анализа стохастической чувствительности и детерминированной устойчивости аттракторов. Особый интерес представляет исследование характеристик устойчивости предельных циклов в цепочке бифуркаций удвоения периода при переходе от порядка к хаосу.

Методы исследования, использованные в настоящей работе, опираются на численное моделирование детерминированных и стохастических траекторий динамических систем, теорию стохастической устойчивости и аппарат функции стохастической чувствительности.

Научная новизна. В работе получены и выносятся на защиту следующие результаты;

1. Разработана техника математического моделирования стохастических аттракторов двумерных систем в форме доверительных областей. Для предельных циклов трехмерных систем обоснована сходимость метода отыскания матрицы стохастической чувствительности.

2. Выявлены и наглядно продемонстрированы различия в отклике системы "хищник-жертва" на воздействие аддитивных и параметрических шумов. Для трехмерных систем 11 продуцент-консумент-хищник" и "хищник-две жертвы" установлено соответствие между детерминированными и стохастическими характеристиками устойчивости предельных циклов.

'3.'Определены интервалы структурной устойчивости в цепи бифуркаций удвоения периода цикла системы "хищник-две жертвы". На каждом интервале выявлены наименее чувствительные циклы. Установлена универсальность роста чувствительности, в цепи бифуркаций для разных типов шума.

4. Разработан программный комплекс, реализующий алгоритмы решения рассмотренных в диссертации задач математического моделирования и анализа аттракторов двух- и трехмерных динамических систем.

Достоверность результатов обеспечивается:

1. строгостью постановок и доказательств утверждений;

2. подтверджением аналитических результатов результатами численного моделирования.

Теоретическая и практическая ценность работы

Теоретическую ценность работы представляют предложенные методики математического моделирования, анализа и визуализации стохастических аттракторов на основе техники ФСЧ. Практическая ценность состоит в применении разработанных методов к моделям популяционной динамики, выявлении закономерностей изменения чувствительности при воздействии стохастических шумов различной природы, в сопоставлении результатов детерминированного и стохастическох-о анализа аттракторов. Также практическую ценность имеет разработанный программный комплекс.

Личный вклад. Основные результаты, вынесенные на защиту, являются новыми и получены автором лично, Автором проведены все теоретические и эмпирические исследования, получены и систематизированы результаты.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на 38-й, 39-й, 40-й, 41-й, 42-й и 43-й Всероссийских молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2007-2012), на межвузовской конференции по проблемам информатики СПИСОК-2009 (Екатеринбург, 2009) и конференции, посвященной 50-летшо кафедры вычислительной математики и математико-механического факультета УрГУ (Екатеринбург, 2010).

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 11 работ, из них 3 статьи в рецензируемых научных журналах, входящих в список ВАК [1-3], и 8 публикаций в сборниках и трудах конференций [4-11].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения, списка цитируемой литературы и приложения. Работа занимает 134 машинописные страницы, содержит 52 рисунка, 8 таблиц и 131 ссылку на литературные источники.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении кратко обоснована актуальность работы, сформулированы ее цели, указаны научная новизна, практическое значение и апробация проведенных исследований.

Первая глава носит теоретический характер. В ней излагаются методы анализа устойчивости и стохастической чувствительности равновесий и предельных циклов.

Рассматривается в общем виде детерминированная система обыкновенных дифференциальных уравнений . .

х = /(х), (1)

где /(х) - достаточно гладкая п-мерная вектор-функция.

Предполагается, что система (1) имеет экспоненциально устойчивый аттрактор - равновесие х либо предельный цикл Г, задаваемый Т-периодичес-ким решением £(£) .

В параграфе 1.1 излагаются основы классического анализа локальной устойчивости аттракторов по линейной системе первого приближения. Описываются методики исследования устойчивости при помощи характеристических показателей Ляпунова и мультипликаторов р* (г = 1,..., п). В качестве показателя детерминированной устойчивости цикла используется величина г = шах(г = 1, ...,п — 1, рп = 1).

г

В параграфе 1.2 для анализа результатов воздействия случайных возмущений на, детерминированную систему (1), рассматривается соответствующая стохастическая система Ито:

х = /(х) + еа(х)й>, (2)

где <г(х) - достаточно гладкая п х т-матричная функция, задающая зависимость случайных возмущений от состояния системы, ги (Ь) - т-мерпый стандартный винеровский процесс, е - скалярный параметр, характеризующий интенсивность возмущений.

Под воздействием невырожденных шумов случайные траектории системы (2) образуют вокруг детерминированного аттрактора системы (1) стационарно распределенный пучок случайных состояний - стохастический аттрактор. Детальное описание плотности р(х, е) стационарного распределения состояний стохастического аттрактора дается стационарным уравнением Фоккера-Плаика-Колмогорова

е2 " Э2 " д

2 Е^К'Р)-Е^-(^)-0' «У - (3)

¿¿=1 ' 1=1

Поскольку непосредственное использование этого уравнения может быть весьма затруднительным, для вероятностного описания разброса случайных состояний в системах с малыми стохастическими возмущениями рассматривается подход, использующий некоторую специально конструируемую функцию - квазипотенциал [Вентцель А.Д., Фрейдлин М.И.]

у(х) = — 1ш1£21пр(:г, е),

Рис. 1: Доверительный эллипс для стохастического равновесия.

с помощью которого можно записать асимптотику стационарной плотности распределения

( V { X)

р(х, е) « К ■ ехр I —

В пункте 1.2.1 для стохастически возмущенного равновесия х используется асимптотика стационарной плотности р(х, е) в форме нормального распределения . _ _

(х — х, V/ 1(х — х))

р(х, є) « К ■ ехр

2є2

с ковариационной матрицей Б(є) = е2ИЛ Матрица V/ играет роль матричного коэффициента стохастической чувствительности равновесия х.

