автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование процесса истечения жидкости из цилиндрических сосудов через малые отверстия

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ИСТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ ИЗ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ СОСУДОВ ЧЕРЕЗ МАЛЫЕ ОТВЕРСТИЯ

Специальность 05.13.18- Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 5 ОКТ 2012

Москва - 2012

005053938

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «МАТИ - Российском государственном технологическом университете имени К.Э. Циолковского» (МАТИ).

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Зотов Владимир Александрович

Офишильные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Макаров-Землянский Николаи Викулович

доктор технических наук, профессор Шолом Анатолий Михайлович

Ведущая организация: ФГУП «Федеральный центр двойных

технологии «Союз»

М 2012, в Л ч.оо

Защита состоится «т-» ^о^ 2012 г. в <1л > ч. мин ш заседании диссертационного совета Д212.110.08 при «МАТИ - Российского государственном технологическом университете им. К.Э. Циолковского) (МАТИ) по адресу: 121552, Москва, ул. Оршанская, д. 3, ауд. 612а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке «МАТИ Российского государственного технологического университета имеш К.Э. Циолковского» (МАТИ).

Автореферат разослан <

«£/» Ш&ф2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук М.В. Спыну

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Вода и другие жидкости составляют основу жизнедеятельности человечества и являются неотъемлемой частью большинства современных машин, механизмов, технологий.

Примерами инженерной практики служит задачи двигателестроения, пищевой, медицинской, нефтяной, мелиоративной, градостроительной и других отраслей промышленности и сельского хозяйства.

Центральным элементом большинства технических устройств являются гидравлические системы подачи топлива, масел и иных жидкостей.

Однако сложность экспериментального измерения гидродинамических характеристик этих систем приводит к необходимости построения априорных численных и аналитических оценок различных стадий протекания технологических процессов.

Именно этим вызван повышенный интерес и актуальность комплексного анализа гидродинамических состояний резервуаров с разноуровневыми и разновеликими отверстиями.

Цель и задачи исследования. Целью настоящей диссертации является исследование методом математического моделирования влияния взаимного >асположения и размеров малых отверстий цилиндра на характер процесса [стечения жидкости из него.

Поставленная задача находит свое разрешение в нахождении решений адач истечения жидкости из цилиндра в зависимости от следующих параметров:

• единственного малого отверстия на дне тонкостенного цилиндра;

• системы малых отверстий на дне тонкостенного цилиндра;

• совокупности малых разновеликих и разноуровневых отверстий на дне и боковой поверхности цилиндра.

Научная новизна работы состоит в том, что на основе единой математической модели найдены новые классы точных аналитических решений различных задач истечения жидкости.

Исследовано влияние геометрических параметров малых данных отверстий на основные гидродинамические характеристики процесса истечения. Установлена степень взаимного влияния на процесс истечения жидкости малых донных и боковых разновеликих и разноуровневых отверстий цилиндрического резервуара.

На основании полученных результатов автор выносит на защиту следующие основные положения:

• обобщенную математическую модель процесса истечения жидкости из цилиндрического резервуара через систему разновеликих и разноуровневых отверстий;

• алгоритм вычисления уровня жидкости, скорости истечения и массопереноса жидкости при ее истечении из цилиндра через отверстия;

• результаты анализа гидродинамических характеристик процесса истечения жидкости из цилиндрического резервуара с заданным распределением параметров отверстий.

Практическая ценность работы. Исследованная в диссертации математическая модель процесса истечения жидкости из цилиндрического резервуара через систему разновеликих и разноуровневых отверстий и полученные при этом результаты могут быть использованы при решении широкого круга прикладных и фундаментальных проблем, а также в учебном процессе высших и средних специальных учебных заведений.

Указанные результаты служат основой для получения эффективной априорной информации, о распределении гидродинамических характеристик исследуемого процесса истечения жидкости.

Последнее позволяет, зная законы движения уровня жидкости, скорости истечения массопереноса выбирать технологические режимы, повышающие надежность, безопасность, долговечность и экономическую эффективность машин и механизмов.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Всероссийских и международных научно-технических конференциях, «Юность. Наука, Культура» (г. Обнинск, 2009-2011 г.г.), «Гагаринские чтения» (г. Москва, 2009-2011 г.г.), «Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий» (г. Сочи, 2010 г.), «Симпозиум по прикладной и промышленной математике» (г. Сочи, 2011 г.), «Инженерные системы» (г. Москва, 2009 г., 2010 г.), «Современные методы и проблемы теории операторов, гармонического анализа и их приложения» (г. Ростов-на-Дону, 2012 г.), «Математические методы в технике и технологиях» (г. Саратов, 2012 г.).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, в том числе 2 статьи в рецензируемых журналах.

Объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, списка цитируемой литературы, приложения. Общий объем диссертации составляет 134 страницы машинописного текста (основное содержание 103 страниц), 22 рисунка, 12 таблиц. Список литературы включает 138 наименований российских и зарубежных ученых.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность данной проблемы, сформулированы цель и задачи работы, перечислены основные новые результаты и кратко изложено содержание каждой главы диссертации.

В первой главе приведена общая постановка задачи истечения жидкости из цилиндрического резервуара через систему малых отверстий, расположенных на дне и боковой поверхности.

Подробно описаны физические закономерности процесса истечения жидкости. Указано, что с физической точки зрения, процесс истечения - это превращение потенциальной энергии жидкости в кинетическую энергию струи. Следствием этого превращения является закон Торричелли, устанавливающий зависимость скорости истечения жидкости V от высоты уровня жидкости над отверстием

V = gh (1)

где ц - коэффициент расхода жидкости (0< /i <1), зависящий от числа Рейнольдса и вычисляемый экспериментально.

Построена обобщенная математическая модель процесса истечения жидкости из вертикально расположенного тонкостенного цилиндрического резервуара высоты Н0 и радиуса основания R через систему разновеликих и разноуровневых отверстий, расположенных на дне и боковой поверхности цилиндра.

Например, процесс истечения жидкости из цилиндра с двумя малыми отверстиями - площади сг0 на дне и площади <тх сбоку на высоте Н, состоит из двух этапов.

На первом этапе, когда уровень жидкости h(t) изменяется в пределах

Я, < h(t) < Но , (2)

для его определения необходимо решить задачу Коши

яР-^^-М^Щго л/А+<Т1Л/А-Я,] ; (3)

А(0) = Я„ ; 0 < / < /[ .

