автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное моделирование стохастической динамики заряженных частиц в электромагнитных полях и хаоса линий тока стационарных течений жидкости

п Л : п

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ КОСМИЧЕСКИХ КССЛЕЛОВАНШ

На правах рукописи

УДК 681.142:333.931:532.501.33

ПЕТРОВИЧЕВ БОРИС АЛЕКСАНДРОВИЧ

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ

ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ГОШ И ХАОСА ЛИНИИ ТОКА СТАЦИОНАРНЫХ ТЕЧЕНИИ ВДДКОСТИ

С5.13.18 - пракоконяо вычислительной техники, математического ноделирог аяня и !»атеиатическ::г: штодоз в научных ЙССЛЗДОЬйШЯХ

Автореферат

диссертация па соискание ученой степени кандидата физнко - матеиатичсскик паук

Мосхва • 1991

Работа выполнена в Институте космических исследований АН СССР Научный руководитель: доктор физико - математических наук,

профессор Заславский Г.М. Официальные оппоненты: доктор физико - иатекатических наук

Буц В. А.

кандидат физико - математических наук Хоиеико Г.А.

Ведущая организация: Институт земного иагнетизма и

распространения радиоволи АН СССР (ЮМИРАЮ

Защита состоится " /-* " • 1991 г. в ~~часов на

заседании специализированного совета К002.94.01 прн Институте космических исследований АН СССР по адресу: г.Москва, Профсоюзная ул. , д. 84/32

Автореферат разослан

1991 г.

С диссертацией моею ознакомиться в библиотеке ИКИ АН СССР.

Учений секретарь специализированного совета к. ф. -м. н.

Титоа Л. Б.

05ЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы.

Возможность сложного, хаотического поведения детерминированных динамических систем классической механики была открыта Пуанкаре сце в конце прошлого зека [1], но лишь менее 30 лет назад благодаря новым теоретическим результатам, наличию быстродействующ« компьптероз и развитии техники эксперимента стало ясно, что это явление часто встречается в природе и имеет далеко идудае последствия во многих областях науки. Применение ЭВМ для численного моделирования решений нелинейных уравнений динамики помогло осознать тот факт, что нелинейные разностные и дифференциальна уравнения могут иметь непериодические решения, которые ведут себя случайным образом, хотя в этих уравнениях нет случайных параметров. Первоначально отдельные, разрозненные исследования хаотического поведения различных физических систем быстро выросли в новое научное направление. В настоящее врем теория детерминированного хаоса - актуальная область научных исследований, в которой получено много интересных результатов. Только за последние несколько лет было опубликовано большое количество теоретических и численных работ, а также несколько монографий обобщающего характера 12-7], посвященных изучение хаотического движения динамических систем в самых разных областях науки и техники.

Важные приложения теории детерминированного хаоса связаны с исследованием нелинейной динамики заряженных частиц в слог-дых электрических и магнитных полях. Эта проблема имеет многочисленные приложения в теорян плазмы: запросы взаимодействия "волка частица", задача о стохастическом нагрезе и диффузии плазмы а магнитных ловушках, задача об ускорении Ферми [2,3,5]. Исследование этих суаественно нелинейных задач невозможно без использования

численных методов и численного анализа уравнений динамики на ЭВМ. К их числу относится и задача о взаимодействии заряженных частиц с плазменной волной в поперечном магнитном поле С8-12]. Известно, что хаос в гамильтоновых динамических системах может возникнуть уже в случае полутора степеней свободы, т.е. в случае, когда система с одной степенью свободы находится под действием внешней силы, зависящей от времени. В этой связи исследуются некоторые системы с уравнениям движения, которые можно назвать эталонными ввиду их типичности [2,5]. Взаимодействие частицы с плоской волной в поперечном магнитном поле приводит к одному из таких эталонных уравнений. Хаотизация траекторий заряженных частиц приводит к важным физическим следствиям - стохастическому ускорению частиц и появлении нелинейного механизма затухания волн.

