автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование нестационарного режима миграции загрязнений в средах с фрактальной структурой

На правах рукописи

ВЕНДИНА Алла Анатольевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА МИГРАЦИИ ЗАГРЯЗНЕНИЙ В СРЕДАХ С ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

і мар ті

Самара-2012

005010823

005010823

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра Российской академии наук (НИИ ПМА КБНЦ РАН)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Сербина Людмила Ивановна

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Пулькина Людмила Степановна;

кандидат физико-математических наук Телегин Сергей Сергеевич

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО «Белгородский государственный

национальный исследовательский университет»

Защита состоится 23 марта 2012 г. в 13.00 ч. на заседании диссертационного совета Д 212.218.08 при ФГБОУ ВПО «Самарский государственный университет» по адресу: 443011, г. Самара, ул. академика Павлова, д. 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СамГУ

Автореферат разослан « /3 » февраля 2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.218.08

Зайцев В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Центральное место в современных проблемах защиты подземных вод от загрязнения, опасность которого возникает в связи с возможной фильтрацией в водоносные пласты неочищенных стоков и жидких отходов, приобретает проблема исследования процессов взаимодействия чистых природных вод и загрязненных сточных жидкостей под влиянием различных гидродинамических и физико-химических факторов. Реальный режим и характер загрязнения подземных вод определяется сложностью реологии движущихся жидкостей и морфологическим строением пористой среды, а также многообразием процессов взаимодействия между жидкостью и пористой средой, которая представляет сложную динамическую систему, характеризующуюся сложной иерархией неоднородностей различных размеров.

Сложность анализа множества факторов, влияющих на оценку условий и возможных последствий загрязнения подземных вод с учетом фактора времени, привели к широкому применению методов математического моделирования. Значительные успехи изучения пространственно-временных закономерностей процесса загрязнения тесно связаны с использованием численно-аналитических методов решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, как основных, так и смешанного типов.

Вопросы исследования загрязнения подземных вод являются классической проблемой, которые с той или иной полнотой рассматривались многими авторами, как у нас в стране, так и зарубежом. В проведенных ранее исследованиях Ф.М. Бочевера, H.H. Веригина, В.М. Шестакова, П.Я. Полубариновой-Кочинон, Р. Коллинза, A3. Шейдегера и др. задачи нелинейной миграции традиционно решаются на основе линейных представлений о гидрогеологических процессах с упрощающими допущениями, в которых сложная пористая среда моделируется простыми фигурами евклидовой геометрии.

В теоретических исследованиях A.M. Нахушева, ЛИ. Сербиной, В.А. На-хушевой, P.P. Нигматулина, М.Х. Шханукова, Р.П. Мейланова особое внимание обращено на то, что нелинейные процессы переноса в реологически сложных средах часто обнаруживают инвариантность (фрактальность) пространственных и временных свойств и их математическое описание требует расширения диапазона измерения гидрофизических характеристик и разработки новых, более эффективных, математических моделей, адекватно отражающих свойства фрактальных процессов. Одно из перспективных направлений изучения явлений фрактальной миграции связано с успешными попытками применения математического аппарата дробного интегро-дифференцирования.

Дифференциальные уравнения дробного порядка представляют собой принципиально новый качественный метод описания, который, обобщая ранее известные результаты, открывает вместе с тем новые возможности

изучения механизма нелинейных эффектов, возникающих при асимптотических режимах загрязнения. Таким образом, работа, выполненная в этом направлении, является актуальной.

Цель работы

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей нелинейной миграции загрязненных подземных вод; учитывающих влияние сложной структуры порового пространства реологических сред; постановка и решение начально-краевых задач для наиболее важных частных случаев; выбор и модификация численно-аналитических методов решения поставленных задач; разработка соответствующего комплекса программ.

Достижение поставленной цели предполагает формулировку и решение следующих задач:

1. Разработка и исследование математических моделей, описывающих пространственно-временные особенности взаимодействия потока загрязненных подземных вод со сложной структурой порового пространства реологических сред.

2. Исследование вопроса разрешимости модельных начально-краевых задач распределения концентрации загрязнения подземных вод, учитывающих различное расположение и интенсивность источников загрязнения.

3. Разработка модифицированного метода численно-аналитического решения задач динамики загрязнения подземных вод.

4. Разработка комплекса программ реализации численных алгоритмов решения задач нелинейной миграции и исследование полученных результатов.

5. Исследование влияния размерности геометрии порового пространства реологических сред на характер режима миграции загрязнения подземных вод.

Методы исследования

Для решения поставленных в работе задач использованы методы математического моделирования динамических систем; элементы классического и дробного анализа; методы теории дифференциальных и интегральных уравнений; методы вычислительной математики, а также специализированные программные среды: Мар1е, МаШсас!, МаНаЬ.

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа нелинейных динамических природных систем; использованием методов теории дифференциальных уравнений и аппарата дробного интегро-дифференцирования; хорошей согласованностью аналитических результатов и результатов численного эксперимента и воспроизведением на их основе известных результатов полученными другими методами.

Научную новизну работы составляют:

1. Математическая модель динамики загрязнения подземных вод в пористых природных средах, в основе которой лежит уравнение с дробной

производной по времени, учитывающее влияние сложной структуры поро-вого пространства.

