автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Качественное и численное моделирование процесса использования и сохранения природных ресурсов

На правах рукописи УДК 519.85 ; 519.6 : 574.5

Пкума Пссомбо Яи

КАЧЕСТВЕННОЕ И ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ И СОХРАНЕНИЯ ПРИРОДНЫХ РЕСУРСОВ

05.13.18 математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических паук

1 6 июн 2011

'Ьерь 2011

4850404

Работа выполнена на кафедре компьютерной безопасности и математических методов управления Тверского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических, профессор

Андреева Елена Аркадиевна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, Цветков Виктор Павлович

кандидат физико-математических наук, Царькова Евгения Геннадьевна

Ведущая организация: Оренбургский государственный университет

Защита состоится -V- 2011 года в^ ч£>0мин на заседании диссертационного совета Д 212.263.04 при Тверском государственном университете по адресу: 170002, г.Тверь, Садовый пер., д.35, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу: 170000, Тверь, ул. Володарского, 44а.

Объявление о защите диссертации и автореферат опубликованы па официальном сайте Тверского государственного университета по адресу: http://university.tversu.rU/aspirants/abstract.s/.

Автореферат разослан У. О/ 2011г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, доцент

ед>

С.М. Дудаков

Общая характеристика работы

Актуальность исследования.

Природные ресурсы являются важным компонентом в окружающем человека мире, и их нерациональное использование может привести к разрушению различных составляющих окружающей среды.

Возобновляемые ресурсы имеют особую специфику вследствие естественного восстановления продуктивности природных объектов. Однако воспроизведет«; ресурса в будущем существенным образом зависит от объема ресурса в настоящий момент времени. Поэтому проблема эффективной добычи возобновляемых природных ресурсов становится особо актуальной, ей посвящено большое число работ.

В 1992 г. (3 - 14 июня) в Рио-де-Жанейро (Бразилия) на уровне глав го-ударств и правительств состоялась Всемирная конференция Окружающая реда и развитие (The United Nations Conference on Environment and Devel-pment). Была проведена огромная работа, и в результате встречи в Рио зыли заключены два международных соглашения, приняты два заявления ) принципах и основных планах действий в целях всемирного устойчнво-'0 развития. Хозяйственная деятельность вызывает в природе многочисленнее изменения, последствия которых необходимо уметь прогнозировать. В ¡роцессе длительного использования природных ресурсов были разработаны )бщие принципы и правила рационального использования и охраны природы. В связи с этим представляют интерес задачи оптимального управления, связанные с использованием и сохранением природных ресурсов, в которых 'правлением является скорость добычи, не только с целью максимизации :рибыли, а также с целью сохранения ресурсов.

Современное многообразие методов оптимального управления обусловле-ю непрерывно возникающими потребностями приложений во многих обла-тях. Прикладные задачи отличаются друг от друга различными особеино-гями, такими как размерность пространства состояний, тины нелинейпо-тей, структура ограничений, многоэкстремальпость и т.д. Трудно ожидать оявленпя универсальной вычислительной процедуры, являющейся доста-очпо эффективной для расчета разнообразных задач управления. Поэтому правдапа и актуальна разработка специализированных методов оитималь-ого управления, ориентированных на учет особенностей прикладных задач, частности задачи об использовании и сохранении природных ресурсов. Одой из особенностей данной задачи является не только оптимальное управ-епие добычей ресурсов, по и их сохранение. В диссертационной работе зада-

ча формализуется как задача оптимального управления с нефиксированным временем процесса и с фазовыми ограничениями .

Цель работы:

1) разработать управляемую модель динамики добычи природных ресурсов, описываемую системой обыкновенных дифференциальных уравнений с фазовыми н терминальными ограничениями;

2) формализовать математический критерий качества управления, определяющего эффективность добычи предприятием природных ресурсов, максимизации функции полезности предпринимателя;

3) получить условия онтималыюсти управления для поставленных задач в зависимости от критерия качества;

4) построить численные методы и алгоритм построения в широком диапазоне изменения параметров задачи;

5) исследовать зависимость оптимального управления от параметров модели: стоимость ресурса, численность ресурса в области добычи, скорость роста ресурса, интенсивности миграции ресурсов между областями;

6) сравнить решение задачи оптимизации функции полезности, полученное с помощью метода проекции градиента, с численными решениями, основанными на методах внутренних и внешних штрафных функций, исследовать способы задания функции полезности и различные способы задания бюджетных ограничения для модели;

7) разработать алгоритмы построения тестовых классов модели динамического равновесия и вычисления темпа роста равновесных цеп.

Методы исследования. В работе при решении поставленных задач применялись необходимые условия оптимальности, численные и аналитические методы решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику добычи природных ресурсов.

При разработке программного комплекса, проведении вычислительных экспериментов использовался программный продукт: Embarcadero RAD Studio 2009 (Delphi).

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработана качественная и численная модель, описывающая процесс использования и сохранения природных ресурсов с учетом конкуренции.

2. Реализованы вычислительные алгоритмы и численные методы нахождения оптимального решения, построенных па основе применения необходимых условий оптимальности для задачи оптимального управления об использовании и сохранении природных ресурсов.

3. Разработаны программы прогнозирования добычи природных ресурсов и оценки их эффективности. Получены результаты анализа влияния па-

раметров задачи и различных исходных режимов управления на оптимальное решение.

4. Рассмотрена модель оптимизации функции полезности, построен численный алгоритм её решения п получены результаты анализа влияния параметров.

5. Разработаны численный алгоритм построения тестовых классов модели динамического равновесия и алгоритм вычисления темпа роста равновесных цеп.

Научная новизна и теоретическая значимость. В диссертационной работе построена общая дискретная п-мерная управляемая модель процесса использования природных ресурсов с учётом их сохранения, в которой управление является скоростью добычи ресурсов. Предложена методика нахождения параметров модели добычи природных ресурсов. Построены численные схемы решения задач оптимального управления процессом использования и сохранения природных ресурсов методом штрафных функций. Разработан алгоритм построения тестовых классов моделей динамического равновесия, предложена методика определения параметров числовой характеристики, дающие возможность оценить рост равновесных цен .

