автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математических моделей систем, функционирующих по критерию максимума составной функции с характеристическим параметром

На правах рукописи

УДК 519.863

Романович Ольга Владимировна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ, ФУНКЦИОНИРУЮЩИХ ПО КРИТЕРИЮ МАКСИМУМА СОСТАВНОЙ ФУНКЦИИ С ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИМ ПАРАМЕТРОМ (НА ПРИМЕРЕ МОДЕЛИ ТОВАРНОГО РЫНКА)

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 О ДЕК 2012

Томск-2012

005047599

005047599

Работа выполнена на кафедре прикладной информатики Национального исследовательского Томского государственного университета.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Подцубный Василий Васильевич

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор

Дмитриев Юрий Глебович (Национальный исследовательский Томский государственный университет) доктор физико-математических наук, профессор

Рожкова Светлана Владимировна (Национальный исследовательский Томский политехнический университет) Кемеровский государственный университет

Защита состоится 27 декабря 2012 г. в 10:30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.08 при Национальном исследовательском Томском государственном университете по адресу: 634050, г.Томск, пр. Ленина, 36, корп. 2, ауд. 102.

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью организации, просим направлять па адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, ученому секретарю 11У Буровой Н.Ю.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Национального исследовательского Томского государственного университета по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36а.

Автореферат разослан 26 ноября 2012 г. /")

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.267.08 доктор технических наук, профессор

А.В.Скворцов

Актуальность работы. Одним из важнейших направлений исследования рыночной экономики является математическое моделирование рыночных процессов.

Математическими моделями рыночных процессов занимались А. Курно, JI. Вальрас, А. Маршалл, Г.С. Эванс, В.Парето и др. Из современников это Ю.А. Кузнецов, В.А. Васильев, В.А. Булавский, С.Б. Перминов, Н.К. Обросова, И.К. Коханенко, T. Suzuki, С. Chiarella, Р. Zhu, Т. Не, С. Hommes, T. Puu, T. Onozaki и многие другие.

Одной из первых моделей ценообразования на товарном рынке стала «паутинообразная» модель, на основе которой в дальнейшем рассматривались различные модели «вальрасовского» типа. Во всех этих моделях основными конструкциями выступают линии спроса и предложения, а рыночное равновесие определяется точкой их пересечения. Эти модели позволяют исследовать условия устойчивости рыночного равновесия и траектории перехода рынка к равновесному состоянию при заданных линиях спроса и предложения и широко используются в настоящее время.

Уже первые исследователи рыночных процессов (например, П. Сраффа) подвергали сомнению постулаты линий спроса и особенно предложения. Проблему замены в математических моделях рынка линии предложения товаров можно решить подбором подходящих стратегий поставки товаров на рынок. Она может быть решена на основе использования естественных для рынка критериев оптимальности (например, критерия максимума прибыли продавца), обеспечивающих стремление рынка к динамическому равновесию. Такой подход годится для математического анализа и оптимизации относительно свободных товарных рынков, на которых цены товаров устанавливаются по максимуму выгоды продавца. Однако математические модели рынков такого типа, особенно динамических, функционирующих во времени, тем более в условиях лага поставок товаров на рынок, в настоящее время развиты и исследованы недостаточно.

Поскольку продавец не может продать товаров больше, чем спрос на них, и не может обеспечить спрос, если товаров меньше спроса, общим для оптимизационных моделей рынков подобного типа является составной характер функции прибыли продавца (целевой функции оптимизации). В этой связи можно выделить класс математических моделей систем, как экономических, рыночных, так и технических или даже абстрактных математических, которые функционируют по критерию максимума кусочно-гладкой составной целевой функции.

Для оптимизации непрерывных негладких выпуклых (вогнутых) функций в настоящее время разработан мощный математический аппарат субдифференциалов и построены эффективные субградиентные алгоритмы их численного решения. Это направление представляют еле-

дующие отечественные и зарубежные учёные: Ж.Ж.Моро, Ф.Кларк, Н.З. Шор, В.Ф. Демьянов, В.Н. Малозёмов, Л.В. Васильев, Е.А. Нурминский, К. Лемарешаль, Б.Н. Пшеничный, Б.Т. Поляк, П. Вульф, Ю.Е. Нестеров, В.Н. Крутиков, И.М. Прудников, Г.Ш. Тамасян, И .Я. Заботин, И.С. Забродин и др.

Однако, применение численных методов недифференцируемой оптимизации, в том числе субградиентных, возможно только при фиксированных значениях параметров, поскольку области действия функций набора, определяющих составную целевую функцию, в этом случае фиксированы.

Некоторые подходы к решению задач оптимизации составных функций, зависящих от параметра, предложены, например, в работах по оптимизации запасов (Ф. Реймонд, Т. Ньюберри, Дж. Хедли, Т. Уайтин, Дж. Букан, Э. Кенигсберг). Однако достаточно общего подхода к их решению пока не найдено. Поэтому проблема развития методов и алгоритмов исследования математических моделей систем, функционирующих по критериям оптимизации составных функций, зависящих от параметров, остаётся актуальной.

Целью настоящей работы является исследование статических и динамических математических моделей систем, функционирующих по критерию максимума составной функции с характеристическим параметром.

В рамках указанной цели были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработать обобщённую математическую модель системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции с характеристическим параметром в статике и динамике, в том числе с запаздывающим аргументом.

2. Разработать комбинаторно-аналитические методы и алгоритмы анализа, моделирования и оптимизации статических и динамических систем, функционирующих по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции с характеристическим параметром.

3. Построить математические модели рынка одного и многих конкурирующих (и/или сопутствующих) товаров в качестве примера системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции с характеристическим параметром.

4. Разработать комплекс программ моделирования и исследования динамических моделей товарного рынка, функционирующего по критерию максимума прибыли продавца.

5. Провести компьютерное моделирование и численное исследование динамики системы, функционирующей по критерию максимума кусоч-

но-дифференцируемой составной функции с характеристическим параметром, на примере товарного рынка.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработана обобщённая математическая модель системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции с характеристическим параметром в статике и динамике, в том числе с запаздывающим аргументом, основанная на выделении зон возможной локализации максимума целевой функции.

2. Впервые предложен комбинаторно-аналитический метод формального сведения кусочно-гладкой задачи оптимизации составной функции с характеристическим параметром к гладкой путём введения в представление целевой функции предикатных индикаторных функций.

3. На основе предложенного комбинаторно-аналитического метода с использованием алгоритма генерации размещений с повторениями впервые разработан алгоритм («комбинаторно-аналитический») нахождения решения кусочно-дифференцируемой задачи оптимизации составной функции с характеристическим параметром, в том числе запаздывающим, как дифференцируемой.

4. Впервые построена математическая модель инерционного рынка одного и многих конкурирующих (и/или сопутствующих) товаров в качестве примера системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции (прибыли продавца) с характеристическим параметром (объёмом поставок товаров), не требующая знания линии предложения. Благодаря этому модель позволяет более глубоко изучать динамику переходных рыночных процессов в условиях лага поставок при различных стратегиях поставки товаров на рынок и исследовать явления ценового гистерезиса, отсутствующего в других моделях.

Положения, выносимые на защиту:

1. Математическая модель системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции с характеристическим параметром в статике и динамике, в том числе с запаздывающим аргументом, основанная на выделении зон возможной локализации максимума целевой функции.

2. Метод формального сведения кусочно-гладкой задачи оптимизации к гладкой путем введения в представление целевой функции предикатных индикаторных функций.

3. Комбинаторно-аналитический алгоритм решения задач анализа, моделирования и оптимизации статических и динамических систем, функционирующих по критерию максимума составных функций, зависящих от характеристического параметра, в том числе с запаздывающим

аргументом, с использованием аппарата предикатных индикаторных функций и генератора размещений с повторениями.

4. Математическая модель инерционного рынка одного и многих конкурирующих (и/или сопутствующих) товаров как пример системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции (прибыли продавца) с запаздывающим характеристическим параметром (объёмом поставок товаров на рынок).

5. Комплекс программ имитационного моделирования и исследования статических и динамических систем, функционирующих по критерию максимума составной функции с характеристическим параметром.

Методы исследования. В ходе исследования были использованы методы математического анализа, линейной алгебры, вычислительной математики, оптимизации, математического и имитационного моделирования, математической статистики.

Теоретическая значимость работы заключается в следующем:

1. Разработанный комбинаторно-аналитический метод позволил впервые в комбинаторно-аналитической форме решить задачу оптимизации составной функции с характеристическим параметром, что существенно расширяет область теоретического исследования статических и динамических оптимизационных систем.

2. Разработанная математическая модель системы, функционирующей по критерию максимума составной функции с характеристическим параметром, имеет самостоятельное значение и может применяться для теоретического исследования широкого круга соответствующих явлений в экономике, технике, экологии, биологии, медицине и др.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что:

1. Разработанная математическая модель системы, функционирующей по критерию максимума составной функции с запаздывающим характеристическим параметром, может быть использована для решения практических задач оперативного управления поставками товаров на рынки, супермаркеты и другие торговые точки, управления запасами и т.п.

2. Комплекс программ имитационного моделирования и исследования статических и динамических систем, функционирующих по критерию максимума составной функции с характеристическим параметром, в применении к исследованию динамической модели инерционного рынка одного или многих товаров, функционирующего по критерию максимума прибыли продавца, позволяет сравнивать по этому критерию различные стратегии поставки товаров на рынок, в том числе известные и вновь предлагаемые, а также находить оптимальные стратегии, обеспечивающие максимальную эффективность рынка по этому параметру.

Достоверность и обоснованность всех полученных результатов подтверждается строгими математическими выкладками, возможностью адекватной интерпретации результатов моделирования и совпадением результатов моделирования с известными решениями.

Личный вклад автора. Постановка задачи, планирование основных путей их решения и обсуждение результатов осуществлялись совместно с научным руководителем. Разработка и исследование алгоритмов, проведение вычислительного эксперимента, реализация и отладка программного обеспечения осуществлялись автором самостоятельно.

