автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математических динамических моделей рынка вальрасовского типа

На правах рукописи

Червонная Елена Андреевна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РЫНКА ВАЛЬРАСОВСКОГО ТИПА

05.13.18— Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2007

Работа выполнена в Томском государственном университете на кафедре прикладной информатики факультета информатики

Научный руководитель Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Подаубный Василий Васильевич

доктор физико-математических наук, доцент Рожкова Светлана Владимировна

доктор технических наук, профессор Домбровский Владимир Валентинович

Ведущая организация:

Кемеровский государственный университет

Защита состоится 28 июня 2007 года в 10 30 на заседании диссертационного совета Д 212 267 08 в Томском государственном университете по адресу г Томск, пр Ленина, 36, корп 2, ауд. 102

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета

Отзывы на автореферат (2 экз), заверенные печатью, высылать по адресу 634050, г Томск, пр Ленина, 36, ученому секретарю ТГУ.

Автореферат разослан «24» мая 2007 года

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

Скворцов А.В

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

В настоящее время математическое моделирование динамики товарного рынка является одним из важнейших, но еще слабо изученных направлений исследования экономических процессов Представляет большой теоретический и практический интерес построение и исследование математических моделей, описывающих с возможно большей адекватностью динамику рыночных цен и о&ьемов поставок и продаж тораров на рынке в зависимости от соотношений епроса и предложения товаров, конкуренции товаров и продавцов, дисциплины поставок товаров, маркетинговой политики и стратегии участников рынка и других факторов, влияющих на устойчивость положения рыночного равновесия и характер рыночных переходных процессов

Основополагающие классические работы, положившие начало математическому описанию рыночных процессов, связаны с именами Антуана Курно, Уильяма Стенли Джевонса, Альфреда Маршалла, Леона Вальраса, Вильфредо Паре-то, Карла Менгера.

Идея «нащупывания» равновесия (франц tâtonnement) между объемами спроса и предложения товаров впервые была высказана Л Вальрасом в 1874 г Затем эта идея применительно к проблеме равновесия между ценами спроса и предложения была развита в 1890 г А Маршаллом Вальрас и Маршалл считаются основателями теории рыночного равновесия Рыночное равновесие устанавливается в точке пересечения линий спроса и предложения в пространстве координат «цена-объем» (по Вальрасу) и «объем-цена» (по Маршаллу) Математический аппарат'этой теории — системы алгебраических уравнений

В течение более полувека шло развитие этой теории в плане учета различных факторов производства, обмена, сбыта и пр , влияющих на поведение линий спроса и предложения (Вальд, Нейман, Эрроу, Дебре, Маккензи, Раднер, Ау-ман) И только в конце 30-х - начале 40-х годов XX века были сформулированы разностные и дифференцильные соотношения, определяющие динамику процесса перехода рынка к состоянию равновесия (Самуэльсон), положившие начало развитию дифференциально-разностных моделей рынка такими учеными, как Смизис (1942), Метцлер (1945), Эрроу и Гурвиц (1958), Хан (1958), Негиши (1958), Маккензи (1960), Никайдо и Узава (1960) Почти одновременно с появлением динамических моделей рынка вальрасовского типа была осознана необходимость учета в динамических моделях рынка запаздывания, порождаемого задержками в поставках товара По-видимому, первой моделью, учитывающей запаздывание в уравнениях динамики перехода рынка к равновесию в дискретном времени, была разностная «паутинообразная» модель, предложенная Езеки-лем в 1938 г Однако дифференциальные модели рынка в течение длительного времени развивались без учета запаздывания, по-видимому, в связи с определенной сложностью математического аппарата (J Q Cheng, M Р Wellman, J I McCauley, С M Kuffner) В дальнейшем, по мере развития теории и методов решения дифференциальных уравнений с запаздываниями, стали развиваться и непрерывные динамические модели рынка, учитывающие запаздывание

(H К Обросова, 1996, Ю А Кузнецов, 2002, В В Поддубный, 2004, И К Коха-ненко, 2005) Такие динамические модели вслед за H К Обросовой будем называть моделями всшьрасовского типа

Если статические модели рынка можно считать изученными с математической точки зрения более или менее хорошо (теория рыночного равновесия), то динамика рынка еще слабо исследована в связи со сложностью соответствующего математического аппарата теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом До сих пор остаются малоисследованными вопросы устойчивости, стабилизации и идентификации систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, а, следовательно, и динамических моделей рынка

Различные методы аналитического и численного решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом предложены А Д Мышкисом, J1 Э Эльсгольцем, К Г Валеевым, Т С Зверкиной, А Д Горбуновым и В H Поповым, JI С Гноенским и Г А. Каменским, Л H Белых и A JI Асаченковым, В Б Колмановским, А В Прасоловым, С Sartori, A Bellen, R Vermigho, С Т H Baker и С А H Paul, A Karou и R Vaiilancourt К сожалению, эти методы не являются универсальными и не всегда применимы (например, при малых запаздываниях) Кроме того, в ряде случаев предложенные алгоритмы оказываются достаточно громоздкими Поэтому остается актуальной проблема разработки и построения альтернативных численных методов решения дифференциальных уравнений с запаздыванием

Что касается исследования устойчивости уравнений с запаздыванием, то этой проблемой занимались такие отечественные ученые как JIЭ Эльсгольц, H H Красовский, Б С Разумихин, Я 3 Цыпкин, Ю И Неймарк, H H Мейман и H Г Чеботарев, Э Пинни, С H Шиманов, Ю M Репин, В Б Колмановский, Б Г Гребенщиков, А В Прасолов, H В Азбелев и П M Симонов, Ю Ф Долгий и С H Нидченко, H К Обросова и зарубежные ученые H W Stech, К L Cooke и J Tun, Guglielmi, A G Ulsoy, M M Peet, L E Kollar, L Berezansky и L Idels, T Kalmar-Nagy, В Cahlon и D Schmidt Все аналитические методы исследования устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом достаточно сложны и трудно реализуемы численно Они не дают явных рецептов нахождения границ областей устойчивости для состояния равновесия систем с запаздываниями Поэтому остается актуальной разработка конструктивных численных алгоритмов построения границ областей устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

Идентификация моделей рынка вальрасовского типа осложнена наличием временных лагов — запаздываний реакций поставщиков товаров на изменение цен этих товаров Работ по идентификации дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом довольно мало Среди них можно отметить работы D W Brewer, С Baker и ЕI Parmuzin, В И Ловчакова, А В Прасолова, В Ф Лебедева и Е А Ситникова, С А Минюка и А В Метельского

Задачами оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями с запаздыванием, занимаются Р Wang, К Kumsch, F Gozzi и С Marinelli, L Berezansky и E Braverman, В M Марченко, С A Ми-

нюк, И Е Зубер, А В Клименко, Г Н Терновая, И Б Фуртат, А В Прасолов Применительно к задачам стабилизации рынка первыми, по-видимому, являются работы В В Поддубного

Настоящая работа посвящена разработке численных методов и алгоритмов, необходимых для исследования систем дифференциальных уравнений с постоянными запаздываниями и используемых для построения математических динамических моделей товарного рынка вальрасовского типа, исследованию характера и особенностей поведения этих моделей, изучению вопросов устойчивости их равновесных состояний, стабилизации в состоянии равновесия и идентификации моделей рынка

Цель работы

Целью работы является исследование математических моделей рынка, учитывающих наличие конкуренции товаров и запаздывание реакции поставщиков товаров на изменение цен товаров Модели задаются с помощью систем дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами Запаздывания считаются постоянными В рамках указанной цели поставлены и решены следующие задачи

1) Построение вычислительных схем решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, пригодных для работы с произвольными запаздываниями, в том числе, как угодно малыми

2) Построение и исследование различных модификаций динамических моделей рынка вальрасовского типа с использованием разработанных вычислительных схем

3) Разработка конструктивного численного алгоритма построения границ области устойчивости положения равновесия систем дифференциальных уравнений с запаздываниями применительно к моделям товарного рынка вальрасовского типа

4) Исследование стабилизируемых в состоянии равновесия систем дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами применительно к моделям товарного рынка вальрасовского типа

5) Разработка метода идентификации систем дифференциальных уравнений с запаздываниями применительно к моделям товарного рынка вальрасовского типа

Методы исследований

В ходе решения поставленных задач использовались методы вычислительной математики, теории дифференциальных уравнений (в том числе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом), теории оптимального управления и стабилизации, теории устойчивости и теории идентификации систем

Научная новизна работы

1) На основе численного метода Эйлера с уравниванием для решения дифференциальных уравнений без запаздывания разработан аналогичный численный метод второго порядка точности для решения систем дифференциальных уравнений с запаздыванием Предложено две модификации этого метода

без интерполяции и с интерполяцией Первая модификация ограничивает выбор шага интегрирования условием кратности запаздывания этому шагу. Вторая модификация свободна от этого ограничения и позволяет, в отличие от известного метода шагов, работать с любым, в том числе, как угодно малым запаздыванием, и выбирать любой шаг интегрирования, обеспечивающий желаемую точность решения

2) Разработан новый конструктивный численный алгоритм построения границы области устойчивости положения равновесия системы дифференциальных уравнений с запаздыванием В отличие от существующих способов исследования устойчивости, алгоритм не предполагает вычисления корней характеристического квазиполинома Метод сводится к численному поиску запаздываний, удовлетворяющих характеристическому уравнению линеаризованной системы, в котором корни квазиполинома предполагаются чисто мнимыми С использованием этого алгоритма впервые построены границы областей устойчивости динамических моделей рынка вальрасовского типа.

