автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели и методы анализа траекторий заряженных частиц в системах со скрещенными электрическими и магнитными полями

На правах рукописи

РОЗОВ Александр Станиславович

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ II МЕТОДЫ АНАЛИЗА ТРАЕКТОРИЙ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В СИСТЕМАХ СО СКРЕЩЕННЫМИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИМИ х II МАГНИТНЫМИ ПОЛЯМИ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 2 АПР 2015

Саратов 2015 005567666

005567666

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, заслуженный

деятель науки РФ,

Байбурин Вил Бариевнч

Официальные оппоненты: Трубецков Дмитрий Иванович -

доктор физико-математических наук, член-корреспондент РАН, профессор, заведующий кафедрой электроники, колебаний и волн НИУ «Саратовский государственный университет имени Н.Г.Чернышевского»

Григорьев Юрий Алексеевич -

доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник лаборатории микро-и наноэлектроники Саратовского филиала Института радиоэлектроники имени В.А. Котельникова РАН

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный

технический университет»

Защита состоится «28» мая 2015 г. в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, корп. 1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.» и на сайте www.sstu.ru

Автореферат разослан «/О » апреля 2015 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета сЗ&к*^ Терентьев Александр Александрович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Особенности движения зарядов в скрещенных электрических и магнитных полях определяют многие физические явления, имеющиеся как в природных условиях (например, в магнитных поясах планет), так и в ряде технических устройств (ускорителях элементарных частиц, генераторах и усилителях магнетронного типа и др.). Соответственно возникает необходимость анализа и расчёта траекторий зарядов в соответствующих областях науки и техники: астрофизике, радиофизике, СВЧ электронике др.

Экспериментальные методы дают некоторые усреднённые характеристики электронных потоков: плотность зарядов, скорость и т.д. В связи с этим значительный интерес вызывает применение методов «математического моделирования», позволяющих рассчитывать «индивидуальные» траектории зарядов в общем потоке.

Аналитическим и численным методам анализа движения заряженных частиц в скрещенных полях посвящены работы многих отечественных и зарубежных учёных: П.Л. Капицы, Р. Yus, G.P. Kooyers, L. Brullien, J. Feinstein, Л.А. Вайнштейна, A.C. Рошаля, I.A. Vanghan, Д.И. Трубецкова, А.Г. Шеина,

A.A. Терентьева, Е.М. Ильина. Анализ хаотических траекторий зарядов проводился в работах Р.З. Сагдеева, Т.М. Заславского, Б.В. Чирикова, C.B. Поршнева,

B.Б. Байбурина и др.

Вместе с этим ряд задач в данной области остаётся малоисследованным. В частности, не изучено влияние на траектории зарядов в скрещенных полях переменной во времени магнитной индукции, которая, как правило, до этого принималась стационарной. Кроме того, представляет значительный интерес определение условий реализации гипотезы П.Л. Капицы о возможности генерирования высокочастотных колебаний в скрещенных полях без подачи статического электрического поля, а также получение аналитических решений уравнений движения для циклоидальных траекторий в режиме больших амплитуд генераторов магнетронного типа.

Указанное определило актуальность данной работы, область исследований, её цели и задачи.

Область и объект исследований

• Областью исследования является математическое моделирование физических процессов в системах со скрещенными электрическими и магнитными полями переменными в пространстве и времени.

• Объектом исследования являются электронные траектории в характерных электронных образованиях, имеющих место в ряде технических устройств.

Целью диссертационной работы является создание комплекса математических моделей и программ анализа и расчёта регулярных и хаотических траекторий зарядов в скрещенных полях с учётом переменной составляющей магнитной индукции, включая режим параметрического генерирования.

Для достижения поставленной цели были решены следующие основные задачи:

• Развитие математических моделей анализа заряженных частиц в скрещенных полях в присутствии переменных магнитных полей и выбор

эффективных алгоритмов и вычислительных схем численного решения уравнений движения.

• Разработка программного комплекса для решения уравнений движения заряда в скрещенных полях в условиях переменных во времени и пространстве электрических и магнитных полей и его применение при исследовании поведения заряда в типичных системах электрическими и магнитными полями.

Достоверность и обоснованность полученных результатов определяется:

• корректностью и строгостью применяемых математических методов, предварительной оценкой допускаемых приближений и погрешностей и их физическим обоснованием, соответствием полученных данных численного эксперимента и полученных аналитических решений;

• соответствием основных результатов и выводов экспериментальным данным и общефизическим представлениям о характере процессов в приборах М-типа.