Стохастический механизм ускорения заряженных частиц в магнитном поле и поле плоской волны исследовался в связи с проблемой ионного нагрева нижнегибридными колебаниями С9], изучался также стохастически нагрев пролетных частиц в исчезающие малых магнитных полях ilOJ, процесс стохастического ускорения в случае, когда частота волны близка к частоте циклотронных гармоник till. В релятивистском случае стохастический механизм ускорения пролетных частиц становится эффективным из-за нелинейности движения релятивистских частиц в магнитном поле, обусловленной зависимостью циклотронной частоты от энергии [123. Таким образом, дальнейшее исследование разнообразных физических явлений, возникающих при движении заряженных частиц в электромагнитных полях, характеризующихся переплетением регтляркых " и стохастических механизмов передачи энергии между части;, ами и волнами, представляется весьма актуальным.

Еще одной важной областью приложения теории детерминированного

хаоса является динамка сплошных сред, в частности, гидродинамика. Одна из целей исследования детерминированного хаоса в гидродинамических системах - понять механизмы возникновения развитой турбулентности, под которой подразумевается нерегулярное поведение нелинейных сред и полей во времени и пространстве. Пристальное внимание в этой связи привлекает хаос линий тока стационарных трехмерных течений идеальной несжимаемой жидкости, обладающих свойством Бельтрами. Примером течения, обладавшего этим свойством, является так называемое течение

Арнольда-Бельтрами-Чилдреса (АБС-течение) [131. Поведение линий тока АБС-течения исследовалось численно и аналитически 1143. Обобщением АБС-течения являются течения с квазисимметрией, введенные в работе [15]. Таким образом, имеет место по существу новое и еще мало изученное проявление хаоса, обусловленное нелинейностью динамических уравнений, которое ко»;о назвать турбулентностью линий тока или лаграигевой турбулентностью.

Основные цели рг^оты:

- - численное моделирование нелинейной динамики заряженных частиц в сложных электромагнитных полях;

- численное исследование стохастических механизмов ускорения эарягенкых частиц электромагнитными волнами в поперечном магнитном поле;

■ - численное моделирование нелинейной динамики линий тока стационарных трехмерных гидродинамических течений с квазисимметрией;

- численное исследование стохастической диффузии хидких части:: но линиям тока стационарных трехмерных гидродинамических течений с квазисимметрией;

Нзучная новизна.

В диссертации приведен ряд новых результатов, полученных при исследовании нелинейной динамики заряженных частиц в сложных электромагнитных полях и линий тока трехмерных стационарных гидродинамических течений с квазисимметрией.

В результате численного моделирования динамики заряженных частиц в поле плоской электростатической волны и поперечной магнитном поле впервые показано, что при резонансных соотношениях между частотой вращения частицы в магнитном поле и частотой волны вся фазовая плоскость системы покрывается стохастической паутиной, внутри которой динамика частиц хаотическая. Существование стохастической паутины приводит к универсальной диффузии частиц, аналогичной диффузии Арнольда в многомерном случае. В результате численного моделирования двикения частицы в поле двух плоских волн впервые показано, что действие на систему даже малого резонансного возмущения приводит к образование стохастической паутины в области малых скоростей, где невозмуцеяные колебания близки к линейным.

В результате численного исследования влияния диссипации на нелинейную динамику частиц в пола плоской электростатической волны л поперечной магнитном поле показано, что динамика диссипативных частиц при сильной нелинейности происходит на стохастической аттракторе, что приводит к "ограничение стохастического ускорения частиц.

Проведено численно' исследование нового механизма усиления диффузии частиц за счет захватов частив волной-' при взаимодействии волна - частица в слабом магнитной поле.

3 результате численного моделирования динамики релятивистских частиц в поле быстрой электромагнитной волны и поперечном магнитном поле впервь'" показано, что, если фазовая скорость волны равна

скорости света в вакууме, энергия частиц, захваченных в режим неограниченного стохастического ускоренная, растет со временем по степенному закону Е 1а'7.

Проведено численное моделирование нелинейной динамики линий тока нового класса стационарных трехмерных течений идеальной несжимаемой жидкости - течении с квазисиюгатркей. Впервые показано, что хаос линий тока генерирует в пространстве единую сеть каналов -жидкую стохастическую паутину, обладающую симметрией, соответствующей симметрии течения, а также приводит к аномальной пространственной диффузии жидких частиц по линиям тока.

Личным вкладом автора в работы, вошедшие в' диссертацию, явилась:

- разработка алгоритмов и создание программ для решения задач численного моделирования и визуализации получаемой информации на ЭВМ;

- получение и обработка результатов численного моделирования на ЭВМ;

- интерпретация результатов численного моделирования и их приложение к описанию регулярного и стохастического движения исследуемых динамических систем.