3) На основе метода наименьших квадратов разработан новый алгоритм идентификации динамической модели рынка, описываемой системой дифференциальных уравнений с запаздываниями Алгоритм позволяет совместно оценивать запаздывания и коэффициенты системы

Практическая и теоретическая ценность работы

Практическая и теоретическая ценность работы заключается в развитии математических моделей рынка товаров в направлении повышения ее адекватности и в разработке прикладных численных методов решения задач моделирования, идентификации и построения границ областей устойчивости равновесия систем дифференциальных уравнений с запаздыванием Эти методы могут использоваться при исследовании динамических моделей не только в экономике, но и в других областях науки

Положения, выносимые на защиту

1) Модификация и обобщение динамических моделей рынка вальрасовского типа линейные модели второго и третьего порядков для рынка одного товара и нелинейные модели для рынка со многими товарами

2) Модификации численных методов для интегрирования систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

3) Новый конструктивный алгоритм построения границ области устойчивости положения равновесия системы дифференциальных уравнений с запаздыванием

4) Новый алгоритм идентификации системы с запаздыванием на основе метода наименьших квадратов

Внедрение полученных результатов

Результаты работы используются в учебном процессе факультета информатики Томского государственного университета при проведении учебных занятий по курсу «Дифференциальные уравнения и основы теории управления»

Апробация работы

По результатам работы сделаны доклады на следующих конференциях

1 IV Всероссийская научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2005), Анжеро-Судженск, ноябрь 2005 г

2 VI Международная научная конференция "Наука и образование" Математическое моделирование и информатика, Белово, март 2006 г

3 XL.IV Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс" Математика, Новосибирск, апрель 2006 г

4 V Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ-2006), Анжеро-Судженск, ноябрь 2006 г

5 XI Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи», Анжеро-Судженск, апрель 2007 г

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, основного текста, заключения, списка использованной литературы (139 наименований) Основной текст состоит из 5 глав, содержит 152 рисунка и 6 таблиц Общий объем работы составляет 184 страницы

Публикации по теме работы

Основное содержание работы отражено в 9 публикациях, в т ч в 4 статьях из списка ВАК

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава работы посвящена обзору существующих динамических моделей рынка вальрасовского типа, а также построению более адекватных реальности модификаций и обобщений этих моделей

Вапьрас при описании процесса перехода рынка в состояние равновесия сосредоточил внимание на объемах спроса QD и предложения О* при данных ценах Р Функции спроса и предложения у него имеют вид = (¿" {Р) и <2Л = (Р), а условие рыночного равновесия выражается равенством <2°(Р) = С*\Р) При равновесной цене Р' объем спроса совпадает с объемом предложения и составляет равновесный объем продаж б°(.Р*) = бЧ-О = 6* Обычно объем предложения реагирует на изменения цен с некоторым запаздыванием т (будем считать его постоянным), тогда как объем спроса определяется текущей ценой Тогда процесс «нащупывания» равновесия по Вальрасу в современной интерпретации описывается обыкновенным дифференциальным уравнением с запаздыванием

^=Л))-е,И'-4т>о, (1)

ш

где I - время, Д<2°(0 = (?°(р(ф-с)"1 (р{г ~х)) - избыток спроса в момент времени ( При А<2°(г) > 0 рыночная цена повышается, при Д2°(/) < 0 падает, при А(2° (?) = 0 выполняется условие равновесия

Маршалл оперировал понятиями «цена спроса» Р° и «цена предложения» Ря при данном объеме продаж Q Функции спроса и предложения у него имеют вид Ра = Р°{0) и = Р'ЧО), а условие рыночного равновесия выражается равенством Р° (в) = Р*1 (О). При равновесном объеме 0* цена спроса совпадает с ценой предложения и составляет равновесную рыночную цену Р Р°(@') = Р^Ш') - Р' Процесс взаимодействия спроса и предложения по Маршаллу описывается (в современной интерпретации) обыкновенным дифференциальным уравнением без запаздывания

^"^М-'ШЬО, (2)

т

где ДРд(г)= - превышение ценой спроса цены предложе-

ния при объеме продаж £}(/) в момент времени /. При ЛР'°0> 0 объем предложения возрастает, при (?) < 0 снижается, при ЛР"(/)== 0 выполняется условие равновесия

Процессы «нащупывания» равновесия по Вальрасу и Маршаллу, описываемые дифференциальными соотношениями первого порядка (1) и (2), можно считать простейшими динамическими математическими моделями поведения рынка во времени, объясняющими механизм перехода рынка от неравновесного состояния к равновесному

Будем рассматривать два варианта функций спроса и предложения линейные в°(Р)=в'-а(Р-Р'), 0?(р)=Я' +${Р-Р*) (по Вальрасу),

(ПО Маршаллу), где а>0, 0 > 0, и нелинейные, а именно, параболические функции предложения

гиперболические функции спроса 2л(/5)= (¿'(р'/р)*, Р°(в)= Р'(<2'/о)"\ V > 1, где V и ¡л - показатели гиперболы и параболы, Рт!> < Р* - минимальная цена, ниже которой продавец не может продавать товар из-за убыточности продажи

Рассматривая существующие динамические модели рынка вальрасовско-го типа, включая модели, построенные И К Коханенко, Ю А Кузнецовым и Н К Обросовой, приходим к необходимости построения ряда модификаций и обобщений моделей рынка подобного типа Рассматриваются следующие модификации и обобщения моделей

1 Линейная динамическая модель рынка второго порядка, содержащая только две зависимые переменные - рыночную цену товара Р({) и объем продаж Q{t) Модель задается системой дифференциальных уравнений с запаздыванием

Щ- = Ау(1) + В у О - т), < 6 [Г0,Г], у(1) = <р(/), 16 [/0 - т./0), Я'о) = Л,,

где векторы у, (¡у/Л, <р(() и матрицы А, В имеют вид

Л У Л Л )

л =

■а -д г, -Ь

,В =

, Ф(0 =

р«)-р ж-о')

причем а>0, 6>0, д>0, г, >0, гг >0.

2 Линейная динамическая модель третьего порядка, учитывающая изменения во времени не только рыночной цены товара Р{1) и объема продаж ,

но и объемов предложения 0? (/) и спроса <2° (?)

л

= АуУ) + ВуЦ-т), 1е[10,Т]- = ФСО, /е[/в-т,/0), Х'0) =

Уа>

у(о=Ы-р> очо-в' ^

я? V да ш ш

/ -а Го 0

¿Л» , в = 0 0

к -6м У 1« 0 0,

ф(0 =

г''> о,

где а>0, ?'>(), ^>0, 6® >0, ¿то>0, ¿^>0, ¿ш>0, л-,11 >0, г2 > 0 При этом объем продаж в каждый данный момент времени определяется как минимальная из величин б?(0 и {?(') = пнп({2% (/),б°(/))

3 Нелинейная модель рынка вальрасовского типа со многими товарами, учитывающая наличие конкуренции на рынке Эта модель рынка описывается системой связанных дифференциальных уравнений Л/-го порядка с N постоянными запаздываниями

=г„кт«)- - т,))]-

(3)

= Р,((0) = Р,0, 1 = (4)

где <2," (Р, (')) и ~ т/)) — объемы спроса и предложения г-ого товара в мо-

мент времени I, •¡ц >0, /, / = Функции спроса и предложения могут быть как линейными, так и нелинейными

Для существования и единственности решений дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами вида

т

с помощью которых описываются построенные выше модели рынка вальрасов-ского типа, достаточно, чтобы правая часть /{1,у((),у(( - т)) была непрерывна по своим аргументам и удовлетворяла условиям Липшица по второму и третьему аргументу (или более сильному условию ограниченности по модулю частных производных /ду} | < М = 1,^) Эти условия автоматически выполняются в линейных и нелинейных моделях вальрасовского типа

Матрицы А и В в линейных моделях вальрасовского типа будем выбирать так, чтобы в отсутствие запаздывания (при т = 0 ) точка покоя (равновесия) систем дифференциальных уравнений была устойчива, т е так, чтобы вещественные части всех собственных чисел матрицы А+В были отрицательными

Равновесная цена Р* и равновесный объем <2* — это, очевидно, положительные величины В работе будем рассматривать Р' = 1 и <2=1, имея в виду, что цены и объемы продаж, предложения и спроса на товары измеряются в единицах равновесной цены и равновесного объема

Вторая глава диссертации посвящена численному моделированию рынка товаров В главе сделан обзор существующих методов аналитического и численного решения дифференциальных уравнений с запаздыванием В связи с громоздкостью большинства существующих численных методов решения дифференциальных уравнений с запаздыванием, обязательно включающих в полученное решение все точки разрыва производных, а также в связи с непригодностью этих методов в случае как угодно малых запаздываний, разработаны модификации численных методов, обеспечивающие требуемую точность решения без обязательного включения в решение всех точек разрыва производной Разработано две формы обобщения на случай уравнений с запаздыванием методов численного интегрирования дифференциальных уравнений без интерполяции и с интерполяцией В первой форме шаг интегрирования выбирается как общий делитель всех запаздываний, обеспечивающий требуемую точность решения Это позволяет включить в решение все точки разрывов производных Вторая форма допускает выбор любого шага интегрирования, обеспечивающего желаемую точность, безотносительно к запаздываниям, которые могут быть любыми, в том числе как угодно малыми При этом информация о некоторых точках разрыва производных может быть потеряна, что не является существенным для задач моделирования рынка В работе используются обобщения методов Рунге-Кутты и Эйлера с уравниванием в первой форме и метода Эйлера с уравниванием во второй форме

