автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Динамическая устойчивость равновесных траекторий в математических моделях экономики

Введение.

Глава I. Динамическая устойчивость траекторий в модели экономического равновесия

§1. Основные понятия и определения.

§2. Вспомогательные построения и утверждения.

§3. Существование динамически устойчивых условноравновесных траекторий в экономике Е 0 (р, Т).

§4. Свойства равновесных траекторий в экономике

Еу0(р,Т).

§5. Регуляризация избыточного спроса.

§6. Динамически устойчивая регуляризация траекторий.

§7. Оптимизационная модель формирования спроса.

Примечания к главё 1.

Глава II. Применение финансовых механизмов регуляризации в модели экономической динамики

§1. Учет финансовых и трудовых ресурсов.

§2. Условия стационарности траекторий экономики

EyV,m°(P'W'r'T).

§3. Необходимые признаки равновесности траекторий экономики

Ey°,b0,m°fr>W>r>T).

§4. Динамически устойчивая регуляризация с использованием нормировочного коэффициента.

Примечания к главе II.

Глава III. Применение принципа динамической устойчивости в различных моделях экономической дипамнжи и программная реализация полученных результатов

§1. Динамическая устойчивость в экономике типа модели Эрроу

Дебре.

§2. Динамическая устойчивость в модели экономики леонтьевскоготипа.

§3. Динамическая устойчивость в модели фон Неймана.,.

§4. Программная реализация полученных результатов.

Примечания к главе III.

Диссертационная работа посвящена исследованию динамически устойчивых равновесных траекторий в математических моделях экономики, рассматриваемых на конечном дискретном интервале времени. Ее цель - получение необходимых и достаточных условий существования и признаков динамической устойчивости траекторий в различных моделях, изучение их свойств и разработка методов динамически устойчивой регуляризации. Актуальность диссертации связана с переходом экономики страны на рыночные рельсы и с необходимостью обоснования эффективных путей ее сбалансированного устойчивого развития.

Научная новизна работы определяется тем, что концепция динамической устойчивости, положенная в основу формализованного подхода, ранее не применялась в исследованиях траекторий экономических моделей. Эта концепция впервые была введена в теории кооперативных дифференциальных игр Петросяном Л.Д. [47] и впоследствии широко использовалась как в теории игр, так и в других областях ([15-17, 28, 46, 48-50] и др.). При исследовании экономических моделей она, во-первых, позволяет применить формализм классических задач оптимального управления, во-вторых^ учитывает динамические особенности принципов оптимальности в математических моделях экономических процессов, и, в-третьих, порождает единый подход к исследованию различных классов траекторий динамических моделей с точки зрения их содержательности во времени. На базе этого подхода в диссертации были построены новые модели экономических систем, изучены их свойства и получены теоремы существования динамически устойчивых траекторий 5 и их признаки, разработаны алгоритмы динамически устойчивой регуляризации. Кроме того, предложенный подход впервые был применен для изучения свойств равновесных траекторий в известных моделях экономической динамики.

Одно из важнейших мест в математической экономике принадлежит теории экономического равновесия, которая имеет глубокое нормативное содержание. Она указывает контуры идеальной организации экономического механизма, обеспечивающего эффективное распределение ресурсов между экономическими агентами при децентрализованном принятий решений. Вместе с тем, она подчеркивает трудности, которые могут возникнуть в процессе функционирования рынка. Эта концепция в значительной степени вобрала в себя мировой опыт развития рыночных систем и может быть полезна на практике для поиска путей развития и упрочения рыночных отношений.

Поэтому из всего множества моделей экономической динамики в диссертации рассматриваются модели равновесия в условиях совершенной конкуренции, функционирующие на конечном интервале.

Основные положения, выносимые на защиту, формулируются следующим образом.

1. Концепция динамической устойчивости применена к исследованию различных математических моделей экономической динамики.

2. Найдены достаточные условия существования и исследованы свойства динамически устойчивых условно-равновесных траекторий в общей модели экономической динамики.

3. Разработаны механизмы регуляризации динамически неустойчивых условно-равновесных траекторий и получены алгоритмы вычисления регуляризированных траекторий. 6

4. Доказаны теоремы существования динамически устойчивых равновесных траекторий, изучены их признаки и свойства в частных моделях экономической динамики (динамические аналоги моделей Эрроу-Дебре, Леонтьева, фон Неймана).

