автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Магистральные свойства моделей экономической динамики с потреблением

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РГ6 ЩУГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

) 2 [!:{/Ц На правах рукописи

ДЕМЕНТЬЕВ Николай Павлович

МАГИСТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ С ПОТРЕБЛЕНИЕМ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования н ыатеыатчсских методол в научных исследованиях (по отраслям наук)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Иркутск -1998

Работа выполнена в Институте экономики и организации промышленного производства СО РАН (г. Новосибирск)

Официальные оппоненты - доктор технических наук,

профессор А.Е. Бахтин,

доктор физико-математических наук,

профессор В.А. Дыхта,

доктор физико-математических наук,

профессор А.Ж. Жафяров.

Ведущая организация - Центральный экономико-математический институт РАН

Защита диссертации состоится июля 1998 г. в IЧ часов на заседании Совета Д063.32.04 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Иркутском государственном университете по адресу: 664000, Иркутск, бульвар Гагарина, 20, 1-й корпус ИГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Иркутского государственного университета (бул. Гагарина, 24).

Автореферат разослан мая 1998 г.

Ученый секретарь Сонет к.ф.-м.п., доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. К настоящему времени теория экономической динамики представляет собой важную область математической экономики со сложившимся кругом проблем и инструментарием исследования, которая в свою очередь распадается на ряд разделов, заметно различающихся по степени их разработанности.

Содержание магистральной теории составляют существование, характеризация и асимптотика оптимальных траекторий, существование магистралей - стационарных оптимальных траекторий. Впервые идея магистральных теорем применительно к моделям Неймана была высказана в совместной работе Р. Дорфмана, П. Самуэльсона и Р. Солоу. Строгие доказательства при разных предположениях и разными методами одновременно были даны Р. Раднором и М. Моришимой. Д Гейл, В.Л. Макаров, Л Маккензи, X. Никайдо, А.М. Рубинов и др. затем существенно усилили полученные результаты.

Значительное внимание в теории экономической динамики уделяется моделям рамсеевского типа, в которых максимизируется эффект от потребления. Существенные результаты (с помощью модификации метода Раднера) были получены здесь X. Ацуми, У. Броком, Д. Гейлом, В.Л. Макаровым, Б. Пелегом, А.М. Рубиновым, Дж. Цукуи и др.

Введение дисконта существенно усложняет доказательство магистральных теорем. У. Сазерленд, И. Шейнкман, Т. Бьюли, Д. Касс и К. Шелл предложили условия, гарантирующие асимптотическую устойчивость оптимальных траекторий в моделях с дисконтированной функцией полезности В их работах предполагалось, что дисконт достаточно близок к единице. Возникает задача о нахождении нижней границы интервала, принадлежность дисконта которому обеспечивает асимптотическую устойчивость.

Т. Кунмапеом и В.Л. Макаровым для моделей со стационарной технологией , были доказаны теоремы о существовании стационарных траекторий, допускающих квазистационарную

характеристику pt = ц-' р для некоторых ц > 1. Однако случай ц. < 1, возникающий в равновесных моделях с низкой склонностью к потреблению, также интересен для исследования. В этих моделях дисконт - эндогенная величина, посредством которой достигается равновесие в потреблении.

В большинстве магистральных теорем, известных в литературе, максимизируемая функция представляет собой сумму полезностей во времени, где полезность в каждый момент зависит только от текущего потребления. Неудовлетворительность таких функций при объяснении некоторых эмпирических фактов еще в довоенные годы была отмечена П. Самуэльсоном. Между тем, в фундаментальном обзоре по магистральной теории, вошедшем в "Handbook of Mathematical Economics" (1986), Л. Маккензи приводит лишь две работы П. Самуэльсона и К. Иваи, в которых были предприняты попытки ослабить требование об аддитивности в однрпродуктовых стационарных моделях. В основе метода доказательства П. Самуэльсона лежит спектральный анализ, поэтому он не применим к нестационарным моделям. Метод К. Иваи опирается на идеи динамического программирования и также существенно использует стационарность модели. В диссертации доказан ряд магистральных теорем в мпогопродукговых нестационарных моделях при неаддитивных во времени функциях полезности.

Согласно магистральным теоремам, в стационарных моделях оптимальные траектории сходятся к магистрали при t -»°о. Поэтому принято считать, что на магистрали реализуются наилучшие пропорции акономической системы при заданном стационарном технологическом множестве. Магистраль может служить ценным инструментом для сравнения эффективности различных технологий, быть ориентиром в прогнозных расчетах. К сожалению, магистрали существуют лишь в стационарных моделях, тогда как сколько-нибудь реалистические модели народного хозяйства описываются с помощью переменных во времени параметров. Отклонение реального состояния экономики от магистрали может объясняться не только его неоптимальиостью (как это принято считать), но и неадекватностью аппарата обычных

магистралей при анализе нестационарных моделей. Назрела необходимость обобщить понятие магистрали на класс моделей, включающий не только стационарные, но и некоторые важные с прикладной точки зрения модели с переменной технологией.

Рядом авторов (В. Л. Макаров, В. М. Полтерович, Т. Быоли, М. Яно и др.) предпринимались попытки дополнить рамсеевские модели элементами равновесия на потребительском рынке. Предлагались различимо способы формирования потребительского бюджета. Построение подобных синтетических моделей не представляет труда, сравнительно просто обстоит дело с существованием равновесных траекторий. Однако исследование их асимптотики является весьма сложной задачей. Здесь недостаточно предположений, фигурирующих в магистральных теоремах. Необходимо найти дополнительные предположения, обеспечивающие устойчивость равновесных траекторий.

Согласно теоретическим представлениям, дисконтирующие коэффициенты, задаваемые экзогенно в оптимизационных динамических моделях, должны удовлетворять некоторым естественным свойствам. Считается, например, что они должны убывать во времени (и том быстрее, чем больше "нетерпение" потребителя). В равновесных моделях дисконтирующие

(взвешивающие) коэффициенты определяются эндогенно. Интересно проверить, обладают ли они указанным выше свойством.

Цель работы: обобщение известных и разработка новых методов исследования в магистральном анализе моделей экономической динамики с потреблением.

Научная поплзпа. Результаты, изложенные в диссертации, новы, получены лично автором и заключаются в следующем:

в моделях с дисконтированной функцией полезности даны оценки тех значений дисконта, при которых; справедливы магистральные теоремы;

- доказаны магистральные теоремы для неаддитивных во времени функций полезности;

- предложен и изучен ряд равновесных динамических моделей с явным описанием бюджетной функции потребителя, исч-лодована устойчивость равновесных траекторий в таких моделях;

- на равновесных траекториях исследована связь между темпами роста цен и склонностью населения к потреблению;

- понятие магистрали обобщено на случай моделей со слабо изменяющейся технологией;

проиллюстрированы возможности теоретического и практического использования обобщенных магистралей в анализе динамических народнохозяйственных моделей.

Основные результаты диссертации заключаются в следующем.

1. Усилен и развит ряд результатов теории моделей экономической динамики с дисконтированной функцией полезности:

- доказано существование стационарных траекторий с квазистационарной характеристикой в случае дисконта, большего единицы;

предложена оценка нижней границы интервала, принадлежность дисконта которому обеспечивает асимптотическую сходимость оптимальных траекторий друг к другу;

- показано, как устойчивость оптимальных траекторий может выводиться из теорем об условной устойчивости гиперболических точек

2. Получены следующие магистральные свойства для моделей с неаддитивными во времени функциями полезности:

- при традиционных предположениях доказана магистральная теорема в слабой форме;

- доказана теорема в сильной форме для неаддитивных функций полезности, в которых зависимость предельных полезностей потребительских благ года t от благ года х ослабевает с экспоненциальной скоростью при возрастании |/- х|;

введено понятие "стационарности" неаддитивных во времени функций, при котором доказана теорема о стабилизации оптимальных траекторий внутри планового периода.

3. Рассмотрено несколько вариантов формирования потребительского бюджета в равновесных динамических моделях с доказательством теорем о существовании и устойчивости равновесных траекторий Для некоторых из этих моделей установлено, что цены на равновесных траекториях убывают во времени тем быстрее, чем больше функции потребительского

бюджета ("нетерпение" потребителя). Это согласуется с известными теоретическими представлениями о дисконтировании полезности потребительских благ во времени.

4. Для моделей экономической динамики со слабо изменяющейся технологией:

- предложено два подхода к обобщению понятия магистрали с доказательством теорем существования;

- на основе аппарата обобщенных магистралей теоретически объяснена стабилизация темпов роста на траекториях в балансовых народнохозяйственных моделях, эмпирически обнаруженная ранее рядом исследователей;

- в расчетах выявлена более высокая эффективность обобщенных магистралей по сравнению с обычными магистралями в анализе нестационарных моделей экономической динамики.

Методы исследования. При выполнении работы использовались методы математического программирования и оптимального управления (магистральной теории, в первую очередь), теоремы о неявных функциях в банаховых пространствах, георемы об условной устойчивости гиперболических точек, работы но динамическим народнохозяйственным моделям.