Проведено численное исследование моделей рынка, представленных в первой главе Исследован характер переходных процессов при выведении рынка в некоторый начальный момент времени из состояния равновесия при различных запаздываниях В моделях первого порядка в отсутствие запаздывания

10

переход рынка к равновесию происходит апериодически Наличие запаздывания придает этому процессу характер затухающих колебаний С увеличением запаздывания переход к равновесию замедляется, и при некотором критическом значении запаздывания т = ткр (точка бифуркации) траектория рынка перестает

приближаться к точке равновесия, точка равновесия становится изолированной точкой, и рынок начинает совершать периодические колебания вокруг точки равновесия При дальнейшем увеличении запаздывания (т = ткр) точка равновесия теряет устойчивость В случае линейности модели траектория состояния рынка неограниченно удаляется от точки равновесия (рынок «разваливается»), в случае нелинейности модели траектории рынка начинают совершать колебания все возрастающей до некоторого насыщения амплитуды В качестве примеров ниже представлены траектории цены товара в линейной модели Вальра-са-Маршалла второго порядка (рис 1, 2) и траектории цен товаров в нелинейной модели вальрасовского типа с двумя товарами (рис 3, 4) в случае устойчивого (рис 1, 3) и неустойчивого (рис 2, 4) положения равновесия

-1

ИЛлл/

рту

66 67

133 33

200

t

- ии=0

Рис 1 Траектории цен Р(г) при запаздываниях т = 0, т = 3

з

- 1аи=0

Рис 2 Траектории цен Р(1) при запаздываниях т = 0, т = 9

и 11 1« к *>

VI*1 и и ■ 1* 4 <г IV и

У Г IV р*

"2 6

? 1

й .нлЦл » ч ч II «1 г ш

'ЩД'М тЛ

10 55

23 7 I

36 85

21.25

47 5 I

73 75

100

-- Р1

- Р2

Рис 3 Траектории решения системы вальрасовского типа, рыночные цены Р,(1), Р20), т = (1,6 2,6)Г

Р1 Р2

Рис 4 Траектории решения системы вальрасовского типа, рыночные цены /¡(/), Рг(1), т = (з,2 5)т

Результаты, полученные во второй главе, опубликованы в работах [1,3,5,7, 8]

Третья глава посвящена исследованию устойчивости моделей рынка вальрасовского типа. Сделан обзор существующих методов исследования устойчивости дифференциальных уравнений с запаздываниями Отметим, что на сегодняшний день не существует конструктивных алгоритмов нахождения границ областей устойчивости для состояний равновесия систем с запаздывающими аргументами, В связи с этим разработан оригинальный конструктивный численный алгоритм построения границ области устойчивости в пространстве запаздываний для точки равновесия рынка многих товаров Алгоритм основан на анализе характеристического квазиполинома, но не предполагает нахождения бесконечного множества его корней

Известно, что исследование на устойчивость положения равновесия нелинейной системы с запаздываниями эквивалентно исследованию на устойчивость решения системы, линеаризованной около состояния равновесия (системы первого приближения) Разработанный метод заключается в поиске запаздываний, удовлетворяющих характеристическому уравнению линеаризованной системы

г у*" 0 0

0 0 -к/ (5)

сИ а + в = 0,

0 0 0

\ 0 0 /

где / — единичная матрица размерности n у- n. а и в — матрицы коэффициентов линеаризованной системы Так как известно, что необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости точки равновесия системы с запаздыванием является отрицательность действительных частей всех корней характеристического уравнения (характеристического квазиполинома), то на границе области устойчивости все корни уравнения (5) должны быть чисто мнимыми к — ко Перебирая с некоторым малым шагом значения © и находя все наборы (т,,т2, ,хК), при которых с заданной точностью (например, не хуже 0,001) выполняется равенство (5), получим границы области устойчивости модели рынка вальрасовского типа Для n = 2 эти точки, лежащие на линиях бифуркации решения, представлены на рис 5. Область устойчивости — заштрихованная область левее и ниже всех линий бифуркации

Результаты третьей главы опубликованы в работах [2,4, 9] Четвертая глава работы посвящена исследованию динамической модели рынка вальрасовского типа, стабилизируемой в положении равновесия Целью стабилизации является увеличение области устойчивости положения равновесия рынка В главе разработана модификация одного из методов стабилизации систем с запаздывающим аргументом Рассматривается линейная модель управляемого рынка

<ш

= Ау(1) + ВуО - т) + £>и(0, ХО = <Р(0, < € [г0 - т г0), >(<„) = >>0, (6)

Л

где и{г) — скалярное управление, О — й-вектор-столбец передачи управлений, и— размерность вектора состояния у(/) Вид вектора В определяется механизмом стабилизации рынка

В качестве критерия оптимальности примем квадратичный интегрально-терминальный критерий вида

т г

■/(У.и) = У(Т)1у(Т) + \ут (ОЩ'ММ/ + \Щ1)и\1)сИ. (7)

<о 'о

Здесь £>0, М(/)>0 — симметричные неотрицательно определенные ихи-матрицы, Ы{() > 0 — положительная кусочно-непрерывная функция, определяющая ресурс управления (увеличение N(1) уменьшает ресурс управления, сильнее штрафуя большие управления, уменьшение Щ() увеличивает ресурс управления)

Ставится вариационная задача минимизации функционала (7) на решениях системы (6) Необходимым условием минимума функционала (7) является равенство нулю на оптимальной траектории и оптимальном управлении первой вариации функционала по у(1) и и(() &/(у,и) = 0 Для вычисления вариации функционала J{y,u) и получения уравнения для оптимального управления и(/) используется схема Р Беллмана и К Кука исключения из функционала (7) вектора состояния ХО через решение системы (6) при фиксированном управлении и(() с последующей минимизацией функционала по управлению и(/) Напомним, что схема Р Беллмана и К Кука имеет вид

<о т

у(0 = К(()у0 + |к(< - -С - х)В<р(х)сЬ + - х)йи(х)ек, 1>/0,

где лх и-матричная функция К{{) удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению АК(1) +ВК(1-т), />/0, и начальным условиям гй

К{1)-0 при I < 10, К(10) = I Здесь О — нулевая пхп-матрица,/-единичная их и-матрица

Необходимое условие минимума функционала (7) принимает вид

1 т

I ут (Т)ЬК(Т -х)В + |ут(1')М(?)К(1'-х)ОсИ' + Щх)и(х) 5м(х)гЬг = 0, ',, I 'о

Используя основную лемму вариационного исчисления, получаем уравнение Эйлера для оптимального управления в следующем виде

7

ут(Т)ЬК(Т-1)В + 1У7(С)М(?)К(1Ч)Ос1Г+Щ0«(0 =0. *е[10,Т] (8)

Исключая из (8) вектор состояния у{() по схеме Беллмана и Кука и введя обозначения

/д

ДО = ут0 Кт{Т)ЬК(Т - + |фт(1')ВгКт(Т- ?-х)1К(Т - ()Вм +

i

KT(t,)M(t')K(t'~t)C>+ ](?U$)BTКг (г<-& - x)M(t')K(t'-t)DdS

df ,

F(t,t') = DtKt(T - t)LK{T -t')D+ |DrA:r(9 - t)M{§)K(§ - f)Dd§,

приведем (8) к виду неоднородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода

/(г) + f)u{t')df + N(l)u(t) = 0, t е [i0, Т],

(9)

решение которого представляет собой траекторию u{f) оптимального управления системой В главе построен численный алгоритм решения уравнения (9)

С помощью описанного метода построены траектории управляемых моделей рынка с запаздыванием поставок товаров в сравнении с неуправляемыми моделями Показано, что при устойчивом положении равновесия рынка свободное движение рынка к равновесию происходит значительно медленнее, чем управляемое Это хорошо видно на рис 6-8, полученных для модели вальрасовского типа второго порядка Оптимальное управление при достаточном ресурсе управления 1/ N(l) эффективно стабилизирует рынок в положении даже неустойчивого равновесия, возникающего при больших запаздываниях, что хорошо видно на рис 9-11, полученных для модели второго порядка

1

Рис 5 Область устойчивости (заштрихована) модели рынка с запаздыванием

<3(Р)

- <уСГ(РЦ)

Рис 6 Фазовая траектория движения к равновесию неуправляемого (тонкая линия) и управляемого (жирная линия) рынка, т < ткр

§ 2 Он 1

ш

[р

е

еч

¡э (У

о

-3 47 75 98.5 1 49 25 20 1

— Щ

— ри©

Рис 7 Динамика цены товара для неуправляемого (тонкая линия) и управляемого (жирная линия) рынка с запаздыванием т < ткр

3

2 15

1

05 О

р

47 75

98 5 14925 200 I

- ОС^>

- 00©

Рис 8 Динамика поставки товара для неуправляемого (тонкая линия) и управляемого (жирная линия) рынка с запаздыванием т < т

СУ

а

1 * 1 2*; 1

О ~5.

