автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование хаотических и регулярных режимов движения заряженной частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях различного вида

На правах рукописи

Беляев Максим Петрович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ХАОТИЧЕСКИХ И РЕГУЛЯРНЫХ РЕЖИМОВ ДВИЖЕНИЯ ЗАРЯЖЕННОЙ ЧАСТИЦЫ В СКРЕЩЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ РАЗЛИЧНОГО ВИДА

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов-2009

003464230

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

заслуженный деятель науки РФ, профессор Байбурин Вил Бариевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ширшин Сергей Иванович

кандидат технических наук, Семёнов Владимир Константинович

Ведущая организация: ФГУП «НПП "Алмаз"», г.Саратов

Защита состоится 25 марта 2009 г. в 13 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет» по адресу: 410054, г.Саратов, ул. Политехническая, 77, Саратовский государственный технический университет, корп. 1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ГОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет».

Автореферат разослан «¿У» февраля 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Терентьев А. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Одним из важнейших событий в науке и технике последних десятилетий явилось открытие динамического хаоса — колебаний детерминированного происхождения, обладающих свойствами случайных процессов. Оказалось, что для большинства физических, химических, биологических и других систем природного или технического происхождения простые периодические колебания являются скорее исключением, а правилом -хаотические, с той или иной степенью хаотичности.

Изучение фундаментальных свойств динамического хаоса породило естественный интерес к прикладной стороне этого Явления, в частности, к исследованию поведения заряженной частицы в скрещенных эле1стрическом и магнитном полях.

Известен ряд работ, посвященных теоретическому исследованию хаотического поведения заряда в скрещенных полях: классические работы Г.М. Заславского и Р.З. Сагдеева, в которых уравнения движения сводились к одномерному уравнению возмущенного осциллятора; работа C.B. Поршнева по движению заряда в неоднородном магнитном поле Земли; работы, выполненные В.Б. Байбуриным с сотрудниками: A.B. Юдиным , O.A. Мантуровым , Н.Ю. Хороводовой, К.В. Каминским, связанные с исследованием систем «заряд-скрещенные поля» применительно к приборам магнетронного типа, в магнитных ловушках и др. Хаотические режимы в магнетроне рассмотрены в теоретических и экспериментальных работах В.Г. Усыченко, A.B. Смирнова, В.М. Малышева и др. Вместе с тем в этих работах не исследованы особенности поведения зарядов при некоторых специальных видах изменения электрического и магнитного полей, например при электрическом поле, имеющем вид стоячей волны, гармонически изменяющемся магнитном поле, желобковом характере изменения магнитного поля и др.

Изложенное определило следующие цели и задачи исследования.

Объект исследований настоящей работы — система «заряд — скрещенные поля», характеризующаяся различными видами действующих электрических и магнитных полей.

Целью диссертационной работы являются развитие математических моделей, и исследование хаотического и регулярного поведения заряженных частиц в нелинейных динамических системах «заряд — скрещенные поля» при некоторых специальных видах изменения электрического и магнитного полей. Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:

1. Развитие математической модели, описывающей нелинейную динамическую систему «заряд-скрещенные поля», выбор вычислительной схемы для решения нелинейных уравнений движения заряда в скрещенных полях.

2. Разработка соответствующего программного комплекса для моделирования различных режимов исследуемых систем, описывающих движение заряженной частицы в скрещенных полях.

3. Применение разработанной математической модели и программного комплекса при исследовании режимов колебаний заряда в скрещенных полях различного вида: электрическом поле стоячей волны, желобковом и экспоненциально меняющемся магнитном поле и др.

Достоверность и обоснованность полученных, результатов определяются корреютостыо и строгостью применяемых математических методов, соответствием результатов и выводов, полученных в численных экспериментах, общефизическим представлениям о характере процессов в динамических системах со скрещенными электрическими и магнитными полями.

Методы исследования. В настоящей работе используются методы теории динамического хаоса, качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Фурье- и пейплст-аиализа временных рядов. Научна» новизна.

1. Развитие математических моделей различных режимов динамической системы «заряд — скрещенные поля», позволяющих описывать траектории заряженной частицы, движущейся под воздействием нелинейных неоднородных электрического и магнитного полей.

2. С применением предложенных математических моделей и вычислительных схем показано, что в условиях электрического поля, 'имеющего вид стоячей волны, и постоянного магнитного поля, размеры области хаотичности зависят преимущественно от соотношения частоты электрического поля и циклотронной частоты магнитного поля. При этом периодичность следования хаотических и регулярных областей определяется периодичностью изменения электрического поля.

3. Показано, что при электрическом поле, имеющем вид стоячей волны, и в желобковом магнитном поле возможна смена вида траекторий: от хаотического, к регулярному, по мере движения частицы в область сильных магнитных полей.

4. Исследованы режимы движения заряженных частиц в условиях электрического шля стоячей волны и гармонически изменяющегося в пространстве магнитного поля. Показано, что степень хаотичности движения зарядов (но Ляпунову) уменьшается с увеличением циклотронной частоты. Имеет место периодичность, связанная с периодичностью областей хаотического и регулярного движений стоячей волны.

5. Показано, что при электрическом поле стоячей волны и неоднородном магнитном поле, изменяющемся гармонически вдоль радиуса, области регулярных и хаотичных траекторий периодичны вдоль радиуса, в соответствии с периодическим изменением магнитного поля, и зависят от амплитуды изменения магнитного поля и частоты электрического поля. Также имеет место периодичность областей хаотического и регулярного движений, обусловленная периодическим изменением амплитуды стоячего электрического поля.

6. В магпстрошюм диоде обнаружен эффект смены знака дрейфа заряда в скрещенных полях, который может оказать существенное влияние на условие синхронизма в приборах магаетронного типа. Этот эффект является следствием двух фундаментальных эффектов: эффекта электрического дрейфа и эффекта дрейфа в неоднородном магнитном поле.

7. Исследованы режимы движения заряженных частиц в магнетронном диоде при экспоненциально изменяющемся вдоль радиуса и по одной из

ортогональных координат магнитном поле. Показано, что имеет место переход от хаотического характера колебаний к регулярным по мере попадания заряженной частицы в возрастающее магнитное ноле.

Практическая значимость. Результаты изучения существования различных динамических режимов, условий их устойчивости и реализации в зависимости от параметров скрещенных полей могут использоваться при создании приборов магнетронного типа,магнитных ловушек, генераторов хаотических колебаний и др.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Предложенная математическая модель движения заряженной частицы в скрещенных электрических и магнитных полях и разработанный на ее основе программный комплекс позволяют рассчитывать траектории зарядои при движении в неоднородных электрических и'магнитных полях различного вида, исследовать особенности динамических режимов, с учетом показателей Ляпунова, спектров мощности, вейвлетного анализа.