Матрица IV, в случае экспоненциально устойчивого равновесия х, является [Милыптейн Г.Н., Ряшко Л.Б.] единственным решением уравнения

РШ + = -5, (4)

где

Собственные значения щ > гц ^ ... > г]п > 0 матрицы У/ характеризуют величину разброса случайных состояний в направлении соответствующих собственных векторов В качестве общей характеристики чувствительности равновесия предлагается использовать величину то = тахту —г)і~ показатель стохастической чувствительности.

г

Удобной геометрической моделью стохастического равновесия является эллипс рассеивания. В двумерном случае доверительный эллипс (рис. 1) задается уравнением

v2 v2

— + ~ = 2к2є2,

т т

где ^ = (х—х,Ы), к2 = -\п(\-Р),Р-заданная доверительная вероятность.

В пункте 1.2.2 описывается построение ФСЧ для стохастически возмущенного цикла Е. Рассматривается семейство секущих гиперплоскостей Пг, ортогональных циклу в точках £(£) (£ € [0;Т))., и вектор-функция Хг, значения которой есть точки пересечения случайных траекторий системы (2) с гиперплоскостями IV Вероятностное распределение траекторий в пучке с течением времени стабилизируется, поэтому случайная переменная Хг имеет некоторое стационарное распределение с плотностью р>{х,е).

С помощью соответствующей квадратичной аппроксимации квазипотенциала вблизи цикла для плотности распределения можно записать экспоненциальную гауссовскую асимптотику [Башкирцева И.А., Ряшко Л.В.]

2е2 )

Pt{x,e) = К • exp I —

со средним значением То{ = £(£) и ковариационной матрицей 0(1, г) = = задающей вблизи £(£) разброс точек пересечения случайных тра-

екторий с гиперплоскостью П{. Здесь + есть знак псевдообращения.

В силу вырожденности матрицы чувствительности IV(1), младшее ее собственное значение г]п{Ь);= 0. Остальные собственные значения Г)\{Ь) > щ{Ь) > ... > гуп—!(£) ^ 0 и соответствующие им собственные векторы Л.1 (¿), /¿2(£), ..., Ип-1(Ь) характеризуют разброс пучка в гиперплоскости Щ по величине и направлению.

Матрица для экспоненциально устойчивого цикла является един-

ственным решением уравнения [Ряшко Л.Б.]

IV ^ Г(ь)\¥ + + Р(*)5(г)Р(0, (5)

с условиями

W(t)r(t) = 0, (6)

W(t + T) = W(t). (7)

Здесь

F(t) = ?£(№),. S(t) = G(t)GJ(t), G(t) = *№)),

дх

(8) rr

p(t) = pr(i), r(t) = nmi Pt = i- rV

PT - матрица проектирования на подпространство, ортогональное вектору г Ф 0.

Для цикла на плоскости (п — 2), матрица W(t) и проекционная матрица Р(£) представимы в виде

. W(t) li(t)P(t), P(i)=p(i)pT(i),

Рис. 2: Доверительное кольцо для предельного цикла.

где p(t) - нормированный вектор, ортогональный циклу Г в точке £(f). Функция /i(t) > 0 - Т-иериодическая скалярная функция, задающая разброс пучка по нормали p(t) к циклу. Она называется функцией стохастической чувствительности двумерного предельного цикла.

Функция /i(£) является решением краевой задачи [Башкирцева И.А., Ряш-ко Л.Б.]

¿i = a(t)fi + b{t), ц(0 )=ц(Т) с Т-периодическими коэффициентами

a(t) = pT(t)(F1(t) + F(t))p(t), b(t) = pT(t)S(t)p(t), и может быть найдена в явном виде

li(t)=g{t)(c + h(t)),

где

ff(i) = exp (jaWs), h(t) = j ïf&ds, c=°œn.

Vo / 0

Величину m - max fi(i) - показатель стохастической чувствительности цикла - предлагается использовать как удобную характеристику чувствительности цикла в целом.

Наглядной геометрической моделью стохастического цикла служит доверительное кольцо рассеивания (рис. 2). В диссертации дается построение доверительного кольца для двумерного предельного цикла при помощи функции n{t). Точки внутренней и внешней границ доверительного кольца определяются соответственно как

m=*(*)-«(t). m=m+v(t),

где v(t) - kep{t) VW, /с2 = erf X{V),V - заданная доверительная веро-

x

2 Г 2 ятность, erf(a;) = —= / e_i dt..

V71"./ о

Для предельного цикла размерности п = 3 выразить функцию стохастической чувствительности явной формулой не удается, поэтому следует решать краевую задачу (5) для матричной функции W(t) при помощи численного метода установления.

Матрица W(t) связывается с системой первого приближения

г = F(t)z + eG(t)w. (9)

для отклонения z(t) = x(t) — Ç(t) решений x(t) стохастической системы (2)

от m-

z(t)

Для функции u(t) =-справедлива система

' F(t)u + G(t)w. (10)

Наряду с (10) рассматривается стохастическая система

. y = F(t)y + P(t)G(t)w, (11)

случайные возмущения в которой являются проекциями возмущений системы (10). Матрицы параметров F(t), G(t) и P(t) определены в (8).

Лемма 1 [2]. Пусть цикл, задаваемый решением х = £(t) системы (2), экспоненциально устойчив. Тогда у системы (И) существует решение y(t) с ковариационной матрицей cov(y(t), у(t)) = W(t), где W(t) - решение системы (5)-(7).