2. Численно-аналитические методы анализа пространственно-временных свойств процесса загрязнения подземных вод в реологических средах под действием источников загрязнения различной интенсивности.

3. Алгоритмы математического моделирования процессов загрязнения подземных вод на основе нелокального уравнения, учитывающего влияние геометрии порового пространства реологических сред.

4. Математическая модель распределения концентрации загрязнения подземных вод, учитывающая фрактальную размерность порового пространства реологических сред.

Практическая значимость работы определяется тем, что полученные в ней результаты могут быть использованы для исследования динамики нелинейных процессов переноса в средах со сложной топологией порового пространства. Предложенные в диссертационной работе методы численного анализа и математического моделирования режима загрязнения подземных вод могут найти применение при решении практических задач мониторинга, экологической безопасности и рационального использования земель и водных ресурсов, а также в учебном процессе при выполнении магистерских диссертационных работ.

Положения, выносимые на защиту

1. Постановка и решение начально-краевых задач динамики распространения загрязнения подземных вод, описываемой математической моделью на основе дифференциального уравнения с дробной производной по времени, учитывающей влияние сложной структуры порового пространства на процесс миграции.

2. Аналитические методы анализа пространственно-временных свойств нелинейного процесса загрязнения подземных вод в реологических средах, в основе которых лежат модифицированные способы решения корректно поставленных начально-краевых задач, учитывающих действие источников загрязнения различной интенсивности и расположения.

3. Результаты численного анализа влияния сложной геометрической структуры порового пространства на нелинейный характер загрязнения подземных вод в реологических средах.

4. Асимптотические методы оценки нелинейных эффектов нестационарного режима загрязнения подземных вод, позволяющих определять время и область стабилизации процесса.

Апробация работы

Результаты докладывались на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Северо-Кавказского технического университета (2006 - 2010 гг., г. Ставрополь); на заседаниях Научно-исследовательского семинара НИИ ПМА КБНЦ РАН по современному анализу, информатике и физике (2010, 2011 гг., г. Нальчик); на III Между-

народной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (2006 г., г. Нальчик); на VII Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине, экономике» (2007 г., г. Новочеркасск); на V, VI, VIII Школах молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (2008 -2010 гг., г. Нальчик); на I Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики» (2010 г., п. Терскол); на II Международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики» (2011 г., г. Нальчик).

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в 16 научных работах, 3 из которых [9, 15, 16] опубликованы в журналах рекомендованных ВАК РФ для опубликования основных результатов кандидатских диссертаций, 13 - в сборниках всероссийских и международных конференций.

Личный вклад автора

Все представленные в диссертационной работе результаты получены лично соискателем либо при его равноправном участии.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений и списка литературы из 105 наименований. Объем работы - 118 страниц, включая 18 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы исследования и ее практическая значимость, сформулированы цель и задачи работы, определена новизна и обоснованна достоверность полученных результатов, изложены основные положения диссертационной работы по главам.

В главе 1 рассматриваются, используя традиционные методы теории массопереноса, особенности математического моделирования нестационарного процесса взаимодействия естественных подземных вод с загрязненными (сточными) водами в реологических средах.

Раздел 1.1 посвящен построению и исследованию качественных и структурных свойств базовой математической модели неустановившегося процесса миграции загрязненных подземных вод в почвах и почвогрунтах. Здесь сформулированы основные теоретические положения, указаны важнейшие параметры, описывающие внутреннюю структуру потока и описан характер его взаимодействия с пористой средой. Особое внимание обращено на то, что основной характеристикой, определяющей нелинейный характер миграции, является сложная геометрия порового пространства.

Вывод обобщенного дифференциального уравнения миграции загрязненных подземных вод основан на использовании принципа локальности, который предполагает, что основные законы механики сплошных сред справедливы не только для всей системы в целом, но и для любой ее части, какой бы она малой не была. Это позволяет в интегральных законах сохранения, совершая предельный переход, при стремлении области интегрирования к нулю, получить эквивалентные законы сохранения локальных процессов миграции в форме следующих дифференциальных уравнений в частных производных:

и =-к—-, д(рУх)1д(риу) = 3(тр). х дх' у ду' дх ду

дс * дс дс дих дЫ

г<х=-охс + Оух, иу=-оус + 0~; — + (1)

^ = 7,)- (2)

от

Здесь и = и(х;у;/) - скорость фильтрационного потока; к — коэффициент фильтрации; А = Ь{х;у;{) - напор потока подземных вод в момент времени /ив точке {х;у)\ р = р{х;у;{) - плотность потока; их, иу — компоненты массовой скорости движения загрязнений; с = с(х;у; /) - концентрация загрязнений подземных вод; т - пористость; О* = 0*(х;у;1) - дисперсия; N -сорбционная емкость пористой среды; у,- - коэффициенты скорости кинетики взаимодействия и сорбционного равновесия.

Для анализа пространственно-временных закономерностей нестационарного процесса миграции загрязнений подземными водами, в силу уравнений (1), (2), предлагается обобщенное уравнение

т— = сИхЮ* gradc\- ¿Л\>[ис]--. (3)

Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа (3) является базовым уравнением для решения многих прикладных задач. Оно, в рамках справедливости эмпирических законов Дарси и Фурье - Фика, описывает процесс изменения во времени концентрации загрязнений в какой-либо точке в результате разности переноса загрязнений фильтрационным потоком и гидродинамической дисперсии при наличии растворения и поступления в раствор солей и примесей, содержащихся в почвогрунтах.