Практическая ценность работы.

Приведенные в диссертации результаты могут быть использованы г, решении ряда проблем физики плазмы и гидродинамики, а именно: при исследовании нелинейной динамики регулярных и стохастических процессов в плазме, при решении задачи о нагреве плазмы нелинейны?,« волнами, в изучений вопроса об устойчивости и разрушении магнитных поверхностей, в создании ускорителей, работающих на новых принципах, при разработке новых сценариев возникновения турбулентности, при исследовании транспорта пассивьос частиц в

жидкости. Полученные в работе научные результаты могут быть рекомендованы к использованию в ИКИ АН СССР, Астросовете АН СССР, ИЗМИРАН, ШФ АН СССР, ИОФ АН СССР, ФИЛИ АН СССР, ИФА АН СССР.

Обьем и структура диссертации.

Диссертация состоит из четырех глав, введения и заключения, изложена на 177 страницах машинописного текста и содержит в той числе 123 рисунка на 47 листах и 113 наименования в списке цитируемой литературы.

Апробация результатов.

Основные результаты работ, составивших содержание диссертации, докладывались на 7-ой международной конференции по физике плазмы (Киев, апрель, 19873; 3-ей международной рабочей группе "Нелинейные и турбулентные процессы в физике" (Киев. апрель, 1987); конкурсе-конференции молодых ученых и специалистов ИКИ АН СССР "Актуальные проблемы космических исследований" СМосква, октябрь, 1988); 8-ой международной конференции по физике плазмы СНьв-Дели. Индия, ноябрь, 198-); научных семинарах в ИФП им. Вавилова, ФИАНе, МГУ, ИКИ.

По теме диссертации опубликовано 12 работ, список которых приведен в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Бо введении обоснована актуальность темы работы, представлен обзор литературы по рассматриваемым в диссертации вопросам, сформулированы основные цели работы, приведены основные положения, выносимые на завдту.

В первой главе исследуется динамика нерелятивистских

заряженных частиц в сложных электрических и' магнитных полях. В

первом параграфе проанализировано движение заряженных частиц в поле ь

электростатической волны, распространяющейся поперек внешнего однородного магнитного поля, и движение частиц в поле двух плоских электростатических волн. Уравнения движения частиц записаны в виде уравнений движения линейного и нелинейного осцилляторов, находящихся под действием возмущения в виде плоской волны с частотой ш и волновым числом к . Приведены результаты численного моделирования регулярней и стохастической динамики частиц на фазовой плоскости Сх,х) в условиях резонанса мезду циклотронной частотой вращения частицы в магнитном поле ын и частотой о (уравнение движения линейного осциллятора), а также между баунс-частотой колебаний захваченных частиц соо и частотой и (уравнение движения нелинейного осциллятора) при различных значениях амплитуды возмущения с . Показано, что в случае линейного осциллятора в условиях резонанса о = п«н (п - целое) вся фазовая плоскость системы покрывается стохастической паутиной, внутри которой динамика частиц хаотическая. Структура паутины имеет симметрию, обусловленную порядком резонанса (рис.1).

Существование стохастической паутины обусловлено тем. что динамическая система в отсутствии возмущения является вырожденной, КАМ-теория непосредственно не применима, и действие на систему сколь угодно малого резонансного возмущения приводит к возникновению на фазовой плоскости сепаратрисной сетки, одновременное разрушение которой под действием возмущения и приводит к возникновению стохастической паутины. Наличие на фазовой плоскости стохастической паутины приводит к универсальной диффузии частиц, аналогичной диффузии Арнольда. Основное отличие заключается в том, что диффузия Арнольда происходит при числе степеней свободы N > 2 и образуется вследствие пересечения резонансный тороа, которые в силу топологических причин не делят фазовое пространство.

Исследуемая динамическая система имеет число степеней свободы N = 3/2 и в ней существование паутины обусловлено специальным видом возмущения, находящегося неограниченно долго в резонансе с невозмущенным движением. Наличие нелинейности в системе снимает сильное вырождение, однако резонансные условия могут привести к сохранение некоторой части паутины. Этот эффект был обнаружен численно для нелинейного осциллятора в области малых скоростей, где невозмущенные колебания близки к линейным.

