автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод элементарных моделей в динамических системах с запаздыванием

На правах рукописи

^■иО^ЦО'

(

Симонов Петр Михайлович

Метод элементарных моделей в динамических системах с запаздыванием

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Пермь - 2002

Работа выполнена на кафедре экономической кибернетики Пермского государственного университета

Научный доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный

консультант деятель науки и техники Российской Федерации Азбелев Николай Викторович

Официальные доктор физико-математических наук, профессор оппоненты: Долгий Юрий Филиппович

доктор физико-математических наук, профессор Терехин Михаил Тихонович

доктор физико-математических наук, профессор Русаков Сергей Владимирович

Ведущая Центр исследования устойчивости и нелинейной динамики

организация при Институте Машиноведения РАН, г. Москва

Зашита состоится «19» декабря 2002 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 212.189.09 в Пермском государственном университете (г. Пермь, ул. Букирева, 15, зал заседаний Ученого совета).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пермского государственного университета.

Автореферат разослан Н^А^ХЯ.

2002 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета X: Лутманов С.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Разнообразные явления окружающего мира являются источниками моделей, учитывающих не только настоящее состояние объекта исследования, но и существенно использующих предысторию его развития. Кроме того, возникают такие постановки задач, которые требуют построения п анализа моделей, учитывающих зависимость текущего состояние объекта от его будущих состояний. Для таких задач обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) уже не являются удовлетворительной математической моделью. Более точное математическое описание в этом случае дают функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) с последействием (ФДУП). Ниже всюду такие модели будем называть функционально-дифференциальными моделями с последействием (ФДМП).

Отдельные примеры дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом рассматривали еще Л.Эйлер п М.Кондорсе. В середине двадцатого века развитие электротехники, механики, химической технологии, биологии, экологии, медицины, иммунологии, математической экономики, автоматического управления и других областей науки и техники (соответствующие примеры и библиографию можно найти, например, в1,2) вызвало необходимость в развитии теории ФДМП — естественного обобщения классической теории ОДУ. В последнее десятилетие усилился интерес к динамическим моделям экономики, социологии и экологии, комплексным моделям регионов, стран и человеческой цивилизации.

В работах Д.JLАндрианова и В.П.Максимова (см., например, 3'4) предложены новые классы ФДМП для описания динамики экономических, социально-экономических п эколого-экономпческих процессов с учетом эффектов последействия. Доказаны теоремы о структуре стабилизирующего управления, решающего задачу целевого управления для нелинейных

'Титов Н.И., Успенский В.К. Моделирование систем с запаздыванием. Л.: Изд-во "Энергия", 1969. 97

с.

^Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Щайхет Л.Е. Управление системами с последействием: М.:Науха, 1992. 336 с.

3Андрианов Д.Л., Максимов В.П. Целевое управление и краевые задачи для макроэкономических моделей с последействием // Вестник Пермского университета. Экономика. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1995. Вып. 2. С 102-123.

4Максимов В.П. Нелинейные модели экономической динамики и задачи их исследования // Вестник Пермского университета. Экономика Пермь" Изд-во Перм. ун-та, 1999. Вып. 1. С. 155-163.

ФДМП. Разработаны алгоритмы построения множества допустимых стабилизирующих траекторий нелинейных межотраслевых ФДМП.

Под руководством академика В.М.Матросова проводятся комплексные исследования устойчивости и неустойчивости развития в мире и в регионах, а также анализ устойчивости и поддержки принятия стабилизирующих решений, осуществляется моделирование и прогнозирование мирового и регионального социально-эколого-экономического развития, стратегической безопасности. В монографии5 изложены результаты, методология. математические модели и методы комплексных исследований проблем безопасности, перехода России к устойчивому развитию в XXI веке.

Численным алгоритмам нахождения решений ФДМ посвящены монографии6'7'8. Заметим, что в монографиях6'' найдены приближенные решения ФДМП, возникающих в кинетике ядерных реакций, в математической биологии и медицине. В работах В.П.Максимова и А.Н.Румянцева (см.. например, 9> 10, п) проведено теоретическое обоснование и выполнена практическая реализация специального вычислительного эксперимента по эффективной проверке критериев разрешимости краевых задач для ФДМ. Развитые в этих работах конструктивные методы позволяют достоверно установить факт разрешимости краевой задачи и в случае ее разрешимости — приближенно вычислить решение с гарантированной оценкой погрешности.

Вопросам устойчивости моделей, систем и процессов с последействием посвящены, например, обзоры и монографии А.Д.Мышкиса, В.Б.Колма-новского и В.Р.Носова, К.Кордуняну, В.Лакшмикантама и А.А.Марты-

5Новая парадигма развития России (комплексные исследовании проблем устойчивого развития) / Под. ред В.А.Коптюга, В.М.Матросова, В.К.Левашева. M.: "Academia"-''HayKa", 1999. 460 с.

6Ворошша H.H.; Малания В.В., Рекка P.A. Осциллирующие функции и некоторые их приложения. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1993. 116 с.

7Бороншта Н.В.. Малашш В.В., Рекка Р А. Интегродифференциальные ураьнения н их приложения. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1995. 91 с.

8Kim А.V., Pimer.ov V.G. Numerical methods for delay differentia! equations. Applications of ¡—smooth calculus. Seul: Seul National University, 1999. x p. + 96 p.

9Азбелев H В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнении. М.: Наука. 1991. 280 с.

10Рум5шиев А.Н Доказательный вычислительный эксперимент в исследовании краевых задач. Пермь: Изд-во Перм- ун-та, 1999. 174 с.

пАзбелев 1I.B-. Максимов В П.. Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Ин-т компьютер, исслед , '2002. 384 с.

шока, Дж.К.Хейла л С.Лунела. В.Г.Курбатова, Ю.Ф.Долгого, М.Т.Тере-хппа, А.В.Кпма и В.Г.Ппменова Д.Я.Хусаннова, А.И.Кирьянена, Е.Н.Чу-кву н других авторов.

Центральное место при изучении ФДМП занимают вопросы устойчивости и существования периодических режимов (траекторий) ФДМП, разработка общей теории которых еще далека от своего завершеипя. В связи с этим особенно актуальным является нахождение общих принципов исследования этих вопросов.

При исследовании конкретных классов ФДМП, возникающих в приложениях, как правило, теоретические критерии устойчивости оказываются неэффективными, а имеющиеся достаточные условия — слишком грубыми и дающими практический результат лишь в исключительных случаях, что определяет актуальность задачи эффективной проверки критериев и признаков устойчивости и асимптотического поведения траекторий ФДМП. Теоретическое обоснование и практическая реализация эффективного подхода предполагают разработку специальных методов исследования, основанных на фундаментальных положениях общ«! теории и использующих богатые возможности современных вычислительных систем. При этом необходимо отметить, что основное назначение этих методов — достоверное установление факта устойчивости ФДМП.

Объектом исследования являются ФДМП, в частности, модели экономики и биологии. Диссертационная работа посвящена разработке нового подхода к исследованию устойчивости п асимптотического поведения ФДМП. Предлагаемый подход позволяет исследовать динамические модели, представимые в впде ФДМП (как линейных, так и нелинейных). Рассмотрены, в частности, линейные обыкновенные дифференциальные уравнения (ЛОДУ), системы линейных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием, системы линейных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием аргумента, системы линейных дифференциальных уравнений нейтрального типа, а также некоторые классы нелинейных систем ФДМП. ■

Основная пдея исследования состоит в следующем: по исходному объекту строится вспомогательный объект ("элементарная модель'" (ЭМ)) с достоверно вычислимыми параметрами, допускающий эффективное пс-

следование устойчивости. При этом успех исследования предопределен "адекватностью" ЭМ характеру изучаемого явления, процесса. После исследования элементарной модели окончательный результат зависит от "близости" исходной и элементарной моделей. Предлагаемый подход позволяет формулировать эффективно проверяемые условия, гарантирующие совпадение определенных свойств траекторий элементарной и исследуемой моделей. В случае, если эти условия не выполняются, строится новая, более близкая к исходной, модель и повторяется проверка условий. Реализация этого метода (разумеется, метод не универсален и ориентирован на определенный, но достаточно широкий класс моделей) позволяет сводить исследование конкретной модели к исследованию ЭМ, которую приходится строить и использовать неоднократно.

Цель диссертационной работы

Разработка эффективного метода исследования широкого класса ФДМП на устойчивость (как свойство корректности модели в пространствах траекторий, определенных на бесконечном промежутке).

Научная новизна

В диссертации

1) дано обоснование нового класса моделей (ФДМП с кусочно постоянными запаздываниями) для переходных экономических процессов с непрерывным распределенным запаздыванием и процессов выбытия (амортизации) основных производственных фондов;

2) дано теоретическое обоснование нового подхода к исследованию на устойчивость широкого класса динамических моделей с запаздыванием;

•3) разработаны новые методы исследования устойчивости элементарных моделей, систем п процессов, охватывающих системы ОДУ, системы дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием, системы дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием, системы дифференциальных уравнений нейтрального типа;

4) установлена и детально исследована связь между различными видами устойчивости для моделей с последействием:

о) разработан эффективный метод исследования моделей с периодическими параметрами (метод ориентирован на получение гарантирован-

ного результата с использованием возможностей современных вычислительных систем п реализован А.Н.Румянцевым и Ж.С.П.Мунембе (см., например. 9,11 );

б) на основе результатов для линейных элементарных моделей разработал эффективный метод исследования на устойчивость широкого класса нелинейных динамических моделей, исследованы некоторые модели экономики и биологии.

Методы исследования существенно базируются на современной теории ФДУ9'11.

Теоретическая значимость

Основные идеи, методы и утверждения, предложенные в диссертации, развивают эффективное направление в математическом моделировании и открывают новые возможности исследования широких классов динамических моделей.

Практическая значимость

В диссертации установлена принципиальная возможность применения разработанных в ней методов и схем к исследованию конкретных функционально-дифференциальных моделей, возникающих в различных отраслях практической деятельности, в частности, к исследованию некоторых задач экономики и биологии.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Республиканской конференции "Теория и численные методы решения краевых задач дифференциальных уравнений" (Рига, 1988), на школах-семинарах "Моделирование и исследование устойчивости процессов" и '"Разрывные динамические системы" (Киев, 1990-1994), на Международных коллоквиумах по дифференциальным уравнениям (Болгария, Пловдив, 1991, 1992). на Коллоквиумах по современному групповому анализу и математическому моделированию (Нижний Новгород, 1992: Самара, 1993). па III Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 1994). на Международной конференции "Дифференциальные уравнения п их приложения" (Саранск. 1994. 2002). на II

научной конференции по нелинейным наукам (Москва, 1997), на Международном симпозиуме "Дифференциальные уравнения и математическая физика" (Тбилиси. 1997), на Международной конференции по ФДУ (Израиль, Ариель, 1998), на Международном конгрессе "Нелинейный анализ и его приложения" (Москва, 1998), на Международной конференции "Нелинейные науки на рубеже тысячелетий" (Санкт-Петербург, 1999), на Международных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 1999, 2002; Одесса. 2000), на Международной конференции "Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения" (Москва, 1999), на Международной конференции "Устойчивость и управление для нелинейных трансформирующихся систем" (Москва, 2000), на Всероссийской конференции "Общие проблемы управления п пх приложения к математической экономике" (Тамбов, 2000), на Международной школе по динамическим и управляемым системам (Владимир, 2001), на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), на VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002), на II Международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ" (Москва, 2002), на V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002), на III Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2002), на семинаре профессора Ю.В.Покорного (Воронеж,

1985). на семинаре профессора В.Г.Писаренко (Киев, 1986), на проблемном совете механико-математического факультета Киевского госуниверситета (Киев. 1985), на семинаре академика Ю.С.Осипова (Свердловск,

1986), на Пермском городском семинаре по ФДУ под руководством профессора Н.В.Азбслева (1988-2000). на Магнитогорском городском семинаре по ФДУ (1986-19S8), на Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления под руководством профессора Е.Л.Тонкова (1996. 1997, 2000), на семинаре кафедры теоретической механики Уральского госуниверситета (Екатеринбург, 1989, 1999, 2002).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы более чем в 80-ти работах и в трех (в соавторстве с Н.В.Азбелевым, С.Э.Батпщевоп и Э.Д.Каданэр-

ом) монографиях. Список основных публикаций автора по теме диссертации приведен в конце автореферата. Подробное описание результатов соискателя в совместных научных работах приведено в содержании при изложении основных результатов работы.

Основные результаты отражены также в отчетах о НИР, выполнявшихся в соответствии с планами госбюджетной НИР Международной лаборатории конструктивных методов исследования динамических моделей при кафедре экономической кибернетики Пермского государственного университета в рамках Программы Министерства образования РФ "Университеты России — фундаментальные исследования" (1997, .Л/о 6032: 2001, Ло 015.03.01.025), "Университеты России" (2002, ЛоУР.03.01.023), в соответствии с планами госбюджетной НИР Научно-исследовательского центра "Функционально-дифференциальные уравнения" при Пермском государственном техническом университете по грантам Международного научного фонда (1993), грантам Госкомвуза и Минобразования РФ (19921993, Л'о 2-13-7-47; 1998-2000: 2002, ЛоУР.04.01.001), по грантам Российского фонда фундаментальных исследований (1993-1995, Л/о 93-0111722; 1996-1997, Л/о 96-01-01613; 1999-2000, Л'о 99-01-01278; 2001-2002, Л о 01-01-00511), по грапту Президента РФ в рамках программы государственной поддержки ведущих научных школ (1996-1999, Л/о 96-15-96195), по единому заказ-наряду Пермского государственного технического университета (1993-1995, 1996-1998, 1999-2002), в соответствии с планами НИР Центра аналитических исследовании "Прогноз" (г. Пермь) по грантам Международного научного фонда и Правительства РФ (1994-1995, Л'оХШСООО, ЛоКИКЗОО).

Структура и объем работы

Общий объем работы составляет 340 страниц текста, список литературы включает 450 наименований.

Содержание и основные результаты диссертационной работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы исследования, дана краткая характеристика работ других авторов, близких по тематике к теме диссертации, приведена аннотация полученных результатов.

Впервые отдельные уравнения с запаздыванием появились в литературе в конце XVIII века (М.Кондорсе. 1771 г.). но систематическое изучение

их началось лишь в XX веке в работах В.Вольтерры по исследованию моделей хищник-жертва и по теории вязкоупругости.

Начиная с 40-х годов минувшего столетия появилось много работ, посвященных теории ФДМ. Отметим монографин А.Д.Мышкиса, Э.Пинни, Р.Э.Беллмана и К.Л.Кука, Л.Э.Эльсгольца и С.Б.Норкина, Дж.К.Хейла.

Большую роль в развитии теории ФДМ сыграли идеи и результаты Свердловской школы математиков, прежде всего идеи Н.Н.Красовского, который предложил трактовать состояние ФДМП как элемент подходящего функционального пространства, а также исследования С.Н.Шима-нова, Ю.С.Оснпова и их учеников. Глубокое и всестороннее изучение уравнений с отклоняющимся аргументом было проведено участниками Пермского городского семинара по ФДУ12,13, результаты которого систематизированы в монографиях9 ,и.

Диссертация посвящена вопросам устойчивости и асимптотического поведения решений ФДМП

Сх = Тх + q (1)

с линейным С и нелинейным Т вольтерровыми операторами, определенными на множестве D/oc локально абсолютно непрерывных функций х : [а, сс) —> R" (функций, допускающих представление x(t) = J x(s)d.s+x(a), где х £ L¡ос — пространству локально суммируемых на [а,оо) функций). Такие уравнения являются обобщениями ОДУ и ряда других актуальных в современных приложениях классов ФДМП.

Теория устойчивости долгое время развивалась в направлениях, указанных еще сто лет тому назад Ляпуновым. Однако для уравнений с запаздывающим аргументом и их обобщений классические концепции и приемы Ляпунова иногда оказываются неестественными и не приводят к желаемым результатам. Это объясняется спецификой ОДУ. на которой основаны некоторые идеи Ляпунова.

В работах Р.Э.Беллмана, М.Г.Крейна и Ю.Л.Далецкого, Х.Л.Массе-ры н Х.Х.Шеффера, а также в монографии Е.А.Барбашпна предложены новые направления исследования устойчивости решений ОДУ. Они

12Азоелев II.В. К 25-летпю Пермского семинара по функшюнально-лнфференинальным уравнениям // Дифферент уравнения. 2001. Т 37, .V 8. С. 1136-1139.

иАзбелев Н.В. Как это было (исторический очерк возникновения и развития теории ФДУ) // Вестник ПГТУ. Функц.-дифферепц уравнения (спец. выпуск) / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь. 2002. С. 13-40.

