автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Модели и алгоритмы для управления динамическими процессами в транспортных системах

На правах рукописи

ИЛЬИЧЕВА Вера Витальевна

МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ В ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМАХ

Специальности: 05.13.18 -Математическое моделирование, численные

методы и комплексы программ 05.13.06 - Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (на транспорте)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Ростов-на-Дону 2005

Работа выполнена на кафедре «Информатика» Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Ростовский государственный университет путей сообщения» (РГУПС).

Научные руководители: доктор технических наук, профессор

Гуда Александр Николаевич

кандидат физико-математических наук, доцент Задорожный Анатолий Иванович

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Ковалев Сергей Михайлович

кандидат технических наук, доцент Чефранов Сергей Георгиевич

Ведущая организация: Кубанский государственный университет (КубГУ).

Защита состоится

часов в

конференц-зале РГУПС на заседании диссертационного совета К218.010.01 при Ростовском государственном университете путей сообщения по адресу: 344038, г. Ростов-на-Дону, пл. Народного ополчения, 2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке РГУПС.

Автореферат разослан «» 2005 г. Отзывы на

автореферат, в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: 344038, г.Ростов-на-Дону, пл. Народного ополчения, 2, РГУПС, диссертационный совет.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат технических наук, доцент

Бутакова М. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. В современной экономической науке и практике математические модели стали необходимым инструментом исследования производственных процессов, позволяющим глубже понять их динамику и обосновать принимаемые решения при планировании, прогнозировании и управлении хозяйственной деятельностью.

Традиционно сферу экономико-математического моделирования разделяют на макро- и микромоделирование. Модели макроуровня описывают экономическую деятельность на уровне государства, отрасли, крупных фирм. Микроуровень охватывает отдельные задачи текущей хозяйственной деятельности предприятий, компаний, не касающиеся глобального распределения ресурсов. Для таких мощных и динамично развивающихся систем, как транспорт, играющих первостепенную роль в национальном хозяйстве, в равной степени актуальны оба из этих направлений моделирования.

Несмотря на то, что жизнедеятельность реальной экономики не охватывается рамками высоко агрегированных неоклассических моделей экономического роста, они активно исследуются в настоящее время. Допуская простую математическую формализацию, эти модели позволяют определить наиболее выгодные пропорции между фондами, достаточно быстро оценить результаты инвестиций.

Большинство исследований этого направления оперирует с линейно-однородными производственными функциями как с качественной основой моделей. Однако они обладают известными недостатками, приводящими порой к результатам, не имеющим практической интерпретации. Поэтому большой интерес представляет исследование моделей, использующих более широкий класс производственных функций, например, квазиоднородных функций. При этом для изучения свойств объектов, представленных такими моделями, часто более важно исследование не собственно параметров производственных

функций, а систем соотношений, например, дифференциальных уравнений, однозначно определяющих класс таких функций.

Повышение адекватности моделей требует учета научно-технического прогресса (НТП). Развитие, обусловленное НТО, демонстрирует нелинейные зависимости, опосредованные большим количеством обратных связей, поэтому эволюционный подход, опирающийся на опыт моделирования сложных систем в технических и биологических науках, часто дает гораздо более реальные прогнозы.

Одной из главных задач исследования моделей динамических систем является анализ устойчивости получаемых решений. Знание поведения системы под действием незапланированных изменений позволяет не только предотвращать негативные последствия, такие, например, как падение темпов роста эффективности, но и направленно влиять на ход развития системы.

Помимо макроэкономических проблем оптимального планирования, обеспечение надежной и безубыточной работы транспортной отрасли требует решения ряда прикладных оптимизационных задач, относящихся к проблеме оптимального управления перевозками. Проблема оптимизации перевозок включает как новые задачи, связанные с реформированием железнодорожного транспорта и широким внедрением информационных технологий, так и задачи традиционного направления, касающиеся составления оптимального расписания передвижения подвижного состава. Такие насущные транспортные проблемы, как оптимизация графика оборота составов и выбора минимального по затратам пути, имеют, как известно, большую, не совместимую с масштабом проблемы, вычислительную сложность, поэтому для их решения требуются новые подходы, например, средства эволюционного моделирования.

Цель и задачи исследования. Цель данной работы — построение и исследование математических моделей макро- и микроуровня, способствующих процессу принятия решений, в том числе и в управлении хозяйственной деятельностью транспортной отрасли. Реализация этой цели подразумевает решение следующих задач:

определение класса квазиоднородных производственных функций; обобщение и последующее исследование односекторных неоклассических моделей экономической динамики для класса квазиоднородных производственных функций; решение для полученных моделей задач определения оптимального управления, максимизирующего потребление при заданном горизонте планирования;

- обобщение и исследование двухсекторных моделей экономической динамики, учитывающих технологический прогресс и инвестиции в НТП;

- исследование двумерной транспортной модели, представляющей динамику выбора видов транспорта для определенного количества перевозок;

- решение задачи об оптимальной взаимовыгодной коммерческой перевозке грузов разными грузоперевозчиками;

- решение задачи об оптимальном с точки зрения минимизации затрат циклическом маршруте локомотива при условии, что каждый пункт маршрута должен быть посещен один раз и некоторое подмножество пунктов должно быть посещено в первую очередь;

- решение задачи об оптимальном с точки зрения минимизации расстояния (времени) циклическом маршруте подвижного состава при условии, что каждый пункт маршрута должен быть посещен один раз и через каждое фиксированное расстояние (время) состав должен посетить один из определенных пунктов для проведения техобслуживания или ремонта.

Объекты и методы исследования. Основной объект исследования -процессы и модели экономической и производственной деятельности в транспортной отрасли. Предмет исследования - континуальные и дискретные математические модели макро- и микроуровня, эволюционные модели. Для решения поставленных задач использовались общие принципы математического моделирования, математический анализ и методы оптимизации, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория устойчивости по Ляпунову, численные методы и генетические алгоритмы.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

- построено дифференциальное уравнение, определяющее параметрический класс квазиоднородных производственных функций с постоянной эластичностью замещения, частными случаями которых являются обобщенно-однородные функции Солоу, Кобба-Дугласа, Леонтьева;

- для полученного класса функций обобщены и исследованы неоклассические модели экономического роста, для которых решены задачи оптимального управления, максимизирующего потребление, доказаны соответствующие теоремы о магистрали; для обобщенных моделей получены новые оптимальные значения, из которых известные результаты для линейно-однородных производственных функций могут быть выведены как частные случаи.

- обобщена на случай факторизованных обобщенно-однородных функций двумерная модель Солоу-Мэнкью, учитывающая «человеческий капитал»; для этой модели и транспортной модели Дененбурга-де Пальма-Кана, описывающей динамику выбора видов транспорта, впервые проведен полный анализ и детальное исследование устойчивости по Ляпунову;

- для функционально-динамической двухсекторной модели НТП Кучина Б.Л., Якушевой Е.В. исследовано обобщение на случай инвестиций в НТП каждой из взаимодействующих отраслей; задача исследована на устойчивость первым методом Ляпунова, решена асимптотически с помощью метода погранслойных разложений А.Б. Васильевой и проанализирована по полученным формулам;

- решена задача о взаимовыгодном перевозе грузов несколькими агентами - владельцами или арендаторами подвижного состава, для которой доказано существование безубыточной оптимальной организации перевозок по выбранному маршруту;

- разработаны генетические алгоритмы поиска оптимального маршрута при соблюдении ряда условий, ограничивающих свободное перемещение между пунктами.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Дифференциальное нелинейное уравнение и его общее решение, определяющие параметрический класс квазиоднородных производственных функций с постоянной эластичностью замещения, учитывающих отдачу на масштаб и неравномерность растяжения по факторам.

2. Обобщение и исследование на устойчивость неоклассических односекторных моделей экономической динамики с квазиоднородными функциями полученного класса.

3. Решение задач оптимизации управления, максимизирующего индивидуальное и суммарное потребление при заданном горизонте планирования, для односекторной обобщенной модели с изменяющейся во времени нормой накопления (определение магистрали, оптимального управления, наискорейшего достижения магистрали и наискорейшего времени перехода к точке горизонта планирования).

4. Исследование на устойчивость обобщенной на случай использования квазиоднородных производственных функций двумерной модели Солоу-Мэнкью, учитывающей человеческий фактор (human capital), в представлении двухфакторной производственной функции модели в виде произведения двух однофакторных функций и с различными коэффициентами амортизации.

5. Асимптотический анализ и исследование на устойчивость обобщения на случай учета инвестиций в НТП функционально-динамической модели Кучина Б.Л., Якушевой Е.В. эволюционного типа для двух взаимодействующих отраслей. Построение приближенного решения сингулярно возмущенной системы уравнений модели методом погранслойных разложений А.Б. Васильевой.

