автореферат диссертации по строительству, 05.23.16, диссертация на тему:Решение задач инженерной гидравлики сочетанием аналитических и численных методов

На правах рукописи

Евстигнеев Николай Михайлович

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ИНЖЕНЕРНОЙ ГИДРАВЛИКИ СОЧЕТАНИЕМ АНАЛИТИЧЕСКИХ И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

Специальность 05.23.16 - гидравлика и инженерная гидрология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2005

Работа выполнена в Московском государственном строительном университете

Научный руководитель

- доктор технических наук, профессор Колесникова Татьяна Васильевна

Официальные оппоненты

- доктор технических наук, профессор Штеренлихт Давид Вениаминович

- доктор физико-математических наук, профессор Варапаев Владимир Николаевич

Научный консультант

- кандидат технических наук, профессор Прокопьев Валерий Иванович

Ведущая организация

- ЗАО ПО "СОВИНТЕРВОД"

Защита состоится «£» декабря 2005г bfJy.QO1^ заседании диссертационного совета Д 212.138.03 в Московском государственном строительном университете по адресу: Москва, Спартаковская ул., д. 2/1, ауд. 212.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан октября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Боровков B.C.

ДМ 21176И

Актуальность темы исследований. Настоящая работа посвящена решению ряда практических задач гидравлики. Сами задачи были сформулированы на основе актуальных потребностей решения вопросов проектирования гидротехнических сооружений. Так рассмотрена задача косого обтекания стенки-устоя и возможность возникновения ямы размыва в области обратного отрывного течения. Данная задача затрагивается ввиду того, что на многих сооружениях подобного типа в настоящее время ведется капитальный ремонт. Повреждения сооружений, в основном, вызваны локальными размывами в областях возвратных течений при паводках. Рассмотрено течение и движение взйеШейных наносов в отстойнике ГЭС, натурного объекта - отстойника Советской ГЭС, для которого проектным институтом ведутся изыскания. Для решения возникающих проблем при проектировании объектов с изменяющимся уровнем свободной поверхности был рассмотрен метод интегрирования уравнений неравномерного движения для непризматического русла. Данная задача решалась многими авторами, но попытка ее аналитического разрешения даст наглядное и надежное решение, которое будет просто использовать в инженерных целях.

Решение задач выполнялось аналитически и численным методом, специально разработанным для этих целей. Выбор сочетания методов не случаен. В связи с ростом возможностей ЭВМ и значительным прогрессом в области информационных технологий, методы прикладной математики, реализуемые на быстродействующих машинах, все глубже проникают в различные области прикладных наук. Использование численных методик позволяет сократить стоимость расчетов, повысить скорость и выявить ряд аспектов, которые могут быть не выявлены при физическом моделировании. В механике деформируемого твердого тела применение численных методов давно заняло прочные позиции и является необходимым атрибутом при проектировании ответственных сооружений. В механике жидкости и газа подобный прогресс не столь очевиден, несмотря на важность использования численных методов для прикладных задач. Наиболее значительные трудности вызывает моделирование турбулентных течений жидкости, которые в инженерной практике встречаются в подавляющем большинстве случаев. С другой стороны, основой науки, как фундаментальной, так и

прикладной, являются аналитические

^ртпгтит ГЦцяуг. цаша-причияп. ЧТО

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ I БИБЛИОТЕКА, {

аналитическое решение задачи не всегда возможно. Такая ситуация возникает либо при чрезвычайно сложной задаче, либо при недостаточной ее изученности. Гидравлика, как одна из важнейших прикладных наук, является ярким примером, в которой строгие аналитические зависимости не всегда можно получить.

Следовательно, разумное комбинирование аналитического и численного решения рассматриваемых задач гидравлики позволит улучшить точность и обозримость получаемых результатов.

Цель работы заключается в решении задач инженерной гидравлики сочетанием аналитических методов и численного эксперимента - метода динамики больших вихрей.

В работе рассматриваются следующие задачи:

1. Интегрирование дифференциального уравнения установившегося неравномерного течения воды. Данный вопрос рассматривается ввиду того, что методы решения этого дифференциального уравнения достаточно громоздки, особенно для непризматических русел. Попытка построения аналитического решения позволила бы избавиться от громоздких таблиц и графиков и сделать решение более обозримым.

2. Моделирование отрывного обтекания стенки - набережной речным потоком и определение возможности локального размыва и его глубины. Актуальность данной задачи продиктована тем, что в настоящее время ряд объектов требует капитального ремонта ввиду неучета возможности локального размыва в отрывной зоне около обтекаемой стенки. Приводится краткий перечень возможного появления локальных деформаций русла, приводящих к возникновению отрывного обтекания элементов сооружений. Для определения параметров потока отрывной зоны около стенки выполняется численное моделирование.

Полученные результаты обрабатываются с целью получения унифицирующей эмпирической формулы. Для данного случая рассматривается возможность локального размыва. С этой целью строится аналитическое решение для нахождения критической скорости размыва.

3. Моделирование и аналитическое решение для течения жидкости в отстойнике. Рассмотрен отстойник Советской ГЭС. Актуальность данной задачи определяет то, что отстойник является натурным объектом, для

которого необходимо провести определенные эксперименты и расчеты, что и было выполнено автором. Здесь приводится численное моделирование течения воды для натурного отстойника и модели физического эксперимента.

Полученные результаты численного эксперимента сравниваются с физическим экспериментом для модели, выполненным сотрудниками ОАО Научно-исследовательского института энергетических сооружений РАО ЕЭС, в котором проектируется отстойник. На основе численного метода проведено моделирование движения взвешенных наносов в отстойнике. Для унификации данных построена аналитическая зависимость для нахождения траектории движения частиц наносов и длины камеры отстойника. Проведен ряд расчетов известными инженерными методиками и приведено сопоставление результатов.

4. Разработан численный метод моделирования, используемый для решения вышеперечисленных задач расчета течений несжимаемой жидкости в больших пределах чисел Рейнольдса. Было выполнено расширение основной постановки академика О.М.Белоцерковского о применении рационального осреднения при моделировании динамики больших вихрей на практические задачи гидравлики с применением Персональных ЭВМ и относительно простых методов конечных разностей с сохранением монотонности и консервативности численной схемы. Численный метод реализован в виде комплекса программ автором работы в Visual С++". '

Научная новизна исследований заключается в следующем:

1. Получена аналитическая зависимость для уравнения установившегося неравномерного движения для непризматических русел с применением теоремы об интегрировании по частям и следствия из теоремы Лагранжа о среднем.