Для всякого решения z(t) системы (9), проекция P(t)z(t) сходится в среднем квадратичном к ey{t) :

lim E\\P(t)z(t)-ey(t)f = 0, ¿—>+00'

где y(t) - частное решение системы (11) с начальным условием у(0) = уо-Ковариационная матрица соv(P(t)z(t), P(t)z(t)) проекций P(t)z(t) сходится к e2W(t):

lim (соv(P(t)z{t), P(t)z(t)) - e2W(t)) = 0.

i-t+oo

Для отыскания матрицы W{t) используется метод установления [Баш-кирцева И.А., Ряшко J1.B.J. Рассматривается решение V{t) задачи Коши

V = F(t)V + VFr(t).+ P(t)S(t)P(t) , V(0) = V&, (12)

В [2] доказан следующий результат: Теорема. Сходимость метода установления. Пусть \У(Ь) - решение краевой задачи (5)-(7), У(Ь) - решение задачи Коши (12), Р(1) - проекционная матрица из (8). Матрица Р{1)У(1)Р{£), независимо от выбора начальной неотрицательно определенной матрицы Уо, сходится к И^(^):

Вт (Р(ЬМЬ)Р(1))-]У№ = 0. (13)

Ь—»+оо

Скорость сходимости метода установления определяется величиной показателя детерминированной устойчивости: при его уменьшении скорость сходимости увеличивается, а при стремлении к единице - резко падает.

Лемма 2. Краевая задача (5), (7) без условия (6) имеет бесконечное множество решений:

где д ^ 0 - произвольное число.

Для отыскания приближенных значений V* и (£; = гЬ) решения У(£) задачи (12) предлагается взять за основу один из стандартных одношаговых численных методов с некоторым шагом Л:

= (14)

При непосредственном использовании схемы (14) накапливающаяся погрешность, вследствие нарушения (6), ведет к расходимости процесса. Поэтому расчет следует вести по формуле с применением "чистки" приближения проектором Р!+1 = Р(и+1)! в соответствии с приведенным выше методом установления:

= (15)

Однако непосредственное вычисление матриц имеет высокую вычислительную сложность и может потребовать значительных временных затрат-для достижения необходимой точности. Вместо этого для систем размерности п = 3 можно использовать сингулярное разложение для вычисления компонент ФСЧ.

Функция стохастической чувствительности для трехмерного цикла в каждый момент времени t выражается двумя собственными числами 771 ^ »72(4) матрицы IV(1). Сингулярное разложение матрицы \¥(1) имеет вид:

= ^(ОМ«)^) + (*)• (16)

Для невырожденных шумов функции 771 (£) и Щ^) и ортонормированные собственные векторы и /12(4) задают параметры эллипса рассеивания

случайных состояний в плоскости П4. Цусть векторы ui(4), U2(4) образуют ортонормальный базис плоскости П(, который легко находится, если известно решение ^(i). Векторы hi(t) и /12 (4) могут быть получены поворотом базиса ui(t), u2(t) на некоторый угол ifi(t). Это позволяет нам выразить неизвестное решение системы (5). через значения трех скалярных функций ??i(i), т/г (4) и <p(t), которые удовлетворяют системе уравнений [Башкирцева И.А., Ряш-

(77 1 - 772)1Р = т)21^ГН2 + + ЧЗ^г - Ы - V2)ulU2.

В невырожденном случае, когда щ — щ ф 0, система (17) позволяет однозначно находить параметры 771(4), 772(4)11 </?(4) .

В случае, когда собственные числа щ и 772 близки друг к другу, система (17) имеет особенность, так как в случае кратных собственных значений задача отыскания собственных векторов является некорректной. В этом случае матрица \У(1) имеет простое представление:.Ж(4) = 771 (4)Р(4), и отыскание собственных векторов при этом не требуется. Поэтому на интервалах, где 771(4) и 772(4) равны или близки друг к другу, предлагается [2] перейти от системы (17) к системе (5).

Для трехмерного случая также вводится показатель стохастической чувствительности ш = тах т]х (4).

Таким образом, в первой главе рассмотрены и обоснованы два метода для построения ФСЧ циклов. Первый - общий метод установления - может применяться для анализа стохастических циклов произвольных п-мерпых систем. Второй, использующий сингулярное разложение, ориентирован на исследование циклов трехмерных систем.

Разработанные и описанные в главе 1 методы моделирования и анализа стохастических равновесий и циклов используются в главах 2, 3 и 4 для исследования двух- и трехмерных популяционных моделей, имеющих различные типы динамики.

В главе 2 на основе техники ФСЧ производится анализ стохастических аттракторов двумерной популяционной модели "хищник-жертва"

ко Л.Б.]

77х = T]1hJ(F + FJ)h1 + hJShl 772 = 772 hJ\F + FT)h2 + hJSh2

(17)

[0;Т)

x — a--у — *yx2,

У

0.05

1.4 *

У

0.6

0.4

b) 0.45 0.5 0.55 X с) {

0.2

0.4 х

Рис. 3: Стохастические равновесия системы (19) для 7 = 0.7, е = 0.005 и соответствующие доверительные эллипсы: (а) Ъ = 1.75, (Ь) b = 3, (с) b = 5.

6+1

изображающую точки би-

где £ - плотность популяции жертвы, у - плотность популяции хищников.

В параграфе 2,1 исследуются положения равновесия,модели (18). Единственное невырожденное равновесие этой, системы отвечает сосуществованию хищников и жертв.

