автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование регулярных и хаотических траекторий в магнетронном диоде

На правах рукописи

Хороводова Наталия Юрьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ ТРАЕКТОРИЙ В МАГНЕТРОННОМ ДИОДЕ

Специальность 05 13 18-Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

003163785

Саратов 2007

003163785

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор

Байбурин Вил Бариевич

Официальные оппоненты, доктор технических наук, профессор

Фурсаев Михаил Александрович

доктор физико-математических наук Якунин Александр Николаевич

Ведущая организация ФГУП «НЛП «Контакт», г Саратов

Защита состоится 26 декабря 2007 г в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212 242 08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу 410054, г Саратов, ул Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп 1, ауд 319

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет»

Автореферат разослан «Х^Э» ноября 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

2- 7 ^ ТерентьевАА

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В последние годы наблюдается интенсивное проникновение представлений и методов нелинейной динамики при исследовании нелинейных систем и процессов различной природы в механике, радиофизике, электронике, медицине, экономике и др При этом выявляется ранее остававшийся в тени ряд новых характерных эффектов, например, появление хаотических режимов

Весьма важными в теоретическом и практическом отношении являются динамические системы, основанные на электромагнитном взаимодействии заряженных частиц, движущихся в скрещенных полях (электрическом и магнитном) Как правило, изучение подобных систем начинается с некоторых базовых моделей

Так, в классических работах ГМ Заславского, РЗ Сагдеева при изучении состояний заряда в скрещенных полях используется одномерная модель возмущенного линейного осциллятора, что не позволяет, в частности, рассчитывать траектории движения зарядов.

Если иметь в виду разнообразные модификации СВЧ генераторов и усилителей магнетронного типа, то в этой области в качестве исходной базовой модели может быть выбран неразрезной магнетронный диод, отличающийся, несмотря на простоту конструкции, богатым физическим содержанием

Экспериментальные исследования режимов работы приборов со скрещенными полями (В Г Усыченко, Э В Кальянов и др) показали хаотическую природу возникающих в пространстве взаимодействия шумовых колебаний.

В работах А В. Агафонова, В.П Тараканова, В М. Федорова турбулентные свойства электронных потоков в магнетронном диоде связываются с эмиссионными способностями катода

В работах В Б Байбурина, А В Юдина, А О. Мантурова проведён анализ хаотических траекторий в скрещенных полях при наличии ВЧ полей, а также в устройствах типа магнитных ловушек

Вместе с тем общая картина возникновения и существования хаотических и регулярных режимов в магнетронных приборах далека от завершения В частности, целесообразно при оценках хаотичности использовать такие объективные критерии нелинейной динамики, как показатель Ляпунова, спектры мощности, карты динамических режимов и тд

Изложенное определило актуальность диссертационной работы Целью диссертационной работы является создание математической модели движения заряженных частиц в схеме магнетронного диода с возможностью учета азимутально-неоднородных электрических и магнитных полей, кулоновских полей, а также анализ

хаотических и регулярных режимов с применением методов нелинейной динамики

Для достижения поставленной дели были сформулированы следующие основные задачи.

1. Построить математическую модель движения заряженных частиц в схеме магнетронного диода

2 Выбрать эффективные методы исследования траекторий движения, создать соответствующие алгоритмы и вычислительные схемы численного решения уравнений движения

3 Разработать программное обеспечение, реализующее основные модельные соотношения

4 Применить созданные математические модели и программное обеспечение при исследовании режимов движения заряженных частиц

Достоверность и обоснованность полученных результатов определяется корректностью и строгостью применяемых математических методов, соответствием основных результатов и выводов экспериментальным данным и общефизическим представлениям о характере процессов в системах со скрещенными электромагнитными полями

Научная новизна работы:

1. Предложены и численно исследованы математические модели, позволяющие описывать траектории движения заряженных частиц в условиях нелинейных неоднородных электрического и магнитного полей, с учетом сил кулоновского взаимодействия

2. На основании численного исследования показана неустойчивость траекторий движения заряженных частиц в статическом режиме и в режиме циклотронных колебаний неразрезного магнетронного диода.

3 Исследованы регулярные и хаотические режимы в условиях постоянных азимутально-неоднородного магнитного поля и радиального эчектрического поля, получены траектории движения зарядов, соответствующие спектры мощности, карты динамических режимов Показано, что хаотические режимы характерны для динамики зарядов, стартующих из области слабого магнитного поля, режимы, близкие к регулярным, характерны для зарядов, стартующих из области сильного магнитного поля

4 Рассмотрены хаотические режимы движения заряженных частиц в условиях постоянных однородного магнитного поля и азимутально-неоднородного электрического поля На основании рассчитанных траекторий, показателей Ляпунова, спектров мощности установлено усиление хаотичности движения с увеличением числа периодов азимутального изменения электрического поля

5 Исследовано влияние поля пространственного заряда на устойчивость траекторий движения заряженных частиц в магнетронном

диоде Установлено, что наибольшая устойчивость движения в статическом режиме наблюдается при ограничении эмиссии пространственным зарядом

6 Построены траектории движения взаимодействующих по закону Кулона двух и трёх одиночных зарядов в скрещенных полях На основании рассчитанных показателей Ляпунова показано усиление неустойчивости траекторий движения взаимодействующих заряженных частиц по мере сближения их стартового положения.

7. Показано, что введение радиально-неоднородного магнитного поля регуляризирует хаотические траектории взаимодействующих по закону Кулона одиночных зарядов

8 Подтверждены численными расчетами траекторий зарядов малые нерезонансные осцилляции, предсказанные приближенными аналитическими методами в работах Л А Вайнштейна, ДЕ Вакмана эллиптичность основной орбиты, медленное изменение размеров орбиты, наличие эпициклов, дополнительный дрейф центра основной орбиты из-за нелинейности поля

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1 Предложенная математическая модель движения заряженных частиц в схеме магнетронного диода и разработанное на ее основе программное обеспечение позволяют рассчитывать траектории движения в условиях неоднородных электрических и магнитных полей различного вида (радиально- и азимутально-неоднородное электрическое поле, азимутально-неоднородное магнитное поле), с учетом кулоновского взаимодействия и анализировать полученные траектории различными методами (вычисление показателей Ляпунова, спектров мощности, построение карт динамических режимов).

2 В режиме циклотронных колебаний неразрезного магнетронного диода имеют место неустойчивость траекторий движения заряженных частиц и радиальная неоднородность плотности пространственного заряда

3 В условиях постоянных азимутально-неоднородного магнитного поля и радиального электрического поля движение зарядов, стартующих из области слабого магнитного поля, происходит по хаотическим траекториям.