2. Разработан комплекс программ, основанный на методе рационального осреднения в постановке моделирования динамики больших вихрей.

3. Предложенный численный метод для проведения расчетов внешних и внутренних турбулентных течений применен для моделирования движения взвешенных Частиц наносов в виде отдельных частиц-маркеров.

4. Найдена аналитическая зависимость для нахождения локальной неразмывающей скорости дна, исходя из упрощенной модели выноса частицы.

5. Получена аналитическая формула для определения длины камеры отстойника из уравнения неравномерного установившегося течения жидкости.

Достоверность полученных результатов работы подтверждается применением использованных в работе апробированных современных методов и высокой степенью сходимости расчетных и численных результатов с данными экспериментальных исследований и известными эмпирическими зависимостями.

Практическая значимость работы заключается в том, что полученные решения и численный метод позволяют быстрее и надежнее получить результаты решения для рассмотренных задач, а полученные аналитические решения обладают наглядностью и обозримостью.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы из 146 наименований. Полный объем диссертации 152 страниц, в том числе: текста 130 стр., рисунков - 27, таб. - 7.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на совместном заседании кафедр Гидравлики, Информатики и прикладной математики и Использования водной энергии МГСУ.

Внедрение результатов. Результаты работы были использованы при проектировании отстойника Советской ГЭС на реке Черек в Кабардино-Балкарской Автономной Республике и расчета узла вододелителя на реке Риони (Республика Грузия).

Публикации. По результатам работы опубликовано 7 печатных работ.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Решение дифференциального уравнения стационарного неравномерного движения жидкости для непризматического русла, стилизованного квадратичной параболой, с применением интегрирования по частям и следствия из теоремы Лагранжа о среднем.

2. Результаты численного моделирования отрывного обтекания речным потоком стенки - набережной.

3. Аналитическая зависимость местной неразмывающей скорости.

4. Результаты численного моделирования течения воды и движения частиц - наносов в отстойнике.

5. Решение задачи о движении частиц - наносов в отстойнике, исходя из уравнения неравномерного установившегося плавноизменяюшегося течения водного потока в камере отстойника.

Содержание работы Во введении отражена актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, актуальность решаемых задач и кратко изложено основное содержание работы.

В первой главе рассматриваются задачи и существующие методы их решений. Формулируются задачи настоящей работы.

Во второй главе рассматривается интегрирование дифференциального уравнения установившегося неравномерного течения жидкости для непризматических русел. Сложность интегрирования дифференциального уравнения установившегося неравномерного течения заключается в том, что стоящие в правой части уравнения значения площади поперечного сечения, смоченного периметра, коэффициента Шези, гидравлического радиуса зависят от глубины, т.е. являются функциями от глубины.

В общем виде для непризматического русла основное дифференциальное уравнение установившегося неравномерного течения имеет следующий вид:

ав2 °2к8(0

ж1 Кг+ К2 %со а? п п.

з

g аг

где: ¡г - глубина в сечении; длинна; / - уклон дна; Q - расход; К -расходная характеристика, определяемая для открытого русла как К = соС^К; С

- коэффициент Шези, определяемый как С = п Яу, в общем случае можно принять 7=7/6; Я - гидравлический радиус, определяемый как Я = со - х'1; со - площадь живого сечения; % - смоченный периметр; и -коэффициент шероховатости; а - коэффициент кинетической энергии, принимаемый в приделах 1.0-1.3.

Одни из первых работ, посвященных интегрированию дифференциального уравнения установившегося неравномерного движения,

7

принадлежат Буссинеску, Брессу, Толкмиту Общий метод решения был предложен проф. Б.А.Бахметевым, который использовал показательную зависимость для расходной характеристики и, приняв гидравлический показатель русла постоянным, разработал способ интегрирования дифференциального уравнения (2.1) для призматических русел любой формы. Большинство этих и других методов основано на осреднении ряда характеристик с использованием громоздких таблиц и графиков. С другой стороны, существует возможность провести интегрирование без обращения к таблицам и графикам. О применении следствия из теоремы Лагранжа о среднем для интегрирования дифференциального уравнения установившегося неравномерного движения впервые указали и проинтегрировали для стационарного и нестационарного режимов Т.Г.Войнич-Сяноженцкий и Т.В.Колесникова для призматического русла.

Вначале рассмотрено неравномерное течение в непризматическом 8 со „

русле, при — = const. Проинтегрируем исходное уравнение, разделив ds

переменные и обозначив ^ = G:

Для интегрирования правой части воспользуемся правилом интегрирования по частям. Тогда окончательное выражение выглядит следующим образом:

где: /?/ - глубина в начальном сечении 1, И2 - глубина в конечном сечении 2, 51 - расстояние между сечениями 1 и 2. Правая часть находится по правилу интегрирования.

а»

. Q2

(2.2)

(2.3)

Нетрудно увидеть, что в случае призматического русла, т.е. — = 0,

ds

(2.3) переходит в зависимость:

S = 2(h2-h,)-

1-

aQ2 В g со1

К2

(2.4)

Проведено интегрирование исходного дифференциального уравнения (2.1) тем же способом для случая непризматического параболического русла,

для которого — * const. Для такой формы сечения характерно следующее ds

выражение для площади поперечного сечения:

a> = —Bh, 3

(2.5)

где: В - ширена русла по урезу воды, h - глубина в данном сечении.

да

С учетом (2.5) и того, что частная производная — характеризует изменение

ds

формы поперечного сечения русла, перепишем (2.1) в виде:

12 Ы

dh ds '

aQl <xQ С 2hdB

1 ~ " , К2 8%'з ds

K¿

aQ2 В

1-

1-

aQ¿ В

(2.6)

Я со Я со

выразив ширину потока по верху В через параметр параболы:

Чт-

(2.7)

Подставляя (2.10) в (2.9) получим:

-,2

dh ds'

. aQ aQ1 С1 hBdlnP 1 К1 К2 gx з ds , aQ2 В

g со

где: параметр параболичности Р для непризматического русла меняется по

длине. Раскладывая производную

gln/> ds

в ряд Тейлора, и воспользовавшись

рассмотренным выше приемом интегрирования по частям и следствием из теоремы Лагранжа о среднем, находим решение в виде:

1 3

5 = 2(к -к)_^ т__(2 9)

«б2С2 НВ\п(Р2/Р])'

~к2~+ К2 ЕХ' з 5 где: к/ - глубина в начальном сечении \\к2- глубина в конечном сечении 2; 5 - расстояние между сечениями 1 и 2.