Апробация диссертационной работы. Основные положения и отдельные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. VI-XI Всероссийской научно-практической конференции с международным участием в г. Анжеро-Судженске в 2007 - 2012 г.

2. Международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященная 100-летию со дня роджения C.JI. Соболева в г. Новосибирске в 2008 г.

3. X международной ФАМЭТ конференции в г. Красноярске в 2011 г.

4. Международной конференции «Современные проблемы математики, информатики и биоинформатики», посвященной 100-летию со дня рождения члена-корреспондента АН СССР А.А. Ляпунова в г. Новосибирске в 2011 г.

5. XIX международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» в г. Дубна в 2012 г.

6. IX Международной конференции студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук» в г. Томске в 2012 г.

7. IX Российской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» в 2012 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ, в том числе четыре статьи из списка, рекомендованного ВАК РФ.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 131 наименования. Общий объём работы составляет 133 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Введение содержит общую характеристику работы, её актуальности, новизны, научной и практической значимости, апробации работы и опубликованности основных научных результатов.

Первая глава диссертации содержит обзор методов оптимизации не-дифференцируемых, в том числе составных функций, а также обзор основных экономических моделей (управления запасами, товарных рынков), которые связаны с проблематикой оптимизации составных функций.

Скалярная составная функция Дх, д) скалярной или векторной переменной х, в общем случае зависящая от скалярного или векторного параметра <7, определяется на разбиении \Х1 (д), ¡ = 1,«} области X с: Я набором функций \/1{х,д),1=\,п^, таких, что областью действия каждой функции /,(х, д) является множество Х1(д),1 = ],п:

*,(?)). где их{д)=Х, =

¡=1 '-1

г'^у, /,у' = 1,«, 1(х е (д)) - индикаторная функция. Параметр д, будем назьшать характеристическим. Составная функция относится к классу негладких функций даже при гладких функциях исходного набора из-за возможных разрывов как функции, так и её производных на границах элементов разбиения.

Возникает проблема исследования поведения систем, функционирующих по критерию максимума составной функции, в зависимости от характеристических параметров и выявления возможностей дальнейшей оптимизации систем по этим параметрам (задача параметрического математического программирования с составной целевой функцией): .]{д)= тах /(х,д), J = ори (д).

хеХ чец

Особенно ярко проявляется влияние характеристических параметров д на поведение динамических систем, функционирующих во времени, когда параметры могут быть функциями времени д{1), в том числе с запаздывающим аргументом д{г - т). В этом случае состояние системы х({) также зависит от времени I.

К задачам оптимизации составных функций приводятся также непрерывно-дискретные максиминные (минимаксные) задачи оптимизации, в которых максимум (минимум) целевой функции ищется по непрерывной переменной х, а сама целевая функция определяется как минимум (максимум) по дискретной переменной /. При этом целевая функция также может зависеть от параметров. Например, в максиминных задачах этого типа целевая функция максимизации имеет вид: /(х,д) = т1п{/(х,д),1 = \,п\, где все функции набора {/¡{х,д\ / = 1,и} определены на всём множестве X, но это множество естественным образом распадается на непересекающиеся (связные или несвязные, включая пустые) подмножества Х1 (д), / = 1 ,п, зависящие от параметра д и образую-

щие зоны действия тех функций набора, которые являются на этих подмножествах составляющими нижней границы множества функций этого набора. Задача максимизации нижней границы fix, q) множества таких функций образует непрерывно-дискретную максиминную задачу вида j(q) = шах min (х, q), i = 1, п\.

xgX /

Простейшей задачей такого рода является задача исследования зависимости (например, от параметра сдвига) максимума нижней границы набора вогнутых параболических функций и отыскания её максимума-максиморума по параметру. Подобные задачи возникают в теории игр с Природой (нижняя цена игры), в некоторых видах дифференциальных игр уклонения-преследования, в теории принятия решений (осторожный критерий А. Вальда) и в других областях. Целевая функция этих задач также недифференцируема (кусочно-дифференцируема), причём множество точек недифференцируемости зависит от параметра q.

Во второй главе рассматриваются динамические системы, функционирующие по критерию максимума составной целевой функции с запаздывающим характеристическим параметром, на примере инерционного товарного рынка при различных стратегиях поставки товара в условиях запаздывания.

В разделе 2.1 разработана формальная математическая модель динамической системы, функционирующей в дискретном времени t = 0,1,2,... по критерию максимума составной функции с запаздывающим характеристическим параметром.

Последовательно решаются две задачи. Первая задача - задача максимизации составной функции при заданных начальных условиях и заданных значениях всех переменных на предшествующем («разгонном») интервале длины т (запаздывания) при фиксированном характеристическом параметре. Вторая задача связана с нахождением значения запаздывающего характеристического параметра q, при котором достигается максимум максиморум составной целевой функции по аргументу q(t - т). В разделе 2.2 на основе математической модели, предложенной в разделе 2.1, рассматривается имитационная динамическая модель рынка одного товара с оптимальной стратегией поставки товара в условиях запаздывания поставки. Получено точное решение задачи оптимизации поставки товара на рынок в условиях запаздывания при детерминированном спросе, обеспечивающее максимум максиморум составной целевой функции прибыли продавца. Объём поставки товара выступает в качестве запаздывающего характеристического параметра. Показано, что оптимальная стратегия поставки товара на рынок может быть реализована с помощью математической модели, позволяющей точно прогнозировать состояние рынка вперёд на время запаздывания, и определяется условиями состояния рынка (товарного дефицита, затоваривания рынка, ди-

намического равновесия рынка). Построен алгоритм нахождения оптимальной стратегии поставки товара на рынок на основе модели прогноза состояния рынка. Рассмотрим эту модель подробнее.

Пусть рынок одного товара функционирует в дискретном времени t е N = {0,1,2,...}, P(t) - цена товара в момент времени t, Q°{t) - остаток непроданного товара на этот момент времени, (/(t-x) - объём товара, заказываемого в момент времени t — x для поставки на рынок к моменту t (стратегия поставок). Предполагается, что заказанный товар поступает на рынок с запаздыванием на х единиц времени. Спрос на товар при цене P(t) обозначим через <¿\t). Пусть в момент t дискретного времени спрос на товар имеет вид простейшей линейной зависимости: Q°(t)= Qm - aP(t), где Qm> 0 и а > 0 - заданные константы. Объём Q(t) товара, предлагаемого к продаже в момент времени t, складывается из остатков товара в объеме Q°{t) от продаж на предыдущем интервале дискретного времени и товара в объеме (fit-т), заказанного продавцом в момент времени t — x и поступающего на рынок к моменту времени V. Q(t) = Q° {t)+Qz {t-т). Пусть Qs(t) - объём продаж в момент t. Тогда, очевидно, Qs(l)= min(<2D(/),£>(/)). Остатки товара подчиняются уравнению: Q°{t + \)=Q°{t)+Qz{t-r)-Qs{t).

Пусть J{t) — прибыль продавца на t-м интервале дискретного времени, равная разности между выручкой от продажи товара и затратами на его приобретение (1\ - цена закупки единицы товара) и хранение (Р2 - цена хранения единицы товара):

j(t)= Qs№)-Qz(t-T)Pi -Q°(t)pi -|(/>(/)-Р(/-1))2. (1)

Последнее слагаемое (с коэффициентом R > 0) выражает «штрафные санкции» или потери в прибыли, связанные с изменением цены товара, и определяет инерционность рынка. Поскольку (f{t) - составная функция, прибыль продавца Д/) - тоже составная функция.

Решается задача нахождения значения цены товара P(t) в момент времени t при условии, что на предыдущем (/ -1 )-м шаге она равнялась P(í-l), и дополнительной поставки товара (f'(t - т), обеспечивающей максимальную прибыль продавца при заданной линии спроса на /-ом интервале дискретного времени: j(t) => sup . В такой постановке для

Р(1),в2(,-г)

описания динамики рынка не требуется знания линии предложения (в отличие от классической модели Вальраса-Маршалла). При решении этой оптимизационной задачи автоматически получаются значения цены товара P(t), объёма спроса (J\t), объёмов продаж Qs{t), остатков непроданного товара Q°(t) и прибыли продавца J{t) для каждого текущего момента дискретного времени t. При этом должны выполняться ограниче-

ния на величину возможной цены товара P(l): Р\ < Ртт < P(t) < Pmax = Qn/a (8) и на величину дополнительного заказа товара (¿{t — т) > 0.

Первый этап решения задачи оптимизации — нахождение оптимальной по критерию (1) цены P(t) товара при фиксированном объёме Q(t) поставки товара на рынок в момент времени t. В силу составного характера целевой функции выделяются области (зоны) состояния рынка, соответствующие дефициту товара на рынке (область 1, в которой Q(t) < (/(/)), затовариванию рынка (область 2, в которой Q(t) > (J\t)) и балансу спроса и предложения (область 3, область динамического равновесия, в которой Q(t) = (J\t)).

1) В области товарного дефицита имеем: 6(0 < е°(0, Qs0) = Q(t). Максимум целевой функции (1) достигается в точке

p(t) = P(t -= P^(t). Это выражение справедливо только для Q(t) R

из области 1: Q{t)< = Q(l)(t). Видно, что Pw(t) растет с

a + R

ростом Q(t) по линейному закону от ^(l'(0lo('>=»= ^ ~ О до pWMi _ +RP{t-1) _ (1) , ч

^ a + R шах V /'

2) В области затоваривания рынка имеем: 0(0 > Q°(t), Qs(t) = Q°(t), Максимум (1) достигается в точке P\t) =-----= Ру (/). Это

выражение справедливо лишь для Q(t), принадлежащих области 2: Q(t)> RiQm =6(2)0)- В области 2 P<2\t) не зависит от

Q(t). В данном разделе показано, что Qa\t) > Q{])(t).