4. В условиях постоянных азимутально-неоднородного электрического поля и однородного магнитного поля хаотичность траекторий движения заряженных частиц усиливается с увеличением числа периодов изменения электрического поля по азимуту

5 Неустойчивость траекторий движения взаимодействующих по закону Кулона двух и трёх одиночных взаимодействующих зарядов определяется их взаимным стартовым положением Введение радиально-возрастающего магнитного поля регуляризирует первоначально хаотические траектории движения взаимодействующих зарядов.

6 Рассчитанные показатели Ляпунова и спектры мощности отражают зависимость реализуемых в модели режимов от начальных условий и параметров действующих электрических и магнитных полей

Практическая значимость диссертационной работы заключается в следующем-

1 Результаты исследований позволили выявить ряд особенностей сложной динамики в скрещенных полях, углубляющих представления о влиянии неоднородных электрических и магнитных полей на траектории движения заряженных частиц, важные для инженеров-разработчиков.

2 Обнаруженные режимы хаотических траекторий движения зарядов могут служить основой для понимания природы шумов в магнетронных приборах.

3 На основе предложенных в работе математических моделей разработано программное обеспечение, предназначенное для анализа особенностей движения заряженных частиц в схеме магнетронного диода

Апробация работы. Материалы, изложенные в работе, докладывались на следующих конференциях. Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Саратов, 2006), VIII Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2006), Четвертой международной научно-технической конференции «Радиотехника и связь» (Саратов, 2007); на заседаниях кафедры «Программное обеспечение вычислительной техники и автоматизированных систем» Саратовского государственного технического университета.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 6 печатных работах (трёх статьях и трудах трёх конференций), список которых приведен в конце автореферата.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка использованной литературы

Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, определяются новизна и практическая значимость работы, перечисляются положения, выносимые на защиту

Первая глава диссертации посвящена анализу динамических систем, основанных на электромагнитном взаимодействии заряженных частиц, движущихся в скрещенных электрическом и магнитном полях Рассматриваются математические модели детерминированного хаоса в скрещенных электрическом и магнитном полях, результаты экспериментальных исследований сложной динамики и хаотических режимов работы приборов со скрещенными полями

В первой главе сформулирована математическая постановка задачи Исследуемая в работе модель движения заряженных частиц в схеме магнетронного диода основывается на уравнении движения зарядов в скрещенных полях

= + (1)

где V - вектор скорости, Ё,В - векторы электрического и магнитного

полей, т} = ~ - отношение заряда частицы к его массе т

Как известно, строгое аналитическое решение уравнения (1), в частности для цилиндрических конструкций, не получено В связи с этим представляет интерес нахождение численных решений уравнения движения с учетом неоднородных электрических и магнитных полей различного вида, а также их анализ с применением методов нелинейной динамики

Во второй главе предложена математическая модель движения зарядов в схеме магнетронного диода, представлены методы нелинейной динамики, используемые при анализе траекторий движения Приводится описание основных особенностей и возможностей разработанного на основе представленной модели программного обеспечения, позволяющего решать поставленные исследовательские задачи

Для определения траекторий движения заряженных частиц в пространстве взаимодействия магнетронного диода использованы уоавнения, записанные для декартовой системы координат

х = г)Е, + т)Ву,

(2)

У = г)Еу-щВх, 4 '

где Ех, Еу - составляющие электрического поля Е, В - статическое магнитное поле

С учетом новых обозначений ух=х,уу=у и введенной циклотронной частоты 0. = ф система уравнений (2) может быть преобразована в систему уравнений первого порядка

Гх = 7х, У У,,

Уу = г]Еу

На основе неявного метода, изложенного, в частности, в работах Д Поттера, были получены численные решения системы уравнений (3) Расчеты проводились в системе безразмерных параметров по следующей методике в исходные уравнения движения последовательно вводились выражения для неоднородных в пространстве и переменных во времени электрических полей, неоднородных магнитных полей, рассчитывались

траектории движения зарядов в условиях заданных полей. Для исследования особенностей движения заряженных частиц использовались вид траекторий, расчёт спектров мощности и показателей Ляпунова.

Во второй главе также представлены результаты численного моделирования движения заряженных частиц в статическом режиме неразрезного магнетронного диода, а также с учётом высокочастотного электрического поля в режиме циклотронных колебаний.

Для статического режима рассматривалось движение зарядов в условиях постоянного однородного магнитного поля (Q = const) и постоянного радиального электрического поля следующего вида:

rln(% (4)

П

где га, гк - радиусы анода и катода соответственно, Uo - потенциал анода.

В этом случае движение зарядов происходит по типичной эпициклоидальной траектории. Расчёты показателей Ляпунова и спектров мощности показали, что с увеличением анодного напряжения Uo степень неустойчивости траекторий возрастает.

Далее рассматривалось влияние высокочастотного электрического поля на характер движения зарядов в режиме циклотронных колебаний. В этом случае электрическое поле, действующее на заряд, определялось согласно выражению вида

Е = Er + Е, sin cot, (5)

где со — частота переменного электрического поля.

Расчёт траекторий движения показал: заряды, покидающие катод при ускоряющих фазах переменного поля, в течение первого полупериода попадают на анод либо в течение первого периода возвращаются на катод.

а б

Рис. 1. Вид а) траекторий движения в случае переменного электрического поля, определяемого согласно формуле (5), и однородного магнитного поля (Хо=0.5, Уо=0,Ухо=Ууо=0, и0=2, £,=0.2, П=0.42, со = £2, (©?)„=л, га=10, гк=1); б) распределения зарядов в пространстве взаимодействия при однородной стационарной эмиссии с катода

Движение зарядов, стартующих при тормозящих фазах переменного поля, оказывается более длительным, соответствующая траектория движения показана на рис. 1 а (здесь и далее на изображениях траекторий разными типами линий показаны траектории, рассчитанные при незначительном смещении начальных условий). Расчёты показателей Ляпунова и спектров мощности показали неустойчивость такого движения. На рис. 1 б показано радиально-неоднородное распределение зарядов, движение которых начинается в различных фазах высокочастотного поля, в фиксированный момент времени при однородной стационарной эмиссии с катода.

В третьей главе проведены численные исследования уравнений движения заряженных частиц (3), для которых учитывались азимутальные неоднородности действующих электрического и магнитного полей.

Вначале проводился анализ движения зарядов в условиях постоянного радиального электрического поля, определяемого согласно формуле (4), и азимутально-неоднородного магнитного поля вида .

О = П0 +ДС2зт(Ър). (6)

На рис. 2 показаны рассчитанные траектории и соответствующие им спектры мощности, отражающие зависимость реализуемых режимов движения от периодичности изменения азимутального магнитного поля.

