автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка математических моделей равновесного развития рынка труда

На правах рукописи Чернядьева Наталья Валентяновна

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РАВНОВЕСНОГО РАЗВИТИЯ РЫНКА ТРУДА

Специальность 05 13 18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Кемерово - 2004

Работа выполнена на кафедре математической кибернетики Кемеровского государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Данилов Николай Николаевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук Тайлаков Олег Владимирович;

кандидат технических наук, доцент Павский Валерий Алексеевич

Ведущая организации

Якутский государственный университет им. М. К. Аммосова

Защита состоится 19 февраля 2004 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 003.036.01 в Институте угля и углехимии СО РАН (650610, г. Кемерово, ул. Рукавишникова, 21).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института угля и углехимии СО РАН.

Автореферат разослан 16 января 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

Б. В. Власенко

2004-4

25367 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Повышение эффективности производства при полной и рациональной занятости, обеспечение устойчивого экономического роста и социальной защищенности, населения являются важнейшими условиями при переходе к рыночной экономике. Узловой точкой решения этих вопросов является разработка методов регулирования рынка труда как одного из главных элементов экономической системы, от характеристик функционирования которого зависят рост производства и динамика потребительского рынка.

В этом контексте важную роль играет понятие равновесия на рынке труда, которое имеет глубокое нормативное содержание. Оно указывает контуры идеального функционирования рынка, обеспечивающего полную занятость наряду с эффективным распределением трудовых ресурсов между экономическими агентами при децентрализованном принятии решений. Концепция равновесия в значительной степени вобрала в себя мировой опыт развития рыночной системы и может быть полезна на практике для поиска путей развития и упрочения рыночных отношений.

В научной литературе практически отсутствуют работы математического характера, посвященные изучению рынка труда, а проводимый анализ спроса и предложения труда большей частью имеет вербальный характер. Рынок труда преимущественно понимается на содержательном уровне, исследуется с применением графических построений, некоторых формул вычислитального или описательного характера, то есть не строится строгая математическая модель рынка труда как такового. В связи с этим возникает проблема комплексной оценки воздействия цен товаров потребления и цен труда на состояние рынка и уровень занятости.

Таким образом, построение равновесных математических моделей-рынка труда, как теоретической базы для изучения вопросов его стабильного развития и разработки методов регулирования, с помощью мощного математического аппарата является актуальной научной задачей.

Диссертационные исследования выполнялись в рамках гранта Министерства образования РФ по фундаментальным исследованиям в области естественных наук №Е00-2.()-46, 2(Х)1-2002 гг. "Принципы согласования интересов в математической модели управляемой агрегированной системы" и Президентского гранта ведущих научных школ РФ НШ - 2174.2003.1 "Математический анализ конфликтно-управляемых систем" (совместно с факультетом прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета).

РОС. национальная библиотека спт?;-?г Гл оэ

Целью работы является разработка математических моделей развития рынка труда, позволяющих обосновать существование и найти необходимые и достаточные признаки равновесного состояния рынка труда, а также изучить > с-ловия его устойчивого функционирования.

Идея работы заключается в использовании подходов и методов математической экономики при построении равновесных математических моделей рынка труда для нахождения условий, обеспечивающих его стабильное развитие. Задачи исследования:

- построить и обосновать статическую модель рынка труда как взаимосвязанную совокупность задач всех его участников, формализовать основные элементы рынка и найти условия существования полной занятости и равновесия;

- описать процесс регулирования заработной платы в виде системы дифференциальных уравнений с тем, чтобы на его основе разработать метод нахождения равновесного состояния рынка труда;

- построить динамическую модель рынка труда как совокупность моделей его участников, реализованных в виде дискретных задач оптимального управления, изучить вопрос формирования спроса и предложения, формализовать и обосновать понятие равновесия на рынке труда в динамическом случае, исследовать существование оптиматьной траектории, а также необходимые и достаточные условия оптимального развития рынка труда;

- найти условия существования равновесных траекторий рынка труда и провести анализ их состоятельности во времени, а также разработать алгоритм динамически устойчивой регуляризации равновесных траекторий рынка труда.

Методы исследования:

- подход Л. Вальраса из теории математической экономики для моделирования статической модели рынка труда и формализации равновесия;

- теоремы Вейерштрасса и Брауэра для нахождения условий существования, теорема Куна-Таккера для нахождения необходимых и достаточных условий равновесного состояния рынка труда;

- методы теории дифференциальных уравнений и подход П. Самуэльсона из теории математической экономики для моделирования и исследования процесса регулирования заработной платы;

- методы теории оптимального управления для разработки динамической модели рынка;

- принцип динамической устойчивости для моделирования временного равновесия.

Научные положения, защищаемые автором:

- разработанная статическая модель рынка труда представлена в виде взаимосвязанной совокупности оптимизационных задач всех участников рынка, что позволяет формализовать понятия полной занятости, спроса, предложения и равновесия, доказать существование равновесного состояния, а также найти условия полной занятости;

- разработанный метод вычисления равновесного состояния рынка труда, основанный на сходящемся процессе формирования цен труда, обеспечивает нахождение такой системы цен, при которой спрос равен предложению с любой заданной точностью;

- динамическая модель рынка труда формализована в виде совокупности задач оптимального управления участников рынка и позволяет установить существование оптимального управления участников рынка труда, а также найти необходимые и достаточные условия оптимального развития рынка;

- принцип динамической устойчивости позволяет исследовать вопрос о состоятельности во времени равновесных траекторий развития рынка труда и находить траекторию цен труда, обеспечивающую его динамически устойчивое е-равновесное функционирование.

Обоснованность н достоверность научных положений и результатов обеспечена:

- адекватностью построенных математических моделей реальным задачам участников рынка и практическим условиям его функционирования;

- применением известных математических методов для построения и анализа моделей рынка труда;

- применением точных математических положений и строгих доказательств;

- подтверждением теоретических положений с помощью апробации на модельных примерах алгоритмов и программ.

Научная новизна работы состоит в том, что:

- впервые поставлена и комплексно исследована проблема математического моделирования рынка труда, формализованы основные рыночные элементы, получены условия полной занятости и равновесия;

- формализован процесс регулирования заработной платы, найдены условия, обеспечивающие сходимость этого процесса к вектору равновесных цен труда, на основе чего разработан алгоритм вычисления равновесного состояния рынка труда;

- построена динамическая модель рынка труда на конечном временном интервале, в которой установлено существование оптимального развития рынка, а также найдены его необходимые и достаточные условия;

- исследован вопрос о состоятельности во времени равновесных траекторий и разработан алгоритм динамически устойчивой регуляризации -равновесной траектории развития рынка труда.