3) В области баланса спроса и предложения (то есть в области динамического равновесия рынка) имеем: 0(О = 6°(О> (/(О = Я"(0- Тогда

Q(t) = Qm-aP{t), откуда P(t)= = P{J)(t). Границами области 3

а

по Q{t) являются Q(]\t) и Çf2\t)\ Q{,)(t)< Q{t)< Q{2)(t). Здесь P°\t) линейно убывает с ростом 2(0 от + ^^—— = Р^ (') Д°

a + R

Qm + RP(t- О.^м/л 2 a + R

На рис. 1 в качестве примера изображена зависимость условно-оптимальной (при фиксированном Q{t)) цены P(t) товара при следующих параметрах: Qm = 4, а = 0.4, Р\=Ъ, R = 50, P(t-1) = 7. При этом

е(1)(0 = 1.191, е(2)(0 = 1.213, = 7.024, Р(2)(0 = 6.969. Полужирным

шрифтом выделены номера зон;

7.04 7.02 7

' 6.98 6.96 6.9|

т

V

1 31 2

........ ! о",'!! : 1

1.15

1.2 ода

1.25

1.3

Рис. 1. Условно-оптимальная цена

Рис. 2. Условно-максимальная прибыль

Второй этап позволяет найти значение характеристического параметра 2(0, обеспечивающее максимум максиморум целевой функции. В каждой зоне отдельно находится зависимость целевой функции от Q(t). Показано, что точка £?<3)(/) максимума У3,(/) лежит в области 3. В результате проведенного анализа получена формула расчёта оптимального размера поставки товара на рынок (¿У)-

е(0=

-аР{1-\))+а{дт -аРх) = л(3) 2 а + К

е(3)(<)-

На рис. 2 для того же примера приведен ход условно-оптимальной прибыли (при фиксированном £?(/) и при £>°(0 = 0) с указанием точки глобального максимума (<2'%) = 1.203, -У(Л(г) = 4.802).

Максимальное значение прибыли в зоне 3 достигается при б(')=б(3)(0 и Равно (0 = ^1д(/)=е<3>(г)• °Днако' максимум максиморум целевой функции (¿) достижим только при (2°(') - б'3)(0: в этом случае можно заказать недостающий товар в объеме -т) = д'3\() — Но если остатков больше оптимального значения

2(3)(/), то возможно получить только условно-максимальную прибыль

•/<3) (г)1е(,Незадача имитационного моделирования поведения рынка с оптимальной стратегией поставки товара в условиях запаздывания поставки решается с использованием двух моделей. Одна модель - имитационная. Она моделирует динамику рынка при известном на каждом шаге (объёме поставки 2г(/). Другая модель - упреждающая. Она предназначена для определения будущего состояния рынка - на момент < + т. Модель прогноза запускается в каждый момент времени ( на т шагов вперёд с начальными условиями, выражающими состояние имитационной модели в этот момент времени. По предсказанному состоянию производится рас-

чёт требуемой к этому моменту времени оптимальной поставки товара (У1 и + т), которая и принимается к реализации в имитационной модели.

На рис. 3 приведена схема взаимодействия имитационной модели функционирования рынка и модели прогноза состояния рынка на т шагов вперёд.

Модель прогноза

Имитационная модель функционирования рынка Рис. 3. Взаимодействия имитационной модели и модели прогноза

Проведено численное моделирование динамической модели рынка одного товара с оптимальной запаздывающей стратегией поставки товара. На рис. 4 представлена динамика цен товаров на рынке, на рис. 5 -динамика прибыли для ситуации резкого вывода системы из состояния равновесия в момент времени Г = 0 при т = 10,20,30.

7

6.8 о. 6.6 6.4 6.2

-1=10

—х=20 .........1=30

100

200

—х=10

—т=20

г .........1=30

Й

1 И :

/

Рис. 4. Оптимальная динамика цены Рис. 5. Динамика прибыли

В разделе 2.3 для решения задачи оптимизации составной функции с запаздывающим характеристическим параметром предлагается новый комбинаторно-аналитический метод, основанный на использовании индикаторных предикатных функций С<к}{!), которые указывают состояние рынка: С<к){1) = 1 - присутствие товара в к-ой зоне, С^'О) = 0 - отсутствие товара в к-ой зоне (к = 1,2,3 - номера зон: товарного дефицита, затоваривания, динамического равновесия).

Введение предикатных индикаторных функций делает задачу оптимизации формально гладкой и позволяет получить компактное аналитиче-

ское выражение условий оптимальности. Целевая функция (1) переписывается следующим образом:

Опуская аргумент ь и логически объединяя условия максимума этой функции для первого этапа оптимизации по всем зонам, получаем их точное аналитическое представление через предикатные функции:

§(С« + С<2>)+ (вт -аР- в)сЫ = 0, + С<2>)- *С<3> < 0. (3)

Из условий (3) получается точное аналитическое выражение решения задачи оптимизации (2) через 2(0 и предикатные функции. При необходимости проводится второй этап оптимизации, дающий оптимальное значение 2(0 через {Сщ,к= 1,2,3}.

Такой подход позволяет построить универсальный комбинаторно-аналитический алгоритм точного решения задачи максимизации составной функции и исследовать рынок во всех зонах. Алгоритм выделения правильного решения заключается в следующем: в каждый момент времени г выдвигаются гипотезы о том, в какой зоне окажется максимум прибыли через т моментов времени. В задаче с одним товаром будет всего 3 гипотезы - на рынке дефицит товара, рынок затоварен или рынок находится в равновесии. Каждой гипотезе соответствует свой набор индикаторных предикатных функций. На каждом шаге решаются задачи оптимизации для каждой из трёх гипотез. После каждого решения находится фактическое значение индикаторных предикатных функций. Критерием отбора правильного решения является совпадение фактического и гипотетического предикатов. Если совпадения нет, то формируется следующая гипотеза. Окончательно выбирается гипотеза, для которой гипотетическое состояние и состояние после оптимизации совпадают. По ней продавец определяет объём заказа. Перебор гипотез осуществляется генератором размещений с повторениями. Изложенный метод назван комбинаторно-аналитическим.

В разделе 2.4 рассматриваются динамические модели рынка одного товара с идеальной стратегией и различными субоптимальными стратегиями поставки товара на рынок в условиях запаздывания. Идеальной названа стратегия поставки, точно соответствующая спросу (она не всегда реализуема). Субоптимальные стратегии снижают прибыль, но могут оказаться более удобными для продавца, чем оптимальная стратегия. Рассмотрены такие субоптимальные стратегии заказа товара как сбалансированная (без предсказания цены и спроса), с полиномиальным пред-

Я ~2

(я(г)-Р(/-1))2 => зир .

Н'ШО

(2)

сказанием, с предсказанием по неподвижной точке отображения гипотетической цены товара в оптимальную и др.

Для каждой из рассмотренных стратегий поставки товаров приводилось численное моделирование рынка. Асимптотически (при / -> со) все стратегии поставки дают одинаковый результат - поставки (5 = 0°\ равные асимптотически оптимальному спросу (У1' = ({7т - аР\), соответствующему оптимальной асимптотически равновесной цене

В разделе 2.5. исследуется влияние флуктуаций покупательского спроса на переменные, описывающие функционирование рынка в условиях запаздывания поставки товара на рынок при детерминированной (оптимальной в отсутствие флуктуаций) стратегии поставки товара (раздел 2.2). Спрос принимает вид: £>"(/)= <2т где - усечённый (для обеспечения неотрицательности спроса) стационарный некоррелированный нормальный случайный процесс с нулевым средним значением и стандартным отклонением с. Обнаружено смещение равновесной цены, вызванное несимметрией (усечением) распределения спроса.

В третьей главе разработана динамическая математическая модель товарного рынка конкурирующих (сопутствующих) товаров с запаздыванием в поставках товара. Решается задача оптимизации стратегии поставок товаров на рынок в предположении детерминированности спроса. Критерием оптимальности функционирования рынка является максимизация суммарной прибыли продавца от продажи товаров с учётом влияния цен конкурирующих товаров на спрос товара каждого вида. Предложен алгоритм нахождения оптимального решения. Разработка этой модели оказалась возможной благодаря использованию нового комбинаторно-аналитического метода, использующего аппарат индикаторных предикатных функций, предложенный в разделе 2.3 главы 2. На рис. 6,7 представлены динамика цен товаров на рынке конкурирующих товаров и динамика прибыли.

Р' = (5.9)28, Р'2-244622, Р'3 - 20 6<05 ,„__

Р' = (0т + аР1у2а.

30

500

1000

Рис. 6. Динамика цен

Рис. 7. Динамика прибыли

В четвертой главе исследуется динамическая математическая модель, функционирующая по максиминному критерию. Предлагается новый комбинаторно-аналитический метод решения непрерывно-дискретной максиминной задачи оптимизации, позволяющий свести задачу недифференцируемой максимизации нижней границы конечного множества дифференцируемых вогнутых функций к конечному набору задач дифференцируемой оптимизации. Предложенный метод рассмотрен на примере решения максиминной задачи для двух и трёх вогнутых квадратичных функций, зависящих от параметра.

В пятой главе описан программный комплекс моделирования функционирования товарного рынка в условиях запаздывания поставки товара.

В заключении приведены основные результаты работы:

1. Выделен класс моделей статических и динамических систем, функционирующих по критерию максимума составной функции с характеристическим параметром.

2. Разработана обобщённая математическая модель системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции с характеристическим параметром в статике и динамике, в том числе с запаздывающим аргументом, основанная на выделении зон возможной локализации максимума целевой функции.

3. Впервые предложен комбинаторно-аналитический метод формального сведения кусочно-гладкой задачи оптимизации составной функции с характеристическим параметром к гладкой путём введения в представление целевой функции предикатных индикаторных функций.

4. На основе предложенного комбинаторно-аналитического метода с использованием алгоритма генерации размещений с повторениями впервые разработан алгоритм («комбинаторно-аналитический») нахождения решения кусочно-дифференцируемой задачи оптимизации составной функции с характеристическим параметром, в том числе запаздывающим, как дифференцируемой.