2. Воздействие возрастающего магнитного поля в системе «заряд — скрещенные поля» приводит к регуляризации траекторий при попадании заряда в область сильных магнитных полей.

3. Воздействие гармонически изменяющегося магнитного поля (вдоль радиуса и по одной из пространственных координат) приводит к зависимости режимов колебаний от периода гармонически изменяющегося магнитного поля.

4. Результаты анализа различных режимов колебаний заряженной частицы в электрическом поле, имеющем вид стоячей волны, и в однородиом магнитном поле.

5. В магнетронном диоде при возрастающем вдоль радиуса магнитном поле имеет место эффект смены дрейфа заряда, обусловленный двумя фундаментальными эффектами: электрическим дрейфом и дрейфом, пропорциональным градиенту изменения магнитного поля. Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались в трех

выступлениях на Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП-2008), расширенных научных семинарах кафедр «Программное обеспечение вычислительных систем и автоматизированных комплексов», «Радиотехника» Саратовского государственного технического университета.

Публикации. Результаты исследований но теме диссертации опубликованы в 7 работах, из которых две — в изданиях, рекомендованных ВАК РФ. Список публикаций приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 84 страницы текста и 42 рисунка. Список использованной литературы включает 94 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дана общая характеристика работы: обоснована актуальность выбранной темы, сформулирована цель исследования и указаны применяемые в диссертационной работе методы исследований, рассмотрены научная новизна и

практическая ценность работы, кратко изложено содержание работы и приведены положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассмотрены вопросы исследования нелинейной динамики в скрещенных полях и проведен обзор работ, посвященных этой проблематике.

Во второй главе рассматриваются методы анализа колебательных динамических систем на основе исследования фазовых траекторий, рассмотрены методы построения карт динамических режимов на основе показателей Ляпунова.

Формулируется математическая модель нелинейной динамической системы, описывающая движение заряда в скрещенных полях, также формулируется математическая модель движения заряженных частиц в магнетронном диоде.

Уравнение движения заряда в ортогональных (скрещенных) электрическом и магнитном полях можно записать в следующем виде:

¿Г т т Л

¿г и т Л

где Вг,В, - компоненты, описывающие в общем случае переменную в пространстве и времени напряженность электрического шля; В меняющееся в общем случае неоднородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости (хуУ, д — заряд; т — масса заряженной частицы.

Введем обозначения: . у>~%> П~тВ ' Тогда

вместо системы (1) можно записать следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

У=Е,(х,у,1)+{2(х,у)Уу

х=Уг ' ^

у=У

у

Начальные условия движения заряда задаются следующим образом: ха=хо\ /=Уо, У°=У10;

При решении системы (2) использовался неявный метод второго порядка точности. Разностная схема вычисления траекторий зарядов неявным методом относительно системы (2) будет иметь следующий общий вид, представленный в комплексной форме:

+л+1__2_2_

где г=х+]у, 2=Ух+}Уу, '2=2п+гЛ1,

(3)

Поведение зарядов при различных видах действующих электрических и магнитных полей определялось путем подстановки соответствующих аналитических выражений для полей в систему (3). Области регулярности или хаотичности траекторий зарядов в тех или иных условиях традиционно определялись путем расчета показателей Ляпуйова (X), а также путем расчета

Фурье-спектра и непрерывного вейвлет-снектра па основе временного ряда, соответствующего изменению во времени модуля радиуса-вектора заряда. На картах расчета динамических режимов области хаотичности обозначены цветами от темного до серого (по мере убывания положительного значения X до нуля), а области регулярных траекторий ( А^О ) — белым цветом. Кроме того, о регулярном характере траекторий можно судить визуально по мере их близости к классической циклоиде. Все вычисления проводились в системе безразмерных величин, что позволило не привязываться к частным режимам, а исследовать качественную динамику движения заряженной частицы.

В третьей главе используются представленные во второй главе математические модели и методы исследования динамики колебаний заряженной частицы в ортогональных (скрещенных) полях.

Вначале рассматривался случай с постоянным и однородным магнитным полем ( О~сот1 ), а переменное электрическое поле задавалось в виде стоячей волны:

Ех-Е^ят (х) кш (со /)

0 ' ™

х'де Е0 - амплитуда электрического поля; из - частота электрического поля. Расчёты показали, что при указанных условиях имеется периодичность чередования вдоль оси х областей с хаотическими и регулярными траекториями.

Нарис.1,2,3 представлены соответствующие траектории зарядов, их Фурье-спектры и вейвлет-спектры. На рис.1 показаны типичные хаотические траектории заряда (справа) и регулярные (слева).

движения заряда (Ех0=тг, ш=1. £2 = 1, хт~0,01, 7м = 2. ">о1~"• хО1~0,02,

У 02=2,01, ом,=0, иу01=0) '

Здесь и далее в работе пунктирные траектории соответствуют траекториям зарядов, стартующих с минимально отличающимися начальными условиями, и видно, что для хаотической траектории на рис. 16 ( Д>0 ) характерно резкое расхождение пунктирной траектории от изображенной сплошной линией, и то время как в случае регулярных траекторий ( Л<0 ) пунктирная и сплошная траектории практически сопровождают друг друга (рис. 1 а).

I'M

P.dB

0,5

a)

L

1,5

Рис. 2. Фурье-спектры фазовых траекторий: а - в случае регулярного движения заряда (Ех0~тг,

!, .(3 = 1 , х01~4, Уы~2,

=0, иу01~0, х02=4,О1, ую=2М, их0,=0, иу02=0);

б - в случае хаотического движония заряда (Ех0~гг , о> = 1, Л = 1 , хш=0,01, Ут~2 , 0, ">(),=0, хю—0,02, ую~2,01, иш=0, 0уЮ=О)

Хаотичность траекторий на рис. 16 подтверждается также шумовым характером спектра Фурье на рис.26, в то время как на рис.2а спектр Фурье, соответствующий регулярным траекториям на рис Л а, не имеет шумовых составляющих.

На рис.3 показаны рассчитанные непрерывные вейвлет-спектры. При расчетах вейвлет-спектра применялся материнский вейвлет Wave: ,

, ('о-Ь)

где

а) б)

Рис. 3. Вейвлет-спектры фазовых траекторий: а ■■ в случае регулярного движения заряда тг, £2=1, х01=4, ут~ 2, их0,^0, иу0,=0, х02=4,01, уо2~2,01, им=0,

б-венучав хаотического движения заряда (Ех0—тг, ш — 1, 0—1 , Хи^О,!)! , у01 = 2, ох0,=0. оуО1—0, х02=0,02, у02~ 2,01, им=0, иу02=0)

Вейвлет-снехстр представляет собой поверхность в трехмерном пространстве. В работе принят способ визуализации вейвлет-спектра как проекции на плоскость аЬ с изолиниями (изоуровнями), что позволяет проследить изменения амплитуд на разных масштабах во времени. Ширина каждой ячейки вейвлет-спектра на рис.За соответствует половине величины циклотронного периода и с течением времени ширина и величина этих ячеек не изменяются, что говорит о регулярном характере колебания заряженной частицы, рис.36 отражает хаотический вид траектории. Видно, что ширина и величина ячеек с течением времени изменяются, что свидетельствует о

хаотическом характере траектории заряда на всем протяжении исследуемого временного ряда.

