автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели детерминированного хаоса в скрещенных электрических и магнитных полях

ЮДИН Андрей Витальевич

На правах рукописи

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО ХАОСА В СКРЕЩЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЯХ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2006

003067037

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Байбурин Вил Бариевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Крысько Вадим Анатольевич

доктор физико-математических наук, профессор Безручко Борис Петрович

Ведущая организация: ЗАО «Тантал-СКБ», г. Саратов

Защита состоится 2 февраля 2007 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп. 1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат разослан «о » 4 ¿¿¿¡¡у 2006 г.

Учёный секретарь у

диссертационного совета Терентьев А.А.

ОБЩ АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Особенности движения зарядов в скрещенных электрических и магнитных полях являются предметом анализа во многих областях математической физики: физике замагниченной плазмы, астрофизике, теории электронных приборов у др. Характер траекторий заряженных частиц, по существу, определяет параметры (энергетические, шумовые и др.) многих устройств: приборов магнетронного типа, магнитных плазменных ловушек и др. В связи с угим особое значение приобретают малоисследованные задачи анализа условий возникновения хаотических режимов динамической системы «зар>д в скрещенных электромагнитных полях». Решение таких задач, с одной стороны, как представляется, будет содействовать более глубокому пониманию механизма физических процессов в отмеченных выше устройствах, а с другой имеет самостоятельный интерес как малоизученный объект теории динамических систем.

Одной из типичных задач нелинейной динамики гамильтоновых систем в виде движущихся зарядов в скрещенных электрических и магнитных полях является определение областей хаотичности в пространстве параметров и фазовых переменных. В классических работах Г. М. Заславского и Р. 3. Сагдеева уравнения движения сводились к одномерному уравнению возмущенного осциллятора. Однако в таком случае остается неясным характер «реальных» траекторий зарядов и вид областей хаотичности в пространстве измеряемых физических параметров (частота, амплитуда возмущающего поля, начальные скорости и др.).

В работах С. В. Поршнева был проведён анализ траекторий зарядов в условиях магнитного поля Земли. Хаотические режимы рассмотрены н экспериментальных работах В.Г. Усыченко. Вместе с тем в данных работах отсутствуют сведения о поведении траекторий зарядов в скрещенных полях в условиях различных видов неоднородностей действующих полей и при изменении их параметров.

Кроме того, в настоящее время активно исследуется идея магнитного удержания плазмы в ловушках, в первую очередь применительно к осуществлению управляемой реакции термоядерного синтеза Особенности траекторий заряженных частиц в магнитных ловушках и их связь со временем удержания выяснены недостаточно полно.

Таким образом, актуальной задачей является описание областей хаотичности систем со скрещенными полями, основанное на расчете траекторий зарядов (в том числе трёхмерных), с учётом различного Еида неоднородностей действующих полей и их параметров.

Целью диссертационной работы является развитие и совершенствование математических методов и принципов моделирования хаотического поведения гамильтоновых систем со скрещенными

электрическими и магнитными полями. Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:

1. Создание математической модели анализа регулярных и хаотических режимов в скрещенных полях и выбор эффективных алгоритмов и вычислительных схем численного решения уравнений движения в скрещенных полях.

2. Разработка программного обеспечения для решения уравнений движения в системах со скрещенными электромагнитными полями на основе полученных моделей и развитых алгоритмов и вычислительных схем.

3. Применение разработанной математической модели при исследовании хаотических режимов, в частности для построения карт динамических режимов в исследуемых системах, спектров мощности, траекторий заряженных частиц, и оценки времени удержания заряженных частиц в магнитной ловушке.

Достоверность и обоснованность полученных результатов определяется:

1. Корректностью и строгостью применяемых математических методов, предварительной оценкой допускаемых приближений и погрешностей и их физическим обоснованием.

2. Соответствием основных результатов и выводов экспериментальным данным и общефизическим представлениям о характере процессов в системах со скрещенными электромагнитными полями.

Научная новизна:

1. Предложены математические модели исследования хаотических и регулярных состояний системы «заряд в скрещенных полях», основанные на двух- и трёхмерных уравнениях движения в условиях нелинейных неоднородностей действующих полей.

2. На основании предложенных моделей получены рабочие алгоритмы и вычислительные схемы с использованием неявного метода и метода Рунге-Кутта, позволяющие проводить анализ фазовых траекторий с учётом переменных и постоянных пространственно неоднородных магнитных и электрических полей.

3. С применением предложенных математических моделей и алгоритмов показано, что в условиях переменного электрического поля степень хаотичности системы преимущественно зависит от соотношения частоты электрического поля и циклотронной частоты.

4. Показано, что радиально неоднородное магнитное поле оказывает существенное влияние на поведение траекторий заряженных частиц в скрещенных полях, определяя, в частности, такую их особенность, как смена хаотического вида траекторий на регулярный.

5. Показано, что в схеме магнетронного диода факторами, приводящими к хаотизации фазовых траекторий, являются: радиальная неоднородность магнитного поля, азимутальная неоднородность электрического поля, переменное анодное напряжение.

6. Показано, что в магнитной ловушке открытого типа возникают хаотические колебательные процессы, характерной особенностью которых является изменение параметров хаотической траектории (ларморовский радиус и траектория центра) в момент отражения заряженной частицы от магнитного зеркала.

7. Установлено, что продолжительность удержания заряженной частицы в ловушке связана со степенью хаотичности траектории частицы, а именно большей хаотичности траектории соответствует меньшее время удержания, и, следовательно, регуляризация траекторий способна увеличить время удержания в магнитной ловушке.

8. Получены карты динамических режимов для систем со скрещенными электромагнитными полями в плоскости различных параметров (амплитуд переменных полей, частот, начальных скоростей и ДР-)-

9. Разработано программное обеспечение, реализующее численный анализ предложенных моделей, и интерфейс пользователя и архитектура программы, позволяющие оперативный ввод новых типов неоднородностей и параметров, вывод на экран динамики движения зарядов, карт динамических режимов и т.д.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Предложенные модели и вычислительные схемы позволяют рассчитывать траектории заряженных частиц в условиях скрещенных электрических и магнитных полей различного вида (переменное электрическое поле, радиально изменяющееся магнитное поле, поля магнитных ловушек открытого типа) и проводить анализ полученных траекторий различными методами (расчёт ляпуновских показателей, спектров мощности, построение карт динамических режимов и др.).

2. Введение радиально возрастающего магнитного поля приводит к регуляризации траектории при попадании заряда в область сильных магнитных полей.

