автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Модели ценообразования и потоковые модели экономических систем

Введение

1. Модели ценообразования: на основе мгновенного приравнивания товарных и денежных потоков

1.1, Модели типа Вальраса

1.1.1, Вывод общей модели.

1.1.2. Исследование динамики.

1.2. Модели типа Вальраса для случая дефицита товара.

1.2.1, Вывод модели и некоторые ревультаты для системы в общем виде

1.2.2, Исследование тенденции изменения цены при возмущении системы ценовыми импульсами в случае постоянной эластичности предложения по цене

1.3. Модели типа Самуэльсона и двойственные к ним (DS-модели).

1.3.1, Вывод общей модели типа Самуэльсона и общей DS-модели

1.3.2, Исследование динамики.

1.3.3, Исследование границы бифуркации Андронова в модели типа Самуэльсона в случае линейного спроса и постоянной эластичности предложения по цене.

1.3.4, Исследование границы бифуркации Андронова в DS-модели в случае линейного спроса и постоянной эластичности предложения по цене.

1.3.5, Соотношения фаз в моделях типа Вальраса и Самуэльсона и в DS-модели в случае колебательных движений.

1.4. Выводы.

2. Модели ценообразования на основе максимизации прибыли 78 2.L Вывод общей модели . .-.

2.2, О состояниях равновесия системы

2.3, Оптимальность состояний равновесия системы с точки зрения игрового подхода.

2.4, Примеры эволюции динамики системы с различными функциями конкурентного спроса 0{ («) и учетом инерционностей.

2.5, 0 влиянии ценовых ограничений на динамику системы.

2.6, Выводы

3. Потоковые модели экономической динамики

3.1. Вывод базовой модели.

3.2, Исследование динамики.

3.2.1. Вводные замечания.

3.2.2. "Быстрые" и "медленные" переменные. Фазовый портрет подсистемы "быстрых" переменных.

--------------3.2.3, Предварительные замечания к. исследованию динамики всей пятимериой системы с использованием результатов для "быстрой" подсистемы.

3.2.4, Зависимость динамики системы от ставки заработной платы

3.2.5, Зависимость динамики системы от параметров экспорта, налога и банковского кредита.

3.2.6, Уточнение базовой модели, связанное с учетом выплаты предприятием дивидендов населению.

3.2.7, Уточнение базовой модели, при котором дена является фазовой переменной.

3.3, Выводы

В работе строится в изучается ряд новых математических моделей экономических систем, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнении. В этих моделях (как и во всех моделях экономики) определенным образом отражаются связи между экономическими переменными, и устанавливается влияние этих связей (через изменение значении параметров-констант) на динамику системы. В теоретических определениях системного подхода и системного анализа, приводимых различными философами и математиками (см., например, [б, 7, 30,52]), указывается, что при данном подходе в науке исследуемый объект рассматривается как нечто целостное, характеризуемое набором связей и отношений, структурой, организацией и целесообразностью поведения. Исследование систем с точки зрения системного подхода и системного анализа предполагает построение различного рода моделей, а в случае необходимости получения количественных результатов определенной точности - математических мо-делеи. Таким образом, для анализа экономической ситуации и составления прогноза ее развития необходимо строить математические модели экономики и исследовать их методами анализа сложных систем.

Математическое моделирование в экономике - это сравнительно молодое научное направление, которое по своему "возрасту" уступает моделированию в физике. Центральные проблемы классической политической экономии (рациональный выбор, выравнивание спроса и предложения, убывание предельной производительности факторов производства и предельной полезности благ) получили формально-математическое выражение только к началу XX в. усилиями Дж. Кларка, Л. Вальраса, Ф. Эджворта, В. Парето и других выдающихся представителей экономической и математической науки. Но эта формализация экономических законов была пока еще непригодна для развития экономической науки и рассматривалась лишь как некий "вспомогательный конспект", поскольку, как пишут А.А.Петров, И.Г.Поспелов и А.А,Шананин, "основные понятия политической экономии не являются величинами, строго определенными своей процедурой измерения, как, скажем, понятия физики. Попытка формально оперировать ими быстро обнаруживает логические пробелы в рассуждениях и натяжки в сопоставлении с эмпирикой. Политэкономические понятия - это скорее образы-категории, обеспечивающие общий язык специалистам, уже придерживающимся общей парадигмы, общего взгляда на мир" [46, с. 30].

