автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численный анализ и моделирование стохастических колебаний в нелинейных системах

На правах рукописи

ТЕЛЕГИН Сергей Сергеевич

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ; 01.04.03 - Радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Самара-2009

003492820

Работа выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук В.В. Зайцев

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук A.B. Горохов; кандидат физико-математических наук С.Ю. Медведев

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики»

Защита состоится 9 декабря 2009 г. в 15.00 на заседании диссертационного совета Д 212.218.08 при ГОУ ВПО «Самарский государственный университет» по адресу:

443011, г. Самара, ул. акад. Павлова, 1

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СамГУ

Автореферат разослан «Qßj> _2009

г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.218.08

В.В. Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Согласно принятой в естественных науках классификации, к стохастическим системам относятся системы, переменные состояния которых испытывают флуктуации, обусловленные внешними случайными воздействиями и внутренними источниками шумов.

Один из основных подходов к анализу и моделированию процессов в стохастических системах - стохастических процессов - состоит в использовании марковского приближения и аппарата кинетических уравнений, в частности, уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова для непрерывных марковских процессов.

Другой подход использует дифференциальные математические модели стохастических систем - уравнения Ланжевена и стохастические дифференциальные уравнения (СДУ). При этом модель в форме СДУ позволяет достаточно просто перейти к описанию стохастического процесса методом уравнения Фоккера-Планка (УФП). В то же время численные решения СДУ открывают широкие возможности для проведения численного эксперимента в стохастических системах.

Первой стохастической дифференциальной моделью в физике, по-видимому, была модель Ланжевена, описывающая движение броуновской частицы, взвешенной в жидкости. Полученное П. Ланжевеном уравнение, носящее его имя, - первый пример стохастического дифференциального уравнения. В радиофизике первой работой в этом направлении была статья Л.С. Понтрягина, А.А.Андронова, A.A.Витга, опубликованная в 1933 году и долгое время сохранявшая свое основополагающее значение.

Термин «стохастические дифференциальные уравнения», а также первые работы по их теории принадлежат советскому математику С.Н. Бернштейну. Японский математик К. Ито предложил первый вариант строгой теории СДУ на базе введенного им определения стохастического интеграла. В настоящее время стохастическое интегральное исчисление Ито лежит в основе большинства математических исследований по теории СДУ.

Еще одно определение стохастического интеграла, отличное от определения Ито, предложил Р.Л. Стратонович. СДУ в форме Стратоновича, допускающие предельный переход от реальных физических шумов к идеализированному белому шуму, нашли широкое применение в прикладных исследованиях стохастических процессов.

В настоящее время стохастические модели широко используются в физике и химии, в математической биологии и экологии, в экономике и финансовой математике, в теории оптимального управления и фильтрации сигналов, в других отраслях естественных и технических наук.

В радиофизике на основе стохастических моделей разработана теория шумов и флуктуаций в нелинейных электронных системах и автогенераторах, в

радиофизике, гидродинамике и акустике - статистическая теория волн в случайно-неоднородных средах. Несмотря на значительные успехи в этих направлениях, многие вопросы теории стохастических колебаний по-прежнему привлекают внимание исследователей.

Значительный рост интереса к нелинейным колебаниям, возбуждаемым в достаточно простых динамических системах совместным воздействием периодического сигнала и шума, наблюдается также в связи с обнаружением явления стохастического резонанса. Существенный вклад в исследования случайных процессов в нелинейных системах на основе решений нестационарного УФП внесли работы А.Н. Малахова и его учеников.

Однако следует отметить, что в цитированных работах основное внимание уделяется нахождению приближенных аналитических решений для систем с модельными нелинейностями. Возможности численных решений используются явно недостаточно. Кроме того, аналитические результаты на основе решений нестационарного УФП удается получить лишь для нелинейной системы первого порядка (передемпфированного осциллятора). Для систем с одной и более степенями свободы наиболее успешным методом исследования стохастических колебаний, по-видимому, является метод моделирования на основе численных решений стохастических дифференциальных уравнений.

Теория и практика численного интегрирования СДУ в настоящее время развиваются по двум направлениям. В одном из них внимание сосредоточено на разработке математически строгих численных алгоритмов, базирующихся на определении стохастического интеграла Ито. Полученные при этом решения относятся к классу так называемых строгих решений. Для них характерно то, что реализация случайного процесса, являющегося решением СДУ, однозначно определяется заданной реализацией винеровского процесса и начальным условием. К настоящему времени разработан ряд численных алгоритмов строгих решений СДУ Ито различного порядка точности. Однако алгоритмы высокого порядка (например, порядка 5/2) довольно громоздки и по вычислительной эффективности значительно уступают алгоритмам численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

Другое направление теории и практики численного интегрирования СДУ ориентировано на получение слабых решений. Отыскание такого решения означает возможность построения вероятностной модели процесса, описываемого СДУ с заданными вероятностными характеристиками винеровского процесса. Для прикладных исследований в отраслях естественных наук, как правило, интерес представляют слабые решения СДУ в форме Стратоновича.

Считается, что для отыскания слабых решений СДУ можно применять методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом белый шум в правой части уравнения заменяется случайным процессом с конечным временем корреляции. Но такой подход требует проверки стохастического смысла интегралов, с которыми неявно оперирует выбранный численный алгоритм решения обыкновенного дифференциального уравне-

ния. Кроме того, удовлетворительного определения порядка точности для слабых решений СДУ к настоящему времени не найдено.

Таким образом, исследование статистических характеристик стохастических колебаний на основе численных решений УФП и СДУ по-прежнему является актуальной задачей математического моделирования и статистической радиофизики, решение которой имеет общетеоретическое, прикладное и методическое значение.

Цель работы

Целью диссертации является разработка численных методов анализа спектрально-корреляционных характеристик периодически нестационарных случайных процессов в нелинейных системах и методов моделирования стохастических систем на основе интегральных уравнений движения и алгоритмов эволюции систем в дискретном времени.

Методы исследования

Работа выполнена на основе методов теории колебаний, численного моделирования, теории дискретных сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.