3. Время нахождения заряженной частицы в магнитной ловушке открытого типа зависит от степени хаотичности траектории частицы, а именно с увеличением степени хаотичности уменьшается время удержания частицы.

4. Полученные карты динамических режимов описывают зависимость режима функционирования системы от начальных условий и параметров действующих полей (амплитуды и частоты переменного электрического поля, величины магнитного поля, характера неоднородностей и пр.).

Практическая значимость диссертационной работы заключается в следующем:

1. На основе предложенных в диссертации моделей разработано программное обеспечение, предназначенное для решения задач анализа хаотических режимов в системах со скрещенными электромагнитными полями, включая, в частности, построение карт динамических режимов, спектров мощности и др.

2. Получены практические рекомендации по определению зависимости степени хаотичности систем со скрещенными электромагнитными полями от начальных условий и управляющих параметров.

3. Разработана модульная архитектура программного обеспечения, позволяющая адаптировать существующую программную среду при модификации исследовательских задач.

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались на Международной научной конференции IEEE «International Vacuum Electron Source Conference» (Саратов, 2002), на Международной научно-технической конференции «Зимняя школа-семинар по СВЧ-электронике и радиофизике» (Саратов, 2006), на заседаниях кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 4 печатных работах (трёх статьях и трудах одной конференции). Список публикаций приведён в конце автореферата.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованной литературы.

Во введении раскрывается современное состояние проблемы, обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы.

В первой главе проведён анализ существующих моделей системы «заряд в скрещенных электрическом и магнитном полях», сформулирована математическая постановка задачи.

В основе исследуемых в работе математических моделей лежит общее уравнение движения зарядов в скрещенных полях:

— = 3-(Ё + ухВ) (1)

dt т

где q - заряд частицы, ш - масса, V - вектор скорости, Ё,В - векторы электрического и магнитного полей соответственно, в общем случае нелинейно зависящие от координат и времени.

Суть применённого в работе метода заключается в последовательном введении в уравнения движения действующих электрических и магнитных полей различного вида и оценка методами нелинейной динамики их влияния на характер фазовых траекторий.

Во второй главе проведены исследования поведения зарядов при пространственно однородном магнитном поле и переменном электрическом поле; радиально изменяющемся магнитном поле; неоднородном в пространстве (рассмотрены радиальная и фазовая неоднородности) электрическом поле в схеме магнетронного диода.

В двухмерной декартовой системе координат (х,у) уравнения движения заряда в скрещенных полях можно представить в следующем виде:

у = г)Еу-Ох х = r¡Ex + Пу

где Ех,Еу — составляющие электрического поля (в общем случае переменные в пространстве и времени), Q = rjB - циклотронная частота,

tj = — - отношение заряда частицы к его массе. т

Введя обозначения для скоростей x = Vx,y = Vy, перейдём к системе уравнений первого порядка:

vy=VEy-avx Vx=r,Ex+QVy

* = К y = V,

Рассмотрим вначале случай, когда Еу- 0, магнитное поле постоянно и однородно (Q = const), и действует лишь х-я составляющая электрического поля, имеющая вид стоячей волны:

Ех = Е0х ■ sin у ■ cos «у/ (4)

При оценке хаотичности и регулярности движения зарядов здесь и далее использовались: вид траекторий, значение показателей Ляпунова (карты динамических режимов), вид спектров мощности.

При численном решении уравнений (3) использовался неявный метод Д. Потгера. Варьировались энергетические параметры (E0t,V0x,V0y), под ними имеются в виду амплитуда электрического поля и начальные скорости зарядов, а также частотные параметры (íí,<y ). Все расчёты здесь и далее проводились в системе безразмерных параметров, что позволяет не привязываться к частным режимам, выделять основные качественные эффекты, связанные с поведением фазовых переменных.

Расчеты показали, что варьируемые энергетические и частотные параметры оказывают существенное влияние на характер траекторий

зарядов и вид динамических карт: областей хаотических и регулярных траекторий, построенных по значениям показателей Ляпунова Я в плоскости варьируемых параметров. При этом здесь и далее на картах динамических режимов белый цвет соответствует регулярным траекториям (показатель Ляпунова меньше нуля), градации тёмного цвета от серого до чёрного соответствуют положительным значениям Л по мере роста его величины (характеризуют области хаотичности).

На рис. 1, 2 показаны типичные хаотические и регулярные траектории и соответствующие им спектры мощности. Видно, что в хаотическом режиме траектории зарядов, стартующих при практически совпадающих начальных условиях, с течением времени быстро расходятся, для них показатель Ляпунова положителен. Для регулярных траекторий незначительное изменение начальных условий не приводит к расхождению траекторий (показатель Ляпунова меньше нуля).

Рис i Типичные траектории зарядов • а) для области хаотических режимов (Fox = U со = 0.3; О - 0.3; Vox = 0, Vor - 3átt, Хо = 0; Yo = 0); б) для области устойчивых режимов (Fox = 1: со =0 3; Д = 0.3; Vox = 0; V0Y = 1.5лг Х0 = 0; У0 = 0)

■8000

к

VfVv

100 200

100

—I 400

асо-

аоо

-1— 100

200 300 б

400

" I &00

Рис ? Пример спектральных характеристик: а) для области хаотических режимов (Fox Щ со = 1; О = 7г, Vox ~ 0; Voy ~ я; Хо = 0; Yo = -ti); б) для области устойчивых режимов (Fox = 0 2; со = 1; íl= тг, Vox = 0; V0y = ir, Хо = 0; Yo = -л)

i vi t II IM ft Iк* % * * « « • » *» * Н

,» % r¡t * t * * i » % Л l>'¡» t < П ,» < <t * * ,11

-10* -íx Oic 5Я 10* Y

а б в

Рис. 3. Карты динамических режимов в плоскости различных параметров• а) в плоскости параметров Fox. Vox (со = 0 5; Ú = -2; Vor — 0; Xq = ж; Yo = л), б) в плоскости параметров Voy, Yo (Fox = 2; а> - 1 5, О = -2; Vox = 0, Хц = 0), в) в плоскости параметров Ü, со (Fox = 2 л; Vox = 0, Vor =0, Хо = л; Yo = л)

На рис. 3 показаны карты динамических режимов в плоскостях различных параметров, на рис. За для случая изменения энергетических параметров (амплитуда поля и скорости). Из рисунка видно, что при изменениях амплитуды поля Е0х и V0¡c имеются в основном области хаотичности. Области хаотичности и регулярности на рис. 36 имеют периодический характер, что связано с периодичностью изменения вдоль оси у электрического поля. Из рис. Зв видно, что при изменении частотных параметров области регулярности геометрически представляют собой лучи, исходящие из начала координат: если изменять частоты по закону, близкому Пака, степень хаотичности (или регулярности) не меняется. В целом имеет место определённая устойчивость формы областей хаотических и регулярных траекторий в плоскости энергетических параметров при изменении частотных и наоборот.