основаны па том, что свойства устойчивости можно связать с разрешимостью задачи Коши в специальных пространствах состояний. В работах В.А.Тышкевича, В.Г.Курбатова и Р.Р.Ахмерова и ряда других авторов упомянутые направления развивались применительно к специальным классам ФДМ. Эти исследования посвящены общим концепциям, явлению дихотомии и теоремам типа теоремы Боля-Перрона о том, что для линейного уравнения ограниченность всех решении при всех ограниченных правых частях д эквивалентна при определенных условиях равномерной экспоненциальной устойчивости. В большей части работ упомянутых авторов вопрос об эффективных (выраженных через параметры модели) признаках устойчивости не рассматривался. В предлагаемой диссертационной работе глава IV полностью посвящена теоремам типа теоремы Боля-Перрона, однако основной акцент в диссертации сделан на получении конкретных признаков устойчивости моделей.

Современное состояние наших представлений о ФДМ естественным образом приводит к новым концепциям в задачах об асимптотическом поведении поведении решении и к эффективному ">У— методу" Н.В.Азбе-лева исследования конкретных .моделей. Этот метод и некоторые другие приемы, рассмотренные в диссертации, позволили получить ряд новых признаков устойчивости, упростить доказательства, а иногда и уточнить известные результаты.

Современная теория ФДМ подчеркивает роль выбора пространства состояний при построении каждой конкретной модели в виде ФДМ и тот факт, что выбор пространства состояний определяет степень адекватности модели исследуемому процессу14. Серия работ Пермского городского семинара по ФДУ посвящена изучению сингулярных моделей (см., например, 11). В этих работах центральным моментом псследованпя является выбор пространства состояний, в котором рассматривается модель. При правильном выборе пространства сингулярная задача становится регулярной, то есть к ней оказываются применимыми стандартные методы анализа. Новый подход к изучению асимптотических свойств траекторий ФДМП основан на рациональном выборе пространства состояпий, в котором определена ФДМП. Упрощая ситуацию, можно сказать, что асимпто-

ьЛ'ю?ле(з К В. К вопросу о формализации математических моаелен // Вестник ПГТУ. Функционально дифферент!. сравнения (спец. выпуск) ,/ Перм гос. техн. ун-т. Пермь. 1997. .\г С. 7-14

тическое поведение траекторий (в частности — устойчивость) определяется таким выбором пространства состояний, в котором задача корректно разрешима.

Предлагаемый нами подход к изучению асимптотических свойств решений уравнения (1) основан на установлении В —свойства" этого уравнения — корректной разрешимости задачи Коши

£х = Гх + д. х(а) = а (2)

в заданном пространстве состояний В при правой части д из заданного пространства возмущений В и начальном условии а из конечномерного пространства К". Иначе говоря, В—свойство (или. что то же. "О—устойчивость") — это корректность модели, то есть существование, единственность и непрерывная зависимость от параметров д £ В и а 6 Я" решения задачи (2) в банаховом пространстве Б функций х : [0, ос) Я" с заданными асимптотическими свойствами элементов. При соответствующем выборе пространств В и Б наличие Ю-свойства гарантирует ту или иную устойчивость в обычном смысле. При этом центральным вопросом исследования данного уравнения на устойчивость оказывается вопрос о построении такого пространства В с заданными свойствами, в котором удается установить корректную разрешимость задачи (2). Решение этого вопроса основано на выборе линейного уравнения С$х = г, играющего роль элементарной модели, и пространства В локально суммируемых функций г : [0,оо) —> К". А именно, пространство В — это линейное многообразие всех абсолютно непрерывных решений х модельного уравнения £$х — г при всех г £ В. Норму в пространстве В удобно определять равенством

||а;||п = ||£оа:||в+ Иа)||и-.

Новый подход к проблеме устойчивости приводит к построению специальных пространств В. При надлежащем выборе пространства В из В-устойчивости следует устойчивость по Ляпунову, при другом выборе пространства В — асимптотическая устойчивость, устойчивость по части переменных и т.д. Непрерывная обратимость линейного оператора, который в явном виде записывается для каждой линейной ФДМП вида (1). необходима и достаточна (при естественных предположениях) для

D—устойчивости этой модели. Для нелинейной ФДМП вида (1) локальная D—устойчивость обеспечивается применимостью принципа Банаха о сжимающих отображениях к некоторому оператору, записанному в явном виде и действующему в некотором шаре пространства D.

Надо отметить, что упомянутая теория устойчивости позволяет не только достаточно просто доказывать ряд известных утверждений классической теории устойчивости ОДУ, но и применима к широкому классу ФДМП, для которых классические приемы либо неприменимы, либо недостаточно эффективны.

Диссертация состоит из пяти глав. В главе I приведены необходимые для дальнейшего изложения сведения о ФДМП. В этой главе в наиболее общем виде доказана теорема о представимости решении линейной ФДМП в виде формулы Коши.

В §1.0 первой главы для случая непрерывного распределенного запаздывания предложено использовать операторы Вольтерры, которые являются операторами Коши некоторах элементарных ФДМП, возникающих в экономических задачах. Как известно10, в динамических моделях экономики используют инерционные п дискретные запаздывания между входными и выходными процессами. При этом инерционные запаздывания первого порядка определяют бесконечно длящиеся переходные процессы, что не всегда адекватно реальным процессам. Нами предложено моделировать запаздывание между входным п выходным процессом линейным дифференциальным уравнением (элементарной ФДМП) вида

Ty'(t)+y(lt/T}T)=x(t), t > 0, (.3)

где Т — время (лаг) запаздывания (переходного процесса), [t/T] — целая часть числа i/T, x{t) —входной процесс, y(t) —выходной процесс. Ниже для простоты изложения будем считать все функции заданными при t > 0. В случае x(t) = 1 и у(0) = 0 решение уравнения (.3) имеет вид y(t) — t/T при 0 < t < Т и y(t) — 1 при t > Т. Таким образом, переход из состояния 0 в состояние 1 происходит по линейной зависимости за время Т.

В монографии16 отмечено: "Имеется большое разнообразие способов

1° Аллея Р. Математическая экономия. М : ИЛ Ш63 6GS с.

'"'Китайгородский В И., Котов В.В. Моделирование экономического развития с учетом замещения не-

начисления амортизации. В зависимости от принятого способа годовая норма амортизации может выбираться следующими способами: равномерно, если стоимость каждой единицы основных фондов возмещается равными долями в течение всего срока службы; прогрессивно, по нарастающей шкале; по убывающей шкале; по проработанному времени. На практике наиболее распространен равномерный способ начисления амортизации. Он наиболее прост и удобен в задачах учета и анализа хозяйственной деятельности. Однако непосредственное использование равномерной нормы амортизации в задачах математической экономики встречает некоторые затруднения. Это связано с тем, что при разновременных капиталовложениях и равномерном способе начисления амортизации невозможно записать динамику основных фондов в виде обыкновенного дифференциального уравнения".

Далее авторы приводят уравнение динамики основных производственных фондов (ОПФ), которое в принятых нами обозначениях имеет вид

А"(0 - Щ - (4)

где — уровень ОПФ в момент времени — интенсивность

валовых инвестиций в ОПФ в момент времени I, ц — (постоянная) норма амортизации (выбытия) ОПФ за единицу времени.

В монографии16 также отмечено, что уравнение (4) "...приближенно реализует равномерный способ начисления амортизации. По сравнению с равномерным способом уравнение (4) приводит к несколько ускоренной амортизации".

Нами предложена линейная ФДМ равномерного способа начисления амортизации в впде

К,Ц) = Щ-»К{ М). (5)

Как правило, норму ¡л определяют равенством /л — 1/Т, где Т — количество единичных временных промежутков. Величина Т берется целочисленной и имеет смысл времени (лага) амортизации. В модели (5) прп 1(1) 2 1 п Л"(0) = 0 на промежутке [0,1) амортизация не производится, поэтому ОПФ растут по линейному закону К{£) = I. Далее Л'(£) будет возрастающей кусочно линейной функцией, стремящейся на бесконечности к уровню Г единиц ОПФ.

возобновляемых энергетических ресурсов. М.: Наука, 1990. 168 с.

Заметим, что модели с кусочно постоянными запаздываниями встречались ранее при моделировании биологических популяций17. Различные виды "затухающей" памяти материалов используются в механике сплошных сред18. В книге1 приведен следующий перевод одной фразы пз статьи М.Калецкого 1935 года: ".. .никоим образом введение постоянного запаздывания не соответствует действительности; есть только средняя величина различных наблюдаемых продолжительностей периода запаздывания и система, в которой г есть постоянная величина, должна рассматриваться как простейшая модель действительности". В монографии19 отмечена необходимость использования в динамических моделях экономики переменного характера памяти о предыстории, влияющей на развитие системы и приводящей к принципиальному изменению характера развития процесса.

Далее в первой главе диссертации с учетом моделей (4), (5) выведены модификации известных моделей микро- и макроэкономики: модель Вальраса-Эванса-Самуэльсона (ВЭС) рынка одного товара с учетом запаздывания цен спроса и предложения15,20,21; модель ВЭС рынка одного товара с учетом запаздывания спроса от предложения, а также с учетом запаздывания цены спроса от цены предложения"*2; модель Маршалла рынка одного товара с учетом запаздывания предложения и запаздывания цены предложения15,21 ; модель Аллена рынка одного товара с учетом запаздывания предложения и с зависимостью спроса и предложения от цены и скорости изменения цены10; модель ВЭС рынка одного товара с учетом отклонения запаса от заданного уровня и с учетом запаздывания

!'Gopalsamy К. Stability and oscillations in delay difFerential équations of population dvnamics. Dordrecht e a.: Kluwer Académie Publishers, 1992. xii p. + 501 p.

1нТрусделл К Первоначальный к\рс рациональной механики сплошных сред. М: Изд-во "Мир-', 1975. 592 с.

15Кобрпнский Н.Е.. Кузьмин В.И. Точность экономико-математических моделей M : Финансы и статистика, 1981. 2-56 с.

"°Бергстром А.Р. Построение и применение математических моделей. М.: Изд-во "Прогресс'', 1970176 с.

"J3anr В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М-: Мир. 1999. 336 с.

2эНеймарк Ю.И., Островский А.В. Дифференциальные экономические модели типа Самуэльсона // Вестник ВИГУ Математическое моделирование и оптимальное управление. II.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та. 1999 Вып. 1(20). С 123-129.

цены15,23,24; модель ВЭС рынка нескольких товаров учетом запаздывания цен предложения и спроса15,21; модель Видала-Вулфа (ВВ) объема сбыта одного товара в зависимости от расходов на рекламу и модель ВВ объема сбыта двух взаимодополняющих товаров в зависимости от расходов на рекламу24; модель динамики уровня ОПФ (производственного капитала) с учетом выбытия и запаздывания освоения инвестиций19; модель управляемого производства в зависимости от поступающих заказов и заданного уровня запасов на складе1; модель формирования связанных установок поведения индивидов с учетом запаздывания реакции ■; простейшая линейная модель динамики чистого внутреннего продукта (ЧВП) с учетом запаздывания ввода индуцированных инвестиций15; нелинейная модель Филлипса-Гудвина динамики ЧВП1,15'20,23; линейная односекторная модель динамики валового внутреннего продукта (ВВП)23; ранняя модель Калецкого динамики ВВП и ОПФ с учетом амортизации1,10; неоклассическая нелинейная односекторная модель Рамсея-Солоу-Свена (РСС) динамики ВВП с учетом запаздывания ввода инвестиций16,21,27; неоклассическая нелинейная односекторная модель РСС динамики ВВП с акселе- 94

ратором и с учетом запаздывания ввода инвестиции ; неоклассическая нелинейная двухсекторная модель с запаздыванием ввода инвестиции ; неоклассическая нелинейная модель Занга динамики ВВП с учетом запаздывания ввода инвестиций и образования человеческого капитала (ЧК)21; неоклассическая нелинейная двухсекторная модель Удзавы-Лукаса динамики ВВП и ЧК с учетом запаздывания ввода инвестиций в ОПФ и с учетом запаздывания образования ЧК29; неоклассическая нелинейная односекторная модель Тобина-Сидрауски динамики ВВП с учетом денеж-

21 27

ного рынка ilr '.

23Багриновский К.А. Модели и методы экономической кибернетики. М.: Экономика, 1973. 208 с.

24Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: ФИЗМА-ТЛИТ, 2000. 256 с.

2эГаврилец Ю.Н., Карташева A.B. Модель формирования связанных установок при активном участии индивидов // Мат. и компьютер, моделир. социально-эконом. процессов: Сб. ст. / Под. ред. ЮН.Гаврилыа. ЦЭМИ РАН. М., 1997. С. 8-26.

26Ковалев Д.А. Компьютерный анализ динамики установки с запаздыванием // Там же. С. 27-32.

27Харрис Л. Денежная теория. М.: Прогресс, 1990. 751 с.

28Накоряксв В.Е-, Гасенко В.Г. Математическая модель плановой макроэкономики // Экономика и мат. методы. 2002. Т. 38, № 2. С. 118-124.

29Д'Отюм А., Шараев IO.B. Образование и эндогенный экономический рост: модель Лукаса. Научный доклад. Ы.: ГУ ВШЭ. 1998. 34 с.

В §1.1 даны описания типичных представителей ФДМП — дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и их обобщении. Подчеркивается единство широкого класса таких уравнений. В §1.2 подробно рассмотрена линейная ФДМП (ЛФДМП), причем внимание акцентируется на представлешш общего решения (формуле Коши). В наиболее общем виде сформулированы достаточные условия справедливости формулы Коши.

Линейная ФДМП записывается в виде Сх = /, где линейный оператор С действует из пространства О;ос локально абсолютно непрерывных функции х : [а,со) -» Я" в пространство Ь;ос функций 2 : [а,со) -+ К.", суммируемых на каждом конечном отрезке [а, 6]. Центральным здесь является вопрос об условиях, при которых общее решение уравнения Сх — / может быть представлено "формулой Коши"

х

х{г)= ! С{^з)!{з)йз + Х{1)х{а),

а

где столбцы п х п—матрицы X (фундаментальной матрицы) составлены пз линейно независимых решений однородного уравнения Сх — 0, п х гг—матрицу С(-, ■) называют матрицей Коши (весовой матрицей).

Для интегродифференциальных и интегральных уравнений Вольтер-ры формула Коши появилась ещё в середине прошлого века в работах Ю.К.Ландо, Я.В.Быкова, В.Р.Винокурова, Е.А.Барбапшна и Л.И.Бися-рипой, Р.К.Миллера и С.И.Гроссмана. Для отдельных классов ЛФДМП с запаздывающим аргументом и нейтрального типа интегральные представления решений и аналоги "формулы вариации произвольных постоянных" были получены Р.Э.Беллманом и К.Л.Куком, А.М.Зверкиным, А.Халанаем, М.Н.Огюзторелп, С.Н.Шимановым и Г.С.Юдаевым, Х.Т.Бэ-нксом, Д.Хенри, К.Кордуняну, Н.Лукой, Дж.К.Хейлом, Дж.Като, К.Р.Ме-йером, М.А.Крузом, В.Б.Колмановским, С.С.Ахиевым и К.Т.Ахмедов-ым, В.Е.Слюсарчуком, Т.Напто, К.Савано, П.Ч.Дас и Н.Пархи, Р.Датко, М.Мадави и Ю.Лп. Для ЛФДМП общего вида формула Коши была получена Н.В.Азбелевым, Л.Ф.Рахматуллиной, В.П.Максимовым и Л.М.Бе-резанским. Глубокие исследования, связанные с формулой Коши для ЛФДМП с распределенным запаздыванием были проведены в кандидатской и докторской диссертациях В.П.Максимова.