Во втором параграфе исследуются общие условия существования стохастической паутины на фаз02ой плоскости системы, описывающей движение частицы в поле двух плоских электростатических волн, математической моделью которой является уравнение движения нелинейного осциллятора под действием возмущения в виде плоской волны. Показано, что при малой нелинейности, т._е. когда динамическая система близка к сильному вырождений и КАМ - теория также непосредственно не применима, действие на систему даже малого резонансного возы,дения приводит к образованию стохастической паутины в ограниченной области фазовой плоскости - области малых скоростей, где невозкущенные колебания близки к линейным Срис.2). Для того, чтобы это было возможно, необходимо (кроме выполнения условий вц оздения и наличия резонанса; <и = па^}, втопкеквнхе неравенства: к >> 1, что соответствует мелкомасштабности возмущения, и чтобы величина амплитуды возмущения с была достаточной для образования стохастического слоя, ширина которого превышает расстояние между соседними сепаратрисными петлями, что ведет к их слипанию и образованию паутины Сем.рчс.2б).

В третьем параграфе приведены резутьтаты численного исследования влияния диссипации на динамику чгстиц в поле плоской электростатической волны, распространяющейся поперек внешнего

однородного магнитного поля. Показано, что динамика диссипативньгх частиц при сильной нелинейности происходит на стохастическом аттракторе, что приводит к ограничению стохастического ускорения частиц. Объяснена структура стохастических аттракторов, возникаюачх вследствие хаотизации двихения частиц. В четвертом параграфа рассматривается механизм усиления диффузии частиц засчет захватов частиц еолной, при взаимодействии волна-частица в слабом магнитном поле. В результате численного анализа показано, что в условиях слабого магнитного поля движение заряженной частицы имеет временную структуру, обусловленную динамикой в поле волны, а редкие Сс циклотронным периодом) прохождения через резонанс приводят к стохастической динамике, хотя и с очень маленьким темпом ускорения. Роль возмущения, создаваемого второй волной, состоит в том, что в сз присутствии однократный захват приводит к существенному изменению энергии, поэтому даге редкие захваты обеспечивают эффективную диффузию частиц. В пятом параграфе кратко сформулированы основные результаты данной главы.

Во второй главе исследуется динамика релятивистских заряженных частиц в сложных электромагнитных полях. В первом параграфе изучается динамика релятивистских частиц в поле быстрой электромагнитной волны и поперечном однородном магнитном поле. Выписаны уравнения движения частиц, приводятся результаты численного моделирования нелинейной динамики частиц, движущихся в поле плоской линейно поляризованной электромагнитной волны с частотой ы и волновым числом к при различных значениях параметра и = ,л/%> " нерелятивистская циклотронная

частота вращения ь магнитном поле. Обсуждаются характерные особенности регулярной и стохастической динамики частиц, палученныэ в результате численного анализа, структурные свойства фазоього

пространства и типичные бифуркации фазовых траекторий. В результате численного моделирования показано, что для частиц достаточно малых энергий Е * тс2 Сш - масса частицы, с - скорость света в вакууме), движущихся в поле электромагнитной волны со сравнительно небольшой амплитудой напряженности поля с , на фазовой плоскости существуют области регулярного движения, представляющие собой систему относительно больших островков устойчивости, соответствующих циклотронным резонансам п-го порядка, которая обладает ориентациоккой симметрией п-го порядка. Система регулярных островков погружена в область развитого хаоса - хаотическое море (рис.За). Во втором параграфе исследуется возникающее в этом случае стохастическое ускорение релятивистских частиц. Проведен численный анализ закона стохастического ускорения частиц, результаты которого согласуются с теоретическим анализом. Показано, что при « = кс, т.е. если фазовая скорость волны равна скорости света в вакууме, происходит неограниченное стохастическое ускорение частиц, а их энергия растет со ременем по степенному закону Е ~ 13/7. При « > кс существует ограничение на величину стохастического ускорения (рис.36). В третьем параграфе исследованы некоторые особенности динамики релятивистских частиц в поле плоской электростатической волны и поперечном магнитном поле. Приведены уравнения движения частиц. Показано, что в режим неограниченного (серфотронного) ускорения захватываются частицы, первоначально бывшие пролетными. В четвертом разделе кратко сформулированы основные результаты главы.