Научная новизна диссертационной работы заключается:

- в методе расчета корреляционной функции стохастических колебаний, основанном на численном интегрировании систем дифференциальных уравнений, следующих из уравнения Фоккера - Планка;

- в интегральном методе моделирования стохастических колебаний в нелинейных резонансных системах;

- в обнаружении новых хаотических режимов вынужденных колебаний дискретного осциллятора Дюффинга и осциллирующего магнитного диполя;

- в математических моделях систем, элементы которых взаимодействуют по схеме «хищник - жертва».

Практическая значимость работы

Предложенные в диссертационной работе методы численного анализа стохастических колебаний и моделирования стохастических систем могут найти применение при решении задач проектирования устройств обработки сигналов и прогнозирования процессов развития систем различной физической природы, в учебном процессе высших учебных заведений.

Обоснованность и достоверность результатов работы

Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются:

- использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа случайных процессов;

- использованием апробированных на практике методов анализа и синтеза дискретных систем;

-результатами тестирования разработанных математических методов и численных алгоритмов на задачах, имеющих точное аналитическое решение;

-соответствием приведенных результатов анализа и моделирования их аналогам, полученным другими авторами;

-соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.

Положения, выносимые на защиту

1. Метод и результаты расчета корреляционных функций периодически нестационарных случайных процессов в нелинейных стохастических системах первого порядка.

2. Метод моделирования стохастических колебаний на основе интегральных уравнений движения нелинейных резонансных систем.

3. Результаты численного эксперимента с дискретным осциллятором Дюффинга, в том числе обнаруженные режимы хаотических колебаний.

4. Механизм перехода к динамическому хаосу в дискретных бистабиль-ных системах.

5. Интегральные и дискретные модели вольтерровской системы.

Апробация работы

Материалы диссертации докладывались на

-V, VI, VII и VIII Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2006 г.; г. Казань, 2007 г.; г. Самара, 2008 г.; г. СанктПетербург, 2009 г.);

-Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР-2007» (г. Томск, 2007 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 г.);

- 38, 39 и 40 научных конференциях преподавателей и сотрудников Самарского государственного университета.

Публикации

По материалам диссертации опубликованы 13 работ, в том числе 5 статей (из них 4 статьи в журналах, рекомендованных ВАК для публикаций результатов исследований на соискание ученой степени доктора наук) и 10 докладов и тезисов докладов научно-технических конференций и семинаров.

Структура и объем работы

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованных источников из 111 наименований. Объем диссертации -164 страницы. Работа содержит 135 рисунков и 2 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы исследования и ее практическая значимость, проведен обзор литературы по теме диссертации, определена новизна и обоснована достоверность полученных результатов, перечислены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава диссертационной работы посвящена численному анализу статистических характеристик марковских случайных процессов в нелинейных системах с 1/2 степени свободы, находящихся под действием белого шума с интенсивностью О и регулярного периодического сигнала 5(г). Описана модель системы в форме стохастических дифференциальных уравнений (п. 1.1) и УФП вида

ст дх

со стационарным оператором Фоккера - Планка

f , ™ ^ ( . _л D d2W дх 2 дх

Метод расчета корреляционной функции марковского случайного процесса, основанный на последовательном двукратном численном интегрировании УФП, представлен в п. 1.2. Способ использования численных решений задачи на собственные значения стационарного оператора Фоккера-Планка для расчета корреляционных характеристик броуновского движения в одномерных потенциальных ямах предложен в п. 1.3. Приведены примеры расчетов для бис-табильного и моностабильного потенциалов, дано сравнение численных результатов для времен корреляции с аналитическими результатами А.Н. Малахова, A.A. Дубкова, А.И. Саичева (Изв. вузов. Радиофизика. - 2000. -№ 4. - С. 369-382). Расчету корреляционных характеристик периодически нестационарного броуновского движения посвящены пп. 1.4 и 1.5. Получены системы ОДУ для коэффициентов разложения одномоментной плотности вероятности и корреляционной функции по собственным функциям стационарного оператора Фоккера-Планка. Численные решения начальных задач для усеченных систем использованы для формирования функции корреляции второго рода стохастических колебаний. В п. 1.6 приведены примеры расчетов корреляционных функций для броуновского движения в потенциальных ямах различной формы. Для квадратичного потенциала проведено сравнение полученных в ра-

боте численных результатов с аналитическими решениями, подтверждающее корректность предложенного численного метода. На рис. 1 в качестве примера приведен график корреляционной функции стохастических колебаний в системе с биста-бильным потенциалом

(р(х) = -х2 / 2 + х* / 4,

находящейся под действием белого шума с интенсивностью £> = 1 и сигнала «меандр» с периодом Т0 = 4тг и рис у амплитудой /1 = 0.5. Результаты

расчетов (п. 1.4) демонстрируют наличие в данной системе эффекта стохастического резонанса.

В заключение первой главы, в п. 1.7 приведены результаты исследования стохастического резонанса с использованием дискретной временной модели нелинейной системы с тремя устойчивыми состояниями равновесия. Уравнение движения системы имеет форму нелинейного ДВ-фильтра первого порядка:

х[п\ = ах[п -1] + 2ясос (/а3 [п -1] - Ах5 [п -1] + п\ +

где коэффициент линейной части фильтра а определяется по частоте среза сос выражением а - ехр(-2яа>с), а коэффициенты нелинейности в дальнейшем полагаются равными /л = 1.33, А = 0.2. На рис. 2 показан усредненный амплитудный спектр 5(П) выходного сигнала х[п\ при возбуждении системы, имеющей частоту среза сос =0.005, сигналом с А = 2.75 и со = 0.005; интенсивность шума О = 9. Он имеет спектральную линию на частоте внешнего воздействия и низкочастотную шумовую составляющую.

Рис. 2.

Рис. 3.

Зависимость коэффициента усиления К сигнала от интенсивности шума показана на рис. 3. При этом коэффициент усиления определялся как отношение амплитуды выходного гармонического сигнала при данной интенсивности шума к амплитуде выходного сигнала в отсутствие шума. Ярко выражена характерная для стохастического резонанса немонотонность зависимости K(D).