200

Рис 9 Динамика цены товара для неуправляемого (тонкая линия) и управляемого (жирная линия) рынка с запаздыванием т > ткр

О 5 -20

1 Ь 1 ч

IV * ■Л л-1

J

¥ Г 1/

<К> t

145

аоо

— <.><»

-<ЭТп

Рис 10 Динамика поставки товара для неуправляемого (тонкая линия) и управляемого (жирная линия) рынка с запаздыванием т > т

Таким образом, стабилизация рынка, описываемого моделями вальрасов-ского типа, позволяет расширить область устойчивости положения равновесия рынка

Результаты, полученные в четвертой главе, опубликованы в работе [1]

— СИР) -С>и(Ри)

Рис 11 Фазовая траектория движения к равновесию неуправляемого (тонкая линия) и управляемого (жирная линия) рынка, т > т

1600 1480

<3 1360 т

1240

1120

1000

■ч ' -1 -""

1

*

"0 01 26 39 5279 79 2 105 6 132 t

- РЗ

---РпЗ

Рис 12 Наблюдаемая реальная цена

товара РпЪ(()и цена Р3(!), рассчитанная по идентифицированной модели вальрасовского типа

В пятой главе разработан новый метод идентификации параметров рынка (коэффициентов модели и запаздываний) на основе метода наименьших квадратов.

Рассматривается динамическая модель рынка вальрасовского типа с УУ товарами, описываемая системой дифференциальных уравнений (3)-(4) с 'И запаздываниями Функции спроса и предложения берутся линейными Тогда система принимает вид

^^- = А{Р{1)-Р') + В{Р{1-т)-Р), (10)

ш

где параметры А, В, Р и т, вообще говоря, неизвестны и подлежат определению по результатам наблюдений за ценами товаров на некотором интервале времени /0 < / < Т Здесь А и В — Ых N -матрицы коэффициентов системы, Р* и т -Л'-векторы равновесных цен и запаздываний поставок товаров

Пусть имеется п наблюдений за ценами товаров в моменты времени ¡к,

к = 0,п-1

Целевая функция метода наименьших квадратов, зависящая от коэффициентов системы А и В, равновесной цены Р' и запаздывания т, имеет вид

./ = /г((хг - у{р',т)сУ {х- г(р\т)с))=> шш , (11)

где С = (А В)т — матрица коэффициентов размерности 2Лгх N, }'(р',т)=(ф(/>*) н/(р*,т)) — матрица плана размерности пх2И, а х, ф, у — матрицы размерности п х N

:(*о ф = (ф0 <Pi %-,У > V = (Va Vi 4V, Г,

Хь =

'lnl

р&ш)) JMO) J Мы!

In

PA)) ' l РЛ'ь).

<pk(n = h{p(tM)-2P' + P(tk)) \{tk >t0)/2, _

Vt (P\т) = h{p(lM -1)-2P' + P{tk -t)) l(ft -x>(0)/2, A = 0,и-1 Находя из (11) оценки коэффициентов С при фиксированных Р', т

c-fajrir.-tfrir'sh

и подставляя их в выражение (11), получим целевую функцию для оценивания

Лт

J = tr

-у(р'4г(р\г)Тг(р'4'г(р\ т)г -yip-.x^.x/y^.Tfl^-.Tj

Jt I => 1П1П т я"

Перебирая с некоторым шагом значения Р'н х, находим точку Р*, т минимума ,/(/**,х) и вычисляем С Этот алгоритм используем для идентификации модели рынка вальрасовского типа с одним и несколькими товарами В работе проводится оценка точности идентификации в зависимости от шага идентификации и от запаздывания Показано, как с увеличением шага увеличивается ошибка оценивания параметров модели

Рассматривается идентификация модели рынка при наличии случайных составляющих в функциях спроса на товары Случайный спрос моделируется нормально распределенными величинами с нулевым средним и дисперсией а2 Для рынка одного товара и нескольких товаров рассматриваются небольшие, средние и большие значения аг Для коэффициентов системы построены (1 - £)100%-ные доверительные области вида

(с - с)т у{р\?)т У{Р' ,с)(с - с)< гл'(ги1,» - 2Ыг),

где /г| е(2Лг2,«-2уУ2) — квантиль уровня 1-е /•'-распределения с 2Ы~ и п-21Яг степенями свободы, я1 = •УДя-гЛ''2) — несмещенная оценка дисперсии ошибки Показано, что чем больше дисперсия случайной составляющей спроса на товары, тем хуже идентифицируются параметры модели рынка и тем больше доверительная область для этих параметров

Отмечено, что параметры модели идентифицируются намного лучше при больших значениях запаздываний, когда положение равновесия рынка неустойчиво Это можно объяснить тем, что увеличение запаздывания ведет к увеличению времени переходного процесса рынка А идентификация возможна только на переходном процессе Чем он длиннее, тем больше информации можно получить из наблюдений за ценой товара при идентификации параметров модели и, соответственно, тем лучше можно их оценить

Один из разделов пятой главы посвящен решению практической задачи идентификации параметров реального рынка одного из типов компьютерных комплектующих — видеокарт Оказалось, что остаточная сумма квадратов невязок модели вальрасовского типа после МНК-идентификации заметно отличается от нуля На рис 12 приведены для сравнения реальная цена и цена, полученная по идентифицированной модели, для одного из рассматриваемых в на-цшм примере теваров-камплектующих. Максимальная относительная разница меэдцу реальными ценами и ценами, рассчитанными по идентифицированной модели вальрасовского типа, в рассмотренном примере не превышает для разных комплектующих 3-10% Из этого можно сделать вывод, что модель вальрасовского типа хотя и не вполне адекватна реальным данным, не учитывает, возможно, какие-то важные особенности реального рынка, но, тем не менее, достаточно правильно отражает главную закономерность динамики рынка — зависимость цены товара от соотношения спроса и предложения

Результаты, полученные в пятой главе, опубликованы в работе [6]

В заключении подводятся итоги проделанной работы

1) Проведено построение и исследование следующих динамических моделей рынка вальрасовского типа

- линейные и нелинейные динамические модели рынка первого порядка, содержащие одну зависимую переменную — рыночную цену товара Р(г),

- линейная динамическая модель рынка второго порядка, содержащая две зависимые переменные — рыночную цену товара Р{() и объем продаж 0.{{),

- более реалистичная модель третьего порядка, учитывающая изменения во времени не только рыночной цены товара и объема продаж, но и объемов предложения и спроса 0° {I),

- нелинейная модель рынка вальрасовского типа со многими товарами, задаваемая системой Л? дифференциальных уравнений с N запаздываниями

2) Разработано две формы обобщения численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений на случай уравнений с запаздыванием обобщения методов Рунге-Кутты и Эйлера с уравниванием без интерполяции и метода Эйлера с уравниванием и интерполяцией

3) Разработан конструктивный численный алгоритм построения границы области устойчивости системы дифференциальных уравнений с запаздыванием С помощью этого алгоритма построены границы областей устойчивости моделей рынка вальрасовского типа

4) Разработана модификация одного из методов стабилизации по квадратичному критерию в положении равновесия решения системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом на основе представления решения схемой Р Беллмана и К Кука Проведено исследование линейных стабилизируемых моделей рынка вальрасовского типа с использованием этого метода

5) На основе метода наименьших квадратов разработан новый алгоритм идентификации динамической модели рынка, описываемой системой дифференциальных уравнений с запаздываниями, позволяющий совместно оценивать коэффициенты системы и запаздывания

18

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ*

1 Поддубный В В , Сухарева Е А Исследование свободного и стабилизируемого рынка, описываемого динамической моделью Вальраса-Маршалла с запаздыванием // Вестник Том гос ун-та -2006 -№290.-С 190-198

2 Подцубный ВВ., Сухарева Е А Исследование динамической модели рынка вальрасовского типа со многими товарами // Вестник Том гос ун-та -2006 -№293 -С 53-58

3 Подцубный В В, Сухарева Е А Динамическая модель Вальраса-Маршалла рынка с запаздыванием при параболическом предложении и гиперболическом спросе//Вестник Томского гос ун-та Приложение -2006 -№16 -С 235-239.

4 Поддубный В В , Сухарева Е А О нахождении области устойчивости динамической модели рынка вальрасовского типа со многими товарами // Вестник Том гос ун-та Приложение - 2006 - № 19 - С 322-327

5 Сухарева Е А. Динамическая модель рынка вальрасовского типа с N товарами при параболическом предложении и гиперболическом Спросе // Студент и научно-технический прогресс Материалы XLIV Международной научной студенческой конференции Математика — Новосибирск Изд-во Новосиб гос ун-та, 2006 - С 165-166

6 Сухарева Е А. Идентификация динамической модели рынка вальрасовского типа // Научное творчество молодежи1 Материалы XI Всероссийской научно-практической конференции (20-21 апреля 2007 г) Ч 1 -Томск Изд-во Том.ун-та,2007 -С 50-54

7 Поддубный ВВ., Сухарева Е А Динамическая модель рынка Вальраса-Маршалла с запаздыванием при параболическом предложении и гиперболическом спросе // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ-2005) Материалы IV Всероссийской научно-практической конференции (18-19 ноября 2005 г ). Ч 2 -Томбк Изд-во Том ун-та,2005 -С 108-110

8 Поддубный В В , Сухарева Е А Динамическая модель рынка вальрасовского типа с двумя товарами при параболическом предложении и гиперболическом спросе // Наука и образование. Материалы VI Международной научной конференции (2-3 марта 2006 г.) В 4 ч 4.1. Математическое моделирование и информатика - Белово Беловский полиграфист, 2006 - С 263-267

9 Поддубный В В , Сухарева Е А Устойчивость динамической модели рынка вальрасовского типа со многими товарами // Информационные технологии и математическое моделирование (ИТММ - 2006) Материалы V Международной научно-практической конференции (10-11 ноября 2006 г ) 4 2.- Томск Изд-во Том ун-та, 2006 - С 127-129

* Справка в 2007 г в связи со вступлением в брак Сухарева сменила фамилию на Червонную

Тираж 100 Заказ 678. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г Томск, пр Ленина, 40

Введение

1. Глава 1. Обзор существующих динамических моделей рынка товаров, их модификация и обобщение и постановка задач исследования

1.1. Развитие вальрасовского подхода в описании динамики рынка

1.1.1. Модели рынка без учета запаздывания в поставках товара

1.1.2. Развитие вальрасовского подхода при описании динамики рынка в дискретном времени. Паутинообразная модель

1.1.3. Модели вальрасовского типа с запаздываниями

1.2. Исследование простейших моделей вальрасовского и маршалловского типа

1.2.1. Случай малого запаздывания при линейных функциях спроса и предложения

1.2.2. Случай произвольного запаздывания при линейных и нелинейных функциях спроса и предложения

1.3. Построение модификаций моделей рынка вальрасовского типа

1.3.1. Модифицированные модели рынка вальрасовского типа второго порядка

1.3.2. Модифицированные модели рынка вальрасовского типа третьего порядка

1.3.3. Модели вальрасовского типа со многими товарами

1.4. Сводка динамических моделей рынка. Постановка задач исследования 49 2.