В пункте 2.1.1 приводится бифуркационная диаграмма системы вблизи невырожденного равновесия. Описываются представленные на диаграмме зоны и границы, их разделяющие, демонстрируются возможные типы фазо-

6-1

вых портретов, возникающих в системе. При Ь — 1 > у > - | - равновесие

6-1

устойчиво. При переходе через границу 7 = фуркации Андронова-Хопфа, равновесие теряет устойчивость, и в системе рождается устойчивый предельный цикл.

Параграф 2.2 посвящен исследованию характеристик детерминированной устойчивости и стохастической чувствительности равновесия в той области параметров, где оно устойчиво.

В пункте 2.2,1 рассматривается детерминированное равновесие и исследуется его чувствительность к возмущению начальных данных при помощи характеристического показателя.

В пункте 2.2.2 приводится стохастически возмущенная система, отражающая воздействие на модель (18) аддитивных шумов:

х = х — а———у — 7Ж2 + еи>1,

X (19)

У = Ъ—-у -у + еад2) 1 4- х

где е - интенсивность шумов, и»! и ги2 - стандартные независимые винеров-ские процессы.

На рис. 3 демонстрируются облака рассеивания случайных состояний системы (19) и соответствующие им доверительные эллипсы рассеивания.

60 ь

Рис. 4: Стохастическая "чувствительность равновесия для аддитивных (а) и параметрических (Ь) шумов при 7 = 2.

Рис. 5: Стохастические равновесия для (а) аддитивных (е = 0.01) и (Ъ) параметрических (е — 1) шумов при 7 = 2 и Ь — 3.5 (правое облако), 6 = 5 (среднее облако), Ь — 10 (левое облако).

Установлено, что в области, где равновесие устойчиво, показатель чувствительности т имеет абсолютный минимум при Ь = 4.05, 7 = 1.945, равный ттт — 3.4207.. При этих значениях параметров равновесие является наименее чувствительным к аддитивным стохастическим шумам.

В пункте 2.2.3 изучается воздействие шумов на параметры Ъ и 7. При этом система (18) принимает вид

х = х — а-

У - {-у + ещ)х2,

1 + х

X

у = (Ь + еи/4)—-V - У,

(20)

где е - интенсивность параметрических возмущений, и>з и - стандартные независимые винеровские процессы.

Приводится сравнение динамики ФСЧ для аддитивного и параметрическо-

г

1

0.5

а) "0 0.1 0.2 0.3 у Ь) 0.2 0.25 0.3 у

Рис. 7: Показатели устойчивости (а) и чувствительности (Ь) цикла для аддитивного (сплошная линия) и параметрического (пупктир) шума при Ь — 2.

Ь- 1

границы 7 = -- эти результаты соответствуют результатам детермини-

0 + 1

рованного анализа, однако при стремлении 7 к нулю, ситуация меняется -наиболее устойчивые с детерминированной точки зрения циклы проявляют максимально высокую стохастическую чувствительность (см. рис. 7).

Для функции т определено минимальное значение - оно достигается при Ь = 2.25, 7 = 0.35 и равно mm;n = 77.39. Стохастический цикл, соответствующий минимальному значению показателя чувствительности, называется суперциклом. Такой цикл является наименее чувствительным к воздействию стохастических возмущений.

В пункте 2.3.3 изучается воздействие на предельный цикл параметрических возмущений. Динамика показателя чувствительности по параметру 7 при каждом фиксированном Ь схожа со случаем аддитивных шумов (рис. 7(Ь), пунктирная линия), однако по мере возрастания параметра Ь, значение min(m(6, 7)) стремится к нулю. Результаты главы 2 опубликованы в [1].

В главе 3 изучается динамика популяций в системе, состоящей из популяций трех разных трофических уровней и взаимодействующих по принципу " продуцент-консумент-хшцник":

і - • х(1 у — flz - - 7.r), < у - ?Д1 (21)

= -ay-bx),

где x, у и z - численности популяций продуцента, консумента и хищника соответственно.

В параграфе 3.1 исследованы положения равновесия системы (21). Сосуществованию всех трех популяций соответствует единственное невырожденное равновесие.

а) -0.04 О 0.04 У1 Ь) -0.05 0 0.05 V

Рис. 8: Сечения пучка случайных траекторий ортогональными циклу плоскостями при а = 1.056, Ь = 0.092, е = 0.001 в моменты (а) « = 0, ^ £ = 1.44

В пункте 3.1.1 приводится бифуркационная диаграмма, дается описание указанных на ней зон и границ. Демонстрируется набор фазовых портретов, соответствующих этим зонам.

Параграф 3.2 посвящен анализу предельных циклов модели. Исследовано изменение формы предельного цикла по мере вариации параметров. Выявлено, что при увеличении параметра а в определенных фазах цикла даже малые шумы могут привести к вымиранию популяции консумента.

В пункте 3.2.1 исследуется детерминированная устойчивость цикла. Показано, что наименьшие значения показателя устойчивости г достигаются на небольшом отдалении параметров от границы потери устойчивости равновесия. При последующем отдалении параметров от этой границы и при непосредственном приближении к ней, показатель г значительно возрастает, свидетельствуя об снижении уровня устойчивости соответствующих циклов.

В пункте 3.2.2 рассматривается стохастически возмущенная система

х — х(1 — у — — -ух) + £и>1,

< У = —2/(1 - X + я) + £102, (22)

г = —г(1 — ау — Ьх) + етЬ^,

где е - интенсивность шумов, ги1, и>2 и №3 - стандартные независимые вине-ровские процессы.