Личный вклад автора состоит в:

- разработке и обосновании метода формализации рынка труда, его основных элементов и нахождении условий существования полной занятости и равновесия;

- разработке алгоритма нахождения равновесного состояния рынка труда, на основе формализованного и изученного процесса регулирования заработной платы;

- построении динамической модели рынка труда, формализации и обосновании понятий спроса, предложения и равновесия на рынке труда в динамическом случае, исследовании необходимых и достаточных признаков оптимального развития рынка труда;

- установлении условий существования равновесных траекторий рынка труда, проведении анализа состоятельности во времени, а также разработке алгоритма динамически устойчивой регуляризации равновесных траекторий рынка труда.

Практическая ценность работы заключается в возможностях:

- использовать аппарат математической экономики для построения моделей рынка труда и исследования вопросов существования состояний полной занятости и равновесия;

- определять цены труда, обеспечивающие равенство спроса и предложения на рынке труда;

- исследовать условия существования, необходимые и достаточные признаки оптимального развития рынка на конечном временном интервале;

- проводить анализ состоятельности во времени равновесных траекторий и ре-гуляризировать такие траектории развития рынка труда с тем, чтобы они были динамически устойчивыми.

Реализация работы

Некоторые результаты работы включены в отчеты по вышеназванным грантам Министерства образования и ведущих научных школ РФ. Часть основных результатов диссертационной работы используется в учебном процессе по специальности 01.02.00 "Прикладная математика и информатика" на математическом факультете КемГУ при чтении специальных курсов и выполнении курсовых и дипломных проектов.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и получили одобрение на Всероссийской научной конференции "Наука и образование'" (Белово, 2003); Всероссийской научно-практической конференции "Информационные технологии и мат. моделирование" (Анжеро-Судженск, 2002); Областной конференции молодых ученых КемГУ (Кемерово. 6

Областной конференции молодых ученых КемГУ (Кемерово, 2002); Всероссийской научно-практической конференции "Новые технологии и комплексные решения: наука, образование, производство" (г. Анжеро-Судженск, 2001); Ш Международной конференции по математическому моделированию (Якутск, 2001); IV Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ Новосибирск, 2000); научных семинарах Института угля и углехимии СО РАН (Кемерово, 2003), кафедры математической кибернетики КемГУ (Кемерово, 20002003).

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 12 печатных работ, включая 6 научных статей и 6 тезисов докладов на Всероссийских и Международных конференциях.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав (20 параграфов) и списка использованной литературы, содержащего 97 наименований. Общий объем диссертации составляет 184 страницы машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность задачи математического моделирования рынка труда, описана цель диссертационного исследования, приведен краткий обзор и анализ существующих моделей, связанных с функционированием рынка труда, обсуждены методы моделирования, сформулированы научные положения, выносимые на защиту и изложены основные результаты работы.

Глава 1 посвящена разработке и исследованию статической математической модели рынка труда (участниками которого являются фирмы и индивиды) с т фирмами, п индивидами, I видами труда и г типами товаров потребления. Формализуются основные элементы рынка труда и находятся условия существо -вания состояния полной занятости и равновесия.

В главе 2 проводится анализ взаимовлияния основных факторов рынка и изучается связанный с ним вопрос формирования равновесных цен труда средствами аппарата дифференциальных уравнений. Разрабатывается методика нахождения системы цен труда, обеспечивающей состояние равновесия на рынке труда

Глава 3 посвящена построению и исследованию динамической модели рынка труда с дискретным временем, представленной в виде совокупности многошаговых задач оптимального управления. Найдены необходимые и достаточные условия оптимачьности траекторий участников рынка

В главе 4 исследуются вопросы вычисления оптимальных траекторий участников рынка труда, проводится анатиз равновесных траекторий рынка с точки зрения их состоятельности во времени и разрабатывается алгоритм динамически устойчивой регуляризации -равновесной траектории рынка труда

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

/. Разработанная статическаямодельринка труда представлена в виде взаимосвязанной совокупности оптимизационных задач всех участников ринка, что позволяет формализовать понятия полной занятости, спроса, предложения иравновесия,доказать существованиеравновесного состояния, а также найтиусловия полной занятости

Для разработки статической модели рынка труда с т фирмами, п индивидами, I видами труда и г типами товаров потребления построены оптимизационные задачи участников рынка Для того чтобы максимизировать прибыль при ограничениях на затраты факторов производства, к-я фирма решает следующую оптимизационную задачу:

Р* ~ » - капитал (основные фонды) к-ой фирмы; V- цена капитала

(арендная плата за капитал); ¿* - трудовые ресурсы поу-му виду труда; у* - объем выпуска <7-ой продукции к-ой фирмой; - цена q-ovi продукции; Щ- почасовая ставка заработной платы по у-му виду труда; 2 * - фонд затрат на факторы производства; - функция прибыли к-ой фирмы; - производственная функция для д-ой продукции.

Для того чтобы максимизировать полезность от распределения своего труда, в условиях определенного уровня благосостояния, ;-й индивид решает следующую оптимизационную задачу:

»'(£')-> шах (4)

(и-,Л") + ¿/<2* + (р,Ь') > (Ас'), (5)

¿^^в', 5'>0. (6)

Здесь .V'= (5/- вектор распределения труда /-го индивида; и1 функция полезности от распределения труда /-го индивида;

доля прибыли к-ой фирмы, которую получает /-й индивид,

у'1><); Ь' = (ь;.....Ь'г)

- вектор начальных запасов товаров /-го индивида;, - вектор, оцени-

вающий приемлемый для индивида / уровень благосостояния, где с'д - минимальное допустимое количество товара д-го вида, необходимое 1-му индивиду; О' - суммарный ресурс времени, имеющийся в распоряжении индивида. Статическая модель рынка труда представлена совокупностью

где П* - символическое обозначение модели (1)-(3), Ч"' - символическое обозначение модели (4)-(6).

Любая последовательность .....Ьт,$1,...,5п), компоненты кото-

рой удовлетворяют условиям (2)-(3) и (5)-(6) соответственно, а также равенствам

у-и.'. (7)

ы1

называется состоянием полной занятости на рынке М.