Y 2л-

2л X

а б

Рис. 4. Типичная траектория заряда: Fox = 1; а>= л/4, (2 = 0.5; Vox = 0, Vor = 0; Хо = я/2; Yo = -л/2; а = 05; At = 0.004 Тц (Гц-период циклотронной частоты, траектория рассчитывалась в течение 2000 периодов Тц)

(5)

Затем были рассмотрены особенности движения зарядов в скрещенных полях с учётом экспоненциально нарастающего магнитного поля:

П = О0еаМ

где IX - постоянный коэффициент, | г |= д/х2 + у2

На рис. 4а представлена х 5 типичная траектория заряда, исходящая из области минимума магнитного поля. Видно, что траектория имеет в начале хаотический характер, но по мере дрейфа в область сильного магнитного поля становится регулярной. На рис. 46 показан «хвост» траектории в увеличенном масштабе (показан на рис. 4а прямоугольником). Видно, что траектория носит регулярный циклоидальный характер. Эту закономерность подтверждает и расчёт показателей Ляпунова вдоль траектории (рис. 5), которые

вначале положительны, а затем становятся отрицательными.

Рис. 6 отражает поведение спектра Фурье при движении вдоль траектории. Видно, что с течением времени при достижении зарядом областей сильных магнитных полей спектр регуляризируется.

200

300

40р

Рис. 5. Изменение показателя Ляпунова вдоль траектории (параметры системы такие же, как и для рис 4, время / вдоль оси абсцисс указано в периодах циклотронной частоты)

1 2

40-60 --80

-1с0-

е 0

-зоЮ-

-90"

-120"

0

10

г

15

i " 20

25 30

i

35

40 í

а б

Рис. 6. Вид спектральных характеристик (параметры системы такие же, как и для рис. 4), а) при начальных условиях; б) после движения вдоль траектории на 1000 периодов циклотронной частоты

Рис 7. Вид фазовых траекторий и Фурье-спектра в случае однородного магнитного поля и электрического поля, изменяющегося согласно формуле (6) (Хц=0.5, Уо=0, Уох=УОУ=0, и0=1, П=1, га=10, гк=0.5)

тЛ

101о81>Ю

-10 -20. -30.

-50. -60. -70. -80. -90

05 1 1.5 2 2 5 3 3 5 4 45 5Г

Рис. 8 Вид фазовых траекторий и Фурье-спектра в случае радиалъно неоднородного магнитного поля и электрического поля, изменяющегося согласно формуле (6) (а = -0 2, Х0=О.5, У0=О, Уох=УоГ=0, и0=1. £2о=1, /-„=70, г*=0 5)

Далее проводился анализ траекторий в схеме, эквивалентной схеме магнетронного диода с тонким анодом {г°/ =20) с постоянным и

переменным анодным напряжением, однородным и радиально неоднородным магнитным полем.

Вначале рассматривались уравнения (2) при однородном магнитном поле и неоднородном электрическом поле в виде

Во_Ч*_

п

Соответствующие траектории зарядов и спектр мощности, представленные на рис. 7, свидетельствуют о регулярном режиме.

Если к вышеописанным условиям добавить меняющееся по радиусу постоянное магнитное поле в виде (5), траектории существенно хаотизируются. При этом степень хаотичности больше в случае отрицательного значения а (т.е. при уменьшении магнитного поля к аноду); см. рис. 8.

-10 -20. -30 -40 -50 -60 -70.

Ю1оВР(0

05

1 5 2 2 5 3 3 5 4 45 5 1

Рис. 9. Вид фазовых траекторий и Фурье-спектра при азимутальной неоднородности электрического поля (Х0=0 5, Уп=0, У0х=У0у=0, и0=1,£2=1, га=10, гк=0 5, /3= 15, А = 0.5)

Далее исследовалось влияние азимутальной неоднородности постоянного электрического поля в виде

С/„(1 + Асов ^/р)

4хг +у2ьА

(7)

при однородном магнитном поле.

Из рис. 9 видно, что в этом случае траектории зарядов и спектр мощности носят хаотический характер. На рис. 10 представлена соответствующая карта динамических режимов, показывающая, что области хаотических и регулярных режимов имеют также периодичность по азимуту.

На рис. 11 показано влияние переменного во

времени электрического Рис. 10. Внешний вид карт динамических режимов

поля. Для этого в формулу (6) добавлена зависимость от времени:

в случае азимутальной неоднородности электрического поля (Уох-Уоу=0, С/о~1, £2=1, г„=10, п=0.5)

Е, =-

4х2+уг 1гА

(8)

где со - частота возмущающего электрического поля и магнитное поле однородно.

X

-20 -30 -40, -50. -«0 -70 -80, -90

-10 0 5

10. .1011« КО

1.5 2 2.5 3 3 5 4 4 5 5

Рис. П. Вид фазовых траекторий и Фурье-спектра в случае переменного во времени электрического поля (Хо=2, Уо=0, Уох=Уог=0, 11о=1, ¿2=1, га=10, гк=0.5, й)= 0 1)

Видно, что траектория и спектр мощности, характерные для случая переменного электрического поля, свидетельствуют о хаотическом режиме.

В третьей главе проведено численное моделирование поведения заряженной частицы в магнитном поле ловушки открытого типа. Показана связь между временем удержания заряженной частицы в ловушке и степенью хаотичности её траектории. На основе исследования Фурье-спектров представлены области существования хаотических колебательных режимов. Построены карты динамических режимов в плоскостях фазовых переменных системы.

В декартовой трёхмерной системе координат (х, у, уравнения движения представляются в следующем виде:

Системе (9) соответствует фазовое пространство с переменными х, у, 2, Ух Уу=ф/Ш, Уг=<Ы&. Само магнитное поле в ловушках

х = 1(В,у-Ву2) т

т

■¿ = $-(Вух-Вху)

Ж '

т

(9)

Рис. 12. Постановка моделируемой задачи

открытого типа имеет трёхмерную пространственную структуру, типичные силовые линии которого и магнитная система, их формирующая, представлены на рис. 12. Выражения для магнитного поля, соответствующего рисунку, могут быть представлены следующим образом:

Вй,при lzl<za\ 151=Кш>"Ри /z/>z»;

Во -Во)^2

/

(B,Z) --atg л

CsinA-Jx2 +j>2

\

/

Л = я

где - координаты точки пространства, в которой рассчитывается

магнитное поле; za,zh - координаты начала и конца области «магнитного зеркала»; В0 - значение магнитного поля внутри ловушки; Вт„ - значение магнитного поля за пределами ловушки. Для численного решения поставленной задачи и определения величин фазовых переменных использовался метод Рунге-Кутга.