Научная новизна работы (соответствует пунктам 1-5 паспорта специальности 05.13.18)

• Для многорезонаторного магнетрона впервые получены аналитические решения для циклоидальных траекторий в режиме больших амплитуд, которые количественно согласуются с результатами расчетов, полученными на основе численных моделей крупных частиц, а также аналитические выражения для оценки уровня шумов, согласующиеся с экспериментальными данными.

• Развита трёхмерная математическая модель движения зарядов в протяжённом цилиндрическом электронном пучке, отличающаяся учётом пространственного заряда и неоднородного вдоль радиуса и переменного во времени магнитного поля, позволяющая учесть хаотические и регулярные траектории в пучке. Показано, что в случае цилиндрического электронного пучка определяющим фактором появления хаотических траекторий является учёт нестационарного магнитного поля, что подтверждается спектром Фурье и значением показателя Ляпунова.

• Исследовано поведение ларморовой орбиты в высокочастотном поле (без статического электрического поля) и показано, что при стационарной магнитной индукции существенное значение имеет соотношение частот высокочастотного поля шс и циклотронной частоты Л. При равенстве этих частот траектория имеет вид разворачивающейся «архимедовой» спирали, что свидетельствует о поглощении энергии ВЧ поля зарядом. Во всех остальных случаях траектории остаются замкнутыми, что указывает на стационарный энергообмен. При учёте нестационарной магнитной индукции (с переменной во времени составляющей) и при равенстве частоты ВЧ поля и циклотронной частоты постоянной составляющей магнитного поля имеет место отдача энергии заряда ВЧ полю. Показано, что при наличии статического электрического поля и знакопеременной магнитной индукции все электроны достигают анода с ростом циклотронного радиуса.

• Определены условия генерации в скрещенных полях без применения статического электрического поля, заключающиеся в параметрическом изменении во времени переменной составляющей магнитного поля с частотой, равной циклотронной частоте постоянной составляющей магнитного поля и частоте высокочастотного поля. Получены оценки выходных характеристик генератора.

• Предложен способ задания начального приближения в каждом внутреннем узле при итерационном решении уравнения Лапласа как результата

решения одномерных трёхдиагональных уравнений по вертикалям, горизонталям и диагоналям пересекающимся в соответствующем узле.

Основные результаты и положения, выносимые на защиту:

• Предложены математические модели и комплекс проблемно-ориентированных программ на их основе, которые позволяют исследовать электронные траектории в характерных типах электронных потоков различных технических устройств (ускорители, ЛБВ, магнетроны) в зависимости от вида переменных электрических и магнитных полей.

• В цилиндрическом электронном пучке с фокусирующим магнитным полем и ускоряющим электрическим полем решающим фактором, определяющим хаотичность траекторий зарядов вне зависимости от учёта поля пространственного заряда, является воздействие переменной составляющей магнитного поля.

• От соотношения частот циклотронной частоты (соответствующей постоянной магнитной индукции), частоты высокочастотного поля, частоты переменной составляющей магнитной индукции зависит вид энергообмена заряженной частицы с высокочастотным полем. При этом частица либо отдаёт энергию полю, либо забирает энергию поля, либо энергообмен носит постоянный характер.

• Использование физически обоснованных допущений (например, близость анодного напряжения к синхронному) позволяет получить в аналитическом виде выражения для координат циклотронной траектории в режиме больших амплитуд многорезонаторного магнетрона, а также оценить уровень шумов.

• Предложен способ параметрического генерирования в пространстве взаимодействия между коаксиальными цилиндрами без статического электрического поля, заключающийся в воздействии переменной составляющей магнитного поля. Приведены соотношения для расчёта рабочих выходных характеристик генератора.

• Предложен выбор начального приближения при численном решении уравнения Лапласа, которое существенно сокращает число итераций при получении итогового решения.

Научная и практическая значимость диссертационной работы заключается в следующем:

• Научная значимость заключается в том, что полученные в работе математические модели позволяют исследовать новые физические явления в системах со скрещенными полями, связанные, в первую очередь, с воздействием переменной составляющей магнитной индукции на электронные траектории, определяющие хаотические и регулярные режимы работы технических устройств.

• Практическая значимость работы заключается в том, что выявлен новый тип параметрической генерации колебаний в скрещенных полях, обусловленный наличием переменной составляющей магнитной индукции с частотой, равной частоте высокочастотного поля (на новый способ генерации подана заявка на патент). Предложенный комплекс программ имеет удобный интерфейс, позволяющий визуализировать электронные траектории, в том числе в трёхмерном пространстве, а также в диалоговом режиме оперативно менять действующие геометрические и электродинамические параметры (получены свидетельства о государственной регистрации программ для ЭВМ).