Глава 2. Численные методы решения систем с запаздыванием. Моделирование рынка товаров

2.1. Обзор существующих методов решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

2.1.1. Определение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом

2.1.2. Аналитическое решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и запаздыванием

2.1.3. Численное решение дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом методом шагов

2.1.4. Численные методы типа Адамса

2.1.5. Алгоритм Рунге-Кутты численного решения дифференциальных уравнений с запаздыванием

2.2. Альтернативные численные методы решения систем дифференциальных уравнений с запаздыванием

2.2.1. Построение алгоритма численного решения линейной системы с запаздыванием, кратным шагу интегрирования, методом Эйлера с уравниванием

2.2.2. Численное решение дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием методом Эйлера с уравниванием и интерполяцией

2.2.3. Численное решение нелинейной системы дифференциальных уравнений со многими запаздываниями на основе метода шагов и метода Рунге-Кутты четвертого порядка точности

2.2.4. Построение приближенного аналитического решения системы двух дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и запаздыванием

2.3. Моделирование рынка товаров. Исследование моделей

2.3.1. Исследование простейших моделей вальрасовского и маршалловского типа при произвольном запаздывании

2.3.2. Исследование модели рынка вальрасовского типа второго порядка

2.3.3. Исследование модели рынка вальрасовского типа третьего порядка

2.3.4. Исследование модели вальрасовского типа со многими товарами 93 3.

Глава 3. Построение границ области устойчивости состояний равновесия моделей рынка вальрасовского типа

3.1. Существующие методы исследования устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

3.2. Описание метода построения границы области устойчивости

3.3. Построение области устойчивости для модели рынка вальрасовского типа

4. Глава 4. Стабилизация рынка вальрасовского типа в состоянии равновесия

4.1. Модификация метода Минюка стабилизации состояния равновесия системы дифференциальных уравнений с запаздыванием

4.2. Квазиоптимальное управление

4.3. Исследование стабилизируемых моделей рынка

4.3.1. Стабилизация модели рынка вальрасовского типа второго порядка

4.3.2. Стабилизация модели рынка вальрасовского типа третьего порядка

5. Глава 5. Идентификация динамических моделей вальрасовского типа

5.1. Алгоритм идентификации

5.2. Идентификация динамической модели рынка вальрасовского типа с одним товаром

5.3. Оценка точности идентификации модели вальрасовского типа в зависимости от шага идентификации и от запаздывания

5.4. Идентификация модели вальрасовского типа с одним товаром при наличии случайной составляющей в функции спроса

5.5. Частный случай идентификации модели вальрасовского типа при известных равновесных ценах

5.6. Идентификация модели рынка вальрасовского типа со многими товарами

5.7. Идентификация модели вальрасовского типа со многими товарами при наличии случайных составляющих в функциях спроса

5.8. Идентификация модели вальрасовского типа для рынка компьютерных комплектующих 161 Заключение 169 Список использованных источников

Актуальность работы

В настоящее время математическое моделирование динамики товарного рынка является одним из важнейших, но еще слабо изученных направлений исследования экономических процессов. Представляет большой теоретический и практический интерес построение и исследование математических моделей, описывающих с возможно большей адекватностью динамику рыночных цен и объемов поставок и продаж товаров на рынке в зависимости от соотношений спроса и предложения товаров, конкуренции товаров и продавцов, дисциплины поставок товаров, маркетинговой политики и стратегии участников рынка и других факторов, влияющих на устойчивость положения рыночного равновесия и характер рыночных переходных процессов.

Основополагающие классические работы, положившие начало математическому описанию рыночных процессов, связаны с именами Антуана Курно [1], Уильяма Стенли Джевонса [2], Леона Вальраса [3], Альфреда Маршалла [4], Вильфредо Парето, Карла Менгера [5].

Идея «нащупывания» равновесия (tâtonnement - фр.) между объемами спроса и предложения товаров впервые была высказана JI. Вальрасом [3] в 1874 г., затем эта идея применительно к проблеме равновесия между ценами спроса и предложения была развита в 1890 г. А. Маршаллом [4]. Вальрас и Маршалл считаются основателями теории рыночного равновесия. Рыночное равновесие устанавливается в точке пересечения линий спроса и предложения в пространстве координат «цена-объем» (по Вальрасу) и «объем-цена» (по Маршаллу). Математический аппарат этой теории - системы алгебраических уравнений.

В течение более полувека шло развитие этой теории в плане учета различных факторов производства, обмена, сбыта и т.д., влияющих на поведение линий спроса и предложения (А. Вальд [6], Дж.В. Нейман [7], К. Эрроу и Дебре, В. Маккензи, Раднер, Ауман). И только в конце 30-х - начале

40-х годов XX века были сформулированы разностные и дифференциальные соотношения, определяющие динамику процесса перехода рынка к состоянию равновесия (П. Самуэльсон [8]), положившие начало развитию дифференциально-разностных моделей рынка такими учеными, как Дж. Хикс [9], А. Смизис (1942) [10], Л. Метцлер (1945) [11], К. Эрроу и Л. Гурвиц (1958) [12], Ф. Хан (1958) [13], Т. Негиши (1958) [14], Л. Маккензи (1960) [15], Никайдо и Узава (1960) [16]. Почти одновременно с появлением динамических моделей рынка вальрасовского типа была осознана необходимость учета в динамических моделях рынка запаздывания, порождаемого задержками в поставках товара. По-видимому, первой моделью, учитывающей запаздывание в уравнениях динамики перехода рынка к равновесию в дискретном времени, была разностная «паутинообразная» модель, предложенная Езекилем в 1938 г. [17]. Однако дифференциальные модели рынка в течение длительного времени развивались без учета запаздывания в связи, по-видимому, с определенной сложностью математического аппарата (Дж.К. Ченг и М.П. Веллман [18], Дж.И. МакКоли и K.M. Кёффнер [19]). В дальнейшем, по мере развития теории и методов решения дифференциальных уравнений с запаздываниями, стали развиваться и непрерывные динамические модели рынка, учитывающие запаздывание (Н.К. Обросова [20-24], 1996, Ю.А. Кузнецов [25], 2002, В.В. Поддубный [26, 27], 2004, И.К. Коханенко [28], 2005). Такие динамические модели вслед за Н.К. Обросовой будем называть моделями вальрасовского типа.

Если статические модели рынка можно считать изученными с математической точки зрения более или менее хорошо (теория рыночного равновесия) [29-31], то динамика рынка еще слабо исследована в связи со сложностью соответствующего математического аппарата теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. До сих пор остаются мало исследованными вопросы устойчивости, стабилизации и идентификации систем дифференциальных уравнений с запаздыванием, а, следовательно, и динамических моделей рынка.

Различные методы аналитического и численного решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом предложены А.Д. Мышкисом [32], Л.Э. Эльсгольцем [33], К.Г. Валеевым [34-36], Т.С. Зверкиной [37], А.Д. Горбуновым и В.Н. Поповым [38], JI.C. Гноенским и Г.А. Каменским [39], JT.H. Белых и A.JI. Асаченковым [40], В.Б. Колмановским [41], A.B. Прасоловым [42], С. Sartori [43], А. Bellen [44-46], R. Vermiglio [47], С.Т.Н. Baker и С.А.Н. Paul [48, 49], A. Karou и R. Vaillancourt [50]. К сожалению, эти методы не являются универсальными и не всегда применимы (например, при малых запаздываниях). Кроме того, в ряде случаев предложенные алгоритмы оказываются достаточно громоздкими. Поэтому остается актуальной проблема разработки и построения альтернативных численных методов решения дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Что касается устойчивости уравнений с запаздыванием, то этим занимались такие отечественные ученые как Л.Э. Эльсгольц [51, 52], H.H. Красовский [53-56], Б.С. Разумихин [57-59], ЯЗ. Цыпкин [60], Ю.И. Неймарк [61], H.H. Мейман и Н.Г. Чеботарев [62], Э. Пинни [63], С.Н. Шиманов [6466], Ю.М. Репин [67], В.Б. Колмановский [68, 69], Б.Г. Гребенщиков [70-75], A.B. Прасолов [76], Н.В. Азбелев и П.М. Симонов [77], Ю.Ф. Долгий и С.Н. Нидченко [78-81], Н.К. Обросова [82], и зарубежные ученые H.W. Stech [83], K.L. Cooke и J. Turi [84], Guglielml [85], A. G. Ulsoy [86], M.M. Peet [87, 88], L. E. Kollar [89], L. Berezansky и L. Idels [90], T. Kalmar-Nagy [91], B. Cahlon и D. Schmidt [92]. Аналитические методы исследования устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом достаточно сложны и плохо реализуемы численно. Они не дают явных рецептов нахождения границ областей устойчивости для состояния равновесия систем с запаздывающими аргументами в пространстве запаздываний. Поэтому остается актуальной разработка конструктивных численных методов построения границ областей устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

Задачами оптимального управления системами, описываемыми дифференциальными уравнениями с запаздыванием, занимаются P. Wang [93], К. Kunisch [94], F. Gozzi и С. Marinelli [95], L. Berezansky и E. Braverman [96], И. M. Борковская и B.M. Марченко [97], СЛ. Минюк [98], И.Е. Зубер [99-100], A.B. Клименко [101], Г.Н. Терновая [102], И.Б. Фуртат [103], A.B. Прасолов [76]. Применительно к задачам стабилизации динамических моделей рынка в положении равновесия первыми, по-видимому, являются работы В.В. Поддубного [26,27].

