автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Асимптотический и численный анализ периодических решений одного класса моделей с запаздыванием и диффузией

На правах рукописи

005017996

Полстьянов Артем Сергеевич

Асимптотический и численный анализ периодических решений одного класса моделей с запаздыванием и диффузией

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1

9 Ь. ПР 2012

Ярославль - 2012

005017996

Работа выполнена на кафедре математического моделирования федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова».

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор

Кащенко Сергей Александрович

Официальные оппоненты: Бутковский Олег Ярославович

доктор физико-математических наук, профессор Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых, профессор кафедры общей и прикладной физики

Ануфриенко Сергей Евгеньевич

кандидат физико-математических наук, доцент Ярославский государственный университет имени П.Г. Демидова, доцент кафедры компьютерных сетей

Ведущая организация — Национальный исследовательский ядерный

университет «МИФИ»

Защита состоится «11» мая 2012 г. в_ часов на заседании диссертационного совета Д 212.002.05 при Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Советская, Д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова по адресу: г. Ярославль, ул. Полушкина роща, д. 1.

Автореферат разослан «/А апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Глызин С.Д.

Общая характеристика работы Актуальность работы

Одним из активно развивающихся направлений в настоящее время являются исследования динамики систем с распределенными параметрами. Эти исследования стимулируются появлением большого числа прикладных задач, для моделирования которых используют такие объекты, как дифференциальные уравнения с запаздыванием, уравнения в частных производных или уравнения с распределенными коэффициентами. Уравнения такого типа возникают, например, в лазерной оптике (Gibbs H.M., Hopf F.A., Kaplan D.L., Shoemaker R.L., Ikeda К.), электротехнике (Schwarz W., Moegel A., Kilias T., Kutzer К.), радиофизике (Дмитриев A.C., Кислов В.Я., Ланда П.С.), медицине (Марчук Г.И., Петров Р.В.), математической экологии (Горяченко В.Д., Колесов Ю.С.), теории нейронных систем (Ма-линецкий Г.Г., Майоров В.В.), при описании процесса резания металлов (Эльясберг М.Е., Клушин М.И.) и др.

Изучению уравнений с запаздыванием посвящено значительное число публикаций как теоретического, так и прикладного характера. Для многих уравнений, содержащих запаздывание, хорошо зарекомендовали себя классические асимптотические методы, такие как методы усреднения Крылова-Боголюбова', методы пограничных функций в случае сингулярных возмущений (Васильева А.Б., Бутузов В.Ф.2). Тем не менее, развитие аналитических методов для систем с запаздыванием явно недостаточно. В силу принципиальной сложности систем с бесконечномерным фазовым пространством особую значимость как для общетеоретических вопросов, так и для решения конкретных прикладных задач приобретает разработка новых асимптотических методов исследования динамических свойств решений.

Плодотворный подход к исследованию динамики нелинейных систем связан с выделением некоторой совокупности переменных и перехода к универсальным уравнениям, описывающим локальную динамику исходной задачи. Один из примеров реализации этой идеи — метод нормальных форм3,4,5. Методы нормализации являются одними из основных методов анализа поведения решений нелинейных уравнений в окрестности установившегося режима. Подход, связанный с использованием известной

1 Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

2Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

3Арнольд В.И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000.

^Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1979.

5 Wiggins S. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos. New York: Springer-Verlag, 1996.

теории инвариантных интегральных многообразий, позволяет для изучения широкого класса эволюционных уравнений воспользоваться хорошо разработанным для обыкновенных дифференциальных уравнений методом нормальных форм. Такими методами изучаются и параболические краевые задачи.

Цель работы

Основной целью данной диссертационной работы является:

- использование асимптотических методов анализа для исследования периодических режимов уравнений с запаздыванием, параболических уравнений, а также уравнений с пространственным распределением;

- проведение численного анализа исследуемых моделей для иллюстрации полученных аналитических результатов.

Методы исследования

В работе используются методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, метод нормальных форм, специальный асимптотический метод большого (малого) параметра, а также методы численного анализа динамических систем.

Научная новизна работы

Исследована нелокальная динамика уравнения с запаздыванием в случае, когда нелинейность является финитной функцией.

Изучены вопросы о существовании, структуре и устойчивости периодических решений параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами и уравнений с большими коэффициентами диффузии.

Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений сложно-пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями и показано, что данные режимы наблюдаются в численном эксперименте.

Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями в случаях симметричного и несимметричного насыщения.

Проведены численные исследования, которые подтверждают результаты асимптотического анализа.

Положения, выносимые на защиту

1. Асимптотическими методами исследована нелокальная динамика уравнения с запаздыванием в случае, когда нелинейность является финитной функцией. Описаны условия существования и устойчивости периодических решений. Полученные результаты обобщены на комплексные уравнения.

2. Изучены вопросы о существовании, структуре и устойчивости периодических решений параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами и уравнений с большими коэффициентами диффузии.

3. Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений сложно-пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями и показано, что данные режимы наблюдаются в численном эксперименте.

4. Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями в случаях симметричного и несимметричного насыщения. Численными методам анализа упрощенной модели обнаружено явление мультистабильности — сосуществование периодических решений вида бегущих волн.

5. Разработан пакет программ визуального отображения решений пространственно распределенных динамических систем «51та£ег».

Теоретическая и практическая ценность работы

Полученные в диссертации результаты имеют как теоретическое, так и практическое значение. Они могут быть применены при исследовании динамики дифференциальных уравнений с запаздыванием, а также для изучения прикладных задач, описываемых системами уравнений с распределенными параметрами. Полученные результаты могут использоваться для изучения задач радиофизики, электроники, лазерной оптики, популяцион-ной динамики.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры математического моделирования Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, на семинаре «Моделирование и исследование нейронных сетей» кафедры компьютерных сетей Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова, а также обсуждались на научных конференциях:

1. Международная конференция научно-образовательных центров, посвященная 10-летию программы В1?НЕ, октябрь, 2008;

2. Всероссийская выставка научно-технического творчества молодежи (НТТМ-2009), Москва, 2009.

3. ХЬУШ Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс», Новосибирск, 10-14 апреля 2010;

4. Всероссийский конкурс научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области математических наук в рамках всероссийского фестиваля науки, РГСУ, Москва, сентябрь, 2011.

Публикации

По теме диссертации автором опубликовано 4 печатные работы, а также получено свидетельство государственной регистрации программы для ЭВМ. Все научные работы выполнены в соавторстве, но в диссертацию включены лишь результаты, полученные автором самостоятельно. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка литературы, содержащего 120 наименований. Диссертация содержит 22 рисунка. Общий объем диссертации составляет 81 страницу.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность проводимого исследования, приводятся его цели и задачи. Кроме того, в нем содержится обзор литературы, связанной с тематикой диссертации, а также приводится структура работы.