Практическая значимость. Теоретические исследования автора были использованы в многочисленных расчетах по народнохозяйственным моделям СССР, России и США. Разработанный аппарат обобщенных магистралей, как показала практика их применения, представляет собой более совершенный инструмент по сравнению с обычными магистралями в анализе нестационарных моделей экономической динамики. С его помощью удалось объяснить некоторые закономерности, обнаруженные ранее эмпирически в прикладных расчетах. Переход в магистральных теоремах от аддитивных во времени функций полезности к неаддитивным позволяет боле«? точно описать процессы формирования потребительских предпочтений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Конференции молодых экономистов и социологов Сибири (Улан-Удэ, 1079), Всесоюзном семинаре "Целевая функция полезности потребительских благ" (Новосибирск, 1980), Республиканской научной . конференции "Пути совершенствования балансовых

методов планирования народного хозяйства" (Киев, 1983), Всесоюзной конференции "Теория, методология и практика системных исследований" (Москва, 1984), Пятой конференции П^АС/ПТОЕБ по динамическому моделированию и управлению национальной экономикой (Будапешт, 1986), Второй, Четвертой и Пятой Новосибирской школе по математической экономике ■ (Новосибирск, 1994, 1988, 1990), Международной конференции "Негладкий анализ и его приложения к математической экономике" (Баку,1991), Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1994), Международной конференции "Проблемы оптимизации и экономические приложения" (Омск, 1997), а также на научно-исследовательских семинарах Института экономики и ОПП СО РАН, Института математики СО РАН, Центрального экономико-математического института РАН, Института социально-экономических проблем РАН.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 27].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы (102 наименования). Общий объем диссертации - 255 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Излагаемые в главах 1, 2 результаты исследований относятся к асимптотике оптимальных траекторий в динамических моделях, учитывающих непроизводственное потребление в явном виде. Такие модели называются иногда рамсеевскими - по имени Ф. Рамсея, опубликовавшего впервые работу в этом направлении.

Типичная модель рамсеевского типа представляет собой оптимизационную задачу, ограничения которой имеют вид

(х„;у,)еО,, / = 1,2,...; (1)

у, >*/н1+с„ с, / = 0,1,...; (2)

Здесь заданы: п - число продуктов в системе; £2/ е -технологическое множество в момент /,/=1,2,... ; уо е Я".

Эндогенными величинами являются: х, - затраты в момент í^, У/ - выпуск в момент / > 0 ; с( - вектор потребления в момент

й

/. Произведенная в момент I продукция распадается на непроизводственное потребление и на затраты производства в момент / + 1.

"Качество" допустимых траекторий определяется с помощью последовательности функций полезности

и,: -> Я, < = О, I,... . (3)

Допустимая траектория (>*, с,*^ ^ называется оптимальной, если

.Взп/£и,(с?)- 2>(с')] * 0

для всех допустимых траекторий (у,, хм, с,)°10, у0 = Уд.

Говорят, что траектория . (У/,Х/+1, С/) допускает характеристику если (/>/)/!„- ненулевая последовательность

и для каждого t

+ с/-,) + И/-1(с/-,) + ЛУ, £ +с)+ "/-|(с)+ЛУ

для всех (л, .к) ей,, с > 0.

В §1.1 рассматриваются стационарные модели, в которых £2/ = О, щ(с) = (I 'Цс) при всех /, где ц.-1 > 0 - величина дисконта. Нами предложены условия, обеспечивающие существование стационарной траектории (у/, Х/4ь с() г (у,х,с) с характеристикой

р, = р. При (Л > 1 такие условия предлагались Т. Кумпансом и В.Л. Макаровым в связи с существованием магистралей -оптимальных стационарных траекторий (при ц > 1 всякая

стационарная траектория, допускающая характеристику Р/ = ц'р, является магистралью - стационарной оптимальной траекторией). Если ц < 1, то в нормальном случае магистраль не существует. Однако этот случай интересен следующим: стационарная траектория с характеристикой ц является равновесной (см. § 3.2) при некоторых р> 0, |1 е (0,1), если потребительский бюджет равен некоторой фиксированной доле "заработной платы трудящихся". Предполагается, что выполнены условия:

1) Q с Яf х Я" - выпуклое замкнутое множество, причем: 1а)(0,0)е0,

16) (0,j) si£i при у * О,

1в) из (х,у) е Q и х' Z х следует (*',у) е Q, 1г) множество {(ж, у) е Q £ х} - компакт;

2) и(с) — возрастающая вогнутая непрерывная на R? функция;

3) существует е Q такой, что у > х.

Пусть X = тахху, где максимум берется по / = 1,...,л и всем парам (дс,у) е Q таким, что у> х. Определим два числа:

Х0 = Sup{X Ъ 0|Э(х,.>') е £2 такая, что кх < у}, X, = inf((* - min и) / (х - р"1 imn

где inf берется по всем тройкам (jt, у, ß) таким, что (*, у) е Q, Р > 1, у > ß-x. Х0 обычно называется технологическим темпом модели. Без труда показывается, что Х0 >1, X., е [О, I). Теорема 1.1. Пусть П, и удовлетворяют условиям 1) - 3), а (1 е (X, ,Х.0). Тогда существует ненулевая стационарная траектория (у,х,с), допускающая характеристику pt = \i lр.

Этот результат является аналогом теоремы, доказанной В.Л. Макаровым при несколько иных предположениях и другим методом для случая ц е (1, Х0).

В многопродуктовых моделях дисконтирование полезности существенно усложняет доказательство устойчивости оптимальных траекторий Основные результаты исследований здесь принадлежат У. Сазерленду, И. Шейнкману и Т. Быоли. В работах этих ученых предполагается, что Дисконт достаточно близок к единице. Такая формулировка не дает информации о нижней границе Цо' интервала 1), принадлежность дисконта которому необходима для справедливости магистральных теорем. Основная задача в § 1.2 — дать достаточно эффективную оценку для величины

Множества Qf в модели описываются с помощью функций F,:

ii, = {(л,y)\Ft{x, j>) £ 0, д: ^ 0, y 2 0|, t = 1,2,.... Для краткости введем обозначения: Zt = (xt,yt), Z = (x,y). Предположения.

1. Существует выпуклый компакт Ас: Я" и числа е, > 0, 8, > О такие, что:

la) F/(x,y) — дифференцируемые функции на Ах А;

16) функции Ft равномерно выпуклые на Ах А в том смысле,

что

F{r\z: + *")) s r'F,(z') + 2~'F,(z") - Ф" - 42

для всех z\z" еЛ;

1в) Щ-iz) > 0, < S, для всех z е А х А.

2. Существует выпуклое открытое телесное множество В с R" и числа с2 > 0, 82 > 0 такие, что:

2а) функции U((cj дважды непрерывно дифференцируемы и

вогнуты на В;

с',с" 6В, /=0,1,...; 2в) |§(фс2) с е Д, f = 0,1, —

Теорема 1.2. Пусть оптимальные траектории

/ , , i\ao / о tl „'К*5

{yt,XM,Ct)h__0, (yt,xt+i,ci)^0 лежат в А х А х В, с\ > 0, с? > 0 и ц > 1 удовлетворяет неравенству

р- 1 < 8e,s2S," 'бг1-

Тогда

¡zy-zil <

где Н = 2ц5,82(8е,Е2 - (ц - l^^f1.

В § 1.3 к анализу устойчивости моделей экономической динамики привлекается теорема об условной устойчивости гиперболических точек

Рассматриваемая в {1.3 модель имеет вид

(4)

(5)

X/ > 0, у1 £ 0, / = 1,2,— , У, «Л

тах. (6)

Хотя модель проста, продемонстрированные на ней схемы доказательств могут быть распространены на более сложные оптимизационные и равновесные модели.

Предположения.

1) Функции Р, -и выпуклы и дважды непрерывно дифференцируемы.

2) В модели (4) - (6) существует оптимальная стационарная траектория (магистраль)

х* >0, у' > 0, у' - х* > 0, а соответствующая (4) двойственная неременная Я; представима в виде = , Х*>0.

3) Существует а > 0 такое, что

для всех г = (х,У) е Я2".

4) Матрица -V =---(у* - х*\ положительно определена,

8сгх '

5) Матрица

К12 р1'

и* 0 -

певырождена, где Ра = ^(г*), Ц = — Р2 =

в)н(и + яяТор!"')

Теорема 1.3. Пусть модель (4) - (6) удовлетворяет предположениям 1) - 6). Тогда существует окрестность точки у* такая, что для любого у0 из этой окрестности существует

12

оптимальная траектория сходящаяся ,к при

? -> оо.

Схематически доказательство теоремы 1.3 выглядит следующим образом. Рассматривается система

получаемая из двойственных соотношений задачи (4) - (6) путем замены Я/ = Показывается, что система, образованная этими

уравнениями и уравнением /г(х<)у/) = 0, разрешима относительно (У/,Х/+|,в/) при любых (»! ,Х/) из некоторой окрестности точки Обозначим через ср отображение (у/_4,х/) —►

Ясно, что (у*, = ф(у*, х'У Показывается, что производная отображения <р в точке имеет п собственных чисел с

модулем, меньшим 1, и П собственных чисел с модулем, большим 1. Тогда по теореме об условной устойчивости гиперболических точек в окрестности (У, дс*) существует л-мерное дифференцируемое устойчивое инвариантное многообразие М. Далее доказывается, что существует некоторая окрестность точки такая, что для любого у из этой окрестности можно подобрать {у, х) е М. Отсюда без труда выводится справедливость теоремы.

В главе 2 излагаются магистральные теоремы для моделей с неаддитивными функциями полезности на конечных промежутках [О, Т]. В моделях экономической динамики обычно принимается, что функция полезности представима в виде

Т

и(св,с„...,сг) = ££/,(с,),

/=о

где Т > 1- длина временного периода, с1 - вектор потребления в году (, а и( - локальная функция полезности в этом году. Такие функции называются аддитивными во времени. П. Самуэльсон доказал локальную магистральную георему для однопродуктовой

модели, в которой технологическое множество стационарно, а функция полезности имеет вид

где N > 0 - конечное целое число. Другими словами, допускается, что потребление в году I оказывает влияние на потребительские предпочтения в последующие годы / +1,...,/ + N.

