автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Управление односекторной экономикой в случае конечного временного горизонта

На правах рукописи

0034ЬЬи^э

Кулешова Елена Викторовна

УПРАВЛЕНИЕ ОДНОСЕКТОРНОЙ ЭКОНОМИКОЙ В СЛУЧАЕ КОНЕЧНОГО ВРЕМЕННОГО ГОРИЗОНТА: ПРИНЦИП МАГИСТРАЛИ, ЗОЛОТОЕ ПРАВИЛО НАКОПЛЕНИЯ, ЭКОНОМИЧЕСКИЙ РОСТ

05. 13. 01 - Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

" 3 Ш 2009

Томск - 2009

003486029

Работа выполнена на кафедре прикладной математики в ГОУ ВПО "Томский государственный университет".

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Дёмин Николай Серапионович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, доцент

Рожкова Светлана Владимировна

доктор физико-математических наук, доцент

Воробейчиков Сергей Эрикович

Ведущая организация:

Государственный университет управления (г. Москва) Защита состоится

24 декабря 2009 г. в 10.30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36 (корп. 2, ауд. 2126).

С диссертацией можно ознакомится:

В научной библиотеке Томского государственного университета по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 34.

Автореферат разослан: 16 ноября 2009 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

доктор технических наук, профессор

В.И. Смагин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Основными составляющими современной макроэкономической теории являются следующие проблемы: 1) производство, потребление, распределение, экономический рост; 2) экономическое развитие как научно-технический прогресс; 3) равновесие на рынках благ, денег, капитала, труда; 4) общее экономическое равновесие; 5) экономические циклы; 6) открытая экономика. Данная диссертация является исследованием в рамках первой проблемы.

Проблема экономического роста в односекторной (агрегированной) экономике - это, по сути, задача об оптимальных пропорциях между потреблением и накоплением, решение которой обеспечивает устойчивый экономический рост, который понимается как монотонное возрастание во времени произведенного экономикой продукта (национального дохода, ВВП).

Становление современной теории экономического роста, которая получила название «неоклассической» связано с работами Рамсея (F. Ramsey), Харрода (R. Harrod ) и Домара (Е. Domar) на начальном этапе и с работами нобелевских лауреатов по экономике Р. Солоу (R. Solow) и К. Эрроу (К. Arrow), которые окончательно сформулировали проблему экономического роста как задачу оптимального управления. Оказалось, что функционирование экономики в рамках неоклассической модели происходит в соответствии с «Принципом магистрали», означающим наискорейший выход экономики на траекторию сбалансированного роста, на котором распределение продукта между накоплением и потреблением происходит в соответствии с «Золотым правилом накопления», впервые сформулированным нобелевским лауреатом Э. Фелпсом (Е. Phelps).

В базовой неоклассической модели экономического роста, во-первых, продукт расходуется на текущее потребление и накопление, которое в свою очередь определяет будущее потребление, и в этом смысле кон-

фликт интересов не возникает, а во-вторых, отсутствуют ограничения на накопление и потребление. В тоже время в экономике на макроуровне присутствуют три основных субъекта экономической деятельности, а именно: наемные работники (трудовые ресурсы), работодатели (владельцы основных фондов) и государство, интересы которых, как правило, не совпадают. Таким образом, актуальной проблемой является исследование задачи экономического роста при распределении национального дохода на накопление, на потребление трудовых ресурсов, на потребление работодателей и на налоговые отчисления с учетом ненулевой материалоемкости и наличия ограничений на накопление, потребление и налоговые отчисления.

Цель работы. 1. Провести полное исследование задач оптимального управления односекторной (агрегированной) экономикой в соответствии с тремя критериями оптимальности: а) максимизация потребления трудовых ресурсов; б) максимизация потребления работодателей как владельцев основных фондов; в) максимизация налоговых поступлений. 2. Для всех трех критериев оптимальности исследовать возможность реализации «Магистрального принципа» функционирования экономики. 3. Для всех трех критериев оптимальности получить «Золотое правило накопления». 4. Для всех трех критериев оптимальности выделить случаи, когда в течение всего планового периода осуществляется экономический рост. 5. Осуществить конкретизацию результатов для одного частного случая линейно-однородных производственных функций, а именно, для функции Кобба-Дугласа.

Методы исследования включают в себя теорию оптимального управления, теорию дифференциальных уравнений, математическую теорию оптимальных процессов, математический анализ.

Научная новизна. 1. Проведено полное исследование задач оптимального управления односекторной экономикой в случае конечного временного горизонта при учете потребления трудовых ресурсов и работодателей как владельцев основных фондов, а также налоговых

отчислений, ненулевой материалоемкости экономики и ограничений на накопление, потребление и налоговые отчисления в соответствии с тремя критериями оптимальности: а) максимизация потребления трудовых ресурсов; б) максимизация потребления работодателей как владельцев основных фондов; в) максимизация налоговых поступлений. 2. Для всех трех критериев оптимальности доказано существование «Магистрального принципа» функционирования экономики и получены условия осуществления этого принципа. 3. Для всех трех магистралей получено «Золотое правило накопления», определяющее единственный способ распределешш произведенного продукта на магистрали между накоплением, потреблением трудовых ресурсов, потреблением работодателей, налоговыми отчислениями и отчислениями на удовлетворение ненулевой материалоемкости. 4. Получены условия функционирования экономики в соответствии с «Принципом магистрали» и выделен случай, когда в течение всего планового периода осуществляется экономический рост, а именно: на магистрали - сбалансированный рост, а на начальном интервале выхода экономики на магистраль и на конечном интервале времени схода экономики с магистрали для удовлетворения условий экономического горизонта - расширенный рост.

Достоверность полученных результатов диссертации подтверждается математическими исследованиями с использованием методов математической теории оптимальных процессов, теории дифференциальных уравнений и математического анализа.

Теоретическая значимость. Полученные результаты могут служить основой для дальнейших исследований в области решения задач управления односекторной экономикой с расширением моделей, в частности, с учетом экологических затрат и рассмотрением моделей открытой экономики.

Практическая значимость. Полученные в диссертации теоретические результаты могут использоваться при оценке различных аспектов функционирования экономики, а именно: 1) при прогнозировании

темпов накопления (увеличения ВВП) и экономического роста; 2) при определении оптимального размера инвестиций в производство; 3) при оценке того, какому временному интервалу планового периода и какому критерию оптимальности в большей мере соответствует функционирование экономики для принятия необходимых корректирующих действий и решений.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на следующих конференциях, симпозиумах: 1) 4-я Всероссийская конференция «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Томск, 2002 г.); 2) б-й Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2005 г.); 3) Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР-2007» (Томск, 2007 г.); 4) Девятая Всероссийская научная конференция «Краевые задачи н математическое моделирование» (Новокузнецк, 2008 г.); 5) VIII международная конференция «Финансово-актуарная математика и смежные вопросы» (Красноярск, 2009 г.). Также результаты были представлены на: 1) 5-ом Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2004 г.); 2) 5-й Всероссийской конференции «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Иркутск, 2004 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовало в 11 печатных работах, четыре из которых опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы; общий объем работы 198 страниц, из которых 23 страницы рисунков, 13 страниц - библиография из 149 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении показана актуальность представляемой диссертации,

приведен краткий обзор работ зарубежных и российских авторов по данной тематике, сформулирована цель, обоснован выбор методики исследования, а также приведены краткое содержание работы и полученные результаты.

В первой главе рассмотрена задача управления односекторной экономикой на конечном интервале времени по критерию максимизации потребления трудовых ресурсов при наличии ограничений на потребление и накопление и при учете потребления работодателей, налоговых отчислений и ненулевой материалоемкости экономики. В п. 1.1 формулируется постановка задачи. Пусть на интервале времени t £ [О, Г], составляющем плановый период, задано соотношение Y(t) = F(K{t),L(t)), где Y(t) - произведенный экономикой продукт, K(t) - основные фонды (капитал), L(t) ¿0 ехр{Л£}, Lq > О, Л > 0 - трудовые ресурсы, F(K, L) - линейно-однородная производственная функция, удовлетворяющая неклассическим условиям. Весь продукт делиться на четыре части в виде Y(t) = I(t) + C(t) + N(t) + Ф(£), где I(t) - накопление, C(t) - потребление, N(t) - налоговые отчисления, Ф(t) - материалоемкость экономики. Пусть s(i)- норма накопления, удовлетворяющая ограничениям 0 < Sq < s(t) < si < 1, a s(t) = (1 — s(t)) -норма потребления. Если fj, > 0 - коэффициент амортизации основных фондов, то для K(t) справедливо дифференциальное уравнение K(t) = (l--y)(l-u))s(t)F{K(t),L(t))-ixK{t). В качестве критерия, подлежащего максимизации в плановом периоде [О, Т], примем потребление с коэффициентом дисконтирования 8 > 0. Перейдя к нормированным (удельным) относительно трудовых ресурсов величинам (k(t) = K(t)/L(t) - фондовооруженность, y(t) = f(k(t)) - средняя производительность труда), получаем следующую задачу оптимального управления (и- норма налоговых отчислений, 7 - норма материалоемкости):

Ht) = (1 -7)(1 - U)s{t)f(k[t)) - vk{t),t £ [0,Т]; (1)

¿(0) = ко, к(Т) >кт> 0; (2)

J = /(1 - т)(1 - «)(1 - s(t))f(k(t)) exp {-St}dt -» max; (3)

о {«(«)}

О < s0 < s(t) < si < 1; и = ц + ц> О, А > 0, ¿>0, 0 < 7 < 1, 0 < u < 1. (4)

Решение задачи (1) - (4) проведено с использованием принципа максимума Понтрягина. В п. 1.2 доказана лемма 1.2.1, определяющая класс оптимальных управлений. В п. 1.3 исследованы свойства фазовых траекторий (леммы 1.3.1 - 1.3.4). В п.1.4 исследован алгоритм управления и найден интервал разрешимости задачи к е [Я'2, fci]. В п.1.5 результаты проведенных исследований формулируются в виде «Магистральной теоремы» («МТ»).