В разделе 1.2 предлагается альтернативный модульный подход качественного исследования математической модели нелинейной миграции (3). Он, опираясь на общность математической постановки задачи, предполагает предварительное, последовательное изучение упрощенных модельных задач миграции, которые строятся в соответствии с принципами целевой направленности, иерархичности и системности. Модульная интерпретация обобщенного уравнения (3) сводит его к аддитивной схеме, включающей следующие модельные уравнения:

- конвективного переноса

т — = -divhe]- ; (4)

at dt

— диффузии

т — = div \D* grade 1- ; (5)

dt 1 1 dt

- конвективно-диффузионного переноса

m —= div\D*gradc\-div\oc\, (6)

dt

— одномерного потока загрязненных подземных вод

дс _«Э с 8с п( \ ,_.

dt 5xl дх

Модульный анализ на основе расчетной схемы (4) - (7), обладающей суммарной аппроксимацией, базируется на различных классах гипотетических моделях сравнения, которые решаются с помощью стандартных, экономичных алгоритмов и в большинстве случаев они служат тестами для более сложных численных расчетов нелинейной миграции загрязнения подземных вод. Алгоритмическая идея модульного анализа обобщенного уравнения миграции (3) позволяет с единых позиций получить информацию о характере каждого решения и о свойствах всей изучаемой системы в целом.

В разделе 13 показано, что в случае, когда концентрация загрязнения подземных вод меняется по экспоненциальному закону c{x;t) = u{x;t)eax~yt + ст, одномерный процесс загрязнения подземных вод, описывается дифференциальным уравнением

(8)

dt дх2

Исследование одномерного режима загрязнения подземных при наличии постоянно действующих на границе области источников загрязнения сводится к постановке и исследованию вопроса разрешимости задачи для уравнения (8\ удовлетворяющего в слое 0 <х<1 для всех моментов времени t е (О; Т), начально-краевым условиям:

u(0;t)=(c2-cmy, M(x;0)=(c,-cm>-, u(l;t)= (с3 ~стУа1^. (9)

Основным результатом проведенных исследований является развитие фундаментального метода Фурье решения начально-краевой задачи (8), (9), в соответствии с которым ее обобщенное решение существует и представимо в виде

п к +Е I

" к=1« +S '

t^'f "'"%■" л 1-1 kz+n I

Л=1 к +r\

r cd л 2D* vl2 cm-c-i

где £=—, Т=—y-t, Т] =4—Р = —-

я 1 Л2п ст~с2

В разделе 1.4 рассмотрен режим загрязнения подземных вод в области О = {(л*,1/):0<х<1, 0</<со} в случае, когда на ее границе расположены источники загрязнения, интенсивность которых изменяется с течением времени. Математическое описание данной схемы миграции загрязнений в реологических средах сводится к исследованию вопроса разрешимости дифференциального уравнения (7), удовлетворяющего начальным и краевым условиям:

с(х;0) = (р{х), = с(/;/) = у/2(<). (11)

Аналитическое решение задачи (7), (11) распространения загрязненных подземных вод в полубесконечной области, получено, используя метод преобразования Лапласа, в виде

I,

2ле2 Д . ппЕ,

'1 И = 1 'I

1,

}и,(в - ррф - (- 1уе21' |и2(0 - рК^р о о

2е2 « д , пп^

- > р ^ чт-—

—Т

Xе Р 2 «И——</г+См,

'I л=1 'I о 'I

, их - сА _ Р-О* , и/ тг2и2 . 1 О Б т и2 £> /|2 4

Глава 2 посвящена изучению пространственно-временных закономерностей формирования нелинейных явлений и эффектов, возникающих при асимптотических режимах загрязнения подземных вод в реологических средах со сложной топологией порового пространства, интерпретируемых как фрактальные множества. Фундаментальной основной для выявления качественных особенностей и количественных характеристик нелинейных явлений служат дифференциальные уравнения дробного порядка и связанные с ними нелокальные начально-краевые условия. При построении физически обоснованных модельных уравнений, адекватно учитывающих влияние пористой среды на нелинейный характер движения, существенно используется регуляризованный оператор Римана- Лиувиля Зд, (или оператор дробного порядка а в смысле Капуто) по временной переменной С, определяемый формулой

0 дт"

где О™, - оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана - Лиувиля порядка а с началом в начальный момент времени / = 0, а с концом в текущий момент времени О0, который действует на функцию по формуле:

Д0>(т) =

а< О,

г 1 .

*гтт/>»-1яН,>. а > 0.

Здесь Г(х) - гамма-функция Эйлера; [а] - целая часть числа а .

В разделе 2.1 на основе модификации классической схемы, в основе которой лежат фундаментальные законы сохранения, с помощью введенного понятия фрактальной скорости изменения концентрации загрязнения с) » 0",с(х;т ) подземных вод, построено модельное уравнение нелинейной миграции, учитывающее различные взаимодействия между жидкостью и пористой средой, обусловленные масштабной инвариантностью процесса. Для исследования фрактального процесса загрязнения подземных вод реологических пористых средах предлагается дифференциальное уравнение дробного порядка

Щ^ + Р(ст-с), (12)

ох

ох

с сопутствующими ему локальными и нелокальными условиями:

= 0, (13)

Пт = с0{х), Оа — *-»0 ох

х=0 &

где Оа -коэффициент фрактальной диффузии; и(х;/)-фрактальная скорость.