На рис.4а представлена карта динамических режимов, построенная в плоскости параметров (х,у■). Видно, что хаотические (темные цвета) и регулярные (белые) области периодически сменяют друг друга. Эта периодичность соответствует периодичности электрического ноля. На рис.4б представлена карта динамических режимов, рассчитанная в координатах (О, са), показывающая, что с ростом О. увеличивается область регулярных режимов.

а) б)

Рис. 4. Карты динамических режимов в плоскости различных параметров: а - в плоскости параметров х,у (х=1, у~1, =0; 0<р1; Ео-п; ш=8); 6 - в плоскости параметров Д ю (х=1, у~1,

Далее рассматривалось движение заряда в электрическом поле стоячей волны (4) и желобковом магнитном поле, что определяет изменение циклотронной частоты в виде:

П=П0+АП0е"м . (5)

Типичная траектория заряда, исходящая из точки минимума магнитного поля в пределах желобка, представлена на рис.5.

а) б) в)

Рис. 5. Типичная траектория заряда, исходящего из области минимума магнитного поля: а -общий вид траектории; б - увеличенный масштаб участка 1; в - увеличенный масштаб траектории заряда участка 2 (х=2 , у~1, ид„=0, иуО-0, Б^—З.Ы, О-1, АО-0,5, ¿0=0, <4г=0.001Гч (Тц - период циклотронной частоты, траектория рассчитывалась в течение 2000 периодов Тц)).

Видно, что происходит переход от хаотических траекторий (участок 1) к регулярным в результате попадания заряда в область относительно сильного магнитного ноля, отмеченную па рисунке участком 2. Это свидетельствует о фокусирующем (регуляризирующем) воздействии магнитного поля на движение заряженной частицы.

Далее были рассмотрены особенности движения заряда в электрическом поле стоячей волны согласно соотношению (4) и в гармонически изменяющемся магнитном поле вдоль оси

О=Д0+ДП08т(.у). (6)

На рис.б представлены карты динамических режимов, соответствующие изменению начальных координат заряда (х,у) и изменению частотных параметров (О, ш).

О

10"

Рис. 6. Карты динамических режимов в плоскости различных параметров: а - в плоскости параметров х,у (У*=Уу -0; Пв~3; АО = 0,5; В0=тг); 6 •■ в плоскости параметров .О, со (х=0,01, у=1, \/«=Уу =0; а- 0,5; Ео~п)

Видно, что в плоскости (х,у) имеет место периодичность, как по оси х, что связано с периодичностью изменения стоячей электромагнитной волны, так и по оси у, что связано с периодичностью изменения магнитного поля. Из карты динамических режимов в плоскости частотных параметров (Д <а), рис.бб, видно, что область регулярности увеличивается с ростом Д что объясняется регулирующим воздействием магнитного поля.

Далее проводился анализ траекторий при электрическом поле стоячей волны, заданном соотношением (4), и гармонически изменяющемся вдоль радиуса магнитном поле, заданном соотношением:

О.=П0+АО.0М~), • (7)

Па рис.7а представлены типичная траектория хаотического поведения заряда, соответствующая положительным значениям похсазателя Ляпунова, и ее Фурье-спектр (рис.7б) шумового характера.

Рис. 7. Типичная хаотическая траектория двух заряженных частиц, стартующих с близкими начальными фазовыми координатами: а - общий вид траектории (Е,о = 3,14; ш = 1; По = 1; АС1, = 0,3; х,=3,14; хг=3,15; у, =Уг = О; V,, = О; И,, = = 0); б - Фурьв-спвктр

На рис.8 показана типичная регулярная траектория движения двух зарядов, соответствующая отрицательным значениям показателя Ляпунова.

Рис. 8. Типичная регулярная траектория колебаний заряда с близкими начальными фазовыми координатами: а - общий вид траектории (Ем = 3,14;ш= 1; Ос = 3; АП0 = 0,3; х,=7; хг=7,01;у, =у2= 1; V„ = У„2= 0; V» = \/У2 = 0); б - Фурье-спектр

Видно, что Фурье-спектр содержит частоты, соответствующие циклотронной частоте и частоте электрического поля, а также частоты, кратные им.

На рис.9 показаны карты динамических режимов, построенные в плоскости (х,у) и в плоскости частотных параметров (До). Из рассмотрения рис.9а и соотношения (7) видно, что периодичность следования областей регулярных колебаний (белый цвет) и хаотических колебаний (черный и оттенки серого цвета) определяется как периодичностью изменения магнитного поля (кольцевые области), так и периодичностью электрического поля стоячей волны (вертикальные области).

Из рис.9б видно, что рост отношения циклотронной частоты к частоте электрического поля, как и ранее, приводит к увеличению области существования регулярных траекторий.

iiliil 1

I

,11

'Iiliil

a)

Рис. 9. Курты динамических режимов при варьировании различных фазовых параметров: а-в области фазовых переменных х,у (Вм = 3,14; О0 = б, 28; АП = 0,5; = 0; V, = 0); 6 - при варьировании частотных параметров системы Д со (Ем = 3,14; йП = 0,3; Х1~1; Хг^1,01; У1 =

Уг~ 1; V«, - о,- V,, = */у2 = о;

В четвертой главе проводится исследование (в том числе и с применением вейвлет-анализа) хаотических и регулярных режимов колебаний в цилиндрическом магнетронном диоде, при различного вида магнитных нолях и при неизменном виде статического электрического поля. Электрическое статическое поле в магнетронном диоде, как известно, имеет вид:

и„ 1

Е-

м

г», г , где С/а •— напряжение на аноде; га —• радиус анода; rk — радиус

катода; г - радиус-вектор заряженной частицы. Соответственно составляющие статического электрического поля можно записать в виде:

Бг~-

и„

х

и„

Г„

У

Г г Гi

(8)

На рис.10 показаны типичная траектория заряженной частицы, стартующей с катода, при постоянном и однородном магнитном поле (О,- const) и соответствующий ей Фурье-спектр.

P,dB

-- •--]•......-

.1.....I............