Глава II посвящена примерам построения пространств О и критерию О—устойчивости. Для линейных ФДМП приведен ряд признаков Б—устойчивости, выраженных в терминах параметров этих моделей. Большинство результатов этой главы получены лично диссертантом. Заметим только, что теорема 2.1.1 является обобщением соответствующих утверждении, полученных ранее Н.В.Азбелевым. Получены новые эффективные признаки устойчивости, близкие к неулучшаемым. В главе II представлен новый подход к изучению устойчивости линейных ФДМП. Все результаты главы являются новыми и оригинальными. В §"2.1 второй главы предложена схема построения пространств Б. Эта схема основана на понятии модельного уравнения (элементарной модели) и на понятии совпадения пространств всех решений двух ЛФДМП. Доказан критерий совпадения пространств решений модельной и исследуемой ЛФДМП. Показано, что этп условия гарантируют однозначную разрешимость задачи Кошп и непрерывную зависимость решения х от / € В п а 6 И" в метрике пространства О. Дано определение Б —устойчивости, показана ее связь с вложением и совпадением пространств всех решений исследуемой и элементарной моделп. Приведены примеры конкретных пространств Ю. Доказаны утверждения о совпадении пространств решений для ЛОДУ с измеримыми и ограниченными в существенном на полуоси компонентами. Доказано несколько признаков сохранения пространства Б для простейших скалярных ЛФДМП при "малых" в некоторых смыслах возмущениях запаздывания. В §2.2 для ЛОДУ установлена связь Ю-устойчивости п устойчивости в классическом смысле: показано, что при надлежащем выборе пространства Б свойство И —устойчивости гарантирует устойчивость по Ляпунову, асимптотическую устойчивость, или. соответственно, экспоненциальную устойчивость. В частности, в качестве иллюстрации приведены для ЛОДУ новые доказательства утверждений типа классической теоремы Боля-Перрона о том. что если при любой правой части / € М все решения х уравнения принадлежат пространству С (уравнение С-устойчиво), то матрица Копта и фундаментальная матрица имеют экспоненциальные оценки с отрицательными показателями. Здесь М — пространство Лебега: банахово пространство (классов эквивалентности) измеримых и ограниченных в существенном

функций г : [а, оо) —» R" с нормой |[г||м = vrai sup |z(t)| ; С — банахово

t>a

пространство непрерывных и ограниченных функций х : [а, оо) —► R" с нормой ||х|[с =f sup |i(i)|. В качестве иллюстрации эффективности пред-

1>а

ложенного подхода получены известные признаки устойчивости ЛОДУ с переменными коэффициентами типа условий "диагонального преобладания" и "квазидомпнантностп диагонали". Для ЛОДУ с постоянными коэффициентами приведено новое доказательство критерия экспоненциальной устойчивости в терминах собственных чисел матрицы коэффициентов. На простейшем примере показана схема применения D—устойчивости в задаче "устойчивости по первой компоненте". §'2.3 посвящен описанию так называемого "VV—метода", позволяющего установить наличие D—устойчивости для данной ЛФДМП. Сформулирована эффективная достаточная теорема о D—устойчивости. В этой теореме утверждается, что для D—устойчивости ЛФДМП, определенной на полуоси [а,оо), достаточно установить аналогичную устойчивость этой же модели, но "урезанной" на некоторую полуось [6, оо) при некотором Ь > а. Доказаны леммы об эквивалентности D—устойчивости и разрешимости классической задачи о накоплении возмущений. В частности, указан класс моделей, для каждой из которых D—устойчивость совпадает с С—устойчивостью. Предложен алгоритм построения более сложных элементарных моделей на примере нестационарной системы ЛОДУ второго порядка. В результате были получены новые признаки С—устойчивости таких систем. В заключительной части параграфа для некоторых элементарных ЛФДМП приведены вспомогательные результаты Н.В.Азбелева о положптельности функции Коши и вспомогательные результаты С.А.Гусаренко об оценке нормы оператора Коши. В §2.4 на основе W—.метода получен ряд коэффициентных признаков С —устойчивости для ЛФДМП, разрешенных относительно производной. Причем, для скалярных ЛФДМП получена граница устойчивости 1 + 1 /е, ранее известная по работам С.А.Гусаренко и А.И.Домошпицкого, Л.М.Березанского. В §2.5 на основе W—метода получен ряд коэффициентных признаков С—устойчивости для ЛФДМП нейтрального типа.

В главе III основное внимание сосредоточено на линейных ФДМП, разрешенных относительно производной. Подробно изучен вопрос о пред-

ставленпи общего решения таких уравнений. Формула Конш для этих ФДМП имеет специфический вид и общее решение такого уравнения определяет матрица Конш. На основе специфики этого представления предложен неулучшаемый признак (теорема 3.4.1) устойчивости скалярной ЛФДМП первого порядка с одним сосредоточенным запаздыванием, аналогичный известному признаку А.Д.Мышкиса асимптотической устойчивости такого уравнения. Признак был получен совместно с М.Ж.Алвешом и А.В.Чистяковым. В силу теоремы 3.3.2 диссертации (утверждения типа теоремы Боля-Перрона) отсюда следует существование экспоненциальной оценки с отрицательным показателем функции Копш (весовой функппи) этого уравнения. Эти результаты являются развитием и уточнением результатов А.Д.Мышкиса, В.В.Малыгиной и С.А.Гусаренко. В §3.1 описаны свойства матрицы Коши. В §3.2 показано, что при наличии "¿—условия" (ограниченности запаздывания, последействия) возможен некоторый аналог известного для ЛОДУ "полугруппового равенства" для матрицы Коши. Материал этих двух параграфов является вспомогательным. Он содержится в монографиях Н.В.Азбелева и П.М.Симонова и был написан В.В.Малыгиной. В §3.3 доказана теорема 3.3.1 о совпадении пространств и теорема 3.3.2 типа классического утверждения Боля-Перрона об экспоненциальной оценке матрицы-функции Коши для ЛФДМП, разрешенной относительно производной. Приведены примеры существенности условий теорем. Некоторые аналогичные результаты §3.3 для частных случаев линейных ФДМП с распределенным запаздыванием были получены Н.В.Азбелевым и Л.М.Березанским. Окончательные формулировки утверждений, их доказательства, а также некоторые контрпримеры получены диссертантом в соавторстве с А.В.Чистяковым. В §3.4 в соавторстве с М.Ж.Алвешом и А.В.Чистяковым получен основной признак С—устойчивости (теорема 3.4.1), в котором границей такой устойчивости является константа 3/2 А.Д.Мышкиса. Приведены примеры В.В.Малыгиной существенности условий признака. В §3.5 предложен класс ЛФДМ, для которого сохраняются основные утверждения классической теории периодических ЛОДУ. В теореме 3.5.1 указаны условия, при выполнении которых фундаментальная матрица Х^) допускает представление Флоке. Свойство мультипликаторов характеризует теорема 3.5.3. Доказаны также:

теорема 3.5.3 об асимптотическом поведении матрицы Л"(£) в терминах мультипликаторов, критерий существования периодических решений (теорема 3.5.4) и утвердение типа теоремы Массеры (теорема 3.5.5). Условия существования асимптотически периодических решений приведены в теоремах 3.5.6 и 3.5.7. В конце параграфа для некоторых линейных моделей микро- и макроэкономики указаны достаточные условия экспоненциальной устойчивости.

Роль матрицы Коши в теорпп устойчивости ЛОДУ отмечалась Р.Ко-нтп, Е.А.Барбашиным, Х.Л.Массерой и Х.Х.Шеффером, Ю.Л.Далецкпм II М.Г.Крейном. Исследования по устойчивости ЛФДМП на основе интегрального представления оператора Копш проводились Р.Э.Беллманом и К.Л.Куком, А.Халанаем, А.Д.Мышкисом, Н.В.Азбелевым п Т.С.Сул-авко, В.А.Тышкевичем, Дж.К.Хейлом, В.Е.Слюсарчуком. В.В.Малыгиной, В.А.Соколовым, А.И.Башкировым, С.Г.Карнишиным. "Обобщенное полугрулповое равенство" для матрицы Кошц модели с распределенным запаздыванием и его модификация при выполнении ¿-условия были установлены В.А.Тышкевичем. Заметим, прп $ = О ЛФДМП превращается в ЛОДУ, а равенство В.А.Тышкевича — в полугрупповое свойство матрицы Коши. В.П.Максимовым отмечено, что, если для матрицы Коши ЛФДМП при всех 0 < в < т < t справедливы равенства .?) = Х({)Х~1(з) = С(£,г)С(т,я), то эта модель записывается в виде ЛОДУ. Ряд утверждений, близких к теореме 3.3.1, можно найти также в монографиях Н.Н.Красовского, А.Халаная, В.А.Тышкевича.

Линейные автономные и периодические ФДМП — два наиболее изученных класса ФДМП. Наиболее полно первый этап теории устойчивости автономных ЛФДМП изложен в монографиях Э.Ппнни, Р.Э.Бе-ллмана и К.Л.Кука. В добавлении А.М.Зверкина "Дифференциально-разностные уравнения с периодическими коэффициентами"' к упомянутой книге Р.Э.Беллмана и К.Л.Кука дан обзор и приведены оригинальные исследования автора по теорпп устойчивости периодических ЛФДМП. Основными методами исследования автономных и периодических дифференциальных уравнений являются: исследование спектра оператора моно-дромпи и теория Флоке, метод производящих (характеристических) функций. символов автономных пли периодических операторов, метод функ-

ций Ляпунова пли функционалов Ляпунова-Красовского. Эта теория не является полностью завершенной п в настоящее время. Так, например, Ю.В.Комленко п Е.Л.Тонков получили условия существования представления Флоке абстрактных конечномерных многообразий и конечномерных многообразий решений линейных ФДМП. В работах А.И.Башкирова и А.И.Домошницкого для различных частных случаев ФДМП сформулированы утверждения об асимптотическом поведении матриц С(£, я) и А'(г) в терминах мультипликаторов — собственных чисел матрицы мо-нодромип Задаче существования периодических решений ФДМП

на действительной оси посвящено огромное количество работ. Многочисленные исследования выполнены по вопросу существования периодических решений ФДМП на полуоси при тех или иных начальных условиях. В такой постановке А.Халанаем, С.Чоу, В.Р.Носовым, К.Савано и Т.А.Бёртоном доказаны для ФДМП утверждения типа теоремы Массе-ры. Аналогичное утверждение для разностных моделей было получено Д.И.Мартынюком. В статьях В.В.Малыгиной и В.А.Соколова, С.М.Седовой, Ю.Н.Смолина и О.Р.Харгелия условия экспоненциальной оценки матрицы-функции (функции) Коши автономных и периодических ЛФДМП сформулированы в терминах корней характеристических уравнений. Заметим, что в работах С.Н.Шиманова, Ю.Ф.Долгого и С.Г.Николаева оператор монодромии строится с помощью матрицы-функции (функции) Ко-шп. Конструктивное исследование асимптотического поведения решений линейных ФДМ с последействием и с периодическими параметрами проведено в работах А.Н.Румянцева, Ж.С.П.Мунембе, Ю.Н.Смолина.

В главе IV рассмотрен вопрос об условиях, при выполнении которых О-устойчивость линейной модели гарантирует более тонкие свойства траекторий — корректную разрешимость задачи Коши в более узком пространстве С Б. Этот вопрос имеет свою историю, связанную с именами П.Г.Боля, О.Перрона, А.Халаная, Дж.К.Хейла и М.А.Круза, В.Р.Носова, В.А.Тышкевича. Глава IV основана на специальных разделах теории полуупорядоченных пространств. Полученные в ней результаты обобщают результаты указанных авторов, а также результаты Н.В.Аз-белева. Л.М.Березанского. В.Г.Курбатова, В.Е.Слюсарчука, П.П.Забре-йко. М.Е.Драхлина. А.Р.Абдуллаева, В.В.Малыгиной и В.А.Соколова.

Утверждения параграфов 4.1-4.7 главы IV были получены совместно с Н.В.Азбелевым, Л.М.Березанским и А.В.Чистяковым. В §4.1 обсуждены основные понятия п приведен вариант доказательства критерия Ю—устойчивости, отличный от доказательства, приведенного в главе II. В §4.2 па основе вспомогательных лемм доказаны утверждения тппа классической теоремы Боля-Перрона об экспоненциальной устойчивости. В §4.3 доказаны аналоги такой теоремы об асимптотической устойчивости. В §4.4 доказаны утверждения типа теоремы Боля-Перрона о существовании пределов решений. В §4.5 доказаны утверждения такого тппа о существовании асимптотически периодических решений. В §4.6 выделены специальные классы пространств п модельных уравнений, для которых пространства всех решений Ю совпадают с пространством Соболева \УВ. В этих случаях Ю-устойчивость совпадает с \Ув—устойчивостью и названа сильной устойчивостью. Доказаны другие варианты теоремы Боля-Перрона о связи сильной устойчивости с экспоненциальной и асимптотической устойчпвостямп, а также иной вариант теоремы о существовании пределов решений. В §4.7 для общего уравнения нейтрального типа доказаны теоремы Боля-Перрона о равномерной экспоненциальной устойчивости и об экспоненциальной оценке матрицы Кошп. В качестве следствия получен вариант такой теоремы для ЛФДМП, разрешенного относительно производной. В §4.8 дохсазана теорема (теорема 4.8.1) о том, что линейное дпфференциально-разностное уравнение (ЛДРУ) нейтрального типа равпомерно экспоненциально устойчиво по начальной функции тогда и только тогда, когда обратим разностный оператор, определяющий ''нейтральную часть", а функция Коши разрешенного относительно производной уравнения имеет экспоненциальную оценку с отрицательным показателем. В §4.9 предложен новый подход к исследованию разрешимости периодических уравнений, основанный на распространении операционного метода (дискретного операторного преобразования Фурье) на широкий класс линейных периодических операторов с экспоненциально затухающим типом памяти, непрерывно действующих в некоторых пространствах функций, определенных на всей действительной оси. Для таких операторов доказан критерий (теорема 4.9.3) обратимости в терминах обратимости операторного символа. Для вольтерровых операторов сформулп-

рован аналогичный критерий вольтерровой обратимости (теорема 4.9.4). Утверждения §4.8 и §4.9 были получены совместно с А.В.Чистяковым.

При доказательстве теорем §4.3—§4.6 были использованы идеи и результаты статей Э.И.Гольденгершель, А.И.Жданка, В.Г.Курбатова, Н.К.Ка-рапетянца, З.Б.Цалюка и В.Ф.Пуляева. Основная теорема §4.8 дополняет результаты В.Г.Курбатова о том, что обратимость линейного разностного оператора, действующего на старшую производную, является необходимым условием равномерной экспоненциальной устойчивости ЛДРУ по начальной функции. При доказательстве основной теоремы были использованы результаты Л.Вейса о представлении порядково непрерывных операторов, действующих в пространствах измеримых функций. Кроме того, в доказательстве была использована идея, близкая к доказательству одной теоремы Ю.С.Колесова. В §4.9 некоторые идеи и результаты монографий ц статей М.А.Красносельского, В.Ш.Бурда и Ю.С.Колесова, З.Б.Цалюка п В.Ф.Пуляева, В.Е.С.чюсарчука, Р.Р.Ахмерова, В.Г.Курбатова, А.Я.До-роговцева о разрешимости перидических ЛОДУ, интегральных, разностных и операторных уравнений распространены на обшие классы линейных ограниченных периодических операторов с экспоненциально затухающей памятью.

В главе V изучены квазилинейные ФДМП вида (1). В §5.1 дана схема доказательства теорем существования решений задачи (2), удовлетворяющих заданным априорным оценкам. В схеме использованы теоремы о функционально-интегральных (пнтегро-функциональных) неравенствах типа известных теорем об интегральных неравенствах. Приведено распространение результатов Е.А.Барбашина и В.А.Тышкевича об оценках решений квазилинейных дифференциальных уравнений на ФДМП с неограниченным последействием. В §5.2 изложена схема применения О —устойчивости к ФДМП вида (1). Приведен ряд теорем, распространяющих на ФДМП теорему Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. Рассмотрены примеры некоторых специальных скалярных квазилинейных ФДМП, в том числе уравнение нейтрального типа, ''уравнение с максимумами", где нелинейная часть уравнения связана с максимумом решения на некотором промежутке. Эти уравнения возникают в системах автоматического регулирования, в задачах экономики и

биологии1'. В §5.3 для липейных и нелинейных операторов приведены конкретные условия их действия и непрерывности в пространствах функций, определенных на полуоси. Указаны условия дифференцпруемостп по Фреше оператора Немыцкого в пространстве измеримых и ограниченных на полуоси функций. Получены коэффициентные признаки Б-устойчивости для скалярного уравнения нейтрального типа и для системы уравнений с запаздыванием модели "хищник - жертва", учитывающей внутривидовую борьбу в популяциях. Указаны признаки асимптотической устойчивости тривиального решения неавтономного уравнения Хатчинсона-Райта. Исследованы на асимптотическую устойчивость некоторые модели микро- и макроэкономики. §5.4 посвящен исследованию устойчивости решений векторных квазилинейных ФДМП с максимумами. При естественных ограничениях получены известные и новые эффективные признаки устойчивости и О—устойчивости таких моделей. Результаты этого параграфа были получены совместно с Н.В.Азбелевым и М.Б.Ермолаевым. В §5.5 доказаны две теоремы о достаточных условиях существования периодических решений для скалярных нелинейных ФДМП. Эти результаты были получены совместно с М.И.Мартыновой. Рассмотрены иллюстративные примеры из экономики.