Вопрос исследования медленно изменяющегося во времени режима миграции загрязнения подземных вод, учитывающего влияние фрактальной структуры порового пространства, сводится к исследованию вопроса разрешимости модельной нелокальной начально-краевой задачи (12), (13).

В разделе 2.2 методом энергетических неравенств получена априорная оценка

(14)

где с» = а М > 0 - число, которое зависит от размеров области

и коэффициентов уравнения (12).

Из априорной оценки (14) следует единственность и непрерывная зависимость решения нелокальной задачи (12), (13) от начальных данных.

В разделе 2.3 разработан, следуя общей теории разностных схем, модифицированный интегро-интерполяционный метод построения разностных аналогов для дифференциальных операторов произвольного порядка. На пространственной сетке тик = {(/А ху'т),/ = 0,1,2,.,.,п,] = 0,1,2,—,®} задаче (12), (13) поставлено в соответствии семейство разностных схем:

тА%1С = Л(ст с + (1 - сг)с)+ ¡Зст + тс(х; 0)/таГ(1 - а), (15)

^ксх)Х1 =7У&+1(с/+1 -с>)~к,(с1 "сы)]' Мл=^[иЛ-имсм], (16) п "

где разностный аналог производной Капуто порядка а определяется формулой

Ъ V7-5+2 -»у-л+1 Дс/ -С/ ),

Аа0!с--

тГ(2 -а),=1 а Кс = [кс-)~{ис)х-(]с.

В этом разделе также получено достаточное условие сходимости разностной схемы (15), (16), которое имеет вид

(2-2'-"^

2уг5Г(2-а)(1-ст)'

где < йа{х;1)< м'2, и(х;/)<и'з, р(х;1)<\и4, и'5 = »10x^1).

/

В разделе 2.4 рассмотрен вопрос аппроксимации начально-краевых условий, в соответствии с которым нелокальная начально-краевая задача (13) для дробного уравнения (12) эквивалентно редуцированна к задаче определения в области аьк функции ci=c(xj;tj+\), удовлетворяющей разностному алгебраическому уравнению (15) и разностным начально-краевым условиям:

сп сп-1 _

о,

Сп ="

(17)

А " "и к0Т{2-а)-Ы\-а

Основным результатом проведенных исследований является решение дискретной задачи (15) — (17) модифицированным методом прогонки. Графическая иллюстрация численно-аналитического этого решения при различных значениях а е (0; 1) приведена на рис. 2.1, 2.2. Ее анализ позволяет сделать вывод о том, что учет нелокальности во времени приводит к возникновению скачкообразных возмущений концентрации в потоке загрязненных подземных вод.

с, г/л

V V? V л

Ьс, г/л

1,супг

* ^ о*.

^ х VI ^ v

[,сут

Рлс.2.]. «=0,5 Рис. 2.2. а = 0,1

В разделе 2.5. вопрос распределения концентрации загрязнения подземных вод вблизи от источника загрязнения сводится к исследованию нелокальной начально-краевой задачи для дробного уравнения миграции

д2с

дс

О&с = а—^г - Ь — + р(ст - с),

дх

дх

(18)

удовлетворяющего условиям:

с(О;0 = <р(0, с;(0,•/) = (//(/), 0</<7\ (19)

Основным результатом проведенных исследований является приближенное решение начально-краевой задачи (19) для уравнения (18) реализованное в классе ограниченных при г1 —» 0 функций в виде эффективного аналитического алгоритма высокой точности.

В разделе 2.6 получен алгоритм асимптотического распределения концентрации загрязнения подземных вод, учитывающего дробную размерность порового пространства, который представим степенным рядом

п=о Ца + па ] Да) Г(2а) ЦЗа) коэффициенты ап(х) которого определяются формулами:

«О(*) = Ца)с0(х), ап{х) = — X ' , 1 ,— 2п •

т" к=о Цсс+яа) {п) дх2пк

В главе 3 с помощью специализированных программных сред (Мар1е, МаЛсас!, Ма1ЬаЬ) проводится вычислительный эксперимент основных количественных характеристик процесса миграции загрязнения подземных вод в реологических средах.

В разделе 3.1, пользуясь общими методами решения обратных задач, на основе аналитического решения (10) расчета концентрации загрязнения подземных вод при наличии источника загрязнения, интенсивность которого постоянна, получена неявная оценка дробной размерности с1 у порового пространства реологической среды 2с2е''/2с1^и[(1-К)/2

В разделе 3.2 проведен вычислительный эксперимент качественного исследования нелинейного распределения концентрации загрязнения подземных вод на основе численного алгоритма решения дробного уравнения фрактальной миграции с дробной производной по времени

яа / \ п д2с сс / \ тс(х; 0) тдшс{х;г ) = £>а —у - и — + /3 [ст - с) - ) 7 , дх* дх г Г(2- а)

удовлетворяющего начальным и краевым условиям:

дс

дх дх.