Еще в XVII - XVIII вв., появились первые математические модели в физике. Подчеркнем: это были именно модели, в которых использовались определенные упрощения и идеализации (например, небольшие скорости и малые деформации, благодаря которым обеспечивалась возможность применения линейных моделей). При синтезе сложных технических систем появилась необходимость не только качественного, но и количественного прогноза, а при этом возникает нетривиальная задача - дополнить основные физические принципы гипотезами, из которых можно было бы вывести точные количественные характеристики реального объекта, а затем использовать их при решении конкретной задачи. Именно наличием гипотез и обусловлено частое употребление слова "модель" в физике.

Но в математической экономике слово "модель" употребляется еще чаще, чем в физике. Почему? А. А. Петров, И. Г. Поспелов и А. А. Шанаюга отвечают на &тот вопрос так: "Потому же, почему в математической физике стали чаще говорить о моделях. Каждый раз, чтобы описать изучаемый объект, приходится строить систему гипотез, из которых можно было бы вывести свойства объекта" [46, с. 120]. Авторы книги [46] справедливо подчеркивают, что в физике имеются некоторые "основополагающие, эмпирически надежные, проверенные принципы", которые можно использовать ря получения хотя бы общего вида зависимостей (как правило, эти зависимости имеют вид дифференциальных уравнений в обыкновенных или частных производных). Но едких основополагающих принципов мало: чтобы замкнуть описание (например, построить зависимости коэффициентов, входящих в дифференциальные уравнения, от переменных, характеризующих состояние системы), нужны дополнительные гипотезы. Так обстоят дела в математической физике. В математической же экономике пока еще не открыты сами основополагающие принципы, а посему неизвестен даже общий вид уравнений экономической системы: сами "основополагающие" уравнения носят гипотетический характер и каждый раз нуждаются в эмпирической проверке. Дополнительные предположения вносят еще больший "гипотетиэм" в уравнения экономической системы: вид уравнений зависит, в частности, от того, какие стратегии поведения экономических субъектов мы считаем возможными, и т.д. В результате получаются различные модельные уравнения (например: экономический осциллятор [19], модель ценообразования типа Вальраса [46] и др.).

В 30-е годы XX в. во всех странах происходит усиление государственного регулирования экономики. Государственные механизмы (налоги, пошлины, законы о финансово-кредитной деятельности и др.) должны были обеспечить повышение благосостояния населения и высокую устойчивую конъюнктуру. Для решения этих сложных задач были необходимы сбор и обработка экономико-статистической информации, которые невозможны без точного количественного описания экономических категорий. Этим объясняется повышение интереса к экономико-математическим моделям в 30-е годы. Именно в это время стало бурно развиваться направление в экономико-математическом моделировании, связанное с построением точных моделей (В. И. Арнольд [2] называл такие модели "жесткими"). Точные модели получаются на основе эконометрического (в том числе дисперсионно-регрессионного) анализа и используются для решения экономических проблем на уровне органов власти.

Точные экономико-математические модели делятся на статические и динамические. Статические модели, в свою очередь, делятся на равновесные и оптимизационные. Равновесные модели - это системы алгебраических или трансцендентных уравнений, ш которых находятся равновесные (в определенном смысле) значения переменных модели. Оптимизационные модели - это задачи теории игр, линейного программирования и др., решения которых (если они существуют) являются оптимальными (в смысле соответствующего критерия качества) значениями переменных и параметров модели.

Но, кроме нахождения оптимальных или равновесных решений, в экономике необходимо дедать и прогнозы на будущее. Поэтому важно строить и исследовать динамические модели, описывающие поведение экономической системы во времени. Эти модели имеют вид разностных или дифференциальных уравнений, причем дифференциальные уравнения могут быть как обыкновенными, так и в частных производных.