Перед тем как изложить основное содержание глав диссертации, проведем краткий обзор основных результатов, имеющихся в литературе по тематике данной работы.

Среди создателей концепции экономического равновесия можно отметить Л. Вальраса, Дж. Хикса, А. Вальда. В начале 50-х годов в работах К. Эрроу, Ж. Дебре, Л. Мак-Кензи, Д. Гейла и др. были впервые даны общие и строгие формулировки статических моделей экономики и доказано существование в них равновесия. Этим было положено начало развитию теории экономического равновесия.

К настоящему времени имеется ряд монографий [1, 3, 11, 23, 24, 34, 42, 43, 53, 65] отечественных и зарубежных авторов и большое число журнальных статей [8, 13, 14, 18, 20, 21, 25, 32, 33, 39, 40, 52, 54, 68, 70, 71, 75, 78 и др.], содержащих те или иные фрагменты теории равновесия или ее приложения, причем экономика в них моделируется как в условиях совершенной [3, 11, 24, 27, 29, 53, 65], так и несовершенной конкуренции (напр. [23, 68, 69]).

Одной из фундаментальных предпосылок классической теории равновесия является предположение о возможности установить цены на равновесных значениях, каковы бы эти значения ни были [24, 34, 43, 65]. Однако это не всегда имеет место на практике, поэтому в качестве обобщения равновесного подхода был предложен ряд теоретических положений функционирования экономики при неравновесных ценах. В этом направлении можно отметить работы [7,13,25,41, 77]. 7

Большая часть работ по математической экономике посвящена статическим моделям ([1, 6, 8, И, 13, 21, 24, 25, 29, 36, 40] и др.), в которых получены фундаментальные результаты. В последнее время наибольший интерес у специалистов вызывают динамические модели экономики (см., напр., [9, 10, 14, 18, 19, 26, 27, 30-34, 37, 38, 45, 52-55, 6163, 72, 73]). Многие из этих работ основаны на моделях, ставших классикой математической экономики (модель «затрагы-выпуск» Леонтьева [9, 31, 38, 39, 45, 67, 74-76], модель сбалансированного роста Неймана [30,37, 72], модель конкурентного равновесия Эрроу-Дебре [1, 8, 34]).

В основе динамического анализа экономики лежат модели, описывающие межвременное поведение экономических агентов. Одним из фундаментальных понятий, на котором основываются такие модели, является временное равновесие экономики, позволяющее исследовать процессы, протекающие в реальном времени.

Реалистическая схема управления экономикой должна, с одной стороны, принимать во внимание ограниченность возможности прогнозирования и, с другой, предусматривать использование информации, поступающей в процессе реализации планов. В качестве одной из схем управления предлагается так называемое скользящее планирование (см., напр., [54, 63]), обеспечивающее движение экономической системы в окрестности эффективной траектории. В [61, 62] предлагается способ регулирования экономики с целью вывода ее на заданный режим сбалансированного стационарного развития с заранее выбранной структурой рыночных цен. В [9] изучается возможность использования внешнего потребления в качестве управления динамической экономической системой с целью выхода на траекторию сбалансированного роста. В [66] исследуется задача перераспределения индивидуальных доходов при условии, что доходы определяются некоторым множеством характе8 ристик; для характеризации специфического механизма перераспределения приводится аксиоматический подход. В [18] сбалансированность экономики достигается за счет подбора дисконтирующих множителей. В [40] состояние равновесия системы достигается посредством процесса пересмотра планов производства.

В работах [12, 24, 34, 50, 60 и др.] предложен теоретико-игровой подход к выявлению оптимальных путей развития экономики, поскольку теория игр хорошо подходит для моделирования поведения экономических агентов.

Однако в большинстве работ по экономическому равновесию динамические процессы представляются в виде простой совокупности статических явлений по принципу «динамика - всего лишь развернутая статика». В таких работах динамическое равновесие отождествляется с последовательностью равновесий в отдельные изолированные моменты времени. При подобной формализации за рамками модели остаются сугубо динамические проблемы и не учитывается «связь времен».

Поэтому для исследования вопросов равновесного развития экономики необходима методологически иная концепция, которая порождает адекватные реальным условиям модели, существенно учитывает динамический аспект и позволяет строить качественно и количественно оцениваемые механизмы реализации равновесных траекторий. В диссертации применяется новая методология моделирования экономического равновесия, основанная на принципе динамической устойчивости, которая становится важнейшим фактором реализуемости во времени выбранных траекторий развития экономических систем.