.Jyi...........,

................„щ 1

V -----------------i—

___________________1___________ ...................!..........

0,8

о 0,4

а) б)

Рис. 10. Типичная цишюидальная траектория в статическом режиме магн'етронного диода (О0~ 1, *у= 1 , ?"„" Ю, = 0, К< = 0; К, = 0): а -общий вид траектории;

б - Фурье-спектр

Видно, что при постоянном и однородном магнитном поле в машетронном диоде заряд движется по классической циклоидальной траектории.

На рис.11 показан соответствующий этим условиям непрерывный вейвлет-спектр. Ширина каждой ячейки вейвлет-спектра на рис.11 соответствует половине величины циклотронного периода и с течением времени ширина и величина этих ячеек не изменяются, что также говорит о регулярном характере колебания заряженной частицы, а

1024 512 256 0

0 50 100 150 b

Рис. 11. Вейвлет-спектр в статическом режиме магнетронного диода (П0= 1 , U= 1 , rt= 1 , г~ 10 , х-1,у-0, К = 0; Г,-0)

Далее были рассмотрены особенности движения зарядов в магнетронном диоде, неоднородное магнитное поле в котором имело желобковый характер, что соответствует изменению циклотронной частоты в виде:

Я-CV«"1 (9)

На рис.12а показана типичная траектория движения заряженной частицы,

Рис. 12.Тиличная траектория движения заряженной частицы в магнетронном диоде и желоЕковом магнитном поле (0^=0,6 , сс-0,2, ^о3! , , га= 10,х=1,у = о, = =

Из рис.12 видно, что по мере движения заряда в область сильного магнитного поля траектория, имеющая вначале хаотический вид, приобретает регулярный циклоидальный характер. Это подтверждают и расчёты Фурье-спектров для указанных областей хаотичной и регулярной траекторий.

Затем были исследованы особенности движения зарядов в магнетронном диоде, магнитное поле в котором экспоненциально возрастало вдоль радиуса, что соответствовало изменению циклотронной частоты в виде:

где Ет введено как аналог тангенциальной составляющей ВЧ-поля.

На рис.13 показана типичная траектория заряда, стартующего с катода с нулевой начальной скоростью, соответствующая вышеуказанным условиям.

Рис. 13. Типичная траектория движения заряженной частицы в условиях радиально возрастающего магнитного поля (П0= 0,2 , а = 0,25. 1 > г\г 1 • г0= Ю . ЕТ= 0,01 ,х=1,у = 0, К-0; У,=0)

Рис.13 демонстрирует эффект смены знака скорости дрейфа заряженной частицы. Как показали расчёты, вначале имеет место так называемый электрический дрейф, в направлении по часовой стрелке (1), затем по мере продвижения заряда в область относительно сильного изменения магнитного поля начинает преобладать эффект дрейфа в неоднородном магнитном поле уже в направлении против часовой стрелки (2). Участок, отмеченный на рис.13 квадратом, соответствует области, где скорости двух видов дрейфа сравниваются. Следует отметить, что описанный эффект может оказать существенное влияние на условия синхронизма в приборах магнетронного типа и должен учитываться при их проектировании.

Из характера траектории на рис.13 видно также, что по мере продвижения в область относительно сильного магнитного поля циклотронный радиус уменьшается.

Далее были рассмотрены траектории зарядов в магнетронном диоде в случае магнитного поля, изменяющегося вдоль радиуса по закону:

При этом составляющие электрического поля имели вид:

(10)

(П)

тг

(12)

На рис.14 показаны типичная хаотическая траектория движения заряженной частицы, стартующей с поверхности катода с нулевой начальной скоростью (рис.14а) и соответствующий ей Фурье-спектр (рис.146), носящий шумовой характер.

Р,ав

Рис. 14. Типичная хаотическая траектория (П 0= 0,3 , Л П0= 1 , и„— 1 , гк— 1 , га~ 10 , х=1,у = 0, У. = 0): а - общий вид траектории; б - Фурье-спектр

В заключении формулируются итоговые результаты работы.

1. Развита математическая модель и выбрана вычислительная схема для исследования хаотических и регулярных режимов колебаний системы «заряд — скрещенные поля» в условиях неоднородных нелинейных

■ электрического и магнитного полей.

2. Показано, что в условиях электрического поля типа стоячей волны степень хаотичности колебаний заряженных частиц преимущественно зависит от соотношения частоты переменного электрического поля и циклотронной частоты.

3. Показано, что при электрическом поле типа стоячей волны и желобковом магнитном поле происходит регуляризация хаотических траекторий по мере движения в сторону сильного магнитного поля.

4. При гармонически изменяющемся в пространстве магнитном поле и электрическом поле типа стоячей волны степень хаотичности уменьшается с увеличением циклотронной частоты и имеет место периодичность областей хаотического и регулярного движений, связанная с периодичностью стоячей волны и периодичностью изменения магнитного поля.

5. Установлен эффект смены знака дрейфа заряда в магнетронном диоде, который может оказать существенное влияние на условие синхронизма в приборах магнетронного типа. Этот эффект является следствием двух фундаментальных эффектов: эффекта электрического дрейфа и эффекта дрейфа в неоднородном магнитном поле.

6. Разработан программный комплекс для моделирования и исследований различных режимов динамических систем, описывающий и визуализирующий движение заряженной частицы в скрещенных полях с расчётом основных характеристик (показателя Ляпунова, Фурье- и вейвлет-спектра, определяющих регулярность или хаотичность фазовых траекторий).

Список публикаций по теме диссертации Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК РФ:

1. Беляев М.П. Вейвлетный анализ движения заряда в переменном электрическом и магнитном полях / В.Б. Байбурин, М.П. Беляев // Вестник Саратовского государственного технического университета. -2008. -№ 3. Вып.2. - С.81-87.

2. Беляев М.П. Хаотическое поведение заряда в скрещенных электрическом и желобковом магнитном полях / В.Б. Байбурин, М.П. Беляев // Электромагнитные волны и электронные системы. - 2004. -Т.9. №6. -С.111-113.

Публикации в других изданиях:

3. Беляев М.П. Вейвлетный анализ хаотического движения заряда в скрещенных полях / В.Б. Байбурин, М.П. Беляев // Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП-2008): материалы Междунар. науч.-техн. конф. - Саратов: СГТУ, 2008. - С. 124-127.

4. Беляев М.П. Вейвлетный анализ движения заряда в скрещенных полях / В.Б. Байбурин , М.П. Беляев // Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП-2008): материалы Междунар. науч.-техн. конф. -Саратов: СГТУ, 2008. - С. 128-132.

5. Беляев М.П. Вейвлетный анализ движения заряда в скрещенных электрическом и желобковом магнитных полях / В.Б. Байбурин , М.П. Беляев // Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП-2008): материалы Междунар. науч.-техн. конф. - Саратов: СГТУ, 2008.