Практическая ценность. Полученные результаты работы могут быть использованы для решения конкретных практических задач, связанных с процессом использования ресурсов: прогнозирование риска исчерпания ресурса, планирование добычи, рассмотрение вопроса о рациональном использовании ресурсов, проведение информационно-образовательной работы, прогнозирование денежных затрат на добычу ресурсов. Разработанные алгоритмы позволяют проводить оценки параметров экономической системы и исследовать их влияние па оптимальное управление.

Достоверность и обоснованность полученных результатов базируется на использовании апробированных численных п аналитических методов математической теории оптимального управления п методов оптимизации.

Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные филожепия были представлены на научных семинарах кафедры компьютерной безопасности и математических методов управления ТвГУ и на конференциях по оптимальному управлению (2007-2011).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, из них 1 - в ¡едущих научных журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертаций.

Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, пяти \лав, заключения, списка цитируемой литературы. Общий объём диссерта-

дни - 112 страниц, библиографический список - 71 наименование. Работа содержит 63 рисунка и 10 таблиц.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность и дана общая характеристика диссертационной работы, поставлены цели и задачи, представлен обзор основных моделей, описывающих процесс использования и сохранения природных ресурсов с одной стороны и функционирования экономической системы с другой, указаны их достоинства и недостатки. Поставлены основные цели исследования.

В первой главе рассмотрен процесс динамики использования природных ресурсов на фиксированном и произвольном отрезках времени с учетом их сохранения, для которого предполагается существование возобновляемых ресурсов со слабой миграцией между областями. Динамика процесса использования природных ресурсов п-ой области описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями я„(0) G Х0 С Л":

^^ = F(t,Xn(t)) +J2anrn(t,Xn(t)) ■ (Xm(t)-X„(t))-qn(t), (1)

тфп

где т,п = l,N, xn(t) - запас ресурса n-ой области в момент времени, qn(t)

- скорость добычи ресурса из тг-ой области в момент времени, F{t,xn(t)) -функция роста ресурса.

В каждой из областей осуществляется независимая добыча ресурса со скоростью qn[t),n = 1,7V. Задача предпринимателя заключается в выборе скорости добычи q„(t) максимизирующей функционал

д. т

V(q) = ¿2 fe-61

п=1 о

X

+ ^Рп{Т,хп(Т)) -хп(Т) (2)

П=1

где p„(t, xn{t)) - функция цен единицы ресурса тг-ой области, cn(t, xn(t), qn(t))

- функция затрат предпринимателя на добычу единицы ресурсов из n-ой области. Условие сохранения ресурса учитывается терминальными ограничениями

Хп(Т) > Ап,п= UV (3)

p„(t,xn{t))qn(t) - cn(t,xn{t),qn(t))

dt

управление почти всюду на [О, Т] удовлетворяет ограничениям

где А„ - минимальный запас ресурса п-оп области, дтах - максимальная скорость добычи ресурса.

Введем функцию Понтряпша и функцию переключения управления.

Согласно теореме о необходимых условиях оптимальности для задачи оптимального управления со свободным правым концом и закрепленным временем, существуют не равные одновременно пулю число Лц > 0 и векторы-фупкцин рп(£) такие, что в точках непрерывности оптимальное управление определяется из принципа максимума Понтряпша

Vй' [М1>Хп(£))дп(*) - е„(г,:г„(г),<7„(г))] -рп{ь)чп^) =

тах ( А0е [рп(£, хп(г))дп - с„(г, хп(Ь), дп)] - рп(^дп

о<<;„<ч,„„'

где сопряженные функции р{Ь) являются решением системы дифференциальных уравнений:

Ох, ^

= -Аое-" (т^Ф,^)) ~й;Ф,Х1(1),й{г))\ - Р1{1)

Е

■ ы*) - *«(')) - Е - Е

0x1

0x1

/

~ Е <7т1;(г,2(№)рп(£). 1,т,п = 1, ./V;

1фп

граничными условиями

' 2\0Вк(Ап ~хп(Т)) + ^щ{Рп(Т,хп(Т)) -хп(Т)], Ап-хп(Т) > О, ^ ¿Тт)[Рп(Т,^(Т))-хп(Т)], Ап — хп(Т) < О

В случае если в задаче присутствуют фазовые ограничения > Ап, £ е 0,Г], согласно теореме о необходимых условиях оптимальности для задач оптимального управления с фазовыми ограничениями имеет место принцип ¡максимума и существуют неотрицательные регулярные меры //,„, определение на множестве М = <£ £ [О'^И : ~~ = 0 > такие, что вектор-

пункция р„(£) (п = 1,/^) является решением системы интегральных урав-т Г / Л'

П Ш п \ ' ) Ни (г))

¡ешш: = Я - дН Е е

-¿г

, 71—1

Е Рп(т)

11=1

хи{т)) + Е

(т.хп{т))-(хт{т)~хп{т))

та^п

><1т+ ]'(1,11,¡{т),

с условиями трансверсальности р„(Т) = — рп[Т] + рп. В случае линейной зависимости сп(£, хп{1), от цп оптимальное управление определяется следующим условием

О, если фп{Ь) < О,

Чп = { 9тах-,если ¿>п(£) >0,

а е (0, дГПах), если <?!>„(£) = 0,

(5)

где фп{Ь) = е

-¿{

Сп

(0)

— рп(£) - функция переключения

управления;

Если в задаче (1)-(4) допустимое время процесса является произвольным, то введем следующие функции Ь(т) = £т , уп(т) = хп{г(т)), з„{т) = дп(£(т)), г £ [0, То]. В этом случае согласно ирпнцнпу максимума Понтрягипа существуют не равные одновременно нулю число Ао > 0, векторы-функции рп(т) и функция 1г(т) такие, что оптимальное управление удовлетворяет следующему условию

£

Аое [рп{т:уп{т))зп(т) - сп(т:уп(т),зп{т))} - рп{т)зп{т) = А0е~^т [рп(г,Уп{г))зп ~ сп(т,уп{т),8п)} - р„(т)з„ где функции р(т) и Н(т) удовлетворяют системе дифференциальных уравне-

тах £

0<«„<«т„х,£>0

НИИ

Ш = (

до!

