автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Разработка и совершенствование методов реализации одного класса стохастических моделей с последовательностями ограниченных случайных величин

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Модели с последовательностями ограниченных случайных величин. Проблемы и задачи исследования.

Предисловие

1.1. Анализ законов распределения случайных величин.

1.2. Сглаживание случайных последовательностей.

2.1. Непосредственное использование классических распределений для моделирования случайных величин с КОБ-распределениями 24

2.2. Метод усечения плотности распределения снизу.28

2.3. Реализация косину сообразного распределения .34

2.4. Реализация квазинормального распределения с заданным интервалом ограничения (алгоритм 1) .36

2.5. Сложение взвешенных случайных величин (алгоритм 2) .41

2.6. Моделирование последовательностей случайных величин .49

Основные выводы по главе 2 .54

Глава 3. Анализ текущих характеристик нестационарных случайных последовательностей .55

Предисловие .55

3.1. Критерий устойчивости. Алгоритмы слежения за оценкой математического ожидания последовательности .56

3.2. Алгоритмы слежения за оценками моментов, среднего квад-ратического отклонения и коэффициентов корреляции .64 3

3.3. Анализ динамических погрешностей отслеживания .71

Основные выводы по главе 3 .77

Глава 4. Реализации моделей с ограниченными случайными последовательностями .78

Предисловие .78

4.1. Модель прогнозирования урожайности зерновых культур.78

4.2. Макроэкономическая модель определения плановых показателей 87

4.3. Модель гидроэнергетической системы .93

Основные выводы по главе 4 .99

Заключение .101

Литература.103

Приложения .110

П.1. Программы реализованных моделей.110

П.2. Копии актов о внедрении и использовании результатов работы 123

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ t - дискретное время,

At, т - дискретные интервалы времени,

X, Y- случайные величины с произвольным законом распределения, С - случайная величина с равномерным законом распределения, х, у, с - значения случайных величин X, Y и С,

•*)> f (у) ~ функции плотности распределения значений х и у, F(x), F(y) - функции распределения значений jc и у, Мх, M[X(t)] - математические ожидания случайных величин X и X(t), Dx, D[X(t)\ - дисперсии случайных величин X и X(t), ах, cr[X(t)] - средние квадратические отклонения случайных величин X и X(t),

Мх , M[Y(t)] - оценки соответствующих характеристик случайных величин,

Х(/)} - случайная последовательность Х(0), Х(1),. X(t),., x(t)} - последовательность значений случайной величины X(t),

R(t) - нормированная корреляционная функция стационарной случайной последовательности, R(t, т) - нормированная корреляционная функция нестационарной случайной последовательности .

ВВЕДЕНИЕ

Математическое моделирование является в настоящее время весьма популярным, а во многих случаях и единственно возможным методом решения или исследования широкого класса задач [41, 49 ]. Основным средством математического моделирования являются ЭВМ. Поэтому развитие теории математического моделирования и значительное расширение областей его применения были связаны с быстрым развитием возможностей ЭВМ.

По-видимому, чаще всего в процессе математического моделирования приходится иметь дело с различными случайностями и исследовать так называемые стохастические модели (синонимы: вероятностные, статистические), связанные с имитацией соответствующих случайностей. Нередко такие модели используются и для исследования задач детерминированной природы, например, при решении краевых задач, для вычисления значений многомерных интегралов и т. д.

Первые существенные результаты по применению вероятностных методов в математическом моделировании связаны с именами Колмогорова А. Н., Хинчина А. Я., Феллера В., фон Неймана, Бусленко Н. П., Голенко Д. И, Корна Г. А. В последующие годы значительный вклад в теорию вероятностного моделирования внесли Шеннон Р. Ю., Ермаков С. М., Полляк Ю.Г., Поспелов Д. А., Соболь И. М., Михайлов Г. A., Anderson Т. W., Гладкий В. С., Шалыгин А. С., Палагин Ю. И., Кенделл М. и другие. Учитывая специфические проблемы, которые приходится решать в процессе моделирования, по образному утверждению Р. Ю. Шеннона, имитационное моделирование стало искусством и наукой [49].