6. Исследование на устойчивость двумерного обобщения транспортной модели Денебурга-де Пальма-Кана, описывающей динамику выбора видов транспорта для определенного количества перевозок.

7. Решение задачи о взаимовыгодном перевозе заданного набора грузов несколькими агентами - владельцами или арендаторами подвижного состава.

Доказательство существования безубыточной для агентов оптимальной организации перевозок всех грузов из заданного набора по выбранному маршруту.

8. Генетические алгоритмы решения задач нахождения оптимального с точки зрения минимизации затрат маршрута для нестандартной задачи коммивояжера:

а) с условием о необходимости первоочередного посещения некоторых пунктов из заданного набора;

б) с условием периодического посещения через заданное расстояние определенных пунктов.

Практическая значимость и реализация результатов работы. Результаты работы применимы для моделирования, прогнозирования и управления хозяйственной деятельностью как макроэкономических объектов, так и отдельных предприятий и объединений, в том числе транспортной отрасли. Разработаны алгоритмы и программы, позволяющие оценить текущее состояние основных экономических показателей крупных транспортных компаний, а также определить оптимальные стратегии управления в конкретных задачах организации перевозок.

Результаты диссертационной работы используются в Ростовском филиале ВНИИАС при разработке систем автоматизации управления сортировочными станциями, учебном процессе РГУПС, а также приняты к внедрению на Северо-Кавказской железной дороге - филиале ОАО «РЖД». Акты о внедрении и использовании результатов работы приведены в диссертации.

Достоверность результатов работы подтверждается математической адекватностью моделей, основанной на корректном применении методов и доказательствах необходимых утверждений, результатами вычислительного эксперимента и обработки реальных данных.

Апробация работы. Полученные результаты докладывались и обсуждались на всероссийском семинаре «Экология. Экономика. Информатика» (Дюрсо, 1999; Дюрсо,2000), 23-ей международной школе-семинаре «Системное моделирование социально-экономических процессов»

(Дивноморск, 2000), втором, третьем и четвертом и пятом всероссийских симпозиумах по прикладной и промышленной математике (Самара,2001; Йошкар-Ола, 2002; Сочи, 2003, 2004), X международной конференции «Математика. Экономика. Образование» (Дюрсо, 2002), международном семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002), XXX всероссийской школе-семинаре «Экология. Экономика. Экспертиза. Информатика» (Ростов-на-Дону, 2002), всероссийской конференции «Вклад ученых вузов в научно-технический прогресс на железнодорожном транспорте» (Самара, 2003), VI всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2002), отраслевых и всероссийских научно-теоретических конференциях «Транспорт-2002», «Транспорт-2003», «Транспорт-2005» (Ростов-на-Дону, 2002-2005).

Публикации. Основные результаты опубликованы в 24 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы (124 наименования) и приложений. Объем работы - 203 страницы, основного текста - 188 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении обосновывается актуальность исследований, формулируются цель и задачи работы, показана научная новизна результатов и дается краткое содержание диссертации по разделам.

Первая глава «Проблемы и средства моделирования экономических процессов» содержит постановку задачи и три обзора по проблемам моделирования экономических и технологических процессов. В 1.1 приводится краткий обзор существующих подходов к проблеме математического моделирования экономической динамики. В разделе 1.2 рассматриваются модели экономической динамики, учитывающие НТП. В 1.3 приводятся подходы к моделированию дискретных систем с помощью генетических алгоритмов. В разделе 1.4 обосновываются и формулируются задачи исследования.

Во второй главе «Управление одномерными системами экономической динамики» строится параметрический класс квазиоднородныг: производственных функций, исследуются вопросы устойчивости и оптимального управления для ряда известных моделей экономической динамики и построенного класса производственных функций.

В 2.1 выводится дифференциальное уравнение для квазиоднородных производственных функций (ПФ) с постоянной эластичностью замены факторов:

(1)

где двухфакторная ПФ ¥(К,Ь) представлена в приведенной форме Ьт/(и), К объем основных фондов (капитал), Ь - объем труда, - обобщенная

фондовооруженность, / — вес, характеризующий неравномерность растяжения по факторам, т - отдача на масштаб, а - эластичность замещения.

Строится решение этого уравнения, представляющее параметрический класс таких функций, параметром в которых является эластичность замены:

(2)

где - нормативные значения потока выпуска, трудовых ресурсов и

капитала соответственно; полагается 0<ат<1; р = — -1, <т*0. Исходя из этого

решения, выводятся обобщенно-однородные производственные функции Леонтьева, Кобба-Дугласа и Солоу.

Для полученного класса функций в разделе 2.2 исследуется неоклассическая модель сбалансированного роста и рассматривается известная оптимизационная задача нахождения нормы накопления (отчисления), максимизирующая душевой доход. В 2.3 для этой же параметрической квазиоднородной производственной функции исследуется модель экономической динамики Солоу (вариант модели Рамсея). Основное уравнение

модели для функций вида (2) при условии т=1, приводящем к автономности, имеет вид:

где 5 = $(1)- норма накопления, у = — - безразмерная переменная, Т = г^р

безразмерное время,

2„ К„

удельная нормативная фондоотдача,

ц - коэффициент амортизации основных фондов, Т} = — - постоянный темп

I*

роста трудовых ресурсов.

Для этого уравнения при фиксированном 5 найдено нетривиальное положение равновесия (магистраль):

существующее при условии (^/Я)^ >а. Доказано

Утверждение 2.1. Положение равновесия является асимптотически устойчивым в целом.

В рамках этой модели решена оптимизационная задача максимизации функции индивидуального потребления. Определено оптимальное значение нормы накопления $(1), максимизирующее эту функцию:

При а = 1 следует классический результат для ПФ Кобба-Дугласа: 5» = а. Показано, что в условиях сбалансированного роста, при отдаче на

масштаб имеет место рост индивидуального потребления с постоянным

темпом что улучшает известный результат о неизменности душевого

потребления при т = I = 1.

На полученной магистрали решается задача поиска оптимального управления $(1), максимизирующего суммарное потребление Q для заданного

горизонта планирования Т с условием достижения определенной величины обобщенной фондовооруженности:

б(Г)= ¡c(t)dt, v(T)=vr. о

(3)

Решение задачи предполагает три этапа: оптимизацию на магистрали с целевым функционалом (3), определение наименьшего времени достижения магистрали и наименьшего времени перехода от магистрали (в момент t2 ) к заданной точке Получены следующие результаты:

Оптимальное управление определяется формулой

при котором оптимистический вариант медленного, но экспоненциального роста потребления c(t) наблюдается при —(/ -1)«1.

Оптимальная траектория наискорейшего достижения магистрали стремится при к магистрали при значении Искомое

минимальное время находится из интегральной формулы

dv

\fiyyXv

о

где /(у) - приведенная производственная функция.

Наименьшее время, необходимое для перехода из точки (/з,^,) в заданную точку (Т,ут) определяется при 5 = 1 из выражения

¿V

T~t 2= J

lf(v)-Av

Оптимальная траектория наибыстрейшего выхода на

уровень

с магистрали находится из решения задачи Коши:

dv ~dt

— = /(i/3)—Л,1/3, v3 (i2 ) = I?!. Условие достижимости обобщенной

- /

фондовооруженности

dv

Далее рассматривается приложение исследований к моделированию экономической динамики железнодорожной отрасли. Анализ показателей отрасли за последние 10 лет демонстрирует тенденцию к сокращению численности работающих. В 2.4 приводится аналитическое решение уравнения односекторной модели для квазиоднородной функции Кобба-Дугласа в случае

убывающего фактора труда. В разделе 2.5 строится численное решение с квазиоднородной производственной функцией Солоу, отвечающей данным железнодорожной отрасли. Поскольку временной ряд, характеризующий состояние отрасли, недостаточно велик, оценка параметров производственной функции производится с использованием процедуры бутстрэпа. Значения параметров подбираются методом возможных направлений. В 2.5.1 излагается суть этого метода и доказывается его корректность. В 2.5.2 оцениваются параметры производственной функции, в 2.5.3 приводятся результаты численного расчета по модели. Расчет показал адекватность полученного прогноза.

В третьей главе «Управление в двухсекторных моделях экономики»

исследуется ряд более сложных по размерности моделей двухсекторных экономических структур, с учетом НИ 1. В 3.1 обобщается и исследуется модель Солоу-Мэнкью, ПФ которой включает третий независимый фактор, фактически представляющей собой долю высококвалифицированного труда в его общем объеме. Обобщение касается использования квазиоднородных производственных функций вместо классической функции Кобба-Дугласа, представления ПФ модели в виде произведения двух однофакторных функций, одна из которых описывает эволюцию физического капитала, а вторая — человеческого и снятия ограничений на равенство коэффициентов амортизации факторов. В общем случае модель представима в виде системы уравнений:

в которой к соответствует количеству «физического» капитала на одного работающего, к — «человеческого», у — общий (национальный, отраслевой)

фактора, — коэффициенты амортизации для - темп роста

технологического уровня. Производственная функция модели представляется в факторизованном виде

к = у{к,И)-к

(4)

доход на одного работника,

+ £ +

- темп роста трудового

Модель исследуется на устойчивость положений равновесия для различных сочетаний типов функций в указанном произведении. Если у/ и у2 являются функциями Кобба-Дугласа, то имеет место

Утверяедение 3.1. В системе (4) при y(k,h) = kah^, а>0, ß>Q,a + ß<\

существует единственное положение равновесия в R+, асимптотически устойчивое в целом.