5. Построена оригинальная математическая модель инерционного рынка одного и многих конкурирующих (и/или сопутствующих) товаров в качестве примера системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции (прибыли продавца) с характеристическим параметром (объёмом поставок товаров), не требующая знания линии предложения. Благодаря этому модель позволяет более глубоко изучать динамику переходных рыночных процессов в условиях лага поставок при различных стратегиях поставки товаров на рынок и исследовать явления ценового гистерезиса, отсутствующего в других моделях.

6. Создан комплекс программ имитационного моделирования и исследования предложенной динамической математической модели инерционного товарного рынка одного или многих товаров, функционирующего по критерию максимума прибыли продавца. Реализация модели рынка многих товаров существенно опирается на использование комбинаторно-аналитического метода.

7. Моделирование рынка с оптимальной поставкой на рынок одного или многих (конкурирующих и/или сопутствующих) товаров в условиях лага поставки проведено с использованием двух параллельно функционирующих взаимодействующих моделей - основной имитационной модели рынка (детерминированной или стохастической) и детерминированной прогнозирующей модели для предсказания будущего состояния рынка на время лага поставки.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

В журналах, рекомендованных ВАК России

1. Поддубный В.В., Романович О.В. Рестриктивная динамическая модель инерционного рынка одного товара с оптимальной поставкой товара на рынок в условиях запаздывания //Вестник Том. гос. ун-та. Серия

«Управление, вычислительная техника и информатика» 2011 -№4(17)

-С. 16-24.

2. Поддубный В.В., Романович О.В. Имитационное статистическое моделирование рынка одного товара с оптимальной детерминированной стратегией поставки товара в условиях стохастичности спроса // Вестник Том. гос. ун-та. Серия «Управление, вычислительная техника и информатика», 2012. -№1(18).-С. 28-38.

3. Поддубный В.В., Романович О.В. Математическое моделирование оптимального рынка конкурирующих товаров в условиях лага поставок //Компьютерные исследования и моделирование, 2012 -Т 4 -№2 -С 431-450.

4. Поддубный В.В., Романович О.В. Комбинаторно-аналитический метод максимизации негладкой точной нижней границы множества вогнутых гладких функций, зависящих от параметра // Вестник Том. гос. ун-та. Серия «Управление, вычислительная техника и информатика» 2012. -№2(20).-С. 96-107.

В других изданиях

5. Поддубный В.В., Романович О.В. Рынок как оптимальная самоуправляемая система // ИТММ-2007: Материалы VI Международной на-уч.-практич. конференции, 2007. - С. 144-148.

6. Поддубный В.В., Романович О.В. Рынок как рестриктивная самоуправляемая система с запаздыванием // ИТММ - 2008: Материалы VII Всероссийской науч.-практич. конференции с международным участием, 2008.-Ч. 1,-С. 202-206.

7. Поддубный В.В., Романович О.В. Рынок как самоуправляемая инерционная динамическая система с запаздыванием при сбалансированной стратегии поставок товара // Вестник Том. гос. ун-та. Серия «Управление, вычислительная техника и информатика», 2009. -№ 4 (9). - С. 5-16.

8. Поддубный В.В., Романович О.В. Рынок как инерционная самоуправляемая система с запаздыванием и скользящим полиномиальным предсказанием спроса // ИТММ-2009: Материалы VIII Всероссийской науч.-практич. конференции с международным участием, 2009. - С. 302-308.

9. Поддубный В.В., Романович О.В. Рынок как инерционная самоуправляемая система с запаздыванием и предсказанием спроса по неподвижной точке // ИТММ-2010: Материалы IX Всероссийской науч.-практич. конференции с международным участием, 2010. - С.130-135.

10. Поддубный В.В., Романович О.В. Рынок с фиксированной линией спроса как оптимальная система // Труды X Международной ФАМЭТ конференции, 2011. - С. 318-323.

11. Поддубный В.В., Романович О.В. Оптимизация рестриктивной динамической системы с запаздывающим управлением на примере инерционного рынка одного товара // Материалы международной конференции «Современные проблемы математики, информатики и биоинформатики», посвященной 100-летию со дня рождения члена-корреспондента АН СССР А. А. Ляпунова, 2011. - С. 69.

12. Поддубный В.В., Романович О.В. Имитационная модель рынка одного товара с оптимальной детерминированной стратегией поставки товара в условиях стохастичности спроса // ИТММ-2011: Материалы X Всероссийской науч.-практич. конференции с международным участием, 2011. -4.2. - С.47—53.

13. Поддубный В.В., Романович О.В. Имитационная модель рынка одного товара с оптимальной стратегией поставки товара в условиях запаздывания // IX Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», 2012. - С. 642644. [Электронный ресурс] - URL:

http://science-persp.tpu.ru/Previous%20Materials/Konf_2012.pdf.

14. Поддубный В. В., Романович О. В. Имитационное моделирование рынка многих товаров // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур : Материалы 9-ой Российской конф. с международным участием, 2012. - С. 116.

Подписано к печати 25.11.12 г. Тираж 120 экз.

Оглавление.

Введение.

Глава 1. Обзор существующих математических моделей рынка, подходов к оптимизации недифференцируемых функций и постановка задач исследования.

1.1. Обзор математических моделей товарного рынка.

1.2. Примеры экономических задач оптимизации составных функций с характеристическим параметром.

1.3. Обзор численных методов оптимизации составных функций.

1.4. Выводы.

Глава 2. Оптимизация динамических систем, функционирующих по критерию максимума составной целевой функции с запаздывающим характеристическим параметром.

2.1. Математическая модель динамической системы, функционирующей по критерию максимума составной функции с запаздывающим характеристическим параметром.

2.1.1. Критерий оптимальности и формальная постановка задачи.

2.1.2. Необходимые условия оптимальности и общая схема решения задачи.

2.2. Имитационная модель рынка одного товара с оптимальной стратегией поставки товара в условиях запаздывания.

2.2.1. Вводные замечания.

2.2.2. Математическая постановка задачи.

2.2.3. Условно-оптимальная цена товара.

2.2.4. Условно-максимальная прибыль. Оптимальная цена товара и максимальная прибыль.

2.2.5. Равновесная цена и равновесная прибыль.

2.2.6. Взаимодействие имитационной модели и модели предсказания.

2.2.7. Примеры численного моделирования динамической модели рынка одного товара с запаздывающим управлением.

2.3. Имитационная модель рынка одного товара с оптимальной стратегией поставки товара в условиях запаздывания (комбинаторно-аналитический метод).

2.3.1. Постановка задачи.

2.3.2. Математическая модель рынка одного товара с использованием предикатных индикаторных функций.

2.3.3. Комбинаторно-аналитический алгоритм нахождения решения.

2.3.4. Численное моделирование динамики рынка одного товара с оптимальной стратегией поставки товара в условиях запаздывания.

2.4. Рынок как самоуправляемая инерционная динамическая система с запаздыванием при субоптимальных стратегиях поставки товара.

2.4.1. Вводные замечания.

2.4.2. Математическая модель рынка одного товара с лагом поставки.

2.4.3. Идеальная стратегия закупки товара.

2.4.4. Сбалансированная стратегия закупки товара (стратегия заказа по текущему моменту времени).

2.4.5. Стратегия заказа товара при скользящем полиномиальном предсказании спроса

2.4.6. Стратегия заказа товара, основанная на предсказании спроса путем поиска неподвижной точки.

2.5. Имитационная модель рынка одного товара с оптимальной детерминированной стратегией поставки товара в условиях стохастичности спроса.

2.5.1. Постановка задачи.

2.5.2. Стохастическая и детерминированная модели. Оптимизация цены и поставка товара.

2.5.3. Статистический анализ стохастической динамики рынка.

2.6. Выводы.

Глава 3. Математическое моделирование оптимального рынка многих (конкурирующих или сопутствующих) товаров в условиях запаздывания поставок.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Математическая модель рынка многих товаров.

3.3. Унифицированное индикаторное представление целевой функции рынка. Гипотетическая прибыль продавца.

3.4. Условно-оптимальные цены и оптимальное предложение товаров.

3.5. Оптимальный заказ товаров и алгоритм выделения решения.

3.6. Асимптотически оптимальное равновесное состояние рынка (точка покоя).

3.7. Имитационное моделирование переходных процессов на рынке многих товаров с оптимальной стратегией поставки товара в условиях запаздывания.

3.8. Выводы.

Глава 4. Комбинаторно-аналитический метод максимизации негладкой точной нижней границы множества вогнутых гладких функций, зависящих от параметра.

4.1. Вводные замечания.

4.2. Математические модели систем, функционирующих по максиминному критерию

4.3. Задача максимизации точной нижней границы конечного набора вогнутых гладких функций.

4.4. Комбинаторно-аналитический алгоритм решения задачи максимизации вогнутой кусочно-дифференцируемой функции.

4.5. Пример: задача максимизации точной нижней границы вогнутых квадратичных функций.

4.5.1. Компьютерное моделирование задачи.

4.5.2. Аналитическое решение при т = 2.

4.5.3. Численное решение.

4.6. Выводы.

Глава 5. Описание программного комплекса.

Актуальность работы. Математические методы-и-математическое моделирование, традиционно широко используемые в точных и естественных науках, глубоко проникают также в социально-экономические и даже в гуманитарные науки. В настоящее время экономические исследования уже немыслимы без использования математических методов и математического моделирования.

Одним из важнейших направлений исследования рыночной экономики является математическое моделирование рыночных процессов.

Математическими моделями рыночных процессов занимались А. Курно, JI. Вальрас,

A. Маршалл, Г.С. Эванс, В.Парето и др. Из современников это Ю.А. Кузнецов,

B.А. Васильев, В.А. Булавский, С.Б. Перминов, Н.К. Обросова, И.К. Коханенко, T. Suzuki,

C. Chiarella, P. Zhu, Т. Не, С. Hommes, T. Puu, T. Onozaki и многие другие.

Одной из первых моделей ценообразования на товарном рынке стала «паутинообразная» модель, на основе которой в дальнейшем рассматривались различные модели «вальрасовского» типа. Во всех этих моделях основными конструкциями выступают линейные или нелинейные линии спроса и предложения, а рыночное равновесие определяется точкой их пересечения. Эти модели позволяют исследовать условия устойчивости рыночного равновесия и траектории перехода рынка к равновесному состоянию при заданных линиях спроса и предложения и широко используются в настоящее время.