В первой главе асимптотическими методами6,7 исследуется нелокальная динамика уравнения с запаздыванием в случае, когда нелинейность является финитной функцией. В п. 1.2 рассматриваются уравнения

х = [—1 + ЛF(з;(í — Т))]х (1)

и

х = Х[-1+Г(х(1-Т))]х, (2)

где Т > 0, Г(х) — финитная функция, т.е. для некоторого р > 0

П.)-{'£'• (3)

6Кащенко СЛ. Асимптотика релаксационных колебаний дифференциально-разностных систем с финитной нелинейностью. I Ц Диф. уравнения. 1995. Т. 31, №8. С. 1330-1339.

7Кащенко СЛ. Асимптотика релаксационных колебаний дифференциально-разностных систем с финитной нелинейностью. II // Диф. уравнения. 1995. Т. 31, ЛМ0. С. 1968-1976.

Основное предположение состоит в том, что параметр А достаточно большой:

Л » 1. (4)

Исследуется вопрос о динамике (1) и (2) при условиях (3) и (4). Введем в рассмотрение две величины А+ и А~ по правилу

т

Л± = у"д±рехр(-*))ехр(*-Т)<й.

о

Основные результаты, полученные в этом разделе, сформулированы в виде двух теорем.

Теорема 1. Пусть А+ > О (А~ > 0). Тогда при всех достаточно больших А уравнение (1) имеет положительное (отрицательное) экспоненциально орбитально устойчивое периодическое с периодом Т+(А) (Т_(А)) решение гг+(<,А) (х-.^,Х)), для которого верны асимптотические при А -> оо формулы

Т1(А) = АЛ±(1 + о(1)), (5)

А) =

' ±рсхр(-(),

±р ехр

±ехр[А(Л± + о(1)") - 4], Теорема 2. Пусть

Т-г+Х (/ /(±рехр(Г-а))^+о(1)

о = /(0) - 1 > 0.

«€[0,Г],

Ь € [Г, 2Т\ (6) I е [2Т,Т±(Х)}.

(7)

Тогда при всех достаточно больших X уравнение (2) имеет два (положительное и отрицательное) экспоненциально орбитально устойчивых периодических решения х±(1.Х) с периодами Т±(Х), для которых

Г±( А) = (2 + а + а~1)Т + о(1),

(8)

х±(Ь,Х) =

' ±рехр(-А0+о(1), ¿€[0,Т],

±рохрА(а^-2Г)-Т + о(1)), Ь € [Т,7?(А) + Т],

Т?(Х)=Т(1 + а~1)+о(1), к ± ехр А (аТ + А) +Т-1 + о(1)), Ь € [2^= (А) + Т, Г±( А)].

В разделе 1.3. при условиях (3) и (4) исследуются динамические свойства решений скалярного комплексного уравнения

х = ах + \F(x(t — Т)), (10)

где а = — 1 +гЬ, а также комплексного уравнения (2). Положим г

A(tp) = J f(pexp(t<p + as))expa{s - T)ds, о

и пусть для всех уз g [0,2тг] выполнено неравенство

ИМ1 ф 0. (11)

Рассмотрим одномерное (вещественное) отображение окружности в себя <Р = [lnA + lnHi^l-lnp-iln^J-HHr1)] | (12)

Основное утверждение данного раздела состоит в том, что динамика отображения (12) определяет при условии (11) и при всех достаточно больших Л свойства решений уравнения (10). Показано, что для комплексного уравнения (1) при условиях (3) и (4) отображение, аналогичное отображению (12), имеет вид

<р == + Л[1тЛ(у?) -Ь i>ReA(<^)]- (13)

Здесь дополнительно предполагаем, что 11еЛ(у>) > 0. Для комплексного уравнения (2) соответствующее отображение при условии /(0) — 1 > 0 имеет вид

ф = <р + 2А6Г (2 + (Re /(0) - I)'1) +

+ AT(Im/(0) + 6Re/(0)) (l + (Re/(0) - l)"1).

В завершении первой главы рассматривается комплексное уравнение (10), в котором функция F(x) (я = xi + ix2) финитно зависит только от

Как

оказывается, в уравнении такого типа может наблюдаться существенно более сложная динамика при больших А по сравнению с моделями, рассмотренными выше. Основной результат состоит в построении отображения, динамика которого определяет при достаточно больших А структуру аттракторов уравнения (10).

Во второй главе изучаются вопросы о существовании, структуре и устойчивости периодических решений для нелинейных систем автономных

параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами и уравнений с большими коэффициентами диффузии. В п. 2.1 изучаются периодические решения автономных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. На отрезке 0 < х < 1 рассматривается параболическая краевая задача

u = Du + F(u,ux), (15)

где и £ Rm, D — диагональная матрица с положительными элементами на главной диагонали, F(u,£,) имеет вид

т0

F(u, 0 = Y, (° < т0 < °°> = i'-j-(u), Ч = -w-j, Ч) = 0),

j=-ma

где Fj(u) (j = — thq, ... ,m0) аналитичны по и. Основное предположение состоит в том, что параметр ы является достаточно большим, т.е. и>1. Ставится вопрос о существовании и устойчивости (при достаточно больших ш) установившихся режимов краевой задачи (15), (16). Введем в рассмотрение еще одну краевую задачу

v - Dv" + F0(v), «'Lo = 0, (17)

x=l

в которой

F0(t>)= lim i / T-iool J0

Естественно предположить, что структура установившихся режимов краевой задачи (15), (16) при достаточно больших и определяется установившимися режимами более простой краевой задачи (17). Приведем здесь соответствующие утверждение для случая, когда краевая задача (17) имеет периодическое (по t) решение v0(t,x) периода То > 0.

Теорема 3. Предположим, что только один мультипликатор линеаризованной на v0(t,x) краевой задачи (17) по модулю равен 1. Тогда найдется такое и, > 0, что при и > и>, краевая задача (15), (16) имеет периодическое решение uo(t, х, ш) периода Та{ш), для которого

max ||uo(t, х, и) - vq(t, х) ||r™ < си'1,

t,x

r=(1 + £M + 0(w->))<1

где постоянная с > 0 не зависит от и:, a oi(w) почти периодична по ш. Решения u0(t,x,uj) uvo(t,x) краевых задач (15), (16) и (17) экспоненциаль-но-орбитально устойчивы (в метрике фазового пространства С(0,1)) или неустойчивы одновременно.

Алгоритм построения асимптотики решения uo(t. х, и) также приведен в п. 2.1. В том случае, когда краевая задача (17) имеет состояние равновесия vq(x), ответ на вопрос о существовании состояния равновесия uq(x.uj), близкого (при и —> со) к i>o(i), дастся по спектру оператора Lq:

L0z = Dz" + A{x)z, z'U = z'\x=1 = 0 (Aj>) = F^voix))).