Изучение устойчивости нелинейных уравнений встречает ряд принципиальных трудностей. Рассмотренные в главах П-1У свойства устойчивости в случае линейных моделей гарантируются однозначной разрешимостью задачи Коши. Такая разрешимость, в свою очередь, обеспечивает непрерывную зависимость решения задачи Коши от начальных условий. Как известно, даже для нелинейных ОДУ непрерывная зависимость решений от начальных условий не гарантируется однозначной разрешимостью задачи Коши. Поэтому понятия устойчивости, которые использовались в главах П-1У, не позволяют автоматически перенести результаты этих глав на нелинейные модели. Кроме того, возникают обычные для теории таких моделей проблемы, связанные, например, с тем, что условия действия нелинейных операторов в линейных пространствах оказываются часто неприемлемо жесткими. Специфические особенности ФДМП не позволяют непосредственно распространить на эти модели методы классической теории устойчивости ОДУ. Например, при-

емы, связанные с построением функций Ляпунова, основаны на теореме Чаплыгина о дифференциальном неравенстве, которая, вообще говоря неприменима для ФДМП. Построения оценок решений ФДМП, основанные на утверждениях об интегральном неравенстве (лемма Гронуолла-Белл-мана, лемма Л.Ф.Рахматуллиной и их обобщения) требуют жестких ограничений на объект исследования п дают эффективные результаты лишь для некоторых специальных классов уравнений. Требуемые оценки решений нелинейных ФДМП построены в §5.1. Такое построение эффективно лишь для уравнений, разрешенных относительно пронзводпой, решения которых ищутся в пространстве непрерывных на полуоси функций. Для интегральных уравнении и уравнений с вольтерровыми операторами теоремы о неравенствах была установлены Н.В.Азбелевым и З.Б.Цалюком. Теоремы об устойчивости решений по линейному приближению для ОДУ являются фундаментальными результатами работ А.М.Ляпунова и А.Пуанкаре. В работах П.Г.Боля п Н.А.Артемьева впервые изучалось влияние малых возмущений на устойчивость движения. Г.Н.Дубошиным введено понятно устойчивости при постоянно действующих возмущениях, обобщенное затем И.Г.Малкиным, которым доказана классическая теорема об устойчивости при постоянно действующих возмущениях. Практически важная задача об устойчивости решений для ОДУ при постоянно действующих возмущениях, ограниченных в среднем, выдвинута и исследована В.Е.Гермапдзе и Н.Н.Красовским, задача интегральной устойчивости — И.Вркочем. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях (а также по линейному приближению) для нелинейных ФДМП впервые была рассмотрена Р.Э.Беллманом и Е.М.Райтом и получила дальнейшее развитие в работах В.Е.Гермаидзе и Н.Н.Красовского, Ю.М.Решша, Л.Э.Эльс-гольца и А.Ф.Мисника, М.А.Круза и Дж.Хейла, Р.Р.Ахмерова п М.И.Каменского, Р.Р.Ахмерова и В.Г.Курбатова. Доказательства теорем §5.2 об устойчивости по линейному приближению не используют метод функций Ляпунова и функционалов Ляпунова-Красовского и проведены аналогично доказательствам теорем об устойчивости по линейному приближению для ОД> из статьи Е.Коттона. Уравнениям с максимумами посвящены работы В.Р.Петухова, А.Р.Магомедова. Г.М.Набиева, Д.Д.Байнова и Х.Д.Вулова. Все упомянутые авторы исследовали такие уравнения в усло-

вцях непрерывной стыковки решения и непрерывной начальной функции. Кроме того, они изучали только классическую устойчивость. Нами был предложены эффективные достаточные условия D—устойчивости таких уравнений без вышеуказанных ограничений.

Список основных публикаций по теме диссертации

1. Сиектр вольтеррова оператора на полуоси // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1983. С. 32-34.

2. К теории устойчивости уравнений с последействием // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1985. С. 21-23.

3. Теоремы об устойчивости обобщенных лпнейных периодических уравнений // Функц.-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч.тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1986. С. 23-26.

4. Устойчивость линейных систем с последействием. I//Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, JV 5. С. 745-754 (соавторы: Азбелсв Н.В., Березаяский JI.M., Чистяков A.B.).

5. Об обратимости вольтеровых операторов в одном классе инвариантных подпространств // Функц.-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1987. С. 63-68 (соавтор: Чистяков A.B.).

6. Условия интегральности оператора Грина // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1988. С. 87-91 (соавтор: Чистяков A.B.).

7. Асимпотическое приближение при решении контактной задачи качения цилиндра по вязкоупругому основанию // Деп. в Черметинформации 24.04.89, № 5090-им89 / МГМИ. Магнитогорск, 1989. 10 с. РЖ Мех, 1989. № 9. 9В390 ДЕП (соавторы: Виноградов В.В., Пун A.M.).

8. К вопросу об ограниченных решениях линейного функционально-дифференциального уравнения // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1939. С. 66-70.

9. О применимости термодинамических критериев устойчивости к системам уравнений, аппроксимирующих динамику процессов в химико-технологических системах // Моделир. и исслед. устойчивости физ. процессов: Тез. докл. науч. шк.-сем. / Киевский гос. уи-т. Киев, 1990. С. 53-51 (соавтор: Шумихин Л.Г.).

10. Теоремы об устойчивости и асимптотическом поведении решений линейных и квазилинейных дифференциальных уравнений с последействием // Краевые задачи мат. физики: Сб. науч. тр. / АН УССР. Ин-т геофизики им. С.И. Субботина. Киев: Наук, думка. 1990. С. 16-22 (соазторы: Федоренко il.Г., Чистяков A.B.).

11. Оценки на полуоси спектрального радиуса положительного оператора // Функц.-днфферени. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь,

1990. С. 152-154.

12. Устойчивость линейных систем с последействием. II // Дифферент, уравнения.

1991. Т. 27, Л= 4. С. 555-562 (соавторы: Азбелсв Н.В., Березанский JI.M., Чистяков А.В.).

13. Asymptotically periodic solutions of neutral functional differential equation // II Internat. Colloquium on Different. Equat.: Abstracts of invited lectures and short communications. Plovdiv. Bulgaria. 1991. P. 271 (соавтор: Чистяков A.B.).

14. Устойчивость линейных систем с последействием. III // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, jY 10. С. 1659-1668 (соавторы: Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Чистяков А.В.).

15. Две теоремы о существовании периодических решений для нелинейного дифференциального уравнения запаздывающего типа // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1991. С. 62-74 (соавтор: Мартынова М.И.).

16. Устойчивость линейных систем с последействием. IV // Дифференц. уравнения. 199-3. Т. 29, Л? 2. С. 196-204 (соавторы: Азбелез Н.В., Березанский Л.М., Чистяков А.В.).

17. О разрешимости периодических уравнений // Вестник ПГТУ. Математика и прикл. математика / Перм. гос. техн. уп-т. Пермь, 1994. № 1. С. 61-71 (соавтор: Чистяков

■ А.В.).

18. К вопросу об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений по первому приближению // Известия вузов. Математика. 1995. № 10. С. 3-9 (соавторы: Азбелсв II.В., Ермолаев М.Б.).

19. К вопросу об экспоненциальной оценке матрицы Коши дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом // Вестник ПГТУ. Математика и прикл. математика / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1996. № 3. С. 67-71 (соавтор: Чистяков А.В.).

20. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Известия вузов. Математика. 1997. oVi 6. С. 3-16 (соавтор: Азбелев Н.В.).

21. Об экспоненциальной устойчивости линейных дифференциально-разностных систем // Известия вузов. Математика. 1997. Л: 6. С. 37-49 (соавтор: Чистяков А.В.).

22. Symbolic analysis of linear periodic operators in translation-invariant Lebesgue C'-moduli // Functional Differentia! Equations. 1997. V. 4. .V; 1-2. P. 27-38 (соавтор: Чистяков А.В.).

23. К вопросу об эффективных условиях устойчивости решений нестационарных линейных дифференциальных уравнений // Вестник ПГТУ. Фупкц.-дифференц. уравнения (спец. выпуск) / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1997. j\= 4. С. 40-48 (соавтор: Алвеш М.Ж.).

24. Признак экспоненциальной устойчивости нетривиального положения равновесия в ■модели "хищник-жертва" // Междунар. конгресс "Нелинейный анализ и его прил.": Тез. докл. / ЦИУНД при ИМАШ РАН. М., 1993. С. 75.

25. Исследование устойчивости нелинейных дифференциальных уравнений с последействием по линейному приближению // Некоторые проблемы фундаментальной и прикл. математики: Сб. науч. тр. / МФТИ (ГУ). М.. 1998. С. 4-14 (соавтор: Азбелев Н.В.).

26. Признак экспоненциальной устойчивости нетривиального положения равновесия в модели "хищник-жертва" // Междупар. конгресс "Нелинейный анализ и его прил.": Тр. конгресса / ЦИУНД при ИМАШ РАН. М., 1999. С. 281. 1 компакт-диск.

27. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом. II // Известия вузов. Математика. 2000. № 4. С. 3-13 (соавтор: Азбелев Н.В.).

28. A new approach to the stability theory of differential equations with delay // Вестник ТГУ. Серия: Естественные и технические науки / Тамбовский ун-т. Тамбов, 2000. Т. 5, вып. 4. С. 487-488.

29. К вопросу об устойчивости дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Экономическая кибернетика: методы и средства эффективного управления: Сб. ст. / Изд-во Пермского ун-та. Пермь, 2000. С. 77-82.

30. Математические модели микроэкономики / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2001. 234 с. (соавторы: Батищева С.Э., Каданэр Э.Д.).

31. Об одном новом подходе к задаче об устойчивости движения // VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикл. механике: Аннотации докл. / УрО РАН, Екатеринбург, 2001. С. 528-529.

32. Об условиях разрешимости краевых задач на бесконечности для функционально-дифференциальных уравнений // Известия Российской академии естественных наук. Дифференц. уравнения / Рязанский гос. пед. ун-т. Рязань, 2001. N 5. С. 157-159.

33. Ь стойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Пермского ун-та, 2001. 230 с. (соавтор: Азбелев Н.В.).

•34. Об одном признаке устойчивости // Труды Средневолжского мат. общества. 2002. Т. 3-4. Л? 1. С. 174-182 (соавторы: Алвеш М.Ж., Чистяков A.B.).

•35. J стойчивость дифференциальных уравнений с последействием // Известия Ин-та математики и информатики / Удмурт, гос. ун-т. Ижевск. 2002. № 2 (25). С. 95-96.

36. Dynamic mathematical models with aftereffect in economics and biology // V Междунар. конгресс по мат. моделир.: Тез. докл. / Отв. за том Л.А.Уварова. М.: "Янус-К", 2002. Т. 2. С. 182.

37. Stability of differential equations with aftereffect. London and New York: Taylor and Francis, 2002. xvii p. + 222 p. (соавтор: Азбелев H.B.).

3S. On sufficient condition of stability for the first order differential equation with retarded argument // Memoirs on Different. Equat. and Math. Physics. Tbilisi: Publishing House GCI, 2002. V. 26. P. 31-42 (соавторы: Алвеш М.Ж., Чистяков A.B.).

39. Краевые задачи на полуоси // Вестник ПГТУ. Математика и прикл. математика / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2002. С. 23-33 (соавтор: Алвеш М.Ж.).

40. О некоторых динамических моделях микроэкономики // Там же. С. 109-114.

41. Современная теория устойчивости уравнений с последствием: обзор идей и результатов // Нелинейный анализ и нелинейные дифференц. уравнения: Сб. обзоров / Под ред. В.А.Треногина и А.Ф.Филиппова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. С. 291-306 (соавтор: Азбелев Н.В.).

42. Boundary value problems on semi-axis // SAMSA Journal. 2002. V. 1, № 2. P. 3-15 (соавтор: Алвеш М.Ж.).

43. Динамические математические модели с последствием в экономике и биологии // Обозрение прикл. и промышл. математики. 2002. Т. 9, выл. 3. С. 191.

44. О некоторых динамических моделях макроэкономики // Экономическая кибернетика: методы и средства эффективного управления: Сб. ст. / Изд-во Пермского ун-та, Пермь, 2002. С. 68-77.

Подписано в печать 15.11.02. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1.9 Тираж !20 экз. Заказ № ¿9Ч

Отпечатано на ризографе ООО Учебный центр «Информатика»

Список основных условных обозначений и сокращений

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ.

§ 1.0. Введение.

§ 1.1. Представители класса ФДМП.

§ 1.2. Линейные ФДМП.

§ 1.3. Комментарии и библиография

Глава И. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛФДМП.

§2.0. Введение.

§2.1. Функциональные пространства и D— устойчивость.

§2.2. D—устойчивость и классическая устойчивость.

§2.3. W-метод.

§ 2.4. Признаки устойчивости ЛФДМ с распределенным запаздыванием

§ 2.5. Признаки устойчивости ЛФДМП нейтрального типа.

§ 2.6. Комментарии и библиография

Глава III. ОЦЕНКИ МАТРИЦ КОШИ ЛФДМП, РАЗРЕШЕННЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ЛФДМП.

§3.0. Введение.

§3.1. Матрица Коши.

§ 3.2. Обобщенное полугрупповое равенство.

§3.3. D—устойчивость ЛФДМ с распределенным запаздыванием.

§ 3.4. Основной признак устойчивости для скалярной ЛФДМП.

§ 3.5. Теоремы об устойчивости решений обобщенных периодических ЛФДМП

§ 3.6. Комментарии и библиография

Глава IV. ТЕОРЕМЫ БОЛЯ-ПЕРРОНА

§ 4.0. Введение.'.

§4.1. D—устойчивость.

§4.2. Экспоненциальная устойчивость

§ 4.3. Асимптотическая устойчивость.

§ 4.4. Функции, имеющие конечный предел.

§ 4.5. Асимптотически периодические решения

§4.6. Сильная В—устойчивость.

§ 4.7. Связь сильной и равномерной экспоненциальной устойчивостей

§ 4.8. О разрешимости относительно производной равномерно экспоненциально устойчивого ЛДРУ нейтрального типа

§ 4.9. Об обратимости линейных периодических операторов в трансляционно-инвариантных С^—модулях.

§4.10. Комментарии и библиография.

Глава V. УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ФДМП.

§ 5.0. Введение.

§5.1. Функционально-интегральные неравенства

§ 5.2. Устойчивость нелинейных ФДМП по линейному приближению

§ 5.3. Условия устойчивости некоторых классов ФДМП.

§ 5.4. Устойчивость решений уравнений с "максимумами".

§ 5.5. Две теоремы о существовании периодических решений для нелинейных

ФДМП.

§5.6. Комментарии и библиография

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования

Разнообразные явления окружающего мира являются источниками моделей, учитывающих не только настоящее состояние объекта исследования, но и существенно использующих предысторию его развития. Кроме того, возникают такие постановки задач, которые требуют построения и анализа моделей, учитывающих зависимость текущего состояние объекта от его будущих состояний. Для таких задач обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ) уже не являются удовлетворительной математической моделью. Более точное математическое описание в этом случае дают функционально-дифференциальные уравнения (ФДУ) с последействием (ФДУП). Ниже всюду такие модели будем называть функционально-дифференциальными моделями с последействием (ФДМП).

Отдельные примеры дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом рассматривали еще Л.Эйлер и М.Кондорсе. В середине двадцатого века развитие электротехники, механики, химической технологии, биологии, экологии, медицины, иммунологии, математической экономики, автоматического управления и других областей науки и техники (соответствующие примеры и библиографию можно найти, например, в1,2) вызвало необходимость в развитии теории ФДМП — естественного обобщения классической теории ОДУ. В последнее десятилетие усилился интерес к динамическим моделям экономики, социологии и экологии, комплексным моделям регионов, стран и человеческой цивилизации.

В работах Д.Л.Андрианова и В.П.Максимова (см., например, 3' 4) предложены новые классы ФДМП для описания динамики экономических, социально-экономических и эколого-экономических процессов с учетом эффектов последействия. Доказаны теоремы о структуре стабилизирующего управления, решающего задачу целевого управления для нелинейных ФДМП. Разработаны алгоритмы построения множества допустимых стабилизирующих траекторий нелинейных межотраслевых ФДМП.

Под руководством академика В.М.Матросова проводятся комплексные исследования устойчивости и неустойчивости развития в мире и в регионах, а также анализ устойчивости и поддержки принятия стабилизирующих решений, осуществляется

1 Титов Н.И., Успенский В.К. Моделирование систем с запаздыванием. Л.: Изд-во "Энергия", 1969. 97 с.

2Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием: М.:Наука, 1992. 336 с.

3Андрианов Д.Л., Максимов В.П. Целевое управление и краевые задачи для макроэкономических моделей с последействием // Вестник Пермского университета. Экономика. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1995. Вып. 2. С. 102-123.