Векторы /**(*) = (/,{*(>»>).....и 5'"(*>) = (»),....яЛ*)) являются

решениями оптимизационных задач £}* и соответственно и называются спросом к-ой фирмы и предложением /-го индивида на рынке М..

Набор где и»* ==(и,,*,...,и'/), называется равнове-

сием на рынке М, если выполняются равенства:

= 7 = 1.....(8)

В этом случае называется вектором равновесных цен труда

Определенное таким образом понятие равновесия для рынка труда соответствует известной концепции равновесия по Вальрасу для рынка товаров потребления, когда экономическое равновесие определяется посредством совокупного спроса и предложения на товары.

Введена в рассмотрение величина, оценивающая трудовой доход / -го индивида, необходимый для достижения выбранного им уровня благосостояния:

Установлено, что для того, чтобы на рынке М имела место полная занятость, необходимо выполнение условий:

А'^&'тах.™,, I = 1,...,и, ,оч

(1б£(гк¿Та' .

Показано, что на рынке СМ существует равновесное состояние, если выполняются условия (9), (10), атакже:

1) ф)нкции Р , к — \,...,т, и и', / =!,...,« непрерывны по всем аргумен-

2) функции спроса Ь , к = \,...,т и предложения 8' , 1 = \,.,,п - непрерывны относительно w.

Изучено оптимальное поведение работодателей в том случае, когда производство описывается функцией Кобба-Дугласа Найдено условие на эластичности выпуска по видам труда и капитала, при котором производство рентабельно для заданной системы цен. В том случае, когда производство не>быточно, спрос фирмы на опредаленный вид труда прямо пропорционален эластичности этого вида труда и обратно пропорционален его цене.

Изучено оптимальное поведение индивидов с квадратичной функцией полезности. Приведен способ вычисления предложения труда индивида, когда известны все параметры рынка.

2. Разработанный метод вычисления равновесного состояния рынка труда, основанный на сходящемся процессе формирования цен труда, обеспечивает нахождение такой системы цен, при которой спросравен предложению слюбойзаданнойточностью.

Описан развернутый во времени процесс регулирования (формирования) заработной платы на рынке труда:

(Л^Дт)

(И)

где м'Дт) - цена у -го вида труда в момент времени т, ру > 0 - коэффициент подстройки заработной платы по >му виду труда

Доказан ряд вспомогательных лемм о свойствах функции избыточного спроса

на рынке СМ.

Установлено, что если функция избыточного спроса О^) на рынке СМ однозначна и непрерывна относительно а также избыточный спрос на определенный вид труда увеличивается, при условии, что заработная плата по нему неизменна а цены других видов труда возросли, то решение системы (11) сходится к

там:

Ю

вектору равновесных ставок заработной платы w* независимо от начального состояния

На основе процесса регулирования заработной платы построен численный метод, позволяющий найти такой вектор цен труда, при котором отклонение от равновесного состояния не превосходит заданной величины. Идея метода состоит в том, что сначала решаются оптимизационные задачи всех участников с заданным начальным вектором цен труда. Проверяется условие равенства рыночного спроса и предложения; если оно нарушено, то используется дискретный аналог процесса (11) формирования равновесных цен:

*,(т + 1)=тач 0,и^(т)+р ¿^/(^-¿^(Цт)) . ] = \.....I, (12)

с помощью которого корректируется вектор цен труда. Пересчитывается оптимальное решение задач участников с обновленным вектором цен труда. Эта процедура позволяет найти такие цены труда, при которых равновесное состояние достигается с любой заданной точностью. Работоспособность метода проверена на модельном примере.

3. Динамическая модель ринка труда формализована в виде совокупности задач оптимального управления участников рынка и позволяет установить существование оптимального управления участников ринка труда, а также найти необходимые и достаточныеусловия оптимального развития рынка.

Для построения динамической модели рынка труда формализованы задачи участников рынка в виде моделей оптимального управления на интервале [0,Т], разбитом дискретными точками О, 1.....Т. Модель оптимального управления фирмы имеет вид:

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

где Ь°к - начальное состояние к-ой фирмы, ¡'^ - ресурсы к-ой фирмы по >му виду труда в момент времени иI - управление в момент времени / ; если и! >о

- фирма принимает (увольняет) работников /-го вида труда в количестве

Допустимым управлением фирмы к на отрезке [о,т] называется любая последовательность «»(•) = .....«[ '}, где и'к = (¡4|.....«и), а компоненты и'^ удовлетворяют условиям (15). Последовательность .....¡7к*удовлетворяющая условиям (16)-(17), вдоль которой достигается максимальное значение функционала качества (18), называется оптимальной траекторией к-ой фирмы.

Модель оптимального управления индивида имеет вид:

где .9,° - начальное состояние ¡-го индивида, - количество времени, которое /й индивид затрачивает на работу вида/ в момент времени 1, а - управление выбираемое в момент времени у; если >0 (у,^ <0) - индивид увеличивает (сокращает) время работы по >му виду труда на величину |.

Допустимым управлением /-го индивида на отрезке [О, т] называется любая последовательность а компоненты удов-

летворяют условиям (21). Последоватальность ■£*(■)= '*,....Я,7*}» удовлетворяющая условиям (22)-(26), вдоль которой достигается максимальное значение функционала качества (27), называется оптимальной траекторией /-го индивида

Совокупность

^-({^Wtplif^Wt.).

где ^'^(¿j) - символическое обозначение модели (13)- (й/^'^С имво-лическое обозначение модели (19)-(27), называется динамической моделью рынка труда

Векторы

4с = (maxj),/;;, -4, (..„maxjo.L';, -4,}), 4/7 = (maxjo,4i -4*1} . ,max{),4, j),

rf rl*

где Lkj - компонента вектора Lk . являющегося сечением оптимальной траектории 4 (') в момент времени /, называются соответственно спросом и предложением кон фирмы на рынке труда в текущем состоянии 4 •

S'aj = (maxjp,Sfi -S^.. ,тах(зД? -5,'J, Sfc =(maxjpX -tf -S*}.

где Sj' - компонента вектора Sj', являющегося сечением оптимальной траектории S'(-) в момент времени t, называются соответственно предложением труда /го индивида и дополнительным спросом на труд, инициированным /-м индивидом в текущем состоянии S}. Векторы

называются соответственно рыночным спросом и рыночным предложением на рынке труда M0"T1 в текущем состоянии (S ,L )

Введено понятие е -равновесия, при котором реализуется наиболее реальный принцип функционирования развивающегося рынка труда.