;„,(т,У1( г))

О'Ш

■ {Ут(т) -у{(Т))-

" Е - Е " ЫГ) -3/п(г))р„(г)-

■ [т;У1{т))рп{т)

N

1,т, п = 1, ./V;

Л(г) = -А0^"2 Е е [/5п(1/п(г)) - сп(гЦт), 5п(г))] в„(т), п=1,Ы

п = 1

с условиями трансверсальности р„(То) =

= Г 2(А0ЩА„ - уп(То)) + [рп (То, у„(Т0)) • гЦТо)], Ап - уп(Т0) > 0, 1 оЩГ) & (Г(ь у"(Го)) " ' ~ - 0

где £ > 0, То - допустимое время процесса

Во второй и во третьей главах для решения построенной краевой задачи об использовании п сохранении природных ресурсов, описанной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, проводится дискретная аппроксимация с точностью первого и второго порядка по шагу разбиения. Разработан алгоритм построения оптимального решения. Для поиска оптимальных динамических траектории и оптимального управления в среде Delphi программно реализовав алгоритм для случая, когда pn{t,xn{t)) = рп, cn(t,xn(t)) = Ъп - наименьшие затраты на добычу единицы ре-

сурса n-ой области и F(t,xn) = rnxn(t,)(l — knxn(l)), где rn - коэффициент возобновления ресурса n-ой области, к~1 - максимальная численность ресурса n-ой области. Для построения оптимального решения использованы следующие значения параметров:

Гп кп Яп ооп А-п Рп Ьп

1 0,05 0,0001 0 6000 4000 1000 10 0,0001 0,0001

2 0,05 0,0002 0 3000 2000 1000 10 0,0001 0,0001

Sv Dk а q N т At

1 0,0001 0,0001 1000 0,001 200 2 20 0,005

а - шаг градиентного спуска, д = 0,001 - дисконтирующий множитель, а — О 0,01 \

0 01 о Г С1ШметРпчпая матрица.

Исследование влияния параметров задачи на оптимальное управление проводится в характерных режимах, что дает представление о прогнозе динамики процесса использования природных ресурсов, также позволяет оценить допустимый объём добычи ресурсов и принять решение при различных значениях экономических составляющих.

Учет влияния темпа возобновления (здесь замедленный темп) позволяет наблюдать особый режим оптимального управления (см. рис. 1 и 2) в зависимости от интенсивности миграции а.

. СС1 .

I2D

Рис. 1: Зависимость сд от времени t.

Рис. 2: Зависимость q2 от времени t..

На рисунках (3) и (4) представлено изменение запаса ресурсов в завпеи-!ости от степени интенсивности миграции гг.

Рис. З1. Зависимость Xi от времени i.

Рис. 4: Зависимость х2 от времени t.

На картинке (5) представлены графики функционала V при различных начальных приближениях управления, а на рисунке (6) график функционала V в зависимости от времени Т.

В работе показано, что число переключений управления зависит от численности ресурсов области и коэффициента Ьп наименьших затрат па добычу ресурса. С ростом коэффициента Ьп объём добываемого ресурса уменьшается, при этом возможно возникновение особых режимов управления.

В четвертой главе исследованы разные способы задания функций полезности и различные способы задания бюджетных ограничении. Разработана компьютерная программа, позволяющая с заданной точностью получить оптимальное решение задачи максимизации функции полезности, исследовать влияние параметров метода и параметров задачи на оптимальное решение.

Задача потребительского выбора заключается в выборе такого потребительского набора х = {х\,х2, ■ ■ ■ ,хп), который максимизирует его функцию полезности и(х) при заданном бюджетном ограничении (р(х),х) < I.

В диссертационной работе исследовано влияние параметра Dk на оптимальное решение следующей задачи оптимизации

Ji{x) + DkJ2(x) -> min, (6)

П

где Jx(x) = - YL ai^og{xi - b{) и J2{x) =---s—.

На рис.7 представлено множество пар точек , для различных шачеппп Ок. к = 1,2,3,.... где Ок 0, при этом ,)х{х) = 8, 57214196233973 I: 72(-с) = 7, 98858591646657Е - 9.

С 0: 1 1 5 2 2 5 3

Рис. 7:

В пятой главе исследуется вопрос регулирования объема добычи приходных ресурсов для воспроизведения ресурса в будущем в зависимости от юста цеп в случае динамического равновесия экономической системы. Ответ 1а вопрос о существовании динамического равновесия излагается, например, работе швейцарского экономиста Вальраса Леона Мари Эспри (1834-1910), 'оторып пришел к выводу, что средством согласования действий участников кономической системы является последовательность векторов цен. Поэтому ¡сследовапие темпа роста цен также является существенным для проблемы итималыюго использования и сохранения природных ресурсов.

Для описания модели динамического равновесия вальрасовского тина рас-матрпвается экономическая система с п видами товаров (продуктов), функ-ионирующая на временном интервале Т, разбитом на промежутки [0,1], 1,2], .... [I — 1,Т]. Введем необходимые обозначения, г - вид товара, г = 1,..., п\ х' - количество г-го товара; х = (я1, ...,хп) - вектор-набор товаров; р\ - цена г-го товара в периоде [¿, I -Ь 1];

= (р], - вектор-цен набора товаров х в периоде + 1];

Л" = {х £ Лп\х{ > 0, ъ = 1,..., п} ~ пространство товаров; X С Л'1 - множество реально применяемых товаров, на котором опреде-ены интересы потребителя (множество потребительских наборов).

Производственный сектор в промежутке Ь + 1] характеризуется тех-,ологическим множеством С Л2", каждый элемент (х,у) € которо-) интерпретируется как технологический процесс, осуществляющий выпуск ектора у € 7?" продуктов при материальных затратах, описываемых векто-ом х € Л'1.

Потребительский сектор представлен многозначным отображением Ф( : " —» 2Л+ - функцией совокупного спроса, сопоставляющей каждому вектору

цен р( е Я" набора товаров х в периоде [М + 1] множество X = Ф((рг) С наиболее предпочитаемых потребителями наборов товаров.