а б

Рис. 2. Вид траекторий движения и спектров мощности в случае постоянных радиального электрического поля и азимутального магнитного поля (\'11о=Ууо=0, ио=1, По=1, ДП=0.3, *=2, га= 10, Гк=0.5): а) Х0=О.353, У0=0.353, б) Х0=-0.353, У0=О.353

Траектории движения и спектр мощности зарядов, стартующих из области сильного магнитного поля, свидетельствуют о режимах, близких к регулярным (рис. 2 а). Хаотический режим движения наблюдается для зарядов, стартующих из области слабого магнитного поля (рис. 2 б): незначительное изменение начальных условий приводит к быстрому расхождению первоначально близких траекторий (рассчитанный для таких траекторий показатель Ляпунова имеет положительные значения).

Хаотические режимы движения были определены и для случая постоянных однородного магнитного поля Q = const и азимутально-неоднородного электрического поля следующего вида

_ U0 + kUsm{k<p)

' (7)

h

Результаты моделирования, представленные на рис. 3 а, показали, что вводимая в рассмотрение азимутальная добавка ts.Usm{kcp) существенно дестабилизирует траектории движения зарядов.

Рис. 3. Вид траекторий движения и спектров мощности в случае постоянных однородного магнитного поля и азимутального электрического поля, изменяющегося согласно формуле (7), (Х0=0.5, У0=0, Ух0=Уу0=0, и0=1, Ди=0.3, П=1, г.=10, гк=0.5): а) к=8, б) к=2

При этом было установлено, что с увеличением числа периодов к азимутального изменения электрического поля степень хаотичности

системы возрастает. При больших значениях к спектр мощности имеет более сложный вид по сравнению со спектрами, рассчитанными для малого числа периодов изменения электрического поля (пример рис. 3 б).

В третьей главе также представлены результаты численного исследования влияния поля пространственного заряда на характер движения заряженных частиц. Решение для потенциала пространственного заряда находилось из одномерного уравнения Пуассона:

1 в? ( <1иЛ

г с1г у с1г ) ^

(8)

со следующими граничными условиями

и(г1) = к(го) = 0. (9)

Для поля пространственного заряда было получено выражение вида:

Е' =-р

4г1п| —

(10)

Принималось, что заряды полностью заполняют пространство «катод-анод». Значение плотности пространственного заряда р считалось постоянным. Для случая ограничения эмиссии пространственным зарядом р определялось из условия

Е+Е?=0 при г = г„. (11)

На рис. 4 представлено распределение рассчитанного поля пространственного заряда Е°, электрического поля магнетронного диода Е и суммарного поля Етт, действующего на заряд.

Е5ит Е®

а б

Рис. 4. Распределение поля пространственного заряда, электрического поля и с^имарного поля при 6*0=2, га=Ю, />=0.5: а) р= -0.08, б)р- -0.04

На рис. 5 показаны траектории движения, рассчитанные для различных величин магнитного поля: при слабых магнитных полях траектории зарядов радиальны, при возрастании магнитного поля траектории искривляются и приобретают близкий к бриллуеновскому спиралеобразный вид с увеличивающимся углом закручивания (рис. 5 а, б), при значениях магнитной индукции, превышающих критическое значение, траектории имеют вид, представленный на рис. 5 в.

а б в

Рис. 5. Вид траекторий движения с учётом поля пространственного заряда (Ухо=Ууо=0, и0=2, р= -0.08, г,= 10, гк=0.5): а) 1 - П=0, 2 - П=0.2, 3 - П=0.32, б) П=0.4, в) 0=0.5

Анализ устойчивости траекторий движения показал, что наибольшая устойчивость движения (пример траектории на рис. 6а) имеет место в режиме, когда электрическое поле на катоде полностью компенсируется полем пространственного заряда (так называемый режим ограничения эмиссии). Данный факт устойчивости объясняется характером изменения действующего на заряд суммарного электрического поля Е5ит, близким к

Рис. 6. Вид траекторий движения для различных плотностей пространственного заряда (Х0=0.5, У0=0, Ух0=Уу0=0, и0=1, Оо=1, га=10, гк=0.5): а) р= -0.08, 5) р= -0.01

При малых плотностях пространственного заряда суммарное поле Е5ит, действующее на заряд, характеризуется существенной нелинейностью, что объясняет неустойчивость траекторий движения, вид которых показан на рис. 6 б.

В четвертой главе проведено численное моделирование движения взаимодействующих по закону Кулона двух и трёх одиночных зарядов в скреиденных полях. Показана зависимость устойчивости движения зарядов от их взаимного положения.

Математическая модель, основанная на уравнениях движения (2), была дополнена соотношениями для сил электростатического взаимодействия вида

где ^ - сила, действующая на заряд q¡ со стороны заряда qj, г0 - радиус-вектор, соединяющий заряд с^-с зарядом <7,-, г~\г1/1.

Движение взаимодействующих зарядов рассматривалось в условиях постоянных однородного магнитного поля и радиального электрического поля, определяемого согласно формуле (4), а также в условиях радиальной неоднородности действующих электромагнитных полей. При этом для магнитного поля использовалось выражение вида

а = П0еаИ, (13)

где а - постоянный коэффициент, | г |= ^х2 + у1 . Для значения параметра а было выбрано положительное значение, что определяет нарастание величины магнитного поля концентрически от начала координат.

На рис. 7 представлены траектории движения и соответствующие спектры мощности, рассчитанные для системы двух одиночных взаимодействующих зарядов в условиях постоянных однородного магнитного поля и радиального электрического поля.

Р.сШ о.оо

а б

Рис. 7. Вид траекторий движения и спектров мощности двух .взаимодействующих одиночных зарядов в условиях постоянных однородного магнитного поля и радиального электрического поля (Ухо|=Ууо1=0, Ух02=Уу02=0, и<)=1, ^=1, га=10, гк=0.5): а) Х01=0.5, У01=0, Хо2=-0.5, У02=0; б) Хо1=0.5, У01=0, Х02=0, У02=0.5

При максимальном стартовом удалении зарядов их взаимодействие не сказывается на характере движения, траектории движения сохраняют типичный циклоидальный вид (рис. 7а). При близком начальном расположении регулярный характер движения нарушается (рис. 76).

Подобная закономерность наблюдается и для системы трёх взаимодействующих зарядов.

На рис. 8 представлены карты режимов, построенные на основании расчёта показателей Ляпунова для траектории заряда в качестве начальных координат которого последовательно принимались координаты каждой точки на катоде (при этом считалось, что второй и третий заряды начинают свое движение из одной и той же фиксированной точки); градациями серого цвета от светлого тона до тёмного отмечены увеличивающиеся положительные значения показателя Ляпунова. Данные карты отражают факт усиления неустойчивости движения по мере уменьшения стартового расстояния между взаимодействующими зарядами.