Для призматического русла проведено сравнение формулы в виде (2.4) и метода Бахметева. Полученное сравнение выявило неплохое совпадение результатов. Погрешность результатов, полученных по (2.4) относительно метода Бахметева составляет в среднем 2-3%, максимальная единичная погрешность составила 13% из 9 расчетных случаев. Проведено численное интегрирование дифференциального уравнения стационарного плавноизменяющегося неравномерного течения водного потока для условия непризматического русла, стилизуемого квадратичной параболой. Сравнение с полученным аналитическим выражением (2.9) нашло удовлетворительное совпадение - максимальное единичное отклонение составило 15% из 14 случаев, среднее отклонение - 4%. Были рассмотрены как спокойные, так и бурные потоки.

Третья глава посвящена решению задачи отрывного обтекания стенки-набережной речным потоком. Отрывное обтекание стенки-набережной речным потоком возможно в ряде случаев. Так, на пример, при наличии излучины или поворота канала, возникновения побочня, строительства дополнительных сооружений выше по течению или меандрирования русла (рис. 3.1). Структура отрывного потока довольно сложна, и ее исследование, в основном, опирается на экспериментальные данные. Вследствие этого было выполнено моделирование течения реки в условиях искривленного русла, с берегозащитной стенкой. После проведения численного моделирования задачи и статистической обработки результатов получены картины течения для различных углов косого натекания. Так на рис.3.2 показана полученная картина векторов скорости и изолиний динамического давления для угла обтекания а=35°.

Полученные результаты выявили, что максимальная осредненная скорость в вихре отрывной зоны составляет320% от скорости на входе при угле натекания, равном 35°. Для унификации полученных данных о течении при отрыве потока от берегозащитной стенки была получена на основе численного моделирования зависимость для распределения скорости у основания стенки. Ввиду того, что численное решение находится в безразмерных величинах, нормированных по среднему расходу во входном сечении и, возникает возможность использовать безразмерные единицы скорости, которые могут быть использованы в широком диапазоне гидравлических параметров течений. Используя метод наименьших квадратов, можно получить достаточно точную регрессию, отражающую исходную зависимость для скорости в зоне размыва:

U(х) = 0,85152 + 2,91454 ■ х -10,21102 ■ х2 +10,31212 • х3 . (3.1) Здесь: U(x) - безразмерная скорость, нормируемая средней скоростью на входе, х - расстояние от входного сечения вниз по потоку.

Эта зависимость может быть более простой в использовании при предварительных расчетах. Скорость в области вихревого образования превышает среднюю скорость потока на 25%, что может служить причиной возникновения местного размыва около стенки и приводить к оголению фундаментной плиты. Для оценки данной возможности целесообразно провести расчет на локальный подмыв основания.

Для этого рассмотрим расчетную схему движения частицы грунта из ямы размыва, изображенной на рис.3.3. Частица грунта стилизуется в виде шарообразной частицы. Запишем уравнение сохранения количества движения для частицы грунта в проекции на ось, совпадающей с углом откоса, образующего яму размыва. Тогда уравнение запишется в виде: dV

m^ = Fhyd-Ffr-Fad-Fgs™<P, (3-2)

где: m - масса частицы грунта, V - скорость движения частицы, Fhyd - сила гидродинамического лобового давления, Ffr - сила кулоновского трения, Fg -сила тяжести частицы грунта, Fad - сила сцепления. Расписывая каждую из сил, уравнение (3 2) можно записать в виде:

P,W^f=l-CDSPw{Vw -Vsf- f/r ■ mg - mgsinç, (3.3)

ai l

Предполагаемые личии тока течения реки

Опоры моста, изменившие угол атаки ввиду меандрирования русла

Рис 3 I Различные факторы, приводящие к местному размыву русла

1 15 30 45 60 75 90 105 125 130 145 175 190 КО

Рис. 3 2 Осредненная картина течения (линии тока), 35". (КО - конечный объем, со сторонами 0,02x0,02м)

Рис 3 3 Упрощенная схема выноса частицы грунта из ямы размыва.

12

1 ч2

где: = —С05рк(Уп -V,) . Здесь Сд - коэффициент сопротивления, для

шара зависящей от гидравлической крупности и числа Рейнольдса; 5 -площадь обтекаемого шара; р* - плотность воды; У1 - скорость движения частицы грунта; - скорость набегающего потока; /{г - коэффициент

кулоновского трения грунта, определяемый как: = tg(p + С . Здесь <р - угол

внутреннего трения грунта, С - удельное сцепление грунта, № - объем частицы грунта, стилизованный шаром.

Из выражения (3.3) получена неразмывающая скорость потока из условия равенства нулю правой части уравнения. Это является предельным состоянием равновесия частицы при учете сил сцепления и трения (если эти силы отсутствуют, то равенство нулю правой части уравнения может являться следствием равномерного и прямолинейного движения частицы). Окончательно выражение выглядит следующим образом:

(3.4)

где: Б - диаметр частицы грунта в мм.

Найденная скорость будет являться критической сдвигающей местной скоростью, при значении которой частица грунта будет находиться в равновесии. Данная формула может быть использована для нахождения глубины ямы размыв. Проведено сравнение с известными методиками К.И.Россинского, В.С.Кнороза, Ц.Е.Мирцхулавы, Б.И.Студеничникова, В.Н.Гончарова для глубины ямы размыва и предельной несдвигающей скорости. Формула (3.4) дает удовлетворительное совпадение. Совместно с проведенным численным моделированием и полученной регрессией данные зависимости могут быть использованы для оценки возможного подмыва стенки-набережной при косом обтекании ее речным потоком в области возвратного течения.