Будем говорить, что на рынке iti^0,7^ существует е -равновесие, если найдется последовательность векторов ,

бого е > 0 выполнено неравенство:

т , ч г

, такая, что для лю-

f-1 1=!, Ф 4 .

В этом случае оптимальная траектория (•),£ (-)J

<е.

называется е-равновесной

траекторией.

Доказано, что если I = 1,' ...Т,' то задачи (13)-<18) и (19)-(27) эквивалентна: задачам оптимального

13

управления без фазовых ограничений и существует оптимальное управление для участников рынка.

С применением метода динамического программирования найдены необходимые и достаточные признаки оптимальности траекторий участников рынка, основанные на принципе оптимальности Р. Беллмана,

Для задач (13)-(18) и (19)-(27) рассмотрены следующие аналоги функции Беллмана:

ХгЖН. х,(4~')= тахИ#Ч)+Х(+1(/(/-*'."1-1 где /(¿Гх)= Ц'1 + «',

и е(/

Уг+.И=о, «пах [и' (.V/ где ^

№

В основу метода вычисления оптимальных траекторий участников рынка положено сле л\тпттте,е, \твепж гтение.

Пусть И;(.)=4Г.-'мГ}и у*(-) = {у)*,...,у,г*] - некоторые последовательности допустимых управлений фирм и индивидов, а /^О = {^¿¡¡*,.-.ДГ) $*(•) = - соответствующие этим последовательностям траектория.

Для того, чтобы последовательности управлений у*0 и траектории £*(•),

^'(О были оптимальными в многошаговых задачах (13)-(18) и (19)-(27) соответственно, необходимо и достаточно, чтобы для каждого Г =1,...,7' выполнялись условия:

4. Принцип динамическойустойчивостипозволяет исследовать вопрос о состоятельности во времени равновесных траекторий развития рынка труда инаходить траекторию центруда, обеспечивающую его динамически, устойчивоеz-равновесное функционирование.

Приведена процедура, которая позволяет поэтапно, за конечное число итераций построить оптимальные синтезирующие управления и соответствующую им оптимальную траекторию в задаче фирмы с любой заданной точностью. В пространстве состояний фирмы строится сетка допустимых узлов для каждого момента времени Гу аналогичная сетка строится в пространстве допустимых управлений. Для нахождения оптимальных синтезирующих управлений применяется метод динамического программирования с использованием необходимых и достаточных условий оптимальности траекторий фирмы.

Описан алгоритм вычисления оптимальных траекторий в задаче индивида в классе синтезирующих управлений. С помощью специальных лостроений, опре-

деляется дискретное множество допустимых состояний индивида и допустимых управлений в текущем состоянии для каждого момента времени I. С использованием необходимых и достаточных условий оптимальности траекторий в задаче индивида находятся оптимальные управления и соответствующие им оптимальные траектории.

Введено понятие динамической устойчивости равновесных траекторий для рынка М0,т'. Множество всех допустимых траекторий, удовлетворяющих некоторому принципу равновесности W на рынке №0т\ обозначено символом

Вдоль произвольной траектории (1*(-),Х*())е^(/.0,Х0,т) определено семейство (по О текущих рынков. {^И^^Л^Ь^и.....г}. отличающихся от исходного начальным состоянием (¿''.Л'*) и продолжительно-

Пусть Траектория (л* Лт0,г) называется

динамически устойчивой (в смысле IV) траекторией на , если

где (¿*(-),5*()|| = -сужениетраектории (£*(•),£*(•)) на отрезке

[/.Г], а 1у{ь'\Б1',Т-- аналог множества \v\fTдля текущей задачи.

Принцип динамической устойчивости отражает то важное свойство реализуемости равновесных траекторий, согласно которому принимаемый в начальный момент времени принцип поведения остается состоятельным в любой момент времени до конца рассматриваемого периода. Таким образом, принцип динамической устойчивости, как и принцип оптимальности Р. Беллмана в задачах оптимального управления, играет здесь роль механизма реализуемости равновесных траекторий.

Установлено, что если на рынке выполняются следующие условия:

1) 2\-* = !,...,и, 1-1.....Т;

2) (р'.с(,)-/>/-{у;,е')< го»"^'. ' = 1.....Г =

3) функции ^ , к = 1,...,т, (//, / = 1,...,я, непрерывны повеем своим аргументам;

4) функции %(*>),..., ¿ГМ> к = 1,...,т, / = !,...,л, непрерывны относительно и> = (н>1,...,м'Г), -

тогда на рынке существует динамически устойчивая е- равновесная

траектория.

Показано, что выполнение неравенства

является необходимым и достаточным условием того, что (¿*(-),5*( ),н*) - динамически устойчивая е - равновесная траектория на рынке

Для динамической модели рынка труда введены также понятия сильной и слабой равновесных траекторий, относительно которых исследованы вопросы их существования и динамической устойчивости.

Предложен метод динамически устойчивой регуляризации е-равновесной траектории рынка труда как преобразования, проводимого в момент нарушения свойства динамической устойчивости с целью восстановления этого свойства. Метод основан на корректировке спроса и предложения путем изменения последовательности векторов цен труда Приведен общий алгоритм регуляризации, включающий алгоритмы вычисления оптимальных траекторий в задачах участников рынка и нахождения равновесного состояния на статическом рынке труда.

Применение разработанной методики показано в оценке рынка труда в рамках угледобывающих предприятий Ленинск-Кузнецкого филиала ОАО '"Сибирской угольной энергетической компании".

При условном разделении всех работников шахт на четыре группы (машинисты, проходчики, слесари, горнорабочие) основные показатели шахт представлены в виде табл. 1.

Таблица 1

Основные показатели шахт Ленинск-Кузнецкого филиала СУЭК

Шахт* угля Чнсп работе ¡л- Ь2. ¿э- ¿V К. Добыч», Нрашодсгеаетя функция

ши». чел гыс чм.-чве/мес гыс чел -час/мес. гыс чел -чао'мве. тыс чел -чво/мве. ■те. наш -чае руб ТЫС гоин/мес.

