автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование пространственно-периодических течений жидкости асимптотическими и численными методами

На правах рукописи

МЕЛЕХОВ Андрей Петрович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ПЕРИОДИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ АСИМПТОТИЧЕСКИМИ И ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ

Специальность 05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону 2009

9 г

7

003467444

Работа выполнена на кафедре вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета, г. Ростов-на-Дону

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент Ревина Светлана Васильевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация: Кубанский государственный университет, г. Краснодар

Защита состоится 21 мая 2009 г. в 14-20 на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу: 347928, Таганрог, пер. Некрасовский, 44, ауд.Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: 344006, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская,

профессор Наседкин Андрей Викторович (Южный федеральный университет, г. Ростов-на-Дону)

кандидат физико-математических наук, с. н. с. Чернявский Владимир Михайлович (Научно-исследовательский институт механики МГУ имени М.В. Ломоносова, г. Москва)

148.

Автореферат разослан «.

»

2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.208.2 доктор технических наук, профессо

Целых А. Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интерес к проблеме потери устойчивости и рождению новых режимов в нелинейных моделях математической физики обусловлен как технологическими применениями, так и запросами теории. Известно, что в течениях жидкости, например, при увеличении скорости, возникают хаотические (так называемые турбулентные) течения. Было предложено несколько сценариев (Ландау-Хопф, Рюэль - Такенс, Фейгенбаум) перехода от регулярного течения к хаотическому, но до сих пор проблема перехода (как и природа развитой турбулентности) до конца не понятна.

Проблема этого перехода тесно связана с потерей устойчивости основного регулярного течения. В природных и искусственных системах при изменении параметров, определяющих внешние условия или внутренние свойства системы, стационарные состояния теряют устойчивость. При этом могут возникать незатухающие периодические колебания. Это явление широко распространено. Им объясняется переменная светимость некоторых звезд, появление периодически протекающих биохимических реакций, флаттер в самолетных конструкциях, колебания скорости в потоке жидкости и т. д.

В диссертационной работе рассматривается задача устойчивости двумерных стационарных пространственно-периодических течений вязкой несжимаемой жидкости. Двумерные течения служат моделью реальных течений жидкости или газа, в которых под влиянием тех или иных физических причин горизонтальная составляющая поля скорости существенно преобладает над вертикальной. Указанные течения играют важную роль в природных и технических гидродинамических системах. К ним относятся, в частности, крупномасштабные движения океана и атмосфер вращающихся планет (включая Землю), циркуляция плазмы на солнце и других звездах, эволюция галактик и течения в замагниченной плазме.

В диссертационной работе с помощью асимптотических разложений моделируются вторичные автоколебательные режимы, ответвляющиеся от основного стационарного решения нелинейных уравнений Навье-Стокса. При этом инструментом исследования является метод Ляпунова-Шмидта, развитый В. И. Юдовичем. Этот метод был неоднократно применен и продолжает при-

меняться к различным моделям гидродинамики и неконсервативной теории устойчивости (течения жидкости в каналах и трубах, автоколебания вязкоупру-гих стержней, автоколебательная конвекция многокомпонентной жидкости и т.д.). В диссертационной работе метод позволяет получить явные представления сложных вторичных течений, что при решении подобных задач удается довольно редко.

При исследовании реальных течений жидкости изучается поведение пассивной примеси. Например, для исследования океанических течений, таких как Гольфстрим, используются дрифтеры — свободно дрейфующие поплавки с антенной, информация о положении которых передается с помощью спутниковой связи. В настоящей работе на основе полученного асимптотического представления вторичных течений проводятся компьютерные эксперименты по исследованию поведения частиц жидкости (пассивной примеси) в автоколебательных потоках. При периодическом (регулярном) поле скоростей обнаружено возникновение хаотического поведения пассивной примеси — так называемая лагран-жева турбулентность.

Объект исследования. Рассматривается движение вязкой несжимаемой жидкости на плоскости под действием поля внешних сил Р(х, £), х £ К2, периодического по пространственным переменным Х\,Х2 с периодами Ь\, Ьг соответственно, причем ¿2 Ь\. Период Ь\ предполагается равным 271", а отношение

27Г

периодов характеризуется волновым числом а -С 1: Ь2 = —. Поле скорости V

а

и давление р удовлетворяют системе уравнений Навье-Стокса: ди

— + {V, V)« - уДи = -Ур + .Г, сИу« = 0, (1)

где и — —--безразмерная вязкость — величина, обратная к числу Рейнольдса.

Ке

Поле скорости V предполагается периодическим по пространственным переменным х\, х2-

+ЬиХ2,{) = ь(хиХ2,{), ь(Х\,Х2 + Ь2,Ь) = «(жх, х2, . (2)

Здесь и далее через (д) обозначается среднее по периоду Ь\ значение функ-

цш1 д, а через {{д}) — среднее по прямоугольнику периодов П = [0, ¿1] х [0, ¿2]:

£1

<5> = J 9{xl,x2)dx1, ({д)) = д{хъх2)йх1йх2. о п

Среднее значение скорости по прямоугольнику пространственных периодов считается заданным:

М = (3)

Если Р = (0,^2(^1)), д = (0,(72), т0 задача (1)-(3) имеет стационарное решение:

^ = (4)

частным случаем которого является течение Колмогорова V = (0, АвтЖ!). Объектом настоящего исследования является течение вида

V = (аК(х1,х2), У2(хъх2)), а<1, (5)

близкое к параллельному течению (4).

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является моделирование пространственно-периодических стационарных и периодических по времени течений жидкости и лагранжевой турбулентности асимптотическими и численными методами.

В связи с поставленной целью необходимо решить следующие задачи:

• Исследовать устойчивость основного стационарного решения (5) задачи (1) -(3) и построить длинноволновую асимптотику задачи устойчивости двумерных стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости.

• Найти асимптотики вторичных режимов, ответвляющихся от основного течения при уменьшении вязкости в двух случаях: когда поток основного течения вдоль длинного периода Ь2 отличен от нуля и когда он равен нулю.

• Программно реализовать численные методы построения и исследования вторичных течений.

• На основании полученных аналитически асимптотических разложений — провести компьютерное моделирование поведения «частиц» жидкости (пассивной примеси) в основных и вторичных штоках, исследовать возникновение лагранжевой турбулентности.

Научная новизна. При решении поставленных в диссертационной работе задач получены следующие новые научные результаты, которые выносятся па защиту:

1. Исследована устойчивость относительно длинноволновых возмущений двумерных стационарных пространственно-периодических течений, близких к параллельным. Показано, что при уменьшении параметра вязкости происходит бифуркация рождения цикла.

2. Для течений общего вида явно найдены первые члены асимптотики вторичных режимов с помощью нового подхода и модификации метода Ляпунова-Шмидта. Рассмотрен новый практически важный случай течения со средним продольной компоненты скорости вдоль длинного периода, равным нулю.

3. Численно исследовано поведение частиц жидкости (пассивной примеси) в основном и вторичном течениях, для чего был создан комплекс программ.

4. Показано, что для вторичных течений возможно два типа траекторий: регулярные и хаотические. Обнаружена лагранжева турбулентность.

Методы исследования. Для исследования потери устойчивости основного стационарного режима течения используется метод линеаризации в теории гидродинамической устойчивости и разложение по малому параметру. При построении вторичных автоколебаний используется метод Ляпунова-Шмидта в форме, развитой в работах В. И. Юдовича, в сочетании с длинноволновыми асимптотическими разложениями. Компьютерный эксперимент проводился с помощью методов Рунге-Кутта 4-го порядка и — повышенной точности — 8-го порядка для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, при численном решении контролировалось сохранение условия несжимаемости.

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена корректной постановкой задачи, применением строгих математических методов, использованием надежных численных методов, сопоставлением полученных результатов с результатами других исследователей, а также с имеющимися экспериментальными данными.

Научная и практическая ценность. Результаты работы углубляют понимание гидродинамических явлений, происходящих при потере устойчивости основного стационарного режима и бифуркации рождения цикла. В данной работе научную и практическую ценность представляют построенные явно асимптотические разложения сложных автоколебательных режимов. Полученные результаты для течений общего вида могут применяться для теоретических исследований и численных расчетов в гидродинамических и геофизических моделях.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры «Вычислительной математики и математической физики» Южного федерального университета, на следующих научных конференциях: V, VI, VII, VIII, IX, X, XI международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону; 2000, 2001, 2002, 2003, 2005, 2006, 2007), международной школе-семинаре «Симметрия и косимметрия в динамических системах физики и механики» (Ростов-на-Дону; 2000, 2001), международной зимней школе-семинаре МГУ «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (пятнадцатая и шестнадцатая школа НеЗаТеГиУс) (Москва; 2002, 2004), международной школе-семинаре «Симметрия и косимметрия и их приложение в теории бифуркаций и фазовых переходов» (Сочи; 2002, 2003), международной конференции, посвященной 70-летию В. И. Юдовича «Математическая гидродинамика: модели и методы» (Ростов-на-Дону; 2004).

Исследования по диссертационной работе были составной частью работ по проектам:

1. «Математическая теория конвекции жидкости (переходы, селекция, эффекты вибрации и турбулентности)» (РФФИ 99-01-01023-а);

2. «Программа поддержки молодых ученых (для проекта 99-01-01023)» (РФФИ 01-01-06341-мас, рук. А. П. Мелехов);

3. «Математическая теория конвекции жидкости (переходы, параметрическое возбуждение волн, асимптотические методы, магнитогидродинамические и вибрационные эффекты)» (РФФИ 02-01-00337-а);

4. «Программа поддержки молодых ученых (для проекта 02-01-00337)» (РФФИ 02-01-06300-мас, рук. А. П. Мелехов);

5. «Программа поддержки молодых ученых (для проекта 02-01-00337)» (РФФИ 03-01-06556-мас, рук. А. П. Мелехов);

6. Грант Президента РФ по поддержке ведущих научных школ «Математическая теория движения жидкости — разрешимость и единственность, аналитическая динамика, конвекция, устойчивость, асимптотические методы, бифуркации» (№НШ-1768.2003.1).