В четвертой главе рассматривается задача течения жидкости в отстойнике,

движение взвешенных частиц, а так же аналитическое определение длины

выпадения взвешенной частицы из уравнения неравномерного течения

водного потока. В качестве рассматриваемого отстойника взят отстойник

Советской ГЭС - проектируемый объект. Показан план размещения

отстойника в составе гидротехнических сооружений. Для проведения

13

численного моделирования задана геометрия области, начальные и граничные условия течения воды. Для определения траекторий движения взвешенных частиц, и, следовательно, длинны камеры отстойника, используется введение весомых маркеров в численный метод, с помощью которого выполняется численное моделирование. Впервые идею использовать маркеры для отслеживания границ раздела предложил Харлоу в методе маркеров и ячеек (MAC). Наибольшее распространение маркеры получили при моделировании течений с химическими реакциями, определения поверхностей раздела и в настоящее время активно используются при моделировании Релей-Тейлоровской неустойчивости. В данном случае частицы маркеров, моделирующие наносы, должны обладать весом, и, поэтому, их использование отличается от алгоритмов, описанных ранее. С учетом сил, действующих на частицу, получим следующие уравнения динамики в проекциях на оси X и Y:

где: Раиг~С0ркЗагеа!5{ик-и!)г - сила влечения шара потоком; Р!г{Х, = С¡р^^и,)1 - сила сопротивления движению шара в потоке; Со, Су-

коэффициенты лобового и полного сопротивления шара в воде, принимаемые для частиц небольшого диаметра равными Сп=0,65\ С/=0,8;

=ЗтЮуркУ5- сила сопротивления Стокса; рк - плотность воды; р, -плотность частицы наносов; площадь поперечного сечения шара; Багеа8 -площадь поверхности шара, стилизующего нанос, 8агеа8 = 6.281)2 ; £/*, -горизонтальная составляющая скорости влекущего потока в данной точке; - горизонтальная составляющая скорости движения наноса, стилизованного шаром; У„ - вертикальная составляющая скорости влекущего потока в Данной точке; О - диаметр шара, стилизующего наноса; X, У - координата положения маркера-шара на момент / (Х- горизонтальная, У - вертикальная). Численное интегрирование уравнения (4.1) совместно с численным решением уравнений гидродинамики позволит найти траектории движения

ш

НХ)

(4.1)

весомых маркеров. При этом будут получены как мгновенные, так и осредненные траектории движения.

Для аналитического определения длины камеры отстойника в большинстве инженерных методик используются формулы вида:

5 =-А, (4.2)

у/

с различными изменениями, учитывающими те или другие факторы. Здесь: 5 - длина камеры отстойника; ¡7 - горизонтальная составляющая скорости потока в камере отстойника; - гидравлическая крупность частицы; /г -начальное положение высоты частицы. Дальнейший расчет по большинству инженерным методикам заключается в определении вероятности выпадения частицы определенной гидравлической крупности в пределах принятой длины камеры отстойника и ее корректировка, в случае если требуется большая вероятность выпадения. Таким образом, определяющей является именно известная формула (4.2) и вероятностный закон распределения различных фракций на дне камеры отстойника. Основные модификации известных методик касаются в основном закона распределения фракций и редко связаны с формулой (4.2). С другой стороны отстойник, в большинстве случаев, с гидравлической точки зрения, является каналом с положительным уклоном, что облегчает промывку отложившихся наносов и увеличивает интенсивность осаждения наносов к концу камеры. В результате движение в отстойнике неравномерно и, строго говоря, формула (4.2) требует уточнения с учетом неравномерности течения водного потока в камере отстойника. Известно, что скорость движения взвешенной частицы близка к скорости течения несущего ее потока, и без учета турбулентных пульсаций уравнения (4.1) для данного момента времени могут быть переписаны как:

и, = и„

К=К-»> (4-3)

где: Ц, - горизонтальная составляющая скорости наноса; К, - вертикальная составляющая скорости наноса; н> - гидравлическая крупность; ¥„ -вертикальная составляющая скорости несущего потока; V„ - горизонтальная составляющая скорости несущего потока. Для определения скорости на заданном расстоянии от начального сечения отстойника будем использовать

уравнение неравномерного установившегося движения для призматического русла, полученного с применением теоремы Лагранжа о среднем (2.4). Запишем уравнение для рассматриваемого случая:

-£])\ <4,,

И я соЪ)1 I к ))к

где: 5 - длина, на которой рассматривается движущаяся частица; /г/ - глубина в начальном сечении отстойника, равная Нт - входная глубина; И2 - глубина, в рассматриваемом сечении отстойника; 0 - расход через одну камеру отстойника; В - ширина камеры отстойника; со - площадь камеры отстойника; ^-расходная характеристика; г - уклон дна камеры отстойника.

ссО2 В

Для спокойного течения в отстойнике /<>=—--г-«1, и,

% ю

»1 можно принять равным РДИНИЦе

Для получения скорости на расчетной длине необходимо выразить расход, в формуле (4.4) как произведение скорости на площадь в конечном сечении. Отсчет глубины положения частицы будем вести от линии свободной поверхности И (И определяется вычитанием отметки свободной поверхности и отметки начального положения частицы), которая практически горизонтальна. Из начальных условий: при 5^=0, высота равна Ъ, следовательно, окончательно получим, выражая 5:

следовательно, комплекс

1-

айг В £ ©3

5 =

V/ + /' • V

(4.5)

где : и = С(НМ + г ■ 5)2 • Я{Н1п

21 —

е2

К(Н1ПУ

Для каждого начального положения частицы, используя формулу (4.5), можно определить длину камеры отстойника. Для определения траектории движения частицы меняется И и тем самым определяется соответствующая длина выпадения частицы. Используя (4.5), можно получить решение, позволяющее найти траектории движения частиц.

Проведено сравнение численного моделирования и физического эксперимента для модели отстойника, выполненного в Центре

16

гидравлических исследований ОАО «НИИЭС» РАО «ЕЭС России». На рис. 4.1 показаны скорости в контрольных сечениях. Для того чтобы сечения лотка совпадали с сечениями на натурном отстойнике, размеры натурного отстойника приведены к размерам модели, как по вертикали, так и по горизонтали. Как видно из рис.4.1 сопоставление численного решения и физического эксперимента, проведенного дает удовлетворительное совпадение. Заметны отклонения только в рециркуляционной зоне вначале отстойника, что объясняется особенностями проведения физического эксперимента. Отклонение в других зонах не превышает 5-10%. Сравнение численного решения для осредненных траекторий выпадения частиц по формуле (4.1) показало удовлетворительное совпадение с полученным аналитическим решением (4.5). Среднее отклонение для частиц с гидравлической крупностью 0,04-0,03 м/с составило не больше 12%. Единичные отклонения не превышают 22%. Проведено сравнение полученной аналитической зависимости для длины выпадения взвешенных частиц (4.5) с известной формулой (4.2) показало, что при незначительных расстояниях результаты отличаются несильно (в пределах 7-10%). С увеличением расстояния отличия увеличивается и для данного отстойника для частиц с гидравлической крупностью 0,01м/с составляет 50% и более. Это говорит о необходимости учета неравномерности течения водного потока в камере отстойника с уклоном. При уклоне равном 0 полученная формула (4.5) переходит в (4.2). Использование полученной аналитической зависимости (4.5) для уточнения медианы (моды) выпадения частиц для методов определения вероятности осаждения частиц в камере отстойника было бы логичным продолжением работы, что выходит за рамки данного исследования.