Теорема 1.5.1.(«МТ») При достаточно большом плановом периоде [0, Т] решение задачи имеет следующий вид:

1) интервал времени [0,Т] разбивается на три интервала, т.е. [0,Т] = [0,T*)U [Т*,Т**] U (Т**,Т];

2) управление s(t) € {si;so;s*}, m-е- является кусочно-постоян--ным;

3) на магистральном интервале времени t £ \Т*,Т*"\ s(t) — s*, которое определяется формулой

* = к*гт _ 5к*

/(fc*) (1-7)(1-«)/(**)' W

а фондовооруженность k(t) сохраняет постоянное значение к*, являющееся единственным корнем уравнения

к* '■ f'(k) = {v + <5)/(1 — 7)(1 — и)> (6)

4) на начальном интервале времени t £ [0,Т*), когда происходит выход экономики на магистраль, s(t) = si, если ко < к*, и s(t) = so, если ко > к*, и происходит соответственно возрастание либо убывание k(t) от ко до к*;

5) на конечном интервале времени t £ (Т**, Т], когда происходит сход экономики с магистрали для удовлетворения условия экономического горизонта к(Т) = кт, s(t) = если кт > к*, и s(t) = so, если кт < к*, и происходит соответственно возрастание либо убывание k(t) от к* до кт.

Для значений Т*, Т** и J приведены формулы соответственно для четырех случаев соотношений между ко, к* и кт- а) ко < к*, кт < к*\ Ь) к0 < к*, кт > к*; с) ко > к*, кт < к*-, d) к0 > к*, кт > к*.

В п.1.6 сформулировано «Золотое правило накопления» («ЗПН»).

Теорема 1.6.1.(«ЗПН») На интервале времени t € \Т",Т**}, когда экономика находится на магистрали и s(t) = s*, k(t) = k*:

1) на накопление используется (1 — 7)(1 — и)-я часть дохода с основных фондов Yft(t) минус величина SK*(t), т.е.

I*(t) = (1 - 7)(1 - u)YZ(t) - 6K*(t), (7)

mt) = ТУ^

2) на потребление используется (1 — 7)(1 — и)-я часть дохода с трудовых ресурсов Y£(t) плюс величина 6K*(t), т.е.

C*(t) = (1 -7)(1 - u)Y£(t) + 8K*(t), (9)

Ym = (10)

3) на налоговые отчисления используется сумма [(1 — 7)и] -ы,х частей доходов с основных фондов и трудовых ресурсов, т.е.

N*(t) = (I-7 )u\Ym + Y£(i)) = (1-7 )uF(K*(t),L(t))-, (11)

4) материальные затраты равны сумме оставшихся [1 — (1 — 7)(1 — —и) — (1 — 7)и]-ых частей доходов с основных фондов и трудовых ресурсов, т.е.

Ф*(*) = [l-(l-7)(l-u)-(l-7HK(i)+yL*(i)] = -yF(K*(t),L(t)). (12)

В п.1.7 полученные результаты конкретизированы для производственной функции Кобба-Дугласа (ПФКД) F(K, L) = AKaL0, f(k) = Ака, Л > 0, а > 0, ¡3 > 0, а + /3 = 1, где а - коэффициент эластичности по основным фондам, /? - коэффициент эластичности по трудовым ресурсам.

Теорема 1.7.1. В случае производственной функции Кобба-Дугласа решение задачи в форме «Магистральной теоремы» имеет следующий вид:

1) для s*, §*, к* справедливы следующие формулы:

Ч* - —И—ГУ 5* — 6 I " п к* — Г(1-чН1-ц)аА] ^ • ПЯ1

s ~ s ~ (1/+5) + К - [ (¡^+<5) _ ' V1«5;

2) на интервале t £ [О, Г*):

k(t) = jd-^d-^^-td-.Xl-^^-^-le-^-^'j ^ Д0 < ^. (14)

k(t) = ^,ко> к*- (15)

3) на интервале t € (Т**,Т}:

кт > Г; (16)

кт < к*. (17)

Для Т**, Т*, J конкретизированы общие формулы.

В п.1.8 приведено обсуждение результатов проведенного исследования, в завершении которого получены условия существования решения в форме «МТ» и выделен случай экономического роста на всем интервале времени t € [О, Т\. В п. 1.9 рассмотрен частный случай задачи Солоу, в которой в качестве управления используется текущее

удельное потребление. Для данной задачи проведены те же исследования, что и для задачи Рамсея в предыдущих пунктах. В п. 1.10 задача обобщена на случай учета потребления работодателей как владельцев основных фондов, когда весь продукт делится на пять частей в виде Y(t) = J(t) + CL{t) + CK(t) + N(t) + Ф(г), где I(t) - накопление, Cjï(t) - потребление работодателей, Ci(t) - потребление трудовых ресурсов, N(t) - налоговые отчисления, Ф(^) - материалоемкость экономики (производственные затраты). Основные результаты для этого общего случая представлены в теоремах 1.10.1 («МТ»), 1.10.2 («ЗПН») и 1.10.3 («МТ» для ПФКД). В п.1.11 приведены выводы по главе 1.

В второй главе рассмотрена задача управления односекторной экономикой на конечном интервале времени но критерию максимизации потребления работодателей как владельцев основных фондов. В п.1.1. формулируется постановка задачи. Пусть на интервале времени t 6 [0,Т] задано соотношение Y(t) — F(K(t),L(t)), где L(t) = Lo ехр{At}, Lo > 0, Л > 0. Весь продукт Y(t) делиться на пять частей в соответствии с балансовым соотношением Y(t) = /(t)+C"V(i) + +Ci(i)+Ar(i) + $(i), где Cuit) - потребление работодателей, Ci(t) - потребление наемных работников. Пусть s(t) - норма накопления, s/<-(£) ~ норма потребления работодателей, si(t) = 1 — [s(f) + Sx(t)} - норма потребления наемных работников, причем, 0 < s(t) < 1, 0 < sx(t) < 1, s(t) + s к (t) < 1. Считаем, что экономика функционирует в условиях совершенной конкуренции, т.е. выполняется основное соотношение теории предельной производительности труда

CL(t) = [dF(K(t),L(t))/dL(t)I L(t). (18)

В качестве критерия, подлежащего максимизации в плановом периоде [О, Т], примем потребление работодателей с дисконтированием. Перейдя в сформулированной задаче к нормированным относительно трудовых ресурсов величинам, получаем следующую задачу оптимального управ-

ления:

fc(t) = (1 - 7)(1 - u)s(t)f{k(t)) - uk(t)-, (19)

t e [О, T], k(0) = ко, k{T) >kT> 0;

T

J= j (l--y)(l-u)sK(t)f{k{t))exp{-5t}dt-> max; (20) J {sjc(i)}

О

(1 - 7)(1 - u)[l - s(t) - sK(t)}f(k(t)) = f(k(t)) - k(t)f'(h№ (21) v = n + ц>0, A > 0, ¿>0, 0 < 7 < 1, 0 < u < 1. (22)

В п.2.2 доказана лемма 2.2.1, определяющая класс оптимальных управлений. В п.2.3 исследованы свойства фазовых траекторий (леммы 2.3.1 - 2.3.4). В п.2.4 исследован алгоритм управления и найден интервал разрешимости задачи к 6 (0, В п.2.5 результаты проведенных исследований формулируются в виде «Магистральной теоремы».

Теорема 2.5.1.(«МТ») При достаточно большом времени управления Т решение задачи имеет следующий вид:

1) интервал времени [0,Т] разбивается на три интервала, т.е. [0, Т] = [0, Т*) Ü [Т*,Т**] U (Т**,Т\;

2) управление w(t) = {s(t); sx(t); sl(£)} имеет структуру: s(t) £

£ {sK{t)-As*},sK{t) £ {0;s^(i);^},sL(i) 6 {1 -sK{t);sl). Таким образом, управления s(t), sx(t) usi{t) являются кусочно-непрерывными, где sK (t) определяется формулой

(23)

S) на магистральном интервале времени t € [Г*, Г**] s(t) = s*, Sx(t) = s*K, Si(t) — s*L, которые определяются формулами:

k*f'(k*) „fc*__е__

* (1 — e)f{k*) (1 ~e)f(k*) (1-е)' [ >

vk* . 1

S"" = --ГТ7ГТГ, SL =

(1 -e)f{k*y L (1-е)

1-

k*f'(k*)

J(k*)

(25)

a k(t) = к*, которое является единственным корнем уравнения

k* : (1 - 7)(1 - u)f'(k) + kf'{k) = у -f 5; (26)

4) на начальном интервале времени t € [О, Т*) sxit) = О, s(t) = = sK(t), sL{t) = 1 - sK{t), если ко < к*, и sK(t) - sK{t), s(t) — О. si(t) = 1 —SK(t)> если ко > к*, и наблюдается соответственно возрастание либо убывание k{t) от ко до к*;

5) на конечном интервале времени t G (Т**,Т] Sic(f) — О, s(t) — = SK(t), sL(t) = 1 - SK(t), если kr > к", и sK(t) = sK{t), s(t) = О, si(t) = 1 — sx(t), если кт < к*, и наблюдается соответственно возрастание либо убывание k(t) от к* до кт-

Для значений Т*, Т** и J получены формулы соответственно для четырех случаев соотношений между ко, к* и кт-

В п.2.6 сформулировано «Золотое правило накопления».