Если ПФ y(k,h) включает функции Солоу, то при условии существования положительного равновесия можно говорить только о его локальной устойчивости, хотя и в достаточно большой области притяжения.

Далее в разделе приводятся примеры численных расчетов для различных характерных значений показателей модели и функций у (к, И).

В 3.2 исследуется функционально-динамическая модель Hill Кучина-Якушевой. Математической формой модели является система нелинейных дифференциальных уравнений эволюционного типа, управление реализуется механизмом обратных связей. Анализируется двухсекторная макроструктура, моделирующая взаимодействие через НИ 1 двух смежных отраслей. В модели учитывается влияние инвестиций в НТП для каждой отрасли (сектора). Основу модели составляет система:

У\ = <*\У\ + П2У1У2 + Г\\У\ Уг = а2У2 + Уг\У\Уг + Г22У2 где у = (У|(^>'2('))е " вектоР выпуска конечного продукта, компоненты которого — выпуски отдельных отраслей, коэффициенты cxs,ysr, s,r = 1,2 выражаются соответствующим образом через производственные функции

секторов - обобщенные технико-

экономические показатели, связанные с относительными темпами роста традиционных показателей НТП (производительностей по фондам:

производительность труда, фондоотдача, энергоемкость и т.д.),

х5 - -мерные векторы входных ресурсов, веса О, =1,

/=1

а ,у (р < а^ <1| j,ass =1 - элементы матрицы взаимовлияния отраслей. При определении коэффициентов а,,у!Г учитывались инвестиции в НТП, определяемые уравнением,

где /5(/) - инвестиции в НТП в году / в л-й отрасли; К^) - объем основных производственных фондов отрасли л в году яД/); £,(/) - динамические параметры. Получены следующие значения коэффициентов модели: _ С,а12^ -С2(1-^2)Р, + С1С2((1-^2>Л-а12п2) С^-ЬнЯ-Ь^-ОпОя) "«12_ ___1~Ь12_

а, =■

Уп

_ С2а21Ъ - +С1С2{{1-Ь11)Т72 -а21?7|)

а2

21

(0 — ^11Х^ — ^12 ) _ а12а2\ ) ' СгСО -¿иХ1 -612)-а12а21)'

где Щ,г]г- параметры, пропорциональные инвестициям в НТП в первой и второй отрасли.

Для системы (5) найдены положения равновесия, из которых одно положительное, и исследована их устойчивость по Ляпунову.

Анализ модели допускает асимптотический подход, если темпы развития взаимодействующих отраслей существенно различны. Пусть, например, у/ является «медленной» переменной, а.у2 — «быстрой». Тогда система уравнений модели принимает вид:

1-6,

11

У\ = а\У\ + Г12У1У2 +ГпУ\ ф2 = а2у2 + Г21У2У1 + Г22У2 , У1(0) = >'10, у2(0) = у°2

где - малый параметр. В этом случае возникает возможность выявления притягивающего множества (аттрактора, магистрали) и состояние системы тогда будет определяться поведением «медленной» переменной.

По своему виду система относится к так называемым тихоновским системам и может быть исследована асимптотическими методами теории сингулярных возмущений. В соответствии с известной теоремой Тихонова, при выполнении ряда условий приближенное решение уравнений (6) может быть получено как решение вырожденной системы при 0, причем для у1($ при любом ?е[0,7], а для у2(1) - вне малой окрестности точки 1=0 (погранслоя). Метод погранслойных разложений Васильевой дает возможность построить асимптотическое приближение для уг и в пограничном слое, с произвольной точностью. С использованием этого метода получено приближенное решение оценка точности которого:

Ы')-(>2(<)+ П0у2{т)]<с2е,

где - положительные константы,

главный член

погранслойного разложения для у, определяемый уравнением: „ / ч Л

в котором

8г -^рг + (1 - ¿2 )"Т2\ •еН0)Г

Л(0) =

"2+Г21

■уМ

■л(0)

Л(0)

82 =У2~ У2 С®) • Затухание при г -» да будет иметь место при Д(о) > 0.

Из условий теоремы Тихонова и требования положительности выпуска следует ограничение являющееся необходимым для аттрактивности

Полученное решение проверено численными расчетами моделей двухотраслевых макроструктур для ситуаций - аналогов биологических взаимодействий: симбиоза взаимной конкуренции

(^12 <0,^2] <0), отношений «хищник-жертва» (у12 -/21<®) с самолимитированием или самостимуляцией по первой отрасли

С этой точки зрения проведен также анализ коэффициентов

исследованной инвестиционной модели Показано, что эта модель наиболее адекватна для

представления взаимоотношений типа «симбиоз», при уп <0, С/>0, С2 >0 (см. рис.1). В остальных случаях взаимодействие, определяемое данной моделью, деструктивно. Приводятся результаты расчетов по построенным асимптотическим формулам.

В 3.3 решается задача выбора оптимального вида транспорта при перевозке грузов. Используется модель Дененбурга-де Пальма-Кана, в которой снимается ряд существенных исходных ограничений. Полученное двумерное обобщение модели исследуется на устойчивость выделенных положений равновесия. Приводятся результаты численных расчетов.

Четвертая глава «Задачи оптимального управления перевозками» содержит решение ряда задач оптимизации управления перевозками. В 4.1 решается задача взаимовыгодного перевоза заданного набора грузов несколькими агентами. Доказывается возможность безубыточной организации перевозки всех грузов из заданного набора по выбранному маршруту. Каждый груз представляется вектором - характеристики груза

(например, вес, удельная стоимость перевозки, расстояние, вид оплаты, время погрузки-выгрузки и т.п.). Предпочтения владельца (арендатора) подвижного состава определяются вектором V — набором «весов» (У|,У2,...,У„) для соответствующих показателей груза. Общая ценность груза с точки зрения владельца подвижного состава вычисляется как скалярное произведение двух векторов (Х,У)=х^ + ... + л:яу„.

Перевозка грузов осуществляется по маршрутам, представляющим собой циклы с разным количеством вершин в графе, получаемом из исходной

У1

0 0 25 0.5 0 75 1 1 25 и 1 75 2 2 25 2.,

Рис 1 Нетривиальное положение равновесия (2) - устойчивый узел, (1) -прямая-аттрактор, модель симбиоза, самолимитирование в каждой отрасли

информации о пунктах развоза грузов. Если арендатору (владельцу) выгоднее обменять груз то выполняется условие

Возникает задача поиска взаимно приемлемых вариантов обмена грузов. Так, двусторонний обмен взаимовыгоден, если одновременно

выполняются условия

Иногда может и

не оказаться попарных обменов, тогда взаимовыгодный перевоз можно организовать с помощью более длинного цикла, например, построив ориентированный граф «обменов», в котором являются вершинами, а между проводится стрелка при

выполнении указанного условия. Простым (т.е. без самопересечений) циклам соответствуют взаимовыгодные циклические обмены. Возникает вопрос: позволяет ли процесс изменения оценок организовать для заданных длинный циклический обмен, охватывающий все

Доказано

Утверждение 4.1. Для любого набора грузов {л""] при подходящем выборе оценок возникает циклический обмен, охватывающий все

В разделе 4.2 рассматриваются задачи нахождения оптимального пути с учетом различных практических ограничений, не вписывающихся в рамки классической задачи коммивояжера. Эти задачи решаются с помощью генетических алгоритмов. В 4.2.1 приводится общая постановка задачи. В 4.2.2 задается генетический алгоритм решения известной задачи коммивояжера, служащий основой последующих решений; доказывается корректность применяемого оператора кроссинговера. В 4.2.3 решается задача поиска минимального по затратам маршрута, в котором в первую очередь должны быть посещены пункты (города) из заданного набора. Данная проблема возникает, в частности, в системах управления на сортировочных станциях при выборе пути маневрового локомотива. Задача решается с помощью двухточечного кроссинговера, перемешивающего отдельно первоочередные и оставшиеся города. В 4.2.4 определяется наименьший по протяженности маршрут, в котором подвижной состав

(электропоезд) обязан периодически становиться на техобслуживание или плановый ремонт в одном из заданных пунктов. Для решения задачи использовалась модификация целевой функции — длины (стоимости) маршрута. Стоимость регулируется с помощью системы штрафов, добавляемых к вычисляемой длине маршрута. Величина штрафа пропорциональна отклонению от «идеального» по отношению к расположению пунктов техобслуживания (ремонта) варианта. Рисунки 2 и 3 демонстрируют разницу между идеальным и одним из возможных маршрутов. На схеме Ъ - период (путь без техобслуживания или ремонта), заштрихованный квадрат обозначает «ремонтный» пункт, символ обычный пункт (город).