Содержание работы. Работа состоит из настоящего введения, трех глав и списка литературы. 9

В первой главе рассматривается экономическая система с п типами товаров, функционирующая в условиях «совершенной конкуренции» на конечном временном интервале [0;Т], разбитом дискретными точками 0,1,.,Т. Участниками экономики являются потребительский и производственный секторы. На всем интервале планирования [0;Т] потребительский сектор, руководствуясь функцией совокупного спроса, выбирает последовательность «наиболее предпочитаемых» наборов товаров, а производственный сектор реализует те технологические процессы переработки одних товаров в другие, которые доставляют ему максимум общей прибыли. Общим параметром, связывающим действия всех участников моделируемой экономической системы, являются цены товаров.

В §1 на интервале [0;Т] определяется экономика Еу0(рД). Для допустимой траектории этой экономики вводится определение условного равновесия, которое отличается от традиционного равновесия (см. напр., [53]) тем, что условие материального и стоимостного балансов задаются сразу на всем интервале [0;Т]. В качестве механизма реализации условного равновесия предлагается концепция динамической устойчивости и дается формальное определение принципа динамической устойчивости траекторий экономики Е^0 (р,Т). Идея динамической устойчивости в заключается в том, что решение, построенное в начальный момент согласно того или иного принципа оптимальности, должно удовлетворять тому же принципу оптимальности в каждый момент времени вплоть до конечного. Применительно к экономике Е 0 (р,Т) это означает, что если траектория условно-равновесна на интервале [0;Т], то ее сужение на любом промежутке [t;T] (t=l,.,T) также является условно-равновесной траекторией.

10

В §2 доказан ряд лемм, с помощью которых в §3 получена теорема о достаточных условиях существования равновесных (динамически устойчивых условно-равновесных) траекторий в экономике Е 0(р,Т).

Кроме функциональных условий на элементы модели (полунепрерывность функции спроса, компактность и выпуклость технологических множеств и т.п.), эти условия требуют выполнения «непрерывности по включению» множественнозначного отображения спроса вдоль рассматриваемой траектории. Некоторые из лемм §2 имеют самостоятельное значение. Так, были найдены достаточные условия существования равновесия в одном важном частном случае статической модели экономики.

Для равновесных траекторий экономики Е 0 (р,Т) доказана ограниченность векторов потребления (конечного и производственного) и предложения.

В §4 проведен анализ свойств динамически устойчивых условно-равновесных траекторий. Показано, что вдоль любой равновесной траектории в каждый момент времени спрос в стоимостном выражении равен предложению. Доказана ограниченность вдоль динамически устойчивых траекторий последовательности равновесных цен.

В §5 вводятся понятия дефицитных и избыточных товаров в экономике Е^0(р,Т). Для регуляризации избыточного спроса предлагается механизм, основанный на доказанных в предыдущем параграфе свойствах траекторий экономики и позволяющий для любой динамически устойчивой условно-равновесной траектории удовлетворить спрос на дефицитные товары.

Для преодоления проблемы динамической неустойчивости условно-равновесных траекторий экономики Е 0 (р,Т) в §6 предлагается спои соб регуляризации по производству. Регуляризация основывается на изменении выпусков в момент нарушения условий динамической устойчивости так, чтобы оставшаяся часть траектории была оптимальна (т.е. чтобы на ней сохранялось свойство динамической устойчивости). Регуляризация проводится в предположении, что производители в состоянии перераспределить во времени товары, изготовляемые ими, вдоль траектории движения. При этом величина суммарного на всем интервале [0;Т] выпуска производственного сектора должна оставаться без изменения.

В §7 рассматривается одна конкретная схема формирования потребительского спроса. Предполагается, что потребительский сектор, находясь в рамках своих бюджетных ограничений в каждый момент времени, максимизирует полезность приобретаемых им товаров, определяемую с помощью соответствующей функции. Доказано, что в случае вогнутости и непрерывности функций полезности в модели существует динамически устойчивое условное равновесие.