Для этого достаточно, чтобы значение Л = 0 не являлось точкой спектра Lq. При условии, когда все собственные значения L0 имеют отрицательные вещественные части, решение щ(х,ш) экспоненциально устойчиво (при достаточно больших и)). Если же хотя бы одно собственное значение Lq имеет положительную вещественную часть, то ио(г,и) неустойчиво. Далее в п. 2.1 рассматривается вопрос о периодических решениях краевой задачи (15), (16) в одном «критическом случае». Предположим, как и выше, что vq(x) — состояние равновесия (17), и оператор Lq имеет пару чисто мнимых собственных значений ±г<50(<5о > 0)> которым отвечают собственные функции oq{x),äo(x), а все остальные собственные значения Lq имеют отрицательные вещественные части. Известно, что в этом случае краевая задача (17) имеет в окрестности vq(x) двумерное интегральное инвариантное многообразие V, на котором эту краевую задачу можно записать в виде системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений

p = d0p3 + O(p5), т = ¿о + 0(р2). (18)

Коэффициент do называют первой ляпуновской величиной. Предположим, что

do<0, (19)

т.е. состояние равновесия vq(x) асимптотически устойчиво. Рассмотрим в этом случае вопрос о поведении решений краевой задачи (15), (16) (при достаточно больших ш) в окрестности состояния равновесия щ(х.и) — vo(x) + 0(w_1). Введем обозначения. Пусть Ьо(х) — собственная функция сопряженного к Lq оператора, отвечающая собственному значению — iög. Можно считать, что

(а0(х),Ьо(х)) = / (a(x),b(x))dx = 1.

J о

Положим затем

v,(x; и) = L0_1.( jT№(i),0 -

х) + -У1(х,и),их^ - А0{х,и>х) +- и 1А^(х, их, и) + 0(и) 2),

1 Гт

Аю{х,ш) = Ът - А1(х,&)(!£, 1 Jо

а0(ш) = Я.с ((Аоо(х,ы) + А10(х, и))а0(х), Ь0).

Имеет место следующая теорема.

Теорема 4. При сделанных выше предположениях найдется такое ш, > 0, что при и> > и, в некоторой (не зависящей от и>) окрестности щ(х,ш) краевая задача (15), (16) имеет экспоненциально устойчивое двумерное инвариантное многообразие У(и)(щ(х.и) <5 причем на

У(ш) эту краевую задачу можно записать в виде двух обыкновенных дифференциальных уравнений

р = ~(а0(ц/) + 0(ы~1))Р + (<*„ + 0(и;^))р3 + 0(р3),

т = 50 + 0(и>-1) + 0(Р2)

(выражения 0(р5) и 0(р2) в (20) выполняются равномерно относительно и).

Доказательства теорем 3 и 4 приводятся в п. 2.3.

Иллюстрацией изложенной в п. 2.1 теории является пример, рассмотренный в п. 2.2. Здесь изучается уравнение Хатчинсона с диффузией

N = ОЫ"+ г{их)[1-а{их)М^н]М, (21)

N'1 =ЛГ'| =0, 0 < I < 1. (22)

1г=0 1х=1 ' — — 4 '

В разделе 2.4 изучаются периодические решения параболических уравнений с «большой» диффузией. На отрезке 0 < х < 1 рассматривается краевая задача

ы = ХОи" + Р(и,х), (23)

«'1~о = = 0, (24)

где и е Ит, матрица В та же, что и в (15), Р(и,х) — достаточно гладкая по каждой переменной. Основное допущение состоит в том, что А>1.

Вместе с (23) рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение

й = Г0(и), Г0(»)=/" Р(и,х)с1х.

Jo

(25)

Предположим, что уравнение (25) имеет То-периодическое решение Ставится вопрос о существовании у краевой задачи (23), (24) близкого (при А оо) к г>о(£) периодического решения.

Теорема 5. Пусть один мультипликатор линеаризованного на «о(£) уравнения (25) по модулю равен 1. Тогда найдется такое А0, что при А > Ло краевая задача (23), (24) имеет периодическое решение щ(Ь, х, А) и

(с > 0 не зависит от X) и количество мультипликаторов, модули которых больше 1, у линеаризованных на щ(Ь,х, А) и vq(t) краевой задаче (23), (24) и уравнения (25) одно и то же.

Далее в п. 2.4 исследуется случай, когда уравнение (25) имеет состояние равновесия v0, причем А0 = f^o) имеет собственные значения ±i5o(60 > 0), а действительные части всех остальных собственных значений отрицательны. Поведение решений (25) в окрестности vq определяется первой ляпуновской величиной do- Пусть do < 0, т.е. состояние равновесия vq асимптотически устойчиво. Рассмотрим вопрос о поведении решений краевой задачи (23), (24) в окрестности состояния равновесия щ(х. А) = vq + A~4>i(:e) + 0(А~2). Пусть Ааа = i50a, A^b = —i50b, (a, b) = 1, (a, b) = 0. Для функции ^(ж) имеет место формула

Сформулируем результат о поведении решений в рассматриваемом случае.

Теорема 6. При всех достаточно больших значениях X краевая задача (23), (24) имеет в некоторой (достаточно малой и не зависящей от X) окрестности состояния равновесия щ(х, X) экспоненциально устойчивое двумерное инвариантное многообразие К(А) (ио(х,Х) е ^(А)). На У(А) краевую задачу (23), (24) можно записать в виде систем двух обыкновенных дифференциальных уравнений

(последние слагаемые в правых частях (26) имеют указанный порядок равномерно по А при X —> оо).

гаах ||и0(г, х, А) - v0(r)||Rm < сА~\ г = (1 + 0(A l))t

используя которую, находим

р = A-l(a„ + 0(Х~1))р + (dQ + 0(Х-1))р3 + 0{р% т = 50 + 0{Х~1) + 0(рг)

(26)

Отметим, что при а0 > 0 (и достаточно больших Л) краевая задача (23), (24) имеет экспоненциально орбитально устойчивое периодическое решение

u0(t х, X) = v0 + (~aü{2ikrl)ll\aeÍT + аеГ{т) + 0(А-1), г = (60 + 0(\~1))t.

В п. 2.5 рассматривается система параболических уравнений (23) с большим коэффициентом диффузии (А » 1) и 1-периодической зависимостью от пространственной переменной: F(u, х + 1) = F(u,x). Вместо краевых условий (24) предполагается, что выполнены периодические краевые условия

u(t,x + l) = u{t,x). (27)

Основной результат этого раздела сформулирован в виде следующей теоремы.