В последнее десятилетие интересные результаты в области вероятностного моделирования получили, например, Кирьянов Б. Ф., Nelson

В. L., Песошин В. A., Glynn P. W., GueganD., Ширяев А. Н., Глова В. И. Так, Б. Ф. Кирьяновым разработаны методы моделирования коррелированных случайных векторов с произвольными законами распределения координат [ 20 ]. D. Guedan предложил и исследовал несколько моделей дискретных случайных процессов с сильным последействием, а также дал рекомендации по их практическому применению [61 ].

Из работ, связанных с применением вероятностного моделирования в конкретных областях знаний, нельзя не отметить фундаментальную двухтомную монографию Ширяева А. Н. по стохастической финансовой математике [ 51 ]. Кроме результатов собственных исследований, ее автор привел сравнительный обзор большого числа публикаций, особенно зарубежных.

По-видимому, в настоящее время уже вообще трудно назвать какую-либо конкретную область знаний, в которой математическое и, в частности, вероятностное моделирование не используется или не может быть применено для исследований. Вместе с тем методы математического моделирования непрерывно совершенствуются как в плане их функциональных возможностей, так и в плане улучшения точности получаемых результатов. При этом, как и обычно, имеют место проблемы, которые пытаются решить, в том числе и пока безуспешно. Так, например, еще не найдены приемлемые для практики алгоритмы моделирования случайных последовательностей с заданной на произвольном числе шагов функцией распределения, не известно алгоритмов моделирования нестационарных случайных последовательностей с заданной автокорреляционной функцией и т. д.

Диссертационная работа связана со стохастическими моделями, имитирующими и анализирующими последовательности ограниченных случайных величин, в общем случае нестационарных. Приведенный в работе анализ литературных источников показывает, что такие модели широко используются в экономике, энергетике, гидрологии, биологии, медицине и т. д.

В первой главе диссертации анализируются проблемы, имеющие место в указанных моделях, и конкретизируется класс рассматриваемых задач. При этом, в частности, будет показано, что применение в соответствующих моделях нормального закона распределения для моделируемых случайных величин обычно не позволяет адекватно отражать в модели алгоритмы функционирования (свойства) оригинала, хотя ряд авторов и использует этот закон для моделей с ограниченными случайными величинами. Выясняется характер реальных распределений. Ставятся две основные задачи для дальнейших теоретических исследований.

Вторая глава посвящена первой поставленной задаче: моделированию случайных величин с характерным для указанных выше областей колоколообразным законом распределения. Такие случайные величины обычно образуют последовательности, несущие ту или иную информацию в зависимости от рассматриваемого оригинала. В общем случае эти последовательности могут быть нестационарными. Вторая основная задача связана с методами оценки значений текущих характеристик ограниченных, нестационарных, случайных последовательностей. Решению этой задачи посвящена третья глава диссертации.

Решения, полученные во второй и в третьей главах, используются в четвертой главе диссертации. В этой главе на примерах рассматриваемых моделей (практических приложений) показана эффективность указанных решений. Итоги работы подведены в заключении. Здесь даются рекомендации по применению результатов диссертации.

Список публикаций, на которые делаются ссылки, включает 67 наименований. Среди них - 8 публикаций автора.

Основные результаты работы заключаются в следующем: 1. Установлено, что распределения ограниченных непрерывных случайных величин, имеющих место во многих системах и процессах в таких областях как экономика, энергетика и др., имеют колоколообра-зую функцию плотности. Обращено внимание на целесообразность проведения исследования возможностей алгоритмов отслеживания текущих характеристик нестационарных случайных последовательностей в моделях указанных систем и процессов, а также проблемы обеспечения устойчивости решений, получаемых с помощью этих алгоритмов.