Прибыль технологического процесса (х, у) £ вычисляется но формуле {£¿+1,1;) — (р1,х), т.е. предполагается, что вектор х производственных ресурсов приобретается по ценам рг периода [¿,г!+ 1], а производственная продукция продается у уже по ценам р(+1 следующего периода.

В соответствии с основными концепциями общего равновесия считаем, что каждый участник моделируемой экономической системы действует в соответствии лишь с собственными интересами. Потребительский сектор, ориентируясь только на цены р1 данного периода, формирует совокупный спрос с; 6 Производственный сектор в периоде [£,£ + 1] решает задачу пла-

нирования производства с целью максимизации прибыли:

тах ((р(+1,у) - (р(,х)),

В работах Вальраса вводится следующее понятие: последовательность векторов {р1, С1, х{, £ = 0,1, 2, ...,Т, называется равновесной траекторией с началом у0, если она удовлетворяет следующим условиям:

ct € i>t(p(),f = 0,1 ,...,т, (7)

{xi,yt+1)eZt,t = 0,l,-,T-l, (8) {pt + i,yi+i) ~ {Pt,xt) > (pt+uy'i+i) ~ {pi,x[)

{x't,y't+1)eZt,t = 0,l,...,T-l, (9)

ci<yi-xt,t = 0,1,..„T, (10)

(Pt,ct) = {Pi,Vt ~xt),t = 0,1 ,...,T, (11)

{рт, xt) — 0. (12)

Потребуем выполнения следующих условий существования конечной равновесной траектории:

I. Отображения ФДр) определены для всех р 6 /?" и полунепрерывны сверху; множества Ф¿(р) выпуклы при каждом р и ограничены в совокупности при р £ 7?".

II. Существует число ß > 0 такое, что неравенство (р, с) < ß выполняется при всех р е R", с £ Ф¿(р), t = 0,1,2,....

III. Zt - замкнутые выпуклые множества в R", (0.0) 6 Zt, множества Zt ограничены в совокупности при t = 0,1,2,....

IV. Существует такая последовательность (xt,yi+i) £ Zt, t = 0,1,2,..., для которой jji — xi > s > 0, где s - некоторый фиксированный вектор, i = 0,1,2,....

V. уа > 0.

Используется следующая лемма, доказанная Вальраеом: для всякого 7 > найдется такая константа Г, что для любой конечной равновесной траек-юрин {р1, с(, XI, у[), I - 0,1,...,Т, выполнены неравенства

Ы1 <гш\ы\~г ,1 = 0,1,...,т, (13)

фнчем Г(7) не зависит пи от Т, пи от у0.

Для того, чтобы вычислить Г(7), рассматриваются два случая при некоторой фиксированной величине г/0,0 < 1/0 < 1: ) если 1 < 7 < то

Г(7) = К-^-; (14)

1 — щ

) если 7 > 1/г/о, то

Г(7) = 1 - ^ ; (15)

де константа К, вычисляется по формуле:

Предлагается следующий алгоритм определения параметров з, /3, К\ и К. 1) Параметр ё определяется из условия IV существованья равновесных граекторий. Поэтому предлагается следующий алгоритм построения па-аметров тестовых классов моделей динамического равновесия, а именно лгоритм построения множеств I = 0,1,...,Т. Особенностью построчил таких множеств является попадание пар точек (1<1уг+1) в них. Пусть XI С £"{, где Е1 = х У"(+1 и XУ( - отрезки. Пусть п = tg(/?, где <р - угол между верхними границами отрезков и I-и-

Пусть Х1 е Х1 С Х1 и ук е У1 С У,. Пусть 5 - некоторое число.

1.1) Фиксируется 0 < а < 1, для дополнительного отрезка берется а <

г

.о.

1.2) Фиксируется 0 < 6 <1, для дополнительного отрезка берется 6 < .1.

1.3) Алгоритм построение границ Х1

а) Х0 = [1,2] —> Х0 = [хд, 2], х10 - случайно Хд < 2, |2 - хЦ > 0.5;

b) X: = [1,2] + о = [1 + а,2 + а] -> Хг = [х\,2 + а], х\ - случайно; х\ < 2 + а,\2 + а - х\\ > 0.5;

c) Х2 = [1 + а,2 + а] + а = [1 + 2а, 2 + 2а] Х2 = \х\,2 + 2а], х\ -случайно; х\ < 2 + а, |2 + а — х\\ > 0.5

и т.д.

1.4) Алгоритм построение границ У

a) Ух = [(2 + а) + 6, (2 + а) + 5 + 1] У = [(2 + а) + 6, у\], у\ - случайно; у\ > 2 + а + \у\ - (2 + а + 5)| > 0.5;

b) У2 = \(2 + 2а) + 6, (2 + 2а) + <5+1] У2 = [(2 + 2а) + й,х/|], - случайно; у1> 2 + 2а + 6, \у\ ~{2 + 2а + д)\> 0.5;

и т. <9.

Тогда у1 — > 5 = {<5, <5...., ¿}.

2) Для определения параметра /3 используется тот факт, что условие II существования равновесных траекторий равносильно включению

8ир(р,Ф«(р)) < оо (17)

реК

Положим

Пусть

Ф^РъРа)

/3= 8ир(р,Ф4(р)) (18)

РеЩ

Р = (РьРг)

Р2 Р1

Р\{Р 1 + РгУ Рг{Р1 + Рг)

Рассмотрим

(р, ЗД) = Р1 , Р1 , + Р2 , ^ , = 1-РиР1 + Р2) Р2[Р1+Р2)

Тогда можно брать /3=1.

3) Для определения константы К\ воспользуемся условием из доказательства леммы

Откуда

Докажем, что

(20)

т|(Д,в>>0. (21)

лея? \IIPtll

Действительно, в условиях леммы имеем, что s, > е > 0, Уг = 1,..., п.