Идентификация модели рынка вальрасовского типа осложнена наличием временных лагов, запаздываний реакций поставщиков товаров на изменение цен этих товаров. Работ по идентификации дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом довольно мало. Среди них можно указать, например, работы D.W. Brewer [104], С. Baker и E.I. Parmuzin [105], В.И. Ловчакова [106], A.B. Прасолова [107], В.Ф. Лебедева и Е.А. Ситникова [108], С.А. Минюка и A.B. Метельского [109].

Настоящая работа посвящена разработке численных методов и алгоритмов исследования систем дифференциальных уравнений с постоянными запаздываниями, используемых для построения математических динамических моделей товарного рынка вальрасовского типа, исследованию характера и особенностей поведения этих моделей, изучению вопросов устойчивости их равновесных состояний, стабилизации в состоянии равновесия и идентификации моделей рынка.

Цель работы

Целью работы является исследование математических моделей рынка, учитывающих наличие конкуренции товаров и запаздывание реакции поставщиков товаров на изменение цен товаров. Модели задаются с помощью систем дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами. Запаздывания считаются постоянными. В рамках указанной цели поставлены и решены следующие задачи:

1) Построение вычислительных схем решения дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, пригодных для работы с произвольными запаздываниями, в том числе как угодно малыми.

2) Построение и исследование различных модификаций динамических моделей рынка вальрасовского типа с использованием разработанных вычислительных схем.

3) Разработка конструктивного численного алгоритма построения границ области устойчивости положения равновесия систем дифференциальных уравнений с запаздываниями применительно к моделям товарного рынка вальрасовского типа.

4) Исследование стабилизируемых в состоянии равновесия систем дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами применительно к моделям товарного рынка вальрасовского типа.

5) Разработка метода идентификации систем дифференциальных уравнений с запаздываниями применительно к моделям товарного рынка вальрасовского типа.

Методы исследований

В ходе решения поставленных задач использовались методы вычислительной математики, теории дифференциальных уравнений (в том числе дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом), теории оптимального управления и стабилизации, теории устойчивости и теории идентификации систем.

Научная новизна работы

1) На основе численного метода Эйлера с уравниванием для решения дифференциальных уравнений без запаздывания разработан аналогичный численный метод второго порядка точности для решения систем дифференциальных уравнений с запаздыванием. Предложено две модификации этого метода: без интерполяции и с интерполяцией. Первая модификация ограничивает выбор шага интегрирования условием кратности запаздывания этому шагу. Вторая модификация свободна от этого ограничения и позволяет, в отличие от известного метода шагов, работать с любым, в том числе как угодно малым запаздыванием, и выбирать любой шаг интегрирования, обеспечивающий желаемую точность решения.

2) Разработан новый конструктивный численный алгоритм построения границы области устойчивости положения равновесия системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. В отличие от существующих способов исследования устойчивости, алгоритм не предполагает вычисления корней характеристического квазиполинома. Метод сводится к численному поиску запаздываний, удовлетворяющих характеристическому уравнению линеаризованной системы, в котором корни квазиполинома предполагаются чисто мнимыми. С использованием этого алгоритма впервые построены границы областей устойчивости динамических моделей рынка вальрасовского типа.

3) На основе метода наименьших квадратов разработан новый алгоритм идентификации динамической модели рынка, описываемой системой дифференциальных уравнений с запаздываниями. Алгоритм позволяет совместно оценивать коэффициенты системы и запаздывания.

Практическая ценность работы

Практическая ценность работы заключается в развитии математических моделей рынка товаров в направлении повышения ее адекватности и в разработке прикладных численных методов решения задач моделирования, идентификации и построения границ областей устойчивости равновесия систем дифференциальных уравнений с запаздыванием. Эти методы могут использоваться при исследовании динамических моделей не только в экономике, но и в других областях науки.

Положения, выносимые на защиту

1) Модификация и обобщение динамических моделей рынка вальрасовского типа: линейные модели второго и третьего порядков для рынка одного товара и нелинейные модели для рынка со многими товарами.

2) Модификации численных методов для интегрирования систем дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом.

3) Новый конструктивный алгоритм построения границ области устойчивости положения равновесия системы дифференциальных уравнений с запаздыванием.

4) Новый алгоритм идентификации системы с запаздыванием на основе метода наименьших квадратов.

Внедрение полученных результатов

Результаты работы используются в учебном процессе факультета информатики Томского государственного университета при проведении учебных занятий по курсу «Дифференциальные уравнения и основы теории управления».

Апробация работы

По результатам работы сделаны доклады на следующих конференциях:

1. IV Всероссийская научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ

2005), Анжеро-Судженск, ноябрь 2005 года.

2. VI Международная научная конференция "Наука и образование": Математическое моделирование и информатика, Белово, март 2006 года.

3. XI.IV Международная научная студенческая конференция "Студент и научно-технический прогресс": Математика, Новосибирск, апрель 2006 года.

4. V Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии и математическое моделирование» (ИТММ

2006), Анжеро-Судженск, ноябрь 2006 года.

5. XI Всероссийская научно-практическая конференция «Научное творчество молодежи», Анжеро-Судженск, апрель 2007 года.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, основного текста, заключения, списка использованной литературы (139 наименований). Основной текст состоит из 5 глав и содержит 152 рисунка и 6 таблиц. Общий объем работы составляет 184 страницы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в работе получены следующие основные результаты:

1) Проведено построение и исследование следующих динамических моделей рынка вальрасовского типа:

- линейные и нелинейные динамические модели рынка первого порядка, содержащие одну зависимую переменную - рыночную цену товара

P(ty,

- линейная динамическая модель рынка второго порядка, содержащая две зависимые переменные - рыночную цену товара P{t) и объем продаж

0(0;

- более реалистичная модель третьего порядка, учитывающая изменения во времени не только рыночной цены товара и объема продаж, но и объемов предложения Qs{t) и спроса Q°(t);

- нелинейная модель рынка вальрасовского типа со многими товарами, задаваемая системой iV дифференциальных уравнений с TV запаздываниями.

2) Разработано две формы обобщения численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений на случай уравнений с запаздыванием: обобщения методов Рунге-Кутты и Эйлера с уравниванием без интерполяции и метода Эйлера с уравниванием и интерполяцией.

3) Разработан конструктивный численный алгоритм построения границы области устойчивости системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. С помощью этого алгоритма построены границы областей устойчивости моделей рынка вальрасовского типа.

4) Разработана модификация одного из методов стабилизации по квадратичному критерию в положении равновесия решения системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом на основе представления решения схемой Р. Беллмана и К. Кука. Проведено исследование линейных стабилизируемых моделей рынка вальрасовского типа с использованием этого метода.

5) На основе метода наименьших квадратов разработан новый алгоритм идентификации динамической модели рынка, описываемой системой дифференциальных уравнений с запаздываниями, позволяющий совместно оценивать коэффициенты системы и запаздывания.

1. Сурин А.И. История экономики и экономических учений. М.: Финансы и статистика, 1998. - 200 с.

2. Jevons W.S. Notice of a General Mathematical Theory of Political Economy // British Association for the Advancement of Science.: Report of the 32 Meeting (bridge, 1862, October) Transaction of the Sections.- L. J. Murray, 1862.-Pp.158-159.

3. Гальперин B.M., Игнатьев C.M., Моргунов В.И. Микроэкономика: В 2 т. / Общая ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 2002. Т. 1. - 349 с.

4. Маршалл А. Принципы экономической науки: В 3 т. М.: Прогресс, 1993. Зт.

5. Менгер К. Основания политической экономии. М., 2005. - 496 с.

6. Wald R. Uber einige Gleichungssysteme der mathematische Ökonomie. // Zeitschrift fur Nationalökonomie. 1936, № 7. -p. 637-670.

7. Neumann J.V. Uber ein Ökonomisches Gleichungs System and eine Verallgemeinerung des Brouwerschen Fixpunktsatzes. // Ergebnisse eines Mathematischen Kolloquiums. - 1935-1936, № 8. - p. 10-18.

8. Samuelson P. A. The Stability of Equilibrium: Comparative Statics and Dynamics. // Econometrica. April 1941, 9. - p. 97-120.

9. Hicks J. R. Value and Capital. // Oxford, Oxford University Press, 1939.

10. Smithies A. The Stability of Competitive Equilibrium. // Econometrica. 1942, № 10.-p. 256-257.

11. Metzler L.A. Stability of Multiple Markets: The Hicks Conditions. // Econometrica. 1945, № 13. - p. 277-292.

12. Arrow K.J. and Hurwicz L. On the Stability of the Competitive Equilibrium, I. // Econometrica. 1958, № 26. - p. 522- 552.