Уже первые исследователи рыночных процессов (например, П. Сраффа) подвергали сомнению постулаты линий спроса и особенно предложения. Проблему замены в математических моделях рынка линии предложения товаров можно решить подбором подходящих стратегий поставки товаров на рынок. Она может быть решена на основе использования естественных для рынка критериев оптимальности (например, критерия максимума прибыли продавца), обеспечивающих стремление рынка к динамическому равновесию. Такой подход годится для математического анализа и оптимизации относительно свободных товарных рынков, на которых цены товаров устанавливаются «невидимой рукой рынка» (по выражению А. Смита), обеспечивая максимум выгоды продавца. Однако математические модели рынков такого типа, особенно динамических, функционирующих во времени, тем более в условиях лага поставок товаров на рынок, в настоящее время развиты и исследованы недостаточно.

Поскольку продавец не может продать товаров больше, чем спрос на них, и не может обеспечить спрос, если товаров меньше спроса, общим для оптимизационных моделей рынков подобного типа является составной характер функции прибыли продавца (целевой функции оптимизации). В этой связи можно выделить класс математических моделей систем, как экономических, рыночных, так и технических или даже абстрактных математических, которые функционируют по критерию максимума кусочно-гладкой составной целевой функции.

Для оптимизации непрерывных негладких выпуклых (вогнутых) функций в настоящее время разработан мощный математический аппарат субдифференциалов и построены эффективные субградиентные алгоритмы их численного решения. Это направление представляют следующие отечественные и зарубежные учёные: Ж.Ж. Моро, Ф. Кларк, Н.З. Шор, В.Ф. Демьянов, В.Н. Малозёмов, Л.В. Васильев, Е.А. Нурминский, К. Лемарешаль, Б.Н. Пшеничный, Б.Т. Поляк, П. Вульф, Ю.Е. Нестеров, В.Н. Крутиков, И.М. Прудников, Г.Ш. Тамасян, И.Я. Заботин, И.С. Забродин и др.

Однако, применение численных методов недифференцируемой оптимизации, в том числе субградиентных, возможно только при фиксированных значениях параметров, поскольку области действия функций набора, определяющих составную целевую функцию, в этом случае фиксированы.

Некоторые подходы к решению задач оптимизации составных функций, зависящих от параметра, предложены, например, в работах по оптимизации запасов (Ф. Реймонд, Т. Ньюберри, Дж. Хедли, Т. Уайтин, Дж. Букан, Э. Кенигсберг). Однако достаточно общего подхода к их решению пока не найдено. Поэтому проблема развития методов и алгоритмов исследования математических моделей систем, функционирующих по критериям оптимизации составных функций, зависящих от параметров, остаётся актуальной.

Целью настоящей работы является исследование статических и динамических математических моделей систем, функционирующих по критерию максимума составной функции с характеристическим параметром.

В рамках указанной цели были поставлены следующие задачи:

1. Разработать обобщенную математическую модель системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции с характеристическим параметром в статике и динамике, в том числе с запаздывающим аргументом.

2. Разработать комбинаторно-аналитические методы и алгоритмы анализа, моделирования и оптимизации статических и динамических систем, функционирующих по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции с характеристическим параметром.

3. Построить математические модели рынка одного и многих конкурирующих (и/или сопутствующих) товаров в качестве примера системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции с характеристическим параметром.

4. Разработать комплекс программ моделирования и исследования динамических моделей товарного рынка, функционирующего по критерию максимума прибыли продавца.

5. Провести компьютерное моделирование и численное исследование динамики системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции с характеристическим параметром, на примере товарного рынка.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработана обобщённая математическая модель системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции с характеристическим параметром в статике и динамике, в том числе с запаздывающим аргументом, основанная на выделении зон возможной локализации максимума целевой функции.

2. Впервые предложен комбинаторно-аналитический метод формального сведения кусочно-гладкой задачи оптимизации составной функции с характеристическим параметром к гладкой путём введения в представление целевой функции предикатных индикаторных функций.

3. На основе предложенного комбинаторно-аналитического метода с использованием алгоритма генерации размещений с повторениями впервые разработан алгоритм («комбинаторно-аналитический») нахождения решения кусочно-дифференцируемой задачи оптимизации составной функции с характеристическим параметром, в том числе запаздывающим, как дифференцируемой.

4. Впервые построена математическая модель инерционного рынка одного и многих конкурирующих (и/или сопутствующих) товаров в качестве примера системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции (прибыли продавца) с характеристическим параметром (объёмом поставок товаров), не требующая знания линии предложения. Благодаря этому модель позволяет более глубоко изучать динамику переходных рыночных процессов в условиях лага поставок при различных стратегиях поставки товаров на рынок и исследовать явления ценового гистерезиса, отсутствующего в других моделях.

Основные защищаемые положения:

1. Математическая модель системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции с характеристическим параметром в статике и динамике, в том числе с запаздывающим аргументом, основанная на выделении зон возможной локализации максимума целевой функции.

2. Метод формального сведения кусочно-гладкой задачи оптимизации к гладкой путем введения в представление целевой функции предикатных индикаторных функций.

3. Комбинаторно-аналитический алгоритм решения задач анализа, моделирования и оптимизации статических и динамических систем, функционирующих по критерию максимума составных функций, зависящих от характеристического параметра, в том числе с запаздывающим аргументом, с использованием аппарата предикатных индикаторных функций и генератора размещений с повторениями.

4. Математическая модель инерционного рынка одного и многих конкурирующих (и/или сопутствующих) товаров как пример системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции (прибыли продавца) с запаздывающим характеристическим параметром (объёмом поставок товаров на рынок).

5. Комплекс программ имитационного моделирования и исследования статических и динамических систем, функционирующих по критерию максимума составной функции с характеристическим параметром.

Методы исследования. В ходе исследования были использованы методы математического анализа, линейной алгебры, вычислительной математики, оптимизации, математического и имитационного моделирования, математической статистики.

Теоретическая значимость работы заключается в следующем:

1. Разработанный комбинаторно-аналитический метод позволил впервые в комбинаторно-аналитической форме решить задачу оптимизации составной функции с характеристическим параметром, что существенно расширяет область теоретического исследования статических и динамических оптимизационных систем.

2. Разработанная математическая модель системы, функционирующей по критерию максимума составной функции с характеристическим параметром, имеет самостоятельное значение и может применяться для теоретического исследования широкого круга соответствующих явлений в экономике, технике, экологии, биологии, медицине и др.

Практическая ценность диссертационной работы заключается в том, что:

1. Разработанная математическая модель системы, функционирующей по критерию максимума составной функции с запаздывающим характеристическим параметром, может быть использована для решения практических задач оперативного управления поставками товаров на рынки, супермаркеты и другие торговые точки, управления запасами и т.п.

2. Комплекс программ имитационного моделирования и исследования статических и динамических систем, функционирующих по критерию максимума составной функции с характеристическим параметром, в применении к исследованию динамической модели инерционного рынка одного или многих товаров, функционирующего по критерию максимума прибыли продавца, позволяет сравнивать по этому критерию различные стратегии поставки товаров на рынок, в том числе известные и вновь предлагаемые, а также находить оптимальные стратегии, обеспечивающие максимальную эффективность рынка по этому параметру.

Достоверность и обоснованность всех полученных результатов подтверждается строгими математическими выкладками, возможностью адекватной интерпретации результатов моделирования и совпадением результатов моделирования с известными решениями.

Личный вклад автора. Постановка задачи, планирование основных путей их решения и обсуждение результатов осуществлялись совместно с научным руководителем. Разработка и исследование алгоритмов, проведение вычислительного эксперимента, реализация и отладка программного обеспечения осуществлялись автором самостоятельно.

Апробация диссертационной работы. Основные положения и отдельные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

1. VI - XI Всероссийской научно-практической конференции с международным участием в г. Анжеро-Судженске в 2007 - 2012 г.

2. Международной конференции «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений», посвященная 100-летию со дня рождения C.JI. Соболева в г. Новосибирске в 2008 г. t

3. X международной ФАМЭТ конференции в г. Красноярске в 2011 г.

4. Международной конференции «Современные проблемы математики, информатики и биоинформатики», посвященной 100-летию со дня рождения члена-корреспондента АН СССР A.A. Ляпунова в г. Новосибирске в 2011 г.

5. XIX международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» в г. Дубна в 2012 г.

6. IX Международной конференции студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук» в г. Томске в 2012 г.

7. IX Российской конференции с международным участием «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» в 2012 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ, в том числе 4 статьи [52, 56, 57, 59] из списка, рекомендованного ВАК РФ:

1. Поддубный В.В., Романович О.В. Рестриктивная динамическая модель инерционного рынка одного товара с оптимальной поставкой товара на рынок в условиях запаздывания // Вестник Том. гос. ун-та. Серия «Управление, вычислительная техника и информатика», 2011.-№4(17). С. 16-24.

2. Поддубный В.В., Романович О.В. Имитационное статистическое моделирование рынка одного товара с оптимальной детерминированной стратегией поставки товара в условиях стохастичности спроса // Вестник Том. гос. ун-та. Серия «Управление, вычислительная техника и информатика», 2012. -№1(18).-С. 28-38.

3. Поддубный В.В., Романович О.В. Математическое моделирование оптимального рынка конкурирующих товаров в условиях лага поставок // Компьютерные исследования и моделирование, 2012.-Т.4.-№2.-С. 431 -450.

4. Поддубный В.В., Романович О.В. Комбинаторно-аналитический метод максимизации негладкой точной нижней границы множества вогнутых гладких функций, зависящих от параметра // Вестник Том. гос. ун-та. Серия «Управление, вычислительная техника и информатика», 2012. - №2(20). - С. 96 - 107. i

Публикации в других изданиях:

1. Поддубный В.В., Романович О.В. Рынок как оптимальная самоуправляемая система. // ИТММ-2007: Материалы VI Международной науч.-практич. конф, 2007. - С. 144 - 148.