Магистральные теоремы в сильной форме утверждают, что оптимальные траектории могут существенно отличаться друг от друга лишь в точках, близких к одному из концов планового периода [0, 7], Магистральные теоремы в слабой форме не дают информации о распределении точек, в которых две оптимальные траектории существенно отклоняются друг от друга. Утверждается лишь, что число таких точек конечно и не зависит от длины планового периода

В § 2.1 доказывается теорема в слабой форме для произвольных неаддитивных вогнутых функций полезности

«(с), с Чтобы четче выделить идею модификации,

опускается рутинная часть доказательства, состоящая в конструировании допустимой траектории, осуществляющей переход с одной оптимальной траектории гш другую. Возможность такого перехода является одним из предположений.

Предположения к теореме 2.1:

a) - выпуклый компакт, < = 1,.,.,Г;

b) существует функция о : (0,оо) -> (0,°о) такая, что имеют место следующие свойства:

Ы) из того, что (х, у) е £2 5 У') е Я/, |у - у'|| £ е, следует, что ((х+х')/2-и\(у + у')/2) еО, для всех V е К?, ¡¡и^ 3 сг(с);

Ь2) из того, что (х,у) е С1, (х',/) е П/, |х - х'|| £ е, следует, что ((х + х')/2,(у+у')/2 + \г) е£2, для всех V/ еЛ?, М ^ о(с);

2>

всех с;

<1) существуют 8, > 0,82 > 0 такие, что 5, <, (с)|| й 52 для

всех с / = 0,1,...,Т.

Допустимая траектория (У}, Х(+,, с] называется

оптимальной, если «^с*^ 2 и(с) для всех допустимых траекторий

(У1,хш,с,)т1=!1 таких, что у0 = у£.

Положим У = шах шах |М|.

/ уеРг2П(

Теорема 2.1. Пусть (у,', х'ии с',)]^, (у,", х}'+„ - две

оптимальные траектории, И < У, с'„ > О. Пусть (у,, ,, (Я/> ~ две Допустимые траектории такие, что = у0',

у,-Хм,-с, > 0 для всех / = 0,1,...,Г; у» = X'. (й, */+!> С/) = = (>;, сI) для t е {/„, /0 +1,7}, где /с е {0,1,..., Т} -некоторое число. Тогда число точек, в которых |у} — у}', X/ - £ е , не превосходит числа (л/05гУ +- 5г|уо - у^[)Д8,о(с/л/2)).

Для доказательства магистральной теоремы в сильной форме необходимо требовать от функции полезности дополнительных свойств. В доказываемой в § 2.2 теореме предполагается, что предельная полезность предметов потребления в году I, индуцированная неаддитивной функцией полезности, может зависеть от набора предметов потребления в другом году х, однако степень этой зависимости должна ослабевать с экспоненциальной скоростью с ростом величины - т, |. Технологические множества задаются в виде

О, = {(лг,у)|^(х,у) < 0, ж > 0, у > О}, / = 1, ... Т.

Траектория (у*, Х*+1, называется оптимальной, если

«(с*) > н(с) для всех допустимых траекторий (у/, Х/+1, таких, что у, < у? , хт ч , 2 х} +

обозначим: = (х,,у,), /2) = (г,,, ..., Предположения к теореме 2.2:

1. существуют выпуклый компакт А с: Л" и числа е, > 0,8, > О такие, что:

1а) функции .у) дифференцируемы на АхА\ 1Ь) функции ^ равномерно выпуклы на Ах А в том смысле, что + + для всех

б Ах А;

й 8, для всех z еАх А.

2. существуют выпуклый компакт В с. В." и числа е2 > 0, 5г > 0, д е [о, 1) такие, что:

2а) функция и(с) дважды непрерывно дифференцируема и вогнута на Вт+1 = В х Вх...хВ',

2Ь) [¿^ (с)| 2 б^Н с е Л7"41, *,т = 0,..., Г;

>е2, с ея74', t = q,\,...,t.

_ . Эи , ч ^ „ ||9и/Ч] 2С) ёс^^ '

Здесь через ^ (с) обозначается матрица размерности

ОС^ ОС ф

дРи

п х п , состоящая из элементов ——т(с\ / = 1,..., п.

дс^дс/

Следует отметить, что неравенствам 2Ь) при достаточно больших &2 удовлетворяют функции полезности, учитывающие специфику благ длительного срока службы. Примером могут служить функции вида

<

где уа = 2 (1~ Рп^/ 1-х ' Ь ~ коиеччый срок службы блага г, а т=о

е [0,1] - коэффициенты выбытия блага i после х лет службы.

Теорема 2.2. Пусть (у}, х'ц„ с})1_0, (у}', х?.И, „ - две оптимальные траектории, лежащие в А х А х В, причем с'/>0,с">0 для всех / = 0,1,...,7'. Обозначим (у/, X/, „ С,) =

= (у"-у;, с','- С',), I, = z?-z¡, *(/„*) = 1% /2) - Т.% /2).

Тогда существует целое положительное число Ь, зависящее лишь от е,,Е3,5,,82,0 и такое, что справедлива оценка

+ \,Т -яЩ < -у 1)(1у01 + ||*г+1|й

для всех л = 0,1,... таких, что зЬ + \<Т -хЬ.

Согласно магистральным теоремам, в моделях экономической динамики с постоянными во времени технологическими множествами и стационарной аддитивной функцией полезности Г

2"(С/) оптимальные траектории сходятся к магистрали /=о

(стационарной оптимальной траектории) при удалении Г от концов отрезка [О, Т\. Поэтому состояния и (хг,ух,Сг) на

оптимальной траектории мало отличаются друг от друга при (,х е[/, Т -1\, где I > 0 — достаточно большое целое число. В § 2.3 получен аналог этого свойства для оптимальных траекторий в моделях с неаддитивной во времени функцией полезности. В этом параграфе предполагаются выполненными допущения 1а-1с, 2а - 2с из предыдущего параграфа Технология считается постоянной во времени, = ■ На неаддитивные во времени функции

полезности наложено следующее дополнительное условие, расширяющее понятно "стационарность" на случай этих функций:

2с1) существуют числа ст > 0, р е [0,1) такие, что для всех целых Н > О справедливо неравенство

ди / л ди , ,л|| „ и

для всех е^Т-А] и всех с', с" е. В таких, что

с'ик = <+*, к = -Д...,А.

Теорема 2.3. Для всякого е > О найдется целое Ь > О, обладающее следуюпдим свойством. Для любой оптимальной

траектории (УеЛ-ц,^)^,, из Л х /I х В, с( > 0, и целых чисел /0, Ь < /0, /, <Т- Ь выполнено неравенство |г/с - | < е.

В § 2.4 рассматривается экономическая динамическая модель па конечном временном интервале, в которой технологические

возможности описываются с помощью одного глобального технологического множества:

¿0, / = 0,1,...,Г + 1.

Здесь Zl е В!? - набор параметров, описывающих состояние экономики в году t; С: _д(Г+2)л' -» Я - некоторая функция.

Кроме того, задана функция полезности

V: Л(г+2)ш -> Я.

Допустимая траектория Z' называется оптимальной, если

й и (г) для всех допустимых траекторий 1 таких, что

Z(¡ = = Zт+l^

При ряде допущений в рассматриваемой модели доказана магистральная теорема в сильной форме. Относительно функций б, 17 требуется, в частности, чтобы они удовлетворяли свойству типа 2Ь) из предположений к теореме 2.2.

В моделях рамсеевского типа оптимальное решение обладает такими равновесными свойствами, как:

1) сбалансированность материальных ограничений,

2) производитель в каждом году максимизирует свою прибыль в текущих оценках.

Попытки ввести в модель элементы равновесия на потребительском рынке были предприняты В. Л. Макаровым, В. М. Полтеровичем; Т. Бьюли и др. Так, В. Л. Макаров определял потребительский бюджет в каждом году / как Р(Р/У/ -фиксированную долю произведенного продукта в ценовом выражении, а потребительский спрос как решение задачи р,с <, р,р,у,, с ;> 0; и¡(с) шах.

В главе 3 рассматриваются равновесные динамические модели, в которых технологическое множество в каждом году состоит из элементов, включающих в себя затраты продуктов, затраты трудового ресурса, выпуск продуктов. Потребительский бюджет может зависеть от произведенного продукта, от зарплаты "трудящихся", от их сбережений, от темпов изменения уровня цен.

В §3.1 изучается равновесная динамическая м ш >1011 роду ктоиая модель с дискретным временем. Модель задается

последовательностью технологических множеств Wt с. R" х Я+ х R", / = 1,2,..., последовательностью объемов трудовых ресурсов Ц,

/=1,2..... последовательностью функций полезности ut:R" R,

/ = 0,1,... , и вектором ресурсов Ь> 0 в начале планового периода. Включение (х, I, у) е Wt означает, что затрачивая в году / набор ресурсов X и используя трудовые ресурсы /, можно произвести набор у. Обозначим через pt е R", nt е R+ соответственно цены продуктов и цену трудовых ресурсов ("заработную плату").

Траектория о называется равновесной,

если выполнены следующие условия:

el) (xt,It,yi) максимизирует прибыль производства, т. е. является решением задачи

(х,1,у)еЩ, (7)

~Pt-\х~ + Pty п13*» t = 1Д-;

о2) J,iLt, / = 1,2,...; (8)

сЗ) у, >хИ1+с„ / = 0,1, ..., (0)

Уо = * (Ю)

cl) с, - максимизирует полезность потребления при бюджетном ограничении, т. е. является решением оптимизационной задачи

р,с <. я(+1/,+1, (11)

с > 0, и,(с) -> max.