У |Ч2 У1

1 X ^¡3 X

а б

Рис. 8. Карты динамических режимов в плоскости ХУ (УХ01=У)<н=О, УХ02="УУ02=О, и<)=1, £2=1, га=10, Г|с=0.5) в условиях постоянных однородного магнитного поля и радиального электрического поля для случаев: а) двух взаимодействующих одиночных зарядов, б) трёх взаимодействующих одиночных зарядов

Исследование траекторий взаимодействующих одиночных зарядов в условиях радиально-неоднородного магнитного поля выявило такую интересную особенность поведения зарядов, как смена хаотического характера движения на регулярный (пример траекторий - на рис. 9).

Рис. 9. Вид траекторий движения двух взаимодействующих одиночных зарядов в условиях постоянных радиально-неоднородных электрического и магнитного полей (Хо1=0.5, Уо|=0, Хо2=-0.46, У0=0.17, Ухо>=Ууо1=0, Ух02=Уу02=0, и0=1, £20=1, а=0.5, га=10, Г|с=0.5)

Взаимное расталкивание зарядов приводит к их дрейфу в область сильного магнитного поля, которое оказывает регуляризирующее действие на траектории движения взаимодействующих зарядов.

В заключении перечислены основные результаты работы

1 Проведено численное исследование предложенных математических моделей движения заряженных частиц в схеме магнетронного диода в условиях неоднородных электрического и магнитного полей, а также с учетом кулоновского взаимодействия

2 Проведён анализ режимов движения в статическом режиме магнетронного диода при однородном магнитном поле В режиме циклотронных колебаний неразрезного магнетронного диода показаны неустойчивость траекторий движения и радиальная неоднородность плотности пространственного заряда при однородной стационарной эмиссии

3 Проведен анализ режимов движения зарядов в условиях постоянных азимутально-неоднородного магнитного поля и радиального электрического поля Установлено, что для зарядов, стартующих из области сильного магнитного поля, характерны близкие к регулярным режимы движения, хаотические режимы наблюдаются для зарядов, движение которых происходит из области слабого магнитного поля

4 Рассмотрено движение заряженных частиц в условиях постоянных однородного магнитного поля и азимутально-неоднородного электрического поля Показано, что увеличение числа периодов азимутального изменения электрического поля приводит к усилению хаотичности движения зарядов

5 Проведен анализ влияния поля пространственного заряда на движение заряженных частиц Установлено, что в статическом режиме при компенсации электрического поля на катоде полем пространственного заряда траектории движения зарядов устойчивы

6 Получены траектории движения взаимодействующих по закону Кулона двух и трех одиночных зарядов в скрещенных полях. Установлена зависимость устойчивости движения зарядов от взаимного стартового положения взаимодействующих зарядов. Показано, что введение в рассмотрение радиально нарастающего магнитного поля приводит к регуляризации траекторий движения взаимодействующих зарядов.

7 Численное моделирование траекторий движения заряженных частиц подтвердило предсказанные приближенными аналитическими методами в работах Л А Вайнштейна, ДЕ Вакмана наличие малых нерезонансных осцилляций эллиптичность основной орбиты, медленное изменение размеров орбиты, наличие эпициклов, дополнительный дрейф центра основной орбиты из-за нелинейности поля

8. На основе расчета показателей Ляпунова построены карты динамических режимов, отражающие особенности движения заряженных частиц в схеме магнетронного диода в условиях азимутальной неоднородности действующих электрического и магнитного полей, а также взаимодействующих двух и трех одиночных зарядов

9 Разработано программное обеспечение, реализующее основные модельные соотношения и позволяющее проводить исследование построенных моделей движения заряженных частиц с применением методов нелинейной динамики (расчет показателей Ляпунова, спектров мощности, карт динамических режимов) Программное обеспечение реализовано на языке С++

10 Полученные результаты позволяют уточнить физические представления о возникновении хаотических режимов в неоднородных электрических и магнитных полях и, как представляется, открывают возможности установления связи между хаотическими траекториями движения зарядов и шумами в приборах магнетронного типа

Список опубликованных работ по теме диссертации:

1 Хороводова НЮ Хаотические режимы в магнетронном диоде с пространственно неоднородными электрическим и магнитным полями / Н Ю Хороводова, В Б Байбурин // Вестник Саратовского государственного технического университета -2005 - № 1(6) - С 103-108

2 Хороводова Н Ю Влияние азимутально-неоднородного магнитного поля на характер движения зарядов в магнетронном диоде / М А Кудимов, Н Ю Хороводова, В Б Байбурин // Вестник Саратовского государственного технического университета -2007 -№ 1(21) -Вып 1 -С 111-116

3 Хороводова НЮ Исследование хаотичности движения зарядов в магнетронном диоде / НЮ Хороводова, В Б. Байбурин // Элементы и устройства систем низких и сверхвысоких частот межвуз науч сб - Саратов СГТУ, 2004 -С 67-70

4 Хороводова Н Ю Влияние поля пространственного заряда на устойчивость движения зарядов в магнетронном диоде /НЮ Хороводова, В Б Байбурин // Радиотехника и связь материалы Четвертой Междунар науч -техн конф - Саратов СГТУ, 2007 - С 274-279

5 Хороводова Н Ю Нелинейное взаимодействие зарядов в магнетронном диоде /НЮ Хороводова, В Б Байбурин // Актуальные проблемы электронного приборостроения материалы Междунар науч -техн конф -Саратов СГТУ, 2006 -С 16-21

6 Хороводова Н Ю Нелинейная динамика движения взаимодействующих зарядов в скрещенных полях / НЮ Хороводова, Е Б Байбурин // Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления материалы VIII Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов - Таганрог ТГРУ, 2006 - С 257

Подписано в печать 21 11 07 Формат 60x84 1/16

Бум офсет Уел печ л 0,93(1,0) Уч-издл 0,9

Тираж 100 экз Заказ 394 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул, 77 Отпечатано в РИЦ СГТУ 410054, Саратов, Политехническая ул, 77

Введение

Содержание

Глава 1. Анализ сложной динамики и явлений детерминированного хаоса в системах со скрещенными полями.

1.1 Задача о движении заряженных частиц в скрещенных полях. Математическая постановка задачи.

1.2 Математические модели детерминированного хаоса в скрещенных полях.

1.2.1 Математическая модель возмущённого линейного осциллятора.

1.2.2 Математическая модель детерминированного хаоса в поле плоской волны.

1.2.3 Математические модели детерминированного хаоса в магнитном поле ловушки открытого типа и в магнитном поле Земли.

1.3 Анализ хаотических колебаний в электронных приборах.

1.4 Выводы.

Глава 2. Двумерная математическая модель движения заряженных частиц в схеме магнетронного диода.

2.1 Постановка задачи. Основные соотношения модели.

2.2 Методы исследования траекторий движения зарядов.

2.3 Разработанное программное обеспечение.

2.3.1 Архитектура и основные особенности разработанного программного обеспечения.