Была рассмотрена система со следующими параметрами: В0 -- 0.57л; Вт„ = 17л; продольный размер ловушки И = 0Лм. Начальные значения фазовых переменных соответствовали условиям инжекции заряженной частицы в центр магнитной ловушки под углом к линиям магнитного поля (Ха = 0.01,«; 70 = Z0 = Ом; Ух„ = -У] sin a; Vy0 = 0; Vz0 = \V\ eos а). Значения модуля вектора скорости заряженной частицы \V\ и угла между вектором скорости и линиями магнитного поля а варьировались. Соотношение — = 9.57 • 107, что соответствует иону водорода.

Типичный вид траекторий заряда представлен на рис. 13. В однородном магнитном поле заряд совершает движения по спирали с радиусом, равным ларморовскому радиусу заряженной частицы. В магнитных ловушках открытого типа магнитное поле неоднородно и возрастает по краям ловушки, в области так называемых магнитных зеркал. При попадании в область магнитных зеркал продольная скорость частицы уменьшается (за счёт увеличения перпендикулярной составляющей скорости) и частица либо отражается от магнитного зеркала и движется в обратном направлении, либо покидает магнитную ловушку.

Как показали численные расчеты, поведение заряженных частиц после отражения от краёв магнитной ловушки позволяет разделить их на два класса: движущихся по регулярной траектории и движущихся по хаотической траектории. Для регулярных частиц после отражения от магнитного зеркала характеристики .траектории (радиус орбиты и

т

траектория центра) практически не изменяются - частица продолжает движение по траектории с прежним ларморовским радиусом и вдоль прежней траектории центра (при длительном наблюдении имеет место медленное вращение центра спирали вокруг продольной оси магнитной ловушки). Согласно расчётам, регулярная частица не покидает магнитную ловушку на протяжении всего периода наблюдения, т.е. можно предполагать, что время удержания подобных частиц практически не ограничено. Для хаотических частиц характеристики траектории после отражения меняются непредсказуемо и существенно: ларморовский радиус частицы может увеличиться или уменьшиться в несколько раз и центр спирали может сместиться в произвольном направлении. Хаотичность заряженной частицы определяется уже на начальном этапе траектории и сохраняется во времени. Расчёты также показали, что время удержания частицы в ловушке зависит от степени хаотичности её движения, а именно - хаотически движущаяся заряженная частица достаточно быстро покидает магнитную ловушку.

х| х

в г

Рис 13. Типичные траектории зарядов для системы с магнитными зеркалами 2 м ±0.05: а) регулярные траектории (а = 45°;| V |= 10000,), б) регулярные траектории в увеличенном масштабе; в) хаотические траектории (а- 45°;| V |= 100000^; г) вид на хаотические траектории со стороны оси 02 (вОомь линий магнитного поля)

^м*

IV], ю5

» 40 90

ТО ВО во

Рис. 14. Зависимость времени удержания хаотически движущегося заряда в

магнитной ловушке от параметров инжекции: а) от модуля вектора скорости /К/; б) от угла а между вектором скорости и линиями магнитного поля

а б

Рис. 15. Зависимость степени хаотичности траекторий заряда от параметров инжещии: а) от модуля вектора скорости \У\; б) от угла а между вектором скорости и линиями магнитного пот

На рис. 14 показана зависимость времени удержания заряженной частицы в магнитной ловушке от параметров инжекции. Видно, что длительное удержание возможно лишь при небольших значениях модуля вектора скорости, при которых наблюдаются регулярные траектории. Согласно классическим работам (напр. Л.А. Арцимович), условием длительного удержания заряженной частицы в ловушке является:

8ша0>,/В0/5шх (11)

Рис. 146 подтверждает, что при выбранных параметрах подобным критическим значением является а0 ~ 45°.

Для оценки степени хаотичности траектории предложено использовать расчёт числа экстремумов N спектра мощности. Видно, что зависимость степени хаотичности от параметров инжекции (рис. 15) согласуется с зависимостью времени удержания от этих параметров, т.е. длительное удержание возможно только при регулярном спектре мощности траектории.

В четвёртой главе приводится описание возможностей программного обеспечения, разработанного в рамках диссертационной работы, а также особенности численного моделирования систем со скрещенными полями на персональных компьютерах.

Архитектура разработанного программного обеспечения имеет модульную структуру и позволяет адаптировать существующую программную среду при изменении задач исследования.

Далее в главе рассматриваются некоторые особенности численного моделирования систем со скрещенными полями. Например, при моделировании систем с сильными фокусирующими магнитными полями необходимо адаптировать вычислительную схему таким образом, чтобы при попадании заряда в область сильных магнитных полей изменялись параметры дискретизации.

Другой особенностью является оценка степени хаотичности траектории заряда в магнитных ловушках. Так как в данных системах инжекция зарядов происходит в центр ловушки, в область однородного магнитного поля, траектория на начальном этапе всегда будет регулярной, и традиционно используемый для оценки степени хаотичности расчет показателей Ляпунова не подходит. В работе для оценки степени хаотичности предложено использовать расчёт спектров мощности, где для расчета спектральных характеристик использовано изменение ларморовского радиуса частицы вдоль соответствующей оси координат.

В заключении подводится итог проделанной работы, формулируются результаты исследований и обосновываются перспективы использования разработанной модели для дальнейшего развития методов моделирования систем со скрещенными полями.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Предложены математические модели, рабочие алгоритмы и вычислительные схемы исследования хаотических и регулярных состояний систем «заряд в скрещенных полях» в условиях неоднородных нелинейных электрических и магнитных полей.

2. Показано, что в условиях переменного электрического поля степень хаотичности системы преимущественно зависит от соотношения частоты электрического поля и циклотронной частоты.

3. Показано, что существенное влияние на поведение электронных траекторий в скрещенных полях оказывает радиальная неоднородность магнитного поля, приводящая, в частности, к регуляризации траекторий заряда.

4. Показано, что в схеме магнетронного диода факторами, приводящими к хаотизации фазовых траекторий, являются: радиальная

неоднородность магнитного поля, азимутальная неоднородность электрического поля, переменное анодное напряжение.