Во второй главе рассмотрены интегральные и дискретные модели стохастических колебательных систем с одной и более степенями свободы. В п. 2.1 получено стохастическое интегральное уравнение движения (ИУД) колебательной системы:

t I

*(')= jf{t',x(n,m)h(t-t')dt'+ ^{t')h(t-t')dt' + X(t), (1)

о о

представляющее собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода относительно х(1). В этом уравнении f(t,x(t),x(t)) - функция, содержащая нелинейности и внешнее воздействие; h(t) - импульсная характеристика резонансной системы; X(t) - свободные колебания в системе, зависящие от начальных условий. Разработан алгоритм численного решения нелинейного интегрального уравнения (1). При этом для вычисления отсчетов случайного слагаемого в (1) предложено применять дискретный фильтр. Приведены результаты моделирования стохастических колебаний в осцилляторе Дюффинга. Также показано, что распределенная колебательная система - перестраиваемый емкостью электрический вибратор в одномодовом приближении - сводится к осциллятору Дюффинга.

В п. 2.2 детерминированная часть ИУД (1) использована для синтеза нелинейной системы, функционирующей в дискретном времени - ДВ-осцкплятора Дюффинга (ДОД). Он определяется разностным уравнением

х[и] = а,х[п -1] + а2х[и - 2] + ,uF(x[« -1])+s|> -1], (2)

где F(x) = х3 - функция нелинейности системы, /л - параметр нелинейности, - внешнее воздействие. Значения коэффициентов линейной части уравнения движения (2)

а, =2ехр

' ~ л е П

- 2л

Q

соб(2я£20), а2 = -ехр

Q

вычисляются по параметрам аналогового прототипа - колебательного контура с собственной частотой П0 (измеряется в единицах частоты дискретизации) и добротностью

В численном эксперименте с системой (2) установлено, что в ДОД, как и в аналоговой системе, наблюдается явление нелинейного резонанса. В то же время при жесткой нелинейности (//СО) в осцилляторе возможны автоколебания с жестким режимом возбуждения. Динамические режимы вынужденных

колебаний и автоколебаний исследованы модифицированным с учетом дискретности времени методом медленно меняющихся амплитуд.

Рис. 4.

Кроме того, при определенных условиях в ДОД внешним гармоническим сигналом возбуждаются хаотические колебания. На рис. 4 показан аттрактор хаотических колебаний ДОД с параметрами 0.0=0.22, 2 = 30, // = -0.05, возбуждаемых гармоническим сигналом с амплитудой А = 0.4 и частотой П = 0.234. На рис. 5 приведен амплитудный спектр колебаний. Форма и спектр колебаний указывают на то, что в данном случае хаотизация возникает путем случайного возбуждения и срыва генерации в автоколебательной моде системы.

В п. 2.3 описаны результаты исследования вынужденных колебаний в еще одной нелинейной ДВ-системе - в осциллирующем магнитном диполе (ОМД). Уравнение движения ОМД имеет вид (2) с функцией нелинейности

5

/^х^хО + х2)1.

Широкий набор параметров системы и внешнего воздействия дает возможность реализовать в системе как режим регулярных вынужденных колебаний, так и режим динамического хаоса. На рис. 6 показаны отрезки реализаций колебаний, полученные в результате численных экспериментов в системе с параметрами П0=0.2, £7=150, Ц = 2 при амплитуде воздействия >4 = 0.037. Верхний график соответствует частоте £2 = 0.1405, нижний - 0 = 0.1382. В первом эксперименте наблюдается режим регулярных колебаний в окрестности дна одной из потенциальных ям, во втором - хаос типа «перемежаемость» вследствие переходов между ямами. Усредненный амплитудный спектр (П) хаотических колебаний и гистограммная оценка №н(х) их плотности вероятности показаны на рис. 7.

Третий эксперимент проведен в условиях, когда к регулярному внешнему воздействию в уравнении (2) был добавлен дискретный белый шум = А соб(2 т£1п) + £[п\.

Рис. 7.

На рис. 8 представлены результаты эксперимента в ОМД с внешним воздействием (3). При этом параметры регулярной части воздействия таковы (Г2 = 0.1405, А = 0.037), что в отсутствие шума в системе наблюдаются периодические вынужденные колебания (см. верхний график на рис. 1). Дискретный белый шум имеет дисперсию а] = 2.5 ■ 10"3. Согласно общепринятой терминологии, колебания, возбуждаемые в системе в присутствии шума, называются стохастическими. Из сопоставления рис. 2 и рис. 3 следует, что усредненный амплитудный спектр Ss.(Q) и гистограммная оценка Ws(x) плотности вероят-

ности полученных в эксперименте стохастических колебаний практически полностью повторяют соответствующие характеристики хаотических колебаний.

Рис. 8.

Таким образом, сделан вывод о том, что в третьем эксперименте искусственно введенный шумовой источник перевел систему в режим хаотических колебаний, точно так же, как и во втором эксперименте в менее грубой системе шум квантования возбудил хаотические колебания: хаотичность - это форма реализации скрытой стохастичности.

Третья глава диссертации посвящена разработке автоколебательных моделей и моделированию автоколебаний в системе с элементами, взаимодействующими по схеме «хищник - жертва». Исходная модель Вольтерра с запаздыванием (модификация Вангерски - Каннингема) для относительных отклонений численностей видов от их стационарных значений в п. 3.1 приведена к форме

-А = +/,(/,у,,у2),

1 (3) М

Здесь V,, у2 и /л - параметры модели, а функции

Л (', У,, У2) = -у,У, С)у2 (0 ~ м] (О,

/г (', У,, У г) = [(1 - А/ V, )у, (0 + у2 (0 + у, (0у2 (0]

учитывают нелинейности системы и наличие в ней запаздывающей обратной связи, которая при определенных условиях приводит к возбуждению автоколебаний.

Выделенная в (3) линейная диссипативная подсистема, в отсутствие обратной связи, релаксирует к устойчивому нулевому состоянию. Ее импульсная характеристика Ь(0 использована для формирования системы ИУД в виде двух нелинейных уравнений Вольтерра второго рода (п. 3.2):

t

У. (О = J(/> Со ,У1,Уг )fh, С - 'о) ■+ А Со ,У1гУг Ж С - 'о )R + г, С).