В этой модели потребительский бюджет равен суммарной "заработной плате". Предположения:

1) \Vt - выпуклое замкнутое множество, 0 e}Vt;

2) и, - вогнутая дифференцируемая функция, не имеющая точек насыщения;

3) существует последовательность (хг+иЬ+чУьсг)Т=о> удовлетворяющая ограничениям (7) - (10), причем ограничения (8) -

(9) выполняются как строгие неравенства (условие Слейтера).

4) для всякого > 0 величины Цу^Ц ограничены равномерно по всем траекториям, удовлетворяющим (7) - (10);

5) существуют последовательности положительных чисел е./, 8/, < = 1,2,..., удовлетворяющие следующему свойству. Для всякой траектории (Х/+11<£?41>37>С/)> удовлетворяющей ограничениям (7) - (9), и всякого фиксированного /<, найдется траектория (Зг+1.-£«<н>Й>$)> удовлетворяющая (7) - (9),

уо1 <, Ь/ +5^, / = 1.....и,

и такая, что 2> > с,, / = 0,1,... , и у^ > у^ + с^.

Теорема 3.2. При предположениях 1) - 5) существует равновесная траектория.

Схема доказательства теоремы достаточно традиционна. Вначале строится семейство вспомогательных равновесных моделей на ограниченных временных интервалах [0, У], 7' = 1,2,.... Далее на основе теоремы Куна-Таккера и теоремы Какутани о неподвижной точке доказывается существование равновесных траекторий во вспомогательных моделях и с помощью диагонального процесса из них выделяется равновесная траектория на бесконечном временном интервале [0, °о).

В § 3.2 изучается равновесная стационарная модель, в которой потребительский бюджет для года Ь является суммой двух величин уя/+,//+|, РР/У/- Здесь величии уп/+1//+1 интерпретируется как расходуемая часть "зарплаты", а (1 - - как сбережения

"трудящихся". Числа у е (0,1], р е[0,1] считаются заданными.

Основное содержание § 3.2 - доказательство существования квазистационарных равновесных траекторий

где \хг' > 0 - дисконтирующие коэффициенты.

Обозначим через О множество всех элементов (х,у) таких, чаю (х, 1,у) еЖ для некоторого /е[0, £]. Принимается, что £2 удовлетворяет следующим свойствам:

01) £2 — замкнутое выпуклое множество;

□ 2) множество {(*,>) е£21 у £ х} - компакт;

ОЗ) X = &1р{х | существует (х,у) е О такая, что Хх < у} > 1.

Считается также, что выполнено

и1) и: Я" Я - неубывающая непрерывная вогнутая функция, не имеющая точек насыщения.

Теорема 3.4. Пусть у б (0,1], /3 е[0,1-А~1) и выполнены

предположения £21) - £23), и1).

Тогда существует равновесная квазистационарная траектория = х*, у, з у*, Ы Ь, с, в с*, р, = п( = ц"'я\

Естественно предположить, что при возрастании р, у (при возрастании "нетерпения" потребителя) дисконт рГ1 на квазистационарной равновесной траектории уменьшится. Нам удалось, однако, доказать этот факт только в случае линейных функций полезности.

В § 3.3 изучается асимптотическое поведение равновесных траекторий в стационарных моделях экономической динамики, когда р = 0, у = 1. В этом случае равновесная стационарная траектория совпадает с магистралью для недисконтированной функции полезности. Нами предложены условия, обеспечивающие локальную асимптотическую устойчивость стационарной равновесной траектории. Эти условия более жесткие по сравнению с принятыми в магистральных теоремах. Требуется, в частности, чтобы функция полезности была близкой к линейной функции.

Технологическое множество задается с помощью выпуклой дважды дифференцируемой однородной первой степени функции

уу. IV = {(*,/,у) е < о|, Ц =\. Предполагается, что и -

выпуклая дважды дифференцируемая функция, не имеющая точек насыщения.

Предположение 1. Динамическая модель (и*, и) имеет стационарную равновесную траекторию (уг-и иА*>

Р1-1, я?) Н (у*,х*,с*,1, р*, я"), с* = у' -х*, , причем у* >0, х* > О,

с* >0, р* > 0, я* > 0.

Предположение о существовании стационарной равновесной траектории достаточно естественно, поскольку соответствующая теорема была доказана в § 3.2 при довольно слабых условиях. Предположение о положительности величин у* ,х*,С* ,р*, я* может быть ослаблено (достаточно требовать положительности с*).

Предположение 2. Квадратичная форма т!-

дг к '

положительно определена, т. е. £—-(г* к ^ °И[2 для всех

дг у '

% е Л1", где а > 0 - некоторое число, не зависящее от' выбора Z■ Здесь Р(х,у)= !,>'), г=(х,у).

Предположение 3. Матрица -(с*) удовлетворяет

дсг ^ >

неравенству | < Э *о/Г(2||/11 • И1Г', гдс / = ШС'У

Предположение 4. Существует число 6 > 0, окрестность £2^ • Л * _

точки z и окрестность ис точки с такие, что:

1 <ъ\

6) К (с") - ^(с') < бВс" - с'[ для всех с',с" е Ос. | дс2 дс2 ||

Теорема 3.7. Пусть модель (к>,и) удовлетворяет предположениям 1-4. Тогда существует е > 0, обладающее следующим свойством. Из всякого Ь, - ;у*| < с, исходит равновесная положительная траектория (у(, ДГ/+,, С/, //ч) = I, р/, о- причем у, -> у*, х, х*, с, с*, р,1у, р', я,/у, я*, Ч'/+1 ЛИ/ 1 при /-> оо, где XV, - дисконтирующие коэффициенты на равновесной траектории.

а)

"с

2 (*") " - ~ ДЛЯ ВССХ 6

В доказательстве теоремы 3.7 используется теорема о неявной функции в банаховых пространствах. С ее помощью устанавливается разрешимость уравнений, описывающих состояние равновесия, при Ь, достаточно близких к у*. Основная трудность состояла в доказательстве того, что оператор-производная по разрешаемым переменным имеет непрерывный обратный.

Особенность изучаемой в § 3.4 модели - формирование для каждого момента времени в явном виде потребительского бюджета В, зависящего от совокупной заработной платы, от сбережений "трудящихся" (с описанием процесса образования сбережений), от цен и от темпов их роста Чтобы использовать хорошо развитую теорию устойчивости дифференциальных уравнений на плоскости, модель рассматривается в непрерывном времени.

Переменные модели: x(t) > 0 - количество фондов, /(/) > 0 - . объем используемых трудовых ресурсов, c(t) >0 - объем потребления, p(t) > 0 - цена единицы продукции, vif) > 0 - цена единицы рабочей силы, s(t) > 0 - сбережения в расчете на одного "трудящегося", о(/) = p(t)/p(t) - темп роста цен.

Заданы: F(x,l): -* Я, - производственная функция; a > 0 -коэффициент выбытия фондов; £(s,n, р,о)щ. R\ х (0,оо) х R -> -функция потребительского бюджета в расчете на одного "трудящегося"; L > О - объем трудовых ресурсов; дг0 > 0, ра > 0, J0 > 0 - соответственно количество фондов, цена продукта и сбережения в начальный момент времени.

Уравнения модели имеют вид:

х = F(x, l)-ax-c, х(0) = *о,

рс = lB(s, к, р, Р!р), s = т. - B(s, тс, р, р(р\ Х°) = 5о> K=pidF/OlJx,l), р=(а-(дР/дхХх,1))р, р(0) = Рй.

Последние диа уравнения отражают тот факт, что "производители" максимизируют свою прибыль в текущих ценах.

Предполагается:

1) F(x, I) - вогнутая однородная первой степени функция; F(x, I) = О на R* \ intÄj; (d2F/dx2^x, I) < 0V(x, /) e int .

2) F(x, /) - дважды дифференцируемая на int Äj и имеет строго положительные производные первого порядка. Кроме того,

tiiaidF/dxYx, L) = +оо, lim (dF/dxYx, L) = 0.

3) B{s,it,p,a) - дифференцируемая функция, однородная первой степени относительно аргументов S, к, р.

4) Функция B(s, 7t, р, а) имеет строго положительные первые производные по S, я и неотрицательную производную по о на Rl х (0, оо) х R; В{0,0, р,а) = 0 для всех р > 0, а.

5) 2?(0, я, р, а) < к V я > 0, р > 0, er; B(s,n,p,a) -» оо при s °о для произвольных фиксированных к > 0, р >0, а.

Будем говорить, что сбережения "трудящихся" в момент t обеспечены материальными ресурсами, если p(t)x(t) > /('X') = -^0-При предположениях 1) - 5) существует единственная стационарная равновесная траектория /*, с*, р', т.",

Пусть выполнено

6) Сбережения обеспечены при t = 0, т. е. р0Хе >

Теорема 3.8. Пусть наряду с 1) - 6) выполнено предположение

7) xV > Ls'.

Тогда равновесная траектория {х, 1, С, р, п, s), х(0) = х0, А0) = Л> Л'(0) = j0, сходится к {х*3 /*, с*, р\ п , при / > «>.

В доказательстве теоремы 3.8 используется прилиак Пуанкаре, дающий достаточные условия для орбитальной устойчивости циклических траекторий на плоскости.

Любая равновесная траектория [х, /, с j является, кик легко

показывается, L?-оптимальной в следующем смысле: для всякой другой траектории (х, 1, с) такой, что

/ < L,

х < F(x, 1)~ах - с, х(0) = Xq, 24

/ 2. О, X £ О, С к О,

выполнено неравенство

-Щи J ч> ~ "W*))) A s о,

где ф(<) = Д/) / и'(с(/)) - дисконтирующая функция.