Пятая глава посвящена численному методу, с помощью которого были решены приведенные в этой диссертационной работе задачи. В начале дана краткая история вопроса и основных направлений численного моделирования турбулентных течений. Указаны традиционные методы замыкания уравнений Рейнольдса с помощью моделей турбулентности -полуэмпирических моделей принадлежащих Буссинеску, Прандтлю и Тейлору, моделей кинетической энергии турбулентности (так называемые модели с одним уравнением 'к- модели' и с двумя уравнениями 'к-е модели')

принадлежащих академику А.Н. Колмогорову, академику И.Е. Тамму и моделей Рейнольдсовых напряжений (модели Никифорова).

Сечение 1 (1.6/16 м от нач.коордннэт)

-о.з -0,1

Сечение 6 (3,63/36,3 м от нач.координат)

0,91

0,87

0,83

x 0,79

x 0,75

у

1 0.71

р 0,67

1 0,63

0,59

б

0,55

0,51

0,47

0,43

| _1

I 1 ♦I

и + - - ■

и ----

?

/ 1 I

*1 1

1

—, - 1

0,2

0,4 0,6 0,8 Скорость, и/с

♦ Физический эксперимент для модели отстойнике

—■— Численный эксперимент для натурных размеров отстойника ,_

Рис. 4.1 Результаты физического моделирования в лотке и численного моделирования в отстойнике с натурными размерами в различных сечениях.

Показывается, что в настоящее время начинают активно применяться методы прямого численного моделирования турбулентности, разрабатываемые О.М. Белоцерковским, Дж.В. Дирдрофом, С.А. Орсегом, Ж. Смагоринским, Д.Р. Чепменом и другими авторами. Основой возникновения метода моделирования турбулентных течений, альтернативного Рейнольдсовому, послужил пересмотр концепций изучения явления турбулентности. Если в первые годы изучения эти явления трактовались как полностью стохастические процессы (определяемые случайными распределениями пульсационных величин), то в последние 20 лет, как отмечает О.М.Белоцерковский, произошел принципиальный переворот в понимании указайных явлений. Большое число современных работ указывает на то, что турбулентность содержит, как основное, организованное движение

18

когерентных структур. В настоящее время методы прямого численного моделирования (DNS - direct numerical simulation) и методы моделирования динамики больших вихрей (LES - large eddy simulation) все чаще используются для решения прикладных задач. Показаны параметры осреднения для LES-методов и их разновидности.

Метод основан на расщеплении процесса, как по физическим процессам, так и по направлениям. Основой метода являются нестационарные (эволюционные) двумерные (по пространству) безразмерные уравнения Навье-Стокса для несжимаемой вязкой жидкости (два уравнения динамики и уравнение неразрывности) в естественных переменных в консервативной форме:

<ди ЗУ п

-+ — = 0

дх ду

C.8U ÔU1 d(UV) _ ÔP 1 д.dU. 1 Ô ,dU, 1 _

iSh-+-+ + Eu— =--(—) +--(-) + —Fx (5.1)

Ôt дх ду dx Reдх dx Rеду dy Fr

dV d(VU) дУ1 _ дР id .дУ, 1 д ,dV. 1 _

Sh— + ——- +-+ Eu — =--(—) +--(—) + —Fy,

dt дх ду ду Re дх дх Rеду ду Fr

где: Sh=L/(VT) - число Струхаля. Еи=2Р/(рУ2) - число Эйлера. Re=VL/v-число Рейнольдса, Fr= V2/FL - число Фруда, Р - безразмерное динамическое давление, Fx, Fy - безразмерные составляющие внешней силы, U, V -безразмерные составляющие скорости по оси х и у, соответственно.

Для решения системы уравнений (5.1) используется метод расщепления на разнесенной сетке. Общую концепцию методов расщепления и методов дробных шагов разработали академики Н.Н.Яненко, Марчук Г.И. и др. Метод расщепления для решения уравнений движения несжимаемой вязкой жидкости в естественных переменных (скорость-давление) впервые был разработан профессором Харлоу в Лос-Аламосе в 1967г.

Для численного решения системы уравнений применяется явный метод переменных направлений (ADE - alternating directions, explicit), который позволяет дробить шаг по времени. Тогда, в соответствии с классической формой расщепления для решения дискретной записи уравнений (5.1), получим следующий алгоритм решения:

Шаг 1, ——— = -(F"V)F"+vV2F";IIIar2. V2P =

Ai/2

D

' ПРИ Условии>

г V-V ~ у - V ~ ~ т-

ЧТО Z) = 0; Шаг3. -= -7/>;Шаг4. -= -(W)V + vV2V-, Шаг5.

At/2 At/2

(5.2)

D V"*1 - V V ?=--. шшусловии.что D"*' = 0j Шаг 6.-= -Vf,

где: V - безразмерная скорость; P - безразмерное давление; At - шаг

безразмерного времени; D - дилатация (источник или сток) в ячейке; V -оператор набла; п, п+1 - полные слои по времени; Волнистые индексы -промежуточные слои по времени. Расчет одного шага по времени выполняется за два больших шага - первый по оси X (Шаг 1-3), второй по оси Y (Шаг 4-6). Условие сходимости всей численной схемы можно '■ разделить на два - внутренняя сходимость для уравнения Пуассона для давления и сходимость по временному шагу. Сходимость для эллиптического уравнения Пуассона записывается в виде max||Pn+1u|-|Pn"l,J1|<E, где е - малый параметр (в практических расчетах е=М0'5). Необходимым и достаточным условием сходимости по всему временному шагу является следующие соотношения: max || [/"+| | -1U" ||< 0,11U" | ; max | £>я+1,,у |< е ,где: s принимается

экспериментально и равен M О"5 ; D - конечно-разностный аналог уравнения сохранения массы (5.2). Для решения задачи кроме дискретизации уравнений во всей расчетной области необходимо задать начальные и граничные условия (задача Коши). В связи с тем, что метод должен обладать достаточной гибкостью, необходимо рассмотреть весь набор возможных граничных условий. В методе присутствуют граничные условия для входной и выходной границы, граничное условие симметрии и граничное условие на твердой стенке.