о

/

о

В п. 3.3 на основе h(/) проведен синтез ДВ-автоколебательной системы методом импульсной инвариантности. В результате для выборочных значений у[л] = у (и А) получена система разностных уравнений:

у?[п] = аГу11)[п-Ч + ЬГЛ[п,у],

= «О,® [« - и + <>У1> ~ 2] + ЬГА[" -1 - У],

УгМ = ~ 11+!>ГА[» - »> У]-

(4)

При этом предполагается, что интервал дискретизации Д составляет целую часть времени запаздывания: г = тА. Коэффициенты в уравнениях (4) определяются через полюсы системной функции порождающей линейной подсистемы.

Y[n]

а)

S(co)

б)

0 50 100 150 200 250 300 „/„,

i S*

Víí*............. Д ; Л-/ м* Vv. >4 1

!'. í4-—_, f.

В пп. 3.2 и 3.3 приведены примеры моделирования стохастических автоколебаний в системе при наличии флуктуаций параметров V,, у2 и запаздывания. Пример расчетов в рамках дискретной модели (3) представлен на рис. 9. Это график процесса возбуждения автоколебаний

(а) и их амплитудный спектр

(б). Сплошная линия соответствует автоколебаниям численности жертв, пунктирная хищников. При этом параметры модели равны:

А = г/10, = 0.5, у2т = 0.1 и цт = 0.003.

0.4 0.6

Рис. 9.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. Предложен метод расчета корреляционных функций периодически нестационарных случайных процессов в нелинейных стохастических системах первого порядка

2. Для исследования явления стохастического резонанса синтезирована ДВ-система в форме нелинейного фильтра первого порядка.

3. Предложен метод моделирования стохастических колебаний на основе интегральных уравнений движения нелинейных резонансных систем с ДВ-фильтрацией источника шума.

4. Методом численного эксперимента с дискретным осциллятором Дюф-финга установлено, что наряду с вынужденными динамическими колебаниями в системе реализуются режимы хаотических колебаний.

5. Выявлен механизм перехода к динамическому хаосу в дискретных биста-бильных системах. Показано, что хаотизация системы является следствием ее скрытой стохастизации.

6. Разработаны интегральная и дискретная динамические и стохастические модели системы, элементы которой взаимодействуют по схеме «хищник - жертва».

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Телегин С.С. Стохастические колебания в биста-бильном осцилляторе // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докл. V Международной НТК. - Самара: Самарское книжное изд., 2006.-С. 320-321.

2. Телегин С.С., Зайцев В.В. Периодически нестационарное броуновское движение в одномерных потенциальных ямах // Научная сессия ТУСУР-2007: материалы докл. Всероссийской НТК. Часть 4. - Томск: Изд. В-Спектр, 2007.-С. 169-171.

3. Зайцев В.В., Телегин С.С. Стохастический резонанс в дискретной мульти-стабильной системе // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докл. VI Международной НТК. - Казань: КГТУ, 2007. - С. 383384.

4. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Телегин С.С. Хаотические режимы колебаний дискретного осциллятора Дюффинга // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докл. VI Международной НТК. - Казань: КГТУ, 2007. - С. 385-386.

5. Зайцев В.В., Телегин С.С. Численный анализ корреляционных характеристик броуновского движения в одномерных потенциальных ямах // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2007. - Т. 10. - № 2. -С. 106-109.

6. Зайцев В.В., Телегин С.С. Численный анализ периодически нестационарного одномерного броуновского движения // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. -2007. -№ 9. - С. 249-254.

7. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Телегин С.С. Механизм перехода к динамическому хаосу в дискретной бистабильноп системе // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докл. V Международной НТК. - Самара: Самарское книжное изд., 2008. - С. 315-317.

8. Телегин С.С. Моделирование стохастических колебаний на основе ИУД колебательных систем // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докл. V Международной НТК. - Самара: Самарское книжное изд., 2008.-С. 326.

9. Зайцев В.В., Телегин С.С. Численный анализ периодически нестационарного броуновского движения в одномерных потенциальных ямах // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2008. - Т. 11. - № 2. -С. 92-96.

10. Зайцев В.В., Карлов A.B., Телегин С.С. Нелинейный резонанс в перестраиваемом емкостью электрическом вибраторе // Физика и технические приложения волновых процессов: материалы докл. VIII Международной НТК. -СПб.: Политехника, 2009. - С. 62-63.

11. Зайцев В.В., Карлов A.B. (мл), Телегин С.С. ДВ-модель системы Вольтерра с запаздыванием // Математическое моделирование и краевые задачи: труды VI Всероссийской НТК. Часть 2. -Самара: СамГТУ, 2009. - С. 52-54.

12. Зайцев В.В., Телегин С.С. Интегральная модель автоколебаний в системе хищник-жертва // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. - 2009. - Т. 12. - № 2. - С. 105-110.

13. Зайцев В.В., Телегин С.С. Дискретная модель автоколебаний в системе хищник - жертва // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. -2009. -№6.

Работы [5, 6, 9, 12] в приведенном списке - статьи в журналах, входящих в

«Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых

должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора наук» по специальностям 05.13.18 и 01.04.03

([6]) и по специальности 01.04.03 ([5,9,12]).

Подписано в печать 14.10.2009 г. Гарнитура Times New Roman. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать оперативная. Усл.-печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 0,91. Тираж 100 экз. Заказ № ¡JSO 443011, Самара, ул. Академика Павлова, 1.

Отпечатано УОП СамГУ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. Численный анализ спектрально-корреляционных характеристик марковских процессов в нелинейных системах первого порядка.

1.1. Уравнения Ланжевена. Стохастические дифференциальные уравнения.

1.2. Метод расчёта корреляционных функций марковских случайных процессов.

1.3. Численный анализ стационарного броуновского движения в одномерных потенциальных ямах.

1.4. Расчёт одномоментной плотности вероятности и статистических средних нестационарного броуновского движения.

1.4.1 Плотность вероятности одномерного броуновского движения.