На втором этапе, когда

0<А(г)<Я, , (4)

соответствующая задача Коши имеет вид

= ; (5)

А(0) = Я, ; 0<1 <12

Длительность первого (Гг) и второго (72) этапов истечения жидкости определяются условиями

А(Л) = Я, (6)

А(/2) = О . (7) Полное время истечения жидкости из такого цилиндра равно

Скорость истечения жидкости из бокового отверстия выражается формулой

т = г(А(/)-Я,) ; 0</</, , (9) а для отверстия на дне

КО) = РрвКО ; о < / < /3 . (10)

Объем жидкости, вытекающей из бокового отверстия, равен

a(0 = oifa(0<fr ; 0 <t<u , (и)

о

а из отверстия на дне

(12)

0)(О = оо/Ко(ОЛ ; 0 < г < i3 .

о

Особенностью решения задач (2) - (12) является дискретность интервалов времени tx, соответствующая моментам прохождения уровнем жидкости бокового отверстия.

Увеличение количества отверстий на дне и сбоку цилиндра не вносит принципиальных изменений в постановку задач (2) - (7), а сводится, по

существу, к увеличению числа этапов истечения ft), пропорциональных

количеству боковых отверстий.

В общем случае подобные системы уравнений не интегрируемы в квадратурах и решаются численными методами.

Однако для отдельных конфигураций отверстий возможно нахождение точных аналитических решений и комбинированных численно-аналитических решений, позволяющих делать качественные выводы о характере истечения жидкости из цилиндрического резервуара с отверстиями.

Для удобства анализа систем уравнений типа (2) - (7) в диссертации наряду с размерными переменными используются и безразмерные (относительные) величины

где время истечения, начальная скорость и объем всей жидкости соответственно равны

1

лЯ7

Т»=-V. =

У, = лЮН,

2 #„

(14)

Вторая глава посвящена исследованию процесса истечения жидкости из цилиндрического резервуара через единственное малое отверстие площади <20 на дне, что эквивалентно условиям

(15)

О < лг с 1 ; р = О

Данная задача имеет точное аналитическое решение, в безразмерных переменных имеющее вид

*(г) = (1-г)' ; (16)

и(г) = 1-г ; <7(г) = 2г-г:

На рис. 1 изображено изменение относительных величин уровня жидкости х(т), скорости истечения и(т) и объема расходуемой жидкости д(т) в процессе истечения.

Очевидно, что уровень жидкости х(т) и расход жидкости д(т) носят параболический характер, а скорость истечения и(т) линейно уменьшается от максимального до нулевого значений.

При этом величины х и д линейно зависимы

* + 9 = 1 . <17>

Рис. 1. Изменение относительных гидродинамических величин

{х; и; ц) - уровня жидкости х(т), скорости истечения и(т), расхода жидкости q{т) при истечении жидкости из цилиндрического резервуара через малое отверстие постоянной площади на дне.

Истечение жидкости из цилиндра через систему малых отверстий площади {<т(} на дне эквивалентно истечению жидкости через одно отверстие площади

<7 = 10-, . 08)

/=1

При этом время Т истечения жидкости из такого цилиндра выражается через времена {Т,} истечения всего объема жидкости только через отдельные отверстия следующим образом

1 = ±1_ (19)

Т м Т,

В третьей главе найдено и проанализировано решение задачи истечения жидкости из цилиндрического резервуара через два одинаковых малых отверстия площади сг0.

Данная модель соответствует выбору параметров

О < АГ < 1 ; р = 1 . (20)

В течение первого периода (f,) уровень жидкости h(t) опускается с начальной высоты Н0 до высоты бокового отверстия Я,. В это время жидкость вытекает через оба отверстия одновременно.

Задача Коши для этого периода в безразмерных переменных выглядит

ак

dr

Ее решение представим в виде

=1-(1-лг)7Г^-Загг (22)

= -Ц1 - - (1 - . (23)

За время второго периода (/2) уровень жидкости опускается с высоты до дна, и жидкость вытекает только через нижнее отверстие. Соответствующая задача Коши

= ; = ^ ; 0 < г < г2 <24)

имеет решение

х = {Ш-т)

(25)

тг = 4к .

Полное время истечения жидкости из такого цилиндра равно 3 к*-

(26)

(27)

Основной особенностью решения задач (21), (24) является необходимость параллельного вычисления параметров тх и Т2, необходимых для определения суммарного времени истечения г3.

На рис. 2 представлено изменение безразмерных величин {Т1; г2; Г3} в зависимости от значений относительной высоты бокового отверстия к.

0,1 0,2 0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Рис. 2. Изменение времени {тх; Т2; т3} в зависимости от высоты бокового

отверстия к .

Наличие бокового отверстия на стенке цилиндра вносит качественные изменения в характер движения уровня жидкости. Он становится двухэтапным и заканчивается быстрее по сравнению со временем истечения жидкости из цилиндра без бокового отверстия.

На рис. 3 изображены два закона движения безразмерного уровня жидкости х(т) в цилиндре с боковым отверстием (а) на высоте к =0,3 и без бокового отверстия (б).

В этом случае параметры процесса истечения жидкости принимают значения

* = 0,3 ; г, =0,33 ; г2 = 0,44 ; Гз=0,77 . Ш

Рис. 3. Изменение уровня жидкости в цилиндре с отверстием на дне и ковым отверстием (а) на высоте к = 0,3 и без бокового отверстия (б).

В процессе истечения жидкости из цилиндра происходит разделение первоначального объема лВ?Н0 на две части - вытекшую через боковое отверстие (¡2Х и через отверстие на дне ()0.

При этом безразмерные относительные доли

<71

а

лКгНа

до =

лЯ2#0

принимают значения 1

<71

8а:

(4 — — 4(1 — к)1 — лг2 - 1п

90 =

4(1 + АГ2)- (4 - 2+ к2 ■ 1п и изображены на рис. 4.

2 + 2л1\-к-к

2+2-^1 -к-!

(29)

(30)

(31)

1,0 0.9 0.8 0,7 О.б 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 О

0,1

0,2 О.З 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

Рис. 4. Распределение объемов жидкости, вытекающей из цилиндра через боковое отверстие (д0 ) в зависимости от высоты бокового отверстия к.

В четвертой главе рассмотрен и численно исследован процесс цновременного истечения жидкости из цилиндрического резервуара через два алых разновеликих и разноуровневых отверстия.