Во второй главе в экономику (р,Т) вводятся параметры, учитывающие финансовые и трудовые ресурсы. В §1 определяется соответствующая динамическая модель на интервале времени [0;Т], в которой участники (совокупный потребитель и производственный сектор) характеризуются финансовыми (накопления и задолженность) и трудовыми (рабочая сила) показателями. При этом предлагается новый вид бюджетных ограничений - в них вводятся «нормировочные» коэффициенты, регулирующие расходы на приобретение товаров в каждый момент времени. Введение таких коэффициентов позволяет записывать бюджетные ограничения в виде строгих равенств. Получившаяся модель экономической системы обозначается символом Еу0 bo mo(p,w,r,T), подчеркивая зависимость ее от начальных условий, цен, банковских процентов и про

12 должительности временного интервала. Условия равновесия формулируются отдельно для каждого вида параметров - материальных продуктов, рабочей силы, финансовых показателей.

В §2 исследуются оптимизационные задачи участников экономики Е0.о о(p,w,r,T). Для решений этих задач выводятся условия стационарности и определяются необходимые условия оптимальности. На их основе формулируются условия стационарности траекторий экономики

EyV,m°(P>W>r>T)

В §3 с помощью результатов предыдущего параграфа и в предположении о непрерывной зависимости функций спроса, выпуска товаров, предложения рабочей силы, а также функций накопления потребителя и задолженности производителя от нормирующего потребительский бюджет множителя и банковского процента, выводятся необходимые признаки динамической устойчивости условно-равновесных траекторий. Одновременно эти выражения показывают влияние процентной ставки и «нормировочного» коэффициента на различные показатели экономики

EyV,m°(P>W'r'T)

В §4 строится механизм динамически устойчивой регуляризации траекторий экономики Е 0ho 0(p,w,r,T). Введение нормировочного коэффициента (к1) в бюджетное ограничение и представление этого ограничения в виде равенства позволяет использовать к1 как один из возможных рычагов регуляризации. Поскольку к1 «нормирует» величину расходов потребителя, то в первую очередь его можно использовать в случае возникновения стоимостного дисбаланса. Механизм регуляризации основан на изменении соотношения между текущими потребительскими затратами и накоплениями в момент нарушения условий динами

13 ческой устойчивости, причем при этом материальная и стоимостная сбалансированность сохраняется на всех промежутках [0;Т], [1;Т], ., [Т-1;Т].

Третья глава посвящена распространению концепции динамической устойчивости в конкретных классах математических моделей экономической динамики с дискретным временем, исследованию вопросов существования динамически устойчивых траекторий в этих моделях и программной реализации предложенного подхода.

В §1 рассматривается модель экономики, в которой участники одновременно являются и потребителями, и производителями, и которую можно считать динамическим аналогом модели Эрроу-Дебре. Показана связь этой модели с рассмотренной в главе I экономикой Е 0 (р,Т) и доказана теорема существования динамически устойчивых условно-равновесных траекторий. В условия теоремы включены требования компактности и выпуклости технологических множеств, непрерывности и вогнутости функций полезности на выпуклом, замкнутом бюджетном множестве, а также требования ненасыщаемости потребителей и наличия у них положительного запаса продуктов.

В §2 исследуется модель экономической системы, состоящей из совокупного потребителя и п чистых отраслей с леонтьевской технологией. В модель включены трудовые ресурсы (рабочая сила), а также учитываются такие экономические показатели, как себестоимость, объемы продаж и запасы продукции и др. Рассматривается стационарный режим развития экономики, в котором все показатели, начиная с некоторого момента, растут с постоянным темпом. Вводится определение динамической устойчивости стационарных траекторий и доказывается, что вся

14 кая стационарная траектория рассматриваемой экономики динамически устойчива.

В §3 изучается динамическая устойчивость траекторий в модели сбалансированного роста фон Неймана. Показано, что всякая условно-равновесная стационарная траектория этой экономической модели динамически устойчива. Приводится теорема существования динамически устойчивых условно-равновесных стационарных траекторий в модели Неймана, доказательство которой опирается на аппарат теории неотрицательных матриц.

В §4 приводится описание разработанного программного комплекса, реализующего основные результаты работы. Комплекс состоит из программных модулей, осуществляющих выбор модели экономической динамики, ввод коэффициентов и начальных условий, решение оптимизационных задач участников экономики, построение допустимых траекторий, проверку их условной равновесности и динамической устойчивости, вывод результатов. Кроме того, в систему программ включены алгоритмы созданных в предыдущих параграфах методов регуляризации. Комплекс демонстрирует принципиальную реализуемость теоретических построений работы на практике и облегчает проведение расчетов по моделям. С его помощью для иллюстрации основных положений диссертации построен ряд модельных примеров.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7985].