им. С. № Киром г 1520 18,2 32,5 58,5 88.4 180,1 55.4 158.1

им. 7 Иосбрс г 1198 15,6 273 453 6734 274,14 76,75 205,7 Р' - гш'п^'/у'^к'«

«Комсомолец» г 1250 1235 26,65 41,6 81,9 92,6 3135 122.1 Р' = 2,16 ¿¡■«л1\,п1*,Ч.У>1С"'

«Пояысдсвсдес» г 1309 143 31,2 49,4 75,27 139,92 44,9 115.4 Р4 =

«Огмбрьскм» дг 1276 11,05 30,94 46,8 77,09 62,19 24,1 200,8 Р>--

«Красно грош» д 430 5,2 9.15 143 26,65 30,2 юз 80,5 Р*

«Егоэоаскм* д 891 11,18 19,5 31,2 53,95 44.65 17.25 453 Я"7

кКолмогороасдя» ДГ 530 6,11 1235 20,8 29.64 35.12 12.4 38.7 И•

При этом . цена капитала - V = 250 руб./час; цены труда -и'0 = (80 60 50 35) руб./час; цена угля марки Г - рг = 380 руб./тонна, марки ДГ - Рдг - 325 руб./тонна, марки Д ~ Рд = 400 руб./тонна

Предполагается, что все работники (/V = 8404) рассматриваемых шахт могут быть классифицированы следующим образом.

Таблица 2

Классификация работников шахт

Номер класса j Вкл труд» Количество человек Время V час./ нее Уровень благосост (р c-b)-Py6J мое Функция полезности и'

1 машинист 273 170 13000 и1 S1) (б8 ц,-00г4 w,J)s

2 машинист 450 150 11500 в1- il i-(52 wj-0064 »f)j

3 проходчик 160 170 10000 uJ- S't^Oi Wj-0 06

4 проходчик 913 150 7800 u4 SJ+(8,58 Wj-OOi wj)s

5 проходчик 390 ПО 6500 u5--SJ+^ Wj-0,03 w?)s

6 "1 стесарь 880 150 6500 u'- S11 (9^5 wi 0,08 »f)j

7 счесарь 1490 130 5500 и --S2 t (б68 0037 wj)5

8 горнорабочий 1740 170 5500 u'- S* «(8 H.-0094 wl)s

9 горнорабочий 2108 m 4500 u' -S'tfow, 0125 kJ)s

Показано, что вектор и не является равновесным С помощью алгоритма нахождения равновесного состояния производится подстройка цен труда с точностью вычислений ц = 50 и коэффициентом р = 0,0002 Формирование цен труда и колебания избыточного спроса показаны на рис 1 и 2

На 13 итерации получаем вектор цен л13 =(81,79 65,23 53,4 4248), при котором абсолютное значение избыточного спроса по каждому виду труда не превышает заданного Таким образом, найден равновесный вектор цен труда

Далее рассматриваемый рынок труда исследуется в динамическом стучав на интервате времени [0.4], где временной лаг равен году Предполагается, что для шахт производственные функции и фонд затрат

1\. к = 1, Д I = 0. ,4 неизменны на рассматриваемом периоде времени Относительно работников предполагается, что со временем не изменяется численность

классов, приемлемый уровень благосостояния с1, X = 1,...,4 и ресурс времени Т, Г = 1,...,4.

Параметры рынка задаются прогнозной последовательностью цен на уголь и капитал.

Таблица 3

Прогнозная последовательность цен на уголь и капитал

Время /, лет

Цена 0 1 2 3 4 , 5

угля марки Г, руб./тонн« 380 385 390 420 425 430

угля марки ДГ, руб./ тонн» 325 1 340 350 355 365 370

угля марки Г, руб. /тонна 400 405 415 430 460 465

капитала, Р>6У час. 250 250 285 295 310 -

Кроме того, предполагается, что известно прогнозное изменение цен товаров потребления, которое отражается на стоимости приемлемого уровня благосостояния (СПУБ) индивидов, руб./мес.

Таблица 4

Стоимость приемлемого уровня благосостояния индивидов

Время /. лет

СПУБ 1 2 3 4

1 класс работников 13000 13500 15000 16000

2 класс работников 11500 13000 14000 15000

3 класс работников 10000 11000 12600 13200

4 класс работников 7800 8100 9000 9700

$ класс работников 6500 7200 8000 9000

6 класс работников 6500 7400 8300 9200

7 класс работников 5500 6900 7700 8300

8 класс работников 5500 6300 7000 7900

9 класс работников 4500 5200 5800 6500

Показано, что если цена труда в начальный момент равна V =(81,79 65.23 53,4 42,48) и остается неизменной на рассматриваемом интервале времени, то рынок труда не будет равновесным. Траектория рынка при данной последовательности цен труда представлена на рис.3.

а) б)

Таким образом, найденная траектория цен труда и»

обеспечивает динамически устойчивое равновесное развитие рынка труда шахтеров угледобывающих предприятий Ленинск-Кузнецкого филиала ОАО "Сибирской угольной энергетической компании".

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе решена задача разработки и исследования математических моделей равновесного развития рынка труда, имеющая существенное значение для математического моделирования технико-экономических систем и экономической теории рынка труда.

Основные научные результаты и выводы работы заключаются в следующем:

1. Построена новая математическая модель поведения индивида - участника рынка труда, и на ее основе изучен вопрос рационального распределения времени на досуг и трудовую деятельность согласно с индивидуальными предпочтениями относительно видов труда. Разработана статическая модель рынка труда, как совокупность взаимосвязанных общими (эндогенными) параметрами задач всех фирм и индивидов, формализованы понятия полной занятости, спроса, предложения и равновесия.

2. Установлено, что "рациональный" выбор приемлемого уровня благосостояния всеми индивидами и превышение величины суммарного (по всем фирмам) фонда заработной платы над суммарным (по всем индивидам) необходимым трудовым доходом являются необходимыми условиями полной занятости. Доказано, что выполнение условий полной занятости, непрерывность целевых функций участников рынка по всем аргументам, а также непрерывность спроса и предложения труда (определяемые посредством оптимальных решений задач участников рынка) относительно его цены является достаточным условием существования системы цен труда, обеспечивающей равновесное состояние рынка труда.