.... .2

1з того, что

/ ■ \

= 1. следует, что Зг. -гт > 4-. Гак как У ( -î- | = 1, ■[/'.! - vn V У» /

по имеем (ir^.s) > Тогда inf > -j=s:>-

\!.Ы' / - v/n „е/Г \ !/v|' / - s/n-

peni

Определим

К: = (22)

л/п S

.de вектор s вычисляется по формуле s = ЛГ>5|

4) Константа К определяется следующим образом

К = max{A"t}, (23)

de Kt =

В работе рассматривается экономическая система с двумя типами товаров п = 2), функционирующей на временном интервале, разбитом на промежут-н, число которых равно 10. Численные результаты алгоритма представлены следующих таблицах:

1. Расчет оценок роста цен Г(7) в зависимости от константы 7 > 1 отио-нтелыю параметра а = 0.5.

7 1.1 1.2 1.3 1.4 10 50 100 500

Г(7) 456.53 228.26 152.17 122.37 5.07 2.28 1.52 0.1

Таблица 1: Теми роста цен Г(7) в зависимости от 7 > 1 при фиксированном а.

2. Расчет оценок роста цен Г(7) в зависимости от параметра а отпоси-VIыю константы 7 = 1.1.

а = tan tp 0.3 0.4 0.5

Г(7) 223.03 397.32 456.53

Таблица 2: Теми роста цен Г(^) в зависимости от а при фиксированном 7 > 1.

Предложен и обоснован алгоритм построения тестовых моделей и про-дення оценок роста цен для равновесно!] траектории, отвечающей требо-шиям, предъявляемым к моделям динамического равновесия. Численные »зультаты показывают возможность проведения оценок роста цен в таких оделях.

Выводы:

1. Разработана управляемая динамическая модель добычи природных ресурсов с учетом их сохранения, в которой критерием оптимальности

вступает либо прибыль, либо функция полезности каждого предпринимателя при добыче ресурсов, либо их комбинации.

2. Реализованы эффективные численные методы построения оптимального решения в задаче об использовании и сохранении природных ресурсов.

3. Проведено комплексное исследование решения оптимального управления в зависимости от параметров интенсивности взаимодействия между областями, функции цены, стоимости, скорости, прироста природных ресурсов.

4. Показано, что полученные результаты можно исследовать для прогнозирования допустимого объема добычи ресурсов.

5. Разработаны численные методы и алгоритмы, позволяющие решать задачу потребительского спроса для различных функций полезности и стоимости.

6. Разработаны алгоритмы и методика построения тестовых классов моделей динамического равновесия и для расчета темпа роста равновесных цеп, и разработана компьютерная программа, позволяющая реализовать работу данных алгоритмов и получить расчет темпа роста равновесных цен.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В изданиях рекомендованных ВАК:

1. Икума И.Я. Численное решение задачи потребительского выбора с нелинейными бюджетными ограничениями//Международный журнал "Проблемы теории и практики управления "Международное паучно-нрактическо приложение "Программные продукты и системы"№2(94), 2011, -С. 76 -79.

В прочих периодических изданиях:

1. Икума И.Я. Описание модели динамического равновесия//Многоуровневая система подготовки специалистов на основе информационных и коммуникационных технологий образования: Сборник научных трудов -Тверь: Твер. гос. ун-т, 2006, -С.55-64.

2. Икума И.Я. Построение мультипликативной производственной функции// Математические методы управления: Сборник научных трудов -Тверь: Твер. гос. ун-т, 2009, -С.51-54.

3. Икума И.Я. Множество Парето в задаче максимизации функции полезности//'Молодой ученый >9(20), 2010, -С.8-13.

4. Икума И.Я. Задача оптимального управления с подвижным правым концом//М 34 Математические методы управления: сборник научных трудов - Тверь: Твер. гос. ун-т, 2010, -C.62-G8

5. Икума И.Я. Управление процессом использования природных ресурсов с учетом их сохрапения//Спутш1к I , Аспирант и Соискатель >2(62), 2011, -С. 188 - 191.

Формат 70x84/16. Бумага ксероксная. Усл.печл. 1,1. Тираж 100 экз.

Отпечатано в ООО "ТВЗ" 170003, г. Тверь, Петербургское ш., 45-6

Введение

Глава 1. Модель использования и сохранения природных ресурсов.

1.1 Описание.

1.1.1 Принцип максимума Понтрягина.

1.2 Задача оптимального управления с фазовыми ограничениями для модели использования и сохранения природных ресурсов.

1.3 Задача оптимального управления с нефиксированным временем для модели использования и сохранения природных ресурсов.

1.3.1 Общая теория.

1.3.2 Применение к задаче для модели использования и сохранения природных ресурсов.

Глава 2. Имитационный подход к проблеме оптимального использования природных ресурсов с учетом их сохранения.

2.1 Задача об использовании и сохранении природных ресурсов с постоянной функцией затрат.

2.2 Задача об использовании и сохранении природных ресурсов с переменной функцией затрат.

2.3 Особое оптимальное управление.

Глава 3. Численная реализация решения задачи об использовании и сохранении природных ресурсов.

3.1 Дискретная аппроксимация непрерывной задачи об использовании и сохранении природных ресурсов.

3.2 Алгоритм метода штрафных функций.

3.3 Анализ влияния параметров на решеиие задачи об использовании и сохранении природных ресурсов.

Глава 4. Модель оптимизации функции полезности.

4.1 Функция полезности. Задача потребительского выбора.

4.1.1 Краткие сведения теории потребления. Понятие функции полезности.

4.1.2 Линия (кривая) безразличия функции полезности.

4.1.3 Норма замены. Предельная норма замены.

4.1.4 Эластичность функции полезности.

4.1.5 Примеры некоторых функций полезности и виды их кривых безразличия.

4.1.6 Задача потребительского выбора.

4.1.7 Общее решение задали потребительского выбора.

4.1.8 Численная реализация некоторых конкретных задач потребительского выбора.

Глава 5. Алгоритм вычисления темпа роста цен в случае динамического равновесия экономической системы.

5.1 Конечные равновесные траектории.

5.2 Существование равновесных траекторий.

5.3 Алгоритм вычисления темпа роста равновесных цен.

5.4 Некоторые численные результаты.

Современная наука неотделима от математического моделирования, сущность которого состоит в замене исходного объекта его "образом математической моделью - и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютере вычислительно-логических алгоритмов. Этот метод конструирования сочетает в себе многие достоинства, как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью даёт возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства, и поведение в любых мыслимых ситуациях. В то же время вычислительные (компьютерные) эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам.