Теорема 7. Пусть система уравнений (25) имеет периодическое решение щ(1) и только один мультипликатор линеаризованной на un(t) системы равен по модулю единице. Тогда при всех достаточно больших А краевая задача (23), (27) имеет периодическое решение u0(í, А) той же, что и u0(t) устойчивости, причем u0(t, х, А) = uQ(t) + о(Х~1).

В пункте 2.6 на примере пространственно распределенного уравнения Хатчинсона

dN d2N

~дГ = d~dx* + ^ t1 ~ а(-Х' ~~ £^^ (28)

8N дх

= 0, (29)

z=0 х—1

где r(x,e) = го + ег^х)+ ..., h(x,e) = /г,0 + ehi(x) + ..., a{xte) = l + eai(x) + ..., исследуется краевая задачи с близкими к постоянным коэффициентами

* = + (30)

В системе (30) 0 < £ < 1 и F{u,x) = F0(u) +eFl(u) + ....

В третьей главе получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений сложно-пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями и показано, что данные режимы наблюдаются в численном эксперименте. В этой главе исследуется сложно-пространственно распределенное уравнение Хатчинсона

dN ,

-gr = r[l-N(t-h)]N + 1

СО

&N

с периодическими краевыми условиями

N{t,x + 2n) = N(t,x). (32)

Параметры 7 и d неотрицательны, а функция Fa(x) задана формулой

Faix) ~ ехр[-а(ж - а)2], гдеет>0и0<а< 2л-. Отметим, что выполнено условие нормировки

оо

s

Fa(x)dx = 1.

Основное предположение, при котором изучается краевая задача (31), (32), состоит в том, что выполнено условие

гЛ > (33)

и параметры а^1 и характеризующие диффузию, являются достаточно малыми. Удобно ввести малый положительный параметр е: 0 < £ <С 1. В связи со сказанным выше, положим а= 1, й = ей0.

Заметим, что рассматриваемая краевая задача имеет периодическое решение N0(1), которое является решением уравнения Хатчинсона

лдг

-^ = r[l-N(t~h)}N (34)

при условии (33). Рассмотрим множество 27г-периодических по х функций (Т - период ВД)

кТ

Ъ{1,х) = Щ1+—х + ч>{х)), (35)

¿тс

где к = 0, ±1,±2,..., а ¡р(х) — достаточно гладкая и 27т-периодическая. Будем дополнительно предполагать, что для фигурирующего в определении Ра(х) параметра а верно представление а = о0 + еа0, а параметр с*о рационально соизмерим с 27г, т.е. найдутся такие целые взаимно простые ЧИСЛа 7711 И ГП2 (?71г- ф 0), что

О!о = —27Г. (36)

Ш2

Очевидно, что все функции (35) при к = ±тп2, ±2га2,... являются решениями уравнения Хатчинсона (34). Относительно краевой задачи (31),

(32) можно утверждать, что функции (35) являются асимптотическими по невязке решениями с точностью до 0(е), т.е.

дЯк дЬ

00

д2Ык

и для некоторой универсальной постоянной с^ имеет место оценка

|Ф(£, х, е)| < ске. Справедлива следующая теорема.

Теорема 8. Для каждого к = ±т2, ±2т2,... и каждого п = 1,2,... наы-дется такая функция параметра е дкп(£) = <7<ю + £дк 1 + • • • + ч^о

краевая задача (31), (32) имеет асимптотическое по невязке с точностью до о{еп) решение

Щп(Ь, х, е) = N0 ^(1 + еды(Ф + ^х^ + еЫк1 ^(1 + еды(Ф + +

+ ■ • ■ + епЩп ((1 + £9кп(Ф + ^х) ■ (37)

Численный анализ показывает, что режимы вида (37) задачи (31), (32) являются наблюдаемыми. Расчеты проводились путем сведения задачи (31), (32) к системе дифференциальных уравнений с запаздыванием и применением к ней метода шагов на основе метода Рунге — Кутты четвертого порядка с линейной интерполяцией. В численном эксперименте использовались следующие параметры: размерность системы уравнений с запаздыванием, выбранной для разностной аппроксимации задачи (31), (32), равна 300; шаг интегрирования й = 0.001; численное интегрирование проводилось на интервале 0 <t < 500; г = 3, к = 1, 7 = 1, а0 = 1, = 1.

В качестве истории (начального условия) задачи на отрезке —1 < £ < О выбирались функции вида и0(1,х) = + Ця), где <р(1) — периодическое решение задачи (34), а Т — его период. Константы к и а изменялись согласованно с учетом (36), поскольку лишь при выборе а в малой окрестности 2-х/к численное решение остается ограниченным. На рис. 1 — 6 изображены графики решения и{1,х) в момент времени £ = 500.

Рис. 1 соответствует задаче с параметрами е = 0.01, а = 3.141593, к = 2, а рис. 2 при к = 4. Рис. 3 отвечает параметрам е — 0.01, а = 2.094395, к = 3, рис. 4 соответствует к — 6.

Рис. 1. е = 0.01, а = 3.141593, к = 2

Рис. 2. е = 0.01, а = 3.141593, к — 4

С увеличением к наблюдается значительный рост амплитуды колебаний, но при согласованном уменьшении е можно добиться ее близости к амплитуде функции что демонстрирует рис. 5, где е = 0.001,

а = 2.094395, к = 6.

Таким образом, при достаточно малых г решения в виде бегущих волн, близкие к + наблюдаются в численном эксперименте, а с ростом е сохраняют структуру волн, демонстрируя рост амплитуды. Отметим, что в каждом случае амплитуда волн, не являясь постоянной, меняется в небольшом диапазоне. Эволюция решения во времени при £ 6 [500,510] приведена на рис. 6.

По-видимому, оставаясь по форме близким к периодическому, решение имеет более сложную структуру. Численный эксперимент показал, что при нарушении условия (36) и при достаточно малых £ задача (31), (32) является не диссипативной: решение с начальным условием ^{Ь + неограниченно растет при увеличении £.

Четвертая глава является естественным продолжением третьей главы. В ней получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с

о 0.00

0.79 1.57 2.36 3.14 3.93 4.71

Рис. 3. с = 0.01, а = 2.094395, к = 3

5.50

6.28

5.50

6.28

0.00 0.79 1.57 2.36 3.14 3.93 4.71

Рис. 4. е — 0.01, а = 2.094395, к = 6

периодическими краевыми условиями в случаях симметричного и несимметричного насыщения. Численный анализ упрощенной модели демонстрирует мультистабилыюсть — сосуществование периодических решений вида бегущих волн, среди которых, тем не менее, не наблюдается решений с полученной асимптотикой. В этой главе рассматривается аналогичное (31) распределенное уравнение Хатчинсона

Ш д1

оо

1 - J Г(з№(1-11,х + з)(1з

д2АГ дх2

с периодическими краевыми условиями

N(¿,1 + 271-) = N(¿,3).