1.4.2 Дисперсия и мощность одномерного броуновского движения.

1.4.3. Численное решение.

1.5. Корреляционные характеристика периодически нестационарного броуновского движения.

1.6. Примеры расчетов корреляционных функций периодически нестационарного броуновского движения.

1.6.1. Линейная стохастическая система.

1.6.2. Бистабильная стохастическая система.

1.7. Стохастический резонанс в дискретной мультистабильной системе.

Глава 2 Интегральные и дискретные модели стохастических колебаний.

2.1. Интегральная модель осциллятора Дюффинга.

2.1.1. Интегральное уравнение движения нелинейной колебательной системы с одной степенью свободы.

2.1.2. Алгоритм численного решения интегрального уравнения движения.

2.1.3. Моделирование стохастических колебаний в осцилляторе Дюффинга.

2.1.4. Усреднение в интегральном уравнении движения.

2.1.5. Режим установившихся детерминированных колебаний.

2.1.6. Перестраиваемый емкостью электрический вибратор как осциллятор Дюффинга.

2.2. Дискретный осциллятор Дюффинга: динамические и хаотические режимы колебаний

2.2.1. Уравнение движения ДОД.

2.2.2 Частотные характеристики динамического режима колебаний ДОД.

2.2.3. Численный эксперимент по исследованию частотных характеристик дискретного осциллятора Дюффинга.

2.2.4. Гармонический анализ установившихся автоколебаний в ДОД.

2.2.5. Хаотические колебания в дискретном осцилляторе Дюффинга.

2.3 Механизм хаотизации колебаний ОМД.

2.3.1. ОМД аналоговая и дискретная модели.

2.3.2. Резонансные характеристики ОМД.

Глава 3. Стохастические процессы в моделях математической биологии.

3.1 Модель системы хищник-жертва с запаздыванием.

3.1.1. Динамическая модель системы. Стационарные режимы и их устойчивость.

3.1.2. Стохастическая модель.

3.1.3. Результаты численного эксперимента.

3.2 Интегральная автоколебательная модель взаимодействий по схеме хищник-жертва.

3.2.1. Стохастическая модель.

3.2.2. Результаты моделирования и сравнение с данными наблюдений.

3.3 Дискретная модель взаимодействий по схеме хищник-жертва.

3.3.1. Уравнения движения системы в дискретном времени.

3.3.2. Стохастическая модель со случайным запаздыванием.

Актуальность работы

Согласно принятой в естественных науках классификации к стохастическим системам относятся системы, переменные состояния которых испытывают флуктуации, обусловленные внешними случайными воздействиями и внутренними источниками шумов.

Один основных из подходов к анализу и моделированию процессов в стохастических системах - стохастических процессов состоит в использовании марковского приближения и аппарата кинетических уравнений, в частности, уравнений Фоккера—Планка—Колмогорова для непрерывных марковских процессов [1—4].

Другой подход использует дифференциальные математические модели стохастических систем — уравнения Ланжевена и стохастические дифференциальные уравнения (СДУ). При этом модель в форме СДУ позволяет достаточно просто перейти к описанию стохастического процесса методом уравнения Фоккера-Планка (УФП). В то же время численные решения СДУ открывают широкие возможности для проведения численного эксперимента в стохастических системах.

Первой стохастической дифференциальной моделью в физике, по-видимому, была модель Ланжевена, описывающая движение броуновской частицы, взвешенной в жидкости [5]. Полученное П. Ланжевеном уравнение, носящее его имя, — первый пример стохастического дифференциального уравнения. Однако достаточно долгое время подход Ланжевена оставался эвристическим, и строгой математической базы для него не существовало. В радиофизике первой работой в этом направлении была статья Л.С. Понтрягина, А.А.Андронова, А.А. Витта [6], опубликованная в 1933 году и долгое время сохранявшая свое основополагающее значение.

Термин «стохастические дифференциальные уравнения», а также первые работы по их теории принадлежат советскому математику С.Н. Бернштейну [7]. Японский математик К. Ито предложил первый вариант строгой теории СДУ на базе введенного им определения стохастического интеграла ([8], цит. по [1]). В настоящее время стохастическое интегральное исчисление Ито лежит в основе большинства математических исследований по теории СДУ. При этом весьма авторитетными руководствами в этой области являются монографии советских ученых И.И. Гихмана и А.В. Скорохода [9, 10].

Еще одно определение стохастического интеграла, отличное от определения Ито, предложил P.JI. Стратонович [11, 12]. СДУ в форме Стратоновича, допускающие предельный переход от реальных физических шумов к идеализированному белому шуму, нашли широкое применение в прикладных исследованиях стохастических процессов [1].

В настоящее время стохастические модели широко используются в физике и химии [3, 4], в математической биологии и экологии [13], в экономике и финансовой математике [14, 15], в теории оптимального управления и фильтрации сигналов [16], в других отраслях естественных и технических наук.

Обзор текущего состояния проблемы численного интегрирования СДУ можно найти в статье [21].

Цель работы

Целью диссертации является разработка численных методов анализа спектрально-корреляционных характеристик периодически нестационарных случайных процессов в нелинейных системах и методов моделирования стохастических систем на основе интегральных уравнений движения.

Методы исследования

Работа выполнена на основе методов теории колебаний, численного моделирования, теории дискретных сигналов и систем, теоретических и экспериментальных методов цифровой обработки сигналов. Численные результаты получены на основе вычислительных алгоритмов, реализованных с использованием компьютерных систем математических расчетов.

Научная новизна диссертационной работы заключается: в методе расчета корреляционной функции стохастических колебаний, основанном на численном интегрировании систем дифференциальных уравнений, следующих из уравнения Фоккера - Планка; в интегральном методе моделирования стохастических колебаний в нелинейных резонансных системах;

- в обнаружении новых хаотических режимов вынужденных колебаний дискретного осциллятора Дюффинга и осциллирующего магнитного диполя;

- в математических моделях систем, элементы которых взаимодействуют по схеме «хищник - жертва»;

Обоснованность и достоверность результатов работы

Обоснованность и достоверность полученных в диссертации результатов подтверждаются:

- использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа случайных процессов;

- использованием апробированных на практике методов анализа и синтеза дискретных систем;

- результатами тестирования разработанных математических методов и численных алгоритмов на задачах, имеющих точное аналитическое решение;

- соответствием приведенных результатов анализа и моделирования их аналогам, полученным другими авторами;

- соответствием основных результатов численного моделирования общим физическим закономерностям.