4Максимов В.П. Нелинейные модели экономической динамики и задачи их исследования // Вестник Пермского университета. Экономика. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1999. Вып. 1. С. 155-163. моделирование и прогнозирование мирового и регионального социально-эколого-экономического развития, стратегической безопасности. В монографии5 изложены результаты, методология, математические модели и методы комплексных исследований проблем безопасности, перехода России к устойчивому развитию в XXI веке.

Численным алгоритмам нахождения решений ФДМ посвящены монографии6,7,8. Заметим, что в монографиях6'7 найдены приближенные решения ФДМП, возникающих в кинетике ядерных реакций, в математической биологии и медицине. В работах В.П.Максимова и А.Н.Румянцева (см., например, 9' 10• п) проведено теоретическое обоснование и выполнена практическая реализация специального вычислительного эксперимента по эффективной проверке критериев разрешимости краевых задач для ФДМ. Развитые в этих работах конструктивные методы позволяют достоверно установить факт разрешимости краевой задачи и в случае ее разрешимости — приближенно вычислить решение с гарантированной оценкой погрешности.

Вопросам устойчивости моделей, систем и процессов с последействием посвящены, например, обзоры и монографии А.Д.Мышкиса, В.Б.Колмановского и В.Р.Носова, К.Кордуняну, В.Лакшмикантама и А.А.Мартынюка, Дж.К.Хейла и С.Лунела, В.Г.Курбатова, Ю.Ф.Долгого, М.Т.Терехина, А.В.Кима и В.Г.Пименова Д.Я.Хусаи-нова, А.И.Кирьянена, Е.Н.Чукву и других авторов.

Центральное место при изучении ФДМП занимают вопросы устойчивости и существования периодических режимов (траекторий) ФДМП, разработка общей теории которых еще далека от своего завершения. В связи с этим особенно актуальным является нахождение общих принципов исследования этих вопросов.

При исследовании конкретных классов ФДМП, возникающих в приложениях, как правило, теоретические критерии устойчивости оказываются неэффективными, а имеющиеся достаточные условия — слишком грубыми и дающими практический результат лишь в исключительных случаях, что определяет актуальность задачи эффективной проверки критериев и признаков устойчивости и асимптотического поведения траекторий ФДМП. Теоретическое обоснование и практическая реализация эффективного подхода предполагают разработку специальных методов исследования, основанных на фундаментальных положениях общей теории и использующих богатые возможности современных вычислительных систем. При этом необходимо от

5Новая парадигма развития России (Комплексные исследования проблем устойчивого развития) / Под. ред. В.А.Коптюга, В.М.Матросова, В.К.Левашева. 2-изд.,перераб. М.: Изд-во "Academia", Иркутск: РИЦ ГП "Облинформпечать", 2000. 460 с.

6Воронина Н.В., Маланин В.В., Рекка P.A. Осциллирующие функции и некоторые их приложения. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1993. 116 с.

7Воронина Н.В., Маланин В.В., Рекка P.A. Интегродифференциальные уравнения и их приложения. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1995. 91 с.

8Kim A.V., Pimenov V.G. Numerical methods for delay differential equations. Applications of »—smooth calculus. Seul: Seul National University, 1999. x p. +96 p.

9Азбелев H.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

10Румянцев А.Н. Доказательный вычислительный эксперимент в исследовании краевых задач. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 1999. 174 с.

11Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально-дифференциальных уравнений. Методы и приложения. М.: Ин-т компьютер, исслед., 2002. 384 с. метить, что основное назначение этих методов — достоверное установление факта устойчивости ФДМП.

Объектом исследования являются ФДМП, в частности, модели экономики и биологии. Диссертационная работа посвящена разработке нового подхода к исследованию устойчивости и асимптотического поведения ФДМП. Предлагаемый подход позволяет исследовать динамические модели, представимые в виде ФДМП (как линейных, так и нелинейных). Рассмотрены, в частности, линейные обыкновенные дифференциальные уравнения (ЛОДУ), системы линейных дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием, системы линейных дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием аргумента, системы линейных дифференциальных уравнений нейтрального типа, а также некоторые классы нелинейных систем ФДМП.

Основная идея исследования состоит в следующем: по исходному объекту строится вспомогательный объект ("элементарная модель" (ЭМ)) с достоверно вычислимыми параметрами, допускающий эффективное исследование устойчивости. При этом успех исследования предопределен "адекватностью" ЭМ характеру изучаемого явления, процесса. После исследования элементарной модели окончательный результат зависит от "близости" исходной и элементарной моделей. Предлагаемый подход позволяет формулировать эффективно проверяемые условия, гарантирующие совпадение определенных свойств траекторий элементарной и исследуемой моделей. В случае, если эти условия не выполняются, строится новая, более близкая к исходной, модель и повторяется проверка условий. Реализация этого метода (разумеется, метод не универсален и ориентирован на определенный, но достаточно широкий класс моделей) позволяет сводить исследование конкретной модели к исследованию ЭМ, которую приходится строить и использовать неоднократно.

Цель диссертационной работы

Разработка эффективного метода исследования широкого класса ФДМП на устойчивость (как свойство корректности модели в пространствах траекторий, определенных на бесконечном промежутке).

Научная новизна

В диссертации

1) дано обоснование нового класса моделей (ФДМП с кусочно постоянными запаздываниями) для переходных экономических процессов с непрерывным распределенным запаздыванием и процессов выбытия (амортизации) основных производственных фондов;

2) дано теоретическое обоснование нового подхода к исследованию на устойчивость широкого класса динамических моделей с запаздыванием;

3) разработаны новые методы исследования устойчивости элементарных моделей, систем и процессов, охватывающих системы ОДУ, системы дифференциальных уравнений с сосредоточенным запаздыванием, системы дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием, системы дифференциальных уравнений нейтрального типа;

4) установлена и детально исследована связь между различными видами устойчивости для моделей с последействием;

5) разработан эффективный метод исследования моделей с периодическими параметрами (метод ориентирован на получение гарантированного результата с использованием возможностей современных вычислительных систем и реализован А.Н.Румянцевым и Ж.С.П.Мунембе (см., например, 9'п);

6) на основе результатов для линейных элементарных моделей разработан эффективный метод исследования на устойчивость широкого класса нелинейных динамических моделей, исследованы некоторые модели экономики и биологии.

Методы исследования существенно базируются на современной теории ФДУ9,11.

Теоретическая значимость

Основные идеи, методы и утверждения, предложенные в диссертации, развивают эффективное направление в математическом моделировании и открывают новые возможности исследования широких классов динамических моделей.

Практическая значимость

В диссертации установлена принципиальная возможность применения разработанных в ней методов и схем к исследованию конкретных функционально-дифференциальных моделей, возникающих в различных отраслях практической деятельности, в частности, к исследованию некоторых задач экономики и биологии.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Республиканской конференции "Теория и численные методы решения краевых задач дифференциальных уравнений" (Рига, 1988), на школах-семинарах "Моделирование и исследование устойчивости процессов" и "Разрывные динамические системы" (Киев, 19901994), на Международных коллоквиумах по дифференциальным уравнениям (Болгария, Пловдив, 1991, 1992), на Коллоквиумах по современному групповому анализу и математическому моделированию (Нижний Новгород, 1992; Самара, 1993), на III Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" (Москва, 1994), на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 1994, 2002), на II научной конференции по нелинейным наукам (Москва, 1997), на Международном симпозиуме "Дифференциальные уравнения и математическая физика" (Тбилиси, 1997), на Международной конференции по ФДУ (Израиль, Ариель, 1998), на Международном конгрессе "Нелинейный анализ и его приложения" (Москва, 1998), на Международной конференции "Нелинейные науки на рубеже тысячелетий" (Санкт-Петербург, 1999), на Международных конференциях "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели" (Челябинск, 1999, 2002; Одесса, 2000), на Международной конференции "Дифференциальные и функционально-дифференциальные уравнения" (Москва, 1999), на Международной конференции "Устойчивость и управление для нелинейных трансформирующихся систем" (Москва, 2000), на Всероссийской конференции "Общие проблемы управления и их приложения к математической экономике" (Тамбов, 2000), на Международной школе по динамическим и управляемым системам (Владимир,

2001), на VIII Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001), на VIII Четаевской международной конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" (Казань, 2002), на II Международном конгрессе "Нелинейный динамический анализ" (Москва, 2002), на V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002), на III Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2002), на семинаре профессора Ю.В.Покорного (Воронеж, 1985), на семинаре профессора В.Г.Писаренко (Киев, 1986), на проблемном совете механико-математического факультета Киевского госуниверситета (Киев, 1985), на семинаре академика Ю.С.Осипова (Свердловск, 1986), на Пермском городском семинаре по ФДУ под руководством профессора Н.В.-Азбелева (1988-2000), на Магнитогорском городском семинаре по ФДУ (1986-1988), на Ижевском городском семинаре по дифференциальным уравнениям и теории управления под руководством профессора Е.Л.Тонкова (1996, 1997, 2000), на семинаре кафедры теоретической механики Уральского госуниверситета (Екатеринбург, 1989, 1999, 2002), на семинаре кафедры математического анализа Рязанского государственного педагогического университета (Рязань, 2002).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы более чем в 80-ти работах и в трех (в соавторстве с Н.В.Азбелевым, С.Э.Батищевой и Э.Д.Каданэром) монографиях. Список основных публикаций автора по теме диссертации приведен в конце автореферата. Подробное описание результатов соискателя в совместных научных работах приведено в содержании при изложении основных результатов работы.

Основные результаты отражены также в отчетах о НИР, выполнявшихся в соответствии с планами госбюджетной НИР Международной лаборатории конструктивных методов исследования динамических моделей при кафедре экономической кибернетики Пермского государственного университета в рамках Программы Министерства образования РФ "Университеты России — фундаментальные исследования" (1997, ЛЬ 6032; 2001, Л/о 015.03.01.025), "Университеты России" (2002, Л/оУР. 03. 01. 023), в соответствии с планами госбюджетной НИР Научно-исследовательского центра "Функционально-дифференциальные уравнения" при Пермском государственном техническом университете по грантам Международного научного фонда (1993), грантам Госкомвуза и Минобразования РФ (1992-1993, Л/о 2-13-7-47; 1998-2000; 2002, Л/оУР. 04. 01. 001), по грантам Российского фонда фундаментальных исследований (1993-1995, ЛЬ 93-011-1722; 1996-1997, Мо 96-01-01613; 1999-2000, Л/о 99-01-01278; 2001-2002, Л/о 01-01-00511), по гранту Президента РФ в рамках программы государственной поддержки ведущих научных школ (1996-1999, Л/о96-15-96195), по единому заказ-наряду Пермского государственного технического университета (19931995, 1996-1998, 1999-2002), в соответствии с планами НИР Центра аналитических исследований "Прогноз" (г. Пермь) по грантам Международного научного фонда и Правительства РФ (1994-1995, Л/oNRKOOO, A/oNRK300).

Структура и объем работы

Общий объем работы составляет 340 страниц текста, список литературы включает 450 наименований.

Содержание и основные результаты диссертационной работы

Впервые отдельные уравнения с запаздыванием появились в литературе в конце XVIII века (М.Кондорсе, 1771 г.), но систематическое изучение их началось лишь в XX веке в работах В.Вольтерры по исследованию моделей хищник-жертва и по теории вязкоупругости.

Начиная с 40-х годов минувшего столетия появилось много работ, посвященных теории ФДМ. Отметим монографии А.Д.Мышкиса, Э.Пинни, Р.Э.Беллмана и К.Л.Кука, Л.Э.Эльсгольца и С.Б.Норкина, Дж.К.Хейла.

Большую роль в развитии теории ФДМ сыграли идеи и результаты Свердловской школы математиков, прежде всего идеи Н.Н.Красовского, который предложил трактовать состояние ФДМП как элемент подходящего функционального пространства, а также исследования С.Н.Шиманова, Ю.С.Осипова и их учеников. Глубокое и всестороннее изучение уравнений с отклоняющимся аргументом было проведено участниками Пермского городского семинара по ФДУ12'13, результаты которого систематизированы в монографиях9'11.

Диссертация посвящена вопросам устойчивости и асимптотического поведения решений ФДМП

Сх = Тх + <7 (1) с линейным С, и нелинейным Т вольтерровыми операторами, определенными на множестве Т>1ос локально абсолютно непрерывных функций х : [а, оо) —► ]1п (функций, г допускающих представление х(1.) = / х(в)с1з + х(а), где х € Л/ос — пространству лоа кально суммируемых на [а, оо) функций). Такие уравнения являются обобщениями ОДУ и ряда других актуальных в современных приложениях классов ФДМП.

Теория устойчивости долгое время развивалась в направлениях, указанных еще сто лет тому назад Ляпуновым. Однако для уравнений с запаздывающим аргументом и их обобщений классические концепции и приемы Ляпунова иногда оказываются неестественными и не приводят к желаемым результатам. Это объясняется спецификой ОДУ, на которой основаны некоторые идеи Ляпунова.

В работах Р.Э.Беллмана, М.Г.Крейна и Ю.Л.Далецкого, Х.Л.Массеры и Х.Х.Шеф-фера, а также в монографии Е.А.Барбашина предложены новые направления исследования устойчивости решений ОДУ. Они основаны на том, что свойства устойчивости можно связать с разрешимостью задачи Коши в специальных пространствах состояний. В работах В.А.Тышкевича, В.Г.Курбатова и Р.Р.Ахмерова и ряда других авторов упомянутые направления развивались применительно к специальным классам ФДМ. Эти исследования посвящены общим концепциям, явлению дихотомии и теоремам типа теоремы Боля-Перрона о том, что для линейного уравнения ограниченность всех решений при всех ограниченных правых частях q эквивалентна при определенных условиях равномерной экспоненциальной устойчивости. В большей части работ упомянутых авторов вопрос об эффективных (выраженных через параметры

12Азбелев Н.В. К 25-летию Пермского семинара по функционально-дифференциальным уравнениям //Дифференц. уравнения. 2001. Т. 37, № 8. С. 1136-1139.

13Азбелев Н.В. Как это было (исторический очерк возникновения и развития теории ФДУ) // Вестник ПГТУ. Функц.-дифференц. уравнения (спец. выпуск) / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2002. С. 13-40. модели) признаках устойчивости не рассматривался. В предлагаемой диссертационной работе глава IV полностью посвящена теоремам типа теоремы Боля-Перрона, однако основной акцент в диссертации сделан на получении конкретных признаков устойчивости моделей.

Современное состояние наших представлений о ФДМ естественным образом приводит к новым концепциям в задачах об асимптотическом поведении поведении решений и к эффективному "УУ—методу" Н.В.Азбелева исследования конкретных моделей. Этот метод и некоторые другие приемы, рассмотренные в диссертации, позволили получить ряд новых признаков устойчивости, упростить доказательства, а иногда и уточнить известные результаты.

Современная теория ФДМ подчеркивает роль выбора пространства состояний при построении каждой конкретной модели в виде ФДМ и тот факт, что выбор пространства состояний определяет степень адекватности модели исследуемому процессу14. Серия работ Пермского городского семинара по ФДУ посвящена изучению сингулярных моделей (см., например, 11). В этих работах центральным моментом исследования является выбор пространства состояний, в котором рассматривается модель. При правильном выборе пространства сингулярная задача становится регулярной, то есть к ней оказываются применимыми стандартные методы анализа. Новый подход к изучению асимптотических свойств траекторий ФДМП основан на рациональном выборе пространства состояний, в котором определена ФДМП. Упрощая ситуацию, можно сказать, что асимптотическое поведение траекторий (в частности — устойчивость) определяется таким выбором пространства состояний, в котором задача корректно разрешима.

Предлагаемый нами подход к изучению асимптотических свойств решений уравнения (1) основан на установлении "О—свойства" этого уравнения — корректной разрешимости задачи Коши

Сх = Тх + д, х(а) = а (2) в заданном пространстве состояний Ю при правой части q из заданного пространства возмущений В и начальном условии а из конечномерного пространства Пп. Иначе говоря, О—свойство (или, что то же, "П—устойчивость") — это корректность модели, то есть существование, единственность и непрерывная зависимость от параметров ^ € В и с* € К" решения задачи (2) в банаховом пространстве И функций х : [0, оо) —> Кп с заданными асимптотическими свойствами элементов. При соответствующем выборе пространств В и И наличие Ю-свойства гарантирует ту или иную устойчивость в обычном смысле. При этом центральным вопросом исследования данного уравнения на устойчивость оказывается вопрос о построении такого пространства О с заданными свойствами, в котором удается установить корректную разрешимость задачи (2). Решение этого вопроса основано на выборе линейного уравнения Сох = г, играющего роль элементарной модели, и пространства В локально суммируемых функций г : [0, оо) —► Нп. А именно, пространство О — это линейное многообразие всех абсолютно непрерывных решений х модельного

14Азбелев Н.В. К вопросу о формализации математических моделей // Вестник ПГТУ. Функ-ционально-дифференц. уравнения (спец. выпуск) / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1997. № 4. С. 7-14. уравнения Cqx = z при всех г 6 В. Норму в пространстве D удобно определять равенством

IMId = ||£ож||в + 1Иа)1к"

Новый подход к проблеме устойчивости приводит к построению специальных пространств D. При надлежашем выборе пространства D из D—устойчивости следует устойчивость по Ляпунову, при другом выборе пространства D — асимптотическая устойчивость, устойчивость по части переменных и т.д. Непрерывная обратимость линейного оператора, который в явном виде записывается для каждой линейной ФДМП вида (1), необходима и достаточна (при естественных предположениях) для D—устойчивости этой модели. Для нелинейной ФДМП вида (1) локальная D—устойчивость обеспечивается применимостью принципа Банаха о сжимающих отображениях к некоторому оператору, записанному в явном виде и действующему в некотором шаре пространства D.