7. «Математическая теория конвекции жидкости (динамическая неустойчивость, асимптотические эффекты, переходы при разрушении косимметрии в фильтрационной конвекции)» (РФФИ 05-01-00567-а);

8. «Математическое моделирование и исследование динамики жидкости со сложными физико-химическими свойствами при электромагнитных и вибрационных воздействиях» (РФФИ 07-01-92213-НДНИЛ-а).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 печатных работ, из них 2 работы в изданиях, входящих в «Перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации», утвержденный ВАК. Получено свидетельство на программный комплекс [18].

Структура и объем. Текст диссертации состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (118 наименований) и приложения. Общий объем диссертации — 145 страниц, включая 26 рисунков и одно приложение объемом 7 страниц.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю С. В. Ре-виной за предложенное направление исследований и постоянное внимание к работе, а также семинару кафедры вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ за внимание и полезные обсуждения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан краткий исторический обзор работ но теме диссертации, изложена структура и основные результаты работы.

Первая глава посвящена исследованию устойчивости основного течения общего вида (решения задачи (1)-(3))

У = (аУ1(хх,х2),У2(хих2)), <У2)ФЪ (6)

при уменьшении параметра вязкости — величины, обратной числу Рейнольд-са (и = 1/11е), и построению длинноволновой асимптотики вторичного режима. Получены явные формулы для нескольких первых членов асимптотических разложений вторичных автоколебаний.

Через 6 обозначим надкритичность 5 = ус — V. Полагая 8 = е2, разыскиваем скорость и, давление р и неизвестную частоту автоколебаний ш (т ~ шЬ) в виде рядов по степеням е:

00 оо ОС

и = ^екик(х1,х2,т), р=^2£кРк(х 1,Х2,т), = зк.

к=1 к=1 к=О

Решение уравнения возмущений при е1 имеет вид: щ = г)\{1ре1Т-\-ф*ё~гт), где ср есть решение соответствующей линейной спектральной задачи. Собственные функции (р, отвечающие им собственные значения а = шо, а также критическое значение параметра вязкости V = ис> разыскиваются в виде рядов по целым степеням волнового числа а:

00 оо оо

<р = ^ ак(Рк> = ^ = У* + И ак"к-к=0 к=0 к=1

Определим функции в{х\,х2) и Р(хх,х2) как решения вспомогательных задач:

Я2/П я2 р

щ-ч-ю, т = 0

и сделаем замену переменной г = ах2. Главные члены асимптотики ¡р имеют вид:

1 яд

¥>?(*) = е-'™ = ,

Главные члены асимптотики частоты щ и критического значения параметра вязкости есть

Решение уравнения возмущений при е2 имеет вид:

и2 = т121(го + г2е21т+ г*2е-2{т).

Выражения для первых коэффициентов разложений в ряд по а функций го и г2 имеют вид:

оо со

Ыг = Ы* = I = 1,2,

к=О

к=-1

9 9 г)2 Р

где среднее значение (го)! определяется следующей формулой:

<ы}> - щ-^т) - теп

Разложение функции г2 в ряд по степеням а в общем случае начинается с а-1, в частном случае параллельного течения — с а°.

(г2)-\г) = с0е-»т\ *) = ¿ЫГ1

где коэффициент с0 находится по формулам

. „ 99 дО., °° = 'дх1'дг

89

)> -9 т2{(в

89

_(У2)\ "\\dxij ') ")

Из условия разрешимости уравнения возмущений при £3 находим нулевой член разложения амплитуды 7]х и разложение по а коэффициента ш2.

4 =

(П + с-о

дв\\_ *2)д1дв дх1) ' " I дхгдг'

п „ , г,2тсп,, 89 дв

Далее в диссертации рассматривается несколько примеров основных течений. Приведем здесь один типичный пример расчета критического значения ис и асимптотики автоколебального режима.

Пример 1. Пусть стационарное течение имеет вид:

V\ = a sin fcii sin nz, V2 = bcoskxi cos nz + 1. Вычисления по полученным формулам приводят к следующим результатам: (ui)i = щ (е [2 cos (г - mz) + 0(a)] + 0(а°е2)), («1)2 = г] i (е [4sign(an) sinfcci cos rizeos (т — mz) + 0(a)] + 0(a°e2)),

2 к2 lol Щ = 2Й' С° =

^ = 1/1 = О, ^ = --J_(22aW + 8n4 + 7a2fc2m2),

2|п| 8|an|«4

a)¿ = m, Ц, = 0, = ■^^{т2а2к2+ Sn2),. = 0.

Стационарное течение устойчиво при f, большем Автоколебательный режим существует и устойчив при и, меньшем vc.

Вторая глава посвящена задаче устойчивости и отысканию асимптотики автоколебательного режима, ответвляющихся от стационарного пространственно-периодического течения общего вида

V = (a^(x2),^(x1)), <К2}=0 (7)

при уменьшении вязкости v = 1/Re. Найдены первые члены асимптотики критического значения вязкости, собственных значений и собственных функций. Показано, что в отсутствие вырождений, происходит колебательная потеря устойчивости. Построена длинноволновая асимптотика ответвляющегося автоколебательного режима.

Также как и в первой главе, через д обозначим надкритичность: ¿ = ис — и. Полагая S = е2, будем разыскивать скорость it, давление р и неизвестную частоту колебаний ш (т = ut) в виде рядов по степеням параметра е.

Пусть функция в(х\) определяется из уравнений: в"(х{) = V^i), (в) = 0. Построение асимптотики разбивается на два случая — невырожденный: {вв'2) ф О и вырожденный: (вв,2) = 0. Вырожденный случай возникает, например, если функция в(х\) является нечетной. Для этих случаев построенные асимптотические разложения вторичных течений различны.

Решение уравнения возмущений при е1 имеет вид: щ = ц\(срегт + ip*e~lT), где вектор-функция <р(х\, z) определяется как решение линейной спектральной задачи. Для ср, ujq и i/c главные члены разложения по волновому числу а были найдены:

<p4(z)= e~im*, <Д(х ь z) = Коэффициенты разложения по а частоты Wq имеют вид:

где функции S и G находятся явно.

Первые члены асимптотики критического значения вязкости ис вычисляются по формулам:

v*2 = (ff2), v\ = о, ^ = ^[((eg')-3I'*2<02))m2-K)){02)].

Возмущение при е2 имеет вид: «2 — ii\{zo + Z2e2tT -{-г\е~2гт). Разыскивая z0 в виде ряда по степеням параметра а

00

=ХХ^«' г' = 1>2> к=0

приходим к следующим выражениям для главных членов асимптотики:

где ад = Vi - (ММ*!» = О-

В общем случае разложение по а начинается с а-1. Если (вв'2) — О, ■Vj = const, то главные члены разложения имеют вид:

ы Г1 = coe_2im2, (г2)2-1 = ^ГЧ^Ы Ы? = "¿^^ЖЫ?)-В случае {вв'2) ^ 0 разложение z-i начинается с оР и имеет вид

ы? = {ъШ {z2)l = + -Le"2^^),

= + + <Ы1>.

12

Из условия разрешимости уравнения при е3 находим нулевой член разложения амплитуды т/1 и разложение по а коэффициента и>2'. и>® = — О-В случае (вв'2) ф 0: = 0, а если (вв'2) = 0, Vi = const, то: '2т lim3

ш2 = Г]2

Re(co)

-Im(co)^Vi(ö2)

Основной режим асимптотически устойчив при малых и — ис, если и >

и неустойчив, если V < Если выражение для квадрата амплитуды больше

нуля, то цикл существует при V < ис и устойчив — происходит мягкая потеря

устойчивости; если же оно меньше нуля, то цикл существует при и > ис и

неустойчив — происходит жесткая потеря устойчивости.

и*3

В случае (вв'2) ф 0: ц2 = , следовательно, длинноволновая неустойчивость — мягкая.

В случае же (вв12) = 0 возможна как мягкая, так и жесткая потеря устойчивости:

г]2 = 2 г/3/

2(02}[l + Re(co)2(Ki>] + Im(co)

,*2

2 и

т

11 m{eG)

Пример 2. Для основного течения с функцией в вида

в{х{) = аэт^!) + 6зт(2х1),

выполняется условие {вв,2) = 0. При У1 = 1,а = 1/5,Ь=1/5,т = 1 амплитуда автоколебаний т]2 та —1.25, и происходит жесткая потеря устойчивости. А при У\ = 1, а = 1, Ь = 1, ш = 1 амплитуда автоколебаний г)2 та 3.08 — происходит мягкая потеря устойчивости.

Асимптотики вторичных режимов для основных течений (6) и (7) различны.

Ниже приведены два примера расчета асимптотик автоколебательных режимов для основных течений, которые отличаются друг от друга только средним значением второй компоненты скорости. Течение с нулевым средним, при стремлении параметра а к нулю, сходится поточечно к параллельному течению, отличающемуся от течения Колмогорова наличием гармоники более высокого порядка.