2. Предложены и исследованы методы моделирования непрерывных случайных величин с колоколообразным распределением:

- метод усечения функции плотности (или произвольной функции с колоколообразным участком) снизу;

- реализация косинусообразного распределения;

- реализация квазинормального распределения с заданным интервалом ограничения;

- сложение взвешенных случайных величин.

Показано, что два последних алгоритма позволяют реализовать одинаковые распределения. При этом выражения для указанных алгоритмов не изменяются при изменении параметров моделируемого распределения. Рассмотрены алгоритмы моделирования последовательностей случайных величин, в том числе коррелированных.

3. Исследована проблема анализа текущих характеристик нестационарных случайных последовательностей. При этом:

- рекомендованы и исследованы регрессионные алгоритмы отслеживания указанных характеристик, применение которых может повысить

103 точность отслеживания по сравнению с методом накопления; - предложен простой критерий устойчивости рекомендованных алгорит мов.

4. Разработана модель прогнозирования урожайности зерновых культур и усовершенствованы макроэкономическая модель определения плановых показателей и модель гидроэнергетической системы. На примере этих моделей показано, что применение полученных теоретических результатов в моделях рассмотренного класса позволяет улучшать степень адекватности моделей их оригиналам.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что в ней удалось решить указанные выше проблемы реализации стохастических моделей с ограниченными нестационарными последовательностями случайных величин.

Практическая значимость работы состоит применимости полученных результатов для широкого класса моделей с последовательностями ограниченных случайных величин. Все рекомендованные алгоритмы и рассмотренные модели доведены до программной реализации и могут быть использованы при разработке и исследовании соответствующих систем и процессов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. - М.: "Мир", 1976.-756 с.

2. Бахвалов Н. С. Численные методы. Том 1. -М: "Наука", 1975. 632 с.

3. Бокс Дж., Дженкинс. Г. Анализ временных рядов. Прогноз и управление. М.: "Мир", 1974. Вып. 1 - 288 е.; Вып. 2 - 197 с.

4. Болотханов Э. Б. Линейная модель анализатора текущих характеристик случайных процессов / Вестник Новгородского гос. унив-та, Сер. "Естеств. и технич. науки", Вып. 17, 2001. С. 35 - 37.

5. Болотханов Э. Б. К проблеме построения стохастических моделей для экономических задач / Труды междунар. Научно-метод. конф. "Математика в вузе" Псков: ППИ, 2001.-С. 146- 149.

6. Болотханов Э. Б. Стохастическая макроэкономическая модель определения плановых показателей / Материалы докладов междунар. на-учно-практич. конф. "Математическое моделирование в науке, промышленности и образовании". Тирасполь: РИО ТГУ, 2001. С. 35 37.

7. Болотханов Э. Б. К проблеме оценки характеристик нестационарных случайных процессов / Труды междунар. научно-метод. конф. "Математика в вузе".-Псков: ППИ, 2001.-С. 149- 151.

8. Болотханов Э. Б. Модель гидроэнергетической системы / Материалы докладов междунар. научно-практич. конф. "Математическое моделирование в науке, промышленности и образовании". Тирасполь: РИО ТГУ, 2001. С. 122 - 123.

9. Вагер Б. Г. Применение конечных марковских цепей к экологическим проблемам в гидрометеорологии / Межвуз. темат. сб-к трудов "Математическое моделирование, численные методы и комплексыпрограмм". СПБ: СПБГАСУ, 1994. - С. 38 - 42.

10. Валландер С. С. Временные ряды и эконометрика. Конспект лекций. Европейский ун-т в С.-Петербурге, Новгородский гос. ун-т. 1999. - 39 с.

11. Введение в цифровую фильтрацию / Под ред. Р. Богнера и А. Кон-стантинидиса. М.: "Сов. Радио", 1976. - 274 с.

12. Вентцель Е. С., Овчаров JI. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения. -М.: "Наука", 1988.-480 с.

13. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. М.: "Наука", 1964. - 564 с.