Одним из первых таких классов систем явилась модель Вальраса - Леонтьева, построенная вначале в виде системы разностных (см., например, [21]), а затем - обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка, определяемого количеством товаров и производственных факторов. Эта модель основана на некоторых балансовых соотношениях (закон Вальраса и др.). М. Моришима [31] исследовал систему дифференциальных уравнений Вальраса - Леонтьева и доказал, что при определенных условиях состояние равновесия этой системы глобально асимптотически устойчиво.

Существует также упрощенная модель типа Вальраса, приведенная, например, в [46]. Ее динамика основана на соотношении спроса и предложения, являющихся функциями от цены. Эта модель состоит из одного разностного или дифференциального уравнения, экономический смысл которого состоит в том, что на каждом шаге приравниваются два денежных потока: поток, который планируют уплатить за товар покупатели, и поток, который планируют получить продавцы. Состояние равновесия этой системы может быть асимптотически устойчивым (в случае дифференциального уравнения состояние равновесия всегда глобально асимптотически устойчиво).

Аналогичная модель с учетом некоторого фиксированного (операционного) уровня товара или актива в виде системы двух дифференциальных уравнений приведена в [55]; в такой системе существуют свободные гармонические колебания.

Дж. Джордан [61] рассмотрел обобщение упрощенной модели типа Вальраса на случай нескольких товаров, в котором использовались строгие математические понятия избыточного спроса!, а также рыночного и ценового механизмов. Он доказал, что в системе с числом товаров, большим двух, не существует рыночного механизма, приводящего к локальной асимптотической устойчивости состояния равновесия системы.

С 1930-х гг., начиная с работы Эзекила [58], изучался важный класс моделей с дискретным временем, называемых паутинообразными моделями (Cobweb Models) [22,56, 58,60] или динамическими спиралями [49], поскольку траектории этих систем в плоскости переменных "количество товара - цена" напоминают спираль или паутину. Смысл этих моделей состоит в том, что на каждом шаге приравниваются уже не денежные, как в (упрощенной) модели типа Вальраса, а товарные потоки: на каждом шаге спрос стремится сравняться с предложением, и при этом изменяется цена. Поскольку цена, при которой спрос равен предложению, называется в экономической теории равно весной ценой, паутинообразные модели называют также моделями временного равновесия (Temporary Equffibrium Models). В этих моделях в зависимости от конкретного вида функций спроса и предложения возможны стабилизация цены, автоколебания и хаос.

В 1960 — 70-е гг. Дж.Форрестер [53] предпринял попытку построить точную модель мировой динамики (с учетом многообразия природных и техногенных факторов) в виде системы разностных уравнений высокого порядка, для исследования которой он создал специальный язык программирования и с помощью программ, написанных на этом языке, получил некоторые результаты. Аналогичные модели применяются и в настоящее время (например, в [8] строится и исследуется система дифференциальных уравнений для описания национальных экономик, которая использовалась для прогнозирования экономического развития Украины).

В книгах [28, 46] приводится целый ряд точных микро- и макроэкономических математических моделей системного анализа плановой, рыночной и развивающейся экономики, имеющих вид разностных, дифференциальных и интегральных уравнений. Одна из известных моделей ценообразования - модель вальрасовского типа - модифицируется в направлении точной модели в работе Н. К. Обросовой [39], где исследуется влияние запаздывания в формировании спроса на товар и предложения товара на динамику системы. В [39] устанавливается также связь между равновесным значением цены и решением некоторой задачи оптимизации.

Точные (количественные) модели, как уже отмечалось, характеризуются большим числом переменных и параметров (например, в составленной в 1990-е гг. экономической модели Дании содержится около 25000 переменных), а также, как правило, неустойчивостью по отношению к погрешностям в сборе статистического материала. Кроме того, количественные модели дают достаточно точные прогнозы изменения отдельных переменных (а на уровне правительств как раз и ставятся задачи приведения отдельных экономических показателей, например темпов инфляции, валового внутреннего продукта и др., к заданному сценарию изменения во времени), но из-за большого числа переменных из этих моделей практически невозможно сделать выводов об общей тенденции развития экономической ситуации в целом. Поэтому для понимания механизмов функционирования экономики во времени используются также качественные модели, дающие такое приближение реальных экономических объектов и процессов, из которого можно получить результаты, касающиеся развития экономики как целостной системы (В. И. Арнольд [2] называл такие модели "мягкими"). При этом для качественных моделей характерны невысокая размерность и достаточно простой вид уравнений, входящих в модель. Модели такого типа могут применяться для составления предварительных прогнозов экономического развития, а также имеют определенное методическое значение (иллюстрация качественного поведения системы при различных значениях экономических параметров и различных начальных условиях). В последнее время интерес к качественным экономико-математическим моделям существенно возрос. Качественные модели, как правило, описывают развитие экономических систем в течение .более длительных сроков, чем количественные модели, поэтому "мягкие" модели обычно имеют вид дифференциальных или интегральных (но не разностных) уравнений.