2.3.2 Проведение исследований с использованием программы.

2.4 Моделирование траекторий движения заряженных частиц в статическом режиме магнетронного диода.

2.5 Моделирование траекторий движения заряженных частиц в режиме циклотронных колебаний неразрезного магнетронного диода.

2.5 Выводы.

Глава 3. Математическое моделирование регулярных и хаотических траекторий заряженных частиц в условиях постоянных неоднородных электрического и магнитного полей, полей пространственного заряда.

3.1 Движение заряженных частиц в схеме магнетронного диода в условиях постоянных азимутально-неоднородного магнитного поля и радиального электрического поля.

3.2 Движение заряженных частиц в схеме магнетронного диода в условиях постоянных однородного магнитного поля и азимутально-неоднородного электрического поля.

3.3 Движение заряженных частиц в схеме магнетронного диода с учётом поля пространственного заряда.

3.4 Выводы.

Глава 4. Математическое моделирование движения двух и трёх взаимодействующих по закону Кулона одиночных зарядов в скрещенных полях.

4.1 Модель движения взаимодействующих заряженных частиц в условиях постоянных однородного магнитного поля и радиального электрического поля.

4.2 Модель движения взаимодействующих заряженных частиц в условиях постоянных радиально-неоднородных магнитного и электрического полей.

4.3 Выводы.

В последние годы наблюдается интенсивное проникновение представлений и методов нелинейной динамики при исследовании нелинейных систем и процессов различной природы в механике, радиофизике, электронике, медицине, экономике и др. При этом выявляется ранее остававшийся в тени ряд новых характерных эффектов, например, появление хаотических режимов.

Весьма важными в теоретическом и практическом отношении являются динамические системы, основанные на электромагнитном взаимодействии заряженных частиц, движущихся в скрещенных полях (электрическом и магнитном). Как правило, изучение подобных систем начинается с некоторых базовых моделей.

Так, в классических работах Г.М. Заславского, Р.З. Сагдеева при изучении состояний заряда в скрещенных полях используется одномерная модель возмущенного линейного осциллятора, что не позволяет, в частности, рассчитывать траектории движения зарядов.

Если иметь в виду разнообразные модификации СВЧ генераторов и усилителей магнетронного типа, то в этой области в качестве исходной базовой модели может быть выбран неразрезной магнетронный диод, отличающийся, несмотря на простоту конструкции, богатым физическим содержанием.

Экспериментальные исследования режимов работы приборов со скрещенными полями (В.Г. Усыченко, Э.В. Кальянов и др.) показали хаотическую природу возникающих в пространстве взаимодействия шумовых колебаний.

В работах А.В. Агафонова, В.П. Тараканова, В.М. Федорова турбулентные свойства электронных потоков в магнетронном диоде связываются с эмиссионными способностями катода.

В работах В.Б. Байбурина, А.В. Юдина, А.О. Мантурова проведён анализ хаотических траекторий в скрещенных полях при наличии ВЧ полей, а также в устройствах типа магнитных ловушек.

Вместе с тем общая картина возникновения и существования хаотических и регулярных режимов в магнетронных приборах далека от завершения. В частности, целесообразно при оценках хаотичности использовать такие объективные критерии нелинейной динамики, как показатель Ляпунова, спектры мощности, карты динамических режимов и т.д.

Изложенное определило актуальность диссертационной работы. Целью диссертационной работы является создание математической модели движения заряженных частиц в схеме магнетронного диода с возможностью учёта азимутально-неоднородных электрических и магнитных полей, кулоновских полей, а также анализ хаотических и регулярных режимов с применением методов нелинейной динамики.

Для достижения поставленной цели были сформулированы следующие основные задачи:

1. Построить математическую модель движения заряженных частиц в схеме магнетронного диода.

2. Выбрать эффективные методы исследования траекторий движения, создать соответствующие алгоритмы и вычислительные схемы численного решения уравнений движения.

3. Разработать программное обеспечение, реализующее основные модельные соотношения.

4. Применить созданные математические модели и программное обеспечение при исследовании режимов движения заряженных частиц.

Научная новизна

1. Предложены и численно исследованы математические модели, позволяющие описывать траектории движения заряженных частиц в условиях нелинейных неоднородных электрического и магнитного полей, с учётом сил кулоновского взаимодействия.

2. На основании численного исследования показана неустойчивость траекторий движения заряженных частиц в статическом режиме и в режиме циклотронных колебаний неразрезного магнетронного диода.

3. Исследованы регулярные и хаотические режимы в условиях постоянных азимутально-неоднородного магнитного поля и радиального электрического поля, получены траектории движения зарядов, соответствующие спектры мощности, карты динамических режимов. Показано, что хаотические режимы характерны для динамики зарядов, стартующих из области слабого магнитного поля; режимы, близкие к регулярным, характерны для зарядов, стартующих из области сильного магнитного поля.

4. Рассмотрены хаотические режимы движения заряженных частиц в условиях постоянных однородного магнитного поля и азимутально-неоднородного электрического поля. На основании рассчитанных траекторий, показателей Ляпунова, спектров мощности установлено усиление хаотичности движения с увеличением числа периодов азимутального изменения электрического поля.

5. Исследовано влияние поля пространственного заряда на устойчивость траекторий движения заряженных частиц в магнетронном диоде. Установлено, что наибольшая устойчивость движения в статическом режиме наблюдается при ограничении эмиссии пространственным зарядом.

6. Построены траектории движения взаимодействующих по закону Кулона двух и трёх одиночных зарядов в скрещенных полях. На основании рассчитанных показателей Ляпунова показано усиление неустойчивости траекторий движения взаимодействующих заряженных частиц по мере сближения их стартового положения.

7. Показано, что введение радиально-неоднородного магнитного поля регуляризирует хаотические траектории взаимодействующих по закону Кулона одиночных зарядов.

8. Подтверждены численными расчётами траекторий зарядов малые нерезонансные осцилляции, предсказанные приближёнными аналитическими методами в работах Л.А. Вайнштейна, Д.Е. Вакмана: эллиптичность основной орбиты, медленное изменение размеров орбиты, наличие эпициклов, дополнительный дрейф центра основной орбиты из-за нелинейности поля.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

1. Предложенная математическая модель движения заряженных частиц в схеме магнетронного диода и разработанное на её основе программное обеспечение позволяют рассчитывать траектории движения в условиях неоднородных электрических и магнитных полей различного вида (радиально- и азимутально-неоднородное электрическое поле, азимутально-неоднородное магнитное поле), с учётом кулоновского взаимодействия и анализировать полученные траектории различными методами (вычисление показателей Ляпунова, спектров мощности, построение карт динамических режимов).

2. В режиме циклотронных колебаний неразрезного магнетронного диода имеют место неустойчивость траекторий движения заряженных частиц и радиальная неоднородность плотности пространственного заряда.