14. Гноенский JI. С., Каменский Г. А., Эльсгольц Л. Э. Математические основы теории управляемых систем. М: "Наука", 1969. - 512 с.

15. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. -М: Физматгиз, 1960. 388 с.

16. Долан Э. Дж., Кэмпбелл К. Д., Кэмпбелл Р. Дж. Деньги, банковское дело и денежно-кредитная политика. СПб: Санкт-Петербург Оркестр, 1994.-386 с.

17. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Курс статистического моделирования. М.: "Наука", 1976.-320 с.

18. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. -М.: "Наука", 1982. 296 с.

19. Карташев В. Г. Основы теории дискретных сигналов и цифровых фильтров.-М: "Высшая школа", 1982. 109 с.

20. Кирьянов Б. Ф. Разработка и совершенствование методов стохастического моделирования / Вестник Новгород-ского гос. унив-та, Сер. "Естеств. и технич. науки", Вып. 19, 2001. С. 108 - 115.v ? 5

21. Кирьянов Б. Ф., Кознов А. В. Процессы авторегрессии со случайными коэффициентами и их применение при моделировании радиотехнических систем: Межвуз. сборник "Прикладная математика"/ Под ред. Б. Ф. Кирьянова. Новгород: НовГУ, 1994. С. 3 - 8.

22. Кирьянов Б. Ф., Леонтьев А. Г., Данг Тки Заем Лан. Алгоритмы цифровой демодуляции / Сб. "Актуальные вопросы радиоэлектроники", Ч. 2. Новгород: НПИ, 1989. - С. 12 - 14.

23. Кирьянов Б. Ф., Майоров В. В. Построение математических моделей патогенеза и лечения ишемической болезни сердца / Сборник трудов 12-й междунар. конф. «Математические методы в технике и технологиях». Том 2. Вел. Новгород: НовГУ, 1999.

24. Кирьянов Б. Ф., Одинцов О. А., Кознов А. В. Лабораторный практикум по математическому моделированию. Новгород: НПИ, 1992. -65 с.

25. Климин А. С., Спивак С. И. Оценивание вероятности разорения страховой компании на основе метода Монте-Карло: В сб. "Математические методы исследования сложных систем, процессов и структур" -М.: МГОПУ, 2000.-С. 365.

26. Клейн М. Л., Морган Г. С., Аронсон М. Г. Цифровая техника для вычислений и управления. М.: ИЛ, 1960. - 387 с.

27. Колешко С. Б. Разностная схема для решения уравнений стационарных сечений вязкой жидкости / Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск: "Наука", 1979. Т. 10, №3. С. 100 -106.

28. Корн Г. А. Моделирование случайных процессов на аналоговых и аналого-цифровых машинах. М: "Мир", 1968. - 316 с.

29. Коршунов Ю. М., Бобиков А. И. Цифровые сглажива-ющие и преобразующие системы. М.: "Энергия", 1969. - 128 с.

30. Кукер Дж., Макчиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем. М.: "Мир", 1989. - 376 с.

31. Курош А. Г. Курс высшей алгебры.-М.: "Наука", 1971.-432 с.

32. Медик В. А., Токмачев М. С. Математическая статистика в медицине и биологии. Новгород: НовГУ, 1998.-417с.

33. Мигай В. К. Моделирование теплообмена энергетического оборудования. JI: "Энергоатомиздат", Ленинградское отд-е, 1987. -264 с.

34. Мирский Г. Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов. М: "Энергия", 1972. - 456 с.

35. Полляк Ю. Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. М: "Сов. Радио", 1971.-400 с.

36. Потанкер С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / Пер. с англ. Под ред. В. Д. Виленского. М.: Энергоатомиздат, 1984.

37. Пугачев B.C. Теория вероятностей и математическая статистика.-М: "Наука", 1979.-496 с.