Теорема 2.6.1.(«ЗПН») На интервале времени t Е [Т*, Т**], когда экономика находится на магистрали и s(t) = s*, Sf{(t.) — s*K, sL(t) — sit k(t) — k*, доход с капитала Y^(t) распределяется на накопление I*(t), потребление работодателей C*K(t), налоговые отчисления N*(t) и производственные затраты а доход с трудовых ресурсов

y£(i) равняется потреблению наелтых работников, т.е.

Y£(i) = I*{t) + C*K(t) + N*(t) + ф *(i), Yl{t) = Clit). (27)

В п.2.7 полученные результаты конкретизированы для производственной функции Кобба-Дугласа.

Теорема 2.7.1. В случае производственной функции Кобба-Дугласа решение задачи в форме «Магистральной теоремы» имеет следующий вид:

1) для k*, s*, s*K, s*L справедливы следующие формулы:

к* =

Аа{а — е)

(" + «)

1

1-е

s* - (а~£) ~ (1 — е)

1 - т-гга

(v + S) .

(28)

s

(u + 6) (1-е) '8L (1 — e)'

v a(a — e) „ (1 — a)

(29)

2) на интервале t S [О, T*):

k(t) =

t) = Л^еПл^^е-^П ^ < ^ (30)

fc(f) = k0 exp{—i^i} = k* exp{v(T* -t)}, k0>k*; (31)

l-Q

3) на интервале t <E (T**,T]:

fc(t) =

, кт > к*; (32)

A;(i) = к* exp{—v(t — T**)} =Ä;Texp{i/(T-i)},fcT < /с*. (33)

Для T*, T**, J конкретизированы общие формулы и проведено исследование решения на магистрали.

В п.2.8 приведено обсуждение результатов исследования, в завершении которого получены условия существования решения в форме «МТ» и выделен случай экономического роста на всем интервале времени t G [0, Т). В п.2.9 рассмотрен частный случай нулевой материалоемкости и отсутствия налоговых отчислений, когда на интервалах выхода экономики на магистраль и схода экономики с магистрали весь валовый продукт может направляется только на потребление либо только на накопление (аналог классической задачи). В п.2.10 приведены выводы по главе 2.

В третьей главе рассмотрена задача управления односекторной экономикой на конечном интервале времени по критерию максимизации налоговых отчислений при наличии на них ограничений. В п.3.1 формулируется постановка задачи. Пусть на интервале времени t € [0,Т] задано соотношение Y(t) = F(K(t),L(t)). Весь продукт Y(t) делиться на четыре части в соответствии с балансовым соотношением Y(t) = I(t) + C(t) + N(t) + Пусть s - норма накопления, 0 < s < 1, a s = (1 - s) - норма потребления, a u(t) - норма налоговых отчислений. Для K(t) справедливо дифференциальное уравнение

K(t) = s(í-^)(l-u{t))F(K(t),L(t))-p.K(t). В качестве критерия, подлежащего максимизации в плановом периоде [О, Т], примем налоговые отчисления с дисконтированием. Перейдя в сформулированной задаче к нормированным относительно трудовых ресурсов величинам, получаем следующую задачу оптимального управления:

k(t) = а(1 - 7)(1 - u(t))f(k(t)) - vk{t)- (34)

£S[0,T], jfc(0) = fco, к{Т)>кт> 0; (35)

т

J = f (1 - 7)?x(t)/(fc(t)) exp{—¿í}cíí -» max; (36)

o {«(«)}

0 < щ < u(t) <u2< I;

0 < s < l,v = ц + X, ц>0, A > 0, á>0, 0 < 7 < 1. (37)

В п.3.2 доказана лемма 3.2.1, определяющая класс оптимальных управлений. В п.3.3 исследованы свойства фазовых траекторий (леммы 3.3.1 - 3.3.4). В п.3.4 исследован алгоритм управления и найден интервал разрешимости задачи к £ [Á;2, ki}. В п.3.5 результаты проведенных исследований формулируются в виде «Магистральной теоремы».

Теорема 3.5.1.(«МТ») При достаточно большом времени управления Т решение задачи имеет следующий вид:

1) интервал времени [0,Т] разбивается на три интервала, т.е. [0,Г] = [0,Т*) U \Т*,Т**} U (Т**,Т];

2) управление u(t) € тп.е. является кусочно-постоян--ным с тремя возможными значениями;

3) на магистральном интервале врельени t £ [Г*,Т**] u(t) = и", которое определяется формулой

k*f'(k») 8k* и + (38)

а фондовооруженность k(t) сохраняет постоянное значение к*, являющееся единственным корнем уравнения

A*:/'(A) = (f + ¿)/s(l-7); (39)

4) на начальном интервале времени £ € [О, Г*) = щ, если ко < к*, и и(Ь) = щ, если ко > к*, и происходит соответственно возрастание либо убывание к{1) от ко до к*;

5) на конечном интервале времени 4 € [Т**,Т] г«(£) = и\, если кт > к*, и и{Ь) = и2, если кт < к*, и происходит соответственно возрастание либо убывание к^) от к* до кт-

Для значений Г*, Т** и J приведены формулы соответственно для четырех случаев соотношений между ко, к* и кт-

В п.3.6 сформулировано «Золотое правило накопления».

Теорема 3.6.1.(«ЗНП») На интервале времени Ь € [Т*,У**], когда экономика находится на магистрали и и(г) = и*, к($) = к*:

1) суммарно на накопление и потребление используется (1 — у) -я часть дохода с основных фондов минус величина (д/з)К*{£), т.е.

2) на налоговые отчисления используется (1 — 7)-я часть дохода с трудовых ресурсов (£) плюс величина (5/з)К*{Ь), т.е.

3) материальные затраты равны сумме оставшихся [1 — (1 — 7)]-ыа; частей доходов с основных фондов и трудовых ресурсов, т.е.

ф*(0 = [1 - (1 - 7Ж(0 + [1 - (1 - = 7¿ФГ (*),£(*))• (42)

В п.3.7 полученные результаты конкретизированы для производственной функции Кобба-Дугласа.

Теорема 3.7.1. В случае производственной функции Кобба-Дугласа решение задачи в форме «Магистральной теоремы» имеет следующий вид:

1) для и* и к* справедливы следующие формулы:

1*Ц)+С*Ц) = (1 - 7)ВД - (6/з)К*(1)-,

(40)

(41)

и* = 1 -

+ к ~ (и + 5)

и __ Гй(1 -7)аЛ] 1~а

(43)

2) на интервале ¿ 6 [О,Г*) (ь^ = — 7)(1 — щ), г = 1; 2):

«1 А-[У1А~ак^~а] ехр{-1/(1~а)г}

= *(*) =

3) на интервале Ь € (Т1**, Г].-

'ухА-{у\А-ук}/Га]ехр{у(1-а)(Т-1)}

V

'у^Л+^к1^"-у2А] ехр{»/(1-а)(Г-0}

*(4) =

, ко < к*\

, ко > к*\

,кт > к*

, кт < к*

(45)

(46)

(47)

Для Т*, Т**, .] конкретизированы общие формулы.

В п.3.8 приведено обсуждение результатов исследования, в завершении которого получены условия существования решения в форме «МТ» и выделен случай экономического роста на всем интервале времени Ь £ [О, Г]. В п.3.9 обобщена задача на случай учета потребления работодателей как владельцев основных фондов. Основные результаты для этого общего случая представлены в теоремах 3.9.1(«МТ»), 3.9.2 («ЗПН») и 3.9.3 («МТ» для ПФКД). В п.3.10 приведены выводы по главе 3.

В заключении формулируются

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Исследование задач оптимального управления односекторной экономикой при достаточно общих предположениях в соответствии с тремя критериями оптимальности: 1) максимизация потребления трудовых ресурсов; 2) максимизация потребления работодателей как владельцев основных фондов; 3) максимизация налоговых поступлений.

2. Доказательство для указанных критериев «Магистральных теорем», обосновывающих осуществление «Принципа магистрали» функционирования экономики.

3. Получение соотношений, определяющих «Золотое правило накопления» как единственный способ распределения произведенного эконо-

микой продукта на магистралях.

4. Получение условий функционирования экономики в соответствии с «Принципом магистрали».

5. Конкретизация результатов для производственной функции Кобба-Дугласа.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Управление односекторной экономикой на конечном интервале времени с учетом потребления работодателей // Автоматика и телемеханика. - 2008. - № 9 - С. 140 - 155.

2. Демин Н.С., Кулешова Е.В.Управление односекторной экономикой на конечном интервале времени с учетом налоговых отчислений // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2008. - № 6. - С. 87 - 98.

3. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Управление односекторной экономикой на конечном интервале времени по критерию максимизации налоговых отчислений // Сибирский журнал индустриальной математики. -2009. — Т. 12, № 1(37). -С. 74 - 88.

4. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Управление односекторной экономикой на конечном интервале времени в модели Со-лоу / / Вестник Томского государственного университета. - 2004. - № 284. - С. 53 - 58.

5. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Принцип магистрали в задаче управления односекторной экономикой при наличии ограничений на накопление и потребление // Вестник Томского государственного университета. УВТиИ. - 2009. - № 2(7). - С. 5 - 23.

6. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Максимизация потребления работодателей на конечном интервале времени при постоянных трудовых ресурсах // Вестник Томского государственного университета. Приложение. - 2004. - №9 (И). - С. 150 - 155.

7. Демин Н.С., Кулешова Е.В., Решетникова Г.Н. Об эквивалентности решений задачи управления односекторной экономикой в моделях Рамсея и Солоу // Вестник Томского государственного университета. Приложение. - 2002. - № 1(1). - С. 150 - 153.