2. Поддубный В.В., Романович О.В. Рынок как рестриктивная самоуправляемая система с запаздыванием // ИТММ-2008: Материалы VII Всероссийской науч.-практич. конф. с международным участием, 2008. - Ч. 1. - С. 202 - 206.

3. Поддубный В.В., Романович О.В. Рынок как самоуправляемая инерционная динамическая система с запаздыванием при сбалансированной стратегии поставок товара // Вестник Том. гос. ун-та. Серия «Управление, вычислительная техника и информатика», 2009.-№4(9).-С. 5-16.

4. Поддубный В.В., Романович О.В. Рынок как инерционная самоуправляемая система с запаздыванием и скользящим полиномиальным предсказанием спроса // ИТММ-2009: Материалы VIII Всероссийской науч.-практич. конф. с международным участием, 2009. -Ч. 1.-С. 302-308.

5. Поддубный В.В., Романович O.B. Рынок как инерционная самоуправляемая система с запаздыванием и предсказанием спроса по неподвижной точке // ИТММ-2010: Материалы IX Всероссийской науч.-практич. конф. с международным участием, 2010. - С. 130 - 135.

6. Поддубный В.В., Романович О.В. Рынок с фиксированной линией спроса как оптимальная система // Труды X Международной ФАМЭТ конференции, 2011.-С. 318323.

7. Поддубный В.В., Романович О.В. Оптимизация рестриктивной динамической системы с запаздывающим управлением на примере инерционного рынка одного товара // Материалы международной конф. «Современные проблемы математики, информатики и биоинформатики», посвященной 100-летию со дня рождения члена-корреспондента АН СССР А. А. Ляпунова, 2011. - С. 69.

8. Поддубный В.В., Романович О.В. Имитационная модель рынка одного товара с оптимальной детерминированной стратегией поставки товара в условиях стохастичности спроса //ИТММ-2011: Материалы X Всероссийской науч.-практич. конф. с международным участием, 2011. - Ч. 2. С. 47 - 53.

9. Поддубный В.В., Романович О.В. Имитационная модель рынка одного товара с оптимальной стратегией поставки товара в условиях запаздывания // IX Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук», 2012. -С. 642-644. [Электронный ресурс] - URL: http://science-persp.tpu.ru/Previous%20Materials/Konf2012.pdf.

10. Поддубный В. В., Романович О. В. Имитационное моделирование рынка многих товаров // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур: Материалы 9-ой Российской конф. с международным участием,2012. - С. 116

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и содержит 133 страницы.

4.6. Выводы

Предложенный в данной главе комбинаторно-аналитический метод решения непрерывно-дискретной максиминной задачи оптимизации (4.2) позволяет свести задачу недифференцируемой максимизации нижней границы конечного множества дифференцируемых вогнутых функций к конечному набору задач дифференцируемой оптимизации с последующим решением задачи отыскания нижней цены некоторой матричной игры. Действительно, набор функций М задачи (4.2) конечен (от), множество У претендентов на решение задачи, полученное аналитически или путём решения задач дифференцируемой оптимизации, конечно (/V не более, чем т + 2), так что при каждом фиксированном значении параметра и, как видно из таблицы 4.1, мы имеем матричную игру тхИ, где т. - число стратегий «природы», а N - число стратегий «игрока», функционирующего по максиминному критерию. Заметим, что в общем случае такая игра не имеет седловой точки (решения в чистых стратегиях), так как нижняя и верхняя цены игры не всегда совпадают. Например, при и = 0 верхняя цена игры, равная 0, не совпадает с нижней ценой, равной -10.8, тогда как при других значениях и, представленных в таблице 4.1, нижние и верхние цены игр совпадают.

Глава 5. Описание программного комплекса

Программный комплекс Моделирование функционирования товарного рынка в условиях запаздывания поставки товара выполнен в среде программирования MATLAB 2006 и представляет собой среду для решения и исследования задач оптимизации систем, функционирующих по критерию максимума составных функций, в том числе, например, товарных рынков, для нахождения наиболее выгодных режимов их работы, включая максимизацию прибыли продавца при различных стратегиях поставки товаров на рынок.

Программный комплекс реализует следующие режимы работы:

I. Моделирование функционирования товарного рынка при различных стратегиях поставки товара:

1. Моделирование рынка одного товара с оптимальной стратегией поставки товара в условиях запаздывания.(onegoodmarketoptimal.m);

2. Моделирование рынка одного товара с оптимальной детерминированной стратегией поставки товара в условиях запаздывания и стохастичности спроса (onegoodmarketrandomdem.m);

3. Моделирование рынка многих конкурирующих (и/или сопутствующих) товаров с оптимальной стратегией поставки товаров в условиях запаздывания (ngoodsmarket.m);

4. Моделирование рынка одного товара при субоптимальных стратегиях поставки: a. Идеальной; b. По текущему моменту времени (сбалансированная стратегия):

- с интегральным критерием (onegoodmarkettodayintegr.m),

- с локальным критерием (onegoodmarkettodaylokal.m); c. С полиномиальным предсказанием спроса (интегральный критерий) (onegoodmarketpolinomintegr.m); d. С предсказанием спроса по «неподвижной точке» (интегральный критерий) (onegoodmarketfixpointintegr. m).

И. Сравнение методов оптимизации квазиньтоновского с вычислением субградиента и комбинаторно-аналитического на примере функционирования товарного рынка при оптимальной стратегии поставки товара (Mainmenumetopt. m):

III. Сравнение субоптимальных (поставка по «текущему дню») и оптимальной стратегий поставки на рынок (Main menu strateg.m):

1. стратегия поставки по «текущему дню» (sttoday.m),

2. оптимальная стратегия (stoptim.ni).

VI. Сравнение функционирования товарного рынка по локальному и интегральному критерию на примере стратегии поставки по «текущему дню» (Mainmenukrit.ni):

1. Локальный критерий (todayoptimallokkrit.ni);

2. Интегральный критерий (todaymtegrkrit.ni).

Для всех программных модулей входными параметрами являются:

Т Время функционирования рынка.

X Время задержки в поставках товара.

От Максимальный спрос на товар. а Модуль коэффициента наклона линии спроса.

Я . Вес штрафной функции.

Ро ' Цена в начальный момент времени во Остаток товара в начальный момент времени.

Р\ Цена закупки товара.

Рг Цена хранения товара

Необходимо отметить, что при реализации работы следующих программ:

1. Моделирования рынка одного товара с оптимальной стратегией поставки товара в условиях запаздывания;

2. Моделирования рынка одного товара с оптимальной детерминированной стратегией поставки товара в условиях запаздывания и стохастичности спроса;

3. Моделирования рынка многих конкурирующих (и/или сопутствующих) товаров с оптимальной стратегией поставки товаров в условиях запаздывания используются две модели:

- Имитационная, которая моделирует динамику рынка при известном на каждом шаге (объёме поставки

- Модель прогноза, предназначенная для определения будущего состояния рынка -на момент ( + ти расчёта требуемой к этому моменту времени оптимальной поставки товара + т). Модель прогноза запускается на каждом шаге работы имитационной модели.

На рис. 5.1. изображена схема взаимодействия имитационной модели и модели прогноза, которая используется при моделировании оптимального товарного рынка.

Модель прогноза уууу^

Р,=Р{ о ОгШ) t М"Т

Рис. 5.1. Взаимодействие имитационной модели и модели прогноза На рис. 5.2. изображена блок-схема функционирования модели прогноза. Момент времени / является моментом вызова модели прогноза. На схеме используются следующие обозначения:

Р, - цена товара в момент времени Это момент вызова модели прогноза для определения объема заказа, который прибудет на рынок в момент / + т, <2, - общий объем товара на рынке в момент времени I, объем заказанного в момент товара, который появляется на рынке в момент времени I. На интервале [/,/ + г-1] объемы заказанного товара определены (заказы были сделаны т шагов назад).

Блок вычисления спроса, объема продаж и остатков по Р,, (),, , получает значения спроса по формуле (2.2), объема продаж (2? по формуле (2.3) и объема остатков по формуле (2.4).

Вычисление оптимальной цены Рор1 (о) по объему товара () производится по формуле (2.34).

Вычисление оптимального объема товара 0, = Qopt {Р1) в следующий, / +1 момент времени, осуществляется по формуле (2.27):

Я{0т-аР{1-\)) + а{От-аР,) е(3)«.

2 а + Я

И окончательно размер заказа с учетом остатков товара в момент времени / + г -1 вычисляется по формуле: е,2+г=тах(е-е,°,0), и это значение оптимального заказа является результатом работы модуля прогноза. р» а. о' / к: 0; Pnext Pt\ Qnext Qt\

Pt Pnexh QrQ next Qf не задано, его надо определить^ нет да

Pf~Pnexh QrQmxt Qf (задано) і і

Блок вычисления спроса, объема продаж и остатков по

Ри Qu Qf

Вычисление: объема товара в следующий момент времени

О =0°+oz

Zinexl 2ZI ¡¿next оптимальной цены по объему товара Qnext:

Р =Р (О ) л next х opt \zZnext )

Блок определения заказа r\z 1 zit+т * „» *

Блок вычисления спроса, объема продаж и остатков по

Р„ Q„ Qf

4 4 , р*

Вычисление: оптимального объема товара в следующий момент времени. й=ооРХр<)

Размера заказа с учетом остатков: а2+г=шах(б-а°,о)

Рис 5 2 Модель прогноза

Заключение

По результатам проведённых исследований можно сделать следующие выводы:

1. Выделен класс моделей статических и динамических систем, функционирующих по критерию максимума составной функции с характеристическим параметром, обобщающий такие модели кусочно-дифференцируемой оптимизации, как непрерывно-дискретные максиминные модели, модели максимизации точной нижней границы конечного множества вогнутых дифференцируемых функций и др.