Пример 3. Пусть основное течение с () = 0 имеет вид:

V = (—авт^хг), — сов^) - 4соэ(2:г1)). (8)

Тогда (99,2) = 3/4, критическое значение вязкости ис и частота и> находятся по формулам:

ue=y¡\- а^ + ¿) + 0(а3), ш = + 0(а4 + ¿с? +

5

амплитуда rf =

Пример 4. Рассмотрим основное течение с ненулевым средним ((V2) = 1) вида:

V = (—asin(aa:2), —cos(ii) — 4cos(2a:i) + 1). (9)

Тогда {99a) = 3/4, критическое значение вязкости и частота находятся по формулам:

= (^Ж" + ¿)+0(а3)' w = ат(У2)+а^+0(аЧе2аЧе%

5

амплитуда rf = -\/Í0.

,2

;

В третьей главе на основе асимптотик, построенных в первой и второй

главах, исследуется поведение пассивной примеси в основных и вторичных потоках, моделируется лагранжева турбулентность. Для этого рассматриваются системы уравнений на плоскости, описывающие движение частиц жидкости (пассивной примеси) в основном течении х = V, а также в возмущенном потоке х = V + и. Здесь х = (2:1,2:2), V — поле скоростей основного течения, и — скорость соответствующего автоколебательного режима.

Сначала рассматривается движение частиц во вторичном автоколебательном потоке, ответвляющемся от параллельного основного течения вида

V = (0,1 + Acosan). (10)

Движение частиц жидкости в возмущенном потоке описывается системой ii=ui, ¿2 = (1 + Acosa:i) + и2. (11)

Для исследования вторичного течения удобно перейти к системе координат, движущейся со средней скоростью течения. После замены z = х2 — t система

(11) становится автономной, и ее можно привести к гамильтоновой форме:

Z =--3:1 = (12)

14

Здесь функция тока %¡) имеет вид:

г[) = A sin az + В sin ii + С cos х\ cos az + V sin x\ cos 2az;

A = 23/4VAe/a, В = 2^e2 - А, С = 25/4л/1г, V = 2V2e2.

Таким образом, в движущейся системе координат (x\,z) приходим к двумерной автономной гамильтоновой системе. Такая система интегрируема и, следовательно, в автоколебательном режиме, ответвляющемся от параллельного основного потока, хаотическое движение пассивной примеси невозможно. Траектории частиц совпадают с линиями уровня гамильтониана ip.

Проведенные компьютерные эксперименты свидетельствуют, что при значениях амплитуды, отличных от критического значения А* = 23/2(е/а)2, в системе координат, движущейся со средней скоростью основного потока, траектории движения частиц ведут себя подобно фазовым кривым математического маятника: частицы совершают периодические движения по циклам, окружающим особые точки типа центра или уходят на бесконечность вдоль сепаратрис (Рис. 1 а). Для критического значения А = А* остается только движение по циклам: сепаратрисы, соединяющие седла, разбивают фазовую плоскость на ячейки (Рис. 1 б).

10 12 14 16 18

Рис. 1 а. Линии тока и сепаратрисы Рис. 1 б. Линии тока и сепаратрисы вторичного течения при А = 5 А* вторичного течения при А = А*

В качестве второго основного течения возьмем двоякопериодическое (с периодами L\ и L-i) течение, близкое к параллельному:

v = (аА cosxi sin ах2, 1 — A sin^i cos ax2) ■ (13)

При стремлении а к нулю течение (13) сходится поточечно к параллельному, с точностью до сдвига вдоль оси х\ совпадающему с первым основным течением (10).

В отличие от случая параллельного основного течения, для описания движения частиц во вторичном потоке, ответвляющемся от непараллельного основного течения, приходим к двумерной неавтономной гамильтоновой системе, в которой возможно появление хаотических траекторий. На рис. 2 а и 2 Ь построены траектории движения частиц, в начальный момент времени расположенных с шагом 0.001 на отрезке оси х\ длиной 0.02. На рис. 2 а представлено поведение частиц в координатах (х^хг)- На рис. 26 те же траектории изображены в движущейся системе координат (х\, г) (г = Хг —

Рис. 2 иллюстрирует локальную неустойчивость движения частиц: траектории с начальными координатами, взятыми как угодно близко, расходятся. Чтобы оценить локальную неустойчивость движений частиц, вычислены показатели Ляпунова: А^ ~ ±0.035. Так как один из показателей больше нуля, в системе есть локальная неустойчивость. Наличие положительного показателя Ляпунова является также одним из основных критериев хаотичности движения.

Рис. 2 а. Движение частиц в коорди- Рис. 26. Движение частиц в координатах (жь жг) натах (х\, Х2 —

Проведенные компьютерные эксперименты свидетельствуют, что уже в двумерном случае, движение вторичного потока приводит к лагранжевой турбулентности—хаотическому поведению частиц жидкости при регулярном поле скоростей.

Данные компьютерных экспериментов хорошо согласуются с натурными экспериментами. Для исследования океанических течений используются дрифтеры — свободно дрейфующие поплавки с антенной, информация о положении которых передается с помощью спутниковой связи. Трассы отдельных дрифтеров также локально неустойчивы и выглядят аналогично траекториям движения частиц в компьютерных экспериментах.

Далее в диссертации рассматриваются основные течения (8) и (9) со средним значением (Ц) равным нулю (пример 3) и не равным нулю (пример 4), проводится их сравнение.

При е = 0.1 во вторичном течении, ответвляющемся от основного течения (8), возникают два типа движений частиц. Часть частиц движется регулярно: частицы медленно движутся в положительном направлении оси и совершают периодические колебания по х\. Остальные траектории ведут себя хаотично: частицы могут двигаться как в положительном, так и в отрицательном направлении оси Ж2, а также в течение некоторого времени совершать движения, близкие к периодическим, вокруг эллипсов или «восьмерок» в пределах одного прямоугольника периодов. Все перечисленные движения в случайные моменты времени переходят друг в друга. На рис. 3 изображена одна траектория, совершающая стохастические движения (а — в координатах (£,£2), б — в (х\, х2)). Для траектории на рис. 3 вычислены показатели Ляпунова: А^г ~ ±0.115.

Рис. 3. Хаотическая траектория частицы во вторичном потоке

Наряду с показателями Ляпунова, критерием хаотичности является свойство перемешивания. При компьютерном моделировании это свойство наблю-

дается с помощью эволюции «фазовой капли». В начальный момент времени частицы заполняют малый квадрат на плоскости х1} х2 со стороной 10 , координаты левого нижнего угла квадрата равны х\ = 0.4, х2 = 21.3. В силу периодичности краевых условий можно считать, что все движения происходят на торе, поэтому все координаты приводятся к прямоугольнику периодов. На рис. 4 показано положение частиц в момент времени í = 200. Малая фазовая капля (на рис. близка к точке) расплылась по всему прямоугольнику периодов и сосредоточилась в окрестности сепаратрис основного течения. Для указанных траекторий вычислены показатели Ляпунова А^г ~ ±0.029.

В приложении приводится описание комплекса программ, созданного для компьютерного моделирования движения частиц жидкости (пассивной примеси). Пользователь комплекса программ работает в диалоговом (интерактивном) режиме. Комплекс программ позволяет: выбрать одну из предложенных систем уравнений (описывающих движение жидкости) или задать новую, задать параметры системы, выбрать метод, которым решается система, задать координатные оси и пределы изменения соответствующих координат. В качестве системы координат может быть выбрана как неподвижная система координат, так и система координат, движущаяся со скоростью, равной средней скорости основного потока.

Комплекс программ позволяет сохранять полученные рисунки в файл графического формата и сохранять данные расчета решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений в текстовый файл для последующей их обработки.

Рис. 4. Расплывание фазовой капли в координатах (х\,х2)

Рис. 5. Главное окно программы

• 1а«ольныё координаты | Окне | Сметена Мете Методы ................; Параметры м

жШ ! Вывод е фвРП :

ИРТ<ЧВ Н^П^у * ГР: и.Румгв-Кутта с

г шаг по т |сГсп

3ПоаОЧИНЫМ '-Ч!

9 ,«

Рис. 6. Окна программы: трехмерный график и выбор метода

Специальное окно программы посвящено вычислению характеристик хаоса, таких, как показатели Ляпунова, отображение Пуанкаре, спектр Фурье, диффузия. Можно также моделировать расплывание фазовой капли, выводя на экран положение частиц жидкости в фиксированные моменты времени.

Программный комплекс использовался в учебном процессе и в научно-исследовательской работе на кафедре вычислительной математики и математической физики факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

При решении поставленных в диссертационной работе задач получены следующие новые теоретические и прикладные результаты.

1. Исследована устойчивость относительно длинноволновых возмущений двумерных стационарных пространственно-периодических течений, близких к параллельным. Исследование проведено для течений общего вида, принадлежащих указанному классу. Показано, что при уменьшении параметра вязкости происходит бифуркация рождения цикла: от основного стационарного решения ответвляется автоколебательный режим.

2. Для течений общего вида явно найдены первые члены асимптотики вторичных течений. Новым является подход, когда устойчивость двумерных стационарных течений исследуется и вторичные течения строятся без применения функции тока. Для построения асимптотики применяется метод Ляпунова - Шмидта в той форме, которая является общей как для двумерных, так и для трехмерных течений, что позволяет легко обобщить полученные результаты на трехмерный случай.

3. Впервые исследована устойчивость основного непараллельного течения и построена асимптотика вторичных режимов в случае, когда среднее продольной компоненты скорости вдоль длинного периода равно нулю.