8. Кулешова Е.В., Демин Н.С. Исследование математической модели односекторной экономики на стационарных траекториях с учетом потребления работодателей // Краевые задачи и математическое моделирование: Сборник статей. - Новокузнецк: Кемеровский государственный университет, 2008. - Т. 3. - С. 93 - 97.

9. Кулешова Е.В. Управление односекторной экономики на конечном интервале времени по критерию максимизации потребления предпринимательского сектора // Научная сессия ТУСУР-2007: Материалы докладов. - Томск: «В-Спектр», 2007. - Т. 4. - С. 196 -199.

10. Демин U.C., Кулешова Е.В. Максимизация потребления работодателей в случае производственной функции общего вида // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 11, вып. 2. - С. 326 - 327.

11. Кулешова Е.В., Дёмин Н.С. Магистральное решение в задаче управления односекторной экономикой при наличии ограничений на накопление и потребление // Труды VIII международной ФАМ'2009 конференции. Ч. 1. / Под ред. О.Ю. Воробьёва. - Красноярск: Сибирский федеральный университет, 2009. - С. 150 - 155.

Тираж 100. Заказ № 1061. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40. Тел.:53-30-18.

Введение

1 Управление односекторной экономикой по критерию максимизации потребления трудовых ресурсов при наличии ограничений на накопление и потребление

1.1 Постановка задачи.

1.2 Класс оптимальных управлений.

1.3 Свойства фазовых траекторий.

1.4 Алгоритм управления.

1.5 Магистральная теорема.

1.6 Золотое правило накопления.

1.7 Случай производственной функции Кобба-Дугласса.

1.8 Обсуждение результатов.

1.9 Задача Солоу.

1.10 Обобщение на случай учета потребления работодателей как владельцев основных фондов.

1.11 Выводы.

2 Управление односекторной экономикой по критерию максимизации потребления работодателей как владельцев основных фондов

2.1 Постановка задачи.

2.2 Класс оптимальных управлений.

2.3 Свойства фазовых траекторий.

2.4 Алгоритм управления.

2.5 Магистральная теорема.

2.6 Золотое правило накопления.

2.7 Случай производственной функции Кобба-Дугласса.

2.8 Обсуждение результатов.

2.9 Частный случай

2.10 Выводы.

3 Управление односекторной экономикой на конечном интервале времени по критерию максимизации налоговых отчислений

3.1 Постановка задачи.

3.2 Класс оптимальных управлений.

3.3 Свойства фазовых траекторий.

3.4 Алгоритм управления.

3.5 Магистральная теорема.

3.6 Золотое правило накопления.

3.7 Случай производственной функции Кобба-Дугласса.

3.8 Обсуждение результатов.

3.9 Обобщение на случай учета потребления работодателей как владельцев основных фондов.

3.10 Выводы.

Актуальность проблемы. Основными составляющими современной макроэкономической теории являются следующие проблемы [20, 23, 35, 36, 37, 41, 50, 56, 124, 79, 80, 86, 97, 98, 127, 135]:

1. Производство, потребление, распределение, экономический рост;

2. Экономическое развитие как научно-технический прогресс;

3. Равновесие на рынках благ, денег, капитала, труда;

4. Общее экономическое равновесие;

5. Экономические циклы;

6. Открытая экономика.

Данная диссертационная работа является исследованием в рамках первой проблемы. Чтобы определить актуальность проблемы и цель диссертационной работы, дадим анализ указанной проблемы в ее историческом и содержательном аспектах.

Одной из важнейших долгосрочных целей экономической политики правительства любой страны является стимулирование экономического роста, поддержание его темпов на стабильном и оптимальном уровне. Экономический рост является более широким понятием, чем производство, и означает расширяющееся производство, а также подразумевает одновременное улучшение социально-экономических показателей как экономики, так и общества. Проблема- экономического роста уже давно входит в учебники по экономической теории [6, 23, 35, 37, 41, 42, 54, 58, 61, 66, 69, 124, 116, 120, 135, 136, 137, 145] и является одной из центральных в научных дискуссиях как не столь отдаленного прошлого [3, 12, 17, 26, 43, 46, 47, 81, 138], так и сегодняшнего дня [9, 8, 10, 5, 19, 34, 48, 49, 50, 52, 56, 60, 70, 83, 99, 100, 108, 127, 131, 134, 143, 144, 145].

Актуальность исследования моделей роста поднимается на новый уровень в связи со становящейся актуальной в последние годы концепцией устойчивого развития человеческого общества [8, 11, 19, 25, 41, 56, 83, 97, 135]. Суть устойчивого развития можно пояснить как стремление современного общества к удовлетворению потребностей ныне живущих людей без лишения возможности будущих поколений удовлетворять свои потребности. Учет этой концепции при разработке долгосрочного экономического плана развития предполагает разрешение дилеммы, связанной с распределением благ на настоящее C(t) и будущее потребление I(t), т.е. инвестиции (капитальные вложения). С точки зрения общества в настоящий момент более высокий уровень потребления предпочтительнее более низкого, однако это влечет уменьшение капитальных вложений (на будущее потребление). В связи с этим вдоль траектории экономического роста возникает задача выбора оптимальной политики потребления. Таким образом, задачу об оптимальном по критерию потребления экономическом росте возможно рассматривать как динамическую оптимизационную модель[1, 5, 14, 36, 61, 63, 107, 116, 122, 129, 133, 142, 148], а нахождение оптимальных решений связать с использованием аппарата и понятий математической теории оптимального управления [72, 77, 75, 115, 130, 125]: фазовые координаты, управляющие переменные, начальное состояние, конечное состояние, целевой функционал (критерий оптимальности).

По своей сути задача об оптимальных пропорциях потребления и инвестиций относится к макроэкономике, т.е. к агрегированным моделям. Поэтому ее моделируют для односекториой (агрегированной) экономики [22, 35, 37, 67, 86, 107, 112, 113, 126,147], производящей один продукт (национальный доход) Y(t), т.е. ВП, с использованием двух основных факторов производства - труда L(t) и капитала K(t) (основных производственных фондов). На таком макроуровне все величины представляются в их стоимостном (денежном) измерении. Поэтому ВП ассоциируется с национальным доходом, а потребление C(t) и инвестиции /(£) составляют национальные расходы. Размеры выпуска определяются нелинейной агрегированной производственной функцией F(K(t), L(t),t) [16, 17, 53, 69, 111, 128], которая описывает множество технически эффективных способов производства (технологий) и рассматривается на классе линейно-однородных функций

ЛОПФ), т.е. функций, удовлетворяющих условиям

F(XK, XL) = XF{K, L),X> О,

0.1.1) которые также удовлетворяют неоклассическим условиям (НКУ): отражающим, хотя и достаточно идеализированно, суть экономического процесса. Каждая технология характеризуется определенной комбинацией ресурсов - труда L(t) и капитала K(t), необходимых для производства продукта в соответствии с производственной функцией F(K(t), L(t)). Такая модель с точки зрения производства ВП имеет представление где Yj<(t) и Yb(t) - части ВП, производимые за счет соответственно ОФ и TP, а с точки зрения его использования может быть представлена в виде

Отправной точкой в исследовании концепции производственных функций для представления произведенного экономикой продукта является работа Кобба (С. Cobb) и Дугласа (P. Douglas) [16], в которой на основе статистического материала по обрабатывающей промышленности США за 1899 - 1921 гг. на классе статических JIOHK ПФ вида

F{K{t),L{t)) = F(K, L) = AKaLA>0,a>0,/3>0,a + /? = 1,(0.1.5) была построена функция F(K,L), которая дала не только хорошее приближение к результатам за указанные годы, но и хорошие результаты по прогнозированию значений У в период 1922 - 1928 гг.

Валовые капитальные вложения /(£), в свою очередь, идут на увеличение наличного капитала с целью приращения основных фондов K(t) (чистые

F(K, L)>0,K>0,L >]F(K, L) = 0, К = 0, L = 0;

0.1.2)

Y(t) = F(K(t),L(t),t) = YK{t) + YL(t))

0.1.3)

Y(t) = F(K(t),L(t)) = C(t) + I(t).

0.1.4) капитальные вложения) и на замещение изношенного капитала (амортизацию ОФ) fJ>K(t) (в предположении, что основные фонды изнашиваются с темпом ц > 0), т.е. на восстановление изношенной части основных производственных фондов. Для построения требуемой модели оптимального экономического роста в виде задачи оптимального управления на конечном интервале времени (в случае конечного временного горизонта) вводятся понятия фазовой переменной, управляющих параметров, строится уравнение движения, описывающее изменение во времени фазовой переменной, определяется начальное состояние, критерий качества (целевой функционал) и условия на конечное состояние, являющиеся условиями экономического горизонта. В качестве уравнения, определяющего динамику развития экономики, Рамсеем (F. Ramsey) в работе [44] предложено дифференциальное уравнение

K{t) = I{t)-liK{t)ite [0,Т]. (0.1.6)

Такая модель получила название неоклассической модели оптимального экономического роста, в которой в качестве критерия оптимальности принят критерий [1, 14, 63, 67, 107, 126, 148] т

J= J C(t)exp{-5t}dt max, (0.1.7) о где 8 > 0 - коэффициент дисконтирования, который определяет преимущество текущего потребления перед будущим. При этом, если в (0.1.6)

I(t) = F(K(t),L(t))-C(t), (0.1.8) то модель получает название «модель Солоу» (R. Solow) [51, 52, 53, 54, 55], а если

I(t) = s(t)F(K(t), L(t))} 0 < s(t) < 1, (0.1.9) то «модель Рамсея» [44]. Соответственно в первом случае управлением является C(t), а во втором - норма накопления s(t). При этом в случае модели Солоу в качестве критерия оптимальности, как правило, используется критерий т j = J U(C(t)) exp {—5t}dt, (0.1.10) о где U(С) - функция полезности [107], удовлетворяющая условиям вида (0.1.2).