Надо отметить, что упомянутая теория устойчивости позволяет не только достаточно просто доказывать ряд известных утверждений классической теории устойчивости ОДУ, но и применима к широкому классу ФДМП, для которых классические приемы либо неприменимы, либо недостаточно эффективны.

Диссертация состоит из пяти глав. В главе I приведены необходимые для дальнейшего изложения сведения о ФДМП. В этой главе в наиболее общем виде доказана теорема о представимости решений линейной ФДМП в виде формулы Коши.

В §1.0 первой главы для случая непрерывного распределенного запаздывания предложено использовать операторы Вольтерры, которые являются операторами Коши некоторах элементарных ФДМП, возникающих в экономических задачах. Как известно15, в динамических моделях экономики используют инерционные и дискретные запаздывания между входными и выходными процессами. При этом инерционные запаздывания первого порядка определяют бесконечно длящиеся переходные процессы, что не всегда адекватно реальным процессам. Нами предложено моделировать запаздывание между входным и выходным процессом линейным дифференциальным уравнением (элементарной ФДМП) вида

Ty'(t) + y([t/T]T) = x(t), t> 0, (3) где Т — время (лаг) запаздывания (переходного процесса), [t/T\ — целая часть числа t/T, х(t) — входной процесс, y(i) — выходной процесс. Ниже для простоты изложения будем считать все функции заданными при t > 0. В случае x(t) = 1 и у(0) = 0 решение уравнения (3) имеет вид y(t) = t/T при 0 < t < Т и y(t) = 1 при t > Т. Таким образом, переход из состояния 0 в состояние 1 происходит по линейной зависимости за время Т.

В монографии16 отмечено: "Имеется большое разнообразие способов начисления амортизации. В зависимости от принятого способа годовая норма амортизации может выбираться следующими способами: равномерно, если стоимость каждой единицы основных фондов возмещается равными долями в течение всего срока служ

15Аллен Р. Математическая экономия. М.: ИЛ, 1963. 668 с.

16Китайгородский В.И., Котов В.В. Моделирование экономического развития с учетом замещения невозобновляемых энергетических ресурсов. М.: Наука, 1990. 168 с. бы; прогрессивно, по нарастающей шкале; по убывающей шкале; по проработанному времени. На практике наиболее распространен равномерный способ начисления амортизации. Он наиболее прост и удобен в задачах учета и анализа хозяйственной деятельности. Однако непосредственное использование равномерной нормы амортизации в задачах математической экономики встречает некоторые затруднения. Это связано с тем, что при разновременных капиталовложениях и равномерном способе начисления амортизации невозможно записать динамику основных фондов в виде обыкновенного дифференциального уравнения".

Далее авторы приводят уравнение динамики основных производственных фондов (ОПФ), которое в принятых нами обозначениях имеет вид

K'(t)=I(t)-nK(t), (4) где K{t) — уровень ОПФ в момент времени t, I(t) — интенсивность валовых инвестиций в ОПФ в момент времени t, ц — (постоянная) норма амортизации (выбытия) ОПФ за единицу времени.

В монографии16 также отмечено, что уравнение (4) ".приближенно реализует равномерный способ начисления амортизации. По сравнению с равномерным способом уравнение (4) приводит к несколько ускоренной амортизации".

Нами предложена линейная ФДМ равномерного способа начисления амортизации в виде

K\t) = I{t) - цК{Щ). (5)

Как правило, норму /х определяют равенством ц = 1 /Т, где Т — количество единичных временных промежутков. Величина Т берется целочисленной и имеет смысл времени (лага) амортизации. В модели (5) при I(t) = 1 и /i(0) = 0 на промежутке [0,1) амортизация не производится, поэтому ОПФ растут по линейному закону K(t) = t. Далее K(t) будет возрастающей кусочно линейной функцией, стремящейся на бесконечности к уровню Т единиц ОПФ.

Заметим, что модели с кусочно постоянными запаздываниями встречались ранее при моделировании биологических популяций17. Различные виды "затухающей" памяти материалов используются в механике сплошных сред18. В книге1 приведен следующий перевод одной фразы из статьи М.Калецкого 1935 года: ". никоим образом введение постоянного запаздывания не соответствует действительности; есть только средняя величина различных наблюдаемых продолжительностей периода запаздывания и система, в которой г есть постоянная величина, должна рассматриваться как простейшая модель действительности". В монографии19 отмечена необходимость использования в динамических моделях экономики переменного характера памяти о предыстории, влияющей на развитие системы и приводящей к принципиальному изменению характера развития процесса.

17Gopalsamy К. Stability and oscillations in delay differential equations of population dynamics. Dordrecht e.a.: Kluwer Academic Publishers, 1992. xii p. + 501 p.

18Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М: Изд-во "Мир", 1975. 592 с.

19Кобринский Н.Е., Кузьмин В.И. Точность экономико-математических моделей. М.: Финансы и статистика, 1981. 256 с.

Далее в первой главе диссертации с учетом моделей (4), (5) выведены модификации известных моделей микро- и макроэкономики: модель Вальраса-Эванса-Самуэльсона (ВЭС) рынка одного товара с учетом запаздывания цен спроса и предложения15,20,21; модель ВЭС рынка одного товара с учетом запаздывания спроса от предложения, а также с учетом запаздывания цены спроса от цены предложения ; модель Маршалла рынка одного товара с учетом запаздывания предложения и запаздывания цены предложения15'21; модель Аллена рынка одного товара с учетом запаздывания предложения и с зависимостью спроса и предложения от цены и скорости изменения цены15; модель ВЭС рынка одного товара с учетом отклонения запаса от заданного уровня и с учетом запаздывания цены15,23,24; модель ВЭС рынка нескольких товаров учетом запаздывания цен предложения и спроса15'21; модель Видала-Вулфа (ВВ) объема сбыта одного товара в зависимости от расходов на рекламу и модель ВВ объема сбыта двух взаимодополняющих товаров в зависимости от расходов на рекламу24; модель динамики уровня ОПФ (производственного капитала) с учетом выбытия и запаздывания освоения инвестиций19; модель управляемого производства в зависимости от поступающих заказов и заданного уровня запасов на складе1; модель формирования связанных установок поведения индивидов с учетом запаздывания реакции25'26; простейшая линейная модель динамики чистого внутреннего продукта (ЧВП) с учетом запаздывания ввода индуцированных инвестиций15; нелинейная модель Филлипса-Гудвина динамики ЧВП1,15,20'23; линейная односектор-ная модель динамики валового внутреннего продукта (ВВП)23; ранняя модель Калец-кого динамики ВВП и ОПФ с учетом амортизации1'15; неоклассическая нелинейная односекторная модель Рамсея-Солоу-Свена (РСС) динамики ВВП с учетом запаздывания ввода инвестиций16"21'27; неоклассическая нелинейная односекторная модель РСС динамики ВВП с акселератором и с учетом запаздывания ввода инвестиций28; неоклассическая нелинейная двухсекторная модель с запаздыванием ввода инвестиций 20; неоклассическая нелинейная модель Занга динамики ВВП с учетом запаздывания ввода инвестиций и образования человеческого капитала (ЧК)21; неоклассическая нелинейная двухсекторная модель Удзавы-Лукаса динамики ВВП и ЧК с

20Бергстром А.Р. Построение и применение математических моделей. М.: Изд-во "Прогресс", 1970. 176 с.

213анг В.-Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М.: Мир, 1999. 336 с.

22Неймарк Ю.И., Островский A.B. Дифференциальные экономические модели типа Самуэльсона //Вестник ННГУ. Математическое моделирование и оптимальное управление. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского ун-та, 1999. Вып. 1(20). С. 123-129.

23Багриновский К.А. Модели и методы экономической кибернетики. М.: Экономика, 1973. 208 с.

24Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями. М.: ФИЗ-МАТЛИТ, 2000. 256 с.

25Гаврилец Ю.Н., Карташева A.B. Модель формирования связанных установок при активном участии индивидов // Мат. и компьютер, моделир. социально-эконом. процессов: Сб. ст. / Под. ред. Ю.Н.Гаврильца. ЦЭМИ РАН. М., 1997. С. 8-26.

26Ковалев Д.А. Компьютерный анализ динамики установки с запаздыванием // Там же. С. 27-32.

27Харрис Л. Денежная теория. М.: Прогресс, 1990. 751 с.

28Накоряков В.Е., Гасенко В.Г. Математическая модель плановой макроэкономики // Экономика и мат. методы. 2002. Т. 38, № 2. С. 118-124. учетом запаздывания ввода инвестиций в ОПФ и с учетом запаздывания образования ЧК29; неоклассическая нелинейная односекторная модель Тобина-Сидрауски динамики ВВП с учетом денежного рынка 21-27.

В §1.1 даны описания типичных представителей ФДМП — дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом и их обобщений. Подчеркивается единство широкого класса таких уравнений. В §1.2 подробно рассмотрена линейная ФДМП (ЛФДМП), причем внимание акцентируется на представлении общего решения (формуле Коши). В наиболее общем виде сформулированы достаточные условия справедливости формулы Коши.

Линейная ФДМП записывается в виде Сх = /, где линейный оператор С действует из пространства 0/ос локально абсолютно непрерывных функций х : [а, оо) —► Г1п в пространство Ь;ос функций г : [а, оо) —► Л™, суммируемых на каждом конечном отрезке [а, 6]. Центральным здесь является вопрос об условиях, при которых общее решение уравнения Сх = / может быть представлено "формулой Коши" где столбцы п х п—матрицы X (фундаментальной матрицы) составлены из линейно независимых решений однородного уравнения Сх = 0, п х п—матрицу С(-,-) называют матрицей Коши (весовой матрицей).

Для интегродифференциальных и интегральных уравнений Вольтерры формула Коши появилась ещё в середине прошлого века в работах Ю.К.Ландо, Я.В.Быкова, В.Р.Винокурова, Е.А.Барбашина и Л.И.Бисяриной, Р.К.Миллера и С.И.Гроссмана. Для отдельных классов ЛФДМП с запаздывающим аргументом и нейтрального типа интегральные представления решений и аналоги "формулы вариации произвольных постоянных" были получены Р.Э.Беллманом и К.Л.Куком, А.М.Зверкин-ым, А.Халанаем, М.Н.Огюзторели, С.Н.Шимановым и Г.С.Юдаевым, Х.Т.Бэнксом, Д.Хенри, К.Кордуняну, Н.Лукой, Дж.К.Хейлом, Дж.Като, К.Р.Мейером, М.А.Круз-ом, В.Б.Колмановским, С.С.Ахиевым и К.Т.Ахмедовым, В.Е.Слюсарчуком, Т.Наи-то, К.Савано, П.Ч.Дас и Н.Пархи, Р.Датко, М.Мадави и Ю.Ли. Для ЛФДМП общего вида формула Коши была получена Н.В.Азбелевым, Л.Ф.Рахматуллиной, В.П.Максимовым и Л.М.Березанским. Глубокие исследования, связанные с формулой Коши для ЛФДМП с распределенным запаздыванием были проведены в кандидатской и докторской диссертациях В.П.Максимова.

1. Абдрахманов В.Г., Сапрыкин Е.Ф., Смолин Ю.Н., Об устойчивости решения задачи Коши для периодического функционально-дифференциального уравнения с распределенным запаздыванием // Изв. вузов. Математика. 2001. Afo 6 (469). С. 3-11.

2. Абдуллаев А.Р. Оценки норм и устойчивость линейных функционально-дифференциальных уравнений / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1987. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 22.04.87, Л/о2791-В87.

3. Абдуллаев А.Р. Об устойчивости линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1987. С. 46-49.

4. Абдуллаев А.Р., Бурмистрова А.Б. Приводимость и свойства решений линейных функционально-дифференциальных уравнений // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1988. С. 107-112.

5. Адрианова Л.Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1992. 240 с.

6. Азбелев Н.В. О нелинейных функционально-дифференциальных уравнениях // Дифференц. уравнения. 1976. Т. 12, Л/о 11. С. 1923-1932.

7. Азбелев Н.В. Критерий разрешимости задачи о накоплении возмущений // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1982. С. 3-6.

8. Азбелев Н.В. К вопросу об устойчивости решений уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, Л/о 5. С. 911.

9. Азбелев Н.В. К вопросу об устойчивости решений линейных уравнений с последействием, не разрешенных относительно производной // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1985. С. 3-5.

10. Азбелев Н.В. О некоторых тенденциях в обобщениях дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, Л/о 8. С. 1291-1304.

11. Азбелев Н.В. Устойчивость линейных систем с последействием // Вопросы качественной теории дифференц. уравнений: Сб. науч. тр. / Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1988. С. 65-72.

12. Азбелев H.B. Пермский семинар и функционально-дифференциальные уравнения // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1990. С. 3-18.

13. Азбелев Н.В. О роли некоторых традиций в развитии учения о дифференциальных уравнениях // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1991. С. 3-10.

14. Азбелев Н.В. Проблемы и перспективы Пермского семинара по теории функционально-дифференциальных уравнений. I // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т, НВП "Прогноз". Пермь, 1992. С. 3-14.

15. Азбелев Н.В. Современное состояние и тенденции развития теории функционально-дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1994. Л/об (385). С. 8-19.

16. Азбелев Н.В., Бердникова М.П., Рахматуллина Л.Ф. Интегральные уравнения с отклоняющимся аргументом // Докл. АН СССР. 1970. Т. 192, Л/оЗ. С. 479482.

17. Азбелев Н.В., Березанский JI.M. Устойчивость линейных систем с последействием // Успехи мат. наук. 1986. Т. 41, вып. 4 (250). С. 166.

18. Азбелев Н.В., Березанский JI.M. Устойчивость решений уравнений с последействием // Функционально-дифференц. уравнения: Сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1989. С. 3-15.

19. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Рахматуллина Л.Ф. О линейном функционально-дифференциальном уравнении эволюционного типа // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, ЛЬ 11. С. 1915-1925.

20. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М. Теорема об устойчивости линейных уравнений с последействием // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1986. С. 3-6.

21. Азбелев Н.В., Березанский Л.М., Симонов П.М., Чистяков A.B. Устойчивость линейных систем с последействием. I // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, Л/о 5. С. 745-754.

22. Они же. Устойчивость линейных систем с последействием. II // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, Л/о 4. С. 555-562.

23. Они же. Устойчивость линейных систем с последействием. III // Дифференц. уравнения. 1991. Т. 27, Л/о 10. С. 1659-1668.

24. Они же. Устойчивость линейных систем с последействием. IV // Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29, Л/о 2. С. 196-204.

25. Азбелев Н.В., Березанский J1.M., Чистяков A.B. К вопросу об изучении асимптотических свойств уравнений с последействием // Применение новых методов анализа к дифференц. уравнениям: Межвуз. сб. науч. тр. / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1989. С. 5-10.

26. Азбелев Н.В., Ермолаев М.Б., Малыгина В.В. Устойчивость одного класса существенно нелинейных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи мат. наук. 1994. Т. 49, вып. 4 (298). С. 94.

27. Азбелев Н.В., Ермолаев М.Б., Симонов П.М. К вопросу об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений по первому приближению // Изв. вузов. Математика. 1995. Л/о 10 (401). С. 3-9.

28. Азбелев Н.В., Исламов Г.Г. Структурные свойства операторов и функционально-дифференциальные уравнения // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1988. С. 3-10.

29. Азбелев Н.В., Исламов Г.Г. К абстрактной теории линейного уравнения // Функционально-дифференц. уравнения: Сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1989. С. 15-27.

30. Азбелев Н.В., Максимов В.П. Уравнения с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, Яо 12. С. 2027-2050.

31. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991. 280 с.

32. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Методы современной теории линейных функционально-дифференциальных уравнений. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. 300 с.