4. Для исследования движения частиц во вторичных течениях создан комплекс программ, с развитым интерфейсом, позволяющий проводить численные эксперименты. Были, в частности, реализованы численные методы поиска спектра Фурье, вычисления показателей Ляпунова, построения отображения Пуанкаре.

5. Исследовано поведение частиц жидкости (пассивной примеси) в основном течении, а также, с помощью построенных асимптотик, во вторичных потоках. Показано, что для вторичных течений возможны два типа траекторий: регулярные и хаотические. Наличие хаотических траекторий свидетельствует о том, что имеет место лагранжева турбулентность. Проведенные компьютерные эксперименты свидетельствуют о том, что качественное поведение частиц жидкости (пассивной примеси) не зависит от конкретного вида течения и от размерности пространства.

Список работ по теме диссертации

[1] Мелехов А. П., Ревина С. В. Длинноволновая асимптотика двумерных вторичных автоколебаний на стационарных пространственно-периодических течениях // М., 1999. 30 с. - Деп. в ВИНИТИ 27.07.99. № 2438-В99.

[2] Мелехов А. П., Ревина С. В. Возникновение автоколебаний при потере устойчивости двумерного стационарного пространственно-периодического течения относительно длинноволновых возмущений // Труды V Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ. 2000. Т. 1. С. 119-123.

[3] Мелехов А. П. Длинноволновая Лагранжева турбулентность // Международ. Школа-семинар «Симметрия и косимметрия в динамических системах физики и механики». 18-23 сентября 2001. Ростов-на-Дону. С. 132-140.

[4] Мелехов А. П. Движение частиц жидкости во вторичном потоке, ответвляющемся от двумерного стационарного течения // Труды VI Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ. 2001. Т. 2. С. 110-113.

[5] Мелехов А. П. Движение частиц вязкой несжимаемой жидкости во вторичном автоколебательном потоке, ответвляющемся от двумерного стаци-

онарного течения // Материалы международной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность». 10-17 февр. 2002. Аксаково. С. 83-85.

[6] Мелехов А. П. Хаотическое поведение частиц вязкой несжимаемой жидкости во вторичном автоколебательном потоке // Сборник трудов Международной школы-семинара «Симметрия и косимметрия в теории бифуркаций и фазовых переходов». 27 авг.-2 сент. 2002. Сочи. С. 97-100.

[7] Мелехов А. П. Движение частиц вязкой несжимаемой жидкости во вторичном атоколебательном потоке // Вестник молодых ученых. Прикладная математика и механика. 2002. №1. С. 62-71.

[8] Мелехов А. П., Ревина С. В. Задача устойчивости двумерных стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости относительно длинноволновых возмущений // М., 2003. 34с. - Деп. в ВИНИТИ 8.12.03, №2138-В2003.

[9] Мелехов А. П. Хаотическое поведение частиц вязкой несжимаемой жидкости во вторичном автоколебательном потоке, ответвляющемся от сдвигового течения // Труды VIII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», г. Ростов-на-Дону. 2003. Т. 2. С. 133-137.

[10] Мелехов А. П., Ревина С. В. Траектории движения частиц жидкости для одного класса стационарных пространственно-периодических течений и вторичных автоколебательных потоков // Тез. докл. межд. конф. «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность». февраль 2004. Аксаково.

[11] Мелехов А. П., Ревина С. В. Колебательная неустойчивость стационарных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых возмущений // Тез. докл. межд. конф. «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность», февраль 2004. Аксаково.

[12] Мелехов А. П., Ревина С. В. Неустойчивость двумерных стационарных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых возмущений

// Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. Спецвыпуск. Математика и механика сплошной среды. С. 170-173.

[13] Мелехов А. П., Ревина С. В. Возникновение автоколебаний при потере устойчивости двумерных стационарных пространственно-периодических течений с нулевым средним //' М, 2005. 32 с. -Деп. в ВИНИТИ 21.10.05, №1353-В2005.

[14] Мелехов А. П., Ревина С. В. Длинноволновая асимптотика двумерных вторичных автоколебаний на стационарных пространственно-периодических течениях с нулевым средним // Труды IX Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды», г. Ростов-на-Дону.: Изд-во Издательство ООО «ЦВВР». 2006. Т. 2. С. 169173.

[15] Мелехов А. П., Ревина С. В. Устойчивость трехмерных пространственно-периодических течений относительно длинноволновых возмущений // Труды X Междунар. конф. «Современные проблемы механики сплошной среды». 5-9 декабря, 2006. Ростов-на-Дону: Изд-во СКНЦ ВШ. 2006. Т. 1. С. 193-197.

[16] Мелехов А. П., Ревина С. В. Устойчивость трехмерных пространственно-периодических сдвиговых течений относительно длинноволновых возмущений // Труды XI Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». 26-29 ноября 2007. г. Ростов-на-Дону. С.185-189.

[17] Мелехов А. П., Ревина С. В. Возникновение автоколебаний при потере устойчивости пространственно-периодических двумерных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых возмущений // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2008. №2, с. 41-56.

[18] Мелехов А. П. Комплекс компьютерного моделирования движения частиц жидкости (пассивной примеси) и лагранжевой турбулентности Пш(1ЬТМос1е1 // Авторское свидетельство № 50200900054,11 января 2009 г.

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве:

[1,2]— построение длинноволновой асимптотики задачи устойчивости, применение метода Ляпунова-Шмидта для нахождения асимптотики автоколебательных режимов, расчет вторичных течений для конкретных примеров основных течений; [8, 11, 12] — построение длинноволновой асимптотики линейной задачи устойчивости в случае среднего значения продольной компоненты скорости вдоль длинного периода, равного нулю; [10] — программная реализация численных методов, проведение компьютерных экспериментов для моделирования поведения пассивной примеси во вторичных течениях; [13, 14] — применение метода Ляпунова-Шмидта для нахождения асимптотики автоколебательных режимов в случае среднего значения продольной компоненты скорости, равного нулю; [15, 16] — проведение сравнения результатов двумерного случая с трехмерным; [17] — построение длинноволновой асимптотики, программная реализация численных методов, моделирование поведения пассивной примеси, проведение компьютерных экспериментов.

Сдано в набор 11.03.09 г. Подписано ь печать 03.09 г. Заказ Кг 339. Тираж 120 экз. Формат 60*84 1/ ¡г, Печ. лист 1,0. Усл.печ.л. 1,0.

Типография Южного федерального университета 344090, г. Ростов-на-Дону,пр Стачки, 200/1, тел (863) 243-41 -66.

Введение

Глава I. Построение асимптотики вторичных течений для основного течения с ненулевым средним

1.1. Постановка задачи

1.2. Линейная спектральная задача.

1.3. Сопряженная задача.

1.4. Асимптотика автоколебаний.

1.5. Нахождение функции zq.

1.6. Нахождение функции z<i.

1.7. Нахождение амплитуды автоколебаний щ.

1.8. Примеры основных течений.

Известно [1, 2], что характер движения вязкой несжимаемой жидкости сильно зависит от параметра течения — числа Рейнольдса. Например, из ламинарного течения в трубе, при увеличении числа Рейнольдса и переходе через некоторое критическое значение, внезапно могут возникать течения неравномерные, пульсирующие, так называемые турбулентные течения. Гаген, производя опыты с водой, движущейся в цилиндрической трубе, обнаружил это явление и заметил, что при увеличении скорости течения и радиуса трубы, или уменьшении вязкости происходит этот переход. О. Рейнольде показал, что переход одного типа в другой совершается, когда безразмерная величина Ur/v (U — средняя скорость течения, г — радиус трубы, v — вязкость) переходит через некоторую границу. Это число было названо впоследствии числом Рейнольдса.

В гидромеханике изучение турбулентных течений распадается на две задачи [3, 4]: определение перехода от основного течения к турбулентному и исследование движения уже в установившихся турбулентных течениях. Первая задача тесно связана с исследованием потери устойчивости основного течения.

Современное развитие теории устойчивости начинается с работ А. Пуанкаре [5] и A.M. Ляпунова [6]. Хотя А. Пуанкаре ограничивался частными случаями, но методы, которыми он пользовался, допускают широкие обобщения. Первый метод А. М. Ляпунова основан на отыскании решений уравнений возмущенного движения в виде рядов по целым положительным степеням произвольных постоянных. Первый член этих рядов соответствует решениям линеаризованных уравнений возмущенного движения. До работ A.M. Ляпунова обычно ограничивались анализом только этих членов. Исследованием устойчивости идеальной жидкости занимался Рэлей. В частности он показал [7], что для неустойчивости параллельного течения кривая распределения скоростей должна иметь точку перегиба.

В теории гидродинамической устойчивости первые две работы, в которых доказывается, используя метод линеаризации, неустойчивость основных стационарных течений вязкой жидкости в плоских течениях Куэтта и Пуазейля, даны в работах Дж. И. Тэйлора [8] и В. Гейзенберга [9] соответственно. Далее, исследования в этой области продолжили Толлмин, Шлих-тинг, Тэйлор, Линь, Шубауэр, Скрэмстед, Томас и др. (см. [7]). А. Л. Крылов в работе [10] делает проверку результатов Дж. И. Тэйлора для течения Куэтта между двумя вращающимися цилиндрами и в [11] — результатов В. Гейзенберга для течения Пуазейля.

В работах В. И. Юдовича [12, 13, 14] впервые было дано строгое обоснование метода линеаризации в задаче об устойчивости стационарных и периодических по времени (вынужденных и автоколебательных) течений вязкой жидкости. В 60-е годы многие ученые сомневались в возможности распространить метод малых колебаний классической механики на задачи механики сплошной среды. Конец этим сомнениям положило полученное В. И. Юдовичем доказательство глобальной теоремы существования вынужденных периодических режимов течения вязкой жидкости при периодических по времени силах и граничных полях скорости [12, 13, 14].