Графическая иллюстрация численной реализации алгоритма в системе Мар1е для различных значений дробного параметра а, представленная на рис. 3.1 - 3.3, подтверждает гипотезу о конечности скорости распространения любого возмущения в сплошных средах.

V I л и яд ^ *1 ^ и 11/11)1 ■

= 0.

Х=1

Рис. 3.1. а =0,1

Рис. 3.2. а = 0,7

Рис. 3.3. а = 1

В разделе 3.3 на основе модельных дифференциальных уравнений с дробной производной по времени:

DgN = ß(c~yN), D"t /V = ßc, = — D",c , ae(0,l)

Y

проводится качественный анализ влияния сложной структуры порового пространства на процессы кинетики сорбции, десорбции, растворения и др., которые возникают в процессе движения загрязненных подземных вод в пористых средах с фрактальной структурой.

В разделе 3.4 приводятся графические результаты численного алгоритма решения (20) задачи асимптотического распределения концентрации загрязнения подземных вод, которые находятся в хорошем согласии с существующей гипотезой о степенном характере режима миграции в средах

с фрактальной структурой.

%

1 *

^Iplgllk.

JilSÄltlilsj,

W / у . . , х

16 X 14

г

Рис.3.4. а =0,2. Рис. 3.5. а = 0,5. Рис. 3.6. а = 0,9.

Графическая интерпретация функциональной зависимости концентрации загрязнений при медленных режимах миграции показывает, что фрактальный параметр а является «управляющим» параметром, определяющим характер распределения концентрации загрязнения в потоке подземных вод в реологически сложных средах.

В приложении приведен листинг разработанного программного продукта в среде Maple и экранные формы выходных данных.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

Проведенные исследования математического моделирования нестационарных процессов загрязнения подземных вод в реологических средах с фрактальной структурой позволяют сделать следующие выводы:

1. Разработанный класс математических моделей загрязнения подземных вод в реологических средах, в основе которых лежат дифференциальные уравнения в частных производных с дробной производной по времени, обобщая ранее известные модельные представления нелинейного процесса миграции, расширяет возможности изучения особенностей процесса миграции загрязнения.

2. Предложенный метод модульного анализа пространственно-временных свойств нелинейного процесса загрязнения, развивая ранее известные качественные методы исследования математических моделей, дает возможность комплексной оценки изучаемого процесса минимальным числом неизвестных характеристик и функциональных зависимостей.

3. Разработанные численно-аналитические методы исследования математических моделей, в основе которых лежат начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка параболического типа, дают эффективный способ оценки времени и области стабилизации распространения загрязнения подземных вод в реологических средах.

4. Расчетно-экспериментальный анализ на основе разработанных эффективных алгоритмов расчета концентрации загрязнения подземных вод, позволяет с высокой степенью точности строить прогнозные оценки режима миграции в реальном времени.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. ВендинаА.А. Решение одной задачи распределения солей в одномерной однородной системе без учета влияния растворения и реакций обмена // Материалы X региональной научно-технической конференции «Вузовская наука - Северокавказскому региону». Том первый. Естественные и точные науки. Технические и прикладные науки. Ставрополь: Сев-КавГТУ, 2006. С. 4.

2. ВендинаА.А. Решение одной одномерной задачи распределения солей без учета процессов растворения // Тезисы докладов Ш Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики». Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2006. С. 74-75.

3. Вендина A.A. Моделирование процесса распределения вещества в пористых средах, сопровождающегося растворением // XIV Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам и VIII Всероссийский сим-

позиум по прикладной и промышленной математике. Сочи - Адлер, 2007. С. 112-113.

4. ВендинаА.А. Определение параметров переноса вещества в пористых средах // Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики: Материалы V Школы молодых ученых. Нальчик-Эльбрус: Изд-во КБНЦ РАН, 2007. С. 37-39.

5. ВендинаА.А. Решение модельного уравнения солепереноса, учитывающего динамику растворения солей // Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине, экономике: материалы VII Между-нар. науч.-практ. конф. Новочеркасск: ЮРГТУ, 2007. Ч. 2. С. 77-78.

6. Вендина A.A. Решение одной начально-краевой задачи солепереноса, учитывающей кинетику растворения солей // Материалы XXXVI научно-технической конференции по итогам работы профессорско-преподавательского состава СевКавГТУ за 2006 год. Том первый. Естественные и точные науки. Технические и прикладные науки. Ставрополь: СевКавГТУ, 2007. С. 7.

7. ВендинаА.А., СербинаЛ.И. Качественный анализ основных моделей процессов массо- солепереноса в почвогрунтах // Материалы международной научной студенческой конференции «Научный потенциал студенчеству - будущему России». Том первый. Естественные и точные науки. Технические и прикладные науки. - Ставрополь: СевКавГТУ, 2007. С. 5-6.

8. Вендина A.A. Математическое моделирование массопереноса в пористых средах // Научная жизнь. 2008. № 3. С. 21-24.

9. ВендинаА.А. Математическое моделирование нестационарного процесса конвективно-диффузионного переноса в почвофунтах // Вестник СевероКавказского технического университета. Науки о Земле. 2008. №3. С. 39-45.

10.Вендина A.A. О математическом моделировании процессов влаго-солепереноса в пористых средах // Материалы международного Российско-Азербайджанского симпозиума «Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики» и VI Школы молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик-Эльбрус: Изд-во КБНЦ РАН, 2008. С. 198-199.