Основные результаты диссертационной работы следующие.

1. Новый единый подход, основанный на концепции динамической устойчивости, применен к исследованию различных математических моделей экономических систем на конечном интервале времени.

2. Найдены достаточные условия существования динамически устойчивых условно-равновесных траекторий в общей модели экономической динамики и установлены свойства этих траекторий.

3. Создан алгоритм регуляризации избыточного спроса для динамически устойчивых условно-равновесных траекторий. Разработан и реализован механизм динамически устойчивой регуляризации траекторий экономической модели.

4. На основе концепции динамической устойчивости построена новая математическая модель экономического равновесия, учитывающая финансовые и трудовые ресурсы. Найдены признаки динамической устойчивости траекторий и предложен способ регуляризации динамически неустойчивых траекторий, использующий финансовые механизмы управления. Обоснован алгоритм такой регуляризации.

5. Предложенный на основе принципа динамической устойчивости подход апробирован на ряде конкретных математических моделей экономики (Эрроу-Дебре, Леонтьева, фон Неймана), что позволяет сделать вывод о его содержательности и корректности.

6. Создан программный комплекс, реализующий разработанные алгоритмы и облегчающий проведение вычислений по моделям. С его помощью рассчитан ряд примеров, отражающих основные положения работы.

Заключение

1. Алипрантис К., Браун Д., Беркеншо О. Существование и оптимальность конкурентного равновесия. - М.: Мир, 1995.

2. Арис Р. Дискретное динамическое программирование. М.: Мир, 1969.

3. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.

4. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.

5. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. -М.: Наука, 1973.

6. Браверман Э.М. Математические модели планирования и управления в экономических системах. М.: Наука, 1976.

7. Браверман Э.М., Левин М.И. Неравновесные модели экономических систем. -М.: Наука, 1981.

8. Булавский В.А. О решении одного класса задач на равновесие // Сиб. мат. журн. 1994. - 35, № 5. - С. 990-999.

9. Булавский В.А. Управление динамикой экономической системы через внешнее потребление // Экон. и мат. методы. 1995. - 31, № 2. - С. 106-114.

10. Ю.Вороновицкий М.М. Равновесные траектории макроэкономической модели, учитывающей производственный цикл и дефицит государственного бюджета // Экон. и мат. методы. 1997. - 33, № 2. - С. 109122.

11. П.Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. М.: ИЛ, 1963.133

12. Горелик В.А., Кононенко А.Ф. Теоретико-игровые модели принятия решений в эколого-экономических системах. М.: Радио и связь, 1982.

13. Данилов В.Й. Невальрасово равновесие и обобщенная лемма Гейла // Математическая экономика и экстремальные задачи. М.: Наука, 1984.

14. Данилов В.И. Оптимальное развитие экономики с переменной технологией // Методы функционального анализа в математической экономике. М.: Наука, 1978.

15. Данилов Н.Н. Решение задачи динамической устойчивости в кооперативной дифференциальной игре с побочными платежами // ПММ. -1989,-53, № 1.-С. 45-59.

16. Данилов Н.Н. Кооперативные многошаговые игры без побочных платежей // Кибернетика. 1990. - №5. - С. 72-78.

17. Данилов Н.Н. Кооперативные многошаговые игры с побочными платежами // Известия ВУЗ. Математика. -1991,-№2.-С.33-41.

18. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: ДИС, 1997.134

19. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Прогресс, 1975.

20. Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. М.: Мир, 1964.

21. Коковин С.Г. Модель смешанной экономики: «мягкое» рационирование и pq-равновесие // Экон. и мат. методы. 1996. - 32, № 2. - С. 7789.

22. Основы теории оптимального управления / Под ред. В.Ф. Кротова. -М.: ВШ, 1990.

23. Кубонива М. Математическая экономика на персональном компьютере. М.: Финансы и статистика, 1991.

24. Кузютин Д.В. К вопросу о динамической устойчивости решений в многошаговых играх с неполной информацией // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1994. - 1, № 1. - С. 111-113.

25. Ланкастер К. Математическая экономика. М.: Советское радио, 1992.

26. Левин М.И., Макаров В.Л., Рубинов А.М. Математические модели экономического взаимодействия. М.: Наука, 1993.