(38)

(39)

Параметры г, Л. и й в (38) положительны, а функция F(ж), характеризующая насыщение, задана формулой

Г(х) = (тпг)-1-'2ехр(—сг-1(а; + а)2), (<г > 0).

(40)

Рис. 5. £ = 0.001, а = 2.094395, к = 6

Отметим, что f Р(х)йх = 1. В данная главе исследуется вопрос о нело-

-ос

кальных периодических решениях этой краевой задачи. Предполагаем, что диффузия в (38) достаточно мала, т.е. для некоторых фиксированных а0 и й0 имеем

а = ££г0, й-ей^, 0 < £ < 1. (41)

Отдельно рассматриваются случаи симметричной Р(х) (п. 4.2), когда о = 0, и существенно более сложный случай несимметричной Г(х) (п. 4.3), когда а 0. Пусть

а = 0. (42)

При условии (33) уравнение Хатчинсона (34) имеет единственное (с точностью до фазового сдвига) непостоянное орбитально устойчивое периодическое решение Лг0(£). Функция очевидно, является однородным периодическим решением и краевой задачи (38), (39). Множество функций вида

+ (43)

где к = 0, ±1, ±2,..., также является решением уравнения (34). Отсюда и из условий (41) и (42) следует, что каждая из функций (43) удовлетворяет (38) с точностью до 0(е).

Пусть теперь а ф 0. Для определенности удобно считать, что

а > 0.

Кроме того, будем предполагать, что выполнено условие (33). Тем самым, уравнение (34) и краевая задача (38), (39) имеют одновременно периодическое решение ЛГо(£). Введем несколько обозначений. Фиксируем сначала

Рис. 6. £ = 0.01, a = 3.141593, к = 2

произвольно величину Т > 0 и при всех значениях параметра 2 из промежутка z 6 (—со.оо) рассмотрим семейство уравнений Хатчинсона

N = r[l - N(t — h — zT)]N. (44)

Как уже отмечалось, это уравнение имеет нетривиальное устойчивое периодическое решение при условии

r(h + zT)>^.

Учитывая (33), заключаем, что уравнение (44) имеет (непостоянное) периодическое решение N = M,(t) при

2 >2", где г" = (тг - 2rh) ■ (2rT)_1 (z~ < 0).

Обозначим через R(zT) период функции M2(t). Функция R(zT) является монотонно возрастающей, причем

lim R(zT) = 2тг(Т)~\ lira R{zT) = с».

z-юс

Известно8, что R(zT) имеет следующую асимптотику при 2 —> оо:

R(zT) = г-1 exp r(h + zT) ■ (1 + о(1)). (45)

8Кащенко С.А. Асимптотика периодического решения обобщенного уравнения Хатчинсона // Исследования по устойчивости и теории колебаний. Ярославль, 1981. С. 64-85.

Отметим что формула (45) дает хорошее приближение уже начиная со значений гТ « 2г-1 - Л.

Далее, при увеличении г, начиная от г~, найдется такое значение 2 = 20, что

Д(гоТ)=Т, г0Й'(20Т) = 1. (46)

Можно предположить, что значение г0 определяется единственным образом. Это проверяется асимптотической формулой (45) и результатами численного счета. Отсюда же получаем, что значение г0 и корень Т = Т0 уравнения (46) близки, соответственно к значениям

20 ;

¡г 1ехрг(/1 + г *), Т0 « ехрг(/г + г

Изложим основную конструкцию. Будем искать периодическое с некоторым периодом Т решение краевой задачи (38), (39), зависящее от линейной комбинации переменных I и х. Тем самым Т-периодическое решение имеет вид

(47)

где к = ±1,±2,.... Подставим (47) в (38). При достаточно малых е функция = N + (5 = < + т£х) удовлетворяет условию

N + 0^

Таким образом, уравнение Хатчинсона (44) при г — ~ играет роль нулевого приближения для нахождения Т-периодического решения А^я). В результате приходим к задаче нахождения периодического решения с периодом Т для уравнения (44). Отсюда получаем уравнение для определения Т:

Я {каТ(2я)~1) = Т. (48)

Согласно введенным выше обозначениям заключаем, что это уравнение имеет один корень для всех тех целых неположительных к, для которых

*-<£<0, (49)

¿тг

и ровно два корня для положительных целых к, удовлетворяющих неравенству

О < ^ < г0. (50)

¿7Г

Очевидно, таких значений к тем больше, чем меньше значение отклонения а.

Сформулируем основной результат этой части главы.

Теорема 9. При условии (50) и достаточно малых значениях параметра е краевая задача (38), (39) имеет асимптотическое по невязке решение

N{t, х, е) = ЛГ„(( 1 + o(l))i, rkT0x/(2тг)) + о(1).

Отметим, что при а = а(е) —» 0 количество периодических решений неограниченно растет и периоды заполняют в пределе всю полуось (2ЯТ-1, оо).

В заключительном разделе четвертой главы приведены результаты численных исследований задачи

=r[l - N(t, x - a)}N(t, x) + d—(51) /V(i, x + 27t) = iV(f,a:),

которая представляет собой предельный случай задачи (38), (39) при а О и при значении запаздывания h - 0. Здесь рассмотрен случай а > 0. Вернемся к уравнению Хатчинсона (34), в котором будем считать выполненным соотношение (33). Зафиксируем г и обозначим единственное устойчивое периодическое решение этого уравнения uh(t), а его период — Тд. Отметим, что Uh(t + сх) также является решением уравнения Хатчинсона при любом с. Подставим в задачу (51) N(t,x) = uh(t + cx), получим:

uh(t + сх) = г(1 - uh{t + сх - ca))uh(t + сх) + dc2üh(t + сх),

uh(t + с(х + 2тг)) ^uh(t + cx). * '

Если положить d = edQ, то Uhit + cx) будет удовлетворять этому уравнению с невязкой 0(e) при условии, что ca — h и 2ттс ~ кТ^. для некоторого целого к.

Таким образом, если при некоторых значениях параметров А; и а уравнение

имеет решение, то функция

«А (t + = «А (« + ^z) (54)

будет удовлетворять (51) с точностью до порядка е. На

рис. 7 изображен график зависимости периода решения уравнения Хатчинсона от величины запаздывания и прямые вида f(h) = при различных ка. Методика численного анализа задачи (51) сводится к следующему: зафиксировав к и а, мы можем найти численно точку пересечения кривой Т/, с прямой f(h) = ||/i. Полученное таким образом h мы подставляем в уравнение (34), которое затем решаем методом шагов. Мы вычисляем приближение орбиты uh(t), то есть такой функции üh(t), t € [0,7\], что

т

100

120

20

40

60

80

h

о

о

0.5

1

1.5

2

Рис. 7. Зависимость периода решения уравнения Хатчинсона от запаздывания при г = 3.