Численный метод применяется для проведения моделирования динамики больших вихрей (LES) без привлечения моделей турбулентности за счет рационального осреднения и отсечения мелкомасштабной изотропной турбулентности путем фильтрации. Для расчета конвективных членов в (5.2) используется современный подход TVD, неизменяющий полной вариации решения, в котором реконструкция решения выполнена с помощью

полинома третьего порядка (схема QUICK Леонарда). Мелкомасштабную составляющую турбулентного течения, в соответствии с рекомендациями О.М. Белоцерковского, можно учитывать лишь для крупных образований. Таким образом, при верном подборе разрешения фильтра, который будет при условии Re —> °о отсекать все моды для волновых чисел, больших к/кк=Ю'''!, (где к - волновое число, кк - волновое число, соответствующее масштабу А.Н.Колмогорова) будет выполняться верный расчет по сглаженным полным уравнениям Навье-Стокса. При Re<Re , фильтр не будет учитываться

ввиду его малости. Из классической теории А.Н.Колмогорова получены размеры конечных объемов для необходимого выполнения фильтрации при условии фильтрации волновых чисел, входящий в изотропную часть спектра.

Для получения средних характеристик необходимо провести статистическое осреднение, скажем, аналогичное введенному О. Рейнольдсом, т.е. в результате проведения численного моделирование конкретной задачи получаются актуальные значения скоростей и давления (с точки зрения осреднения по О.Рейнольдсу - сумма осредненных и пульсационных составляющих), которые уже после обрабатываются статистически (как в обычном физическом эксперименте).

Данным методом было проведено решение некоторых тестовых задач -течения в "каверне" (аналог течения Куэтта), ламинарно-турбулентный переход из течения Пуазейля в плоской трубе, течение в плоском диффузоре. По результатам опубликованы печатные работы (в списке [2,3]). Общие выводы по работе:

1. Получена аналитическая зависимость для уравнения установившегося неравномерного движения при применении следствия из теоремы Лагранжа о среднем и интегрирования по частям, для непризматического русла, аппроксимированного квадратичной параболой. Данная зависимость может быть применена для определения глубин или длин в непризматических руслах. Для призматических русел выполнено сравнение с методом Бахметева, при этом среднее отклонение составило 23%, что говорит о возможности применения следствия из теоремы Лагранжа об осреднении для интегрирования дифференциального уравнения установившегося неравномерного движения. Для непризматических русел проведено сравнение аналитически полученного выражения для

параболических русел с результатами численного интегрирования исходно дифференциального уравнения неравномерного движения. Максимальное единичное отклонение составило 15%, среднее - 4%.

2. Выполненное численное моделирование отрывного течения около стенки - набережной показало, что в области отрыва скорость может увеличиваться" на 20-25% на периферии вихря и приводить к процессу интенсификации локального размыва. Данный факт особенно важен при учете ра:Мыва в паводок, когда средние скорости потока превышают среднегодовые в несколько раз.

3. Получена регрессия для выражения профиля скорости в области возвратных течений стенки на основе численного моделирования. Среднее отклонение от исходных данных по методу наименьших квадратов составило 6,8%. Полученное выражение может быть использовано для быстрого прогнозирования ситуации в случае проверочных или прикидочных расчетов.

4. Найдено аналитическое решение для локальной неразмывающей скорости. Сравнение с известными полуэмпирическими формулами показало применимость полученного выражения для нахождения местной неразмывающей скорости. Среднее отклонение от эмпирических формул составило 8-12%. Найденные глубины ям размыва для натурных размывов с использованием полученной формулы показали неплохие результаты по сравнению с кадастром. Единичное отклонение составило 50%, среднее -19%.

5. Найдены профили течения по всей длине камеры на основе численного моделирования течения воды в отстойнике. Результаты для модели отстойника сопоставлены с физическим моделированием, проведенным раннее сотрудниками ОАО «Научно-исследовательского института энергетических сооружений» ОАО РАО «ЕЭС России». Обнаружено хорошее совпадение результатов - среднее отклонение составило 5-6%.;

6. Найденная аналитическая зависимость дл? траектории движения взвещенных частиц - наносов была использована для проверки длины рабочей камеры отстойника и сопоставлялась с численным моделированием и известной формулой (4.11) о длине выпадения взвешенной частицы.

Зафиксировано удовлетворительное совпадение с численным экспериментом - среднее отклонение для частиц с гидравлической крупностью 0,04-0,03м/с составило не больше 10%. Сравнение полученной аналитической зависимости для длины выпадения взвешенных частиц с известной формулой (4.10) показало, что при незначительных расстояниях результаты отличаются несильно (в пределах 7-10%). С увеличением расстояния отличия увеличивается и для частиц с гидравлической крупностью 0,01м/с составляет 50% и более. Это говорит о необходимости учета неравномерности течения водного потока в камере отстойника с уклоном. При уклоне равном 0 полученная формула переходит в (4.10).

7. Разработан метод прямого численного моделирования турбулентных течений для проведения численного моделирования течений жидкости на основе метода расщепления по физическим процессам. Это относительно новое направление для моделирования задач прикладной направленности.

8. Принятая численная схема позволяет использовать концепцию академика О.М. Белоцерковского о рациональном осреднении. Сохранение монотонности разностной схемы позволяет получить более точные решения. Применяется схема типа ТУБ для конвективных членов, увеличивающая устойчивость и точность численной схемы.

9. Численный метод показал достаточную точность и может быть использован для решения различных задач внешней и внутренней гидродинамики в больших диапазонах чисел Рейнольдса.

Список опубликованных работ по теме диссертации:

1. Евстигнеев Н.М. Конечно-объемный метод расчета турбулентных течений несжимаемой жидкости для инженерных приложений.// М.: "Спутник +", Журнал "Техника и технология" №1,2005г.

2. Евстигнеев Н.М. Решение задачи о течении несжимаемой жидкости в каверне с движущейся крышкой конечно-объемным методом интегрирования уравнений Навье-Стокса// М.: "Спутник +", Журнал "Естественные и технические науки" №1, 2005г.

3. Евстигнеев Н.М. Численное моделирование течения Пуазейля в плоской трубе, ламинарно-турбулентный переход, развитое турбулентное течение.// М.: "Спутник +", Журнал "Естественные и технические науки" № 1,2005г.

4 Евстигнеев Н.М. Моделирование течения двухфазной среды в отстойнике ГЭС.// М.: "Спутник +'*, Журнал " Техника и технология " №2, 2005г.