Отсчет истории качественного математического моделирования экономических процессов начинается с 1930-х гг., когда была предложена модель экономического осциллятора, представляющая собой уравнение гармонического осциллятора, но полученная" из экономических принципов (баланс объема производства и спроса, принцип акселератора); вывод этой модели имеется, например, в современной книге [19]. В 1951 г. Р. Гудвин [59] построил систему дифференциальных уравнений, хорошо описывающих экономический цикл, который графически (на осциллограмме) выглядит как "пилообразные" колебания; в 1990-е гг. эта модель была модифицирована А. А. Короновским и Д. И. Трубецковым [19] и сведена к уравнению типа Рэлея.

В 1980-е гг. В. Вайдлих предложил новый макроскопический подход к математическому моделированию экономических процессов, основанный на "полухоличественных рассуждениях" [64]. Модели Вайдлиха представляют собой двумерные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, в которых переменные могут действовать друг на друга кооперативно или антагонистически (при этом переменные принимают только неотрицательные значения). Переменная х называется кооперативной по отношению к переменной у, если х стремится увеличить значение у при больших собственных значениях и уменьшить при малых, и антагони-стическойпа отношению к переменной у, если х стремится увеличить значение у при малых собственных значениях и уменьшить при больших. Понятия "малые" и "большие" значения переменных моделируются у Вайдлиха кусочно-постоянными функциями переключения характера влияния переменных друг на друга. Например, в случае кооперативного влияния переменной у на переменную х, если значение у будет принимать значения от 0 до некоторого критического значения (порога переключения) у = у „ то в правой части уравнения для г член, пропорциональный х, будет отрицательным; если ж еу> ys, то этот же член станет положительным. Общий вид моделей Вайдлиха: х = х • [a{y)s - х]; у = у • [b (x)s - у], где:

Га < 0 при0 <у<у,} а (у) = < а+ > 0 при ys < у < +оо, если воздействие у на х кооперативное;

Г о+ > 0 при 0 < у < ys\ а(у) = < а- < 0 при у3 < у < +оо, если воздействие у на х антагонистическое; 0 при 0 < х < х.\ 0 при xs < х < +оо, если воздействие х на у кооперативное; 0 при0<ж<жв; 0 при xs < х < +00, если воздействие х на у антагонистическое. В таких "сшитых" системах траектории могут вести себя как в окрестности состояния типа седло или фокус (в зависимости от параметров). В предельном случае (при стремлении положительного параметра з, отвечающего за силу влияния переменных друг на друта, к +оо) колебания системы превращаются в незатухающие периодические колебания.

Модели Вайдлиха являются универсальными в том смысле, что их переменные (макропеременные) "оторваны от реальной жизни", и взаимодействие этих макропеременных может быть описано качественно, без выяснения и учета социальных механизмов и взаимовлияния. Благодаря данному факту социально-экономический смысл этих моделей может быть самым разным (в [19] приводятся различные примеры реальных систем, которые можно описать с помощью моделей Вайдлиха: взаимодействие народа и правительства, экономические циклы, цикл ресторана). А. А. Короновский и Д. И. Трубецков модифицировали эти модели до трехмерных систем и также применили их к описанию широкого круга социальных явлений [19, 51].