Появление в рассматриваемой равновесной модели дисконтирующей функции совершенно естественно (ср., например, модель Эрроу-Дебре, где равновесное решение оптимально относительно некоторой взвешенной суммы функций полезности потребителей). Заметим, однако, что в оптимизационных динамических моделях типа изучаемой дисконтирующая функция обычно интерпретируется как форма проявления "функции нетерпения" потребителя: дисконтирующая функция убывает тем быстрее, чем сильнее "нетерпение" потребителя. В нашем случае дисконтирование выступает как инструмент достижения равновесия на потребительском рынке. Можно показать, что эти две интерпретации в определенном смысле согласованы между собой.

Пусть две равновесные модели различаются лишь удельными бюджетными функциями, причем < Bz(s,n,p,a)Vs, п,р,а.

Пусть траектории (х1,/1,с1,/»1,*'>•*') и (x2,l2,c2,p2,%2,s2} -

равновесны соответственно в первой и второй моделях и исходят из одного и того же состояния (x0,p0,s0). Тогда показывается, что

lim Ч'ЧО/ч'ЧО) £ lim у2(Л/У(0): на [0, а>) дисконтирующая функция /—►«> ►«>

убывает больше в модели, где выше склонность к потреблению (больше "нетерпение").

Рассматривается также случай, когда на стационарной равновесной траектории сбережения не обеспечены, т. е. х'р" < La*. Такая траектория плоха с экономической точки зрения: доверие к необеспеченным сбережениям всегда может быть нарушено. Интересно, что и в модели эта траектория плоха из-за ее неустойчивости (один характеристический-корень линеаризованной системы имеет положительную действительную часть).

При предположениях 1) - 5) и при х*р* < Ls* существует

также квазистационарная траектория (х, 7 = Ь, с, ер1 р, ер'п, ер'л), удовлетворяющая следующим свойствам: х £ х", рх - 1$, р = о-/•(*)£ 0.

Теорема 3.9. Пусть выполнены предположения 1)-6) и X*р* < 1д*. Тогда равновесная траектория сходится к квазистационарной траектории.

При анализе фактического развития народного хозяйства возникает вопрос о соответствии его пропорций существующей технологии и ее последующим изменениям. Бесспорное решение поставленного вопроса (даже его точная постановка) представляет собой сложную задачу, однако некоторые результаты здесь получены. Они связаны с понятием магистрали, определяемым в динамической модели с постоянной технологией (технологическим множеством). На магистрали реализуются оптимальные пропорции экономической системы, которые как бы дублируются во времени. К сожалению, магистрали существуют лишь в моделях с постоянной технологией.

В главе 4 для моделей со слабо изменяющейся технологией нами , определены траектории (обобщенные. магистрали), сохраняющие и обобщающие свойства обычных магистралей. Под обобщенной магистралью понимается оптимальная траектория, компоненты которой изменяются во времени медленно, если медленно изменяются технологические множества. Конкретный выбор показателей, характеризующих соответственно скорость изменения компонент траектории и скорость изменения технологических множеств, зависит от целей исследования. Нами предложено два из возможных здесь вариантов.

Первый из них был рассмотрен в § 4.1, второй в §§ 4.2-4.4.

В § 4.1 рассматривается класс Ь моделей, ограничения которых имеют вид

(Х1,у,)еа,, / = 0,1,...;

У/2Л/+1.+ С/+1, 7 = 0,1,...;

* =1,2,....

Каждая модель а е Ь задается последовательностью пар

{Па/> uaf}/lo

Требуется, чтобы пары (О«/,«о/), а е L, t 2: 0, наряду с обычными свойствами удовлетворяли некоторым ограничениям равномерно по а е L, t S 0 . Предполагается, что существуют числа

ЛГ > 0, а>\, q>0, положительный вектор цеЯп, функции 8,: (0,оо) -> (0,оэ), (' = 1, 2,, и непрерывная функция <р: [0,да) -> [О,»), <р(0) = 0, такие, что всякая пара (Qa/iuaA а 0, удовлетворяла

бы условиям:

AI) Оа/ х R? - выпуклый компакт, причем (0, 0) е О^; |х[ £ К, 5 К, если (jc.yjeflo/. Если (х,у) ейс и Ой у'¿у, то (х, у') е Qgj. Здесь и ниже Ц ■ | - евклидова норма;

А2) (0, у) е Ciaj тогда и только тогда, когда у = 0;

A3) из того, что (х,у) е Пц,,ейш, Цу-у'Ц^е, следует, что ((х + х')/2, (у + у')/2 + и>) е Q^ для любого вектора w 2: 0, ¡и| S 5,(е);

A4) из того, что (х,у) е Oaj, (х',у) е Оа/, ||х - x'jj > к, следует, что ((х + Х')/2 - v, (у + у')/2) е ßд/ для любого вектора v > 0, М <; 82(б);

А5) (r),öri) еОа,;

А6) для всех (х,у) eQgj, х' е R" найдется у' е R? такой, что

А7) иы: Я? - вогнутая неубывающая непрерывно

дифференцируемая функция. Градиент функции иа1 ограничен равномерно по а. е 2., /1> 0, с и непрерывен равномерно по а с Ь, 1> 0, с в области |с е ||с|| 5 2К};

А8) = 0, если С/ = 0 хотя бы для одного ¿;

Л9) и„,(с + ч) £ И(х/(с) + д для всех с а 0 таких, что Цс| £ К.

Определим на элементах множества Ь функционал

(*',/) eüoi, Цу-/||5ч(||х-х|;

где р - метрика Хаусдорфа, а |с - норма в пространстве непрерывных функций, определенных на множестве |с 2/Г|. Значение функционала |а( характеризует скорость

изменения параметров модели а во времени.

Определим на траектории % = {х(0)Г=о = ((*(')> У{*\ °(' + 0)}Г=о функционал

Но

Величина ^ характеризует скорость изменения экономической системы, развивающейся по траектории • Основной результат § 4.1 составляет

Теореиа 4.1. Пусть модели из Ь удовлетворяют условиям А1 -А9. Тогда каждой модели а е Ь можно сопоставить допустимую в

этой модели траекторию |ха(')}^10 такую, что:

а) {Ха(0}Г=о ~ оптимальна;

б) |Ха|0 0 при |а) -> 0.

В § 4.2 - 4.4 изучаются динамические оптимизационные модели балансового типа, имеющие важные экономические приложения.

Результаты, полученные в § 4.2, носят вспомогательный характер. В нем рассматривается динамическая система с дискретным временем

*'(«/»•••> «/+/■«*/>= О, (12)

где й/ е Я" - вектор экзогенно задаваемых параметров, ¡=0,...,Т+г; Х( е Кт - вектор эндогенных переменных системы, / = 0,..., Г 4-х; Р - вектор-функция, бесконечное число раз дифференцируемая по своим аргументам; Т е [1, «>} - некоторое

целое число. Обозначим а = (Оо,..., а/ч г) е >Г< х = (х0,Хтл!) и введем функционалы

К = sup шах maxj |а/+1 - aj\ |а/+2 - 2д/+| + J, Mm = sup max 1гш|[х/+, - x't\|х/+2 - 2х/+, + х/|^|.

Эти функционалы характеризуют как скорость изменения величин at) xt во времени,- так и скорость изменения сдвигов

al+t ~at> xt+t ~ xt-

В практических прогнозных расчетах по моделям экономической динамики изменение технологических параметров

а{ часто задается в виде

где ф-' - некоторые достаточное число раз дифференцируемые

функции, a a J - некоторые параметры, <р^(й/,о) = а/. В этом случае

при некоторых естественных дополнительных предположениях, на которых мы не останавливаемся, величина |о]п имеет тот же

порядок малости, что и величина В практических расчетах

особенно часто применяются линейные функции cp^fl/,fl-'J = а{ и экспоненциальные функции = + ä-'j.

Обозначим через De Ä" множество всех I еÄ" таких, что уравнение

имеет единственное решение б Äm и детерминант якобиана -К7)) Ра!3«г нулю.

Рассмотрим систему уравнений относительно у, р

F(la,...,lr,y,y + + jy) = 0, (13)

иУ + У>У + 2У -:,У + (■» + Ш = ь> (И)

зависящую от параметров (/„,/,,n,b) е /j(r,2)n""

29

Предположение. Для каждого I € 2> найдется окрестность точки (/,...,/, 0) € д(г+2)л*и такая, что система (13) - (14) при параметрах (/„,/„...,/г+1,й) из этой окрестности однозначно разрешима относительно у, у.

Предположение выполняется автоматически, если система (13)- (14) линейна относительно у, у.

Обозначим через /+с {1,...,т} множество индексов, которым по экономическим соображениям должны соответствовать строго положительные величины х}.

Теорема 4.4. Пусть Л0 с В — некоторый компакт такой, что у1 (Г) > 0 для / е 2)0, / е/+. Тогда найдутся числа т > О, а, > О, С > 0, удовлетворяющие следующему свойству: для всякого а такого, что £ 1 и Щ е 2>„, t = 0,..., 7" + г, найдется траектория дс(о), удовлетворяющая неравенствам:

1)о, / = 0,..., 74 л, /е/+

зж^сн,;

4) -С|и£ Г'(аь щлг> х,{а),..., х,„(о)) <0, О,..., Т, «= 1,..., т.

Ключевую роль в доказательстве теоремы играет система (13) - (14). Обозначим через (уДя), у ¡(а)) решение этой системы при /0 = д/, „. , /г+) = Доказывается, что траектория х,{а) = у((а)

удовлетворяет требованиям 1) - 3) теоремы и неравенству

при некоторых -с > 0, о, > О, С > 0.

Из теоремы 4.4 без труда выводится, что на всякой траектории х(а), \а\п < т, а, е!>0, темпы роста х}+1(а)/х',(а), /е/+, удовлетворяют оценке

± К1 + °г2)сх> (15)

/ = 1,2,....