38. Селезнева Т. В., Тубатулин В. Н., Угер Е. Г. Исследование прикладных возможностей некоторых моделей стохастической финансовой математики / Обозрение прикладной и промышленной математики. -М.: Научное издательство ТВП, Том 7, 2000, вып. 2. С. 210 -238.

39. Советов Б. Я., Яковлев С. А. Моделирование систем. М.: "Высшая школа", 1985.-271 с.

40. Соловьев В. И. Односекторная стохастическая динамическая модель экономики: В сб. "Математические методы исследования сложных систем, процессов и структур". М.: МГОПУ, 2000. - С. 101-112.

41. Соловьев В. И. Стохастическая модель национальной экономики: В сб. "Математические методы исследования сложных систем, процессов и структур". М.: МГОПУ, 2000. - С. 529 - 530.

42. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А. Статистический анализ данных на компьютере. М: ИНФРА, 1998.-528 с.

43. Феллер В. Введние в теорию вероятностей и ее приложения. М.: "Мир", Т. 1, 1984.-528 с.

44. Феллер В. Введние в теорию вероятностей и ее приложения. М.: "Мир", Т. 2,1984.-752 с.

45. Хорафас Д. Н. Системы и моделирование / Пер. с англ. Под ред. И. Н. Коваленко. М: "Мир", 1967. -420 с.

46. Худсон Д. Статистика для физиков. М.: "Мир", 1970.-296 с.

47. Шеннон Р. Ю. Имитационное моделирование систем искусство и наука: Пер. с англ./ Под ред. Е. К. Маславского. -М.: "Мир", 1978. -418 с.

48. Шепард Н. Статистические аспекты моделей типа ARCH и стохастическая волатильность: В сб. "Обозрение прикладной и промышленной математики". Сер. "Финансовая и страховая математика", 1996, Т. 3, Вып. 6. С. 764-826.

49. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели; Том 2. Теория.-М.: ФАЗис, 1998.- 1017 с.

50. Шор Я. Б. Статистические методы анализа и контроля качества и надежности.-М.: "Сов. радио", 1962.-552 с.

51. Bolotkhanov E. В. Simulation of the limited random values with use of normal distribution / Scientific Papers. Great Novgorod: NovSU, 2001.

52. Bolotkhanov E. В., Tokmachev M. S. Investigation of distribution of sums of random values / Scientific Papers. Great Novgorod: NovSU, 2001.

53. Brock W. A., Hsieh D. A., Le Baron B. Nonlinear Dynamics, Chaos and Instability: Statistical Theory and Economic Evidence. Cambridge, MA: MIT Press, 1991.

54. Chen P., Day R. N. Nonlinear Dynamics and Evolutionary Economocs. -Cambridge MA: MIT Press, 1996.

55. Dacorodna M. M., Mueller U. A., Embrechts P., Samorodnitsky G. Moment Condition for the HARCH (k) Models. Zuerich: "Olsen & Associates", Preprint. May 30, 1995.

56. Doerfel G., Schoeps V., Zimmermann J. Steuerbare und instationaere pseudostochastische Impulsquellen zur Simulation Poissonscher Nutz-und Stoersignale. Dresden: MSR, 34 (1991), 8. S. 332-335.

57. Eberlein E. Moderne Finanzmathematik. Freiburg in Breslau: Freiburger Zentrum fuer Datenanalyse und Mo-dellbildung. Preprint № 51, April 1998.

58. George R. Algorithm 200. Normal random. Communications of the ACM, 1963, v. 6, № 8, p. 44.

59. Guegan D. Series chronologiques non lineaires a temps discret. Paris: Economica, 1994.

60. Granger C. W. J., Teraevirta T. Modelling Nonllinear Economic Relationships. Oxford: Univ. Press, 1993.

61. Liv Т., Grander C. W. J., Heiler W. P. Using the correlations exponent to decide whether an economic series is chaotic.-New York:Wiley, 1993.

62. Pesaran M. N., Potter S. M. Nonlinear Dinamics, Chaos and Econometrics.-New York: Wiley, 1993.