Демонстрируется, что сечения стохастического цикла в различные моменты времени (рис. 8) могут иметь различную форму и размер. Строится ФСЧ предельного цикла, исследуется показатель чувствительности т. Установлено, что динамика показателя т соответствует результатам детерминированного анализа - циклы, обладающие высокой стохастической

0.34

0.36

у

I

I

II

1,7529

1,753 Ь

Рис. 9: Бифуркационная диаграмма интервала I.

чувствительностью, имеют и высокие значения показателя детерминированной устойчивости г. Результаты главы 3 опубликованы в [3].

В главе 4 исследуется трехмерная модель взаимодействия популяций двух трофических уровней - хищника и двух видов жертв. Она задается

где х, у и 2 - численности двух популяций жертв и хищника соответственно.

В параграфе 4.1 Исследуются возможные режимы сосуществования популяций и условия, отвечающие найденным равновесиям и циклам.

В пункте 4.1.1 приводится бифуркационная диаграмма системы для той области параметров, где невырожденное равновесие неустойчиво. Диаграмма наглядно демонстрирует изменение кратности предельных циклов, возникновение странных аттракторов и формирование нескольких семейств аттракторов. Подробно рассматривается интервал I (рис. 9), на котором наблюдается одна из цепочек бифуркаций удвоения периода, приводящих к хаосу. Внутри интервала / выделены несколько интервалов 1к структурной устойчивости, на которых предельный цикл сохраняет свою кратность.

Параграф 4.2 посвящен исследованию характеристик детерминированной устойчивости и стохастической чувствительности предельных циклов в цепочке бифуркаций удвоения периода.

В пункте 4.2.1 рассматривается зависимость мультипликаторов от параметра Ь. Установлено, что на всех интервалах структурной устойчивости характер изменения мультипликаторов качественно одинаков, что позволяет

системой

х = х(2Л — х — 6 у — 4г), < у = у(ь-х-у-10г), к ¿ = - 0.25а; -4у + г)

(23)

0.25

0.75

0.5

Г

.5

^.7528 1.75285 1.7529

Ь

Рис. 10: Показатель детерминированной устойчивости на интервалах 1\ — 4

использовать значения мультипликаторов как критерий, определяющий приближение параметра к границе интервала: при приближении к точке бифуркации, старший мультипликатор становится близким к нулю, значение младшего стремится к -1; при переходе через точку бифуркации, в момент удвоения периода цикла, старший мультипликатор принимает значение, близкое к 1, а значение младшего стремится к нулю.

Здесь также исследовано поведение показателя детерминированной устойчивости г{Ь) (рис. 10). Определены значения локальных минимумов показателя на каждом из рассматриваемых интервалов структурной устойчивости и значения параметра Ъ, при которых эти минимумы достигаются. Соответствующие этим значениям параметра предельные циклы называются детерминированными суперциклами.

Пункт 4.2.2 посвящен анализу влияния на предельные циклы системы (23) аддитивных шумов. Для этого рассматривается следующая стохастическая система:

где е - интенсивность возмущения, и> 1, ш2 и ш3 - стандартные независимые винеровские процессы.

Демонстрируется различная степень размытия бифуркационной диаграммы интервала I в зависимости от интенсивности возмущений. Приводятся соответствующие детерминированным циклам стохастические аттракторы и функции их стохастической чувствительности.

Исследуется динамика показателя стохастической чувствительности т(Ь) на интервалах /ь /2, /4 и /8 (рис. 11, сплошная линия). Показано, что значе-

(24)

1,7528

1,75285 1,7529

Ь

Рис. 11: Показатель стохастической чувствительности для аддитивного (сплошная линия) и параметрического (пунктир) шума на интервалах Д — 1$

ния ш устремляются в бесконечность при приближении параметра к границам интервалов структурной устойчивости. Это означает, что вблизи точек бифуркации система становится максимально чувствительной к возмущениям. Внутри каждого интервала для показателя найден локальный минимум.

В пункте 4.2.3 изучается система, отражающая воздействие на модель (23) параметрических возмущений:

где Ш4 - стандартный винеровский процесс.

Показано, что чувствительность циклов к разным типам шумов качественно не отличается - наибольшую или наименьшую чувствительность к шумам проявляют одни и те же участки цикла, и относительный перепад дисперсии между ними зависит только от свойств самой системы. Поведение показателя стохастической чувствительности также качественно не изменяется, но вблизи точек бифуркаций рост показателя становится более заметным (рис. 11, пунктирная линия). Определено, что суперциклы для параметрических шумов совпадают с суперциклами для аддитивных шумов.

Для аддитивных и параметрических шумов вычислены коэффициенты роста чувствительности суперциклов. Установлено, что с ростом кратности суперцикла, значения коэффициентов роста чувствительности стабилизируются к значению, примерно равному 6.5 для обоих типов шумов. Результаты главы 4 опубликованы в [2].

(25)

В заключении приводится перечень основных результатов диссертации, выносимых на защиту.

В приложении содержится описание разработанного программного комплекса и использованных в нем численных методов.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ Статьи, опубликованные в рецензируемых журналах, определенных ВАК:

1. Башкирцева И.А., Карпенко Л.В., Ряшко Л.Б. Анализ аттракторов стохастически возмущенной модели "хищник-жертва"// Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, Саратов, 2009.Т. 17, №2,- С. 37-53.

2. Башкирцева И. А., Карпенко Л.В., Ряшко Л.Б. Стохастическая чувствительность предельных циклов модели "хищник-две жертвы"// Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, Саратов, 2011.- Т. 18, №6.- С. 42-64.