5. Показано, что время удержания заряженной частицы в магнитной ловушке зависит от степени хаотичности траектории частицы, а именно большей хаотичности траектории соответствует меньшее время удержания.

6. Получены карты динамических режимов для систем со скрещенными электромагнитными полями в плоскости различных параметров, рассчитанные на основе показателей Ляпунова и Фурье-спектров.

7. Разработано программное обеспечение для моделирования и исследования систем со скрещенными электромагнитными полями. Реализация алгоритмов выполнена на языке С++.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Юдин А. В. Хаотическое поведение зарядов в скрещенных полях / В. Б. Байбурин, А. О. Мантуров, А. В. Юдин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2002. - Т. 10, №6. - С. 62-70.

2. Yudin А. V. The complex dynamics of electrons in crossed EM fields / V. B. Bayburin, А. O. Manturov, А. V. Yudin // Fourth IEEE International Vacuum Electron Source Conference: Proceedings of scientific conference, Saratov, Russia, July 15-19, 2002. - C. 350-352.

3. Юдин А. В. Влияние хаоса на время удержания заряженных частиц в магнитной ловушке / В. Б. Байбурин, А. В. Юдин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2005. - Т. 13, №1-2. - С. 38-46.

4. Юдин А. В. Критерии оценки степени хаотичности траектории заряда в магнитной ловушке / В. Б. Байбурин, А. В. Юдин // Вестник Саратовского государственного технического университета. - 2005. - №3. -С. 100-104.

Подписано в печать 2512.06 Формат 60x84 1/16

Бум. тип. Усл. печл. 1,16 Уч.-изд.л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 588 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77

Введение

1. Анализ моделей системы «заряд в скрещенных электрических и магнитных полях»

1.1. Математическая постановка исследовательской задачи

1.2. Нелинейная динамика одномерного уравнения возмущённого осциллятора.

1.3'. Модель заряда в условиях магнитного поля Земли

1.4. Экспериментальное наблюдение хаотической динамики заряженных частиц в электронных приборах.

1.5. Выводы.

2. Двухмерные модели заряженных частиц в условиях переменного и постоянного неоднородного электрического поля и постоянного неоднородного магнитного поля

2.1. Случай постоянного однородного магнитного поля и электрического поля, имеющего вид стоячей волны.

2.2. Система в условиях постоянного радиально неоднородного магнитного поля.

2.3. Поведение заряда в схеме, эквивалентной схеме магнетронного диода с тонким анодом.

2.4. Выводы

3. Трёхмерная модель заряженной частицы в магнитном поле ловушки открытого типа 41 3.1'. Постановка задачи и исходные положения.

3.2. Траектории заряженных частиц в магнитном поле ловушки открытого типа.

3.3. Связь времени удержания заряда в магнитной ловушке со степенью хаотичности его траектории

3.4. Динамические режимы в условиях магнитных полей ловушки открытого типа.

3.5. Об оценке степени хаотичности траектории заряда в магнитной ловушке

3.6. Выводы

4. Разработка программного обеспечения для численного моделирования систем со скрещенными электромагнитными полями

4.1. Особенности численного моделирования систем со скрещенными электромагнитными полями на персональных компьютерах

4.2. Архитектура и описание возможностей разработанного программного обеспечения.

4.3. Работа в программе и проведение исследований

Особенности движения зарядов в скрещенных электрических и магнитных полях являются предметом анализа во многих областях математической физики: физике замагниченной плазмы, астрофизике, теории электронных приборов и др. Характер траекторий заряженных частиц, по существу, определяет параметры (энергетические, шумовые и др.) многих устройств: приборов магнетронного типа, магнитных плазменных ловушек и др. В связи с этим особое значение приобретают малоисследованные задачи анализа условий возникновения хаотических режимов динамической системы «заряд в скрещенных электромагнитных полях». Решение таких задач, с одной стороны, как представляется, будет содействовать более глубокому пониманию механизма физических процессов в отмеченных выше устройствах, а с другой имеет самостоятельный интерес как малоизученный объект теории динамических систем.

Одной из типичных задач нелинейной динамики гамильтоновых систем в виде движущихся зарядов в скрещенных электрических и магнитных полях является определение областей хаотичности в пространстве параметров и фазовых переменных. В классических работах Г. М. Заславского и Р. 3. Сагдеева [31-33] уравнения движения сводились к одномерному уравнению возмущенного осциллятора. Однако в таком случае остается неясным характер «реальных» траекторий зарядов и вид областей хаотичности в пространстве измеряемых физических параметров (частота, амплитуда возмущающего поля, начальные скорости и др.).

В работах С. В. Поршнев [напр. 51] был проведён анализ траекторий зарядов в условиях магнитного поля Земли. Хаотические режимы рассмотрены в экспериментальных работах [В. Г. Усыченко: 60, 64, 65 и другие: 39]. Вместе с тем в данных работах отсутствуют сведения о поведении траекторий зарядов в скрещенных полях в условиях различных видов неоднородностей действующих полей и при изменении их параметров.

Кроме того, в настоящее время активно исследуется идея магнитного удержания плазмы в ловушках [5, 6, 63, 68 и др.], в первую очередь применительно к осуществлению управляемой реакции термоядерного синтеза [напр. 25]. Сложный характер переноса частиц и энергии, приводящий к уходу заряженных частиц на стенки камеры до сих пор мало изучен и затрудняет осуществление самоподдерживающейся термоядерной реакции. Для магнитного удержания плазмы применяют так называемые «магнитные ловушки», которые обычно разделяют на открытые, область удержания в которых ограничена в направлении силовых линий магнитного поля, и замкнутые - где область удержания имеет форму тора. Традиционные достоинства открытых ловушек - простота геометрии, возможность получения высокого давления плазмы в умеренном магнитном поле, стационарность и др. [58]. Это позволило проводить исследования коллективных свойств плазмы в магнитных ловушках открытого типа. Однако малоизученным остаётся характер отдельных траекторий заряженных частиц в условиях удерживающего магнитного поля.

Таким образом, актуальной задачей является описание областей хаотичности систем со скрещенными полями, основанное на расчете траекторий зарядов (в том числе трёхмерных), с учётом различного вида неоднородностей действующих полей и их параметров.

Целью данной диссертационной работы является развитие и совершенствование математических методов и принципов моделирования хаотического поведения гамильтоновых систем со скрещенными электрическими и магнитными полями. Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:

1. Создание математической модели анализа регулярных и хаотических режимов в скрещенных полях и выбор эффективных алгоритмов и вычислительных схем численного решения уравнений движения в скрещенных полях.