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались на: Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения АПЭП-2012» (Саратов, 2012), Международной научно-практической конференции «Логистика и экономика ресурсосбережения и энергосбережения в промышленности» (ЛЭРЭП-6-2012 (Саратов, 2012), ICIT 2012 (Saratov 2012), The 6th Chaotic Modeling & Simulation International Conference CHAOS-2013 (Istanbul, 2013), Международной конференции Crimean Conference «Microwave & Telecommunication Technology (CriMiCO)» (Sevastopol, 2013), Всероссийской конференции «Проблемы СВЧ электроники» (Москва, 2013), 11-й Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Саратов, 2014), на семинарах IEEE Saratov -Penza Chapter (Saratov, 2013), материалы диссертации использовались автором на Всероссийском конкурсе У.М.Н.И.К. - 2013, конкурс выигран, занято четвёртое место.

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 29 печатных работах (12 статьях и трудах 6 конференций, 4 свидетельствах о регистрации программ для ЭВМ, 1 патенте на полезную модель). Список публикаций приведён в конце автореферата.

Авторский вклад. Постановка задач исследования и обсуждение их результатов производились совместно с научным руководителем, изложенные в диссертационной работе математические модели, программные расчёты и публикация результатов проводились автором самостоятельно.

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка использованной литературы.

Во введении раскрывается современное состояние проблемы, обосновывается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы.

В первой главе проведён обзор литературных источников, посвящённых исследованию траекторий заряженных частиц в скрещенных электрическом и магнитных полях, даны определения основным терминам.

В основе исследуемых в работе математических моделей лежит общее уравнение движения зарядов в скрещенных полях:

та = е{Е + [VB]), (1)

где е - заряд частицы , т - масса, V - вектор скорости, а - вектор ускорения, Е,В -векторы напряженности электрического поля и магнитной индукции соответственно, в общем случае нелинейно зависящие от координат и времени.

Уравнение (1) сводилось к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которых основывалось на методе Рунге - Кутта IV порядка точности, адаптированном применительно к решаемым задачам.

Во второй главе найдены приближенные аналитические решения уравнения (1) в случае больших амплитуд высокочастотного (ВЧ) поля, ранее циклоидальные траектории в таких режимах рассчитывались только численными методами. Аналитические решения необходимы как для более глубокого понимания физических процессов, так и для проверки вычислительных схем.

Анализ проводился применительно к схеме плоского магнетрона, работающего в режиме я-вида колебаний, изображённой на рис 1, где d -

7 2JT Гц

расстояние катод-анод, L = —— — период резонаторнои системы, га - радиус анода, N— число резонаторов, h - ширина щели резонатора, Е0 - постоянное поле.

Ео

В

X

Рис. 1. Схематичное изображение плоского магнетрона

В нормализованной системе координат (V = (Зу, 0 = + ф,Х = 0 — уравнение (1) в движущейся вместе с волной системе отсчёта можно представить в виде системы двух дифференциальных уравнений:

1 Л2Х (¡У Ех 1 «¡2У , ЛХ Ер-Едо ...

с ' V '

1 d2Y dX_ bdO2 dO

где £„„ =

B„a>

b dO2 de E00'

- синхронное поле, Ex = Eter cos X

-------г------- ----------- Еу=Ер1&тХ Ь = — . Е, -

/> '' со

амплитуда высокочастотного поля на поверхности электронной втулки, ш = 2тс( -

круговая частота переменного поля, /? = - -постоянная распространения.

Суть предложенного в работе метода заключается в том, что уравнения сводятся к системе уравнений, в которой каждое уравнение системы в качестве искомой функции включает только Xили только У.

Проинтегрировав по 0 первое уравнение системы (2), используя второе уравнение системы (2), а также приняв Е0 = Е00 и используя зависимость е~у - | этЛ11, которая справедлива для всего пространства взаимодействия, получим дифференциальное уравнение третьего порядка относительно 0:

1Й3У , ау . е\ег „ ^

■ + —- +

ь de3 do

Е 00

= 0.

-т—1 + + — cos(b0) .