В 1990 г. Ю.И.Неймарк [32] построил динамическую модель сообщества "производители - продукт - управленцы", представляющую собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений 3-го порядка с "усечением" по одной из переменных. "Усечение" делается из экономического смысла (неотрицательность фазовых переменных) и означает, что если некоторая переменная z приняла нулевое значение, а правая часть уравнения для z при z = 0 оказалась отрицательной, то по определению полагается z = 0 (доопределение правой части). Переменные системы имеют агрегированный (потоковый) экономический смысл: я - количество производителей, у - количество управленцев и z - количество накопленного продукта. Фазовый портрет этой достаточно простой системы отличается богатством возможностей: здесь в зависимости от параметров могут быть моно- и мультистабильность (т.е. одно или несколько асимптотически устойчивых состояний равновесия), а также различные виды автоколебаний: предельные циклы, частично проходящие по одной из координатных плоскостей (по плоскости г = 0, что означает полное отсутствие продукта в обществе в течение некоторого конечного промежутка времени) либо всегда остающиеся в строго положительной части фазового пространства. Впоследствии эта модель была усовершенствована В.И.Климовым и П.С.Панда [17], которые учли возможность перехода из производителей в управленцы за счет обучения, зависимость потребления продукта от количества продукта и потребление продукта другими категориями населения. В результате в системе могут появиться новые состояния равновесия, а также колебательная неустойчивость (бифуркация Андронова).

Из самых последних качественных социально-экономических моделей, описываемых системами дифференциальных уравнений, следует отметить модель экономической структуры общества, построенную впервые Вайдлихом [63] и более детально исследованную Д. С. Чернавским и др. [54], модель производства, хранения и сбыта продукции [9], модель динамики власти в иерархии [48]. Сюда же относятся построенные И. С. Ремпен и А. А. Короновским [18,47] модели взаимодействия продавцов и потребителей, описывающие чистую конкуренцию [15], когда на рынке действует достаточно большое количество продавцов, предлагающих абсолютно однородный товар одинакового качества по различным ценам, а также достаточно большое число покупателей, что дает возможность описать состояние рынка с помощью непрерывного распределения продавцов по ценам и непрерывного распределения покупателей по максимально допустимым для них ценам; модели в этом случае имеют вид систем уравнений в частных производных. В моделях Ремпен - Короновского с течением времени у всех продавцов устанавливается одна и та же цена товара.

В [10] рассматривается имитационная модель самоорганизации торговых сетей, в которой поведение потребителей и продавцов описывается управляемыми марковскими процессами, и стратегии управления выбираются из соображений оптимизации некоторых функционалов. В рамках этой модели могут возникать торговые структуры, отражающие системные свойства торговых сетей (в том числе их иерархическую структуру). Поэтому данную модель можно считать промежуточной между количественными и качественными моделями.

Однако все известные модели, конечно же, не исчерпывают полностью всех позиций, с которых можно описывать экономическую динамику. Поэтому для получения более многосторонней картины экономических процессов необходимо строить новые качественные математические модели и исследовать их. Результаты исследования моделей (как количественных, так и качественных) обогащают экономическую теорию новыми законами (имеющими место, разумеется, при некоторых предположениях относительно экономической системы).

Модели, изучаемые в диссертации, относятся к классу качественных ("мягких" в смысле Арнольда) моделей процессов в экономике.

В процессе изучения динамики модельных систем используются различные приемы аналитической и качественной теории дифференциальных уравнений. Однако поскольку известных теоретических результатов, пригодных к использованию на практике, достаточно мало, применение теории к исследованию конкретных нелинейных систем сложной структуры практически невозможно. Поэтому наряду с чисто теоретическими выкладками необходимо применять и доказательные вычисления, которые отчасти базируются на некоторых известных общих принципах теории дифференциальных уравнении. Кроме того, вычислительные эксперименты в немалой степени способствуют развитию теории, поскольку обобщение результатов численных расчетов может давать идеи для постановки задач и доказательства теорем. Поэтому в диссертации таким доказательным вычислениям отводится существенное место, а в ряде случаев они подкрепляются доказанными в работе утверждениями.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. В каждой главе исследуются определенные классы динамических моделей экономики в виде некоторых систем дифференциальных уравнений общего вида, в которых правые части удовлетворяют определенным условиям, вытекающим из известных законов экономической теории и соображений "здравого смысла". В конце каждой главы делаются общие выводы о динамике рассматриваемых модельных систем.