2. Разработка программного обеспечения для решения уравнений движения в системах со скрещенными электромагнитными полями на основе полученных моделей и развитых алгоритмов и вычислительных схем.

3. Применение разработанной математической модели при исследовании хаотических режимов, в частности для построения карт динамических режимов в исследуемых системах, спектров мощности, траекторий заряженных частиц, и оценки времени удержания заряженных частиц в магнитной ловушке.

Научная новизна:

1. Предложены математические модели исследования хаотических и регулярных состояний системы «заряд в скрещенных полях», основанные на двух- и трёхмерных уравнениях движения в условиях нелинейных неоднородностей действующих полей.

2. На основании предложенных моделей получены рабочие алгоритмы и вычислительные схемы с использованием неявного метода и метода Рунге-Кутта, позволяющие проводить анализ фазовых траекторий с учётом переменных и постоянных пространственно неоднородных магнитных и электрических полей.

3. С применением предложенных математических моделей и алгоритмов показано, что в условиях переменного электрического поля степень хаотичности системы преимущественно зависит от соотношения частоты электрического поля и циклотронной частоты.

4. Показано, что радиально неоднородное магнитное поле оказывает существенное влияние на поведение траекторий заряженных частиц в скрещенных полях, определяя, в частности, такую их особенность, как смена хаотического вида траекторий на регулярный.

5. Показано, что в схеме магнетронного диода факторами, приводящими к

• хаотизации фазовых траекторий, являются: радиальная неоднородность магнитного поля, азимутальная неоднородность электрического поля, переменное анодное напряжение.

6. Показано, что в магнитной ловушке открытого типа возникают хаотические колебательные процессы, характерной особенностью которых является изменение параметров хаотической траектории (ларморовский радиус и траектория центра) в момент отражения заряженной частицы от магнитного зеркала.

7. Установлено, что продолжительность удержания заряженной частицы в

• ловушке связана со степенью хаотичности траектории частицы, а именно большей хаотичности траектории соответствует меньшее время удержания, и, следовательно, регуляризация траекторий способна увеличить время удержания в магнитной ловушке.

8. Получены карты динамических режимов для систем со скрещенными электромагнитными полями в плоскости различных параметров (амплитуд переменных полей, частот, начальных скоростей и др.).

9. Разработано программное обеспечение, реализующее численный анализ предложенных моделей, и интерфейс пользователя и архитектура

• программы, позволяющие оперативный ввод новых типов неоднородностей и параметров, вывод на экран динамики движения зарядов, карт динамических режимов и т.д.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Предложенные модели и вычислительные схемы позволяют рассчитывать траектории заряженных частиц в условиях скрещенных электрических и магнитных полей различного вида (переменное электрическое поле, радиально изменяющееся магнитное поле, поля магнитных ловушек открытого типа) и проводить анализ полученных траекторий различными методами (расчёт ляпуновских показателей, спектров мощности, построение карт динамических режимов и др.).

2. Введение радиально возрастающего магнитного поля приводит к регуляризации траектории при попадании заряда в область сильных магнитных полей.

3. Время нахождения заряженной частицы в магнитной ловушке открытого типа зависит от степени хаотичности траектории частицы, а именно с увеличением степени хаотичности уменьшается время удержания частицы.

4. Полученные карты динамических режимов описывают зависимость режима функционирования системы от начальных условий и параметров действующих полей (амплитуды и частоты переменного электрического поля, величины магнитного поля, характера неоднородностей и пр.).

Достоверность и обоснованность полученных результатов определяется:

1. Корректностью и строгостью применяемых математических методов, предварительной оценкой допускаемых приближений и погрешностей и их физическим обоснованием.

2. Соответствием основных результатов и выводов экспериментальным данным и общефизическим представлениям о характере процессов в

• системах со скрещенными электромагнитными полями.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в следующем:

1. На основе предложенных в диссертации моделей разработано

• программное обеспечение, предназначенное для решения задач анализа хаотических режимов в системах со скрещенными электромагнитными полями, включая, в частности, построение карт динамических режимов, спектров мощности и др.

2. Получены практические рекомендации по определению зависимости степени хаотичности систем со скрещенными электромагнитными полями от начальных условий и управляющих параметров.

3. Разработана модульная архитектура программного обеспечения, позволяющая адаптировать существующую программную среду при

• модификации исследовательских задач.

Краткое содержание и структура работы

Диссертация построена следующим образом. В главе 1 проведён анализ существующих моделей системы «заряд в скрещенных электрических и магнитных полях», сформулирована математическая постановка задачи.

В главе 2 проведены исследования поведения зарядов при пространственно однородном магнитном поле и переменном электрическом поле;радиально изменяющемся магнитном поле; неоднородном в пространстве (рассмотрены радиальная и фазовая неоднородности) электрическом поле в схеме магнетронного диода.

В главе 3 проведено численное моделирование поведения заряженной частицы в магнитном поле ловушки открытого типа. Показана связь между временем удержания заряженной частицы в ловушке и степенью хаотичности её траектории. На основе исследования Фурье-спектров представлены области существования хаотических колебательных режимов. Построены карты динамических режимов в плоскостях фазовых переменных системы.

В главе 4 приводится описание возможностей программного обеспечения, разработанного в рамках диссертационной работы, а также особенности численного моделирования систем со скрещенными полями на персональных компьютерах.

В конце диссертации приведено заключение и список использованной литературы.

Доклады и публикации

Основные положения и результаты диссертационного исследования опубликованы в 4-х печатных работах [73-75, 80] (3 статьи в центральных изданиях, 1 текст доклада). Также по материалам диссертации сделаны доклады на 2-х конференциях:

- Доклад «The complex dynamics of electrons in crossed EM fields» // Fourth • IEEE International Vacuum Electron Source Conference - Saratov, Russia,

July 15-19, 2002 (совместно с А. О. Мантуровым);

- Доклад «Хаотические траектории зарядов в магнитных ловушках открытого типа» // XIII Зимняя школа-семинар по СВЧ-электронике и радиофизике - Саратов: СГУ, 31 января - 5 февраля, 2006.

Заключение

Таким образом, в результате проделанной работы, были получены математические модели детерминированного хаоса в скрещенных электрических и магнитных полях с учётом точного вычисления законов изменения координат частицы во времени и, как следствие, с возможностью детального описания особенностей движения заряженных частиц в исследованных системах.

Основными результатами диссертационной работы можно назвать следующие:

1. Предложены математические модели, рабочие алгоритмы и вычислительные схемы исследования хаотических и регулярных состояний систем «заряд в скрещенных полях» в условиях неоднородных нелинейных электрических и магнитных полей.