В обзорной работе Голиченко О.Г. «Возможности микро- и макроэкономического моделирования воздействия эндогенного научно-технического прогресса на экономическое развитие» [79] отмечено три этапа в становлении теории экономического роста. Первый этап связан с обоснованием идей экономической динамики в работах Харрода (Harrod R.) [28, 29] и Домара (Domar Е.) [18], в которых был осуществлен переход от статики распределения дохода, когда в (0.1.3), (0.1.4) отсутствует зависимость от времени, к динамике экономического роста. Поскольку в этих работах использовался кейнсианский (Keynes J.) подход [110], в котором определяющим является спрос, а не предложение, то в них отсутствовала возможность замещения труда капиталом и наоборот, что привело к неустойчивости траектории роста. Данный недостаток динамической модели Харрода-Домара был преодолен на следующем витке становления теории, который может быть определен как второй этап, путем введения в модель производственной функции. В работах Р. Солоу (R. Solow) [51, 52, 53, 54, 55, 56] и К. Эрроу (К. Arrow) [1, 3, 12, 2, 4, 148] задача исследования проблемы экономического роста как проблемы нахождения оптимальных пропорций между I(t) и C(t), окончательно сведена к задаче оптимального управления (0.1.6), (0.1.7). В Советском Союзе, а затем в России исследование проблемы экономического роста как задачи оптимального управления, связано с работами Бугаяна И.Р. и Сумбатяна М.А., Голиченко О.Г., Гурмана В.И., Габасова Р. и Дмитрук Н.М., Дубовско-го С.В., Осипова С.Н. и Уздемира А.П. Кротова В.Ф., Лобанова С.Г., Москаленко А.И. [70, 76, 79, 80, 83, 84, 85, 97, 98, 101, 116, 122, 129]. Р. Солоу и К. Эрроу, получившие Нобелевские премии по экономике за работы по теории экономического роста, показали, что нестабильность динамического равновесия в кейнсианских моделях, предшествовавшим неоклассическим, была следствием невзаимозаменяемости факторов производства. Они использовали в своих моделях агрегированную производственную функцию, в которой труд и капитал являются взаимозаменяемыми факторами производства. Использование этих моделей позволило показать, как рост капитала, рабочей силы и улучшение технологии воздействуют на объём производства, а следовательно, на темпы экономического роста национального дохода во времени. Наконец, третий этап, становления теории, получивший название «нового неоклассического», связан с работами конца 80-х начала 90-х годов 20-го века Г. Гроссмана (G. Grossman) и X. Хелпмана (Н. Helpman) [23, 24], Г. Бескера (G. Besker) и Р. Тамуры (R. Tamura) [7], П. Ромера (P. Romer) [46, 47, 48, 49], Б. Верспагена (В. Verspagen) [65], Н. Стерна (N. Stern) [50] и представляет собой учет научно-технического прогресса в неоклассических моделях роста. Исходя из классификации основных составляющих макроэкономической теории, приведенной в начале пункта, данный этап представляет собой синтез первой и второй проблемы.

В связи с рассмотрением проблемы экономического роста в рамках неоклассической динамической модели возникли такие понятия, как «Золотое правило накопления» (ЗПН) и «Магистраль», отражающие некоторые базовые свойства экономического процесса.

Впервые «Золотое правило накопления», решающее проблему определения оптимальных соотношений между накоплением и потреблением благ в статической модели, когда в (0.1.3) и (0.1.4) отсутствуют зависимости от t, сформулировано Э. Фелпсом (Е. Phelps) [42]. Суть «Золотого правила накопления» по Фелпсу в том, что

I = YK,C = YL, (0.1.11) т.е. уровень накопления капитала, обеспечивающий наивысшее потребление и равновесное состояние экономики, достигается при условии полного инвестирования дохода от капитала и полного потребления дохода с трудо

Рис.0.1. Магистраль. вых ресурсов. «Золотое правило накопления» - это гипотетическая траектория сбалансированного роста экономики, при которой каждое поколение сберегает для будущих поколений такую же часть национального дохода, какую оставляет ему npedudywtee поколение. За разработку «Золотого правила» Э. Фелпс был удостоен Нобелевской премии в области экономики.

Термин «Магистраль» впервые был введен Дж. фон Нейманом (Von Neumann J.) в работе [39], в которой в рамках линейной модели в случае дискретного времени рассматривалась возможность осуществления устойчивого экономического роста и интерпретация которого связана с наиболее рациональным способом передвижения из пункта А в пункт В за время Т при наличии магистрали М, начало и конец которой находятся соответственно в окрестности пунктов А и В (рис.0.1). Стратегия состоит в возможно более длительном движении по магистрали, что означает минимизацию времени Т* выхода на магистраль и времени Т = Т — Т* схода с магистрали. В рамках неоклассической модели экономического роста (0.1.3) -(0.1.9) «Принцип магистрали» означает сбалансированный рост экономики на интервале времени t G [Т*,Т**], при котором [1, 14, 22, 57, 63, 67] dY(t) „ dK(t) л ,, , Kit) а на магистрали выполняется «ЗПН» в виде

I(t) = YK{t) - 5K(t),C(t) = yl + 8K(t), (0.1.13) где 5 > 0 - коэффициент дисконтирования (см. (0.1.7), определяющий предпочтение, которое предписывается текущему потреблению перед будущим. При 5 = 0, когда отсутствует такое предпочтение, «ЗПН» вида (0.1.13) переходит в «ЗПН» по Фелпсу вида (0.1.11). В России магистральные решения при исследовании экономических процессов рассматривались в работах Габасова Р., Дмитрук Н.М., Гурмана В.И. [76, 84, 85].

На основе проведенного анализа состояния проблемы экономического роста определены цели диссертационного исследования. Из (0.1.4) следует, что в базовой модели продукт, произведенный экономикой, расходуется на текущие потребление и накопление, которое в свою очередь определяет будущее потребление, а также инвестируется в производство и восстановление амортизированных основных фондов, и в этом смысле конфликт интересов отсутствуют. В то же время в экономике на макроуровне присутствуют три основных субъекта экономической деятельности, а именно: трудовые ресурсы (наемные работники), работодатели (владельцы основных фондов) и государство, интересы которых, как правило, не совпадают, а зачастую являются противоположными. Таким образом достаточно полная структура использования национального дохода имеет вид где I(t) - накопление(инвестиции в производство), Cb{t) ~ потребление наемных работников, Ск(£) - потребление работодателей, N(t) - налоговые отчисления, осуществляемые государством, Ф(£) - материалоемкость экономики, т.е. часть Y(t), которая не входит ни в одну из предыдущих четырех составляющих. Соответственно интересам трех указанных субъектов экономической деятельности можно поставить задачу изучения проблемы неоклассического экономического роста исходя из критериев оптимальности

Y(t) = I(t) + CL(t) + CK{t) + N(t) + Ф(*)

0.1.14) т т

0.1.15) о

Другой существенной идеализацией в базовой модели является отсутствие ограничений на накопление и потребление, что отражается в возможности весь продукт либо только потреблять, либо только инвестировать на интервалах времени t £ [О, Т*) и t € (т**, Т] соответственно выхода экономики на магистраль и схода экономики с магистрали для удовлетворения условий экономического горизонта.

Следовательно, подводя итог проведенному анализу и сделанным выводам, можно утверждать, что актуальной проблемой является исследование задач экономического роста в случае конечного по времени планового периода с учетом ограничений на накопление, потребление и налоговые отчисления в рамках модели (0.1.14) потребления национального дохода как задач оптимального управления в соответствии с критериями оптимальности (0.1.15).

Цель диссертационной работы. 1. Провести полное исследование задач оптимального управления односекторной экономикой в случае конечного временного горизонта ( на конечном интервале времени) при учете потребления трудовых ресурсов, работодателей, ненулевой материалоемкости экономики и ограничений на накопление, потребление и налоговые отчисления в соответствии с тремя критериями оптимальности: а) максимизация потребления трудовых ресурсов; б) максимизащш потребления работодателей как владельцев основных фондов; в) максимизация налоговых отчислений.

2. Для всех трех критериев оптимальности рассмотреть возможность осуществления «Магистрального принципа» функционирования экономики.

3. Для всех трех магистралей получить соотношения, определяющие «Золотое правило накопления» как способ распределения произведенного экономикой продукта на магистрали.

4. Получить условия функционирования экономики в соответствии с «Принципом магистрали» и выделить случаи, для которых в течение всего планового периода осуществляется экономический рост.

5. Осуществить конкретизацию результатов для одного частного случая линейно-однородных производственных функций, а именно для функции Кобба-Дугласа, наиболее широко используемой как в теоретических исследованиях, так и в практических приложениях.

Методы исследования включают в себя теорию оптимального управления, теорию дифференциальных уравнений, математическую теорию оптимальных процессов, математический анализ. Основные результаты формулируются в форме утверждений, лемм, теорем и следствий.

Научная новизна.

1. Проведено полное исследование задач оптимального управления од-носекторной экономикой при учете потребления трудовых ресурсов и рабо-тадателей как владельцев основных фондов, а также налоговых отчислений, ненулевой материалоемкости экономики и ограничений на накопление, потребление и налоговые отчисления в соответствии с тремя критериями оптимальности: а) максимизация потребления трудовых ресурсов; б) максимизация потребления работодателей как владельцев основных фондов; в) максимизация налоговых поступлений.

2. Для всех трех критериев оптимальности в форме «Магистральных теорем» доказано существование «Магистрального принципа» функционирования экономики, суть которого заключается в максимально быстром выходе экономики на магистраль для обеспечения сбалансированного роста и максимально быстром сходе экономики с магистрали для удовлетворения условия экономического горизонта, заключающемся в обеспечении заданного уровня основных фондов в конечный момент времени планового временного интервала.

