автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Анализ устойчивости рыночных механизмов в моделях ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями

Московский Государственный Университет им. М.В. Ломоносова, факультет Вычислительной Математики и Кибернетики

На правах рукописи

ОБРОСОВА Наталия Кирилловна

АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ РЫНОЧНЫХ МЕХАНИЗМОВ В МОДЕЛЯХ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ ВАЛЬРАСОВСКОГО ТИПА С ЗАПАЗДЫВАНИЯМИ

Специальность 05.13.18 Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д.ф.м.н., профессор Шананин А.А.

Москва -1999

Оглавление

Введение..................................................................................................3

Глава 1. Анализ устойчивости равновесной цены в модели ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями..........................................................................19

1.1 Описание модели.............................................................................19

1.2 Анализ устойчивости равновесной цены...................................20

1.3 Экономическая интерпретация границ устойчивости............42

Глава 2. Потеря устойчивости равновесной цены.........................52

2.1 Потеря устойчивости стационарного решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом.........................................................................................53

2.2 Потеря устойчивости равновесной цены в модели ценообразования вальрасовского типа с запаздываниями......98

Глава 3. О влиянии эластичности замещения товаров на

устойчивость рыночных механизмов.............................................107

3.1 Описание модели...........................................................................108

3.2 Анализ устойчивости равновесных цен в двухпродуктовой модели...............................................................................................125

Литература...........................................................................................140

Введение

В экономической истории известны периоды кризисов, во время которых рыночные механизмы становились неустойчивыми, а поведение экономических агентов плохо прогнозируемым. Экономисты выделяют несколько типов кризисов в зависимости от их проявлений. Так, хорошо известны финансовые кризисы, обусловленные неустойчивостью в финансово-кредитной сфере, торговые кризисы, связанные с деятельностью торговых посредников. Еще в 1841г. известный экономист Альберт Галлатин писал, что все активные торговые страны неизбежно подвержены торговым кризисам, когда ряд сменяющих друг друга благоприятных лет вызывает чрезмерное расширение торговых операций [29]. История рыночного хозяйства демонстрирует череду кризисов перепроизводства, потрясавшую экономически развитые страны на протяжении 19-20 веков. Анализом таких кризисов с начала 19в. занимались многие экономисты. Например, М.И. Туган-Барановский (1865-1919г.) указывал, в первую очередь, на чрезмерный рост производства, наблюдающийся при наступлении кризиса, Л. Лодердель (1759-1839г.) видел истоки кризиса перепроизводства в сокращении спроса [29]. Так с чем же связано возникновение экономического кризиса? Кризисные явления в экономике появлялись на протяжении новой истории западных стран и продолжают появляться в настоящее время достаточно часто, что подтверждает гипотезу о том, что рыночные отношения не являются глобально устойчивыми и не теряют устойчивость лишь потому, что становятся невыгодными для определен-

нои группы экономических агентов, а имеют свою ограниченную область устойчивости и выходят из этой области в результате эволюции макроэкономических показателей. Так, возникновение кризисов перепроизводства многие экономисты объясняют несоответствием сложившихся рыночных отношений технологической структуре экономики. Действительно, выход из кризиса обычно сопровождался изменением макроэкономических показателей, характеризующих структуру рыночных механизмов.

В математической экономике трудности, связанные с построением сценариев экономических кризисов объясняются, в первую очередь тем, что до сих пор недостаточно развит язык математического моделирования, который позволил бы формализовать представления экономистов и описывать эндогенное возникновение кризисов в макроэкономических системах. В данной работе начата разработка такого языка применительно к моделированию сценария возникновения кризисов в результате потери устойчивости равновесных цен. Перевод представлений экономистов о происхождении кризисов на формальный язык математических моделей, а также формулирование на этом языке соответствующих экономических явлений является необходимым этапом моделирования сценариев экономических кризисов.