, -С. 132-137.

6. Беляев М.П. Исследование хаотических и регулярных траекторий зарядов в переменном электрическом и радиальном магнитном полях / В.Б. Байбурин, М.П. Беляев // Вопросы прикладной физики: межвуз. науч. сб. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. - Вып. 12. - С. 100-102.

7. Беляев М.П. Хаотические и регулярные траектории зарядов в скрещенных полях при периодическом изменении магнитного поля в пространстве / В.Б. Байбурин, М.П. Беляев // Вопросы прикладной физики: межвуз. науч. сб.-Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004.-Вып. 11. - С. 99-101.

Подписано в печать 13.02.09 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ.л. 1,0 Уч.-изд. л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 40 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул.,77 Отпечатано в РИЦ СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул.,77

Введение.

Глава I. Некоторые подходы к анализу движения зарядов в скрещенных полях.1.

1.1 Аналитический подход.

1.2 Численный анализ хаотических режимов в скрещенных полях (в условиях магнитного поля Земли, приборах магнетронного типа).

1.3 Выводы.

Глава II. Математическая модель, критерии и методы анализа динамических режимов.

2.1 Математическая постановка и базовая вычислительная схема задачи.

2.2 Методы анализа характера траекторий зарядов в скрещенных полях.

2.3 Описание разработанного программного комплекса.

2.3.1 Архитектура и основные особенности разработанного программного обеспечения.

2.3.2 Проведение расчетов с использованием разработанного программного обеспечения.

2.4 Выводы.

Глава III. Особенности движения зарядов в электрическом поле стоячей волны и при различных неоднородностях магнитного поля.

3.1 Движение заряда в переменном электрическом и однородном магнитном поле.

3.2 Движение заряда в переменном электрическом и желобковом магнитном поле.

3.3 Движение заряда в переменном электрическом поле и гармонически изменяющемся неоднородном магнитном поле.

3.4 Движение заряженной частицы в электрическом поле стоячей волны и магнитном поле, гармонически изменяющемся вдоль радиуса.

3.5 Выводы.

Глава IV. Исследование различных режимов колебаний в магнетронном диоде.

4.1 Постановка задачи. Основные соотношения модели.

4.2 Движение заряда в магнетронном диоде при желобковом магнитном поле.

4.3 Движение заряда в магнетронном диоде при экспоненциально изменяющемся магнитном поле.

4.4 Движение заряда в магнетронном диоде при гармонически изменяющемся магнитном поле.

4.5 Выводы.

Одним из важнейших событий в науке и технике последних десятилетий явилось открытие динамического хаоса — колебаний детерминированного происхождения, обладающих свойствами случайных процессов. Оказалось, что для большинства физических, химических, биологических и других систем природного или технического происхождения простые периодические колебания являются скорее исключением, а правилом — хаотические, с той или иной степенью хаотичности.

Изучение фундаментальных свойств динамического хаоса породило естественный интерес к прикладной стороне этого явления, в частности, к исследованию поведения заряженной частицы в скрещенных электрическом и магнитном полях.

Известен ряд работ, посвященных теоретическому исследованию хаотического поведения заряда в скрещенных полях: классические работы Г.М. Заславского и Р.З. Сагдеева, в которых уравнения движения сводились к одномерному уравнению возмущенного осциллятора [28, 31, 33 и др.]; работа С.В. Поршнева по движению заряда в неоднородном магнитном поле Земли [57]; работы, выполненные В.Б. Байбуриным с сотрудниками: А.В. Юдиным , О.А. Мантуровым , Н.Ю. Хороводовой, К.В. Каминским, связанные с исследованием систем «заряд-скрещенные поля» применительно к приборам магнетронного типа, в магнитных ловушках и др, например [8, 9, 12, 80, 81, 83]. Хаотические режимы в магнетроне рассмотрены в теоретических и экспериментальных работах В.Г. Усыченко, А.В. Смирнова, В.М. Малышева и др [64, 74, 75].

Вместе с тем в этих работах не исследованы особенности поведения зарядов при некоторых специальных видах изменения электрического и магнитного поля, например при электрическом поле, имеющем вид стоячей волны и гармонически изменяющемся воздействии магнитного поля, желобковым характере изменения магнитного поля и др.

Изложенное и определило цели и задачи диссертационной работы.

Целью диссертационной работы являются развитие математических моделей и исследование хаотического и регулярного поведения заряженных частиц в нелинейных динамических системах «заряд — скрещенные поля» при некоторых специальных видах изменения электрического и магнитного полей. Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:

1. Развитие математической модели, описывающей нелинейную динамическую систему «заряд-скрещенные поля», выбор вычислительной схемы для решения нелинейных уравнений движения заряда в скрещенных полях.

2. Разработка соответствующего программного комплекса для моделирования различных режимов исследуемых систем, описывающих движение заряженной частицы в скрещенных полях.

3. Применение разработанной математической модели и программного комплекса при исследовании режимов колебаний заряда в скрещенных полях различного вида: электрическом поле стоячей волны, желобковом и экспоненциально меняющемся магнитном поле и др.

Научная новизна.

1. Развитие математических моделей различных режимов динамической системы «заряд — скрещенные поля», позволяющих описывать траектории заряженной частицы, движущейся под воздействием нелинейных неоднородных электрического и магнитного полей.

2. С применением предложенных математических моделей и вычислительных схем показано, что в условиях электрического поля, имеющего вид стоячей волны, и постоянного магнитного поля, размеры области хаотичности зависят преимущественно от соотношения частоты электрического поля и циклотронной частоты магнитного поля. При этом периодичность следования хаотических и регулярных областей определяется периодичностью изменения электрического поля.

3. Показано, что при электрическом поле, имеющем вид стоячей волны, и в желобковом магнитном поле возможна смена вида траекторий: от хаотического к регулярному, по мере движения частицы в область сильных магнитных полей.

4. Исследованы режимы движения заряженных частиц в условиях электрического поля стоячей волны и гармонически изменяющегося в пространстве магнитного поля. Показано, что степень хаотичности движения зарядов (по Ляпунову) уменьшается с увеличением циклотронной частоты. Имеет место периодичность, связанная с периодичностью областей хаотического и регулярного движений стоячей волны.

5. Показано, что при электрическом поле стоячей волны и неоднородном магнитном поле, изменяющемся гармонически вдоль радиуса, области регулярных и хаотичных траекторий периодичны вдоль радиуса, в соответствии с периодическим изменением магнитного поля, и зависят от амплитуды изменения магнитного поля и частоты электрического поля. Также имеет место периодичность областей хаотического и регулярного движений, обусловленная периодическим изменением амплитуды стоячего электрического поля.