3. Для всех трех магистралей получено «Золотое правило накопления», определяющее единственный способ распределения произведенного экономикой продукта на магистрали между накоплением, потреблением трудовых ресурсов, потреблением работодателей, налоговыми отчислениями и отчислениями на удовлетворение ненулевой материалоемкости.

4. Получены условия функционирования экономики в соответствии с «Принципом магистрали» и выделен случай, для которого в течение всего планового периода осуществляется экономический рост, а именно: на магистрали - сбалансированный рост, а на начальном интервале времени выхода экономики на магистраль и на конечном интервале времени схода экономики с магистрали для удовлетворения условия экономического горизонта - расширенный рост.

5. Осуществлена конкретизация результатов для производственной функции Кобба-Дугласа.

Перечисленные новые научные результаты выносятся на защиту

Теоретическая ценность. Полученные результаты могут служить основой для дальнейших исследований в области решения задач управления односекторной экономикой с расширением моделей, в частности, с учетом экологических затрат и рассмотрением моделей открытой экономики.

Практическая ценность. Полученные в диссертации теоретические результаты могут использоваться при оценке различных аспектов функционирования экономики, а именно: 1) при прогнозировании темпов накопления (увеличения ВВП) и экономического роста; 2) при определении оптимального размера инвестиций в производство; 3) при оценке того, какому временному интервалу планового периода и какому критерию оптимальности в большей мере соответствует состояние экономики для принятия необходимых корректирующих решений и действий.

Апробация. Основные результаты докладывались на следующих конференциях, симпозиумах:

4-я Всероссийская конференция «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Томск, 2002 г.);

6-й Всероссийский симпозиум по прикладной и промышленной математике (Санкт-Петербург, 2005 г.);

Всероссийская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР-2007» (Томск, 2007 г.);

Девятая Всероссийская научная конференция «Краевые задачи и математическое моделирование» (Новокузнецк, 2008 г.);

VIII международная конференция «Финансово-актуарная математика и смежные вопросы» (Красноярск, 2009 г.).

Также результаты были представлены на 5-м Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Кисловодск, 2004 г.) и на 5-й Всероссийской конференции «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур» (Иркутск, 2004 г.).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 11 печатных работах, четыре из которых в журналах, входящих в список ВАК:

1. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Управление односекторной экономикой на конечном интервале времени с учетом потребления работодателей // Автоматика и телемеханика. — 2008. - № 9.— С. 140 - 155.

2. Демин Н.С., Кулешова Е.В. "Управление односекторной экономикой на конечном интервале времени с учетом налоговых отчислений // Изв. РАН. Теория и системы управления. — 2008. — № 6. - С. 87 - 98.

3. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Управление односекторной экономикой на конечном интервале времени по критерию максимизации налоговых отчислений // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2009. - Т. 12, № 1(37). - С. 74 - 88.

4. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Управление односекторной экономикой на конечном интервале времени в модели Солоу // Вестник Томского государственного университета. — 2004. — № 284. — С. 53 - 58.

5. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Принцип магистрали в задаче управления односекторной экономикой при наличии ограничений на накопление и потребление // Вестник Томского государственного университета. УВТиИ. -2009. - № 2(7). - С. 5 - 23.

6. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Максимизация потребления работодателей на конечном интервале времени при постоянных трудовых ресурсах // Вестник Томского государственного университета. Приложение. - 2004. -№ 9(11). - С. 150 - 155.

7. Демин Н.С., Кулешова Е.В., Решетникова Г.Н. Об эквивалентности решений задачи управления односекторной экономикой в моделях Рамсея и Солоу // Вестник Томского государственного университета. - 2002. -№ 1(1). - С. 150 - 153.

8. Кулешова Е.В., Демин Н.С. Исследование математической модели односекторной экономики на стационарных траекториях с учетом потребления работодателей // Краевые задачи и математическое моделирование: Сборник статей 9-й Всероссийской научной конференции ,28 — 29 ноября 2008 г./ Под общ.ред. В.О. Каледина. - Новокузнецк: НФИ ГОУ ВПО «КемГУ», 2008. - Т. 3. - С. 93 - 97.

9. Кулешова Е.В. Управление односекторной экономики на конечном интервале времени по критерию максимизации потребления предпринимательского сектора // Научная сессия ТУСУР-2007: Материалы докладов Всероссийской научно-технической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. Тематический выпуск «Системная интеграция и безопасность», 3-7 мая 2007 г. - Томск: Изд-во «В-Спектр», 2007. - Т. 4. - С. 196 -199.

10. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Максимизация потребления работодателей в случае производственной функции общего вида // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2004. - Т. 11, вып. 2 - С. 326 -327.

11. Кулешова Е.В., Дёмин Н.С. Магистральное решение в задаче управления односекторной экономикой при наличии ограничений на накопление и потребление // Труды VIII международной конференции ФАМ'2009 . Ч. 1. / Под ред. О.Ю. Воробьёва. - Красноярск: Сиб. фед. ун-т, 2009. - С. 150 -155.

Личный вклад. Постановка изложенных в диссертации задач принадлежит научному руководителю соискателя. Полученные в диссертации результаты принадлежат лично автору работы.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы общим объемом 198 страниц, из которых 183 страниц основного текста, 23 страницы рисунков общим количеством 23 и 13 страниц списка литературы из 149 наименований,

3.10 Выводы

1. Проведено полное исследование задачи управления односекторной экономикой на конечном интервале времени, когда критерием оптимальности является максимизация налоговых поступлений.

2. Доказано существование «Магистрального принципа» управления экономикой, соответствующего выбранному критерию оптимальности, и получено условие осуществления этого принципа.

3. Получено «Золотое правило накопления», определяющее единственный способ распределения продукта на магистрали, который обеспечивает максимизацию налоговых поступлений за весь плановый период.

4. Для случая производственной функции Кобба-Дугласа получены формулы, определяющие оптимальные значения налоговой ставки и фондовооруженности на магистрали, зависимости от времени фондовооруженности на начальном интервале времени выхода экономики на магистраль и конечном интервале времени схода экономики с магистрали для удовлетворения условиям экономического горизонта,а также моменты времени выхода экономики на магистраль и схода экономики с магистрали.

5.Выделен случай, для которого на всем интервале времени осуществляется экономический рост, а именно на магистрали - сбалансированный рост, а на начальном и конечном интервалах времени - расширенный рост.

6. Обобщены результаты на случай учета потребления работодателей как владельцев основных фондов.

Заключение

Работа посвящена:

1) доказательству на классе линейно-однородных производственных функций осуществления «Магистрального принципа» функционирования односекторной (агрегированной) экономики путем решения задач оптимального управления в случае конечного временного горизонта при учете потребления трудовых ресурсов и работодателей как владельцев основных фондов, а также налоговых отчислений, ненулевой материалоемкости экономики и ограничений на накопление, потребление и налоговые отчисления;

2) получению «Золотого правила накопления» как способа распределения произведенного экономикой продукта (национального дохода) на магистрали;

3) исследованию условий экономического роста на всем временном интервале, являющимся плановым периодом.

Основные новые научные результаты диссертационной работы заключаются в следующем.

1. Проведено полное исследование задач оптимального управления одно-секторной экономикой в соответствии с тремя критериями оптимальности и с учетом перечисленных условий: 1) максимизация потребления трудовых ресурсов; 2) максимизация потребления работодателей как владельцев основных фондов; 3) максимизация налоговых поступлений.

2. Для всех трех критериев оптимальности доказано существование «Магистрального принципа» функционирования экономики, суть которого заключается в максимально быстром выходе экономики на магистраль для обеспечения сбалансированного роста и максимально быстром сходе экономики с магистрали для удовлетворения условия экономического горизонта, заключающемся в обеспечении заданного уровня основных фондов в конечный момент времени планового временного интервала.

3. Для всех трех магистралей получено «Золотое правило накопления», определяющее единственный способ распределения произведенного продукта на магистрали между накоплением, потреблением трудовых ресурсов, потреблением работодателей, налоговыми отчислениями и отчислениями на удовлетворение ненулевой материалоемкости экономики.

4. Для всех трех магистралей выделен случай, для которого в течение всего планового периода осуществляется экономический рост, а именно: на магистрали - сбалансированный рост, а на начальном интервале времени выхода экономики на магистраль и на конечном интервале времени схода экономики с магистрали для удовлетворения условия экономического горизонта - расширенный рост.

5. Осуществлена конкретизация результатов для одного частного случая линейно-однородных производственных функций, а именно для функции Кобба-Дугласа, наиболее широко используемой как в теоретических исследованиях, так и в практических приложениях.

Общий вывод: проведенное в диссертации исследование функционирования односекторной экономики в случае конечного временного горизонта и при достаточно общих условиях утверждает универсальность «Магистрального принципа» независимо от критерия оптимальности и вместе с тем зависимость «Золотого правила накопления» как способа распределения произведенного продукта на магистрали, от указанных факторов.

1. Arrow K.J. Application of control theory to economic growth // Lect. in Appl. Math. / Math, of the decision sci. II. Providence RI, Amer. Math. Society. Wash. (D.C.). 1968. - V. 12. - P. 85 - 119.

2. Arrow K.J. On models of technological change // Amer. Econ. Rev. -1969. -V. 59(3).

3. Arrow K.J., Hahn F.H. General competitive analysis. Edinburgh: Oliver and Boys, 1971.

4. Arrow K.J., Kurz M. Optimal growth with irreversible investment in a Ramsey model // Econometrica. 1970. - V. 38(2). - P. 331 - 344.

5. Baranzini A., Bourguignon F. Is sustainable growth optimal? // International Tax and Public Finance. 1995. - V. 2. - P. 341 - 356.