Помимо теоретических, при исследовании устойчивости основного течения и исследования движения в установившихся турбулентных течениях применяются численные методы. С. Я. Герценштейн и сотрудники Института механики МГУ исследовали устойчивость течений, отличных от нло-скопараллельных и зависящих не от одной, а от нескольких пространственных переменных и, вообще говоря, и от времени [15] - [19]. Был осуществлен поиск приближенных численных решений уравнений Навье-Стокса. Хорошее качественное соответствие полученных приближенных численных решений точным решениям было получено благодаря разработанной достаточно эффективной численной методике [20, 21, 22]. Эта методика фактически представляла собой симбиоз асимптотических и прямых методов.

С помощью разработанных численных методов для полных уравнений На-вье-Стокса Н.В. Никитиным проведен прямой расчет турбулентного течения в трубе [23]-[26].

Возникновению автоколебаний из стационарных состояний при математическом описании отвечает бифуркация рождения цикла. Исследование бифуркации рождения цикла также восходит к работам А. Пуанкаре и А. М. Ляпунова. Открыл бифуркацию рождения предельного цикла из равновесия A.A. Андронов [27]. Обобщение результатов A.A. Андронова с двумерного случая на n-мерные системы выполнено Н. Н. Баутиным [28, 29], Э. Хопфом [30], Ю. И. Неймарком [31], Н. Н. Брушлинской [32]. Для бесконечномерных систем, и, в частности, для уравнений Навье-Стокса, исследование бифуркации рождения предельного цикла было проведено в работах В. И. Юдовича [33], Ж. Иооса [34], Д. Джозефа [35] и Д. Саттин-гера [36].

Для нахождения вторичных режимов, ответвляющихся от основного решения, применяется метод ветвления теории нелинейных уравнений — метод Ляпунова-Шмидта. В работах [37, 38, 39, 40, 41] A.M. Ляпунов рассматривал задачу о фигурах равновесия вращающейся однородной жидкости, в которой был разработан и применен этот метод для интегральных уравнений. Независимо от него Э. Шмидт в своей работе [42], по-свящепной исследованию нелинейных интегральных уравнений, также построил теорию ветвления решений. Дальнейшее развитие метод Ляпунова-Шмидта в теории нелинейных интегральных уравнений получил в работах Л. Лихтенштейна [43], А. Гамерштейна [44], Р. Иглиша [45, 46], А. И. Некрасова [47, 48], H.H. Назарова [49], А. Э. Стапана [50, 51] и др. Для нахождения всех малых решений уравнения разветвлений А. Э. Стапан воспользовался методом диаграммы Ньютона [52, 53]. В дальнейшем метод Ляпунова-Шмидта был распространен на нелинейные уравнения в банаховых пространствах в работах Т. Симидзу [54], Р. Бэртла [55], Л. Грэйвса [56],

В.А. Треногина [57, 58, 59] и др. Метод Ляпунова-Шмидта изложен в [60, 61]. Отметим, что для исследования вопроса о продолжаемости и ветвления решений нелинейных уравнений также применяются топологические и вариационные методы [62, 63].

В настоящей диссертации применяется метод Ляпунова-Шмидта в форме, развитой в работах В. И. Юдовича [64, 65]. Разработанный им вариант метода Ляпунова-Шмидта в задаче о возникновении стационарных и автоколебательных режимов при потере устойчивости стационарного течения не только привел к теоретическому пониманию этого явления, но и был многократно применен к различным задачам гидродинамики и неконсервативной теории устойчивости. Часть этих результатов отражена в монографии [66] (перевод на английский язык [67]).

А. Н. Колмогоровым на руководимом им семинаре была поставлена задача [68, 69] об устойчивости плоского периодического течения вязкой несжимаемой жидкости, возникающего под действием пространственно-периодической силы (течения Колмогорова): параллельного течения вида V" = (0,7/1/вта?!) в предположении, что возмущения периодичны по XI, Х2 с периодами 27т, 2п/а. Отличие от задачи устойчивости в плоских трубах состоит в допущении периодичности по вместо условия прилипания. Л. Д. Мешалкип, Я. Г. Сипай [70] исследовали устойчивость этого течения. Показано, что при а > 1 основное решение всегда устойчиво; когда а < 1 при больших числах Рейиольдса происходит монотонная потеря устойчивости; при возрастании числа Рейнольдса неустойчивость наступает при малых значениях а, т. е. самыми опасными возмущениями являются длинноволновые. В работе В. И. Юдовича [33], посвященной течению Колмогорова, построен один из первых примеров неединственности решений стационарных задач динамики вязкой жидкости. С. М. Зеньковская [71] рассматривала задачу устойчивости периодического по времени течения, близкого к течению Колмогорова.

Исследованием возникновения вторичных режимов движения в случае основного течения Колмогорова и их устойчивостью занимались В. И. Кляц-кин [72], Т. С. Грин [73] А. А. Непомнящий [74], Б. Ю. Скобелев, В. В. Стру-минский [75]. В [74] показано, что вторичный режим неустойчив по отношению к возмущениям с произвольной длиной волны.

Н. Ф. Бондаренко, М. 3. Гак, Ф. В. Должанский [76] привели результаты лабораторного исследования плоского периодического течения электролита, возбуждаемого магнитогидродинамическим методом в канале конечных размеров. Результаты экспериментов находятся в хорошем качественном согласии с предыдущими работами по течению Колмогорова. Обзор исследований и лабораторных экспериментов квазидвумерных течений приведен в [77] (см. также [78]). Работа [79] посвящена исследованию течения Гольфстрим, одного из самых известных крупномасштабных движений океана. Исследование течения Колмогорова продолжилось в [80, 81, 82].

В работе В. И. Юдовича [83] рассматривались параллельные течения вида V = (0,14(ж1)), частным случаем которых является течение Колмогорова. Исследовалась их устойчивость относительно возмущений, периодических по XI, Х2 с периодами 2тг, 2п/а. Доказано, что все такие течения неустойчивы при достаточно больших числах Рейнольдса и малых а. Если среднее значение продольной компоненты скорости отлично от нуля: {У2) ф 0) то происходит колебательная потеря устойчивости, а если (ж 1) — нечетная функция, то монотонная. Метод доказательства неустойчивости основного решения заключается в асимптотическом интегрировании уравнения Орра-Зоммерфельда для длинноволновых возмущений. При этом па каждом шаге разложения в ряды по параметру а в качестве условий разрешимости возникают осредненные уравнения.

В. И. Юдовичем [84] было доказано, что неустойчивость параллельных течений относительно длинноволновых возмущений приводит к возникновению сверхкритического автоколебательного режима типа простой волны. Доказано, что построенный автоколебательный режим устойчив относительно пространственно-периодических возмущений одинаковой с ним длины волны. Для расчета этого режима применялся метод Ляпунова-Шмидта в форме, развитой в [64, 65], в сочетании с асимптотикой длинных волн.

В 1990 г. задача устойчивости основного течения была рассмотрена В. И. Юдовичем в трехмерной постановке, в предположении, что один из пространственных периодов стремится к бесконечности: Ьз = 27г/а, а —» 0, а два других фиксированы. Длинноволновая асимптотика задачи устойчивости трехмерных стационарных течений вида

V = (аУиаУъУз) (0.1) построена в [85]. Для главных членов асимптотики получены явные формулы. Явное построение асимптотики оказывается возможным потому, что скорость в поперечном направлении предполагается малой (порядка а), так что сохраняется неизменным уравнение неразрывности в продольно-сжатой системе координат ах3. Для определения коэффициентов разложения в ряды по а служат условия разрешимости высших приближений, которые получаются в результате осреднения исходных уравнений по переменным Х\,Х2- В частности, показано, что если (Т/3) ф 0, то при уменьшении вязкости происходит колебательная потеря устойчивости. Если же (Т/3) = 0, то искомые собственные функции и декременты опеределяются как решения некоторой самосопряженной краевой задачи с переменными коэффициентами.

Асимптотическими методами длинноволновая асимптотика в кинематической проблеме магнитного динамо построена в [86]. В случае ненулевого продольного расхода жидкости явно указаны условия неустойчивости и критическое значение магнитной вязкости. Подчеркнем, что в [83] -[86] осреднения возникают естественно, как условия разрешимости соответствующих неоднородных задач, а не вводятся извне. Дальнейшее развитие метода осреднения вообще, и для систем со связями, в частности, дано в [87], [88].

В [89] построена асимптотика автоколебательного режима, ответвляющегося от трехмерного стационарного пространственно-периодического течения (0.1) при малых <у, когда число Рейнольдса переходит критическое значение, найденное в [85].

На основании полученных асимптотических формул численно построены траектории движения частиц жидкости во вторичных потоках.

Подобно фазовым кривым консервативных неавтономных систем [90]-[92], траектории движения частиц несжимаемой жидкости (пассивной примеси) в фазовом пространстве обнаруживают как регулярное, так и хаотическое поведение. Характеристиками хаоса являются показатели Ляпунова, спектр Фурье, отображение Пуанкаре, явление перемешивания [90] -[95]. Хаотическое поведение частиц жидкости (пассивной примеси) при регулярном поле скоростей называется лагранжевой турбулентностью.