Математическая модель данного явления описывается уравнениями О - (12) и соответствует набору параметров

О с лг < 1 ; р> 0 . (32)

Процесс истечения жидкости также как и в главе 3 состоит из двух апов, описываемых задачами Коши.

На первом этапе, когда жидкость опускается с высоты Н0 до высоты

^ - это задача

^ = -2 [л/Г + рл/^] ; (33)

*(0) = 1 ; 0 < т < т,

Для второго этапа, когда уровень жидкости х(т) снижается с

гсоты Н^ до дна цилиндра, справедлива задача (24) с известным решением 5), (26).

Итоговая задача (24), (33) решалась численно методом Рунге-Кутга таертого порядка точности с помощью программы С\¥Н, написанной на языке АТЬАВ.

Ранее рассмотренный вариант малых одинаковых отверстий (р = 1) в

1ве 3 является частным случаем задачи (33) и служит тестовым примером в :четах.

На рис. 5 представлены графики изменения уровня жидкости х(г) при истечении из цилиндра через два отверстия с параметрами

к = 0,3 ; р = {0,5 ; 1,0 ; 1,5} (34)

'дно отверстие на дне

Вычисляемые при этом временные характеристики ; г2; г

зависимости от разновеликости отверстий (р = {0,5 ; 1,0 ; 1,5}) пр фиксированной высоте бокового отверстия (к = 0,3) указаны в таблице 1.

Из анализа рис. 5 и табл. 1 в частности следует, что уменьшение времен истечения жидкости из цилиндра за счет наличия или отсутствия боково1 отверстия может составлять от 10% до 25%.

Процентное распределение объемов вытекшей из цилиндра жидкост через боковые и донное (д0) отверстия указано на рис. 6.

Представленные результаты моделирования являются характерными для других наборов параметров р и к.

1 -------

Рис. 5. Изменения безразмерного уровня жидкости х(г) при истечени жидкости из цилиндра через два отверстия с параметрами к = 0,3

(¿> = {0,5 ; 1,0 ; 1,5}) и одно отверстие на дне (р = к = 0).

Таблица 1

Т1 Т2 Г3

0 0,45 0,55 1,00

0,5 0,34 0,55 0,89

1,0 0,30 0,55 0,85

1,5 0,23 0,55 0,78

Значения безразмерных величин, пропорциональных первому (г,), горому (г2) и полному (г,) периодам истечения жидкости из цилиндра через

гва отверстия с параметрами /с = 0,3 и (р = {0,5 ; 1,0 ; 1,5}) и одно отверстие а дне (р = к = 0) .

Рис. 6. Распределение массовых долей жидкости, вытекшей из цилиндра :;Рез два отверстия с параметрами ^ = 0,3 и

'.Р = {а ; б ■ в} = {0,5 ; 1,0 ; 1,5}).

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Предложена обобщенная математическая модель, описывающая

процесс истечения жидкости из цилиндрического резервуара через систему малых разновеликих и разноуровневых отверстий.

2. Указан алгоритм вычисления основных гидродинамических

характеристик - уровня жидкости, скорости истечения, объема вытекающей жидкости.

3. Найдены численные и аналитические решения трех конкретных

математических моделей истечения жидкости из цилиндра.

4. Установлено, что при истечении жидкости из цилиндра через

единственное малое отверстие изменение уровня жидкости и ее объема носят параболический характер, а скорости истечения -линейный.

5. Определена зависимость полного времени истечения жидкости из

цилиндра через систему разновеликих донных отверстий.

6. Доказаны теоремы о взаимной зависимости параметров процесса

истечения жидкости из цилиндра.

7. Установлены закономерности распределения объема жидкости при

истечении из цилиндра через разновеликие и разноуровневые отверстия.

Список публикаций по теме диссертации

1. Зотов В.А., Сорокин И.В. Время истечения жидкости из цилиндра через два малых отверстия. - Естественные и технические науки, 2012, № 4(60), с. 377-379.

2. Зотов В.А., Сорокин И.В. Распределение объема жидкости при истечении из цилиндра через два малых отверстия. - Естественные и -ехнические науки, 2012, № 4(60), с. 380-382.

3. Зотов В.А., Сорокин И.В. Массоперенос жидкости при истечении из цилиндра через два разноуровневых отверстия. - Обозрение прикладной и промышленной математики, 2011, т. 18, вып. 5, с. 769-770.

4. Зотов В.А., Сорокин И.В. Оценка времени истечения жидкости из цилиндра через два разноуровневых отверстия. - Обозрение прикладной и промышленной математики, 2011, т. 18, вып. 4, с. 642.

5. Сорокин И.В., Зотов В.А. Моделирование массопереноса жидкости из цилиндра через разновеликие отверстия. - Всероссийская молодежная конференция «Новые конструкционные и функциональные материалы и

ехнологии их переработки» Научный потенциал - XXI, - М.: НИФХИ, 2012, с. 22-23.

6. Сорокин И.В., Зотов В.А. Компьютерное моделирование процесса истечения жидкости из цилиндра. - Международная научно-практическая конференция «Инженерные системы - 2009». Тезисы докладов. - М.: РУДН, 1009, с 77-78.

7. Сорокин И.В., Зотов В.А. Анализ гидродинамических параметров процессе истечения жидкости из цилиндра через два отверстия. -XVII Международная конференция «Математика. Экономика. Образование». Тезисы докладов. - Ростов-на-Дону: СКНЦ BI1I ЮФУ, 2010, с. 134-135.

8. Сорокин И.В. Вычисление уровня жидкости в цилиндре при истечении через систему малых отверстий на дне. - XXXV Гагаринские чтения. - М.: МАТИ, 2009, с. 73-74

9. Сорокин И.В. Определение скорости истечения жидкости через систему малых отверстий на дне цилиндра. - XXXV Гагаринские чтения. М.: МАТИ, 2009, с. 135-136.

Подписано в печать 12.09.2012. Объем 1,5 п. л., тираж 100 экз.

Ротапринт МАТИ, 109240, г. Москва, Берниковская наб., 14.

Обозначения.

Введение.

Глава I ПРОБЛЕМЫ И ЗАДАЧИ СТРУЙНОГО ТЕЧЕНИЯ

ЖИДКОСТИ.

§ 1. Основы теории свободного истечения жидкости.

§ 2. Физические модели прикладной гидромеханики.