Практическая значимость работы

Предложенные в диссертационной работе методы численного анализа стохастических колебаний и моделирования стохастических систем могут найти применение при решении задач проектирования устройств обработки сигналов и прогнозирования процессов развития систем различной физической природы.

Положения, выносимые на защиту

1. Метод и результаты расчета корреляционных функций периодически нестационарных случайных процессов в нелинейных стохастических системах первого порядка.

2. Метод моделирования стохастических колебаний на основе интегральных уравнений движения нелинейных резонансных систем.

3. Результаты численного эксперимента с дискретным осциллятором Дюффинга, в том числе обнаруженные режимы хаотических колебаний.

4. Механизм перехода к динамическому хаосу в дискретных бистабильных системах.

5. Интегральные и дискретные модели вольтерровской системы.

База исследований

Работа была выполнена на кафедре радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета.

Апробация результатов работы

Материалы диссертации докладывались на

- V, VI, VII и VIII Международных научно-технических конференциях «Физика и технические приложения волновых процессов» (г. Самара, 2006 г.; г. Казань, 2007 г.; г. Самара, 2008 г.; г. СанктПетербург, 2009 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР-2007» (г. Томск, 2007 г.);

- Всероссийской научно-технической конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (г. Самара, 2009 г.).

Публикации

По материалам диссертации опубликовано 13 работ, в том числе 4 статьи из в журналах из перечня ВАК и 9 докладов и тезисов докладов на международных и всероссийских научно-технических конференциях.

Личный вклад

Диссертант принимал непосредственное и равноправное участие в разработке математических моделей и численных алгоритмов, проведении расчетов, обсуждении и физической интерпретации результатов моделирования.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе получены следующие основные результаты.

1. Предложен метод расчета корреляционных функций периодически нестационарных случайных процессов в нелинейных стохастических системах первого порядка

2. Для исследования явления стохастического резонанса синтезирована ДВ-система в форме нелинейного фильтра первого порядка.

3. Предложен метод моделирования стохастических колебаний на основе интегральных уравнений движения нелинейных резонансных систем с ДВ-фильтрацией источника шума.

4. Методом численного эксперимента с дискретным осциллятором Дюффинга установлено, что наряду с вынужденными динамическими колебаниями в системе реализуются режимы хаотических колебаний.

5. Выявлен механизм перехода к динамическому хаосу в дискретных бистабильных системах. Показано, что хаотизация системы является следствием ее скрытой стохастизации.

6. Разработаны интегральная и дискретная динамические и стохастические модели системы, элементы которой взаимодействуют по схеме «хищник — жертва».

1. Тихонов, В.И. марковские процессы / В.И.Тихонов, М.А.Миронов. -М.: Сов. радио, 1977. 488 с.

2. Стратонович, P.JI. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. М.: Сов. радио, 1961. - 560 с. / 2-е изд. - Стратонович, P.JI. Случайные процессы в динамических системах. - М.-Ижевск: НИЦ РХД, 2009. — 592 с. (готовится к печати).

3. Гардинер, К.М. Стохастические методы в естественных науках. / К.М. Гардинер М.: Мир, 1986. - 528 с.

4. Ван Кампен, Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии. / Н.Г. Ван Кампен М.: Высш. Школа, 1990. - 376 с.

5. Ланжевен, П. О теории броуновского движения // Ланжевен П. Избранные труды. М.:Изд. АН СССР, 1960. - С. 338-341.

6. Понтрягин Л.С. О статистическом рассмотрении динамических систем / Л.С. Понтрягин, А.А. Андронов, А.А. Витт // Андронов А.А. Собрание трудов. -М.: Изд. АН СССР, 1956. С. 142-160.

7. Бернштейн, С.Н. Принципы теории стохастических дифференциальных уравнений // Труды физ.-мат. института им. В.А. Стеклова. 1933. -Т. 5-С. 95-124.

8. Ito, К. Stochastic integral // Proc. Imperial Acad. 1944. -V. 20. - P. 519524.

9. Гихман, И.И. Стохастические дифференциальные уравнения / И.И. Гихман, А.В. Скороход. Киев: Наукова думка, 1968. - 356 с.

10. Гихман, И.И. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения / И.И. Гихман, А.В. Скороход. Киев: Наукова думка, 1982. -612 с.

11. Стратонович, Р.Л. Новая форма записи стохастических интегралов и уравнений // Вестник МГУ (Математика, механика). -1964. — № 1. С. 3-11.

12. Стратонович, P.JI. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. / P.JI. Стратонович-М.: Изд. МГУ, 1966. -319 с.

13. Мюррей, Дж. Математическая биология. Т. 1. Введение / Дж. Мюррей М.-Ижевск: РХД, 2009. - 776 с.

14. Мантенья, Р.Н. Введение в эконофизику: Корреляции и сложность в финансах / Р.Н. Мантенья, Г.Ю. Стенли. М.: ЛИБРОКОМ, 2009. - 192 с.

15. Артемьев, С.С. Математическое и статистическое моделирование в финансах / С.С. Артемьев, М.А. Якунин. Новосибирск: Изд. ИВМиМГ СО РАН, 2008.- 174 с.

16. Пугачев, B.C. Стохастические дифференциальные системы / B.C. Пугачев, И.Н. Синицын. М.: Наука, 1985. - 560 с.

17. Рытов, С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть I. Случайные процессы. / С.М. Рытов М.: Наука, 1976. - 496 с.

18. Малахов, А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. / А.Н. Малахов- М.: Наука, 1966. 660 с.

19. Милыптейн, Н.Г. Численное интегрирование стохастических дифференциальных уравнений. / Н.Г. Милыптейн- Свердловск: Изд. Уральского университета, 1988. 225 с.