6. Barro R.J., Sala-i-Martin X. Economic growth. New York: McGraw-Hill, 1995.

7. Becker G.S., Murphy K.M., Tamura R. Human capital, fertility, and economic growth // J. Polit. Econ. 1990. - V. 98(5). - P. 12 - 37.

8. Beaudry P., Green D. A. Population growth, technological adoption and economic outcomes: a theory of cross-country differences for the information era // Review of Economic Dynamics. 2002. - V. 5, N 4. -P. 749 - 774.

9. Bernanke В., Grrkaynak R. Is growth exogenous? Prinston: Prinston University Press, 2001.

10. Bleaney M., Nishiyama A. Explaining growth: a contest between models // J. Econ. Growth. 2002. - V. 7, N 1,- P. 43 - 56.

11. Cairns R., Long N.V. Maximin: a direct approach to sustainability // Environment and Development Economics. 2006. - V. 11, N 3. - P. 275 - 300.

12. Capital-labor substitution and economic efficiency. K.J. Arrow, H.B. Chenery, B.S. Minhas, R.M. Solow // Rev. of Econ. Stud. 1961. -V. 43. -P. 225 - 250.

13. Chichilnisky G. An axiomatic approach to sustainable development // Social Choice and Welfare. 1996. - V. 13, N 3. - P. 231 - 257.

14. Dorfman R. An economic interpretation of optimal control theory // Amer. Econ. Rev. 1969. - V. 59(5). - P. 814 - 831.

15. Dorfman R., Samuelson P.A., Solow R.M. Linear programming and economic analysis. New York: McGraw-Hill, 1958.

16. Douglas P.H., Cobb C.W. A theory of production // Amer. Econ. Rev. -1928. V. 18. - P. 139 - 165.

17. Douglas P.H. Are there laws of production? // Amer. Econ. Rev. 1948. -V. 38. - P. 1 - 41.

18. Domar E. Expansion and employment // Amer. Econ. Rev. 1947. -V. 37(1). - P. 34 - 55.

19. Easterly W., Levine R. It's not factor accumulation: stylized facts and growth models // World Bank: Economic Review. 2001. - V.15, N 2. -P. 177 - 219.

20. Fagerberg J. Technology, growth and competitiveness. Oxon: Edward Elgar Publishing, 2001.

21. McFadden D. The evaluation of development programms // Rev. of Econ. Stud. 1967. - V. 34. - P. 25 - 50.

22. Gass D. Optimum growth in aggregative model of capital accumulation: a turnpike theorem // Econometrica. 1966. - V. 34. - P. 833 - 850.

23. Growth theory / Ed. by Becker R., Burmeister E. V. 1. Descriptive growth theoiries. V. 2. Optimal growth theories. V. 3. Equilibrium growth theories. New York: The Int. Library of Critical Writings in Economics, 1991.

24. Grossman G., Helpman H. Quality ladders in the theory of growth // Rev. of Econ. Stud. 1991. - V. 58. - R 43 - 61.

25. Grossman G., Helpman H. Innovation and growth in the global economy. -Cambridge: Camb. Univ. Press, 1991.

26. Goodwin R. M. A growth cycle // Socialism, capitalism and economic growth. Cambridge: Camb. Univ. Press, 1967. - P. 54 - 58.

27. Hahn F., Matthews R.C.O. The theory of economic growth: a survely // Economic. 1995. - V. 74(296). - P. 779 - 902.

28. Harrod R.F. An essay in dynamic theory // Econ. J. 1939. - V. 49(193). -P. 14 - 23.

29. Harrod R.F. Remark // Amer. Econ. Rev. 1937. - V. 27.

30. Hicks J.R. The theory of wages. London: MacMillan, 1932.

31. Hicks J.R. A revision of demand theory. London: Oxf. Univ. Press, 1956.

32. Hicks J.R. A contribution to the theory of the trade cycle. Oxford: Oxf. Univ. Press, 1950.

33. Hamilton K., Hartwick J. Investing exhaustible resource rents and the path of consumption // Canadian Journal of Economics. 2005. - V. 38, N 2. -P. 615 - 621.

34. Hartwick J. M. Sustaining periodic motion and maintaining capital in classical mechanics // Japan and the World Economy. 2004. - V. 16, N 3, Special Iss. (August). - P. 337 - 358.

35. Lucas R.E. Input-output economics. New York: Oxf. Univ. Press, 1966.

36. Leonard D., Long N. V. Optimal control theory and static optimization in economics. Cambridge: Camb. Univ. Press, 1992.

37. Mankiw N.G. Economics. New York: Worth Publ, 2003.

38. Mankiw N. G., Romer D., Weil D. A contribution to the empiric of economic growth // Quarterly J. of Economics. 1992. - V. 107, N 2. -P. 407 - 438.

39. Neumann J. Von A model of general equilibrium // Rev. of Econ. Stud. -1945. V. 13. - P. 1 - 9.

40. Nordhous W.D. Invention, growth and welfare: a theoretica treatment of technological change. Cambridge, Mass.: MIT Press, 1967.

41. Nordhaus W.D., Boyer J. Warming the world: economic models of global warming. Cambridge, Mass.: MIT Press, 2000.

42. Phelps E.S. Golden rules of economic growth. New York: Norton, 1966.

43. Radner R. Dynamic programmin of economic growth / Ed. by Malinvand E., Bacharach M.O.L. // Activity analysis in the theory of growht and planning. London: McMillan, 1967.

44. Ramsey F.P. A Mathematical theory of saving // Econ. J. 1928. - V. 38. -P. 543 - 559.

45. Ramsey F.P. A contribution to the theory of taxation // Econ. J. 1927. -V. 37, N 145. - P. 47 - 61.

46. Romer P.M. Increasing returnees and long-run growth // J. Polit. Econ. -1986. V. 94(5). - P. 1002 - 1037.

47. Romer P.M. Capital accumulation in the theory of long-run growth // Modern Business Cycle Theory / Ed. by J. Barro. Cambridge, Mass.: Harvard Univ. Press. - 1989. - P. 51 - 127.

48. Romer P.M. Endogenous technical change // J. Polit. Econ. 1990. -V. 98(5). - P. 71 - 102 .

49. Romer P.M. The origins endogenous growth // J. Econ. Perspect. 1994. -V. 8(1). - P. 3 - 22.

50. Stern N. The determinants of growth // Econ. J. 1991. - V. 101(1). -P. 122 - 133 .

51. Solow R.A. Contribution to the theory of economic growth // Quart. J. Economics. 1956. - V. 70. - P. 65 - 94.

52. Solow R.A. Perspectives of economic growth theory // J. Econ. Perspect. -1994. V. 8(1). - P. 45 - 54.

53. Solow R.A. Technical change and the aggregate production function // Rev. Econ. Stat. 1957. - V. 39, N 3. - P. 312 - 320.

54. Solow R.A. Growth theory: an exposition. Oxford: Oxf. Univ. Press, 1970.

55. Solow R.A. Competitive valuation in a dynamic input-output system // Econometrica. 1959. - V. 27. - P. 30 - 53.

56. Solow R.A. The last 50 years in growth theory and the next 10 // Oxford Rev. of Econ. Policy 2007. - V. 23(1). - P. 3 - 14 .

57. Samuelson P.A. A catenary turnpike theorem involving consumption and the golden rule// Amer. Econ. Rev. 1965. - V. 55(3). - P. 486 - 496.

58. Samuelson P.A. Foundation of economic analysis. Cambridge Mass.: Harvard Univ. Press, 1947.

59. Samuelson P.A. The two-part golden rule deduced as the asymptotic turnpike of catenary motoins // West. Econ. J. 1968. - V. 6. - P. 85 - 89.

60. Samuelson P.A. Interactions between the multiplier analysis and the principle of accleration // Rev. Econ. Stat. 1993. - V. 21. - P. 7578.

61. Shell К. Optimal programs of capital accumulation for an economy in which there is exogenous technical change, essays on the theory of optimal econominc growth. Cambridge: MIT Press, 1967.

62. Shell K. Essays on the theory of optimal economic growth. Cambridge: MIT Press, 1967.

63. Shell K. Application of pontriagin's maximum principle to economics /Ed. by H.W. Kuhn and G.P. Szego // Mathematical Systems Theory and Economics. Berlin: Springer-Verlag, 1969.

64. Uzawa H. Optimal growth in a two-sector model of capital accumulation // Rev. of Econ. Stud. 1964. - V. 31(1). - P. 1 - 24.

65. Verspagen B. Endogenous innovation in the neoclassical growth models: a survey // J. Macroecon. 1992. - V. 14(4). - P. 631 - 662.

66. Аллен P. Математическая экономика. M.: ИЛ, 1963.

67. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984.

68. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. М.: Финансы и статистика, 2001.

69. Браун М. Теория и измерение технического прогресса. М.: Стати- ■ стика, 1971.

70. Бугаян И.Р., Сумбатян М.А. Модель влияния научно-технического прогресса на темпы накопления и экономического роста // Экономика и математические методы. 2002. - Т. 38, № 4 - С. 104 - 109.

71. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

72. Вековцева С.А., Демин Н.С. Оптимальное управление односекторной экономикой при наличии внешних инвестиций. Модель Рамсея // Вестник ТГУ. 2003. - № 280. - С. 99 - 102.

73. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976.

74. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Методы оптимизации. Минск: Изд-во Б ГУ, 1981.

75. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973.

76. Габасов Р., Габасова О.Р., Дмитрук Н.М. Синтез оптимальной политики для производственно-финансовой модели фирмы I. Построение магистралей // Автоматика и телемеханика. 1998. - № 9. - С. 100 -117.