Зафиксируем некоторую последовательность а, |о|л 5 х, а, е/)0, / = 0,1,.... Предположим, что выполнены:

1) динамическая система

/{л,, ...,в/+г,*,,...,*,+,)= О, / = 0,1,..., глобально асимптотически устойчива. Это означает, что

X/ -X/ 0 при / -> оо, для любых допустимых траекторий Х/,Х/.

2) траектория фигурирующая в теореме 4.4, удовлетворяет уравнениям системы (12).

Тогда из (15) и из 1) - 2) следует, что темпы роста на любой допустимой траектории X/ удовлетворяют оценке

Ш ¡х^/х'^-х^/х}]*

(16)

Это означает, что при малом |а|я темпы роста Х/+1/х', «е/+, на любой допустимой траектории Х( становятся весьма стабильными при больших /.

Оценка (16) оказывается полезной при изучении асимптотического поведения траекторий в балансовых динамических моделях. Рассмотрим модель Леонтьева Ум = ЛиЛ+1 + Я/+1Л+1 ~ Д/У/

/ = 0,1,...,

где заданны: Л(>0 - матрица коэффициентов прямых затрат, В) > 0 - матрица коэффициентов фондоемкостей, с, > 0 - вектор структуры потребительского набора, ¿0 - вектор

коэффициентов трудоемкостей.

Неизвестные величины модели: - вектор валовых выпусков, Z/ - количество наборов, идущих в потребление.

Положим п = 2к? + 2к, т = к + \, г = 1, 5 = 1, щ = (лЦ1,^2,...,

<9....,<//*) еЛ", ж, =С», г,). Обозначим 31

через I) с Л" множество векторов 1={Ап,А12,...,А№,Вп,Вп,..., В**, с1,...,с*, таких, что:

И) А - продуктивная неразложимая матрица; к ..

12) / = 1 СО, </*0; ы

13) система

у,+1 = + -Вх,+1 - + с, Флч = 1

разрешима относительно • переменных Уt-^t>Zt■t¡, причем норма матрицы-оператора

(Е-А-В -сГУ-Я \ а о; 1,о

в евклидовой метрике строго меньше единицы.

Пусть 2)0 с 2) - некоторый компакт. Аналогом теоремы 4.4 в рассматриваемом случае является

Теорема 4.5. Найдутся числа х > 0, о, > 0, С > 0, удовлетворяющие следующему свойству: для всякого а такою, что |о]я£т и О/еД, /=0,1,..., найдется допустимая траектория

= (Хд)> •£("))> Удовлетворяющая неравенствам

1) о, 2 х{(а), / = 0,1,..., / = 1,...,т;

2) / = 0,1,..., / = \,...,т, 3 )Шт^¥\п-

В сформулированной теореме требование о допустимости х{а) усиливает свойство 4) из теоремы 4.4. Это усиление обеспечивает справедливость оценки (16).

Полученные в § 42 результаты были также использованы в § 4.4 для конструирования обобщенных магистралей в линейных моделях экономической динамики.

Рассмотрим линейную задачу оптимизации г

^КЧ,••-,я/+г), (17)

е=о

/=0,1,..., : 32

х, = хЪ t=0,...,s-í, (19)

со

х •• • > "и г)х/ шах, (20)

(=1

где заданы: Ле(д/,...,а/+г) - матрица размерности тхт, зависящая от параметров д(,...,а,+г еЯ", - вектор-столбец

размерности т, с(в/,...,Д/+Л) — вектор-строка размерности 7», ц"1 е (0,1) - дисконт, е К? - параметры, определяющие начальное состояние. Предполагается, что величины А0, Ь, с достаточное число раз дифференцируемы по своим аргументам. Ограничения двойственной задачи имеют вид

л

е=о

если от двойственных переменных р1 перейти к р/ = р'р(.

Обозначим через Б с Я" множество всех I е Я" таких, что уравнения

м)-0 у

^е-о

имеют единственные положительные решения х(1) > 0, р{1) > 0, причем детерминанты матриц

е--о в-о б=о

не равны нулю.

Пусть О - некоторый компакт. Согласно теореме 4.4,

найдутся числа т > 0, сг, > 0, С > 0, удовлетворяющие следующему свойству: для всякого а такого, что Щп ^ х и с, £ Д, / = 0,1,... , найдутся траектории х(а), Да), удовлетворяющие неравенствам о, 5 х}(а), о,йр1(а), / = 0,1,..., /=!,...,«;

|Й(я)| < С, / = 0,1,..., / = 1,..., /и;

e=o

9=0

/=0,1,...,

где v = (U...,l)e^m.

Теореиа 4.7. Зафиксируем ö, ц еД, /= 0,1,... , и

рассмотрим задачу (17) - (20) при jc° = /=0,...,s-l. Пусть

для любой допустимой траектории X/ рассматриваемой задачи выполнено

Jim. £ (- ¿0, (21)

где /»/(а) = Тогда траектория Х/(а) является С'(с|2-

оптимальной, где С £ 0 — некоторая постоянная, не зависящая от выбора а (но зависящая от выбора т, Д).

С')а)д-оптимальность траектории Х/(с) означает, что

Jim. i»а,„Ш")- *t) * -CK

7-><о

для всех допустимых траекторий X/.

Такие траектории */(о) называются нами обобщенными магистралями.

Замечанье. Предположение (21), например, справедливо, если допустимые траектории Xt равномерно ограничены

В приложении приведены примеры использования аппарата обобщенных магистралей в динамических многоотраслевых народнохозяйственных моделях.

Согласно проведенным нами многочисленным расчетам по динамическим межотраслевым моделям народного хозяйства СССР, РСФСР и США, реальное состояние этих экономик в 60-80-х годах практически находилось на обобщенных магистралях, отклонение фактического валового выпуска от расчетного в каждой отрасли но превышало 2,5%.

С другой стороны, отклонение реального состояния советской экономики от обычной магистрали было довольно значительным. Так, в расчетах М.Н. Ефимова и С.М. Мовшовича оно составляло 12,3% в машиностроении, 15% - в строительстве. Аналогичные выводы были нолучекы и в наших расчетах. Таким образом, реальное состояние экономики оказывается намного ближе к обобщенной магистрали, чем к обычной магистрали. Поэтому отклонение фактического состояния экономики от обычной магистрали может объясняться не только его неоптимальностью (как это принято считать), но и несовершенством понятия магистрали, предполагающего стационарность технологии.

Обобщенные магистрали могут служить лучшим ориентиром по сравнению с обычными магистралями в прогнозных расчетах по балансовым моделям.

По теме диссертации автором опубликованы работы: Монографии

1. Вальтух К.К., Дементьев Н.П., Ицкович НА. Математический и статистический анализ функции потребления. - Новосибирск: Наука, 1986, 167 с.

2. Дементьев Н.П. Магистральные свойства моделей экономической динамики с потреблением. - Новосибирск: Наука, 1991, 167 с.

Статьи, тезисы докладов

3. Дементьев Н.П. Об одном обобщении модели Неймана// Методы моделирования и обработка информации. - Новосибирск, 1976, с. 93 - 95.

4. Дементьев Н.П. Об одной модели экономического роста// Оптимизационные и балансовые модели народного хозяйства. -Новосибирск: Наука, 1977, с. 167 - 173.

5. Дементьев Н.П. Стабильный рост в динамических, моделях Леонтьева с переменной технологией// Динамическая и вероятностная оптимизация. - Новосибирск: Наука, 1978, с. 224-256.

6. Дементьев Н.П Об устойчивости одной динамической модели // Конференция молодых экономистов и социологов Сибири (Улан-Удэ, 1979). - Новосибирск, 1979, с. 18-21.

7. Дементьев Н.П. Траектория сбалансированного роста и сглаживающие сплайн-функции в динамической модели Леонтьева с переменной технологией// Модели и методы исследования экономических систем. - Новосибирск: Наука, 1079, с. 50 - 60.

8. Дементьев Н.П. Магистрали с дисконтом, меньшим единицы, в некоторых моделях экономической динамики / / Оптимизация, №23(40), 1979, с. 85-97.

9. Дементьев HJL Обобщенные магистрали в моделях Леонтьева с переменной технологией // Известия Сибирского отделения АН СССР, № 6: Сер. обществ, наук, вып. 2, 1082, с. 46-51.

10. Дементьев Н.П. Поведение оптимальных траекторий в моделях со слабо изменяющейся технологией // Оптимизация, №32(49), 1983, с. 69-88.

11. Дементьев Н.П. Обобщенные магистрали в дискретных моделях Леонтьева с переменной технологией // Математические методы анализа взаимодействия отраслевых и региональных систем. - Новосибирск: Наука, 1983, с. 11-27.

12. Дементьев НЛ., Финкель С.М. Прогнозирование научно-технического прогресса в строительстве на основе межотраслевого баланса. Тезисы докладов республиканской научной конференции "Пути совершенствования балансовых методов планирования народного хозяйства", Часть 1. - Киев, 1983, с. 40-41.

13. Голланд Э.В., Дементьев Н.П. и др. Эффективность направления структурных сдвигов в производстве строительных материалов, изделий, конструкций. Москва, 1983, 46 с.

14. Дементьев Н.П. О стабильности темпов роста в балансовых моделях леонтьевского типа // Процессы воспроизводства и их моделирование. Новосибирск: Наука, 1983, с. 147-155.

15. Дементьев Н.П., Финкель С.М. Моделирование использования прогрессивных материалов на основе межотраслевого баланса // Теория, методология и практика системных исследований. Всесоюзная конференция, 29-31 января 1985 г. -Москва, 1984, с. 126-128.