11 .Вендина A.A. Численный метод алгоритм решения начально-краевой задачи для уравнения переноса в пористых средах // Материалы II Международной научной студенческой конференции «Научный потенциал студенчества - будущему России». Том первый. Общественные науки. Ставрополь: СевКавГТУ, 2008. С. 5-6.

12.Вендина A.A. Математическое моделирование процесса миграции в сильно пористых средах // Материалы Первой Всероссийской конференции молодых ученых. Терскол: Изд-во КБНЦ РАН, 2010. С. 68-70.

13.Вендина A.A. Численно-аналитическая реализация модели водно-солевого режима в сильно-пористых средах // Материалы VIII школы моло-

дых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики». Нальчик-Хабез: Изд-во КБНЦ РАН, 2010. С. 31-32.

И.Вендина A.A. Метод априорной оценки решения нелокальной задачи нелинейной миграции // Материалы Второго Международного Российско-Казахского симпозиума «Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики». - Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2011.С. 52-54.

15.Вендина A.A. О математическом моделировании процесса фрактальной миграции загрязнений в природных пористых // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. физ.-мат. науки. 2011. Вып. 3(24). С. 199-201.

16.Сербина Л.И., ВендинаА.А. Асимптотический метод решения дробного уравнения миграции загрязнения подземных // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2011. №5. С. 104-108.

Подписано в печать 26.12.2011 г. Гарнитура Times New Roman. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Усл.-печ. л. 0,99. Уч.-изд. л. 0,81. Тираж 100 экз. Заказ 2

Отпечатано в Издательско-полиграфическом комплексе Ставропольского государственного университета. 355009, Ставрополь, ул.Пушкина, 1.

61 12-1/830

Учреждение Российской академии наук Научно-исследовательский институт прикладной математики и автоматизации Кабардино-Балкарского научного центра РАН

На правах рукописи

Вендина Алла Анатольевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА МИГРАЦИИ ЗАГРЯЗНЕНИЙ В СРЕДАХ С ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ

05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук,

профессор Сербина Л. И.

Самара-2012

Оглавление

Введение............................................................................... 4

Глава 1. Анализ методов математического моделирования нестационарной миграции загрязнений в однородных пористых средах.. 19

§1.1. Построение обобщенной математической модели динамики взаимодействия подземных вод со сточными загрязненными водами в

природных средах.................................................................... 19

§1.2. Модульный метод анализа пространственно-временных

свойств динамики загрязнения подземных вод................................ 33

§1.3. Исследование математической модели режима загрязнения подземных вод при наличии источника загрязнения постоянной интенсивности........................................................................... 40

§ 1.4. Исследование математической модели режима загрязнения подземных вод при наличии источника загрязнения изменяющейся

интенсивности........................................................................ 45

Глава 2. Методы математического моделирования нелинейной миграции загрязнений в пористых средах с фрактальной структурой....................................................................................... 52

§2.1. Построение математической модели нелинейной миграции

загрязнения подземных вод в средах с фрактальной структурой.......... 52

§2.2. Исследование вопроса корректной постановки модельной задачи медленно и быстро протекающих режимов миграции загрязнения подземных вод...................................................................... 57

§2.3. Построение конечно-разностного аналога для модельного

дробного уравнения миграции загрязнений подземных вод................ ^

§2.4. Построение вычислительного алгоритма реализации модельной задачи нелинейной миграции загрязнений........................... 68

§2.5. Численно-аналитический алгоритм расчета распределения

концентрации загрязнения грунтовых подземных вод вблизи источника загрязнения........................................................................ 74

§2.6. Математическая модель распределения концентрации загрязнения подземных вод в средах с фрактальной структурой............ 78

Глава 3. Расчетные методы и вычислительный эксперимент нелинейной миграции загрязнений в природных средах.................. 83

§3.1. Неявный метод оценки фрактальной размерности по известным характеристикам загрязнения подземных вод........................ 83

§3.2. Численная реализация алгоритма расчета концентрации загрязнений фрактального процесса миграции................................... 87

§3.3. Расчетно-экспериментальный анализ нелинейных эффектов

миграции загрязнения............................................................... 92

§3.4. Расчетно-экспериментальный анализ асимптотического

распределения концентрации загрязнения подземных вод.................. 97

Заключение........................................................................... 102

Литература.............................................................................. 103

Приложение.......................................................................... 112

Приложение 1. Расчет концентрации загрязнений в пористых

средах с фрактальной структурой................................................ 112

Приложение 2. Расчет концентрации загрязнений медленно протекающего режима фрактальной миграции..................................... 115

Приложение 3. Расчет асимптотического распределения концентрации загрязнений в неоднородных пористых средах...................... 117

Введение

Актуальность темы. Центральное место в современных проблемах защиты подземных вод от загрязнения, опасность которого возникает в связи с возможной фильтрацией в водоносные пласты неочищенных стоков и жидких отходов, приобретает проблема исследования процессов взаимодействия чистых природных вод и загрязненных сточных жидкостей под влиянием различных гидродинамических и физико-химических факторов. Реальный режим и характер загрязнения подземных вод определяется сложностью реологии движущихся жидкостей и морфологическим строением пористой среды, а также многообразием процессов взаимодействия между жидкостью и пористой средой, которая представляет сложную динамическую систему, характеризующуюся сложной иерархией неоднородностей различных размеров.