Попытки описать сценарии возникновения экономических кризисов предпринимались в математической экономике с середины 80-ых годов [42, 35]. К этому времени достаточно хорошо развилось направление в теории динамических систем, связанное с понятием сложных аттракторов [4], позволившее предложить подходы к объяснению таких трудно поддающихся моделированию явлений, как возникновение турбулентности, динамика численности популяций с неперекрывающимися поколениями и др. [6, 37, 38, 39]. В работах [42, 35] результаты теории динамических систем были использованы для исследования устойчивости

рыночных механизмов в моделях ценообразования в дискретном времени.

В [35] рассмотрен рынок однородного товара и, следуя традиционным представлениям теории равновесия, считается, что в каждый момент времени товар продается по единой цене р, поведение потребителей описывается функцией спроса С(р), поведение производителей - функцией предложения д(р). При этом считается, что характерное время изменения функций спроса и предложения много больше характерного времени изменения цены, поэтому эти функции не зависят явно от времени. При моделировании процесса ценообразования время считается дискретным, изменяющимся с некоторым шагом.

Пусть рп - цена товара на шаге п. Предположим, что на п -ом шаге покупатели товара, ориентируясь на цену рп_1, планируют израсходовать сумму денег рп_1С(рп_1), а производители планируют выпуск и продажу товара в объеме д(рп-1). Будем считать, что потребители и производители действуют строго в соответствии со своими планами. Тогда на шаге п установится цена

рп-гС(рп~1) , ,

Рп дЬъ-0 ■ {°Л)

Стационарной точкой для системы (0.1) является равновесная цена р*, т.е. цена, при которой спрос на товар равен предложению (С(р*) = д(р*)), при условии, что она существует. В [35] проанализирована устойчивость равновесной цены в модели (0.1) для конкретного вида функций предложения и спроса. Вид функции предложения д(р) получен на основе модели Хаутеккера-Иохансена функционирования отрасли и определяет зависимость выпусков от таких макроэкономических параметров, как мощность отрасли и темп роста производственных мощностей. Построенная функция предложения имеет следую-

щии вид

д(р) = Ml 1 - (jn (0.2)

где М - мощность отрасли, а - параметр, характеризующий темп роста мощностей в отрасли, sv - характеристика отрасли (вывод данного вида функции предложения приведен в §1.3 главы 1). Функция спроса выбрана в следующем модельном виде

С(р) = (0.3)

SV

где С - масштаб спроса, /3 - степень необходимости товара (подробнее см. § 1.3 главы 1). Преимущество выбора данного вида функций предложения и спроса состоит в том, что он определяет явную зависимость этих функций от макроэкономических параметров. Экономисты связывают возникновение кризисов перепроизводства с увеличением параметра

М , ,

Л=т ^

характеризующего превышение производственных мощностей над равновесным спросом. Изменению параметра А соответствует изменение производственных мощностей в отрасли, с увеличением которых связывается возникновение кризисов перепроизводства, или изменение спроса, чрезмерное увеличение которого (инвестиционный бум) также сопутствует экономическому кризису. Проведенные в [35] исследования показали, что устойчивость равновесной цены в модели (0.1) теряется в результате превышения параметром А некоторого критического значения А\(а), и после потери устойчивости в системе возникает бесконечная последовательность бифуркаций удвоения периода, соответствующих последовательности значений параметра А. Величины А\(а), ^(ск),* • А^а) характеризуют запасы устойчивости рыночных механизмов. Чем меньше А\{а) и