Основные результаты диссертации можно сформулировать следующим образом:

1. Построена трехмерная модель типа Вальраса с различными модификациями. В случае "обычного" товара теоретически и численно показано, что экономическое равновесие в системе является асимптотически устойчивым, и траектории системы стремятся к нему при различных значениях параметров спроса и предложения и различных начальных условиях. В случае товара Гиффена установлена возможность потери устойчивости состоянием равновесия, и для случая линейного спроса и постоянной эластичности предложения по цене доказано, что режим возможного возбуждения автоколебаний (мягкий или жесткий) зависит от величины эластичности предложения по цене.

2. Построена модификация модели типа Вальраса для случая дефицита товара. В такой модели существует континуум состояний равновесия, соответствующих ситуациям экономического равновесия. Рассмотрен вопрос об общей тенденции изменения цены вдоль этого континуума при действии ценовых импульсов чередующихся знаков на систему. Для случая постоянной эластичности предложения по цене доказано, что эта тенденция (рост или падение цены) зависит от величины эластичности предложения по цене.

3. Построены модель типа Самуэльсона как дифференциальный аналог паутинообразной модели, а также DS-модель в дискретном и непрерывном времени. Установлено, что в этих моделях в случае "обычного" товара возможно возбуждение автоколебаний, а для случая линейного спроса и постоянной эластичности предложения по цене доказано, что режим установления автоколебаний (мягкий или жесткий) зависит от эластичности предложения по цене. В рамках данных моделей сделаны выводы относительно стратегий поведения производителей.

4. Численно установлено, что каждый из рассматриваемых трех сценариев ценообразования (типа Вальраса, типа Самуэльсона, DS) может быть идентифицирован по соотношению фаз между спросом, предложением и ценой.

5. Построена модель ценообразования на основе максимизации продавцами-конкурентами своей прибыли. Получены достаточные условия единственности и глобальной асимптотической устойчивости состояния равновесия этой модельной системы. Для некоторых видов функций конкурентного спроса рассмотрен вопрос об оптимальности состояний равновесия по Нэшу и Парето, численно установлена возможность возникновения в модели автоколебаний и хаоса, а также стабилизации цен за счет усиления одностороннего конкурентного "давления" и введения в систему государственного регулирования в форме установления ценовых потолков.

6. Построены потоковые модели экономической динамики, которые качественно учитывают достаточно большое число экономических факторов. С помощью декомпозиции систем и численных экспериментов установлена возможность следующих сценариев развития системы: "гибель", "кризисы", "удовлетворительное состояние", "прогрессивное развитие", стабилизация. Численно установлено, что динамика данных систем существенно зависит от следующих параметров: ставка заработной платы, коэффициентшспорта^тавкеттлота^^оцент^ параметры функции от всех наличных денег предприятия или процент от прибыли предприятия). Выяснено, что наиболее благоприятного сценария развития системы - "прогрессивного развития" - можно достичь, выбирая значения ставки заработной платы из некоторого "золотого" интервала значений.

Заключение

1. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959.

2. Арнольд В. И. "Жесткие" и "мягкие" математические модели. Доклад на Научно-практическом семинаре "Аналитика в государственных учреждениях" в Администрации Президента Российской Федерации. М., 1997.

3. Барбапшн Е. А. Функции Ляпунова. М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит-ры, 1970.

4. Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границ области устойчивости. М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит-ры5 1984.

5. Березин И. С., Жидков Н. П. Методы вычислений. Том II. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1959.

6. Берталанфи Л. фон. Общая теория систем: критический обзор. В сб.: Исследования по общей теории систем. М.: Прогресс, 1969.

7. Блауберг И. В., Юдин Э. Г. Становление и сущность системного подхода. М.: Наука, 1973.

8. Горский А. А., Колпакова I. Г., Локшин Б. Я. Динамическая модель процесса производства, хранения и сбыта // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1998. N 1. С. 144- 148.12 8

9. Гуриев С. М., Поспелов 0. Г., Шахова М. Б. Имитационная модель самоорганизации , торговых сетей. М.: Вычислительный центр РАН, 1996.