^оо Еоо Еоо

(5)

Уравнение (3) решалось при нулевых начальных условиях, его решение имеет вид

К(0) = ехр(-Х0Ь) + f-sin(fce) - |Ч (4)

«00 fc00

d2Y

Зная соотношение (4), найдём —, используя первое уравнение системы (3), получим решение для Х(0):

Х0 и Y0 - координаты вылета электрона. По аналитическим соотношениям (4), (5) можно найти координаты электрона в любой момент времени, т.е. рассчитать его траекторию. На рис. 2 для сравнения показаны траектории, полученные аналитическим и численным методами. Тонкими линиями показаны циклоидальные траектории, соответствующие соотношениям (4), (5) при различных начальных фазах Х0. Траектории построены для установившегося рабочего режима магнетрона 4j50, при анодном напряжении на 10% превышающем синхронное и высокочастотное напряжение на ламелях, соответствующем 80% от постоянного напряжения. На этом же рисунке представлены траектории, полученные численным решением системы (2). Как видно из рисунка, численные и аналитические решения хорошо согласуются.

- Аналитическое решение .....-..... Численное решение

Рис. 2. Циклоидальные траектории электронов, полученные на основе приближенных аналитических решений уравнений системы (2) и полученные на основе численного метода решения уравнений системы (2).

Исходя из соотношения (4), можно получить следующие выражения для минимального времени пролёта электрона от катода к аноду (t™") соответствующее фазе вылета электрона Хй = 0; и максимального времени пролёта соответствующее фазе вылета электрона Х0 = —тс.

t„7« = ¿aresin (^ßd), t™* = ¿aresin(^ßd - + 1). (6)

Разница во временах пролёта может вызвать соответствующие флуктуации отдаваемой мощности. Воспользовавшись выражением для отдаваемой электроном мощности из работы [Байбурин В.Б. Аналитическая модель магнетрона// Радиотехника и электроника. М., 1983. Т. XXVIII. С. 318-325] можно получить формулу для оценки уровня шумов в многорезонаторном магнетроне:

¡д _ 1 fi Irr I \ р _ Pmax^Pynin tn\

btf-iUlgy Рсрад J > "сред 2 КП

где Ртах - соответствует Pmin- соответствует t^ax. Расчёты для магнетрона 4j50 показали уровень шума 39.8 дБ при экспериментальных данных 40-50 дБ [Tube Lore, Sibley, USA, 1996.].

В третьей главе проведено моделирование траекторий зарядов в цилиндрическом пучке с учётом влияния пространственного заряда и переменного во времени магнитного поля. Протяжённые цилиндрические пучки заряженных частиц лежат в основе функционирования многих технических устройств и приборов: клистронов, усилителей, ЛБВ и др. Анализ проводился применительно к схеме, изображённой на рис. 3, где В, — индукция магнитного поля радиуса пучка, Ег — электрическое поле вдоль оси пучка, р - плотность зарядов в пучке.

Рис. 3. Схема пучка

В соответствии со схемой на рис. 3 уравнения движения заряда в скрещенных полях в декартовой системе координат в трёхмерном случае имеют следующий вид:

х = т]Ех + уВ2у,у = т]Еу - г]В2х,г = т)Е2, (8)

где В, - индукция магнитного поля радиуса пучка, Е, - электрическое поле вдоль оси пучка, Ех и Еу - поля пространственного заряда, р - плотность зарядов в пучке. Для составляющих поля пространственного заряда можно записать

Е. =

Рг, х

2 Еу

рх

,г> г

2еп

,г<г,

рг5 У

2ейг£ РУ

,г>г3

-4-

х2+у2

(9)

2еп

,г<г.

электрическая постоянная, р - плотность зарядов в

Здесь гх - радиус пучка, £0 ■ пучке.

Неоднородное вдоль радиуса пучка магнитное поле представим в виде

Вг = В0 + АБэтСг), (10)

где Во — статическое магнитное поле, ЛВ - амплитуда изменения неоднородного вдоль радиуса магнитного поля.

Как показали расчёты, траектории, соответствующие случаю отсутствия полей пространственного заряда (р = 0), имеют регулярный характер (рис. 4а). На рис. 46 представлена траектория заряда при плотности зарядов р ^ 0, она имеет хаотический вид, что подтверждает положительный знак показателя Ляпунова и вид спектра мощности Фурье.

У _________ _ X

Рис. 4. Траектории зарядов в неоднородном магнитном поле, АВ = 0.5; а) р = 0, б) р 0

Далее рассмотрены траектории при неоднородном вдоль радиуса пучка переменном во времени магнитном поле:

Вг = 50 + АВ 5Ш(г) 8Ш(й*) , (11)

где со — частота изменения переменной компоненты магнитной индукции.

Соответствующие траектории без учёта (р = 0) и с учётом (р Ф 0) полей пространственного заряда представлены на рис. 5.