6. В магнетронном диоде обнаружен эффект смены знака дрейфа заряда в скрещенных полях, который может оказать существенное влияние на условие синхронизма в приборах магнетронного типа. Этот эффект является следствием двух фундаментальных эффектов: эффекта электрического дрейфа и эффекта дрейфа в неоднородном магнитном поле.

7. Исследованы режимы движения заряженных частиц в магнетронном диоде при экспоненциально изменяющемся вдоль радиуса и по одной из ортогональных координат магнитном поле. Показано, что имеет место переход от хаотического характера колебаний к регулярным по мере попадания заряженной частицы в возрастающее магнитное поле.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Предложенная математическая модель движения заряженной частицы в скрещенных электрических и магнитных полях и разработанный на ее основе программный комплекс позволяют рассчитывать траектории зарядов при движении в неоднородных электрических и магнитных полях различного вида, исследовать особенности динамических режимов, с учетом показателей Ляпунова, спектров мощности, вейвлстного анализа.

2. Воздействие возрастающего магнитного поля в системе «заряд — скрещенные поля» приводит к регуляризации траекторий при попадании заряда в область сильных магнитных полей.

3. Воздействие гармонически изменяющегося магнитного поля (вдоль радиуса и по одной из пространственных координат) приводит к зависимости режимов колебаний от периода гармонически изменяющегося магнитного поля.

4. Результаты анализа различных режимов колебаний заряженной частицы в электрическом поле, имеющем вид стоячей волны, и в однородном магнитном поле.

5. В магнетронном диоде при возрастающем вдоль радиуса магнитном поле имеет место эффект смены дрейфа заряда, обусловленный двумя фундаментальными эффектами: электрическим дрейфом и дрейфом, пропорциональным градиенту изменения магнитного поля.

Достоверность и обоснованность полученных результатов определяется корректностью и строгостью применяемых математических методов, соответствием результатов и выводов, полученных в экспериментах и общефизическим представлением о характере процессов в динамических системах со скрещенными электромагнитными полями.

Практическая значимость.

Результаты изучения областей существования динамических режимов, условий их устойчивости и реализации в зависимости от параметров, как самой системы, так и параметров скрещенных полей могут использоваться как при создании сверхвысокочастотных приборов, таких, как магнитные ловушки, приборы удержания плазмы и др., так и при конструировании генераторов хаотических колебаний.

Апробация работы.

Основные результаты работы обсуждались в выступлениях на Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП-2008).

Публикации.

Основные результаты и положения диссертационного исследования опубликованы в 7 печатных работах [13-19].

4.5 Выводы

Предложены математические модели, описывающие движение заряженной частицы в магнетронном диоде при неоднородном магнитном поле, имеющим вид желоба; при магнитном поле экспоненциально возрастающем по радиусу; при гармонически изменяющемся магнитном поле. Результаты моделирования представлены траекториями движения заряженной частицы, расчетами Фурье-спектров и непрерывных вейвлет-спектров.

В магнетронном диоде обнаружен эффект смены знака дрейфа заряда при экспоненциально возрастающем магнитном поле, который является следствием двух фундаментальных эффеююв: эффекта электрического дрейфа и эффекта дрейфа в неоднородном магнитном поле. Обнаруженный эффект может оказать влияние на условия синхронизма в магнетронном диоде.

В магнетронном диоде при желобковом xapaicrepe изменения магнитного поля присутствует эффект смены режима колебаний заряженной частицы с хаотических на регулярные при попадании заряженной частицы в относительно сильное магнитное поле, которое оказывает фокусирующее воздействие на заряженную частицу.

Заключение

К основным результатам диссертационной работы можно отнести следующие:

1. Развита математическая модель и выбрана вычислительная схема для исследования хаотических и регулярных режимов движения зарядов в скрещенных полях с учетом неоднородных нелинейно изменяющихся электрических и магнитных полей.

2. Показано, что в условиях электрического поля типа стоячей волны степень хаотичности колебаний заряженных частиц преимущественно зависит от соотношения частоты переменного электрического поля и циклотронной частоты.

3. Показано, что при электрическом поле типа стоячей волны и желобковом магнитном поле происходит регуляризация хаотических траекторий по мере движения в область относительно сильного магнитного поля.

4. При гармонически изменяющемся в пространстве магнитном поле и электрическом поле типа стоячей волны степень хаотичности уменьшается с увеличением циклотронной частоты и имеет место периодичность областей хаотического и регулярного движений, связанная с периодичностью стоячей волны и периодичностью изменения магнитного поля.

5. Установлен эффект смены знака дрейфа заряда в магнетронном диоде, который может оказать существенное влияние на условие синхронизма в приборах магнетронного типа. Этот эффект является следствием двух фундаментальных эффектов: эффекта электрического дрейфа и эффекта дрейфа в неоднородном магнитном поле.

6. Разработан программный комплекс для моделирования и исследований различных режимов динамических систем, описывающий и визуализирующий движение заряженной частицы в скрещенных полях с расчётом основных характеристик (показателя Ляпунова, Фурье- и вейвлет-спектра, определяющих регулярность или хаотичность фазовых траекторий). Программное обеспечение реализовано на языке С++.

1. Анищенко B.C. Знакомство с нелинейной динамикой. — Саратов: Изд-во

2. ГосУНЦ "Колледж", 2000. — 180 с. 2 Арнольд В.И. О поведении адиабатического инварианта при медленном периодическом изменении функции Гамильтона. / В.И.Арнольд // Доклады АН СССР. — Т. 142, №4. — С. 758-761.

3. Арцимович J1. А., Лукьянов С. Ю. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. — М.: Наука, 1978. — 224 с.

4. Арцимович Л.А. Элементарная физика плазмы. — М.: Атомиздат, 1969.200 с.

5. Арцимович Л.А., Сагдеев Р.З. Физика плазмы для физиков. — М.: Атомиздат, 1979. — 314 с.

6. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения /

7. Н.М. Астафьева//УФН. — 1996. — Т. 166, №11. —С. 1145-1170.

8. Байбурин В.Б. Неустойчивость электронных траекторий и шумы в многорезонаторном магнетроне / В.Б. Байбурин, К.В. Каминский // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 2007. — Т. 15, №6. — С. 84-88.

9. Байбурин В.Б., Мантуров А.О., Юдин А.В. Хаотическое поведение зарядов в скрещенных полях / В.Б. Байбурин, А.О. Мантуров, А.В. Юдин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. -— 2002. —1. Т. 10, №6. — С. 62-70.

10. Байбурин В.Б. Цилиндрическая модель магнетронного усилителя с распределенной эмиссией и замкнутым электронным потоком / В.Б. Байбурин, С.И. Ширшин, В.П. Еремин // Радиотехника и электроника. — 1984. —Т.29,№3. —С. 508-515.