10. Еругин Н.П. Некоторые общие вопросы теории устойчивости движения // Прикладная математика и механика. 1951. Т. 15. Вып. 2. С. 227 236.

11. Захаров В. П. Введение в теорию предельных циклов. Чебоксары, Чувашский гос. ун-т, 1978.

12. Иванилов Ю.П., Лотов А. В. Математические модели в экономике. Под ред. Н. Н. Моисеева. М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит-ры, 1979.

13. Интрилитатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. Пер. с англ. под ред. и с предисл. А. А. Конюса. М.: Прогресс, 1975.

14. Казаков А. П., Минаева Н. В. Экономика. М.: Изд-во ЦИПКК АП, 1996.

15. Качественная теория динамических систем второго порядка / А.А.Андронов, Е. А. Леонтович, I. И. Гордон, А. Г. Майер. М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит-ры,1966.

16. Климов В. 1., Ланда П. С. Простейшая модель экономического развития общества // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1. N 3 4. С. 36 - 44.

17. Короновский А. А. О механизмах установления рыночной цены //Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1996. N4 5. С. 92 - 98.

18. Короновский А. А., Трубецков Д. 1. Нелинейная динамика в действии. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 1995.

19. Красовский Н. Н. Об устойчивости в целом решения нелинейной системы дифференциальных уравнений // Прикладная математика и механика. 1954. Т. 18. Вып. 6. С. 735 737.

20. Красс И. А. Математические модели экономической динамики. М,: Советское радио, 1976.

21. Ланкастер П. Теория матриц. Пер. с англ. М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит-ры, 1978.

22. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и хаотическая динамика. Пер. с англ. М.: Мир, 1984.

23. Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование. М.: Наука, Глав, ред. физ.-мат. лит-ры, 1984.

24. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.-П.: Гостехиздат, 1950.

25. Макконнелл К. Р., Брю С. Л. Экономикс: принципы, проблемы и политика. В 2-х тт. Пер. с англ. М.: Республика, 1992.

26. Математическое моделирование: Процессы в сложных экономических и экологических системах / Под ред. А.А.Самарского, Н.Н.Моисеева, А.А.Петрова. М.: Наука, 1986.

27. Машина М. В. Экономическая азбука. М.: МИРОС Международные отношения, 1995.

28. Моисеев Н. Н. Человек, среда, общество. М.: Наука, 1982.

29. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост (многоотраслевой анализ). Пер. с англ. Под ред. В.Л.Макарова. М.: Наука, 1972.

30. Неймарк Ю. И. Математическая модель производители продукт - управленцы // Динамика систем. Динамика, стохастичность, бифуркации. Межвуз. сб. науч. тр. Горький, 1990. С. 84- 89.

31. Неймарк Ю. й., Панда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, Глав. ред. физ.-мат. пит-ры, 1987.

32. Неймарк Ю. И., Островский А. В. Дифференциальные экономические модели типа Самуэльсона // Вестник Нижегородского гос. ун-та. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1999. Вып. 1 (20). С. 123 129.

33. Неймарк Ю.0., Островский А. В. Одна модель конкурентного ценообразования // Проблемы теоретической кибернетики. Тезисы докладов XII Международной конференции. М., 1999. 4.II. С. 170.

34. Неймарк Ю. И., Островский А. В. О некоторых моделях ценообразования в рыночной экономике II Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7. N 6. С. 35-41.

35. Неймарк Ю.Й., Островский А. В. Потоковая модель экономической динамики // Вестник Нижегородского гос. ун-та. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1998. Вып. 1 (18). С. 105 115.

36. Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, Глав, ред. физ.-мат. лит-ры, 1967.

37. Обросова Н. К. Устойчивость рыночных механизмов в моделях ценообразования вальрасовского типа с запаздыванием. М.: Вычислительный центр РАН, 1999.

38. Островский А. В. Динамика одной модели конкурентного ценообразования в рыночной экономике // Математика. Компьютер. Образование. Вып. 7. Ч. I. Сб. науч. тр. Под ред. Г. Ю. Ризниченко. М.: Прогресс-Традиция, 2000. С. 305 311.