Макроскопипические движения пассивной примеси и возникающая при этом лагранжева турбулентность в двумерных вторичных по отношению к течению Колмогорова течениях жидкости, сдвиговых течениях несжимаемой жидкости численными методами исследована в [96]-[98]. Хаотическая динамика в спиральных трехмерных течениях невязкой сжимаемой жидкости изучена в [99]. Исследование лагранжевой турбулентности методом сечений Пуанкаре в задаче о течении вязкой жидкости в слое между вращающимися эксцентричными цилиндрами проведено в [100].

Актуальность темы. Интерес к проблеме потери устойчивости и рождению новых режимов в нелинейных моделях математической физики обусловлен как технологическими применениями, так и запросами теории. Известно, что в течениях жидкости, например, при увеличении скорости, возникают хаотические (так называемые турбулентные) течения. Было предложено несколько сценариев (Ландау-Хопф, Ртоэль - Таксис, Фейгенбаум) перехода от регулярного течения к хаотическому, но до сих пор проблема перехода (как и природа развитой турбулентности) до конца не понятна.

Проблема этого перехода тесно связана с потерей устойчивости основного регулярного течения. В природных и искусственных системах при изменении параметров, определяющих внешние условия или внутренние свойства системы, стационарные состояния теряют устойчивость. При этом могут возникать незатухающие периодические колебания. Это явление широко распространено. Им объясняется переменная светимость некоторых звезд, появление периодически протекающих биохимических реакций, флаттер в самолетных конструкциях, колебания скорости в потоке жидкости и т. д.

В диссертационной работе рассматривается задача устойчивости двумерных стационарных пространственно-периодических течений вязкой несжимаемой жидкости. Двумерные течения служат моделью реальных течений жидкости или газа, в которых под влиянием тех или иных физических причин горизонтальная составляющая поля скорости существенно преобладает над вертикальной. Указанные течения играют важную роль в природных и технических гидродинамических системах. К ним относятся, в частности, крупномасштабные движения океана и атмосфер вращающихся планет (включая Землю), циркуляция плазмы на солнце и других звездах, эволюция галактик и течения в замагниченной плазме.

В диссертационной работе с помощью асимптотических разложений моделируются вторичные автоколебательные режимы, ответвляющиеся от основного стационарного решения нелинейных уравнений Навье-Стокса. При этом инструментом исследования является разработанный В. И. Юдо-вичем вариант метода Ляпунова-Шмидта. Этот метод был неоднократно применен и продолжает применяться к различным моделям гидродинамики и неконсервативной теории устойчивости (течения жидкости в каналах и трубах, автоколебания вязкоупругих стержней, автоколебательная конвекция многокомпонентной жидкости и т.д.). В диссертационной работе метод позволяет получить явные представления сложных вторичных течений, что при решении подобных задач удается довольно редко.

При исследовании реальных течений жидкости изучается поведение пассивной примеси. Например, для исследования океанических течений, таких как Гольфстрим, используются дрифтеры — свободно дрейфующие поплавки с антенной, информация о положении которых передается с помощью спутниковой связи. В настоящей работе на основе полученного асимптотического представления вторичных течений проводятся компьютерные эксперименты по исследованию поведения частиц жидкости (пассивной примеси) в автоколебательных потоках. При периодическом (регулярном) поле скоростей обнаружено возникновение хаотического поведения пассивной примеси, — так называемая лагранжева турбулентность.

Объект исследования. Рассматривается движение вязкой несжимаемой жидкости на плоскости под действием поля внешних сил .Р(ж,£), х £ Е2, периодического по пространственным переменным Х\,Х2 с периодами Ь2 соответственно, причем Ь2 Ь\. Период Ь\ считаем равным 27Г, а отношение периодов характеризуем волновым числом а <С 1:

Ь2 = —. Поле скорости v и давление р удовлетворяют системе уравнений а

Навье-Стокса: <917 + (У, У)г> - 1уАУ = + сИуи = 0, (0.2)

С/ 6 1 где ь> = —--безразмерная вязкость — величина, обратная к числу РейКе нольдса.

Поле скорости г? предполагается периодическим по пространственным переменным х2: у(хг + Ьих2^) = г>(жьж2,£), у(хъх2 + = у(х1,х2^). (0.3)

Здесь и далее через (д) обозначается среднее по периоду Ь\ значение функции д, а через ((д)) — среднее по прямоугольнику периодов Г2 =

0,LI]X[0,L2]:

Li g) - -ц j д{хъх2) dxi, ((g)) = ~J д{хъ x2) dx1dx2. o n

Среднее значение скорости по прямоугольнику пространственных периодов считается заданным:

М = Я. (0.4)

Если F = (0, F2(xi)), q = (0, q2), то задача (0.2) - (0.4) имеет стационарное решение:

У-^(0,У2(Ж1)), (0.5) частным случаем которого является течение Колмогорова V = (0, Asina:i). Объектом настоящего исследования является течение вида

V = (av1(x1,x2),v2(xiix2)), ск< 1, (0.6) близкое к параллельному течению (0.5).

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является моделирование пространственно-периодических стационарных и периодических по времени течений жидкости и лагранжевой турбулентности асимптотическими и численными методами.

В связи с поставленной целью необходимо решить следующие задачи:

• Исследовать устойчивость основного стационарного решения (0.6) задачи (0.2)-(0.4) и построить длинноволновую асимптотику задачи устойчивости двумерных стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости.

• Найти асимптотики вторичных режимов, ответвляющихся от основного течения при уменьшении вязкости в двух случаях: когда поток основного течения вдоль длинного периода Ь2 отличен от нуля и когда он равен нулю.

• Программно реализовать численные методы построения и исследования вторичных течений.

• На основании полученных аналитически асимптотических разложений — провести компьютерное моделирование поведения «частиц» жидкости (пассивной примеси) в основных и вторичных потоках, исследовать возникновение лагранжевой турбулентности.

Научная новизна. При решении поставленных в диссертационной работе задач получены следующие новые научные результаты, которые выносятся на защиту:

1. Исследована устойчивость относительно длинноволновых возмущений двумерных стационарных пространственно-периодических течений, близких к параллельным. Показано, что при уменьшении параметра вязкости происходит бифуркация рождения цикла.

2. Для течений общего вида явно найдены первые члены асимптотики вторичных режимов с помощью нового подхода и модификации метода Ляпунова-Шмидта. Рассмотрен новый практически важный случай течения со средним продольной компоненты скорости вдоль длинного периода, равным нулю.

3. Численно исследовано поведение частиц жидкости (пассивной примеси) в основном и вторичном течениях, для чего был создан комплекс программ.

4. Показано, что для вторичных течений возможно два типа траекторий: регулярные и хаотические. Обнаружена лагранжева турбулентность.

Методы исследования. Для исследования потери устойчивости основного стационарного режима течения используется метод линеаризации в теории гидродинамической устойчивости и разложение по малому параметру. При построении вторичных автоколебаний используется метод Ляпунова-Шмидта в форме, развитой в работах В. И. Юдовича, в сочетании с длинноволновыми асимптотическими разложениями. Компьютерный эксперимент проводился с помощью методов Рунге-Кутта 4-го порядка и — повышенной точности — 8-го порядка для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, при численном решении контролировалось сохранение условия несжимаемости.

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена корректной постановкой задачи, применением строгих математических методов, использованием надежных численных методов, сопоставлением полученных результатов с результатами других исследователей, а также с имеющимися экспериментальными данными.

Научная и практическая ценность. Результаты работы углубляют понимание гидродинамических явлений, происходящих при потере устойчивости основного стационарного режима и бифуркации рождения цикла. В данной работе научную и практическую ценность представляют построенные явно асимптотические разложения сложных автоколебательных режимов. Полученные результаты для течений общего вида могут применяться для теоретических исследований и численных расчетов в гидродинамических и геофизических моделях.

Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на научных семинарах кафедры «Вычислительной математики и математической физики» Южного федерального университета, на следующих научных конференциях: V, VI, VII, VIII, IX, X, XI международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-па-Дону; 2000, 2001, 2002, 2003, 2005, 2006, 2007), международной школе-семинаре «Симметрия и косимметрия в динамических системах физики и механики» (Ростов-на-Дону; 2000, 2001), международной зимней школе-семинаре МГУ «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (пятнадцатая и шестнадцатая школа НеЗаТеГиУс) (Москва; 2002, 2004), международной школе-семинаре «Симметрия и косимметрия и их приложение в теории бифуркаций и фазовых переходов» (Сочи; 2002, 2003), международной конференции посвященной 70-летию В. И. Юдовича «Математическая гидродинамика: модели и методы» (Ростов-на-Дону; 2004).

Исследования по диссертационной работе были составной частью работ по проектам:

1. «Математическая теория конвекции жидкости (переходы, селекция, эффекты вибрации и турбулентности)» (РФФИ 99-01-01023-а);

2. «Программа поддержки молодых ученых (для проекта 99-01-01023)» (РФФИ 01-01-06341-мас, рук. А. П. Мелехов);

3. «Математическая теория конвекции жидкости (переходы, параметрическое возбуждение волн, асимптотические методы, магнитогидродинами-ческие и вибрационные эффекты)» (РФФИ 02-01-00337-а);

4. «Программа поддержки молодых ученых (для проекта 02-01-00337)» (РФФИ 02-01-06300-мас, рук. А. П. Мелехов);

5. «Программа поддержки молодых ученых (для проекта 02-01-00337)» (РФФИ 03-01-06556-мас, рук. А. П. Мелехов);

6. Грант Президента РФ по поддержке ведущих научных школ «Математическая теория движения жидкости — разрешимость и единственность, аналитическая динамика, конвекция, устойчивость, асимптотические методы, бифуркации» (№НШ-1768.2003.1).