§ 3. Математические модели процесса истечения жидкости из резервуара через отверстия.

§ 4. Гидродинамические характеристики процесса истечения жидкости из резервуара через отверстия

Глава II ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ЦИЛИНДРА ЧЕРЕЗ 36 ОДНОУРОВНЕВЫЕ ОТВЕРСТИЯ.

§ 5. Истечение жидкости из цилиндра через одно отверстие.

§ 6. Истечение жидкости из цилиндра через систему одинаковых одноуровневых отверстий.

§ 7. Истечение жидкости из цилиндра через систему разновеликих одноуровневых отверстий.

Глава III ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ЦИЛИНДРА ЧЕРЕЗ

ОДИНАКОВЫЕ РАЗНОУРОВНЕВЫЕ ОТВЕРСТИЯ

§ 8. Изменение уровня жидкости в цилиндре при истечении через два одинаковых разноуровневых отверстия.

§ 9. Скорость истечения жидкости из цилиндра через два одинаковых разноуровневых отверстия.

§ 10. Массоперенос жидкости при истечении из цилиндра через два одинаковых разноуровневых отверстия

Глава IV ИСТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ ИЗ ЦИЛИНДРА ЧЕРЕЗ

РАЗНОВЕЛИКИЕ РАЗНОУРОВНЕВЫЕ

ОТВЕРСТИЯ.

§11. Изменение уровня жидкости в цилиндре при истечении через два разновеликих отверстия.

§12. Вычисление первого и второго периодов истечения жидкости из цилиндра через два разновеликих отверстия

§13. Распределение объемов жидкости при истечении из цилиндра через два разновеликих отверстия.

Актуальность темы. Одной из актуальных проблем современного естествознания является комплексное исследование взаимодействия твердых и жидких сред в бытовых, промышленных и естественных условиях [10, 18, 21,53,73].

Указанные задачи наиболее значимы для устойчивого развития традиционных и новых отраслей современного производства, таких как, машиностроение, энергетика, нефтедобыча, мелиорация, здравоохранение, градостроительство и многих других [2,4, 22, 31, 45, 99].

Центральным элементом большинства машин, механизмов и технологических процессов являются гидравлические системы подачи топлива и масел, усиления мощности, увеличения ресурса [8, 14, 20, 25, 50, 71].

Именно этим вызван повышенный интерес к теоретическому изучению процессов истечения жидкости из сосудов через отверстия и насадки [19, 25, 29,47, 70].

Вопросы истечения жидкости из резервуаров через систему разновеликих разноуровневых отверстия относятся к классу нелинейных задач с вытекающими отсюда трудностями их аналитического решения. В случае сосудов и отверстий переменной формы, поиск искомого решения еще более усложняется [32-37].

Обычно задача определения гидродинамических характеристик процесса истечения жидкости из сосуда сводится к анализу отдельных отверстий без учета из взаимного влияния [1, 9, 23, 27, 46, 76, 80].

Однако для адекватности описания необходимо рассматривать сосуд с разновеликими и разноуровневыми отверстиями как нелинейную взаимосвязанную систему [53, 58, 59, 70, 91].

В современной литературе описаны различные модели истечения жидкости и методы их решения (в § 1 главы I дан обзор литературы по данному вопросу).

Обобщенная математическая модель процесса истечения жидкости, предложенная в диссертации, основана на использовании материального баланса вытекающей жидкости через всю систему отверстий. Последнее в конечном итоге приводит к установлению новых законов истечения и обобщению ранее известных результатов.

В диссертации решения рассматриваемых задач истечения жидкости представлены как в явном аналитическом виде, так и численными расчетами.

Наибольший практический интерес с точки зрения прогнозирования эволюции жидких сред в машинах и механизмах представляют найденные режимы истечения жидкости из цилиндров через систему разновеликих и разноуровневых отверстий. Предложенные аналитические решения могут быть использованы в качестве расчетных инженерных формул.

Целью настоящей диссертации является исследование методом математического моделирования влияния различных параметров сосуда на характер процесса истечения жидкости из него. Поставленная проблема находит свое разрешение в нахождении решений задач истечения жидкости из цилиндра в зависимости от следующих параметров:

• единственного малого отверстия на дне тонкостенного цилиндра;

• системы малых отверстий на дне тонкостенного цилиндра;

• совокупности малых разновеликих и разноуровневых отверстий на дне и боковой поверхности цилиндра.

Научная новизна работы состоит в том, что на основе единой математической модели

• найдены новые классы точных аналитических решений различных задач истечения жидкости;

• исследовано влияние геометрических параметров малых данных отверстий на основные гидродинамические характеристики процессы истечения;

• установлена степень взаимного влияния на процесс истечения жидкости малых данных и боковых разновеликих и разноуровневых отверстий цилиндрического сосуда.

Содержание диссертации. В первой главе приведена общая постановка задачи истечения жидкости из цилиндрического резервуара через систему малых боковых и донных отверстий.

Приведен критический обзор постановок задач истечения и методов из решения. Рассмотрены физические особенности процесса истечения жидкости. Приведены размерные и безразмерные гидродинамические характеристики.

Вторая глава посвящена анализу процесса истечения жидкости из цилиндрического сосуда через систему малых одноуровневых отверстий. Найдены и графически проиллюстрированы законы изменения уровня жидкости, скорости истечения и массопереноса для одного и более малых отверстий на дне. Получена аналитическая зависимость времени истечения жидкости из цилиндрического сосуда через систему донных отверстий от времени истечения всего объема жидкости через каждое из этих отверстий.

В третьей главе исследовано взаимное влияние двух малых одинаковых отверстий, расположенных на дне и боковой поверхности цилиндра, на характер процесса истечения. Найдены основные гидродинамические характеристики - уровень жидкости, скорость истечения и массоперенос жидкости из каждого отверстия в зависимости от их взаимного расположения. Найдены численные и аналитические значения двух периодов истечения. Доказаны теоремы об априорных оценках времени истечения.

В четвертой главе рассмотрен и исследован процесс одновременного истечения жидкости из цилиндрического резервуара через два малых разновеликих и разноуровневых отверстия. Определены и проанализированы основные периоды процесса истечения жидкости. Для каждого из периодов приведены результаты численного и аналитического решений в зависимости от величины и взаимного расположения отверстий. Вычислено распределение массовых долей жидкости, истекающей через каждое отверстие.