3. Карпенко Л.В. Моделирование и анализ стохастических циклов системы "продуцент-консумент-хищник"// Системы управления и информационные технологии, Воронеж, Научная книга, 2011.- №3.1(45).- С. 155-158.

Прочие публикации:

4. Башкирцева И.А., Карпенко Л.В. Устойчивость модели популяционной динамики // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 38-й региональной молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2007.- С. 111-115.

5. Башкирцева И.А., Карпенко Л.В. Стохастическая чувствительность модели хищник-жертва к аддитивным и параметрическим помехам // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 39-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург: Ур0 РАН, 2008 - С. 92-98.

6. Карпенко Л.В., Ряшко Л.Б. Анализ стохастических колебаний в модели продуцент-консумент-хищник // Проблемы теоретической и прикладной математики: Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции. Екатеринбург: УрО РАН, 2009.- С. 145-149.

7. Карпенко Л.В., Ряшко Л.Б. Модель "хищник-две жертвы" в зоне бифуркаций удвоения периода предельных циклов // Проблемы теоретической и прикладной математики: тезисы 41-й Всероссийской молодежной школы-конференции. Екатеринбург: ИММ УрО РАН, 2010.- С. 268-274.

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н.Ельцина"

На правах рукописи

СО

Карпенко Лариса Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И АНАЛИЗ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ ПОПУЛЯЦИЙ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

^^ Диссертация на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

см ю

10 г,

со 8

ю

О о

СМ £

профессор Ряшко Л.Б.

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

Екатеринбург - 2012

Оглавление

Введение 4

1 Методы анализа устойчивости аттракторов 29

1.1 Классический анализ устойчивости аттракторов..............29

1.1.1 Устойчивость равновесий................................29

1.1.2 Устойчивость предельных циклов ......................32

1.2 Метод ФСЧ в анализе стохастических аттракторов ..........34

1.2.1 Стохастическая чувствительность равновесий..........35

1.2.2 Стохастическая чувствительность предельных циклов 37

2 Модель "хищник-жертва" 52

2.1 Положения равновесия............................................53

2.1.1 Бифуркационная диаграмма............................54

2.2 Равновесие ........................................................57

2.2.1 Детерминированное равновесие..........................58

2.2.2 Стохастическое равновесие с аддитивным шумом . . 59

2.2.3 Стохастическое равновесие с параметрическим шумом 65

2.3 Предельный цикл..................................................69

2.3.1 Детерминированный цикл................................69

2.3.2 Стохастический цикл с аддитивным шумом............70

2.3.3 Стохастический цикл с параметрическим шумом ... 73

3 Модель "продуцент-консумент-хищник" 75

3.1 Положения равновесия............................................76

3.1.1 Бифуркационная диаграмма............................79

3.2 Предельный цикл..................................................80

3.2.1 Детерминированный цикл................................81

3.2.2 Стохастический цикл с аддитивным шумом............82

4 Модель "хищник-две жертвы" 87

4.1 Положения равновесия............................................88

4.1.1 Бифуркационная диаграмма............................92

4.2 Предельный цикл..................................................95

4.2.1 Детерминированный цикл................................97

4.2.2 Стохастический цикл с аддитивным шумом............99

4.2.3 Стохастический цикл с параметрическим шумом . . . 104

Заключение 108

Литература 110

Приложение 126

Введение

Данная диссертационная работа посвящена моделированию и анализу устойчивости предельных множеств нелинейных динамических систем, находящихся под воздействием стохастических возмущений. Объектом исследования являются модели биологических сообществ, взаимодействующих по принципу "хищник-жертва".

Исследование математических моделей, описывающих взаимодействие популяций, в настоящее время представляет собой классический раздел нелинейной динамики и математической биологии. В задачах биологии и экологии аппарат математического моделирования стал широко применяться начиная с XX века, и первым объектом, для исследования которого он был использован, стал механизм борьбы за существование.

Само становление математической биологии как отдельной науки связано с выходом основополагающих работ таких авторов, как А. Лотка (1925) [101], В. Вольтерра (1926) [19], В.А. Костицына (1937) [37], Д'Арси Томпсона (1917) [125], а также многих других исследователей: [40], [41], [45], [50], [53], [57], [82], [91].

В своих трудах Лотка и Вольтерра впервые и независимо друг от друга сформулировали простую аналитическую модель, демонстрирующую возникновение незатухающих колебаний, не за счет каких-либо внешних воздействий, а благодаря лишь внутренним свойствам самой системы. У Лот-

ки рассматривалась система химических веществ, у Вольтерры - биологических видов - хищников и жертв, проживающих на одной территории.

Широкую известность имеет проведенное в 30-х гг. XX века исследование динамики численности зайца-беляка и канадской рыси по данным о количестве заготовленных охотниками шкурок на протяжении 90 лет [78], [102]. Подробное исследование этих данных [87], [72] подтолкнуло исследователей к поиску новых моделей описания взаимодействия видов.

Большой вклад в развитие математической биологии внесла работа Колмогорова А.Н. "Качественное изучение математических моделей динамики популяций" (1936, 1972) [36]. В ней был предложен новый подход к задачам популяционной динамики, опирающийся на ввод ограничений качественного характера на рассматриваемые функции, вместо поиска конкретных функциональных зависимостей, которые далеко не всегда удается определить из эксперимента.

В настоящее время система Лотки-Вольтерры служит базовой моделью для множества процессов как в биологии, так и в других областях науки. В частности, эта система и ее модификации применяются для моделирования отношений "хищник-жертва" [112], [74], "дерево-насекомое" [27], конкуренции в экономической теории [15], [44], моделирования распространения фронтов лесных пожаров [20], описания концентрационных колебаний в химических реакциях [25], [69], [131], некоторых социальных и экономических систем [89], [94] и т.д.