Рис 2. «Идеальный» маршрут. Штраф равен нулю.

Рис. 3. Отклонение от идеального маршрута: 2Z+d|+d2 .

В заключении приведены основные результаты работы:

1. Проведено обобщение и математическое исследование ряда известных моделей экономической динамики на случай квазиоднородных производственных функций с постоянной эластичностью замещения. В рамках этой задачи выведено дифференциальное уравнение, определяющее класс таких функций.

2. Для обобщенной односекторной модели экономической динамики решена задача определения оптимального управления для заданного периода.

3. Проведено обобщение и исследование на устойчивость двухсекторных моделей, учитывающих влияние технологического прогресса в доле высококвалифицированного труда (модель Солоу-Мэнкью) и инвестиций в НТП (модель Кучина-Якушевой). Выполнен асимптотический анализ инвестиционной модели двухотраслевого взаимодействия, построено приближенное решение уравнений модели.

4. Проведено обобщение и исследование устойчивости по Ляпунову транспортной модели Дененбурга-де Пальма-Кана, описывающей динамику выбора видов транспорта.

5. Решена задача о взаимовыгодном перевозе грузов несколькими агентами; доказано существование безубыточной оптимальной организации перевозок по выбранному маршруту.

6. Разработаны генетические алгоритмы поиска оптимального маршрута подвижного состава при соблюдении ряда условий, ограничивающих свободное перемещение между пунктами.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕДИССЕРТАЦИИ

1. Гуда А.Н., Ильичева В.В. К задаче оптимального управления подвижным составом железных дорог // Обозрение прикладной и промышленной математики. -М.: ТВП. - 2001. -Т.8. -Вып. 2. - С. 581-582.

2. Гуда А.Н., Ильичева В.В. К задаче оптимизации использования подвижного состава частными перевозчиками // Труды научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава «Транспорт-2002». - Ростов н/Д: РГУПС, 2002. - С.37-38.

3. Гуда А.Н., Ильичева В.В. Определение параметров производственных функций на основе использования бутстрэп-метода //Тр. научно-практ. конф. «Актуальные проблемы развития транспорта Черноморского побережья России». - Туапсе: РГУПС, 2004. - С.37-38.

4. Гуда А.Н., Ильичева В.В. Расчет параметров производственных функций в условиях малого количества наблюдений // Труды Всерос. науч.-практ. конф. «Транспорт 2005». - Ростов н/Д: РГУПС, 2005. - С.90.

5. Задорожный А.И., Ильичева В.В. Анализ односекторной экономической модели с квазиоднородной ПФ Солоу // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М: ТВП. - 2002. - Т.9. - Вып. 2. - С.376-377.

6. Задорожный А.И., Ильичева В.В. Аналитическое и численное исследование двумерной модели экономической динамики Солоу-Мэнкью // Вклад ученых вузов в научно-технический прогресс на железнодорожном транспорте. - Самара, 2003. - С. 172-173.

7. Задорожный А.И., Ильичева В.В. Динамическая модель Солоу-Мэнкью развития экономических систем с учетом фактора человеческого капитала // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ТВП. - 2003. - Т.10. -Вып.2. - С. 472-473.

8. Задорожный А.И., Ильичева В.В. Дифференциальное уравнение квазиоднородных производственных функций постоянной эластичности замещения // Экология. Экономика. Экспертиза. Информатика: Труды XXX школы-семинара «Математическое моделирование в проблемах рационального природопользования». -Ростов н/Д: СКНЦ ВШ, 2002. - С. 173-175.

9. Задорожный А.И., Ильичева В.В. Дифференциальное уравнение односекторной модели сбалансированного роста с производственной функцией Солоу // Труды Междунар. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. 5-11 сент. 2002. Абрау-Дюрсо - Ростов н/Д, 2002.-С. 188-190.

10. Задорожный А.И., Ильичева В.В. Принцип предпочтительности выбора вида транспорта на основе системы дифференциальных уравнений // Труды научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава «Транспорт-2003». - Ростов н/Д: РГУПС, 2003. - С.36-37.

11. Задорожный А.И., Ильичева В.В. Оптимизация в обобщенной односекторной модели экономической динамики Солоу //Вестник РГУПС- 2002. -№3. -С. 121-126.

12. Задорожный А.И., Ильичева В.В., Задорожная Н.С. Асимптотический анализ двухсекторной макроэкономической структуры методом теории погранслойных функций //Труды XXXII Уральского семинара «Механика и процессы управления». -Екатеринбург, 2002. - С. 485-492.

13. Задорожный А.И., Ильичева В.В. Квазиоднородные производственные функции в моделях экономической динамики // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М.: ТВП. - 2004. -Т.Н. - Вып. 4. - С. 806-807.

14. Ильичева В.В., Задорожный А.И. Оптимизационная задача в односекторной модели Солоу с обобщенно однородной ПФ ПЭЗ // Обозрение прикладной и промышленной математики. - М: ТВП. - 2003. - Т. 10. - Вып. 2. - С. 350.

15. Ильичев В.Г., Зеленин А.А., Ильичева В.В. Циклические обмены квартир. Математические аспекты // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2000. - №2. - С.5-7.

16. Ильичев В.Г., Ильичева В.В. Внутренние цены и эксплуатация экологических систем. Эволюционно-устойчивое развитие // Доклады Всерос. семинара «Экология. Экономика. Информатика»,. - Дюрсо, 2000. - С. 89-91.

17. Ильичев В.Г., Ильичева В.В. К вопросу о моделировании обмена квартир // Экономика и математические методы. - 2001. - Т.37. - №1. - С.112-117.

18. Ильичев В.Г., Ильичева В.В. Экономическая трактовка задач оптимального вылова рыбных популяций //Доклады Всерос. семинара «Экология. Экономика. Информатика». - Дюрсо, 1999. - С.78-80.

19. Ильичева В.В. Генетические алгоритмы оптимального управления перевозками в неклассической задаче коммивояжера // X Международная конференция «Математика. Экономика. Образование». - Дюрсо: СКНЦВШ, 2002. - С. 180-181.

20. Ильичева В.В. К задаче определения внутренних цен при эксплуатации подвижного состава // VI Всерос. научная конференция студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». - Таганрог, 2002. - С. 284-285.

21. Ильичева В.В. Неоклассическая модель экономической динамики с учетом эффекта отдачи на масштаб // Труды участников Междунар. школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. 5-11 сент. 2002. Абрау-Дюрсо — Ростов н/Д, 2002.-С. 191-193.

22. Ильичева В.В. Об экономических аспектах демонополизации железной дороги // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП. - 2001. - Т.8. -Вып. 1.-С. 195.

23. Ильичева В.В. Финансы и эксплуатация природных ресурсов // Доклады 23 Международной школы-семинара «Системное моделирование социально-экономических процессов». - Дивноморск, 2000. - С. 189.

24. Ильичева В.В. Об идентификации параметров моделей // Труды Всерос. науч.-практ. конф. «Транспорт 2005». - Ростов н/Д: РГУПС, 2005. - С.313-315.

В совместных работах авторский вклад Ильичевой В.В. составляет примерно 70 процентов.

Ильичева Вера Витальевна

МОДЕЛИ И АЛГОРИТМЫ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ ПРОЦЕССАМИ В ТРАНСПОРТНЫХ СИСТЕМАХ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100. Заказ № 'ШЗ.

Ростовский государственный университет путей сообщения. Ризография РГУПС._

Адрес университета: 344038, г. Ростов н/Д, пл. им. Народного ополчения, 2.

»¿»««Ulkt О I

15 ИЮЛ 2005 *•«"«««« )

1626

Введение.

Глава 1. Проблемы и средства моделирования экономических процессов.

1.1. Математическое моделирование экономической динамики.

1.2. Модели экономической динамики, учитывающие технологический прогресс

1.3. Средства математического и эволюционного моделирования в прикладных задачах управления.

1.4. Постановка задач исследования.

Выводы.

Глава 2. Управление одномерными системами экономической динамики.

2.1. Обобщенно-однородные производственные функции постоянной эластичности замещения.

2.1.1. Двухфакторная модель с обобщенно-однородными производственными функциями.

2.1.2. Обобщенная производственная функция Леонтьева.

2.1.3. Обобщенная производственная функция Кобба-Дугласа.

2.1.4. Обобщенная производственная функция Солоу.