Практическая значимость. Исследованная в диссертации математическая модель процесса истечения жидкости из цилиндрического резервуара через систему разновеликих и разноуровневых отверстий и полученные при этом результаты могут быть использованы при решении широкого круга прикладных и фундаментальных проблем, а также в учебном процессе высших и средних специальных учебных заведений.

К таким задачам относятся оптимизация гидротехнических процессов, увеличение срока безопасной эксплуатации машин и механизмов, создание новых и модернизация существующих диагностических приборов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [40-44, 96, 97] и доложены на Всероссийских научно-технических конференциях.

• Юность. Наука. Культура (г. Обнинск, 2009-2011 г.г.);

• Гагаринские чтения (г. Москва, 2009-2011 г.г.);

• Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий (г. Сочи, 2010 г.);

Симпозиум по прикладной и промышленной математике (г. Сочи, 2011 г.) и международных научно-технических съездах, конференциях, коллоквиумах; Инженерные системы (г. Москва, 2009 г., 2010 г.); Математика, Экономика, Образование (г. Ростов-на-Дону, 2010 г.);

Современные методы и проблемы теории операторов, гармонического анализа и их приложения (г. Ростов-на-Дону, 2012 г.);

Математические методы в технике и технологиях (г. Саратов, 2012 г.).

ВЫВОДЫ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведенные в диссертации исследования гидродинамических свойств жидкости, вытекающей из цилиндрического резервуара через систему малых разновеликих и разноуровневых отверстий позволяют сделать следующие выводы:

1. Предложена обобщенная математическая модель, описывающая процесс истечения жидкости из цилиндрического резервуара через систему малых разновеликих и разноуровневых отверстий.

2. Указан алгоритм вычисления основных гидродинамических характеристик - уровня жидкости, скорости истечения, объема вытекающей жидкости.

3. Найдены численные и аналитические решения трех конкретных математических моделей истечения жидкости из цилиндра.

4. Установлено, что при истечении жидкости из цилиндра через единственное малое отверстие изменение уровня жидкости и ее объема носят параболический характер, а скорости истечения - линейный.

5. Определены зависимость полного времени истечения жидкости из цилиндра через систему разновеликих донных отверстий.

6. Доказаны теоремы о взаимной зависимости параметров процесса истечения жидкости из цилиндра.

7. Установлены закономерности распределения объема жидкости при истечении из цилиндра через разновеликие и разноуровневые отверстия.

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить благодарность доктору физико-математических наук, профессору Зотову Владимиру Александровичу, осуществлявшему научное руководство работой. Им была сформулирована тема диссертации и определена ее общая структура.

1.Абрамзон J1.C., Колпаков Л.Г. Гидравлика: Истечения жидкостей через отверстия и насадки. Гидравлические струи. Динамическое воздействие струи на преграду. Кавитация. Учебное пособие. Уфа: УНИ, 1981 г.-88 с.

2. Акатнов Н.И., Чумаков Ю.С. Теория струйных течений и ее применение в инженерных расчета. Учебное пособие. Л.: ЛПИ, 1989 84 с.

3. Александров A.A. Истечение жидкости из отверстий и насадков. Л.: ЛКИ, 1963 г. 92 с.

4. Александров В.Л. Техническая гидромеханика. М.-Л.: Гостехиздат, 1946-431 с.

5. Альтшуль А.Д., Киселев П.Г. Гидравлика и аэродинамика (Основы механики жидкости). М.: Стройиздат, 1965 г. -274 с.

6. Асатур К.Г., Маховиков Б.С. Гидромеханика. Учебное пособие. СПб, Изда-во СПбГГИ (ТУ), 2008 г. 326 с.

7. Бахметев Б.А. Гидравлика. Общий курс. Л.: Кубуч, 1932 г. 260 с.

8. Бебенина Т.П. Гидравлика. Техническая гидромеханика. Конспект лекций. Екатеринбург: Изд-во УГГУ, 2006 г. 180 с.

9. Беляев Д.Л. Истечение жидкости через отверстия и насадки. Учебное пособие. Харьков: ХАИ, 1958 г., вы. 10 15 с.

10. Беннет К.О., Айерс Дж.Е. Гидродинамика , теплообмен и массообмен. М.: Недра, 1966 г. 726 с.

11. П.Биркгофф Г. Гидродинамика. Методы. Факты. Подобие. М.: ИЛ, 1963 г.-244 с.

12. Большаков В.А., Попов В.Н. Гидравлика. Общий курс. Киев: Высшая школа, 1989 г. 215 с.

13. Борисова H.A. Истечение жидкости из резервуара под давлением сжатого воздуха. Учебное пособие. М.: МАИ, 1965 г. 6 с.

14. Брюханов О.Н., Мелик-Аракелян А.Т., Коробко В.И. Основы гидравлики и теплотехники. М.: ИЦ «Академия», 2006 г. 240 с.

15. Бэтчелор Дж.К. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973 г.758 с.

16. Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа. М.: Мир, 1986 г.180 с.

17. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967 г.-310 с.

18. Можевитинов A.JL, Симаков Г.В., Михайлов A.B. Поспелов В.Н. Введение в гидротехнику. Учебное пособие. М.: Энергоатомиздат, 1984 г. -232 с.

19. Венедиктов В.Д., Рогальский Ю.Н. Истечение из насадка капельной жидкости при больших перепадах давления. М.: ЦИАМ, 1969 г. 11 с.

20. Вильнер Я.Б., Ковалев Я.Т., Некрасов Б.Б., Беленков Ю.А., Кирилловский Ю.Л. Справочное пособие по гидравлике, гидромашинам и гидроприводам. Минск: Высшая школа, 1985 г.-382 с.

21. Войткунский Я.И., Фаддеев Ю.И., Федяевский К.К. Гидромеханика. JL: Судостроение, 1982 г. -455 с.

22. Гейер В.Г., Дулин B.C., Заря А.Н. Гидравлика и гидропривод. М.: Недра, 1991 г.-332 с.

23. Гожий С.И. Истечение жидкости через отверстия и насадки. Учебное пособие. Л.: ЛВВМИУ, 1972 г. 42 с.

24. Голеевский A.A. Вопросы механики струйного движения жидкостей и газов (абрисы и физические модели). М.-Л.: Машгиз, 1957 г. -89 с.

25. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука, 1979 г. -536 с.