11. Байбурин В.Б. Влияние хаоса на время удержания заряженных частиц в магнитной ловушке / В.Б. Байбурин, А.В. Юдин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. — 2005. — Т.13, №1-2. — С. 38-46.

12. Байбурин В.Б. Критерии оценки степени хаотичности траектории заряда в магнитной ловушке / Байбурин В.Б., Юдин А.В. // Вестник Саратовского государственного технического университета. — 2005. — №3. —С. 100-104.

13. Беляев М.П. Хаотическое поведение заряда в скрещенных электрическом и желобковом магнитном полях / В.Б. Байбурин, М.П. Беляев // Электромагнитные волны и электронные системы. — 2004. — Т.9. №6. — С. 111-113.

14. Беляев М.П. Вейвлетный анализ движения заряда в переменном электрическом и магнитном полях / В.Б. Байбурин, М.П. Беляев // Вестник Саратовского государственного технического университета. — 2008. — №3, Вып.2. — С. 81-87.

15. Беляев М.П. Вейвлетный анализ хаотического движения заряда в скрещенных полях / В.Б. Байбурин , М.П. Беляев // Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП-2008): материалы Междунар. науч.-техн. конф. — Саратов:. СГТУ, 2008. — С. 124-127.

16. Беляев М.П. Вейвлетный анализ движения заряда в скрещенных полях / В.Б. Байбурин , М.П. Беляев // Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП-2008): материалы Междунар. науч.-техн. конф. — Саратов: СГТУ, 2008. — С. 128-132.

17. Бычков С.И. Магнетрон — М.: Сов. Радио, 1967. — 52 с.

18. Вайнштейн JI.A. ,Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. —М.: Издательство "Советское Радио", 1973. — 400 с.

19. Вайнштейн JI.A., Солнцев В.А. Разделение частот в теории колебаний и волн — М.: Наука, 1983. — 287 с.

20. Вызулин С.А. О спектре поверхностных магнитностатических волн в ферритовой пленке с потерями / С.А. Вызулин, А.Э. Розенсон, С.А. Шех // Радиотехника и электроника. — 1991. — С. 164-168.

21. Гусев В.А. Применение адаптивных вейвлетных базисов к анализу нелинейных систем с хаотической динамикой / Гусев В. А., Короновский А.А., Храмов А.Е. // Письма в ЖТФ. — 2003. — Т. 29, Вып. 18. —С. 61-69.

22. Джашитов А.Э., Джашитов В.Э. Панкратов В.М., Чеботаревский Ю.В.

23. B.А. Нечитайло // Успехи физических наук. — 2001. — Т. 171, №5. —1. C. 445-501.

24. Заславский Г. М. Введение в нелинейную физику: от маятника до турбулентности и хаоса. — М.: Наука, 1988. — 368 с.

25. Заславский Г.М. Излучение захваченных частиц в магнитном поле / Г.М. Заславский, С.С. Моисеев, Р.З. Сагдеев, А.А. Черников // Письма в ЖЭТФ. — 1986. — Т.43,№1. — С. 18-21.

26. Заславский Г.М. Стохастическое ускорение релятивистских частиц в магнитном поле / Г. М. Заславский, М. Я. Натензон, Б. А. Петровичев, Р.З. Сагдеев, А. А. Черников // ЖЭТФ. — 1987. — Т.93, №3(9). — С. 881-894.

27. Заславский Г.М. Минимальный хаос, стохастическая паутина и структуры с симметрией типа «квазикристалл» / Г.М. Заславский ,Р.З. Сагдеев, Д.А. Усиков, А.А.Черников // Успехи физических наук. — 1988. —Т.156, №2. —С. 193-251.

28. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме — М.: Наука, Ф-МЛ, 1976. —238 с.

29. Капица П. Л. Электроника больших мощностей. — Москва: Издательство Академии наук СССР, 1962. -— 196 с.

30. Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 496 с.

31. Кац В.А. Возникновение и эволюция хаоса в распределенном генераторе с запаздыванием. / В.А. Кац // Изв. вузов. Радиофизика. — 1985, —№2. —С. 161.

32. Кислов В.Я. Генератор СВЧ широкополосных колебаний / Кислов В.Я., Мясин В.Е., Богданов В.Е. // Заявка №984513/19-09 от 31.07.68.

33. Козлов П.В. Вейвлет-преобразование и анализ временных рядов. / П.В. Козлов, Б.Б. Чен // ВЕСТНИК Кыргызско-Российского славянского университета. — 2002. — №2. — С. 124-129.

34. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А. «Wavelet»-CHCTeMbi и их применение в обработке сигналов / В.Ф. Кравченко, В.А. Рвачев // Зарубежная радиоэлектроника. — 1996. — №4. -— С. 3-20.

35. Кузнецов С.П. Турбулентное движение электронного потока в скрещенных полях. / С.П. Кузнецов // ЖТФ. — 1977. — №12. — С. 2483.

36. Кузнецов С.П. Динамический хаос. — М.: Издательство Физико-математической литературы., 2001. — 296 с.

37. Кузнецов С.П. Нелинейная динамика лампы обратной волны: автомодуляция, мультистабильность, контроль / С.П. Кузнецов // Известия вузов Прикладная нелинейная динамика. — 2006. — №4. — С. 3-35.

38. Кузнецов С.П. Хаос и гиперхаос в лампе обратной волны / С.П. Кузнецов, Д.И. Трубецков // Известия вузов. — Радиофизика. — 2004.6, —С. 383-398.

39. Дегтярев JI.M. Численное моделирование двухмерной ленгмюровской турбулентности / JI.M. Дегтярев // Письма в ЖЭТФ. — 1984. — Т.40, №11. — С. 455-459.

40. Ленерт Б. Динамика заряженных частиц — М.: Атомиздат, 1967. — 352 с.

41. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика.1. М.: Мир, 1984.— 528 с.

42. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. — М.: Наука, 1990. —272 с.

43. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости системы — М.: Изд-во АН СССР, 1950. —473 с.

44. Малышев В.М. Электронный вихрь в магнетронном диоде: вычислительный эксперимент / В.М. Малышев, В.Г. Усыченко // Радиотехника и электроника. — 2001. — Т.46, №8. — С. 1015-1019.

45. Моносов Г.Г. Стационарные характеристики приборов магнетронного типа с эммитирующем отицательным катодом 4.1. Постановка задачи и метод решения / Г.Г. Моносов // Электрон, техника. Сер.1. Электроника СВЧ. — 1969.— Вып. 10, —С. 3-12.

46. Морозов А.И. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях / А.И. Морозов // Вопросы теории плазмы. — 1963. — Вып.2. — С. 177-247.

47. Мун Ф. Хаотические колебания: Вводный курс для научных работников и инженеров. — М.: Мир, 1990. — 312 с.