13. Hahn F. H. Gross Substitutes and the Dynamic Stability of General Equilibrium. // Econometrica. 1958, №26. - p. 169-170.

14. Negishi T. A Note on the Stability of an Economy Where all Goods are Gross Substitutes. // Econometrica. 1958, № 26. - p. 445-447.

15. McKenzie L.W. Stability of Equilibrium and the Value of Positive Excess Demand. // Econometrica. I960, № 28. - p. 606-617.

16. Nikaido H. and Uzawa H. Stability and Non-Negativity in a Walrasian Tâtonnement Process. // International Economic Review. 1960, № 2. - p. 50-59.

17. Ezekiel M. The Cobweb Theorem. // Quarterly Journal of Economics. 1938, №52.-P. 255-280.

18. Cheng J.Q., Wellman M.P. The WALRAS Algorithm: a Convergent Distributed Implementation of General Equilibrium Outcomes. // Computational Economics. 1998. № 12 (1). - pp. 1-24.

19. McCauley J.I., Kuffner C.M. Economic System Dynamics. // Discrete Dynamics in Nature and Society. 2004. №1- pp. 213-220.

20. Обросова H.K. Анализ устойчивости равновесной цены в модели ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями. // Сборник трудов 1-ой Московской международной конференции по исследованию операций. М, 1996г. С. 62-68.

21. Обросова Н.К. Исследование устойчивости равновесной цены в зависимости от эластичности спроса и предложения. // XXXIV научная конференция факультета физико-математических и естественных наук.: Тез. докладов. 19-22 мая 1998г. -М.: РУДН, 1998. С. 53.

22. Обросова Н.К. Потеря устойчивости равновесной цены в модели ценообразования вальрасовского типа. // Математическое моделирование. -Том 10 (1998).-№5.-с. 47-57.

23. Обросова Н.К. Устойчивость рыночных механизмов в моделях ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями. // Сообщения по прикладной математике. М.: ВЦ РАН ,1999 - 61 с.

24. Поддубный В.В. Оптимальная стабилизация рынка, описываемого модифицированной моделью Вальраса-Маршалла // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. -С.161-171.

25. Поддубный В.В. Оптимальная стабилизация рынка, описываемого модифицированной динамической моделью Вальраса-Маршалла в пространстве переменных "предложение цена - спрос" // Вестник Томского государственного университета. - № 284. - 2004. - С. 80-89.

26. Коханенко И.К. Согласование моделей равновесия Вальраса и Маршалла. // Обозрение прикладной и промышленной математики. т. 12 (2005). - № 1. - с. 682-684.

27. Колемаев В.А. Математическая экономика: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ, 1998.-240 с.

28. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Иванцов И.Б. Информационная микроэкономика. Часть 1. Методы анализа и прогнозирования. СПб.: «Нордмед-Издат», 1997. - 160 с.

29. Ивченко Б.П., Мартыщенко Л.А., Губин Г.С. Информационная микроэкономика. Часть 2. Анализ закономерностей и моделирование. СПб.: «Нордмед-Издат», 1998. - 160 с.

30. Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи математических наук. 1949, Т. 4.-вып. 5 (33).-С. 99-141.

31. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений сотклоняющимся аргументом М: Наука, 1964. - 128с.

32. Валеев К.Г. О линейных дифференциальных уравнениях с экспоненциальными коэффициентами и стационарными запаздываниями аргумента. Регулярный случай. // Прикладная механика и математика. 1962, 26. - вып. 2. - С. 449-454.

33. Валеев К.Г. О линейных дифференциальных уравнениях с экспоненциальными коэффициентами и стационарными запаздываниями аргумента. Иррегулярный случай. // Прикладная механика и математика. -1962,26. вып. 6. - С. 1012-1024.

34. Зверкина Т.С. Приближенное решение дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. // Труды семинара по теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. -1962,1.-е. 76-93.

35. Гноенский Л.С., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управления систем М: Наука, 1969. - 512 с.

36. Белых Л.Н., Асаченков А.Л. Моделирование инфекционных заболеваний. // Вычислительные процессы и системы. М: Наука, 1985 - № 3. - с. 135-148.

37. Колмановский В.Б. Уравнения с последействием и математическое моделирование. // Соровский образовательный журнал. 1996. - № 4. - с. 122127.

38. Прасолов А.В. О построении периодического решения одной системы ворого порядка с запаздыванием. // Дифференциальные уравнения. 2000. Т. 36. - № 4. - С. 470-474.

39. Sartori С. Asymptotic Analysis of Delay Differential Equations. //Manuscripta mathematica. 1982. T. 38 - pp. 225-238.

40. Bellen A. One-Step Collocation for Delay Differential Equations. // J. Сотр. Appl. Math. 1984. № 10 - pp. 275-283.

41. Bellen A., Zennaro M. Numerical Solution of Delay Differential Equations by Uniform Corrections to an Implicit Runge-Kutta Method. // Numer. Math. 1985. № 47. - 301-316.

42. Bellen A. A Runge-Kutta-Nystrom Method for Delay Differential Equations. // Progress Sci. Сотр. 1985. № 5. - pp. 271-283.

43. Vermiglio R. A One-step Subregion Method for Delay Differential Equations. // Calcolo. 1986. № 22. - pp. 429-455.

44. Baker C.T.H., Paul С. A. H. Parallel Continuous Runge-Kutta Methods and Vanishing Lag Delay Differential Equations. // Adv. Сотр. Math. 1993. № 1 -pp. 367-394.

45. Karoui A., Vaillancourt R. Computer Solutions of State-Dependent Delay Differential Equations. // Comput. Math. Applic. 1994. № 27- pp. 37-51.

46. Эльсгольц Jl. Э. Устойчивость решений дифференциально-разностных уравнений // Успехи математических наук. 1954. Т. 9. - вып. 4.

47. Эльсгольц Л.Э. Качественные методы в математическом анализе М.: Гостехиздат, 1955. - 300 с.

48. Красовский Н.Н. О применении второго метода A.M. Ляпунова для уравнений с запаздываниями времени. // ПММ. 1956, т. 20. - N 3. - с. 315327.

49. Красовский H.H. Об асимптотической устойчивости систем с последействием. // ПММ. 1956. т. 20. - вып. 4. - с. 513-518.

50. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959. - 205 с.

51. Красовский H.H. Судьба одного подхода к изучению наследственных систем / H.H. Красовский, А. Н. Котельникова // Известия Уральского государственного университета. 2004. - № 32. - С. 12-24.

52. Разумихин Б.С. Об устойчивости систем с запаздыванием. // Прикладная математика и механика. 1956. - Вып. 20. - с. 500-512.

53. Разумихин Б.С. Устойчивость по первому приближению систем с запаздыванием. // Прикладная математика и механика. 1958. т. 22. - вып. 2. -с. 155-166.

54. Разумихин Б.С. Применение метода Ляпунова к задачам устойчивости систем с запаздыванием. // Автоматика и телемеханика. 1960. Т. 6. - Вып. 21.-С. 740-748.

55. Цыпкин Я.З. Устойчивость систем с запаздывающей обратной связью. // Автоматика и телемеханика. 1946. Т. 2-3. - Вып. 7. - с. 107-129.

56. Неймарк Ю.И. Структура D-разбиения пространства квазиполиномов и диаграммы Вышнеградского и Найквиста. // ДАН. 1948. Выпуск 60. - с. 1503-1506.

57. Мейман H.H., Чеботарев Н.Г. Проблемы Рауса-Гурвица для полиномов и целых функций. // Труды математического института им. Стеклова. 1949. Выпуск 26.-с. 1-331.

58. Пинни Э., Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: Изд-во ин. лит., 1961. - 246 с.

59. Шиманов С.Н. Об устойчивости в критическом случае одного нулевого корня для систем с последействием // Прикладная математика и механика. -1960. Т. 24 (3). С. 447-457.

60. Шиманов С.Н. Об устойчивости квазигармонических систем с запаздыванием. // Прикладная математика и механика. 1961. Т. 25. - № 6. -С. 992-1002.

61. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием // Дифференциальные уравнения. 1965. Т. 1 (1). - С. 102116.

62. Репин Ю.М. Квадратичные функционалы Ляпунова для систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1965. Вып. 3. -С. 564-566.

63. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. - 448 с.

64. Колмановский В. Б. Об устойчивости некоторых систем с произвольным последействием // Доклады Академии наук. 1993. Т. 331, № 4.

65. Гребенщиков Б.Г. Устойчивость систем с переменным запаздыванием, линейно зависящим от времени. // Устойчивость и нелинейные колебания. -Свердловск, 1983. С. 25-34.

66. Гребенщиков Б.Г. Об устойчивости нестационарных систем с большим запаздыванием. // Устойчивость и нелинейные колебания. Свердловск, 1984.-С. 18-29.

67. Гребенщиков Б.Г. Об устойчивости линейных систем с постоянным запаздыванием и с экспоненциальными коэффициентами. // Математический анализ. Вопросы теории и методики преподавания. Л., 1990. - С. 138-148.

68. Гребенщиков Б.Г. Об устойчивости одного класса квазилинейных систем с постоянным запаздыванием. // Сибирский математический журнал. 1997. Том 38.-№2.-С. 280-285.