26. Гущин Ю.И. Гидравлика (техническая механика жидкости). Методическое пособие. Ярославль: Изд-во ЯГГУ, 2005 г. 100 с.

27. Даденков Ю.Н. Об истечении жидкости через отверстия при переменном напоре и притоке жидкости в сосуд. Гидротехника и мелиорация, 1952 г. № 10 с. 57-61.

28. Дейч М.Е., Зарянкин А.Е. Гидрогазодинамика. Учебное пособие. М.: Энергоатомиздат, 1984 г. 384 с.

29. Дюмец Ж. Изучение законов истечения жидкостей через очень короткие каналы. М.: 1928 г. 125 с.

30. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. Учебник для студентов вузов. М.: Машиностроение, 1987 г. 438 с.

31. Железняков Г.В. Гидравлика и гидрология. М.: Транспорт, 1989 г.376 с.

32. Зотов В.А. Исследование операций в прикладной гидродинамике. В кн.: V Московская международная конференция по исследованию операций. Труды. М.: МАКС Пресс, 2007 г. с. 122-123.

33. Зотов В.А. Истечение жидкости из резервуара в классе регулируемых отверстий. Обозрение прикладной и промышленной математике, 2008 г., т. 15, в. 5, с 883-884.

34. Зотов В.А. Истечение жидкости из резервуара через регулируемое отверстие. В кн.: Актуальные задачи математического моделирования и информационных технологий. Сочи: СГУТ и КД, 2008 г., с. 133-135.

35. Зотов В.А. Нелинейная декомпозиция процесса истечения жидкости из резервуара. Обозрение прикладной и промышленной математике, 2007 г., т. 14, в. 6, с 533-534.

36. Зотов В.А. Математическая модель истечения жидкости из резервуара через систему малых отверстий. В кн.: Международная научно-практическая конференция «Инженерные системы 2009». Тезисы докладов. М.: РУДН, 2009 г., с 78.

37. Зотов В.А. Математические модели процесса истечения жидкости из цилиндрических резервуаров через отверстия. В кн.: Инженерная и рудная геофизика, 2007. М.: МГУ, 2007 г., с 179-180.98

38. Зотов В.А. Математическое моделирование процесса истечения жидкости из резервуара. В кн.: Математическое моделирование и информационные технологии в сфере обслуживания потребителей. Сочи: СГУТ и КД, 2007 г., с 45-46.

39. Зотов В.А., Сорокин И.В., Блатиков К.А., Матвеев В.Ю., Шаршиков

40. A.A. Компьютерное моделирование процесса истечения жидкости из цилиндра. В кн.: Международная научно-практическая конференция «Инженерные системы 2009». Тезисы докладов. М.: РУДН, 2009 г., с. 77.

41. Зотов В.А., Сорокин И.В., Лузан В.В., Блатиков К.А., Шаршиков

42. B.В. Анализ гидродинамических параметров процесса истечения жидкости из цилиндра через два отверстия. XVII Международная конференция «Математика. Экономика. Образование». Тезисы докладов. Ростов-на-Дону: СКНЦВШЮФУ, 2010 г., с. 134-135.

43. Зотов В.А., Сорокин И.В. Оценка времени истечения жидкости из цилиндра через два разноуровневых отверстия. Обозрение прикладной и промышленной математики, 2011 г., т. , вып. , с.

44. Зотов В.А., Сорокин И.В. Массоперенос жидкости при истечении из цилиндра через два разноуровневых отверстия. Обозрение прикладной и промышленной математики, 2011 г., т. , вып. , с.

45. Калякин A.M. Гидравлика в инженерных приложения. Учебное пособие. Саратов, изд-во СГТУ, 2005, 94 с.

46. Калякин A.M. Гидравлические расчеты трубопроводов. Истечение жидкости через отверстия и насадки. Гидравлическое моделирование.

47. Конспект лекций. 4.4. Саратов: СГТУ, 2004 г., 56 с.99

48. Кирсанов В.И. Об истечении жидкостей через жиклеры при больших перепадах давлений. М.: Оборонгиз, 1951 г., 16 с.

49. Киселев П.Г. Гидравлика. Основы механики жидкости. М.: Энергия, 1980 г., 360 с.

50. Константинов Ю.М. Гидравлика. Учебник для вузов. Киев: Высшая школа, 1988 г., 397 с.

51. Кордон М.Я., Симакин В.И., Горешник И.Д. Гидравлика и теплотехника. Учебное пособие. 4.1. Гидравлика. Пенза: изд-во ПГУ, 2006 г., 200 с.

52. Корпачев В.П., Сизов Б.Г., Иванов В.Г., Губин И.В. Основы гидравлики. Учебное пособие. Красноярск: изд-ово СибГТУ, 2005 г., 208 с.

53. Косой В.Д., Рыжов С.А. Гидравлика (с примерами решения инженерных задач). М.: Де Ли принт, 2008 г., 495 с.

54. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. 4.1,4.2. М.: Гостеортехиздат, 1948 г., ч.1 348 с, ч.2 - 546 с.

55. Крохалев A.A., Шушпанников А.Б. Гидравлика. Учебное пособие. Кемерово: изд-во КемТИПП, 2006 г., 99 с.

56. Кудинов В.А., Карташов Э.М. Гидравлика. Учебное пособие. М.: Высшая школа, 2008 г., 199 с.

57. Кудинов В.А., Карташов Э.М., Габдушев Р.Ж. Гидромеханика. Учебное пособие. Самара: СГТУ, 2004 г., 179 с.

58. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука, 1973 г., 416 с.

59. Ламб Г. Гидродинамика. М.-Л.: Гостехиздат, 1947 г., 928 с.

60. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988 г.,733 с.

61. Лапшев H.H. Гидравлика. М.: Академия, 2008 г., 269 с.

62. Ле Меоте Б. Введение в гидродинамику и теорию волн на воде. Л.: Гидрометеоиздат, 1974 г., 367 с.

63. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973 г.,847 с.

64. Луцкер Г.Д. Истечение жидкости из цистерны при наличии притока. Сборник научных работ студентов (Киевский автомобильно-дорожный институт), 1948 г., вып. 1, с 43-47.

65. Малашкина В.А. Гидравлика. Учебное пособие. М.: МГТУ, 2009 г.,102 с.

66. Мейеров A.C. Истечение жидкости из малых отверстий в тонкой стенке и насадок при постоянном напоре. Горький: ГИСИ, 1949 г., 27 с.