7. «Математическая теория конвекции жидкости (динамическая неустойчивость, асимптотические эффекты, переходы при разрушении косиммст-рии в фильтрационной конвекции)» (РФФИ 05-01-00567-а);

8. «Математическое моделирование и исследование динамики жидкости со сложными физико-химическими свойствами при электромагнитных и вибрационных воздействиях» (РФФИ 07-01-92213-НЦНИЛ-а).

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 18 печатных работ, из них 2 работы в изданиях, входящих в «Перечень ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации», утвержденный ВАК. Получено свидетельство на программу [118].

Личный вклад автора в работах, опубликованных в соавторстве: [101, 102] — построение длинноволновой асимптотики задачи устойчивости, применение метода Ляпунова-Шмидта для нахождения асимптотики автоколебательных режимов, расчет вторичных течений для конкретных примеров основных течений; [108, 111, 112] —- построение длинноволновой асимптотики линейной задачи устойчивости в случае среднего значения продольной компоненты скорости вдоль длинного периода, равного нулю; [110] — программная реализация численных методов, проведение компьютерных экспериментов для моделирования поведения пассивной примеси во вторичных течениях; [113, 114] — применение метода Ляпунова-Шмидта для нахождения асимптотики автоколебательных режимов в случае среднего значения продольной компоненты скорости, равного нулю; [115, 116] — проведение сравнения результатов двумерного случая с трехмерным; [117] — построение длинноволновой асимптотики, программная реализация численных методов, моделирование поведения пассивной примеси, проведение компьютерных экспериментов.

Структура и объем. Текст диссертации состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы (118 наименований) и приложения. Общий объем диссертации — 145 страниц, включая 26 рисунков и одно приложение объемом 7 страниц.

Заключение

При решении поставленных в диссертационной работе задач получены следующие новые теоретические и прикладные результаты.

1. Исследована устойчивость относительно длинноволновых возмущений двумерных стационарных пространственно-периодических течений, близких к параллельным. Исследование проведено для течений общего вида, принадлежащих указанному классу. Показано, что при уменьшении параметра вязкости происходит бифуркация рождения цикла: от основного стационарного решения ответвляется автоколебательный режим.

2. Для течений общего вида явно найдены первые члены асимптотики вторичных течений. Новым является подход, когда устойчивость двумерных стационарных течений исследуется и вторичные течения строятся без применения функции тока. Для построения асимптотики применяется метод Ляпунова-Шмидта в той форме, которая является общей как для двумерных, так и для трехмерных течений, что позволяет легко обобщить полученные результаты на трехмерный случай.

3. Впервые исследована устойчивость основного непараллельного течения и построена асимптотика вторичных режимов в случае, когда среднее продольной компоненты скорости вдоль длинного периода равно нулю.

4. Для исследования движения частиц во вторичных течениях создан комплекс программ, с развитым интерфейсом, позволяющий проводить численные эксперименты. Были, в частности, реализованы численные методы поиска спектра Фурье, вычисления показателей Ляпунова, построения отображения Пуанкаре.

5. Исследовано поведение частиц жидкости (пассивной примеси) в основном течении, а также, с помощью построенных асимптотик, во вторичных потоках. Показано, что для вторичных течений возможны два типа траекторий: регулярные и хаотические. Наличие хаотических траекторий свидетельствует о том, что имеет место лагранжева турбулентность. Проведенные компьютерные эксперименты свидетельствуют о том, что качественное поведение частиц жидкости (пассивной примеси) не зависит от конкретного вида течения и от размерности пространства.

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика: Учебное пособие. В 10 т. Т. VI. Гидродинамика. М., Наука. 1986. 736 с.

2. Кочип Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. М. Физматгиз. 1963. Ч. 1, 2. 588 с., 728 с.

3. Ландау Л. Д. К проблеме турбулентности // Докл. АН СССР. 1944. Т. 44. №8. •

4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М. Гостех- издат. 1953.

5. А. Пуанкаре. Избранные труды в 3-х томах. Т. 1. Небесная механика. Пер. с франц. М.: Наука. 1971. 771с.

6. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Изд. Харьковского матем. об-ва, Харьков, 1892.

7. Линь Цзя-Цзяо Теория гидродинамической устойчивости. М.: Изд. иностр. лит. 1958.

8. Taylor G. I. Stability of а viscous liquid contained between two rotating cylinders // Phil. Trans. A. 1923. 223. P. 289-343.

9. Heisenberg W. Uber Stabilitat und Turbulenz von Fliissigkeitsstromen // Ann. Phys. Lpz. 1924. 74 (4). P. 577-627.

10. Крылов A. Л. Доказательство неустойчивости одного течения вязкой несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1963. Т. 153. №4. 787-790.

11. Крылов А. Л. Об устойчивости течения Пуазейля в плоском канале // Докл. АН СССР. 1964. Т. 159. №5. 978-981.

12. Юдович В. И. Об устойчивости стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР. 1965. Т. 161. №5. 1037-1040.

13. Юдович В. И. Об устойчивости вынужденных колебаний жидкости // Докл. АН СССР. 1970. Т. 195, K^2. 292-295.

14. Юдович В. И. Об устойчивости автоколебаний жидкости // Докл. АН СССР. 1970. Т. 195. №3. 574-576.

15. Герценштейи Я. О сходимости метода Рэлся // Докл. АН СССР. 1969. Т. 187. №5. 87-91.

16. Герценштейи, Я. Об устойчивости течения за единичной niepoxo- ватостыо // Тр. Ии-та механики МГУ. 1971. Т. 9. 53-59.

17. Герцеииипейп Я., Шкадов В. Я. Устойчивость нсосссимметричиых жидких струй // МЖГ. 1973. Я^l. 25-32.

18. Герценштейн Я., Рудницкий А. Я., Сухорукое А. II. Устойчи- •вость неплоскопараллельных пространственных струйных течений // МЖГ. 1987. №3. 43-54.

19. Герценш,т,ейн Я., Шмидт В. М. Неустойчивость ускоряющейся струи // Вестник Московского ун-та. 1974. jY З^. 101-103.

20. Герценштейн Я., Шмидт В. М. О взаимодействии волн конечной амплитуды в случае конвективной неустойчивости вращающегося плоского слоя // Докл. АН СССР. 1974. Т. 219. №2. 37-41.

21. Герценштейн Я. Нелинейное развитие и взаимодействие возмущений конечной амплитуды при конвективной неустойчивости вращающегося слоя // Докл. АН СССР. 1975. Т. 225. WI. 81-85.

22. Герценш,тейн Я. О применении метода Рэлея к нелинейным и трехмерным задачам // Докл. АН СССР. 1976. Т. 231. №6. 319-322.

23. Никитин Н. В. Прямое численное моделирование трехмерных турбулентных течений в трубах кругового сечения // Изв. РАН МЖГ. 1994. №6. 14-26.

24. Никитин Н. В. Статистические характеристики пристенной турбулентности // Изв. РАН МЖГ. 1996. №3. 32-43.

25. Никитин Н. В. Численное моделирование турбулентных течений в трубе квадратного сечения // Докл. РАН. 1997. Т. 353. jV З^. 338-342.

26. Воронова Т. В., Никитин Н. В. Результаты прямого расчета турбулентного течения в трубе эллиптического сечения // Изв. РАН МЖГ. 2007. Я^ 2. 59-70.

27. Andronov А. А., Witt А. Sur la theorie mathematiques des autooscillations // С R. Acad. Sci. Paris. 1930. V. 190. p. 256-258.

28. Bay mull H. H. Критерии опасных и безопасных границ области устойчивости // ПММ. 1948. Т. 12. ^6. 691-728.

29. Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости // М. - Л.: ОГИЗ Гостехиздат. 1949. 164с.

30. Hopf Е. Abzweigung einer periodischen Losung von einer stationaren 1.osung eines Differential systems // Ber. Math. - Phys. Sachsische Academie der Wissenscaftcn Leipzig. 1942. V. 94. P. 1-22.

31. Неймарк Ю. A. 0 некоторых случаях зависимости периодических движений от параметров // Докл. АН СССР. 1959. Т. 129. №4. 736-739.

32. Брушлинская Н. Н. Качественное интегррфование одной системы п дифференциальных уравнений в области, содержащей особую точку и предельный цикл // Докл. АН СССР. 1961. Т. 139. №1. 9-12.

33. Длсозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М. 1981. 638 с.

34. Sattinger D. Н. The mathematical problem of hydrodynamic stability // J. Math, and Mech. 1970. V. 19. №9. P. 797-817.

35. Ляпунов A. M. Sur les figures d'equilibre peu differentes des ellipsoidcs d'unemasse liquide homogenc donee d'un mouvement de rotation, P. 1 // Зап. Акад. наук, -Петербург. 1906. P. 1-225.

36. Ляпунов А. М. Figour d'equilibre derivees des ellipsoides de Macloren P. 2 // Зап. Акад. наук, -Петербург. 1908. P. 1-175.

37. Ляпунов А. М. Figour d'equilibre deriveis des ellipsoides de Jacobi // Зап. Акад. наук, -Петербург. 1912. P. 1-228.

38. Ляпу?toe А. М. Nouvelles formules pour la recherche des figures d'equilibre // Зап. Акад. наук, -Петербург. 1914. P. 1-112.

39. Собрание сочинений А. М. Ляпунова. Т. IV. М., Изд. Акад. наук. 1959.

40. Schmidt Е. Zur Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen,

41. Theil, Uber die Auflosung der nichtlinearen Integralgleichungen und die Verzweigung iherer Losungen // Math. Ann. 1908. V. 65. P. 370-399.