Сложность анализа множества факторов, влияющих на оценку условий и возможных последствий загрязнения подземных вод, с учетом фактора времени привели к широкому применению методов математического моделирования, в основе которых лежат дифференциальные уравнения в частных производных. Значительные успехи изучения пространственно-временных закономерностей процесса загрязнения тесно связаны с использованием численно-аналитических методов решения начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, как основных, так и смешанного типов.

Вопросы исследования загрязнения подземных вод являются классической проблемой, которые с той или иной полнотой рассматривались многими авторами, как у нас в стране, так и зарубежом. В проведенных ранее исследованиях Ф.М. Бочевера [15], H.H. Веригина [30, 31], В.М. Шестакова [91], П.Я. Полубариновой-Кочиной [68], А.Э. Шейдегера [90], Я.А. Папченского [65, 66], Ю.М. Шехтмана [92] и др. задачи нелинейной миграции традиционно решаются на основе линейных представлений о гидрогеологических про-

цессах с упрощающими допущениями, в которых сложная пористая среда моделируется простыми фигурами евклидовой геометрии.

В теоретических исследованиях A.M. Нахушева [57 - 59], Л.И. Серби-ной [73, 74], В.А. Нахушевой [60, 61], P.P. Нигматулина [62, 63], М.Х. Шха-нукова [93], Р.П. Мейланова [55, 56] особое внимание обращено на то, что нелинейные процессы переноса в реологически сложных средах часто обнаруживают инвариантность (фрактальность) пространственных и временных свойств и их математическое описание требует расширения диапазона измерения гидрофизических характеристик и разработки новых, более эффективных, математических моделей, адекватно отражающих нелинейные свойства фрактальных процессов. Одно из перспективных направлений изучения нелинейных явлений фрактальной миграции связано с успешными попытками применения математического аппарата дробного интегро-дифференцирования.

Дифференциальные уравнения дробного порядка представляют собой принципиально новый качественный метод описания, который, обобщая ранее известные результаты, открывает вместе с тем новые возможности изучения механизма нелинейных эффектов, возникающих при асимптотических режимах загрязнения. В связи с этим, работа, выполненная в этом направлении, является актуальной.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей нелинейной миграции загрязненных подземных вод; учитывающих влияние сложной структуры порового пространства реологических сред; постановка и решение начально-краевых задач для наиболее важных частных случаев; выбор и модификация численно-аналитических методов решения поставленных задач; разработка соответствующего комплекса программ.

Для достижения поставленной цели сформулированы и решены следующие задачи:

1. Разработка и исследование математических моделей, описывающих пространственно-временные особенности взаимодействия потока загрязнен-

ных подземных вод со сложной структурой порового пространства реологических сред.

2. Исследование вопроса разрешимости модельных начально-краевых задач распределения концентрации загрязнения подземных вод, учитывающих различное расположение и интенсивность источников загрязнения.

3. Разработка модифицированного метода численно-аналитического решения задач динамики загрязнения подземных вод.

4. Разработка комплекса программ реализации численных алгоритмов решения задач нелинейной миграции и исследование полученных результатов.

5. Исследование влияния размерности геометрии порового пространства реологических сред на характер режима миграции загрязнения подземных вод.

Методы исследования. Для решения поставленных в работе задач использованы методы математического моделирования динамических систем; элементы классического и дробного анализа; методы теории дифференциальных и интегральных уравнений; методы вычислительной математики, а также специализированные программные среды: Maple, Mathcad, Matlab.

Достоверность полученных в диссертации результатов обусловлена использованием математически обоснованных и физически аргументированных методов анализа нелинейных динамических природных систем; использованием методов теории дифференциальных уравнений и аппарата дробного интегро-дифференцирования; хорошей согласованностью аналитических результатов и результатов численного эксперимента и воспроизведением на их основе известных результатов полученными другими методами.

Научную новизну диссертационной работы составляют:

1. Математическая модель динамики загрязнения подземных вод в пористых природных средах, в основе которой лежит уравнение с дробной производной по времени, учитывающее влияние сложной структуры порового пространства.

2. Численно-аналитические методы анализа пространственно-временных свойств процесса загрязнения подземных вод в реологических средах под действием источников загрязнения различной интенсивности.

3. Алгоритмы математического моделирования процессов загрязнения подземных вод на основе нелокального уравнения, учитывающего влияние геометрии порового пространства реологических сред.

4. Математическая модель распределения концентрации загрязнения подземных вод, учитывающая фрактальную размерность порового пространства реологических сред.

Практическая значимость работы определяется тем, что полученные в ней результаты могут быть использованы для исследования динамики нелинейных процессов переноса в средах со сложной топологией порового пространства. Предложенные в диссертационной работе методы численного анализа и математического моделирования режима загрязнения подземных вод могут найти применение при решении практических задач мониторинга, экологической безопасности и рационального использования земель и водных ресурсов, а также в учебном процессе при выполнении магистерских диссертационных работ.

Положения, выносимые на защиту.

1. Постановка и решение начально-краевых задач динамики распространения загрязнения подземных вод, описываемой математической моделью на основе дифференциального уравнения с дробной производной по времени, учитывающей влияние сложной структуры порового пространства на процесс миграции.