разность Аоо(а) — Ах (а), тем меньше запасы устойчивости. В показано, что величина А\(а) в несколько раз больше величины А<х>(а) ~ А\(а). Это позволяет, в соответствии с представлениями экономистов, интерпретировать кризис как превышение параметром А критического значения А\(а). При достаточно больших производственных мощностях поведение системы становится хаотическим, т.е возникает сложная динамика цен, в результате чего экономические агенты не могут достоверно прогнозировать результаты своей деятельности. Доказано, что на периодических траекториях системы (0.1) предложение всегда превышает спрос. Такие явления в экономике называют кризисами перепроизводства. В [35] исследована зависимость запасов устойчивости рыночных механизмов от параметров, характеризующих макроэкономические структуры (производство и потребление). Показано, что при увеличении параметра а - темпа роста мощностей в отрасли - запасы устойчивости рыночных механизмов уменьшаются (ситуация "перегретой экономики"). С увеличением степени необходимости товара /3 область устойчивости равновесной цены в системе увеличивается, что также соответствует представлениям экономистов.

Идея описания возникновения кризисов состоит в том, чтобы построить модель экономической системы, в которой параметры, отвечающие за потерю устойчивости равновесных цен, изменялись бы эндогенно. Таким образом, модель ценообразования должна быть лишь одним из блоков макроэкономической модели, объясняющей происхождение кризисов. Рассмотрим подробнее схему такой модели.

Описание экономического явления начинается с выделения характерных времен процессов. При построении экономических моделей, согласно гипотезе А. Маршалла о разделении времен [10], считается, что все процессы делятся на медленные макро-

экономические процессы и быстрые (микроэкономические). Изучением процессов в медленном времени занимается макроэкономическая теория. Макроэкономические процессы - это изменение производственных мощностей и технологических характеристик производства, а также изменение предпочтений потребителя. Таким образом, в медленном времени происходит изменение функций предложения и спроса. При построении макроэкономических моделей обычно считается, что быстрые процессы находятся в равновесии. Изучением свойств этого равновесия, его устойчивостью занимается микроэкономическая теория.

Микроэкономические модели равновесия описывают результаты взаимодействия спроса на товары и их предложения на рынке в быстром времени на характерных временах, в течение которых считаются неизменными как предпочтения потребителей, так и технологии и производственные мощности производителей. Поэтому в этих моделях функции спроса и предложения считаются известными и независящими явно от времени. Обсудим взаимодействие процессов, описываемых в макро- и микроэкономических моделях, с формально-математической точки зрения.

Предположим, что процессы разделены по своим характерным временам. Обозначим через х - переменные, характеризующие медленные процессы (далее мы будем называть их макропеременными), а через у - переменные, характеризующие быстрые процессы (далее мы будем называть их микропеременными)1. Тогда схематично экономическая система будет описываться системой дифференциальных уравнений с сингулярно возмущенной правой частью

4 = д(И, у), (0-5)

Следуя А. Маршаллу, мы будем в качестве быстрых переменных рассматривать цены.

где б > 0 - малый параметр.

Первое уравнение в системе описывает медленные процессы, а второе - быстрые процессы.

Положим в (0.5) параметр 6 = 0, тогда получим систему

« (0-6) д(х, у) = 0.

По теореме Тихонова, решения системы (0.6) аппроксимируют решения системы (0.5), когда стационарное решение у(х) уравнения

= в(г' (0-7)

является асимптотически устойчивым. Подставляя это стационарное решение у(х) в первое уравнение системы (0.6), получим, что экономический процесс описывается уравнением вида

~ = /(*, у(х)). (0.8)

Модель (0.8) представляет схему макроэкономической модели, а уравнение

д{х, у) = 0, (0.9)

из которого определяется у(х), является схемой микромодели экономического равновесия.

Описывать экономику с помощью макромодели (0.8) и микромодели (0.9) можно лишь при условии, что в быстрой системе (т.е. в модели ценообразования) (0.7) положение равновесия у(х) асимптотически устойчиво по Ляпунову. Однако, в соответствии с нашими представлениями, кризису соответствует такое изменение медленных переменных ¿с, при котором положение равновесия у(х) теряет устойчивость. Таким образом, модели возникновения кризисов должны создаваться на стыке макро-и микротеорий, т.е. описывать кризис как потерю устойчивости быстрых процессов при изменении медленных параметров.