Рис. 5. Траектории зарядов в неоднородном нестационарном магнитном поле, о) = 2т1В0,ЛЗ = 0.5; а) р = 0, б) р Ф 0.

На рисунке видно, что в обоих случаях траектория имеет хаотический характер. Типичный спектр мощности Фурье для подобных случаев будет иметь вид, представленный на рис. 6.

а м 10в гм по

Рис. 6. Типичный спектр мощности Фурье для рассматриваемой модели

Вид траекторий и спектра мощности Фурье свидетельствует о том, что в рассмотренных задачах решающую роль играет характер изменения магнитной индукции, определяющий хаотический вид траектории.

В четвёртой главе рассмотрено математическое моделирование поведения ларморовой орбиты электрона в ВЧ поля в отсутствие статического электрического поля. В диссертации проведён анализ для случая плоского и радиального пространства взаимодействия в приближении заданного поля.

Поскольку в обоих случаях выводы оказались аналогичными, в автореферате приведены результаты для радиального случая (рис. 7).

Рис 7. Пространство взаимодействия между двумя коаксиальными цилиндрами

Применительно к схеме на рис 7 для составляющих ВЧ поля в уравнении (1) можно записать

Ех(х, О = х-

ЕГо

._^sin(0>Et), ЕУ(УЛ)=УЦЩ)Г

где U~0- амплитуда высокочастотного потенциала, г = ^Jx2 + у2, ыЕ- частота переменного высокочастотного электрического поля. Переменную во времени магнитную индукцию B(t) представим в виде

B(t) = В0 + ABsin(o)Bt), (13)

где Во - статическая составляющая магнитной индукции, ДВ - амплитуда переменной компоненты магнитной индукции, сов — частота изменения переменной компоненты магнитной индукции.

Расчёты показали, что при постоянной магнитной индукции (без учёта второго члена в (13)):

.В = В0 = const (14)

и шЕ — шв наблюдаем «архимедову» спираль (рис. 8а), в которой циклотронный радиус растёт, что соответствует отдаче частицей своей энергии ВЧ полю.

fГо

"Sin(iOgt),

(12)

Рис. 8. Траектория частицы при постоянном магнитном поле при следующих условиях: и = 10000 В, В0= 0.1 Тл. Соотношение частот: а) шЕ = 0)в, б) шЕ = шв/2. Чёрной точкой показано начальное положение частицы

Также на рис. 8 видно, что при шЕ = шв/2 траектория замкнута рис 8(6), т.е. энергообмен электрона с полем постоянен.

Далее рассмотрен случай переменного магнитного поля (11), траектории для этого случая представлены на рис. 9.

Рис. 9. Траектория частицы при переменном магнитном поле и следующих условиях: и = 10000 В, В0 = 0.1 Тл. Соотношение частот: шЕ = о>в.

Чёрной точкой показано начальное положение частицы

Как видно из рис 9, в случае переменной во времени магнитной индукции при соотношениях частот, близких к резонансным (шЕ ~ шв) имеет место сворачивание траектории. Это говорит об отдаче энергии электрона ВЧ полю, что, в свою очередь, может быть использовано для генерации ВЧ поля. Расчёты также показали, что при учёте статического электрического поля под действием знакопеременной магнитной индукции электроны достигают анода с увеличением циклотронного радиуса.

В пятой главе приведены результаты математического моделирования процессов генерирования в скрещенных полях за счёт влияния переменной магнитной индукции вида (13).

П.Л. Капица в своей работе «Электроника больших мощностей» указал на возможность генерирования СВЧ колебаний в скрещенных полях в отсутствие статического электрического поля. Как представляется, полученные в диссертационной работе результаты подтверждают отмеченную возможность.

Анализ проводился применительно к схеме, показанной на рис 10.

■С 54 -4С0* О 0&Н А0№ ООН

Хм

Рис. 10 Пространство взаимодействия между внутренним цилиндром (катод) с радиусом й.! и внешним цилиндром (анод) с радиусом Яг, аксиальной магнитной индукцией В(4) в декартовой системе координат, Е, - радиальное электрическое поле, Его, - вихревое электрическое поле

оого ------

0100 Ц01Ь 0010 <1

Рис. 11 Траектории 100 крупных частиц в пространстве взаимодействия.

На рис. 12 показана траектория одного электрона в увлеченном 1масштабе.