Модель - один из важнейших инструментов научного познания, условный образ объекта исследования или управления, который отображает основные характеристики объекта (свойства, взаимосвязи, структурные и функциональные параметры), существенные для цели исследования.

В настоящее время математическое моделирование вступает в важный этап своего развития, "встраиваясь"в структуры так называемого информационного общества. Прогресс средств переработки, передачи и хранения информации способствует усложнению и взаимному проникновению различных сфер человеческой деятельности. Без владения информационными "ресурсами" нельзя и думать о решении проблем, стоящих перед мировым сообществом. Однако "информация как таковая, мало что даёт для анализа и прогноза, для принятия решения и контроля за их исполнением. Нужны падежные способы переработки информационного "сырья"в готовый "продукт т.е. в точное знание.

Технические, экологические, экономические и иные системы, изучаемые современной наукой, не всегда поддаются исследованию (в нужной полноте и точности) обычными теоретическими методами. Прямой натурный эксперимент над ними долг, дорог, часто либо опасен, либо просто невозможен, так как многие из этих систем существуют в "единственном экземпляре". Цена ошибок и просчетов в обращении с ними недопустимо высока.

Модель создается на основе предварительного изучения явления и выделения его существенных характеристик. Теоретический и экспериментальный анализ модели позволяет сделать качественные выводы о поведении объекта. Математические модели - это упрощенные версии реального мира, которые сокращают в той или иной степени основные черты реальности. Это позволяет использовать абстрактную математическую модель для анализа, предсказания или прогноза тех или иных явлений, выявления общих закономерностей. Однако следует учитывать то, что любая математическая модель отражает лишь основные стороны реальности. Результаты необходимо проверять опытом. Всегда необходимо сравнивать, анализировать и синтезировать результаты качественного анализа, численного эксперимента с реальными явлениями и процессами.

Математические модели использовались с иллюстративными и исследовательскими целями еще Ф. Кепэ (1978 г., "Экономическая таблица"), А. Смитом (классическая макроэкономическая модель), Д. Рикардо (модель международной торговли). В XIX веке большой вклад в моделирование рыночной экономики внесла математическая школа (Л. Вальрас, О. Курно, В. Парето, Ф. Эджворт и др.). В XX веке математические методы моделирования применялись очень широко, с их использованием связаны практически все работы, удостоенные Нобелевской премии по экономике (Д. Хикс, Р. Солоу, В. Леонтьев, П. Самуэльсон и др.). Развитие микроэкономики, макроэкономики, прикладных дисциплин связано со все более высоким уровнем их формализации. Основу для этого заложил прогресс в области прикладной математики -теории игр, математического программирования, математической статистики.

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа экологических, экономических, медицинских, биологических и других явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экологической, экономической или иной жизни, прогнозировать поведение экологических, экономических или других субъектов и экологическую, экономическую или другую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экологической, экономической или другой теории, одинаково понятным для ученых всех стран мира.

Природные ресурсы являются важным компонентом в окружающем человека мире, и их нерациональное использование может привести к разрушению различных составляющих окружающей среды.

Возобновляемые ресурсы имеют особую специфику вследствие естественного восстановления продуктивности природных объектов. Однако воспроизведение ресурса в будущем существенным образом зависит от объема, ресурса в настоящий момент времени. Поэтому проблема эффективной добычи возобновляемых природных ресурсов становится особо актуальной, ей посвящено большое число работ.

В 1992 г. (3 - 14 июня) в Рио-де-Жанейро (Бразилия) на уровне глав государств и правительств состоялась Всемирная конференция Окружающая среда и развитие (The United Nations Conference on Environment and Development). Была проведена огромная работа, и в результате встречи в Рио были заключены два международных соглашения, приняты два заявления о принципах и план основных действий в целях всемирного устойчивого развития. Принципы и правила охраны природы. Хозяйственная деятельность вызывает в природе многочисленные изменения, последствия которых необходимо уметь прогнозировать. В процессе длительного использования природных ресурсов были разработаны общие принципы и правила рационального использования и охраны природы. В связи с этим представляют интерес задачи оптимального управления об использовании и сохранении природных ресурсов, в которых управлением является скорость добычи, не только с целью максимизации прибыли, а также сохранения ресурсов.

В предлагаемой первой главе на примере общая модель использования и сохранения природных ресурсов рассматривается общий подход к исследованию детерминированных управляемых динамических систем и построению оптимального управления.

На первом этапе динамическая система исследуется с точки зрения особенностей поведения её траекторий, устойчивости, наличия положений равновесия в зависимости от параметров динамической системы.

Следующий этап состоит в анализе необходимых условий оптимальности, применении принципа максимума Л.С. Понтрягипа. Наиболее часто динамика модели описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальными уравнениями с запаздыванием, с разрывной правой частью и др. Использование принципа максимума позволяет построить краевую задачу принципа максимума, понять структуру оптимального управления, исследовать возможность существования особого оптимального управления, скользящих режимов, минимизирующих последова,тельностей. В ряде случаев удается, используя достаточные условия оптимальности двойственный метод или принцип оптимальности, построить синтез оптимального управления.

Третий этап заключается в выборе аппроксимации непрерывной задачи оптимального управления дискретной задачей управления. Этот переход связан с необходимостью построения приближенного оптимального решения с использованием численных методов оптимизации. Здесь важной задачей является выбор точности аппроксимации (а соответственно и схемы) и оценка скорости сходимости метода. Записываются необходимые условия оптимальности в дискретной задаче оптимального управления, которая может рассматриваться как частный случай задачи нелинейного программирования большой размерности. При этом для её решения можно использовать численные методы нелинейного программирования. Необходимо исследовать, как зависит решение дискретной задачи оптимального управления от точности аппроксимации. Требуется показать, что решение дискретной задачи сходится к решению непрерывной задачи с заданной точностью, используя свойства функции Понтрягина, функции переключения.