Важную роль в развитии математического моделирования в биологии сыграла работа Базыкина А.Д. "Математическая биофизика взаимодействующих популяций" (1985) [4]. В ней приводится подробный анализ и систематизация возможных динамических режимов, реализующихся в мо-

дельных системах двух и трех взаимодействующих популяций. Для двумерных систем исчерпывающе рассмотрены перестройки динамических режимов, происходящие при изменении параметров, предложена биологическая интерпретация наблюдаемых эффектов. Сформулировано представление об опасных границах динамических и параметрических воздействий на экологические системы.

Для трехмерных моделей дается классификация трофических структур, возможных в системе трех взаимодействующих популяций, при помощи трофических графов. Популяции обозначаются вершинами графов, а трофические отношения между ними - стрелками, указывающими па-правления потоков вещества (от жертвы к хищнику). Организмы, получа-юшие свою пищу от растений через одинаковое число этапов, считаются принадлежащими одному трофическому уровню [43]. Популяции разных трофических уровней изображаются на разной высоте, хищник считается высшим звеном пищевой цепи и изображается сверху. Кроме того, необходимо знать, как поведет себя каждая из популяций, будучи предоставленной самой себе. Одни из популяций в таком случае размножаются - это обозначается стрелкой, входящей в соответствующую вершину графа, другие же вымирают - обозначается стрелкой, выходящей из вершины графа.

Из всех возможных типов трофических структур абсолютное большинство исключаются из рассмотрения по причинам невозможности сосуществования трех популяций [95], [96], либо их "экзотичности" [4] (например, когда в системе присутствует растение-хищник типа росянки). В результате, остается только один граф, изображающий так называемую ячейку трофической сети (рис. 1(а)). Для вида, являющегося пищей для двух других популяций, обычно используется термин "продуцент" либо "жерт-

Рис. 1: Графы трофических отношений для (а) ячейки трофической сети (модель "продуцент-консумент-хищник") и (Ь) системы "хищник-две жертвы".

ва", для вида, питающегося двумя другими, - термин "хищник", а для третьего вида, являющегося жертвой по отношению к хищнику, и хищником по отношению в жертве, используется термин "консумент". Данная система представляет собой весьма распространенную экологическую ситуацию [60], [80], [85] и подробно рассматривается в третьей главе настоящей диссертации.

Кроме полных трофических графов, где с тем или иным знаком реализуются все возможные трофические связи между популяциями, большой интерес исследователей представляют и неполные (вырожденные) графы, в которых отдельные трофические связи отсутствуют [77], [97], [123], [127]. В реальных экологических системах осуществляются только три типа таких структур [4]. Одной из них, соответствующей системе "хищник-две жертвы" (рис. 1(b)), посвящена глава 4 данной диссертации.

Начиная с работ Лотки и Вольтерры и до настоящего времени, основным инструментом изучения динамики численности взаимосвязанных сообществ является качественная теория систем нелинейных дифференциальных уравнений [4], [36], [47], [51], [126].

Исследования последних лет показали, что разнообразие, наблюдаемое в поведении нелинейных динамических систем можно свести к анализу относительно простых режимов (равновесия, циклы) и их качественных преобразований - бифуркаций [1], [23]. Формальный анализ аттракторов соответствующей математической модели позволяет ответить на важные содержательные вопросы об особенностях динамики взаимодействующих популяций и спрогнозировать их поведение в будущем. Так, например, одним из наиболее стандартных переходов является бифуркация равновесие - цикл. Такой переход сопровождается потерей устойчивости простого аттрактора - равновесия и рождением нового, более сложного аттрактора -предельного цикла.

В литературе описан и детально исследован целый ряд двумерных моделей популяционной динамики [4], [36], [98], [106], [107], в которых при изменении параметра равновесие теряет устойчивость, и в системе появляется предельный цикл. В настоящее время значительный интерес исследователей вызывают трехмерные модели популяционной динамики [3], [64], [129], где кроме регулярных аттракторов - точек покоя (стационарные режимы) и предельных циклов (периодические режимы), могут возникать странные аттракторы (хаотические режимы).

Один из стандартных сценариев перехода системы от порядка к хаосу по мере изменения управляющих параметров состоит в бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода предельных циклов. Возможность реализации серии бифуркаций удвоения периода была установлена еще задолго до открытия странных аттракторов, а в 1978г. М. Фейген-баумом были открыты универсальные закономерности перехода к хаосу посредством такой серии бифуркаций [81]. Наиболее известной моделью,

демонстрирующей возникновение странного аттрактора, является модель Лоренца [100]. Именно в этой модели, описывающей динамику тепловой конвекции, подобные свойства динамической системы были обнаружены впервые. Также детерминированный хаос наблюдается и во многих других динамических моделях, среди которых классические системы Ресслера [111], Чуа [75], генератор Анищенко-Астахова [1]. Качественное изменение динамических режимов, связанное с бифуркациями удвоения периода, наблюдается также и в трехмерных популяционных моделях [3], [4], [64], [129].

Функционирование реальных биологических систем, как правило, сопровождается трудно контролируемыми внешними воздействиями [42]. Так, на численность взаимодействующих популяций может влиять изменение погодных условий, случайная смертность, и т.д. Кроме того, возмущениям подвергаются и внутренние параметры системы, такие как коэффициенты рождаемости, смертности, конкуренции особей. Все эти факторы могут быть названы малыми случайными возмущениями и описаны при помощи соответствующих дополнительных слагаемых в уравнениях системы.