-О .«01» -С.ООС4 »0000 «ООО» 0.00Ю 0001$ »9030

X м

Рис. 12. Траектория одного электрона в увеличенном масштабе Далее проведён расчёт наведённого тока по теореме Шокли - Рамо:

1Ц = {ЕЛ + ЕуУуЩ). (17)

Для создаваемого всем зарядом ц наведённого тока, находящегося в пространстве взаимодействия, аналогично можно записать

/нч = (ЕЛ + ЕуУуЩ), (18)

где величину ц можно оценить следующим образом:

_ р027ГЯ^а2Г<;СПр 4 ~ Тс

здесь ¿„о - время пролёта, ка — высота анодного блока, Тс = —— циклотронный

V цВ0

период, тс — —— циклотронный радиус, р0 = ед^о ~ бриллюэновская плотность уВа

(19)

заряда, £0 — электрическая постоянная. Величину наведённого ВЧ потенциала всем зарядом <7 определим следующим образом:

ин = 'навертев» (20)

/нав ср ~ средний наведённый ток создаваемый всем зарядом q, Дсв - сопротивление связи. Примем ка = 60 мм, Дсв = 60 Ом. Для тока анода запишем

'а = Г , (21)

'•пр

Для наведённой ВЧ мощности можно записать

(22)

¿"ев

В соответствии с соотношениями (17-22) получены следующие выходные характеристики генератора при заданном 11а = 400 В:

ТГН=376 В,/н=3,1 А,/„=0,881 А, ^=1178,13 Вт. Всё вышеизложенное подтверждает выдвинутую гипотезу. В шестой главе предложен способ задания начального приближения при итерационном решении уравнения Лапласа для некоторых типичных областей, характерных для задач электроники и электротехники. Рассмотрим двумерное уравнение Лапласа:

д2и д2и л

~дхг + ~дрг= <23>

В соответствии с сеточным методом уравнение (23) в дискретной форме может быть представлено в виде

где 1 = 1,2, 3, ..., ЛМ;У = 1,2,3, ...,М-1.

Суть способа заключается в том, что для каждого внутреннего узла сетки начальное приближение (и1)Ж.) находится как среднее из решения одномерных уравнений Лапласа как по горизонталям и вертикалям, так и по диагоналям, пересекающимся в данном узле (рис.13 ).

£- ?-< ■- >-^

Рис 13. Схема метода

Было проведено сравнение предложенного способа и известных способов задания начального приближения: при одинаковом значении во всех узлах (1Л,} = 0), и при использовании узлов только по вертикалям и горизонталям (£//,_/+).

Расчёт проводился для типичной области, связанной с задачами электроники и электротехники (рис. 14).

Рис. 14. Типичная область

В таблице представлены результаты для разных способов, показано число итераций, соответствующее каждому из способов: {//,_/+- выбор начального приближения по вертикалям и горизонталям, С/у = 0 - одинаковое начальное значение во внутренних узлах, £/уЖ— предложенный способ.

иц+ ии = о ииж

235 104 37

Как следует из таблицы, предложенный способ обеспечивает наименьшее число итераций при получении итогового решения.

В заключении подводится итог проделанной работы, формулируются результаты исследований и обосновываются перспективы использования разработанной модели для дальнейшего развития методов моделирования систем со скрещенными полями.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

• Предложены математические модели и методы анализа движения зарядов в характерных модификациях электронных потоков (цилиндрический протяжённый пучок, электронная спица, цилиндрический поток с радиальным движением зарядов) с учётом переменных во времени и пространстве электрических и магнитных полей.

• С использованием аналитических и численных решений, полученных для математических моделей и численных методов, составлены эффективные рабочие алгоритмы и на их основе и комплекс проблемно-ориентированных программ анализа электронных траекторий в различных режимах (регулярных и хаотических), комплекс программ имеет удобный интерфейс пользователя, позволяющий визуализировать электронные траектории, в том числе и в трёхмерной перспективе, оперативно менять и вводить в анализ электрические и электродинамические параметры, получая итоговые результаты анализа в диалоговом в режиме.

• Показано, что, используя физически обоснованные допущения, в частности близость анодного напряжения к синхронному напряжению, можно свести исходное уравнение движения зарядов к уравнениям, зависящим только от одной пространственной переменной, и в итоге получить аналитические решения для циклоидальных траекторий в режиме больших амплитуд многорезонаторного магнетрона.

• Установлено, что решающим фактором, определяющим хаотичность траекторий в цилиндрическом пучке, является воздействие нестационарного магнитного поля.

• Показано, что в случае стационарного магнитного поля в зависимости от соотношения частот высокочастотного поля и циклотронной частоты и в отсутствие статического электрического поля либо имеет место постоянный энергообмен между зарядом и полем, либо заряд поглощает энергию ВЧ поля.