2. Разработана обобщенная математическая модель системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции с характеристическим параметром в статике и динамике, в том числе с запаздывающим аргументом, основанная на выделении зон возможной локализации максимума целевой функции.

3. Впервые предложен комбинаторно-аналитический метод решения задач оптимизации составных функций с характеристическим параметром, позволяющий логически совмещать с помощью индикаторных предикатных функций условия оптимальности для зон возможной локализации максимума целевой функции и формально представлять условия максимума негладкой целевой функции как гладкой.

4. На основе предложенного комбинаторно-аналитического метода с использованием алгоритма генерации размещений с повторениями впервые разработан алгоритм («комбинаторно-аналитический») нахождения решения кусочно-дифференцируемой задачи оптимизации составной функции с характеристическим параметром, в том числе запаздывающим, как дифференцируемой.

5. Построена оригинальная математическая модель инерционного рынка одного и многих конкурирующих (и/или сопутствующих) товаров в качестве примера системы, функционирующей по критерию максимума кусочно-дифференцируемой составной функции (прибыли продавца) с характеристическим параметром (объёмом поставок товаров), не требующая знания линии предложения. Благодаря этому модель позволяет более глубоко изучать динамику переходных рыночных процессов в условиях лага поставок при различных стратегиях поставки товаров на рынок и исследовать явления ценового гистерезиса, отсутствующего в других моделях.

6. С помощью разработанного комбинаторно-аналитического метода решения задач оптимизации систем, функционирующих по критерию максимума составной функции с характеристическим параметром, и с использованием комбинаторно-аналитического алгоритма реализации этого метода проведено компьютерное моделирование, исследование и оптимизация предложенной динамической модели рынка. Построены и исследованы оптимальные и субоптимальные стратегии поставки товаров на рынок в условиях запаздывания (лага) поставок, а также исследованы потенциальные возможности получения максимальной прибыли продавца на рынках такого типа.

7. Создан комплекс программ имитационного моделирования и исследования ' предложенной динамической математической модели инерционного товарного рынка одного или многих товаров, функционирующего по критерию максимума прибыли продавца. Реализация модели рынка многих товаров существенно опирается на использование комбинаторно-аналитического метода.

8. Моделирование рынка с оптимальной поставкой на рынок одного или многих (конкурирующих и/или сопутствующих) товаров в условиях лага поставки проведено с использованием двух параллельно функционирующих взаимодействующих моделей -основной имитационной модели рынка (детерминированной или стохастической) и детерминированной прогнозирующей модели для предсказания будущего состояния рынка на время лага поставки.

1. Ален Р. Математическая экономика. М.: ИЛ, 1963. - 666 с.

2. Блекуэлл Д., Гиршик М.А. Теория игр и статистических решений. М.: ИЛ, 1958. -374 с.

3. Бродецкий Г.Л. Управление запасами. М.: Эксмо, 2008. - 245 с.

4. Букан Дж., Кенигсберг Э. Научное управление запасами. М.: Наука, 1967. - 424 с.

5. Бусыгин В.П., Желободько В.Е., Цыплаков A.A. Микроэкономика третий уровень: Учебник. Новосибирск, НГУ, 2003. - 702 с.

6. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. - 623 с.

7. Галажинская О.Н. Продажа нетерпеливым продавцом при ступенчатом изменении цены // Вестник Том. гос. ун-та, 2006. №293. - С. 5 - 11.

8. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Морозов В.И. Микроэкономика: В 2 т. / Под общей ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа, 2006. - Т. 1. - 352 с.

9. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 576 с.

10. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. - 509 с.

11. Гильдерман Ю.И., Кудрина К.Н., Полетаев И.А. Модели Л-систем (системы с лимитирующими факторами) // Исследования по кибернетике. М., 1970. - С. 165-210.

12. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы (введение в теорию). М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. - 440 с.

13. Голыптейн Е.Г., Немировский A.C., Нестеров Ю.Е. Метод уровней, его обобщения и приложения // Экономика и мат. методы, 1995. Т. 31. - №3. - С. 164 - 180.

14. Горбунов В.К. Математическая модель потребительского спроса. М.: Экономика, 2004.- 174 с.

15. Горячев A.C., Савин И.А. Основы ИВЛ. Электронный ресурс.- URL: http://anest.ugansk.ru/EbookMV/index.html.

16. Гусейнов P.M. История экономических учений. М. - Новосибирск: ИНФА-М, 2000. -251 с.

17. Данскин Дж.М. Теория максимина и ее приложения к задачам распределения вооружения. М.: Советское радио, 1970. - 200 с.

18. Демьянов В. Ф., Васильев JI. В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981. -384 с.

19. Демьянов В.Ф. Обобщение понятия производной в негладком анализе // Соросовский Образовательный журнал (СОЖ). Математика, 1996. С. 121 - 127.

20. Демьянов В.Ф., Васильев J1.B. Недифференцируемая оптимизация М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. - 384 с.

21. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972. - 368 с.

22. Долгов А.П. Феномен модели EOQ или несостоявшийся реквием // Логистика сегодня, 2009.-№2.-С. 92-107.

23. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений // ЖВМ и МФ, 1965. Т. 5. - № 3. - С. 395 - 453.

24. Емельянов В.В., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Теория и практика эволюционного моделирования. М.: Физматлит, 2003. - 432 с.

25. Занг В.Б. Синергетическая экономика. М.: Мир, 1999. -335 с.

26. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. - 481 с.

27. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука, 1988. -280 с.

28. Коваленко А.Г. О математическом моделировании рассредоточенного рынка // Экономика и математические методы, 1999.- Т. 35 № 3. - С. 108 - 115.

29. Коваленко А.Г. Математические модели однопродуктового рассредоточенного рынка и их исследование // Известия РАН. Теория и системы управления, 2005. №3. - С. 41 -54.

30. Ковтуненко В.А. Оптимизационная постановка эволюционной задачи о развитии трещины при квазихрупком разрушении // Прикл. механика техн. Физика, 2006. Т. 47. -№5.-С.Ю7- 118.

31. Красовский A.A., Тарасьев A.M. Оптимизация времени остановки в многоуровневых динамических системах // Вестник Удмуртского ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки, 2008. № 2. - С. 63 - 64.

32. Крутиков В.Н. Абсолютные оценки скорости сходимости r-алгоритма и метода Ньютона // Якутск: Матем. заметки ЯГУ, 1997. Т. 4. - № 1. - С. 38 - 50.

33. Крутиков В.Н. Арышев Д.В. Метод сопряженных субградиентов с растяжением пространства //Электронный журнал «Исследовано в России», 2003.- С. 2439 2449. Электронный ресурс. - URL: http://zhurnal.ape.relarn.ru/ articles/2003/208.pdf.

34. Крутиков В.Н. Одноранговое семейство релаксационных субградиентных методов с растяжением пространства // Электронный журнал «Исследовано в России», 2003. С. 2450 - 2459. Электронный ресурс. - URL: http://zhurnal.ape.relarn.ru/ articles/2003/208.pdf.

35. Крутиков В.Н. Релаксационный субградиентный метод с растяжением пространства в направлении субградиента («RSM») // Свидетельство об официальной регистрации программ № 2003612567. М: РОСПАТЕНТ, 2003.

36. Левитин Е.С., Милютин A.A., Осмоловский Н.П. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями //УМН, 1978. Т. 33. - № 6(204). -С. 85- 148.

37. Лукин Б.В. Ценообразование. 2002. . Электронный ресурс. - URL: http://www.hi-edu.ru/e-books/xbookl02/01/title.htm.

38. Лукинский В.В. Теория и методология управления запасами в цепях поставок: автореф. дис. . д-ра экон. наук / Лукинский В.В. Санкт-Петербург, 2008. -38 с.

39. Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения. Введение и критический обзор. М.: ИЛ, 1961. -644 с.

40. Мастяева И.Н. Математические методы и модели в логистике //Московская финансово-промышленная академия. М., 2004 -59 с.

41. Мулен Э. Теория игр с примерами из математической экономики. М.: Мир, 1985. -200 с.

42. Немировский A.C., Юдин Д.Б. Сложность задач и эффективность методов оптимизации. М.: Наука, 1980. - 384 с.

43. Нестеров Ю.Е. Методы выпуклой оптимизации. М.: МЦНМО, 2010.-281 с.г

44. Нестеров Ю.Е. Разработка и исследование методов решения вырожденных задач оптимизации: дис. . д-ра физ.-мат. наук / Нестеров Ю.Е. Москва, 1984. - 106 с.

45. Нурминский Е.А. Численные методы решения детерминированных и стохастических минимаксных задач. Киев: Наукова думка, 1979. - 161 с.

46. Ньюберри Т. Классификация направлений в теории управления запасами //Применение статистических методов в производстве: Сб. науч. тр. -М.: Госмосстатиздат, 1963. С. 73 - 83.

47. Обросова Н.К. Потеря устойчивости равновесной цены в модели ценообразования вальрасовского типа // Матем. моделирование, 1998. Т. 10, - №5, - С. 47 - 57.

48. Обросова Н.К. Устойчивость рыночных механизмов в моделях ценообразования вальрасовского типа с запаздыванием: монография. М.: ВЦ РАН, 1999. - 61 с.

49. Поддубный В.В. Оптимальная стабилизация рынка, описываемого модифицированной моделью Вальраса-Маршалла // Обработка данных и управление в сложных системах. Вып. 6. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. - С. 161-171.

50. Поддубный В.В. Оптимальная стабилизация рынка, описываемого модифицированной динамической моделью Вальраса-Маршалла в пространстве переменных «предложение -цена спрос» // Вестник Том. гос. ун-та, 2004. - № 284. - С. 80 - 89.

51. Поддубный В.В., Романович О.В. Математическое моделирование оптимального рынка конкурирующих товаров в условиях лага поставок // Компьютерные исследования и моделирование, 2012. Т.4. - №2. - С. 431 - 450.

52. Поддубный В. В., Романович О. В. Имитационное моделирование рынка многих товаров // Новые информационные технологии в исследовании сложных структур:

53. Материалы 9-ой Российской конф. с международным участием, 2012. Изд-во HTJI. -С. 116.