67. Мейеров A.C. Истечение жидкостей из отверстий и насадок. Горький: ГИСИ, 1966 г., 52 с.

68. Мельников А.П., Сычев И.А., Филиппов Н.Ф. Курс газогидродинамики. Основы газодинамики, гидравлики и аэродинамики летательных аппаратов. Л.: ЛВИА, 1968 г., 746 с.

69. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964 г., 655 с.

70. Морозов В.А. Истечение жидкости из отверстий в тонкой стенке при переменном напоре. Методическое пособие. Омск: ОПИ, 1976 г., 11с.

71. Нигматулин Рс.И. Соловьев A.A. Физическая гидромеханика. Учебное пособие. М.: ГЭОТАР, 2005 г., 512 с.

72. Орлов Б.Н., Бекишев Б.Т., Евграфов В.А., Козлов Д.В. Теоретические основы гидравлических машин и гидроприводов (гидропередач). Учебное пособие. М.: изд-во МГУП, 2005 г., 179 с.

73. Осипов П.Е. Гидравлика, гидравлические машины и гидропривод. Учебное пособие. М.: Лесная промышленность, 1981 г., 424 с.

74. Палкин С.Н. Струи и вихри в природе и технике. Л.: Знание, 1984 г.,32 с.

75. Панин С.П., Ткачев O.A., Осипов A.M. Истечение газов и жидкостей через отверстия и насадки. Конспект лекций. Куйбышев: КПИ, 1980 г., 56 с.

76. Повх И.Л. Техническая гидромеханика. Л.: Машиностроение, 1976 г., 502 с.

77. Пономарев С.Д. Истечение через отверстия при переменном напоре. Вестник инженеров и техников, 1941 г., № 3, с 166-167.

78. Попов В.Н., Горбик М.Д. Экспериментальное исследование неустановившегося истечения жидкости через малые отверстия при наличии притока жидкости в сосуд. Труды Киевского автомобильно-дорожного института, 1953 г., сб. 1, с 96-99.

79. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. М.: ИЛ, 1949 г., 520 с.

80. Рабинович Е.З. Гидравлика. Учебное пособие. М.: Недра, 1980 г.,278 с.

81. Раинкина Л.Н. Техническая гидромеханика в вопросах и задачах. М.: изд-во «Нефть и газ», 2008 г., 253 с.

82. Рауз X. Механика жидкости для инженеров-гидротехников. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1958 г., 368 с.

83. Ржаницын Н.А. Гидравлика струйных течений. Учебное пособие. М.: изд-во УДН, 1985 г., 403 с.

84. Ричардсон Э. Динамика реальных жидкостей. М.: Мир, 1965 г., 328с.

85. Родионов В.П. Гидродинамика струйного истечения и явление кавитации в жидкости. Учебное пособие. Краснодар: КубГТУ, 2000 г., 85 с.

86. Руднев С.С. Струйное течение. Конспект лекций по курсу «Гидравлика», М.: МВТУ, 1972 г., 47 с.

87. Сазанов И.И. Гидравлика. Конспект лекций. Учебное пособие. М.: МГТУ Станкин, 2004 г., 292 с.

88. Саламатов Дж. Истечение жидкости из бесконечно длинного осесимметричного сосуда. Прикладная математика и механика, 1959 г., т. 23, вып. 2, с. 361-369.

89. Саткевич А.А. Теоретические основы гидродинамики. Учебноепособие. 4.1. Кинематика жидких тел, Л.-М.: ОНТИ, 1932 г., 238 с.102

90. Саткевич A.A. Теоретические основы гидродинамики. Учебное пособие. Ч. 2. Динамика жидких тел. JI.-M.: ОНТИ, 1934 г., 468 с.

91. Сергель О.С. Прикладная гидрогазодинамика. М.: Машиностроение, 1981 г., 374 с. *

92. Седов Л.И. Механика сплошной среды. М.: Наука, 1973, т.1 536 е., т.2 - 584 с.

93. Сизов Г.Н. Гидравлический массообмен. Теория и ее применение на водном транспорте. М.: Речной транспорт, 1958 г., 244 с.

94. Сиов Б.Н. Истечение жидкости через насадки в середе с противодавлением. М.: Машиностроение, 1968 г., 140 с.

95. Скобельцын Ю.А. Истечение жидкостей через насадки, отверстия, распылители, водовыпуски, капельницы. Учебное пособие. Краснодар: КСХИ, 1989 г., 120 с.

96. Скобельцын Ю.А., Громадский A.B. Гидравлика и гидромеханизация процессов. Учебное пособие. Краснодар: КСХИ, 1986 г., 114 с.

97. Сорокин И.В., Блатиков К.А., Ширшиков A.B. Вычисление уровня жидкости в цилиндре при истечении через систему малых отверстий на дне. XXXV Гагаринские чтения. М.: МАТИ, 2009 г., с. 73.

98. Сорокин И.В., Матвеев В.Ю., Ширшиков A.B. Определение скорости истечения жидкости через систему малых отверстий на дне. XXXV Гагаринские чтения. М.: МАТИ, 2009 г., с. 135.

99. Страхович К.И. Гидро-газодинамика. М.: Наука, 1980 г., 301 с.

100. Спицын И.П., Соколова В.А. Общая и речная гидравлика. JL: Гидрометеоиздат, 1990 г., 360 с.

101. Стасенко А.И. Истечение капельной жидкости из насадка. Движение жидкости в решетке. Лекция вторая по курсу гидравлики. М.: Углетехиздат, 1959 г., 32 с.

102. Стасенко А.И. Истечение капельной жидкости из отверстия в тонкой стенке. Лекция первая по курсу «Гидравлика». М.: Углетехиздат, 1959 г., 44 с.

103. Струйные течения. М.: Оборонгиз, 1962 г., 237 с.

104. Суров Г.Я., Вихарев А.Н., Долгова И.И., Баранов В.А. Прикладные задачи по гидравлике. Архангельск: АрГТУ, 2003 г., 236 с.

105. Тишин В.Б. Гидравлика. Учебное пособие. СПб: СПбГУНИРТ, 2006 г., 331 с.

106. Ухин Б.Н. Гидравлика. Учебное пособие. М.: Форум, 1999 г.,464 с.

107. Ухин Б.Н., Мельников Ю.Ф. Инженерная гидравлика. Учебное пособие. М.: АСВ, 2007 г., 343 с.