20. Кузнецов, Д.Ф. Стохастические дифференциальные уравнения: теория и практика численного решения. 3-е изд. / Д.Ф. Кузнецов — СПб: Изд. Политех. Университета, 2009. - 800 с.

21. Лукшин, А.В. Численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений / А.В. Лукшин, С.Н. Смирнов // Математическое моделирование. 1990. - Т. 2. - № 11. — С. 108-121.к главе 1

22. Wright, D. J. The digital simulation of stochastic differential equations / D. J. Wright // IEEE Trans Automatic Control, 1974. v.19. -Nl. - c. 75-76

23. Стратонович, P. JI. Условные марковские процессы и их применение в теории оптимального управления / P. JI. Стратонович — М.: из у.НГУ, 1966. -319 с.

24. Дуб, Дж. Вероятностные процессы / Дж. Дуб М.: ИЛ, 1956. - 606 с.

25. Ито, К. Диффузионные процессы и их траектории / К. Ито, Г. Маквин -М.: Мир, 1968.-394 с.

26. Ito, К. Stochastic integral / К. Ito // Proc. Imperial Academy 1944 - v20 -P.519-524

27. Крылов, И. В. Управляемые процессы диффузионного типа / И. В. Крылов М.: Наука, 1977 - с.

28. Гихман, И. И. Стохастические дифференциальные уравнения / И. И. Гихман, А. В. Сказоход Киев: хз, 1968. - 356 с.

29. Пугачёв, В. С. Стохастические дифференциальные системы / В. С. Пугачёв, И. Н. Синицин М.: Наука, 1985. - 560 с.

30. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии / Н. Г. Ван Кампен М.: Высшая школа, 1990. - 376 с.

31. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований / А. Н. Малахов М.: Сов. радио, 1978. - 376 с.

32. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. / В.И. Тихонов, М.А. Миронов М.: Сов. радио, 1977. - 488 с.

33. Стратанович Р. Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике. / Р.Л. Стратанович М.: Сов. радио, 1961. - 558 с.

34. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. / А. Н. Малахов М.: Наука, 1968. - 660 с.

35. Зайцев В.В. Об одном способе вычисления корреляционных характеристик марковских случайных процессов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2006. — Т. 9. — № 4. — С. 73-75.

36. Деммель Дж. Вычислительная линейная алгебра. / Дж. Деммель — М.: Мир, 2001.-430 с.

37. Анищенко B.C., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер JI. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка // УФН. 1999. - Т. 169. - Вып. 1. - С. 7-38.

38. Музычук О.В. К анализу спектрально-корреляционных характеристик одномерного броуновского движения // Известия вузов. Радиофизика. 2003. -Т. 46. -№2.-С. 167-174.

39. Дубков А.А., Малахов А.Н., Саичев А.И. Время корреляции и структура функции корреляции нелинейного равновесного броуновского движения в потенциальных ямах произвольной формы // Известия вузов. Радиофизика. 2000. - Т. 43. - №4. - С.369-382.

40. Стратанович P.J1. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. / P.J1. Стратанович М.: Сов. радио, 1961. — 558 с.

41. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. / К.В. Гардинер М.: Мир, 1986. -528 с.

42. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. / Дж. Голуб М.: Мир, 1999.-548 с.

43. Стратанович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике./Р.Л. Стратанович-М.: Сов. радио, 1961. — 558 с.

44. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. / А. Н. Малахов М.: Наука, 1968. - 660 с.

45. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть I. Случайные процессы. / С.М. Рытов М.: Наука, 1976. — 496 с.

46. Ван Кампен Н.Г. Стохастические процессы в физике и химии / Н.Г. Ван Кампен М.: Высшая школа, 1990. - 376 с.

47. Маланин В.В., Полосков И.Е. Методы и практика анализа случайных процессов в динамических системах. / В.В. Маланин, И. Е. Полосков М.Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. — 296 с.

48. Гардинер К.В. Стохастические методы в естественных науках. / К.В. Гардинер-М.: Мир, 1986. -528 с.

49. Зайцев В.В. Об одном способе вычисления корреляционных характеристик марковских случайных процессов // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2006. — Т. 9. — № 4. - С. 73-75.

50. Дубков А.А., Малахов А.Н., Саичев А.И. Время корреляции и структура функции корреляции нелинейного равновесного броуновского движения в потенциальных ямах произвольной формы // Известия вузов. Радиофизика. 2000. - Т. 43. - №4. - С.369-382.

51. Зайцев В.В., Телегин С.С. Численный анализ корреляционных характеристик броуновского движения в одномерных потенциальных ямах // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2007. Т. 10. — № 1. - С. 60-65.

52. Анищенко B.C., Нейман А.Б., Мосс Ф., Шиманский-Гайер JI. Стохастический резонанс как индуцированный шумом эффект увеличения степени порядка / B.C. Анищенко, А.Б. Нейман, Ф. Мосс, JI. Шиманский-Гайер // УФН. 1999. - Т. 169. - Вып. 1. - С. 7-38.

53. Зайцев, В.В. Динамика автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля / В.В. Зайцев, С.В. Давыденко, О.В. Зайцев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2000. - Т. 3. - N 2. - С. 64-67.к главе 2

54. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин В.В. Интегральные модели автоколебательных систем // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2006. — Т. 9. — N 1. — С. 53-57.

55. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. / В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Пустель, В.Н. Парыгин М.: Наука, 1978. - 392 с.

56. Малахов А.Н. Флуктуации в автоколебательных системах. /А.Н. Малахов М.: Наука, 1968. - 660 с.

57. Крылов В. И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Том 2. / В.И. Крылов, В.В. Бобков М.: Наука, 1977. - 400 с.

58. Оппенгейм А., Шафер Р. Цифровая обработка сигналов. 2-е изд. / А. Оппенгейм, Р. Шафер - М.: Техносфера, 2006. — 856 с.

59. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. / А. Н. Малахов -М.: Наука, 1978. —376 с.

60. Братчиков, А.Н. СВЧ-устройства, излучатели и ФАР на основе новых метаматериалов и структур / А.Н. Братчиков // Антенны. -2009. Вып. 1. — С. 3-72.