Включение в модель случайных возмущений приводит к тому, что решение системы также становится случайным процессом. Под действием возмущений решение системы покидает детерминированный аттрактор и формирует вокруг него некоторое облако случайных состояний. Первые результаты, касающиеся выхода из области устойчивости стохастически возмущенного решения системы, были опубликованы еще в 1899 году [63]. В работе Понтрягина Л.С., Андронова A.A., Витта A.A. "О статистическом рассмотрении динамических систем" (1933 г.) [46] были сформулированы основные задачи стохастической динамики, которые остаются актуальны-

ми и сейчас. Если плотность распределения случайных состояний в облаке стремится к некоторой стационарной, то соответствующее решение стохастической системы называется стохастическим аттрактором. При этом для всякого другого достаточно близкого решения соответствующая плотность распределения стабилизируется и сходится к этой стационарной. Конструкция стохастических аттракторов рассматривалась в [16], [26], [65], [70], [115], [117], [118].

Исследование нелинейных систем в присутствии случайных возмущений было начато в [46] и продолжено в большом числе работ [2], [52], [62], [92], [108], [122]. Многочисленные экспериментальные и теоретические исследования показали, что случайные флуктуации могут вызывать неожиданные и интересные явления, такие как стохастический резонанс [83], [105], индуцированные шумами переходы [54], индуцированный шумом порядок [86], [103], индуцированный шумом хаос [84].

Фазовый портрет системы под воздействием случайных возмущений может претерпевать значительные изменения. Соответствующие деформации, вызванные шумами, особенно ощутимы вблизи точек бифуркаций, где даже малые шумы, вследствие высокой чувствительности аттракторов, могут порождать новые явления в динамике системы, называемые стохастическими бифуркациями [67], [79], [99], [119], [120], [116]. В биологических системах стохастические бифуркации изучались в работах [121], [124], [130].

Полное вероятностное описание возможных в системе стохастических режимов дается с помощью функции плотности распределения, удовлетворяющей уравнению Фоккера-Плаика-Колмогорова [17]. Непосредственное использование этого уравнения уже для систем двух взаимодействующих популяций весьма затруднительно. Важный для практики случай воздей-

ствия малых возмущений приводит к известным проблемам анализа уравнений с малыми коэффициентами при старших производных. В этой ситуации одним из наиболее распространенных приемов исследования является прямое численное моделирование случайных траекторий с их последующей статистической обработкой [110], [128].

В настоящее время развивается подход, позволяющий для искомых вероятностных характеристик стохастических аттракторов системы найти соответствующее приближение. Для систем с малыми случайными возмущениями в работе А.Д.Вентцеля и М.И.Фрейдлина [18] предложен метод, использующий конструкцию квазипотенциала. Для квазипотенциала вблизи аттрактора детерминированной системы может быть найдена [11] квадратичная аппроксимация, позволяющая в итоге получить асимптотику стационарной плотности в форме нормального распределения. При этом разброс случайных траекторий стохастической системы вокруг детерминированного аттрактора может быть описан с помощью функции стохастической чувствительности (ФСЧ). Данная функция была введена в работах Баш-кирцевой И.А. и Ряшко Л.Б [11], [12], где с ее помощью были исследованы особенности стохастических автоколебаний в моделях брюсселлятора и Лоренца. При помощи ФСЧ в работах Стихииа П.В. [13], [49], [113], Губкина A.A. [21], [22], [90], Цветкова И.Н. [14], [55], [56], Переваловой Т.В. [9], [10] исследована чувствительность аттракторов и проведен анализ обратных стохастических бифуркаций для целого ряда динамических систем, в том числе и дискретных.

Краткое содержание диссертации

Данная диссертация состоит из введения, четырех глав основного содержания, заключения, списка цитируемой литературы и приложения. Рассмотрим подробнее структуру диссертации.

Первая глава носит теоретический характер. В ней излагаются методы анализа устойчивости и стохастической чувствительности равновесий и предельных циклов.

Рассматривается в общем виде детерминированная система обыкновенных дифференциальных уравнений

где /(х) - достаточно гладкая п-мерная вектор-функция.

Предполагается, что система (1) имеет экспоненциально устойчивый аттрактор - равновесие х либо предельный цикл Г, задаваемый Т-периоди-ческим решением £(£) .

В параграфе 1.1 излагаются основы классического анализа локальной устойчивости аттракторов по линейной системе первого приближения. Описываются методики исследования устойчивости при помощи характеристических показателей Ляпунова Х{ и мультипликаторов р^ (г = 1, ...,п). В качестве показателя детерминированной устойчивости цикла используется величина г = тах \р(\ (г = 1,..., п — 1, рп = 1).

В параграфе 1.2 для анализа результатов воздействия случайных возмущений на детерминированную систему (1), рассматривается соответствующая стохастическая система Ито:

х = /(х),

(1)

х = /(ж) + £а(х)ги,

(2)

где а(х) - достаточно гладкая п х m-матричная функция, задающая зависимость случайных возмущений от состояния системы, w(t) - m-мерный стандартный винеровский процесс, е - скалярный параметр, характеризующий интенсивность возмущений.

Под воздействием невырожденных шумов случайные траектории системы (2) образуют вокруг детерминированного аттрактора системы (1) стационарно распределенный пучок случайных состояний - стохастический аттрактор. Детальное описание плотности р(х, е) стационарного распределения состояний стохастического аттрактора дается стационарным уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова

Поскольку непосредственное использо