2. Аналитические методы анализа пространственно-временных свойств нелинейного процесса загрязнения подземных вод в реологических средах, в основе которых лежат модифицированные способы решения корректно поставленных начально-краевых задач, учитывающих действие источников загрязнения различной интенсивности и расположения.

3. Результаты численного анализа влияния сложной геометрической

структуры порового пространства на нелинейный характер загрязнения подземных вод в реологических средах.

4. Асимптотические методы оценки нелинейных эффектов нестационарного режима загрязнения подземных вод, позволяющих определять время и область стабилизации процесса.

Апробация работы. Результаты докладывались на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава СевероКавказского технического университета (2006 - 2010 гг., г. Ставрополь); на заседаниях Научно-исследовательского семинара НИИ ПМА КБНЦ РАН по современному анализу, информатике и физике (2010, 2011 гг., г. Нальчик); на III Международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (2006 г., г. Нальчик); на VII Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине, экономике» (2007 г., г. Новочеркасск); на V, VI, VIII Школах молодых ученых «Нелокальные краевые задачи и проблемы современного анализа и информатики» (2008 - 2010 гг., г. Нальчик); на I Всероссийской конференции молодых ученых «Математическое моделирование фрактальных процессов, родственные проблемы анализа и информатики» (2010 г., п. Терскол); на II Международном Российско-Казахском симпозиуме «Уравнения смешанного типа, родственные проблемы анализа и информатики» (2011 г., г. Нальчик).

Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 16 научных работах [16 - 30, 75], 3 из которых [17, 21, 75] опубликованы в журналах из перечня ВАК РФ, рекомендованных для опубликования основных результатов кандидатских диссертаций, 13 - в сборниках всероссийских и международных конференций.

Личный вклад автора. Все представленные в диссертационной работе результаты получены лично соискателем либо при его равноправном участии.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, трех приложений и списка литературы из 105 наименований. Объем работы - 118 страниц, включая 18 рисунков.

Содержание работы

Во введении обоснованы актуальность темы исследования и ее практическая значимость, сформулированы цель и задачи работы, определена новизна и обоснованна достоверность полученных результатов, изложены основные положения диссертационной работы по главам.

В главе 1 рассматриваются, используя традиционные методы теории массопереноса, особенности математического моделирования нестационарного процесса взаимодействия естественных подземных вод с загрязненными (сточными) водами в реологических средах.

Параграф 1.1 посвящен построению и исследованию качественных и структурных свойств базовой математической модели неустановившегося процесса миграции загрязненных подземных вод в почвах и почвогрунтах. Здесь сформулированы основные теоретические положения, указаны важнейшие параметры, описывающие внутреннюю структуру потока и описан характер его взаимодействия с пористой средой. Особое внимание обращено на то, что основной характеристикой, определяющей нелинейный характер миграции, является сложная геометрия порового пространства.

Вывод обобщенного дифференциального уравнения миграции загрязненных подземных вод основан на использовании принципа локальности, который предполагает, что основные законы механики сплошных сред справедливы не только для всей системы в целом, но и для любой ее части, какой бы она малой не была. Это позволяет в интегральных законах сохранения, совершая предельный переход, при стремлении области интегрирования к нулю, получить эквивалентные законы сохранения локальных процессов миграции в форме следующих дифференциальных уравнений в частных производных:

х дх' у ду дх ду дt

_ * дс 5с Эс дих диу дМ

~ = (0-2)

ОТ

Здесь и = и(х;у;{) - скорость фильтрационного потока; к - коэффициент фильтрации; к = к{х;у;{) - напор потока подземных вод в момент времени t и в точке (л7_у); р = р{х;у;{) - плотность потока; их, иу - компоненты массовой скорости движения загрязнений; с - с(х;у; /) - концентрация загрязнений подземных вод; т - пористость; £>* = Э*{х;у;{) - дисперсия; N - сорб-ционная емкость пористой среды; у1 - коэффициенты скорости кинетики взаимодействия и сорбционного равновесия.

Для анализа пространственно-временных закономерностей нестационарного процесса миграции загрязнений подземными водами, в силу уравнений (0.1), (0.2), предлагается обобщенное уравнение

дс

т — = сИу дt

* г 1 дЫ

И gra.dc -сИу[ис\--. (0.3)

(Я

Дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка параболического типа (0.3) является базовым уравнением для решения многих прикладных задач. Оно, в рамках справедливости эмпирических законов Дарси и Фурье - Фика, описывает процесс изменения во времени концентрации загрязнений в какой-либо точке в результате разности переноса загрязнений фильтрационным потоком и гидродинамической дисперсии при наличии растворения и поступления в раствор солей и примесей, содержащихся в почвогрунтах.

В параграфе 1.2 предлагается альтернативный модульный подход качественного исследования математической модели нелинейной миграции (0.3). Он, опираясь на общность математической постановки задачи, предпо-

лагает предварительное, последовательное изучение упрощенных модельных задач миграции, которые строятся в соответствии с принципами целевой направленности, иерархичности и системности. Модульная интерпретация обобщенного уравнения (0.3) сводит его к аддитивной схеме, включающей следующие модельные уравнения:

- конвективного переноса

дс 7. г 1 дИ .ч т— = -ащис]--; (0.4)

-