48. Новиков Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учебное пособие — М.: ИАнП РАН, 1999. — 152 с.

49. Нортроп Т. Адиабатическая теория движения заряженных частиц. Перевод с английского — М.: Атомиздат, 1967. — 128 с.

50. Поршнев С.В. Динамическая неустойчивость движения заряженных частиц в постоянном неоднородном магнитном поле / С.В. Поршнев // Журнал радиоэлектроники. — 2000. — №11. — С. 98-107.

51. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. — М.: Мир, 1975. — 392 с.

52. Редерер X. Динамика радиации, захваченной геомагнитным полем. — М.: Мир, 1972.— 1972 с.

53. Рожанский В.А. Эволюция плазменных облаков в ионосфере / В.А. Рожанский // Соросовский образовательный журнал. — 2001. — Т.7, №9. —С. 109-114.

54. Рютов Д. Д. Открытые ловушки / Д. Д. Рютов // Успехи физических наук. — 1988. — Т. 154, №4. — С. 565-614.

55. Сагдеев Р.З. Влияние поперечного магнитного поля на затухание Ландау / Р.З. Сагдеев, В. Д. Шапиро // Письма в ЖЭТФ. — 1973. — Т.17, №7. — С. 389-394.

56. Сивухин Д.В. Дрейфовая теория движения заряженной частицы в электромагнитных полях. / Д.В. Сивухин // Вопросы теории плазмы. — 1963.—№1. —С. 7-99.

57. Смирнов А.В. Возникновение хаоса и избыточного шума в магнетроне / А.В.Смирнов, В.Г.Усыченко // Радиотехника и электроника. — 1988. — Т.ЗЗ, №4. — С. 883.

58. Смирнов А.В. Когерентные структуры в турбулентном электронном потоке магнетрона / А.В. Смирнов, В.Г. Усыченко // Радиотехника и электроника. — 1991. — Т.36, №1. — С. 156-164.

59. А.В. Смирнов Эволюция колебаний пространственного заряда магнетронного диода от зарождения до хаоса / Смирнов А.В., Усыченко

60. В.Г. // Радиотехника и электроника. — 1991. — Т.36, №1. — С. 151-156. 67. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. — М.: Эдиториал УРСС, 2001. — 320 с.

61. Тарновский А.С. Об уравнении движения заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле в эллипсоидальных и цилиндрических координатах / А.С. Тарновский // Радиотехника и электроника. — 1991. — Т.68, №5. ■— С. 952-959.

62. Терентьев А.А. Анализ и моделирование многочастотного режима в усилителях М-типа с рапределенным катодом / А.А. Терентьев, Е.М. Ильин, В.Б. Байбурин // Радиотехника и электроника. — 1985. — Т.30, №3. —С. 577-586.

63. Трубецков Д.И. Сложная динамика электронных приборов СВЧ (нелинейная нестационарная теория с позиции нелинейной динамики). / Д.И. Трубецков, В.Г. Анфиногентов, Рыскин Н.М., В.Н. Титов, А.Е. Храмов // Радиотехника. — 1999. — Т.63, №4. — С. 8.

64. Усыченко В.Г. Самоорганизация электронов в электронных приборах /

65. B.Г. Усыченко // Журнал технической физики. — 2004. — Т.74, №11. —1. C. 38-46.

66. Усыченко В.Г. Самоорганизация электронов в электронных приборах в свете принципов механики и термодинамики / В.Г. Усыченко // Журнал технической физики. — 2006. — Т.76, №4. — С. 17-25.

67. Ушерович Б.Л. Обзоры по электронной технике Сер. Электроника СВЧ. — 1969. Вып.7. — 49 с.

68. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем. / М. Фейгенбаум // УФН. — 1983. — Т. 141, №2. — С. 343.

69. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т.8,9: Квантовая механика. Пер. с англ. Т.8,9. Изд 3 — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 528 с.

70. Хованова Н.А., Хованов И.А. Методы анализа временных рядов. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2001. — 120 с.

71. Хороводова Н.Ю. Хаотические режимы в магнетронном диоде с пространственно неоднородными электрическим и магнитным полями / Н.Ю. Хороводова, В.Б. Байбурин // Вестник Саратовского государственного технического университета. — 2005. — №1(6). — С.103-108.

72. Хороводова Н.Ю. Исследование хаотичности движения зарядов в магнетронном диоде / Н.Ю. Хороводова, В.Б. Байбурин // Элементы и устройства систем низких и сверхвысоких частот: межвуз. науч. сб. — Саратов: СГТУ, 2004. — С. 67-70.

73. Хороводова Н.Ю. Нелинейное взаимодействие зарядов в магнетронном диоде / Н.Ю. Хороводова, В.Б. Байбурин // Актуальные проблемы электронного приборостроения: материалы Междунар. науч.-техн. конф. — Саратов: СГТУ, 2006. — С. 16-21.

74. Хороводова Н.Ю. Влияние поля пространственного заряда наустойчивость движения зарядов в магнетронном диоде / Н.Ю. Хороводова, В.Б. Байбурин // Радиотехника и связь: материалы Четвёртой Междунар. науч.-техн. конф. — Саратов: СГТУ, 2007. — С. 274-279.

75. Чен Ф. Введение в физику плазмы — М.: Мир, 1987. — 299 с.

76. Чириков Б. В. Вопросы теории плазмы. — М.: Энергоатомиздат, 1983.324 с.

77. Чурюмов Г.И. Исследование усилителя М-типа цилиндрической конструкции / Г.И. Чурюмов, А.Г. Шеин // 9-я Всесоюз. конф. по электронике сверхвысоких частот: Тез. докл. Вакуум, электроника СВЧ.

78. Киев, 1979, —Т.1. —С. 138.

79. Ширшин С.И. Анализ и моделирование динамического режима многорезанаторного магнетрона / С.И. Ширшин, В.Б. Байбурин // Радиотехника и электроника. — 1976. — Т.21, №2. — С. 297-302.

80. Шустер Г. Детерминированный хаос — М.: Мир, 1988. — 250 с.

81. Яковлев А.Н. Введение в вейвлет-преобразования: Учеб. пособие — Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2003. — 104 с.

82. Cooley Algorithm for machine calculation of complex Fourier series / Cooley, Tukey // Math.Comp. — 1965. — №19. — C. 297.

83. Gu S.P., Kooyers G.P., Buneman O. Time-Depend Computer Analysis of Electron-Wave Interaction in Crossed Fields / Gu S.P., Kooyers G.P., Buneman O. //Appl. Phys. — 1965. — Vol. 36,N8. — P. 2550-2559.

84. Wolf A. Determining Lyapunov exponents from a time series / Wolf A., Swift J.B., Swinney H.L., Vastano J.A. // Physica D. — 1985. — Vol.16. — P. 285.