В третьей главе исследуется нелинейная динамика линий тока стационарных трехмерных течений идеальной несжимаемой жидкости. В первом параграфе рассматривается новый класс стационарных трехмерных течений, удовлетворяющих условию Е^дьтрами - течений с квазискмматрией. Поле скоростей для этого класса течений

определяется уравнениями вида:

ОТ

V =--а + с sin z

ду

ОТ

V = —3. - £ Cos z у <Эх

V = Ф г q

Здесь V , V , V - компоненты трехмерного векторного пол' скоростей V , с - параметр возмущения. Функция тока Ф^ записывается в виде:

Z, 2rrj 2nj

cos x-cos --+ ysin -

1 q 4 J

jsl

Функция 2 'Mx,y) является решением дву!,тарного уравнения Гельмгольца и определяет вид симметрии q поля скоростей. Ланное течение удовлетворяет условно несжимаемости: div V = 0 и условии Бельтрами в форме: rot V = -V. Оно периодично по z и квазисимметрично в плоскости (х.уЗ. Для этого течения выписывается система уравнений для линий тока и исследуется структура пространства решений этой системы. Во втором параграфе представлены результаты численного моделирования нелинейной динамики линий тока течений с квззисимметрией при q = 3,4 и 5. Показано, что в реальном координатном пространстве Су..у,г) происходит генерация трехмерных структур, которые образованы единственной неустойчивой

стохастической линией тока. Эта линия тока образует в случае симметрии порядка ч = 3,4 единую гексагональную или кубическую сеть С жидкую стохастическую паутину), а при ч = 5 паутину, которая в плоскости Сх.у) имеет квазисимметрию 5-го порядка С рис.4). В третьем параграфе рассматривается диффузионный аспект хаоса линий тока, который приводит к аномальной диффузии пассивных частиц в реальном трехмерном координатном пространстве. В результате хаотического "блуждания" жидкой частицы по каналам паутины возникает пространственный диффузионный процесс, аналогичный броуновскому движению частицы на кубической или гексагональной решетке. Показано, что при изменении параметра возмущения £ происходит серия бифуркаций решений системы уравнений для линий тока, результатом которых является значительное ускоренна диффузионного процесса за счет появления в пространстве длинных треков, подобных полетам Леви. В четвертом параграфе кратко сформулированы основные выводи данной главы.

В четвертой г. аве рассматриваются некоторые технические аспекты численного моделирования нелинейной динамики заряженных частиц е электромагнитных полях и нелинейной динамики линий тока в стационарных гидродинамических течениях, В первом параграфа ставится г гаача численного моделирования динамических систем, исследуемых в работе, как решение совокупности задач Коши для гамильтоновых уравнений движения, представленных в видо системы обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка и построение на фазовой плоскости системы сечений Пуанкаре, даюаих полноо представление о динамике системы. Во утором .-параграфе проведено обоснование применимости классического метода Рунге-Кутты для численного интегрирования гамильтоновых 'уравнений движения, рассматриваются общие вопроси дискретизации, требования к

численному методу, дается его описание, сформулированы критерии правильности счета и приведены некоторые результаты тестирования. В третьем параграфе рассматривается общая организация процесса численного интегрирования и ряд алгоритмов построения • эчений Пуанкаре. В четвертом параграфе кратко сформулированы основные выводы главы.

В заключении кратко сформулированы основные научные результаты и выводы диссертации.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1). В результате численного моделирования динамики иерелятивистских резонансных частиц в поле плоской электростатической волны, распространяющейся поперек внешнего магнитного поля показано, что вся фазовая плоскость системы покрывается стохастической паутиной, существование которой приводит к универсальной диффузии частиц, а; алогично:! диффузии Арнольда а кисгомерком случае.

2). В результате численного моделирования динатакн норолятивистских частиц в поле двух плоских электростатических волн показано, что действие на систему дага малого резонансного возмущения приводит к образованна стохастической паутины в области тлцх скоростей, гдо невозмущекные колебания близки к линейным.

3). В результате численного исследования влияния диссипации на динамику кералятиаистских резонансных частиц з полз плоской электростатической волны, распространяющейся поперек внеашэго однородного магнитного поля показано, что динамика двссапагивнызс частиц при сильной нелинейности происходит на стохастическом аттракторе, что приводит к ограничению стохастического ускорения частиц.

-144). В результате численного анализа механизма усиленна диффузии частиц за счет захватов частиц волной при взаимодействии волна-частица в слабом магнитном поле показано, что в присутствии второй волнь захваты приводят к существенному изменение энергии частиц, что ведет к усилению диффузии частиц.