33. Азбелев Н.В., Максимов В.П., Худяков С.П. К вопросу о регуляризируемости уравнений // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1984. С. 3-8.

34. Азбелев Н.В., Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости скалярных функционально-дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук. 1993. Т. 48, вып. 4 (292). С. 197.

35. Азбелев H.В., Малыгина В.В. Об устойчивости тривиального решения нелинейных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика. 1994. Л/об (385). С. 20-27.

36. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. О линейных уравнениях с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, Л/о 4. С. 616-628.

37. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Задача Коши для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1972. Т. 8, Л/о 9. С. 1542-1552.

38. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Функционально-дифференциальные уравнения // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, Л/о 5. С. 771-797.

39. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф. Абстрактное функционально-дифференциальное уравнение // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1987. С. 3-11.

40. Азбелев Н.В., Рахматуллина Л.Ф., Чигирев А.И. Существование, единственность и сходимость последовательных приближений для нелинейных интегральных уравнений с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, Л/о 2. С. 223-229.

41. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Изв. вузов. Математика. 1997. Л/об (421). С. 3-16.

42. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом. II // Изв. вузов. Математика. 2000. Л/о4 (455). С. 3-13.

43. Азбелев Н.В., Симонов П.М. Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: Изд-во Перм. ун-та, 2001. 230 с.

44. Азбелев Н.В., Сулавко Т.С. К вопросу об устойчивости решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, Л/о 12. С. 2091-2100.

45. Азбелев Н.В., Цалюк З.Б. Об интегральных неравенствах. I // Мат. сб. 1962. Т. 56 (98), Л/о. 3. С. 325-342.

46. Акилов Г.П., Кутателадзе С.С. Упорядоченные векторные пространства. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1978. 378 с.

47. Алексеевская H.JL, Громова П.С. Второй метод Ляпунова для дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Дифференц. уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка, 1977. С. 19-34.

48. Анохин A.B. К общей теории линейных функционально-дифференциальных уравнений / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1981. 31 с. Деп. в ВИНИТИ 30.03.81, Л/о 1389-81 Деп.

49. Анохин A.B. О линейных импульсных системах для функционально-дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1986. Т. 286, No 5. С. 1037-1040.

50. Артемьев М.И. Об одной оценке решений линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом / Магнитогорск, горно-металлург. ин-т. Магнитогорск, 1979. 11 с. Деп. в ВИНИТИ 19.07.79, No2701.

51. Артемьев М.И., Вержбицкий В.М., Смолин Ю.Н., Цалюк З.Б. Об асимптотическом поведении решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1969. Т. 5, Nol. С. 1256-1266.

52. Артемьев H.A. Осуществимые движения // Изв. АН СССР. Сер. Мат. 1939. Л/ЬЗ. С. 351-367.

53. Ахиев С.С. Об одном методе представления решения и производной решения некоторых систем функционально-дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной // Науч. тр. Азерб. ун-т. Вопр. прикл. мат. и кибернет. 1979. Nol. С. 125-131.

54. Ахиев С.С., Ахмедов К.Т. К более общему понятию сопряженного уравнения для системы дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом нейтрального типа // Изв. АН АзССР. Сер. физ.-техн. и мат. науки. 1972. No3. С. 126-130.

55. Ахмеров P.P., Курбатов В.Г. Экспоненциальная дихотомия решений уравнений нейтрального типа и ее приложения / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1987. 43 с. Деп. в ВИНИТИ 20.03.87, Л/Ъ 2003-В87.

56. Ахмеров P.P., Каменский М.И., Потапов A.C., Родкина А.Е., Садовский Б.Н. Теория уравнений нейтрального типа // Итоги науки и техники. Сер. Мат. анализ. М.: ВИНИТИ, 1981. Т. 19. С. 55-126.

57. Ашихмин С.Н. Условия справедливости представления Флоке для некоторых дифференциальных уравнений с отклонением аргумента // Пробл. соврем, теории периодич. движений: Межвуз. сб. / Удмурт, ун-т. Ижев. механич. ин-т. Ижевск, 1978. Вып. 2. С. 19-22.

58. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 224 с.

59. Барбашин Е.А., Бисярина Л.П. Об устойчивости решений интегро-дифферен-циальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1963. No3 (34). С. 3-14.

60. Башкиров А.И. Оператор-функция Коши уравнения с последействием с периодическими параметрами / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1984. 14 с. Деп. в ВИНИТИ 07.05.84, No 2947.

61. Башкиров А.И. Матрица Коши и устойчивость решений уравнений нейтрального типа с периодическими параметрами / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1984. 34 с. Деп. в ВИНИТИ 12.02.85, No 1145.

62. Башкиров А.И. Оценка мультипликаторов периодических дифференциальных уравнений / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1985. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 01.08.85, А/о 5751.

63. Башкиров А.И. Об одном аналоге полугруппового свойства оператор-функции Коши // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1985. с. 34-37.

64. Башкиров А.И. Признак экспоненциальной устойчивости уравнения с последействием и с периодическими параметрами // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, No 11. С. 1994-1997.

65. Башкиров А.И. Устойчивость решений периодических систем с последействием: Дис. .канд. физ.-мат. наук: 01-01-02. Пермь, 1986. 102 с.

66. Башкиров А.И., Карнишин С.Г. Задача о допустимости пар пространств в теории устойчивости по части переменных // Вестник ПГТУ. Математика и прикл. математика / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1996. Nol. С. 14-17.

67. Башкиров А.И., Карнишин С.Г. Об устойчивости уравнения с последействием с периодическими параметрами // Вестник ПГТУ. Математика и прикл. математика / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1996. No 3. С. 5-8.

68. Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1954. 216 с.

69. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. 368 с.

70. Гусаренко С.А. О нелинейной W—подстановке // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1988. С. 113-117.

71. Гусаренко С.А. Об устойчивости системы двух линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1989. С. 3-9.

72. Гусаренко С.А. Об ограниченности оператора Коши // Функционально-диф-ференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т, НВП "Прогноз". Пермь, 1992. С. 111-122.

73. Гусаренко С.А. О нелинейных функционально-дифференциальных неравенствах // Некоторые проблемы фундаментальной и прикл. математики: Сб. науч. тр. / Моск. физ.-техн. ин-т. (гос. ун-т). М.: "ФИЗТЕХ-ПОЛИГРАФ", 1999. С. 73-78.

74. Гусаренко С.А. К вопросу об асимптотических свойствах решений дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Вестник ПГТУ. Прикл. математика и механика / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2000. Л/о 1. С. 106-109.

75. Гусаренко С.А., Домошницкий А.И. Об асимптотических и осцилляционных свойствах линейных скалярных функционально-дифференциальных уравнений первого порядка // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, Л/о 12. С. 20902103.

76. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, 1970. 536 с.

77. Данфорд Н., Щварц Дж. Линейные операторы. Т. 1. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 896 с.

78. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

79. Дербенев В.А., Пуляев В.Ф. Структура резольвенты и устойчивость линейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений // Изв. Северо-Кав-каз. науч. центра высш. школы. Естеств. науки. 1992. Л/о 1-2. С. 7-14.

80. Долгий Ю.Ф. Устойчивость одного уравнения нейтрального типа с переменным запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, Л/о 9. С. 1480-1489.

81. Долгий Ю.Ф. Устойчивость периодических дифференциально-разностных уравнений: Учеб. пособие. Екатеринбург: Урал. гос. ун-т, 1996. 85 с.

82. Долгий Ю.Ф. Характеристическое уравнение в задаче устойчивости периодических систем с последействием // Изв. Урал. гос. ун-та. 1998. Л/о 10. (Математика и механика. Вып. 1.) С. 34-43.

83. Долгий Ю.Ф., Николаев С.Г. Об устойчивости периодической системы дифференциальных уравнений с запаздыванием // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, Л/о 10. С. 1330-1336.

84. Домошницкий А.И. Возрастание вронскиана и свойства решений уравнения второго порядка с периодическими коэффициентами / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1983. 9 с. Деп. в ВИНИТИ 28.04.83. Л/о 2250.

85. Домошницкий А.И. Неотрицательность отдельных элементов матрицы Коши и экспоненциальная устойчивость системы с запаздыванием // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1991. С. 58-69.

86. Домошницкий А.И., Драхлин М.Е. О периодических решениях функционально-дифференциальных уравнений // Докл. расшир. засед. семинара Ин-та прикл. математики им. И.Н.Векуа. Тбилиси: Изд-во Тбилисск. ун-та. 1988. Т. 3, ЛГо 3. С. 54-57.

87. Домошницкий А.И., Шеина М.В. Неотрицательность матрицы Коши и устойчивость системы линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, Л/о 2. С. 201-208.

88. Драхлин М.Е. К вопросу об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1984. С. 85-88.

89. Драхлин М.Е. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений нейтрального типа // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, Л/о 8. С. 1325-1332.

90. Драхлин М.Е. Один признак существования асимптотически периодических решений // Функциально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1990. С. 168-170.

91. Дроздов А.Д., Колмановский В.Б., Триджанте Д. Об устойчивости системы хищник жертва // Автоматика и телемеханика. 1992. Л/о 11. С. 57-64.

92. Дубошин Г.Н. К вопросу об устойчивости движения относительно постоянно действующих возмущений // Тр. Гос. астр, ин-та им. П.К.Штернберга. 1940. Т. 14, вып. 1. С. 153-164.

93. Ермолаев М.Б. Об устойчивости уравнений с запаздыванием, зависящим от неизвестной функции // Изв. вузов. Математика. 1994. Л/об (385). С. 60-63.

94. Ермолаев М.Б. Устойчивость решений существенно нелинейных функционально-дифференциальных уравнений: Дис. .канд. физ.-мат. наук: 01-01-02. Пермь, 1995. 104 с.

95. Еругин Н.П. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Изд-во Академии наук БССР, 1963. 272 с.

96. Жданок А.И. Регуляризация конечно-аддитивных мер // Латв. мат. ежегодник. Рига: Зинатне, 1984. Вып. 28. С. 234-246.

97. Жуковский Е.С. Об интегральных неравенствах в пространствах суммируемых функций // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, Л/о4. С. 580-584.

98. Жуковский Е.С. О представлении оператора Грина абстрактного функционально-дифференциального уравнения // Изв. вузов. Математика. 2001. Л/об (469). С. 30-33.

99. Забрейко П.П., Мазель М.Х., Третьякова Л.Г. Функция Грина в задаче об ограниченных решениях для обобщенных обыкновенных дифференциальных уравнений // Докл. АН БССР. 1984. Т. 28, Л/ol. С. 18-20.

100. Забрейко П.П., Савченко Т.В. Принцип Банаха-Каччиополи и теорема о неявной функции в бинормированном пространстве и ее приложения к дифференциальным уравнениям // Дифференц. уравнения. 1994. Т. 30, Л/о 3. С. 381-392.

101. Зверкин A.M. Общее решение линейного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Науч. докл. высш. школы. Физ.-мат. науки. 1959. Л/о 1. С. 30-37.

102. Зверкин A.M. Исследование линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом: Дис. . .канд. физ.-мат. наук. М., 1961. 51 с.

103. Зверкин A.M. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом // Теория обыкновенных дифференц. уравнений и нелинейные колебания: Тр. / Пятая летняя мат. школа, Ужгород, июнь-июль 1967 г. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1968. С. 307-399.

104. Зверкин A.M. Некоторые вопросы теории линейных дифференциально-функциональных уравнений // Дифференц. уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова думка, 1977. С. 127-139.

105. Зверкин A.M., Каменский Г.А., Норкин С.Б., Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17, вып. 2 (104). С. 77-164.

106. Они же. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. II // Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом / Ун-т дружбы народов им. П.Лумумбы. М., 1963. Т. 2. С. 3-49.

107. Интегральные уравнения / Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский A.M. и др. М.: Наука, 1968. 448 с.

108. Исламов Г.Г. О некоторых приложениях теории абстрактного функционально-дифференциального уравнения. I // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, .Л/о 11. С. 1872-1881.

109. Кадиев Р.И., Поносов A.B. Устойчивость линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений при постоянно действующих возмущениях // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, Л/о2. С. 198-207.

110. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. 3-е изд., перераб. М.: Наука, 1984. 752 с.1531 Канторович JI.B., Вулих Б.З., Пинскер А.Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.; JL: Гостехтеориздат, 1950. 548 с.

111. Карапетянц Н.К. О связи между нетеровостью и спектром оператора, действующего в банаховом пространстве и его подпространстве // Сообщения АН ГССР. 1986. Т. 124, Л/оЗ. С. 477-479.

112. Карнишин С.Г. Устойчивость по части переменных решений линейного функционально-дифференциального уравнения: Дис. . канд. физ.-мат. наук: 0101-02. Пермь, 1987. 121 с.

113. Кигурадзе И.Т. Начальная и краевые задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Т. 1. Линейная теория. Тбилиси: "Мецниереба", 1997. 216 с.

114. Ким A.B. г—гладкий анализ и функционально-дифференциальные уравнения. Екатеринбург: Урал, отд-ние РАН, 1996. 234 с.

115. Кирьянен А.И. Устойчивость систем с последействием и их приложения. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1994. 237 с.

116. Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. 475 с.

117. Колесов Ю.С. Необходимые и достаточные условия экспоненциальной дихотомии решений линейных почти-периодических уравнений с последействием // Вестник Яросл. ун-та / Яросл. гос. ун-т. Ярославль. 1973. Вып. 5. С. 28-62.

118. Колесов Ю.С. Об устойчивости решений линейных дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа // Сиб. мат. журн. 1979. Т. 20. Л/о 2. С.317-321.

119. Колмановский В.Б. Представление решений уравнений нейтрального типа // Укр. мат. журн. 1972. Т. 24, Л/о 2. С. 171-178.

120. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. 448 с.

121. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Системы с последействием нейтрального типа // Автоматика и телемеханика. 1984. Л/ol. С. 5-35.

122. Комленко Ю.В. Представление Флоке для конечномерных многообразий с особой матрицей монодромии // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, Л/о 6. С. 1188-1197.

123. Комленко Ю.В. Достаточные условия регулярности периодической краевой задачи для уравнения Хилла с отклоняющимся аргументом // Мат. физика. Киев, 1977. Вып. 22. С. 5-12.

124. Комленко Ю.В. Интегральное представление решения периодической задачи для дифференциально-функционального уравнения // Нелин. колебания и теория управления: Сб. науч. тр. / Удмурт, ун-т. Ижевск, 1977. Вып. 1. С. 75-81.

125. Комленко Ю.В. Одно применение оператора сдвига в теории немонотонных дифференциальных уравнений // Пробл. соврем, теории периодич. движений: Межвуз. сб. / Удмурт, ун-т. Ижев. механич. ин-т. Ижевск, 1979. Вып. 3. С. 5-10.

126. Комленко Ю.В. Достаточные условия существования представления Флоке для одного класса дифференциальных уравнений // Пробл. соврем, теории периодич. движений: Межвуз. сб. / Удмурт, ун-т. Ижев. механич. ин-т. Ижевск, 1982. Вып. 6. С. 5-10.

127. Комленко Ю.В., Тонков E.JI. О мультипликаторах линейного периодического дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом // Сиб. мат. журн. 1974. Т. 15, Л/о 4. С. 835-844.

128. Комленко Ю.В., Тонков E.JI. Представление Ляпунова-Флоке для дифференциального уравнения с последействием // Изв. вузов. Математика. 1995. Л/о 10 (401). С. 40-45.

129. Кордуняну К., Лакшмикантам В. Уравнения с неограниченным запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1985. Л/о 7. С. 5-44.

130. Красносельский М.А., Лившиц Е.А., Соболев A.B. Позитивные линейные системы: метод положительных операторов. М.: Наука, 1985. 256 с.

131. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: Физ-матгиз, 1959. 212 с.

132. Крейн М.Г. О некоторых вопросах, связанных с кругом идей Ляпунова в теории устойчивости // Успехи мат. наук. 1948. Т. 3, вып. 3 (25). С. 166-169.

133. Крейн М.Г. Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1964. 187 с.

134. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971. 104 с.

135. Курбатов В.Г. Линейные функционально-дифференциальные уравнения нейтрального типа и запаздывающий спектр // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, Л/о 3. С. 538-550.

136. Курбатов В.Г. Об оценке спектральных радиусов запаздывающих операторов в пространстве непрерывных и ограниченных на оси функций // Функцион. анализ и его прил. 1975. Т. 9, вып. 3. С. 56-60.

137. Курбатов В.Г. О дихотомии решений линейных уравнений нейтрального типа / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1976. 26 с. Деп. в ВИНИТИ 29.04.76, Л/о 1443.

138. Курбатов В.Г. Об обратимости запаздывающих операторов // Теория операторных уравнений: Сб. науч. тр. / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1979. С. 43-52.