77. Габасов Р., Габасова О.Р., Дмитрук Н.М. Синтез оптимальной политики для производственно-финансовой модели фирмы II. Программные и позиционные решения // Автоматика и телемеханика. 1998. -№ 10. - С. 95 - 112.

78. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. М.: ИЛ, 1963.

79. Голиченко О.Г. Проблема регулирования экономического роста в макроэкономических моделях // Экономика и математические методы. -2001. Т. 37, № 4. - С. 33 - 43.

80. Голиченко О.Г. Возможности микро- и макроэкономического моделирования воздействия эндогенного научно-технического прогресса на экономическое развитие // Экономика и математические методы. -1998. Т. 34, № 2.

81. Гомулка С., Килози А. Классификация типов технического прогресса и асимптотические траектории экономического роста: макроэкономический аспект // Экономика и математические методы. 1969. - Т. 5, № 6. - С. 814 - 831.

82. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика, 1985.

83. Гурман В.И. Моделирование устойчивого развития с учетом инновационных процессов // Экономика и математические методы. 2003. -Т. 39, № 1. - С. 3 - 11.

84. Гурман В.И. Магистральные решения в процедурах поиска оптимальных управлений // Автоматика и телемеханика. 2003. - № 3. - С. 61 -71.

85. Гурман В.И., Ухин М.Ю. Магистральные решения в задачах оптимизации стратегий развития регионов // Автоматика и телемеханика. -2004. № 4. - С. 108 - 117.

86. Дадаян B.C. Макроэкономические модели. М.: Наука, 1983.

87. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Управление односекторной экономикой на конечном интервале времени с учетом потребления работодателей // Автоматика и телемеханика. 2008. - N® 9. - С. 140 - 155.

88. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Управление односекторной экономикой на конечном интервале времени с учетом налоговых отчислений // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2008. - № 6. - С. 87 - 98.

89. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Управление односекторной экономикой на конечном интервале времени по критерию максимизации налоговых отчислений // Сибирский журнал индустриальной математики. -2009. Т. 12, № 1(37). - С. 74 - 88.

90. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Принцип магистрали в задаче управления односекторной экономикой при наличии ограничений на накопление и потребление // Вестник Томского государственного университета. УВТиИ. 2009. - № 2(7). - С. 5 - 23.

91. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Управление односекторной экономикой на конечном интервал е. времени в модели Солоу // Вестник Томского государственного университета. 2004. - № 284. - С. 53 - 58.

92. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Максимизация потребления работодателей на конечном интервале времени при постоянных трудовых ресурсах // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2004. - № 9(H). - С. 150 - 155.

93. Демин Н.С., Кулешова Е.В., Решетникова Г.Н. Об эквивалентности решений задачи управления односекторной экономикой в моделях Рам-сея и Солоу // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2002. - № 1(1). - С. 150 - 153.

94. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Максимизация потребления работодателей в случае производственной функции общего вида // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 11, вып. 2. -С. 326 - 327.

95. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Управление односекторной экономикой на конечном интервале времени с учетом экологических затрат // Вестник Томского государственного университета. 2006. - № 290. -С. 145 - 149.

96. Дубовский С.В. Энергетика и распределение доходов в экономическом развитии. Математические модели. М.: РОХОС, 2004.

97. Дубовский С.В., Осипов С.Н. Вопросы структурной устойчивости в модели экономического роста и циклов // Автоматика и телемеханика. 1994. - № 3. - С. 134 - 140.

98. Дубовский С.В. Модели российской макроэкономики и финансовой динамики: 1990 2010 / Новая парадигма развития России. - М.: МГУК; Academia, 1999. - С. 235 - 243.

99. Дубовский С.В. Как перевести российскую экономику в режим устойчивого развития / Сборник материалов круглого стола «Количественные методы в теории переходной экономики». М.: РАН и ЭиММ, 2002. - С. 159 - 165.

100. Дубовский С.В., Уздемир А.П. Критерии оптимальности и вариационные подходы в динамических моделях экономики // Автоматика и телемеханика. 1974. - № 6. - С. 90 - 98.

101. Ефимов М.Н., Мовшович С.М. Анализ сбалансированного роста в динамической модели народного хозяйства // Экономика и математические методы. 1973. - Т. 9, № 1. - С. 32 - 43.

102. Занг Б.В. Синергетическая экономика. М.: Мир, 1999.

103. Зеликина Л.Ф. Оптимальные вложения в научно-технический прогресс в макроэкономических моделях и магистральные теоремы // Экономика и математические методы. 1975. - Т. 11, № 3. - С. 453 -467.

104. Иванов Ю.Н., Токарев В.В., Уздемир А.П. Математическое описание элементов экономики. М.: Наука, 1994.

105. Иванилов Ю.П. Математические модели в экономике. М.: Наука, 1999.

106. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Айрисс пресс, 2002.

107. Калюжный В.В. Объяснение парадоксов в макроэкономической теории с помощью новой модели экономического роста // Экономическая кибернетика. 2002. - № 5 - 6 (7 - 8). - С. 30 - 40.

108. Канторович Л.В., Горстко А.Б. Оптимальные решения в экономике. -М.: Наука, 1972.

109. Кейнс Дж. Общая теория занятости, процента и денег. М.: ИЛ, 1978.

110. Клейнер Г.Б. Производственные функции. М.: Наука, 1986.

111. Колемаев В.А. Математическая экономика. М.: ЮНИТИ, 1998.

112. Конюховский П. Математические методы исследования в экономике. -СПб.: Питер, 2002.

113. Красс Н.А. Математические модели экономической динамики. М.: Сов. Радио, 1976.

114. Кротов В.Ф., Гурман В.И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973.

115. Кротов В.Ф., Данилина Н.И. Оптимальное управление экономическими процессами: Учеб. пособие. Ч. I III. - М.: Моск. экон.-стат. ин-т, 1977 - 1979.

116. Ланкастер К. Математическая экономика. М.: Экономика, 1972.

117. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономиче--ских процессов. М.: ИЗОГРАФ, 1997.

118. Лобанов С.Г. К теории оптимального экономического роста // Экономический журнал ВШЭ. 1999. - № 1. - С. 28 - 41.

119. Макаров В.Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

120. Макроэкономика. В.М. Гальперин, П.Н. Гребенников, А.И. Леусский, Л.С. Тарасевич. СПб: СПГУ ЭФ, 1997.

121. Математическая теория оптимальных процессов. Л.С. Понтрягин, В.Г. Болтянский, Р.В. Гамкрелидзе, Е.Ф. Мищенко. М.: Наука, 1978.

122. Митягин Б.С. Заметки по математической экономике // Успехи математических наук. 1972,- Т. 27, X® 3. - С. 3 - 19.

123. Милованов В.П. Синергетика и самоорганизация: Экономика. Биофизика. М.: URSS, 2005.

124. Михайлевский О.Н. Макроэкономическая производственная функция как модель экономического роста // Экономика и математические методы. 1967. - Т. 3, № 2.- С. 199 - 222.

125. Москаленко А.И. Оптимальное управление моделями экономической динамики. Новосибирск: Наука, 1999.

126. Мордухович Б.Ш. Существование оптимальных управлений // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. М.: ВИНИТИ, 1976. - Т. 6.

127. Накоряков В.Е., Гасенко В.Г. Математическая модель плановой макроэкономики // Экономика и математические методы. 2002. - Т. 38, № 2. - С. 118 - 124.

128. Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970.

129. Оптимальное управление в агрегированных моделях экономики / Под ред. Воробьева Н.Н. М.: Наука, 1991.

130. Паршев А.П. Почему Россия не Америка. М.: Крымский мост-форум, 2000.

131. Сакс Дж., Ларрен Ф. Макроэкономика: глобальный подход. М.: Наука, 1996.

132. Самуэльсон П. Экономика. М.: Прогресс, 1964.

133. Самуэльсон П.Э., Нордхауз В.Д. Экономика. М.: Вильяме, 2000.

134. Солоу Р.А. Перспективы теории роста // Мировая экономика и международные отношения. 1966. - № 8. - С. 69 - 77.

135. Солоу Р. Экономическая теория ресурсов или ресурсы экономической теории // Рынки факторов производства. СПб.: Экон. шк., 1999.

136. Соловьев В. И. Обобщенный принцип максимума как необходимое условие оптимальности в распределенной задаче оптимального управления с ограничениями в частных производных // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 11, № 1.

137. Соловьев В. И. Золотое правило накопления в стохастической модели Солоу // Сборник трудов Института гуманитарного образования. Вып. 2. М.: РИПО ИГУМО, 2003.

138. Тер-Крикоров A.M. Оптимальное управление и математическая экономика. М.: Наука, 1977.

139. Фурман Р.Х. Выбор экономической политики в программах охраны окружающей среды США // Экономика и математические методы. -1992. Т. 28, № 5 - 6. - С. 695 - 702.

140. Хаддад Б.М. О стимулировании создания передовых технологий в области энергосбережения и охраны окружающей среды // Экономика и математические методы. 1992. - Т. 28, № 5 - 6. - С. 761 - 766.

141. Харрод Р.Ф. К теории экономической динамики. М.: ИЛ, 1959.

142. Хикс Д.Р. Стоимость и капитал /Под общ. ред. и вступ. ст. P.M. Эн-това. М.: Изд. группа «Прогресс», 1993.

143. Холод Н.И., Кузнецов А.В. Экономико-математические методы и модели. Минск: БГЭУ, 2000.

144. Эрроу К. Применение теории управления к экономическому росту // Математическая экономика / Под ред. B.C. Митягина. М.: Мир, 1974. - С. 7 - 45.

145. Яновский Л.П. Контролирование хаоса в моделях экономического роста // Экономика и математические методы. 2002. - Т. 38, № 1. -С. 16 - 23.