16. Dementiev N.P. Generalized turnpikes in models with slowly changing technology. A report for the 5th IFAC/IFORS Conference»

on Dynamic Modelling and Control of National Economics. Budapest, June 1986. - Novosibirsk - 1986.

17. Дементьев Н.П. Дисконтирующие функции и потребительский спрос // Оптимизация, №38(55), 1986, с. 121-134.

18. Дементьев H.II, Павлов Вл.Н. Технологический прогресс и свойства оптимума // Взаимосвязи НТП и экономического развития. - Новосибирск, 1987, с. 32-49.

10. Дементьев Н.П. Оценки сходимости оптимальных траекторий в моделях экономической динамики // Оптимизация, №41(58), 1987, с. 88-101.

20. Дементьев Н.П., Павлов Вл.Н. Технологический прогресс, оптимальные траектории и цены // Технический прогресс и структурные сдвиги в экономике. - Новосибирск, 1987, с. 5-24.

21. Дементьев Н.П., Финкель С.М. Оценки народнохозяйственной эффективности технического прогресса в строительстве // Анализ межотраслевых проблем интенсификации общественного производства. - Новосибирск, 1987, с. 85-100.

22. Дементьев H.II., Петров Ю.А. Взаимосвязь натуральной и стоимостной струга-уры общественного производства // Анализ межотраслевых проблем интенсификации общественного производства - Новосибирск, 1987, с. 3-15.

23. Dementiev N.P. Turnpike theorem: the case when utility is not additively separable with respect to time // J. of Mathematical Economics, 18(1989), p. 385-397.

24. Дементьев Н.П., Петров Ю.А Структуры цен и производства на стационарных траекториях экономического роста // Анализ и применение математических моделей экономической динамики. - Новосибирск: Наука, 1990, с. 9-22.

25. Дементьев Н.П. Равновесная модель экономической динамики с заданной функцией формирования потребительского бюджета // Экономика и матем. методы, т. 27, вып. 1, 1991, с. 119-129.

2G. Дементьев Н.П. Поведение равновесных траекторий в моделях экономической динамики с бюджетной функцией // Системный анализ воспроизводства. - Новосибирск, 1992, с. 84-95.

27. Дементьев H.II. Регулярные траектории в моделях экономической диппмики со слабо изменяющейся технологией // Анализ и моделирование экономических процессов переходного периода в России. - Новосибирск: ЭКОР, 1996, с. 180 - 191.

/

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ОРГАНИЗАЦИИ ПРОМЫШЛЕННОГО ПРОИЗВОДСТВА

На правах рукописи

ДЕМЕНТЬЕВ НИКОЛАЙ ПАВЛОВИЧ

МАГИСТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА МОДЕЛЕЙ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ С ПОТРЕБЛЕНИЕМ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение............................................28

Г л а в а 1. Динамические модели с дисконтированной

функцией полезности..........................28

§ 1.1. Характеристики в моделях со стационарным

технологическим множеством..................28

§ 1.2. Асимптотика оптимальных траекторий в

нестационарных моделях ......................41

§ 1.3. Оптимальные траектории и условная устойчивость

гиперболических точек ....................... 50

Г л а в а 2. Магистральные теоремы в моделях с неаддитивной во времени функцией полезности ... 61

§ 2.1. Магистральная теорема в слабой форме.......62

§ 2.2. Магистральная теорема в сильной форме......66

§ 2.3. Сходимость оптимальных траекторий в моделях,

близких к стационарным ......................78

§ 2.4. Сходимость оптимальных траекторий в модели с

глобальным технологическим множеством.......87

Г л а в а 3. Равновесные динамические модели . .......100

§ 3.1 Существование равновесных траекторий......102

§ 3.2. Квазистационарные равновесные траектории в

моделях с постоянной технологией............ 111

§ 3.3. Локальная асимптотическая устойчивость .... 128 § 3.4. Однопродуктовая равновесная модель с заданной

функцией потребительского бюджета......... 149

Г л а в а 4. Обобщенные магистрали..................169

§ 4.1. Поведение оптимальных траекторий в моделях со слабо изменяющейся технологией............. 170

§ 4.2. Регулярные траектории в моделях экономической динамики со слабо изменяющейся технологией . . 189 § 4.3. Стабильность роста в балансовых моделях

леонтьевского типа.......................... 205

§ 4.4. Обобщенные магистрали в дискретных линейных

моделях с переменной технологией............213

Приложение....................................... 227

Литература............................................245

ВВЕДЕНИЕ

К настоящему времени магистральная теория представляет собой важную область математической экономики со сложившимся кругом проблем и инструментарием исследования, которая в свою очередь распадается на ряд разделов, заметно различающихся по степени их разработанности. Впервые идея магистральных теорем применительно к моделям Неймана была высказана в работе Дорфмана Р., Самуэльсона П. и Солоу Р. [78]. Строгие доказательства при разных предположениях и разными методами одновременно были даны Раднером Р. [91] и Моришимой М. [88]. Макаров В.Л. [46-48], Маккензи Л. [83], Никайдо X. [89], Рубинов А.М. [62, 66] и др. затем существенно усилили полученные результаты. Метод Раднера, первоначально примененный к моделям леонтьевского типа, оказался эффективным и при доказательстве магистральных теорем в более широком классе моделей Неймана-Гейла.

Модели Неймана-Гейла, задаваемые конусом технологических возможностей, описывают замкнутые системы: в них не допускается ни приток продуктов (или ресурсов) в систему, ни отток продуктов из системы. Постепенно исследования в магистральной теории стали смещаться в сторону более реалистичных открытых (незамкнутых) моделей, в которые трудовые ресурсы поступают извне, а потребление относится к внешнему выпуску системы. В качестве максимизируемой величины стала рассматриваться сумма полезностей во времени, где полезность в каждый период времени зависит от текущего потребления. Магистральные теоремы в открытых системах восходят к работе Ф. Рамсея [92] по оптимальным сбережениям, поэтому соответствующие модели часто называются рамсеевскими.

Существенные результаты (с помощью модификации метода Раднера) были получены здесь Ацуми X. [72], Броком У. [76], Гейлом Д. [79], Макаровым В.Л. и РубиновымА.М. [50], Пелегом Б. [90], Романовским И,В. [61], Цукуи Дж. [98] и др.

Дисконтирование функций полезности во времени существенно усложняет доказательство магистральных теорем. В этом случае даже доказательство магистралей в многопродуктовых стационарных моделях оказывается нетривиальным, оно осуществляется с помощью теорем о неподвижной точке. При различных предположениях теоремы существования получены Купмансом Т. [82], Макаровым В.Л. [49], Сазерлендом У. [94]. Еще сложнее обстоит дело с асимптотической устойчивостью оптимальных траекторий в моделях с дисконтом. Дж. Шейнкман [95] показал, что при условиях, гарантирующих справедливость глобальных магистральных теорем при недисконтированной функции полезности, магистральные теоремы остаются справедливыми, если дисконт достаточно близок к единице. Этим же автором совместно с А. Эрейджоу в [71] был намечен иной подход в доказательстве асимптотической устойчивости оптимальных траекторий, связанный с доминированием диагональных элементов в бесконечномерной матрице, порождаемой линеаризацией ограничений модели в окрестности рассматриваемой оптимальной траектории.

В первой главе диссертации изучаются рамсеевские модели с дисконтированной функцией полезности. Полученные здесь результаты наиболее близки к традиционным направлениям магистральной теории.

Типичная модель рамсеевского типа может быть сформулирована как оптимизационная задача, ограничения которой имеют вид

{хьу1)еОь / = 1,2,...; (В.1)

у(>хм+с1) / = 0,1,...; (В.2)

Здесь заданы: п - число продуктов в системе; £2/ е Я^ ~

технологическое множество в момент /, / = 1,2,.....

Эндогенными величинами являются: х( - вектор затрат в момент Г, у( - вектор выпусков в момент t, с( - вектор потребления в момент I.

Включение (х, у) е означает, что экономическая система,

затратив в момент t вектор продуктов х, может произвести набор у. Согласно ограничениям (В.2), произведенная в момент г продукция распадается на потребление в этот момент и на производственные затраты в момент ? + 1.

Траектория (л^+ь у^, называется допустимой, если она

удовлетворяет ограничениям (В.1), (В.2). При этом говорят, что траектория исходит из состояния у0. Для сравнения "качества" допустимых траекторий вводится последовательность функций полезности

щ: Я? -> Я, / = 0,1,.... (В.З)

(* *

х/+1» У/ > с(0 называется

оптимальной, если

( Т , ч Т

1ш1

'Г ->«о\/=0 /=0

для всех допустимых траекторий {xt+^í,yt , исходящих из у*.

Говорят, что траектория (Уь ^г+Ь с() допускает характеристику (Р()™=0, если (р( - ненулевая последовательность и для каждого t

+ С/_,) + И,-!^) + р(у( > >-р^(х + с) + и(^(с)+р(у для всех (х,у) е с > 0.

Исследования, проводимые в этой модели, связаны обычно с существованием оптимальных траекторий, их характеризацией и асимптотикой Согласно магистральным теоремам в слабой форме, две оптимальные траектории могут существенно отличаться друг от друга в конечном числе моментов времени. Теоремы в сильной форме утверждают, что такие моменты времени находятся в начале планового периода.

В главе 1 рассматриваются модели описанного типа, в которых

функции полезности имеют вид щ(с) = рг'С^(с), где рГ1 € (0, I) -дисконт, а функции удовлетворяют ряду условий

"равномерно" по

В § 1.1 изучаются квазистационарные модели, в которых

О/ = О, щ(с) = при всех где рГ1 е(0, со).