39. Островский А. В. Динамика одной модели ценообразования // Четвертая Нижегородская сессия молодых ученых (математические и гуманитарные науки). Тезисы докладов. Часть I. Н.Новгород: Нижегородский гуманитарный центр, 2000. С. 39 -40.

40. Островский А. В. Об одной модели экономической динамики // Математика. Компьютер. Образование. Вып. 5. Ч.П. Сб. науч. тр. Под ред. Г. Ю. Ризниченко. М.: Прогресс-Традиция, 1998. С. 346 349.

41. Островский А. В. Об одном классе моделей конкурентного ценообразования в рыночной экономике // Дифференциальные уравнения и процессы управления. Электронный журнал (www.neva.ru/joumaI). 2000. N 2. С. 58 77.

42. Островский А. В. О стабилизации и колебаниях цены в дифференциальных моделях ценообразования типа Вальраса // Устойчивость и колебания нелинейных систем управления. VI Международный семинар. Тезисы докладов. М., 2000. С. 98.

43. Петров А. А., Поспелов И. Г., Шананин А. А. Опыт математического моделирова-ния экономики. М.: Энергоатомиздат, 1996.

44. Ремпен И. С., Короновский А. А. Нелинейная модель взаимодействия продавцов и потребителей // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1997, N5. С. 80 -87.

45. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. . Примеры. М.: Наука, Физматлит, 1997.

46. Самуэльсон П. Экономика. В 2-х тт. Пер. с англ. М.: МГП "Алгон", ВНИИСИ, 1992.

47. Стронгин П. Р. Независимые производители и независимые посредники на рынке стандартизованного товара // Вестник Нижегородского гос. ун-та. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н.Новгород: йзд-во Нижегородского ун-та, 1997. С. 160 173.

48. Трубецков Д. И. Колебания и волны для гуманитариев. Саратов: йзд-во ГосУНЦ * "Колледж", 1997.

49. Урманцев Ю. А. Эволюционика или общая теория развития систем природы, общества и мышления. Пущино: ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1988.

50. Форрестер Дж. Мировая динамика. Пер. с англ. Под ред. Д. М. Гвишиани, Н. Н. Моисеева. М.: Наука, 1978.

51. Чернавский Д. С., Пирогов Г. Г., Чернавская 0. Д., Щербаков А. В., Суслаков Б. А. Динамика экономической структуры общества (математическая модель) // Изв. > вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1996. N 3. С. 67 - 75.

52. Эрроусмит Э., Плейс К. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями. М.: Мир, 1986.

53. Artstein Z. Irregular Cobweb Dynamics // Economic Letters 11, North-Holland Publishing Company, 1983. P. 15 17.

54. Benettm G., Galgani L, Giorgilli A., Strelcyn J.M. Lyapunov Characteristic Exponents for Smooth Dynamical Systems and for Hamiltonian Systems; a Method for Computing All of Them. P. 1, 2 // Meccanica. 1980. V. 15. No. 1. P. 9 20, 21 - 30.

55. Ezekiel. The Cobweb Theorem // Quarterly Journal of Economics. 1938. V. VII. P. 262 269.

56. Goodwin R. M. The Non-linear Accelerator and Persistence of Business Cycles // Econ. 1951. V.19. P. 1-17.

57. Hommes С. H. Chaotic Dynamics in Economic Models. Some Simple Case-Studies. Wol-ters-Noordhoff-Groningen, 1991.

58. Jordan J. S. Locally Stable Price Mechanisms // J. of Mathematical Economics, North-HoUand. 1983. V. 11. No. 3. P. 235 259.133

59. Ostrovsky A. V. Ozi a Dynamical System Which Simulates Price Forming When There Exists Deficit of the Commodity // 2000 2nd International Conference "Control of Oscillations and Chaos", St.Petersburg, Russia. Proceedings. V. 3. P. 583 585.

60. Weidlich W. Physics and Social Science the Approach to Synergetics // Phys. Rep. 1991. V. 204. N1. P. 1-169.

61. Weidlich W. Stability and Cyclicity in Social Systems // Behavioral Science. 1988. V. 33. . P. 241.