69. Гребенщиков Б.Г. О неустойчивости решения одной стационарной системы с линейным запаздыванием. // Изв. Уральского гос. ун-та. 1999. -№ 14.-С. 29-36.

70. Гребенщиков Б.Г. Методы исследования устойчивости с линейным запаздыванием // Сибирский математический журнал. 2001. Том 42. - №1. -С. 41-51.

71. Прасолов A.B. Аналитические и численные методы исследования динамических процессов. СПб: Изд-во СПбГУ, 1995. - 146 с.

72. Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений. Екатеринбург: УрГУ, 1996.

73. Долгий Ю.Ф., Николаев С.Г. Устойчивость периодического решения нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием. // Дифференциальные уравнения. 2001. Т. 37. - № 5. - С. 592-600.

74. Долгий Ю.Ф., Нидченко С.Н. Бифуркационный метод исследования устойчивости решения дифференциального уравнения с запаздыванием // Сибирский математический журнал. 2005. Том 46. - №6. - С.1289-1301.

75. Обросова Н.К. Бифуркация Андронова-Хопфа для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. // Вестник РУДН. 2001. Т. 8 (1). -с. 66-102.

76. Stech H.W. Hopf Bifurcation Calculations for Functional Differential Equations. // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1985. Vol. 109. -No. 2.-pp. 472-491.

77. Cooke K.L., Turi J. Stability, Instability in Delay Equations Modeling Human Respiration. // Journal of Mathematical Biology. 1994. 32. pp. 535-543.

78. Guglielmi. Delay Dependent Stability Regions of (^-methods for Delay Differential Equations.// IMA Journal of Numerical Analysis. 1998. Vol. 18 - № 3-pp. 399-418.

79. Asl, F.M., Ulsoy, A.G. Analysis of a System of Linear Delay Differential Equations. // Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 2003. Vol. 125.-pp. 215-223.

80. Peet M.M., Lall S. Constructing Lyapunov Functions for Nonlinear Delay-Differential Equations Using Semidefinite Programming. Electronic resource.,2004. 5 p. - Mode of access: http://www.citebase.org/.

81. Peet M.M. Stability and Control of Functional Differential Equations. A Dissertation for the Degree of Doctor of Philosophy. Stanford University. Electronic resource. 2006. - 163 p. Mode of access: http://www.citebase.org/.

82. Kollar L.E., Turi J. Numerical Stability Analysis in Respiratory Control System Models. // Electronic Journal of Differential Equations. Conference 12. Electronic resource. 2005. - pp. 65-78. - Mode of access: http://www.emis.de.

83. Kalmar-Nagy T. A Novel Method for Efficient Numerical Stability Analysis of Delay-Differential Equations. // American Control Conference. Proceedings of the2005. 2005. Vol. 4. - pp. 2823-2826.

84. Cahlon B., Schmidt D. Stability Criteria for Certain Third-Order Delay Differential Equations. II Journal of Computational and Applied Mathematics.2006. Vol. 188.-No. 2.-P. 319-335.

85. Wang P. Optimal Control of Parabolic Systems with Boundary Conditions involving Time Delays. // SIAM J. Control. 1975.13. - pp. 274-293.

86. Kunisch K. The Riccati Integral Equation Arising in Optimal Control of Delay Differential Equations. Electronic resource. 1980. - 16 p. - Mode of access: http://stinet.dtic.mil/oai/.

87. Gozzi F., Marinelli С. Stochastic Optimal Control of Delay Equations Arising in Advertising Models . Electronic resource. 2004. - 16 p. - Mode of access: http://www.citebase.org/.

88. Berezansky L., Braverman E. Impulsive Stabilization of Linear Delay Differential Equations. Electronic resource. 2006. - 18 p. - Mode of access: http://www.citebase.org/.

89. Борковская И.М., Марченко B.M. Об одном подходе к задаче стабилизации систем с запаздыванием // Прикладная математика и механика. 1996. - №4. - С.531-541.

90. Минюк С.А. Об одной задаче оптимального управления для стационарных систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. -2000. Т. 36.-Вып. 1.-С. 62-70.

91. Клименко A.B. Компенсатор последовательного типа в задачах адаптивного управления технологическими процессами с запаздыванием.: Автореф. дис. канд. техн. наук. Астрахань, 2006. - 15 с.

92. Терновая Г.Н. Робастное алгоритмическое обеспечение управляющих подсистем АСУ ТП с использованием наблюдателя.: Автореф. дис. .канд. техн. наук. Астрахань, 2006. - 15 с.

93. Фуртат И.Б. Алгоритмы адаптивного управления управляющих подсистем АСУ ТП с запаздыванием.: Автореф. дис. . канд. техн. наук. -Астрахань, 2006. 16 с.

94. Brewer D.W. Gradient Methods for Identification of Distributed Parameter Systems. // Decision and Control: Proceedings of the 28th IEEE Conference. -1989. vol.1.-P. 599-603.

95. Baker C., Parmuzin E.I. Analysis via Integral Equations of an Identification Problem for Delay Differential Equations. // Journal of Integral Equations and Applications. 2004. Vol. 16 - No. 2. - pp. 111-117.

96. Ловчаков В.И. Идентификация линейных динамических систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения и их приложения. — Тула: ТулГУ, 1996. — с. 37-44.

97. Прасолов A.B. Математические модели динамики в экономике. СПб: Изд-во СПбГУ, 2000. - 300 с.

98. Минюк С. А., Метельский A.B. О построении непрерывной восстанавливающей операции в задаче полной идентификации линейных стационарных систем с запаздыванием // Дифференциальные уравнения. -2003. Т. 39. № 8 - С.1052-1057.

99. Поддубный В.В., Сухарева Е.А. Динамическая модель Вальраса

100. Маршалла рынка с запаздыванием при параболическом предложении игиперболическом спросе // Вестник Томского гос. ун-та. - 2006. № 16. - С.235.239. I *

101. Справка: в 2007 г. в связи со вступлением в брак Сухарева сменила гЬя милию на Червонную. v

102. Поддубный В.В., Сухарева Е.А. Исследование свободного и стабилизируемого рынка, описываемого динамической моделью Вальраса-Маршалла с запаздыванием. // Вестник Том. гос. ун-та. 2006. № 290. - С. 190-198.

103. Поддубный В.В., Сухарева Е.А. Исследование динамической модели рынка вальрасовского типа со многими товарами. // Вестник Томского государственного университета. Серия «Информатика. Кибернетика. Математика». 2006. № 293. - С. 53-58.

104. Поддубный В.В., Сухарева Е.А. О нахождении области устойчивости динамической модели рынка вальрасовского типа со многими товарами. // Вестник Том. гос. ун-та. 2006. № 19. - С. 322-327.

105. Сухарева Е.А. Идентификация динамической модели рынка вальрасовского типа. // Научное творчество молодежи: Материалы XI

106. Всероссийской научно-практической конференции (20-21 апреля 2007 г.) -2007. с. 50-54.

107. Вайнтрауб Э.Р. Теория общего равновесия. // Современная экономическая мысль. Серия: "Экономическая мысль Запада". / Ред.: Афанасьева B.C. и Энтова P.M. М., "Прогресс", 1981.

108. Arrow K.J. and Debreu G. Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy. // Econometrica. 1954, № 22. - p. 265-290.

109. McKenzie L.W. On Equilibrium in Graham's Model of World Trade and Other Competitive Systems. //Econometrica. 1954, № 22.

110. Kakutani Sh.A. Generalization of Brouwer's Fixed Point Theorem. // Duke Mathematical Journal. 1941, 8. - p. 457-459.

111. Knaster В., Kuratowski C., and Mazurkiewiez S. Ein Beweis des Fixpunktsatzes fur re-dimensional Simplexe. // Fundamenta Mathematica. 1929, № 14.-p. 132- 137.

112. Gale D. The Law of Supply and Demand. // Mathematica Scandivica. 1955, № 3. - p. 87-101.

113. McKenzie L.W. Competitive Equilibrium with Dependent Consumer Preferences. // Proceedings of the Second Symposium in Linear Programming, ed. H. A. Antosiewitz. Washington. National Bureau of Standards. 1955.

114. Ляпунов A. M. Общая задача об устойчивости движения. M.-JL, Гостехиздат, 1950.

115. Данилов Н.Н. Курс математической экономики: Учебное пособие для вузов. М.: Высшая школа, 2006. - 407 с.

116. История экономических учений (современный этап): Учебник / Под общ. ред. А.Г. Худокормова. М.: ИНФРА-М, 2002. С. 34.

117. Muth J.F. Rational expectations and the theory of price movements // Econometrica. 1961. № 29. P. 315-335.

118. Терпугов А.Ф. Экономико-математические модели. Барнаул, 1999г., 117с.

119. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1963. - 348 с.

120. Самуэльсон П.Э., Нордхаус В.Д. Экономика: Пер. с англ.: 16-е изд. М.: Издательский Дом «Вильяме», 2001. - 688 с.

121. Поддубный В.В. Численное решение дифференциальных уравнений с постоянным запаздыванием методом Эйлера с уравниванием и интерполяцией. // Обработка данных и управление в сложных системах. Выпуск 7. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2005. - С. 165-174.

122. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. - 232 с.

123. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление М: Гос.изд-во физ.мат. лит-ры, 1961. - 524с.

124. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.-548 с.

125. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1965. 424 с.

126. Бокс Д., Дженкинс Г.М. Анализ временных рядов.: Пер. с англ.: В 2 т. -1974.2 т.

127. Интернет-магазин электронной техники «Техноград». Электронный ресурс. - Режим доступа: http://technograd.tomsk.ru/, свободный.