108. Френкель Н.З. Гидравлика. M.-JL: Госэнергоиздат, 1956 г., 456 с.

109. Халпахчян А.Х. К вопросу об истечении жидкости через донные отверстия. Известия АН Арм.ССР. Физико-математические, естественные и технические науки, 1948 г., № 2, с. 91-124.

110. Хлесткин Д.А. Метастабильное истечение воды и высоковлажной пароводяной смеси. М.: ИИКЦ «Эльф-3», 2004 г., 325 с.

111. Хомяк Я.В. Истечение жидкости через отверстие при наличии притока жидкости в сосуд. Труды Киевского автомобильно-дорожного института, 1955 г., сб. 2, с. 140-146.

112. Чарный И.А. Истечение очень вязких жидкостей из сосудов. Труды Московского нефтяного института им. Академика И.М. Губкина, 1947 г., вып. 7, с. 39-48.

113. Часс С.И. Гидромеханика в примерах и задачах. Учебное пособие. Екатеринбург: УГГУ, 2006 г., 216 с.

114. Чугаев P.P. Гидравлика. М.: Энергия, 1970 г., 552 с.

115. Шашин В.М. Гидромеханика. М.: Высшая школа, 1990 г., 383 с.

116. Шейпак A.A. Гидравлика и гидропневмопривод. Ч. 1. Основымеханики жидкости и газа. М.: изд-во МГИУ, 2006 г., 266 с.104

117. Шубин М.А. Математический анализ для решения физических задач. М.: МЦНМО, 2003 г., 40 с.

118. Штеренлихт Д.В. Гидравлика. М.: Колос С, 2004 г., 655 с.

119. Boxer G. Work out fluid mechanics. London: Macmillan, 1988,185 p.

120. Bradshaw P., Cebeci Т., Whitelaw J. Engineerinq calcnlation methods for turbulent flow. London: Acad.press, 1981,331 p.

121. Brower W.B. Aprimer in fluid mechanics. Dynamics of flows in one space dimension. Boca Raton: CRC press, 1999, 513 p.

122. Chaudhry M.N. Applied hydraulic transients. New York: Van Nostrand Reihold, 1987, 521 p.

123. Churchill S.W. Viscous flows. The practical use of theory. Boston: Butterworth, 1988, 602 p.

124. Computational methods for free and moving boundary problems in heat and fluid flow. Boston: Computational mechanics, 1993,400 p.

125. Cunqe J. A.,Holly F.M., Verwey J. A. Practical aspects of computational river hydraulics. Boston: Pitman, 1980,420 p.

126. Novar P., Cabelka J. Models in hydraulic engineering. Boston: Pitman, 1981,459 р.

127. Massey B.S. Mechanics of fluids. Wokingham: Van Nostrand Reinhold, 1983, 625p.

128. Muskat M. The flow of homogeneous fluid through porous media. New York: MiGraw-Hill book, 1937.

129. George R.L. Impinging jets. Denver (Colo), 1980, 13 p.

130. Gilles R.V. Schaum's outline of theory and problems of fluid mechanics and hydraulics. Singapore: McGraw-Hill book, 1983, 275 p.

131. Handbook of flow visualization. New York: Hemisphere, 1989, 672 p.

132. Hwanq N.H.C. Fundamentals of hydraulic engineering systems. Englewood Cliffs: Prentice-Hill, 1981, 367 p.

133. Hydraulic engineering software. Boston: Computational mechanics publ., 1992, 642 p.

134. Roberson John A., Crowe Clayton T. Engineering fluid mechanics. Boston: Haughton Mifflin co, 1985, 712, p.

135. Roy D.N. Applied fluid mechanics. Chichester: Ellis Horwood, 1988,556 p.

136. Sharp J J. Hydraulic modeling. London: Butterworth, 1981, 242 p.

137. Shivamoggi B.K. Theoretical fluid dynamics. New York: Willey Cop.,1998.

138. Surface flow. Ashurst: Computational mechanics publ., 1984, 79 p.

139. White F.M. Fluid mechanics. New York: McGraw-Hill book co., 1988,732 p.

140. Программа CWH (Cylinder With Hole)

141. В безразмерных переменных вычисляются закон движения уровня жидкости х(т), скорость истечения и(т) и объемы вытекающей жидкости через нижнее q0 (г) и верхнее отверстия qi (т).

142. Кроме того определяется время совместного (Tj) и одиночного (т2) истечения, а также итоговое распределение объемов nR2(H0 -Н}) и тгЯ2Н0 ввиде коэффициентов А, В, С, Д.

143. Программа CWH состоит из пяти основных блоков.

144. Первоначально, методом Рунге-Кутта численно решается задача Коши для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений видаdSL = lP4~x .dr 1 -кdqü 2dz l-кс начальными условиямиjc(0) = 1 ; qi(0) = q0(T) = 0 .

145. Решение низется на интервале1. О < т < тх ,гдех{Т\) = К .

146. Параметры р и к задаются массивами данных.

147. Использованный для расчетов метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности реализован в функции MATLAB ode 45:

148. Options = ode set ('RelTol', le-6);

149. T, Y. = ode 45 (Gfun, interl, 1, 0, 0], options).

150. В качестве параметров функции ode 45 используются указатель системы обыкновенных дифференциальных уравнений (Gfun), вектор начальных значений (1,0, 0.) и директива решается (options).

151. Точность численного решения задается директивойode set ('RelTol', le-6).

152. На втором этапе реализации программа вычисляется значение аргумента ти при котором значение функции х(т) совпадает с заданным значением параметра к, т.о.х{т\) = к .

153. Для этого используется сплайн интерполяция функции однойпеременнойfx =csapi (Т, Y (:, 1)) , содержащая коэффициенты кусочной сплайн функции и границы интервалов ее аргументов.

154. Третий этап состоит из вычисления четырех коэффициентов

155. A = qi(rl) ; B = q0(ri) ; С = {\-к)'А ; Д = к + {\-к)'В ,характеризующих массовые доли жидкости, вытекшей из цилиндра.

156. В результате вычисляется значение параметра т2, соответствующее условиюх(тг) = 0 .

157. Для графического отображения результатов в виде графиков и таблиц используется функция plot. Таблицы с численными значениями найденной функции х(г) сохраняются на диске компьютера в виде матрицы.save ('tblK', num2str(jk), '.mat'., 'rez') .