27. Ляпина А.А. Динамическая межотраслевая модель с учетом вынужденных затрат // Вестн. МГУ. Сер. 6. Экономика. 1995. - № 5. - С. 88-96.

28. Макаров В.Л. Экономическое равновесие: существование и экстремальное свойство // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 19,1982.

29. Равновесие, рационирование и устойчивость / В.Л. Макаров, В.А. Васильев, А.Н. Козырев, В.М. Маракулин // Оптимизация, № 38 (55). Мат. программирование и модели равновесия. Новосибирск, 1986.135

30. Макаров B.JI., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

31. ЗЗ.Макконнелл К.Р., Брю С.Л. Экономикс: В 2 т. М.: Республика, 1992. -Т. 1-2.

32. Малыкин В.И. Математические модели микроэкономики. М.: ГАУ, 1994.

33. Матвиенко В.Д. Применение модели Неймана-Гейла для исследования динамических процессов // Анализ и применение математических моделей экономической динамики. Новосибирск, 1990.

34. Медницкий В.Г. Анализ экономической эффективности с помощью оптимизационных моделей // Экон. и мат. методы. 1996. - 32, № 2. -С. 104-116.

35. Медницкий В.Г. Оптимизация и глобальное равновесие экономик // Экон. и мат. методы. 1995. - 31, № 1. - С. 125-137, 160.

36. Мовшович С.М. Аксиома выявленного предпочтения и процессы установления равновесия // Экон. и мат. методы. 1985. - 21, № 2. - С. 297-303.

37. Мовшович С.М. Неравновесная экономика с компенсирующим спросом // Экон. и мат. методы. 1992. - 28, № 4. - С. 598-611.

38. Моришима М. Равновесие, устойчивость, рост. М.: Наука, 1972.

39. Никайдо X. Выпуклые структуры и математическая экономика. М.: Мир, 1972.

40. Ногин В.Д., Протодьяконов М.О., Евлампиев И.И. Основы теории оптимизации. М.: BLLI, 1986.

41. Пахомкина М.Р., Тимохов А.В. Анализ вопроса о стабильных платежных нормативах в рамках микродинамической модели воспроизводства с рыночным ценообразованием // Программное обеспечение и модели системного анализа. М.: Изд-во МГУ, 1991.136

42. Петросян Л.А. Значения иерархических дифференциальных игр // Вестн. СПбГУ. Сер. 1. 1992. - 1, № 1. - С. 39-43.

43. Петросян Л.А. Устойчивость решений в дифференциальных играх со многими участниками // Вестн. ЛГУ. 1977. - № 19. - С. 46-52.

44. Петросян Л.А., Данилов Н.Н. Кооперативные дифференциальные игры и их приложения. Томск: Изд-во ТГУ, 1985.

45. Петросян Л.А., Данилов Н.Н. Устойчивость решений в неантагонистических дифференциальных играх с трансферабельными выигрышами // Вестн. ЛГУ. 1979. - № 1. - С. 52-59.

46. Петросян Л.А., Тыщко Н.М. Об одном приложении теории игр п лиц в экономике // Математические методы в социальных науках. Вильнюс, 1976, вып. 8.

47. Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. М.: Экономика, Дело, 1992.

48. Полтерович В.М. Равновесные траектории экономического роста // Методы функционального анализа в математической экономике. -М.: Наука, 1978.

49. Полтерович В.М. Экономическое равновесие и хозяйственный механизм. М.: Наука, 1990.

50. Полтерович В.М. Эффективный равновесный рост и скользящее планирование // Экон. и мат. методы. 1979. - 15, № 4. - С. 760-773.

51. Полтерович В.М. Эффективный равновесный рост при переменном дисконте // Математическая экономика и экстремальные задачи. М.: Наука, 1984.

52. Поляк Б.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.

53. Математическая теория оптимальных процессов / Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1969.137

54. Пропой А.И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. -М.: Наука, 1973.

55. Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. М.: Наука, 1969.

56. Розенмюллер И. Кооперативные игры и рынки. М.: Мир, 1974.

57. Тимохов А.В. Микродинамическая модель общественного воспроизводства в регулируемой рыночной экономике // Вестн. МГУ. Сер. 15. -1990,-№4.-С. 3-22.

58. Тимохов А.В. Стационарная модель расширенного воспроизводства в условиях самофинансирования // Вычислительные системы и вопросы принятия решений. М.: Изд-во МГУ, 1991.