2. Показано, что в условиях переменного электрического поля степень хаотичности системы преимущественно зависит от соотношения частоты электрического поля и циклотронной частоты.

3. Показано, что существенное влияние на поведение траекторий заряженных частиц в скрещенных полях оказывает радиальная неоднородность магнитного поля, приводящая, в частности, к регуляризации траекторий заряда.

4. Показано, что в схеме магнетронного диода факторами, приводящими к хаотизации фазовых траекторий, являются: радиальная неоднородность

• магнитного поля, азимутальная неоднородность электрического поля, переменное анодное напряжение.

5. Показано, что время удержания заряженной частицы в магнитной ловушке зависит от степени хаотичности траектории частицы, а именно большей хаотичности траектории соответствует меньшее время удержания.

6. Получены карты динамических режимов для систем со скрещенными ' электромагнитными полями в плоскости различных параметров, рассчитанные на основе показателей Ляпунова и Фурье-спектров.

7. Разработано программное обеспечение для моделирования и исследования систем со скрещенными электромагнитными полями. Реализация алгоритмов выполнена на языке С++.

1. Анищенко В. С. Детерминированный хаос // Соросовский образовательный журнал. 1997. - №7. - С. 70-76.

2. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000.

3. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

4. Арнольд В. И. // Доклады АН СССР. 1962. - Т. 142. - С. 758.

5. Арцимович Л. А. Элементарная физика плазмы. М.: Атомиздат, 1969.

6. Арцимович Л. А., Сагдеев Р. 3. Физика плазмы для физиков. М.: Атомиздат, 1979.

7. Арцимович Л. А., Лукьянов С. Ю. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. М.: Наука, 1978.

8. Байбурин В. Б. Трёхмерное решение задачи о потенциале электронных сгустков в скрещенных полях // Радиотехника и электроника. 1984. - Т. 29,№4.-С. 751.

9. Байбурин В. Б., Терентьев А. А., Гаврилов М. В., Поваров А. Б. Трехмерные цилиндрические уравнения движения электронов в неоднородных скрещенных полях // Радиотехника и электроника. 2000. -Т. 45, №4.

10. Байбурин В. Б., Терентьев А. А. и др. «Нулевой» ток в риборах М-типа и самоподдерживающие электронные сгустки // Письма в ЖТФ. 1998. - Т. 24,№ 12.-С. 57-62.

11. Байбурин В. Б., Собалев Г. JI. К анализу нелинейного режима плоского многорезонаторного электрона с учётом пространственного заряда // Радиотехника и электроника. 1967. -№3.

12. Белащенко Д. К. Компьютерное моделирование некристаллических веществ методом молекулярной динамики // Соросовский образовательный журнал. 2001. - Т. 7, №8. - С. 44-50.

13. Берлин А. А., Балабаев Н. К. Имитация свойств твёрдых тел и жидкостей методами компьютерного моделирования // Соросовский образовательный журнал. 1997. - №11. - С. 85-92.

14. Берман Г. П., Коловский А. Р. Квантовый хаос при взаимодействии многоуровневых квантовых систем с полем когерентного излучения // Успехи физических наук. 1992. - Т. 162, №4. - С. 95-141.

15. Блевайс И.М., Моносов Г.Г., Соминский Г.Г., Хомич P.A. // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. 1984. - №4. - С. 3.

16. Блевайс И. М. и др. Программа анализа и оптимизации магнитных систем // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. 1986. -№1. - С. 71.

17. Богданкевич И. Л., Рухадзе А. А., Тараканов В. П. О проявлении нелинейности плазмы в плазменном релятивистском черенковском генераторе на кабельной волне // Прикладная физика. 2002. - №2. - С. 512.

18. Бойко В.И. Управляемый термоядерный синтез и проблемы инерциального термоядерного синтеза // Соросовский образовательный журнал. 1999. -№6.-С. 97-104.

19. Болотовский Б. М., Серов А. В. Особенности движения частиц в электромагнитной волне // Успехи физических наук. 2003. - Т. 173, №6. -С. 667-678.

20. Бондарцов Г. И., Соминский Г. Г. Исследование аксиальных колебаний пространственного заряда в усилителе со скрещенными полями // ЖТФ. -1975. Т. 45, №8. - С. 1664-1668.

21. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Издание переработанное под ред. Гроше Г.; Циглера В. / Пер. с немецкого. - М.: Наука, 1980. - 976 с.

22. Вайнштейн Л. А., Солнцев В. А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике, М.: Советское радио, 1973.

23. Власов В. П., Трубников Б. А. О квазиустойчивости бицилиндра плазмы // Журнал технической физики. 2003. - Т. 73, №7. - С. 59-66.

24. Воронов Г. С. Штурм термоядерной крепости. М.: Наука, 1985. - 191 с.

25. Галаган А.В. // Радиотехника, Изд. «Выща школа», Харьков. 1989. - Т. 88.-С. 120.

26. Галеев А. А., Сагдеев Р. 3., О предельном давлении плазмы в токамаке // Письма в ЖЭТФ,-1971.-Т. 13.-С. 162-163.

27. Дегтярев Л. М. Численное моделирование двухмерной ленгмюровской турбулентности / Л. М. Дегтярев, И. М. Ибрагимов, Р. 3. Сагдеев и др. // Письма в ЖЭТФ. 1984. - Т. 40, № 11. - С. 455-459.

28. Джашитов А. Э., Джашитов В. Э., Панкратов В. М., Чеботаревский Ю. В. Хаотическая динамика периодически возбуждаемого математического маятника. Саратов: СГТУ, 1998.

29. Дыхне А. М., Снарский А. А., Женировский М. И. Устойчивость и хаос в двумерных случайно-неоднородных средах и ЬС-цепочках // Успехи физических наук. 2004. - Т. 174, №8. - С. 887-894.

30. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988.

31. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3., Усиков Д. А., Черников А. А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991. - 237 с.

32. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3., Усиков Д. А., Черников А. А. Минимальный хаос, стохастическая паутина и структуры с симметрией типа «квазикристалл» // Успехи физических наук. 1988. - Т. 156, №2. - С. 193-251.

33. Заславский Г. М., Моисеев С. С., Сагдеев Р. 3., Черников А. А. Излучение захваченных частиц в магнитном поле // Письма в ЖЭТФ. 1986. - Т. 43, №1.-С. 18-21.

34. Заславский Г. М., Чириков Б. В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний // Успехи физических наук. 1971. - Т. 105, №1. -С. 3-39.