• В случае нестационарного магнитного поля и при равенстве частоты ВЧ поля и циклотронной частоты (соответствующей постоянной компоненте магнитного поля) имеет место отдача энергии заряда ВЧ полю. При наличии статического электрического поля и знакопеременного магнитного поля электроны достигают анода при различных соотношениях частот.

• Подтверждено предположение П.Л. Капицы о возможности генерации в скрещенных полях между коаксиальными цилиндрами в отсутствие статического электрического поля за счёт параметрического изменения магнитного поля с частотой, равной циклотронной частоте постоянной составляющей магнитного поля и частоте высокочастотного поля. Получены оценки выходной мощности и тока анода.

• Показано, что можно существенно уменьшить число итераций при численном решении уравнения Лапласа за счёт расчёта начального приближения в каждом узле путём решения одномерных уравнений методом прогонки по вертикалям, горизонталям и диагоналям, пересекающим внутренний узел.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в центральных изданиях, включенных в перечень периодических нзданий ВАК РФ

1. Розов A.C. Моделирование траекторий зарядов в цилиндрическом пучке при переменном магнитном поле / A.C. Розов, В.Б. Байбурин // Радиотехника и электроника 2014. № 9. Т. 59. С. 872-875.

2. Розов A.C. Условие параметрической генерации в скрещенных и переменных во времени электрическом и магнитном полях / A.C. Розов, В.Б. Байбурин // Радиотехника. 2014. № 10. С. 19-21.

3. Розов A.C. Численное моделирование ларморовых орбит в поле /

A.C. Розов, В.Б. Байбурин // Известия Волгоградского государственного технического университета. Сер. Электроника и измерительная техника, радиотехника и связь. 2013. № 23 (126). Вып. 8. С. 7-10.

4. Розов A.C. Аналитическое решение уравнений движения зарядов в скрещенных полях в режиме больших амплитуд / A.C. Розов, В.Б. Байбурин,

B.В. Муллин // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2012. № 1. Вып. 1. С. 32-36.

5. Розов A.C. Аналитическое решение уравнений движения зарядов в скрещенных полях в условиях меняющегося пространства взаимодействия и электрического поля / A.C. Розов, В.Б. Байбурин, A.C. Ершов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2012. № 1. Вып. 3.

C. 47-49.

6. Розов А.С. Моделирование и расчёт траекторий зарядов в неоднородном и нестационарном магнитном поле / А.С. Розов, В.Б. Байбурин // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2013. № 1 (69). Вып. 1.С. 49-53.

7. Розов А.С. Анализ регулярных и хаотических траекторий зарядов в заряженном цилиндрическом пучке / А.С. Розов, В.Б. Байбурин // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2012 №4 (68). С. 68-72.

8. Розов А.С. Закритический режим магнетрона в условиях переменного магнитного поля / А.С. Розов, В.Б. Байбурин // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2014. № 2 (75). С. 11-13.

9. Розов А.С. Параметрический резонанс и генерация в плоском магнетроне / А.С. Розов, В.Б. Байбурин // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2014. № 3 (76). С. 28-31.

10. Розов А.С. Выбор затравочного приближения при итерационном решении уравнения Лапласа / А.С. Розов, В.Б. Байбурин // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2010. № 3. Вып. 4. С. 56-58.

Издания, входящие в базу цитирования Scopus

11. Rozov A.S. Simulation of charge trajectories in a cylindrical beam in the presence of variable magnetic field / A.S. Rozov, V.B. Baiburin // Journal of communication technology and electronics. 2014. Vol. 59. No. 9. Pp. 910-913. Pleiades Publishing Inc.

12. Baiburin, V.B., Rozov, A.S. Research about the conditions of parametric generation in planar resonators (2014) Conference Proceedings - 2014 International Conference on Actual Problems of Electron Devices Engineering, APEDE 2014, 1, art. no. 6958735. Pp. 142-145.

13. Baiburin, V.B., Rozov, A.S. Parametric resonance and high-frequency oscillations generation in crossed fields (2014) Conference Proceedings - 2014 International Conference on Actual Problems of Electron Devices Engineering, APEDE 2014, 1, art. no. 6958734. Pp. 139-142.

14. Baiburin, V.B., Rozov, A.S. Electrons trajectories analysis in crossed constant electric field and variable magnetic field (2014) Conference Proceedings - 2014 International Conference on Actual Problems of Electron Devices Engineering, APEDE 2014, 1, art. no. 6958736. Pp. 146-149.

15. Baiburin, V.B., Rozov, A.S. Larmor orbit reducing in crossed fields at parametric resonance (2014) Conference Proceedings - 2014 International Conference on Actual Problems of Electron Devices Engineering, APEDE 2014, 1, art. no. 6958732. Pp. 131-134.