Uh(t) = u/^i mod Т^). Отметим, что для любого выбора начальной функции уравнения (34) функция б/,(£) будет одной и той же с точностью до фазы.

Теперь в задаче (51) дискретизируем пространственную переменную и перейдем к системе М обыкновенных дифференциальных уравнений

4тг2

+ d-^(Ni+1-2Ni(t) + NM), г = 0,... М — 1, (55)

где р = а все индексы в правой части берутся по модулю М. В

качестве начального условия выберем дискретизацию функции

Полученная задача решалась методом Дормана-Принса 5(4) с абсолютной погрешностью на шаге, равной 10 6, на промежутке времени t € [0,200] при значении М = 2000. В зависимости от параметров а и d задача демонстрирует численно наблюдаемые устойчивые пространственно-неоднородные режимы с различным количеством всплесков на пространственном отрезке [0,27т]. Типичные графики временных срезов полученного таким образом решения при значениях параметров а = 0.6, d = 0.04 представлены на рис. 8. Пространственный срез при тех же значениях параметров для х — тс приводится на рис. 9.

На рис. 10 изображена зависимость количества всплесков в установившемся режиме от а и d. В области 1 решение стремится к пространственно-однородному стационарному режиму N(t, х) = 1. Область II отвечает устойчивости режима с четырьмя всплесками, III — с шестью, IV — с восьмью. В области V притягивающими являются режимы с 10 и более всплесками,

(56)

о тг/2 1с зя/2 2ж

Рис. 8. Временные срезы решения задачи (55), (56) при а = 0.6, <1 = 0.04

0.08

0.06 с1

0.04 О .02 О

.8

Рис. 10. Характерные области значений параметров при начальном условии с количеством

волн к — 2

причем это количество растет с уменьшением а. В области VI решения обладают амплитудой более 10°, и вычисление количества всплесков в ней не выполнялось. Резкий рост амплитуды при приближении й сверху к границе области VI характерен для всех значений а.

Обнаружить устойчивые решения непосредственно вида (54), то есть с числом всплесков, равным к, в данном численном эксперименте не удалось. При этом задача демонстрирует мультистабильность: на рис. 11 и рис. 12 представлены временные срезы решений задачи с теми же параметрами а = 0.6, в. = 0.04, но различными начальными условиями: в первом случае это функция ЛГ(0,а:) = %(7\:г/(27г)), где к — решение уравнения (53) при к = 1, а — 0.6, и во втором случае — А/"(0,х) = 1.1 + зт(6а;). Таким образом, хотя наблюдаются устойчивые режимы с тремя и более волнами, напоминающими по поведению периодические решения уравнения Хатчинсона, они не относятся к классу (54), поскольку при данном а уравнение (53) разрешимо лишь при к = 1 или к = 2, причем эта ситуация является общей, то есть не удалось найти такое а, при котором бы существовали решения с допустимыми (в смысле уравнения (53)) к.

В пятой главе диссертационной работы исследуется динамика нейронных сетей, составленных из формальных нейронов Хатчинсона. Для решения данной задачи был разработан программный комплекс «Бтадег» для визуального отображения решений пространственно распределенных динамических систем. Его предназначение: демонстрация поведения динамических систем, заданных дифференциальными уравнениями с частными производными, уравнениями с запаздыванием или отображениями. Он может использоваться для классификации решений систем в зависимо-

-,--,--р.

| Г

iii

iv

v .,-

0.1 0.2 0.3

vi

1 " I_I_

0.4

а

0.5 0.6 0.7 О

Рис. 11. Временные срезы решения задачи (55), (56) при а = 0.6, Л = 0.04

45 г^

40 - л л л л '

35 ! \ /\ !\ /\ НЩ ■

30 25 20 15 10 -5

0________

О Л/2 7Г Зя/2 2 к

Рис. 12. Временные срезы решения задачи (55), (56) при а = 0.6, с1 = 0.04

сти от параметров и начальных условий, предоставлять возможности для изучения поведения динамических систем на плоскости и в трехмерном пространстве.

В заключении подводятся основные итоги работы, а также намечаются возможные пути продолжения исследования.

В приложении А представлено подробное описание функциональных возможностей программного комплекса «Simager».

В приложении Б собран иллюстративный материал, наглядно демонстрирующий основные возможности программного комплекса «Simager».

Список публикаций по теме диссертации

Статьи, опубликованные в рецензируемых научных журналах и изданиях:

1. Кащенко, СЛ. Релаксационные колебания в простейших моделях с запаздыванием / С.А. Кащенко, A.C. Полстьянов // Моделирование и анализ информационных систем. — 2008. — Т. 15, №2. — С. 55-60.

2. Глызин, Д.С. Пространственно-неоднородные периодические решения в распределенном уравнении Хатчинсона / Д.С. Глызин, С.А. Кащенко, A.C. Полстьянов // Моделирование и анализ информационных систем. - 2009. - Т. 16, №4. - С. 77-85.

3. Глызин, Д.С. Пространственно-неоднородные периодические решения уравнения Хатчинсона с распределенным насыщением / Д.С. Глызин, С.А. Кащенко, A.C. Полстьянов // Моделирование и анализ информационных систем. — 2011. — Т. 18, №1. — С. 37-45.

4. Кащенко, СЛ. Асимптотика периодических решений автономных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами и уравнений с большими коэффициентами диффузии / С.А. Кащенко, A.C. Полстьянов // Моделирование и анализ информационных систем. - 2012. - Т. 19, №1. - С. 7-23.

Другие публикации:

5. Полстьянов, A.C. Пакет программ визуального отображения решений пространственно распределенных динамических систем «Simager» // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ. М.: РОСПАТЕНТ, 2008. N»2008613362.

Подписано в печать 10.04.12. Формат 60x84/16. Бумага оф. Отпечатано на ризографе.

Тираж 100 экз. Заказ 18/12. Отдел оперативной полиграфии ЯрГУ 150000, Ярославль, ул. Советская ,14.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова»

На правах рукописи

Полстьянов Артем Сергеевич

Асимптотический и численный анализ периодических решений одного класса моделей с запаздыванием и диффузией

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физ.-мат. наук, профессор Кащенко С.А.