2.2. Модель сбалансированного роста.

2.3. Оптимизация в обобщенной односекторной модели экономической динамики Солоу.

2.4. Решение уравнения модели с учетом убывающего фактора труда.

2.5. Расчет односекторной модели экономической динамики с применением квазиоднородных функций для железнодорожной отрасли.

2.5.1. Метод идентификации параметров производственной функции.

2.5.2. Расчет параметров производственной функции.

2.5.3. Расчет односекторной модели экономической динамики.

Выводы.

Глава 3. Управление в двухсекторных моделях экономики.

3.1. Обобщенная модель Солоу-Мэнкью.

3.2. Асимптотический анализ модели двухсекторной макроэкономической структуры методом теории погранслойных функций.

3.3. Принцип предпочтительности выбора вида транспорта на основе системы дифференциальных уравнений.

Выводы.

Глава 4. Задачи оптимального управления перевозками.

4.1. Оптимизация использования подвижного состава частными перевозчиками.

4.2. Генетические алгоритмы в задачах оптимизации управления на железнодорожном транспорте.

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Базовый алгоритм задачи нахождения оптимального маршрута.

4.2.3. Алгоритм решения задачи «Обязательное посещение».

4.2.4. Алгоритм решения задачи «Обязательный ремонт».

Выводы.

В современной экономической науке и практике математические модели стали необходимым инструментом исследования производственных процессов, позволяющим глубже понять их экономическую динамику и обосновать принимаемые решения при планировании, прогнозировании и управлении хозяйственной деятельностью. Особую актуальность математическая поддержка стратегий управления приобретает в переходные моменты развития, при смене форм собственности, когда возможные ошибки могут в буквальном смысле слишком дорого обойтись.

Традиционно сферу экономико-математического моделирования разделяют на макро- и микромоделирование. Модели макроуровня описывают экономическую деятельность на уровне государства, отрасли, крупных фирм, производственных объединений. Микроуровень охватывает отдельные задачи текущей хозяйственной деятельности предприятий, компаний, не касающиеся глобального распределения ресурсов. Для таких мощных и динамично развивающихся систем, как транспорт, играющих первостепенную роль в национальном хозяйстве, в равной степени актуальны оба из этих направлений моделирования.

Несмотря на то, что жизнедеятельность реальной экономики не охватывается в достаточно полной мере рамками неоклассических моделей экономического роста, они являются одними из наиболее активно исследуемых в настоящее время. Это объясняется не только обращением к рыночным механизмам российской экономики, но в большей степени тем, что «неоклассическая теория, оперирующая объемами ресурсов и продукции, легче поддается математизации с помощью классического математического аппарата» [58]. Для принятия решений необходимо целостное представление о процессе, знание тенденций и траекторий развития. В пределах применимости модели можно определить наиболее выгодные пропорции между фондами, быстро оценить результаты инвестиций.

Большинство исследований этого направления оперирует с линейно-однородными производственными функциями как с качественной основой моделей. Для них определены устойчивые состояния равновесия, решен ряд оптимизационных задач, доказаны теоремы магистрального типа. Однако эти модели обладают известными недостатками, приводящими порой к результатам, не имеющим реальной практической интерпретации. Поэтому большой интерес представляет исследование моделей, использующих более широкий класс производственных функций, например, квазиоднородных функций. При этом для изучения свойств объектов, представленных такими моделями, часто более важно исследование не собственно параметров производственных функций, а систем соотношений, например, дифференциальных уравнений, однозначно определяющих класс таких функций.

Известно, что устойчивое экономическое развитие невозможно без введения более совершенных технологий. Модели, не учитывающие научно-технический прогресс (НТП), показывают предельные значения объема фондов, которые не могут быть превзойдены экономическим организмом, дальнейшее их повышение приведет только к падению уровня жизни [76]. Учет технологического прогресса позволяет строить более адекватные, реалистичные модели. В современном индустриальном мире вклад НТП в экономический рост составляет, по разным оценкам, 70-90%, поэтому макромоделирование последних десятилетий все большее внимание уделяет показателям технического прогресса.

Существуют различные подходы учета технологий в моделях, начиная от включения динамических коэффициентов для основных факторов производственных функций, без объяснения их структуры и способов формирования, до построения сложных нелинейных систем, например, эволюционного типа, учитывающих различные аспекты инновационной деятельности, объемы знаний, выраженные множеством патентов, и даже экономическую политику государства. Развитие, обусловленное НТП, демонстрирует нелинейные зависимости, опосредованные большим количеством обратных связей, границы которых зачастую не определены. Поэтому эволюционный подход в моделях экономической динамики, опирающийся на опыт моделирования сложных систем в технических и биологических науках, часто дает гораздо более реальные прогнозы [24].

Чем выше значимость процессов, описываемых моделью, тем актуальнее вопросы, касающиеся устойчивости получаемых решений. Цель исследования вопросов устойчивости сложной динамической системы -анализ ее поведения под действием незапланированных изменений во внешней среде или режиме управления. Речь идет как об изучении возмущений, возникающих в начальном состоянии или внешнем входе системы, так и возмущений в структуре самой системы. Практическая ценность этих исследований состоит в возможности прогнозировать критические состояния системы, моменты ее перехода на новый технологический уровень. Это позволяет, в свою очередь, не только предотвращать негативные последствия, такие как, например, падение темпов роста эффективности, но и направленно влиять на ход научно-технического прогресса.

Помимо макроэкономических проблем оптимального планирования, обеспечение надежной и безубыточной работы транспортной отрасли требует решения ряда прикладных оптимизационных задач, относящихся к проблеме оптимального управления перевозками. Проблема оптимизация перевозок включает как новые задачи, связанные с реформированием железнодорожного транспорта и сменой форм собственности, так и задачи традиционного направления, касающиеся составления оптимального расписания передвижения составов. Новые технологии, внедряемые на транспорте, дают возможность применять при управлении вагонным парком математические методы, рассчитывающие пути максимизации прибыли. Такие насущные транспортные проблемы, как оптимизация графика оборота составов и выбора минимального по затратам пути, имеют, как известно, большую, не совместимую с масштабом проблемы, вычислительную сложность, поэтому для их решения требуются новые подходы, например, средства эволюционного моделирования.

Цель данной работы - построение и исследование математических моделей макро- и микроуровня, способствующих процессу принятия решений в экономике, в том числе и в управлении хозяйственной деятельностью транспортной отрасли. Реализация этой цели подразумевает решение следующих задач: определение класса квазиоднородных производственных функций; обобщение и последующее исследование односекторных неоклассических моделей экономической динамики для класса квазиоднородных производственных функций; решение для полученных моделей задач определения оптимального управления, максимизирующего удельное потребление при заданном горизонте планирования;

- обобщение и исследование двухсекторных моделей экономической динамики, учитывающих технологический прогресс и инвестиции в НТП;

- исследование двумерной транспортной модели, представляющей динамику выбора видов транспорта для определенного количества перевозок;

- решение задачи об оптимальной взаимовыгодной коммерческой перевозке грузов разными грузоперевозчиками;

- решение задачи об оптимальном с точки зрения минимизации затрат циклическом маршруте локомотива при условии, что каждый пункт маршрута должен быть посещен один раз и некоторое подмножество пунктов должно быть посещено в первую очередь;

- решение задачи об оптимальном с точки зрения минимизации расстояния (времени) циклическом маршруте подвижного состава при условии, что каждый пункт маршрута должен быть посещен один раз и через каждое фиксированное расстояние (время) состав должен посетить один из определенных пунктов для проведения техобслуживания или ремонта.

Объект исследования - процессы и модели экономической и производственной деятельности в транспортной отрасли.

Предмет исследования - континуальные и дискретные математические модели макро- и микроуровня, эволюционные модели.

Методы исследования: общие принципы математического моделирования, математический анализ и методы оптимизации, теория обыкновенных дифференциальных уравнений, теория устойчивости по Ляпунову, численные методы и генетические алгоритмы.

Научная новизна полученных результатов состоит в следующем:

- построено дифференциальное уравнение, определяющее параметрический класс квазиоднородных производственных функций с постоянной эластичностью замещения, частными случаями которых являются обобщенно-однородные функции Солоу, Кобба-Дугласа, Леонтьева;

- для полученного класса функций обобщены и исследованы неоклассические модели экономического роста, для которых решены задачи оптимального управления, максимизирующего потребление, доказаны соответствующие теоремы о магистрали; для обобщенных моделей получены новые оптимальные значения, из которых известные результаты для линейно-однородных производственных функций могут быть выведены как частные случаи.