16. Rozov, A.S., Baiburin, V.B. The analysis of the charge trajectories in the inhomogeneous and time-dependent magnetic field (2013) CriMiCo 2013 - 2013 23rd International Crimean Conference Microwave and Telecommunication Technology, Conference Proceedings, art. no. 6652776 Pp. 175-176.

17. Rozov A.S., Mullin V.V. Some features of the processes in the circuit breaker based on vacuum interrupter chamber (2012) Conference Proceedings - 2014 International Conference on Actual Problems of Electron Devices Engineering, APEDE 2012. l.Pp. 20-22.

18. Rozov A.S., Baiburin, V.B. The analysis of the charge trajectories in the inhomogeneous and time-dependent magnetic field (2013) CriMiCo 2013 - 2013 23rd International Crimean Conference Microwave and Telecommunication Technology, Conference Proceedings, art. no. 6652776. PP. 175-176.

Свидетельство о регистрации программ для ЭВМ и патенты

19. Розов A.C. Программа расчёта и анализа траекторий движения электронов в скрещенных электрических и магнитных полях №2014610588. Дата регистрации 15.01.2014. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.». Дата публикации 20.02.2014.

20. Розов A.C. Программа для решения уравнения Лапласа с возможностью выбора начального приближения №2014061587. Дата регистрации 15.01.2014. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.». Дата публикации 20.02.2014.

21. Розов A.C. Программа решения систем дифференциальных уравнений в частных производных для длинных линий № 2014610731. Дата регистрации 16.01.2014. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.». Дата публикации 20.02.2014.

22. Розов A.C. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ Программа расчёта выходных характеристик генератора на основе Ларморовой орбиты» №2014662216 26.11.2014. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.».

23. Розов А.С Патент на полезную модель / Байбурин В.Б. Терентьев A.A., Ершов A.C., Розов A.C. Тертышник В.В. Усилитель магнетронного типа. № 142991, Заявка: 2013157250/07.

Публикации в других изданиях

24. Rozov A.S. Analysis of regular and chaotic charges trajectories in charged cylindrical beam 1 A.S. Rozov, V.B. Baiburin II The 6th Chaotic Modeling & Simulation International Conference CHAOS-2013. Istanbul, 2013. P. 241.

25. Розов, A.C. Нелинейные режимы вакуумных дугогасительных камер (ВДК) в системах силовой электроники / A.C. Розов, В.Б. Байбурин, В.В. Муллин // Логистика и экономика ресурсосбережения и энергосбережения в промышленности ЛЭРЭП-6-2012: материалы Междунар. науч.-практ. конф. Саратов, 2012. С. 216.

26. Розов,А.С. Расчёт траекторий зарядов в дуговом пучке ВДК / A.C. Розов, В.Б. Байбурин, В.В. Муллин // Логистика и экономика ресурсосбережения и энергосбережения в промышленности ЛЭРЭП-6-2012: материалы Междунар. науч.-практ. конф. Саратов, 2012. С. 215-216.

27. Розов A.C. Выбор начального приближения в итерационном методе решения уравнения Лапласа / A.C. Розов // Инновации и актуальные проблемы техники и технологий : материалы Всерос. науч.-практ. конф. молодых ученых, г. Саратов, 26-29 окт. 2010 г.: в 2 т./ СГТУ. Саратов, 2010. Т. 1. С. 287-288.

28. Розов, A.C. Энергообмен заряженных частиц в высокочастотном поле, в условиях неоднородного магнитного поля / A.C. Розов, В.Б. Байбурин // Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте Scientific World "2013. г. Одесса, 17-26 декабря 2013 г. Секция физика и астрономия. Перспективные инновации в науке, образовании, производстве и транспорте. Т. 4. Физика и математика. Одесса, 2013. Вып. 4. С. 40-43.

29. Розов, A.C. Сверхкомпактный многокаскадный усилитель М-типа для радиолокации радиосвязи, радионавигации / А. С. Розов; науч. рук. В. Б. Байбурин // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-26: сб. тр. XXVI Междунар. науч. конф.: в 2 ч. Ч. 1. Участники школы молодых ученых и программы У.М.Н.И.К. / СГТУ. Саратов, 2013. С. 10-12.

Подписано в печать 02.04.15 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. Усл.-печ. л. 1,0 Уч.-нзд. л. 0,9

Тираж 100 экз. Заказ 39 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел. 24-95-70,99-87-39. E-mail: izdat@sstu.ru