5. Евстигнеев Н.М. Моделирование косого натекания потока на берегозащитную стенку.// М.: "Спутник +", Журнал " Техника и технология " №2,2005г.

6. Евстигнеев Н.М. Построение расчетной аналитической зависимости глубины местного размыва основания подпорных береговых стен-набережных.// М.: "Спутник +", Журнал " Естественные и технические науки " №2,2005г.

7 Войнич-Сяноженцкий Т.Г., Колесникова Т.В. Евстигнеев Н.М. -Интегрирование дифференциального уравнения установившегося неравномерного движения водного потока // М.: "Спутник +", Журнал " Естественные и технические науки " №3,2005г.

КОПИ-ЦЕНТР св. 7:07: 10429 Тираж 100 экз. Тел. 185-79-54 г. Москва, ул. Енисейская д. 36

20 6 02

РНБ Русский фонд

2006^4 22516

Введение.

Глава 1. Постановка задач исследования и методов решения.

1.1. Краткий обзор задач.

1.2. Методы решения задач.

Выводы по главе 1. Постановка задач исследования.

Глава 2. Аналитическое интегрирование уравнения неравномерного установившегося течения водного потока в непризматических руслах.

2.1. Основное дифференциальное уравнение неравномерного установившегося течения потока в открытых руслах и его качественные особенности.

2.2. Интегрирование дифференциального уравнения установившегося неравномерного движения с использованием следствия из теоремы Лагранжа о среднем и интегрирования по частям.

2.3. Анализ полученного решения и практические рекомендации.

2.4. Решение уравнения установившегося неравномерного движения для условий призматического русла и сопоставление с решением по методу проф. Б.А.Бахметева.

2.5. Решение уравнения установившегося неравномерного движения для условий непризматического параболического русла и

V сопоставление с численным решением.

S 2.5.1. Численное интегрирование дифференциального уравнения неравномерного плавноизменяющегося течения воды в непризматическом параболическом русле.

2.5.2. Сравнение численного и аналитического расчета для непризматического параболического русла.

Выводы по главе 2.

Глава 3. Численное моделирование косого обтекания стенки-набережной речным потоком и определение возможности локального размыва основания.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Прямое численное моделирование течения при отрывном обтекании речным потоком береговых набережных. х 3.3. Установление эмпирических зависимостей на основе обработки результатов численного эксперимента.

3.4. Построение расчетной аналитической зависимости для местной неразмывающей скорости.

Выводы по главе 3.

Глава 4. Численное моделирование и аналитическое решение движения частиц наносов в отстойнике.

4.1. Расчетная модель и гидравлические параметры отстойника.

4.2. Прямое численное моделирование турбулентного течения в отстойнике. Модификация алгоритма с введением весомых частиц-маркеров и моделирование движения наносов.

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Модификация алгоритма с введением весомых частиц-маркеров.

4.2.3. Аналитическое интегрирование уравнений движения

• наносов.

4.2.4. Численное моделирование течения и моделирование движения наносов. 4.3. Краткие данные о физическом эксперименте. Сопоставление результатов физического и численного моделирования течения жидкости в модели отстойника.

4.3.1. Краткие данные о физическом эксперименте.

4.3.2. Сопоставление результатов физического и численного моделирования течения жидкости в лотке и отстойнике.

4.4. Определение длины отстойника аналитическими методами.

Г Сопоставление результатов расчетов и численного эксперимента.

4.4.1. Определение длины камеры отстойника по формуле L=h(U/w).

4.4.2. Сопоставление результатов расчетов и численного эксперимента.

Выводы по главе 4.

Глава 5. Конечно-объемный метод расчета течений несжимаемой жидкости для инженерных приложений.

5.1. Методы прямого численного моделирования турбулентных течений.

5.1.1. Обзор предпосылок прямого численного моделирования турбулентных течений и возможность постановки задачи.

5.1.2. Обзор концепций реализации прямого численного моделирования турбулентных течений.

5.2 Разработка метода прямого численного моделирования турбулентных течений на основе метода расщепления.

5.2.1 Исходные уравнения, численная реализация, алгоритм и условия сходимости.

5.2.2 Необходимые условия устойчивости метода.

5.2.3 Применение алгоритма TVD (минимизации полной вариации) аппроксимации конвективных членов.

5.2.4 Постановка граничных условий для численного метода

5.2.5 Процедура расчета.

5.3. Численный метод в свете прямого численного моделирования турбулентных течений.

5.3.1 Процедура расчета при прямом численном моделировании турбулентных течений.

Выводы по главе 5.

Актуальность темы исследований. Настоящая работа посвящена решению ряда практических задач гидравлики. Сами задачи были сформулированы на основе актуальных потребностей решения практических вопросов проектирования гидротехнических сооружений. Так рассмотрена задача косого обтекания стенки-устоя и возможность возникновения ямы размыва в области обратного отрывного течения. Данная задача затрагивается ввиду того, что на многих сооружениях подобного типа в настоящее время ведется капитальный ремонт [10, 89, 102]. Повреждения сооружений, в основном, вызваны локальными размывами в областях возвратных течений при паводках.

Рассмотрено течение и движение взвешенных наносов в отстойнике ГЭС, натурного объекта - отстойника Советской ГЭС, для которого проектным институтом ведутся изыскания. Для решения возникающих проблем при проектировании объектов с изменяющимся уровнем свободной поверхности был рассмотрен метод интегрирования уравнений неравномерного движения для непризматического русла. Данная задача решалась многими авторами, но попытка ее аналитического разрешения даст наглядное и надежное решение, которое будет просто использовать в инженерных целях.

Решение задач выполнялось аналитически и численным методом, специально разработанным для этих целей. Выбор сочетания методов не случаен. В связи с ростом возможностей ЭВМ и значительным прогрессом в области информационных технологий, методы прикладной математики, реализуемые на быстродействующих машинах, все глубже проникают в различные области прикладных наук. Использование численных методик позволяет сократить стоимость расчетов, повысить скорость и выявить ряд аспектов, которые могут быть не выявлены при физическом моделировании. В механике деформируемого твердого тела применение численных методов давно заняло прочные позиции и является необходимым атрибутом при проектировании ответственных сооружений [19,44]. В механике жидкости и газа подобный прогресс не столь очевиден, несмотря на важность использования численных методов для прикладных задач. Наиболее значительные трудности вызывает моделирование турбулентных течений жидкости, которые в инженерной практике встречаются в подавляющем большинстве случаев. С другой стороны, основой науки, как фундаментальной, так и прикладной, являются аналитические методы. Положительной стороной аналитических методов является наглядность получаемых решений, прогнозируемость результатов, возможность точного и детального анализа. Такими положительными сторонами может обладать только аналитический подход к решению задачи. Однако надо признать, что возможность аналитического решения не всегда возможна. Такая ситуация возможна либо при чрезвычайно сложной задаче, либо при недостаточной ее изученности. Гидравлика, как одна из важнейших прикладных наук, является ярким примером, в которой строгие аналитические зависимости не всегда можно получить.