Ярославль - 2012

*

Оглавление

Введение 4

1. Релаксационные колебания в простейших моделях с запаздыванием 11

1.1. Уравнения с финитной нелинейностью. Постановка задачи . . 11

1.2. Релаксационные колебания в уравнениях с финитной нелинейностью хатчинсоновского типа.................. 14

1.3. Релаксационные колебания в комплексных скалярных уравнениях с запаздыванием....................... 16

2. Асимптотика периодических решений распределенного уравнения Хатчинсона с быстро осциллирующими коэффициентами и большим коэффициентом диффузии 20

2.1. Постановка задачи......................... 21

2.2. Периодические решения автономных параболических уравнений с быстро

осциллирующими коэффициентами ............... 22

2.2.1. Вводные замечания..................... 22

2.2.2. Алгоритм построения асимптотики периодического решения ............................ 25

2.3. Обоснование результатов .........................27

2.4. Построение асимптотик решений для уравнения Хатчинсона с быстро осциллирующими коэффициентами........... 31

2.5. О периодических решениях уравнения Хатчинсона. с «большой» диффузией .......................... 33

2.6. Уравнения с близкими к постоянным

коэффициентами.......................... 36

3. Пространственно-неоднородные периодические решения в распределенном уравнении Хатчинсона 39

«

3.1. Постановка задачи..................................................40

3.2. Асимптотический анализ периодических решений краевой задачи (3.6),(3.7)......................................................42

3.3. Результаты численного анализа....................................46

4. Пространственно-неоднородные периодические решения

уравнения Хатчинсона с распределенным насыщением 50

4.1. Постановка задачи..................................................50

4.2. Случай симметричной F(x)........................................51

4.3. Случай несимметричной Р(х)......................................52

4.4. Результаты численного исследования ............................54

* 5. Применение клеточных автоматов и имитационного модели-

рования для решения распределенного уравнения Хатчинсона 60

5.1. Постановка задачи..................................................60

5.2. Переход от уравнения Хатчинсона к клеточной сети............62

5.3. Программная реализация клеточного автомата на основе сети Хатчинсона..........................................................65

Заключение 70

Литература 71

А. Программный пакет 811ш^ег 82

А.1. Постановка задачи..................................................82

A.2. Общее описание программного пакета и используемых в нем алгоритмов..........................................................84

*

Б. Результаты применения программного комплекса 95

Б.1. Построение изображений на плоскости ..........................95

Б.2. Построение изображений на торе................106

B.З. Построение изображений на сфере................113

Б.4. Работа клеточного автомата в трехмерном пространстве . . . 123

%

Введение

Одним из активно развивающихся направлений в теории динамических систем являются в настоящее время исследования качественного поведения нелинейных уравнений с распределенными параметрами. Эти исслсдо-« вания стимулируются появлением большого числа прикладных задач, для

моделирования которых используют такие объекты, как дифференциальные уравнения с запаздыванием, уравнения в частных производных или уравнения с распределенными коэффициентами. Уравнения такого типа возникают, например, в нелинейной оптике и лазерной динамике (Gibbs Н.М., Hopf F.A., Kaplan D.L., Shoemaker R.L., Ikeda К. [1-3], Ахманов C.A., Воронцов М.А. [4,5], Григорьева Е.В., Кащенко С.А. [6,7,9] ), электротехнике (Schwarz W., Moegel A., Kilias Т., Kutzer К. [8,10,11] ), радиофизике (Дмитриев А.С., Кислов В.Я. [12], Ланда П.С. [13]), медицине (Марчук Г.И. [14], Петров Р.В. [15]), математической экологии (Горяченко В.Д. [16], Колесов Ю.С. [17-19], Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. [20,21], Свирежев Ю.М. [22], Марри Дж. [23], Колмановский В.В. [24]), теории нейронных систем (Малинецкий Г.Г. [25-28], Майоров В.В., Мышкин И.Ю., Кащенко С.А. [29-31]), термодинамике (Kuramoto Y., Tsuzuki Т. [32], Нико-лис Г., Пригожин И. [33], Полак J1.C., Михайлов А.С. [34], Хакен Г.Г. [35]), при описании процесса резания металлов (Эльясберг М.Е. [36], Клушин М.И. [37]) и др.

Изучению уравнений с запаздыванием посвящено значительное число публикаций как теоретического, так и прикладного характера. Для многих уравнений, содержащих запаздывание, хорошо зарекомендовали себя классические асимптотические методы, такие как методы усреднения Крылова-Боголюбова [38,39], методы пограничных функций в случае сингулярных возмущений (Васильева А.В., Бутузов В.Ф. [40-42], Ломов С.А. [43]). Тем не менее, развитие аналитических методов для систем с запаздыванием явно недостаточно. В силу принципиальной сложности систем с бесконечномерным фазовым пространством особую значимость как для общетеоретических вопросов, так и для решения конкретных прикладных задач приобрета-

ет разработка новых асимптотических методов исследования динамических свойств решений.

Плодотворный подход к исследованию динамики нелинейных систем связан с выделением некоторой совокупности переменных и перехода к универсальным уравнениям, описывающим локальную динамику исходной задачи. Один из примеров реализации этой идеи — метод нормальных форм [44-51]. Методы нормализации являются одними из основных методов анализа поведения решений нелинейных уравнений в окрестности установившегося режима. Подход, связанный с использованием известной теории инвариантных интегральных многообразий (см. [52]), позволяет дня изучения широкого класса эволюционных уравнений воспользоваться хорошо разработанным для обыкновенных дифференциальных уравнений методом нормальных форм. Такими методами изучаются и задачи с бесконечномерным фазовым пространством, например, уравнения с запаздыванием или краевые задачи параболического типа. Развитие данного метода на случай бесконечномерного вырождения привело к возникновению понятия квазинормальных и форм и позволило построить асимптотические представления решений для целого ряда распределенных систем и систем с запаздыванием. Алгоритмы разработанные Васильевой A.B., Бутузовым В.Ф., Кащенко С.А., Колесовым А.Ю. и Колесовым Ю.С. ¡53—5Т] будут частично использоваться в данной работе.

Следует отметить, что целый ряд задач качественного исследования динамических систем не может быть решен методами нормальных форм, особенно это касается ситуации, когда в системе имеется большой параметр. Основы применения метода, большого параметра в случае, так называемых сингулярно возмущенных задач, заложены в работах Понтрягина Л.С., Мищенко Е.Ф., Розова Н.Х. [58-62], Колесова Ю.С., Колесова А.Ю, [63], Кащенко С.А. [56,64-68], а также, уже упоминавшихся, Васильевой A.B. и Бутузова В. Ф.

В настоящей работе рассматривается широкий класс краевых задач параболического типа с распределенными параметрами и запаздыванием. Изложение основных результатов выполняется на примере известного модельного уравнения Хатчинсона (см. [69,70])

ÖN

аГ =г{х)

N(t-h, х) К{х)

dN

dv

N + dAN,

(0.1)

= 0,

г

где функция N(t,x) — плотность численности популяции, обитающей в области О с достаточно гладкой границей Г, t > 0 — временная, х € П — пространственная переменные, r(x) ^ 0 — мальтузианский коэффициент линейного роста, положительная функция К(х) определяется емкостью среды обитания, параметр запаздывания h в первом приближении определяет возрастную структуру популяции, величина d > 0 — коэффициент диффузии, определяющий скорость освоения популяцией ареала обитания, Д обозначен оператор Лапласа по пространственной переменной, djdv — производная по направлению внешней нормали к границе Г.