35. Заславский Г. М., Натензон М. Я., Петровичев Б. А., Сагдеев Р. 3., Черников А. А. // ЖЭТФ. 1987. - Т. 93. - С. 881.

36. Зеленский К. X., Игнатенко В. Н., Коц А. П. Компьютерные методы прикладной матаматики. Киев.: Дизайн-В, 1999. - 352 с.

37. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, Ф-МЛ, 1976. -238 с.

38. Кальянов Э. В. Хаотизация колебаний в митроне // Письма в ЖТФ. 2005. -Т. 31,№6.-С. 79-83.

39. Капица П. Л. Электроника больших мощностей. М.: Изд-во Академии наук СССР, 1962.,-196 с.

40. Карлов Н. В., Кириченко Н. А. Колебания, волны, структуры. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 496 с.

41. Каррерас Б. А., Ньюман Д., Линч В. Е., Даймонд П. X. Самоорганизованная критичность как парадигма для процесса переноса в плазме, удерживаемой магнитным полем // Физика плазмы. 1996. - Т. 22, №9. - С. 819-833.

42. Кингсеп А. С. Введение в нелинейную физику плазмы. М.: МФТИ, 1996.

43. Кингсеп А. С. Плазма как объект физических исследований // Соросовский образовательный журнал. 1996. - Т. 1, №2. - С. 98-104.

44. Климов О. В., Тельнихин А. А. Стохастический нагрев в плазменно-пучковой системе // Журнал технической физики. 1998. - Т. 68, №11. - С. 52-56.

45. Крюков С. В. Проект ИТЭР: Физическое обоснование и концепция // Атом, техника за рубежом. 1996.-№3.-С. 3-10.

46. Ленерт Б. Динамика заряженных частиц; пер. с англ. М.: Атомиздат, 1967.

47. Леонтович М. А., Кадомцев Б. Б. Вопросы теории плазмы. М.: Энергоиздат, 1982.

48. Мун Ф. Хаотические колебания: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. - 312 с.

49. Писаренко В.М., Шадрин A.A. // Радиотехника, Изд. «Выща школа», Харьков. 1985. - Т. 75. - С. 71.

50. Поршнев С. В. Динамическая неустойчивость движения заряженных частиц в постоянном неоднородном магнитном поле // Журнал радиоэлектроники, №11, 2000.

51. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975.

52. Пригожин И. Введение в термодинамику необратимых процессов. М.: Ижевск: РХД. - 2001. 160 с.

53. Родионов М. С. // Атомная энергия. 1959. - Т. 6. - С. 623.

54. Рожанский В. А. Удержание плазмы в магнитных ловушках // Соросовский образовательный журнал. 2000. - Т. 6, №10. - С. 80-86.

55. Рожанский В. А. Эволюция плазменных облаков в ионосфере // Соросовский образовательный журнал. 2001. - Т. 7, №9. - С. 109-114.

56. Романов П.В., Рошаль A.C., Галимулин В.Н. // Изв. ВУЗов. Радиофизика. -1970.-Т. 13, №10.-С. 1554.

57. Рютов Д. Д. Открытые ловушки // Успехи физических наук. 1988. - Т. 154,№4.-С. 565-614.

58. Сагдеев Р. 3., Шапиро В. Д., Влияние поперечного магнитного поля на затухание Ландау // Письма в ЖЭТФ. 1973. - Т. 17, №7. - С. 389-394.

59. Смирнов А. В., Усыченко В. Г. Возникновение хаоса и избыточного шума в магнетроне // Радиотехника и электроника. 1988. - Т. 33, №4. - С. 883.

60. Тарасов В. Е. Ходжаев К. Ш., Чирков А. Г. Каноническая форма усредненных уравнений движения заряженной частицы при наложении поля электромагнитной волны на слабонеоднородное магнитное поле // Физика твёрдого тела. 2002. - Т. 44, №1. - С. 6-8.

61. Терентьев А. А., Ильин Е. М., Байбурин В. Б. Многопериодная численная модель усилителей М-типа с распределённой эмиссией // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1986. - Т. 9, №10. - С. 72-79.

62. Трубников Б. А. Теория плазмы. М.: Наука, 1989. - 465 с.

63. Усыченко В. Г. Самоорганизация электронов в электронных приборах // Журнал технической физики. 2004. - Т. 74, №11. - С. 38-46

64. Усыченко В. Г. Самоорганизация электронов в электронных приборах в свете принципов механики и термодинамики // Журнал технической физики. 2006. - Т. 76, №4. - С. 17-25.

65. Филиппов М. М. // Изв. вузов. Радиофизика. 1958. - Т. 1, №3. - С. 143146.

66. Хвесюк В. И. Классические предельные значения производства энергии в плазме D-3He амбиполярного реактора / В. И. Хвесюк, Н. В. Шабров, Д. В. Семенов, А. Н. Ляхов // Журнал технической физики. 1998. - Т. 68, №7. -С. 37-43.

67. Чен Ф. Введение в физику плазмы. М.: Мир, 1987. - 299 с.

68. Чириков Б. В. // Вопросы теории плазмы. М.: Энергоатомиздат. - 1983. -Т. 13.-С. 3.

69. Шевчик В.Н., Шведов Г.Н., Соболева A.B. Волновые и колебательные явления в электронных потоках на сверхвысоких частотах. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1962. - 336 с.

70. Ширшин С. И., Байбурин В. Б. Анализ и моделирование динамического режима многорезонаторного магнетрона // Радиотехника и электроника. -1976.-Т. 21.

71. Шустер Г. Детерминированный хаос. М.: Мир, 1988.

72. Юдин А. В. Влияние хаоса на время удержания заряженных частиц в магнитной ловушке / В. Б. Байбурин, А. В. Юдин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2005. - Т. 13, №1-2. - С. 38-46.

73. Юдин А. В. Критерии оценки степени хаотичности траектории заряда в магнитной ловушке / В. Б. Байбурин, А. В. Юдин // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2005. - №3. - С. 100-104.

74. Юдин А. В. Хаотическое поведение зарядов в скрещенных полях / В. Б. Байбурин, А. О. Мантуров, А. В. Юдин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. - Т. 10, №6. - С. 62-70.

75. Afraimovich V., Zaslavsky G. М. Fractal and multifractal properties of exit times and Poincare recurrences // Physical Review E. 1997. - Vol. 55. №5.

76. Lorenz E. N. // J. Atmos. Sci. 1963. - V. 20. - P. 130-141.

77. Marcus M. // Computers in Physics. 1980, - Sept.-Oct. - P.481.

78. Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D. 1985. - Vol. 16. - P. 285.