3. Формализован процесс регулирования заработной платы как основного фактора равновесия на рынке труда, согласно которому заработная плата по некоторому виду труда растет, если рыночный спрос на этот вид труда превышает предложение; если же предложение превышает спрос на некоторый вид труда, то его цена падает. Доказана сходимость этого процесса к вектору равновесных цен, при некоторых, легко проверяемых условиях, означающих, что избыточный спрос на определенный вид труда увеличивается, если заработная плата по нему неизменна, а цены других видов труда возросли. Разработан алгоритм, позволяющий, за конечное число шагов, найти такой вектор цен труда, при котором отклонение от равновесного состояния не превосходит заданной величины.

4. Построена и исследована динамическая модель рынка труда на конечном временном интервале, в которой установлено существование оптимального управления в задачах участников рынка труда; найдены необходимые и достаточные условия оптимального развития рынка; с применением метода динамического

программирования разработана схема вычисления оптимальных траекторий участников рынка для заданной системы цен труда.

5. С помощью принципа динамической устойчивости исследован вопрос о состоятельности во времени равновесных траекторий и разработан алгоритм динамически устойчивой регуляризации Б-равновесной траектории развития рынка труда, который основывается на изменении спроса и предложения в момент нарушения динамической устойчивости, путем корректировки последовательности векторов цен труда.

6. Разработанная методика использована для оценки рынка труда в рамках угледобывающих предприятий Ленинск-Кузнецкого филиала ОАО "Сибирской угольной энергетической компании": шахт им. СМ. Кирова, им. 7 Ноября, «Комсомолец», «Полысаевская», «Октябрьская», «Красноярская», «Егозовская», «Кол-могоровская». При условном разделении всех работников шахт на четыре группы (машинисты, проходчики, слесари, горнорабочие) вычислен вектор равновесных цен труда для статического случая, равный =(81,79 65,23 5,4 42.48), где компоненты измеряются в рублях в час. Проанализированы»основные показатели шахт и уровень месячного трудового дохода работников при равновесном векторе цен труда. Исследовано динамическое функционирование рынка труда на интервале времени [0,4], где временной лаг равен одному году. С помощью алгоритма

регуляризации найдена последовательность цен труда где

=(81,79 65,23 53,4 42,48), и>'*=(82,9 66,17 53,51 42,5), м-2'=(86,72 69.74 59,3 46,88), и-3* = (92,81 73,92 61,22 45.08),

обеспечивающая динамически устойчивое равновесное развитие рынка труда шахтеров угледобывающих предприятий Ленинск-Кузнецкого филиала ОАО "Сибирской угольной энергетической компании".

Основное содержание диссертации опубликовано в работах:

1. Данилов Н. Н. Математическая модель равновесия на рынке труда /

Н. Н. Данилов, Н. В. Осокина (Чернядьева) // Вестник КемГУ. - 2000.- Вып. 4. - С. 44-54.

2. Осокина (Чернядьева) Н. В. О достаточных условиях существования равновесия на рынке труда // IV Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике: Тез. докл. - Новосибирск, 2000. - С. 160-161.

3. Осокина (Чернядьева) Н. В. Исследование спроса на рынке труда совершенной конкуренции // Мат. заметки ЯГУ. - 2001. -Т. 8. - Вып. 1. - С. 66-77.

4. Чернядьева Н. В. Вывод основных уравнений участников моментальной модели рынка труда // Новые технологии и комплексные решения: Наука, образование, производство: Материалы Всероссийской научно-практической конференции. Часть I - КемГУ, 2001. - С. 77-78.

5. Чернядьева Н. В. Исследование показателей сравнительной статики // III Международная конференция по математическом}' моделированию: Тез. докл. -Якутск,2001.-С. 113-114.

6. Чернядьева Н. В. Исследование показателей сравнительной статики // Вестник КемГУ. - 2001. - Вып. 3. - С. 55-63.

7. Чернядьева Н. В. Колебание предложения на рынке труда // XXIX Конференция студентов и молодых ученых Кемеровского государственного университета: Сборник / Кемеровский госуниверситет. - Кемерово: Кузбассвузиздат, 2002.-С. 280-281.

8. Чернядьева Н. В. О занятости на рынке труда // Информационные технологии и математическое моделирование: Материалы- Всероссийской научно-практической конференции. - Анжеро-Судженск, 2002. - С. 335-336.

9. Чернядьева Н. В. Построение динамической математической модели рынка труда // Сборник трудов молодых ученых Кемеровского государственного университета, посвященный 60-летию Кемеровской области: В 2 т. Т. 2 / Кемеровский госуниверситет. - Кемерово: Полиграф, 2002. - С. 121-124.

10.Чернядьева Н. В. Существование и признаки оптимальности траекторий участников рынка труда // Обработка данных и управление в сложных системах. -Томск, Изд-во Том. ун-та, 2003. Вып. 5. - С. 202-211.

11.Чернядьева Н. В. Теорема существования равновесного состояния на рынке труда // Наука и образование: Материалы Всероссийской научной конференции. В 2 ч. Ч. 2. - Белово, 2003. - С. 30-33.

12.Чернядьева Н. В. Формирование равновесных цен и устойчивость конкурентного равновесия на рынке труда // Сборник трудов молодых ученых Кемеровского государственного университета, посвященный 60-летию Кемеровской области / Кемеровский госуниверситет. - Кемерово: Полиграф, 2003. - В. 3, - т. 2. - С. 68-70.

Подписано к печати 13.01.2004. Формат 60x84 1/16. Печать офсетная. Кум а I в офсетная №1.

Кемеровский госуниверситет. 650043, Кемерово, ул. Красная, 6.

Отпечатано в типографии издательства "Куэбассвузиэдат". Кемерово, ул. Ермака, 7.

1*9fi

РНБ Русский фонд

2004-4 25367

Введение.

Глава I. Статическая модель рынка труда

§1. Оптимизационные модели участников рынка труда и их содержательный анализ.

§2. Статическая модель рынка труда и его равновесное состояние.

§3. Теорема существования равновесного состояния на рынке 94.

§4. Оптимальное поведение работодателей для производственной функции Кобба-Дугласа.

§5. Оптимальное поведение индивидов с квадратической функцией полезности.

§6. Пример существования равновесия на рынке труда.

Глава II. Предельный анализ и формирование равновесных цен

§1. Анализ взаимовлияния основных факторов рынка в модели фирмы.

§2. Анализ взаимовлияния основных факторов рынка в модели индивида.

§3. Формирование равновесных цен на рынке труда.

§4. Алгоритм нахождения равновесного состояния на рынке М.