Четвертый этап состоит в выборе метода оптимизации и исследовании влияния параметров метода на оптимальное решение, возможности существования локальных решений, поиске глобального оптимального решения. Заметим, что при выборе метода оптимизации необходимо исследовать влияние параметров метода оптимизации необходимо исследовать влияние параметров метода (таких, как выбор начального приближения, шага градиентного спуска, штрафных коэффициентов, точности вычислений) на вычисление оптимального управления.

Вторая глава заключается в анализе полученного оптимального решения в зависимости от начальных данных, параметров задачи оптимального управления и целевого функционала. Этот этап может приводить к коррекции исходной динамической системы, учету дополнительных факторов, влияющих па решение задачи, необходимости учета случайных возмущений и способов управления. Во многих задачах об использовании и сохранении ресурсов минимизируемый (максимизируемый) функционал является по существу сверткой двух или более функционалов, например, максимизируемых прибыль и ограничения па использование ресурсов. Полученные результаты необходимо описать не только на «формальном» математическом языке, по и придать им «физический» реальный смысл.

Во третьей главе рассматривается тот факт, что современная экономическая теория, как на микро-, так и на макро уровне, включает естественный, необходимый элемент математические модели и методы. Использование математики в экономике позволяет, во-первых, выделить и формально описать наиболее важные, существенные связи экономических переменных и объектов: изучение столь сложного объекта предполагает высокую степень абстракции. Во-вторых, из четко сформулированных исходных данных и соотношений методами дедукции можно получать выводы, адекватные изучаемому объекту в той же мере, что и сделанные предпосылки. В-третьих, методы математики и статистики позволяют индуктивным путем получать новые знания об объекте: оценивать форму и параметры зависимостей его переменных, в наибольшей степени соответствующие имеющимся наблюдениям. Наконец, в-четвертых, использование языка математики позволяет точно и компактно излагать положения экономической теории, формулировать се понятия и выводы.

Задачи экономической теории, связанные с приведением в систему, истолкованием и обобщением поведения участников экономики в процессе производства и потребления, приводят к математическим проблемам оптимизации и принятия решения. Предметом изучения в данной главе является поведение отдельного участника экономики, как потребителя товаров. Эта проблема рассматривается с точки зрения рационального распределения личного бюджета (дохода) потребителя, которая в конечном счете сводится к решению вопроса о том, какое количество каждого наличного товара он должен приобрести при заданных ценах и известном доходе, и математическая модель такого его поведение называется моделью потребительского выбора или моделью максимизации функции полезности при заданных (линейных или нелинейных) бюджетных ограничениях, относящейся к задачам математического программирования. В главе исследуются функции полезности и производные функции, приводятся примеры некоторых функций полезности и конструирования некоторых производственных функций.

Рассматривая в последнем этапе данной главе сравнение аналитического решения (методом проекции градиента) с численным решением (методом штрафных функций) задачи потребительского выбора с линейными бюджетными ограничениями с одной стороны и численное решение задачи потребительского выбора с нелинейными бюджетными ограничениями (методом штрафных функций) с другой стороны проблема относится к задачам линейного с одной стороны и нелинейного с другой стороны, программирования.

В работе исследуются разные способы задания функции полезности и различные способы задания бюджетных ограничений (линейных и нелинейных). Автором разработана компьютерная программа, позволяющая с заданной точностью получать оптимальное решение задачи, исследовать влияние параметров методов и самой задачи на оптимальное решение.

Четвертая глава данной диссертации посвящена исследованию моделей динамического равновесия рыночной экономики, а именно вальрасовского типа при исследовании равновесных траекторий. Основная задача в дайной главе разработать алгоритм построения тестовых классов моделей динамического равновесия и алгоритм вычисления оценок роста цен для равновесных траекторий. В связи с поставленной задачей рассматривается следующая лемма [1]: для всякого 7 > 1 найдется такая констант,а Г(7); что для любой конечной равновесной траектории {р/, С/, х^, ус}, £ = 0,1,2,., Г, выполнены неравенства \\ptW < 1X7)7'||уо||-1; I = 0,1, 2,., Т; причем Г(7) не зависит ни от Т, ни от т/о- Исследование условий существования равновесных траекторий п доказательства данной леммы позволяет построить класс тестовых динамических моделей равновесия, при этом вычислить числовую характеристику Г(7).

Основные результаты диссертационной работы:

1. Разработана управляемая динамическая модель добычи природных ресурсов с учетом их сохранения, в которой критерием оптимальности вступает либо прибыль, либо функция полезности каждого предпринимателя при добыче ресурсов, либо их комбинации.

2. Реализованы эффективные численные методы построения оптимального решения в задаче об использовании и сохранении природных ресурсов.

3. Проведено комплексное исследование решения оптимального управления в зависимости от параметров интенсивности взаимодействия между областями, функции цепы, стоимости, скорости, прироста природных ресурсов.

4. Показано, что полученные результаты можно исследовать для прогнозирования допустимого объема добычи ресурсов.

5. Разработаны численные методы и алгоритмы, позволяющие решать задачу потребительского спроса для различных функций полезности и стоимости.

6. Разработаны алгоритмы и методика построения тестовых классов моделей динамического равновесия и для расчета темпа роста равновесных цен, и разработана компьютерная программа, позволяющая реализовать работу данных алгоритмов и получить расчет темпа роста равновесных цен.

Заключение.

1. Андреева ЕА. Оптимальное управление динамическими системами. Тверь: ТвГУ, 1999.

2. Андреева Е.А., Цирулсва В.М. Вариационное исчисление и методы оптимизации Тверь 2003.

3. Андреева Е.А., Семыкина H.A. Оптимальное управление Тверь: 2006.

4. Андреева Е.А., Венке X. Оптимизация управляемых систем. Тверь: ТвГУ, 1996.

5. Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. -М.: Наука, 1984.

6. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

7. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

8. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

9. Афанасьев В.Н., Колмановский В.В., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1989.

10. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

11. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

12. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск, 1974.

13. Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971.

14. Гноенский A.C., Каменский Г.А., Эльсгольц Л.Э. Математические основы теории управляемых систем. М.: Наука, 1969.

15. Дубовицкий А.Я., Милютин A.A. Экстремальные задачи при наличии ограничений. ЖВМ и МФ. 1965. Т. 5. С. 393 453.

16. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.