Краевая задача (0.1) в общем случае допускает только численное решение, что, однако, сопряжено с существенными трудностями, которые связаны с невозможностью оценить заранее необходимое для адекватного применения численных методов, разбиение пространственной области на части (например, конечные элементы). Особенно трудной оказывается задача поиска устойчивых решений данной динамической системы. Это происходит в силу двух причин, первая из которых состоит в том, что динамическая система может иметь довольно много сосуществующих различных аттракторов, а вторая связана с часто возникающей необходимостью длительного счета для выхода на устойчивое решение, В этой ситуации принципиапьное значение приобретают асимптотические методы анализа, сопровождающиеся попыткой распространения их результатов за пределы области применимости.

Указанные особенности поведения краевой задачи (0.1) с распределенными по пространству параметрами приводят к необходимости рассмотрения этой задачи в сингулярно возмущенном случае и изучения особенностей применения метода большого параметра в этой ситуации. Естественно начать с задачи (0.1) без пространственного распределения. А затем, на основе полученной информации, можно перейти к анализу (на основе модифицированных для этого случая асимптотических методов) вопросов существования, структуры и устойчивости периодических решений для уравнения Хатчинсона с зависящими от пространственной переменной коэффициентами и диффузией. Особое внимание уделяется случаю, когда коэффициенты уравнения являются быстроосциллирукмцими функциями, а также ситуации большого коэффициента диффузии.

Используемые в работе асимптотические методы, очевидным образом, локальны, поэтому, как правило, неизвестно применимы ли они к данной конкретной динамической системе. Дело в том, что, во-первых, параметры задачи должны быть малы или велики (близки к критическим значениям), а степень этой малости или близости неизвестна. Во-вторых, применяемые

методы локальны по области фазового пространства (как правило, изучается окрестность нулевого решения). В связи с указанными трудностями естественно применять численные методы в сочетании с асимптотическими. Это позволяет, хотя бы приблизительно, очертить область поиска (по начальным условиям и параметрам) решений задачи, а затем выяснить встречаются ли в этой области режимы со структурой, предсказанной асимптотическими методами.

Важным тестовым примером для применения как асимптотических, так и численных методов является краевая задача (0.1). Значительная часть настоящей работы посвящена получению асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений сложно пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями. Данная часть работы сопровождается численным экспериментом, который позволил проиллюстрировать результаты асимптотического анализа, в частности, показано, что пространственно-неоднородные периодические режимы с необходимыми свойствами наблюдаются как при асимптотическом анализе, так и в процессе численного счета.

Следует отметить, что совпадение или даже просто близость между результатами применения асимптотических методов и численного счета наблюдается далеко не всегда. В частности, для пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями были получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений для симметричного и несимметричного насыщения. При этом численный анализ упрощенной модели демонстрирует мультистабильность — сосуществование периодических решений вида бегущих волн, среди которых, тем не менее, не наблюдается решений с полученной ранее асимптотикой.

Случаи несовпадения результатов численного счета и асимптотических методов обычно объясняются узкой областью применимости построенных асимптотик. Для преодоления возникающего несоответствия можно несколько изменить саму исследуемую модель (П.1), заменив ее клеточным автоматом. Применение клеточных автоматов значительно упрощает вычислительную процедуру и позволяет рассматривать более сложные области пространственного распределения задачи.

Содержание диссертационной работы Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения, двух приложений и списка литературы.

В первой главе асимптотическими методами (см. [71,72]) исследуется нелокальная динамика уравнения с запаздыванием в случае, когда нелинейность является финитной функцией. Описаны условия существования и устойчивости периодических решений. Полученные результаты обобщены на комплексные уравнения.

Во второй главе изучаются вопросы о существовании, структуре и устойчивости периодических решений для нелинейных систем автономных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами и уравнений с большими коэффициентами диффузии. В п. 2.1 изучаются периодические решения автономных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами.

В третьей главе получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений сложно-пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями и показано, что данные режимы наблюдаются в численном эксперименте. В этой главе исследуется сложно-пространственно распределенное уравнение Хатчинсона с периодическими краевыми условиями.

Четвертая глава является естественным продолжением третьей главы. В ней получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями в случаях симметричного и несимметричного насыщения. Численный анализ упрощенной модели демонстрирует мультистабильность — сосуществование периодических решений вида бегущих волн, среди которых, тем не менее, не наблюдается решений с полученной асимптотикой. В этой главе рассматривается аналогичное предыдущему распре деленное уравнение Хатчинсона с периодическими краевыми условиями.

В пятой главе диссертационной работы исследуется динамика нейронных сетей, составленных из формальных нейронов Хатчинсона. Для решения данной задачи был разработан программный комплекс «Simager» для визуального отображения решений пространственно распределенных динамических систем. Его предназначение: демонстрация поведения динамических систем, заданных дифференциальными уравнениями с частными производными, уравнениями с запаздыванием или отображениями. Он может использоваться для классификации решений систем в зависимости от параметров и начальных условий, предоставлять возможности дня изучения поведения динамических систем на плоскости и в трехмерном пространстве.

В заключении подводятся основные итоги работы, а также намечаются возможные пути продолжения исследования.

В приложении А представлено подробное описание функциональных возможностей программного комплекса «8ш^ег».

В приложении Б собран иллюстративный материал, наглядно демонстрирующий основные возможности программного комплекса «Эж^ег».

Результаты, выносимые на защиту

1) Асимптотическими методами исследована нелокальная динамика уравнения с запаздыванием в случае, когда нелинейность является финитной функцией. Описаны условия существования и устойчивости периодических решений. Полученные результаты обобщены на комплексные уравнения.

2) Изучены вопросы о существовании, структуре и устойчивости периодических решений параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами и уравнений с большими коэффициентами диффузии.

3) Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений сложно-пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями и показано, что данные режимы наблюдаются в численном эксперименте.

4) Получены асимптотики пространственно-неоднородных периодических решений пространственно распределенного уравнения Хатчинсона с периодическими краевыми условиями в случаях симметричного и несимметричного насыщения. Численными методам анализа упрощенной модели обнаружено явление мультистабильности — сосуществование периодических решений вида бегущих волн.

5) Разработан пакет программ визуального отображения решений пространственно распределенных динамических систем «Зт^ег».

Актуальность и научная новизна работы

Исследована нелокальная динамика уравнения с запаздыванием в случае, когда нелинейность является финитной функцией.

Изучены вопросы о существовании, структуре и устойчивости периодических решений параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами и уравнений с большими коэффициентами диффузии.

Получены асимптотики пространств