Нами предложены условия, обеспечивающие существование стационарной траектории {у(, х{+\, с() = (у,х,с) с квазистационарной характеристикой р( = При р, > 1 такие условия ранее предлагались Т. Кумпансом [82] и В.Л. Макаровым [49] в связи с существованием магистралей - оптимальных стационарных траекторий (при р. > 1 всякая стационарная траектория,

допускающая характеристику Р( = (х~*р, является магистралью — стационарной оптимальной траекторией). Если р < 1, то в нормальном случае магистраль не существует. Однако этот случай

также рассматривается в диссертации. Он интересен следующим: стационарная траектория с характеристикой является

равновесной (см. §3.2) при некоторых р> 0, р, е (0,1), если потребительский бюджет в каждом году равен некоторой фиксированной доле "заработной платы трудящихся". Предположения, сделанные В.Л. Макаровым, - довольно жестки с экономической точки зрения (телесность множества допустимых векторов потребления, обращение в нуль функции на границе

положительного ортанта Я+). В предложенной нами схеме доказательства упомянутые предположения излишни, если О -компакт.

Еще в начале 70-х годов Т. Купманс [82] показал, что в однопродуктовых моделях сходимость оптимальных траекторий к магистрали имеет место при любом дисконте, меньшем единицы. В многопродуктовых моделях дело обстоит намного сложнее [71, 87, 95]. В этом случае в магистральных теоремах обычно предполагается, что дисконт р. достаточно близок к единице. В § 1.2 установлена оценка для тех значений дисконтирующего множителя

(т. е. указан интервал вида ^1,/^), при которых сохраняется

сходимость оптимальных траекторий друг к Другу с экспоненциальной скоростью. Эта оценка явно выражается через параметры, фигурирующие в предположениях относительно технологических множеств и функций £/,. Предположения весьма жесткие, предполагается, в частности, равномерная строгая выпуклость технологических множеств.

В § 1.3 для доказательства локальной асимптотической устойчивости магистралей в квазистационарных моделях нами была использована теорема об условной устойчивости гиперболических

точек. В этом направлении нам известна только одна работа Дж. Шейнкмана [95], в которой автор с помощью гиперболической теории вначале получил магистральные теоремы для моделей с недисконтированной функцией полезности, а затем, доказав непрерывную зависимость устойчивого многообразия от величины дисконта, распространил полученные результаты на модели с дисконтом, достаточно близким к единице. Нам удалось применить гиперболическую теорию сразу к моделям с дисконтированной функцией полезности, что позволило оценить область значений дисконта, при которых справедливы локальные магистральные теоремы.

Нами используется следующий результат гиперболической теории [58, с. 104].

Пусть ср - диффеоморфизм класса С окрестности точки 0 в Яп на окрестность точки 0 в Кп, переводящий 0 в 0. Предположим, что производная ф'(0) не имеет собственных чисел, равных по модулю единице (тогда 0 называется гиперболической точкой). Пусть т - число собственных чисел, по модулю меньших единицы. Тогда <р имеет в окрестности точки 0 устойчивое инвариантное дифференцируемое многообразие М (т. е. е М при всех

N > 1, если х0 € М, причем ф^(д:0) -» 0 при N -> с©)? касающееся в точке 0 устойчивого т-мерного инвариантного подпространства оператора ф'(0).

Рассмотренная нами модель имеет вид

Р{х(,у()<{),

У(~\ - ^ 0, Х/>0, у! > 0, ¿ = 1,2,..., Уо ~ У >

ОО

х - х() шах.

Хотя модель проста, продемонстрированные на ней схемы доказательств могут быть распространены на более сложные оптимизационные и равновесные модели.

Наряду с достаточно традиционными предположениями относительно модели принимается, что на магистрали

матрица II - ^-^(у* - #*) отрицательно определена, а матрица дсгу ,

А о,

„ д2Р / * *\ „ ЪРI * *\ г дР / * Л невырождена, где Рп = ^¡Д* ,у ), Р{ = ,у ^ Р2 = —\х ,у

Тогда существует интервал (1, р) такой, что при ц е (1, р)

магистраль локально асимптотически устойчива. При

этом р > 1 явно выражается через параметры, фигурирующие в модельных предположениях.

Схематически доказательство этого факта выглядит следующим образом. Рассматривается система уравнений

п дР , ч , ди, ч Л

в< £о*

получаемая из двойственных соотношений задачи путем замены = цг'б/, где Xf - двойственная переменная. Показывается, что система, образованная этими уравнениями и уравнением Р(х(,У() = 0, разрешима относительно ПРИ любых

(У/-1,Х() из некоторой окрестности точки Обозначим через

Ф отображение (<у/_1?л:/) -> {У(,х(+1}. Ясно, что {у*, х*^ = Показывается, что производная отображения ф в точке

имеет п собственных чисел с модулем, меньшим 1, и п собственных чисел с модулем, большим 1. Тогда согласно гиперболической теории в окрестности существует п~

мерное дифференцируемое устойчивое инвариантное многообразие М. Далее доказывается, что существует некоторая окрестность

точки у* такая, что для любого у из этой окрестности можно

подобрать (у, х) е М. Отсюда без труда выводится справедливость

теоремы.

В главе 2 изучаются динамические модели с конечным периодом планирования [О, Т] и неаддитивными во времени функциями полезности. Функция полезности

называется аддитивной во времени, если она представима в виде

Т

и(с0,с„...,сг)= 2>,(с,).

/=о

Применение таких функций полезности в экономическом анализе имеет серьезные недостатки. Действительно, в этом случае игнорируется принцип "историзма": поле предпочтений в году ? не зависит от предыдущей истории в потреблении, не учитывается специфика службы предметов длительного пользования. Тем не менее, в моделях экономической динамики рамсеевского типа до сих пор используются только аддитивные во времени функции полезности. Л. Маккензи в обзоре [87] указал только две работы П. Самуэльсона [93] и К. Иваи [80], в которых были предприняты попытки ослабить предположение об аддитивности во времени функции полезности.

П. Самуэльсон доказал локальную магистральную теорему для стационарной однопродуктовой модели, в которой технологическое множество задается с помощью неоклассической производственной функции, а функция полезности имеет вид

где N > 0 - конечное целое число. В доказательстве существенна стационарность модели, поскольку оно основано на спектральном анализе линеаризованной (в окрестности магистрали) модели.

К. Иваи рассматривал несколько иную функцию полезности

где функция V зависит от двух аргументов. Доказательство сходимости оптимальных траекторий к магистрали опирается на идеи динамического программирования, в нем также существенна стационарность модели.

Нами в § 2.1 показано для многопродуктовых нестационарных моделей, что требование об аддитивности функции полезности излишне при доказательстве магистральных теорем в слабой форме.

При доказательстве теорем в сильной форме нами в дополнение к традиционным предположениям потребовано

предметов потребления в году I от наборов потребления в другие годы т ^ / должна достаточно быстро ослабевать при возрастании |£—т Конкретно, в § 2.2 предполагалось экспоненциальное ослабевание упомянутой зависимости:

где б > 0, # е [0,1) - некоторые числа. Разумеется, аддитивные во времени функции полезности удовлетворяют сформулированному

ди / ч дщ / ч

условию, так как предельные полезности -^\Со>с1>--->ст) ~ -^r{ct)

вообще не зависят от наборов сх, хФ t.

и(с0, с15 с2,...) = К(с0, «(с„ с25...)) = = Г(с0, Г(с(, и(с2,...)))=...,

следующее: зависимость предельных полезностей

(В.4)

Согласно магистральным теоремам, в моделях с постоянными во времени технологическими множествами и стационарной

Т

аддитивной функцией полезности оптимальные траектории

t=o

сходятся к магистрали при удалении Г от концов отрезка [О, Т\. Поэтому состояния (Х(,у(,С() и (хт,>'т,сг) на оптимальной

траектории мало отличаются друг от друга при /, х е [/, Т - /], где

/ > 0 - достаточно большое целое число. В § 2.3 это свойство было перенесено на модели с неаддитивной во времени функцией полезности (естественно, при постоянной технологии). Для этого было введено еще одно дополнительное требование относительно функции полезности, расширяющее понятие "стационарность" на случай неаддитивных функций:

существуют числа с > 0, р е [0,1) такие, что для всех целых Н > О справедливо неравенство

орА (В.5)

для всех х е [Л, Т - Щ и всех с', с" таких, что

Смысл (В.5) состоит в том, что предельные полезности потребительских благ в точках /их мало отличаются, если "истории" потребления совпадают на достаточно больших окрестностях этих точек.

Следует отметить как недостаток, что установленные в §§ 2.2 -2.3 магистральные свойства справедливы только для тех оптимальных траекторий, на которых с( > О V/.

В § 2.4 рассматривается динамическая модель на конечном временном интервале, в которой технологические возможности описываются с помощью одного глобального технологического множества:

¿1, зг» 1т+\) ^ о;

74 >0, / = 0Д...,Г + 1.

Здесь 11 е- набор параметров, описывающих состояние экономики в году t; С: ¡¿т+г)т -> - некоторая функция.

Кроме того, задана функция полезности Предполагается, что зависимость величин

от Zx,t * t, достаточно быстро ослабевает при

возрастании Тогда при при обычных для магистральной

теории допущениях и при сделанном выше предположении справедлива магистральная теорема: две оптимальные траектории сходятся друг к другу при удалении / от концов планового периода [0, Т].

Содержание главы 3 диссертации составляют равновесные динамические модели. Как известно, стандартная модель экономического равновесия типа Эрроу-Дебре включает в себя два типа участников: потребителей и производителей. Один из блоков модели состоит в формировании потребительского спроса. Для этого сначала определяются потребительские бюджеты, а за