3. В условиях постоянных азимутально-неоднородного магнитного поля и радиального электрического поля движение зарядов, стартующих из области слабого магнитного поля, происходит по хаотическим траекториям.

4. В условиях постоянных азимутально-неоднородного электрического поля и однородного магнитного поля хаотичность траекторий движения заряженных частиц усиливается с увеличением числа периодов изменения электрического поля по азимуту.

5. Неустойчивость траекторий движения взаимодействующих по закону Кулона двух и трёх одиночных взаимодействующих зарядов определяется их взаимным стартовым положением. Введение радиально-возрастающего магнитного поля регуляризирует первоначально хаотические траектории движения взаимодействующих зарядов.

6. Рассчитанные показатели Ляпунова и спектры мощности отражают зависимость реализуемых в модели режимов от начальных условий и параметров действующих электрических и магнитных полей.

Достоверность и обоснованность полученных результатов определяется корректностью и строгостью применяемых математических методов, соответствием основных результатов и выводов экспериментальным данным и общефизическим представлениям о характере процессов в системах со скрещенными электромагнитными полями.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в следующем:

1. Результаты исследований позволили выявить ряд особенностей сложной динамики в скрещенных полях, углубляющих представления о влиянии неоднородных электрических и магнитных полей на траектории движения заряженных частиц, важные для инженеров-разработчиков.

2. Обнаруженные режимы хаотических траекторий движения зарядов могут служить основой для понимания природы шумов в магнетронных приборах.

3. На основе предложенных в работе математических моделей разработано программное обеспечение, предназначенное для анализа особенностей движения заряженных частиц в схеме магнетронного диода.

Апробация работы

Материалы, изложенные в работе, докладывались на следующих конференциях: Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Саратов, 2006), VIII Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2006), Четвертой международной научно-технической конференции «Радиотехника и связь» (Саратов, 2007).

Краткое содержание и структура работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка использованной литературы. Во введении обосновывается актуальность

4.3 Выводы

Предложена математическая модель, описывающая движение взаимодействующих по закону Кулона двух и трёх одиночных зарядов в скрещенных полях. Результаты моделирования представлены траекториями движения, спектрами мощности, численными значениями, картами динамических режимов.

Установлено, что в условиях как постоянных однородного магнитного поля и радиального электрического поля, так и в условиях постоянных радиального магнитного поля и радиального электрического поля, устойчивость траекторий движения определяется взаимным стартовым положением взаимодействующих зарядов.

Необходимо отметить результаты для случая постоянных радиального магнитного поля и радиального электрического поля, свидетельствующие о существенном влиянии магнитного поля на поведение двух взаимодействующих одиночных зарядов и определяющие регуляризацию траекторий движения зарядов по мере их дрейфа в области сильного фокусирующего поля.

Заключение

Представленные в работе математические модели позволяют рассчитывать траектории движения заряженных частиц в схеме магнетронного диода в статическом режиме, режиме циклотронных колебаний, с учётом азимутальных неоднородностей электрического и магнитного полей, двух и трёх взаимодействующих по закону Кулона одиночных зарядов, а также проводить анализ особенностей движения с применением методов нелинейной динамики (расчёт показателей Ляпунова, спектров мощности, построение карт динамических режимов).

К основным результатам диссертационной работы можно отнести следующие:

1. Проведено численное исследование предложенных математических моделей движения заряженных частиц в схеме магнетронного диода в условиях неоднородных электрического и магнитного полей, а также с учётом кулоновского взаимодействия.

2. Проведён анализ режимов движения в статическом режиме магнетронного диода при однородном магнитном поле. В режиме циклотронных колебаний неразрезного магнетронного диода показаны неустойчивость траекторий движения и радиальная неоднородность плотности пространственного заряда при однородной стационарной эмиссии.

3. Проведён анализ режимов движения зарядов в условиях постоянных азимутально-неоднородного магнитного поля и радиального электрического поля. Установлено, что для зарядов, стартующих из области сильного магнитного поля, характерны близкие к регулярным режимы движения; хаотические режимы наблюдаются для зарядов, движение которых происходит из области слабого магнитного поля.

4. Рассмотрено движение заряженных частиц в условиях постоянных однородного магнитного поля и азимутально-неоднородного электрического поля. Показано, что увеличение числа периодов азимутального изменения электрического поля приводит к усилению хаотичности движения зарядов.

5. Проведён анализ влияния поля пространственного заряда на движение заряженных частиц. Установлено, что в статическом режиме при компенсации электрического поля на катоде полем пространственного заряда траектории движения зарядов устойчивы.

6. Получены траектории движения взаимодействующих по закону Кулона двух и трёх одиночных зарядов в скрещенных полях. Установлена зависимость устойчивости движения зарядов от взаимного стартового положения взаимодействующих зарядов. Показано, что введение в рассмотрение радиально нарастающего магнитного поля приводит к регуляризации траекторий движения взаимодействующих зарядов.

7. Численное моделирование траекторий движения заряженных частиц подтвердило предсказанные приближёнными аналитическими методами в работах JI.A. Вайнштейна, Д.Е. Вакмана наличие малых нерезонансных осцилляций: эллиптичность основной орбиты, медленное изменение размеров орбиты, наличие эпициклов, дополнительный дрейф центра основной орбиты из-за нелинейности поля.

8. На основе расчёта показателей Ляпунова построены карты динамических режимов, отражающие особенности движения заряженных частиц в схеме магнетронного диода в условиях азимутальной неоднородности действующих электрического и магнитного полей, а также взаимодействующих двух и трёх одиночных зарядов.

9. Разработано программное обеспечение, реализующее основные модельные соотношения и позволяющее проводить исследование построенных моделей движения заряженных частиц с применением методов нелинейной динамики (расчёт показателей Ляпунова, спектров мощности, карт динамических режимов). Программное обеспечение реализовано на языке С++.

10. Полученные результаты позволяют уточнить физические представления о возникновении хаотических режимов в неоднородных электрических и магнитных полях и, как представляется, открывают возможности установления связи между хаотическими траекториями движения зарядов и шумами в приборах магнетронного типа.

1. Marcus М. Chaos in Maps with continuous and discontinuous maxima / M. Marcus // Computers in Physics. - 1990. - Sept.-Oct. - P.481-493.

2. Wolf A. Determining Lyapunov exponents from a time series / A. Wolf, J.B. Swift, H.L. Swinney, J.A. Vastano // Physica D. 1985. - Vol. 16. - P. 285.

3. Агафонов A.B. Динамика нарушения магнитной изоляции и самоорганизация электронного потока в магнетронном диоде /

4. A.В. Агафонов, В.П. Тараканов, В.М. Федоров // Журнал технической физики. 2004. - Т. 74. - Вып. 1. - С. 93-103.

5. Анищенко В. С. Детерминированный хаос / В. С. Анищенко // Соросовский образовательный журнал. 1997. - №7. - С. 70-76.