17. Гурман В.И. Модели управления природными ресурсами. М. Наука. 1981.

18. Харчистов Б.Ф. Методы оптимизации. Учеб. пособие. Таганрог: 2004.

19. Громов Ю.Ю., Земской H.A., Лагутин A.B., Иванова О.Г., Тютюнник В.М. Специальные разделы теории управления. Оптимальное управление динамическими системами. Тамбов: ТГТУ, 2007.

20. Подииовский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.

21. Карманов В.Г. Математическое программирование. -М.: Физматлит, 2000.

22. Корбут A.A., Финкелынтейн Ю.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука, 1969.

23. Орёл E.H., Орёл Т.Я., Моделирование процессами управления проектами при ресурсных ограничениях И/ИЛИ//Эволюционная информатика и моделирование. -М.: Ин-т физ.-техн. Проблем РАН 1995. С. 165 - 185.

24. Сысоев В.В., Сербулов Ю.С., Меренова Е.А., Баркалов A.B., Информационные технологии замещения ресурсов. Воронеж: Воронеж. Гос. технол. акад. 2001. - 111 с.

25. Розенберг Г.С., Рянский Ф.Н. Теоретиче-ская и прикладная экология. -Нижневартовск: Изд-во Нижневартовского пед. института, 2004. 294 с.

26. Холина В.Н. Основы экономики природопользования. -СПб.: Питер, 2005

27. Голуб A.A., Струкова Е.Б. Экономика природных ресурсов. -М., Аспект-Пресс, 2001.

28. Арбузов В.В. Основы экономики природопользования и природоохраны. М.: Экология, 2003 - 261 с

29. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. 2-е изд., испр. -М.: Физматлит, 2001.

30. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. 2-е изд., персраб. и доп. -М.: Финансы и статистика, 2006.

31. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. -М.: Наука, 1978.

32. Сытник В.Ф. Каратодава Е.А. Математические модели в планировании и управлении предприятиями. -К.: Выща школа, 1985.

33. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. -М.: Из-во У РАО, 1998.

34. Терехов JI.JI. Экономико- математические методы. -М.: Статистика, 1988.

35. Карасев А.И., Кремер Н.Ш., Савельева Т.Н. Математические методы и модели в планировании. -М.: Экономика, 1987.

36. Андрийчук В.Г. Наконечный С.Н. математическое моделирование экономических процессов сельскохозяйственного произв. -К.: КНИХ, 1982.

37. Жданов С. Экономические модели и методы управления. -М.: Эльта, 1998.

38. Скурихин Н.П. Математическое моделирование. -М.: Высшая школа, 1989.

39. Советов Б. Моделирование систем. -М.: Высшая школа, 1999.

40. Дрогобыцкий Андрей. Экономико-математическое моделирование: Учебник для студентов вузов. -М.: Экзамен, 2006.

41. Авдии В.В. Математическое моделирование экосистем. Учебное пособие. -Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2004.

42. Багоцкий С.В., Базыкин А.Д., Монастырская Н.П. Математические модели в экологии. Библиографический указатель отечественных работ. -М.: ВИНИТИ, 1981.

43. Быков A.A., Мурзин Ii.В. Проблемы анализа безопасности человека, общества и природы. -СпВ.: Наука, 1997.

44. Виленкин Б.Я. Взаимодействующие популяции // Математическое моделирование в экологии. -М.: Наука, 1978.

45. Джефферс Дж. Введение в системный анализ: применение в экологии. -М.: Мир, 1981.

46. Петросян H.A., Захаров В.В. Введение в математическую экологию. -JL: Изд-во Ленингр. ун-та, 1986.

47. Романова Э.П., Куракова Л.И., Ермаков Ю.Г. Природные ресурсы мира. -М.: Изд-во МГУ, 1993.

48. Ашманов С.А. Введение в матемактическую экономику. М.: Наука, 1984.

49. Ашманов С.А. Математические модели и методы в экономике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.

50. Ашмапов С.А. Линейное программирование. М.: Наука, 1981.

51. Замков О.О., Толстопятенко A.B., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике М. 2004.

52. Колемаев В.А. Математическая экономика М. 1998.

53. Иитреллигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория М.: Айрис Пресс 2002.

54. Аллеи Р. Математическая экономика. М.: Ил, 1963.

55. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. М.: Ил, 1963.

56. Иванилов Ю. П., Лотов А. В. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1979

57. Вагнер Г. Основы исследования операций. Тома I-III. -М.: Мир, 1972-73гг.

58. Карлин С. Математические методы в теории игр, программирование и экономика. М.: Мир, 1964

59. Математическая экономика на персооиальном компьютере (под. ред. Ку-бонивы М.) . М.: ФиС, 1991

60. Лотов A.B. Введение в экопомико-математическос моделирование. М.: Наука, 1984.

61. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972

62. Столерю А. Равновесие и экономический рост. М.: Статистика, 1974

63. Макаров В. Л., Рубинов А. М. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1979

64. Математический аппарат экономического моделирования (Под. ред. Голыптейна Е. Г.) . М.: Наука, 1983

65. Leitman G.J., Stalford H. A sufficiency theorem for optimal control// J. Op-tim. Theory Appl. 1971. N. 8 P. 169-174.

66. Angell T.S. On the Optimal Control of Systems Governed by Nonlinear Equations// Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 19, №1, 1976.

67. Y. Cherruault, J. Gallego, "Introduction to optimal control theory"// Kyber-netes, Vol. 14 Tss: 3, 1985, pp.151 156

68. E. B. Lee, L. Markus, Foundations of Optimal Control Theory// John Waley and Sons, New-York, 1967.

69. J. M. Coron, Quelques résultats sur la commandabilité et la stabilsation des systèmes non linéaires// cours donné dans "Les journées mathématiques X-UPS en 1999". http://math.polytechnique.fr/xups/vol99.htrnl

70. E. Trélat, Contrôle optimal: théorie & applications// Vuibert, Collection Mathématiques Concrètes, 2005.

71. Gérard Grancher, Olivier Guibé Modélisation mathématique. Usage des équations difféerentielles : de la théorie à la pratique.//Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem. CNRS-Université de Rouen, 2006.