59. Трофимов Г.Ю. Временное равновесие и скользящее планирование // Экон. и мат. методы. 1991. - 27, № 2. - С. 360-372.

60. Цирлин A.M. Оптимальное управление технологическими процессами. М.: Энергоатомиздат, 1986.

61. Экланд И. Элементы математической экономики. М.: Мир, 1983.

62. Bossert W. Redistribution mechanisms based on individual characteristics // Math. Soc. Sci. 1995. - 29, № 1. -P. 1-17.

63. Cloutier L.M., Thomassin P.J. Closing the Canadian input-output model: Homogeneous vs non-homogeneous household sector specifications // Econ. Syst. Res. 1994. - 6, № 4. - P. 397-414.

64. Cocplin A., Nalenbuff B. Aggregation and imperfect competition: on the existence of equilibrium // Econometrica. 1991. - 59, №1. - P. 25-59.

65. Heijdra B. J. Imperfect competition and product differentiation. Some further results // Math. Soc. Sci. 1993. - 25, № 2. - P. 157-171.

66. Gao L. The existence of a point of equilibrium in the shortage economics with coordination // Math. appl. 1995. - 8, № 1. - P. 60-64.138

67. Milgrom P., Roberts J. Comparing equilibria // Amer. Econ. Rev. 1994. -84, №3,-P. 441-459.

68. Moczar J. Reducible von Neumann models and uniqueness // Metroe-conomica. 1995. - 46, № 1. - P. 1-15.

69. Nieuwenhuis H.J., Schoonbeek L. Dynamics of continuous time and related discrete time economic models // Jahrb. f. Nationaiok. u. Stat. 1994. -213, №3.-P. 257-277.

70. Tang X., Elbrond J., Li X. Some applications of input-output analysis in a gold mine // Econ. Syst. Res. 1994. - 6, Jfe 4. - P. 435-477.

71. Tokutsu I. Price-endogenized input-output model: A general equilibrium analysis of the production sector of the Japanese economy // Econ. Syst. Res. 1994. - 6, № 4. - P. 323-345.

72. Trigg A.B., Madden M. Using a demand system to estimate extended input-output multipliers // Econ. Syst. Res. 1994. - 6, № 4. - P. 385-395.

73. Welf A. Modelowania nierownowagi // Plz. statyst. 1991. - 38, № 2. - P. 111-133.

74. Yunker J.A. Evaluating changes in the distribution of capital wealth // Econ. Inquiry. 1994. - 32, № 4. ^P. 597-615.1. Труды автора

75. Данилов H. H., Голоколосова Т. В., МешечкинВ. В. Принцип динамической устойчивости в математических моделях экономики // Мат. заметки ЯГУ. -1996. 3, № 2. - С. 22-37.

76. МешечкинВ. В. Ограниченность цен в одной модели динамического равновесия / Кемер. гос. ун-т. Кемерово, 1997. - 14 с. - Деп. в ВИНИТИ 25.03.98, №874-В98.139

77. Мешечкин В. В. Регуляризация юбыточного спроса в равновесных моделях экономической динамики // Молодые ученые Кузбасса: Межвузовский сб. науч. тр. Кемерово: Изд-во КузГТУ, 1998.

78. Мешечкин В. В. Об одном механизме реализации конкурентного равновесия в моделях экономической динамики // Студент, рынок й ускорение НТП: Материалы международной науч.-практ. конф., г. Новосибирск, 28-29 февр. 1996 г. Новосибирск, 1996. - С. 53-54.

79. Мешечкин В. В. Регуляризация избыточного спроса в одной модели экономической динамики // Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем: Сб. науч. тр. конф., г. Ереван, 28-30 окт. 1997 г. Ереван, 1997. - С. 65-66.

80. Мешечкин В. В. О динамических моделях экономического роста // Наука, образование, производство: интеграция и новые технологии: Тез. докл. на-уч.-пракг. конф., г. Анжеро-Судженск, 18-19 нояб. 1997 г. Анжеро-Судженск, 1997.-С. 18-19.

81. Мешечкин В. В. Финансовые механизмы регулирования динамически устойчивых траекторий экономики // Третий сиб. конгр. по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98): Тез. докл., г. Новосибирск, 22-27 июня 1998 г. Новосибирск, 1998. - С. 139-140.