42. Lichtenstein L. Vorlesungen liber einige Klassen nichtlinearen Integralgleichungen und Integro- Differentialgleichungen nebst Anwendungen. Berlin. 1931.

43. Hammerstein A. Nichtlineare Integralgleichungen nebst Anwendungcn // Acta. Math. 1930. 54. P. 117-176.

44. Iglisch R. Zur Theorie der reellen Verzweigungen von Losungcn nichtlinearen Integralgleichungen // Journ. rein. u. angew. Math. 1931. 164, тз.

45. Iglisch R. Zur Theorie der Schwingungen // Monats heft fur Math, und Phys. 1930. 37. P. 325-342; 1931. 39. P. 173-220; 1935. 42. P. 7-36.

46. Некрасов A. И. 0 волнах установившегося вида // Изв. Ивановск. нолит. ин-та. 1922. 6. 155-171.

47. Некрасов А. И. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. М., изд. АН. 1951.

48. Назаров Н. Н. Нелинейные интегральные уравнения тина Гаммер- штейна // Труды САГУ. V. Матем. 1941. 33.

49. Стапан А. Э. Разветвление решений нелинейных интегральных уравнений. Диссертация. Рига. 1950.

50. Стапан А. Э. Разветвление решений нелинейных интегральных уравнений // Учен. зап. Рижск. пед. ин-та. 1957. 4. 31-43.

51. Ньютон И. Математические работы. Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением к геометрии кривых. М. ОНТИ. 1937. 33-44.

52. Чеботарев Н. Г. Многоугольник Ньютона и его роль в современном развитии математики. Сб. статей к трехсотлетию со дня рождения И. Ньютона. М., 1943. 99-126.

53. Shimizu Т. Analytic operations and analytic operational equations // Math. J. 1948. 1. P. 36-40.

54. Bartle R. G. Singular points of functional equations // Trans. Anier. Math. 1953. V. 75. № 2. P. 366-384.

55. Graves L. M. Remarks on singular points of functional equations // Trans. Amer. Math. 1955. V. 79. № 1. P. 150-157.

56. Треноги?!, В. A. Разветвление решений нелинейных уравнений в банаховом пространсве // УМН. 1958. 12. Вып. 4. 197-203.

57. Треногий В. А. Разветвление решений нелинейных уравнений в банаховых пространсвах. Диссертация. М. 1960.

58. Треногий В. А. Уравнение разветвления и диаграмма Ньютона // ДАН. 1960. K^ 5.

59. Вайнберг М. М., Треногий В. А. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие. Успехи, матем. наук. 1962, Т. 17. Вып. 2 (104). 13-75.

60. Вайнберг М. М., Треногий В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М., Наука. 1969.

61. Красносельский М. А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М. Гостехиздат. 1956.

62. Вайнберг М. М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М. Гостехиздат. 1956.

63. Юдович В. И. Возникновение автоколебаний в жидкости // Нри- кл. матем. и механ. 1971. Т. 35. Вып. 4. 638-655.

64. Юдович В. И. Исследование автоколебаний сплошной среды, возникающих при потере устойчивости стационарного режима // При-кл. матем. и механ. 1972. Т. 36. Вьш.З. 450-459.

65. Юдович В. И. Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов-на-Дону: Изд-во РГУ. 1984. 192 с.

66. Yudovich V. I. The Linearization Method in Hydrodynamical Stabihty Theory. AMS Translations of Mathematical Monographs. 1989. V. 74. 171 p.

67. Арном,ъд В. И., Мешалкин Л. Д. Семинар А. Н. Колмогорова но избранным вопросам анализа (1958-1959) // УМН. I960. Т. 15 Вып. 1. 247-250.

68. Гледзер Е. В., Долэюанский Ф. В., Обухов А. М. Системы гидродинамического типа и их применение. М.: Наука. 1981. 368 с.

69. Мешалкин Л. Д., Синай Я. Г. Исследование устойчивости стационарного решения одной системы уравнений плоского движения несжимаемой вязкой жидкости // Прикл. матем. и механ. 1961. Т. 25. №6. 1140-1143.

70. Зенъковская М. Об устойчивости одного периодического решения уравнения Навье-Стокса // Прикл. матем. и механ. 1967. Т. 31. Вып. 1. 124-130.

71. Кляцкин В. И. К нелинейной теории устойчивости периодических течений // Прикл. матем. и механ. 1972. Т. 36. Вып. 2. 263-271.

72. Green Т. S. Two-dimensional turbulence near the viscous limit // J. Fluid Mech. 1972. V. 62. pt. 2. P. 273-287.

73. Бондаренко Н. Ф., Гак М. 3., Долшсанский Ф. В. Лабораторная и теоретическая модели плоского периодического течения // Физика атмосферы и океана. 1979. Т. 15. W 10. 1017-1026.

74. Долотанский Ф. В., Крымов В. А., Минин Д. Ю. Устойчивость и вихревые структуры квазидвумерных сдвиговых течений // YcirexH физических наук. 1990. Т. 160. Вып. 7. 47 с.

75. Доло/санский Ф. В. Лекции по геофизической гидродинамике. М.: ИВМ РАН. 2006. 378 с.

76. Бондаренко А. Л., Жмур В. В. Настоящее и будущее Гольфстрима // Природа. 2007. № 7.

77. Afendikov А. L., Fiedler В., Liebscher S. Plane Kolmogorov flows, spatial reversibilities, and bifurcation without parameters // Manuscript. 2004.

78. Afendikov A. L., Mielke A. Dynamical properties of the 2d Navicr— Stokes flow with Kolmogorov forcing in an infinite strip for spatially non-decaying initial data // J. Math. Fluid Mech. 2005. V. 7. S51—S67.

79. Afendikov A. L., Fiedler В., Liebscher S. Plane Kolmogorov flows and Takens-Bogdanov bifurcation without parameters: The doubly reversible case // Asymptotic Analysis. 2008. 27 p.

80. Юдович В. И. О неустойчивости параллельных течений вязкой несжимаемой жидкости относительно нрострапственно-периодичес-ких возмущений // Численные методы решения задач математической физики. М.: Наука. 1966. 242-249.

81. Юдович В. И. Об автоколебаниях, возникающих при потере устойчивости параллельных течений вязкой жидкости относительно длинно-волновых периодических возмущений // Изв. АН СССР. МЖГ. 1973. №1. 32-35.

82. Юдович В. И. Неустойчивость длинноволновых течений вязкой жидкости // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. №4. 30-35.

83. Юдович В. И. Длинноволновая асимптотика в кинематической проблеме магнитного динамо // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Спецвыпуск. 2001. 155-160.

84. Юдович В. И. Вибродинамика систем со связями // Докл. РАН. 1997. Т. 354. №5. 622-624.

85. Юдович В. И. Вибродипамика и виброгеометрия механических систем со связями // Усп. механики. 2006. Т. 4. ШЗ. 26-158.

86. Засм,авский Г. М., Сагдеев Р. 3., Усиков Д- А., Черников А. А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука. 1991. 236 с.

87. Zaslavsky G. М. Physics of Chaos in Hamiltonian Systems. London: ICP. 1998. 269 p.

88. Анищенко В. Сложные колебания в простых системах: Механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах. М.: Наука, 1990. 312 с.

89. Неймарк Ю. И., Лайда П. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука. 1987. 424 с.

90. Бероюе П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О дстерминистком подходе к турбулентности. М.: Мир. 1991. 368 с.

91. Beyer Р., Benkadda S. Advection of passive particles in the Kolmogorov flow // Chaos. 2001. V. 11. №4. P. 774-779.

92. John M. Finn, Diego del-Castillo-Negrete Lagrangian chaos and Eulerian chaos in shear flow dynamics // Chaos. 2001. V. 11. №4. P. 816-832.

93. A. Vikhansky Simulation of topological chaos in laminar flows // Chaos. 2004. V. 14. №1. P. 13-21.

94. Govorukhin V. N., Morgulis A., Yudovich V. I., Zaslavsky G. M. Chaotic advection in compressible helical flow // Physical Review E. V. 60. JY^ 3. P. 2788-2798.

95. IJem^poe A. P. 0 перемешивании вязкой жидкости в слое между вращающимися эксцентричными цилиндрами // ПММ. 2008. Т. 72. Вып. 5.

96. Мелехов А. П., Ревина В. Длинноволновая асимптотика двумерных вторичных автоколебаний на стационарных проспрапственпо-периодических течениях // М., 1999. 30 с. - Деи. в ВИНИТИ 27.07.99. Ш 2438-В99.

97. Мелехов A. П. Длинноволновая Лагранжева турбулентность//Международ. Школа-семинар «Симметрия и косимметрия в динамических системах физики и механики». 18-23 сентября 2001. Ростов-на-Дону. 132-140.

98. Мелехов А. П. Движение частиц вязкой несжимаемой жидкости во вторичном атоколебательном потоке // Вестник молодых ученых. Прикладная математика и механика. 2002. JY l^. 62-71.

99. Мелехов А. П., Ревина В. Задача устойчивости двумерных стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости относительно длинноволновых возмущений // М., 2003. 34 с. - Деп. в ВИНИТИ 8.12.03, ^^2138-B2003.

100. Мелехов А. П., Ревина В. Возникновение автоколебаний при потере устойчивостр! двумерных стационарных пространственно-периодических течений с нулевым средним // М., 2005. 32 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.10.05, JY21353-B2005.

101. Мелехов А. П., Ревина В. Возникновение автоколебаний при потере устойчивости пространственно-периодических двумерных течений вязкой жидкости относительно длинноволновых возмундений // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2008. №2, с. 41-56.