- обобщена на случай факторизованных обобщенно-однородных функций двумерная модель Солоу-Мэнкью, учитывающая «человеческий капитал»; для этой модели и транспортной модели Дененбурга-де Пальма

Кана, описывающей динамику выбора видов транспорта, впервые проведен полный анализ и детальное исследование устойчивости по Ляпунову;

- для функционально-динамической двухсекторной модели НТП Кучина Б.Л., Якушевой Е.В. исследовано обобщение на случай инвестиций в НТП каждой из взаимодействующих отраслей; задача исследована на устойчивость первым методом Ляпунова, решена асимптотически с помощью метода погранслойных разложений А.Б. Васильевой и проанализирована по полученным формулам;

- решена задача о взаимовыгодном перевозе грузов несколькими агентами - владельцами или арендаторами подвижного состава, для которой доказано существование безубыточной оптимальной организации перевозок по выбранному маршруту;

- разработаны генетические алгоритмы поиска оптимального маршрута при соблюдении ряда условий, ограничивающих свободное перемещение между пунктами.

Содержание работы составляют введение, четыре главы, заключение и приложение.

В первой главе дается обзор некоторых средств и проблем моделирования экономических процессов и обосновывается постановка задачи. В 1.1 приводится краткий обзор существующих подходов к проблеме математического моделирования экономической динамики. В разделе 1.2 рассматриваются модели экономической динамики, учитывающие технологический прогресс. В 1.3 приводятся подходы к моделированию дискретных систем с помощью генетических алгоритмов. В разделе 1.4 обосновываются и формулируются задачи исследования.

Во второй главе строится параметрический класс квазиоднородных производственных функций, исследуются вопросы устойчивости и оптимального управления для ряда известных моделей экономической динамики и построенного класса производственных функций, приводится расчет односекторной модели для железнодорожной отрасли. В 2.1 выводится дифференциальное уравнение для квазиоднородных производственных функций с постоянной эластичностью замены факторов, с учетом отдачи на масштаб и неравномерного растяжения по факторам. Строится решение этого уравнения, представляющее параметрический класс таких функций, параметром в которых является эластичность замены (2.1.1). Исходя из этого решения, выводятся обобщенно-однородные производственные функции Леонтьева (2.1.2), Кобба-Дугласа (2.1.3), и Солоу (2.1.4). Для полученного класса функций исследуется неоклассическая модель сбалансированного роста и рассматривается известная оптимизационная задача нахождения нормы накопления (отчисления), максимизирующая душевой доход (2.2). В 2.3 для этой же параметрической квазиоднородной производственной функции исследуется модель экономической динамики Солоу (вариант модели Рамсея). Доказывается асимптотическая устойчивость в целом положения равновесия уравнения модели. На полученной магистрали решается задача поиска оптимального управления, максимизирующего суммарное потребление для заданного горизонта планирования с условием достижения определенной величины обобщенной фондовооруженности. В 2.4 выводится аналитическое решение уравнения этой модели для квазиоднородной функции Кобба-Дугласа в случае убывающего фактора труда. В разделе 2.5 строится модель с квазиоднородной производственной функцией Солоу для железнодорожной отрасли. В 2.5.1 приводится метод идентификации параметров моделей, доказывается корректность этого метода. В 2.5.2 оцениваются параметры обобщенно-однородной производственной функции Солоу с использованием этого метода и процедуры бутстрэпа. В 2.5.3 приводятся результаты численного расчета модели.

В третьей главе исследуется ряд более сложных по размерности моделей двухсекторных экономических структур, с учетом НТП. В 3.1 обобщается и исследуется модель Солоу-Мэнкью, в которой в качестве третьей независимой переменной производственной функции вводится «человеческий фактор», фактически представляющий собой долю высококвалифицированного труда в его общем объеме. Обобщение касается использования квазиоднородных производственных функций вместо классической функции Кобба-Дугласа, представления модели в виде произведения двух однофакторных функций, одна из которых описывает эволюцию физического капитала, а вторая - человеческого и снятия ограничений на равенство коэффициентов амортизации факторов. Модель исследуется на устойчивость найденных положений равновесия для различных сочетаний типов функций в произведении. Здесь же приводятся примеры численных расчетов для различных значений показателей. В 3.2 исследуется функционально-динамическая модель НТП [68], математической формой которой является система нелинейных дифференциальных уравнений эволюционного типа, управление в которой реализуется механизмом обратных связей. Анализируется двухсекторная макроструктура, моделирующая взаимодействие через НТП двух смежных отраслей. В модели учитывается влияние инвестиций в НТП для каждой отрасли. Дается исследование устойчивости системы по Ляпунову и рассматривается процесс самоорганизации в этой двумерной структуре. Для этого проводится асимптотический анализ системы уравнений и определяется приближенное решение методом погранслойных разложений Васильевой [22, 87]. Приводятся результаты расчетов по построенным асимптотическим формулам. В 3.3 решается задача выбора оптимального вида транспорта при перевозке грузов. Используется транспортная модель [99], в которой снимается ряд существенных исходных ограничений. Полученное обобщение модели исследуется на устойчивость выделенных положений равновесия.

Четвертая глава содержит решение ряда задач оптимизации управления перевозками. В 4.1 решается задача взаимовыгодного перевоза заданного набора грузов несколькими агентами. Доказывается возможность безубыточной организации перевозки всех грузов из заданного набора по выбранному маршруту. В 4.2 рассматриваются задачи нахождения оптимального пути с учетом различных практических ограничений, не вписывающихся в рамки классических постановок. Эти задачи решаются с помощью генетических алгоритмов. В 4.2.1 приводится общая постановка задачи. В 4.2.2 задается новый генетический алгоритм решения известной задачи коммивояжера, служащий основой последующих решений; доказывается корректность применяемого оператора кроссинговера. В 4.2.3 решается задача поиска минимального по затратам маршрута, в котором в первую очередь должны быть посещены пункты (города) из заданного набора. Данная проблема возникает, в частности, в системах управления на сортировочных станциях при выборе пути маневрового локомотива. Задача решается с помощью двухточечного кроссинговера, перемешивающего отдельно первоочередные и оставшиеся города. В 4.2.4 определяется наименьший по протяженности маршрут, в котором состав обязан периодически становиться на техобслуживание или плановый ремонт в одном из заданных пунктов. Для решения задачи использовалась модификация целевой функции - длины (стоимости) маршрута. Стоимость регулируется с помощью системы штрафов, добавляемых к вычисляемой длине маршрута. Величина штрафа пропорциональна отклонению от «идеального» по отношению к расположению ремонтных городов варианта.

В заключении приведены основные результаты работы.

Приложение содержит основные коды программ, реализующих предложенные алгоритмы.

Полученные результаты апробированы в докладах всероссийского семинара «Экология. Экономика. Информатика» (Дюрсо, 1999; Дюрсо,2000), 23-ей международной школы-семинара «Системное моделирование социально-экономических процессов» (Дивноморск, 2000), второго, третьего четвертого и пятого всероссийских симпозиумов по прикладной и промышленной математике (Самара,2001; Йошкар-Ола, 2002; Сочи, 2003, 2004), X международной конференции «Математика. Экономика.

Образование» (Дюрсо, 2002), международного семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, 2002), XXX всероссийской школы-семинара «Экология. Экономика. Экспертиза. Информатика» (Ростов-на-Дону, 2002), всероссийской конференции «Вклад ученых вузов в научно-технический прогресс на железнодорожном транспорте» (Самара, 2003), VI всероссийской научной конференции студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления» (Таганрог, 2002), отраслевых и всероссийских научно-теоретических конференций «Транспорт-2002», «Транспорт-2003», «Транспорт-2005» (Ростов-на-Дону, 2002-2005).

Все основные результаты опубликованы в работах [28-31, 35-44, 4655].

Результаты работы применимы для моделирования, прогнозирования и управления хозяйственной деятельностью как макроэкономических объектов, так и отдельных предприятий и объединений, в том числе транспортной отрасли. Разработанные алгоритмы и программы позволяют оценить текущее состояние основных экономических показателей крупных транспортных компаний, а также определить оптимальные стратегии управления в конкретных задачах организации перевозок.

Результаты диссертационной работы используются в Ростовском филиале ВНИИАС при разработке систем автоматизации управления сортировочными станциями, учебном процессе РГУПС, а также приняты к внедрению на Северо-Кавказской железной дороге - филиале ОАО «РЖД». Акты о внедрении и использовании результатов работы приведены в диссертации.

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Проведено обобщение и математическое исследование ряда известных моделей экономической динамики на случай квазиоднородных производственных функций с постоянной эластичностью замещения. В рамках этой задачи выведено дифференциальное уравнение, определяющее класс таких функций.

2. Для обобщенной односекторной модели экономической динамики решена задача определения оптимального управления для заданного периода.

3. Проведено обобщение и исследование на устойчивость двухсекторных моделей, учитывающих влияние технологического прогресса в доле высококвалифицированного труда (модель Солоу-Мэнкью) и инвестиций в НТП (модель Кучина-Якушевой). Выполнен асимптотический анализ инвестиционной модели двухотраслевого взаимодействия, построено и исследовано приближенное решение уравнений модели.