6. Анищенко В. С. Знакомство с нелинейной динамикой /

7. B. С. Анищенко Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2000. - 180 с.

8. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах / В. С. Анищенко М.: Наука, 1990. -312 с.

9. Арнольд В. И. О поведении адиабатического инварианта при медленном периодическом изменении функции Гамильтона /

10. В. И. Арнольд // Доклады АН СССР. 1962. - Т. 142, №4. - С. 758761.

11. Арцимович JL А. Элементарная физика плазмы / JI. А. Арцимович -М.: Атомиздат, 1969. 191 с.

12. Арцимович JI. А. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях / JI. А. Арцимович, С. Ю. Лукьянов М.: Наука, 1972.-224 с.

13. Арцимович Л. А. Физика плазмы для физиков / Л. А. Арцимович, Р. 3. Сагдеев М.: Атомиздат, 1979. - 317 с.

14. Байбурин В. Б. Трёхмерное решение задачи о потенциале электронных сгустков в скрещенных полях / В.Б. Байбурин // Радиотехника и электроника. 1984. - Т. 29, №4. - С. 751-756.

15. Байбурин В. Б. К анализу нелинейного режима плоского многорезонаторного электрона с учётом пространственного заряда / В. Б. Байбурин, Г. Л. Собалев // Радиотехника и электроника. 1967. -№3. - С. 479-488.

16. Байбурин В. Б. «Нулевой» ток в риборах М-типа и самоподдерживающие электронные сгустки / В. Б. Байбурин, А. А. Терентьев, А.В. Сысуев // Письма в ЖТФ. 1998. - Т. 24, № 12. -С. 57-62.

17. Байбурин В. Б. Трехмерные цилиндрические уравнения движения электронов в неоднородных скрещенных полях / В. Б. Байбурин,

18. A. А. Терентьев, М. В. Гаврилов, А. Б. Поваров // Радиотехника и электроника. 2000. - Т. 45, №4. - С. 492-498.

19. Байбурин В. Б. Численное трёхмерное моделирование приборов М-типа / В. Б. Байбурин, А. А. Терентьев, А. Б. Поваров, М. В. Гаврилов,

20. B. П. Ерёмин // Актуальные проблемы электронного приборостроения: материалы Междунар. науч.-техн. конф. Саратов: СГТУ, 1998.1. C. 50-53.

21. Бондарцов Г. И. Исследование аксиальных колебаний пространственного заряда в усилителе со скрещенными полями / Г. И. Бондарцов, Г. Г. Соминский // Журнал технической физики. -1975.-Т. 45, №8. -С. 1664-1668.

22. Бычков С.И. Вопросы теории и практического применения приборов магнетронного типа / С.И. Бычков М.: Сов. радио, 1967. - 216 с.

23. Бычков С.И. Магнетрон / С.И. Бычков М.: Сов. радио, 1957. - 52 с.

24. Вайнштейн JI.A. Лекции по сверхвысокочастотной электронике / Л.А. Вайнштейн, В.А. Солнцев М.: Сов. Радио, 1973. - 399 с.

25. Вайнштейн Л.А. Разделение частот в теории колебаний и волн / Л.А. Вайнштейн, Д.Е. Вакман М.: Наука, 1983. - 287 с.

26. Воронов Г. С. Штурм термоядерной крепости / Г.С. Воронов М.: Наука, 1985.- 191с.

27. Гудилов С.М. Анализ процессов возбуждения многочастотных колебаний в приборах М-типа / С.М. Гудилов, А.Г. Шеин // Радиотехника и электроника. 2000. - Т. 45, №5. - С. 602-606.

28. Джашитов А. Э. Хаотическая динамика периодически возбуждаемого математического маятника / А. Э. Джашитов, В. Э. Джашитов,

29. B. М. Панкратов, Ю.В. Чеботаревский Саратов: СГТУ, 1998.

30. Дмитриев Б.С. Теоретическое и экспериментальное исследование хаотических колебаний клистронного автогенератора с запаздыванием / Б.С. Дмитриев, Ю.Д. Жарков, Н.М. Рыскин, A.M. Шигаев // Радиотехника и электроника. 2001. - Т.46, №5. - С.604-610.

31. Заславский Г. М. Излучение захваченных частиц в магнитном поле / Г. М. Заславский, С. С. Моисеев, Р. 3. Сагдеев, А. А. Черников // Письма в ЖЭТФ. 1986. - Т. 43, №1. - С. 18-21.

32. Заславский Г. М. Стохастическое ускорение релятивистских частиц в магнитном поле / Г. М. Заславский, М. Я. Натензон, Б. А. Петровичев, Р. 3. Сагдеев, А. А. Черников // ЖЭТФ. 1987. - Т. 93. -№3(9>- С. 881-894.

33. Заславский Г. М. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса / Г. М. Заславский, Р. 3. Сагдеев М.: Наука, 1988.-368 с.

34. Заславский Г. М. Минимальный хаос, стохастическая паутина и структуры с симметрией типа «квазикристалл» / Г. М. Заславский, Р. 3. Сагдеев, Д. А. Усиков, А. А. Черников // Успехи физических наук.- 1988.-Т. 156, №2.-С. 193-251.

35. Заславский Г. М. Слабый хаос и квазирегулярные структуры / Г. М. Заславский, Р. 3. Сагдеев, Д. А. Усиков, А. А. Черников М.: Наука, 1991.-237 с.

36. Заславский Г. М. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний / Г. М. Заславский, Б. В. Чириков // Успехи физических наук.-1971.-Т. 105, №1.-С. 3-39.

37. Ицхоки Я.С. Нелинейная радиотехника / Я.С. Ицхоки М.: Советское радио, 1955.-508 с.

38. Кадомцев Б. Б. Коллективные явления в плазме / Б.В. Кадомцев М.: Наука, Ф-МЛ, 1976.-238 с.

39. Калинин Ю.А. Методы и средства физического эксперимента в вакуумной СВЧ электронике / Ю.А. Калинин, А.Д. Ессин Саратов: Изд-воСГУ, 1991.-4.1. -212с.

40. Кальянов Э.В. Хаотизация колебания в митроне / Э.В. Кальянов // Письма в ЖТФ. 2005. - Т. 31, №6. - С. 79-83.

41. Капица П. JI. Электроника больших мощностей / П.Л. Капица М.: Изд-во Академии наук СССР, 1962. - 196 с.

42. Карлов Н. В. Колебания, волны, структуры / Н. В. Карлов, Н. А. Кириченко М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 496 с.

43. Кроновер P.M. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории / P.M. Кроновер М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

44. Кузнецов С.П. Динамический хаос / С.П. Кузнецов М.: Издательство Физико-математической литературы, 2001. - 296 с.