5). Б результате численного исследования стохастического ускорения релятивистских частиц в магнитном поле показано, что при и = кс , происходит неограниченное стохастическое ускорение частиц, а их энергия растет со временем по степенному закону Е ~ 11/у. При ы > кс существует ограничение на величину стохастического ускорения.

6). В результате численного исследования некоторых особенностей динамики релятивистских частиц в поле плоской электростатической волны и поперечном магнитном поле показано, что в рогам неограниченного Ссерфотронного) ускорения могут захватываться частицы, первоначально бывшие пролетными.

7). В результате численного моделирования нелинейной динамнки линий тока нового класса стационарных трехмерных течений идеальной несжимаемой жидкости - течений с квазисимметрией показано, что хаос .тйний тока генерирует в реальном координатном пространстве Сх,у,2) единую сеть каналов - жидкую стохастическую паутину, обладающую в плоскости (х,у) кристаллической или квазикристалличесхой симметрией.

8). Рассмотрен диффузионный аспект хаоса линий тока течений с кваз«симметрией. Показано, что лагранжева турбулентность приводит к аномальной пространственной диффузии жидких частиц по линиям тока.

Основные научные результаты опубликованы в работах:

1. Заславский Г. М.. Натензон М. Я.. Петровичев Б. А.. Сагдеев Р.Э.. Черников А.А. Особенности образования стохастического слоя и стохастической паутины // Препринт ИКИ АН СССР N- 113t. 1988, 25с. ;

Chernikov А. А., Natenzon М. Уа. . Petrovichev В. А. , Sagdeev R. Z. . Zaslavsky G. М. Some peculiarities of stochastic layer and stochastic network formation // Phys.Lett.A, 1987, v. 182,p.36-41

2. Zaslavsky G. M., Natenzon M. Ya., Petrovichev B. A. , Sagdeev R. Z. , Chernikov A. A. Chaotic dynamics of charged particles in electromagnetic fields // Proceedings contributed papers of the International conference on plasma physics, Kiey, USSR, April 6-12, 1987; Kiev, Naukova Dumka. 1987, v.2, p. 219-221.

3. Заславский Г. M., Натензон М, Я,, Петровичев Б. А. , Сагдеев Р. 3. . Черников А. А. Стохастическое ускорение релятивистских частиц з магнитной поло // ЮТФ, 1987, т. 93, с. 881-894.

4. Zaslavsky G. М. , liatenzon М. Ya., Petrovichev В. А. , Sagdeev R. Z. . Chernikov A. A. Stochastic acceleration of relativistlc particles in the magnetic field. // Nonlinear and turbulent processes in physics. Proceedings of the III International Workshop, Kiev, USSR, April 13-26, 1987; Kiev, Naukova Dumka, 1S83, v. 1, p. 231-233.

5. Chernikov A. A. , Natenson M. Ya., Petrovichev B. A. , Sagdeev R.Z. Zaslavsky G. M. Strong changing of adiabatic invariants. KAM-tori . nd WEB-tori // Phys. Lett. A, 1988. v.129, p.377-380.

8. Васильев A. A., Заславский Г. M., Натензон М. Я. , Нейштадт А. И., Петровичев Б. Л., Сагдеев Р. 3. , Черников А. А. Аттракторы я стохастические аттракторы движения в магнитном поле // ЮТФ. 1988, т. 94. с. 170-187.

-167. Заславский Г.М. , Нейштадт А.И. , П-этровичеь Б.Л.. Сагдеев Р.3. Механизм усиления диффузии при взаимодействии волна - частица б слабом магнитном поле // Физика плазмы, 1989, т.15, с.631-634,

8. Нейштадт <\. И., Петровичей Б. А. , Черников А. А.. О захвате частиц в репш неограниченного ускорения // Физика плазмы, 1989, т. 15, с. 1021-1023.

9. Vasiliev А. А., Zaslaysky G. М., Natenzon М. Ya. , Neisntadt A. I., Petrovichev В. А., Sagdeev R,Z., ChernikOY A.A. Stochastic attractors of motion in a magnetic field // Contributed Papers of the International Conference on Plasma Physics, New Delhi, India, November 22-28, 1S89, v.3, p.821-823.

10.Beloshapkin V.V. , Chornikov A.A., Hatonson K.Ya., Potrovichev B.A., Sagdeey R.Z., Zaslavsky G.M. Chaotic streamlines in pre -turbulent states // Nature, 1989, v.337, p. 133-137.