4. Проведено обобщение и исследование устойчивости по Ляпунову транспортной модели Дененбурга-де Пальма-Кана, описывающей динамику выбора видов транспорта.

5. Решена задача о взаимовыгодном перевозе грузов несколькими агентами; доказано существование безубыточной оптимальной организации перевозок по выбранному маршруту.

6. Разработаны генетические алгоритмы поиска оптимального маршрута при соблюдении ряда условий, ограничивающих свободное перемещение между пунктами.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Аганбегяи А.Г., Багрииовский К.А., Граиберг А.Г. Система моделей народнохозяйственного планирования. М.: Мысль. - 1972.

2. Акоф Р., Сасиени М. Основы исследования операций. -М.: Мир. 1971.- 534 с.

3. Аллен Р. Математическая экономика М.: Иностранная литература.- 1963.

4. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука. - 1978. - 304 с.

5. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. М.: МЦНМО. - 2000. - 32 с.

6. Амелькин В.В. Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука. - 1987. -160 с.

7. Ахтямов A.M. Математический анализ для социально-экономических специальностей: учебное пособие. 4.2. Уфа: Изд-во Башкир, гос. ун-та. -2001.- 199 с.

8. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука.- 1984.-257 с.

9. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука. - 1967.- 224 с.

10. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука. - 1970. - 240 с.

11. Бархатный В.Д., Ковалев В.Н., Сальченко В.Л. Автоматизированное составление графиков оборота составов и именных графиков работы локомотивных бригад в пригородном движении //Вестник ВНИИЖТ. 1990.- №6. С. 5-9.

12. Баутин Н.Н. О периодических решениях одной системы дифференциальных уравнений // Прикладная математика и механика 1954.- T.XVIII. — Вып. 1 С. 19.

13. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, ГРФМЛ.- 1976.-496 с.

14. Беленький В.З., Сластников А.Д. Модель оптимального ивестирования проекта новой технологии // Экономика и математические методы. 1997.- Т.ЗЗ. Вып. 3. - С. 125-140.

15. Бромберг Г.Л., Бузова Н.И., Клейнер Г.Б. О модели экономической деятельности хозрасчетного промышленного объединения // Экономика и математические методы. 1974. - 10. - №2. - С. 303-314.

16. Бугаян И.Р. Макроэкономика. -Ростов-на-Дону: Феникс. 2000. - 352 с.

17. Бугаян И.Р., Сумбатян М.А. Модель влияния научно-технического прогресса на темпы накопления и экономического роста // Экономика и математические методы. 2002. - Т.38. - №4. - С. 104-109.

18. Булышева Т.С., Милорадов К.А., Халиков М.А. Динамические модели производственных инвестиций: Учеб. пособие. М.: Изд-во Российской экономической академии. - 2002. - 117 с.

19. Бутенин Н.В. Механические автоколебания системы с гироскопическими силами // Прикладная математика и механика. 1942. -Т.VI.-Вып.5. -С. 327-346.

20. Бутузов В.Ф. Сингулярные возмущения //Новое в жизни, науке, технике. Сер. «Математика, кибернетика». М.: Знание. - 1988. - № 1. - 48 с.

21. Вагнер Г. Основы исследования операций. М.: Мир. - 1973. - Том 2.- 488с.

22. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, ГРФМЛ. - 1973. - 272 с.

23. Воронкова О.В., Иванилов Ю.П., Колдаева Н.Т. Некоторые вопросы теории и использования производственных функций. М.: ВЦ АН СССР. -1988.-67 с.

24. Глазьев С.Ю. Проблемы прогнозирования макроэкономической динамики //Экономика и математические методы. 1999. - Т.35. - №3. - С. 122-136.

25. Голиченко О.Г. Проблема регулирования экономического роста в макроэкономических моделях // Экономика и математические методы.- 2001. Т.37. - №4. - С. 33-43.

26. Горстко А.Б., Угольницкий Г.А. Введение в моделирование эколого-экономических систем. Ростов-на-Дону: РГУ. - 1990. - 112 с.

27. Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства. М.: Экономика. -1985. -355 с.

28. Гуда А.Н., Ильичева В.В. К задаче оптимального управления подвижным составом железных дорог // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП. - 2001. - Т.8. - Вып. 2. - С.581-582.

29. Гуда А.Н., Ильичева В.В. К задаче оптимизации использования подвижного состава частными перевозчиками // Труды научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава «Транспорт-2002». — Ростов н/Д: РГУПС. 2002. - С.37-38.

30. Гуда А.Н., Ильичева В.В. Расчет параметров производственных функций в условиях малого количества наблюдений // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Транспорт-2005». Ростов н/Д: РГУПС.- 2005. С. 90.

31. Жак С.В. Задачи оптимального управления. Ростов-на-Дону: РГУ.- 1983.-36 с.

32. Жак С.В. Экономика для инженеров: учебное пособие. М.: Вузовская книга. - 2004. - 232 с.

33. Жуликов С.Е. Математические методы в экономической теории // Докл. 7 науч. конференции преподавателей и аспирантов «Державинские чтения» . Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки - 2002. - 7. - №1. - С. 80-81.

34. Задорожный А.И., Ильичева В.В. Анализ односекторной экономической модели с квазиоднородной ПФ Солоу // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП. - 2002. - Т.9. - Вып. 2. -С. 376-377.

35. Задорожный А.И., Ильичева В.В. Аналитическое и численное исследование двумерной модели экономической динамики Солоу-Мэнкью // Вклад ученых вузов в научно-технический прогресс на железнодорожном транспорте. Самара: СГАПС. - 2003. - С. 172-173.

36. Задорожный А.И., Ильичева В.В. Динамическая модель Солоу-Мэнкью развития экономических систем с учетом фактора человеческого капитала // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП. - 2003.- Т.10. Вып.2. - С.472-473.

37. Задорожный А.И., Ильичева В.В. Оптимизация в обобщенной односекторной модели экономической динамики Солоу // Вестник РГУПС.- 2002. №3. - С. 121-126.

38. Задорожный А.И., Ильичева В.В. Квазиоднородные производственные функции в моделях экономической динамики // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП. - 2004. - Т.П. - Вып. 4. - С. 806-807.

39. Ильичева В.В., Задорожный А.И. Оптимизационная задача в односекторной модели Солоу с обобщенно однородной ПФ ПЭЗ // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП. - 2003. - Т.10. - Вып. 2. - С. 350.

40. Иванилов Ю.П., Лотов А.В. Математические модели в экономике. М.: Наука. - 1979.-304 с.

41. Ильичев В.Г., Зеленин А.А., Ильичева В.В. Циклические обмены квартир. Математические аспекты // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2000. - №2. - С.5-7.

42. Ильичев В.Г., Ильичева В.В. Внутренние цены и эксплуатация экологических систем. Эволюционно-устойчивое развитие // Докл. Всерос. семинара «Экология. Экономика. Информатика». — Дюрсо: СКНЦ ВШ. -2000.-С. 89-91.

43. Ильичев В.Г., Ильичева В.В. К вопросу о моделировании обмена квартир // Экономика и математические методы. 2001. - Т.37. - №1. - С. 112117.

44. Ильичева В.В. Генетические алгоритмы оптимального управления перевозками в неклассической задаче коммивояжера // X Международная конференция «Математика. Экономика. Образование», Дюрсо, 2002. Ростов н/Д: СКНЦ ВШ. - 2002. - С.180-181.

45. Ильичева В.В. К задаче определения внутренних цен при эксплуатации подвижного состава // VI Всерос. научная конференция студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». Таганрог. - 2002. - С.284-285.

46. Ильичева В.В. Об идентификации параметров моделей // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Транспорт-2005».- Ростов н/Д: РГУПС. 2005. - С. 313-315.

47. Ильичева В.В. Об экономических аспектах демонополизации железной дороги // Обозрение прикладной и промышленной математики. М.: ТВП.- 2001. Т.8. - Вып.1. - С. 195.

48. Ильичева В.В. Финансы и эксплуатация природных ресурсов // Тезисы докл. 23 Международной школы-семинара им. С.С. Шаталина «Системное моделирование социально-экономических процессов», Дивноморск, 13-17 июня 2000. Воронеж.: ВГУ. - 2000. - С. 189.

49. Ицкович И.А. Анализ линейных экономико-математических моделей. М.: Наука. -Новосибирск. -1976. 102 С.

50. Клейнер Г.Б. Методы анализа производственных функций. М.: Информэлектро. - 1980.

51. Клейнер Г.Б. Экономико-математическое моделирование и экономическая теория // Экономика и математические методы. 2001. -Т.37. -№3.-С. 111-126.