139. Курбатов В.Г. Об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1981. Т. 17, Л/об. С. 963-972.

140. Курбатов В.Г. О разрешимости относительно производной устойчивого функционально-дифференциального уравнения // Укр. мат. журн. 1982. Т. 34. Л/о 1. С. 103-106.

141. Курбатов В.Г. Алгебра разностных операторов / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1982. 48 с. Деп. в ВИНИТИ 11.03.82, Л/Ь1017-82 Деп.

142. Курбатов В.Г. Об одном обобщении оператора внутренней суперпозиции // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, Л/о 8. С. 1465-1466.

143. Курбатов В.Г. О сведении устойчивого уравнения нейтрального типа к уравнению запаздывающего типа // Сиб. мат. журн. 1983. Т. 24. Л/о 4. С.209-212.

144. Курбатов В.Г. Об обратимости дифференциально-разностных операторов в различных топологиях / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1984. 14 с. Деп. в ВИНИТИ 8.02.84, Л/о 764-84 Деп.

145. Курбатов В.Г. Об ограниченных решениях дифференциально-разностных уравнений // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27, Л/ol. С. 86-99.

146. Курбатов В.Г. Об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений на оси и полуоси // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, Л/об. С. 923-927.

147. Курбатов В.Г. Дифференциально-разностные уравнения в пространствах с различными нормами / Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 1987. 67 с. Деп. в ВИНИТИ 24.02.87, Л/о 1307-В87.

148. Курбатов В.Г. Об уравнениях нейтрального типа с внешним дифференцированием // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, Л/оЗ. С. 434-442.

149. Курбатов В.Г. О функции Грина дифференциально-разностного уравнения // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, Л/оЗ. С. 525-527.

150. Курбатов В.Г. Об устойчивости дифференциально-разностных уравнений с производной и без производной // Дифференц. уравнения. 1988. Т. 24, Л/о 9. С. 1503-1509.

151. Курбатов В.Г. Об экспоненциальной оценке матрицы Коши // Функциональ-но-дифференц. уравнения: Сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1989. С. 96-100.

152. Курбатов В.Г. Линейные дифференциально-разностные уравнения. Воронеж: Изд-во Воронеж, ун-та, 1990. 168 с.

153. Лакшмикантам В., Кордуняну К. Уравнения с неограниченным запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 1985. .Л/о7. С. 5-44.

154. Лакшмикантам В., Лила С., Мартынюк A.A. Устойчивость движения: метод сравнения. Киев: Наукова думка, 1991. 248 с.

155. Ландо Ю.К. Функция Коши линейного интегро-дифференциального уравнения типа Вольтерра // Уч. зап. Минск, гос. пед. ин-та. Сер. физ.-мат. 1956. Вып. 5, С. 41-47.

156. Лебедев A.B. О теоремах типа Винера в скрещенных произведениях и алгебрах, ассоциированных с автоморфизмами // Докл. АН БССР. 1986. Т. 30, Л/о 6. С. 493-495.

157. Леонтьев В. Исследование структуры американской экономики. Теоретический и эмпирический анализ по схеме "затраты выпуск". М.: Госстатиздат, 1958. 640 с.

158. Лузин H.H. О методе приближенного интегрирования акад. С.А.Чаплыгина // Успехи мат. наук. 1951. Т. 6, вып. 6 (46). С. 3-27.

159. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения // Академик А.М.Ляпунов. Собрание сочинений. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1956. Т. 2. С. 7-263.

160. Мазель М.Х. Ограниченные решения разностных уравнений // Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22, Л/о5. С. 898-900.

161. Максимов В.П. Свойства функции Коши системы уравнений с запаздывающим аргументом // Автоматизация хим. производств на базе мат. моделирования. Труды Моск. ин-та хим. маш-ия. Вып. 48. М., 1973. С. 6-7.

162. Максимов В.П. Определяющие свойства матрицы Коши линейного функционально-дифференциального уравнения // Автоматизация хим. производств на базе мат. моделирования. Труды Моск. ин-та хим. маш-ия. Вып. 53. М., 1974. С. 3-5.

163. Максимов В.П. Линейное функционально-дифференциальное уравнение: Дис. .канд. физ.-мат. наук: 01-01-02. Тамбов, 1974. 119 с.

164. Максимов В.П. О формуле Коши для функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1977. Т. 13, Л/о4. С. 601-606.

165. Максимов В.П. Вопросы общей теории функционально-дифференциальных уравнений: Дис. .д-ра физ.-мат. наук: 01-01-02. Пермь, 1984. 275 с.

166. Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. О представлении решений линейного функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, Л/о6. С. 1026-1036.

167. Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Линейное функционально-дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной // Дифференц. уравнения. 1973. Т. 9, Л/о 12. С. 2231-2240.

168. Максимов В.П., Румянцев А.Н. Конструктивные методы в теории функционально-дифференциальных уравнений и их компьютерная реализация // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи. ин-т. Пермь, 1990. С. 79-93.

169. Максимов В.П., Румянцев А.Н. Конструктивные методы исследования динамических моделей и доказательный вычислительный эксперимент // Экономическая кибернетика: методы и средства эффективного управления: Сб. ст. / Перм. гос. ун-т. Пермь, 2000. С. 27-51.

170. Малкин И.Г. Об устойчивости при постоянно действующих возмущениях // Прикл. математика и механика. 1944. Т. 8, вып. 3. С. 241-245.

171. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. 2-е изд., испр. М.: Наука, 1966. 532 с.

172. Малыгина В.В. Устойчивость функционально-дифференциальных уравнений в банаховом пространстве / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1982. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 01.09.82, Л/о 4701-82 Деп.

173. Малыгина В.В. Из истории развития теории устойчивости уравнений с постоянным запаздыванием // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1991. С. 70-78.

174. Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости функционально-дифференциальных уравнений, разрешенных относительно производной // Изв. вузов. Математика. 1992. Л/о 7 (362). С. 46-53.

175. Малыгина В.В. Об устойчивости некоторых классов нелинейных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика. 1992. Л/о 8 (363). С. 84-86.

176. Малыгина В.В. Некоторые признаки устойчивости уравнений с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, Л/о 10. С. 1716-1723.

177. Малыгина В.В. Об асимптотическом поведении решения одного класса скалярных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика. 1992. Л/о 12 (367). С. 80-82.

178. Малыгина В.В. Об устойчивости решений некоторых линейных дифференциальных уравнений с последействием // Изв. вузов. Математика. 1993. Л/о 5 (372). С. 72-85.

179. Мунембе Ж.С.П. Конструктивное исследование асимптотического поведения решений дифференциальных уравнений с запаздыванием и периодическими параметрами: Дис. .канд. физ.-мат. наук: 01-01-02. Пермь, 2000. 134 с.

180. Мышкис А.Д. О решениях линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка устойчивого типа с запаздывающим аргументом // Мат. сб. 1951. Т. 28 (70), Л/оЗ. С. 641-658.

181. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.; Л.: Гостехтеориздат, 1951. 256 с.

182. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. 2-е изд., перераб. и расшир. М.: Наука, 1972. 352 с.

183. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Успехи мат. наук. 1977. Т. 32, вып. 2 (194). С. 173-202.

184. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965. 356 с.

185. Набиев Г.М. Некоторые вопросы теории устойчивости решений дифференциальных уравнений с максимумами. I // Докл. АН АзССР. 1984. Т. 40. Л/о8. С. 14-19.

186. Носов В.Р. Теорема Перрона для стационарных и периодических систем дифференциально-функциональных уравнений // Дифференц. уравнения с отклоняющимся аргументом / Ун-т дружбы народов им. П.Лумумбы. М., 1979. Т. 11. С. 44-51.

187. Петухов В.Р. Вопросы качественного исследования решений уравнений с "максимумами" // Изв. вузов Математика. 1964. Л/о 2. С. 116-119.

188. Пинни Э. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961. 248 с.

189. Поносов A.B. О гипотезе Немыцкого // Докл. АН СССР. 1986. Т. 289, Л/об. С. 1308-1311.

190. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 1. Новые методы небесной механики. М.: Наука, 1971. 772 с.

191. Пуляев В.Ф. О допустимости некоторых пар пространств относительно линейных интегральных уравнений Вольтерра // Дифференц. уравнения. 1984. Т. 20, Л/о 10. С. 1800-1805.

192. Пуляев В.Ф. О спектре линейных непрерывных операторов // Изв. Северо-Кавказ. науч. центра высш. школы. Естеств. науки. 1985. Л/о 4. С. 25-28.

193. Савчиц Е.Ю. О нётеровости интегральных периодических операторов // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2001. Л/оЗ. С. 103-105.

194. Седова С.М. О критерии устойчивости одного скалярного уравнения с постоянным запаздыванием и периодическим коэффициентом // Изв. вузов. Математика. 1997. Л/о 11 (426). С. 61-71.

195. Седова С.М. Устойчивость линейных дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами: Дис. . .канд. физ.-мат. наук: 01—01— 02. Пермь, 2000. 130 с.

196. Сидорик Т.М. О существовании на полуоси и периодичности решений дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом // Пробл. соврем, теории периодич. движений: Межвуз. сб. / Удмурт, ун-т. Ижев. механич. инт. Ижевск, 1982. Вып. 4. С. 25-28.

197. Симонов П.М. Теоремы об устойчивости обобщенных линейных периодических уравнений // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1986. С. 23-26.

198. Симонов П.М. К вопросу об ограниченных решениях линейного функционально-дифференциального уравнения // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1989. С. 66-70.

199. Симонов П.М., Чистяков A.B. Об обратимости вольтерровых операторов в одном классе инвариантных подпространств // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1987. С. 6368.

200. Симонов П.М., Чистяков A.B. Теоремы о равномерной экспоненциальной устойчивости уравнений с последействием // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1991. С. 83-95.

201. Симонов П.М., Чистяков A.B. Об обратимости линейных операторов, коммутирующих со сдвигом // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т, НВП "Прогноз". Пермь, 1992. С. 144-159.

202. Симонов П.М., Чистяков A.B. О разрешимости периодических уравнений // Вестник ПГТУ. Математика и прикл. математика / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1994. Mol. С. 61-71.

203. Симонов П.М., Чистяков A.B. К вопросу об экспоненциальной оценке матрицы Коши дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом // Вестник ПГТУ. Математика и прикл. математика / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1996. Л/оЗ. С. 67-71.

204. Симонов П.М., Чистяков A.B. Об экспоненциальной устойчивости линейных дифференциально-разностных систем // Изв. вузов. Математика. 1997. Л/о 6 (421). С. 37-49.

205. Слюсарчук В.Е. Оценки спектров и обратимость функциональных операторов // Мат. сб. 1978. Т. 105 (147), Л/о 2. С. 269-285.

206. Слюсарчук В.Е. Интегральное представление с—непрерывных линейных операторов // Докл. АН УССР. Сер. А. 1981. Л/о 8. С. 35-38.

207. Сокол Д.Г. О допустимости некоторых пар пространств для интегральных операторов и уравнений // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Естеств. науки. 2000. Л/о 1. С. 135-137.

208. Соколов В.А. Задача о допустимости пар пространств для функционально-дифференциальных уравнений // Функционально-дифференц. уравнения: Меж-вуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1984. С. 60-63.

209. Соколов В.А. Об устойчивости по правой части функционально-дифференциального уравнения // Краевые задачи: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1986. С. 17-19.

210. Соколов В.А. Критерий устойчивости линейного уравнения нейтрального типа // Вестник ПГТУ. Математика и прикл. математика / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1994. Л/ol. С. 101-105.

211. Соколов В.А. Оценки оператора Коши линейного дифференциально-разностного уравнения нейтрального типа // Вестник ПГТУ. Математика и прикл. математика / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1996. Л/оЗ. С. 71-74.

212. Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Ч. 1. Вольтерровы уравнения и управляемые начально-краевые задачи. Н. Новгород: Изд-во Нижегород. гос. ун-та, 1992. 112 с.

213. Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости / Бы-лов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. М.: Наука, 1966. 576 с.

214. Терёхин M.Т. Периодические решения систем дифференциальных уравнений / Ряз. пед. ин-т. Рязань, 1992. 88 с.

215. Тонков E.JI. Показатели Ляпунова и ляпуновская приводимость линейной системы с последействием // Вестник Удм. ун-та / Удм. гос. ун-т. Ижевск, 2001. Mo 3. С. 13-30.

216. Трикоми Ф.Дж. Интегральные уравнения. М.: ИЛ, I960. 300 с.

217. Трикоми Ф.Дж. Дифференциальные уравнения. М.: ИЛ, 1962. 352 с.

218. Тышкевич В.А. Некоторые вопросы теории устойчивости функционально-дифференциальных уравнений. Киев: Наукова думка, 1981. 80 с.

219. Тюрин В.М. К обратимости линейных дифференциальных и функционально-дифференциальных операторов: Автореф. дис. .д-ра физ.-мат. наук: 01—01— 02. Липецк, 1995. 37 с.

220. Федоренко Л.Г. К вопросу об устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, Mo 9. С. 1523-1531.

221. Функциональный анализ / Под общ. ред. С.Г.Крейна. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1972. 544 с.

222. Халанай А. Условие Перрона в теории общих систем с последействием // Math-ematica. 1960. V. 2, Мо2 (25). Р. 257-267.

223. Халанай А. Периодические решения линейных систем с запаздыванием // Rev. Roum. Math. Pures et Appl. 1961. T. 6, Mol. P. 141-158.

224. Халанай А., Векслер Д. Качественная теория импульсных систем. М.: Мир, 1971. 312 с.

225. Харгелия O.P. Об устойчивости автономного дифференциально-разностного уравнения с кратными запаздываниями // Вестник ПГТУ. Математика и прикл. математика / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1996. Mo 3. С. 74-76.

226. Харгелия O.P. Об асмптотическом поведении решений уравнения x(t) — p{t)x(ßt) = f(t) // Вестник ПГТУ. Функционально-дифференц. уравнения (спец. выпуск) / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 1997. Mo 4. С. 149-153.

227. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

228. Хатсон В., Пим Дж.С. Приложения функционального анализа и теории операторов. М.: Мир, 1983. 432 с.

229. Чистяков A.B. К вопросу об устойчивости уравнения нейтрального типа // Функционально-дифференц. уравнения и их прил.: Тез. докл. / Вторая Севе-ро-Кавказ. регион, конф., Махачкала, сентябрь 1988 г. Махачкала: РИО Даг. гос. ун-та, 1988. С. 237.

230. Чистяков A.B. Свойства одного класса некомпактных операторов // Функцио-нально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1988. С. 21-30.

231. Чистяков A.B. К вопросу о дифференциально-интегральном представлении обратного оператора // Функционально-дифференц. уравнения: Сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1989. С. 50-53.

232. Чистяков A.B. Об интегральном представлении решений линейной краевой задачи // Краевые задачи. Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1989. С. 42-47.

233. Чистяков A.B. Непрерывность по мере операторов, сохраняющих разложение Иосиды-Хьюитта // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1990. С. 127-131.

234. Чистяков A.B. Спектральные свойства операторов внутренней суперпозиции, порожденных стохастическими системами // Функционально-дифференц. уравнения: Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1991. С. 101-112.

235. Чистяков A.B. Эквивалентность минус-фредгольмовости и сюръективности в алгебре операторов, непрерывных по мере на единичном шаре неатомарного пространства L1 // Краевые задачи. Межвуз. сб. науч. тр. / Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1991. С. 145-151.

236. Чистяков A.B. Патологический контрпример к гипотезе о нефредгольмовости в алгебрах операторов взвешенного сдвига // Изв. вузов. Математика. 1995. Л/о 10 (401). С. 76-86.

237. Чистяков A.B. Об обратимости непрерывных по мере линейных операторов // Вестник Удм. ун-та / Удм. гос. ун-т. Ижевск, 2000. Л/ol. С. 156-161.

238. Чистяков A.B. Распределение действительных частей нулей квазиполинома с несоизмеримыми показателями // Вестник Удм. ун-та / Удм. гос. ун-т. Ижевск, 2001. Л/о 3. С. 84-93.

239. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и запаздыванием времени // Прикл. математика и механика. 1963. Т. 27, вып. 3. С. 450-458.

240. Шиманов С.Н. Некоторые вопросы теории колебаний систем с запаздыванием // Теория обыкновенных дифференц. уравнений и нелинейные колебания: Тр. / Пятая летняя мат. школа, Ужгород, июнь-июль 1967 г. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1968. С. 473-549.

241. Шиманов С.Н. Устойчивость линейных систем с периодическими коэффициентами и запаздыванием: Учеб. пособие. Свердловск: Изд-во Урал. гос. ун-та, 1983. 64 с.4s