Следовательно, разумное комбинирование аналитического и численного решения рассматриваемых задач гидравлики позволит улучшить точность и обозримость получаемых результатов.

Цель работы заключается в решении задач инженерной гидравлики сочетанием аналитических методов и численного эксперимента - метода динамики больших вихрей.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, 5-и глав, заключения, списка литературы из 146 наименований. Полный объем диссертации 152 страниц, в том числе: текста 130 стр., рисунков - 27 , таблиц - 7 .

Общие выводы по работе.

1. Получена аналитическая зависимость для уравнения установившегося неравномерного движения при применении следствия из теоремы Лагранжа о среднем и интегрирования по частям, для непризматического русла, аппроксимированного квадратичной параболой. Данная зависимость может быть применена для определения глубин или длин в непризматических руслах. Для призматических русел выполнено сравнение с методом Бахметева, при этом среднее отклонение составило 23%, что говорит о возможности применения следствия из теоремы Лагранжа об осреднении для интегрирования дифференциального уравнения установившегося неравномерного движения. Для непризматических русел проведено сравнение аналитически полученного выражения для параболических русел с результатами численного интегрирования исходно дифференциального уравнения неравномерного движения. Максимальное единичное отклонение составило 15%, среднее - 4%.

2. Выполненное численное моделирование отрывного течения около стенки - набережной показало, что в области отрыва скорость может увеличиваться на 20-25% на периферии вихря и приводить процессу интенсификации локального размыва. Данный факт особенно важен при учете размыва в паводок, когда средние скорости потока превышают среднегодовые в несколько раз.

3. Получена регрессия для выражения профиля скорости в области возвратных течений стенки на основе численного моделирования. Среднее отклонение от исходных данных по методу наименьших квадратов составило 6,8%. Полученное выражение может быть использовано для быстрого прогнозирования ситуации в случае проверочных или прикидочных расчетов.

4. Найдено аналитическое решение для локальной неразмывающей скорости. Сравнение с известными полуэмпирическими формулами показало применимость полученного выражения для нахождения местной неразмывающей скорости. Среднее отклонение от эмпирических формул составило 8-12%. Найденные глубины ям размыва для натурных размывов с использованием полученной формулы показали неплохие результаты по сравнению с кадастром. Единичное отклонение составило 50%, среднее -19%.

5. Найдены профили течения по всей длине камеры на основе численного моделирования течения воды в отстойнике. Результаты для модели отстойника сопоставлены с физическим моделированием, проведенным раннее сотрудниками ОАО «Научно-исследовательского института энергетических сооружений» ОАО РАО «ЕЭС России». Обнаружено хорошее совпадение результатов - среднее отклонение составило 5-6%.

6. Найденная аналитическая зависимость для траектории движения взвешенных частиц - наносов была использована для проверки длины рабочей камеры отстойника и сопоставлялась с численным моделированием и известной формулой (4.11) о длине выпадения взвешенной частицы. Зафиксировано удовлетворительное совпадение с численным экспериментом - среднее отклонение для частиц с гидравлической крупностью 0,04-0,03м/с составило не больше 10%. Сравнение полученной аналитической зависимости для длины выпадения взвешенных частиц с известной формулой (4.10) показало, что при незначительных расстояниях результаты отличаются несильно (в пределах 7-10%). С увеличением расстояния отличия увеличивается и для частиц с гидравлической крупностью 0,01м/с составляет 50% и более. Это говорит о необходимости учета неравномерности течения водного потока в камере отстойника с уклоном. При уклоне равном 0 полученная формула переходит в (4.10).

7. Разработан метод прямого численного моделирования турбулентных течений для проведения численного моделирования течений жидкости на основе метода расщепления по физическим процессам. Это относительно новое направление для моделирования задач прикладной направленности.

8. Принятая численная схема позволяет использовать концепцию академика О.М. Белоцерковского о рациональном осреднении. Сохранение монотонности разностной схемы позволяет получить более точные решения. Применяется схема типа TVD для конвективных членов.

9. Численный метод показал достаточную точность и может быть использован для решения различных задач внешней и внутренней гидродинамики в больших диапазонах чисел Рейнольдса.

1)и <И»1 Av wiH ihil! «II be the liw'

142

1. Абрамович Г.Н. Прикладная гидрогазодинамика. // "Механика Жидкости и Газа (Итоги науки и техники)". М.: 1979г.

2. Акатнов Н.И., Повх И.Л., Сизьмина Е.П., Степанянц Л.Г. Гидроаэродинамика. Руководство к лабораторным работам по общему курсу гидроаэродинамики. Л.: Издательство ЛПТИ им. М.И.Калинина, 1976г.

3. Барановский Б.В., Зарякин А.Е. Турбулентные течения и некоторые пути их расчета. М.: Издательство "ALVA-XXI", 1991г.

4. Баренблатт Г.И. О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке. // ПММ. Т. 17, В.З, 1953г.

5. Беллман Р., Энджел Э. Динамическое программирование и уравнения в частных производных. М.: Мир, 1974г.

6. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Физматлит, 1994г.

7. Белоцерковский О.М., Белоцерковский С.О., Гущин В.А. Прямое численное моделирование свободной развитой турбулентности. // ЖВМиМФ, 1985, т25, №12. с. 1856-1882.

8. Белоцерковский О.М., Опарин A.M., Чечеткин В.М. Турбулентность. Новые подходы. М.: Наука, 2003г.

9. Березинский Н.Н., Джунковский Н.Н. Водные Пути. М.: Госстройиздат, 1948г.

10. Богомолов А.И, Алтунин B.C., Прудовский A.M. и др. Местный размыв у преград. // Гидротехническое строительство, №7, 1975г.

11. Богомолов А.И., Михайлов К.А. Гидравлика. М.: Стройиздат, 1972г.

12. Быков А.А., Дедков В.Н., Быков Ю.А. Численное исследование пространственного вихревого течения в отсасывающей трубе гидротурбины средней быстроходности. // Проблемы машиностроения, Т.6, №2, 2003г.13