61. Зайцев, В.В. Динамическая модель активного электрического вибратора / В.В. Зайцев, А.В. Карлов // Вестник СамГУ. -2008. Вып. 8/2. -С. 230-240.

62. Зайцев, В.В. Модовая модель автогенератора на основе электрического вибратора /В.В. Зайцев, А.В. Карлов // Тезисы докладов VIII МНТК «Физика и технические приложения волновых процессов». — СПб, 2009. С. 156.

63. Хаяси, Т. Нелинейные колебания в физических системах / Т. Хаяси. — М.: Мир, 1968.-432 с.

64. Мигулин В.В. Основы теории колебаний / В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Мустель, В.Н. Парыгин. М.: Наука, 1978. - 392 с.

65. Капранов М.В. Теория колебаний в радиотехнике / М.В. Капранов, В.Н. Кулешов, Г.Н. Уткин. М.: Наука, 1984. - 320 с.

66. Зайцев В.В., Телегин С.С. Стохастический резонанс в дискретной мультистабильной системе // Физика и технические приложения волновых процессов: тезисы докл. VI Международной НТК. Казань: КГТУ, 2007. -С. 383-384.

67. Зайцев В.В., Телегин С.С. Дискретная модель автоколебаний в системе хищник — жертва // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. -2009. № 6.

68. Неймарк Ю.И. Стохастические и хаотические колебания / Ю.И. Неймарк, П.С. Ланда. М.: Наука, 1987.

69. Вайнштейн Л.А. Разделение частот в теории колебаний и волн / Л.А. Вайнштейн, Д.Е. Вакман. М.: Наука, 1983. - 288с.

70. Малахов А. Н. Флуктуации в автоколебательных системах / А.Н. Малахов. М.: Наука, 1968. - 660 с.

71. Зайцев О.В. моделирование дискретного осциллятора Ван дер Поля / О.В. Зайцев, Г.П. Яровой // Всероссийская конференция «Современные проблемы радиоэлектроники». Тезисы докладов. — Красноярск, 2001. С. 127.

72. Мун Ф. Хаотические колебания. / Ф. Мун М.: Мир, 1990. - 312 с.

73. Зайцев В.В., Зайцев О.В., Телегин С.С. Стохастические колебания в бистабильном осцилляторе // V Международная НТК «Физика и технические приложения волновых процессов». Тезисы докладов. Самара, 2006. - С.320-321.

74. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1974. 504 с.к главе 3

75. Вольтера, В. Математическая теория борьбы за существование. / В. Вольтера М.: Наука, 1976. - 288 с.

76. Базыкин, А.Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. /

77. A. Д. Базыкин М.: Институт компьютерных исследований, 2003. — 368 с.

78. Мари, Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях: Пер. с англ. /Дж. Мари М.: Мир, 1983. - 400 с.

79. Рубаник, В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. /В.П. Рубаник-М.: Наука, 1969.-288 с.

80. Колесов, Ю.С. Математические модели экологии / Ю.С. Колесов // Исследования по устойчивости и теории колебаний. — Ярославль: Изд. ЯрГУ, 1979.-С.З-40.

81. Бабский, В.Г. Математические модели в биологии, связанные с учетом последействия / В.Г. Бабский, А.Д. Мышкис // В кн.: Мари, Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. — М.: Мир, 1983. 400 с.

82. Музычук, О.В. Вероятностные характеристики системы хищник-жертва со случайно изменяющимися параметрами / О.В. Музучук // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 1997. — Т.5. №2. — С.80-86.

83. Гардинер, К.В. Стохастические методы в естественных науках. К.В. Гардинер М.: Мир, 1986.

84. Эльсгольц, Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с тклоняющимся аргументом / Л.Э. Эльсгольц, С.Б. Норкин — М.: Наука, 1971. 296 с.

85. Зайцев, В.В. Интегральные модели автоколебательных систем /

86. B.В. Зайцев, О.В. Зайцев, В.В. Никулин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2006. — Т. 9. — № 1. — С. 53-57.

87. Карлов, Н.В. Колебания, волны, структуры / Н.В.Карлов, Н.А. Кириченко М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 496 е.

88. Тутубалин, В.Н. Математическое моделирование в экологии /

89. B. Н. Тутубалин, Ю. М. Барабашева, А. А. Григорян, Г. Н. Девяткова, Е. Г. Угер. М.: Языки славянских культур, 1999. - 208 с.

90. Gilpin, М.Е. Do hares eat lynx? / M.E. Gilpin // American Naturalist 1973. -V. 107.-N957.-P. 727-730.

91. Ярощук, И.О. Статистическое моделирование как метод решения стохастических волновых задач / И.О. Ярощук // Актуальные проблемы статистической радиофизики (Малаховский сборник). -2005. Т. 4. - С. 2746.

92. Управление риском. Риск, устойчивое развитие, синергетика / Под ред. Г.Г. Малинецкого. — М.: Наука, 2000. 432 с.

93. Марчук, Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. / Г.И. Марчук— М.: Наука, 1991. — 304 с.

94. Зайцев, В.В. Динамика автоколебаний дискретного осциллятора Ван дер Поля / В.В. Зайцев, С.В. Давыденко, О.В. Зайцев // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2000. - Т. 3. — N 2. - С. 64-67.

95. Зайцев, В.В. ДВ-осцилляторы, порождаемые томсоновскими автоколебательными системами / В.В. Зайцев, О.В. Зайцев, А.В. Карлов, А.В. Карлов (мл) //Физика волновых процессов и радиотехнические системы. -2008.-Т. 11. -№ 4. С. 98-103.

96. Оппенгейм, А. Цифровая обработка сигналов / А. Оппенгейм, Р. Шафер. — 2-е изд. М.: Техносфера, 2006. - 856 с.

97. Зайцев, В.В. Интегральная модель автоколебаний в системе хищник-жертва / В.В. Зайцев, С.С. Телегин // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. 2009. - Т. 12. -N 2.

98. Hall, C.A.S. An assessment of several of the historically most influential theoretical models used in ecology end of the data provided in their support /

99. C.A.S. Hall // Ecological modeling. 1988. - V. 43. - P. 5-31. ^