52. Клейнер Г.Б., Пионтковский Д.И. Многофакторные производственные функции с постоянными эластичностями предельной замены факторов // Экономика и математические методы. -2000. -Т.36. №1. - С. 90-114.

53. Клейнер Г.Б., Пионтковский Д.И. О характеризации производственных функций Солоу // Экономика и математические методы. 1999. - Т.35. - №2. -С. 124-137.

54. Клепфиш Б.Р. Оптимальное планирование работ в одностадийной системе. Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. -1998.-№4.- С. 18-21.

55. Коркина Е.И., Хованский А.Г. «Золотое правило» для модели двухсектороной экономики. В кн.: Методы исследования сложных систем.- М.: ВНИИСИ. 1981. - С.11-18.

56. Косачев Ю.В. Эффективность корпоративной структуры, реализующей инновации // Экономика и математические методы. 2001. - Т.37. - №3. - С. 36-51.

57. Котельников В.П. О распределении значений производственной функции Кобба-Дугласа // Экономика и математические методы. 2001. - 37.- №4. С. 44-49.

58. Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник.- М: ИНФРА-М. -1998. 464 с.

59. Кузьминых Н.Б. Экономико-математические методы и моделирование: Учебное пособие. Екатеринбург: УГГГА. - 2000. - 102 с.

60. Курейчик В.М. Генетические алгоритмы. Состояние. Проблемы. Перспективы // Известия академии наук. Теория и системы управления.- 1999. -№1. С. 144-160.

61. Кучин Б.Л., Якушева Е.В. Управление развитием экономических систем. М.: Экономика. - 1990. - 157 с.

62. Ланкастер К. Математическая экономика. Нью-Йорк, 1968. М.: Советское радио. - 1972. - 464 с.

63. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. М.: Наука, ГРФМЛ. - 1981. - 400 с.

64. Маришева A.M. Некоторые аспекты применения математических методов и моделей при исследовании экономических систем // Вестник Кабардино-Балкарского гос. ун-та. Серия математические науки. -1998. -№2.- С. 76-78.

65. Математические и инструментальные методы анализа экономических процессов // Сборник науч. трудов. С.-Петербург, гос. технический ун-т. М.: МАКС Пресс. - 2000. - 84 с.

66. Методы анализа динамики экономических процессов // Сборник науч. трудов. Ин-т экон. и орг. пром. пр-ва СО РАН. -Новосибирск: ИЭ и ОПП СО РАН. -2001. 148 с.

67. Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике // Материалы 2 Международной научно-практ. конференции, Новочеркасск, 18 янв., 2002. Ч.З. Новочеркасск: НПО «ТЕМП». - 2002. -52 с.

68. Младов А.Г. Системы дифференциальных уравнений и устойчивость движения по Ляпунову. М.: Высшая школа. - 1966. - 224 с.

69. Моисеев Н.Н. Простейшие математические модели экономического прогнозирования. М.: Знание. - 1975. - 64 с.

70. Павлов В.Н., Казанцева Л.К. (ред.). Методы анализа динамики экономических процессов // Сборник научных трудов. Ин-т экон. и орг. пром. производства СО РАН. Новосибирск: ИЭ и ОПП СО РАН. - 2001. - 148 с.

71. Понтрягин Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении. М.: Наука. - 1989.-64 с.

72. Раяцкас Р., Бальсис О. Анализ экономического роста и оценка долгосрочных прогнозов. Вильнюс: Минтис. - 1979.

73. Розанов Г.В. Статистическое моделирование развития отрасли. М.: Статистика. - 1976.

74. Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. М.: Наука. - 1977.-352 с.

75. Садовых А.А. Применение генетических алгоритмов для решения задач теории расписаний. Управление и обработка информации: модели процессов // Сборник научных трудов. Моск. физ.-техн. институт. М.: МФТИ. - 2001. - С.232-237.

76. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. -М.: Физматлит. 2001. - 320 с.

77. Самойленко A.M., Кривошея С.А., Перстюк Н.А. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи. -М.: Высшая Школа. 1989. - 181 с.

78. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, ГРФМЛ. - 1978. - 352 с.

79. Терехов Л.П. Производственные функции. М.: Статистика. - 1974.

80. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука. - 1980.

81. Тодосийчук А.В. Прогнозирование влияния науки и инноваций на промышленный рост. М.: Науковедение. - 2002. - №2. - С.8-30.

82. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. - 1985.-448 с.

83. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир. - 1980. - 406 с.

84. Харрод Р.Ф. К теории экономической динамики. М.: Иностранная литература. - 1959.

85. Хорошун Л.П. Дифференциальные уравнения динамики производства в макроэкономике. Доп. Нац. АН УкраТпи. - 2002. - №4. - С. 83-90.

86. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М: АН СССР. - 1962. - 536 с.

87. Экономические исследования: теория и приложения // Сборник статей. -2000.-№1.-382 с.

88. Baker J.E. Adaptive selection methods for genetic algorithms //In J.J. Grefenstette, editor, Proceedings of the First International Conference on Genetic Algorithms. Lawrence Erlbaum Associates. 1985. - P. 101-111.

89. Boese K.D. Cost versus distance in the traveling salesman problem // Unpublished preliminary report. 1995. - 35 p.

90. Cobb G.W., Douglas P.H. A theory of production. // Amer. Econ. Rev. 1928. - March, Suppl. - P. 139-165.

91. DeJong L., Spears W.M. Using genetic algorithms to solve NP-complete problems // In J.D. Schaffer, editor, Proceedings of the Third International Conference on Genetic Algorithms. Morgan Kaufmann. 1989. - P. 124-132.

92. Deneubourg, J.L., de Palma, A., Kahn, D. Dynamic Models of Competition Between Transportation Modes // Environment and Planning. 1979. - 2. - P. 665673.

93. Doran J. New developments of the graph traverser //In E. Dale and D. Michie, editors, Machine Intelligence. New York. - 1967. - Vol. 2, American Elsevier. - P. 119-135.

94. Doran J., Michie D. Experiments with the graph traverser program. // Proceedings of the Royal Society of London (A), 294/ 1966. - P. 235-259.

95. Dzubera J., Whitley L.D. Advanced correlation analysis of operators for the traveling salesman problem // Lecture Notes in Computer Science. Parallel

96. Problem Solving From Nature PPSN III. - In Y.Davidor, H.-P. Schwefel, and R. Mianner, editors: - Berlin, Springer-Verlag. - 1994. - Vol. 866. - P. 68-77.

97. Fogel D.B. Applying evolutionary programming to selected control problems // Computers Math. Applic. 1994. - Vol. 27(11). - P. 89-104.

98. Fogel D.B., Stayton L.C. On the effectiveness of crossover in simulated evolutionary optimization // BioSystems. 1994. -Vol. 32. - P. 171-182.

99. Harrod R.F. An Essay in Dynamic Theory // Econ. J. 1939- V. 49. -№ 193.

100. Hart P.E., Nilsson N.J., Raphael B. A formal basis for the heuristic determination of minimum cost paths // IEEE Transactions on Systems Science and Cybernetics. -1968. Vol. 4(2). - P. 100-107.

101. Hicks J. R. Value and Capital. Oxford University Press. - 1939.

102. Homaifar A., Guan S., Liepins G.E. A new approach on the traveling salesman problem by genetic algorithms // Proceedings of the Fifth International Conference on Genetic Algorithms. 1993. - P. 460-466.

103. Husbands P., Mill F. Simulated co-evolution as the mechanism for emergent planning and scheduling // Proceedings of the Fourth International Conference on Genetic Algorithms. -1992. P. 264-270.

104. Kenneth A., DeJong and William M., Spears W.M. A Formal Analysis of the role of Multi-Point Crossover in Genetic Algorithms // Annals of Mathematics and Artificial Intelligence Journal. 1992. - Vol. 5. - № 1. - P. 1-26.

105. Lin S., Kernighan B.W. An effective heuristic algorithm for the traveling salesman // Operators Research. 1973. -Vol. 31. - P. 498-516.

106. Padberg M., Rinaldi G. Optimization of a 532-city symmetric traveling salesman problem by branch and cut // Operations Research Letters. 1987.-Vol. 6.-P. 1-7,.

107. Ramsey F.P. A mathematical theory of savings // Economic J. 1928. -V. 38.-P. 543-559.

108. Romer P.M. The Origins of Endogenous Growth // J. Econ. Perspect. -1994.-V.8.-№1.

109. Solow R. Growth Theory: An Exposition. Oxford: Oxford Univ. Press. - 1970.

110. Solow R. The Perspectives of Economic Growth Theory // J. Econ. Perspect. 1994. - V.8. - №1.

111. Solow R. Thechnical Change and the Aggregate Production Function // Rev. Econ. Stat. 1957. - V. 39.

112. Stadler P.F., Schnabl W. The landscape of the traveling salesman problem // Physics Letters A, 161. 1992. - P. 337-344.