Глава Ш. Динамическая модель рынка труда. Существование и признаки оптимальных траекторий

§1. Построение динамической модели рынка труда.

§2. Формализация понятия равновесия на рынке

§3. Изучение структуры фазовых ограничений.

§4. Упрощение фазовых ограничений в задачах участников рынка.

§5. Условие существования и признаки оптимальных траекторий в задачах участников рынка

Глава IV. Вычисление оптимальных и равновесных во времени траекторий для динамической модели рынка труда

§ 1. Вычисление оптимальных траекторий в задаче фирмы в классе синтезирующих управлений. Алгоритм.

§ 2. Вычисление оптимальных траекторий в задаче индивида в классе синтезирующих управлений. Алгоритм.

§ 3. Равновесные траектории рынка труда. Существование и устойчивость во времени.

§4. Динамически устойчивая регуляризация 8 -равновесной траектории. Алгоритм.

§5. Исследование рынка труда в рамках угольных предприятий

Ленинск-Кузнецкого филиала ОАО СУЭК.

Большую роль в математических моделях рынка, как сферы столкновения интересов его участников, играет понятие экономического равновесия, которое имеет глубокое нормативное содержание. Оно указывает контуры идеального функционирования экономического организма, обеспечивающего эффективное распределение ресурсов между экономическими агентами при децентрализованном принятии решений. Концепция равновесия в значительной степени вобрала в себя мировой опыт развития рыночной системы и может быть полезна на практике для поиска путей развития и упрочения рыночных отношений в различных сегментах экономики. К последним, относится и рынок труда, который в данное время характеризуется нестабильностью и слабой эффективностью. Этим и объясняется актуальность выбранной темы диссертационной работы.

В диссертационной работе изучается концепция равновесия на рынке труда с помощью математических методов. Ее целью является разработка математических моделей развития рынка труда, позволяющих обосновать существование и найти необходимые и достаточные признаки равновесного состояния рынка труда, а также изучить условия его устойчивого функционирования.

Новизна диссертационного исследования заключается в разработке новой методологии исследования рынка труда и объясняется отсутствием в научной литературе как таковых математических моделей рынка труда, как в статическом, так и в динамическом аспектах и вытекающей отсюда новизной всех полученных результатов.

Прежде чем изложить содержание глав работы, приведем краткий обзор основных результатов, касающихся темы данного диссертационного исследования.

Вопросы регулирования рынка труда до недавнего времени преимущественно исследовались зарубежными авторами [46-66], причем модели предложения и спроса на труд рассматривались автономно.

Базовая статическая модель предложения труда была разработана Л. Роббинсом [63]. Согласно этой модели, индивид располагает фиксированным начальным запасом свободного времени, часть которого должна быть использована на оплачиваемый труд, при этом он максимизирует функцию полезности, аргументами которой являются объем благ и время досуга. Бюджетные ограничения уравнивают стоимость потребляемого объема благ и сумму заработной платы и нетрудового дохода. Основным результатом, полученным с помощью данной модели, является то, что максимизирующее индивидуальную полезность количество часов работы соответствует точке, в которой предельная норма замещения досуга благами равна заработной плате, предлагаемой рынком труда. Исследования в данном направлении продолжили Келли М.С., Килингсворт М. Р., Моффит Р., Пенсавел Дж.

Существует ряд моделей предложения труда, учитывающих различия между отдыхом и производством внутри домохозяйства [48,52,53,57]. К последним относится модель Р. Гронау в которой индивид стремится максимизировать полезность от досуга и благ, произведенных в домашнем хозяйстве и приобретенных на средства, получаемые за услуги труда на рынке, согласно этой модели домохозяйство максимизирует производство благ в точке, где норма замещения товаров временем равна рыночной заработной плате; модель оптимального распределения времени Г. Беккера, в которой предполагается, что индивид получает полезность от потребления базовых благ, или видов деятельности, которые в качестве фактора включают не только товары, но и время, в результате, целевая функция индивида максимизируется когда отношение предельных полезностей от различных базовых благ, равно отношению издержек, связанных с их получением. Вопросы, посвященные изучению подобных моделей, освещены также в работах Лейарда Р., Митчелл О., Филдса Г. С. и др.

Известны, так называемые, семейные модели предложения труда [58,62]. Из них можно выделить "шовинистическую модель", в которой доминирующий член семьи независимо принимает решение о предложении труда, а остальные члены семьи принимают свои решения, рассматривая его заработную плату как часть нетрудового дохода; модели, предполагающие максимизацию общей семейной функции полезности или индивидуальной полезности при наличии семейных бюджетных ограничений.

Кроме этого, необходимо отметить модели компенсационных различий в заработной плате [64, 65], которые основываются на предпосылке о том, что при выборе рабочего места, работник максимизирует свою полезность от занятости на этом рабочем месте с учетом всех его характеристик, а не только дохода (см. напр. модель Франка [49]).

Динамика в моделях предложения труда, в основном, рассматривается с точки зрения воспроизводства человеческого капитала в течение жизненного цикла [47, 59].

Широко известной моделью спроса на рынке труда является неоклассическая модель [46, 49, 51]. В ней принимается допущение о том, что фирмы используют в производстве два разнородных фактора труд и капитал. Выбирая уровень производства, определяющий спрос фирмы на труд и капитал, фирмы стремятся максимизировать прибыль. В результате анализа этой модели, получено, что объем нанимаемого труда в зависимости от заработной платы определяется через предельный продукт труда. Исследования спроса в рамках данной модели поводились Бишепом Дж., Брауном Ч., Мин-сером Я., Смитом Р. С., Хамермешем Д. и д.р.

Существуют модели описательного типа [46, 50,54, 55, 66]: модель выбора между численностью работников и временем работы, модель, учитывающая оплату за сверхурочную работу, модель влияния на спрос инвестиций в рабочую силу.

До перехода к рыночной экономике в нашей стране математические исследования отдельных вопросов экономики труда проводились для плановой экономики. Тем не менее, в последние десятилетия в отечественной научной литературе появились работы охватывающие элементы рынка труда [2, 4, 7, 8, 10-13, 16, 17, 19,22,23, 26, 31,39, 41,42, 45].

Несмотря на расширение круга исследований, практически отсутствуют работы математического характера, а проводимый анализ спроса и предложения на рынке труда большей частью имеет вербальный характер. Рынок труда преимущественно понимается на содержательном уровне, исследуется с применением графических построений, некоторых формул вычислительного или описательного характера, т.е. не строится строгая математическая модель рынка труда как такового.