Возникает задача построения микроэкономической модели в быстром времени (т.е. модели ценообразования), в которой положение равновесия теряет устойчивость в результате изменения медленных параметров и которую можно использовать в качестве блока модели макроэкономического процесса.

Модель ценообразования в дискретном времени (0.1), (0.2), (0.3) для нашей цели не подходит, так как имеет ряд существенных недостатков. Во-первых, в дискретном времени неудобно описывать экономические явления, имеющие различные временные масштабы. Это не позволяет использовать эту модель в качестве блока модели макроэкономического процесса, который описывается в непрерывном времени. Во-вторых, шаг по времени задается извне и никак не интерпретируется. Поэтому, представляется более естественным описывать процесс ценообразования в непрерывном времени.

Большинство макроэкономических моделей описывает динамику валового внутреннего продукта (ВВП). Соответствующая модель ценообразования должна была бы описывать динамику скалярной величины - индекса цен. Таким образом, возникает проблема построения модели ценообразования на рынке однородного товара в непрерывном времени, которая наследовала бы качественные свойства модели (0.1), (0.2), (0.3) в дискретном времени.

Прямым аналогом рассмотренной выше дискретной модели

(0.1) является простейшая модель изменения цены вальрасовско-

2

го типа в непрерывном времени

<»'»>

где х > 0 - параметр, имеющий размерность Вр^мя и характе-

2В многомерном случае, когда на рынке существует несколько товаров, вопросу об устойчивости в модели вальрасовского типа посвящено большое количество работ (см., например, [27, 28]). С обзором этой литературы можно познакомиться в [12, глава 6].

ризующий скорость реакции рынка. При условии, что функция избыточного спроса С(р) — д(р) монотонно убывает по р, параметр % характеризует скорость установления равновесной цены. Разностный аналог уравнения (0.10) с шагом по времени ôt имеет вид

p(t+5t)-p(t) C(p(t)) - g(p(t))

6t ~X g{p(t)) m' 1 j

Выбирая в качестве шага по времени ôt = 1 получаем из (0.11) уравнение (0.1).

Однако, несложно убедиться, что если спрос убывает с ростом цены, а предложение возрастает с ростом цены (неоклассические предположения), то равновесная ценар* (при условии существования) является глобально устойчивым стационарным решением уравнения (0.10) 3. Итак, модель ценообразования (0.10) для нашей цели не подходит.

В отличие от модели в непрерывном времени (0.10), в модели в дискретном времени неявно присутствует инерционность в поведении экономических агентов. Эта инерционность является причиной потери устойчивости равновесных цен и возникновения сложной динамики.

В литературе встречается два способа учета инерционности. В первом способе, предложенном Х.Лоренцом [47], инерционность моделируется следующим образом: предложение непосредственно от цены не зависит, а от цены зависят его производные. Таким образом, процесс ценообразования описывается системой дифференциальных уравнений. Однако, недостатком модели, предложенной Х.Лоренцом, является то, что используемые в ней параметры не допускают интерпретации в терминах наблюдаемой

Действительно, если в некоторый произвольный момент времени I цена товара p(t) оказывается больше р*, то избыточный спрос С(р) — д(р) < 0, поэтому правая часть (0.10) отрицательна и цена p[t) убывает. Аналогично, если p(t) < р*, то избыточный спрос С(р) — д(р) > 0, поэтому правая часть (0.10) положительна и цена p(t) возрастает. Таким образом, решение уравнения (0.10) стремится к равновесной цене р* при любом начальном условии.

статистики.

Второй способ учета инерционности состоит в том, что в модель ценообразования в непрерывном времени вводятся постоянные запаздывания в реакции потребителя и производителя на изменение цены. При этом мы получаем модель ценообразования, учитывающую инерционность и описываемую дифференциальным уравнением �