45. Ленерт Б. Динамика заряженных частиц / Б. Ленерт М.: Атомиздат, 1967.-351 с.

46. Лихтенберг А. Регулярная и стохастическая динамика / А. Лихтенберг, М. Либерман М.: Мир, 1984. - 528 с.

47. Лоскутов А.Ю. Введение в синергетику / А.Ю. Лоскутов, А.С. Михайлов М.: Наука, 1990. - 272 с.

48. Морозов А.И. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях / А.И. Морозов, Л.С. Соловьёв // Вопросы теории плазмы. М.: Госатомиздат, 1963. - Вып.2. - С. 177-247.

49. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров / Ф. Мун Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. -312 с.

50. Побочные колебания в электронных приборах СВЧ / О.В. Бецкий, К.И. Палатов, М.Б. Цейтлин, Ю.Д. Ильин М.: Радио и связь, 1984. -152 с.

51. Поршнев С. В. Динамическая неустойчивость движения заряженных частиц в постоянном неоднородном магнитном поле / С.В. Поршнев // Журнал радиоэлектроники. 2000. -№11.

52. Поттер Д. Вычислительные методы в физике / Д. Поттер М.: Мир, 1975.-392 с.

53. Пригожин И. Конец определённости. Время, хаос и новые законы природы / И. Пригожин Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. - 208 с.

54. Редерер X. Динамика радиации, захваченной геомагнитным полем / X. Редерер М.: Мир, 1972. - 190 с.

55. Сагдеев Р. 3. Влияние поперечного магнитного поля на затухание Ландау / Р. 3. Сагдеев, В. Д. Шапиро // Письма в ЖЭТФ. 1973. -Т. 17, №7.-С. 389-394.

56. Сивухин Д.В. Дрейфовая теория движения заряженной частицы в электромагнитных полях / Д.В. Сивухин // Вопросы теории плазмы. -М.: Госатомиздат, 1963. Вып.1. - С.7-99.

57. Симо К. Современные проблемы хаоса и нелинейности / К. Симо, С. Смейл, А. Шенсине Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. - 304 с.

58. Смирнов А. В. Возникновение хаоса и избыточного шума в магнетроне / А. В. Смирнов, В. Г. Усыченко // Радиотехника и электроника. 1988. - Т. 33, №4. - С. 883-885.

59. Смирнов А.В. Когерентные структуры в турбулентном электронном потоке магнетрона / А. В. Смирнов, В, Г. Усыченко // Радиотехника и электроника. 1991.-Т. 36,№1.-С. 156-164.

60. Смирнов А.В. Эволюция колебаний пространственного заряда магнетронного диода от зарождения до хаоса / А. В. Смирнов, В. Г. Усыченко // Радиотехника и электроника. 1991. - Т. 36, №1. - С. 151156.

61. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике / М. Табор М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 320 с.

62. Терентьев А. А. Многопериодная численная модель усилителей М-типа с распределённой эмиссией / А. А. Терентьев, Е. М. Ильин,

63. B. Б. Байбурин // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1986. - Т. 9, №10.1. C. 72-79.

64. Томпсон Дж. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике / Дж. Томпсон М.: Мир, 1985. - 254 с.

65. Трубецков Д.И. Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков / Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов М.: Физмалит, 2003. - Т.1. -496 с.

66. Усыченко В. Г. Самоорганизация электронов в электронных приборах / В.Г. Усыченко // Журнал технической физики. 2004. - Т. 74, №11. -С. 38-46.

67. Усыченко В. Г. Самоорганизация электронов в электронных приборах в свете принципов механики и термодинамики / В.Г. Усыченко // Журнал технической физики. 2006. - Т. 76, №4. - С. 17-25.

68. Ушерович Б.Л. // Обзоры по электронной технике. Сер. Электроника СВЧ.- 1969.-Вып. 7.-49 с.

69. Хороводова Н.Ю. Хаотические режимы в магнетронном диоде с пространственно неоднородными электрическим и магнитным полями / Н.Ю. Хороводова, В.Б. Байбурин // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2005. - № 1(6). - С. 103-108.

70. Хороводова Н.Ю. Исследование хаотичности движения зарядов в магнетронном диоде / Н.Ю. Хороводова, В.Б. Байбурин // Элементы и устройства систем низких и сверхвысоких частот: межвуз. науч. сб. -Саратов: СГТУ, 2004. С. 67-70.

71. Хороводова Н.Ю. Влияние поля пространственного заряда на устойчивость движения зарядов в магнетронном диоде / Н.Ю. Хороводова, В.Б. Байбурин // Радиотехника и связь: материалы Четвёртой Междунар. науч.-техн. конф. Саратов: СГТУ, 2007. -С.274-279.

72. Хороводова Н.Ю. Нелинейное взаимодействие зарядов в магнетронном диоде / Н.Ю. Хороводова, В.Б. Байбурин // Актуальные проблемы электронного приборостроения: материалы Междунар. науч.-техн. конф. Саратов: СГТУ, 2006. - С.16-21.

73. Хороводова Н.Ю. Нелинейная динамика движения взаимодействующих зарядов в скрещенных полях / Н.Ю. Хороводова,

74. B.Б. Байбурин // Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления: материалы VIII Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов. Таганрог: ТГРУ, 2006.1. C.257.

75. Шевчик В.Н. Аналитические методы расчёта в СВЧ электронике / В.Н. Шевчик М.: Сов. радио, 1970. - 584 с.

76. Шевчик В.Н. Взаимодействие электронных пучков с электромагнитными волнами / В.Н. Шевчик Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1963. - 154 с.

77. Шевчик В.Н. Волновые и колебательные явления в электронных потоках на сверхвысоких частотах / В.Н. Шевчик, Г.Н. Шведов, А.В. Соболева Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 1962. - 336 с.

78. Шустер Г. Детерминированный хаос / Г. Шустер М.: Мир, 1988. -250 с.

79. Электронные сверхвысокочастотные приборы со скрещенными полями / Под ред. М.М. Федорова Пер. с англ. - М.: Изд-во иностранной литературы, 1961. - Т. 2. - 472 с.

80. Юдин А. В. Влияние хаоса на время удержания заряженных частиц в магнитной ловушке / В.Б. Байбурин, А.В. Юдин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2005. - Т. 13, №1-2. - С. 38-46.

81. Юдин А. В. Критерии оценки степени хаотичности траектории заряда в магнитной ловушке / В.Б. Байбурин, А.В. Юдин // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2005. -№3.-С. 100-104.

82. Юдин А. В. Хаотическое поведение зарядов в скрещенных полях / В.Б. Байбурин, А.О. Мантуров, А.В. Юдин, // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. - Т. 10, №6. - С. 62-70.