Для исследования сугубо рыночных проблем, связанных с понятием равновесия, необходимо построение математических моделей, адекватных реальным условиям и позволяющих изучить (исследовать) различные вопросы, связанные с рынком труда (существование состояния равновесия, вопросы его реализуемости и т. д.)

Диссертационные исследования проводились с использованием методологии математической экономики (подход Вальраса), известных из анализа теорем Вейеригграсса, Брауэра, Куна-Таккера, Коши-Пеано и др., теории оптимального управления и динамического программирования. Кроме этого, в работе применялась новая концепция моделирования временного равновесия, основанная на принципе динамической устойчивости, впервые предложенного JI. А. Петросяном в работе [33], и получившая развитие во многих областях прикладной математики.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, формулируются следующим образом:

- разработанная статическая модель рынка труда представлена в виде взаимосвязанной совокупности оптимизационных задач всех участников рынка, что позволяет формализовать понятия полной занятости, спроса, предложения и равновесия, доказать существование равновесного состояния, а также найти условия полной занятости;

- разработанный метод вычисления равновесного состояния рынка труда, основанный на сходящемся процессе формирования цен труда, обеспечивает нахождение такой системы цен, при которой спрос равен предложению с любой заданной точностью;

- динамическая модель рынка труда формализована в виде совокупности задач оптимального управления участников рынка и позволяет установить существование оптимального управления участников рынка труда, а также найти необходимые и достаточные условия оптимального развития рынка;

- принцип динамической устойчивости позволяет исследовать вопрос о состоятельности во времени равновесных траекторий развития рынка труда и находить траекторию цен труда, обеспечивающую его динамически устойчивое б -равновесное функционирование.

Содержание работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 184 страницы машинописного текста.

1. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. - М.: Наука, 1984.-293 с.

2. Ашманов С. А. Математические модели и методы в экономике. — М.: Изд-во МГУ, 1980. 199 с.

3. Балацкий Е. В. Свободное время как фактор экономического равновесия // Вестн. Рос. академии наук. 1999. - Т. 69, №11- С. 1018-1028.

4. Безработица, структурная перестройка экономики и рынок труда в Восточной Европе и России / Под ред. А.В. Сидорович, Р. Г. Емцова, И. М. Албегова. М.: Инфра-М, 1995. - 478 с.

5. Беллман Р. Динамическое программирование. — М.: ИЛ, 1960. 207 с.

6. Блауг М. Экономическая мысль в ретроспективе. М.: Дело, 1994 — 687 с.

7. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. — М.: Наука, 1973.-446 с.

8. Браверман Э.М. Математические модели планирования и управления в экономических системах. М.: Наука, 1976. — 366 с.

9. Васильев А.Н. Модель самоорганизации рынка труда // Экономика и математические методы. 2001. - Т. 37, №2 - С. 123-127.

10. Вишневская Н. Рынок рабочей силы новые тенденции // Мировая экономика и междунар. отношения. - 1999. - №8 - С. 20-25.

11. Воловская Н.М. Экономика и социология труда. М.: ИНФРА-М, 2001. -203 с.

12. Гарсия-Исер М. X., Голодец О. Ю., Смирнов С. Н. Критические ситуации на региональных рынках труда // Вопросы экономики. 1997. — №2: -С. 114-124.

13. Гарсия-Исер М. X., Кашепов А. В., Бабушкина Т.А., Синдяшкина Е, Н., Смирнов С. Н. Рынок труда России. М.: ФАСТ-ПРИНТ, 1998.

14. Гимпельсон В., Горбачева Т., Липпольдт Д., Движение рабочей силы (оценки, международные сопоставления и влияние на рынок труда) // Вопр. экономики. -1997. №2. - С. 125-139.

15. Данилов Н.Н. Курс математической экономики. — Новосибирск.: СОРАН, 2002.-444 с.1

16. Данилов Н.Н. Решение задачи динамической устойчивости в кооперативной дифференциальной игре с побочными платежами // ПММ. — 1989. Вып. 53. -№ 1. С. 45-59.

17. Дементьев Н.П. Равновесная модель экономической динамики с заданной функцией формирования потребительского бюджета // Экон. и мат. методы. 1991. - Вып. 27. - № 1. - С. 119—129.

18. Добрынин А.И., Дятлов С.А., Цыренова Е.Д. Человеческий капитал в транзитивной экономике. Формирование, оценка, эффективность использования. СПб.: Наука, 1999. - 310 с.

19. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975. - 606 с.

20. Капелюшников Р.И. Российский рынок труда: адаптация без реструктуризации. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

21. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964. - 837 с.

22. Катульский Е. Мотивация на рынке труда // Вопросы экономики. 1997. №2. - С. 92-101.

23. Кини P.JI., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. — М.: Радио и связь, 1981. — 560 с.

24. Кислицына О. А. Статисические методы оценки факторов, влияющих на продолжительность поиска работы // Экономика и математические методы. 2000. - Т. 36, №3.- С. 127-135.

25. Котляр А. О понятии рынка труда // Вопросы экономики. -1998. — № 1. — С. 33—41.

26. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973. — 336 с.

27. Малахов С. Транзакционные издержки, экономический рост и предложение труда // Вопросы экономики. — 2003. №9. - С. 32-43.

28. Маленво Э. Лекции по микроэкономическому анализу. М.; Наука, 1985. -390 с.

29. Марцинкевич В.И., Соболева И.В. Экономика человека / Ин-т "Открытое о-во*\ М.: Аспект-Пресс, 1995. — 286 с.

30. Математическая теория оптимальных процессов / Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. М.: Наука, 1976. — 392 с.

31. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972. — 279 с.

32. Никайдо X. Выпуклые структкры и математическая экономика. — М.: Мир, 1972.-328 с.

33. Никифорова А. А. Рынок труда: занятость и безработица. — М.: Международные отношения, 1991. — 180 с.

34. Ногин В. Д., Протодьяконов И. О., Евлампиев И. И. Основы теории оптимизации. -М.: ВШ 1986. —384 с.

35. Основы теории оптимального управления / В.Ф. Кротов, Лагоша Б.А., Лобанов С.М. и др. М.: ВШ, 1990. - 429 с.

36. Петросян Л.А. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками // Вестн. ЛГУ. 1977. - № 19. - С. 46-52.39