54. Поддубный В.В., Романович О.В. Рынок как инерционная самоуправляемая система с запаздыванием и предсказанием спроса по неподвижной точке // ИТММ-2010: Материалы IX Всероссийской науч.-практич. конф. с международным участием, 2010. С. 130 - 135.

55. Поддубный В.В., Романович О.В. Рынок как оптимальная самоуправляемая система // ИТММ-2007: Материалы VI Международной науч.-практич. конф, 2007. С. 144 - 148.

56. Поддубный В.В., Романович О.В. Рынок как рестриктивная самоуправляемая система с запаздыванием //ИТММ-2008: Материалы VII Всероссийской науч.-практич. конф. с международным участием, 2008. Ч. 1. - С. 202 - 206

57. Поддубный В.В., Романович О.В. Рынок с фиксированной линией спроса как оптимальная система // Труды X Международной ФАМЭТ конференции, 2011. — С. 318 — 323.

58. Поддубный В.В., Сухарева Е.А. Динамическая модель Вальраса-Маршалла рынка с запаздыванием при параболическом предложении и гиперболическом спросе // Вестник Том. гос. ун-та, 2006. № 16. - С. 235 - 239.

59. Поддубный В.В., Сухарева Е.А. Исследование динамической модели рынка вальрасовского типа со многими товарами // Вестник Том. гос. ун-та, 2006. № 293. -С. 53 -58.

60. Поддубный В.В., Сухарева Е.А. Исследование свободного и стабилизируемого рынка, описываемого динамической моделью Вальраса-Маршала с запаздыванием // Вестник Том. гос. ун-та, 2006. № 290. - С. 190 - 198.

61. Поддубный В.В., Червонная Е.А. Идентификация динамических моделей рынка вальрасовского типа со многими товарами // Вестник Том. гос. ун-та. Серия «Управление, вычислительная техника и информатика», 2008. № 1(2). - С. 69 - 86.

62. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. - 256 с.

63. Прохоров А. Нелинейная динамика и теория хаоса в экономической науке: историческая ретроспектива // Квантиль, 2008. №4. - С.79 - 92.

64. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980. - 320 с.

65. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1969. - 152 с.

66. Пшеничный Б.Н. О необходимых условиях экстремума для негладких функций // Кибернетика, 1977. № 6. - С. 92 - 96.

67. Резниченко Г.Ю., Математические методы в биофизике и экологии. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, - 184 с.

68. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973. - 472 с.

69. Салов А.И. Экономика. Конспект лекций. М. Юрайт, 2009. - 173 с.

70. Скоков В.А. Варианты метода уровней для минимизации негладких выпуклых функций и их численное исследование //Экономика и-математические методы, 1997. -Т. 33,- №1.

71. Скоков В.А. Замечание к методам минимизации, использующим операцию растяжения пространства // Кибернетика, 1974. № 4. - С. 115-117.

72. Стерлигова А.Н. Управление запасами в цепях поставок: Учебное пособие. -М.: Инфра-М, 2007. 400 с.

73. Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. - 280 с.

74. Фон Нейман Дж., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1970. - 708 с.

75. Хедли Дж., Уайтин Т. Анализ систем управления запасами. М.: Наука, 1969. - 512 с.

76. Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень: Учебник. М.: ИНФРА-М, 2008. - 844 с.

77. Шор Н.З. Метод отсечения с растяжение пространства для решения задач выпуклого программирования // Кибернетика, 1977. № 1, - С. 94-95.

78. Шор Н.З. Методы минимизации недифференцируемых функций и их приложения. -К.: Наукова Думка, 1979. 199 с.

79. Шор Н.З. Методы недифференцируемой оптимизации и сложные экстремальные задачи // Сборник избранных трудов академика Н.З.Шора. Кишинеу: ЭВРИКА, 2008. -270 с.

80. Шор Н.З. Методы оптимизации недифференцируемых функций и их приложения. -Наукова Думка, 1979. 200 с.

81. Шор Н.З. Применение метода градиентного спуска для решения сетевой транспортной задачи // Материалы научн. семинара по теоретическим и прикладным вопросам кибернетики и исследования операций. Киев: Институт кибернетики АН УССР, 1962. -№ 1. - С.9 - 17.

82. Шор Н.З., Стеценко С.И. Квадратичные экстремальные задачи и недифференцируемая оптимизация. Наукова Думка, 1989. - 208 с.

83. Шор Н.З., Шабанова Л.П. О решении минимаксных задач методом обобщенного градиентного спуска с растяжение пространства // Кибернетика, 1972. № 1. - С. 82 - 88.

84. Шор Н.З. Журбенко Н.Г. Метод оптимизации, использующий операцию растяжения пространства в направлении разности двух последовательных градиентов // Кибернетика, 1971.-№3.-С. 51-59.

85. Щепакин М.Б. О методе ортогонального спуска // Кибернетика, 1987. №1

86. Brock W., Hsieh D., LeBaron В. Nonlinear dynamics, chaos, and instability. Cambridge: MIT Press, 1991.

87. Camp W.E. Determining the production order quantity // Management Engineering, 1922. -V. 2(1). P. 17-18.

88. Castello B.E., Goldman A.J. EOQ rides again!. In: Perspectives in Operations Research: -Springer, 2006. P. 307 - 332.

89. Chiarella C. The cobweb model: Its instability and the onset of chaos //Economic Modelling, 1988. V. 5(4). - P.377 - 384.

90. Chiarella C. The Elements of a nonlinear theory of economic dynamics. Berlin: Springer. 1990.

91. Clarke F.H. A new approach to Lagrange multiplies //Mathematics of Oper. Research, 1976. V.l. -№ 2. - P.165 - 174.

92. Clarke F.H. Generalized gradients and applications //Trans. Amer. Math. Soc., 1975. -V. 205.-P. 247-262.

93. Goldstein A.A. Optimization of Lipshits continuous functions // Math. Programming, 1977. -V. 13, P.14 - 22.

94. Goldstein A.A. Optimization with corners. In; Nonlinear Programming. New York; Academic Press, 1975. - V. 2, - P. 215 - 230.

95. Goodwin R.M. Dynamical coupling with especial reference to markets having production lag // Econometrica, 1947. № 15. - P. 181 - 204.

96. Harris F.W. Haw many parts to make at once Factory // The Magazine of Management, 1913. -V. 10(2), P. 135 - 152. перепечатана в: Operations Research, 1990. - V.38(6), -P. 947-950.

97. Harris F.W. What quantity to make at once // The Library of Factory Management, 1915 — V. V,-P. 47-52.

98. Hommes С. H., Dynamics of the cobweb model with adaptive expectations and nonlinear supply and demand // Journal of Economic Behavior & Organization, Elsevier, 1994. V. 24(3). -P. 315 -335.

99. Kelly A. Decision making using game theory: An introduction for managers. New York: Cambridge University Press, 2003. - 204 p.

100. Kovtunenko V.A. Interface cracks in composite orthotropic materials and their delamination via global shape optimization // Optim.Eng, 2006. V. 7. - P. 173 - 199.

101. Lemarechal C. An algorithm for minimizing convex functions //Proc. IFIP Congress-74. Amsterdam, North-Holland, 1974. P. 552 - 556.

102. Lemarechal C. Note on an extension of Davidon methods to nondifferentiable functions // Math. Programming, 1974. -V.7. № 3. - P. 384 - 387.

103. Lemarechal C. Numerical experiments in nonsmoth optimization //Progress in nondifferentiable optimization, 1982. P. 61 - 84.

104. Mifflin R. An algorithm for constrained optimization with semismooth functions. RR-77-3, HAS A. Laxenburg, Austria, 1977. 32 p.

105. Moreau J.J. Fonctions convexes endualite: Seminaire de Mathématiques de la Faculte des Sciences de Montpellier, 1962, № 1.

106. Neustadt L.W. Optimization: A theory of necessary conditions. Princeton, N.J.: Prinston Univ. Press, 1976.

107. Onozaki T.,Sieg G., Yokoo M. Complex dynamics in a cobweb model with adaptive production adjustment // Journal of Economic Behavior & Organization, Elsevier, 2000. -V. 41(2).-P. 101 115.

108. Puu T. Nonlinear economics dynamics. Berlin: Springer, 1997.

109. Raymond F.E. Quantity and Economy in Manufacture. McGraw-Hill Book Co., New York & London, 1931.

110. Robinson S.M. First-order conditions for general non-lineral optimization //SIAM J. on Appl. Math., 1976. V. 30. - P.597 - 603.

111. Shor N.Z. Nondifferentiable optimization and polynomial problems. Boston, Dordrecht, London: Kluwer Academic Publishers, 1998. - 394 p.

112. Suzuki T. General equilibrium analysis of production and increasing returns. World Scientific, 2009, - 272 p.

113. Taft E.W. The most economical production lot // The Iron Age, 1918. V. 101, - P. 1410 -1412.

114. Tinbergen J. Bestimmung und Deutung von Angebtkuven, Eien Beispiel //Zeitschrift fur Nationalökonomie, 1930. C. 669 - 679.

115. Warga J. Derivative containers, inverse functions and controllability. Calculus of Variations and Control Theory, 1976. P. 13-45.

116. Warga J. Necessary conditions without differentiability assumptions in optimal control // J. Diff. Equations, 1975. V. 18. - C. 41 - 62.

117. Wilson R.H. A scientific routine for stock control // Harvard Business Review, 1934. V. 13(2),-P. 116-128.

118. Wolfe P. A method of conjugate subgradients for minimizing nondifferentiable functions // Math. Programming Study, 1975. № 3. - P. 145 - 173.

119. Wolfe P. Note on a method of conjugate subgradients for minimizing nondifferentiable functions // Math. Programming, 1974. V. 7. - № 3. - P. 380 - 383.

120. Zhu P., Chiarella C., He T. Fading memory learning in cobweb model with risk averse heterogeneous producers // Computing in Economics and Finance, 2003 -V. 31.