11.Chernikov A.A., PetrovicheY B.A., Rogal'sky A.V., Sagdeev R.Z., Zaslavsky G.M. Anomalous transport of streasnlines due to their chaos and their spatial topology // Phys. Lett. A, 1990, v.144, p. 127-133.

12.Pelrovich9v B.A. , Rogal'sky A.V., Sagdeev R.Z., Zaslavsky G.H. Stochastic Jets and nonhomogeneous transport In Lagrangian turbulence // Phys. Lett. A, 1990, v.150, p.391-396.

ЛИТЕРАТУРА, ЦИТИРУЕМАЯ В ТЕКСТЕ

1. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Itзбр. труды, т. 1,2. М.: Наука, 1971, 1972.

2. Заславский Г. М. Стохастичность дкнашческкх систем. М.: Наука, 1984. 3S0 с.

3 Лкхтекберг А., Либерман И. Регулярная в стохастическая дииаиика. И.: Мир, 1284. 528 с.

-174. Арнольд Б. И.. Козлов В. В., Нейытадг А. И. Матомзтсческиэ аспекты классической и небесной механики. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 3. М.: ВИНИТИ, 1S85. 302 с.

б. Заславский Г.М., Сагдеев Р.Э. Введение в нелинейную физику. U.: Наука, 1988. 358 с.

6. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988. 240 с.

7. Мун Ф. Хаотические нелинейные колебания. М.: Мир, 1990. 311 с.

8. Rochester А.В., Stix Т.Н. Stochastic Instability of a nonlinear oscillator // Phys. Rev. a., 1979, v. 19, p. 1656-1665.

9. Karney C. F.F. Stochastic ion heating by a lower hybrid wave // Phys. Fluids., 1978, v.21, p. 1584-1599.

10. Заславский Г. M., Мальков М. А., Сагдеев Р. 3., Шапиро В. Д. Взаимодействие волна - частица в поперечном магнитном поле // Физика плазмы, 1986, т.12, с. 788-805.

11. Fukuyaraa Л., Moaota И.. Itatani R., Takizuka Т. Stochastic Acceleration by an Electro:.-atiс Wave near Ion Cyclotron Harmonics // Phys. Pew. Lett., 1977, v.33, p.701-704.

12. Балакироз В, A. , Буи В. A., Толстолухский А. П. , Туркнн Ю. А. Нерегулярное движение зарякенной частицы в постоянном г.агнитном поле и поле плоской электромагнитной волны // ЖГФ, 1983, т.53, с. 1922-1927.

13. Арнольд В.И. Математические методы классической ыэх^нки. П.: Наука, 1S89. 472 с.

14. Dombre Т., Frisch U., Greene J. М. , lienon М.. Ifehr ft., Soward A.M. Chaci ic streamlines in the ABC ficws // J.Fluid {t?ch.. 1986, v. 167. p. 353-391.

15. Заславский Г. M., Сагдеев P. 3. , Черников А. А. Стохаота-шсють линий тока в стационарных течениях // ЮТФ. 1983, т. 94, с.102-115.

Рис.1 (а) Фазовая плоскость линейного осциллятора (х,х)

в случае резонанса о = при к = 15 и с = 1/80. (б) Стохастическая паутина на фазовой плоскости Сх.х) в случае резонанса о = 4«(1 при к = 15 и с = 1/10.

~ач

ао а

ОО! х/2г

6

Рис.2 (а) Сепаратрисная ячейка нелинейного осциллятора

в случае резонанса о = 4ыо при 1с = 75, е * 1/100 (<3) Увеличение квадратной области рисунка (а).

•оа ао с♦ х/Й*

а

Ркс.З (а) Динамика релятивистских частиц на фазовой плоское-: Сх,р) при V = 2.0 и с = 0.1; (б) Зависимость средней энергии частиц от времени при у = 2.0 и с = ,4,0; графики 1 и 2 соответствуют 6 - 0 в 0.045 С<5 = 1 - ксы).

Рис. 4 Сечение Пуанкаре линий тока течений с квазисимштривй: Си) ч = 3, е = 0.3, г - я/4Сиос1 2я); С б) ч = 4, е ~ 0.6, 1 - п/Ытд. 2л); (в) д = 5, г = 0.03, г * ОСиос! 2л).